Сборник задач по курсу общей физики. Часть 2

Министерство образования Российской Федерации
ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
В.Г. Казачков
Ф.А. Казачкова
С.Н. Чмерев
Т.М. Чмерева
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
Часть 2
Учебное пособие для заочного отделения
Оренбург 2000
ББК 22.3я7
С 23
УДК53 (076.5)
Рекомендовано Редакционно - издательским Советом ОГУ
протокол №_________, от ____________________ 2000 г.
Рецензент
кандидат технических наук, доцент Э.А.Савченков
Казачков В.Г., Казачкова Ф.А., Чмерев С.Н., Чмерева Т.М.
С 23
Сборник задач по курсу общей физики. Часть 2: Учебное
пособие для заочного отделения.- Оренбург:ОГУ,2000. - 108 с.
Учебное пособие предназначено для выполнения контрольных работ по физике студентами-заочниками инженерно-технических специальностей.
ББК 22.3я7
C
1604010000
6Л9 - 2000
” Казачков В.Г., 2000
” ОГУ, 2000
2
Содержание
Введение ...................................................................................................................4
1 Электрическое поле в вакууме............................................................................5
1.1 Основные формулы и понятия .........................................................................5
1.2 Методические указания ....................................................................................8
1.3 Решение задач ..................................................................................................10
1.4 Задачи для контрольной работы ....................................................................23
2 Электрическое поле в веществе. Электроемкость. Энергия поля.................27
2.1 Основные формулы и понятия .......................................................................27
2.2 Методические указания ..................................................................................28
2.3 Решение задач ..................................................................................................30
2.4 Задачи для контрольной работы ....................................................................37
3 Постоянный ток ..................................................................................................39
3.1 Основные формулы и понятия .......................................................................39
3.2 Методические указания ..................................................................................41
3.3 Решение задач ..................................................................................................41
3.4 Задачи для контрольной работы ....................................................................54
4 Магнитное поле в вакууме ................................................................................56
4.1 Основные формулы и понятия .......................................................................56
4.2 Методические указания ..................................................................................58
4.3 Решение задач ..................................................................................................60
4.4 Задачи для контрольной работы ....................................................................72
5 Магнитное поле в веществе. Энергия магнитного поля.................................76
5.1 Основные формулы и понятия .......................................................................76
5.2 Методические указания ..................................................................................77
5.3 Решение задач ..................................................................................................79
5.4 Задачи для контрольной работы ....................................................................85
6 Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла.....................................87
6.1 Основные формулы и соотношения ..............................................................87
6.2 Методические указания ..................................................................................89
6.3 Примеры решения задач .................................................................................91
6.4 Задачи для контрольной работы ..................................................................101
Список использованных источников ................................................................108
3
Введение
Предлагаемый сборник задач по физике представляет собой вторую
часть издаваемого кафедрой физики учебно-методического пособия для студентов заочного отделения. В этом сборнике представлены задачи по разделам курса физики "Электричество" и "Электромагнетизм" в полном соответствии с программой по физике и государственным общеобразовательным
стандартом. При подборе и формулировке задач основное внимание обращалось на то, чтобы задачи способствовали развитию у студентов физического
мышления и единому (аналогично с задачами по разделу "Механика") подходу к решению физических задач. Такой подход, на наш взгляд, позволит студентам-заочникам не только глубже усвоить теоретический материал учебника, но и лучше понять общие подходы к решению физических задач.
Работа по составлению и изданию сборника распределилась следующим образом: задачи по теме "Постоянный ток" подобраны Казачковой
Ф.А., задачи по остальным темам подобраны Казачковым В.Г., Чмерёвым
С.Н. и Чмерёвой Т.М. Методические указания к решению задач и разбор типовых задач составлен Казачковым В.Г.
4
1 Электрическое поле в вакууме
1.1 Основные формулы и понятия
Закон Кулона: два точечных заряда q1 и q2, находящиеся на расстоянии
r, взаимодействуют с силой
F
1 q1q2
˜
,
4SH 0 r 2
(1.1)
где H0 = 8.85˜10-12 Ф/м - электрическая постоянная.
Напряженностью электрического поля называется векторная величина
&
E
&
F / qc ,
(1.2)
&
где F - сила, с которой поле действует на помещенный в данную точку
поля пробный положительный заряд qc.
&
Поток вектора напряженности поля E сквозь замкнутую поверхность
определяется интегралом
N
& &
E
³ dS
S
³ En dS ,
(1.3)
S
&
где Еn - проекция вектора E на направление нормали к элементу площади dS.
&
Теорема Гаусса: поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности,
деленной на H 0 , т.е.
³ En dS
S
1
¦ qi .
H0
(1.4)
Нижеследующие формулы (1.5) – (1.10) являются следствиями применения теоремы Гаусса к указанным в них случаях расчета поля.
Напряженность электрического поля, созданного точечным зарядом на
расстоянии r от него:
E
1
q
˜ 2.
4SH 0 r
(1.5)
Напряженность поля диполя в точке, находящейся на расстоянии r !! l
от диполя (l - плечо диполя):
5
E
1
p
˜ 3 1 3 cos 2 D ,
4SH 0 r
(1.6)
где
р = ql - электрический момент диполя;
D - угол между осью диполя и радиусом-вектором, проведенным
из центра диполя в данную точку.
Напряженность поля равномерно заряженной сферической поверхности в точках, лежащих вне и внутри сферы на расстоянии r от её центра, соответственно равны:
а) Евнеш =
q
1
˜ 2;
4SH 0 r
б) Евнутр = 0.
(1.7)
Напряженность поля бесконечно длинной равномерно заряженной нити или бесконечно длинной равномерно заряженной цилиндрической поверхности в точках, расположенных вне её:
E W 2SH 0 a ,
(1.8)
где
а - расстояние точки от нити (оси цилиндра);
W -линейная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины нити или цилиндра, т.е.
W
dq
;
dl
W
'q/'l.
(1.9)
Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости
Е = V /2H0,
(1.10)
где V - поверхностная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу поверхности
V = dq/dS;
V = 'q/'S.
(1.11)
Напряженность поля двух бесконечных параллельных равномерно заряженных с поверхностной плотностью заряда +V и –V плоскостей (поле
плоского конденсатора) в точках, расположенных между плоскостями и вне
их, соответственно равна
а)
б)
6
Евнутр = V /H0;
Евнеш = 0.
(1.12)
Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся на расстоянии r, при условии, что Wf =0, равна
W=
1 q1q2
˜
.
4SH 0 r
(1.13)
Работа, совершаемая силами поля по перемещению заряда q между
двумя точками поля, равна
А = –'W = q(M1 - M2),
(1.14)
или
2
A
& &
F
³ dl
1
2
& &
q ³ Edl
1
2
q ³ El dl ,
(1.15)
1
&
где El - проекция вектора E на направление dl; при этом интегрирование производится вдоль любой линии между точками 1 и 2.
Разность потенциалов и напряженность электрического поля связаны
соотношениями
M1 M 2
2
³ El dl
(1.16)
1
и
El
dM
,
dl
(1.17)
где производная берется &вдоль силовой линии.
Для однородного поля ( E const )
Е = (M1 - M2)/l,
(1.18)
где l - расстояние между двумя точками, измеренное вдоль силовой линии.
Потенциал поля точечного заряда q на расстоянии r от него
M
1 q
˜ .
4SH 0 r
(1.19)
Потенциал поля сферической поверхности радиуса r0, по которой равномерно распределен заряд q, равен
7
M
1 q
˜
4SH 0 r
(1.20)
для точек, лежащих вне сферы на расстоянии r от ее центра, и
M
1
q
˜
4SH 0 r0
(1.21)
для точек, лежащих внутри сферы или на её поверхности.
1.2 Методические указания
1.2.1 При решении задач на нахождение напряженности электрического поля, если задано распределение зарядов, создающих это поле, могут
встретиться следующие случаи:
а) поле образовано одним или несколькими точечными зарядами. Тогда
используют формулу (1.5) и принцип суперпозиции (наложения) полей: напряжённость поля системы зарядов равна векторной сумме напряженности
полей, создаваемых отдельными зарядами;
б) поле создано зарядами, которые не являются точечными, но распределены равномерно по сферическим, цилиндрическим или плоским поверхностям. Тогда используют теорему Гаусса или выведенные с её помощью
формулы (1.7), (1.8), (1.10), (1.12). При этом бесконечно длинным цилиндром
(нитью) можно считать любой реальный цилиндр (нить) для точек, расстояние от которых до оси цилиндра (нити) значительно меньше, чем до его концов. Аналогично, всякую плоскость можно считать бесконечной относительно точек, расстояние которых до плоскости значительно меньше их расстояния до краев плоскости;
в) если тело не подходит под описанные выше случаи или имеет произвольную форму, то для определения напряженности поля необходимо разбить тело на бесконечно
малые элементы, найти по формуле (1.5) напряжен&
ность поля dE , созданную в данной
точке каждым элементом, а затем про&
суммировать напряженности dE от всех бесконечно малых элементов. Тогда
получим:
&
E
&
d
E
³
&
&
&
i ³ dE x j ³ dE y k ³ dE z ,
где интегрирование ведется по всему объему заряженного тела (по всей
площади заряженной поверхности,
по всей длине заряженной нити). В слу&
чае, если все направления dE одинаковы, геометрическое сложение можно
заменить арифметическим.
&
В случае, когда складываемые векторы dE имеют различные направления, следует выяснить, не обладает ли поле заряженного тела осевой сим8
метрией. Если это так и при этом точка, в которой ищется напряженность
&
поля, находится на оси симметрии поля, то в этом случае вектор E результирующего поля в этой& точке направлен вдоль оси симметрии поля. Чтобы найти модуль
& вектора E , достаточно сложить проекции всех элементарных векторов dE . Обозначив эти проекции через dEl , получим
E
³ dEl .
В общем случае, когда нельзя воспользоваться соображениями симметрии, поступают так. Выбирают координатные оси х, у, z, затем суммируют
(интегрируют) проекции dE x , dE y , dE z всех элементарных векторов напря&
&
женности dE на эти оси, получая тем самым проекции искомого вектора E ,
т.е.
Ex
³ dE x ,
Ey
³ dE y ,
Ez
³ dE z .
&
Вектор напряженности E искомого поля запишется в виде
&
E
&
&
&
i E x jE y kE z ,
& & &
где i , j , k - основные вектора соответствующих осей координат, а его
модуль – в виде
E
Ex 2 E y 2 Ez 2 .
1.2.2 Силу взаимодействия зарядов можно рассчитывать двумя способами: по закону Кулона или через значение напряженности поля (1.2). Второй способ, при котором задача сводится к расчету электрического поля заряда q в том месте, где находится
& заряд qc, обладает преимуществом в тех
случаях, когда для определения E можно использовать формулы (1.7), (1.8),
(1.10), (1.12). Это позволяет избежать сложного интегрирования, которое
может оказаться необходимым при первом способе. Следует иметь в виду,
что, хотя в формуле (1.2), определяющей напряженность поля, под qc подразумевается точечный заряд, эту формулу можно применять для неточечного
заряда при условии, что &во всех точках пространства, где находится протяженный заряд qc, вектор E имеет одинаковые модуль и направление.
1.2.3 Для вычисления потенциала поля, созданного одним или несколькими точечными зарядами, применяют формулу (1.19) и принцип суперпозиции полей, в силу которого потенциал поля нескольких точечных зарядов
равен алгебраической сумме потенциалов, созданных отдельными зарядами.
Следует отметить, что методы определения потенциала поля во многом сов9
падают с методами определения напряженности поля, описанными в пункте
1.2.1.
1.2.4 Если в электрическое поле вносится проводник, то, вследствие
явления электростатической индукции, свободные заряды проводника перераспределяются так, что напряженность электрического поля внутри проводника, равная векторной сумме напряженностей внешнего поля и поля зарядов
самого проводника, становится равной нулю. При этом все точки проводника
приобретают одинаковый потенциал, называемый потенциалом проводника.
При этом нужно иметь в виду, что в результате явления электростатической
индукции изменяется, вообще говоря, потенциал и напряженность поля в
пространстве вокруг проводника. И только если известно распределение всех
зарядов, в том числе и зарядов, индуцированных на проводнике, можно найти потенциал в данной точке поля. Так как распределение индуцированных
зарядов заранее бывает неизвестно, решение задачи в общем случае оказывается весьма сложным. В курсе общей физики обычно ограничиваются случаями, в которых в силу симметрии, можно найти распределение индуцированных зарядов на проводнике или пренебречь этим распределением.
1.2.5 Физический смысл имеет не сам потенциал, а лишь его изменение
(разность потенциалов), подобно тому, как существенным является не сама
потенциальная энергия системы, а лишь её изменение, равное работе, совершенной системой. Так формула (1.13), выражающая энергию взаимодействия
зарядов, справедлива лишь при условии, что величина W при бесконечном
удалении зарядов условно принимается равной нулю; формулы (1.19), (1.21)
также выведены в предположении, что потенциал бесконечно удаленных точек равен нулю.
1.2.6 В основе метода определения потенциала лежит соотношение
(1.16), связывающее разность потенциалов двух точек поля с напряженностью поля в пространстве между этими точками. При этом существенно, что
интегрирование можно производить по любому пути, соединяющему две
точки. Если известно пространственное распределение потенциала в неоднородном поле, формула (1.17) позволяет находить напряженность поля.
Задача упрощается в &случае симметричных полей, когда заранее известно
направление вектора E . Тогда достаточно взять производную от потенциала
по координате в данном направлении.
1.3 Решение задач
Задача 1. Два одинаковых положительных точечных заряда q1 = q2 = q
находятся на расстоянии 2l = 10.0 см
друг от друга (рисунок 1.1). Найти на
прямой MN, являющейся осью симметрии этих зарядов, точку, в которой
напряженность электрического поля
имеет максимум.
Решение. Прежде всего выясРисунок 1.1
10
ним, почему такая точка должна существовать. Напряженность результирующего поля в любой точке на прямой MN определяется по принципу суперпозиции
&
E
&
&
E1 E 2 .
При этом в точке O, лежащей между
&
& зарядами, результирующее поле
равно нулю, т.к. в этой точке вектора E1 и E 2 равны по модулю и противопо&
ложны по направлению. В точках, весьма удаленных от зарядов, вектора E1 и
&
E 2 направлены приблизительно в одну сторону и, согласно (1.5), на больших
расстояниях стремятся к нулю. Следовательно, на прямой MN по обе стороны от зарядов, должны быть точки, где поле достигает& максимума.
Чтобы решать задачу, найдем напряженность E в произвольной точке
A прямой MN. Из чертежа видно, что
E = 2E1cosM ,
(1.22)
где M - угол между E1 и осью MN. Обозначив отрезок OA через x из
'Oaq1, найдем
cos M =
x
r
x
x2 l 2
и, подставляя значение cosM в (1.22), с учетом выражения (1.5), получим
E
1
2qx
˜ 2
.
4SH 0 (l x 2 ) 3 / 2
(1.23)
&
Эта формула выражает модуль вектора E в произвольной точке прямой MN как функцию координаты x в этой точке. Чтобы найти максимум
функции, продифференцируем выражение (1.23) по х и приравняем нулю
производную:
dE
dx
x1, 2
rl / 2
1
2q ª l 2 x 2
4SH 0 «¬
3 / 2
3x 2 l 2 x 2
5 / 2 º
»¼
0.
Отсюда находим:
r3.5 см.
11
Два значения х соответствуют двум точкам, расположенным по обе
стороны от точки О на расстоянии 3.5 см. Подставляя полученное &значение
х = 3.5 см в выражение (1.23), можно записать выражение вектора E в искомой точке:
&
q &
E 8 ˜ 10 3
i,
SH 0
&
где i - единичный вектор в направлении оси X.
Задача 2. Тонкий прямой стержень длиной l = 15 см равномерно заряжен с линейной плотностью W = 0.10 мКл/м. На продолжении оси на расстоянии a = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд q0 = 10 нКл
(рисунок 1.2). Определить силу взаимодействия стержня и заряда.
Решение. В данной задаче заряженный стержень нельзя считать точечным
зарядом, следовательно, нельзя непосредственно воспользоваться законом Кулона
для расчета силы взаимодействия. Чтобы
Рисунок 1.2
применить закон Кулона, рассмотрим
элемент длины dx стержня, находящийся на расстоянии x от заряда q0. Причем заряд на элементе dx, равный согласно (1.9) dq = Wdх, будем считать точечным. По закону Кулона на заряд q0 будет действовать со стороны заряда
dq сила, равная
1 q0 dq
˜
4SH 0 x 2
dF
1 q0Wdx
˜
.
4SH 0 x 2
Со стороны всех остальных бесконечно малых элементов стержня на
заряд q0 также будут
действовать элементарные силы, направленные в ту же
&
сторону, что и dF . Сложив их модули, найдем искомую величину силы, равную результирующей силе действия всех элементов стержня на заряд q0:
F
a l
³ dF
³
a
1 q0Wdx
˜
.
4SH 0 x 2
Проведя интегрирование и подставив пределы интегрирования, получим:
F
12
1
q0W
4SH 0
a l
³
a
dx
x2
q0W 1
1
( ).
4SH o a a l
Подставляя в полученное выражение для силы числовые значения, выраженные в единицах СИ, получим
F = 5˜10-5 H.
Задача 3. Тонкий стержень длиной 2l равномерно заряжен с линейной
плотностью W. Определить напряженность электрического поля в точке А,
лежащей против середины стержня на расстоянии а от него (рисунок 1.3).
Рассмотреть общий случай, а также частные случаи: a !! 2l и а 2l.
Решение. Общий случай соответствует любому соотношению между величинами а и l, поэтому заряженный
стержень при данном условии нельзя
считать точечным зарядом. В этом отношении данная задача аналогична предыдущей. Рассмотрим элемент стержня
dx, на расстоянии x от оси (рисунок 1.3).
Заряд элемента dq = W dx будем считать
Рисунок 1.3
точечным. Тогда по формуле (1.6) напряженность поля заряда dq в точке А равна
dE
1
4SH 0
˜
Wdx
r2
Wdx
1
˜
.
4SH 0 x 2 a 2
(1.24)
Искомая напряженность
поля в точке А равна сумме элементарных на&
пряженностей dE , созданных в этой точке всеми&элементами стержня. В отличие от предыдущей задачи, здесь векторы dE от различных элементов
стержня имеют различное направление. Следовательно, их векторная сумма
не равна сумме их модулей и мы не можем их интегрировать как в предыдущей задаче. Чтобы преодолеть эту сложность, воспользуемся соображениями
симметрии. Так как поле равномерно заряженного стержня обладает осевой
симметрией (по условию задачи) и точка А лежит на одной из осей симметрией (ось у на рисунке 1.3), то напряженность электрического поля в точке A
направлена вдоль этой оси.
Действительно, при сложении полей от любых двух симметрично расположенных элементов стержня& получается поле, направленное вдоль оси
симметрии, т.к. составляющие dE x полей элементов будут равны по модулю
и противоположны по направлению.
Следовательно, при суммировании всех
&
элементарных
векторов dE достаточно учесть лишь составляющие этих век&
торов dE y , взятые вдоль оси симметрии. Как видно из чертежа,
13
&
dE y
&
dE cos M ,
где
cos M
a / x2 a2 .
a/r
(1.25)
Таким& образом, мы свели задачу к сложению одинаково направленных
векторов dE y , и искомая напряженность E выразится интегралом
l
E
l
³ dE y ³ dE cosM
l
l
l
2³ dE cosM .
(1.26)
0
Подставляя в (1.26) значения dE и cosM по формуле (1.24) и (1.25) и
произведя интегрирование, получим
E=
Wa
x
˜
2SH 0 a 2 x 2 a 2
Wl
l
0
2
2SH 0 a l a
2
.
(1.27)
Рассмотрим частные случаи задачи:
Неравенство a !! 2l означает, что можно пренебречь размерами стержня по сравнению с расстоянием от данной точки, т.е. величиной l2 под знаком
корня в выражении (1.27) пренебрегаем. Другими словами, заряд стержня
можно считать точечным. Проведя соответствующие действия по формуле
(1.27) с учетом того, что 2Wl = q, получим
E = q/4SH0a2 ,
(1.28)
что совпадает с формулой (1.5).
Из неравенства a 2l следует, что данная точка находится вблизи
тонкого стержня и далеко от его концов, что соответствует бесконечно длинному стержню (нити, цилиндру). Пренебрегая в формуле (1.27) под знаком
корня величиной a2; получим
E = W/2SH0a,
(1.29)
что совпадает с формулой (1.8).
Задача 4. Очень длинная нить равномерно заряжена с линейной
плотностью W. Определить напряженность поля в точке, лежащей против
конца нити на расстоянии a от неё (рисунок 1.4).
14
Решение. В этой задаче нельзя
вычислять напряженность по формуле (1.8) для бесконечно длинной
нити, т.к. заданная точка А расположена вблизи не только нити, но и
одного из её концов (сравните со
случаем a 2l предыдущей задачи). Поэтому опять рассмотрим элемент dl нити и пусть он находится
на расстоянии r от точки А. Заряд
элемента равен dq = Wdl. Напряженность поля dE, созданного этим зарядим в точке А, равна
dE
Рисунок 1.4
1 Wdl
˜
.
4SH 0 r 2
(1.30)
В качестве переменной величины в этой задаче удобно выбрать угол M,
&
который составляет радиус-вектор r с нормалью к нити. Из чертежа (рисунок 1.4) видно, что
r
a
;
cosM
dl
rdM
cosM
adM
cos 2 M
.
(1.31)
Подставляя в формулу (1.30) значения r и dl из (1.31), получим
dE
1 rdM
˜
.
4SH 0 a
(1.32)
Чтобы найти полную напряженность в точке А, сложим напряженности
от всех элементов
нити. При этом следует иметь в виду, что все слагаемые
&
вектора dE имеют различное направление и здесь нельзя воспользоваться
соображениями симметрии, т.к. точка А не лежит ни на одной из осей симметрии нити. Поэтому, для решения задачи применим общий метод, описанный в пункте 1 методических указаний к теме.
Выберем оси& координат как показано на рисунке 1.4. Найдем составляющие вектора dE на оси
&
dE x
&
i dE x ,
&
dE y
&
j dE y ,
15
dE x
dE cosM
1 W cosMdM
˜
,
a
4SH 0
dE y
dE sin M
1 W sin MdM
˜
.
4SH 0
a
Интегрируя эти проекции по всей длине нити и учитывая, что при
& этом
угол M изменяется от 0 до S/2, вычислим проекции искомого вектора E и его
модуль
Ex
Ey
f
S /2
0
0
³ dE x
³
f
S /2
0
0
³ dE y
E
³
1 W cos MdM
˜
4SH 0
a
1 W sin MdM
˜
4SH 0
a
Ex 2 E y 2
W
,
4SH 0 a
W
,
4SH 0 a
2W
.
4SH 0 a
&
Вектор E в точке А запишется в виде
&
E
W &
W &
i j.
4SH 0 a
4SH 0 a
Задача 5. Точечный заряд q1 = 20 нКл помещен в центре непроводящей
сферической поверхности радиуса R = 15 см, по которой равномерно распределен заряд q2 = –20 нКл. Определить напряженность поля в точках А и В,
удаленных от центра сферы на расстояния rA = 20 см и rB = 10 см (рисунок
1.5). Чему равна напряженность поля в точке А, если заряд q1 сместить на
расстояние l = 1.0 мм от центра сферы в направлении оси X. Угол D с радиус-вектором точек А и B
равен 60q.
Решение. Напряженность поля, созданного
зарядами& q1 и &q2, равна векторной сумме напряженностей E1 и E 2 полей каждого заряда. Хотя заряд
q2 не является точечным, разбивать его на бескоРисунок 1.5
нечно малые элементы, как это сделано в трех предыдущих задачах не обязательно, так как заряд q2 равномерно распределен
по сферической поверхности. Для определения поля этого заряда можно воспользоваться формулами (1.7), т.е. поле сферы в точке А таково, как если бы
16
весь заряд сферы находился в её центре. Поэтому для расчета можно считать,
что на сфере вообще нет заряда, но в ее центре находятся два заряда q1 и q2.
Так как по условию они равны по модули и противоположны по знаку, то,
очевидно, их поля в точке А (как и в любой точке вне сферы) уничтожают
друг друга. Следовательно,
EA = 0.
Чтобы найти напряженность поля в точке В, учтем, что согласно (1.7б)
заряды, равномерно распределенные на сфере, не создают поля внутри ее.
