1.8. Умножение вектора на число

1.8. Умножение вектора на число. Если в сумме векторов одно и тоже слагаемое
повторяется несколько раз, например, а + а , а + а + а , и т.п., то, как и в алгебре, такие суммы
естественно обозначать 2 а , 3 а и т.д. (рис.1.36).
Рис.1.36
Рис.1.37
Если точка С - середина отрезка АВ, то AC + СВ = AB , AC = СВ , а потому AB =2 AC и
1
AC = AB (рис.1.37).
2
Уже эти простейшие примеры подсказывают, что удобно ввести операцию умножения
вектора на число, и подсказывают, как дать соответствующее определение.
О п р е д е л е н и е. Произведением ненулевого вектора а на отличное от нуля
число х называется такое вектор х а для которого выполняются два условия: 1) его длина
равна произведению длины вектора а на модуль числа х, т.е. выполняется равенство
(5)
Іх а І = ІхІІ а І ;
2) он сонаправлен с вектором а , если х>0 (рис.1.38,а), и он направлен
противоположно вектору а , если х<0 (рис.1.38,б).
а)
б)
Рис.1.38
Если же а = 0 или х=0, то вектор х а - нулевой
(что согласуется с равенством (5) ).
Из данного определения непосредственно вытекают такие свойства операции умножения
вектора на число:
1. 1 а = а для любого вектора а .
2. (-1) а =- а для любого вектора а .
3. Если х а = 0 , то либо х=0 , либо а = 0 .
4. Если х а =у а и а ≠ 0 , то х=у.
5. Если х а =х b и х≠0, то а = b .
6. х(у а )=(ху) а для любого вектора а и любых чисел х и у .
Доказывая эти векторные равенства, каждый раз следует проверять равенство модулей и
сонаправленность векторов. Продемонстрируем это, например, для свойства 4. Из равенства
х а =у а следует, что ⎜х а ⎜=⎜у а ⎜. Согласно равенству (1) получаем, что ⎢х⎢⎢ а ⎢=⎢у⎢⎢ а .⎢ Так как
⎜ а ⎜≠0, то ⎢х⎢=⎢у⎢. Кроме того, числа х и у имеют один и тот же знак (в противном случае
векторы х а и у а были бы направлены противоположно). Поэтому х=у.
Свойства 1 - 3 очевидны. Свойства 5 и 6 доказываются так же, как свойство 4. Убедитесь
в их справедливости самостоятельно.
Операция умножения векторов дает возможность сформулировать и доказать простой,
но важный признак коллинеарности векторов.
Теорема (характерное свойство коллинеарности). Вектор b коллинеарен ненулевому
вектору а тогда и только тогда, когда b =х а .
Доказательство. В этой теореме два утверждения 1) Если b =x а , то векторы b и а
коллинеарны. Это утверждение вытекает из определения умножения вектора на число.
2) Второе предложение обратно к первому и утверждает, что вектор b , коллинеарный
ненулевому вектору а , получается из вектора а умножением его на некоторое число х. Если
вектор b - нулевой, то ясно, что х=0. Если вектор b - ненулевой, то он либо сонаправлен с
вектором а (рис.1.39,а), либо направлен противоположно вектору а (рис.1.39,б).
а)
б)
Рис.1.39
В первом случае х=⎢ b ⎢: ⎢ а ⎢. Во втором случае х= – ⎢ b ⎢: ⎢ а ⎢. Проверьте самостоятельно
равенство модулей и сонаправленность векторов b и х а для обоих случаев.g
С л е д с т в и е (о векторах на прямой). Два вектора, отложенный из одной и той же
точки, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда один из них получается из
другого умножением на число.
Другими словами, точка Х лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда АХ =х AB
(рис.1.40).
Рис.1.40
Динамические модели
"1_09_Умножение вектора на число"
"1_10_Признак коллинеарности векторов"
Вопросы для самоконтроля
1. Как умножить ненулевой вектор на ненулевое число?
2. Какие свойства умножения вектора на число вы знаете?
3. В чем состоит характерное свойство коллинеарных векторов?
Задачи
1
1
2
а, - а, а.
4
3
3
8.2. Нарисуйте два вектора а и b . Нарисуйте затем векторы: а) 2 а +4 b ; б) -2 а +4 b ;
в) 2 а -4 b ; г) -2 а -4 b .
8.3. Нарисуйте две точки А и В. Нарисуйте фигуру, которую образуют все точки Х такие,
что: а) АХ =t AB , где 0≤t≤1; б) ВХ =t ВА , где0≤t≤1; в) АХ =t AB , где t≥0; г) ВХ =t AB , где t≥0;
д) АХ =t AB , где t≤ 0; е) АХ =t AB , где -1≤t≤1.
8.4. Нарисуйте два единичных взаимно перпендикулярных вектора ОА и ОВ . Нарисуйте
фигуру, которую образуют все точки К такие, что ОК =х ОА +у ОВ , если: а) 0≤х≤1, 0≤у≤1;
Рисуем. 8.1. Нарисуйте вектор а . Нарисуйте векторы 2 а , -3 а ,
б) − 1 ≤ x ≤ 1 , -1≤у≤1; в)⏐х⏐≤1, ⏐у⏐≥1.Что изменится в сделанном рисунке, если векторы ОА и
ОВ не будут перпендикулярными?
Находим величину. 8.5. На отрезке АВ длиной 20 см лежит точка С, причем АС=15 см.
Выразите: а) AC через AB ; б) AB через СВ ; в) BC через AC .
8.6. На отрезке АВ взята такая точка Х, что АХ:ХВ=2:1. Выразите: а) АХ через AB ;
б) ВХ через ХА ; в) AB через ВХ . Сможете ли вы решить задачу в общем случае, когда
АХ:ХВ=k?
8.7. Дан параллелограмм АВСD. Пусть О – точка пересечения его диагоналей.
Обозначим AC как а , а BD как b . Выразите через а и b векторы: а) ОА ; б) СО ; в) AB ;
г) BC ; д) CD ; е) DA .
8.8. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Пусть О – точка пересечения его диагоналей.
Обозначим ОА = а , ОВ = b , ОС = с . Выразите через эти векторы: а) CD ; б) AD ; в) AC1 ;
г) C1 A ; д) AB1 .
Ищем границы. 8.9. Угол между единичными векторами а и b равен ϕ. В каких
границах при изменении ϕ находится длина вектора: а) а +2 b ; б) -2 а - b ; в) х а +у b ?