Глава 6 Основы теории поля

Глава 6
Основы теории поля
В предыдущих главах уже широко применялись понятия векторных
и скалярных функций, а также, заимствованные из физики, понятия
векторных и скалярных полей. Поясним их различие на примере скалярных функций и полей. Образно говоря, функции отличаются от полей
тем, что первые есть просто функции многих аргументов, а аргументами
полей служат точки реального, окружающего нас, 3-мерного пространства. Типичным примером скалярного поля может служить температура
в разных точках неравномерно нагретого тела.
Если в пространстве задана система координат, то зависимость поля
от точек пространства выражают функциями 3-х аргументов – координат точек пространства. Тем не менее системы координат играют, при
описании полей, подчиненную роль: Они как бы служат каркасом, позволяющим изучать пространственные свойства полей на языке функциональных зависимостей. Поэтому при описании полей главный упор
делают на изучение инвариантных – независимых от систем координат
– свойств полей. Таких как поверхности уровня, векторные линии, градиент скалярных полей, дивергенция и ротор векторных полей. Ниже
изложены основы теории скалярных и векторных полей, и обсуждены
методы их аналитического и геометрического описания.
6.1
Скалярное поле
Начнем с обсуждения скалярных полей. Тот факт, что их аргумент
– точка M – принадлежит 3-мерному пространству, будем символизировать отношением M ∈ R3 , даже если в пространстве не задана система
координат.
Определение 6.1 Будем говорить, что в области W пространства
85
4
2
0
-2
-4
-4
-2
0
2
4
Рис. 6.1: График линий уровня двумерного скалярного поля u(x, y) =
x2 + 2y 2 + sin(xy) для равноотстоящих значений уровня c.
R3 задано скалярное поле, если в W определена однозначная скалярная
функция u(M )
u : (W ⊂ R3 ) 7→ R .
Пространственную структуру скалярных полей удобно описывать с
помощью поверхностей уровня:
Определение 6.2 Поверхностью уровня скалярного поля u(M ) называют множество точек M ∈ W, где u(M ) принимает конечное значение c:
u(M ) = c .
(6.1)
Очевидно, поверхности уровня заполняют всю область W: Любая
точка M области W лежит на своей поверхности уровня. Причем через любую точку M0 ∈ W проходит лишь одна поверхность уровня
u(M ) = u(M0 ). Действительно, в силу однозначности функции u(M ),
поверхности u(M ) = c1 и u(M ) = c2 (c1 6= c2 ) не имеют общих точек.
Пример: В случае двумерного пространства поверхности уровня вырождаются в линии уровня. На рис. 6.1 приведены линии уровня 2мерного скалярного поля
u(x, y) = x2 + 2y 2 + sin(xy) ,
заданного в декартовой системе координат {x, y}. Линии уровня соответствуют равноотстоящим значениям c. Видно, что чем быстрее возрастает
функция u(x, y), тем ближе расположены линии уровня. F
86
~ = ~i y + ~j z − ~k x.
Рис. 6.2: Изображение векторов векторного поля A
6.2
Векторное поле
Перейдем к обсуждению векторных полей:
Определение 6.3 Будем говорить, что в области W ⊂ R3 определено
~ ):
векторное поле, если задана однозначная векторная функция A(M
~ : (W ⊂ R3 ) 7→ R3 .
A
Замечание: Эквивалентное, но физически более наглядное, определение векторного поля можно сформулировать еще и так: В области W
~ ), если каждой точке M этой области поставзадано векторное поле A(M
~ 4
лен в однозначное соответствие (свой для каждой точки) вектор A.
Средством визуализации векторных полей служат векторные линии:
Определение 6.4 Пусть в области W ⊂ R3 задано векторное поле
~ ). Кривую L называют векторной линией поля A,
~ если в каждой
A(M
точке этой кривой направление касательной к ней совпадает с направ~ в этой точке.
лением A
~ задает напряженЗамечание: В тех случаях, когда векторное поле A
ность силовых полей, например гравитационного, электрического или
магнитного поля, векторные линии называют силовыми линиями. 4
Пример: На рис. 6.2 построены векторы, заданного в декартовой
системе координат, векторного поля
~ = ~i y + ~j z − ~k x .
A
87
(6.2)
Рис. 6.3: Иллюстрация к построению векторной линии.
Видно, что векторы в разных точках пространства, выстраиваясь в хвост
друг к другу, образуют цепочки, близкие к векторным линиям. F
~ проВ приложениях часто важно найти векторную линию поля A,
ходящую через заданную точку M0 . Укажем путь решения этой задачи,
считая что точки пространства идентифицируются радиус-вектором ~r.
Запишем искомое уравнение векторной линии L в виде ~r = ~r(t). Так
как производная ~r0 (t) векторного уравнения любой гладкой линии по параметру t есть вектор, касательный к линии, то, согласно определению
векторной линии, во всех ее точках должно выполняться векторное равенство
~
~r0 (t) = λA
(λ 6= 0) .
(6.3)
Его можно трактовать как дифференциальное уравнение относительно
векторной функции ~r(t). Если точка M0 имеет радиус-вектор ~r0 , то уравнение (6.3) следует дополнить условием Коши ~r(t0 ) = ~r0 . Иллюстрация
к построению векторной линии дана на рис. 6.3.
Если в пространстве задана декартова система координат, в которой
векторное поле задается в виде
~ y, z) = ~i P (x, y, z) + ~j Q(x, y, z) + ~k R(x, y, z) ,
A(x,
то
~r(t) = ~i x(t) + ~j y(t) + ~k z(t) ,
~r(t0 ) = ~i x0 + ~j y0 + ~k z0 ,
(6.4)
и задача нахождения векторной линии сводится к решению системы дифференциальных уравнений
dy
dz
dx
=
=
(6.5)
P (x, y, z)
Q(x, y, z)
R(x, y, z)
88
Рис. 6.4: Типичный пример векторной трубки.
с начальными условиями
x(t0 ) = x0 ,
y(t0 ) = y0 ,
z(t0 ) = z0 .
(6.6)
Совокупности векторных линий могут образовывать поверхности и
ограничивать куски пространства, принадлежащие области определения
~ Эти части пространства имеют специальное
W векторной функции A.
название, указанное в определении:
Определение 6.5 Пусть задано векторное поле
~ : (W ⊂ R3 ) 7→ R3 .
A
Часть пространства, ограниченную гладкой поверхностью S ⊂ W, называют векторной трубкой, если в любой точке M поверхности S выполнено равенство
³
´
~ ) = 0,
~n(M ) · A(M
(6.7)
где ~n(M ) -вектор нормали к поверхности S (см. рис. 6.4).
Нетрудно сообразить, что векторные трубки “сотканы” из векторных
линий: Выделив некоторый контур L ⊂ R3 , и проведя через все точки
контура векторные линии, получим, содержащую данный контур, векторную трубку (см. рис. 6.4).
Отметим еще тот важный факт, что любая, не принадлежащая векторной трубке, векторная линия целиком лежит внутри векторной трубки, или целиком находится вне ее.
6.3
Производная по объему
До сих пор мы рассматривали только функции скалярного или векторного аргумента. В теории поля ключевую роль играют, тесно свя89
занные со скалярными и векторными полями, скалярные и векторные
функции области (иногда их называют функционалами) F (T ), отображающие области T ⊂ R3 в Rm (m > 1).
Пример: Типичными физическими примерами функций области служат масса m(T ) вещества, заключенного в области T (m = 1), и его
суммарный импульс p~(T ) (m = 3). F
На функции области переносятся многие, привычные для математического анализа, понятия. Например понятие предела функции:
Определение 6.6 Пусть T ⊂ R3 произвольная область с объемом V (T ),
и F (T ) скалярная или векторная функция области T со значениями в
Rm (m > 1). Будем говорить, что предел F (T ), при стягивании области T в фиксированную точку M0 ∈ R3 , равен числу или вектору
A:
lim F (T ) = A ,
T →M0
если для любого ε > 0 существует такое число δ > 0, что для любой
области T , включающей в себя точку M0 и имеющей диаметр d(T ) 6 δ,
выполняется неравенство
kF (T ) − AkRm < ε .