Значит, в точке В будет поле, созданное только зарядом q1 и его напряженность
EB
1 q1
.
4SH 0 rB 2
(1.33)
После смещения заряда q1 из центра сферы поля зарядов q1 и q2 уже не
будут уничтожать друг друга. Как и прежде, заменяя заряженную сферу зарядом, помещенным в ее центр, видим, что задача сводится к определению
напряженности поля (в точке А) системы двух равных по модулю и противоположенных по знаку зарядов, т.е. поля диполя, имеющего плечо и электрический момент p = q1˜l. Так как по условию r !! l, то воспользуемся формулой (1.6) и найдем напряженность поля в точке А:
E cА
ql
1
˜ 31 1 3 cos 2 D .
4SH 0 r A
(1.34)
Подставляя данные задачи в формулы (1.34) и (1.33), получим
EB
18 ˜ 10 3 В/м;
E cА
25 В/м.
Задача 6. Два коаксиальных диска радиусов R1 = 10.0 см и R2 = 5.0 см
расположены на расстоянии d = 2.4 мм друг от друга (рисунок 1.6). Диски заряжены
равномерно
с поверхностной
плотностью
2
V = 20.0 мкКл/м . Определить силу электрического взаимодействия дисков.
Решение. Найдя площадь дисков и зная поверхностную плотность их зарядов, можно по формуле (1.11) найти
величины зарядов на этих дисках. Как и в предыдущих задачах, здесь нельзя определять силу взаимодействия заряженных дисков по закону Кулона (1.1), который применим лишь
для точечных зарядов. Нужно вначале по закону Кулона
найти силу взаимодействия двух бесконечно малых элемен- Рисунок 1.6
17
тов заряженных дисков, а затем, суммируя эти силы по обеим плоскостям,
определить полную силу взаимодействия. Однако существует более простой
способ решения задачи. Каждый из двух взаимодействующих зарядов находится в поле другого заряда. При этом напряженность поля заряженного диска радиуса R1 в тех точках, где расположен второй диск, можно вычислить по
теореме Гаусса (1.4). Действительно, все точки диска радиуса R2 находятся
вблизи диска R1 и далеко от его краев. Это значит, что в данной задаче, диск
радиуса R1 можно рассматривать как бесконечную равномерно заряженную
плоскость, напряженность которой определится по формуле (1.10):
E1
V
.
2H 0
(1.35)
Искомая формула для силы взаимодействия определится соотношением (1.2):
F
q2 E1 .
(1.36)
Подставляя в соотношение (1.36) выражение (1.35) и значение q2 = VS2,
получим
SR2 2V 2
V
.
(1.37)
F VS 2 ˜
2H 0
2H 0
После подстановки числовых значений в выражение (1.37) получим
F = 0.18 Н.
Замечание. Как видно из формулы (1.36), сила взаимодействия дисков
не зависит от расстояния между ними. Конечно, это будет справедливо до
тех пор, пока диск радиуса R1 можно рассматривать как бесконечную плоскость, т.е. пока выполняется неравенство d (R1 - R2). Наоборот, при достаточно большом расстоянии между дисками d !! R1, заряды дисков можно
считать точечными и силу взаимодействия между ними определить по закону
Кулона.
Задача 7. Определить потенциал электрического поля точечного диполя, электрический момент которого p = 2.0˜10-14 Кл˜м, в точке, лежащей на
оси диполя на расстоянии r = 10.0 см от его
центра со стороны положительного заряда (рисунок 1.7).
Решение. Из принципа суперпозиции полей следует, что потенциал любой точки элекРисунок 1.7
трического поля диполя равен алгебраической
18
сумме потенциалов, созданных в этой точке каждым зарядом диполя:
M A =M + + M – .
Тогда для точки А, согласно рисунка 1.7, по формуле (1.19) имеем
M=
1 § q
q ·
˜¨
¸
4SH 0 © r l / 2 r l / 2 ¹
1
p
˜ 2 2 ,
4SH 0 r l / 4
(1.38)
где p = ql.
Таким образом, для определения потенциала поля точечного диполя
надо знать, вообще говоря, не только его электрический момент, но и плечо l.
Учтем, что для точечного диполя выполняется соотношение l r. Поэтому,
пренебрегая в выражении (1.38) величиной l2/4 в знаменателе, найдем
M=
1
p
˜ 2.
4SH 0 r
(1.39)
Подставляя в формулу (1.38) числовые значения входящих параметров,
получим
M = 1.8 ˜ 10-2 В.
Задача 8. Тонкий диск радиуса r равномерно заряжен с поверхностной
плотностью V. Найти потенциал и напряженность поля в точке А, лежащей на
оси перпендикулярной к плоскости диска на расстоянии а от него (рисунок
1.8).
Решение. Чтобы найти потенциал диска в точке А, надо применить
принцип суперпозиции полей. Разобьем диск на элементарные кольца толщиной dx. Площадь такого кольца радиуса Х
равна 2Sхdx, а заряд кольца равен q = 2SVxdx.
Потенциал поля кольца равен сумме потенциалов, созданных всеми его точечными элементами, которые равноудалены от точки А.
Поэтому мы можем, заменив заряд кольца точечным зарядом той же величины, удаленным
на расстояние a0
a 2 x 2 (рисунок 1.8) от
точки А, найдем по формуле (1.19) потенциал
кольца:
dM =
1
2SVxdx
.
˜
4SH 0 a 2 x 2
Рисунок 1.8
19
Интегрируя это выражение, определим потенциал диска:
V
M=
2H 0
r
³
0
xdx
2
a x
2
V
2H 0
a
2
r2 a .
(1.40)
&
Из соображений симметрии ясно, что вектор напряженности E электрического поля направлен в точке А вдоль заданной оси диска. Поэтому для
нахождения модуля E можно применить тот же метод, что и в задаче 4. Однако, имея ответ (1.40), поступим проще. Рассматривая величину a как переменную, по формуле (1.17) получим
E
dM
da
V §¨
a
1
2H 0 ¨©
a2 r2
·
¸.
¸
¹
(1.41)
&
Вектор E запишется:
&
E
V §¨
a
1
2H 0 ¨©
a2 r2
·&
¸n ,
¸
¹
&
где n - единичный вектор в направлении заданной оси.
Заметим, что при a r выражение (1.41) переходит в формулу (1.10)
для напряженности бесконечной плоскости.
Задача 9. Точечный заряд q = 0.15 мкКл находится в центре сферической проводящей оболочки, внешний и внутренний радиусы которой соответственно равны R = 25 см и r = 20 см (рисунок 1.9). Определить напряженность поля в точках 1 и 2, удаленных от заряда соответственно на r1 = 50 см и
r2 = 10 см, а также разность потенциалов
между этими точками.
Решение. Если бы заряд q не был окружен проводником, то ответы на все вопросы можно было бы получить по формулам (1.5) и (1.19). Что же изменилось из-за
наличия проводника?
Под влиянием поля заряда q на сфеРисунок 1.9
рических поверхностях проводника появятся индуцированные заряды, равные по
модулю и противоположные по знаку: на внутренней - отрицательные, на
внешней - положительные. Из соображений симметрии ясно, что эти заряды
равномерно распределятся по каждой поверхности. Но, согласно формуле
(1.7а) это означает, что напряженность поля индуцированных зарядов такова,
20
как если бы заряды (+qинд и –qинд) оказались в центре сферы. Ясно, что при
этом их поля будут уничтожать друг друга. С учетом соотношения (1.7б),
приходим к выводу, что наличие проводящей оболочки не изменит напряженность поля заряда q в точках 1 и 2. Подставив числовые данные задачи в
формулу (1.5), найдем
Е1 = 5 кВ/м;
Е2 = 1.4˜102 кВ/м.
Потенциалы точек 1 и 2 определим с помощью принципа суперпозиции
полей
M = Mq + Mq инд + M-q инд .
Тогда для точки 1 согласно формулам (1.19) и (1.20) получим
M1 =
1 § q qинд qинд ·
¨ ¸
4SH 0 ¨© r1
r1
r1 ¸¹
1 q
.
4SH 0 r1
(1.42)
То есть потенциал снаружи сферической оболочки таков, как будто её
нет. Чтобы найти потенциал поля в точке 2, учтем, что напряженность поля
зарядов, равномерно распределенных по поверхности сферы, равна нулю
внутри сферы. Это означает, согласно (1.17), что все точки внутри заряженной сферы имеют одинаковый потенциал, равный потенциалу самой сферы и
определяемый формулой (1.21). Следовательно, для точки 2, лежащей внутри
оболочки (используя принцип суперпозиции), потенциал равен
M2 =
1 § q qинд qинд ·
¨ ¸.
R
r ¸¹
4SH 0 ¨© r2
(1.43)
Для определения величины индуцированного заряда qинд. воспользуемся теоремой Гаусса, применив её для замкнутой поверхности S, проходящей
внутри проводника и охватывающей заряды q и –qинд (пунктир на рисунке
1.9). Так как внутри проводника при установившемся распределении зарядов
электрическое поле отсутствует, поток вектора напряженности, определяемый формулой (1.3), равен нулю. Тогда из формулы (1.4) следует, что
¦ qi
q qинд
0.
Следовательно, индуцированные заряды +qинд и –qинд численно равны
заряду q. Поэтому формула (1.43) запишется так:
M2
q § 1 1 1·
¨ ¸.
4SH 0 ¨© r2 R r ¸¹
(1.44)
21
Из формул (1.42) и (1.44) запишем
M2 - M1 =
q § 1 1 1 1·
¨ ¸.
4SH 0 ¨© r2 r1 R r ¸¹
(1.45)
Подставляя данные условия задачи в (1.45), получим ответ
M2 - M1 = 9 кВ.
Задача 10. Определить разность потенциалов между двумя металлическими шарами радиуса r0 = 0.50 см каждый, находящимися на расстоянии
r = 1.00 м друг от друга, если заряд одного шара q1 = 1.50 нКл, а другого
q2 = –1.50 нКл (рисунок 1.10).
Решение. Как известно, заряды в
проводнике распределяются так, что все
его точки приобретают одинаковый потенциал. Уединенному шару, потенциал которого определяется формулой (1.21), соответствует равномерное распределение зарядов по его поверхности. В данном слуРисунок 1.10
чае, взаимно притягиваясь, заряды шаров
распределяются преимущественно на тех сторонах шаров, которыми они обращены друг к другу, вследствие чего изменится электрическое поле в пространстве вокруг шаров. Поэтому, согласно формуле (1.16), изменится также
разность потенциалов между шарами и точное решение задачи оказывается
связанным со значительными математическими трудностями.
Однако вытекающие из условия задачи неравенство r !! r0 позволяет,
не делая большой ошибки, пренебречь взаимным притяжением зарядов по
сравнению с силами взаимного отталкивания одноименных зарядов в пределах каждого шара, т.е. считать распределение зарядов по поверхности шаров
равномерным. Тогда задача упрощается: на основании формулы (1.7а) и
принципа суперпозиции полей можно вычислить напряженность поля в любой точке пространства между шарами, а значит, по формуле (1.16) найти искомую разность потенциалов.
В качестве линии интегрирования выберем прямую АВ (рисунок 1.10).
Векторы напряженности обоих шаров во всех точках этой прямой направлены от А к В. Значит, результирующая напряженность в некоторой точке С,
отстоящей на расстоянии Х от центра левого шара, согласно формуле (1.7а),
равна:
E
22
1
4SH 0
ª q1
q2 º
« 2
»
(r x) 2 ¼
¬x
q
4SH 0
ª1
1 º
,
« 2
2»
x
(
r
x
)
¬
¼
где q = _q1_ = _q2_ - абсолютное значение каждого заряда.
На основании (1.16), учитывая, что в данном случае El = E , определим
искомую разность потенциалов
M2 - M1 =
r r0
³ Edx
r0
1
4SH 0
r r0
³
r0
1 º
ª1
«¬ x 2 (r x) 2 » dx .
¼
Произведя интегрирование и сделав соответствующие преобразования,
найдем
MА - MB =
1 2q(r 2r0 )
.
4SH 0 r0 (r r0 )
(1.46)
Учитывая, что r !! r0, получим вместо (1.46) менее точную, но более
простую формулу
MА - MВ =
1 2q
.
4SH 0 r0
(1.47)
Вычисление по формуле (1.47) дает:
MА - MВ = 5.14 ˜ 103 В.
Замечание. Легко видеть, что соотношение (1.47) можно получить сразу, вычислив потенциал каждого шара по формуле (1.21). Таким образом, эта
формула дает в задаче для двух шаров приблизительно правильный результат
при условии r !! r0. Однако он менее точен, чем формула (1.46). Дело тут в
следующем. Применив формулу (1.21), мы не только пренебрегаем неравномерностью распределения зарядов по поверхности шаров, но и не учитываем
принципа суперпозиции полей, в силу которого потенциал каждого шара определяется совокупностью зарядов обоих шаров. Ошибки, к которым приводят обе эти неточности, имеют одинаковые знаки и складываются (ответ получается завышенным).
1.4 Задачи для контрольной работы
1.4.1 Расстояние между двумя точечными зарядами q1 = 27˜10-9 Кл и
q2 = 15 нКл равно 5см. Определить вектор напряженности и потенциал в точке, удаленной от первого заряда на 4 см и от второго на 3 см.
1.4.2 Два точечных электрических заряда q1 = 1 нКл и q2 = –2 нКл находятся на расстоянии 0.1 м друг от друга. Определить напряженность поля
23
&
E и потенциал создаваемого этими зарядами поля в точке А, удаленной от
заряда q1 на расстояние r1 = 9 см и от q2 на r2 = 7 см.
1.4.3 В вершинах правильного треугольника со стороной а = 0.1 м находятся
заряды q1 = 10 мкКл, q2 = 20 мкКл и q3 = 30 мкКл. Определить силу
&
F , действующую на заряд q1 со cтороны двух других зарядов.
1.4.4 Три одинаковых заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд q0 надо поместить в центре этого треугольника, чтобы вся система находилась в равновесии? Будет ли это равновесие устойчивым?
1.4.5 Три одинаковых точечных заряда по q = 1 нКл каждый, расположенные в вершинах прямоугольного треугольника
с катетами а = 30 см и
&
b = 40 см. Определить напряженность поля E и потенциал электрического
поля, создаваемый всеми зарядами в точке пересечения гипотенузы с перпендикуляром, опущенным на неё из вершины прямого угла.
1.4.6 С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле? Линейная плотность заряда на нити 3˜10-8 Кл/см, поверхностная плотность заряда на плоскости 2˜10-9 Кл/см2.
1.4.7 С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда в 3˜10-9 Кл/см, находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга?
Какую работу (на единицу длины) надо совершить, чтобы сдвинуть эти нити
до расстояния в 1 см?
1.4.8 С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда V = 3˜10-8 Кл/см2?
1.4.9 Две непроводящие сферы радиусами R1 = 3 см и R2 = 2 см расположены в вакууме и несут равномерно распределенные по их поверхностям
заряды q1 = 1.00˜10-9 Кл, q2 = –2.00˜10-9 Кл. Расстояние между центрами сфер
r = 10.0 см. Определить напряженность поля, созданного зарядами q1 и q2 в
точке А, удаленной от центров обеих сфер на расстояния r1 и r2. Решить задачу для двух случаев:
а) r1 = 9 см, r2 = 7 см; б) r1 = 2 см, r2 = 8 см.
1.4.10 Из условия задачи 1.4.9 определить потенциал электрического
поля в точке А. Решить задачу для двух случаев, указанных в условии задачи
1.4.9.
1.4.11 Две бесконечно длинные нити, расстояние между которыми
r = 5.00 см, равномерно заряжены с линейной& плотностью W1 = W2 = W =
1.00˜10-8 Кл/м. Найти максимальное значение E max напряженности электрического поля для точек, принадлежащих плоскости симметрии нитей. Принять H =1.
1.4.12 Тонкое кольцо радиуса R несет заряд, равномерно распределен&
ный с линейной плотностью W. Найти потенциал M и напряженность E элек24
трического поля на оси кольца как функцию расстояния h, взятому по перпендикуляру от центра кольца.
1.4.13 Электрическое поле создано длинным цилиндром радиуса
R = 1.0 см, равномерно заряженным с линейной плотностью W = 20 нКл/м.
Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на
расстоянии a1 = 0.5 см и a2 = 2.0 см от поверхности цилиндра в средней его
части.
1.4.14 Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим равномерно распределенный заряд W = 0.1 мКл/м. Определить потенциал в точке,
удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня.
1.4.15 Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной
плотностью заряда V = 4 нКл/м2. Определить численное значение и направление градиента потенциала электрического поля, созданного этой плоскостью.
1.4.16 Бесконечная тонкая прямая нить несет равномерно распределенный по длине нити заряд W = 1 нКл/м. Определить градиент потенциала в
точке, удаленной на расстояние r = 10 см от нити.
1.4.17 Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии d = 1 см друг от друга. Плоскости несут равномерно распределенные по
поверхностям заряды с плотностями V1 = 0.2 мкКл/м2 и V2 = 0.5 мкКл/м2.
Найти разность потенциалов пластин.
1.4.18 Тонкие стержни образуют квадрат со стороной а. Стержни заряжены с линейной плотностью W = 1.33 нКл/м. Найти потенциал M в центре
квадрата.
1.4.19 По тонкому полукольцу радиуса R = 10 см равномерно распределен заряд
с линейной плотностью W = 1 мкКл/м. Определить напряжен&
ность E электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кольца.
1.4.20 Из условия задачи 1.4.19 определить потенциал электрического
поля, создаваемый распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром
кольца.
1.4.21 Имеются два тонких проволочных кольца радиуса R каждое, оси
которых совпадают. Заряды колец равны q и –q. Найти разность потенциалов
между центрами колец, отстоящими друг от друга на расстояние l, если
R = 30 см, q = 0.40 мкКл, l = 52 см.
1.4.22 Найти напряженность электрического поля, потенциал которого
& &
&
&
имеет вид M = a ˜ r , где a - постоянный вектор, r - радиус вектор точки поля.
1.4.2З Найти потенциал электростатичеcкого
поля
&
&
&
E a ( ye x xe y ) .
1.4.24 Найти потенциал электростатического поля
&
&
&
E 2axye x a( x 2 y 2 )e y .
1.4.25 Найти потенциал
поля
& электрического
&
&
&
E aye x (ax bz )e y bye z .
25
1.4.26 Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей
плоскости. Определить поверхностную плотность зарядов, индуцированных
на плоскости, как функцию расстояния r от основания перпендикуляра, опущенного от заряда на плоскость. Указание: задачу решить методом зеркальных изображений.
1.4.27 Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеет заряд q. Кольцо
расположено параллельно проводящей плоскости на расстоянии l от неё.
Найти поверхностную плотность индуцированного заряда в точке, лежащей
на основании перпендикуляра, опущенного из центра кольца на плоскость.
Указание: задачу решить методом зеркальных изображений.
1.4.28 На расстоянии R от центра металлической сферы радиуса r R
помещен точечный заряд q. С какой силой взаимодействуют сфера и заряд,
если: а) сфера заземлена; б) не заземлена?
1.4.29 Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид
M = а(х2 - y2), где a - постоянная. Найти модуль и направление вектора напряженности этого поля.
1.4.30 Найти модуль и направление вектора напряженности электростатического поля, потенциал которoго имеет вид M = axy, где a - постоянная.
1.4.31 Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля, потенциал которого имеет вид M = a(x2 + y2) + bz2, где a - постоянная.
1.4.32 Заряд q распределен равномерно по объему шара радиуса R.
Считая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти потенциал: а) в центре шара; б) внутри шара как функцию r от его центра.
26
2 Электрическое поле в веществе. Электроемкость. Энер-
гия поля
2.1 Основные формулы и понятия
&
Вектор поляризации P измеряется суммарным электрическим моментом всех молекулярных диполей в единице объема диэлектрика
&
P
&
¦ pi ,
V
(2.1)
&
&
где pi ql - электрический момент i -того молекулярного диполя. По&
верхностная плотность Vc связанных зарядов равна проекции вектора P на
внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика:
V c = Pn.
(2.2)
Для однородного
и изотропного
&
& диэлектрика векторы электрического
смещения D и напряженности поля E связаны формулой
&
D
&
H 0HE ,
(2.3)
где H - диэлектрическая проницаемость, равная
H
D.
(2.4)
&
Для
изотропного
диэлектрика
вектор
P
пропорционален напряженно&
сти E поля внутри него
&
&
P = DH0 E ,
(2.5)
где D - электрическая восприимчивость.
& & &
B изотропном диэлектрике векторы D , E , P связаны соотношением
&
&
&
D = H0 E + P .
(2.6)
&
Теорема Гаусса: поток вектора D через замкнутую поверхность равен
алгебраической сумме заключенных внутри неё свободных зарядов, т.е.
³
( s)
& &
DdS
³ Dn dS ¦ qсвоб .
(2.7)
(s)
27
Электроемкость (емкость) конденсатора измеряется отношением его
заряда к разности потенциалов (напряжению) на пластинах:
С=
q
M1 M 2
q
.
U
(2.8)
Ёмкость плоского конденсатора
С = H0 H S / l.
(2.9)
Ёмкость батареи из n конденсаторов, соединенных:
параллельно:
C=
n
¦ Ci ;
(2.10)
i 1
последовательно:
1
C
n
1
¦C
i 1
.
(2.11)
i
Энергия заряженного конденсатора равна
W
CU 2
2
q2
2C
qU
.
2
(2.12)
Объемная плотность энергии электрического поля (энергия, отнесенная
к единице объема) равна
w
H 0HE 2
2
ED
2
D2
.
2H 0H
(2.13)
2.2 Методические указания
2.2.1 В задачах курса общей физики, связанных с электростатическими
явлениями, обычно рассматриваются диэлектрики, удовлетворяющие следующим условиям: они однородны и изотропны; имеют форму, при которой
ограничивающие их поверхности совпадают с эквипотенциальными поверхностями внешнего поля (т.е. перпендикулярны силовым линиям поля). Сюда
относятся диэлектрики в плоских, цилиндрических и сферических конденсаторах (как однослойных, так и многослойных). Если такой диэлектрик с диэлектрической проницаемостью H внести в электрическое поле, то, как это
следует из теоремы Гаусса (2.7) и соотношения (2.3), будут выполняться сле28
дующие правила:
а) Вектор электрического смещения не зависит от свойств среды и остается без изменения
& во всех точках поля как внутри, так и вне диэлектрика;
б) Вектор E электрического поля уменьшится в H раз в пространстве,
занятом диэлектриком, и останется без изменения вне диэлектрика. Любое из
этих правил позволяет рассчитывать электрические поля при наличии диэлектриков, удовлетворяющих сформулированным выше двум условиям.
2.2.2 Заряженную проводящую сферу, погруженную в однородный безграничный диэлектрик, можно рассматривать как частный случай сферического конденсатора, радиус внешней сферы которого бесконечно велик.
Отсюда, учитывая изложенное в 2.2.1 и формулу (1.7а), приходим к выводу,
что напряженность поля такой сферы равна:
E
1
q
˜ 2.
4SH 0 H r
(2.14)
Аналогичными рассуждениями можно показать, что формулы раздела
1, выражающие напряженность и потенциал поля соответственно точечного
заряда, диполя, сферы, цилиндра и плоскости в вакууме, остаются верными
для заряженных тел, погруженных в однородный безграничный диэлектрик;
только в знаменателе этих формул добавляется множитель H.
2.2.3 Понятие электроемкости конденсатора основано на существовании пропорциональной зависимости между разностью потенциалов (напряжением) на обмотках конденсатора и его зарядом:
U = M1 - M2 = (1/C) q,
(2.15)
где C -электроемкость (емкость). Поэтому задача определения емкости
конденсатора сводится к установлению формулы, дающей в каждом конкретном случае эту зависимость. В общем случае, эта задача распадается на
следующие этапы: а) найти напряженность поля в какой-либо точке пространства между обкладками конденсатора как функцию заряда и координат
точки; б) пользуясь соотношением (1.16), найти разность потенциалов на обкладках как функцию заряда, т.е. получить соотношение типа (2.15); 3) взять
величину, обратную коэффициенту пропорциональности в полученном выражении. Это и будет емкость конденсатора.
