Численное исследование напряженно

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Казанский (Приволжский) федеральный университет»
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ.Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Специальность: 010901.65 – Механика
Специализация: Теория упругости
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
Численное исследование напряженнодеформированного состояния тазобедренного
сустава
Работа завершена:
«____» _____________ 2014 г.
Студент 5 курса очного отделения
бюджетной формы обучения 05 - 901 группы
Работа допущена к защите:
Фидаиль Радикович Нигматуллин
«____»_____________ 2014 г.
Научный руководитель:
доцент, к. ф.- м. наук, доцент
Ленар Усманович Султанов
Дата, время защиты: _________________________
Казань – 2014 год
Оценка ________________
Оглавление
Введение ............................................................................................................... 3
План решения ...................................................................................................... 5
Основные положения метода конечных элементов ........................................ 6
Сведения о пакете прикладных программ Siemens NX ................................ 13
Численный метод исследования НДС тазобедренной кости в ППП Siemens
NX методом конечных элементов ................................................................... 14
Эксперимент ...................................................................................................... 20
Список использованной литературы............................................................... 23
2
Введение
Эндопротезирование
тазобедренного
сустава
в
настоящее
время
является широко распространенным способом лечения заболеваний опорнодвигательного аппарата. Замена больного сустава на искусственный
позволяет устранить или значительно уменьшить болевой синдром,
обеспечить опороспособность конечности, восстановить движение в суставе.
Однако срок службы современных эндопротезов, изготавливаемых из
легированных сталей и титана, ограничивается в среднем 10 годами.
Проведение повторной операции эндопротезирования зачастую невозможно
из-за большого количества противопоказаний и высокого риска развития
послеоперационных осложнений. Потребность в эндопротезировании в
России составляет до 100–300 тысяч операций в год [8], поэтому продление
эксплуатационного ресурса эндопротеза является актуальной медицинской,
технической и социальной проблемой.
Во многих случаях несостоятельность эндопротеза вызвана его
расшатыванием. Риск расшатывания растет пропорционально давности
операции, и в настоящее время данная проблема не имеет какого-либо
технического решения. Согласно биомеханической гипотезе основной
причиной
расшатывания
эндопротеза
является
неадекватность
функциональных напряжений, испытываемых костью в системе кость–
имплантат при физиологических нагрузках[9].
Большое
количество
исследований
направлено
на
изучение
механических аспектов взаимодействия эндопротеза тазобедренного сустава
и
костной
ткани, особое
внимание
уделено
определению
влияния
конструкции эндопротеза на напряженно – деформированное состояние
кости. Экспериментальные исследования выявили особенности влияния
конструкции эндопротеза на перераспределение внешней нагрузки в костной
ткани. Недостатком экспериментальных методов исследования являются
технические ограничения, не позволяющие моделировать сложные условия
3
нагружения системы кость–имплантат, обусловленные физиологической
активностью человека. Кроме того, для описания процессов, протекающих в
костной ткани, необходима регистрация напряжений внутри тазовой кости,
которая
также
трудноосуществима
при
экспериментальном
подходе.
Поэтому все большую популярность приобретают методы математического
моделирования механического поведения системы кость - эндопротез. При
этом полученные экспериментальные данные используются для проверки
параметров и оценки адекватности математических моделей.
Для
расчета
функциональных
