ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА МАКСВЕЛА (№19)

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №19
ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА МАКСВЕЛА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: ознакомиться со сложным движением твердого тела
на примере движения маятника Максвелла.
Определить момент инерции маятника Максвелла.
ОБОРУДОВАНИЕ: специальная установка.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Различают два вида основных движений твердого тела — поступательное и вращательное. При поступательном движении все точки
тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и
ускорения всех точек в каждый момент времени оказывается одинаковым. Поэтому достаточно определить движение одной из точек
тела (например, его центра масс) для того, чтобы охарактеризовать
движение всего тела. При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и
той же прямой, называемой осью вращения. Для описания вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.
Оказывается, что любое движение твердого тела может быть
представлено как наложение двух указанных выше основных видов
движения. Одним из этих видов движения является так называемое
плоское движение. Движение тела называется плоским, если каждая
его частица в процессе движения все время остается в одной и той же
неизменной плоскости. Так, плоское движение совершает тело,
скользящее по произвольной траектории на горизонтальной плоскости. Цилиндр, скатывающийся с наклонной плоскости, также совершает плоское движение. Изучение плоского движения твердых тел
является сравнительно несложной задачей.
Назвав систему отсчета, относительно которой мы рассматриваем сложное движение твердого тела, неподвижной, движение тела
можно представить как вращение с угловой скоростью ω в системе
отсчета, которая движения относительно неподвижной системы поступательно со скоростью υо. Следовательно, скорость точки при
сложном движении может быть представлена в виде υ = υ0 + [ω , r].
Элементарное перемещение твердого тела при плоском движении можно представить как поворот вокруг некоторой оси, называемой мгновенной осью вращения. Эта ось может лежать в пределах
тела, либо вне его. Положение мгновенной оси вращения относительно самого тела и неподвижной системы отсчета, вообще говоря, меняется со временем. В случае катящегося цилиндра мгновенная ось
совпадает с линией касания цилиндра с плоскостью.
Скорости всех точек тела для каждого момента времени можно
считать обусловленными вращением вокруг соответствующей мгновенной оси. Следовательно, плоское движение твердого тела можно
рассматривать как ряд последовательных элементарных вращений вокруг мгновенных осей.
При неплоском движении элементарное передвижение тела
можно представить как поворот вокруг оси мгновенной лишь в том
случае, если векторы υ0 и ω взаимно перпендикулярны. Если угол
между этими векторами отличен от , движение тела в каждый момент времени будет наложением двух движений — вращения вокруг
некоторой оси и поступательного движения вдоль этой оси.
В динамике вращательного движения вместо силы рассматривают момент силы относительно оси вращения или центра вращения.
Модуль момента силы M относительно оси вращения равен произведению силы на плечо ℓ, т.е. M = F  ℓ.
Направление вектора момента силы определяется по правилу
правого буравчика. Если вместо плеча силы ℓ воспользоваться радиусом-вектором r точки приложения силы относительно оси вращения,
то М = [r , F].
Угловое ускорение вращающегося тела зависит не только от массы вращающегося тела, но и от распределения массы относительно
оси вращения. Поэтому в динамике вращательного движения вместо
массы рассматривают момент инерции тела. Твердое тело можно
представить как систему материальных точек. Скалярную величину
∆mί r2ί, равную произведению массы материальной точки на квадрат
расстояния ее от оси вращения, называют моментом инерции материальной точки относительно этой оси. Сумму моментов инерции всех
точек тела относительно оси вращения называют моментом инерции
тела относительно этой же оси
I = Σ∆mί r2ί.
Момент инерции — аналог массы. Как масса — мера инертности при поступательном движении, так и момент инерции — мера
инертности при вращательном движении. При вращении тела вокруг
различных осей моменты инерции различны. Величина момента
инерции относительно какой-либо оси определяется пространственным распределением элементарных масс тела — т.е. геометрией масс.
Аналитическое вычисление момента инерции производится путем
интегрирования выражения:
I   r 2  dV ,
где ρ – плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на
расстоянии r от оси вращения.
При сложной форме поверхности, ограничивающей тело, или
неравномерном распределении плотности, аналитический подсчет величины момента инерции может быть сложной задачей.
Экспериментальное определение момента инерции осуществимо достаточно легко. Кинетическая энергия твердого тела, совершающего произвольное плоское движение, состоит из кинетической энер-
mv02
, и кинетиче2
I 2
''
ской энергии его вращения около центра масс C, равной Wêèí

2
2
2
mv0 I 
,
т.е. полное ее значение равно Wêèí 

.
2
2
гии его поступательного движения, равной
'
Wêèí

Описание установки.
На рис. 1 схематически изображена установка с маятником
Максвелла (вид сбоку).
Рис.1. Экспериментальная установка:
1 – основание;
2 – верхний кронштейн;
3 – нижний кронштейн;
4 – электромагнит;
5 – крепление подвеса;
6 – подвес бифилярный;
7 – диск на оси;
8 – сменное кольцо;
9 – электронный миллисекундомер;
10 – вертикальная стойка со шкалой.
Маятник Максвелла представляет собой диск, закрепленный на оси,
подвешенной на бифилярном подвесе. На диск крепятся сменные
кольца. Маятник со сменным кольцом фиксируется в верхнем исходном положении с помощью электромагнита. На вертикальной стойке
нанесена миллиметровая шкала, по которой определяется ход маятника. Фотодатчик закреплен на нижнем кронштейне и предназначен для
выдачи электрических сигналов на миллисекундомер.
Принцип работы маятника Максвелла основан на том, что поднятый на высоту h маятник, обладающий массой m, будет иметь потенциальную энергию mgh. После отклонения электромагнита маятник начнет раскручиваться, и его потенциальная энергия будет переходить в кинетическую. На основании закона сохранения механической энергии
mgh 
mv02 I  2
,

