19. Уравнения для потенциалов электромагнитного поля

ГЛАВА 19
Уравнения для потенциалов электромагнитного поля
§ 19.1. Электромагнитные потенциалы
Электромагнитное поле, его состояние задано, если известны напряженность поля


E и индукция поля B . Эти вектора поля должны быть найдены из уравнений Максвелла.
Во многих случаях задача интегрирования уравнений Максвелла упрощается, если вместо



B и E ввести новые величины A и ϕ , называемые потенциалами поля.
Потенциалы электромагнитного поля подбирают так, чтобы тождественно удовлетворить уравнениям Максвелла. Из этого условия находят уравнения для потенциалов.
Добиваются того, чтобы для каждого потенциала было свое уравнение. Тем самым избавляются от одной из главной трудности решения уравнений Максвелла, связанной с тем,


что они являются зацепляющимися уравнениями, т.е. векторы B и E могут одновременно входить в одно уравнение.


Всегда div rot A = 0 для любого вектора A , поэтому уравнение (18.6.3) выполнит 
ся тождественно, если ввести некоторую вспомогательную векторную функцию A(r , t ) ,

которая связана с индукцией магнитного поля B условием


(19.1.1)
B = rot A .
 
Вектор A(r , t ) называют векторным потенциалом электромагнитного поля.
Подставим (1) в уравнение (18.6.2) и получим



1
1 ∂
∂A
.
rot E = −
rot A = − rot
c ∂t
c
∂t
Из этого равенства следует, что

  1 ∂A 
=0.
rot  E +
c ∂t 

Ротор градиента всегда равен нулю, поэтому последнее соотношение выполнится тожде
ственно, если ввести еще одну вспомогательную скалярную величину ϕ (r , t ) , такую что

 1 ∂A
(19.1.2)
E+
= − grad ϕ .
c ∂t
Функцию ϕ называют скалярным потенциалом электромагнитного поля.

Согласно определению (2), напряженность электрического поля E в общем случае

определяется и скалярным ϕ и векторным A потенциалами


1 ∂A
.
(19.1.3)
E = − grad ϕ −
c ∂t


Соотношения (1) и (3) могут служить определениями для векторов B и E , если

потенциалы A и ϕ вычислить другим путем, не используя эти формулы.
292
Истеков К.К. Курс теоретической физики. Т.1.
§ 19.2. Калибровочная инвариантность потенциалов

Векторный A и скалярный ϕ потенциалы введены как вспомогательные величины
для упрощения математического описания. Физически они не могут быть определены од

нозначно. Физически определены векторы электромагнитного поля B и E , поскольку через них выражается сила Лоренца, поддающаяся экспериментальному измерению по действию на заряды и токи. Изменение потенциалов на величину, которая исчезает при диф

ференцировании по формулам (19.1.1) и (19.1.3), не меняет величины E и B .


Найдем общий вид преобразований потенциалов, не меняющих поля E и B . При

бавим к потенциалу A градиент произвольной скалярной функции f (r , t ) :
 
(19.2.1)
A′ = A + grad f .

Так как rot grad всегда равен нулю, то новому значению векторного потенциала A′ будет соответствовать прежнее значение вектора магнитной индукции (19.1.1)


 
rot A′ = rot A + rot grad f = rot A = B .


Напряженность электрического поля E определяется и через векторный A , и через

скалярный ϕ потенциалы (19.1.3). Это означает, что если преобразовать только A по

формуле (1), то вектор E изменится


1 ∂ 
1 ∂f  1 ∂A

.
E = − grad ⋅ ϕ −
A + grad ⋅ f = − grad  ϕ +
−
c ∂t
c ∂t  c ∂t


Величина E останется неизменным (равным (19.1.3)) при преобразовании векторного потенциала (1), если одновременно изменить и скалярный потенциал
1 ∂
(19.2.2)
f ,
ϕ′ = ϕ −
c ∂t

где f (r , t ) - та же функция, что и в (1). Тем самым мы нашли преобразования (1) и (2) не
изменяющие электромагнитное поле и уравнения поля.
Потенциалы оказались определенными неоднозначно: векторный потенциал определен с точностью до градиента произвольной функции, а скалярный потенциал - с точностью до производной по времени от той же функции.
Преобразования (1) и (2) называют калибровочными или градиентными преобразованиями. Инвариантность поля к этим преобразованиям называют калибровочной инвариантностью.
Соотношения (1) и (2) - это общий вид калибровочного преобразования. Содержащуюся в них функцию f можно выбрать в любом виде, на нее заранее не накладываются
никакие ограничения. Никакой физический результат для поля не может зависеть от выбора функции f . Неоднозначность в выборе потенциалов позволяет накладывать на них
различные дополнительные условия, которые могут математически упростить решение
задачи нахождения потенциалов.

