3-03 В.Б. Веселовский, А.В. Берлов, Н.И. Белый, В.И. Ляшенко

УДК 536.2:539.3
РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КАБЕЛЕЙ
В.Б. Веселовский,¹ А.В. Берлов,¹ Н.И. Белый ,²
В.И. Ляшенко³
¹ Украина, Днепропетровский национальный университет
² ОАО «Днепрооблэнерго»
³ Институт транспортных систем и технологий Национальной АН Украины
Рассмотрен нестационарный теплообмен электрического кабеля, составного
электрического проводника и проводника с электропроводным покрытием в
сопряженной постановке в условиях воздействия высокоэнтальпийных газовых
потоков, низких температур, электромагнитных полей. Предложена методика
определения тепловых режимов электрических кабелей и проводников, основанные на
методах последовательных интервалов и конечных разностей. Приведены
результаты параметрических исследований и сравнение с экспериментальными
данными. Установлено, что с целью обеспечения надежной работы кабельных
конструкций в экстремальных условиях эксплуатации необходимо: учитывать
существенное изменение коэффициента теплоотдачи вследствие нестационарных
граничных условий и неизотермичности процесса; уменьшать теплонапряженность
тепловой изоляции электрического кабеля, что может быть достигнуто за счет
комбинирования теплофизических и геометрических параметров ее слоев.
Ключевые слова
Кабель, теплоизоляция, теплопровоность, поле, расчет.
Условные обозначения
I – сила электрического тока, A; R – сопротивление электрическому току, Ом; T
– температура, K; a – коэффициент температуропроводности, м 2 /с; α – коэффициент
теплоотдачи, Вт/м²·К; λ – коэффициент теплопроводности, Вт/м·К; τ – время, с.
Введение
В настоящее время важное значение приобретают задачи, связанные с наиболее
полным учетом всех физико-механических факторов, непосредственно влияющих на
расчетные ресурсные характеристики кабельной продукции. Экспериментальное
изучение исследуемых процессов требует дорогостоящих, сложных и длительных
испытаний, поэтому особенно актуальным, в настоящее время, является их численное
моделирование [1,2]. Математическое моделирование данных задач, их решение и
численная реализация успешно используется в таких отраслях промышлености как
космичекое машиностроение, теплоэнергетика, криоэнергетика и др.
Развитие современной энергетики и новых отраслей техники сопровождается
резким повышением теплонапряженности элементов конструкций. Диапазон
температур изменяется от температур близких к абсолютному нулю, до трех-четырех
тысяч градусов, при значительных перепадах во времени и пространстве. Изменение
теплового состояния элементов конструкций вызывается внешними и внутренними
воздействиями. Работоспособность конструкции все чаще определяют исходя из
нестационарных режимов, при которых на температурные поля существенно влияют
зависящие от времени, координат и температуры, а также характеристики материалов и
сред, в которых работают сами конструкции. Ошибки, возникающие из-за неучета этих
зависимостей, относительно температуры и времени составляют десятки, а иногда и
сотни процентов.
К одной из таких актуальных проблем, в настоящее время, в развитии
современной промышленности относится задача расчета температурных полей
электрических кабелей и проводников различной конструкции (кабельных изделий). В
связи с этим, был рассмотрен комплекс тематически взаимосвязанных нелинейных
задач нестационарного теплообмена:
1) электрического кабеля с многослойной изоляцией в сопряженной постановке в
условиях воздействия высокоэнтальпийных газовых потоков, низких температур,
электромагнитных полей;
2) составного электрического проводника. Данная задача возникает при тепловом
расчете оптимального подбора участков составного электрического проводника в
зависимости от состояния агресивности среды, вследствии отсутствия тепло- и
электроизоляции, в отличие от кабеля;
3) проводника с электропроводным покрытием, под воздействием импульсных токов
высокой плотности [3].
Приведены схемы определения тепловых режимов электрических кабелей,
составных и комбинированных электрических проводников, которые основаны на
методах последовательных интервалов и конечных разностей.
1. Постановка задачи
1) кабель с многослойной теплоизоляцией.
