Момент количества движения материальной точки

Введение
Динамика – это раздел теоретической механики,
изучающий движение твердых тел и их систем во
взаимосвязи с силами, вызывающими это движение.
Динамика обобщает законы, рассматриваемые в разделах
«Статика» и «Кинематика».
В основе динамики лежат законы, сформулированные
Ньютоном. Эти законы действуют только в
инерциальных системах отсчета, рассматриваемых в
разделе «Динамика».
Законы Ньютона
1-й закон инерции:
Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного
движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние.
2-й закон:
Ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет
одинаковое с ней направление
3-й закон равенства действия и противодействия:
Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное
противодействие.
4-й закон независимости действия сил:
Несколько одновременно действующих на материальную точку сил сообщают
точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их
геометрической сумме.
Основное уравнение динамики
Рассмотрим 2-й закон Ньютона:
где
- равнодействующая всех сил,
действующих на точку.
В результате получим:
- основное уравнение
динамики точки
Дифференциальные уравнения движения
материальной точки
Движение материальной точки может быть задано в трех формах:
векторной, координатной и естественной.
Получим дифференциальные уравнение движения материальной точки в
этих формах, опираясь на основное уравнение динамики.
1. Векторная форма
2. Координатная форма
3. Естественная форма
Основные задачи динамики точки
Динамика решает две основные задачи:
1. Прямая задача: по известному закону движения
точки найти равнодействующую всех сил,
приложенных к этой точке.
2. Обратная задача: по известным силам,
действующим на материальную точку, определить
закон ее движения.
Импульс силы характеризует передачу материальной точке механического движения со
стороны действующих на нее тел за данный промежуток времени
Импульсом постоянной по модулю и направлению силы, действующей в течение
промежутка времени
, называется вектор
, направление
которого совпадает с направлением вектора силы.
Модуль вектора импульса определяется по формуле
.
Импульсом переменной силы, действующей на точку в течение промежутка
времени
, называется вектор, равный интегралу от вектора силы за
промежуток времени
:
Определим модуль вектора импульса:
,
проекции вектора импульса;
- модуль вектора импульса.
,
-
Количество движения материальной точки
Количество движения материальной точки – это вектор,
имеющий направление вектора скорости
и равный
по модулю произведению массы точки на модуль ее скорости
Теорема об изменении количества движения
материальной точки
Дифференциальная форма теоремы:
Производная по времени от количества движения материальной точки равна
геометрической сумме всех сил, действующих на точку
Следствия:
1. Если геометрическая сумма всех сил, действующих на точку, равна 0, то точка
движется равномерно и прямолинейно или остается в покое
, =>
2. Если сумма проекций всех сил на какую-либо ось равна 0, то относительно
данной оси материальная точка движется равномерно и прямолинейно или
остается в покое
, =>
Теорема об изменении количества движения
материальной точки
Интегральная форма теоремы (Теорема импульсов):
Изменение количества движения материальной точки за
некоторый промежуток времени равно геометрической
сумме импульсов всех сил, действующих на точку, за тот
же промежуток времени.
Момент количества движения
материальной точки
z
M
y
O
Момент количества движения
материальной точки относительно данного
центра – это векторная величина, равная
векторному произведению радиус-вектора,
проведенного из центра к движущейся
точке, на вектор количества движения
или
x
Вектор
и
направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через вектора
в ту сторону, откуда поворот от
к
по наименьшему углу виден
происходящим против хода часовой стрелки.
Теорема об изменении
момента количества движения материальной точки
Производная по времени от момента количества движения
материальной точки относительно выбранного центра
равна геометрической сумме моментов всех сил,
действующих на точку, относительно того же центра
Работа постоянной силы
Работа постоянной по модулю и направлению силы – это
скалярная величина, равная скалярному произведению
вектора силы на вектор перемещения
Работа переменной силы
Полная работа силы на некотором перемещении будет
определяться формулой, представляющей собой
криволинейный интеграл II-го рода
При этом сила
должна быть задана как функция от
координат точки ее приложения
Теоремы о работе силы
Теорема 1
Если система сил
приводится к
равнодействующей силе , то работа этой силы на
любом перемещении материальной точки равна
алгебраической сумме работ всех сил системы на том же
перемещении
~
Теоремы о работе силы
Теорема 2
Работа силы на некотором перемещении равна
алгебраической сумме работа этой силы на каждом
элементарном участке данного перемещении
Мощность силы
Мощность – это работа силы в единицу времени.
Мощность равна скалярному произведению вектора силы на
вектор скорости точки приложения силы
Теорема об изменении кинетической энергии
материальной точки
Изменение кинетической энергии материальной точки на
некотором перемещении равно алгебраической сумме
работ всех сил, действующих на точку, на том же
перемещении
Колебательное движение материальной точки
Свободные колебания – это колебания, происходящие под
действием силы, возвращающей тело в положение равновесия.
Такая сила называется восстанавливающей.
Затухающие колебания – это колебания, происходящие под
действием восстанавливающей силы и силы сопротивления
движению.
Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под
действием восстанавливающей силы и силы периодического
характера, называемой возмущающей силой.
Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды – это
колебания, происходящие под действием восстанавливающей,
возмущающей сил и силы сопротивления движению.