Предел большинства физически значимых функций области, при стягивании области T в точку, равен нулю. Тем не менее, как правило, не
равны нулю и несут полезную информацию дифференциальные характеристики функций области. В частности, производная по объему:
Определение 6.7 Производной по объему от функции области F (T ),
T ⊂ R3 , в точке M ∈ R3 называют предел отношения
lim
T →M
F (T )
.
V (T )
(6.8)
Производной по объему от функции области является обычное, скалярное или векторное, поле. Так производной по объему массы m(T )
вещества внутри области T служит скалярное поле ρ(M ) объемной плотности вещества.
6.4
Градиент скалярного поля
Ранее, во второй главе, мы уже давали определение градиента скалярной функции: векторной функции, компоненты которой задаются
90
равенством (2.8). Только-что введенное понятие производной по объему дает возможность сформулировать универсальные, не опирающиеся
на какие-либо системы координат, определения основных дифференциальных операций над скалярными и векторными полями. Прежде всего
инвариантное определение градиента скалярного поля:
Определение 6.8 Пусть u : (W ⊂ R3 ) 7→ R –скалярное поле, и T ⊂
W –любая область, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой поверхностью S. Градиентом скалярного поля u(M ) в точке M0 назовем производную по объему от векторной функции
F~ (T ) =
ZZ
~n(M ) u(M ) dS ,
(6.9)
S
где ~n(M ) –внешняя нормаль к поверхности S:
grad u(M0 ) = lim
T →M0
1 ZZ
~n(M ) u(M ) dS .
V (T )
(6.10)
S
Еще раз подчеркнем, что, согласно данному определению, градиент
скалярного поля u(M ) выражает пространственные свойства поля, и может быть вычислен, даже если в пространстве не задана система координат. Однако аналитическое вычисление градиентов скалярных полей
требует наличия той или иной координатной системы. Следующая теорема дает алгоритм вычисления градиента в декартовой системе координат:
Теорема 6.1
Пусть u(x, y, z) ∈ C 1 (W). Тогда в любой точке M ∈ W с координатами
{x, y, z} градиент grad u функции u(x, y, z) существует и равен
∂u ~ ∂u ~ ∂u
grad u(x, y, z) = ~i
+j
+k
.
∂x
∂y
∂z
(6.11)
Доказательство: Пусть M0 ∈ T , где T ⊂ W –область, ограниченная
гладкой поверхностью S, и ~n = ~i cos α + ~j cos β + ~k cos γ нормаль к внешней стороне поверхности S. Применяя формулу Гаусса-Остроградского к
компонентам векторной функции области (6.9), а затем теорему о сред-
91
нем для возникающих при этом объемных интегралов, будем иметь
ZZ
~n(M ) u(M ) dS =
~i
ZZ
u(M ) cos α dS + ~j
S
SZZ
u(M ) cos β dS + ~k
S
u(M ) cos γ dS =
S
ZZZ
ZZZ
∂u
∂u
∂u
~
~
dV + j
dV + k
dV =
∂x
∂y
∂z
T
T
¯ T
¯
¯ !
!
Ã
ZZZ Ã
¯
¯
¯
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
¯
¯
¯
~i
+ ~j
+ ~k
dV = V (T ) ~i ¯¯ + ~j ¯¯ + ~k ¯¯
.
∂x
∂y
∂z
∂x M1
∂y M2
∂z M3
~i
ZZZ
ZZ
T
Здесь M1 , M2 , M3 –некоторые точки из области T . Очевидно, при стягивании T в точку M0 , все они стремятся к точке M0 : M1 → M0 , M2 → M0
и M3 → M0 . Следовательно, по определению градиента (6.10), и в силу
непрерывности первых частных производных функции u(x, y, z), справедливо равенство
grad u(M0 ) = lim
T →M0
¯
¯
~i ∂u ¯¯
∂x ¯
Ã
lim
M1 ,M2 ,M3 →M0
M1
¯
∂u ¯¯
~
+j ¯
∂y ¯
M2
1 ZZ
~n(M ) u(M ) dS =
V (T )
S
¯
∂u ¯¯
~
+k ¯
∂z ¯
M3
!
Ã
∂u ~ ∂u ~ ∂u
+j
+k
= ~i
∂x
∂y
∂z
!¯
¯
¯
¯
¯
.
M0
Теорема доказана. ¤
Укажем важное для дальнейшего побочное следствие только-что доказанной теоремы: В процессе ее доказательства возникло интегральное
равенство
ZZZ Ã
ZZ
~i ∂u + ~j ∂u + ~k ∂u
∂x
∂y
∂z
~n(M ) u(M ) dS =
S
T
!
dV .
Его можно записать в инвариантной (не зависящей от системы координат) форме
ZZ
ZZZ
grad u dV ,
(6.12)
~n u dS =
S
T
поскольку все входящие в предыдущее равенство величины определяются независимо от системы координат.
6.5
Свойства градиента скалярного поля
Градиент скалярного поля grad u(M0 ) обладает свойствами, позволяющими извлечь, не зависящую от систем координат, геометрическую и
92
физическую информацию о пространственном поведении поля u(M ) в
окрестности точки M0 .
Перечислим три основных свойства градиента, делающие его ценным
инструментом анализа геометрических и физических свойств скалярных
полей самой разной природы.
1. Связь градиента с производной по направлению:
Пусть u : (W ⊂ R3 ) 7→ R -скалярное поле. Если в точке M существует градиент поля u, и ~τ произвольный единичный вектор, то
в точке M существует производная по направлению, связанная с
градиентом равенством
∂u
= (grad u · ~τ ) .
∂~τ
(6.13)
Мы уже встречались с этим свойством применительно к произвольным арифметическим пространствам (см. формулу (2.12) 2-й главы). Тем
не менее формула (6.11) несет новую информацию, поскольку нам известен теперь инвариантный характер градиента, зависящего лишь от
свойств поля u(M ).
Чтобы лучше понять геометрический смысл равенства (6.13), выведем его еще раз. Будем опираться при этом на декартову систему координат (x, y, z), ясно сознавая ее вспомогательную роль.
Пусть в пространстве имеется гладкая кривая C, заданная равенством
~r = ~i x(`) + ~j y(`) + ~k z(`) ,
где ` естественный параметр кривой. Пусть, кроме того, задано скалярное поле u(M ) = u(x, y, z) -непрерывно-дифференцируемое в некоторой
области W ⊂ R3 , внутри которой лежит кривая C (C ⊂ W). Поведение
скалярного поля u(x, y, z) вдоль данной кривой описывается функцией
одного аргумента
f (`) = u(x(`), y(`), z(`)) ,
а скорость изменения поля вдоль кривой определяется производной этой
функции по длине кривой `. Согласно правилу дифференцирования функции сложного аргумента, она равна
∂u dx(`) ∂u dy(`) ∂u dz(`)
df (`)
=
+
+
.
d`
∂x d`
∂y d`
∂z d`
Вспоминая, что частные производные поля u(x, y, z) составляют компоненты его градиента в декартовой системе координат, а также, что
93
производные координат кривой C по ` равны направляющим косинусам
единичного вектора ~τ , касательного к кривой C (см. равенства (3.10)),
перепишем последнее равенство в инвариантной форме
df (`)
= (grad u · ~τ ) .
d`
(6.14)
Сравнивая (6.14) с (6.13), заодно обнаруживаем геометрический смысл
производной по направлению: Она равна производной поля u по естественному параметру ` вдоль любой гладкой кривой, проходящей через
точку M в заданном направлении ~τ .