тазобедренного
компонентой
напряжений,
возникающих
нагрузках,
строится
сустава
с
эндопротеза.
костной
ткани
пространственная
установленной
Адекватность
в
металлической
предложенной
при
модель
бедренной
механической
модели подтверждается экспериментальными исследованиями. Построенная
биомеханическая модель системы кость – эндопротез и вычисленные
функциональные нагрузки на сустав позволили рассчитать напряженно деформированное состояние элементов системы в наиболее нагруженные
фазы шага и оценить влияние конструкции имплантата на эксплуатационную
долговечность протеза.
Выражаю
благодарность
Центру
молодежного
инновационного
творчества «Идея» за оказанную помощь в получении виртуальной модели
на 3D сканере. Процесс сканирования позволил получить довольно точную
геометрию и сэкономить драгоценное время.
4
План решения
На начальном этапе проводится расчет напряженно- деформированного
состояния образца тазовой кости в пакете прикладных программ SIEMENS
NX методом конечных элементов. Он основывается на: построении
трехмерной модели, разбиении её на конечные элементы, задании граничных
условий, приложения нагрузки и вывода результатов решения. Процесс
создания геометрии включает в себя сканирование тазобедренной кости на
3D сканере и дальнейшую корректировку полученной модели в пакетах
прикладных программ GeomagicStudio, SolidWorks и SiemensNX.
Следующим основным этапом является проведение эксперимента, где
геометрия модели один в один похожа на тазовую кость. Образец тазовой
кости, сделанный из материала, физические свойства которого схожи со
свойствами костной ткани, крепится на верхней неподвижной платформе
пресса; имплантат крепится на нижнюю платформу так, чтобы ее
сферическая часть вошла в вертлужную впадину кости при касании их друг с
другом. Далее устройством подается нагрузка на имплантат. Сведения о
продолжительности эксперимента, деформациях и величине поданной
нагрузки аппаратом выводятся на экран.
Конечный
этап
-
сравнение
результатов
экспериментального и численного методов и их анализ.
5
исследования
Основные положения метода конечных элементов
С точки зрения практики расчета сложных конструкций матричными
методами, МКЭ является естественным распространением методов расчета
стержневых систем на задачи механики сплошной среды. Это объясняется
единством методологии классических методов строительной механики и
МКЭ, которая сводится к расчленению исходной конструкции на отдельные
части (фрагменты), как правило, более простой структуры, механическое
поведение (процесс деформирования) которых легко описывается, а затем к
объединению их вновь в единую конструкцию путем выполнения условий
равновесности и сплошности. С другой стороны, МКЭ можно трактовать как
специфическую форму метода Ритца приближенного решения задач
механики деформируемого твердого тела, что дает ключ к теоретическому
обоснованию его основных положений.[4]
Вариационная постановка задач теории упругости
Для
единицы
объема
упругого
тела,
ориентированного
вдоль
произвольно выбранной декартовой системы координат x,y,z, удельная
потенциальная энергия деформации записывается в виде
1
W  ( xx  xx   yy  yy   zz  zz   xy 
2
xy
  yz 
yz
  zx  ) , (1)
Введем вектор деформаций   и вектор напряжений  
    , , , , ,  , (2)
    , , , , , 
T
xx
yy
xx
yy
zz
xy
yz
zx
T
zz
xy
yz
zx
тогда выражение W (1) можно записать
W
1
2
     12     , (3)
T
T
6
zx
Потенциальная
энергия
деформации,
накопленная
всем
телом,
определяется в виде интеграла по всему объему V
U   WdV 
V
1
2 
V
    dV , (4)
T
Закон Гука запишем в матричном виде через матрицу упругости
(матрицу упругих постоянных)[D]
   [ D]  , (5)
Тогда выражение потенциальной энергии деформации можем записать
U
1
2 
V
  [D]  dV , (6)
T
Работу внешних сил тоже запишем в матричном виде. Для этого введем
вектор перемещений
  u, v, w , (7)
T
где u,v,w – проекции вектора перемещений вдоль осей x,y,z, вектор массовых
сил
Q
Q  Q
T
( x)
( y)
,Q ,Q
 , (8)
( z)
и вектор поверхностных сил P , действующий на части поверхности
P
T

