Матричное описание лазерного резонатора

ЛАЗЕРНЫЙ РЕЗОНАТОР
Задача об устойчивости лазерного резонатора — классическая задача современной оптики. Мы решим ее в параксиальном приближении, используя
аппарат матричной оптики.
L
R2
R1
Рис. 1: Лазерный резонатор представляет собой пространство между двумя соосными зеркалами. Его конфигурация определяется тремя числами
R1 , R2 и L.
В простейшем случае лазерный резонатор это два соосных сферических
зеркала и его конфигурация полностью определяется всего лишь тремя параметрами — радиусами зеркал R1 и R2 и расстоянием между ними L.
В зависимости от сочетания этих трех чисел параксиальные лучи внутри
лазерного резонатора могут вести себя двумя различными способами. Либо параксиальный луч после многократных отражений будет оставаться
внутри резонатора, и такой резонатор называется устойчивым. Либо после нескольких отражений любой луч будет выбрасываться из резонатора,
такой резонатор называется неустойчивым.
Матрица перемещения и матрица отражения. В матричной оптике любая осесимметричная система описывается 2 × 2 матрицей
A B
M=
,
C D
которая называется оптической матрицей системы. Пусть световой луч
на входе в систему задается своей высотой y0 и углом наклона α0 к оси
системы, то есть характеризуется двумерным вектором
y0
.
α0
Тогда после прохождения через систему его высота y1 и угол наклона α1
будут
y1
y0
=M
.
α1
α0
Оптическая матрица системы является последовательным произведением
элементарных оптических матриц — матриц перемещения, преломления,
1
отражения. В случае лазерного резонатора нам будет достаточно матриц
перемещения и отражения.
Для получения матрицы перемещения рассмотрим световой луч, входящий в систему на высоте y0 с углом наклона α0 и свободно распространяющийся вправо на расстояние L.
a0
y0
L tg a0
y0
L
Рис. 2: Высота светового луча на входе y0 , на выходе y0 +L tg α0 ≈ y0 +Lα0 ,
угол не меняется.
Тогда на выходе из системы его высота будет y1 = y0 + L tg α0 . Учитывая
условие параксиальности, в частности малость угла α0 , можно заменить
тангенс этого угла на сам угол и получить
y1 = y0 + Lα0 .
Учитывая, что луч распространяется в свободном пространстве, имеем также
α1 = α0 .
Последние два соотношения можно записать в матричном виде
y1
1 L
y0
=
.
α1
0 1
α0
Итак, перемещение светового луча в свободном пространстве на расстояние
L описывается матрицей
1 L
T =
,
0 1
которая и называется матрицей перемещения.
Переходим к отражению. Пусть световой луч отражается от сферического зеркала радиуса R. При этом отражение происходит на высоте y0 и
до отражения луч имеет угол наклона α0 . Очевидно, что непосредственно
при отражении высота луча не изменится, то есть
y1 = y0 ,
а вот угол наклона поменяется (рис. 3), и каким образом, это мы сейчас
подсчитаем. Так как зеркало сферическое, нормаль к нему совпадает с радиусом. Угол между световым лучом и радиусом — угол падения, обозначим
β, угол отражения тоже будет β. Поэтому угол наклона отраженного луча
будет α0 + 2β, а с учетом того, что после отражения луч будет двигаться в
2
a0
b
R
a0+b
b
y0
Рис. 3: При отражении высота светового луча не меняется, угол падения
и угол отражения равны β.
противоположном направлении и мы должны будем изменить положительное направление оси x, на самом деле будет
α1 = −α0 − 2β.
Прямоугольный треугольник на рисунке 3 дает нам tg(α0 + β) = y0 /R или,
учитывая малость углов, α0 + β = y/R. Откуда β = y0 /R − α0 . Подставляя
это в полученное ранее выражение для α1 , имеем
2
y0 + α0 .
R
Записывая все это в матричном виде, получаем
!
1
0 y y1
0
2
=
.
α1
α0
−
1
R
Итак, отражение светового луча от зеркала радиуса R описывается матрицей
!
1
0
2
R=
,
−
1
R
которая называется матрицей отражения.
Добавим, что для луча, движущегося в обратном направлении, матрицы
премещения и отражения имеют тот же самый вид.
α1 = −
Матричное описание лазерного резонатора. Применим полученные результаты к лазерному резонатору. Будем считать, что световой луч
стартует с левого зеркала на высоте y и под углом α. Сначала луч перемещается от левого к правому зеркалу и за это перемещение отвечает матрица
перемещения
1 L
T12 =
.
0 1
Далее луч отражается от правого зеркала
жения

1
R2 =  2
−
R2
3
и за это отвечает матрица отра
0
.
1
После отражения происходит перемещение в обратном направлении, описываемое матрицей
1 L
T21 =
.
0 1
Наконец, световой луч отражается от левого зеркала, и это отражение задается матрицей


