L_r_12 - Учебники в электронном виде

Лабораторная работа № 12
Определение постоянной Ридберга и энергетических уровней
атома водорода
Цель работы: Исследование серии Бальмера спектра атома водорода с помощью
дифракционной решетки. Определение постоянной Ридберга и энергетических уровней
атома водорода.
Теоретическая часть
Строго говоря, энергетические уровни атома водорода En определяются решением
квантовых уравнений с кулоновским потенциалом: в нерелятивистском приближении –
решением уравнения Шрёдингера, а в релятивистском приближении с учетом спина электрона – решением уравнения Дирака. Вместе с тем эти уровни могут быть определены и с
помощью теории Бора атома водорода, хотя эта теория, в частности, дает неточный результат для момента импульса атома в основном состоянии и не позволяет вычислить интенсивность спектральных линий.
Полуклассическая теория Бора описывает свойства атома водорода и водородоподобных ионов (один электрон в поле ядра Ze). В основе модели лежат постулаты Бора:
1) Электроны могут двигаться только по определенным стационарным орбитам в
соответствии с классическими уравнениями движения и, находясь на этих орбитах, не излучают энергии. Момент импульса электрона на стационарной орбите может принимать
только дискретные значения Ln  n 
h
. Для круговых орбит правило квантования при2
нимает вид:
me v n rn  n
h
n  1, 2, 3, 
2
(1)
2) Излучение или поглощение квантов электромагнитного излучения происходит
только при переходе с одной стационарной орбиты на другую:
h  h
c
 En  Em .

(2)
Здесь h – постоянная Планка, me – масса электрона, rn и vn – соответственно радиус круговой орбиты с номером n и скорость электрона на этой орбите, ω и λ – циклическая частота
и длина волны излучения, с – скорость света в вакууме. Число n называется главным
квантовым числом.
Для движения электрона по круговой орбите атома водорода используем правило
квантования (1) и уравнение движения (второй закон Ньютона):
v 2n
1 e2
me

. .
rn 40 rn2
Из этих уравнений находим радиус n-й орбиты и скорость электрона на ней:
0h2n2
,
rn 
me e 2
e2
.
vn 
20 hn
(3)
В этих уравнениях me – масса электрона, e– элементарный заряд, ε0 – электрическая постоянная. Энергия электрона на n-й орбите:
me v 2n
me e 4 1
1 e2
En 

  2 2  2 .
2
40 rn
8 0 h n
(4)
Длина волны излучения, испускаемого атомом водорода, может быть определена в
соответствии с выражением:
 1
1  me e 4  1
1 
1 
  2 3  2  2   R 2  2  ,
 c 8 0 h c  n2 n1 
 n2 n1 
(5)
где величина
R
me e 4
 1,0973  10 7 м 1
2 3
8 0 h c
(6)
называется постоянной Ридберга. n1 – номер начального состояния, n2 – номер конечного
состояния электрона.
Формула (5) носит название обобщенной формулы Бальмера. Диаграмма энергетических состояний атома водорода представлена на рис.1.
Линии водорода с
n2  1 и n1  2, 3,  образуют серию Лаймана (ультрафиолетовая область), линии с
n2  2 и n1  3, 4,  – серию Бальмера (от красной области до ультрафиолетовой), линии с
n2  3 и n1  4, 5,  – серию Пашена (инфракрасная область), далее следуют серии линий
в инфракрасной области спектра.
Отметим, что энергия связи или энергия ионизации – это энергия, которую необходимо сообщить электрону в основном состоянии (n = 1), чтобы удалить его из атома. Для
атома водорода получаем
E1  Rhc  13,6 эВ .
2
(7)



