Исследование и анализ кредитных рисков методами актуарной

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики
Кафедра Исследования операций
Магистерская программа «Математическое и информационное обеспечение
экономической деятельности»
Магистерская диссертация
Исследование и анализ кредитных рисков
методами актуарной математики
Работу выполнила
Беляевских Елена Александровна
Дневная форма обучения
Научный руководитель:
Д. ф.-м. н., профессор А.А. Белолипецкий
Москва
2013
Содержание
Аннотация ................................................................................................................ 3
Введение ................................................................................................................... 4
Постановка задачи................................................................................................... 5
Основные понятия актуарной и финансовой математики .................................. 6
Расчет актуарной приведенной стоимости страхования кредита .................... 10
Постоянная интенсивность отказов .................................................................... 12
Модель де Муавра ................................................................................................. 14
Модель Мэйкхема ................................................................................................. 16
Таблицы продолжительности жизни................................................................... 18
Случай m-кратных выплат ................................................................................... 22
Расчеты на основе имеющейся банковской статистики ................................... 27
Модификация модели для кризисной ситуации ................................................ 34
Заключение ............................................................................................................ 37
Список литературы ............................................................................................... 38
2
Аннотация
Работа посвящена проблеме кредитных рисков и возможности их минимизации
посредством страхования. Рассматриваются основные концепции и методы
актуарной математики, применимые к страхованию жизни, и на их основе строится
модель, позволяющая оценить стоимость страхования кредитного риска в
различных условиях. Полученная модель тестируется при помощи банковских
статистических данных, рассматриваются варианты еѐ применения в стабильной и
кризисной экономических ситуациях. Исходя из полученных результатов делаются
выводы о возможностях применения модели на практике.
3
Введение
В современной экономике кредитование играет очень важную роль. Многие
процессы, происходящие на сегодняшний день в экономической сфере, без
кредитования будут совершенно невозможны. Банки, выдавая кредиты, неизбежно
несут потери, с ними связанные. Существует риск невозврата заемщиком средств,
взятых у банка. Банки применяют различные методы и стратегии, чтобы сократить
кредитные риски. Один из таких методов – это страхование данных рисков.
Задача страхования кредитных рисков в наше время стоит очень остро, поскольку
кредиты берутся всеми и повсеместно, и точно оценить возможные потери может
быть достаточно сложно. Страхуя риск, связанный с невозвратом кредита, банк
частично или полностью перекладывает потери по данному договору на страховую
компанию, минимизируя таким образом собственные потери.
В отличие от таких разделов страхования, как, например, страхование жизни или
имущества, механизмы страхования кредитных рисков на сегодняшний день всѐ
ещѐ недостаточно развиты, поскольку сама система страхования кредитов
появилась сравнительно недавно. В России сейчас лишь немногие банки имеют в
некоторой мере развитую схему страхования кредитных рисков.
Данная работа посвящена теме страхования кредитных рисков. На основе методов
актуарной математики строится модель для вычисления стоимости страхования
кредита. Для оценки предложенной модели используются статистические
банковские данные.
4
Постановка задачи
В ходе работы требуется:
1. Описать основные понятия актуарной и финансовой математики, которые
будут использоваться в дальнейшем для построения модели страхования
кредита;
2. Построить
модель,
позволяющую
вычислить
стоимость
страхования
кредита, выплачиваемого ежегодно или m раз в год;
3. Оценить компоненты построенной модели при помощи моделей актуарной
математики, известных в страховании жизни, в случаях, когда выплаты
происходят дискретно и непрерывно;
4. Получить оценку компонент модели на основе банковских статистических
данных и вычислить предполагаемую стоимость страхования кредита;
5. Модифицировать полученную модель для случая, когда кредитование
происходит
в
условиях
экономического
кризиса,
и
предполагаемую стоимость страхования кредита в этих условиях.
5
вычислить
Основные понятия актуарной и финансовой математики
Рассмотрим некоторые понятия актуарной математики, которые далее будут
использоваться в этой работе.
Будем при этом ориентироваться на хорошо
разработанную область страхования жизни.
Продолжительность предстоящей жизни для лица в возрасте x
Рассмотрим новорожденного. Для него время предстоящей жизни (иначе, возраст
в момент смерти) является непрерывной случайной величиной. Обозначим
функцию распределения этой случайной величины
.