Уравнение теплопроводности для кабеля с многослойным теплозащитным
покрытием записывается в общем виде
)(
()
m
c
t
T
r
r
d
T
r
z
(d m
T
) wm ,
z
(1)
где в случае переменных теплофизических характеристик материалов слоев значения
коэффициентов bm , c m , d m определяется системой равенств
r
m
;c
n
l ; d
r
l , m=,1M .
(2)
Здесь r m , cm , lm – значение плотности, теплоемкости, коэффициента
теплопроводности для m-го слоя, n – индекс системы координат (n = 1 для
цилиндрической системы координат).
Процес передачи тепла в кабеле с многослойной изоляцией происходит путем
теплопроводности. Между ее слоями могут находиться зазоры и неровности,
приводящие к появлению контактных термических сопротивлений. Особенно
нежелательны в изоляции кабелей и проводов (за исключением кабелей связи)
воздушные пузырьки или пленки [6]. Идеальной изоляцией кабелей, особенно
высоковольтных и высокочастотных, явилась бы изоляция из однородного диэлектрика
без потерь. И хотя изготовить такой диэлектрик невозможно, при проектировании и
изготовлении кабельных изделий стремятся получить как можно более однородную
изоляцию и с возможно меньшими потерями (например, используя полиэтилен,
фторопласт-4, полистирол и т. д.).
Общий вид условий на стыках с учетом контактных термических сопротивлений
в физико-химических превращениях, сопровождающихся выделением (поглощением)
теплоты
TRmm
m
Tm
l
r
,
Tm
r
m
Tm
r
m
1,2,...,mM 1,
(3)
где Rm – значение коэффициента контактного термического сопротивления для m-го
стыка; wm – значение мощности источника (стока) тепла на m-ом стыке.
,(0)
T0 – начальное условие, где T0 – температура тела в начальный момент
времени.
Граничные условия на оси кабеля
T1
,0r
r
l1
0.
(4)
Внешнее тепловое воздействие на элементы конструкций можно записать в виде
n
T
nn
(t )
t
n
q(t ) ε sTn 4 ,
(t )
(5)
где e – степень черноты внешней поверхности кабеля, q t – тепловой поток, т.е.
дополнительное тепловое воздействие, имеющее различную физическую природу, Tr(t)
– температура набегающего потока газа.
2) составной электрический проводник.
Уравнение теплопроводности для составного электрического проводника
записывается в общем виде
t)
n
)(rn (Tn )
t
x
t)
n
l T
x
,(S ,T )
z
(ln
t)
n
z
F
x
, T ,t );
(6)
T
)
t
xT
*
1
01
1
)[ f (t ) M T ( x,t )
0 1
1
0
x
],
x 01
x 01
(7)
T
)
m
t
xT
n
)[ f (t ) M T ( x,t )
11
x
];
lxm
lxm
n
T
l T
)
*
m
t
n
1
t)
x
*
n1
) Tn 1 (0, ) Tn (ln , )];
lxn
l T
t)
n 1
f2 t ;
1
x
lx
x
x 0
(8)
n
0) T0 , n ,12
,..., m; 0lxn .
(9)
В выражении (7) f l t , (l=0, 1) – граничные функции, которые в зависимости от типа
граничных условий являются температурой поверхности, температурой окружающей
среды, тепловым потоком; a i* (T, t ) – приведенные коэффициенты теплообмена на
внешних поверхностях системы. Полагая в (7) коэффициенты a
l равными 0 или
1 , имеем граничные условия первого – третьего родов и различные их сочетания. В
случае идеального теплового контакта в (8)
0 ; при наличии
,0
n T, )
термического
сопротивления
на
стыке
слоев
a 2 1,
функция
T, )
характеризует источники или стоки тепла на контакте
n 1 (Rn ,T ,t )
слоев, определяемые по соотношениям для Wn , j или по данным эксперимента; при
наличии термически тонкого слоя между слоями
,n 1
n
,0 n (
где C
,,dn ,n
1
,T , )
1
C
(T )dn ,n
,(t )
1
,
x
0
– удельная объемная теплоемкость и толщина термически тонкого слоя.
В уравнении (6) функци я
1
t
S ,T )
1
S ,T ) учитывает влияние термоэдс:
IS T )Tn
,
pd 2
где S – термоэдс источника тока, d – диаметр составного электрического проводника;
T ,t ) – мощность внутренних источников тепла:
функци я 2
N
2
T , )
Wn , j ( xn ,Tn , ) ,
j 1
где N – количество внутренних и внешних воздействий.
