МОДЕЛИ ИЗУЧЕНИя ТЕМЫ «КВАДРАТИЧНАя ФУНКЦИя И ЕЕ

УДК 512 (07)
Upbringing and training questions
Жафяров Акрям Жафярович
Доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАО, зав. кафедрой геометрии и методики обучения математике Новосибирского государственного педагогического университета, nauka2013@rambler. ru, Новосибирск
МОДЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ» НА КОМПЕТЕНТНОСТНОЙ ОСНОВЕ
Аннотация. Разработаны две модели формирования базисной компетентности по теории
квадратичных функций и их приложений с разными объемами компетенций. На их основе построены две модели повышения математической компетентности по названной теме в процессе изучения школьного курса математики.
Ключевые слова: компетенция, компетентность, формирование базисной компетентности,
модель повышения компетентности.
Zhafyarov Acryam Zhafyarovitch
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, correspondent member of RAE, head of the
Department of geometry and Mathematics training methods at the Novosibirsk state Pedagogical University,
nauka2013@rambler.ru, Novosibirsk
THE MODEL OF STUDYING THE TOPIC “QUADRATIC FUNCTION
AND ITS APPLICATIONS” ON THE BASIS
OF COMPETENCE BASED APPROACH
Abstract: Two models of formation of basic competence on the theory of quadratic functions and
their appliances with different scopes of competence are developed. On their basis the author projects
two models of improving mathematical competence on the mentioned topic in the process of study
the school course of mathematics.
Key words: competence, formation of basic competence, the model of professional competence.
1. Формирование базисных понятий темы
«Квадратичная функция и ее приложения»
Формирование базисных понятий указанной темы будем проводить по принципу
необходимости и достаточности, т. е. число
базисных понятий должно быть минимальным, но достаточным для изучения указанной темы в объеме хотя бы принятых стандартов [10].
В качестве таких понятий возьмем следующие 8 понятий:
1. Квадратичная функция.
2. Квадратные уравнения.
3. Квадратные неравенства.
4. Системы квадратных уравнений.
5. Системы квадратных неравенств.
6. Смешанные квадратные системы.
7. Квадратные совокупности.
8. Равносильность уравнений, неравенств и т.д.
2. Определение понятий компетенция
и компетентность
В последнее время появилось много ра-
бот, посвященных внедрению компетентностного подхода в систему образования. Но
почти во всех работах дается некорректное
определение самого важного понятия – понятия компетенция.
Обратимся к фактам: приведем наиболее
распространенные определения, комментарии к ним с указанием типичных ошибок,
доказательства.
Определение 1. Компетенция – способность применять знания, умения, навыки
и личностные качества для успешной деятельности в различных проблемных профессиональных и жизненных ситуациях;
компетентность – уровень владения совокупностью компетенций, отражающих степень готовности выпускника к применению
знаний, умений, навыков и сформированных
на их основе компетенций для успешной деятельности в определенной. (Федеральные
госстандарты третьего поколения).
Определение компетентности не вызыSiberian pedagogical journal ♦ № 3/ 2014
27
Вопросы воспитания и обучения
вает особого сомнения, хотя оно является представления об этом, то нет и компетеннекорректным: невозможно быть просто ции – деятельности Человечества в области
компетентным, речь может идти только о ИКТ, что противоречит действительности.
компетентности индивидуума в определенПример 2. Об использовании лазерного
ной области деятельности. Первое поня- оружия, размещенного в космосе. В декабре
тие – понятие компетенция не выдерживает 2011 года Правительство назначило главнокритики, т. к. из этого определения следу- командующего воздушно-космическими воет, что компетенция – свойство личности. оруженными силами обороны (опубликоваВ работах отечественных и зарубежных ис- но в газете «Российская газета»). Поскольку
следователей можно встретить следующие более 3,5 млрд людей не знают, что это таформулировки.
кое, то компетенция Человечества – испольОпределение 2. Компетенция – это знание зование космического лазерного оружия – не
и понимание того, как действовать в различ- существует, а мы назначили командующего
ных профессиональных и жизненных ситу- над не существующим объектом.
ациях (проект TUNING Настройка образоТаких контрпримеров можно привести в
вательных структур в Европе). Аналогичное большом количестве. Все они основаны на
замечание можно сделать и здесь.