Приведенное свойство позволяет указать
2. Физический смысл градиента:
Вектор grad u указывает направление наибыстрейшего возрастания
скалярного поля u, а длина этого вектора |grad u| равна скорости
возрастания поля в этом направлении.
В справедливости сказанного нетрудно убедиться, вспомнив, что скалярное произведение (6.13) вектора градиента на единичный вектор ~τ
равно модулю вектора градиента, умноженному на косинус угла между
ним и вектором ~τ :
³
´
∂u
\
= |grad u| cos grad
u, ~τ .
∂~τ
(6.15)
Отсюда видно, что производная по направлению принимает наибольшее
значение, если grad u ↑↑ ~τ .
Следующее свойство градиента вскрывает его связь с поверхностями
уровня скалярного поля.
3. Связь с поверхностью уровня:
Для непрерывно-дифференцируемого скалярного поля u : (W ⊂
R3 ) 7→ R в каждой точке M0 области W вектор grad u перпендикулярен к поверхности уровня u(M ) = u(M0 ), проходящей через эту
точку.
Действительно, как нетрудно сообразить, производная непрерывнодифференцируемого скалярного поля u по любому направлению ~τ , касательному поверхности уровня, вдоль которой поле u не меняет своего
значения, равна нулю. С другой стороны, та же производная задается
выражением (6.15), которое обращается в нуль, если
grad u ⊥ ~τ ,
94
что и требовалось доказать. Из данного свойства вытекает важное
Следствие: Градиент grad u(~r0 ) перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня в точке ~r0 , а уравнение этой плоскости имеет
вид
(grad u(~r0 ) · ~r − ~r0 ) = 0
или, в декартовой системе координат,
∂u(~r0 )
∂u(~r0 )
∂u(~r0 )
(x − x0 ) +
(y − y0 ) +
(z − z0 ) = 0 .
∂x
∂y
∂z
Мы перечислили геометрические и физические свойства градиента.
При аналитических построениях важны его дифференциальные свойства, которые указаны ниже.
3. Дифференциальные свойства:
Если u и v дифференцируемые скалярные поля, а f (u, v) -дифференцируемая функция своих аргументов, то
grad f (u, v) =
∂f
∂f
grad u +
grad v .
∂u
∂v
(6.16)
В частности, если f равно u + v, u v или u/v, то из (6.16) имеем
grad (u + v) = grad u + grad v ,
grad u v = v grad u + u grad v ,
µ ¶
u
v grad u − u grad v
grad
=
.
v
v2
(6.17)
Иными словами, градиент обладает теми же дифференциальными свойствами, что и дифференциал функции.
Данное свойство удобно доказывать в декартовой системе координат,
опираясь на свойства частных производных:
∂f ~ ∂f ~ ∂f
grad f (u, v) = ~i
+j
+k
=
∂x
∂y ! ∂zÃ
!
Ã
!
Ã
∂f ∂u ∂f ∂v
∂f ∂u ∂f ∂v
∂f ∂u ∂f ∂v
~
~
~
+
+j
+
+k
+
=
=i
∂u ∂x à ∂v ∂x
∂u ∂y
∂v Ã∂y
∂u ∂z !
∂v ∂z
!
∂f ~ ∂u ~ ∂u ~ ∂u
∂f ~ ∂v ~ ∂v ~ ∂v
=
+j
+k
+
+j
+k
=
i
i
∂u
∂x
∂y
∂z
∂v
∂x
∂y
∂z
∂f
∂f
grad u +
grad v .
=
∂u
∂v
95
Дадим два простейших примера вычисления градиента скалярного
поля.
Пример: Найдем градиент расстояния
q
x2 + y 2 + z 2
r = |~r| =
от начала координат O. Здесь ~r = ~i x + ~j ~ry + ~k z -радиус-вектор точки
M (x, y, z). По формуле (6.11) вычисления градиента в декартовой системе координат имеем
√ 2
√ 2
√ 2
2 + z2
2 + z2
∂
x
+
y
∂
x
+
y
∂
x + y2 + z2
grad r = ~i
+ ~j
+ ~k
=
∂x
∂y
∂z
x
y
z
= ~i √ 2
+ ~j √ 2
+ ~k √ 2
.
2
2
2
2
x +y +z
x +y +z
x + y2 + z2
Перепишем это равенство в инвариантной, не зависящей от системы координат, форме
~r
grad r = m
~ = .
(6.18)
r
Таким образом, градиент скалярного поля r равен единичному вектору m,
~ направленному от начала координат O. Результат геометрически
очевиден. Действительно, линиями уровня этого поля служат, вложенные друг в друга, сферы с центром в начале координат. Кроме того, r
служит естественным параметром для любого, испущенного из точки O,
луча. Поэтому величина (модуль) градиента всюду одинакова и равна
единице. F
Следующий пример имеет физическую подоплеку:
~ r),
Пример: При описании векторных электростатических полей E(~
физики широко используют понятие электростатического потенциала.
~ r) называют
По определению, электростатическим потенциалом поля E(~
~ r) равенством
скалярное поле ϕ(~r), связанное с E(~
~ r) = −grad ϕ(~r) .
E(~
(6.19)
Из физики известно, что электростатический потенциал точечного заряда величины q, расположенного в начале координат, равен
ϕ(~r) =
1 q
.
4πε r
(6.20)
Здесь ε -диэлектрическая проницаемость среды. Требуется найти электростатическое поле точечного заряда.
96
Пользуясь формулой вычисления градиента от функции сложного
аргумента, и равенством (6.18), имеем
~ r) = − q grad 1 = − q
E(~
4πε
r
4πε
µ ¶0
1
r
grad r =
q 1
m
~ .
4πε r2
Объединяя начало и конец промежуточных выкладок, получим окончательно
~ r) = q 1 m
E(~
~ .
(6.21)
4πε r2
Как и в предыдущем примере, поверхностями уровня скалярного электростатического потенциала ϕ(~r) служат концентрические сферы с центром в точке, где помещен заряд. Поэтому векторное электростатиче~ r), равное минус градиенту электростатического потенциаское поле E(~
ла, пропорционально единичному вектору m
~ (6.18). Модуль же электро2
статического поля, пропорциональный 1/r , уменьшается по мере удаления от точечного заряда. F
Замечание: По принятой терминологии, градиенты рассмотренных
в примерах полей относятся к центральным полям. Так называют векторные поля, имеющие структуру
~ r) = f (r) ~r = f (r) m
A(~
~ .
r
(6.22)
Их модуль одинаков во всех точках любой концентрической сферы с
центром в точке O, а векторными линиями служат лучи, испущенные из
этой точки. 4
6.6
Дивергенция векторного поля
Обсудим еще одну, имеющую многочисленные применения, дифференциальную операцию 1-го порядка. Ее называют дивергенцией. В противоположность операции градиента, превращающего скалярное поле в
векторное, дивергенция действует на векторные поля, а результатом действия этой операции оказывается скалярное поле. Как и в случае градиента, дивергенция выражает инвариантные, не зависящие от системы
координат, свойства векторного поля. Это видно из приведенного ниже
определения дивергенции:
~ : (W ⊂ R3 ) 7→ R3 .
Определение 6.9 Пусть задано векторное поле A
~ в точке M0 ∈ W называют производДивергенцией векторного поля A
97
ную по объему от потока векторного поля
´
1 ZZ ³ ~
div A(M0 ) = lim
~n · A(M ) dS ,
T →M0 V (T )
(6.23)
S
где ~n(M ) -внешняя нормаль к поверхности S, ограничивающей область
T ⊂ W.
