Квантование электромагнитного поля свободного от зарядов

Квантование
электромагнитного
поля свободного от
зарядов
Классическое представление
!
!
#B
rot E = "
#t !
! ! #D
rot H = j +
#t
!
divD = $
!
divB = 0
!
!
#D
rotrot A = µ0
#t
!
2
! 1# A
!
&A" 2 2 = 0
c #t
!
!
B = rot A
!
divA = 0
!
!
%A
E = "#$ "
%t
!
j =0 &=0
!
!
!
!
#D
#E
%(%A) " &A = µ0
= '0µ0
#t
#t
!
! 1$ A
"A# 2 2 = 0
c $t
2
Рассмотрим область пространства в форме куба со
стороной L. Решение будем искать в виде бегущих волн
и наложим переодические граничные условия.
!! ! !
!!
!
!
A =!'#$Ak (t )exp(ikr ) + Ak (t )exp("ikr )%&
"y
"x
"z
k x = 2!
k y = 2!
k z = 2!
L
L
L
!
!
!
!
!!
divA = 0 kAk (t ) = 0 kAk (t ) = 0
!
2
!
1 ! Ak (t )
2
"k Ak (t ) " 2
=0
2
c
!t
!
!
! 2 Ak (t )
2
+ " k Ak (t ) = 0 ! k = ck
2
!t
" x ," y ," z ( Z
!
!
!
!
! Ak (t )
2
+ " k Ak (t ) = 0 Ak (t ) = Ak exp(!" k t )
2
!t
!! ! "
!!
!
!
A = '#$Ak exp(!i" k t + ikr ) + Ak exp(i" k t ! ikr )%&
2
1
# k = ( (#0 E k2 +µ0 H k2 )dV
2 cube
!
!! ! "
!!
!
!
!A
Ek = !
= i" k Ak exp(!i" k t + ikr ) ! Ak exp(i" k t ! ikr )
!t
!! ! "
!!
!
i #! !
H k = $k ) Ak exp(!i" k t + ikr ) ! Ak exp(i" k t ! ikr ) %&
µ0
{
{
#0
Hk =
Ek
µ0
}
}
1
2
2
2
# k = ( (#0 E k +µ0 H k )dV = ( #0 E k dV
2 cube
cube
!! ! "
!!
!
! !"
2
Ek ! Ek = ! k { Ak exp(#i! k t + ikr ) # Ak exp(i! k t # ikr )} $
!! !
!!
!"
$ { Ak exp(i! k t # ikr ) # Ak exp(#i! k t + ikr )} =
!!
!!
! !"
2
2
"2
= ! k {2 Ak Ak # Ak exp 2(#i! k t + ikr ) + Ak exp 2(i! k t # ikr )}
! !" 3
2
! k = % ! 0 Ek dV = 2! 0 Ak Ak L
cube
!
Ak =
!
1
(" kQk + iPk ) xk
2 12
(4! 0V" k )
!"
!
1
Ak =
(" kQk # iPk ) xk
2 12
(4! 0V" k )
1 2
! k = (Pk + " k2Qk2 )
2
Классический гармонический
осциллятор с единичной массой
Квантовомеханический
гармонический осциллятор
! 1 !2
! !#
2 !2
!
H = ( p + ! q ) "q , p $ = i "
2
!
1
1
! !
!+
! !
a=
(!q + ip ) a =
(!q % ip )
2"!
2"!
!
1
1
!+ !
!2
!!
!!
2 !2
a a=
(! q + p + i!qp % i! pq ) =
(2 H % "! )
2"!
2"!
!
!+ ! 1
! !+ ! ! ! !+ #
H = "! (a a + 2 ) n = a a "a , a $ = 1
!
!+ ! 1
H n = "! (a a + 2 ) n = E n n
!+ !+ ! 1 !+
!+
"! (a a a + 2 a ) n = E n a n
"+ "+ " 1 "+
"+
!! (a a a + 2 a ) n = En a n
" "+ "+ "
aa ! a a = 1
"+ " "+ "+ 1 "+
"+
!! (a aa ! a + 2 a ) n = En a n
"+ " 1 "+
"+
!! (a a + 2 )a n = (En + !! )a n
" "+
"+
"+
Ha n = (En + !! )a n
n +1 = a n
"
H n +1 = En+1 n +1
"
n !1 = a n En!1 = En ! !!
"
!!
"+ " 1
H 0 = !! (a a + 2 ) 0 =
2
En+1 = En + !!
Уровни энергии осциллятора
En+1
En-1
n !1 n !1 = n n = n +1 n +1
!
! n n !1 = a n
n !1 ! n" = n a +
!+ !
2
n !1 n !1 ! n = n a a n = n
E0
! n2 = n ! n = n
!
a n = n n !1
!+
a n = n +1 n +1
a+
a
!"
En
!
!"
2
!
!
Ak =
Квантование
поля
!
1
2
k
(4!0V " )
1
2
!
(" kQ k + iPk )x k
A =
!
k
1
2
k
(4!0V " )
1
2
!
(" kQ k " iPk )x k
1
! k = ( Pk2 + " k2Q k2 )
2
a ,ak
+
k
!
nk = a a !
+
k k
Операторы рождения и уничтожения кванта энергии
моды электромагнитного поля с частотой ωk и
волновым вектором k
Число фотонов k, возбужденных в полости,
определяется собственными значениями оператора
числа частиц
a k n k = n k n k !1
nk , nk , nk … = nk
1
2
3
a n k = n k +1 n k +1
+
k
1
nk
2
nk …
3
1
2
!
!
! " " %
!
1
1
'' a k x k
Ak =
(" kQ k + iPk )x k !
(" k q k + ip k )x k = $$
1
1
2 2
2 2
(4!0V " k )
(4!0V " k )
# 2!0V " k &
!(
Ak =
1
2
k
(4!0V " )
1
2
!
(" kQ k ) iPk )x k !
1
2
! " " % +!
'' a k x k
(" k q k ) ip k )x k = $$
1
2 2
(4!0V " k )
# 2!0V " k &
1
1
2
" " % !
!
'' x k a k exp()i!t + ikr ) ) a k+ exp(i!t ) ikr )
A = *$$
k # 2! 0V " k &
{
" "!
!
E k = i $$ k
# 2"0V
}
1
2
% !
'' x k a k exp()i!t + ikr ) ) a k+ exp(i!t ) ikr )
&
{
}
1
" "c 2 % 2
!
!
H k = i $$
'' k + x k a k exp()i!t + ikr ) ) a k+ exp(i!t ) ikr )
# 2µ0V ! k &
"
1
1%
! k = , dV n k !0 E k E k + µ0 H k H k n k ! k = $ n k + ' !! k
2
2&
#
" +
"
1%
1%
H R = * !! k $a k a k + ' " = *$ n k + ' !! k I k = E k + H k
2&
2&
#
k
k #
{
}
Энергия нулевых колебаний
Электромагнитный вакуум
nk1 = nk2 = nk3 = … = 0
1
"0 = # !$ k
2
k
"0 =
&
3
k
2 3
V!$
d$ k ' (
2% c
") = " * "0 = #")k = # !$ k nk
k
!
k