! À ÊÊ ÒÈ ÓÌ À ÍÒ Ï Ð À ÊÏÒÐÈ ÓÊÌ ÀÁÁÈ ÒÈÓÒÐ ÈÓÅÐ ÈÀ Å Í Ò À Каклинейкой измерить длину волны лазерного излучения? ìåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò (z = 0). Ïóñòü êîîðäèíàòà m-ãî ìàêñèìóìà èíòåíñèâíîñòè ðàâíà z m . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â òî÷êó ñ êîîðäèíàòîé z m îò èñòî÷íèêîâ S1 è S2 ïðèõîäÿò âîëíû ñ îïòè÷åñêîé ðàçíîñòüþ õîäà, ðàâíîé mλ , ãäå m íåêîòîðîå öåëîå ÷èñëî, ò.å. r2 − r1 = mλ . Èç ðèñóíêà 2 íàõîäèì Â.ÌÎÆÀÅÂ С ÓÄß ÏÎ ÍÀÇÂÀÍÈÞ ÑÒÀÒÜÈ ßÑÍÎ, ÷òî ðå÷ü áóäåò èäòè î âîëíîâûõ ñâîéñòâàõ ñâåòà. Âîëíîâûå ïðåäñòàâëåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ ïðè îïèñàíèè òàêèõ õîðîøî èçâåñòíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, êàê èíòåðôåðåíöèÿ è äèôðàêöèÿ ñâåòà. Ñ ýòèìè ÿâëåíèÿìè òåñíî ñâÿçàíî î÷åíü âàæíîå ïîíÿòèå êîãåðåíòíîñòè âîëí. Ïóñòü â íåêîòîðóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâà îò äâóõ èñòî÷íèêîâ ïðèõîäÿò äâà ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëíîâûõ âîçìóùåíèÿ ñ îäèíàêîâîé äëèíîé âîëíû λ . Åñëè èñòî÷íèê 1 íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè r1 îò òî÷êè íàáëþäåíèÿ, à èñòî÷íèê 2 íà ðàññòîÿíèè r2 , òî çàâèñèìîñòü, íàïðèìåð äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â äàííîé òî÷êå, ñîçäàâàåìîé îáåèìè ýëåêòðîìàãíèòíûìè âîëíàìè, áóäåò èìåòü âèä bg c h E t = E01 cos ωt − kr1 + c h + E02 cos ωt − kr2 , ãäå E01 è E02 àìïëèòóäû íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, ω = 2πc λ èõ êðóãîâàÿ ÷àñòîòà, k = = 2π λ âîëíîâîå ÷èñëî (ñ÷èòàåì, ÷òî íà÷àëüíûå ôàçû âîëí ñîâïàäàþò). Ïðîèñõîäèò ñëîæåíèå äâóõ êîëåáàíèé, ñäâèíóòûõ ïî ôàçå íà âåëè÷èíó ∆ϕ = ωt − kr1 ωt − kr2 = c h c h c h = k r2 − r1 . Äâà êîëåáàíèÿ ñ÷èòàþòñÿ êîãåðåíòíûìè, åñëè çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ ðàçíîñòü ôàç ∆ϕ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.  ýòîì ñëó÷àå àìïëèòóäà E0 ðåçóëüòèðóþùåãî êîëåáàíèÿ çà- âèñèò îò ∆ϕ è îñòàåòñÿ íåèçìåííîé çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ: E0 = S r ψ S L L Рис. 2 z zm r d S Рис. 1 2 Ê ñîæàëåíèþ, ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà ýòî ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå, òàêèå âîëíû íå èìåþò ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà, èõ íåò â ïðèðîäå. (Íàèáîëåå áëèçêèå ê ìîíîõðîìàòè÷åñêèì âîëíû èçëó÷àþò îïòè÷åñêèå êâàíòîâûå ãåíåðàòîðû, ò.å. ëàçåðû.) Íåò â ïðèðîäå è êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ, ò.å. èñòî÷íèêîâ, èçëó÷àþùèõ êîãåðåíòíûå âîëíû.  