Положим
Функцию
будем называть функцией дожития. Для любого
функция
является вероятностью того, что новорожденный доживет до возраста .
Будем обозначать
человека в возрасте
жизни этого человека
обозначается
лет. Продолжительность предстоящей
. Также нам потребуются следующие
обозначения:
[
]
[
]
Несложно заметить, что
6
и
можно также записать следующим образом:
Существует символ, обозначающий более общее событие, состоящее в том, что
проживет лет и умрет в течение последующих
[
лет:
]
Соответственно,
Запишем
через функции дожития:
Обозначим
число людей, доживших до возраста
прожить ещѐ один год равна
.
Вероятность прожить
лет равна
7
. Вероятность для лица
Интенсивность смертности
Введем понятие интенсивности смертности
Для каждого возраста
:
эта функция дает значение в точке
при условии дожития до возраста
случайной величины
. В теории надежности эта величина
называется интенсивностью отказов. В актуарной математике она называется
интенсивностью смертности. В этой работе будем использовать название
«интенсивность отказов», поскольку оно лучше согласуется с процессом
кредитных выплат.
Выясним, как связаны величины
и
. Заменим в формуле
получим
.
Интегрируя это выражение от
до
, получим:
∫
Отсюда
* ∫
8
+
на
и
Некоторые понятия финансовой математики
Нам потребуются также некоторые понятия, используемые в финансовой
математике. Будем обозначать ставку банковского процента. Введем величину .
– авансовый номинальный процентный доход, или учетная ставка,
.
Для удобства введем величину коэффициента дисконтирования
Она
понадобится нам при учете дисконтирования в расчетах выплат по кредиту.
В случае непрерывного начисления процента и непрерывных выплат аналогом
дискретной процентной ставки
является непрерывная процентная ставка
этом случае принимается аппроксимация
Из этого выражения можно выразить :
9
. В
Расчет актуарной приведенной стоимости страхования кредита
Предположим, что заемщик должен выплатить банку сумму в размере
выплачивается за
итераций, по
. Сумма
за один раз. Необходимо учесть процент,
который банк требует за возможность такой рассрочки. Пусть банковская ставка
равна
процентам за некоторый промежуток времени, например, год. Тогда по
окончании первого года заемщик выплатит банку сумму
второго года –
банку сумму
, по окончании
, и так далее. По окончании n-го года заемщик выплатит
. Таким образом, финансовая приведенная стоимость этого
кредита равна
(
В
)
вышеописанном
случае
у
нас
не
возникает
.
сомнений
относительно
платежеспособности клиента, мы предполагаем, что он выплатит долг по кредиту
полностью.
Предположим теперь, что клиент выплачивал долг банку за
[
итераций,
], но не смог погасить задолженность по кредиту до конца. Чтобы
гарантированно не потерять свои средства, банк может заключить договор со
страховой компанией, с тем, чтобы она выплатила банку сумму, которую не смог
выплатить клиент. Получаем, что страховая компания выплатит банку сумму
.
Теперь необходимо выяснить, за какую цену можно купить такой страховой полис.
Мы не можем заранее знать, выплатит ли клиент полностью свой кредит, или же
выплатит только некоторую часть. Относительно размера этой части мы тоже
можем лишь строить предположения. Таким образом, в нашей модели появляется
элемент неопределенности.
10
Будем использовать известную в актуарной математике величину
ином контексте. Обозначим как
выплачивали
в несколько
вероятность того, что кредит, который
периодов, будут выплачивать ещѐ по крайне мере
периодов.
Аналогично,
– вероятность того, что выплаты по этому кредиту прекратятся в
течение первых
периодов. Тогда величина
кредит «возраста»
– это вероятность того, что
будет выплачиваться ещѐ
периодов, а затем выплаты по
нему прекратятся.
На основании вышеприведенных рассуждений, а также с учетом дисконтирования
на момент
, получаем актуарную приведенную стоимость страхования
кредита, т.е. стоимость страховки с учетом неопределенностей. Обозначим еѐ
∑
∑
.
.
В случае непрерывныхвыплат
∫(
)
Далее рассмотрим полученное выражение в контексте различных моделей
актуарной математики.
11
Постоянная интенсивность отказов
Выше была получена формула для расчета актуарной приведенной стоимости
страхования кредита. Помимо множителей, зависящих только от размера
выданного кредита и ставки банковского процента, в ней присутствуют
компоненты, значения которых зависят ещѐ и от выбора модели их оценки.