2.2.4 Для расчета сил, действующих на заряженные тела в электрическом поле (пондеромоторных сил) при наличии диэлектриков, формула (1.2)
оказывается, вообще говоря, неприемлемой. Если заряженное тело погружено в диэлектрик, то формулой (1.2) можно пользоваться только в тех случаях,
когда диэлектрик заполняет все пространство,
где электрическое поле отлич&
но от нуля. При этом под величиной E , входящей в (1.2), понимают напряженность поля в диэлектрике. Так как для точечного заряда, погруженного в
безграничный диэлектрик, величина Е дается выражением (2.14), то с учетом
29
(1.2) получаем формулу, выражающую закон Кулона для взаимодействия точечных зарядов, погруженных в безграничный диэлектрик:
F
1 qq2
.
4SH 0H r 2
Эта формула имеет смысл только для жидкого и газообразного диэлектриков.
Общий метод определения сил, действующих в электрическом поле на
заряженные тела, находящиеся как в вакууме, так и в диэлектриках, основан
на законе сохранения энергии. При этом сила, с которой некоторая система
действует на помещенное в неё заряженное тело, равна взятой с обратным
знаком производной от энергии системы по перемещению тела в направлении действия силы.
2.3 Решение задач
Задача 1. Плоский конденсатор, между обкладками которого помещена
стеклянная пластинка (H = 6) толщиной l = 2.0 мм, заряжена до напряжения
U = 600 В (рисунок 2.1). Пренебрегая величиной зазора между пластинкой и
обкладками, найти поверхностную плотность V свободных зарядов на обмотках конденсатора, а также поверхностною плотность V c связанных зарядов на стекле.
Решение. Величину V выразим через напряженность поля Е внутри конденсатора. Так
как введение диэлектрика между его обкладками
уменьшает эту напряженность поля в H раз, величины V и Е можно связать формулой (1.12а), добавив в её знаменатель множитель H:
E
V
.
H 0H
(2.16)
Отсюда, учитывая соотношение (1.18),
справедливое для однородного поля конденсатора, найдем
V
Рисунок 2.1
H0 H U / l.
(2.17)
Для определения
величины V c воспользу&
емся
формулой (2.2). Так как вектор P параллелен вектору напряженности
&
E поля в диэлектрике, направленному по нормали к поверхностям стеклян&
ной пластинки, то Pn P . Поэтому, учитывая соотношения (2.4) и (2.5), по30
лучим
Vc
5 DH0(
H0(H(
H0HU / l.
(2.18)
Подставляя числовые значения задачи в формулы (2.17) и (2.18), найдем
V = 5.3˜10-6 Кл/м2 ;
V c = 4.4˜10-6 Кл/м2.
Замечание. Сравнив формулы (2.17) и (2.18) видим, что
V c V = (H - 1) / Е.
Этот результат качественно виден на рисунке 2.1, на котором изображены силовые линии электрического поля в стекле и воздушном зазоре между стеклом и обкладками. По определению густота силовых линий пропорциональна напряженности поля, а диэлектрическая проницаемость среды показывает, во сколько поле внутри диэлектрика слабее поля в зазоре. Следовательно, из каждых H силовых линий, выходящих из свободных зарядов положительной обкладки конденсатора, лишь одна проходит сквозь диэлектрик, а
остальные (H - 1) линии заканчиваются на связанных зарядах стеклянной пластинки.
Задача 2. Пространство внутри плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков, расположенными параллельно его обкладкам. Толщина слоев и диэлектрическая проницаемость материалов, из которых сделаны слои, соответственно равны l1, l2, H1, H2. Конденсатор заряжен до разности потенциалов U. Определить напряженности E1, E2 электрического поля в
каждом из диэлектриков, а также напряженность E0 поля в зазоре между обкладками и диэлектриками.
Решение. Чтобы найти величины Е0, Е1, Е2, выясним связь, существующую между ними и разностью потенциалов U. Воспользуемся формулой
(1.16), разбив весь путь интегрирования на две части, соответствующие толщинам двух слоев диэлектриков (толщиной зазора пренебрегаем). Учитывая,
что в пределах каждого слоя поле однородно, получим
U = E1l1 + E2l2.
(2.19)
Так как электрическое смещение D и в зазоре (H = 1) и в обоих слоях
диэлектриков имеет одно и то же значение, то на основании (2.3) запишем
(сокращая H0):
Е0 = H1Е1 = H2Е2.
(2.20)
Решая совместно уравнения (2.19) и (2.20), получим
31
E0
H 1H 2U
; E1
H 2 l1 H1l 2
H 2U
; E2
H 2 l1 H 1l 2
H1U
.
H 2 l1 H 1l1
Задача 3. Между обкладками плоского конденсатора параллельно им
введена металлическая пластина толщиной а = 8.0 мм. Определить емкость
конденсатора, если площадь каждой из обкладок S = 100 см2, а расстояние
между ними l = 10.0 мм (рисунок 2.2).
Решение. Eмкость конденсатора найдем из
определяющей формулы (2.8), если предварительно выразим напряжение на обкладках конa
денсатора как функцию заряда его обкладок.
В результате явления электростатической
индукции свободные заряды в металлической
пластине, введенной в конденсатор, перераспределяются так, что напряженность электрического поля внутри пластины станет равной нулю:
Евн = 0.
(2.21)
С другой стороны, индуцированные заряды распределятся по поверхностям пластины
так, что она станет подобной плоскому конденсатору CD (рисунок 2.2), вставленному в данный
Рисунок 2.2
конденсатор АВ. Известно, что напряженность
поля в пространстве вне конденсатора равна нулю. Поэтому введение металлической пластины в конденсатор АВ не изменит напряженность однородного поля в пространстве вне пластины. Пусть эта напряженность равна Е. Выразим её через заряд конденсатора на основании формул (1.12) и (1.11):
E
V
H0
q
.
H0S
(2.22)
Из соотношения (1.16) с учетом формул (2.21) и (2.22) находим разность потенциалов (напряжение, т.к. в рамках электростатики эти величины
совпадают) на обкладках конденсатора:
MА MB = E(l - a) = q (l - a) / H0S.
(2.23)
Подставив в формулы (2.8) вместо напряжения его значение из формулы (2.23), получим
C = H0S / (l - a).
32
(2.24)
Подставляя в выражение (2.24) числовые данные задачи, выраженные в
единицах системы СИ, найдем, что
C = 4.4˜10-11 Ф = 44 пФ.
Задача 4. Как изменяется энергия заряженного плоского воздушного
конденсатора (H = 1) при уменьшении расстояния между его пластинами?
Рассмотреть два случая:
а) конденсатор отключен от источника напряжения;
б) конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения.
Решение. а) Если конденсатор отключен от источника напряжения, то
заряд на его обкладках не будет изменяться при сближении пластин, т.е.
q = const.
В то же время емкость конденсатора, как это следует из формулы (2.9),
будет увеличиваться. Поэтому воспользуемся той из трех формул (2.12), в
которой энергия конденсатора выражается через его заряд и емкость:
W
q2
2C
q2
l.
2H 0 S
Видим, что при сближении пластин конденсатора его энергия, будучи
пропорциональной величине l, уменьшается. Заметим, что за счет убыли
энергии конденсатора совершается работа сил притяжения обкладок при их
сближении:
А = - 'W.
(2.25)
б) На обкладках конденсатора поддерживается постоянное напряжение, равное напряжению источника
U = const.
Поэтому воспользуемся той из формул (2.12), в которой энергия выражается через напряжение и емкость. Тогда, учитывая соотношение (2.9),
получим
CU 2 H 0 SU 2 1
˜ .
W
2
2
l
Следовательно, в этом случае при сближении пластин энергия конденсатора, будучи обратно пропорциональной величине l, увеличивается.
Замечание. Выясним, за счет чего во втором случае увеличивается
33
энергия конденсатора и совершается работа сил притяжения обкладок. Возрастание емкости конденсатора при постоянном напряжении означает, согласно формуле (2.8), увеличение заряда на его обкладках. Значит, при сближении пластин на них дополнительно перейдут от источника напряжения заряды 'q. Сообщение одной пластине положительного заряда 'q, а другой отрицательного заряда -'q эквивалентно перемещению заряда 'q с одной обкладки на другую. Т.к. этот переход происходит при постоянном напряжении
U, то источник напряжения совершит работу
Aист = 'qU = '(CU)U = ('C)U 2.
(2.26)
С другой стороны, энергия конденсатора увеличится на
'W = '(CU2 / 2) = ('C)U 2 / 2.
(2.27)
Сравнивая правые части равенств (2.26) и (2.27) видим, что работа, совершаемая при сближении пластин источником напряжения, в два раза
больше прироста энергии конденсатора. Таким образом, теперь за счет энергии источника напряжения увеличивается энергия конденсатора 'W, а также
совершается работа A сил притяжения пластин. По закону сохранения энергии
Aист = 'W + A.
Отсюда
A = Aист - 'W = 2 'W - 'W = 'W.
(2.28)
Сопоставляя формулы (2.25) и (2.28), приходим к выводу: при изменении емкости заряженного конденсатора электрические силы совершают работу, равную убыли энергии конденсатора в случае постоянства заряда на его
пластинах и равную приращению энергии конденсатора в случае постоянства
напряженности на пластинах.
Задача 5. Найти силу притяжения F между пластинами плоского конденсатора, если площадь каждой пластины S, расстояние между ними l, диэлектрическая проницаемость среды между пластинами H. Рассмотреть два
случая: а) конденсатору сообщен заряд q, после чего он отключен от источника питания; б) конденсатор подключен к источнику напряжения U. Как зависит сила притяжения от расстояния между пластинами и диэлектрической
проницаемости среды?
Решение. Для определения сил, действующих на заряженные тела, при
наличии диэлектриков формула F = qE, вообще говоря, неприменима. Поэтому воспользуемся законом сохранения энергии.
34
а) В этом случае q = const. Пусть (представим мысленно) одна из пластин конденсатора под действием силы притяжения F совершит элементарное перемещение dl (рисунок 2.3). При этом сила F совершит работу, равную
dA = Fdl.
(2.29)
По закону сохранения энергии эта работа равна
убыли энергии конденсатора:
dA = –dW.
(2.30)
Из соотношений (2.29) и (2.30) получим (уже
известное из механики) выражение для силы
F
dW
.
dl
(2.31)
Рисунок 2.3
Энергию конденсатора выразим через заданные формулы (2.9) и (2.12):
W
q2
2l
q 2l
.
2H 0HS
(2.32)
Подставив выражение (2.32) в формулу (2.31) и выполнив дифференцирование, найдем
q2
.
(2.33)
F 2H 0HS
Отрицательный знак показывает, что сила направлена в сторону
уменьшения l, т.е. является силой притяжения. Из формулы (2.33) видно, что
сила притяжения пластин обратно пропорциональна величине H и не зависит
от расстояния между пластинами.
б) Согласно условию, U = const. Учитывая результат, сформулированный в замечании к задаче 4, теперь вместо формул (2.30) и (2.31) для dA и F
надо записать соответственно
dA = dW,
F = dW / dl.
(2.34)
Энергию конденсатора также выразим по формулам (2.9) и (2.12):
W
CU 2
2
H 0HSU 2 1
˜ .
2
l
35
Подставив значение W в формулу (2.34) и проведя дифференцирование, получим
F
H 0HSU 2
2l 2
.
(2.35)
Видим, что в этом случае сила притяжения пропорциональна величине
H и обратно пропорциональна квадрату расстояния между пластинами.
Задача 6. Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком (H = 6.0) равна
2.5 Дж/м3. Найти давление, производимое пластинами площадью S = 20 см2
на диэлектрик, а также силу F c, которую необходимо приложить к пластинам
для их отрыва от диэлектрика.
Решение. Притягиваясь друг к другу с силой F, пластины конденсатора
сжимают диэлектрик, заключенный между ними. Учитывая, что сила давления FД равномерно распределена по поверхности диэлектрика, найдем искомое давление
FД F
.
(2.36)
P
S
S
Как известно, сила притяжения пластин конденсатора (q = const) равна
взятой с обратным знаком производной от его энергии по расстоянию между
пластинами:
dW
.
(2.37)
F= dl
Поскольку объемная плотность энергии конденсатора Z нам дана, то
полное изменение энергии dW при перемещении пластины конденсатора на
расстояние dl равно
dW = ZdV = ZSdl.
Подставляя полученное выражение в формулу (2.37), найдем силу притяжения пластин:
F = - ZS,
(2.38)
откуда на основании формулы (2.36) получим
Р = - Z.
36
(2.39)
Отрицательный знак в формулах (2.37) и (2.39) означает, что величины
F и P направлены в сторону уменьшения расстояния l.
Чтобы найти силу F c, необходимую для отрыва пластин от диэлектрика, снова используем энергетический метод. Рассмотрим конденсатор в
тот момент, когда под действием силы F c, направленной наружу, пластина,
отрываясь от диэлектрика, переместится на расстояние dl. Тогда работа силы
F c равна
dA = F cdl.
(2.40)
За счет работы внешней силы энергия конденсатора возрастет на величину dW. По закону сохранения энергии dW = dA, с учетом формулы (2.40),
получим
Fc=
dW
dl
Теперь прирост энергии конденсатора, связанный с увеличением его
объема, равен
dW = Z0 S dl,
где Z0 - объемная плотность энергии поля в зазоре, появившемся при
смещении пластины. Из двух последних равенств найдем
F c = Z0S.
(2.41)
Чтобы найти Z0 , воспользуемся формулой (2.13). Так как смещение D
и в зазоре (H = 1) и в диэлектрике имеет одно и то же значение, то Z0 = HZ и
согласно (2.41)
F c = HZS.
(2.42)
Подставляя числовые данные задачи в формулы (2.37) и (2.42), получим
Р = –2.5 Па;
F c = 3˜10-2 H.
2.4 Задачи для контрольной работы
2.4.1 Между пластинами плоского конденсатора, находящимися на
расстоянии 5 мм друг от друга, приложена разность потенциалов 150 В. К
одной из пластин прилегает плоскопараллельная фарфоровая пластина толщиной 3 мм. Найти напряженность электрического поля в воздухе и фарфоре. Диэлектрическая проницаемость фарфора H = 6.
37
2.4.2 Между пластинами плоского конденсатора, находящимися на
расстоянии 1 см друг от друга, приложена разность потенциалов U = 500 В. В
пространстве между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка
стекла (H1 = 6) толщиной 0.5 см и плоскопараллельная пластинка парафина
(H2 = 2) толщиной 0.5 см. Найти: напряженность электрического поля в каждом слое; падение потенциала в каждом слое; поверхностную плотность заряда на пластинах. Площадь каждой пластины S = 100 cм2.
2.4.3 Расстояние между пластинами плоского конденсатора 1.3 мм,
площадь пластин 30 см. В пространстве между пластинами конденсатора находятся два слоя диэлектриков: слюды (H1 = 6) толщиной 0.7 мм и эбонита
(H2 = 2.6) толщиной 0.4 мм. Определить смещение поля, напряженность поля
и падение потенциала в каждом слое, если к пластинам конденсатора приложена разность потенциалов 400 В.
2.4.4 Радиус центральной жилы коаксиального кабеля 1.5 см, радиус
оболочки 3.5 см. Между центральной жилой и оболочкой приложена разность потенциалов 2300 В. Определить напряженность электрического поля
на расстоянии 2 см от оси кабеля.
2.4.5 Металлический шар радиусом 4 см несет заряд q = 15 нКл. Шар
окружен слоем парафина (H = 2) толщиной 3 см. Определить энергию электрического поля, заключенную в слое парафина.
2.4.6 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластины 300 см2
подключен к батарее, ЭДС которой 400 В. Определить работу по раздвиганию пластин от d1 = 1 см до d2 = 5 см, если перед раздвиганием пластины отключают от батареи.
2.4.7 Решить задачу 2.4.6 при условии, что в процессе раздвигания пластины остаются подключенными к батарее.
2.4.8 На плоский конденсатор, в котором диэлектриком служит слюда
(H = 7.5), а расстояние между пластинами 1 мм, приложено напряжение
1000 В. Определить плотность энергии конденсатора.
2.4.9 Сплошной парафиновый (H = 2) шар радиуса 20 см заряжен равномерно по объему с объемной плотностью 15 нКл/м3. Определить энергию
электрического поля, сосредоточенную в самом шаре и вне его.
2.4.10 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком (H = 2.6), объем которого 200 см3. Поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора V = 9 нКл/м2. Определить работу по
удалению диэлектрика из конденсатора. Трением пренебречь.
38
3 Постоянный ток
3.1 Основные формулы и понятия
Сила тока измеряется количеством электричества, проходящим через
поперечное сечение проводника в единицу времени:
I
dq
.
dt
(3.1)
Плотность тока измеряется силой тока, отнесенной к единице поперечного сечения проводника:
j
dI
.
dS
(3.2)
Закон Ома для однородной (т.е. не содержащей э.д.с.) цепи
(M1 - M2) / R,
I
(3.3)
(M2 - M1) - разность потенциалов на концах участка;
R - его сопротивление.
Сопротивление проводника длиной l и площадью поперечного сечения
S равно:
где
R = Ul / S,
(3.4)
где U - удельное сопротивление материала.
Зависимость удельного сопротивления от температуры:
U
U0 (1 + Dt),
(3.5)
U0 - удельное сопротивление при 0q;
D - температурный коэффициент сопротивления.
Закон Ома в дифференциальной форме: плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля в данной точке проводника
где
&
j
&
VE ,
(3.6)
где V U - удельная электропроводность металла.
Закон Ома для неоднородного участка цепи:
39
I
(M1 M 2 ) ¦ (
¦R
,
(3.7)
(M1 - M2) - разность потенциалов на концах участка;
¦ ( - алгебраическая сумма всех электродвижущих сил (э.д.с.),
имеющихся на данном участке;
¦ R - полное сопротивление участка цепи.
Закон Ома для замкнутой цепи:
где
¦(
I
Rr
,
(3.8)
где R и r - соответственно, сопротивления внешнего и внутреннего
участков замкнутой цепи.
Работа электрических сил на участке цепи, на концах которого имеется
разность потенциалов (M1 - M2), равна
А = (M1 - M2)˜It.
(3.9)
Количество теплоты, выделенное на участке цепи сопротивлением R,
по которому в течение времени t идет ток силой I, определяется соотношениями (закон Джоуля-Ленца):
Q = IUt,
(3.10)
или,
для последовательного соединения:
Q = I 2R t,
(3.11)
для параллельного соединения:
Q = U 2 / R t.
(3.12)
Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:
w = V Е 2,
(3.13)
где w -удельная тепловая мощность.
Работа, совершаемая источником тока за время t, равна
А HIt
40
2
I Rполн t
(2
Rполн
t,
(3.14)
где Rполн - полное сопротивление цепи.
Коэффициент полезного действия источника тока
K=
R
.
Rr
(3.15)
3.2 Методические указания
3.2.1 Для вычисления силы тока и плотности тока, а также расчета сопротивлений при наличии однородных проводников применяют закон Ома в
интегральной (3.3) или дифференциальной (3.6) формах. Интегральную форму закона Ома, как правило, удобно применять при расчетах, связанных с токами в проводах. Для вычисления токов и сопротивлений при наличии проводящих безграничных сред (например, случаи заземления электродов) практически незаменимой оказывается дифференциальная форма
закона Ома.
&
Существенно, что напряженность электрического поля E при наличии тока
можно вычислять методами электростатики, т.к. она совпадает (при условии
постоянства силы тока и однородности среды) с напряженностью электростатического поля, которое будет при том же напряжении между электродами, если среда станет проводящей.
3.2.2 Чтобы безошибочно применять закон Ома для неоднородного
участка цепи (3.7), необходимо придерживаться следующих правил:
а) начертить схему и обозначить на ней полюсы всех источников, а
также направление тока в цепи (если оно неизвестно, то надо указать предполагаемое направление);
б) ток считать положительным на заданном участке 1-2, если он направлен от точки 1 к точке 2;
в) э.д.с. считать положительной на участке 1-2, если она повышает потенциал в направлении от точки 1 к точке 2, т.е. при мысленном движении
вдоль пути 1-2 сначала встречается отрицательный полюс источника, а затем
положительный.
3.3 Решение задач
Задача 1. Какой заряд пройдет по проводнику, если в течение t = 10.0 с
сила тока уменьшилась от I0 = 10.0 A до I = 5.0 А? Рассмотреть два случая: а)
сила тока уменьшалась равномерно; б) сопротивление проводника равномерно возрастало в течение указанного промежутка времени, а разность потенциалов на концах проводника поддерживалась постоянной.
Решение. а) Величина заряда dq, проходящего через поперечное сечение проводника за время dt, связана с силой тока соотношением (3.1). Если в
эту формулу вместо величин dq и dt подставить конечные значения q и t, то
получим среднее значение силы тока, т.е.
41
Iср = q / t.
Поскольку сила тока в цепи изменяется равномерно, т.е. является линейной функцией времени, в качестве среднего значения Iср можно взять
среднее арифметическое между начальным и конечным значениями силы тока за время t. Следовательно,
q = (I0 + I) I / 2;
q = 75 Кл.
(3.16)
К определению величины заряда можно подойти и по другому. Построим график зависимости I(t) (рисунок 3.1). Тогда в соответствии с формулой (3.1) суммарный заряд, прошедший по проводнику, равен площади прямой , т.е. q = 75 Кл.
б) Теперь равномерно изменяется не
сила тока, а сопротивление R, причем, по
условию R является линейной функцией
времени, т.е.
R = R0 + kt,
(3.17)
где R0 и R - начальное и конечное сопротивления проводника;
Рисунок 3.1
k - постоянная, выражающая скорость изменения сопротивления.
Тогда по закону Ома (3.3) запишем
I
M1 M 2
R
M1 M 2
.
R0 kt
(3.18)
Видим, что в этом случае зависимость силы тока от времени не является линейной, поэтому соотношение (3.16) здесь неприменимо. Воспользоваться графическим способом также не удается. Однако, при любой зависимости можно, на основании (3.1), записать:
dq = Idt.
Отсюда полный заряд, прошедший через поперечное сечение, за время
t равен
t
q = ³ Idt .
0
Подставив в (3.19) значение силы тока из (3.18), получим
42
(3.19)
t
q=
³
0
M1 M 2
dt
R0 kt
M1 M 2 R0 kt
ln
.
k
R0
(3.20)
Преобразуем (3.20) с учетом формулы (3.17) и соотношений
R=
M1 M 2
;
I
R0 =
M1 M 2
;
I0
§1 1 ·
( R R0 ) = (M1 M 2 )¨¨ ¸¸
© I I0 ¹
(M1 M 2 )
I0 I
.
II 0
(3.21)
После подстановки в (3.20) соотношений (3.17) и (3.21), получим
q
(M1 M 2 )t
R
ln
R R0
R0
I 0 It
I
ln .
I0 I I0
(3.22)
Подставив в полученную формулу (3.22) данные задачи, найдем
q = 69 Кл.
Задача 2. Определить плотность тока в медной проволоке длиной
l = 10 м, если разность потенциалов на её концах 12 В. Удельное сопротивление меди U = 1.7˜10-8 Ом˜м.
Решение. Плотность тока, определяемую формулой (3.2) найдем, выразив силу тока по закону Ома (3.3). Тогда, с учетом (3.4) получим
I = (M1 M2) S U l,
отсюда плотность тока
j=
dI
dS
M1 M 2
.
Ul
(3.23)
К этому же результату придем, применив закон Ома в дифференциальной форме (3.6), предварительно выразив напряженность поля внутри проводника через разность потенциалов и длину проводника, а именно
E = (M1 M2) / l.
Подставив значение E в формулу (3.6) и учтя, что V
чим ответ (3.23):
U, опять полу-
43
j = V( =
M1 M 2
.
Ul
Выполнив необходимые расчеты, получим
j = 7˜107 A/м2.
Задача 3. Пространство между обкладками сферического конденсатора,
радиусы которых равны а и b (рисунок 3.2), заполнено слабо проводящей однородной средой с удельным сопротивлением U.
Определить силу тока утечки через конденсатор,
если разность потенциалов между обкладками U.
Решение. Для решения задачи можно применить закон Ома как в интегральной (3.3), так и
в дифференциальной (3.6) формах. В данном случае первая формула быстрее приводит к цели.
Чтобы с помощью закона Ома (3.3) найти
силу тока через конденсатор, необходимо предварительно определить сопротивление среды меРисунок 3.2
жду обкладками конденсатора. Очевидно, что использовать формулу (3.4) непосредственно здесь нельзя. Мысленно выделим
внутри конденсатора элементарный шаровой слой радиуса r и толщиной dr
(рисунок 3.2) и учтем, что линии тока во всех элементах этого слоя перпендикулярны его поверхностям. Тогда этот слой можно заменить эквивалентным в отношении сопротивления цилиндрическим проводником, имеющим
длину dr и площадь поперечного сечения 4Sr2. Согласно формуле (3.4), сопротивление элементарного шарового слоя будет равно
dR = U
dr
4Sr 2
.