1
0
.
R1 =  2
−
1
R1
А так выглядит полный проход светового луча через лазерный резонатор
y
y
y
y
y
→ T12
→ R2 T12
→ T21 R2 T12
→ R1 T21 R2 T12
.
α
α
α
α
α
Произведение матриц
M = R1 T21 R2 T12
называется матрицей лазерного резонатора. После полного прохода через
резонатор начальный световой луч с высотой y и углом наклона α переходит
в световой луч
y
M
.
α
А после n-кратного прохода — в
y
.
M
α
n
Так что в некотором смысле вопрос об устойчивости лазерного резонатора решен. Нужно проследить (например, на компьютере) за поведением
степеней M n матрицы резонатора M и выяснить, растут ли элементы M n
с ростом n или остаются ограниченными. В первом случае резонатор будет
неустойчивым, во втором — резонатор устойчив. Сейчас мы сделаем это без
компьютера.
Поведение степеней M n . Под действием матрицы M вектор v переходит в вектор M v, при этом меняются и его длина и направление. Но для
2 × 2 матрицы имеются два выделенных вектора, направления которых не
изменяются,
M v1 = λ1 v1 , M v2 = λ2 v2 .
Эти векторы называются собственными векторами матрицы M , а числа
λ1 и λ2 называются ее собственными или характеристическими числами.
Теперь для вычисления действия матрицы M на любой вектор v его можно
сначала разложить по собственным векторам v1 и v2
v = a1 v1 + a2 v2 ,
4
и только потом подействовать матрицей M
M v = M (a1 v1 + a2 v2 ) = a1 λ1 v1 + a2 λ2 v2 .
Ясно, что
M n v = a1 λn1 v1 + a2 λn2 v2 .
И теперь очевидно, что вектор M n v будет неограниченно возрастать, если
выполняется условие
|λ1 | > 1 или |λ2 | > 1
и при этом условии матрица M будет неустойчивой. Если же выполняется
условие
|λ1 | ≤ 1 и |λ2 | ≤ 1,
то вектор M n v будет оставаться ограниченным и матрица будет устойчивой.
Итак, вопрос об устойчивости лазерного резонатора — это вопрос о величинах модулей собственных значений матрицы этого резонатора. Cобственные значения матрицы M
A B
M=
C D
являются корнями характеристического уравнения
A − λ
B = 0,
C
D − λ
то есть квадратного уравнения
λ2 − (A + D)λ + AD − BC = 0.
Критерий устойчивости. Матрица лазерного резонатора, как и матрица любой оптической системы, имеет свою специфическую особенность
— ее определитель равен единице
AD − BC = 1.
В самом деле, она является произведением матриц перемещения T и матриц отражения R, определитель которых очевидно равен единице, а при
перемножении матриц определители тоже перемножаются. Так что в случае матричного резонатора характеристическое уравнение имеет вид
λ2 − (A + D)λ + 1 = 0.
Используя теорему Виета, получаем что
λ1 λ2 = 1.
Отсюда следует: если λ1 и λ2 действительные (и не равны ±1), то у одного
из них модуль больше 1 и резонатор неустойчивый, если же λ1 и λ2 комплексные, то они сопряжены и модуль каждого из них равен 1 — резонатор
устойчивый. Итак, получен новый критерий устойчивости
5
если λ1 и λ2 комплексные, то резонатор устойчивый
если λ1 и λ2 действительные, то резонатор неустойчивый.
Вопрос о действительности корней квадратного уравнения решается знаком
дискриминанта, который в данном случае имеет вид (A + D)2 − 4. Так что
мы можем переписать критерий устойчивости в виде
если (A + D)2 − 4 < 0, то резонатор устойчивый
если (A + D)2 − 4 > 0, то резонатор неустойчивый.
Наконец, если проделать конкретные вычисления и выразить элементы
матрицы
M = R1 T21 R2 T12
через радиусы зеркал R1 и R2 и расстояние L между ними, то предыдущая
формулировка критерия устойчивости примет окончательный вид
если (L − R1 )(L − R2 )(L − R1 − R2 ) < 0, то резонатор устойчивый
если (L − R1 )(L − R2 )(L − R1 − R2 ) > 0, то резонатор неустойчивый.
Или почти окончательный вид — в предположении R1 < R2 можно, наконец, записать
если L < R1 или R2 < L < R1 + R2 , то резонатор устойчив.
Это классический результат, который показывает, что при фиксированных
радиусах зеркал и переменном расстоянии между ними имеются две зоны
устойчивости. Первая — это когда расстояние между зеркалами не превосходит меньшего радиуса. И вторая — когда расстояние заключено в пределах от большего радиуса до их суммы.
6