том, что компетенция – это не свойство личОпределение 3. Компетенции – это сово- ности. Поэтому автор предлагает следуюкупность знаний, умений, навыков и способов щее определение компетенции.
деятельности, необходимых для качественной
Компетенция в данной области деятельпродуктивной деятельности после обучения ности Человечества – это всего лишь на(А. В. Хуторской). То же самое замечание.
звание вида деятельности. Ее сущностью
Определение 4. Компетенция – сово- является то, что Человечество должно быть
купность взаимосвязанных качеств лич- готово решать конкретные проблемы данности (знаний, умений, навыков, способов ной области деятельности.
деятельности), задаваемых по отношению
Из этого определения следует, что компек определенному кругу предметов и процес- тенция относится ко всему человечеству.
сов и необходимых, чтобы качественно проКомпетентностью индивидуума в дандуктивно действовать по отношению к ним ной области деятельности Человечества на(В. В. Краевский, А. В. Хуторской) [15].
зовем уровень владения им соответствуюОпределение 5. Компетенция – опред- щей компетенцией.
меченные в деятельности компетентности
Из этого определения следует, что компеработника; круг вопросов, в которых кто- тентность – это свойство конкретного ченибудь хорошо осведомлен, круг чьих- ловека, она относится только к личности [14].
нибудь полномочий, прав (В. Д. Шадриков)
Понятие компетентности можно опредеИз этих определений следует: если нет у че- лить и относительно учреждений, диссерталовека некоторого качества, то нет и компетен- ционных советов и т. д.
ции. Странная философская интерпретация!
Соответствующим органом в какой-ниИз всех приведенных выше определений будь форме даются определенные полнопонятия компетенция следует, что компетен- мочия конкретному учреждению или отция – это свойство личности. Но легко при- ветственному лицу, т. е. осуществление
вести существенные контрпримеры, опро- определенных видов деятельности – комвергающие это толкование. Здесь уместно петенций. Уровень владения этими компепривести слова И. Ньютона «При изучении тенциями и характеризует компетентность
наук примеры важнее правил».
конкретного учреждения, диссертационного
Пример 1. Из 7 млрд населения Земли бо- совета и т. д. в указанных видах деятельнолее половины не знают что такое ИКТ – ин- сти (компетенциях).
формационно-коммуникационные техноло3. Формирование базисных компетенций
гии, благодаря чему существенно возросла темы «Квадратичная функция и ее прилоскорость удвоения научных результатов.
жения» (БКТКФ)
Сделаем следствие из определений, привеИз восьми базисных понятий данной
денных выше. Поскольку компетенция – свой- темы, рассмотренных в предыдущем пунство личности, а 3,5 млрд людей не имеют кте, целесообразно составить 7 базисных
28
Сибирский педагогический журнал ♦ № 3 / 2014
Upbringing and training questions
Формирование
компетентности
Компетенции
ОЧ
О П
1) соблюдение
законов
Природы;
2) создание
цивилизованного
общества,
совершенного
непротиворечивого
законодательства,
законов
без двойных
стандартов;
3) нравственная
воспитанность
и достижение
этого от
окружающих;
4) толерантность;
5) принятие
обоснованных
решений
1) мотивированность
и склонность;
2) современные
фундаментальные
знания, умение
их применять;
3) самостоятельность,
ответственность,
стремление
к инновационной
и творческой
деятельности;
4) нацеленность на
исследовательскую
и менеджерскую
деятельность,
на разработку
новой продукции
5) позитивная
реакция
на объективную
критику;
6) нацеленность
на продолжение
образования,
самообразования
и личностное
развитие
Методы
и приемы
БКТКФ
1) квадратичная
функция
2) квадратные
уравнения
3) квадратные
неравенства
УЧАЩИХСЯ,
4) системы
квадратных
уравнений
5) системы
УЧИТЕЛЕЙ,
квадратных
неравенств
6) смешанные
системы
7) совокупности СТУДЕНТОВ8) равносильность
ПЕДАГОГОВ
1) индивидуализация
2) дифференциация
3) деятельностный
подход
4) ИКТ –
информационнокоммуникационные
технологии
5) организация
самостоятельной
работы,
инновационной
и творческой
деятельности
6) обеспечение
образовательного
процесса:
а) компетентными
педагогическими
кадрами;
б) научной
и учебнометодической
литературой
в) современными
техническими
средствами обучения
Экспертиза сформированности компетентности
по компетенциям: общечеловеческим, общепрофессиональным
и базисным теории квадратичной функции и ее приложений
нет
да
Сформирована компетентность по компетенциям:
общечеловеческим, общепрофессиональным
и базисным теории квадратичной функции и ее приложений
Рисунок 1 – Общая модель Ф-О ТКФ. Формирование компетентности
по компетенциям: общечеловеческим, общепрофессиональным
и БКТКФ – базисным теории квадратичной функции и ее приложений
компетенций указанной темы. Базисная
компетенция темы (предмета), как известно,
состоит из одного или нескольких базисных
понятий.