(3.24)
Интегрируя (3.24) по всему расстоянию между обкладками конденсатора, получим полное сопротивление
b
³U
R
a
dr
4Sr 2
U
4S
§ 1 1·
¨ ¸.
© a b¹
Теперь по закону Ома легко найти ток утечки через конденсатор
I
U
R
4SU
.
U (1 a 1 b)
Задача 4. Два металлических шара одинакового радиуса а находятся на
расстоянии d в безграничной однородной проводящей среде с удельным со44
противлением U. Определить
сопротивление среды на участке между шарами при условии,
что d !! a (рисунок 3.3).
Решение. Вычислить сопротивление среды, методом,
использованным в предыдущей
задаче, здесь затруднительно,
Рисунок 3.3
вследствие асимметрии линий
тока относительно центра каждого из шаров. Поэтому решать задачу будем с
помощью закона Ома в дифференциальной форме (3.6). При этом учтем, что
электрическое поле в однородной среде при наличии постоянного тока совпадает с электростатическим полем, которое существует между электродами
при том же напряжении в непроводящей среде. Предположив, что между
данными шарами, помещенными в такую среду, имеется некоторая разность
потенциалов U , воспользуемся результатом, полученным в электростатической задаче 10. Окружим oдин из шаров замкнутой поверхностью S , вплотную прилегающей к нему (рисунок 3.3). Повторив рассуждения, приведенные в задаче 10 раздела 1.3 относительно неравенства r !! r0, придем к выводу, что во всех точках поверхности S напряженность E электрического поля
выражается формулой (1.7а)
E=
1 q
.
4SH 0 a 2
(3.25)
При этом разность потенциалов между шарами равна (см. ответ к задаче 10 раздела 1.3)
1 2q
U
.
(3.26)
4SH 0 a
Исключив из (3.25) и (3.26) величину q/4SH0 получим
Е = U/2a.
(3.27)
Такой же будет и напряженность электрического поля при наличии тока, если между шарами в условиях настоящей задачи поддерживать разность
потенциалов U. Учитывая соотношения (3.2) и (3.27), по формуле (3.6) найдем силу тока через поверхность S
I
jS
E
4Sa 2
U
2Sa
U.
U
(3.28)
Поскольку поверхность S пересекает все линии тока, (изображенные на
45
рисунке 3.3, линии, соединяющие два шара, будучи силовыми линиями электрического поля, являются и линиями тока), найденная величина I выражает
силу полного тока в промежутке между шарами. Сравнив выражение (3.28) с
законом Ома (3.3), найдем искомое сопротивление
R = U /2S a.
Интересно отметить, что полученный результат не зависит от расстояния d между шарами (при условии d !! a).
Задача 5. Потенциометр сопротивлением R = 100 Ом подключен к батарее с э.д.с. ¥ = 240 В и внутренним сопротивлением Ri = 60 Ом (рисунок
3.4). Определить: a) показание вольтметра сопротивлением Rv = 600 Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; б)
разность потенциалов между теми же
точками потенциометра при отключении
вольтметра.
Решение. а) Показание вольтметра,
подключенного к точкам А и В (рисунок
3.4), определим по формуле
U1 = I1R1,
Рисунок 3.4
R1 - сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра;
I1 - суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна
силе тока в неразветвленной части цепи).
Силу тока I1 найдем по закону Ома (3.8) для полной цепи
где
I1 ( Re Ri ,
(3.29)
где Re - сопротивление внешней цепи.
Это сопротивление равно сумме двух сопротивлений:
Re = R/2 + R1.
(3.30)
Сопротивление R1 найдем по формуле параллельного соединения про1
1
1
, откуда
водников
R1 Rv R / 2
RRv
R1 =
.
R 2 Rv
46
Подставив в (3.29) выражение Re по (3.30), найдем
I1
(
R / 2 R1 Ri
.
В данном случае решение задачи в общем виде довольно громоздкое.
Поэтому удoбнее вычисление величин провести раздельно, получим
R1 = 46.2 Ом;
I1 = 1.54 A;
U1 = 71.2 В.
б) Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I2 на половину сопротивления потенциометра:
U2 = I2R / 2,
(3.31)
где I2 - сила тока в цепи при отключенном вольтметре. Её определим по
формуле
I2 = ¥ / (R + Ri).
Подставив выражение I2 в формулу (3.31), получим, что
U2 =
R
.
R Ri 2
(
После подстановки значения, получим
U2 = 75 В.
Задача 6. Два гальванических элемента, имеющих э.д.с. ¥1 = 1.5 В и
¥2 = 1.6 В и внутренние сопротивления r1 = 0.60 Ом и r2 = 0.40 Ом, соединены
разноименными полюсами. Пренебрегая сопротивлением соединительных
проводов, определить разность потенциалов на зажимах
элементов (между точками a и b, рисунок 3.5).
Решение. Точки а и b являются концами двух участков цепей: a¥1b и а¥2b. Оба эти участки содержат э.д.с.
и, следовательно, являются участками неоднородной цепи. Поэтому применим закон Ома в виде (3.7). Так как
обе э.д.с. имеют положительные знаки при обходе цепи
по часовой стрелке (см. правило знаков, изложенное в
методических указаниях), ток по цепи будет течь в том
же направлении. Тогда для участка цепи a¥1b
Рисунок 3.5
47
I
>(M a M b ) ( 1 @/ r1 ,
(3.32)
I
>(M b M a ) ( 2 @/ r2 .
(3.33)
для участка цепи а¥2b
Для всей замкнутой цепи воспользуемся законом Ома в форме (3.8):
I = (¥1 + ¥2) / (r1 + r2).
(3.34)
Решая совместно уравнения (3.32), (3.33), (3.34) и исключая из них силу тока, найдем
( r ( 1r2
Ma - Mb = 2 1
.
(3.35)
r1 r2
Подставляя в (3.35) данные задачи, найдем:
Ma - Mb = 0.4 B.
Замечание. Если бы источники имели одинаковые э.д.с. и внутренние
сопротивления, то как видно из (3.35), искомая разность потенциалов была
бы равна нулю. Этот же результат можно получить сразу из соображений
симметрии. Действительно, точки а и b расположены в цепи симметрично по
отношению к одинаковым источникам напряжения, поэтому их потенциалы
равны. По той же причине одинаковы потенциалы точек 1, 2, 3, 4, 5, 6 в цепи,
изображенной на рисунке 3.6, где все источники имеют одинаковые э.д.с. и
внутренние сопротивления.
Следовательно, если к точкам а - b (или к
любым двум из шести точек на рисунке 3.6) подключить вольтметр, то он не покажет напряжения. В то же время по проводникам, соединяющим точки a – b, будет идти ток, равный, согласно (3.34), I ¦( ¦ ri . Этот пример наглядно
показывает, что закон Ома в форме (3.3) неприменим для участков цепи, содержащих э.д.с., а
вольтметр, подключенный к концам таких участков, не измеряет напряжения на них. Напомним,
что согласно формуле (3.7) и определению наРисунок 3.6
пряжения, последнее равно произведению силы
тока на сопротивление участка цепи.
Задача 7. Определить работу электрических сил и количество теплоты,
48
выделяемое ежесекундно, в следующих случаях:
а) в сопротивлении, по которому идет ток силой I = 1.0 А и разность
потенциалов на концах которого Ma - Mb = 2.0 В;
б) в аккумуляторе, который заряжается током силой I = 1.0 А, разность
потенциалов на его зажимах Ma - Mb = 2.0 В, э.д.с. аккумулятора ¥ = 1.3 В (рисунок 3.7);
в) в батарее аккумуляторов, которая дает ток I = 1.0 А на внешнюю нагрузку (рисунок 3.8). Разность потенциалов на зажимах батареи Ma - Mb = 2.0 В, её э.д.с. ¥ = 2.6 В.
Решение. а) Так как рассматриваемый участок в этом
случае не содержит э.д.с., то по закону Ома для однородного
участка цепи имеем
Ma - Mb = IR.
Рисунок 3.7
Из этого следует, что формулы (3.9) и (3.10) совпадают.
Значит, вся работа электрических сил идет на выделение тепла в сопротивлении:
A = Q = (Ma - Mb) It,
т.е.
А = 2 Дж.
Рисунок 3.8
б) При зарядке аккумулятора его зажимы присоединяют к источнику
(рисунок 3.7), разность потенциалов на полюсах которого постоянна. При
этом ток внутри аккумулятора идет от «+» к «-», т.е. в направлении, обратном току разряда. Работу электрических сил вычислим по формуле (3.9):
А = (Ma - Mb) I t,
т.е.
А = 2 Дж.
Чтобы по формуле (3.11) определить количество выделенной теплоты,
найдем сопротивление R участка цепи a¥b. Поскольку это неоднородный
участок цепи, применим формулу (3.7), кроме того, учтем направление тока и
знак при э.д.с. (см. методические указания к теме) и запишем
I = (Ma - Mb - ¥) / R.
(3.36)
Подставив значения R из (3.36) в формулу (3.11), с учетом данных задачи, получим
49
Q = I2Rt = I t >Ma - Mb ¥@,
т.е.
Q = 0.7 Дж.
В данном случае лишь часть работы электрических сил идет на нагревание аккумулятора, остальная часть А – Q = 1.3 Дж превращается в химическую энергию заряжаемого аккумулятора.
в) Работу электрических сил также найдем по формуле (3.9). При этом
обратим внимание на отличие данного случая от предыдущего. Если положительный знак разности потенциалов сохранился, то направление тока на
участке а¥b изменилось на противоположенное (рисунок 3.8). Следовательно,
A = (Ma - Mb) (-I) t = - (Ma - Mb) I t;
(3.37)
А = -2 Дж.
Отрицательный знак выражает то обстоятельство, что положительные
заряды движутся внутри аккумулятора от его низшего потенциала с высшему, т.е. против электрических сил. При этом положительную работу совершают сторонние силы, перемещая заряды внутри аккумулятора.
Количество теплоты, выделенное в батарее, снова определим по формуле (3.11). При этом сопротивление r батареи, как и в предыдущем случае,
можно вычислить по формуле (3.7) для участка неоднородной цепи a¥b. Теперь, с учетом знаков для тока и э.д.с., запишем
- I = (Ma - Mb - ¥) / r.
(3.38)
Сопротивление батареи найдем как разность между сопротивлением
всей цепи и сопротивлением внешнего участка. Тогда из формул (3.3) и (3.8)
имеем:
( M M b ( (M a M b )
,
r = Rполн - R = a
I
I
I
что совпадает с формулой (3.38). Подставив найденное значение r в
формулу (3.11), получим:
Q
I 2 rt
>( M a M b @I t ,
(3.39)
т.е.
Q = 0.6 Дж.
Этот вариант задачи можно решать иным способом. По данным условия задачи найдем работу электрических сил на внешнем участке цепи aRb
50
(рисунок 3.8):
Aвнеш
M a M b It ,
т.е.
А = 2 Дж.
Однако работа электрических сил, т.е. кулоновских (но не сторонних!)
сил по перемещению заряда на замкнутом пути всегда равна нулю. Значит:
Авнутр + Авнеш = 0,
откуда
Авнутр = - Авнеш = –2 Дж,
что совпадает с результатом (3.37).
Вся энергия, расходуемая батареей, превращается (посредством работы
электрических сил) в тепло Qобщ, выделяющееся во всей цепи. Эту энергию
вычислим по формуле (3.14):
Абат = Qобщ = ¥ I t,
т.е.
Qобщ = 2.6 Дж.
Так как на внешнем участке выделяется количество теплоты
Qвнеш = Авнеш = 2 Дж,
то для батареи
Q = Qобщ Qвнеш = 0.6 Дж,
что совпадает с результатом (3.39).
Задача 8. Э.д.с. батареи ¥ = 12.0 В. Наибольшая сила тока, которую может дать батарея, Imax = 5.0 А. Какая наибольшая мощность Pmax может выделится на подключенном к батарее переменном сопротивлении?
Решение. Мощность P тока измеряется работой совершенной электрическими силами в единицу времени. Поскольку вся работа на внешнем участке цепи идет на нагревание сопротивления (A = Q), то в данном случае мощность измеряется количеством теплоты, выделяемом в сопротивлении в единицу времени. Поэтому, на основании формулы (3.11), а также законa Ома
(3.8) для замкнутой цепи получим:
51
P = I2R = ( 2 R R r 2 ,
(3.40)
где R и r - сопротивления внешнего и внутреннего участков цепи соответственно.
Отсюда видно, что при постоянных величинах ¥, r мощность P является функцией одной переменной - внешнего сопротивления. Известно, что
функция имеет максимум при условии r = R. Следовательно,
Pmax
( 2 r r r 2 ( 2 4r .
(3.41)
Чтобы в этом убедиться, нужно исследовать выражение (3.40) на экстремум, т.е. взять производную dP/dR и приравнять ее нулю.
Таким образом, задача сводится к отысканию сопротивления внутреннего участка цепи (батареи). Если учесть, что согласно закону Ома (3.8) для
замкнутой цепи наибольшая сила тока Imax будет при внешнем сопротивлении
R = 0 (ток короткого замыкания), то
Imax = ¥ /r.
(3.42)
Подставив найденное из (3.42) значение r в формулу (3.41), получим
Pmax = ¥ Imax/4,
откуда, после подстановки данных задачи, найдем
Pmax = 15 Вт.
Задача 9. Обмотка электрического кипятильника имеет две секции. Если включена одна секция, вода закипает через t = 10 мин, если другая, то через t = 20 мин. Через сколько времени закипит вода, если обе секции включить:
а) последовательно; б) параллельно? Напряжение на зажимах кипятильника и КПД установки считать во всех случаях одинаковыми.
Решение. При различных включениях секций кипятильника сопротивление цепи различно. Очевидно, искомое время нагревания воды есть некоторая функция сопротивления цепи. Чтобы найти эту функцию, воспользуемся законом Джоуля-Ленца для теплового действия тока. Поскольку речь
идет об участке цепи, не содержащем э.д.с., к которому применим закон Ома
(3.7), запишем формулу (3.12)
Q = U 2 t / R.
52
(3.43)
Во всех случаях для нагревания воды требуется одно и то же количество теплоты, определяемое формулой
Qc = cm'T,
где
c и m - удельная теплоемкость и масса воды;
'T - разность температур.
В силу постоянства КПД установки K (по условию задачи) одним и тем
же будет также полное количество теплоты выделенное током, т.е.
Q = Qc/K.
С учетом постоянства напряжения на зажимах цепи (по условию задачи), из формулы (3.43) получим:
U2
t
Q
R
kt ,
(3.44)
где k = U2/Q - постоянная величина. Таким образом, зависимость времени от сопротивления является прямо пропорциональной. Теперь легко
найти ответы на поставленные вопросы. При последовательном соединении
общее сопротивление
Rпосл = R1+R2,
т.е. с учетом (3.44), получим
ktпосл = kt1+kt2,
откуда
tпосл = t1+t2,
т.е. tпосл = 30 мин.
При параллельном соединении имеем:
Rпар
R1 R2
,
R1 R2
и с учетом выражения (3.44), получим:
t пар
t1t 2
,
t1 t 2
т.е. t = 7 мин.
53
3.4 Задачи для контрольной работы
3.4.1 Аккумулятор с внутренним сопротивлением r = 0.08 Oм при токе
I1 = 4 А отдает во внешнюю цепь мощность P1 = 8 Вт. Какую мощность он
отдает во внешнюю цепь при токе I2 = 6 А?
3.4.2 Лампочки мощностью 40 Вт и 80 Вт, расcчитанные на одинаковые напряжения, включены в сеть с таким напряжением последовательно.
Рассчитайте мощности лампочек в этом случае.
3.4.3 Определите ток короткого замыкания аккумуляторной батареи,
если при токе I1 = 5 А она отдает во внешнею цепь мощность P1 = 9.5 Вт, а
при I2 = 8 А - мощность P2 = 14.4 Вт.
3.4.4 В конце зарядки аккумулятора током I1 = 4 А вольтметр, подключенный к его зажимам, показал напряжение U1 = 2.16 В. В начале разрядки
аккумулятора током I2 = 5 А показания вольтметра U2 = 1.8 В. Найдите э.д.с.
и внутреннее сопротивление аккумулятора.
3.4.5 Вольтметр, включенный последовательно с сопротивлением
7 кОм, показывает 50 В при напряжении в цепи 120 В. Что покажет вольтметр, если его включить последовательно с сопротивлением 35 кОм при том
же напряжении цепи?
3.4.6 В лаборатории, удаленной от генератора на 100 м, включили
электрический нагреватель, потребляющий 10 А. На сколько понизилось напряжение на зажимах электрической лампочки в этой лаборатории? Сечение
медных подводящих проводов 5 мм2, Uмеди = 1.7˜10-8 Ом˜м.
3.4.7 От батареи, э.д.с. которой равна 500 В, требуется передать энергию на расстояние 2.5 км. Потребляемая мощность 10 кВт. Найти минимальные потери мощности в сети, если диаметр подводящих медных проводов
равен 1.5 см, Uмеди = 1.7˜10-8 Ом˜м.
3.4.8 К батарее, э.д.с. которой ¥ = 2 В и внутреннее сопротивление
r = 0.5 Ом, подключили нагрузку. Определить: при каком сопротивлении нагрузки мощность, выделяемая в ней, максимальна? Чему равна эта мощность? Каков КПД источника при этом?
3.4.9 Обмотка электрического кипятильника имеет две секции. Если
включена только первая секция, то вода закипает через 10 мин, если только
вторая, то через 30 мин. Через сколько минут закипит вода, если обе секции
включить: последовательно? параллельно? КПД источника принять 60%.
3.4.10 В медном проводнике объемом 6 см3 при прохождении по нему
постоянного тока за время t = 1 мин выделилась теплота Q = 51.6 кал. Вычислить напряженность E электрического поля и плотность тока j в проводнике. Удельное сопротивление меди Uмеди = 1.7˜10-8 Ом˜м.
3.4.11. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением U заполняет пространство между двумя коаксиальными идеально проводящими тонкими цилиндрами. Радиусы цилиндров a и b, причем a < b,
длина каждого цилиндра l. Пренебрегая краевыми эффектами, найти сопротивление среды между цилиндрами.
3.4.12 Металлический шар радиуса а помещен в однородную слабо
54
проводящую среду с удельным сопротивлением U. Определить сопротивление среды во всем окружающем шар пространстве.
3.4.13. Металлический шарик радиуса а находится на расстоянии l от
безграничной идеально проводящей плоскости. Пространство вокруг шарика
заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением U. Найти для случая а << l а) плотность тока у проводящей плоскости как
функцию расстояния r от шарика, если разность потенциалов между шариком и плоскостью равна U; б) сопротивление среды между шариком и плоскостью.
3.4.14. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен стеклом с удельным сопротивлением U = 100 ГОм˜м. Емкость конденсатора
С = 4.0 нФ. Найти ток утечки через конденсатор при подаче на него напряжения U = 2.0 кВ. Диэлектрическая проницаемость стекла ¥ = 6.
3.4.15 На рисунке 3.9. изображена цепь постоянного тока. Определить
разность потенциалов между точками А и В.
3.4.16 Найти ток, протекающий через сопротивление R1 (рисунок 3.10)
участка цепи, если R1 = 10 Oм, R2 = 20 Oм, R3 =30 Ом и потенциалы точек 1,
2, 3 равны соответственно M1 = 10 В, M2 = 6 В, M3 = 5 В.
Рисунок 3.9
3.4.17 Два источника тока с э.д.с.
Рисунок 3.10
¥1 = 1.4 В, ¥2 = 1.2 В соединены параллельно. Найти напряжение на клеммах источников, если внутренние сопротивления их r1 = 0.6 Oм и r2 = 0.4 Oм.
3.4.18 Ток в проводнике сопротивлением R = 12 Oм равномерно возрастает от нуля до 5 А в течение 10 с. Какое количество теплоты выделится в
этом проводнике за указанный промежуток времени?
3.4.19 По проводнику сопротивлением R = 4 Ом течет равномерно возрастающий ток. Количество теплоты, выделившееся в проводнике за время
t = 10 с, равно Q = 300 Дж. Определить количество электричества, протекшее
за это время. В начальный момент времени ток в проводнике равен нулю.
3.4.20 Определить заряд, прошедший по проводу с сопротивлением
R = 3 Oм при равномерном нарастании напряжения на концах провода от
U0 = 2 В до U = 4 В в течение 20 с.
55
4 Магнитное поле в вакууме
4.1 Основные формулы и понятия
Сила, действующая на единицу длины проводника с током I, помещенного в магнитное поле (сила Ампера)
&
dF
> @
&&
I dl B ,
(4.1)
&
dl - вектор элемента длины проводника, проведенный в направ& лении тока;
B - вектор магнитной индукции.
Сила, действующая на электрический заряд q, движущийся со ско&
ростью v в магнитном поле (сила Лоренца)
где
&
F
> @
&&
q vB .
(4.2)
Закон Био-Саварра-Лапласа:
& вектор индукции магнитного поля, созданного элементом проводника dl , по которому течет ток I, равен
&
dB
> @
P 0 I &&
dl r ,
4S r 3
(4.3)
&
&
где r - радиус-вектор, проведенный от элемента dl до точки, в которой определяется индукция поля;
P 0 4S ˜ 10 7 Гн/м - магнитная постоянная.
В скалярной форме выражение (4.3) примет вид:
š&
&
P 0 Idl sin(dl r )
dB
.
(4.4)
4S
r2
Магнитная индукция в произвольной точке А (рисунок 4.1) поля, созданного прямолинейным проводником с током:
B
где
56
P0 I
cos M1 cos M 2 ,
4S a
(4.5)
а - расстояние от точки А до проводника;
M1, M2 -углы, образованные радиус-вектором, проведенным в точку А соответственно, из начала и конца проводника, с направлением тока.
Магнитная индукция в центре дуги окружности длиной
L, обтекаемой током I:
P 0 IL
,
4S R 2
B
(4.6)
где R -радиус окружности.
&
Циркуляция вектора магнитной индукции B вдоль
замкнутого контура L равна алгебраической сумме токов, охваченных контуром, умноженной на P0:
³
& &
Bdl
L
&š &
³ Bdl cos(Bdl )
P0 ¦ I .
(4.7) Рисунок 4.1
L
Магнитная индукция на оси длинного соленоида с током I в точках,
близких к его середине,
P0
B
где n
NI
l
P 0 nI ,
(4.8)
N l - число витков, приходящихся на единицу длины соленои-
да.
Магнитный момент замкнутого плоского контура, обтекаемого током I,
&
pm
&
ISn
&
IS ,
(4.9)
&
где S -вектор, численно равный площади, ограниченной контуром; на&
правление этого вектора совпадает с положительным направлением n к
плоскости контура и связано с направлением тока в контуре правилом правого винта.
Механический момент, действующий на замкнутый контур с током в
&
однородном магнитном поле с индукцией B ,
>p& m B@.
&
M
&
(4.10)
&
Поток вектора магнитной индукции B (магнитный поток) сквозь поверхность S определяется интегралом
)
³ BdS ³ Bn dS ,
& &
S
(4.11)
S
57
&
где Bn - проекция вектора B на направление нормали к элементу площади dS.
Работа сил магнитного поля по перемещению замкнутого контура с постоянным током I равна
A
I') ,
(4.12)
где ') ) 2 )1 - изменение магнитного потока сквозь поверхность,
ограниченную контуром.
4.2 Методические указания
4.2.1 Основной
& характеристикой магнитного поля служит вектор магнитной индукции B . Его модуль и направление устанавливается формулами
(4.1) или (4.3).
&
Задачи по электромагнетизму на расчет магнитной индукции B при заданном распределении токов, создающих магнитное поле, решают с помощью закона Био-Саварра-Лапласа (4.3), (4.4) и принципа суперпозиции
&
магнитных, полей. В силу этого принципа магнитная индукция B в любой
точке магнитного& поля проводника с током равна векторной сумме магнитных индукций d B , созданных в этой точке всеми элементами проводника с
током, т.е.
&
B
&
d
B
³ ,
(4.13)
l
где интегрирование проводится по всей длине проводника с током.