ðàçëè÷íûõ îïòè÷åñêèõ ñõåìàõ äëÿ ïîëó÷åíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû â êà÷åñòâå êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ îáû÷íî èñïîëüçóþò äâà ìíèìûõ èñòî÷íèêà, ïîëó÷åííûõ îò îäíîãî äåéñòâèòåëüíîãî, èëè îäèí äåéñòâèòåëüíûé, à äðóãîé åãî ìíèìîå èçîáðàæåíèå. À òåïåðü ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ êîíêðåòíûõ îïòè÷åñêèõ ñõåì. Çàäà÷à 1. Ëþáóþ îïòè÷åñêóþ ñõåìó ïî íàáëþäåíèþ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â óïðîùåííîì âèäå, èçîáðàæåííîì íà ðèñóíêå 1. Äâà òî÷å÷íûõ êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêà S1 è S2 , èçëó÷àþùèõ ñâåò ñ äëèíîé âîëíû λ , íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè d äðóã îò äðóãà. Íà ðàññòîÿíèè L îò èñòî÷íèêîâ ðàñïîëîæåí ýêðàí. Îïðåäåëèòå øèðèíó èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ïðè óñëîâèè, ÷òî d?L . Î÷åâèäíî, ÷òî èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà â ïëîñêîñòè ðèñóíêà 2 ñèì- S d 2 E01 + E02 + 2 E01 E02 cos ∆ϕ . FG d + z IJ H2 K F dI + Gz − J H 2K 2 r2 = L + r1 = L 2 2 , m 2 . m Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî d 2 + z m? L , ìîæíî çàïèñàòü r2 = L 1 + FG d 2 + z IJ H L K 2 m ≈ ≈L+ r1 = L 1 + FG z H m −d2 L IJ K cd 2 + z h r2 − r1 ≈ , 2L 2 ≈ cz ≈ L+ îòêóäà 2 m m −d 2 2L h 2 , dzm . L  ýòîì ïðèáëèæåíèè óñëîâèå òîãî, ÷òî ìàêñèìóìó m-ãî ïîðÿäêà ñîîòâåòñòâóåò êîîðäèíàòà z m , èìååò âèä dzm L = mλ . Àíàëîãè÷íî, äëÿ ñîñåäíåãî ìàêñèìóìà m + 1 -ãî ïîðÿäêà çàïèøåì b g dz m+1 L b g = m + 1 λ, ãäå z m+1 êîîðäèíàòà ìàêñèìóìà m + 1 -ãî ïîðÿäêà. Øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ∆x ýòî ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ìàêñèìóìàìè, ò.å. b g ∆x = z m +1 − z m = λL d = λ ψ , ãäå ψ = d L óãîë ñõîäèìîñòè èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé. Ïðèâåäåì áåç âûâîäà òî÷íîå âûðàæåíèå äëÿ øèðèíû èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ: λ ∆x = . 2 sin ψ 2 b g (Окончание см. на с. 34) !" Ê Â À Í T $ 2000/№6 A (Начало см. на с. 34) Ïðè ìàëûõ óãëàõ ñõîäèìîñòè îíî ïåðåõîäèò â ïîëó÷åííîå ðàíåå ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå. Çàäà÷à 2. Îò äâóõ êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà S1 è S2 ïîëó÷åíà ñèñòåìà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ íà ýêðàíå ÀÂ, óäàëåííîì îò èñòî÷íèêîâ íà à = 2 ì (ðèñ.3). Ðàññòîÿíèå ìåæäó èñòî÷íèêàìè d?a . Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, åñëè ìåæäó èñòî÷íèêàìè è ýêðàíîì ïîìåñòèòü ñîáèðàþùóþ ëèíçó ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F = 25 ñì? Ðàññìîòðèòå äâà ñëó÷àÿ: ðàññòîÿíèå ëèíçû îò èñòî÷íèêîâ ðàâíî 2F; èñòî÷íèêè íàõîäÿòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è áóäåì îñíîâûâàòü íà âûðàæåíèè, ïîëó÷åííîì äëÿ øèðèíû èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ â ïðåäûäóùåé çàäà÷å.  