Хотя нахождение дивергенции векторного поля не требует задания
в пространстве системы координат, в конкретных вычислениях полезно
знать способ вычисления дивергенции в декартовых координатах. Соответствующая формула содержится в следующей теореме:
Теорема 6.2
Если
~ ) = ~i P (x, y, z) + ~j Q(x, y, z) + ~k R(x, y, z) ,
A(M
непрерывно дифференцируемое в области W ⊂ R3 векторное поле, то
~ существует в любой точке M ∈ W, и вычисляется
дивергенция поля A
по формуле
~ ) = ∂P + ∂Q + ∂R .
div A(M
(6.24)
∂x
∂y
∂z
Доказательство: Зафиксируем некоторую точку M0 ∈ W, и возьмем некоторую область T и поверхность S из определения дивергенции.
По формуле Гаусса-Остроградского и теореме о среднем имеем
ZZ ³
S
´
ZZZ Ã
∂P
∂Q ∂R
~ ) dS =
~n · A(M
+
+
∂x
∂y
∂z
T
!
Ã
∂P
∂Q ∂R
= V (T )
+
+
.
∂x
∂y
∂z M =M ∗
!
dV =
Здесь M ∗ -внутренняя точка области T (M ∗ ∈ T ), такая что M ∗ → M0
при стягивании области T в точку M0 (T → M0 ). Используя определение
дивергенции, получаем окончательно
Ã
~ )=
div A(M
lim
∗
M →M0
∂Q ∂R
∂P
+
+
∂x
∂y
∂z
!
=
M =M ∗
∂P (M0 ) ∂Q(M0 ) ∂R(M0 )
+
+
.
∂x
∂y
∂z
Теорема доказана. ¤
Замечание: Данное выше инвариантное определение (6.23) дивергенции окончательно убеждает в инвариантности – независимости от
систем координат, формулы Гаусса-Остроградского, записанной в виде
равенства (5.8). 4
98
Рис. 6.5: Иллюстрация к вычислению потока жидкости через элементарную площадку dS.
6.7
Физический смысл потока и дивергенции
Векторные поля, дивергенцию которых вычисляют в разных физических приложениях, имеют самый различный физический смысл. Однако
всюду дивергенция векторного поля напрямую связана с потоками через
замкнутые поверхности S. Напомним, до сих пор мы пользовались фор~ r) через поверхность
мальным определением потока векторного поля A(~
S, отождествляя его с поверхностным интегралом 2-го типа
Π=
ZZ ³
´
~ · ~n dS .
A
(6.25)
S
Для лучшего осмысления связи понятий потока и дивергенции, подробно
обсудим физические истоки понятия потока.
Само понятие потока первоначально возникло в гидродинамике, при
описании движения несжимаемой жидкости, объемная плотность которой во всех точках пространства одинакова: ρ = const. Поскольку понятие гидродинамического потока ближе всего житейскому опыту, обсудим
его в первую очередь. Для пущей наглядности проиллюстрируем понятие потока двумерными картинками, где аналогом поверхности служат
кривые на плоскости.
Введем вначале понятие потока несжимаемой жидкости через элементарную площадку dS площадью σ[S]. Пусть ~v (~r) -поле скорости несжимаемой жидкости. Если элементарная площадка dS настолько мала, что
скорость жидкости во всех ее точках фактически одинакова, то масса
99
жидкости dΠ, протекающей через площадку в единицу времени, равна
dΠ = ρ |~v | σ[S] cos θ .
Здесь |~v | -величина скорости, а σ[S] cos θ -площадь проекции площадки
dS на плоскость, перпендикулярную направлению скорости жидкости ~v
(см. рис. 6.5). Заметив, что θ можно заменить углом между вектором
скорости жидкости ~v и нормалью ~n к площадке dS, получим окончательно
dΠ = ρ (~v · ~n) σ[S] .
(6.26)
Подсчитанную массу жидкости, протекающую в единицу времени через элементарную площадку dS, и называют потоком жидкости через
указанную площадку. Согласно определению потока (6.26), он положителен, если угол θ между скоростью жидкости и нормалью к поверхности
острый (жидкость втекает в ориентированную площадку dS), и отрицателен, если этот угол тупой (жидкость вытекает через dS).
Разбив, как это делалось при введении определенных интегралов, поверхность S на множество элементарных площадок Si , заменив в (6.26)
σ[S] на площадь σ[Si ] указанных площадок, а затем вычислив предел
суммы потоков через все, составляющие поверхность S, элементарные
площадки, при стремлении их диаметров к нулю, найдем, что полный
поток жидкости через поверхность S равен поверхностному интегралу
~ r) = ρ ~v (~r). Из сказанного ясно
2-го типа (6.25) от векторного поля A(~
также, что обсужденный выше гидродинамический поток равен скорости протекания массы жидкости через заданную поверхность.
Заметим еще, что имеются наглядные геометрические связи между
~ r) = ρ ~v (~r), его потоком, и величиной поля
векторными линиями поля A(~
~ Укажем эти связи, построив векторные линии так, чтобы поток жидA.
кости между соседними векторными линиями был одинаков (например,
~ r) через поверхность S будет пропорциравен dΠ). Тогда поток поля A(~
онален числу N пересекающих ее векторных линий: Π ∼ N . Возьмем
теперь плоский кусок поверхности ∆S настолько малого размера, что
~ имеет практически одинаковые величину и
во всех его точках поле A
направление. Поместим центр поверхности ∆S в точку ~r, и ориентируем
~ r). Тогда число ∆N пересекающих ∆S век∆S перпендикулярно полю A(~
~ и площадью dS поверхности
торных линий связано с величиной поля A
∆S соотношением
~ dS .
∆N ∼ ∆Π ' |A|
~ r) пропорциональна “густоте” векОтсюда видно, что величина поля A(~
100
Рис. 6.6: Векторные линии, “втекающие” и “вытекающие” через замкнутую поверхность.
торных линий в окрестности точки ~r:
~ r)| ∼
|A(~
∆N
.
∆S
Пусть каждая векторная линия, “втекающая” в замкнутую поверхность S, ограничивающую область W, затем “вытекает” из нее, как это
изображено на рис. 6.6. Тогда полный поток через поверхность S окажется равным нулю. Сказанное справедливо для любой замкнутой поверхности S, ограничивающей произвольную область T ⊂ W. Следовательно,
в любой точке области W, внутри которой векторные линии не заканчи~ (6.23) равна нулю. При этом
ваются и не возникают, дивергенция поля A
~ = 0 математически выражает закон сохранения массы
равенство div A
при отсутствии источников (или стоков) жидкости. Если же имеется источник жидкости, например конец шланга, из которого вода во все сто~ имеют вид,
роны растекается по лужайке, то векторные линии поля A
изображенный на рис. 6.7, а поток жидкости через любую замкнутую
поверхность, охватывающую конец шланга, не равен нулю. Мы привели
пример точечного источника жидкости. В природе встречаются и распределенные источники жидкости, например воды́, образующейся при
таянии льдины. В этом случае поток жидкости будет пропорционален
объему льдины, охваченной замкнутой поверхностью S. Соответственно, предел отношения потока через границу S, стягивающейся в точку
M области T , к его объему V (T ), называют плотностью источников
~ Согласно этой терминологии, дивергенция (6.23) поля A
~ в точке
поля A.
~
M0 равна плотности источников поля A в этой точке. Если же дивер101
Рис. 6.7: Векторные линии, начинающиеся в точке источника.
~ называют
генция отрицательна, как в случае испарения жидкости, div A
~ Заметим еще, что теперь мы можем дать
плотностью стоков поля A.
формуле Гаусса-Остроградского (5.8) наглядную физическую интерпре~ через поверхность S равен алгебраической сумме
тацию: Поток поля A
источников, заключенных внутри поверхности.