Автор предлагает следующий алгоритм
составления базисных компетенций.
Первая базисная компетенция БК-1 состоит только из первого базисного понятия
БП-1 – квадратичная функция: БК-1 = БП-1.
Последующие
базисные
компетенции БК-i = БП-i + БП-8, i ∈ 2, 3, ...7. Иначе говоря, базисные компетенции БК-2, ...,
Siberian pedagogical journal ♦ № 3/ 2014
29
Вопросы воспитания и обучения
Формирование
компетентности
Компетенции
ПУ
1) мотивированность
и направленность;
2) современные
знания предмета
и истории его развития;
3) умение применять
знания для решения
задач,
4) владение
методикой
преподавания
и культурой
педагогического
общения,
5) готовность
к инновационной
и творческой
деятельности,
6) нацеленность
к профессиональному
самосовершенствованию
и личностному
развитию,
7) умение достигать
поставленной цели,
8) большая
работоспособность
и стрессоустойчивость
Методы
и приемы
БКТКФ
1) квадратичная
функция
2) квадратные
уравнения,
равносильность
3) квадратные
неравенства,
равносильность
4) системы
квадратных
уравнений,
равносильность
5) системы
квадратных
неравенств,
равносильность
6) смешанные
системы,
равносильность
1) индивидуализация
2) дифференциация
3) деятельностный
подход
4) ИКТ –
УЧАЩИХСЯ, информационнокоммуникационные
технологии
5) организация
УЧИТЕЛЕЙ, самостоятельной
работы,
инновационной
и творческой
СТУДЕНТОВ- деятельности
6) обеспечение
образовательного
процесса:
ПЕДАГОГОВ а) компетентными
кадрами;
б) литературой
в) современными
техническими
средствами обучения
7) совокупности,
равносильность
Экспертиза сформированности компетентности
по компетенциям профессии учителя
и базисным теории квадратичной функции и ее приложений
нет
да
Сформирована компетентность
по компетенциям профессии учителя
и базисным теории квадратичной функции и ее приложений
Рисунок 2 – Модель Ф-У ТКФ. Формирование компетентности по компетенциям
профессии учителя и базисным теории квадратичной функции и ее приложений
БК-7 состоят из двух базисных понятий: из
БП-2, ..., БП-7 соответственно. и к ним добавляется равносильность.
Например, БК-2 – квадратичные уравне30
Сибирский педагогический журнал ♦ № 3 / 2014
ния, равносильность. Существенно уделяем
внимание понятию равносильности двух математических объектов, т. к. без равносильности нет и математики.
Upbringing and training questions
Повышение
математической компетентности
Компетенции
ОЧ
О П
1) соблюдение
законов
Природы;
2) создание
цивилизованного
общества,
совершенного
непротиворечивого
законодательства,
законов
без двойных
стандартов;
3) нравственная
воспитанность
и достижение
этого от
окружающих;
4) толерантность;
5) принятие
обоснованных
решений
1) мотивированность
и склонность;
2) современные
фундаментальные
знания, умение
их применять;
3) самостоятельность,
ответственность,
стремление
к инновационной
и творческой
деятельности;
4) нацеленность на
исследовательскую
и менеджерскую
деятельность,
на разработку
новой продукции
5) позитивная
реакция
на объективную
критику;
6) нацеленность
на продолжение
образования,
самообразования
и личностное
развитие
Методы
и приемы
Базисные
Темы
БКТКФ
Смежных тем
и дисциплин
1) квадратичная 1)
.
функция
.
2) квадратные
.
уравнения,
.
равносильность .
3) квадратные
.
неравенства,
.