Из принципа суперпозиции полей следует также, что если
магнитное
&
поле создано несколькими проводниками с током, то вектор B в какой-либо
точке этого поля равен векторной сумме магнитных индукций, созданных в
этой точке каждым током в отдельности, т.е.
&
B
n
&
¦ Bi ,
(4.14)
i 1
где n - число проводников с токами.
Чтобы, применяя соотношения (4.13) и (4.14), получить правильный
&
&
результат, необходимо знать направления &складываемых векторов d B или B i
Как это следует из закона
(4.3), вектор d B всегда нормален к плоскости, со&
&
держащей векторы dl и r . Поэтому& в тех случаях, когда проводник с током
и точка, в которой&находят вектор B , лежат в одной плоскости, все элементарные векторы d B направлены вдоль одной прямой. Тогда геометрическое
58
сложение заменяется
алгебраическим. В остальных случаях складываемые
&
векторы d B не лежат на одной прямой. Тогда для вычисления интеграла
(4.13) поступают так же,
& как и в аналогичных задачах по электростатике при
вычислении вектора E (см. методические указания в разделе 1). В частности,
если магнитная индукция обладает осевой симметрией и точка, в которой
&
отыскивают магнитную индукцию, лежит на этой оси, то искомый вектор B
направлен вдоль этой оси. Его величина определяется интегралом, взятым по
всей длине проводника:
&
B
&
d
B
³ x,
l
&
&
где d B x - составляющая вектора B вдоль оси симметрии поля.
4.2.2 Расчеты симметричных магнитных полей значительно упрощаются благодаря применению теоремы о циркуляции вектора магнитной индук&
ции (4.7). При этом важно, чтобы через точку, в которой находят вектор B ,
можно было провести такой замкнутый контур L, совпадающий с линией индукции поля, для всех точек которое выполнялось бы соотношение B = const.
&š &
В этом случае для всех элементов контура cos( B, dl ) = 1 и уравнение (4.7)
принимает простой вид:
BL
P0 ¦ I .
&
4.2.3 Вектор напряженности H магнитного поля является вспомогательной величиной, которую вводят для описания поля в магнитных средах.
Если все же в задаче требуется вычислить напряженность
магнитного поля в
&
вакууме, то,&найдя магнитную индукцию B , легко определить и напряженность поля H , используя соотношение:
H
B P0 ,
вытекающее из формул (5.2) или (5.3).
4.2.4 Если требуется определить силу, с которой заданное магнитное
поле действует
на проводник с током, то сначала по формуле (4.1) находят
&
силу dF , действующую на произвольный элемент dl длины проводника (силу Ампера), а затем интегрируют полученное выражение по
& всей длине проводника, учитывая направление складываемых векторов dF .
Когда в задаче рассматривается замкнутый контур, находящийся в
магнитном поле, то различают два случая:
а) магнитное поле однородно. Тогда на контур с током действует вращающий момент, определяемый формулой (4.9). Под влиянием этого мо59
&
&
мента контур поворачивается так, что угол D между векторами p m и B
уменьшается. При D = 0 наступает состояние устойчивого равновесия контура в магнитном поле;
б) магнитное поле неоднородно. В этом случае на контур с током кроме вращающего момента действует сила, определяемая формулой, приводимой в учебниках, например под редакцией Савельева И.В.:
F
wB
&š &
pm
cos( pm B ) ,
wx
здесь x - направление быстрейшего изменения величины B. Однако
следует иметь в виду, что эта формула справедлива только при следующих
&
условиях: магнитное поле таково, что направления оси x и вектора B совпадают (например, поле соленоида в точках, лежащих на оси вблизи концов соленоида); контур с током достаточно мал, чтобы во всех точках ограниченной им плоскости можно было бы считать величину B приблизительно одинаковой (т.е. контур с током не искажает внешнее поле).
Общий метод нахождения силы, действующей на контур с током в неоднородном магнитном поле, основан на законе сохранения энергии.
4.3 Решение задач
Задача 1. По контуру, изображенному на рисунке 4.2, идет ток силой
I = 10.0 А. Определить величину магнитной индукции в точке O, если радиус
дуги равен 10 см, D = 60q.
Решение. В силу принципа суперпозиции
маг&
нитных полей магнитная индукция B в точке О
равна векторной сумме магнитных индукций, созданных всеми элементами контура с током. Разобьем контур на три участка, как показано на рисунке 4.2. Тогда
&
B
Рисунок 4.2
&
&
&
B AC B AB BCB .
(4.15)
Вычислим модули всех трех слагаемых, для чего воспользуемся формулами (4.5) и (4.6). Т.к. угол D = 60q, дуга АВ составляет 1/6 часть окружности, т.е. L 2SR 6 SR 3 . Подставив это значение в формулу (4.6), найдем:
B AB
P0 I
.
12 R
(4.16)
Затем по формуле (4.5) определим величину ВВС. Из рисунка 4.2 видно,
что углы, входящие в эту формулу, равны M1 = 30q, M2 = 90q. Расстояние от
60
точки О до провода ВС равно a = OC = R sinM1 = R/2. Подставив значения а,
M1, M2 в формулу (4.5), имеем
B BC
3P 0 I
˜ .
4S R
(4.17)
Формула (4.5) для расчета величины В участка с током СА в данном
случае не подходит, т.к. дает неопределенность типа 0 0 , поскольку а = 0, и
cosM = 0. Поэтому, удобней воспользоваться формулой (4.4). В этом случае
š
&&
sin( dl r ) 0 , однако знаменатель отличен от нуля. Таким образом, dB = 0 для
любого элемента проводника СА, т.е. весь проводник СА не создает в точке О
магнитного поля. Отсюда соотношение (4.15) упростится:
&
B
&
&
B AB BBC .
(4.18)
Поскольку
точка О и контур АВС лежат в одной плоскости, оба вектора
&
&
B AB , B BC , будучи перпендикулярными этой плоскости (4.3), оказываются
расположенными вдоль одной прямой - нормали к плоскости чертежа, проходящей
через точку О. При этом, согласно
правилу правого винта, вектор
&
&
B AB направлен от наблюдателя, вектор B BC - к наблюдателю. Приняв одно
из направлений (например, второе) за положительное, можно вместо (4.18)
написать скалярное равенство
B
B BC B AB ,
B
§ 3 1 · P0 I
¨¨
¸¸
.
S
4
12
R
¹
©
или, с учетом (4.16) и (4.17)
Подставив в эту формулу данные задачи, выраженные в единицах СИ,
и произведя расчеты, получим:
B = 6.9˜10-6 Тл = 6.9 мкТл.
Задача 2. По двум длинным параллельным проводам текут в противоположных направлениях токи силой I1 = I2 = I = 10.0 A. Расстояние между
проводами a = 0.30 м. Определить величину магнитной индукции в точке А,
удаленной от первого и второго проводов соответственно на расстояния
a1 = 0.15 м, a2 = 0.20 м (рисунок 4.3).
Решение. Согласно принципу суперпозиции полей магнитная индукция
в точке А равна векторной сумме магнитных индукций, созданных каждым
61
током в отдельности:
&
B
& &
B1 B2 .
Однако, здесь, в отличие от
предыдущей задачи, точка А, в
которой надо определить поле и
оба параллельных провода не леРисунок 4.3
жат в одной плоскости (в противном случае имело &бы место
одно из двух равенств: а = а1+а2; а = ¸а1а2°).
&
Поэтому векторы B1 и B2 не коллинеарны. Пусть они образуют угол D (ри&
сунок 4.3). Тогда модуль вектора B на основании теоремы косинусов равен
B
B12 B22 2 B1 B2 cosD .
(4.19)
Величины В1 и В2 можно найти по формуле (4.5). Так как в условии задачи речь идет о длинных проводах, то ясно, что точка А удалена от концов
каждого провода на значительно большее расстояние, чем от самого провода.
Из рисунка 4.3 видно, что в этом случае в формуле (4.5) следует положить
M1 = 0; M2 = S. Тогда получим:
B
P0 I
.
2S a
(4.20)
Чтобы определить
&
& cosD , входящий в формулу (4.19) учтем, что каждый из векторов B1 и B2 лежит в плоскости, перпендикулярной соответствующему проводнику с током.
на рисунке 4.3, выполненном в плоско& Поэтому
&
сти, содержащей векторы B1 и B2 , оба проводника изображаются в виде точек. Причем, в соответствии с принятыми обозначениями, ток I1 направлен от
наблюдателя, ток I2 - к наблюдателю, а вектора индукции изображены на рисунке так, что их направления связаны с направлениями соответствующих
токов правилом правого винта. Пусть
угол
между отрезками а1, а2 равен E.
&
&
Поскольку каждый из векторов B1 и B2 перпендикулярен к соответствующему отрезку, должно выполняться равенство
DE
S.
(4.21)
a12 a 22 2a1a 2 cos E .
(4.22)
По теореме косинусов имеем
a2
62
Из соотношений (4.21), (4.22) следует
cosD
cos E
a 2 a12 a22
.
2a1a2
(4.23)
Подставив в (4.19) В1 и В2, определяемые по формуле (4.20), а также
выражение для cosD из (4.23), найдем
B
P0 I
2S
2 §¨ a 2 a12 a22 ·¸
¸
2a1a2
a12 a22 a1a2 ¨©
¹
1
1
P 0 Ia
.
2S a1a2
Подставив в полученную формулу числовые значения из условия задачи и произведя вычисления, получим:
В = 2.0˜10-5 Тл = 20 мкТл.
Задача 3. Коаксиальный кабель представляет собой длинную металлическую тонкостенную трубку радиуса R = 10 мм вдоль оси которой расположен тонкий провод. Силы токов в трубке и проводе равны и направлены противоположно. Определить величину магнитной индукции в точках 1 и 2 на
рисунке 4.4, удаленных соответственно на расстояния r1 = 5 мм и r = 15 мм
от оси кабеля, если сила тока I = 0.5 А.
Решение. Магнитная индукция в каждой из
точек 1 и 2 равна векторной сумме магнитных индукций, созданных двумя токами: трубки и осевого провода. Индукция осевого провода выражается
формулой (4.5) или, точнее формулой (4.20) задачи
2 для длинного прямолинейного проводника с током. Для нахождения индукции от трубки, можно
разбить ее на тонкие полоски, параллельные осевому проводу и представить ток в трубке как совокупность параллельных токов, идущих по этим
полоскам. Поле каждого такого тока выражается
формулой (4.5). Таким образом, задачу можно решить суммированием
(интегрированием) магнит&
ных индукций dB элементарных прямолинейных
проводников с током. Однако в данном случае
Рисунок 4.4
этот метод неудобен, т.к. хотя магнитное поле тока, текущего по коаксиальному кабелю, является симметричным (его ось
совпадает с осью кабеля), &точки 1 и 2 не лежат на этой оси. Поэтому при
суммировании векторов dB , имеющих различное направление, нельзя воспользоваться соображениями симметрии и расчеты будут затруднительны.
Поступают иначе. Симметрия магнитного поля тока коаксиального ка63
беля дает возможность использовать теорему о циркуляции вектора магнитной индукции магнитного поля. Действительно, из соображений симметрии следует, что линии индукции магнитного поля тока кабеля должны
иметь форму окружности, центры которых лежат на оси кабеля, плоскости
которых перпендикулярны к этой оси. Из тех же соображений симметрии
следует, что во всех точках одной и той же линии индукции величина В одинакова. В этом случае целесообразно применить формулу (4.7) (см. пункт
4.2.2 методических указаний).
В качестве контура интегрирования рассмотрим линию индукции, проходящую через точку 1. Учитывая, что для всех элементов этой линии
& š&
cos( B, dl ) 1 , запишем:
&š &
³ B1dl cos(B1 , dl )
B1 ³ dl
откуда
B1
2Sr1 B1
P0 I ,
P0 I
.
2S r1
Подставляя данные задачи, выраженные в единицах СИ и произведя
вычисления, найдем:
B1
2.0 ˜10 5 T
20 мкТл.
Аналогично определим величину В2. Для этого в качестве контура интегрирования возьмем линию индукции, проходящую через точку 2. Поскольку контур интегрирования охватывает два тока, равных по величине и
противоположно направленных, то
& š &
³ B2 dl cos( B2 , dl )
B2 ³ dl
2Sr2 B2
P0 (I I )
0,
откуда
В2 = 0.
Замечание. Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:
а) Магнитное поле тока, идущего по коаксиальному кабелю, сосредоточенно целиком внутри кабеля;
б) Это поле соответствует полю, созданному током, идущему по осевому проводу (такое заключение следует из сравнения ответа для В1 с формулой (4.20) задачи 2). Следовательно, ток, идущий по трубе кабеля (тонкостенному длинному цилиндру), не создает внутри неё магнитного поля;
64
в) Отсутствие результирующего поля вне кабеля свидетельствует о
численном равенстве (и противоположном направлении) магнитных индукций токов трубки и осевого провода. Из этого следует, что магнитное поле
тока, идущего по длинному цилиндру, для точек, лежащих вне цилиндра,
можно рассчитывать, заменив цилиндр линейным проводником, расположенным вдоль оси цилиндра.
Задача 4. Длинный цилиндр из диэлектрика, по поверхности которого
равномерно распределен положительный заряд с линейной плотностью
W = 10.0 мкКл/м, равномерно вращается вокруг своей оси, совершая
n0 = 1.00˜102 об/сек (рисунок 4.5). Определить индукцию магнитного поля в
двух точках: в середине оси цилиндра и в центре одного из оснований.
Решение. Прежде всего заметим, что круговое движение электрических зарядов при вращении
данного цилиндра соответствует
току, проходящему по виткам соленоида, имеющего такие же размеры, что и цилиндр. Следовательно, магнитное поле данного в заРисунок 4.5
даче вращающегося цилиндра эквивалентно магнитному полю данного соленоида с током. Поэтому индукцию магнитного поля в середине цилиндра вычислим по формуле (4.8).
Чтобы выразить произведение nI в формуле (4.8) через заданные в условии величины n0 и W, рассмотрим прямоугольную площадку 'S, сторона
которой параллельна оси цилиндра и имеет единичную длину (рисунок 4.5а).
За каждый оборот цилиндра через эту площадку проходит весь заряд, расположенный на поверхности цилиндра единичной длины, т.е. заряд, численно
равный W. Значит, через площадку 'S за промежуток времени 't пройдет заряд, равный
qc
n0W't .
(4.24)
В случае соленоида через такую площадку 'S (рисунок 4.5б) за промежуток времени 't пройдет заряд, равный
q cc
nI't .
(4.25)
Магнитные поля токов соленоида и вращающегося цилиндра эквиваленты при условии q c q cc . Приравнивая правые части формул (4.24), (4.25),
получаем
65
n0W .
nI
Подставляя значение nI в формулу (4.8), найдем индукцию магнитного
поля в середине вращающегося цилиндра, а именно:
BA
P 0 n0W .
(4.26)
Чтобы определить магнитную индукцию в центре одного из оснований
цилиндра, учтем, что в задаче речь идет о длинном цилиндре, длина которого
значительно больше диаметра. Если мысленно разделить цилиндр пополам
плоскостью, перпендикулярной оси вращения, и удалить одну половину, например правую, то индукция в точке А уменьшится вдвое и станет равной
B cA
P 0 n0W 2 .
Это вытекает из принципа суперпозиции полей, в силу которого каждая половина вращающегося цилиндра вносила одинаковый вклад в магнитное поле точки А. В то же время индукция ВС в точке С (рисунок 4.5а) не изменится при удалении правой половины цилиндра, т.к. при большой длине
левой половины цилиндра вклад, вносимый в магнитное поле в точке С правой половиной пренебрежимо мал. Таким образом, получаем:
BC
B cA
P 0 n0W 2 .
(4.27)
Подставив числовые значения в формулы (4.26) и (4.27) и произведя
расчеты, найдем, что
ВА = 12.6˜10-10 Тл;
ВС = 6.3˜10-10 Тл.
Задача 5. В центре длинного соленоида, имеющего n = 5000 витков на
метр, помещена рамка площадью S = 4.0 см2, имеющая N = 60 витков провода. Рамка может вращаться вокруг оси OOc, перпендикулярной оси соленоида, и удерживается в равновесии спиральной пружиной так, что её плоскость
параллельна оси соленоида (рисунок 4.6). При пропускании тока по рамке и
соленоиду, соединенных последовательно, рамка повернулась на угол
M = 60q. Определить силу тока, если
жесткость пружины К = 6.0˜10-5 Нм/рад
(жесткость спиральной пружины измеряется вращающим моментом, необходимым для закручивания пружины на
угол D = 1 рад).
Решение. При появлении тока
Рисунок 4.6
рамка оказывается в однородном маг66
&
нитном поле соленоида. На неё будет действовать вращающий момент M ,
под действием которого рамка повернется, закручивая пружину.
В итоге
&
рамка установится в таком
& положении, когда момент сил M уравновесится
моментом упругих сил M упр пружины, т.е.
&
M
&
M упр .
(4.28)
Значение момента М найдем по формуле (4.10), записав ее в скалярном
виде
& š&
p m B sin( p m B) ,
M
(4.29)
где pm и B выражаются формулами (4.9) и (4.8). Учитывая, что в (4.9)
дан магнитный момент одного витка, на основании соотношения (4.29) получим
& š&
(4.30)
M NISP 0 nI sin( p m B ) P 0 nNI 2 S sin D ,
&
&
где D - угол между векторами p m и B . Заметим, что по условию задачи, когда тока нет, D = S/2.
&
При устойчивом равновесии свободной рамки вектор p m всегда парал&
лелен
вектору
B
, т.е. при этом D = 0. Поэтому под действием момента сил
&
M рамка поворачивается так, что угол D уменьшается. Если рамка повернулась на угол M, то вращающий момент упругих сил Мупр пружины по закону
Гука равен
M упр
КM .
(4.31)
Приравнивая на основании (4.28) правые части формул (4.30) и (4.31) и
учитывая, что D S 2 M , получим:
P 0 nNI 2 cos M
KM ,
откуда
I
KM P 0 nN cosM .
Выразив все величины в единицах СИ, произведя вычисления, найдем:
I
6.0 ˜10 5 S 3
4S ˜10 7 ˜ 50 ˜ 5000 ˜ 4.0 ˜10 4 ˜ 0.5
A 1A.
67
Задача 6. Рядом с длинным прямым проводом MN, по которому идет
ток силой I, расположена квадратная рамка со стороной l, обтекаемая током
Ic. Рамка лежит в одной плоскости с проводом MN так, что её сторона, ближайшая к проводу, находится от него на расстоянии a0 (рисунок 4.7). Определить силу, действующую на рамку, а также работу этой силы при удалении рамки из
магнитного поля. Считать, что при движении рамки токи I и Ic поддерживаются постоянными.
Решение. Здесь, в отличие от предыдущей задачи, рамка с током находится в
неоднородном магнитном
поле, т.к. магнит&
ная индукция B убывает при удалении от
провода MN. В этом случае на контур, кроме
вращающегося момента действует сила. Перемещая контур, эта сила совершает работу.
В данной задаче, вращающий момент не
учитываем, т.к. по условию задачи рамка и
провод MN лежат
Рисунок 4.7
& в одной плоскости, значит
&
вектора p m и B параллельны. Отсюда следует, что рамка находится в равновесии (см. задачу 5).
Возможны два способа решения задачи, отличающиеся последовательностью нахождения неизвестных величин - силы и работы. Рассмотрим оба
способа.
Первый способ. На каждый элемент длины контура ABCD расположенного в магнитном поле тока I, действует сила Ампера, выражаемая формулой (4.1). Направление этой& силы зависит, в частности, от направления
вектора магнитной индукции B в том месте, где находится элемент. Направления линий индукции, определяемые правилом правого винта, изображены
на рисунке крестиками (от наблюдателя) и точками (к наблюдателю). Применив правило левой руки, найдем направления сил, действующих на все
стороны рамки (рисунок 4.7). Так как стороны АВ и СD расположены одинаково относительно провода MN, действующие на них силы F3 и F4 уравновешиваются. Следовательно, равнодействующая всех сил, приложенных к рамке, равна:
F
F1 F2
(4.32)
и направлена от провода MN.
Вычислим силы F1 и F2, действующие на стороны рамки AD и BC, для
этого запишем формулу (4.1) в скалярном виде:
&š &
c
(4.33)
dFA I dl B sin( dl , B ) .
68
Учтем, что для всех элементов dl одной и той же стороны рамки
&š &
sin( dl , B ) = 1 и величина В одинакова (см. рисунок 4.7). Поэтому силу, действующую на каждую из сторон АD, и ВС, на основании (4.33) выразим так:
l
FA
³ I cBdl
0
l
I cB ³ dl
I cBl .
(4.34)
0
Магнитная индукция длинного прямого провода с током дается формулой (4.5), если в ней положить M1 = 0, M2 = S, что соответствует длинному
проводу:
P0 I
.
2S a
B
(4.35)
Подставив это значение В в формулу (4.34), найдем силы, действующие на
участки АD и ВС.
P0 I
;
2S a0
F1
F2
P0
I
.
2S a0 l (4.36)
Тогда по формуле (4.32), результирующая сила, действующая на рамку
с током Ic в поле тока I, равна:
F
§ 1
P0
1 ·
¸¸ .
II cl ¨¨ 2S
© a0 a0 l ¹
(4.37)
При удалении рамки от провода за пределы магнитного поля тока I силы F1 и F2, которые теперь будем рассматривать как переменные величины,
совершат работу: сила F1 - положительную работу А1 , сила F2 - отрицательную работу A2. Считая каждую из величин A1, A2 работой переменной
силы, найдем полную работу:
A
A1 A2
f
f
³ F1da ³ F2 da .
a0
(4.38)
a0 l
Чтобы вычислить каждый из этих интегралов, надо знать, как зависит
сила от расстояния до провода MN. Формула (4.37) справедлива лишь для
длинного провода, когда выполняются условия M1 = 0, M2 = S. На больших
расстояниях от провода они (условия) не выполняются и формула (4.36) оказывается неверной. Тем не менее, найти разность интегралов в формуле
69
(4.38) можно, для чего воспользуемся условием задачи. Сила F1, переместив
проводник АD на расстояние l, в дальнейшем совершит точно такую же по
абсолютному значению работу, что и сила F2, перемещая проводник ВС, т.к.
проводник АD, пройдя путь l, затем в точности повторит движение проводника ВС. Имея противоположные знаки, эти два значения работы дают в
сумме ноль. Следовательно, искомая работа А равна работе силы F1 при перемещении проводника АD из его начального положения на расстояние l.
Поэтому, учитывая формулу (4.36), получим
a0 l
A
³ F1da
a0
P0
II cl
2S
a0 l
³
a0
da
a
P0
a l
II cl ln 0
.
a0
2S
Второй способ. Для вычисления работы по удалению рамки АВСD из
магнитного поля воспользуемся формулой (4.12), выражающей работу магнитных сил через изменение магнитного потока ) - )0 сквозь замкнутый
контур, где )0 - магнитный поток сквозь рамку в её начальном положении.
Очевидно, что магнитный поток сквозь рамку, находящуюся вне магнитного
поля, равен нулю. Таким образом, работа сил магнитного поля
A
I c) ) 0 I c) 0 .
(4.39)
Найдем поток )0 по формуле (4.11). Так как положительное направление нормали к контуру с током связано с направлением тока правилом правого винта, то нормаль к контуру АВСD направлена от наблюдателя. Следовательно,
для всех элементов dS поверхности, ограниченной контуром, век&
тор B составляет с нормалью угол S, поэтому Bn = –B, и поток )0, определяемый формулой (4.11), является отрицательным, а работа А, выражаемая
формулой (4.39) - положительной.
Поскольку поле неоднородно, чтобы вычислить величину )0, разобьем
поверхность, ограниченную контуром АВСD, на элементарные полоски, параллельные проводу MN, длиной l и шириной da. Магнитный поток сквозь
такую полосу , расположенную от провода MN на расстоянии a, с учетом
формулы (4.35), равен
d) 0
Bn dS
Blda
P 0 da
,
Il
2S a
отсюда
)0
³ Bn dS
S
P
0 Il
2S
a0 l
³
a0
da
a
P0
a l
Il ln 0
.
a0
2S
Подставив это значение )0 в формулу (4.39), получим
70
(4.40)
A
a l
P0
II cl ln 0
.
2S
a0
Для отыскания силы, действующей на рамку, предположим, что под
влиянием этой силы, рамка переместилась на расстояние da от начального
положения. При этом сила F совершит работу
dA = Fda.