Как было показано ранее,
∫
,
∫
Эти величины зависят от интенсивности отказов
разному. Предположим, что
.
, оценить которую можно по-
. Тогда
∫
,
,
.
∑
∑
∑
[∑
[
∑
∑[
]
12
∑
]
]
*
[
[
]
+
]
Рассмотрим теперь случай, когда проценты начисляютсянепрерывно:
∫
[
]
∫
∫
[∫
∫
[
]
|
| ]
*
(
)
+
*
+
13
Модель де Муавра
В модели, предложенной в 1729 году английским математиком французского
происхождения Абрахамом де Муавром, интенсивность отказовприближается
функцией
, где
– возраст человека,
– некоторая константа –
предельный возраст жизни. В нашем случае
– количество периодов уже
произведенных выплат по кредиту.
Согласно данной модели,
∫
,
∫
.
∫
(
),
(
∫
(
)
(
),
,
)
Тогда
∑
∑
(
)(
14
)
∑
(
)
∑[
]
*
∑
[∑
+
]
*
+
Рассмотрим случай непрерывного начисления процентов:
∫[
∫[
*
]
]
|
[
]
[∫
+
∫
*
*
15
]
+
+
Модель Мэйкхема
В 1860 году Мэйкхем предложил приближать интенсивность смертности функцией
вида
Постоянное слагаемое
позволяет учесть риски для жизни,
связанные с несчастными случаями, а член
учитывает влияние возраста на
смертность.
Пусть
Тогда
∫
,
∫
∫
.
|
∫
(
(
(
16
)
)
(
)
)
.
Вычислим сначала произведение
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
(
(
(
(
(
)
)
)
(
)
)
)
(
(
)
)
)
(
(
)
)
Актуарная приведенная стоимость страхования кредита
∑
∑[
][
(
(
)
)
(
(
)
)
]
В случае, когда выплаты происходят непрерывно, актуарную приведенную
стоимость можно вычислить по формуле
(
∫ [*(
)
)
+[
(
(
17
)
)
(
(
)
)
]]
.
Таблицы продолжительности жизни
В страховании жизни часто используются таблицы, в которых содержатся
статистические данные о продолжительности жизни людей определенного пола и
национальности. Можно классифицировать людей также и по другим признакам.
Обычно в публикуемой таблице представлено несколько взаимосвязанных
величин, например,
,
. Приведем ниже таблицу, содержащую данные о
,
количестве людей, доживших до указанного возраста. На основании этих данных
будем производить дальнейшие вычисления. Поскольку у нас нет возможности
привести полную таблицу для всех возрастов от 0 до 100 лет, ограничимся
данными для возрастов, кратных пяти, и будем считать, что внутри временного
промежутка от
до
, где
, количество людей, доживших до
определенного возраста, не изменяется и равно
Возраст x
lx
0
100000
5
98205
10
97950
15
97682
20
96843
25
94996
30
92217
35
88837
40
84473
45
78627
50
71139
55
61893
60
51795
65
40626
70
29895
75
19680
80
11132
85
5179
90
1679
95
340
100
58
18
.
Применим эти данные в контексте выплаты кредитов. Будем считать, что
количество кредитов, которые продолжают выплачиваться к моменту
– это
со времени
их выдачи. На основании данных о количестве кредитов, которые продолжают
выплачиваться в течение
лет, можно вычислить вероятности
и
,
присутствующие в формуле для вычисления актуарной приведенной стоимости
страхования кредита. Как было показано ранее,
,
соответственно,
.