равносильность n )
4) системы
квадратных
уравнений,
равносильность
5) системы
квадратных
неравенств,
равносильность
6) смешанные
системы,
равносильность
7) совокупности,
равносильность
1) индивидуализация
2) дифференциация
3) деятельностный
подход
4) ИКТ –
информационноУЧАЩИХСЯ, коммуникационные
технологии
5) организация
самостоятельной
УЧИТЕЛЕЙ, работы,
инновационной
и творческой
деятельности
6) обеспечение
СТУДЕНТОВ- образовательного
процесса:
а) компетентными
педагогическими
ПЕДАГОГОВ кадрами;
б) научной
и учебнометодической
литературой
в) современными
техническими
средствами
обучения
Экспертиза повышения математической компетентности
по компетенциям: общечеловеческим, общепрофессиональным
и базисным теории квадратичной функции
и смежных дисциплин специальности
нет
да
Повышена математическая компетентность
по компетенциям: общечеловеческим, общепрофессиональным
и базисным теории квадратичной функции
и смежных дисциплин специальности
Рисунок 3 – Модель П-О ТКФ. Общая модель повышения математической компетентности
по компетенциям: общечеловеческим, общепрофессиональным и базисным теории
квадратичной функции и смежных дисциплин специальности
Дадим перечень оставшихся базисных
компетенций.
БК-3 – квадратные неравенства, равносильность;
БК-4 – системы квадратных уравнений,
равносильность;
БК-5 – системы квадратных неравенств,
равносильность;
БК-6 – смешанные системы, равносильность;
БК-7 – совокупности, равносильность.
Замечание 1. Формирование компетентности по каждой базисной компетенции
темы «Квадратичная функция и ее приложения» проводится на основе принципа 3, т. е.
по схеме (алгоритму):
Siberian pedagogical journal ♦ № 3/ 2014
31
Вопросы воспитания и обучения
Повышение
математической компетентности
Компетенции
ПУ
1) мотивированность
и направленность;
Темы
БКТКФ
2) современные знания
предмета и истории
его развития;
1) квадратичная
функция
3) умение применять
знания для решения задач;
2) квадратные
уравнения,
равносильность
4) владение методикой
преподавания и культурой
педагогического общения,
5) готовность
к инновационной
и творческой деятельности,
6) нацеленность
к профессиональному
самосовершенствованию
и личностному развитию,
7) умение достигать
поставленной цели,
8) большая
работоспособность
и стрессоустойчивость
Методы
и приемы
Базисные
3) квадратные
неравенства,
равносильность
4) системы
квадратных
уравнений,
равносильность
5) системы
квадратных
неравенств,
равносильность
Смежных тем
и дисциплин
1)
.
.
.
.
.
.
.
n)
УЧАЩИХСЯ,
УЧИТЕЛЕЙ,
СТУДЕНТОВ-
ПЕДАГОГОВ
6) смешанные
системы,
равносильность
7) совокупности,
равносильность
1) индивидуализация
2) дифференциация
3) деятельностный
подход
4) ИКТ –
информационнокоммуникационные
технологии
5) организация
самостоятельной
работы,
инновационной
и творческой
деятельности
6) обеспечение
образовательного
процесса:
а) компетентными
педагогическими
кадрами;
б) научной
и учебнометодической
литературой
в) современными
техническими
средствами
обучения
Экспертиза повышения математической компетентности
по компетенциям: общечеловеческим, общепрофессиональным
и базисным теории квадратичной функции
и смежных дисциплин специальности
нет
да
Повышена математическая компетентность
по компетенциям: общечеловеческим, общепрофессиональным
и базисным теории квадратичной функции
и смежных дисциплин специальности
Рисунок 4 – Модель П-У ТКФ. Повышение математической компетентности
по компетенциям профессии учителя и базисным теории квадратичной функции
и смежных дисциплин специальности
1) теория;
2) учим мыслям;
3) «учить мыслить»;
4) учим и мыслям, и мыслить.
Замечание 2. Под теорией подразумеваем
следующее:
а) знание определения квадратичной функции и связанных с ней вспомогательных по32
Сибирский педагогический журнал ♦ № 3 / 2014
нятий типа: нули функции, положительные
и отрицательные значения функции и т. д.
б) умение применять знания для решения
стандартных, нестандартных и практико
ориентированных задач;
в) владение знаниями и умениями в совокупности, как для постановки проблем, так
и для их решения.
