Электростатика в вакууме Задача № 1.1 Заряд распределён

Электростатика в вакууме
Задача № 1.1
Заряд распределён внутри бесконечного цилиндра радиуса R с объёмной плотностью  (r )  Arn , где A
и n – заданные константы, r – расстояние от точки внутри цилиндра до оси цилиндра. Найти напряжённость
электрического поля во всех точках пространства, разбив цилиндр на бесконечно тонкие цилиндрические слои
и просуммировав напряжённости этих слоёв. Найти потенциал во всех точках пространства. Аддитивную
константу в потенциале выбрать так, чтобы потенциал в точках поверхности цилиндра обращался в ноль.
Вычислить заряд единицы длины цилиндра  ; из полученной формулы выразить константу A через  , n, R
и подставить A в формулы для потенциала и напряжённости. Построить схематично графики потенциала и
величины напряжённости как функций от r .
Задача № 1.2
Заряд распределён внутри бесконечного цилиндра радиуса R с объёмной плотностью  (r )  Arn , где A
и n – заданные константы, r – расстояние от точки внутри цилиндра до оси цилиндра. Найти потенциал во
всех точках пространства, решая уравнение Пуассона. Аддитивную константу в потенциале выбрать так, чтобы
в точках поверхности цилиндра потенциал обращался в ноль. Найти напряжённость электрического поля во
всех точках пространства. Вычислить заряд единицы длины цилиндра  ; из полученной формулы выразить
константу A через  , n, R и подставить A в формулы для потенциала и напряжённости. Построить
схематично графики потенциала и величины напряжённости как функций от r .
Задача № 2.1
Заряд распределён внутри шара радиуса R с объёмной плотностью  (r )  Ar n , где A и n – заданные
константы, r – расстояние от точки внутри шара до центра шара. Найти напряжённость электрического поля во
всех точках пространства, разбив шар на бесконечно тонкие сферические слои и просуммировав
напряжённости этих слоёв. Найти потенциал во всех точках пространства. Аддитивную константу в потенциале
выбрать так, чтобы потенциал в бесконечно удалённых точках пространства обращался в ноль. Вычислить
заряд шара q; из полученной формулы выразить константу A через q, n, R и подставить A в формулы для
потенциала и напряжённости. Построить схематично графики потенциала и величины напряжённости как
функций от r .
Задача № 2.2
Заряд распределён внутри шара радиуса R с объёмной плотностью  (r )  Ar n , где A и n – заданные
константы, r – расстояние от точки внутри шара до центра шара. Найти потенциал во всех точках
пространства, решая уравнение Пуассона. Аддитивную константу в потенциале выбрать так, чтобы в
бесконечно удалённых точках пространства потенциал обращался в ноль. Найти напряжённость электрического
поля во всех точках пространства. Вычислить заряд шара q; из полученной формулы выразить константу A
через q, n, R и подставить A в формулы для потенциала и напряжённости. Построить схематично графики
потенциала и величины напряжённости как функций от r .
Мультипольное разложение потенциала
Задача № 3
Найти потенциал электрического поля изображённой на рисунке системы точечных зарядов на больших
расстояниях от неё с точностью до квадрупольных слагаемых включительно.
(1)
(2)
q
a
a
(4)
y
−2q
z
−q
b
q
a
q
a
y
z
b
b
−q y
−q
x
x
q
b
b
−q
y
b
y
−2q
q
z
(6) −q
b b
q
(5)
q
a
x
x
b
q
(3)
q −2q
a
q
x
z
z
z
b q
y
b
q
−q b
x
Задача № 4
Равномерно заряженный по поверхности прямоугольник со сторонами a, b и полным зарядом q
расположен в плоскости двух координатных осей так, как показано на рисунке; центр прямоугольника
совпадает с началом координат. Найти потенциал электрического поля на больших расстояниях с точностью до
квадрупольных слагаемых включительно.
(7)
z
(8)
a
b
b
y
x
z
(9)
z
a
a
y
x
y
x
b
Электростатика в веществе
Задача № 5
Точечный заряд q расположен на плоской границе раздела двух однородных бесконечных диэлектриков с
проницаемостями 1 и  2 . Найти потенциал, напряжённость и индукцию электрического поля во всех точках
пространства.
Задача № 6
От некоторой прямой, на которой находится точечный заряд q , расходятся три полуплоскости. Углы
между полуплоскостями равны 1 ,  2 ,  3 ( 1   2  3  2 ) . Эти три полуплоскости являются границами
раздела трёх диэлектриков, то есть пространство между полуплоскостями заполнено однородными
диэлектриками с проницаемостями 1 ,  2 ,  3 . Найти потенциал, напряжённость и индукцию электрического
поля во всех точках пространства.
Задача № 7
Всё пространство вокруг точечного заряда q
заполнено двумя однородными диэлектриками с
проницаемостями 1 и  2 . Диэлектрик с проницаемостью 1 имеет форму бесконечного конуса с началом в
точечном заряде q , конус занимает телесный угол  . Остальное пространство занимает диэлектрик с
проницаемостью  2 . Найти потенциал, напряжённость и индукцию электрического поля во всех точках
пространства.
Задача № 8
Точечный заряда q находится в центре шара радиуса R , состоящего из однородного диэлектрика с
проницаемостью 1 , а остальное пространство занимает однородный диэлектрик с проницаемостью  2 . Найти
потенциал, напряжённость и индукцию электрического поля во всех точках пространства. Определить
поверхностную плотность связанных зарядов на границе диэлектриков.
Задача № 9
Центр проводящего шара с зарядом q и радиусом R находится на плоской границе раздела двух
бесконечных однородных диэлектриков с проницаемостями 1 и  2 . Найти потенциал, напряжённость и
индукцию электрического поля во всех точках пространства. Найти поверхностные плотности свободных и
связанных зарядов на границе проводящего шара с диэлектриками, а также поверхностную плотность
связанных зарядов на границе диэлектриков.
Задачи по магнитостатике
Задача № 10
Найти магнитное поле H, магнитную индукцию B и векторный потенциал A прямолинейного
бесконечного тока J , текущего в среде с магнитной проницаемостью  .
Результат: в цилиндрических координатах (r ,  , z ) с осью z вдоль тока: H 
Az  
2J
, H r  H z  0 ,
cr
2J
ln r , A  Ar  0 .
c
Задача № 11 (БТ №246)
Найти векторный потенциал
A
и магнитное поле
H,
создаваемые двумя прямолинейными
параллельными токами J , текущими в противоположных направлениях. Расстояние между токами 2a.
Магнитная проницаемость среды  .
Указание: сложить векторные потенциалы токов.
Результат: если начало отсчёта поместить посередине между токами, ось z направить по течению одного
из токов, ось x направить так, чтобы токи, текущие в положительном и отрицательном направлениях оси z ,
пересекали ось x в точках с x  a и x  a соответственно, то Ax  Ay  0 , Az 
Hx  
2 J r2 J ( x  a) 2  y 2
ln  ln
;
c
r1 c ( x  a) 2  y 2
2J  x  a x  a 
8 J xya
, Hy 
 2  , H z  0 , где r1  ( x  a ) 2  y 2 , r2  ( x  a ) 2  y 2 .