Рис.1. Диаграмма энергетических уровней атома водорода:
Серия Лаймана – ультрафиолетовая область – переходы на уровень с n  1 ;
Серия Бальмера – от ультрафиолетовой области до красной – переходы на уровень с n  2 ;
Серия Пашена – инфракрасная область – переходы на уровень с n  3 .
Экспериментальная часть
Для наблюдения спектра атома водорода и определения его энергетических уровней используется экспериментальная установка, внешний вид которой представлен на
рис.2. В ее состав входят наполненная водородом газоразрядная лампа 1 в защитном чехле
(спектральная трубка), которая закреплена изолирующими держателями на штативе, источник высокого напряжения 2, дифракционная решетка 3, имеющая 600 штр/мм, измерительная шкала с курсорами 4, измерительная рулетка.
К электродам трубки, расположенным на ее концах, присоединяются провода от источника высокого напряжения, позволяющего подавать напряжение в диапазоне 0 – 10 кВ. В
спектральной трубке молекулы водорода при столкновениях друг с другом распадаются на
атомы, и поэтому спектр испускаемого электромагнитного излучения соответствует атомарному водороду.
Схема эксперимента показана на рис.3. Непосредственно за трубкой располагается
измерительная шкала. Дифракционная решетка устанавливается строго параллельно измерительной шкале на одной высоте со щелью в кожухе спектральной трубки. Расстояние
между решеткой и шкалой s устанавливается в пределах от 40 до 50 см.
3
Рис.2. Экспериментальная установка для исследования спектра атома водорода.
1 – спектральная трубка; 2 – источник высокого напряжения;
3 – дифракционная решетка; 4 – измерительная шкала.
Рис.3. Схема эксперимента.
При падении возбуждаемого в трубке излучения на дифракционную решетку происходит дифракция: для излучения с длиной волны λ максимумы интенсивности наблюдаются для углов дифракции α, определяемых соотношением
dsin   n ,
(8)
где d – период решетки, n  0,  1,  2, .... – порядок дифракционного максимума.
Слегка затемнив помещение (так, чтобы была различима шкала), следует наблюдать трубку и измерительную шкалу сквозь дифракционную решётку, как это показано на
4
Рис.3. При таких условиях наблюдатель должен увидеть наложение четкой дифракционной картины на измерительную шкалу. Пара линий одного цвета справа и слева от трубки
должна быть видна глазу без поворота головы. Это позволяет измерить расстояние между
ними 2l.
Исходя из геометрических построений (рис.3) при n  1 имеем
l
sin  
s  l2
2
,
где s – расстояние от шкалы до дифракционной решетки, а l – половина расстояния между максимумами первого и минус первого порядков для одной и той же длины волны.
Подставив в (8), получим выражение для длины волны:
l
d
s  l2
2
.
(9)
Методика выполнение работы
Выполнение работы начните с изучения экспериментальной установки (см. рис.2).
Для наблюдения спектра атома водорода включите источник высокого напряжения (рис.2,
поз.2) выключателем, расположенным на его задней стенке. Высокое напряжение с двух
нижних клемм 4 (рис.4) этого источника подается на спектральную трубку. Вращением по
часовой стрелке ручки 2 регулировки напряжения добейтесь зажигания спектральной
трубки, которое происходит при напряжении от 2 до 4 кВ. Величина этого напряжения
измеряется вольтметром 1 (рис.4).
Рис.4. Передняя панель источник высокого напряжения
1 – вольтметр; 2 – ручка регулировки напряжения;
3 – ручка переключения диапазонов напряжения; 4 – клеммы.
Наблюдение спектральных линий серии Бальмера проводится в соответствии со
схемой, представленной на рис.3. При этом хорошо выявляются три пары спектральных
линий – красного, зелено-синего и фиолетового цвета.
5
Измерьте расстояние s между решеткой и шкалой с помощью измерительной рулетки и расстояние 2l между дифракционными максимумами первого и минус первого порядков для каждой пары линий, используя для этого курсоры измерительной шкалы
(рис.2, поз.4).
Выключите источник высокого напряжения, предварительно установив ручку регулировки напряжения в крайнее положение, вращая ее против часовой стрелки.
Вычислите длины волн в соответствии с соотношением (9), приняв постоянную
решетки d  1,67  0,01 мкм . Определите погрешности измерения, пользуясь формулой:
 d l s



.

d
l
s
(10)
Используя соотношение (5) при n2  2 и n1  3, 4,5 , вычислите постоянную Ридберга, ее среднее значение и погрешность. Сравните полученный результат с табличным значением. Сделайте вывод.
Результаты измерений и вычислений внесите в таблицу.
Таблица
Цвет линии
s, мм
2l, мм
λ, нм
Δλ, нм
R, м -1
ΔЕ, эВ
Используя рис.1 и найденные значения ΔЕ для соответствующих переходов, вычислите значения уровней энергии для n1 = 3, 4, 5. Сравните экспериментальные результаты с теоретическими значениями, показанными на рис.1.
При проведении вычислений используйте следующие справочные данные:
Постоянная Планка
h  6,6262 10 34 Джс;
Скорость света в вакууме
с  2,9979 108 м/с;
Электрическая постоянная  0  8,8542 10 12 Ф/м;
Заряд электрона
e  1,6022 10 19 Кл;
Масса электрона
me  0,91095 10 30 кг.
6
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте постулаты Бора.
2. Получите формулу (4) исходя из теории Бора для атома водорода.
3. Что называется серией Бальмера?
4. Что такое энергия связи?
5. Напишите условие главных максимумов для дифракционной решетки.
Расчетное задание

Используя формулы (3) и (4) вычислите с точностью до четырех значащих цифр Боровский радиус орбиты и энергию электрона для уровня с номером n  A  B  1 , где
A – номер бригады, а B – последняя цифра в номере группы студента.

С помощью формулы (5) вычислите с точностью до четырех значащих цифр длины
волн первых четырех линий серии Бальмера, соответствующих n2  2 и n1  3, 4, 5, 6 .
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Астрель, АСТ. 2001 – кн.5, §§3.2, 3.6,
5.2, 5.11.
7