С.А. Тарасенко Эффект Шубникова – Де Гааза в структурах
реклама
28 ФИЗИКЛ РЕВЬЮ ЭФФЕКТ ШУБНИКОВА – ДЕ ГААЗА В СТРУКТУРАХ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ С.А. Тарасенко Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе Российской Академии Наук 1 ö p2 æ E N ,pz = hwc ç N + ÷ + z , 2 ø 2m è Тарасенко Сергей Анатольевич, аспирант ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН, сектор теории квантовых когерентных явлений. Область научных интересов — оптические и транспортные свойства полупроводниковых гетероструктур. I. Осцилляции магнетопроводимости в объемных материалах В магнитном поле в структурах с вырожденным электронным газом при низких температурах возникают осцилляции различных термодинамических и кинетических коэффициентов: теплоемкости, магнитной восприимчивости, проводимости, теплопроводности, коэффициента поглощения ультразвука и т.д. Общая для всех этих эффектов причина осцилляций состоит в последовательном пересечении уровня Ферми уровнями Ландау в квантующем магнитном поле. Наиболее распространенный метод изучения квантовых осцилляций в проводящих системах — наблюдение осцилляций проводимости (сопротивления) в магнитном поле. Это явление — эффект Шубникова – де Гааза — впервые было обнаружено при исследовании магнетосопротивления монокристаллов Bi в области низких температур в 1930 году. Результаты экспериментов, выполненных в интервале температур 11.3¸77.4 К, произвели на авторов большое впечатление. Была обнаружена осциллирующая «поразительно сложная» зависимость холловского сопротивления от магнитного поля, при азотных температурах осцилляции не наблюдались [1]. Для пояснения причин осцилляций рассмотрим объемный образец с вырожденным электронным газом при нулевой температуре. В магнитном поле происходит квантование носителей заряда в плоскости, перпендикулярной направлению поля. В случае простой зоны проводимости энергия электрона, находящегося на N-ом уровне Ландау и обладающего в направлении поля импульсом pz, имеет вид (1) где h — постоянная Планка, wc = eH / mc — циклотронная частота, H — величина магнитного поля (предполагается, что поле направлено по оси z), m и e — соответственно эффективная масса и заряд электрона, c — скорость света. Образование подзон Ландау приводит к появлению осцилляций в плотности электронных состояний n(E) (см. рис.1), максимумы n(E) находятся вблизи E = hwc (N + 1/ 2). В реальных структурах всегда существует рассеяние, которое «размывает» электронные состояния, что приводит к «сглаживанию» пиков плотности состояний. В нашем случае соответствующим параметром является wct, где t — характерное время релаксации носителей. В слабых магнитных полях (wct<<1) рассеяние «усредняет» квантование в магнитном поле и осцилляции плотности состояний не наблюдаются. В сильных полях (wct>>1) квантование в магнитном поле хорошо проявляется. Кинетические параметры (в том числе и проводимость) структуры с вырожденным электронным газом определяются электронами, находящимися на поверхности Ферми, т.е. с энергией E N ,pz = m. Поэтому и значение плотности состояний на поверхности Ферми n(m) влияет на эти параметры. При увеличении магнитного поля уровни Ландау сдвигаются, максимумы и минимумы плотности состояний последовательно оказываются на уровне Ферми, что и приводит к появлению осцилляций в проводимости. Кроме того, с ростом магнитного поля увеличивается параметр wct, что приводит к нарастанию амплитуды осцилляций. Легко видеть, что частота осцилляций в обратном поле пропорциональна m. Это позволяет использовать эффект Шубникова – де Гааза для определения концентрации носителей. В объемных структурах осцилляции Шубникова – де Гааза наблюдаются в классически сильных магнит- Рис.1 Плотность состояний в объемном материале в квантующем (черная сплошная кривая) и нулевом (синяя пунктирная) магнитных полях. ФИЗИКЛ РЕВЬЮ ных полях, при wct>>1. При этом осцилляции могут носить несинусоидальный характер, т.