Тема 3. Операторы физических величин 3.1. Средние значения физических величин Среднее значение координаты в классической физике N(x) Средняя координата студентов в аудитории на данной лекции x x 1 N Ni xi xi Среднее значение координаты в классической физике Δ N(x) x x 1 N Ni xi xi xi Средняя координата одного студента в аудитории за все время обучения (N - общее количество лекций, ΔNiколичество лекций с координатой студента xi) Ni xi N wi xi xi Среднее значение координаты в классической физике ρ(x) N(x) Средняя координата при непрерывном распределении (ΔNi-количество объектов с координатой в пределах Δxi) Δxi x 1 N x Ni xi N Ni xi xi xi x x 0 x dx i xi xi x Среднее значение координаты в квантовой физике U 0 x E E5 E4 E3 E2 E1 l x x 0 2 x dx r x x x dx r dV V x x dx U A r E E5 E4 E3 E2 E1 0 x dV U r dV V U r V x x 2 A r x xcp x 2 2 0 !!! x x 2 2 2 xxcp 2 xcp 2 xcp ВЫВОД: Для ансамбля микрочастиц, описываемых ψ(r), как сами координаты, так и любая функция от координат А(r) в стационарных состояниях не имеют определенных значений. Энергия при этом определена, что свидетельствует о несовместимости одновременного измерения А(r) и E. Тема 3. Операторы физических величин 3.1. Средние значения физических величин 3.2. Понятие об операторах физических величин Ek Ek Ek dV V 2 2m 2 (E U ) ? 0 Ek 2 Ek 2m 2 Ek V 2 2m 2 E k dV dV V E Ek U 2 H 2m E 2 U H dV V Вывод: • В квантовой механике для определения среднего значения физической величины A r , p ей необходимо сопоставить некий оператор A r , p . Тогда A r, p A r, p V dV Уравнение Шрёдингера H E Одно из основных утверждений квантовой механики • Состояние, в котором физическая величина А имеет определенное значение Аi и описывается волновой функцией i , является решением операторного уравнения A A • Аi – являются собственными значениями оператора A , а i - его собственными функциями Если A 2 A r, p , то A A r, p Сравним 2 Ek p 2m Ek p i px 2m i x 2 Тема 3. Операторы физических величин 3.2. Понятие об операторах физических величин 3.3. Собственные значения проекции и квадрата модуля момента импульса В классичекой физике 2 E 2 pr L r p p U 2m 2 p U 2 m 2m 2 2 pr L U 2m 2 I L i L r p L r p ex ey ez x y z x i y i z L i L ....... i x ex ey ez x y z x y Lz i y y x i ez z x r sin cos y r sin sin z r cos Lz i Lz Lz i Lz i Ae Lz Lz m 1 im e 2 m 0, 1, 2,...- магнитное квантовое число Из соотношения неопределенностей следует, что Lz и Lx, Lz и Ly не могут иметь одновременно определенных значений. Поэтому Lz ≠ L z Вектор L как бы прецессирует вокруг выбранной оси. m=3 m=2 Lz m=1 m=0 0 m=-1 2 Lz 0 0 m=-2 Всего 2l+1значений m=-3 L z m=3 m=2 1 m 2l 1 m 2 Lz m=1 m=0 0 m=-1 m=-2 m=-3 L 2 Lz 1 3 2 l l 1 l m l 2 2 Ll l l l 1 0,1,2,... - орбитальное квантовое число Орбитальный момент импульса: L l (l 1) L I Орбитальный магнитный момент: µ Б l (l 1) Б Проекция магнитного момента: Lz m (l = 0,1,2,3,…,(n-1)) e 2me IS; - магнетон Бора z (m = 0, 1, 2, 3, …, ± l) e Lz 2me z Б m Опыт Штерна и Герлаха Экран N Атомный пучок S Результаты опыта Штерна и Герлаха Без поля Ожидаемый результат Hg, Mg Ag, Na, K V Mn Fe