Мощность внутренних источников (стоков) тепла представляет собой суперпозицию
мощности источников тепла, являющихся следствием воздействия на конструкцию
полей различной физической природы. Например,
,Tn ,t ) – может
1, x
I 2R –
характеризовать фазовые превращения в материале кабеля; ,(T 2,
n ,t )
джоулево тепловыделение, где R – сопротивление проводника электрическому току;
– тепло, выделяемое из-за диэлектрических потерь в
Tn , )
I c U tg
,
3
изоляции, где I c емкостная сила тока и tgd – тангенс угла диэлектрических потерь, U –
действующее напряжение в кабеле; для радиочастотного коаксиального кабеля
2az
источники тепла определяются из выраж
, где a – коэффициент
n4,
0e
ения
затухания, z – координата по длине кабеля [6]. Выделение тепла при СВЧ воздействии
определяется по формуле n5,
,0287
f e ' 10 6 , где f – частота, E – напряженность
электрического
поля,
e'–
коэффициент
диэлектрических
потерь;
e T )s 4
a T)
T
T – тепловой поток излучения; ,(T7,
,t )
0
n
d
d
– тепловой поток, учитывающий теплообмен боковой поверхности с окружающей
средой.
Таким образом, представленная математическая модель позволяет расчитывать
температурные поля составных проводников как по длине( координата x ), так и по
сечению( координата z , т.е. возможность нахождения температурного распределения в
слоях самого проводника, а также слоях возможной комбинированной тепловой
изоляции).
3) проводник с электропроводным покрытием.
Постановка задачи проводника с электропроводным покрытием является
комбинацией постановок задач 1 и 2, в предположении отсутствия теплоизоляции и
зависимости физических параметров слоев проводника от координат.
,(T6,
,t )
n
2. Численное моделирование
2.1. Система уравнений (1)-(5) записывается в конечно-разностном виде. Введем на
отрезках
, 1 ,
,1 оси r разностную сетку с расстоянием
rm между узлами.
Пусть ilm - количество узлов разностной сетки на слое m . Тогда, учитывая, что
толщина m-го слоя будем иметь
dm
rm
ilm
,
1
.
m
-
(10)
Вторая производная по координате аппроксимируется со вторым порядком точности
r
T
r
d
где
i 1
d
1
i 12
r
i
i 12
1
/ r,
r
(11)
d / 2 , первая производная по координате аппроксимируется
1
2
d
центральными разностями:
T 1
/i
r
;
2 r
(12)
производная по времени с первым порядком точности относительно шага по времени:
T
t
n 1
i
/i
n
i
.
(13)
Тогда с учетом (13) уравнение (1) перепишется в форме
n
i
n 1
i
t
bi*nTi n
n
n 1
i 12 i 1
1
ci
n
rk
di n1
2
di n1 Ti n 1 di n1 Ti n1 1
rk
2
2
2
wk
(14)
Приведя подобные, будем иметь
n
tdi
tci n
n
2
i
n 1
2
1
(
1
i
2
k
r
2 rk
n
i
i
2
tdi n
tci n
2 rk
n 1
1
i
r
Tin wk t,
1
Ti
2
k
n
n
2
2
k
r
)
i 1
т.е. получим уравнение в трехточечной форме:
m
B jm T jm
m
C j Tj
D jm j m
, M 1,
(15)
где j m – номер расчетного узла, приходящегося на границу между m -ым и m+1 –ым
слоем; lj m – значение коэффициента теплопроводности m –го слоя “снизу” расчетного
узла; lj m – значение коэффициента теплопроводности m –го слоя “сверху” расчетного
узла; коэффициенты A j , B j , C j , D j ,
m
jm
m
aj
1(m
T
m
rm
;jm
rm
1(
m
m
);C
)
1; D
jm
,
m
m
1 , определяются равенствами:
,1
0 ; S jm
l
1 l
m
1,2,..., M 1 .