е. в спектре может присутствовать несколько гармоник, кратных основной. Большое значение параметра wct позволяет строить теорию эффекта Шубникова – де Гааза в виде разложения по степеням 1/wct. Для расчета тензора проводимости используется формализм матрицы плотности. Эффект Шубникова – де Гааза в объемных материалах широко изучен экспериментально и теоретически и давно уже является надежным инструментом исследования как энергетического спектра, так и кинетических параметров носителей заряда. II. Эффект Шубникова – де Гааза в двумерных системах В последние 10 - 15 лет интерес фундаментальных и прикладных исследований в физике полупроводников сместился от объемных материалов к структурам пониженной размерности. В первую очередь это структуры с квантовыми ямами, в которых движение носителей ограничено в одном направлении. В таких системах происходит квантование носителей вдоль оси роста (в дальнейшем z), перпендикулярной плоскости квантовой ямы. В плоскости xy движение остается инфинитным. Ультраквантовые структуры, в которых заполнен один уровень размерного квантования, являются реальными аналогами двумерных (2D) систем. Поскольку в направлении оси роста движение носителей квантовано, то во внешнем магнитном поле, направленном перпендикулярно плоскости квантовой ямы, спектр электронов становится дискретным 1ö æ E N = hwc ç N + ÷, 2ø è (2) где EN — энергия, отсчитанная от дна зоны размерного квантования. Как и в случае объемного материала, различные процессы рассеяния «размывают» линии спектра. В результате функция плотности состояний n(E) становится непрерывной с максимумами при энергиях, соответствующих уровням Ландау (см. рис.2). Однако в 2D системах осцилляции плотности состояний вблизи уровня Ферми (а следовательно, и осцилляции магнетосопротивления) появляются в меньших магнитных полях, при wct£1. Расчет тензора проводимости в режиме малых осцилляций Шубникова – де Гааза в двумерных системах проводится методом диаграммной техники, поскольку 29 параметр 1/wct не является малым [2]. Диссипативная компонента тензора проводимости имеет вид s xx (H) = (wc t) 2 ne 2 t/ m ìï 1 -2 í 1 + (wc t) 2 ïî 1 + (wc t) 2 üï dý , ïþ (3) где n — концентрация носителей, d — осциллирующая величина æ m d = 2cosçç 2p è hwc ö æ p ö ÷expç ÷ ÷ ç w t ÷. ø è c ø (4) Видно, что период осцилляций в обратном магнитном поле определяется концентрацией носителей, поскольку в двумерном случае n~EF. Малость осциллирующего слагаемого обеспечивается параметром exp(-p/wct). При этом, в отличие от объемного материала, малые осцилляции Шубникова – де Гааза носят гармонический (синусоидальный) характер, кратные гармоники cos(2pkm / hwc ), k=2,3…, экспоненциально малы по параметру exp(-pk/wct). С ростом магнитного поля относительная амплитуда осцилляций возрастает, в спектре появляются кратные гармоники, а при дальнейшем увеличении поля наблюдается квантовый эффект Холла. III. Квазидвумерный эффект Шубникова – де Гааза Качественно новая ситуация возникает в структурах с несколькими заполненными уровнями размерного квантования. Эти так называемые квазидвумерные системы занимают промежуточное место между 2D и 3D структурами. Свойства таких квази-2D структур в значительной мере определяются интенсивностью рассеяния между подзонами размерного квантования, поскольку именно оно обеспечивает переход от двумерных систем к объемным материалам. В квази-2D структурах каждый уровень размерного квантования может дать осцилляции со своим периодом, определяемым заполнением подзоны æ m d a = 2cosçç 2p a è hwc ö æ p ÷expç ÷ ç w t ø è c a ö ÷, ÷ ø (5) где a — номер подзоны размерного квантования, ma — уровень Ферми, отсчитанный от дна a-ой подзоны, ta — полное время релаксации носителей в подзоне. Амплитуды Шубниковских осцилляций определяются как заполнением подзон, так