6.8
Ротор векторного поля
Кроме обсужденных выше градиента и дивергенции, в приложениях
часто встречается еще одна дифференциальная операция 1-го порядка,
называемая ротором, и отображающая векторные поля в векторные поля. Дадим инвариантное определение ротора:
~ : (W ⊂ R3 ) 7→ R3 .
Определение 6.10 Пусть задано векторное поле A
~ называют производную по объему
Ротором векторного поля A
~ 0 ) = lim
rot A(M
T →M0
i
1 ZZ h
~ ) dS ,
~n(M ) × A(M
V (T )
(6.27)
S
от векторной функции области
F~ (T ) =
ZZ h
i
~ ) dS .
~n(M ) × A(M
S
Здесь ~n(M ) внешняя нормаль к поверхности S, ограничивающей область T ⊂ W.
102
Способ вычисления ротора векторного поля в декартовой системе координат дает следующая
Теорема 6.3
Если
~ y, z) = ~i P (x, y, z) + ~j Q(x, y, z) + ~k R(x, y, z)
A(x,
непрерывно-дифференцируемое поле в области W ⊂ R3 , то ротор существует в любой точке M0 ∈ W, и вычисляется по формуле
¯
¯ ~i
¯
¯ ∂
¯
~
rot A(M0 ) = ¯¯
¯ ∂x
¯P
¯
~k ¯¯
∂ ¯¯ ~
¯ = i (Ry −Qz )+~j (Pz −Rx )+ ~
k (Qx −Py ) . (6.28)
∂z ¯¯
R¯
~j
∂
∂y
Q
Доказательство: Выберем произвольную точку M0 ∈ W, и пусть
T область, а S ограничивающая ее поверхность, фигурирующие в определении ротора. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского, а затем
теоремой о среднем, будем иметь
¯
ZZ ¯¯ ~i
¯
~ ) dS =
~n(M ) × A(M
¯cos α
¯
S ¯ P
ZZ
ZZ h
S
i
= ~i
+~j
ZZ
S
=
¯
~k ¯¯
~i
¯
cos β cos γ ¯¯ dS =
Q
R ¯
(R cos β − Q cos γ) dS+
S
(P cos γ − R cos α) dS + ~k
ZZZ n
ZZ
(Q cos α − P cos β) dS =
S
o
~i(Ry − Qz ) + ~j(Pz − Rx ) + ~k(Qx − Py ) dV =
T
¯
¯ ~i
¯
¯ ∂
¯
= V (T ) ¯
¯ ∂x
¯
¯P
~j
∂
∂y
Q
¯
~k ¯¯
∂ ¯¯
¯
,
∂z ¯¯
R ¯M1 ,M2 ,M3
где M1 , M2 , M3 точки, принадлежащие области T , для которых с очевидностью выполняются соотношения M1 → M0 , M2 → M0 , M3 → M0 .
Следовательно из верхних равенств и определения ротора (6.27) получаем равенство (6.28). ¤
Укажем важное следствие приведенных выше соотношений.
Следствие: Равенство
ZZ h
i
~ dS =
~n × A
S
ZZZ n
o
~i(Ry − Qz ) + ~j(Pz − Rx ) + ~k(Qx − Py ) dV ,
T
103
Рис. 6.8: К определению скорости вращения колесика в жидкости.
полученное в ходе доказательства предыдущей теоремы, и связывающее
поверхностный и объемный интегралы, можно записать в инвариантной
форме
ZZ h
ZZZ
i
~ dS =
~ dV .
~n × A
rot A
(6.29)
S
T
Дадим еще одно инвариантное, то есть независящее от систем координат, определение ротора. Оно опирается на уже знакомую инвариантную
форму записи формулы Стокса
I ³
´
~ · ~τ d` =
A
ZZ ³
´
~ dS .
~n · rot A
(6.30)
S
C
Пусть S -плоская площадка, направление нормали к которой одинаково во всех точках площадки S (~n = const). Тогда, согласно теореме о
среднем, справедливо равенство
ZZ ³
´
~ dS = S
~n · rot A
¯
´¯¯
~ ¯
~n · rot A
¯
¯
³
S
,
M∗
где S -площадь площадки S, а M ∗ ∈ S. Стягивая затем площадку S
~ непрерывным, получим определение
в точку M0 , и считая поле rot A
проекции ротора на выбранное направление ~n:
H³
³
´
~ = lim
~n · rot A
S→M0
´
~ · ~τ d`
A
C
S
.
(6.31)
Здесь направление вектора ~n и направление обхода контура C считаются
согласованными.
104
6.9
Физический смысл ротора
Наиболее наглядно, физический смысл ротора удается пояснить на
примере поля скорости ~v (~r) жидкости. Мысленно поместим в жидкость
маленькое колесико K с центром в точке M0 , способное вращаться лишь
вокруг своей оси, направление которой определяется единичным вектором ~n. Под воздействием окружающей жидкости, колесико будет вращаться с некоторой скоростью, зависящей как от поля скорости жидкости в окрестности колесика, так и от ориентации оси вращения. Будем
считать экспериментально установленным, что скорость вращения колесика равна, усредненным по его ободку, проекциям скорости жидкости
в точках ободка, на касательные к ободку направления ~τ (см. рис. 6.8).
Сказанное математически выражается равенством
V =
1 I
(~v · ~τ ) d` .
2πR
C
Здесь V величина линейной скорости точек обода колесика, R -его радиус, а C -контур обода колесика. Соответственно, угловая скорость вращения колесика равна
ω=
V
1 I
1 I
=
(~
v
·
~
τ
)
d`
=
(~v · ~τ ) d` .
R
2πR2
2S
C
C
Устремляя радиус колесика к нулю, и пользуясь предельным равенством
(6.31), обнаруживаем, что угловая скорость вращения бесконечно-малого
колесика равна половине проекции, на направление оси колесика, ротора
поля скорости в его центре
1
(~n · rot ~v ) .
2
Причем угловая скорость вращения колесика оказывается максимальной, если ~n · rot ~v . Отметим в заключение, что вектор
ω=
1
rot ~v
(6.32)
2
можно трактовать как вектор угловой скорости вращения бесконечномалой жидкой частицы. В справедливости формулы (6.32) убеждает следующий пример:
Пример: Пусть абсолютно жесткое тело вращается вокруг центральной точки O с угловой скоростью ω
~ . Тогда векторное поле скорости точек
тела равно
~v (~r) = [~ω × ~r] .
ω
~ =
105
Вычислим ротор этого векторного поля в декартовой системе координат
с центром в точке O. Подставив выражение для поля ~v (~r)
~v (~r) = ~i (ωy z − ωz y) + ~j (ωz x − ωx z) + ~k (ωx y − ωy x) ,
где (ωx , ωy , ωz ) -компоненты вектора угловой скорости ω
~ , в формулу (6.28),
после несложных выкладок вернемся к формуле (6.32). F
106
Глава 7
Дифференциальное исчисление
векторного анализа
В предыдущей главе мы обсудили основные характеристики скалярных и векторных полей, и ввели, применимые к ним, инвариантные дифференциальные операции 1-го порядка – градиент, дивергенцию и ротор.
В данной главе подробно обсуждаются свойства этих и некоторых других инвариантных дифференциальных операций векторного анализа.
7.1
Оператор Гамильтона и вектор набла
Вычисления градиента скалярных полей, а также дивергенции и ротора векторных полей обычно оказываются проще и геометрически нагляднее, если записывать их на языке оператора Гамильтона, который
чаще называют вектором набла. Это дифференциальный оператор, имеющий в декартовой системе координат вид:
~ = ~i ∂ + ~j ∂ + ~k ∂ .
∇
∂x
∂y
∂z
(7.1)
Название “набла” происходит от греческого слова ναβλα –арфа – на~
звания музыкального инструмента, напоминающего по форме значок ∇.