С другой стороны, по формуле (4.12), эту работу можно выразить через
магнитный поток d) сквозь рамку при её перемещении на dA:
dA = Icd).
Из двух последних равенств следует, что:
F
Ic
d)
.
da
(4.41)
Чтобы выполнить дифференцирование, выразим ) как функцию переменной величины а, для чего запишем формулу (4.40), заменив в ней постоянную а0 на переменную а:
)
P0
al
Il ln
.
2S
a
Подставив это значение ) в (4.41) и произведя дифференцирование,
найдем
P0
1 ·
§1
F
II cl ¨ ¸.
2S
©a al¹
При а = а0 этот результат совпадает с формулой (4.37).
Замечание. В данной задаче оба рассмотренных метода оказываются
одинаково целесообразны, однако второй способ более универсален. Действительно, вычисление работы первым способом основано на предположении,
что рамка с током, удаляясь от проводника MN, двигалась поступательно, оставаясь все время в одной и той же плоскости. Маловероятное предположение для свободной рамки, ведь малейшее отклонение от заданной плоскости
вызовет появление вращающего момента, т.к. силы F1 и F2 уже не будут лежать на одной прямой. Вращающий момент повернет рамку на угол S и она
начнет притягиваться к проводнику и т.д., т.е. рамка находится в неустойчивом положении. Второй способ вычисления работы справедлив для любого
движения рамки, т.к. согласно формуле (4.12), важно знать лишь начальное и
71
конечное положения контура. Кроме того, второй способ позволяет не рассматривать силы, действующие на отдельные элементы контура. Как видно
из формулы (4.41), нахождение силы, действующей в заданном направлении
движения контура, сводится к расчету производной от магнитного потока по
перемещению контура.
4.4 Задачи для контрольной работы
4.4.1 Два прямолинейных длинных проводника с током расположены
параллельно на расстоянии 10 см друг от друга. По проводникам текут токи
I1 = I2 = 5 А в противоположных направлениях. Найти величину и направление индукции магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от
каждого проводника.
4.4.2 Ток в 20 А идет по длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Найти индукцию магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на 10 см.
4.4.3 Из проволоки длиной 1 м сделана квадратная рамка. По этой
рамке течет ток силой 10 А. Найти напряженность магнитного поля в центре
рамки.
4.4.4 По проволочной рамке, имеющей форму правильного шестиугольника, идет ток силой 2 А. При этом в центре рамки образуется магнитное поле напряженностью Н = 33 А/м. Найти длину L проволоки из которой
сделана рамка.
4.4.5 По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток в
30 А. Сторона треугольника равна 30 см. Определить величину магнитной
индукции в точке пересечения высот треугольника.
4.4.6 Два бесконечно длинных прямых проводника скрещены под прямым углом (рисунок 4.8). По проводникам текут токи I1 = 40 А, I2 = 30 А. Расстояние между проводниками d = 20 см. Определить индукцию
магнитного поля в точке А, удаленной одинаково от обоРисунок 4.8
их проводников.
4.4.7 По данным задачи 4.4.6 определить индукцию магнитного поля в точке С (рисунок 4.8), удаленной
от обоих проводников на расстояние равное d.
4.4.8 Бесконечно длинный провод с током
I = 100 А изогнут как показано на рисунке 4.9. ОпредеРисунок 4.9
лите величину магнитной индукции в точке О, если
R = 20 см.
4.4.9 По бесконечно длинному проводу изогнутому как показано на рисунке 4.10 течет ток 20 А.
Определите величину магнитной индукции в точке О
если R = 20 см.
4.4.10 Определить величину индукции магнитного поля в точке О, если бесконечно длинный проРисунок 4.10
72
водник имеет вид, представленный на рисунке 4.11.
4.4.11 Ток силой 6.28 А циркулирует в контуре, имеющем форму равнобочной трапеции (рисунок 4.12). Отношение оснований трапеции равно
двум. Найти индукцию магнитного поля в точке А, лежащей в плоскости
трапеции.
4.4.12 Ток силой 5.0 А течет по тонкому изогнутому контуру, как показано на рисунке 4.13. Радиус изогнутой части R = 120 мм, угол 2M = 90q. Найти индукцию магнитного поля в точке О.
4.4.13 Найти индукцию магнитного поля в точке О контура с током I
(рисунок 4.14), если радиусы a и b, а
также угол M заданы.
R
O
Рисунок 4.11
Рисунок 4.12
Рисунок 4.13
Рисунок 4.14
4.4.14 Найти индукцию магнитного поля в точке O контура с током I
(рисунок 4.15), если радиусы a и b известны.
4.4.15 Найти индукцию магнитного поля в точке O проводника с током
I = 8.0 А (рисунок 4.16), если радиус изогнутой части R = 100 мм, прямолинейные участки длинные.
4.4.16 По данным задачи 4.4.15 найти индукцию магнитного поля в
точке О проводника с током, представленного на рисунке 4.17.
Рисунок 4.15
Рисунок 4.16
4.4.17 По данным задачи 4.4.15 найти
индукцию магнитного поля в точке О проводника с током, представленного на рисунке
4.18.
4.4.18 По круглому прямому проводу
&
радиуса R течет ток постоянной плотности j .
&
Найти вектор B в точке, положение которой
относительно оси провода определяется перпендикулярным к этой оси радиус-вектором
&
r.
Рисунок 4.17
Рисунок 4.18
73
4.4.19 Внутри прямого провода круглого сечения имеется круглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно неё на расстояние l. По проводу течет
ток постоянной плотности
&
&
j . Найти вектор индукции магнитного поля B внутри полости.
4.4.20 Эбонитовый шар радиуса R = 50 мм заряжен при помощи трения
равномерно распределенным по поверхности зарядом с плотностью
V = 10.0 мкКл/м2. Шар приводится во вращение вокруг
своей оси со скоро&
стью n = 600 об/мин. Найти магнитную индукцию B в центре шара.
4.4.21 По объему однородного шара массы m и радиуса R равномерно
распределен заряд q. Шар приводится во вращение вокруг своей оси с угловой скоростью Z. Найти возникающие в результате вращения момент импульса (механический момент) L и магнитный момент pm, а также их отношение.
4.4.22 Непроводящий тонкий диск радиуса R, равномерно заряженный
с одной стороны с поверхностной плотностью V, вращается вокруг своей оси
с угловой скоростью Z. Найти индукцию магнитного поля в центре диска и
магнитный момент диска.
4.4.23 Длинный диэлектрический цилиндр радиуса& R статически поля&
ризован так, что во всех его точках поляризованность P Dr , где D - положительная постоянная, r - расстояние от оси. Цилиндр привели
во вращение
&
вокруг его оси с угловой скоростью Z. Найти индукцию B магнитного поля
в центре цилиндра.
4.4.24 Стержень длиной l = 20 см заряжен равномерно распределенным
зарядом с линейной плотностью W = 0.2 мкКл/м. Стержень вращается с частотой n = 10 с-1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей
через его конец. Определить магнитный момент pm, обусловленный вращением стержня.
4.4.25 Между полюсами электромагнита создается однородное магнитное поле, индукция которого равна 0.1 Тл. По проводу длиной 70 см, помещенному перпендикулярно силовым линиям этого поля, течет ток 70 А. Найти силу, действующую на провод.
4.4.26 Два прямолинейных длинных проводника с током находятся на
расстоянии 10 см друг от друга. По проводам течет ток в одном направлении
I1 = 20 А и I2 = 30 А. Какую работу (на единицу длины проводников) надо совершить, чтобы раздвинуть проводники до расстояния 20 см между ними?
4.4.27 Из проводника длиной 20 см сделан квадратный контур, который расположен в однородном магнитном поле, индукция которого равна
0.1 Тл. По контуру течет ток силой 2 А. Плоскость контура составляет угол
45q с направлением магнитного поля. Определить работу сил поля по повороту рамки до положения устойчивого равновесия.
4.4.28 Решить предыдущую задачу 4.4.27 при условии, что контур выполнен в форме круга.
4.4.29 На проволочный виток радиусом 10 см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент
74
М = 6.5 мкН. Сила тока в витке 2 А. Определить магнитную индукцию поля
между полюсами магнита.
4.4.30 Квадратная рамка со стороной 2 см, содержащая 100 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити, постоянная кручения которой
C = 10 мк͘м./град. Плоскость рамки совпадает с направлением индукции
внешнего поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если при
пропускании по рамке тока в 1 А она повернулась на угол 60q.
4.4.31 По проводнику, согнутому в виде квадрата со стороной
а = 10 см, течет ток силой 20 А. Плоскость квадрата перпендикулярна силовым линиям поля. Определить работу удаления рамки за пределы поля. Считать поле однородным, величина магнитной индукции B = 0.1 Тл.
4.4.32 Решить задачу 4.4.31 для случая кругового контура радиуса
10 см.
75
5 Магнитное поле в веществе. Энергия магнитного поля
5.1 Основные формулы и понятия
&
Намагниченность (вектор намагничивания) J измеряется магнитным
моментом единицы объема магнетика:
&
J
1
'V
N
&
¦ p m ,i ,
(5.1)
i 1
где
N-число частиц, содержащихся в физически бесконечно малом
объеме 'V;
&
p m,i - магнитный момент i частицы.
&
Вектор напряженности H магнитного поля используется для описания
магнитного
&
&поля в веществе. Он определяется как линейная комбинация векторов B и J :
& &
&
H B P0 J .
(5.2)
&
Циркуляция вектора H вдоль замкнутого контура L равна алгебраической сумме токов, охваченных контуром:
³
& &
Hdl
L
&š &
³ Hdl cos(H , dl )
¦I .
(5.3)
L
&
Циркуляция вектора намагниченности J вдоль замкнутого контура
равна
& &
J
³ dl
I c,
(5.4)
L
где I c- суммарный молекулярный ток.
Для магнетиков, у которых
&
J
&
FH :
(5.5)
&
B
&
PP 0 H ,
(5.6)
P
F 1,
(5.7)
P - магнитная проницаемость вещества;
F - магнитная восприимчивость вещества.
Магнитная индукция внутри длинного соленоида с магнитным сердечгде
76
ником:
B
PP 0 nI ,
(5.8)
где
n -число витков на единицу длины соленоида;
I -сила тока;
P - магнитная проницаемость вещества сердечника.
Индуктивность длинного соленоида объемом V с магнитным сердечни-
ком:
L
P 0 P n 2V .
(5.9)
Энергия магнитного поля тока I в контуре, обладающем индуктивностью L:
(5.10)
W LI 2 2 .
Объемная плотность энергии магнитного поля (энергия, отнесенная к
единице объема)
P 0 P H 2 BH
B2
w
.
(5.11)
2
2
2P 0 P
5.2 Методические указания
5.2.1 Расчет магнитных полей при наличии магнитных
сред значитель&
но упрощается введением вектора напряженности
& H&, как характеристики
магнитного поля, определяемой
через векторы B и J соотношением (5.2).
&
Особенность вектора H состоит в том, что его циркуляция по любому замкнутому контуру равна, согласно формуле (5.3), алгебраической сумме& токов,
охваченных этим контуром. Другими словами, циркуляция вектора H не зависит от магнитных свойств среды, через которую проходит контур. Поэтому
соотношение (5.3) широко применяют для расчета магнитных цепей, выбирая контуром интегрирования одну из замкнутых
линий индукции, идущих
&
вдоль магнитной цепи. Однако, сам вектор H зависит от свойств среды. Например, напряженность магнитного поля как в зазоре между полюсами электромагнита, так и внутри его железного сердечника зависит не только от силы тока в обмотке электромагнита, но и от магнитных свойств железа. Лишь
в двух случаях, когда сердечник электромагнита является сплошным
коль&
цом (тором) или бесконечно длинным стержнем, вектор H не зависит от
свойств среды и определяется только током в обмотке.
5.2.2 Чтобы решить уравнение,
полученное в результате применения
&
теоремы о циркуляции
&
& вектора H , часто бывает необходимо знать связь между векторами H и B (кроме той, которая выражена формулой (5.2)). Эта
связь дается соотношением (5.6). Однако
отсюда
не следует пропорциональ&
&
ной зависимости между векторами B и H в ферромагнетике. Справедли77
вость формулы (5.6) ограничена условием (5.5). В ферромагнетике магнитная
проницаемость P сама зависит
& от& магнитного поля внутри вещества. Следовательно, между векторами B и H существует нелинейная зависимость, различная для разных ферромагнетиков. Обычно эта зависимость дается в виде
экспериментальных кривых намагничивания железа и других ферромагнетиков. Ниже, на рисунке 5.1, мы приводим эту зависимость для технически
чистого железа, что необходимо для решения задач, приводимых в данном
сборнике.
Рисунок 5.1 Кривая намагничения технически чистого железа
Вследствие явления магнитного гистерезиса кривая намагничивания
ферромагнетика (линия оа на рисунке 5.2) не совпадает с кривой его размагничивания (линия авс). Поэтому
для
отыска&
*
ния связи между векторами B и H в ферромагнетике пользуются кривой намагничивания
только в тех случаях, когда известно, что рассматриваемое
в
задаче
состояние
ферромагнетика возникло в процессе его
намагничивания, при этом необходимо, чтобы
в начале этого процесса ферромагнетик не
имел остаточной намагниченности, иначе
кривая намагничивания не будет проходить
через точку о и, следовательно, не совпадет с
основной
кривой
намагничивания
оа,
приводимой в справочниках (рисунок 5.1).
Рисунок 5.2
78
5.3 Решение задач
Задача 1. На стальном не намагниченном кольце (торе), средний диаметр которого d = 30 см и площадь сечения S = 1.6 см2, имеется обмотка, содержащая N = 800 витков (рисунок.5.3). Когда по обмотке пустили ток силой
I = 1.80 А, баллистический гальванометр дал
отброс, соответствующий заряду, прошедшему
через прибор, q = 0.24 мКл. Зная, что сопротивление цепи гальванометра R = 0.80 Oм, определить напряженность поля Н и магнитную индукцию В внутри кольца, а также магнитную
проницаемость стали при заданном токе в обмотке. Считать зависимость В от Н данного
сорта стали неизвестной.
Решение. Когда по обмотке тороида пойдет ток, в стальном кольце возникает магнитное
Рисунок 5.3
поле, замкнутые линии которого будут проходить вдоль кольца. Это поле явится результатом
наложения двух полей: тока и теперь уже намагниченного материала кольца.
Однако напряженность H магнитного поля внутри кольца зависит только от
тока в обмотке
тороида. Действительно, применив теорему о циркуляции
&
вектора H (5.3), где в качестве контура интегрирования возьмем среднюю
длину окружности кольца l = Sd и учитывая, что в силу соображений симметрии во всех точках этого контура должно быть
H
получим
const ,
&
H
³ dl &
Hl
(5.12)
NI ,
L
Откуда
H
NI l
NI Sd .
(5.13)
Из формулы (5.13) видно, что Н зависит от d, поэтому будет различной
по сечению тороида. Однако, учитывая числовые значения величин d и S видим, что относительное различие между наружным и внутренним диаметрами кольца мало, поэтому приближенно можно считать, что формула (5.13)
выражает величину Н для всех точек кольца.
Чтобы вычислить магнитную индукцию, воспользуемся связью между
величиной В и магнитным потоком Ф внутри тороида:
Ф
BS .
(5.14)
79
При включении тока магнитный поток в тороиде возрос от нуля до Ф,
что привело к появлению индукционного тока в контуре баллистического
гальванометра, в котором по закону Ома и закону электромагнитной индукции имеем
IR = E,
где
получим
IR
dq
R,
dt
E
dФ
,
dt
'Ф Ф
qR .
(5.15)
Из формул (5.14) и (5.15) следует, что
B
qR S .
(5.16)
Теперь, зная величины В и Н, легко ответить на остальные вопросы задачи. Из соотношений (5.2) и (5.6) с учетом (5.12) и (5.15) получим
J
B P0 H
P
B
P0 H
qR NI
,
P 0 S Sd
(5.17)
qRSd
.
P 0 SNI
(5.18)
Подставив числовые значения условия задачи, выраженные в единицах
СИ, в формулы (5.13), (5.16) – (5.18) и выполнив вычисления, найдем:
H = 1.5 A/м;
B = 1.2 Тл;
J = 1.0˜106 А/м;
P = 6˜102.
Задача 2. При выключении тока в обмотке тороида в цепи, схема которой изображена на рисунке 5.3, через баллистический гальванометр прошел
заряд q = 80 мкКл. Используя условие предыдущей задачи, определить остаточную намагниченность стального кольца, а также остаточную индукцию и
напряженность поля внутри кольца после исчезновения тока в обмотке.
Решение. Неизвестные величины будем находить в той же последовательности, что и в предыдущей задаче. Повторив приведенные там рассуждения, снова придем к соотношению (5.13). Но теперь I = 0 и, значит:
80
H
NI Sd
0.
Чтобы определить остаточную индукцию Bc внутри кольца, воспользуемся соотношением (5.15) из предыдущей задачи для заряда qc, перемещенного по цепи гальванометра индукционным током при выключении тока в
обмотке:
Ф Фc BS B cS
,
qc
R
R
где Ф и Фc - магнитный поток до и после исчезновения тока в обмотке
тороида. Отсюда
B Bc
q cR S .
Подставив сюда вместо В его значение по формуле (5.16) предыдущей
задачи, получим:
Bc
q q cR
S.
(5.19)
Наконец, из соотношения (5.2) с учетом, что Н = 0, определим остаточную намагниченность кольца:
Jc
Bc
P0
q qcR .
P0S
(5.20)
Подставляя в (5.19) и (5.20) числовые данные задачи, найдем:
Bc = 0.8 Тл;
Jc = 6˜105 А/м.
Замечание. Решив задачу, мы получим, на первый взгляд, парадоксальный результат: напряженность магнитного поля внутри намагниченного
кольца равна нулю! Этот результат является следствием того, что напряженность магнитного поля в кольце пропорциональна силе тока в обмотке и не
зависит от магнитных свойств материала кольца (смотри методические указания, пункт 5.2.1). Такой же результат получился бы для длинного стержня,
вставленного внутрь длинного соленоида. Однако на все остальные случаи
этот результат не распространяется. Например, внутри намагниченного
кольца с воздушным зазором Нz0 даже при отсутствии тока в обмотке (смотри задачу 4).
Задача 3. Тороид с железным намагниченным сердечником, длина которого по средней линии l1 = 1.0 м, имеет воздушный зазор длиной l2 = 3.0 мм
(рисунок 5.4). По обмотке тороида, содержащей N = 1300 витков, пустили
81
ток, в результате чего индукция в зазоре стала
B2 = 1.0 Тл. Определить силу тока.
Решение. Поскольку в задаче речь идет о
магнитной цепи,& применим теорему о циркуляции вектора H , выбрав в качестве контура
интегрирования среднюю линию тороида L.
Эта задача отличается от предыдущей тем. что
здесь из-за воздушного зазора условие (5.12)
задачи 1 выполняется уже не для всех точек
контура L. В этом можно убедиться, сравнив
магнитные индукции в железе B1 и в& воздухе
B2 и учитывая, что линии вектора B всегда
замкнуты. Так как воздушный зазор в тороиде
узкий, то рассеянием линий индукции в зазоре
можно пренебречь. Следовательно, линии инРисунок 5.4
дукции в зазоре будут проходить также как и в
сплошном торе, который уже рассматривался. Поэтому, через любое поперечное сечение нашего тороида, в том числе и через сечение, взятое в воздушном зазоре, проходит один и тот же магнитный поток Ф. А так как и
площадь любого сечения S одна и та же, то одинаковы и магнитные индукции в любой точке контура L:
B1
B2
B
Ф S,
B1 = 1 Тл.
(5.21)
&
Теперь применим теорему о циркуляции вектора H к контуру L:
H 1l1 H 2 l 2
NI ,
(5.22)
где H1 и Н2 - напряженности магнитного поля в железе и в зазоре.
Так как для воздуха P = 1, то из (5.6) имеем
H2
B2
;
P0
т.е.
H2
1.0
4S ˜ 10
7
8.0 ˜ 10 5 А/м.
(5.23)
Величину Н1 найдем по графику намагничивания, выражающему зависимость между величинами B и Н в железе (см. рисунок 5.1):
H1 = 350 A/м.
Теперь из уравнения (5.22) получим для силы тока
I
82
350 ˜1 8.0 ˜10
5
˜ 3 ˜ 10 3 1300
2.1 А.
Замечание. Допустим, имеется обратная задача, в которой дана сила
тока, но требуется определить магнитную индукцию В2 в зазоре (или в железе В1, что одно и то же).
Оказывается, такая задача решается несколько иным путем. Теперь, не
зная ни одной из характеристик магнитного поля ни в зазоре, ни в железе, мы
лишены возможности использовать график намагничивания железа. Однако,
воспользоваться зависимостью В1 = f (H1), выражаемой этим графиком, можно. Для этого уравнение (5.22) перепишем с учетом соотношений (5.21),
(5.23) так, чтобы оно также выражало зависимость между величинами В1 и
Н1:
(5.24)
H 1l1 Bl 2 P 0 NI .
Если бы зависимость В1 = f (H1) была задана уравнением, достаточно
было бы решить его совместно с (5.24) относительно неизвестных В1 и H1.
Однако зависимость В1 = f (H1) задана графически. Следовательно, надо использовать графический метод решения системы двух уравнений. На графике
В1 = f (H1) строят прямую (5.24). Координаты точки пересечения двух линий
укажут искомые величины В1 и H1.
Задача 4. После выключения тока в обмотке тороида из предыдущей
задачи остаточная индукция в зазоре стала B = 4.2 мТл. Определить остаточную намагниченность J сердечника, а также напряженность Н1 поля в железе.
Решение. В этой задаче воспользоваться кривой намагничивания железа для определения величины Н1 нельзя, т.к. состояние железа возникло в результате неполного его размагничивания и вследствие явления магнитного
гистерезиса (рисунок 5.2) кривые намагничивания и размагничивания не
совпадают.
Опять необходимо воспользоваться теоремой о циркуляции век&
тора H . Повторив рассуждения, приведенные в задаче 3, снова получим соотношения (5.21), (5.22). Но теперь I = 0, поэтому
H 1l1 H 2 l 2
0.
(5.25)
По-прежнему величины H2 и В в воздушном зазоре связаны соотношением (5.6):
H2
B P0 .
Подставив значение Н2 в (5.25), получим напряженность магнитного
поля в железе:
H1
H 2
l2
l1
B l2
˜ .
P 0 l1
(5.26)
&
&
Знак "-" в формуле (5.26) показывает, что векторы B и H в намагниченном железе при отсутствии тока в обмотке лежат во второй четверти пет83
ли (см. рисунок 5.2) Из соотношения (5.2) определим остаточную намагниченность железа:
& &
&
J B P 0 H1 ,
или с учетом знака при Н1 запишем в скалярном виде
J
B P 0 H1 .
Подставив вместо Н1 его выражение из формула (5.26), найдем
J
Bl1 l 2 .
P 0 l1
(5.27)
Подставив в выражение (5.27) числовые данные из условия задачи, получим
H1 = - 10 A/м;
J = 3.4˜103 A/м.
Задача 5. По обмотке тороида с не намагниченным железным сердечником пустили ток силой 0.60 А. Витки провода диаметром d = 0.4 мм с
весьма тонкой изоляцией плотно прилегают друг к другу. Определить индуктивность тороида при данных условиях задачи, а также энергию магнитного
поля в сердечнике, если площадь его сечения S = 4.0 см2, а диаметр средней
линии D = 30.0 см.
Решение. Учитывая числовые значения S, D видим, что длина средней
линии тороида значительно превышает диаметр его витков. Поэтому индуктивность можно рассчитывать по формуле (5.9), рассматривая данный тороид как длинный соленоид, согнутый в кольцо. Тогда, используя геометрические соотношения V = SDS и n = 1/d, получим:
L
P 0 Pn 2V
P 0 PSDS d 2 .
(5.28)
Так как P 0 P B H , найдем величины Н и В, характеризующие магнитное поле в сердечнике. Напряженность магнитного поля внутри тороида
мы уже вычислили (см. формулу (5.13) задачи 1). В данном случае
H
NI l
nI
I d;
H = 1.5˜103 A/м.
(5.29)
По кривой намагничивания железа на рисунке 5.1 находим магнитную
индукцию в сердечнике:
B = 1.37 Тл.