Upbringing and training questions
Пункт 2) «учим мыслям» реализуется в гическое образование и наука. – 2011. – № 8. –
книгах автора под рубрикой «демостраци- С. 64–68.
6. Жафяров А. Ж. Компетенции школьного
онные примеры». Здесь приводится широкий набор типовых задач с решениями. Это курса алгебры // Педагогические заметки: научный журнал. Российская академия образования.
целесообразно, т. к. не усвоив достигнутых
Институт пед. исследований одаренности дечеловечеством результатов, трудно сразу по- тей. – Т. 2. – Вып. 1. – 2009. – С. 3–17.
лучить новые результаты.
7. Жафяров А. Ж. Компетенции школьного
Пункт 3) «учит мыслить» реализуется с курса Планиметрии // Педагогические заметки. –
помощью задач для самостоятельного ре- Т. 4. – Вып. 1. – Новосибирск: Изд-во ИПИО РАО,
шения. За счет самостоятельного решения 2011. – С. 20–29.
8. Жафяров А. Ж. Методология и технология
задач формируем ответственность, самостоятельность, готовность к инновационной повышения компетентности учителей, студентов
и учащихся по теме «Делимость целых чисел»:
деятельности.
монография. – Новосибирск: Изд. НГПУ, 2012. –
Пункт 4) «учим и мыслям, и мыслить» ре218 с.
ализуется с помощью творческих заданий.
9. Жафяров А. Ж. Методология и технология
Такие задания рекомендованы, в первую повышения компетентности учителей студентов
очередь, детям, одаренным в области мате- и учащихся по теме «Линейная функция и ее
матики. Выполнение творческих заданий приложения»: монография. – Новосибирск: Изд.
способствует формированию творческой НГПУ, 2013. – 279 с.
10. Жафяров А. Ж. Модели формирования и
личности (главная цель). Кроме того, создаются педагогические условия для создания повышения компетентности в процессе изучения
богатого портфолио, дающее преимущество темы «Линейная функция и ее приложения» //
Сибирский педагогический журнал. – 2013. –
при поступлении в вуз.
№ 3. – С. 153–159.
4. Модели формирования и повышения
11. Жафяров А. Ж. Технология подготовки к
математической компетентности по рас- ЕГЭ по математике в условиях профильного обсматриваемой теме (см. рисунок 1–4)
учения на основе базисной компетентности //
Библиографический список
1. Жафяров А. Ж. Алгоритм и принципы изучения линейной функции на компетентностной
основе // Информация и образование: границы
коммуникации: сборник научных трудов. – Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2013. – № 5 (13). –
С. 16–21.
2. Жафяров А. Ж. Алгоритм и принципы изучения темы «Делимость целых чисел» на компетентностной основе // Сибирский педагогический журнал. – 2013. – № 5. – С. 134–143.
3. Жафяров А. Ж. Компетентностные модели изучения темы о линейной функции и ее
приложениях // ВЕСТНИК Новосибирского государственного педагогического университета. –
2012. – № 5. – С. 37–48.
4. Жафяров А. Ж. Компетентностные модели
развития детей, одаренных в области математики // Сибирский педагогический журнал. – 2012. –
№ 3. – С. 192–201.
5. Жафяров А. Ж. Компетентностный подход
к изучению школьного курса алгебры // Педаго-
Педагогические заметки: научный журнал.
Российская академия образования. Институт
пед. исследований одаренности детей – Т. 2. –
Вып. 2. – 2009. – С. 3–10.
12. Жафяров А. Ж. Философские противоречия в интерпретациях понятий «компетенция»
и «компетентность» // Философия образования. –
2012. – № 1 (40). – С. 163–169.
13. Жафяров А. Ж. Философско-методологические аспекты компетентностного подхода
в образовании // Математика и информатика
в современном мире: сборник материалов Образовательного саммита математиков и информатиков. – Якутск: СМИК-Мастер. Полиграфия,
2012. – С. 244–246.
14. Жафяров А. Ж. Профильное обучение математике старшеклассников: учебно-дидактический комплекс. – Новосибирск: Сиб. унив. изд-во,
2003. – 468 с.
15. Краевский В. В. Основы обучения.
Дидактика и методика: учебное пособие /
В. В. Краевский, А. В. Хуторской. – М.: Академия, 2007. – 352 с.
Siberian pedagogical journal ♦ № 3/ 2014
33