îòñóòñòâèå ëèíçû óãîë ñõîäèìîñòè èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé ψ ìàë è øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ∆x = λ ψ = λa d . Åñëè ñîáèðàþùàÿ ëèíçà ðàñïîëîæåíà íà ðàññòîÿíèè 2F îò èñòî÷íèêîâ, êîãåðåíòíûìè èñòî÷íèêàìè, ñîçäàþùèìè íà ýêðàíå À èíòåðôåðåíöèîííóþ êàðòèíó, ÿâëÿþòñÿ äâà äåéñòâèòåëüíûõ èçîáðàæåíèÿ S1′ è S2′ (ðèñ.4). Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè èñòî÷íèêàìè òàêæå ðàâíî d, à óãîë ñõîäèìîñòè ðàâåí ψ1 = d a − 4 F . Øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ â > S d ψ S Рис. 3 ýòîì ñëó÷àå áóäåò λ λ a − 4F ∆x1 = = , ψ1 d > ∆x1 ∆x = a − 4F = a 1 ò.å. øèðèíà ïîëîñ óìåíüøèòñÿ â äâà ðàçà. Åñëè èñòî÷íèêè S1 è S2 áóäóò íàõîäèòüñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû, êîãåðåíòíûå èñòî÷íèêè S1′ è S2′ áóäóò ìíèìûìè è ðàñïîëîæåííûìè íà áåñêîíå÷íîñòè ñëåâà îò ëèíçû íà ïðîäîëæåíèè ïðÿìûõ S1O è S2 O (ðèñ.5). Íà ýêðàí À áóäóò ïàäàòü äâà ïàðàëëåëüíûõ ïó÷êà ëó÷åé ñ óãëîì ñõîäèìîñòè ψ 2 = d F . Øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ áóäåò λ λF ∆x2 = = , ψ2 d à îòíîøåíèå øèðèí ïîëîñ ∆x2 ∆x = F a 1 = 8 , A S d S 5 ψ d F F , 2 A 5 ò.å. â ýòîì ñëó÷àå øèðèíà ïîëîñ óìåíüøèòñÿ â 8 ðàç. Çàäà÷à 3.  èíòåðôåðåíöèîííîé ñõåìå èñïîëüçóåòñÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèé èñòî÷íèê ñâåòà ñ äëèíîé −5 âîëíû λ = 5 ⋅ 10 ñì. Îòðàæàþùèå çåðêàëà ðàñïîëîæåíû ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî èñòî÷íèêà S è ýêðàíà Ý, íà êîòîðîì íàáëþäàåòñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà (ðèñ.6). Íàéäèòå: 1) øèðèíó èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ∆x íà ýêðàíå; 2) îáëàñòü ëîêàëèçàöèè ïîëîñ íà ýêðàíå; 3) ìàêñèìàëüíûé è ìèíèìàëüíûé ïîðÿäêè èíòåðôåðåíöèè è ÷èñëî íàáëþäàåìûõ ïîëîñ. Ïàðàìåòðû ñõåìû: L = 1 ì, 2d = 2,5 ñì, D = 10 ñì. 1)  äàííîé èíòåðôåðåíöèîííîé ñõåìå êîãåðåíòíûìè èñòî÷íèêàìè ÿâëÿþòñÿ äâà ìíèìûõ èçîáðàæåíèÿ èñòî÷íèêà S â îòðàæàþùèõ çåðêàëàõ. Íà ðèñóíêå 7 ýòî èñòî÷íèêè S ′ è S ′′ . Óãîë ñõîäèìîñòè èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé ðàâåí óãëó S ′OS ′′ è ñîñòàâëÿåò C à îòíîøåíèå øèðèí ïîëîñ C S B a ψ O S B F B a a Рис. 5 Рис. 4 z 5′ D S Ý d d S d 5′′ d L Рис. 6 z O z L Рис. 7 ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ !# ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Ç B Ï D Ë S z αα u α 1 u O A B α α A αα D z v 2 Ë C Ï Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10 ψ = 4d L . Øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ðàâíà îòíîñèòåëüíî çåðêàëà 2 ðàâíà z (ðèñ.9). Íàéäåì â ýòîò ìîìåíò îïòè÷åñêóþ ðàçíîñòü õîäà ∆ ìåæäó äâóìÿ âîëíàìè, îäíà èç êîòîðûõ îòðàæåííàÿ îò çåðêàëà 1, à äðóãàÿ îòðàæåííàÿ îò çåðêàëà 2 è ïðîøåäøàÿ çåðêàëî 1. Ïðÿìàÿ À ÿâëÿåòñÿ âîëíîâûì ôðîíòîì (ëèíèåé ïîñòîÿííîé ôàçû) ïàäàþùåé âîëíû â íåêîòîðûé ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Ðàññòîÿíèå