2
2
(1)
и из уравнения (1) получаем
I m
v 2  gh 
2 1
 2  v 2 

(2)
Учитывая, что υ0 = ωR0
и
υ2 = 2ah,
(3)
где R0 — радиус оси маятника, a = — ускорение, с которым
опускается маятник, получаем выражение для экспериментального
расчета момента инерции маятника
 gt 2  ,
 1
2
h


I  mR02 
(4)
здесь t — время падения маятника.
Задавая величину h и измеряя соответственные времена падения
t, можно определить значение момента инерции I.
Теоретическое значение момента инерции определяем по формуле
I = mоси R02 + mдиска R2диска + mкольца (R22 – R12), (5)
где R1 и R2 - внутренний и внешний радиусы сменного кольца.
Ускорение, с которым движется маятник Максвелла, рассчитывается по формуле
a=
mg
m  I / R02
(7)
(Вывод смотри в учебном пособии Хайкин С.Э. Физические
основы механики.—М.:Наука, 1971.— §94 или Матвеев А.М. Механика и теория относительности. —М.: Высшая школа, 1986.— §34).
Это значение ускорения нужно сопоставить с найденным по
формуле
а =
(8)
Попробуем произвести учет момента силы трения нити Мтр. При
опускании маятника Максвелла, имеющего массу m, с высоты h на
полную длину нити его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию и работу против сил трения
mgh = Wкин + φMтр,
(9)
где φ — полный угол поворота колеса. После того как диск опустится на полную длину нити h, он будет продолжать вращаться и
нить начнет наматываться на ось. В результате маятник Максвелла
поднимется на максимальную высоту h1 < h. Очевидно,
Wкин = mgh1 + φ1Mтр,
(10)
где φ1 — полный угол поворота диска при подъеме маятника. Учитывая, что h = R0φ, и h1 = R0φ1 , получаем
Mòð 
mgR0 (h1  h2 )
h1  h2
(11)
Эта формула позволяет оценить величину момента силы трения
после однократного подъема маятника, но, если h1 близко к h2, оценка
будет достаточно грубой. Получите самостоятельно формулу (12) для
расчета Mтр после нескольких последовательных подъемов маятника
и сравните результаты измерений по формулам (11) и (12).
Можно ли оценить величину силы трения? Как? Проведите расчет.
ИЗМЕРЕНИЯ
План выполнения упражнения разработайте самостоятельно.
При измерении следите за тем, чтобы нить подвеса навивалась на
ось виток к витку, а так же за тем, чтобы нижний край среза сменного
кольца маятника (в нижнем положении) находился на 4-5 мм ниже
оптической оси фотодатчика, при этом ось маятника должна занимать
горизонтальное положение. Если при раскручивании маятник совершает боковые колебательные движения, то сменное кольцо насажено
на диск не до упора. Если при закручивании маятника одна из нитей
бифилярного подвеса наматывается на ось не к центру, а к краю, то
ось маятника в свободном состоянии расположена не горизонтально
(нити бифилярного подвеса имеют разную длину).
Данные измерений занесите в таблицу. Основываясь на расчетах
по формулам (4), (6), (7), (8), сделайте вывод по работе.
Контрольные вопросы
1. Какая величина называется моментом силы относительно некоторой точки? Что такое плечо силы?
2. Какая величина называется моментом инерции тела относительно оси?
3. Откуда следует, что момент инерции тела равен сумме моментов
инерции отдельных его частей?
4. Какое движение тела называется плоским?
5. Какую ось называют «мгновенной осью вращения»?
6. Почему установка называется маятником Максвелла?
7. Выведите формулу (7).
8. Почему для плоского движения целесообразно уравнение движения и уравнение моментов записывать относительно точки, через
которую проходит центральная главная ось, перпендикулярная
плоскости движения?
9. Обруч диаметром d скатывается с наклонной плоскости высотой
h. Какова скорость обруча при выходе на горизонтальную плоскость? Трение не учитывать.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
Стрелков С.П. Механика. — М.:Наука, 1975.— §§52, 57, 58, 59.
Хайкин С.Э. Физические основы механики. — М.:Наука, 1971.—
§§88, 89, 94.
Сивухин Д.В. Общий курс физики: В 5 т. Т.1. Механика.—М.:
Наука,1979.— §§36, 45, 46, 47, 48.
Савельев И.В.Курс общей физики: В 3 т. Т.1.—М.:Наука, 1977.—
§§38, 39, 41, 42, 43.