;
(16)
(17)
1
Интегрируя исходную систему уравнений с граничными условиями и условиями
сопряжения на стыках, решение сводится к решению алгебраической системы
уравнений с трехдиагональной матрицей, удобным методом решения которой при
граничных условиях вида (2),(3) является метод прогонки [2] .
Таким образом перебираются все сечения по длине и определяется распределение
температуры системы в момент времени t . Перейдя на новый временной слой, и
используя в качестве начального распределения температуры найденное, определим
распределение температуры в системе в любой интересующий момент времени.
Выше приведены основные пункты используемой схемы вычисления значений
температурного поля многослойного покрытия. Введение соответствующей
стандартной формы записи граничных условий и сведение системы уравнений,
описывающих распространение тепла в слоях конструкции и условий сопряжения на
стенках слоев посредством выбора аппроксимаций производных, к системе
алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей с последующим
применением метода прогонки, позволяет рассчитывать температурное поле
многослойного покрытия. Методика расчета значений температуры в узлах разностной
сетки не зависит от их принадлежности к внутренним либо граничным расчетным
узлам. Используемая схема примененима для решения классов задач различных по
типу задания контактов между слоями, любым видам граничных условий, учетом
зависимости теплофизических характеристик от температуры.
2.2. Решение задачи (6)-(9) в настоящее время может быть получено приближенными
аналитическими или численными методами [1; 2].
При сложном характере граничных функций, например, кусочно-непрерывных,
сеточных функций и т.д., для решения линейных задач теплопроводности
целесообразно применять метод последовательных интервалов [1]. При таком подходе
все время нагружения разбивается на L последовательных интервалов, в каждом из
которых вид граничных функций конкретизирован. Решение краевой задачи в такой
постановке сводится к решению L краевых задач, отличающихся начальными
условиями и видом граничных функций. Заменяя нелинейные коэффициенты и
функции на каждом интервале конкретным числом, и, следовательно, учитывая их
зависимость от температуры ступенчатым образом, метод последовательных
интервалов в такой интерпретации позволяет рассматривать и нелинейные задачи
теплопроводности. В такой постановке нелинейная задача теплопроводности сводится к
совокупности решений линейных задач с различными начальными и граничными
условиями для каждого интервала времени.
Используя решение линейной задачи теплопроводности [2], решение задачи (6)(9) запишем в виде
2m
nj,
x, )
n
n, j
)n(
m n,i( x )j n g,ji
E,jin ( x,kp ) exp( kp t )
(t )
1i0m
Гn*x(
,t ),
(18)
1k
n
где
), n ,m n ,i ( x ),W n, j [ m n,i ( x ),j n ],E j ,i ( x, p k ), Гn* ,i ,t ) определяются по
l
функции
соотношениям, приведенным в [2].
Решение (18) позволяет получить температурное поле электрического кабеля по
его различным сечениям. При необходимости исследования распределение температур
по длине кабеля без тепловой изоляции, необходимо использовать численные методы
[1, 2].
2.3. Решение задачи 3(проводник с электропроводным покрытием) может быть
получено либо при помощи решения задачи 1, при определении распределения
температур по длине, либо задачи 2, при определении температурного поля по
сечению.
3. Численный эксперимент
В качестве численных примеров исследованы температурные поля кабелей с
многослойной изоляцией. Геометрические размеры, значения толщин слоев изоляции
кабелей, а также теплофизические параметры приведены в табл. 1. Изменение
температуры газа представлено в табл. 2.
Параметры теплоизоляции
Кабель №
1
2
№
слоя
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Таблица 1
δ, м
λ, Вт/м·К
a·10 5 , м 2 /с
0,00325
0,0005
0,0003
0,0024
0,0018
0,00325
0,0005
0,0003
0,0046
0,0018
0,0392
0,105
0,193
0,06
0,193
0,0392
0,105
0,193
0,067
0,193
1,103
10
0,405
0,0702
0,405
1,103
10
0,405
0,0072
0,405
Температура газа
τ, с
Tг, C
50
280
55
600
Таблица 2
60
1000
65
1500
70
1500
75
1500
80
1500
При
проведении
параметрических
исследований
проводника
с
электропроводным покрытием использованы данные эксперимента [3]. (Исследовался
проводник из молибденового сплава диаметром d=0.5 мм, он нагревался на длине l=60
мм; источник тока
имел напряжение холостого хода Eв=38В, внутреннее
сопротивление Rв=0.25 Oм и индуктивность Lв=2.3 Гн; балластное сопротивление Rб=2
Ом; паразитное сопротивление подводящих проводов, зажимов, контакта и т.д.