Теперь, поскольку величины В и Н уже найдены, запишем искомое выражение для индуктивности
84
L
SDSB
.
d 2H
(5.30)
Зная индуктивность тороида и силу тока в обмотке, по формуле (5.10)
найдем с учетом формул (5.29) и (5.30)
W
LI 2
2
SDSBI 2
2d 2 H
SDSBH
.
2
(5.31)
Этот же результат получится, если использовать формулу (5.11) для
объемной плотности энергии магнитного поля:
W
wV
BH
SDS .
2
Подставляя в формулы (5.30), (5.31) числовые данные условия задачи,
получим:
L = 2.2 Гн;
W = 0.4 Дж.
5.4 Задачи для контрольной работы
5.4.1 Железный тороид сечением S = 100 мм и средним диаметром
D = 150 мм, имеет две обмотки, состоящие из N1 = 500 и N2 = 40 витков. По
первичной обмотке пропускают постоянный ток силой I = 0.30 А. В цепь
вторичной обмотки включен баллистический гальванометр. Если изменить
направление тока в первичной обмотке, то при этом через баллистический
гальванометр проходит заряд q = 120 мкКл. Зная, что общее сопротивление
цепи вторичной обмотки и гальванометра R = 50 Ом, определить магнитную
проницаемость P железа при данных условиях.
5.4.2 Железный тороид сечением S = 400 мм2 и средним диаметром
D = 300 мм имеет поперечную прорезь шириной а =2.0 мм. На тороид нанесена обмотка с числом витков N = 1800 витков. Когда по обмотке пустили
ток силой I = 1.00 А, индукция магнитного поля в зазоре стала В = 0.65 Тл.
Определить магнитную проницаемость железа при этих условиях.
5.4.3 Определить энергию магнитного поля, заключенного в тороиде из
условия задачи № 5.4.1.
5.4.4 Коаксиальный кабель состоит из тонкой металлической трубки
длиной l и радиуса R (R << l) и расположенного вдоль ее оси провода радиуса
r. Силы токов в трубке и проводе равны, направления противоположны. Определить энергию магнитного поля кабеля при силе тока I. Магнитным полем
внутри металла пренебречь, а магнитную проницаемость P среды, разделяющей проводники, принять равной единице.
5.4.5 Имеется соленоид с железным сердечником длиной 50 см, площадью поперечного сечения 10 cм2 и числом витков 1000. Найти индуктивность
85
этого соленоида и энергию магнитного поля, заключенную в соленоиде.
5.4.6 Найти плотность энергии w магнитного поля в железном сердечнике соленоида, если напряженность намагничивающего поля Н = 1.6 кА/м.
Явлением гистерезиса пренебречь.
5.4.7 На железное кольцо намотано в один слой 200 витков. Чему равна
энергия магнитного поля, если при токе 0.25 А магнитный поток
Ф = 0.5 мВб?
5.4.8 Индукция магнитного поля тороида со стальным сердечником
возросла от В1 = 0.5 Тл до В2 = 1 Тл. Найти, во сколько раз изменилась объемная плотность энергии магнитного поля. Явлением гистерезиса пренебречь.
5.4.9 Напряженность магнитного поля тороида со стальным сердечником возросла от Н1 = 200 А/м до Н2 = 800 А/м. Определить, во сколько раз
изменилась объемная плотность энергии магнитного поля. Явлением гистерезиса пренебречь.
5.4.10 При некоторой силе тока плотность энергии магнитного поля
соленоида (без сердечника) w = 0.2 Дж/м3. Во сколько раз увеличится плотность энергии при той же силе тока, если в соленоид внести железный сердечник?
5.4.11 Соленоид длиной 50 см и площадью S = 2 см2 имеет индуктивность L = 2˜10-7 Гн. При какой силе тока объемная энергия магнитного поля
внутри соленоида равна 1˜10-3 Дж/м3?
5.4.12 На стальном сердечнике в виде тора диаметром d = 500 мм имеется обмотка с общим числом витков N = 1000. В сердечнике сделан поперечный разрез, в результате чего образовался воздушный зазор шириной
b = 1.00 мм. При токе в обмотке 0.85 А напряженность поля в зазоре
H = 600 кА/м. Определить магнитную проницаемость стали в этих условиях.
5.4.13 На постоянный магнит, имеющий форму цилиндра длиной
l = 15 см, намотали равномерно N = 300 витков тонкого провода. Найти коэрцитивную силу Hс материала, из которого изготовлен магнит, если поле вне
магнита исчезает при токе 2 А.
5.4.14 Постоянный магнит имеет форму кольца с узким зазором между
полюсами. Средний диаметр кольца 20 см. Ширина зазора 2 мм, индукция
магнитного поля в зазоре В = 40 мТл. Пренебрегая рассеянием магнитного
поля на краях зазора, определить величину напряженности магнитного поля
внутри магнита.
5.4.15 На рисунке 5.1 показана кривая намагничивания железа. Построить с помощью этого графика кривую зависимости P f H магнитного
поля. При каком значении Н магнитная проницаемость максимальна? Чему
равна Pмакс?
5.4.16 Тонкое железное кольцо со средним диаметром 50 см несет на
себе обмотку из 800 витков, по которой течет ток 3.0 А. В кольце имеется
поперечная прорезь шириной 2.0 мм. Найти магнитную проницаемость железа в этом случае. Рассеянием на краях зазора пренебречь.
86
6 Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла
6.1 Основные формулы и соотношения
Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея): при всяком изменении магнитного потока сквозь контур в нем (контуре) возникает
электродвижущая сила индукции, пропорциональная скорости изменения
магнитного потока, т.е.
(6.1)
¥ d) .
dt
Магнитный поток сквозь контур и сила тока в нем связаны соотношением
)
LI ,
(6.2)
где L - индуктивность контура.
В случае соленоида и тороида:
)
N) 1 ,
(6.3)
где
N - число витков;
Ф1 - магнитный поток через каждый виток.
Индуктивность длинного соленоида равна
L
PP 0 n 2V ,
(6.4)
где
n N l - число витков на единицу длины соленоида;
V - объем соленоида.
Собственная энергия тока и взаимная энергия двух токов равны, соответственно,
LI 2
(6.5)
W
;
W L12 I1 I 2 ,
2
где L12 - коэффициент взаимной индукции.
Объемная плотность энергии магнитного поля
w
В2
2PP 0
&&
ВН
2
PP 0 Н 2
.
2
(6.6)
Плотность тока смещения равна
87
&
wD
.
dt
&
jcм
(6.7)
Уравнения Максвелла в интегральной форме:
& &
Edl
(6.8)
L &
wB
³
dS ;
w
t
S & &
³ Hdl
I прoв I см ;
(6.9)
³
L & &
D
³ dS qсвоб ;
(6.10)
& &
B
³ dS
(6.11)
S 0.
S Уравнения Максвелла в дифференциальной форме:
&
wB
;
wt &
& & wD
rotH j ;
w
t
&
divD U ;
&
rotE
&
divB
(6.12)
(6.13)
(6.14)
0.
(6.15)
Материальные уравнения:
&
D
&
HH 0 E ;
&
B
&
PP 0 H ;
&
j
&
JE .
(6.16)
Объемная плотность энергии электромагнитного поля:
w
1
(HH 0 E 2 PP 0 H 2 ) .
2
(6.17)
Вектор Пойтинга:
&
П
>E&H& @.
(6.18)
Количество электричества, протекающего по контуру сопротивлением
R при изменении магнитного потока сквозь контур на величину ')
88
')
.
R
q
(6.19)
Сила тока в цепи, обладающей постоянным сопротивлением R и индуктивностью L и содержащей постоянную э.д.с. ¥, изменяется при замыкании и размыкании цепи по закону
I
I 0 e Rt
L
(
R
(1 e Rt / L ) .
При замыкании цепи начальная сила тока I 0
(6.20)
0 ; при размыкании
¥ = 0.
6.2 Методические указания
6.2.1 В явлениях электромагнитной индукции магнитный поток сквозь
контур может изменяться как при движении контура или отдельных его участков, так и при изменении во времени магнитного поля. В обоих случаях
для определения э.д.с. индукции пользуются законом Фарадея (6.1). Однако
при движении проводников в магнитном поле этот закон применим лишь в
тех случаях, когда рассматриваемый контур проходит через одни и те же
точки движущегося проводника. Например, на рисунке 6.2 контур abcd
внутри одной и той же движущейся проволоки ad . В противном случае формула (6.1) приводит к неверному результату. Тогда э.д.с. индукции находят,
исследуя силы Лоренца, действующие на свободные заряды в движущемся
проводнике. В связи с этим напомним, что действующая в цепи э.д.с. измеряется работой сторонних сил (т.е. сил неэлектрического происхождения) при
перемещении вдоль замкнутой цепи единичного положительного заряда, т.е.
¥
A
q
1 & &
( Fст dl ) ,
q³
где q - перемещенный заряд.
6.2.2 Если в задаче требуется найти разность потенциалов на концах
проводника, движущегося в магнитном поле, то надо иметь ввиду, что искомая разность потенциалов численно равна э.д.с., индуцируемой в проводнике. Найти э.д.с. индукции в движущемся проводнике всегда можно методом, изложенным в пункте 6.2.1, если дополнить этот проводник до замкнутого контура. При этом все части контура, кроме данного проводника,
должны оставаться неподвижными.
Если замкнутый контур находится в изменяющемся во времени магнитном поле, то поскольку при этом возникает вихревое электрическое поле
89
с замкнутыми силовыми линиями, понятие потенциала
& здесь вообще непри&
менимо. Подставив в последнюю формулу вместо Fcт произведение qFст ,
получим согласно (6.1)
& &
d)
E
d
l
(
)
.
ст
³
dt
( L)
¥
Отметим
& & & при этом, что напряженность вихревого электрического поля
равна E v B . Проверьте самостоятельно правильность предыдущей формулы прямой подстановкой в неё значения напряженности вихревого электрического поля. В этом случае можно говорить не о разности потенциалов
двух точек контура, а о напряжении на участке контура, соединяющем эти
точки:
2 &
& 2 &
U ³ ( Eст dl ) ³ ( E cт ) l dl .
> @
1
1
Если к этим двум точкам контура подключить вольтметр, его показания будут зависеть от расположения прибора (см. задачу 3).
6.2.3 Ток смещения, как видно из формулы (6.7), представляет собой
переменное во времени электрическое поле. Поэтому в цепях переменного
тока надо рассматривать как токи проводимости, так и токи смещения (6.9).
Однако, если частота переменного тока мала, то током смещения в проводах
обычно пренебрегают, вследствие их малости. При этом, если в цепи есть
конденсатор, то между его обкладками протекает только ток смещения, т.к.
любая емкость для токов проводимости является разрывом цепи. Из сказанного следует, что ток смещения между обкладками равен току проводимости.
6.2.4 Уравнения Максвелла в интегральной форме (6.8) – (6.11) и дифференциальной форме (6.12) – (6.15) эквиваленты в случае непрерывного
распределения зарядов и токов. При наличии сингулярностей, таких как границы разрыва или точечные заряды, интегральные уравнения остаются справедливыми, а дифференциальные уравнения можно вводить лишь с использованием специальных функций, которые в рамках общей физики не рассматриваются.
6.2.5 Решения уравнений Максвелла могут быть найдены, если заданы
граничные условия:
D2 n D1n V ;
E1W E 2W ;
(6.21)
пов
B2 n B1n ;
H 2W H 1W j N .
Здесь V - поверхностная плотность свободных зарядов в точке А на
поверхности раздела двух сред (рисунок 6.1);
&
n - единичный вектор нормали к поверхности раздела, прове90
денный из среды 1 в среду 2;
W - единичный вектор, касательный
раздела сред;
& к поверхности
&&
N >nW @ - единичный вектор, касательный к поверхности раздела
&
сред и ортогональный W ;
& пов.
Рисунок 6.1
- вектор линейной плотности
j
поверхностного тока.
& пов.
направлен вдоль поверхности по направлению тока в ней
Вектор j
и численно равен j пов dI пов dl , где dI пов - сила тока проводимости, проходящего через малый участок длиной dl сечения поверхности, проведенного перпендикулярно направлению поверхностного тока.
6.3 Примеры решения задач
Задача 1. В однородном магнитном поле с индукцией В = 10.0˜10-2 Tл
расположена прямоугольная рамка abcd , подвижная сторона которой ad
длиной l 0.100 м перемещается со скоростью v = 25 м/с перпендикулярно
линиям индукции поля (рисунок 6.2). Определить э.д.с. индукции, возникающую в контуре abcd.
Решение. Задачу можно решить двумя
способами, применив закон Фарадея для
электромагнитной индукции или рассматривая силы, действующие на свободные электроны в движущейся проволоке (силы Лоренца).
Первый способ. При движении проводника ad площадь рамки увеличивается,
Рисунок 6.2
магнитный поток Ф сквозь рамку увеличивается, значит, по закону Фарадея (6.1), в рамке должна при этом действовать
э.д.с. индукции. Согласно определения, магнитный поток в данном случае
равен
) BS Blx .
(6.22)
Подставив (6.22) в формулу (6.1) и учитывая, что величины В, l по условию постоянные, получим
d)
dx
Bl ,
(6.23)
¥ dt
dt
где dx dt - скорость перемещения проводника ad . Поэтому
¥ Blv .
(6.24)
91
После подстановки в (6.24) числовых данных из условия задачи, получим:
¥ 2.5 ˜ 10 2 B 25 мВ .
Знак "-" в формуле (6.24) показывает, что э.д.с. индукции ¥ действует в
контуре abcd в таком направлении, при котором связанная &с ним правилом
правого винта нормаль к контуру противоположна вектору B (т.е. направлена к наблюдателю на рисунке 6.2). Отсюда заключаем, что э.д.с. индукции, а
значит, и индукционный ток направлены в контуре abcd против часовой
стрелки. Заметим, что если бы проводник аd двигался влево, то положительному приращению времени соответствовало бы убыль (отрицательное приращение) величины х. Следовательно, знак dx dt , а значит и знак ¥, изменились бы. В этом случае индукционный ток направлен по часовой стрелке.
Второй способ. Согласно определению, э.д.с. равна
¥
A
q
& &
1
(
F
cт dl ) .
q ( ³L )
(6.25)
При движении проводника в магнитном поле вместе с ним движутся со
скоростью v его свободные заряды (электроны). Поэтому на каждый
из них
&
действует сила Лоренца, выполняющая роль сторонней силы Fст в формуле
& &
(6.25). Поскольку v A B , то сила Лоренца равна
F=qvB.
Так как она (сила Лоренца) действует вдоль участка ad длиной l, интеграл, стоящий в формуле (6.25), равен
& &
(
F
³ ст dl )
Fl
qvBl .
(6.26)
( L)
Подставив значение интеграла (6.26) в формулу (6.25), получим
¥ Blv ,
(6.27)
что совпадает (по абсолютному значению) с формулой (6.24). Чтобы
найти направление тока, учтем, что оно всегда определяется направлением
движения положительных зарядов в цепи. Сила Лоренца, действующая на
положительный заряд в проводнике ad, направлена от d к a . Таким образом,
снова получаем: ток в рамке abcd направлен против часовой стрелки (конечно, на самом деле электроны в контуре движутся по часовой стрелке).
Замечание. При решении задачи в обоих случаях допущена неточность:
92
не принималось в расчет магнитное поле, созданное индукционным током.
Это поле образует некоторый поток Фc сквозь рамку. При движении проводника ad поток Фc изменяется, что приводит к появлению дополнительной
э.д.с. Очевидно, этот эффект тем слабее, чем меньше сила тока. Поскольку
она (сила тока) обратно пропорциональна сопротивлению цепи, можно сказать, что оба рассмотренных метода дают правильный ответ при условии
достаточно большого сопротивления цепи.
Задача 2. В однородном магнитном поле с индукцией В вращается в
плоскости, перпендикулярной линиям индукции, медный диск радиуса r, совершая n оборотов в секунду. При помощи скользящих контактов, диск подключен к цепи, сопротивление которой R (рисунок 6.З). Определить э.д.с.
индукции, возникшую при вращении диска, количество электричества q, протекающего по цепи, а также количество теплоты Q, выделенное в цепи за время, в течение которого диск совершил N оборотов.
Решение. Как показывает опыт, при
вращении диска в магнитном поле в контуре abcd (рисунок 6.З) появляется ток, а
значит, возникает э.д.с. индукции. Очевидно, магнитный поток сквозь этот конРисунок 6.3
тур не меняется. Следовательно, закон
Фарадея, выраженный формулой (6.1), здесь не дает правильного результата.
При движении проводников в магнитном поле закон Фарадея применяется
лишь для контура, проходящего через одни и те же точки движущегося проводника (как было в предыдущей задаче). Здесь же участок контура проходит
все время через различные радиусы вращающегося диска.
В контуре abcd должна возникать э.д.с., т.к. его участок ad представляет собой движущейся проводник, и поэтому на его свободные электроны,
движущиеся вместе с диском, действует сила Лоренца. Эти силы будут перемещать электроны относительно диска от точки a к точке d. Чтобы найти
э.д.с. индукции, подставим значение силы Лоренца, определяемой по формуле F evB (e - заряд электрона), в формулу (6.25) предыдущей задачи. Учитывая, что сила F действует в контуре abcd только на участке ad, запишем
r
1
¥ ³ Fdl
e0
r
³ vBdl
0
r
B ³ vdl .
(6.28)
0
Находясь в различных точках участка ad, электроны имеют разную
скорость. Так, для электрона, находящегося на расстоянии l от центра диска,
v Zl
2S nl .
93
Подставляя это значение v в (6.28), получим
r
¥ 2S nB ³ ldl S r 2 nB .
(6.29)
0
Таким образом, при равномерном вращении диска (n=const) в цепи
действует постоянная э.д.с., создавая постоянный ток. Количество электричества q, перемещенное индукционным током, определяется формулой
(6.19). Однако эта формула имеет смысл только в тех случаях, что и закон
Фарадея. Поэтому вычислим q иным путем, используя известные соотношения для цепи постоянного тока:
q
t
(6.30)
It ( t R .
Подставив в формуле (6.30) значение ¥ из (6.29) и учитывая, что
N n , найдем
q S r 2 NB R .
(6.31)
Количество теплоты Q, выделенное в цепи постоянного тока, с учетом
формул (6.29), (6.31) выразим так:
Q (It (q Sr 2 nNB 2 / R.
(6.32)
Замечание. 1. Интересно отметить, что при заданном числе оборотов N
величина q не зависит от скорости вращения диска, в то время как величина
Q, будучи пропорциональной n, зависит.
2. Если рассматривать движение в данной задаче в неинерциальной
системе отсчета (система отсчета связана с диском), то, строго говоря, надо
учитывать в качестве сторонних сил еще и центробежные силы инерции. Эти
силы действуют на электроны, независимо от магнитного поля, отбрасывая
их к краям и создавая дополнительную э.д.с. ¥ c. Таким образом, здесь имеются, по существу, два генератора э.д.с.: один электромагнитный, второй "инерциальный", работающий по принципу центробежного насоса. Направление ¥ c может совпадать с ¥ (как в данном случае), создавая ток в цепи одного направления,
а может быть и противоположна, в зависимости от на&
правления B и направления вращения диска.
Сравним величину э.д.с. ¥ c “инерционного” генератора с величиной ¥.
На электрон массы m, находящийся на расстоянии l от центра диска, действует центробежная сила инерции
Fин
94
ma
mZ 2 l
4S 2 n 2 lm,
где a -центростремительное ускорение электрона, обусловленное его
вращением вместе с диском. Подставив это значение Fин (опуская знак “-”) в
формулу (6.28), получим
r
4S 2 n 2 m
¥c
³ ldl
e
0
2S 2 n 2 r 2
m
.
e
(6.33)
Сравнив величины ¥ и ¥ c по формулам (6.29), (6.33), имеем
( c 2S n m
.
(
B e
Так как для электрона m e 5.7 ˜10 12 кг/Кл, то данное отношение
обычно получается весьма малым, т.е. величиной ¥ c можно пренебречь. Однако в случае слабых магнитных полей и больших скоростей вращения диска
действие “инерционного” генератора надо учитывать.
Задача 3. Виток медной проволоки охватывает сердечник трансформатора. Вследствие изменения силы тока в обмотке трансформатора магнитный
поток внутри сердечника равномерно изменяется со скоростью –30 Вб/с. К
точкам А, В, которые делят виток на два участка так, что l2 = 2l1, подключен
вольтметр двумя способами, изображенными на рисунке 6.4. Определить его
показания. Считать сопротивление витка ничтожно малым по сравнению с сопротивлением вольтметра.
Решение. В задачах электростатики и постоянного тока вольтметром измеряется разность потенциалов точек, к которым он подключен. Теперь
изменение магнитного поля вызывает появление
вихревого электрического поля с замкнутыми линиями индукции. Понятие потенциала здесь теряет смысл, поскольку работа по перемещению заряда по замкнутому пути в таком поле отлична от
нуля. Вольтметр же в нашей задаче должен давать
показания. Действительно, пусть вольтметр включен в положение I. При этом контуры Al1Bl2A,
Рисунок 6.4
AVBl2A пронизываются переменным магнитным
потоком и в каждом из них должна действовать одна и та же э.д.с. индукции,
равная
¥ d) / dt 30 B.
95
Следовательно, по всем проводникам, в том числе и вольтметру, должен течь индукционный ток. Согласно правилу Ленца, э.д.с. ¥ в каждом контуре направлена по часовой стрелке (убывающий магнитный поток Ф на рисунке 6.4 направлен от наблюдателя). Этим и объясняется указанное на рисунке направление токов I1, I2. Ток Iv направлен от А к В. Показание вольтметра всегда пропорционально току, проходящему через него, т.е.
U = Iv Rv,
где U - напряжение на участке цепи, которым
является сам вольтметр,
&
равное линейному интегралу напряженности E ст электрического поля, взятому вдоль данного участка. Величину Iv Rv найдем, применив правило
Кирхгофа для разветвленных цепей. По первому правилу Кирхгофа имеем
для узла А:
(6.34)
I1 + Iv = I2 .
Выбрав направление обхода контуров по часовой стрелке, получим согласно второму правилу Кирхгофа соответственно для контуров Al1Bl2A и
AVBl1A, учитывая, что сквозь последний контур магнитный поток не проходит:
I1R1 + I2R2 = ¥,
(6.35)
IvRv - I1R1 = 0.
(6.36)
Из последнего уравнения находим показание вольтметра:
U = IvRv = I1R1.
(6.37)
Таким образом, измеряя напряжение на самом себе, вольтметр измеряет также напряжение на том участке витка, с которым образует контур, не
пронизываемый магнитным потоком.
Если известны R1, R2, Rv, ¥, то, решив систему уравнений (6.34), (6.35),
(6.36), найдем все токи и показания вольтметра. В данной задаче указанные
величины не даны, зато выполняются соотношения: Rv >> R1, Rv >> R2. Они
позволяют пренебречь силой тока Iv в цепи вольтметра по сравнению с величинами I1, I2. Тогда из уравнений (6.34), (6.35) получим
I1
I2
I
( R1 R2 .
Подставив это значение I1 в формулу (6.37) и учитывая, что сопротивление проволоки пропорционально её длине, найдем первый ответ:
96
U
I1 R1
(R1
R1 R2
( l1
l1 l2
(
3
10 B.
Когда вольтметр включен в положение II, он измеряет напряжение на
участке Bl2A (так как с ним образует контур, не пересекаемый магнитным потоком). Следовательно, из (6.35):
Uc
I 2 R2
( I1R1 20 B.
Таким образом, в случае индукционных токов показания вольтметра
зависят не только от положения точек, к которым он подключен, но и от расположения самого прибора.
Задача 4. Резистор сопротивлением R присоединен к верхним концам
двух вертикальных медных стержней, отстоящих друг от друга на расстоянии l (рисунок 6.5). Стержни замкнуты медной перемычкой массы m, которая
без трения может скользить по ним. В окружающем пространстве создано
однородное магнитное
&
поле с индукцией B , перпендикулярное плоскости, в которой расположены стержни. Перемычку отпустили, после чего она стала падать без нарушения электрического контакта. Пренебрегая
сопротивлением стержней и перемычки, найти установившуюся скорость последней (перемычки).
Принять индуктивность единицы длины системы
стержней равной k.