Таким образом, произведение вероятностей
19
Значения этой величины в зависимости от и
x
представлены в таблице ниже:
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
0,01795
0,0026
0,00274
0,00859
0,01907
0,02925
0,03665
0,04912
0,06921
0,09523
0,12997
5
0,00255
0,00273
0,00857
0,01891
0,0287
0,03558
0,04732
0,06581
0,08864
0,11759
0,14195
10
0,00268
0,00854
0,01886
0,02845
0,0349
0,04594
0,06339
0,08429
0,10946
0,12843
0,157
15
0,00839
0,01881
0,02837
0,0346
0,04506
0,06154
0,0812
0,10408
0,11954
0,14205
0,15085
20
0,01847
0,0283
0,03451
0,04468
0,06037
0,07882
0,10026
0,11367
0,13222
0,13648
0,14359
25
0,02779
0,03442
0,04455
0,05985
0,07732
0,09733
0,1095
0,12572
0,12703
0,12992
0,12016
30
0,0338
0,04444
0,05968
0,07666
0,09547
0,1063
0,12112
0,12079
0,12093
0,10872
0,08368
35
0,04364
0,05953
0,07645
0,09465
0,10427
0,11757
0,11637
0,11499
0,10119
0,07571
0,0492
40
0,05846
0,07625
0,0944
0,10338
0,11533
0,11296
0,11077
0,09622
0,07047
0,04451
0,01882
45
0,07488
0,09415
0,10309
0,11434
0,11081
0,10753
0,09269
0,06701
0,04143
0,01703
0,00396
50
0,09246
0,10283
0,11403
0,10986
0,10548
0,08998
0,06455
0,0394
0,01585
0,00359
0,00082
k
Эти значения можно использовать при вычислении актуарной приведенной
стоимости страхования кредита по формулам, приведенным ранее.
В вычислениях были использованы данные, отражающие демографическую
ситуацию среди мужского населения России на 2003 год.
20
Необходимо также добавить, что использовать на практике данные о смертности
людей не совсем корректно в применении к страхованию кредитных рисков,
поскольку
величины,
определенного
характеризующие
возраста,
выплачиваться в течение
и
количество
количество
кредитов,
людей,
которые
доживших
до
продолжают
лет, скорее всего, не коррелируют между собой. Однако
возможно создать аналогичные таблицы, содержащие информацию о выплате
кредитов.
Можно
предположить,
что
для
этого
необходимо
сначала
классифицировать кредиты по продолжительности выплат, суммам займов,
процентным ставкам, надежности заемщика и некоторым другим важным
показателям, как население Земли классифицируется по национальности и полу.
21
Случай m-кратных выплат
Общий случай
Ранее мы рассматривали случай, когда выплаты по кредиту происходили раз в год
в течение
лет. Предположим теперь, что выплаты происходят
течение тех же
лет. Таким образом, всего предполагается
раз в год в
выплат величиной
каждая.
Очевидно, что процент, начисляемый
раз в год, будет отличаться от процента,
начисляемого ежегодно. Обозначим новую процентную ставку
. Это
номинальная процентная ставка при m-кратном конвертировании. Выясним, как
она связана с годовой процентной ставкой. Если клиент банка берет кредит на
сумму , и годовая процентная ставка равна
продолжительностью
выплачивается
, то в конце периода кредитования
лет он должен выплатить сумму
. Если кредит
раз в год равными частями, то сумма одного такого платежа
составит
.
Отсюда получаем выражение для
:
По аналогии со случаем ежегодного начисления процентов, предположим, что
клиент выплачивал кредит в течение
периодов,
[
] а затем выплаты
прекратились.
Опустим рассуждения относительно вывода формулы для вычисления актуарной
приведенной
стоимости
страхования
кредита,
поскольку они
аналогичны
рассуждениям, приведенным в главе «Расчет актуарной приведенной стоимости
страхования кредита» для случая ежегодного начисления процентов. Выпишем
22
сразу формулы для вычисления суммы
, которую страховая компания должна
выплатить банку в случае невыплаты клиентом кредита, и актуарной приведенной
стоимости страхового полиса
((
)
(
(
)
(
)
(
)
)
)
∑
∑(
[
где
)
]
(
)
*(
)
+
∑ *(
)
+
– количество полных лет,
– остаток, например, количество
месяцев в предположении, что кредит выплачивается ежемесячно, то есть при
23
Равномерное распределение отказов в течение года
Воспользуемся рассуждениями, приведенными ранее в главе «Основные понятия
актуарной и финансовой математики»и запишем произведение
несколько ином виде:
|
|
Предположим, что отказы в течение года распределены равномерно. Тогда
|
В этом случае
∑ *(
)
+
24
в
Вулхаузовская аппроксимация
В случае, когда производится
выплату
выплат внутри года, можно аппроксимировать
, используя формулу Вулхауза:
Тогда актуарная приведенная стоимость страховки будет вычисляться по формуле
∑
∑(
)
∑(
)
[
∑
]
∑
∑
[
]
*
+
∑
*
+
∑
*
+
∑
*
+
25
∑
*
*
+
+∑
*
+
∑
*
+
Для каждого из описанных случаев можно сделать предположения о приближении
интенсивности отказов и, соответственно, о виде величин
основании
этих
предположений
произвести
вычисления
и
, и на
по
приведенным
формулам, однако мы не будем приводить эти вычисления, поскольку они
аналогичны приведенным ранее для случая, когда выплаты происходят ежегодно.