Итак, потенциалы поля A и ϕ произвольны вплоть до калибровочных преобразований (1) и (2). По своему определению калибровочные преобразования (1) и (2) выбраны


так, что они не меняют напряженность E и индукцию B электромагнитного поля. Из этого следует, что уравнения Максвелла являются инвариантом калибровочного преобразования.
Калибровочные преобразования не меняют и силу Лоренца (17.1.11), действующую
на заряд со стороны поля. Поэтому и уравнение движения заряда в электромагнитном поле является инвариантом этого преобразования.
(
)
Часть III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
293
19.3. Уравнения Даламбера для потенциалов.
Калибровки Лоренца и Кулона, волновая калибровка

Потенциалы A и ϕ введены в надежде на то, что для их нахождения можно найти
достаточно простые уравнения, эквивалентные уравнениям Максвелла. Для введения понятия "потенциалы" уже были использованы два уравнения Максвелла (18.6.2) и (18.6.3).


С их помощью мы выразили напряженность E (19.1.3) и индукцию B (19.1.1) электро
магнитного поля через потенциалы A и ϕ


(19.3.1)
B = rot A ,


1 ∂A
.
(19.3.2)
E = − grad ϕ −
c ∂t
Используем оставшиеся два уравнения Максвелла (18.6.1) и (18.6.4)

 1 ∂E 4π 
(19.3.1)
+
j,
rot B =
c ∂t
c

(19.3.4)
div E = 4π ρ

для определения самих потенциалов A и ϕ .
Подстановка определений (1) и (2) в уравнение (3) дает


 4π  1 ∂ 
1 ∂A  4π  1
∂ϕ 1 ∂ 2 A
 − gradϕ −
=
.
rot rot A =
j − grad
−
j+
c
∂t c 2 ∂t 2
c
c ∂t 
c ∂t  c



Учитывая, что rot rot A = grad div A − ∆A (А.11.20), получим


 4π  1
∂ϕ 1 ∂ 2 A
.
j − grad
−
grad div A − ∆A =
c
c
∂t c 2 ∂t 2

Простая группировка слагаемых приводит к уравнению для потенциала A :

 4π  1 ∂ 2 A
  1 ∂ϕ 
(19.3.5)
grad  divA +
j− 2 2 .
 − ∆A =
c ∂t
c ∂t 
c

Теперь, подставив (2) в уравнение (4), получим

1
∂A
(19.3.6)
= −4πρ .
∆ϕ + div
c
∂t

Уравнения (5) и (6) и есть искомые уравнения для потенциалов A и ϕ . Даже по
внешнему виду эти уравнения довольно сложны. Особенно неприятно то, что они взаимо
связаны: в каждое из них входят и A , и ϕ . Однако, свойство калибровочной инвариантности позволяет выбрать их так, чтобы уравнения для потенциалов приобрели максимально простой вид.
Потребуем, чтобы выполнялось дополнительное условие
 1 ∂ϕ
(19.3.7)
= 0,
div A +
c ∂t
называемое калибровкой Лоренца или уравнением связи Лоренца.
Теперь уравнение (5) примет вид

 1 ∂2 A
4π 
(19.3.8)
∆A − 2 2 = −
j.
c ∂t
c

1 ∂ϕ
Если из (7) найти div A = −
и подставить в (6), получим
c ∂t
Истеков К.К. Курс теоретической физики. Т.1.
294
1 ∂ 2ϕ
(19.3.9)
= −4πρ .
c 2 ∂t 2
Уравнения (8) и (9) называются уравнениями Даламбера для потенциалов. Из них