P , P , P  , (9)
( x)
( y)
(z)
тогда работа внешних сил может быть записана в виде
A  
V
Q dV   P  dS , (10)
T
T
S
7
S ,
Полная энергия системы определяется как
L  U – A , (11)
откуда с учетом (6),(10), получим окончательное выражение
L
1
2 
V
  [D]  dV  Q dV   P  dS , (12)
T
T
T
S
V
В соответствии с общими теоремами, истинное состояние равновесия
тела соответствует минимуму полной энергии, т.е. задача сводится к поиску
такого вектора  , и как следствие векторов   ,   , которые дают min L.
Уравнениями Эйлера этой вариационной задачи являются уравнения
равновесия и статические граничные условия.[4]
МКЭ как метод Ритца
Одним из главных моментов в методе Ритца минимизации функционала
энергии является построение поля перемещений в виде разложений по
некоторой системе координатных функций
 ( x) ( x)

 u  N  i H i ( x, y, z ) 
 
 ( y) ( y)

 v     i H i ( x, y, z )  , (13)
 w i 1  ( z ) ( z )

 
( x, y , z ) 
 i H i

Которые должны удовлетворять граничным условиям. В классическом
методе Ритца эти функции
H ( x, y, z)
i
определяются во всей области и
должны обладать свойством полноты. По сути дела (13) есть аппроксимация
вектора перемещений  , определенная сразу во всей области. Здесь
выявляется главная трудность поиска решений в виде (13), а именно:
сложность построения функций
H ( x, y, z)
i
для областей неканонической
формы. Чтобы избежать этих осложнений, было предложено разбивать
исходную область на отдельные части, геометрически более простой
8
структуры, внутри которых строить аппроксимации  значительно проще.
Однако здесь возникает новая трудность, связанная со стыковкой этих
отдельных
сегментов
перемещений
Выходом
в
плане
(уравнения
было
выполнения
равновесия
предложение
коэффициентов разложений
принять
 
i
условий
непрерывности
удовлетворяются
в
качестве
вариационно).
неопределенных
значений компонент перемещений
 
i
в
некоторой системе точек (узлов), как правило, лежащих на границах
стыкуемых элементов. В результате получается такая модификация метода
Ритца, которая и называется
метод конечных элементов (МКЭ). Таким
образом, МКЭ состоит из следующих основных этапов: разбиение исходной
области на отдельные части (элементы) простой геометрической структуры
(для
двумерных
задач
это
треугольники
и
четырехугольники;
для
иллюстрации на рис.1 приведено одно из возможных разбиений для плоской
задачи;
Рис.1. Разбиение на конечные элементы
на границах между отдельными элементами, а в случае необходимости и
внутри элементов вводятся точки (узлы), перемещения которых
u ,v ,w
i
i
i
далее считаются основными неизвестными; для отдельного конечного
элемента
строится
выражение
функционала
энергии
как
функции
перемещений узлов, принадлежащих только этому конечному элементу.
9
Схема здесь следующая. Рассмотрим некоторый m-й элемент.[4] Обозначим
через вектор
q  - вектор узловых перемещений m–го элемента
m
 
q
T
m

q ,..., q  , (14)
m
m
1
i
Введем аппроксимации внутри элемента
 ( x, y, z)  [U ( x, y, z)]{q } , (15)
m
где матрица [U] содержит в себе некоторые функции. Однако следует
сказать, что ее элементами будут степенные функции, т.е. полиномы. По (15)
можем вычислить вектор деформаций (2) в виде
   [ B]{q } , (16)
m
подставляя (15), (16) в (12), получим выражение энергии на элементе
1
2 
Vm
Lm 
 
m
S
 
q
T
m
T
[B]
[ D][ B]
q 
m
  q  dS
T
 
Q
m
T
[U ]
q  dV 
m
, (17)
m
P m [U ]
Так как параметры
dV  
Vm
q
 постоянные на элементе, то (17) можем записать в
m
виде
1
Lm  2
q 
T
m
[K ]
q  P  q  , (18)
m

m
T
m
[ K ]  [ B] [ D][ B]dV
Vm
T
m
где
m
P   Q
m
Vm
 q 
m
T
[U ]
m
dV  
m
S
10
  q  dS
T
P m [U ]
m
, (19)
[ K ] - матрица жесткости элемента,
m
P  - вектор узловых сил.
m
Далее строится функционал энергии для всего тела как сумма значений
энергии по всем элементам. При этом считается, что перемещения узлов,
принадлежащих разным элементам, одинаковы для всех прилегающих
элементов. Физически это означает выполнение условий неразрывности поля
перемещений во всей области тела. После выполнения операций сборки,
получим
L   Lm 
m
1
2
q
T
[ K ]q 
P q , (20)
T
Здесь вектор {q} включает в себя узловые перемещения всего тела,
матрица [K] называется матрицей жесткости всего тела и состоит из суммы
матриц [ K ] , вектор
m
P
– вектор внешних сил, состоящий из суммы
 
поэлементных сил P m и заданных сосредоточенных нагрузок.
В соответствии со схемой Ритца необходимо найти такой вектор {q},
который дает минимум энергии Э. Как известно, необходимым и
достаточным условием минимума полной энергии является равенство нулю
ее первой вариации
1
2
 q [K ]q q [K ] q) P  q  0 , (21)
Э  (
T
T
T
Откуда в силу симметрии матрицы [K] получим алгебраическую задачу
 K q