и вероятностью рассеяния, в том числе с переходами на другие уровни [3]. При нулевой температуре диссипативная компонента тензора проводимости имеет вид n a e 2 t a / m ïì (wc t a ) 2 1 -2 da + í 2 1 + (wc t a ) 2 a 1 + (wc t a ) ï î , (6) t a 1 - (wc t a ) 2 ïü +å (d - d a )ý 2 b ïþ b ¹ a t ab 1 + (wc t a ) s xx (H) = å Рис.2 Плотность состояний в двумерной системе в квантующем (черная сплошная кривая) и нулевом (синяя пунктирная) магнитных полях. где na — концентрация носителей в подзоне, tab (a¹b) и taa — времена межподзонного и внутризонного рассеяния. ФИЗИКЛ РЕВЬЮ 30 Согласно соотношению (6), интересной особенностью эффекта Шубникова – де Гааза в квазидвумерной структуре при нулевой температуре является наличие осцилляций с частотой, определяемой заполнением возбужденной подзоны, даже при относительно малом её заполнении. На рис.3 представлена зависимость сопротивления r xx = s xx /(s 2xx + s 2xy ) от магнитного поля для системы с двумя заполненными уровнями размерного квантования. При расчете использовались следующие параметры: m 1 t1 / h = 50, m 2 t 2 / h = 5, t1=t2. Концентрация носителей в возбужденной подзоне выбрана относительно малой, n2/n1=m2/m1=0.1. Рис.3a соответствует случаю интенсивного межподзонного рассеяния (t1/t12=0.5). На фоне высокочастотных осцилляций от основной (глубокой) подзоны хорошо видна низкочастотная гармоника. Если межподзонные переходы подавлены (рис.3b, t1/t12=0.05), то низкочастотные осцилляции имеют относительно малую амплитуду и существуют только в меру заполнения возбужденной подзоны (n2/n1=0.1). Необычным также является температурное поведение магнетоосцилляционных эффектов в квазидвумерных системах. При конечной температуре T кинетические параметры определяются носителями, находящимися вблизи поверхности Ферми в интервале энергий kBT, что приводит к «усреднению» проводимости по m в диапазоне энергий kBT. В случае заполнения только одной подзоны размерного квантования (как и в объемных материалах) такое «усреднение» приводит к затуханию осцилляции Шубникова – де Гааза. Математически это выражается наличием множителя l/sh(l), где l = 2p 2 kB T /(hwc ), в осциллирующей величине d (4). В структурах с несколькими заполненными уровнями размерного квантования основные гармоники (5) также экспоненциально затухают. Однако во втором порядке по параметру exp(-p/wcta) существуют гармоники, которые не имеют температурного затухания [4]. Соответствующий вклад в диссипативную компоненту проводимости имеет вид [5] nd) s(xx =å a æ m a -m b 2cosçç 2p hwc è b ¹ a t ab ´å tb æ 2t n a et a / m é2t a -1 + (wc t a ) 2 çç1 - a 2 2 êt [1 + (wc t a ) ] ë aa è t aa Частоты этих осцилляций определяются энергетическими расстояниями между подзонами, амплитуды — интенсивностью межподзонного рассеяния. Физическая причина существования не затухающих с температурой осцилляций проводимости — осцилляция вероятности межподзонного рассеяния при изменении магнитного поля. В квантующем магнитном поле в режиме эффекта Шубникова – де Гааза плотность состояний в каждой подзоне осциллирует с периодом hwc (см. рис.2). При изменении магнитного поля происходит последовательное (с частотой cos[(m a - m b )/ hwc ]) согласование и рассогласование осцилляций плотности состояний от различных уровней размерного квантования. В результате вблизи уровня химического потенциала m в области температурного размытия фермиевского распределения межподзонное рассеяние идет то интенсивнее, то слабее, что и отражается на проводимости. При нулевой температуре не затухающие с температурой гармоники второго порядка, практически, не видны на фоне основных осцилляций. С ростом температуры относительный вклад этих гармоник возрастает. При дальнейшем увеличении температуры они становятся доминирующими. На рис.4, рис.5 представлены температурные поведения магнетосопротивления rxx структуры с двумя заполненными