по заданным ρ и j находим потенциалы A и ϕ . Векторы поля E и B вычислим путем

дифференцирования A и ϕ по формулам (1) и (2).
Уравнения Даламбера упрощаются и приобретают иной вид, если:
а) источников поля в исследуемом пространстве нет:

 1 ∂2 A
1 ∂ 2ϕ
(19.3.10)
∆ϕ − 2 2 = 0 ,
∆A − 2 2 = 0 ;
c ∂t
c ∂t
б) поле не зависит от времени:

4π 
(19.3.11)
j;
∆A = −
∆ϕ = −4πρ ,
c
в) поле исследуется вдали от источников и от времени не зависит:

(19.3.12)
∆A = 0 .
∆ϕ = 0 ,
Выражения (10) получили название волновых уравнений, выражения (11) - уравнений Пуассона, выражения (12) - уравнений Лапласа.
Ясно, что уравнения Даламбера (8) и (9) вместе с формулами (1) и (2), определяющими связь векторов поля с потенциалами, эквивалентны системе уравнений Максвелла.
В математическом отношении уравнения Даламбера (дифференциальные уравнения
второго порядка) проще, чем уравнения Максвелла (дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка). Это система из двух уравнений, одно из которых скалярное, а другое - векторное. Как видим, что число уравнений и число неизвестных функций теперь совпадает.
Уравнения Даламбера содержат по одному неизвестному. Значит, каждое уравнение для потенциалов не зависит от другого и может решаться в отдельности. Эти уравнения однотипные и хорошо изучены в математической физике.
В отличие от волновых уравнений (18.6.7) и (18.6.9) в уравнения Даламбера источники входят в “чистом” виде, без предварительного их дифференцирования.

Однако, нельзя считать, что переменные A и ϕ в уравнениях Даламбера (8) и (9)
полностью разделились. Калибровка Лоренца (7) является дополнительным условием,
накладывающим требование согласованного выбора решений уравнений (8) и (9).

Условие Лоренца (7) накладывает ограничение (калибрует) на функцию f (r , t ) в
градиентных преобразованиях (19.2.1) и (19.2.2). Действительно, подставив (19.2.1) и
(19.2.2) в (7) получаем


1 ∂ϕ ′ 1 ∂ 2
1 ∂
1 ∂ 
′
′
+
∆
+
−
A
f
f =0.
div A′ + gradf +
div
ϕ
−
f
=


c ∂t c 2 ∂t 2
c ∂t 
c ∂t 

Значит, условие Лоренца для потенциалов A′ и ϕ ′ будет выполняться
 1 ∂ϕ ′
(19.3.13)
=0,
div A′ +
c ∂t
если только функция f удовлетворяет уравнению
∆ϕ −
(
)
1 ∂2 f
(19.3.14)
∆f − 2 2 = 0 .
c ∂t
Таким образом, и калибровка Лоренца не приводит к однозначному выбору потенциалов, хотя и ограничивает вид функции f требованием (14). Оставаясь в рамках калибровки Лоренца, можно подобрать функцию f так, чтобы выполнялось еще одно дополни-
Часть III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
295
тельное условие, налагаемое на одну из четырех величин ϕ , Ax , Ay , Az .
Вместо условия Лоренца на потенциалы можно наложить и любое другое условие.
Иногда пользуются так называемой калибровкой Кулона

(19.3.15)
div A = 0 .
В этом случае из (5) и (6) вытекают следующие уравнения для потенциалов

 1 ∂2 A
4π 
 1 ∂ϕ 
(19.3.16)
∆A − 2 2 − grad 
j,
=−
c ∂t
c
 c ∂t 
(19.3.17)
∆ϕ = −4πρ .
Как видно, при кулоновской калибровке скалярный потенциал ϕ оказывается статическим
(“кулоновским”) и определяется распределением зарядов так, как будто они покоятся.
Калибровку поля можно дополнить с целью дальнейшего упрощения системы

уравнений для потенциалов. Например, в области, где отсутствуют заряды ( ρ = 0 и j = 0 ),
уравнение (17) принимает вид
∆ϕ = 0
и допускает нулевое решение.
Тогда кулоновскую калибровку (15) можно дополнить условием
ϕ =0.
При этом уравнение для векторного потенциала приобретает вид
(19.3.18)

 1 ∂2 A
∆A − 2 2 = 0.
c ∂t
(19.3.19)



В этом случае векторы поля B и E находят с помощью только векторного потенциала A :




1 ∂A
.
19.3.20)
B = rot A ;
E=−
c ∂t
Соотношения (15) и (18) называют волновой калибровкой потенциалов.