~ можно усмотреть и более глубокое родство. Как арфа
Между арфой и ∇
~ наполняобретает звучание лишь в руках музыканта, так и оператор ∇
ется содержанием лишь в совокупности со скалярными или векторными
полями, к которым его применяют. Действительно, в отличие от обычного вектора, компонентами вектора набла служат не числа, а дифференциальные операторы. Поэтому сам по себе вектор набла не имеет величины и направления. Тем не менее, будучи приложенным к скалярному
107
или векторному полю, он порождает обычные, векторные или скалярные, поля. К примеру, домножив вектор набла справа на скалярное поле
u(x, y, z) или, как еще говорят, подействовав оператором набла на поле
u, получим его градиент:
~ u = ~i ∂u + ~j ∂u + ~k ∂u .
grad u = ∇
(7.2)
∂x
∂y
∂z
Аналогично, дивергенция векторного поля равна скалярному произведе~
нию вектора набла и заданного векторного поля A:
~ = (∇
~ · A)
~ = ∂P + ∂Q + ∂R ,
div A
(7.3)
∂x
∂y
∂z
а ротор равен векторному произведению набла с данным вектором:
¯
¯
¯ ~i
~k ¯¯
~j
¯
¯
∂
∂ ¯¯
~ = [∇
~ × A]
~ = rot A(M
~ ) = ¯¯ ∂
rot A
¯ .
(7.4)
¯ ∂x ∂y ∂z ¯
¯
¯
¯ P
Q R ¯
~ в выбранной декартовой системе
Здесь (P, Q, R) –компоненты вектора A
координат.
Первые равенства в (7.2)-(7.4) являются, по определению, разными
формами записи градиента, дивергенции и ротора произвольных полей
~ Поскольку перечисленные дифференциальные операции опредеu и A.
лены инвариантными равенствами (6.10), (6.23), (6.27), то говорят, что
и действие вектора набла на скалярные и векторные поля не зависит от
систем координат, и определяется упомянутыми равенствами:
1 ZZ
~
∇ u = lim
~n u dS ,
T →M V (T )
S
1 ZZ ³ ~ ´
~
~
(∇ · A) = lim
~n · A dS ,
T →M V (T )
S
i
1 ZZ h
~
~
~ dS .
~n × A
[∇ × A] = lim
T →M V (T )
S
Соответственно, формулу Гаусса-Остроградского (5.8), а также родственные формулы (6.12) и (6.29) часто записывают в легко запоминающейся
форме
ZZ
ZZZ
~ dV ,
~n u dS =
∇u
ZZ ³S
´
T
ZZZ
S h
RR
i
T
~ dS =
~n · A
h
~ · A)
~ dV ,
(∇
i
~ ×A
~ dV ,
~ dS = RRR ∇
~n × A
S
T
108
(7.5)
где переход от поверхностного к объемному интегралу сопровождается
заменой вектора нормали на вектор набла. Отметим еще, что три последние формулы в совокупности составляют содержание так называемой
общей теоремы Гаусса-Остроградского.
7.2
Действия с вектором набла
Популярность вектора набла среди физиков и инженеров обусловлена
тем, что многие нетривиальные свойства скалярных и векторных полей
удается раскрыть, обращаясь с вектором набла как с обычным вектором,
и пользуясь привычными правилами векторной алгебры. Так довольно
громоздкие выкладки, проведенные в декартовой системе координат, показывают, что имеют место тождества:
~,
rot grad U ≡ O
~ ≡ 0.
div rot A
(7.6)
~ все компоненты которого равны нулю.
Сюда вошел нулевой вектор O
В то же время эти тождества, будучи выраженными на языке вектора
набла:
~ ×∇
~ U ] = [∇
~ × ∇]
~ U =O
~U ≡O
~,
[∇
~ · [∇
~ ×A
~ ]) = (∇,
~ ∇,
~ A
~ ) ≡ 0,
(∇
кажутся очевидными – как бы вытекают из геометрического смысла векторного и смешанного произведений. В самом деле, левая часть первого
из них содержит векторное произведение двух “параллельных векторов”
~ отличающихся лишь “скалярным множителем” U . А как известно,
∇,
векторное произведение коллинеарных векторов всегда равно нулю. Второе же тождество справедливо, поскольку в нем присутствует смешанное
произведение трех векторов, два из которых одинаковы. Конечно, подобное слишком вольное обращение с выражениями, содержащими вектор
набла, может давать и сбои. Так несмотря на то, что векторное произ~ × ∇V
~ ] содержит два “параллельных вектора” ∇,
~ нетрудно
ведение [∇U
убедиться, что данное векторное произведение нулем вообще говоря не
является, поскольку векторные поля grad U и grad V в одной и той же
точке могут иметь разные направления.
Тем не менее можно строго доказать, что преобразование выражений,
содержащих вектор набла, по правилам векторной алгебры всегда дает
правильный результат, если придерживаться двух естественных правил.
Прежде всего не стоит забывать, что вектор набла – линейный дифференциальный оператор 1-го порядка. Поэтому, действуя им на произведение полей, необходимо руководствоваться известными правилами
вычисления производной сумм и произведений.
109
Проиллюстрируем сказанное на примере дивергенции произведения
скалярного и векторного полей:
~ = (∇
~ · UA
~ ).
div (U A)
Согласно законам дифференциального исчисления, оператор набла должен вначале действовать на первый сомножитель, а затем на второй.
Запишем сказанное на языке формул:
↓
↓
~ · UA
~ ) = (∇·
~ UA
~ ) + (∇
~ ·U A
~ ).
(∇
Здесь вертикальная стрелка указывает на тот сомножитель, к которому
~ Оставшийся множитель
в данном слагаемом применяется оператор ∇.
~ что дает:
можно “высвободить” из под оператора ∇,
~ · UA
~ ) = (∇U
~ ·A
~ ) + U (∇
~ ·A
~ ).
(∇
В итоге мы вывели полезную формулу векторного анализа. Запишем
ее еще раз, в форме, не привлекающей вектор набла:
~ = (∇
~ · U A)
~ = (A
~ · grad U ) + U div A
~.
div (U A)
Второе правило обращения с вектором набла состоит в том, что для
получения осмысленных формул надо, пользуясь свойствами скалярных
и векторных произведений обычных векторных полей, переставлять вектор набла до тех пор, пока вектор набла не примет “надлежащее положение” – слева от поля, на которое он должен действовать.
Пример: Найдем, с учетом обоих правил, еще одно важное соотношение. А именно выясним, чему равна дивергенция векторного произведения векторных полей. Согласно дифференциальной природе вектора
набла имеем:
↓
↓
~ .
~ ×B])
~ + (∇
~ · [A×
~ B])
~ · [A
~ × B])
~ = (∇
~ · [A
(∇
(7.7)
Воспользуемся далее тем хорошо известным фактом, что смешанное произведение не меняется при циклической перестановке входящих в него
векторов:
↓
~ ×B])
~ = (B
~ · [∇
~ × A])
~ = (B
~ · rot A
~ ).
~ · [A
(∇
Мы убрали вертикальную стрелку во второй части равенства, поскольку
~
уже нет сомнений, на какое из полей действует вектор ∇.
110
~и
Во втором слагаемом в (7.7) поменяем вначале местами векторы A
~ из-за чего знак векторного произведения сменится на обратный, а уж
B,
затем воспользуемся циклической перестановкой:
↓
↓
~ · [A×
~ B])
~ = −(∇
~ · [B
~ ×A])
~ = −(A
~ · [∇
~ × B])
~ = (A
~ · rot B
~ ).
(∇
Таким образом, придерживаясь упомянутых правил обращения с вектором набла, мы довольно легко вывели еще одну важную формулу векторного анализа:
~×B
~ ] = (B
~ · rot A)
~ − (A
~ · rot B)
~ .
div [A
F
(7.8)
Рассмотрим еще один характерный пример работы с вектором набла.