P , (22)
Решая эту систему, находим вектор {q}, который однозначно определяет
поле перемещений и позволяет найти распределение напряжений в теле, что
и является целью задач теории упругости.[4]
11
Такова в общих чертах схема решения задач теории упругости МКЭ в
вариационном варианте. Очевидно, что ее можно считать разновидностью
схемы Ритца, т.к. идеология их полностью совпадает и заключается в задании
аппроксимации перемещений внутри тела, параметры которой определяются
из условия минимума энергии. Различие МКЭ и метода Ритца состоит в
особенности задания аппроксимации, а именно: в МКЭ она определяется
поэлементно и неизвестными параметрами являются узловые перемещения,
тогда как в классическом методе Ритца неизвестные параметры
имеют ясного физического смысла.[4]
12
 
не
Сведения о пакете прикладных программ Siemens NX
Использование численных методов при проектировании различных
конструкций
и
машин
продиктовано
необходимостью
постоянного
повышения надежности и качества изделий, а также возможностью
использовать новые современные материалы, учитывать сложные условия
работы современных конструкций при необходимости повышать их
конкурентоспособность
и
надежность.
Максимальный
эффект
от
использования технологий численного инженерного анализа достигается при
их использовании, начиная с самых ранних стадий проектирования. При этом
снижаются стоимость изделия, вероятность возникновения рисков и срок
выпуска изделия на рынок.
NX
-
это
интерактивная
система,
предназначенная
для
автоматизированного проектирования, изготовления и расчетов изделий. NX
является системой трехмерного моделирования, в которой инженер может
создавать изделия любой степени сложности. Для обозначения систем такого
класса используется аббревиатура C A D / C A M / C A E. NX относится к так
называемым
системам
высокого
уровня
автоматизированного
проектирования и обладает широким набором инструментальных средств.
NX широко распространена во всем мире и используется для разработки
продукции ведущими мировыми производителями в наукоемких отраслях
промышленности. Основная задача системы в конечном итоге состоит в
сокращении стоимости создания изделия, улучшении его качества и
сокращении сроков выхода на рынок.
13
Численный метод исследования НДС тазобедренной кости в ППП
Siemens NX методом конечных элементов
Численный расчет начинается с того, что делается 3D сканирование
реальной модели сустава и геометрия полученной компьютерной модели
проходит идеализацию в пакетах прикладных программ GeomagicStudio,
SolidWorks и SiemensNX. Далее в расчетном комплексе Siemens NX в модуле
Расширенная симуляция строится конечно – элементная сетка (рис.2), где в
качестве конечного элемента выбран трехмерный линейный тетраэдральный
элемент с четырьмя узлами и тремя степенями свободы в каждом узле.
Рис.2. Модель сустава после разбиения на конечные элементы.
После
разбиения
на
КЭ
определяются
граничные
условия
и
прикладывается нагрузка. Граничные условия задаются согласно тому, как
кость располагается в теле, то есть жесткое закрепление (рис.3). Также
задаются некоторые механические характеристики костной ткани: модуль
упругости 0,09 (ГПа)[10], коэффициент поперечной деформации 0,3.
14
Рис.3. Граничные условия.
Далее
в
область
вертлужной
впадины
(полусферический
вырез)
прикладывается нагрузка. Нагрузка в расчете рассматривается в трех
вариантах. Первый вариант – равномерно распределенное давление по всей
поверхности
впадины
(рис.4).
Второй
–
распределенное
давление,
увеличивающееся вглубь впадины (рис.5). Третий вариант – максимум,
приложенного давления, сконцентрирован на стенке впадины и близок с
постановкой эксперимента (рис.6).
Рис.4. Равномерно распределенное давление по всей поверхности впадины.
15
Рис.5. Давление увеличивается вглубь.
Рис.6. Максимум давления распределен на стенке.
Проведя структурный анализ модели, получены следующие результаты:
максимальные и минимальные напряжения (рис.7, рис.8, рис.9);