Само собой разумеется, что электромагнитное поле B и E , найденное из решений
уравнений для потенциалов с кулоновской калибровкой и калибровкой Лоренца совпадают. Выбор калибровки потенциала диктуется в основном удобством решения и анализа
получаемых уравнений для потенциалов.
Система уравнений Даламбера (8) и (9), вытекающая из калибровки Лоренца используется чаще других. Эти уравнения однотипны, поэтому достаточно решить уравне
ние для скалярного потенциала ϕ , а векторный потенциал A получится в результате

формальной замены ρ → j c .
Надо отметить и то, что лоренцева калибровка имеет инвариантный характер (см.
далее §23.2, формула (23.2.8)), не зависит от выбора инерциальной системы отсчета, т.е.
потенциалы, удовлетворяющие этому условию в одной инерциальной системе отсчета,
удовлетворяют ему и во всякой другой ИСО.
§ 19.4. Решения уравнений для потенциалов электромагнитного поля
Теперь постановка и общая схема решения основной задачи электродинамики нахождение электромагнитного поля - выглядит следующим образом.
Пусть система зарядов совершает произвольное движение в некотором объеме V ′ .



Обозначим: r - радиус-вектор точки наблюдения M (r ) , в которой вычисляем поле, r ′ 
радиус-вектор точки пространства P (r ′) , где расположен произвольный заряд. Распределение и движение зарядов даны
296
Истеков К.К. Курс теоретической физики. Т.1.

ρ = ρ (r ′, t ) и
  
j = j (r ′, t ) .
(19.4.1)
 
 
Требуется найти напряженность поля E (r , t ) и индукцию поля B(r , t ) .
Вместо нахождения этих величин непосредственно из уравнений Максвелла опре 

деляем потенциалы поля A(r , t ) и ϕ (r , t ) из уравнений Даламбера

 1 ∂2 A
1 ∂ 2ϕ
4π 
(19.4.2)
∆ϕ − 2 2 = −4πρ ,
∆A − 2 2 = −
j.
c ∂t
c ∂t
c
 
 
Тогда величины E (r , t ) и B(r , t ) найдутся простым дифференцированием




1 ∂A
и
.
(19.4.3)
B = rot A
E = − grad ϕ −
c ∂t
Решение уравнений Даламбера рассмотрено в Приложении В. Общие решения
уравнений (2) записывают в следующем виде
 

и
A = AO + AH
ϕ = ϕO + ϕ H

Они состоят из частных решений ϕ H и AH неоднородных уравнений (2) и общих решений

ϕ O и AO соответствующих однородных уравнений


1 ∂ 2 AO
1 ∂ 2ϕ O
(19.4.4)
∆ϕ O − 2
= 0,
∆AO − 2
=0.
c ∂t 2
c ∂t 2
Начнем с однородных уравнений. Эти уравнения допускают ненулевые решения
(Приложение Д §Д.2 и §Д.3). Если поле зависит только от расстояния r до некоторой точки, называемой центром поля, т.е. обладает сферической симметрией, то потенциалы получим в виде бегущих сферических волн:
1  r
 r 
(19.4.5)
r   c
 c 
 