ýòîãî ôðîíòà äî òî÷êè D, ãäå ïðîèçîéäåò îòðàæåíèå, ðàâíî îòðåçêó BD, à ðàññòîÿíèå, êîòîðîå íóæíî ïðîéòè ýòîìó ôðîíòó äî òî÷êè D ïîñëå îòðàæåíèÿ îò çåðêàëà 2, ðàâíî ñóììå äëèí îòðåçêîâ ÀÑ è CD. Î÷åâèäíî, ÷òî îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà ìåæäó âîëíàìè ðàâíà ÿíèå δz = λ 2 cos α . Âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ çåðêàëîì 1 ýòîãî ðàññòîÿíèÿ, èëè ïåðèîä ïåðåìåííîãî ñèãíàëà ïðèåìíèêà, áóäåò ∆x = λ ψ = λL 4d = 10 −3 ñì . 2) Îáëàñòü ëîêàëèçàöèè ïîëîñ íà ýêðàíå îïðåäåëÿåòñÿ îáëàñòüþ ïåðåñå÷åíèÿ èíòåðôåðèðóþùèõ ïó÷êîâ: z ≤ z 0 , ãäå z0 = 2dD L+ D = 0,227 ñì . 3) Èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà íà ýêðàíå áóäåò ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò (z = 0). Íåïîñðåäñòâåííî â íà÷àëå êîîðäèíàò áóäåò íàõîäèòñÿ ìàêñèìóì íóëåâîãî ïîðÿäêà (m = 0) ýòî è áóäåò ìèíèìàëüíûé ïîðÿäîê èíòåðôåðåíöèè. Ìàêñèìàëüíûé æå ïîðÿäîê èíòåðôåðåíöèè áóäåò èìåòü ìåñòî ïðè z = = ±z 0 : mmax = z0 ∆x ∆ = AC + CD − BD . Èç ðèñóíêà 9 íàõîäèì AC = CD = 2 = 8d D > C λL L + D = 227 . cos α Çàäà÷à 4. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû λ = 500 íì ïàäàåò ïîä óãëîì α = 30° íà ñèñòåìó èç äâóõ ïëîñêîïàðàëëåëüíûõ çåðêàë 1 è 2 (ðèñ.8). ×àñòü ñâåòîâîãî ïó÷êà îòðàæàåòñÿ îò ïîëóïðîçðà÷íîãî çåðêàëà 1, à îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ïîëíîñòüþ îòðàæàåòñÿ îò íåïîäâèæíîãî çåðêàëà 2. Ñèñòåìà âîëí, îòðàæåííûõ îò îáîèõ çåðêàë, ñ ïîìîùüþ ñîáèðàþùåé ëèíçû ôîêóñèðóåòñÿ íà ïðèåìíèê Ï, êîòîðûé ðàñïîëîæåí â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. Ñèãíàë ïðèåìíèêà ïðîïîðöèîíàëåí èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåãî íà íåãî ñâåòà. Êàêîâà áóäåò ÷àñòîòà ïåðåìåííîãî ñèãíàëà ïðèåìíèêà â ñëó÷àå ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ çåðêàëà 1 ñî ñêîðîñòüþ u = 0,01 ñì/ñ? Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïóñòü êîîðäèíàòà çåðêàëà 1 , BD = AD sin α = 2 z tg α sin α = 2 Ïîëíîå ÷èñëî íàáëþäàåìûõ ïîëîñ áóäåò N = 2mmax = 454 . z = 2 z sin α îòêóäà ∆= 2z cos α cos α , 2 − 2 z sin α cos α = 2 z cos α . Ïðèåìíèê áóäåò ðåãèñòðèðîâàòü ìàêñèìàëüíûé ñèãíàë, êîãäà 2z cos α = mλ , ãäå m = 0, 1, 2, Ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ìàêñèìóìàìè ñèãíàëà çåðêàëî 1 ïðîéäåò ðàññòî- > T= C δz u = λ 2u cos α , à ÷àñòîòà ñèãíàëà f = 1 T = 2u cos α λ = 346 Ãö . Çàäà÷à 5*. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà èçëó÷åíèÿ èñòî÷íèêà èñïîëüçóåòñÿ èíòåðôåðîìåòð Ìàéêåëüñîíà (ðèñ.10). Òî÷å÷íûé èñòî÷íèê S ðàñïîëîæåí â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû Ë1 . Ñëàáîðàñõîäÿùèéñÿ ïó÷îê ñâåòà ðàçäåëÿåòñÿ äåëèòåëåì D íà äâà îäèíàêîâûõ ïî èíòåíñèâíîñòè ïó÷êà. Îäèí èç íèõ (îòðàæåííûé îò äåëèòåëÿ) íàïðàâëÿåòñÿ íà íåïîäâèæíîå çåðêàëî Ç1 , à âòîðîé ïîñëå ïðîõîäà äåëèòåëÿ èäåò ê çåðêàëó Ç2 , êîòîðîå ïåðåìåùàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 6 ⋅ 10 −5 ìì/ñ. Ïîñëå îòðàæåíèÿ îò çåðêàë è ïîñëåäóþùåãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ äåëèòåëåì îáðàçóþòñÿ äâà êîãåðåíòíûõ ïó÷êà, êîòîðûå ñ ïîìîùüþ ëèíçû Ë2 ñîáèðàþòñÿ íà ôîòîïðèåìíèê Ï. Òîê ôîòîïðèåìíèêà ïðîïîðöèîíàëåí èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåãî íà íåãî èçëó÷åíèÿ. Íà ðèñóíêå 11 ïîêàçàí ãðàôèê èçìåíåíèÿ ôîòîòîêà ïðèåìíèêà, êîãäà èçëó÷åíèå èñòî÷íèêà ñîäåðæèò äâå áëèçêèå ñïåêòðàëüíûå ëèíèè îäèíàêîâîé èíòåíñèâíîñòè ñ äëèíàìè âîëí λ 1 è λ 2 ( λ 2 λ 1 ?λ 1 ). Îïðåäåëèòå çíà÷åíèÿ ýòèõ äëèí âîëí. I 2I I 0 Рис. 11 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t,c !$ Ê Â À Í T $ 2000/№6 Ðàññìîòðèì êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîå èçëó÷åíèå ñ äëèíîé âîëíû λ 1 . Ïóñòü èíòåíñèâíîñòü ýòîãî èçëó÷åíèÿ ðàâíà I0 . Î÷åâèäíî, ÷òî èíòåíñèâíîñòü êàæäîãî èç äâóõ êîãåðåíòíûõ ïó÷êîâ, ôîêóñèðóåìûõ ëèíçîé Ë2 íà ôîòîïðèåìíèê, ðàâíà I0 4 . Åñëè â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè äëèíû ïëå÷ èíòåðôåðîìåòðà (ðàññòîÿíèÿ îò äåëèòåëÿ äî çåðêàë) ðàâíû ÎÀ è ÎÂ, òî ðàçíîñòü õîäà ìåæäó íàøèìè äâóìÿ âîëíàìè ñîñòàâëÿåò δ = 2 OA − OB , ãäå ìíîæèòåëü «2» ó÷èòûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå âîëíû ê çåðêàëó è îáðàòíî, ôàçîâûé ñäâèã ðàâåí ∆ϕ = 2 πδ λ 1 , ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü ýòèõ âîëí ðàâíà I0 I0 I I 2π δ = I1 t = 0 + 0 + 2 cos λ1 4 4 2 2 b g F I GH JK F 2 π δI I I F 1 + cosG G = 2 H H λ JK JK . bg 0 1 Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: λ 2 λ 1 = ∆λ è λ1 + λ 2 = 2λ , îòêóäà λ1 = λ ∆λ 2 , λ 2 = λ + ∆λ 2 , ãäå λ ñðåäíÿÿ äëèíà âîëíû. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèÿ äëÿ λ 1 ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü I1 t áóäåò bg F 2 πδ I I ≈ I F I bt g = 1 + cosG G 2 H H λ − ∆λ 2 JK JK âòîðîì ÷ëåíå ýòîãî âûðàæåíèÿ îïèñûâàåò âûñîêî÷àñòîòíîå ïåðèîäè÷åñêîå êîëåáàíèå ôîòîòîêà, à âòîðîé ñîìíîæèòåëü ñîîòâåòñòâóåò íèçêî÷àñòîòíîé îãèáàþùåé. Ïî ãðàôèêó çàâèñèìîñòè I t íàõîäèì, ÷òî ïåðèîä âûñîêî÷àñòîòíûõ êîëåáàíèé ðàâåí Ò = 5 ñ. Çà ýòî âðåìÿ ðàçíîñòü õîäà δ èçìåíÿåòñÿ íà λ , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïåðåìåùåíèþ ïîäâèæíîãî çåðêàëà íà λ 2 . Ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå çåðêàëîì çà âðåìÿ Ò, î÷åâèäíî, ðàâíî Tv. Òàêèì îáðàçîì, bg λ 2 = Tv , îòêóäà λ = 2Tv = 6 ⋅ 10 λ2 = 14Tv , îòêóäà 2∆λ ∆λ = 1 2πδ πδ∆λ ≈ 0 1 + cos + 2 = 2 λ λ = I0 + 2 FG 2πδ IJ cos πδ∆λ HλK λ I F 2 πδ IJ sin πδ∆λ . sin G HλK λ 2 I0 2 cos 2 0 2 Àíàëîãè÷íî, äëÿ èçëó÷åíèÿ ñ äëèíîé âîëíû λ 2 ïîëó÷èì 12 (J) = ≈ = 10 2 2πδ 1 + cos ≈ 2 λ + ∆ λ 10 2πδ πδ∆λ − 2 = 1 + cos 2 λ λ 10 10 2πδ πδ∆λ cos + cos λ 2 + 2 2 λ Çàäà÷à 6. Íà ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäå, ïðîõîäèâøåé â Ìîñêîâñêîì ôèçèêî-òåõíè÷åñêîì èíñòèòóòå â 1998 ãîäó, øêîëüíèêàì áûëà ïðåäëîæåíà òàêàÿ ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàäà÷à: ñ ïîìîùüþ øòàíãåíöèðêóëÿ èçìåðèòü äëèíó âîëíû ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ.  êà÷åñòâå ëàçåðà èñïîëüçîâàëñÿ ìèíèàòþðíûé òâåðäîòåëüíûé êâàíòîâûé ãåíåðàòîð. Îäèí èç ó÷àñòíèêîâ îëèìïèàäû ñîáðàë ýêñïåðèìåíòàëüíóþ óñòàíîâêó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñóíêå 12. Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè hm Ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà íà ïðèåìíèêå îò èçëó÷åíèé ñ îáåèìè äëèíàìè âîëí áóäåò m=$ bg 10 2πδ + sin 2 λ bg bg I t = I1 t + I2 t = = I0 + I0 cos FG 2 πδ IJ cos πδ∆λ . HλK λ 2 Ïåðâûé ïåðåìåííûé ñîìíîæèòåëü âî λ2 ≈ 43 íì . 28Tv Òàêèì îáðàçîì, äëèíû âîëí ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî, ∆λ λ1 = λ − = 578,5 íì , 2 ∆λ λ2 = λ + = 621,5 íì . 2 πδ∆λ sin λ 2 . . = ñì = 600 íì . Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, ôóíêöèÿ πδ∆λ cos 2 îïèñûâàåò îãèáàþùóþ λ âûñîêî÷àñòîòíîãî ñèãíàëà. Èç ðèñóíêà 11 ìîæíî íàéòè, ÷òî çà âðåìÿ, ðàâíîå 14Ò, ôàçà èçìåíÿåòñÿ íà π , à ðàçíîñòü õîäà íà λ 2 ∆λ . Ïîäâèæíîå çåðêàëî ïðîõîäèò çà ýòî âðåìÿ â äâà ðàçà ìåíüøåå ðàññòîÿíèå. Èòàê, 0 1 −5 m= Рис. 12 1 2 ϕm ϕ0 ϕ0 L ñòîëà, ïðèìûêàþùåãî ê âåðòèêàëüíîé ñòåíå êîìíàòû, ëåæèò øòàíãåíöèðêóëü Ø. Èçëó÷åíèå ëàçåðà Ë, óêðåïëåííîãî íà øòàòèâå, ïàäàåò ïîïåðåê ìèëëèìåòðîâûì ðèñêàì øòàíãåíöèðêóëÿ. Íà ìèëëèìåòðîâîé áóìàãå, çàêðåïëåííîé íà ñòåíå, íàáëþäàåòñÿ ñèñòåìà äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ â âèäå ñâåòëûõ ãîðèçîíòàëüíûõ ëèíèé. Áûëè ïðîâåäåíû òðè çàìåðà: âûñîòà ñàìîé ÿðêîé ëèíèè (ëó÷ 1) h0 = 31 ìì, âûñîòà øåñòîãî äèôðàêöèîííîãî ìàêñèìóìà (ëó÷ 2) h6 = = 68 ìì è ðàññòîÿíèå L = 695 ìì. Ïî ýòèì äàííûì îïðåäåëèòå äëèíó âîëíû ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ. Èäåÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîíÿòíà: èñïîëüçîâàòü øòàíãåíöèðêóëü ñ íàíåñåííûìè íà íåì ìèëëèìåòðîâûìè ðèñêàìè â êà÷åñòâå îòðàæàòåëüíîé äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè. Äèàìåòð ñâåòîâîãî ïó÷êà ëàçåðà íà ðàññòîÿíèè 1 ì ñîñòàâëÿåò ;4 ìì, ïîýòîìó äëÿ óâåëè÷åíèÿ ÷èñëà ðèñîê, îñâåùàåìûõ ïàäàþùèì ïó÷êîì ñâåòà, óãîë ïàäåíèÿ ϕ 0 äîëæåí áûòü áëèçîê ê π 2 . Ðàññìîòðèì õîä ëó÷åé, ðàññåÿííûõ íà äâóõ ñîñåäíèõ ðèñêàõ (ðèñ.13). Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè øòðèõàìè (ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè) d = 1 ìì. Îáîçíà÷èì óãîë ïàäåíèÿ ëó÷åé 1 è 2 ÷åðåç ϕ 0 , à óãîë îòðàæåíèÿ ëó÷åé 1 ′ è 2 ′ ÷åðåç ϕ m , è ïóñòü óãîë ϕ m ñîîòâåòñòâóåò íàïðàâëåíèþ íà m-é äèôðàêöèîííûé ìàêñèìóì. Ðàçíîñòü õîäà ëó÷åé 1,1 ′ è 2, 2 ′ ðàâíà ∆ = d sin ϕ 0 − d sin ϕ m . Åñëè óãîë ϕ m ñîîòâåòñòâóåò íàïðàâëåíèþ íà m-é ãëàâíûé äèôðàêöèîííûé ìàêñèìóì, òî ∆ = mλ , ãäå λ äëèíà âîëíû ñâåòà. Òàêèì îáðàçîì, d sin ϕ 0 − d sin ϕ m = mλ , ãäå m = 0, 1, 2 Î÷åâèäíî, ÷òî íàïðàâëåíèå íà ìàêñèìóì íóëåâîãî ïîðÿäêà (m = 0) èìååò ìåñòî ïðè ϕ m = ϕ 0 , ò.å. êîãäà ïðîèñõîäèò çåðêàëüíîå îòðàæåíèå. Åñëè âûñîòà ðàñïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìà h0 , òî L sin ϕ 0 = . 2 2 L + h0 Ë d Ø Рис. 13 ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ Äëÿ âûñîòû ðàñïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìà øåñòîãî ïîðÿäêà (m = 6) sin ϕ 6 = L 2 . 2 L + h6 Óñëîâèå íàïðàâëåíèÿ íà ãëàâíûå äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü äëèíó âîëíû ñâåòà: F dL G λ= 6 G H 1 2 L + 2 h0 − 1 2 2 L + h6 I JJ . K ìè ñâåòëûìè ïîëîñàìè ðàâíî ∆x = 0,5 ìì è íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåìåùåíèè ýêðàíà âäîëü îïòè÷åñêîé îñè. Íàéäèòå à. 2.  èíòåðôåðåíöèîííîé ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 15, íà áèïðèçìó Ôðåíåëÿ ïàäàåò ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû λ = 600 íì. Ïó÷êè ñâåòà, ïðåëîìëåííûå êàæäîé èç ïîëîâèíîê áèïðèçìû, èíòåðôåðèðóþò ìåæäó ñîáîé. Ïðè êàêîì ðàññòîÿíèè L ìåæäó áèïðèç- d id d h6 − h0 h6 + h0 2 12L a i = 632 íì. L Ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèé îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì b P α Ïîñêîëüêó h0 è h6 ìíîãî ìåíüøå L, ìîæíî çàïèñàòü λ≈ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ g λ = 630 ± 50 íì . Óïðàæíåíèÿ 1. Èç ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F = 50 ñì âûðåçàíà öåíòðàëüíàÿ ÷àñòü øèðèíîé à, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 14. Îáå ïîëîâèíû ëèíçû ñäâèíóòû äî ñîïðèêîñíîâåíèÿ. Ïî îäíó ñòîðîíó ëèíçû ïîìåùåí òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû λ = 600 íì. Ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû ëèíçû íàõîäèòñÿ ýêðàí, íà êîòîðîì íàáëþäàþòñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíè- a Ðèñ. 14 Ðèñ. 15 ìîé è ýêðàíîì Ð íà íåì áóäåò íàáëþäàòüñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà ìàêñèìàëüíîãî ðàçìåðà? ×åìó áóäåò ïðè ýòîì ðàâíà øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ? Êàêîå êîëè÷åñòâî ñâåòëûõ ïîëîñ áóäåò íàáëþäàòüñÿ íà ýêðàíå â ýòîì ñëó÷àå? Ðàññòîÿíèå ìåæäó âåðøèíàìè áèïðèçìû 2à = 5 ñì, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà áèïðèçìû n = 1,5, ïðå−3 ëîìëÿþùèé óãîë α = 10 ðàä. Ñ÷èòàòü, ÷òî sin α = tg α = α . 