уровнями размерного квантования. При расчете использовались те же параметры, что и для рис.3 (m 1 t1 / h = 50, m 2 t 2 / h = 5, t1=t2). Рис.4 соответствует случаю интенсивного межподзонного рассеяния (t1/t12=0.5), рис.5 — слабого (t1/t12=0.05). При увеличении температуры от нуля (рис.4a) до T=TD (рис.4b) амплитуды основных гармоник (а следовательно и амплитуды полных осцилляций магнетопроводимости) уменьшаются. Здесь TD = h 2pt1 kB (8) öù ÷ú ÷ øû ö é pæ 1 1 ö÷ù ÷expê- ç + ú, (7) ÷ ç ÷ ø êë wc è t a tb øúû Рис.3 Зависимость сопротивления rxx от магнитного поля при нулевой температуре в условиях эффекта Шубникова – де Гааза при a) интенсивном, b) слабом межподзонном рассеянии. Рис.4 Температурное поведение осцилляций магнетосопротивления квазидвумерной системы при интенсивном межподзонном рассеянии. ФИЗИКЛ РЕВЬЮ — температура Дингля. При дальнейшем увеличении температуры (рис.4c, d) амплитуды осцилляций уменьшаются неэкспоненциально. Это свидетельствует о наличии не затухающих с температурой слагаемых s(nd). При T=2TD амплитуды основных гармоник и не зату(nd) хающих с температурой осцилляций s сравнимы. А так как частоты отличаются всего на 10% ((m1-m2)/m1=0.9), наблюдаются биения. При T=3TD ос(nd) цилляции s доминируют, поэтому при дальнейшем увеличении температуры амплитуда и форма магнетосопротивления не меняется. Если межподзонное рассеяние слабое, то роль второй подзоны при нулевой температуре незначительна — см. рис.5a. С возрастанием температуры роль межподзонного рассеяния эффективно увеличивается, однако это происходит при более высокой температуре, чем в условиях сильного межподзонного рассеяния: для параметров, перечисленных выше, биения возникают при T=3TD (рис.5b). При T=5TD (рис.5c) не затухающие с температурой осцилляции s(nd) доминируют во всём приведенном диапазоне полей. IV. Заключение Экспериментально эффект Шубникова – де Гааза в структурах с двумя заполненными подзонами размерного квантования при низких температурах изучался в работе [6]. Были обнаружены осцилляции cos(m 1 / hwc ) и cos(m 2 / hwc ), что согласуется с нашими расчетами при T=0 . Температурная зависимость осцилляций магнетосопротивления в квази-2D структурах экспериментально исследовалась в работах [7 - 9]. Результаты качественно согласуются с нашими расчетами. Именно, наблюдалось необычное явление — появление не затухающих с температурой осцилляций проводимости на разностной частоте, в то время как основные гармоники пропадали с ростом температуры. Поскольку измерения осцилляций Шубникова – де Гааза — один из основных методов характеризации двумерных проводящих систем, полученные результаты позволяют определять не только концентрации носителей в подзонах, но и кинетические параметры Рис.5 Температурное поведение осцилляций магнетосопротивления квазидвумерной системы при слабом межподзонном рассеянии. 31 структур, такие как времена внутри- и межуровневого рассеяния. Автор благодарен Н.С. Аверкиеву и Л.Е. Голубу за полезные обсуждения. Литература 1. Р.В. Парфеньев, М.Л. Шубников, Чтения памяти А.Ф. Иоффе 1990г., сб. научных трудов, СПб., Наука, 1993. 2. A. Isihara and L. Smreka, J. Phys. C 19, 6777 (1986). 3. Н.С. Аверкиев, Л.Е. Голуб, С.А. Тарасенко, ЖЭТФ 117, 407 (2000). 4. В.М. Поляновский, ФТП 22, 2230 (1988). 5. N.S. Averkiev, L.E. Golub, S.A. Tarasenko, and M. Willander, J. Phys. C, to be published, (см. также С.А. Тарасенко, диссертация на соискание ученой степени магистра, Санкт-Петербургский государственный технический университет, С.-Петербург, 2000). 6. W. de Lange, PhD thesis, Eindhoven University of Technology, The Netherlands, 1993. 7. P.T. Coleridge, Semicond. Sci. Technol 5, 961 (1990). 8. D.R. Leadley, R. Fletcher, R.J. Nicholas, F. Tao, C.T. Foxon, J.J. Harris, Phys. Rev B 46, 12439 (1992). 9. T.H. Sander, S.N. Holmes, J.J. Harris, D.K. Maude, and J.C. Portal, Phys. Rev B 58, 13856 (1998).