1    r    r 
(19.4.6)
AO (r , t ) =  A1  t −  + A2  t + 
r   c
 c 
Решения (5) и (6) записаны в сферической системе координат, начало которой помещено в центр поля. Первые слагаемые описывают расходящиеся волны, движущиеся от
начала координат со скоростью c , а вторые слагаемые описывают сходящиеся волны,
движущиеся к началу координат.
Если же в поле все точки равноправны, нет чем-то выделенных точек, то можно
использовать решение однородного уравнения в виде плоской волны


 k0 r 
 k0 r 

,
 + ϕ2  t +
(19.4.7)
ϕO (r , t ) = ϕ1  t −



c
c






 
 k r   k r
(19.4.8)
AO (r , t ) = A1  t − 0  + A2  t + 0  ,
c 
c 



где k 0 - единичный вектор, указывающий направление движения волны.
В любом случае важно то, что в пространстве, где нет зарядов и токов, имеет место
электромагнитное поле. Это поле называют свободным. Свободное поле образовалось все
же в системе, содержащей электрические заряды, а затем ушло за ее пределы, и мы имеем
дело с полем утратившим связь с зарядами. Такое поле существует в виде волны, распространяющейся со скоростью c .
Итак, общие решения однородных уравнений представляют собой суперпозицию

ϕO (r , t ) = ϕ1  t −  + ϕ2  t +  ,
Часть III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
297
двух произвольных волн, двух произвольных функций, распространяющихся в разные
стороны.
Для того чтобы выяснить, какие именно волны имеют место, т.е. явный вид этих
функций, необходимы начальные условия:

для скалярного потенциала ϕO (r , t )

∂ϕ O (r , t )

нач 
нач 
;
fϕ (r ) = ϕ O (r , t ) t = 0 ,
ψ ϕ (r ) =
∂t
t =0
 
для векторного потенциала AO (r , t )
 
 нач 
 
 нач  ∂AO (r , t )
.
f A (r ) = AO (r , t ) ,
ψ ϕ (r ) =
t =0
∂t
t =0
Для каждого из потенциалов имеем по два уравнения, откуда определим вид функций, удовлетворяющих начальным условиям.
Таким образом, свободное поле представляет собой поле, имеющееся в системе на
начальный момент времени, т.е. оно задано в начальный момент в каждой точке системы.
Дальнейшая эволюция свободного поля описывается приведенными выше решениями однородных уравнений (4).
Теперь обратимся к частному решению неоднородного уравнения Даламбера (Приложение Д §Д.4). Начнем с простого случая стационарного движения зарядов, когда плотности зарядов и токов от времени не зависят
  

и
j = j (r ′) .
ρ = ρ (r ′)
Тогда уравнения Даламбера обращаются в уравнения Пуассона (19.3.11)

4π 
(19.4.9)
j.
∆A = −
∆ϕ = −4πρ ,
c
Решение этих уравнений нам тоже известно (Д.4.14). Взяв
f = 4πρ ,
получим


ρ (r ′)
(19.4.10)
ϕ H (r ) = ∫   dV ′ .
r − r′
Чтобы получить векторный потенциал, положим
4π 
f =
j,
c
тогда

  1 j (r′)
AH (r ) = ∫   dV ′ .
c r − r′
(19.4.11)
Итак, формулы (10) и (11) - это потенциалы поля стационарно движущихся зарядов. Поле неподвижного заряда определяется только потенциалом (10).
Теперь рассмотрим поле произвольно движущихся зарядов (1). Нужное нам частное решение уравнений (2) возьмем из Приложения Д (Д.4.16). Опять, взяв в одном случае
g = 4πρ ,
а в другом случае
4π 
g=
j,
c
получим
298
Истеков К.К. Курс теоретической физики. Т.1.
 

r − r′ 

1

dV ′ ,
(19.4.12)
ϕ H (r , t ) = ∫   ρ  r ′, t −
r − r′ 
c 
 
 
r − r′ 
1
1  
dV ′ .
AH (r , t ) = ∫   j  r ′, t −
(19.4.13)
c r − r′ 
c 
Эти запаздывающие решения, имеющие прозрачную физическую интерпретацию.
Скалярный и векторный потенциалы в данной точке поля есть суперпозиция вкладов, порождаемых зарядами в различных точках пространства. Причем, согласно формулам (12)

и (13), электромагнитное поле в точке M (r ) в момент времени t определяется значения 

r − r′

′
ми ρ и j в точке r в предыдущий момент времени t −
.
c
 
r − r′
Величина
равна времени, которое необходимо, чтобы электромагнитное
c
возмущение, распространяясь со скоростью c , прошло расстояние от точки расположения


источника поля P (r ′) до точки наблюдения M (r ) . Таким образом, нестационарное электромагнитное поле существует в виде волны - электромагнитной волны.