Rп=0.045 Ом; температура в помещении T0=298К, температура холодных медных
зажимов ( электродов ) Tз равна 315К; плотность тока 8.107A/м2.). В электропроводном
покрытии наблюдается резкий рост температуры слоя, что подтверждается данными
экспериментальных исследований [3].
У величение
температуры
на
поверхности
в
течение
короткого
промежутка времени можно характеризовать явлением локализации тепла, что,
очевидно, вызывает необходимость
математического
моделирования
этого
процесса
путем
решения гиперболического
уравнения
теплопроводности.
Локализация тепла зависит от физических свойств материала тела и при
изменении температуры на границе нагревания, например, в 10-20 раз определяется
лишь видом граничного режима.
4. Обсуждение результатов
По результатам расчета температурных полей электрического кабеля с
комбинированной теплоизоляцией построены графики зависимости температуры от
времени.
T, ºC
1600
1400
1200
1
2
3
4
5
1000
800
600
400
200
0
35
55
75
95
τ, c
Рис.1.Температурное поле электрического кабеля 1.
T, ºC
1600
1400
1200
1
2
3
4
5
1000
800
600
400
200
0
35
55
75
95
τ, c
Рис.2.Температурное поле электрического кабеля 2.
На рис.1 кривые 1–3 – характеризуют температурное поле жилы электрического
кабеля, 4–6 – граничные температуры слоев теплоизоляции. На рис.1 показано
температурное поле электрического кабеля №1, на рис. 2 – кабеля №2. Анализ
показывает, что незначительное увеличение 4-го слоя теплоизоляции позволяет
уменьшить теплонапряженность тепловой изоляции электрического кабеля.
T,2500
K
T,2500
K
2000
5
1500
7
6
8
5
1500
4
8
6
4
3
1000
7
2000
1000
3
2
2
500
500
1
1
0
0
0
10
20
30
x,мм
40
50
60
0
20
40
x,мм
Рис.3.Распределение температуры по длине проводника с постоянными и
возросшими значениями термоэдс в различные моменты времени: 1 – 1с.; 2 –
2с.; 3 – 3с.; 4 – 4с.; 5 – 5с.; 6 – 6с.; 7 – 7с.; 8 – 8с.
60
На рис. 3 представлены распределения температур по длине проводника в
различные моменты времени (нижние кривые сответствуют начальному моменту
времени, верхние – конечному). Возростание температуры поверхностного слоя
наблюдается на 8-й секунде процесса.
Выводы
Предложенные схемы решения позволяют рассчитать нестационарный
теплообмен в кабельных изделиях независимо от типа контактов между материалами
слоев, вида граничных условий на внешней границе, количества слоев теплоизоляции,
воздействия полей различной физической природы.
Литература
1. Веселовский В.Б. Тепловые режимы трубопроводов с движущимся теплоносителем
при воздействии полей различной физической природы // Тепломассообмен – ММФ.
Минск: ИТМО АНБ, 1996. Т.10, часть 1. С.226–230.
2. Веселовский В.Б., Берлов А.В., Белый Н.И., Ляшенко В.И. Температурные поля
электрических кабелей при воздействии полей различной физической природы //
Вісник Дніпропетр. ун-ту.Механіка , 2001. Т.1. вип. 5. С. 73-83.
3. Котов В.Э. К расчету температурного поля проводника при его медленном нагреве
током высокой плотности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, сер. "Естественные
науки", 1(6), 2001. С.51-60.
4. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные схемы на нерегулярных сетках.
Доклады Академии наук РФ, 370(1), 2000. С. 27-30.
5. Коротеев А.С., Кошеляев Е.М., Решмин А.И. Космическая электроэнергетика
сегодня и завтра // Изв. РАН. Энергетика. № 5. 2001. С.3-16.
6. Кранихфельд Л.И., Рязанов И.Б. Теория, расчет и конструирование кабелей и
проводов. М.: Высш. шк., 1972. – 384 с.