16
Рис.7. Напряжения, возникающие при равномерно распределенном давлении.
Рис.8. Напряжения, возникающие при распределении давления по глубине впадины.
17
Рис.9. Напряжения, возникающие при распределении максимума давления на стенке
впадины.
-перемещения (рис.10, рис.11, рис.12);
Рис.10. Перемещения, возникающие при равномерно распределенном давлении.
18
Рис.11. Перемещения, возникающие при распределении давления по глубине впадины.
Рис.12. Перемещения, возникающие при распределении максимума давления на стенке
впадины.
19
Экспериментальный метод исследования НДС тазобедренного
сустава заключается в следующем (рис.10): образец тазовой кости,
сделанный из материала, физические свойства которого схожи со свойствами
костной ткани, крепится на верхней неподвижной платформе пресса;
имплантат крепится на нижнюю платформу так, чтобы ее сферическая часть
вошла в вертлужную впадину кости при касании их друг с другом. Далее
устройством
подается
нагрузка
на
имплантат.
Сведения
о
продолжительности эксперимента, деформациях и величине поданной
нагрузки аппаратом выводятся на экран (рис.11).
1 – ТБС
2 – имплантат
3,4 – крепления
5 – модель
6 – пресс
Рис.10. Схема экспериментальной установки
20
Н
1200,00
1000,00
800,00
600,00
400,00
200,00
0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
мм
пуск1
пуск4
пуск3
Рис.11. График зависимости деформации от величины нагрузки
Рис.12. Фотография, сделанная во время эксперимента
Проведя эксперимент, мы определили, что деформация не превышает 6
мм при нагрузке до 1000Н.
21
К результатам, полученным на изолированных костях и образцах из
материалов, механические свойства которых близки к свойствам костной
ткани, нужно относиться с определенными поправками, так как при этом, как
правило,
нарушается
структурно
-
анатомическая
целостность
и
физиологические свойства ткани. Тем не менее, испытания с нагрузкой
отдельной кости могут дать важную информацию о ее биомеханических
свойствах. Если нагрузка прикладывается к структуре в известном
направлении, то деформация этой структуры может быть измерена и
нанесена на кривую «нагрузка-деформация». Изучив эту кривую, можно
получить много данных о прочности, жесткости и других механических
свойствах структуры кости.
22
Список использованной литературы
1) Каплан, А.В. Повреждение костей и суставов : монография /А.В.
Каплан. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : Медицина, 1979. - 568 с.
2) Каплун, А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А ANSYS в руках инженера:
Практическое руководство. М.: Машиностроение, 2003. - 272с.
3) Басов, К.А. ANSYS справочник пользователя. М.:ДМК Пресс, 2005. 640 с.
4)
Голованов, А.И., Бережной, Д.В. Метод конечных элементов в
механике деформируемых твердых тел. – Казань: Изд-во «ДАС», 2001. –
301с.
5) Чигарев, А.В., А.Ф., ANSYS для инженеров. Справочное пособие, А.В.
Чигарев, А.С Кравчук, А.Ф. Смалюк, М.:ДМК Пресс, 2003. - 780 с.
6) Уотсон-Джонс Р. Переломы костей и повреждение суставов. М.:
Медицина, 1972.- 708 с.
7) Мур Э., Экстренная медицинская помощь при травме, Мур Э., Л.
Мэттокс, Д. Феличиано ИД Практика, 2010.- 744 с.
8) Корнилов, Н.В., Войтович, А.В., Машков, В.М., Эпштейн, Г.Г.
Хирургическое
лечение
дегенеративно-дистрофических
поражений
тазобедренного сустава. - СПб, 1997. - 291с.
9) Неверов, В.А., Закари, С. М. Ревизионное эндопротезирование
тазобедренного сустава. - СПб.: Образование. 1997. – 112 с.
10) Карлов, А.В., Шахов, В.П. Системы внешней фиксации и регуляторные
механизмы оптимальной биомеханики. - Томск: STT, 2001. - 480 с.
11)
Тихилов,
Р.М.
Экспериментальное
обоснование
установки
ацетабулярного компонента с недопокрытием при эндопротезировании
пациентов с тяжелой степенью дисплазии Печ. Травматология и ортопедия
23
России №4 (70) 2013 С.42-51 10 Р.М. Тихилов, И.И. Шубняков, А.В.
Мазуренко, В.И. Митряйкин, О.А. Саченков, А.К. Кузин, А.О. Денисов, Д.Г.
Плиев, А.А. Бояров, А.Н. Коваленко
24