3. Èíòåðôåðîìåòð Ðýëåÿ (ðèñ.16) èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îòíîñèòåëüíîãî èçìåðåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ãàçîâ. Äëÿ ýòîãî íà ïóòè îäíîãî èç èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé ðàñïîëàãàåòñÿ êþâåòà à ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû äëèíîé L = 10 ñì ñ èññëåäóåìûì ãàçîì, à íà ïóòè äðóãîãî ëó÷à êîìïåíñàòîð K, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî äîáèâàþòñÿ, ÷òîáû â öåíòðàëüíîì ìàêñèìóìå ðàçíîñòü õîäà ìåæäó ëó÷àìè ðàâíÿëàñü íóëþ. ×åìó ðàâíî îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîì- Çàäà÷è î òðàïåöèÿõ Â.ÀËÅÊÑÅÅÂ, Â.ÃÀËÊÈÍ, Â.ÏÀÍÔÅÐÎÂ, Â.ÒÀÐÀÑÎÂ Ñ ÐÅÄÈ ÇÀÄÀ× Î ÌÍÎÃÎÓÃÎËÜÍÈ- êàõ íà âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ â âóçû âàæíóþ äîëþ ñîñòàâëÿþò çàäà÷è î òðàïåöèÿõ. Çäåñü ìû îáñóäèì îñíîâíûå ïîäõîäû ê ðåøåíèþ òàêèõ çàäà÷. Ïîäîáèå è ïðîïîðöèîíàëüíîñòü â òðàïåöèÿõ Âàæíîé îñîáåííîñòüþ òðàïåöèé ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí. Ïðè ïåðåñå÷åíèè èõ (èëè èõ 37 P à L K Ðèñ. 16 ëåíèÿ àçîòà, ïî îòíîøåíèþ ê âîçäóõó, åñëè ïîñëå çàìåíû â êþâåòå âîçäóõà íà àçîò èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà â ïëîñêîñòè íàáëþäåíèÿ Ð ñìåñòèëàñü ðîâíî íà îäíó ïîëîñó? Èçìåðåíèÿ ïðîâîäèëèñü íà äëèíå âîëíû λ = 500 íì. 4. Òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà S ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè L = 1 ì îò òîíêîé ñëþäÿíîé ïëàñòèíêè òîëùèíîé h = = 0,1 ìì ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n = = 1,4 (ðèñ.17). Íà òàêîì æå ðàññòîÿíèè îò ïëàñòèíêè ðàñïîëîæåí íåáîëüøîé ýêðàí Ý, îðèåíòèðîâàííûé ïåðïåíäèêóëÿðíî îòðàæåííûì ëó÷àì, íà êîòîðîì íàáëþäàþòñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû. Óãîë ϕ = 60°. Íàéäèòå ïîðÿäîê m Ý S L ϕ h Ðèñ. 17 èíòåðôåðåíöèîííîé ïîëîñû â öåíòðå ýêðàíà. Îïðåäåëèòå øèðèíó èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ. Äëèíà âîëíû ñâåòà λ = = 560 íì. ïðîäîëæåíèé) ëþáîé ïðÿìîé îáðàçóþòñÿ ðàâíûå óãëû, ÷òî ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ïàð ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ è, ñîîòâåòñòâåííî, ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêîâ. Òàêæå (â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ôàëåñà) ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè âîçíèêàþò íà áîêîâûõ ñòîðîíàõ òðàïåöèè èëè èõ ïðîäîëæåíèÿõ, åñëè ïðîâîäèòñÿ ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñíîâàíèÿì. Ñëåäóþùèå çàäà÷è ïîêàçûâàþò, êàê èñïîëüçîâàòü ýòè ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Çàäà÷à 1. Ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñíîâàíèÿì òðàïåöèè, ïåðåñåêàåò åå áîêîâûå ñòîðîíû è äèàãîíàëè ïîñëåäîâàòåëüíî â òî÷êàõ Ì, Ð, Q, N (ðèñ.1). Äîêàæèòå, ÷òî ÌÐ = QN. Ðåøåíèå (îáîçíà÷åíèÿ ñì. íà ðèñ.