Решение. При падении перемычки площадь
контура abcd растет и магнитный поток сквозь неё
увеличивается. Согласно закону Фарадея, в контуРисунок 6.5
ре появляется э.д.с. индукции, вызывающая ин&
дукционный ток. Следовательно, на перемычку ad кроме силы тяжести mg
&&
&
действует со стороны магнитного поля сила Ампера dFA I dl B . Так как
для всех элементов длины перемычки, по которой идет индукционный ток
&š &
силой I, sin( dl , B ) 1 и В = const, то
> @
FA
IBl .
&
&
Согласно правилу Ленца, сила FA противоположна силе mg . С ростом
скорости падения перемычки увеличивается э.д.с. индукции, сила тока I и,
следовательно, сила Ампера &FA. Скорость перестанет возрастать, когда на&
ступит равновесие сил mg и FA , т.е.
97
mg
IBl .
(6.38)
Из условия (6.38) можно найти силу тока I, а последнюю связать с искомой скоростью, применив закон Ома и закон электромагнитной индукции.
По закону Ома для замкнутой цепи:
(
I
R
,
(6.39)
где ¥ - э.д.с., действующая в контуре abcd и равная сумме:
( (i (S .
(6.40)
Величина ¥i - э.д.с. индукции, возникающая при изменении сквозь кон&
тур магнитного потока )i вектора B . Использовав результат задачи 1, запишем для абсолютного значения ¥i:
(i
Blv .
(6.41)
Величина ¥S - э.д.с. самоиндукции. Она появляется при изменении
сквозь контур abcd магнитного потока )S, созданного индукционным током.
Этот поток изменяется вследствие роста площади контура. Чтобы определить
величину ¥S, учтем, что в данном случае индуктивность контура - величина
переменная. Действительно, индуктивность L = kx, где x - длина вертикальных стержней, измеренная на участке, по которому идет ток. При падении
перемычки величины x и L возрастают. На основании формул (6.1) и (6.2) запишем для э.д.с. самоиндукции
(S
d LI dI
dL
L I
.
dt
dt
dt
(6.42)
Так как при установившейся скорости падения перемычки I = const, то
первое слагаемое в (6.42) равно нулю и тогда
(S
I
dL
dt
I
d kx dt
Ik
dx
dt
Ikv .
(6.43)
Величины ¥i и ¥S имеют в данном случае противоположные знаки, т.к.
соответствующие им магнитные потоки )i и )S направлены, согласно правилу Ленца, противоположно; при этом оба потока растут по абсолютному
значению. Учитывая это, из уравнений (6.39) – (6.41) и (6.43) найдем
98
I = (Blv - Ikv) / R.
(6.44)
Исключив из формул (6.38) и (6.44) силу тока I, определим установившуюся скорость перемычки:
v
mgR
B 2l 2 mgk
.
(6.45)
Проанализируем полученный результат.
1. Если k = 0, то v = mgR/B2l2 и направлена вниз. Так как при наличии
индуктивности скорость, будучи величиной конечной, направлена также
вниз, то приходим к выводу, что формула (6.45) верна лишь при значениях
величин, удовлетворяющих неравенству
B2l2 ! mgk.
(6.46)
Выясним физический смысл этого соотношения. Из (6.38) следует, что
значение I, необходимое для равновесия приложенных к перемычке сил, равно:
I = mg / Bl.
(6.47)
Однако индуктивность цепи ограничивает рост тока в контуре, происходящий при увеличении скорости перемычки. Действительно, из (6.44) находим
Bl
I
.
R
k
v
Отсюда получим, положив vof, предельную силу тока:
Iпред = Bl/k.
(6.48)
Сопоставляя формулы (6.46)-(6.48) видим, что неравенство (6.46) эквивалентно очевидному условию Iпред ! I. Следовательно, если соотношение
(6.46) не выполняется, то это означает, что сила тока в контуре, ограниченная
в процессе самоиндукции величиной Iпред, не достигает значения необ&
&
ходимого для равновесия сил FA и mg , приложенных к перемычке, ни при
каких конечных значениях ее скорости. Другими словами, скорость перемычки неограниченно возрастет и ее установившееся значение недостижимо.
2. Если Rof, то vof. В этом случае ток по контуру не идет и пере&
мычка падает под действием силы тяжести с ускорением g .
3. Если R = 0 и выполняется условие (6.46), то v = 0: перемычка будет
неподвижно висеть в магнитном поле, несмотря на действие силы тяжести.
99
Этот парадоксальный результат можно осуществить, если охладить проводники контура abcd, помещенного в достаточно сильное магнитное поле, до
сверхпроводящего состояния.
Задача 5. В цепи, схема которой изображена на рисунке 6.6,
R1 = 5.0 Ом, R2 = 95 Ом, L = 0.34 Г, ¥ = 38 В. Внутреннее сопротивление батареи пренебрежимо мало. Определить силу тока в резисторе R2, в трех случаях:
а) до размыкания цепи;
б) в первый момент после размыкания;
в) через 0.01 с после размыкания.
Решение. a) Силу постоянного тока
I2 до размыкания цепи находим по второму правилу Кирхгофа, применив его для
Рисунок 6.6
контура abcd (рисунок 6.6):
I2 R + I r = ¥,
где
I - сила тока в батарее;
r - внутреннее сопротивление источника.
Поскольку, по условию задачи, величиной r можно пренебречь, получим, что
I2 = ¥ / R = 0.40 A.
б) Найдем силу тока Ic2 в резисторе R2 сразу после размыкания ключа K.
Если в первом случае участки цепи bc и ef соединены параллельно, то после
отключения батареи они, образуя один неразветвленный контур befcb, оказываются соединенными последовательно. Значит, по ним протекает одинаковый ток, причем т.к. из двух участков только участок ef обладает индуктивностью, то именно ток I1, проходивший до размыкания цепи, должен сохраниться. Такой результат имеет простой физический смысл: поскольку индуктивность является мерой инертности тока в проводнике, то ток I2 в резисторе
R2, практически лишенный инертности, сразу исчезнет после отключения батареи и по контуру befcb потечет ток равный I1. Таким образом, получаем ответ на второй вопрос задачи:
Ic2 = I1 = ¥ / R1 = 7.6 A.
в) Так как теперь цепь отключена от батареи, ток начнет убывать. Его
величину Icc2 в заданный момент t = 0.01 с можно определить по формуле
(6.20), положив в ней ¥ = 0 (случай размыкания), а также I0 = I1. Тогда
100
I 2cc
I1e Rt
L
I1e R1 R2 t L .
После подстановки числовых данных задачи, получим:
Icc2 = 0.4 A.
6.4 Задачи для контрольной работы
6.4.1 В однородном магнитном поле с индукцией B = 0.1 Tл равномерно вращается рамка, содержащая N = 1000 витков провода. Площадь рамки
S = 150 см2. Рамка вращается с частотой n = 10 об/с. Определить мгновенное
значение э.д.с., соответствующее углу поворота рамки в 30q.
6.4.2 В однородном магнитном поле с индукцией B = 0.4 Tл в плоскости, перпендикулярной силовым линиям поля, вращается стержень длиной
l = 10 см. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить
разность потенциалов на концах стержня при частоте его вращения
n = 16 об/с.
6.4.3 В однородном магнитном поле с индукцией B = 0.35 Tл равномерно с частотой n = 480 об/мин вращается рамка, содержащая N = 1500 витков площадью S = 50 см2. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную э.д.с. индукции
¥макс, возникающую в рамке.
6.4.4 Автомобиль едет со скоростью v = 72 км/час в направлении, перпендикулярном плоскости магнитного меридиана. Определить э.д.с. индукции, возникающую в установленной на машине антенне, расположенной
вертикально и имеющей длину l = 50 см, вследствие движения автомобиля в
магнитном поле Земли. Принять горизонтальную составляющую индукции
магнитного поля Земли равной BW = 0.05 мТл. Что покажет установленный в
автомобиле микровольтметр, если его присоединить к концам антенны?
6.4.5 Металлический стержень длины l = 400 мм вращается с частотой
n = 50 об/с в однородном магнитном поле с индукцией B = 10.0 мТл в плоскости, перпендикулярной направлению поля, вокруг оси, проходящей через
его середину. Определить разность потенциалов U, возникающую между одним из концов стержня и его серединой. Чему равна разность потенциалов Uc
между концами стержня?
6.4.6 Две катушки намотаны на один общий сердечник. Индуктивность
первой катушки L1 = 0.2 Гн, индуктивность второй катушки L2 = 0.8 Гн, сопротивление второй катушки R2 = 600 Ом. Какой ток потечет во второй катушке, если ток в 0.3 А, текущий в первой катушке, выключить в течение
t = 0.001 с?
6.4.7 В однородном магнитном поле, индукция которого B = 0.1 Тл,
движется проводник длиной l = 10 см. Скорость движения проводника
v = 15 м/с и направлена она перпендикулярно магнитному полю. Чему равна
индуцированная в проводнике э.д.с?
101
6.4.8 Катушка диаметром d = 10 см, имеющая N = 500 витков провода,
находится в магнитном поле. Чему будет равно среднее значение э.д.с. индукции в этой катушке, если индукция магнитного поля увеличится в течение
t = 0.1 с от 0 до 2 Вб/м2?
6.4.9 Провод, имеющий форму параболы y=kx2
(рисунок 6.7), находится в однородном магнитном
поле с индукцией B. Из вершины параболы в момент
времени t = 0 начали перемещать перемычку 12.
Найти э.д.с. индукции в образовавшемся контуре как
функцию y, если перемычку перемещать: а) с постоянной скоростью v; б) с постоянным ускорением а,
причем в момент времени t = 0 скорость перемычки
была равна нулю.
6.4.10 Металлический диск радиуса R = 25 см
вращается с постоянной угловой скоростью
Z = 130 c-1 вокруг его оси. Найти разность потенРисунок 6.7
циалов между ободом диска и его центром, если:
внешнего магнитного поля нет; имеется перпендикулярное к диску внешнее
однородное магнитное поле с индукцией B = 5.0 мТл.
6.4.11 Тонкий проводник АС, изогнутый в форме полуокружности диаметра d = 20 см, вращают с постоянной угловой скоростью Z = 100 c-1& в од&
нородном магнитном поле с индукцией В = 5.0 мТл так, что Z nn B . Ось
вращения проходит через конец А проводника и перпендикулярна к прямой
& &
АС (диаметру). Найти значение линейного интеграла ³ Edr вдоль проводника от точки А до точки С.
6.4.12 Прямой провод с сопротивлением R1 на
единицу длины согнут под углом 2D (рисунок 6.8).
Перемычка 12 из такого же провода, расположенная
перпендикулярно к биссектрисе угла 2D, образует с
согнутым проводом замкнутый контур. Этот контур
помещен в однородное магнитное поле с индукцией В,
перпендикулярное плоскости контура. Найти направление и силу тока I, текущего в контуре, когда переРисунок 6.8
мычка движется с постоянной скоростью v. Сопротивлением в местах контактов 1 и 2 пренебречь.
6.4.13 Провод с сопротивлением R1 на единицу длины изогнут в виде
полуокружности радиуса a (рисунок 6.9). Перемычка 12 из такого же провода
скользит по полуокружности с постоянной скоростью v.
Изогнутый провод и перемычка образуют замкнутый
контур, находящийся в перпендикулярном к его плоскости однородном магнитном поле В. Найти силу тока в
контуре как функцию угла D. Сопротивлением в контактах 1 и 2 пренебречь.
Рисунок 6.9
6.4.14 П-образный проводник находится в одно102
родном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости проводника и измеdB
няющемся во времени со скоростью
0.1 Tл/c. Вдоль параллельных стоdt
рон этого проводника перемещают без начальной скорости проводникперемычку с ускорением а = 10 м/с2. Длина перемычки l = 20 см. Найти э.д.с.
индукции в контуре через t = 2.0 c после начала перемещения, если в момент
времени t = 0 площадь контура и индукция магнитного поля равны нулю.
Индуктивностью контура пренебречь.
6.4.15 В длинном прямом соленоиде с радиусом a и числом витков на
единицу длины n изменяют ток с постоянной скоростью dI/dt,A/c. Найти модуль вектора напряженности вихревого электрического поля как функцию
расстояния r от оси соленоида. Изобразить примерный график этой зависимости.
6.4.16 Длинный прямой проводник с током I и П-образной проводник с
подвижной перемычкой расположены в одной плоскости (рисунок 6.10). Перемычку, длина которой l и сопротивление R, перемещают вправо с постоянной скоростью v. Найти
ток, индуцируемый в катушке, как функцию расстояния r между перемычкой и прямым проводником. Сопротивлением П-образного проводника и
самоиндукцией контура пренебречь.
Рисунок 6.10
6.4.17 Квадратная рамка со стороной a
и длинный прямой провод с током I находятся в одной плоскости (рисунок 6.11). Рамку
поступательно перемещают вправо с постоянной скоростью v. Найти э.д.с. индукции в
рамке как функцию расстояния x.
6.4.18 Имеются два неподвижных контура с взаимной индукцией L12. В одном из
Рисунок 6.11
контуров начали изменять ток по закону
I1 = Dt, где D - постоянная, t - время. Найти закон изменения тока I2(t) в другом контуре, индуктивность которого L2 и сопротивление R.
6.4.19 Рамка из провода сопротивлением R = 0.01 Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией В = 0.05 Tл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь
рамки S = 100 см2. Найти, какое количество электричества протечет через
рамку за время её поворота на угол D = 30q, если поворот происходил в трех
случаях: а) от 0 до 30q; б) от 30q до 60q; в) от 60q до 90q.
6.4.20 Тонкий медный проводник массой m = 1 г согнут в виде квадрата
и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 0.1 Тл так, что плоскость его перпендикулярна линиям поля.
Определить количество электричества q, которое протечет по проводнику,
если квадрат, потянув за противоположные вершины вытянуть в линию.
Плотность меди равна 8.9 г/см3, удельное сопротивление меди 17 нОм˜м.
103
6.4.21 На расстоянии а = 1 м от длинного прямого проводника с током
I = 1˜10-3 A расположено кольцо радиуса R = 1 см. Кольцо расположено так,
что поток, пронизывающий кольцо, максимален. Чему равно количество
электричества q, которое протекает по кольцу, если ток в проводнике будет
выключен? Сопротивление кольца r = 10 Ом. Поле в пределах кольца считать
однородным.
6.4.22 По длинному прямому проводнику течет ток. Вблизи проводника расположена квадратная рамка из тонкого провода сопротивлением
R = 0.02 Ом. Проводник лежит в плоскости рамки и параллелен двум её сторонам, расстояния до которых от провода соответственно равны a1 = 10 см,
a2 = 20 см, Найти силу тока в проводнике, если при его включении через
рамку протекло количество электричества q = 693 мкКл.
6.4.23 Круговой контур радиусом R = 2 см помещен в однородное магнитное поле, индукция которого В = 0.2 Вб/м2. Плоскость контура перпендикулярна направлению магнитного поля. Сопротивление контура r = 1.0 Ом.
Какое количество электричества протечет через катушку при повороте её на
90q?
6.4.24 Магнитный поток через неподвижный контур с сопротивлением
R изменяется в течении времени W по закону ) = D t (W - t), где D = const. Найти количество тепла, выделенное в контуре за это время. Индуктивностью
контура пренебречь.
6.4.25 В середине длинного соленоида находится коаксиальное кольцо
прямоугольного сечения из проводящего материала с удельным сопротивлением U . Толщина кольца h, его внутренний и внешний диаметры а и b. Найти индукционный ток в кольце, если индукция магнитного поля соленоида
изменяется во времени по закону В = Et, где E - постоянная. Индуктивностью
кольца пренебречь.
6.4.26 Обмотка соленоида состоит из N витков медной проволоки, поперечное сечение которой S = 1 мм2. Длина соленоида l = 25 см и его сопротивление R = 0.20 м. Найти индуктивность соленоида. Удельное сопротивление меди U = 17 нОм˜м.
6.4.27 Соленоид длиной l = 50 см и площадью поперечного сечения
S = 2 см2 имеет индуктивность L = 2˜10-7 Гн. При какой силе тока объемная
плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна
w = 1 ˜ 10 3 Дж/м3?
6.4.28 Сколько витков имеет катушка, индуктивность которой
L = 0.001 Гн, если при силе тока I = 1 A магнитный поток сквозь катушку
) = 2˜10-6 Вб?
6.4.29 Сколько метров тонкого провода надо взять для изготовления
соленоида длины l = 100 см с индуктивностью L = 1.0 мГн, если диаметр сечения соленоида значительно меньше его длины?
6.4.30 Найти индуктивность соленоида длины l, обмоткой которого является медная проволока массы m. Сопротивление обмотки R. Диаметр соленоида значительно меньше его длины.
104
6.4.31 Вычислить постоянную времени W прямого соленоида длины
l = 1.0 м, имеющего однослойную обмотку из медного провода массы
m = 1.0 кг. Удельное сопротивление меди U = 17 нОм˜м. Предполагается, что
диаметр сечения соленоида значительно меньше его длины. Примечание.
Постоянной времени W называют отношение L/R, где L - индуктивность, Rактивное сопротивление.
6.4.32 Определить индуктивность тороидального соленоида из N витков, внутренний радиус которого равен b, поперечное сечение имеет форму
квадрата со стороной a. Пространство внутри соленоида заполнено однородным парамагнетиком с магнитной проницаемостью P.
6.4.33 Найти индуктивность единицы длины кабеля, представляющего
собой два тонкостенных коаксиальных металлических цилиндра, если радиус
внешнего цилиндра в k = 3.6 раза больше внутреннего. Магнитную проницаемость среды между цилиндрами считать равной единице.
6.4.34 Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от
другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой
'I
't
5 А/с,
во второй катушке возникает э.д.с. индукции ¥ = 0.1 В. Определить коэффициент взаимной индукции L12 катушек.
6.4.35 Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет N1=251 виток. Средний диаметр тороида dср = 8 см, диаметр витков d = 2 см. На тороид
намотана обмотка, имеющая N2 = 100 витков. При замыкании первичной обмотки в ней в течение t = 0.001 с устанавливается ток силой I = 3 А. Найти
среднее значение э.д.с. индукции, возникающей на вторичной обмотке.
6.4.36 Вычислить взаимную индуктивность длинного прямого провода
и прямоугольной рамки со сторонами a и b. Рамка и прямой провод лежат в
одной плоскости, причем ближайшая к проводу сторона рамки длиной b параллельна провода и отстоит от него на расстояние l.
6.4.37 Определить взаимную индуктивность тороидальной катушки и
проходящей по её оси бесконечно прямого провода. Катушка имеет прямоугольное сечение, её внутренний радиус a, внешний b. Длина стороны поперечного сечения тора, параллельная проводу, равна h. Число витков катушки
N. Система находится в однородном магнетике с проницаемость P.
6.4.38 Два концентрических тонких проводника в форме окружности с
радиусами a и b лежат в одной плоскости. Имея в виду, что a b, найти: а)
их взаимную индукцию; б) магнитный поток, который пронизывает поверхность, натянутую на внешний проводник, когда по внутреннему проводнику
течет ток I.
6.4.39 Катушка индуктивностью L = 2.0 мкГн и сопротивлением
R = 1.0 Ом подключена к источнику постоянной э.д.с. ¥ = 3.0 B (рисунок
6.12). Параллельно катушке включено сопротивление R0 = 2.0 Ом. Найти количество теплоты, которое выделится в катушке после размыкания ключа К.
Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
6.4.40 Показать, что магнитная энергия взаимодействия двух контуров
105
с токами, находящихся в вакууме, может быть представлена
& &
&
&
как Wвз=(1/P0) ³ B1 B2 dV , где B1 и B2 - индукции магнитного
поля в элементе объема dV, создаваемые отдельно токами
одного и другого контуров.
6.4.41 Плоский воздушный конденсатор, площадь каждой пластины которого S = 100 см2, включен последовательно в цепь переменного тока. Найти амплитуду напряженности электрического поля в конденсаторе, если амплипроводах
Рисунок 6.12 туда синусоидального тока в 7 подводящих
-1
I0 = 1.0 мА и частота тока Z = 1.6˜10 сек .
6.4.42 Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму плоских дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью V и диэлектрической проницаемостью H.
Расстояние между обкладками равно d. Пренебрегая краевыми эффектами,
найти напряженность магнитного поля между обкладками на расстоянии r от
их оси, если на конденсатор подано переменное напряжение U=U0cosZt.
6.4.43 Пространство между двумя концентрическими металлическими
сферами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением U и диэлектрической проницаемостью H. В момент времени t = 0
внутренней сфере сообщили некоторый заряд. Найти: a) связь между векторами плотностей тока смещения и тока проводимости в произвольной точке
среды в один и тот же момент; б) ток смещения через произвольную поверхность, расположенную целиком в среде и охватывающую внутреннюю сферу, если заряд этой сферы в данный момент равен q.
6.4.44 Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили
от источника напряжения. Пренебрегая краевыми эффектами, покажите, что
магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.
6.4.45 Длинный прямой соленоид имеет n витков на единицу длины. По
нему течет переменный ток I=I0sinZt. Найти плотность тока смещения как
функцию расстояния r от оси соленоида, если радиус сечения соленоида R.
6.4.46 Показать, что из уравнений Максвелла вытекает закон сохране&
wU
ния электрического заряда, т.е. divE , где U - объемная плотность заряwt
да.
6.4.47 Большая пластина из неферромаг&
B
нитного металла движется с постоянной скоростью v = 90 см/с в однородном магнитном поле
с индукцией В = 50 мТл, как показано на рисунке 6.13. Найти поверхностную плотность
электрических зарядов, возникающих на пластине вследствие её движения.
6.4.48 Длинный сплошной алюминиевый
Рисунок 6.13
цилиндр радиуса a = 5.0 см вращают вокруг его
106
оси в однородном магнитном поле с&индукцией В = 10 мТл. Угловая скорость
&
вращения Z = 45 с-1, причем Z nn B . Пренебрегая магнитным полем возникающих зарядов, найти их объемную и поверхностную плотность.
6.4.49 В некоторой области инерциальной системы отсчета имеется
&
Z
вращающееся с угловой
скоростью
магнитное поле, индукция
& которого
&
&
равна В. Найти rot B в этой области как функцию векторов Z и B .
6.4.50 У плоской поверхности однородного изотропного диэлектрика
с
&
проницаемостью H напряженность электрического поля в вакууме E 0 , при&
чем E 0 составляет угол D с нормалью к поверхности диэлектрика (см. рисунок 6.14). Считая поле внутри и вне диэлектрика& однородным, найти: а) поток
вектора E через сферу радиуса R с центром на поверхности
& диэлектрика; б) циркуляцию вектора D по контуру Г длины l,
плоскость которого перпендикулярна к
поверхности
диэлектрика и параллельна
Рисунок 6.14
&
вектору E 0 .
6.4.51 Индукция&магнитного поля
в вакууме вблизи плоской поверхно&
&
сти магнетика равна B , и вектор B составляет угол D с нормалью n к поверхности (рисунок 6.15). Магнитная
P. Найти:
проницаемость магнетика
&
а) поток вектора H через поверхность
сферы радиуса R, центр которой лежит
на поверхности
& магнетика; б) циркуляцию вектора B по квадратному контуру
Г со стороной l, расположенному как
Рисунок 6.15
показано на рисунке.
6.4.52 Рассчитайте порядок напряжения, которое появится в антенне радиоприемника, находящегося на
расстоянии R = 100 км от радиостанции, излучающей мощность 100 кВт.
6.4.53 Мощность светового излучения Солнца P = 4˜1026 Bт. Пренебрегая поглощением в атмосфере, оцените величину вектора Пойтинга вблизи
поверхности Земли. Расстояние от Земли до Солнца равно приблизительно
149.50˜106 км.
107
Список использованных источников
1
2
3
4
5
6
7
8
Т.И.Трофимова. Курс физики.-М.:Высш. шк.,1990 - 478с.
А.А.Детлаф, Б.М.Яворский. Курс физики.-М.:Наука,1988 - 432с.
И.В.Савельев. Курс общей физики. т.2.-М.:Наука,1988 - 496с.
И.В.Савельев. Сборник вопросов и задач по общей физике.-М.:Наука,1982
- 272с.
И.Е.Иродов. Задачи по общей физике.-М.:Наука,1979 - 368с.
В.С.Волькеншиейн. Сборник задач по общему курсу физики.-М.:Наука,1967 - 464с.
А.Г.Чернов, А.А.Воробьёв, М.В.Фёдоров. Задачник по физике.-М.:Высш.
шк.,1973 - 512с.
Е.В.Фирганг. Руководство к решению задач по курсу общей физики.М.:Высш. шк.,1977 - 351с.
108