Пример: Мы уже достаточно набили руку на манипуляциях с вектором набла, и в состоянии вывести довольно часто встречающуюся в
приложениях формулу для градиента скалярного произведения векторных полей:
~·B
~)=∇
~ (A
~·B
~ ).
grad (A
Следуя 1-му правилу, разобьем его на сумму двух слагаемых:
↓
↓
~ (A
~·B
~)=∇
~ (A
~ ·B
~ )+∇
~ (A·
~ B
~ ).
∇
(7.9)
Вспомним затем знаменитую формулу “bac минус cab” для двойного векторного произведения
[~a × [~b × ~c ]] = ~b (~a · ~c ) − ~c (~a · ~b ) ,
(7.10)
которую перепишем в подходящей для наших целей форме:
~c (~a · ~b ) = [~a × [~c × ~b ]] + (~a · ~c )~b .
~ ~a = A
~ и ~b = B.
~ В итоге придем к равенству,
Положим здесь ~c = ∇,
раскрывающему действие вектора набла во втором слагаемом справа в
(7.9):
↓
~ ) = [A
~ × [∇
~ ×B
~ ]] + (A
~ · ∇)
~ B
~.
~ (A·
~ B
∇
Аналогично, для первого слагаемого в (7.9) имеем:
↓
↓
~ ) = [B
~ × [∇
~ × A]]
~ + (B
~ · ∇)
~ A
~.
~ ·B
~)=∇
~ (B·
~ A
~ (A
∇
111
Подставив последние два равенства в (7.9), получаем:
~ (A
~·B
~ ) = [A
~ × [∇
~ ×B
~ ]] + [B
~ × [∇
~ ×A
~ ]] + (A
~ · ∇)
~ B
~ + (B
~ · ∇)
~ A
~.
∇
Таким образом, оперируя с вектором набла, мы вывели следующую формулу векторного анализа:
~·B
~ ) = [A
~ × rot B]
~ + [B
~ × rot A]
~ + (A
~ · ∇)
~ B
~ + (B
~ · ∇)
~ A
~.
grad (A
(7.11)
~ ≡ B:
~
Наиболее часто в приложениях возникает ее частный случай при A
1
~ × rot A
~ ] + (A
~ · ∇)
~ A
~.
grad A2 = [A
2
F
(7.12)
~ ∇),
~ родственЗамечание: В последнее слагаемое вошел оператор (A·
ный оператору производной по направлению. В декартовой системе координат он принимает вид:
~ · ∇)
~ =P ∂ +Q ∂ +R ∂ .
(A
∂x
∂y
∂z
(7.13)
Иногда его записывают в форме производной по вектору:
~ · ∇)
~ = d
(A
~
dA
(7.14)
и переписывают равенство (7.9) в виде
~
~
~·B
~ ) = [A
~ × rot B]
~ + [B
~ × rot A]
~ + dA + dB .
grad (A
~
~
dB
dA
В качестве справки приведем одну полезную частную формулу, отражающую свойства оператора (7.14). А именно, выясним чему равно действие этого оператора на радиус-вектор. Несложные выкладки в декартовой системе координат дают:
d~r
~ · ∇)
~ ~r = A
~.
= (A
~
dA
4
Пример: Дадим еще один пример вывода, с помощью вектора набла, полезной формулы векторного анализа, содержащей производную по
векторному полю (7.14). Обсудим ротор векторного произведения
h
↓
i
↓
~ ].
~ ×B]
~ ] + [∇
~ × [A×
~ B]
~ × B]
~ = ∇
~ × [A
~ × B]
~ = [∇
~ × [A
rot [A
112
Согласно формуле bac минус cab имеем
↓
~ × [A
~ ×B]
~ ] = A(
~ ∇
~ ·B
~ ) − B(
~ ∇
~ ·B
~)=
[∇
~
~ ·B
~ )A
~−B
~ div A
~ = dA − B
~ div A
~.
(∇
~
dB
Аналогично
↓
~
dB
~
~
~
~ div B
~.
[∇ × [A× B] ] = −
+A
~
dA
Таким образом окончательно
~
~
~ × B]
~ =A
~ div B
~ −B
~ div A
~ + dA − dB .
rot [A
~
~
dB
dA
F
(7.15)
В качестве самостоятельного упражнения, предлагаем читателю, с
помощью правил обращения с вектором набла, вывести следующую полезную формулу
h
i
~ ) = u rot A
~ + grad u × A
~ .
rot (u A
(7.16)
Отметим в заключение, что наряду с оператором (7.13), в приложени~ ∇],
~ в декартовой системе координат
ях иногда применяется оператор [A×
равный
Ã
~ × ∇]
~ = ~i Q ∂ − R ∂
[A
∂z
∂y
!
Ã
+ ~j
∂
∂
R
−P
∂x
∂z
!
Ã
+ ~k
∂
∂
P
−Q
∂y
∂x
!
.
~ = ~iP + ~jQ + ~kR. Появление этого
Здесь как обычно принято, что A
оператора иллюстрирует очевидная цепочка равенств
~ × grad u] = [A
~×∇
~ u] = [A
~ × ∇]
~ u.
[A
7.3
Потенциальные поля
Мы уже вводили, в разделе 3.7, понятие потенциального векторного
поля, опираясь на его интегральное свойство: Криволинейный интеграл
2-го типа от потенциального поля не зависит от кривой интегрирования,
а лишь от начальной и конечной точек этой кривой. Не менее важно
определение потенциального поля, опирающееся на дифференциальную
операцию градиента:
113
~ : (W ⊂ R3 ) 7→ R3 называют поОпределение 7.1 Векторное поле A
тенциальным, если оно представимо в виде
~ ) = grad U (M ) .
A(M
(7.17)
При этом поле U (M ) называют (скалярным) потенциалом векторного
~ ).
поля A(M
Новизна формулы (7.17), по сравнению с аналогичным определением потенциального векторного поля (3.24), состоит в том, что сейчас мы
ясно осознаем инвариантный, не зависящий от систем координат, смысл
понятия потенциального векторного поля. Как видно из (7.17), свойства
потенциальных векторных полей однозначно определяются их потенциалом U (M ). Естественно задаться вопросом: Можно ли, по заданному
~ определить его потенциал U . Ответ на него
потенциальному полю A,
дает следующая
Теорема 7.1
Если векторное поле задается равенством (7.17), то его потенциал определяется с точностью до постоянного слагаемого.
Доказательство: Пусть имеются два скалярных потенциала, U (M )
и V (M ), определяющих одно и то же потенциальное векторное поле:
~ ) = grad U (M ) ,
A(M
~ ) = grad U (M ) .
A(M
Вычитая 2-е равенство из 1-го, найдем, что градиент разности указанных
потенциалов тождественно равен нулю:
grad [U (M ) − V (M )] ≡ 0 .
В свою очередь это означает, что равна нулю производная скалярного
поля U − V по любому направлению ~τ :
∂U −V
= (grad [U − V ] · ~τ ) ≡ 0 .
∂~τ
Единственная функция, производная которой по любому направлению
равна нулю, есть константа. Следовательно
U (M ) − V (M ) ≡ const ,
что и требовалось доказать. ¤
Другой естественный вопрос, возникающий при обсуждении потенциальных векторных полей, состоит в следующем: При каких условиях
~ ) можно представить в виде (7.17). Полезные сведевекторное поле A(M
ния на эту тему дает
114
Теорема 7.2
~ )
Для того, чтобы непрерывно-дифференцируемое векторное поле A(M
было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество
~ ≡ 0.
rot A
(7.18)
Доказательство: Необходимость условия (7.18) вытекает из 1-го
~ = grad U , то
тождества (7.6). Действительно, если A
h
i
~ = rot grad U = ∇
~ ×∇
~ ≡O
~.
rot A
Достаточность условия (7.18) удобнее всего доказывать, расписав его в
~ ≡ 0. Это означает, что
декартовой системе координат. Пусть rot A
¯
¯ ~i
¯
¯
~ = ¯¯ ∂
rot A
¯ ∂x
¯
¯P
или
~j
∂
∂y
Q
¯
~k ¯¯
∂ ¯¯ ~
~,
¯ = i (Ry − Qz ) + ~j (Pz − Rx ) + ~
k (Qx − Py ) ≡ O
∂z ¯¯
R¯
∂P
∂Q
≡
,
∂y
∂x
∂P
∂R
≡
,
∂z
∂x
∂Q
∂R
≡
.