Например, если где-то в точке P (r ′) произошло изменение плотности заряда ρ
или появился новый заряд, то во всех точках поля несомненно возникнут изменения ска
лярных потенциалов ϕ . Однако изменение потенциала в точке M (r ) , находящейся на
 
расстоянии R = r − r ′ от места появления изменения заряда, произойдет не сразу, а спустя
некоторое время, равное R c , требующееся для распространения электромагнитного возмущения.

Аналогично изменение векторного потенциала A в какой-либо точке поля вслед
ствие изменения плотности тока j в другой точке поля, удаленной на расстояние R от
первой точки, произойдет с опозданием на время R c .

Таким образом, электродинамические потенциалы ϕ и A запаздывают в своих изменениях по времени от причин, вызывающих эти изменения.
Пусть мы вычисляем поле произвольно движущихся зарядов в некоторый момент
времени t . В общем случае заряды создавали поле и до начала наблюдения. Запаздывающие потенциалы описывают поле, образованное зарядами в прошлом и существующее в
каждой точке пространства в данный момент времени t . Для вычисления такого потенци 
R

ала необходимо знать плотности ρ (r ′, t ′) и j (r ′, t ′) с момента времени t − , где R - макc
симальное расстояние до зарядов системы. Тогда сможем рассчитать поле, создаваемое
системой зарядов в данной точке пространства в момент t и во все последующие моменты.
На практике часто начальные условия упрощаются: до некоторого момента t = 0
система зарядов покоилась или находилась в стационарном движении. Значит, к моменту
 

t = 0 функции ρ (r ′) и j (r ′) были известны и существует некоторое стационарное поле.
Потенциалы этого поля (10) и (11) заданы как начальные условия.
В момент времени t = 0 состояние системы изменяется, заряды начинают совер 

шать нестационарное движение и функции ρ (r ′, t ′) , j (r ′, t ′) известны в любой момент
времени t > 0 . При этом в электромагнитном поле возникает изменение, возмущение. Это
возмущение распространяется в пространстве в виде электромагнитной волны (12) и (13).
Поле, имевшее в начальный момент статический характер, далее изменяется вместе с из 

менением ρ (r ′, t ′) и j (r ′, t ′) (с учетом запаздывания). Закон изменения потенциалов поля,
Часть III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
299
связанный с нестационарным движением зарядов определяется запаздывающими потенциалами.
Приведенное в Приложении Д опережающее решение (Д.4.18) для уравнения Даламбера мы не рассматриваем. Опережающие потенциалы противоречили бы принципу
причинности, в соответствии с которым, изменение заряда приводит к изменению поля и
предшествует ему. Опережающее, наоборот, свидетельствовало бы, что изменение заряда
в будущие моменты времени (ток в будущем) влияет на поле в настоящий момент времени. Это и означает, что опережающее решение не имеет физического смысла, хотя оно
безупречно с математической точки зрения.
Подводя итоги, можем сказать следующее. Электромагнитное поле складывается
из свободного поля и поля, созданного системой зарядов, занимающих некоторую область
пространства. Если заряды совершают произвольное движение, то такая система излучает
электромагнитное поле, возникает электромагнитная волна, описывающаяся запаздывающим потенциалом.
Свободное поле является электромагнитной волной, задаваемой начальными условиями. Если в соответствии с начальными условиями свободных электромагнитных волн
в пространстве не было, то поле данной системы зарядов однозначно определяется только
запаздывающими потенциалами.
Уравнения электродинамики позволяют по известному состоянию электромагнитного поля (это потенциалы или напряженности) в данный момент времени найти состояние поля во все последующие моменты времени. Значит, уравнения электродинамики
устанавливают динамические закономерности в электромагнитном поле и удовлетворяют
принципу причинности.
Тот факт, что распространение электромагнитного поля - это волновой процесс,
еще не говорит о том, что электромагнитное поле обладает той же степенью реальности,
что и частицы. Может мы получили просто удобное математическое описание, представление эффекта запаздывания во взаимодействии.
Чтобы говорить о поле как о самостоятельном объекте, необходимо показать, что
оно обладает и такими динамическими характеристиками как энергия и импульс.