2 2
c  r12
r2 
c r1 r2
Задача № 12
Определить напряжённость магнитного поля плоскости, по которой прямолинейно течёт ток, равномерно
распределённый по поверхности с поверхностной плотностью i.
Результат: по обе стороны от плоскости поле однородно и равно по величине H  2 i c ; причём поле по
одну сторону от плоскости направлено противоположно полю с другой стороны плоскости.
Задача № 13
Определить напряжённость магнитного поля, созданного двумя параллельными плоскостями, по которым
прямолинейно текут токи с одинаковыми поверхностными плотностями i. Рассмотреть два случая: (а) токи
текут в противоположных направлениях; (б) токи направлены одинаково.
Задача № 14 (БТ №244)
Вдоль прямолинейной бесконечно длинной полоски шириной a течёт поверхностный ток J , равномерно
распределённый по её ширине.
(а) Найти напряжённость магнитного поля в окружающем пространстве, разбив полоску на бесконечно
узкие полоски и просуммировав их напряжённости (напряжённость прямолинейного бесконечного тока считать
известной).
(б) Показать, что магнитное поле вблизи центральной части полоски является однородным (совпадает с
магнитным полем плоскости, по которой течёт ток, равномерно распределённый по поверхности).
Результат:
Hx 
2J
ca

xa/2
xa/2
 arctg
 arctg
,
y
y 

Hy 
J ( x  a / 2) 2  y 2
ln
,
ca ( x  a / 2) 2  y 2
Hz  0 ;
ось
y
перпендикулярна полосе и проходит через её середину, ось z направлена в сторону течения тока.
Задача № 15 (БТ №242)
Определить во всех точках пространства напряжённость магнитного поля H, магнитную индукцию B и
векторный потенциал A, создаваемые током J , текущим по бесконечному цилиндрическому проводнику
кругового сечения радиуса a (ток J
равномерно распределённым по площади сечения). Магнитные
проницаемости проводника и окружающего проводник вещества равны 1 и  2 соответственно.
Результат. Ниже приведены компоненты векторов H, B и A в цилиндрических координатах (r ,  , z ) с
осью z , совпадающей с осью цилиндра и направленной по току J . Отсутствующие компоненты равны нулю.
r  a :
H 
2J
r ,
ca 2
B  1 H ,
r  a :
H 
2J
,
cr
B  2 H  ,
  r 2 
1      ;
  a  
2 J 2 r
Az  
ln .
c
a
Az 
J 1
c
Задача № 16 (БТ №243)
По проводнику, представляющему собой бесконечный цилиндрический слой (внутренний радиус a,
внешний b ), течёт ток J , равномерно распределённый по площади сечения. Определить напряжённость
магнитного поля H, магнитную индукцию B и векторный потенциал A во всех точках пространства.
Магнитные проницаемости всех сред считать заданными.
Результат. Ниже приведены компоненты векторов H, B и A в цилиндрических координатах (r ,  , z ) с
осью z , совпадающей с осью цилиндра и направленной по току J . Отсутствующие компоненты равны нулю.
r  a :
H  0,
a  r  b :
H 