∂z
∂y
Последние тождества являются условиями полного дифференциала для
P dx + Qdy + Rdz, то есть существования такой функции U (x, y, z), что
P dx + Qdy + Rdz = dU ,
где
P =
∂U
,
∂x
Q=
∂U
,
∂y
R=
∂U
.
∂z
Отсюда следует, что
~ = ~i P + ~j Q + ~k R = ~i ∂U + ~j ∂U + ~k ∂U = grad U .
A
∂x
∂y
∂z
Теорема доказана. ¤
~ в виПользуясь представлением потенциального векторного поля A
де (7.17), выведем еще раз уже знакомую формулу (3.26). Рассмотрим
~ взятый
криволинейный интеграл от потенциального векторного поля A,
по произвольной гладкой кривой C, соединяющей точки M0 и M . В силу
(7.17) имеем
ZM
M0
~ · d~r) =
(A
ZM
ZM
(grad · d~r) =
M0
dU = U (M ) − U (M0 ) .
M0
115
Отсюда следует, что скалярный потенциал U (M ) потенциального векторного поля можно найти по формуле
ZM
U (M ) =
~ · d~r) + C ,
(A
(7.19)
M0
где C -произвольная постоянная.
7.4
Соленоидальные поля
Еще одной важной разновидностью векторных полей являются соленоидальные поля:
~ : (W ⊂ R3 ) 7→ R3 называют солеОпределение 7.2 Векторное поле A
ноидальным, если оно представимо в виде
~ ) = rot B(M
~
A(M
).
(7.20)
~ называют векторным потенциалом поля A.
~
При этом B
Каждому соленоидальному полю отвечает множество векторных потенциалов. “Степень свободы” задания векторного потенциала определяет
Теорема 7.3
Векторный потенциал соленоидального поля определяется с точностью
до grad ϕ, где ϕ(M ) произвольное скалярное поле.
Доказательство: Пусть одновременно справедливы оба равенства
~
~ иA
~ = rot C.
~ Тогда rot [B
~ − C]
~ ≡ O.
~ С другой стороны известно,
A = rot B
что ротор любого потенциального векторного поля тождественно равен
~ C
~ -потенциальное поле, представимое
нулю. Следовательно, разность B−
в виде
~ −C
~ = grad ϕ .
B
¤
Условия соленоидальности векторного поля содержит
Теорема 7.4
~ было соленоиДля того, чтобы непрерывно-дифференцируемое поле A
дальным, необходимо и достаточно, чтобы
~ ≡ 0.
div A
116
(7.21)
Доказательство: Необходимость условия (7.21) вытекает из 2-го
~ = rot B.
~ Тогда
тождества (7.6): Пусть A
~ = div rot B
~ ≡ 0.
div A
Достаточность удобно доказывать, опираясь на декартову систему
координат. Пусть задано векторное поле
~ y, z) = ~i P (x, y, z) + ~j Q(x, y, z) + ~k R(x, y, z) .
A(x,
Надо доказать, что его можно представить в виде (7.20), где
~
B(x,
y, z) = ~i B1 (x, y, z) + ~j B2 (x, y, z) + ~k B3 (x, y, z) .
Очевидно, входящие сюда функции должны удовлетворять следующей
системе дифференциальных уравнений в частных производных

∂B3 ∂B2


−
,
P =



∂y
∂z





∂B1 ∂B3


−
,

Q =
∂z
∂x

∂B2 ∂B1



−
,
P =

∂x
∂y






 ∂P + ∂Q + ∂R = 0 .

∂x
7.5
∂y
∂z
Дифференциальные операции 2-го порядка
Выше мы подробно обсудили векторные дифференциальные операции 1-го порядка – градиент дивергенцию и ротор. В приложениях векторного анализа приходится иметь дело с различными комбинациями
этих основных операций. Особенно часто встречаются дифференциальные операции 2-го порядка, то есть попарные комбинации 3-х указанных выше операций 1-го порядка. Подобно последним, соответствующие
дифференциальные операции 2-го порядка инвариантны – не зависят от
используемой системы координат.
Комбинируя попарно символы grad, div и rot, можно составить из них
32 = 9 пар. Однако не все из них имеют смысл. Например, операция
~
rot div A
117
бессмысленна, поскольку ротор действует лишь на векторные поля. Наглядное представление о разрешенных дифференциальных операциях 2го порядка дает следующая таблица:
~
div A
grad u
~
rot A
~
grad div A
grad
div
div grad u
rot
rot grad u ≡ 0
~≡0
div rot A
~
rot rot A
в которой пустые клетки отвечают не имеющим смысла сочетаниям дифференциальных операторов 1-го порядка. Кроме того в 2-х клеточках
оказались тривиальные операции, при действии которых на произвольные поля получается тождественный нуль. В итоге, применительно к скалярному полю u(M ), имеется всего одна осмысленная и нетривиальная
операция div grad u(M ). Поскольку именно она чаще всего встречается
в приложениях, обсудим ее подробнее. Выразив эту операцию на языке
вектора набла, получим
´
³
³
´
~ ·∇
~ u.
~ ·∇
~ u = ∇
div grad u = ∇
(7.17)
Действующий здесь на поле u(M ) дифференциальный оператор 2-го порядка, равный скалярному произведению векторов набла, называют оператором Лапласа и символизируют значком ∆. Кроме того, поскольку
скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его длины, то, особенно в западной научной литературе, оператор Лапласа обозначают еще и так: ∆ ≡ ∇2 . Таким образом, имеются три общеупотребительные формы записи действия оператора Лапласа на скалярное поле
u(M ):
∆ u(M ) ≡ ∇2 u(M ) ≡ div grad u(M ) .
Естественно, результат действия оператора Лапласа на поле u(M )
зависит лишь от пространственных свойств поля, и не зависит от систем
координат. Тем не менее полезно знать способ вычисления лапласиана
в заданных координатах. Как следует из (7.17) и (7.1), в декартовой
системе координат лапласиан поля u(x, y, z) вычисляется по формуле
∆u =
∂ 2u ∂2u ∂ 2u
+
+
.
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
118
(7.18)
В приложениях часто надо знать результат действия лапласиана на
произведение двух скалярных полей. Пользуясь равенством (7.18) и формулой Лейбница для производной произведения, легко вывести формулу,
в инвариантной форме записи имеющую вид
³
´
~ · ∇v
~
∆uv = v∆u + u∆v + ∇u
.
()
Приведем в заключение связь между оператором Лапласа и двумя
нетривиальными дифференциальными операциями 2-го порядка, действующими на векторные поля. Пользуясь формулой bac минус cab (7.10),
будем иметь
h
h
ii
~= ∇
~ × ∇
~ ×A
~
rot rot A
³
´
~ ∇
~ ·A
~ − ∇2 A
~,
=∇
или в традиционных обозначениях
~ = grad div A
~ − ∆A
~.
rot rot A
()
Расшифруем действие лапласиана на векторную функцию в последнем
слагаемом. В декартовой системе координат он действует на каждую
компоненту векторного поля как на скалярное поле:
~ = ~i ∆P + ~j ∆Q + ~k ∆R .
∆A
119