2J
a2
r 
2  
c(b  a ) 
r
r  b :
H 
2J
,
cr
2

,

B  1 H  0,
Az  C1 ;
B  2 H  ,
Az  

2 J 2  r2
2
  a ln r   C2 ;
c(b 2  a 2 )  2

B  3 H ,
Az  
2 J 3
ln r  C3 .
c
Константы C1 , C2 , C3 в векторном потенциале определяются из условия его непрерывности при r  a и при
r  b , что позволяет любые две константы выразить через третью.
Задача № 17 (БТ №241)
По поверхности цилиндрической оболочки радиуса b течёт ток J , равномерно распределённый по
окружности сечения. Внутри цилиндрической оболочки находится коаксиальный с ней провод радиуса a с
магнитной проницаемостью 1 , по которому течёт в обратном направлении такой же ток J , равномерно
распределённый по площади кругового сечения. Магнитная проницаемость вещества между проводом и
цилиндрической оболочкой равна 2 . Определить напряжённость магнитного поля H, магнитную индукцию
B и векторный потенциал A во всех точках пространства.
Результат. Ниже приведены компоненты векторов H, B и A в цилиндрических координатах (r ,  , z ) с
осью z , совпадающей с осью цилиндра и направленной в сторону течения тока в проводе радиуса a.
Отсутствующие компоненты равны нулю.
r  a :
H 
2J
r ,
ca 2
B  1 H  ,
a  r  b :
H 
2J
,
cr
B  2 H  ,
r  b :
H  0,
B  3 H  0,
  r 2 
1      ;
  a  
2 J 2 r
Az  
ln ;
c
a
Az 
J 1
c
Az  
2 J 2 b
ln ;
c
a
Магнитный момент тока
Задача № 18 (БТ №276)
Найти магнитный момент m шара радиуса R и заряда q, вращающегося вокруг одного из своих
диаметров с постоянной угловой скоростью, по величине равной . Рассмотреть случаи равномерного
объёмного и равномерного поверхностного распределений заряда q .
Результат: для объёмного распределения m 
qR 2
qR 2
ω, для поверхностного m 
ω.
5c
3c
Примечание: для объёмного распределения  
q
q
, для поверхностного  
.
4
4 R 2
 R3
3
Задача № 19
Найти магнитный момент m заряженного шара радиуса R, вращающегося вокруг одного из своих
диаметров с постоянной угловой скоростью, по величине равной . Шар заряжен по объёму с плотностью
 (r )  Ar n , где r – расстояние от центра шара до точки внутри шара. Вычислить заряд шара q; из полученной
формулы выразить константу A через q, n, R и подставить A в формулу для магнитного момента.
Результат: m 
qR 2 n  3
R n3

ω , q  4 A
.
3c n  5
n3
Задача № 20
Найти магнитный момент m сферического слоя, ограниченного сферами радиусов R1 и R2 ( R1  R2 ),
равномерно заряженного по объёму и вращающегося с постоянной угловой скоростью, по величине равной  ,
вокруг оси, проходящей через центр слоя.
Результат: m 
q
q R25  R15
ω. Примечание:  
.

4
5c R23  R13
3
3
 ( R2  R1 )
3
Задача № 21
Найти магнитный момент m заряженного цилиндра радиуса R и высоты h, вращающегося вокруг своей
оси с постоянной угловой скоростью, по величине равной . Цилиндр заряжен по объёму с плотностью
 (r )  Arn , где r – расстояние от оси цилиндра до точки внутри цилиндра. Вычислить заряд цилиндра q; из
полученной формулы выразить константу A через q, n, R, h и подставить A в формулу для магнитного
момента.
Результат: m 
qR 2 n  2
Rn2
ω , q  2 Ah

.
2c n  4
n2
Задача № 22
Найти магнитный момент m цилиндра радиуса R и высоты h, вращающегося вокруг своей оси с
постоянной угловой скоростью, по величине равной . Цилиндр заряжен равномерно по объёму, полный заряд
цилиндра q.
Результат: m 
qR 2
q
ω. Примечание:  
.
4c
 R2h
Задача № 23
Найти магнитный момент m сферы радиуса R, вращающейся вокруг диаметра с постоянной угловой
скоростью, по величине равной . Сфера заряжена с поверхностной плотностью  ( )  A sin 2  , где  – угол
между осью вращения и точкой на сфере. Вычислить заряд сферы q; из полученной формулы выразить
константу A через q, R и подставить A в формулу для магнитного момента.
Результат: m 
2 qR 2
8
ω, q   R 2 A.

5 c
3