26
Расчеты на основе имеющейся банковской статистики
Ранее мы отмечали, что использовать данные о смертности людей для оценки
кредитных рисков не совсем корректно, однако можно построить аналогичные
таблицы и зависимости для кредитов на основе имеющихся данных о
просроченных платежах. В этом параграфе мы рассмотрим статистику неплатежей
по
кредитам,
имеющим
определенные
характеристики,
предоставленную
российским коммерческим банком, и построим на еѐ основе модель, описывающую
интенсивность отказов (объем невыплат) в зависимости от «времени жизни»
кредита.
Чтобы иметь возможность вести статистику и оценивать возможные потери, все
кредиты группируют на основе определенных критериев. Такими критериями
являются сумма кредита (обычно это некоторый диапазон значений), процентная
ставка, срок, на который выдается кредит, периодичность платежей и время выдачи
кредита. Кредиты, имеющие одинаковые вышеперечисленные характеристики,
относят к одной группе и именуют поколением. Например, кредиты на сумму от
70 до 100 тыс. рублей, выданные под 20% годовых на 12 месяцев в январе 2013
года и выплачиваемые ежемесячно, принадлежат одному поколению. Кредиты с
аналогичными свойствами, выданные в феврале 2013 года, будут принадлежать
уже следующему поколению.
Были проанализированы данные по 46 поколениям потребительских кредитов
сроком на 4 года, выплаты по которым происходят ежемесячно. Поскольку все
кредиты в поколении примерно одинаковы в денежном измерении, можно принять
суммы кредитования равными, и это не приведет к ухудшению качества модели.
Для каждого поколения имеются данные о том, какая доля всех кредитов в
поколении каждый месяц переходила в категорию «мѐртвых». «Мертвыми» в
банковской
терминологии
считаются
задерживаются более чем на 90 дней.
27
кредиты,
выплаты
по
которым
Данные о неплатежах в графическом представлении выглядят следующим образом:
0,005
Новые неплатежи
0,004
0,003
0,002
0,001
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
-0,001
-0,002
Время t, месяцы
Долей новых невыплат назовем долю всех кредитов в рассматриваемых
поколениях, просрочка по которым в данный момент времени t составила более 90
дней и которые не были учтены как «мертвые» в более ранние периоды, т.е.
«смерть» кредита была зафиксирована именно в момент времени t.
Чтобы получить зависимость интенсивности отказов от времени, необходимо
аппроксимировать имеющиеся данные некоторой функцией. В качестве таких
функций были рассмотрены линейная функция, полиномы 2-6 степеней и
логарифмическая функция.
28
Линейная
функция
достаточно
точно
аппроксимирует
исходные
данные
(коэффициент детерминации R2 = 0,7064).
0,005
Новые неплатежи
Линейный тренд
0,004
0,003
0,002
y = - 0,00008x + 0,0028
R² = 0,7064
0,001
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
-0,001
-0,002
При
Время t, месяцы
аппроксимации
полиномом
с
ростом
степени
улучшается
точность
приближения (при приближении полиномом 6 степени коэффициент детерминации
R2 = 0,7619), однако впоследствии использование полиномиальной функции
значительно усложняет вычисления.
0,005
Новые неплатежи
0,004
Аппроксимация
полиномом 6 степени
0,003
0,002
0,001
R² = 0,7619
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
-0,001
-0,002
Время t, месяцы
29
Попытки приближения логарифмической функцией дают худшие результаты:
коэффициент детерминации R2 достигает лишь 0,6967.
0,006
Новые неплатежи
0,005
Аппроксимация
логарифмической
функцией
0,004
0,003
0,002
0,001
R² = 0,6967
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
-0,001
-0,002
Время t, месяцы
Как известно из исследований в области актуарной математики, функция,
описывающая интенсивность смертности людей, является возрастающей. В то же
время, из приведенных графиков для кредитов мы видим обратную тенденцию: чем
больше времени проходит с момента начала жизни поколения, тем меньше
кредитов переходят в категорию «мертвых». Это объясняется тем, что заемщик
стремится сохранять свою положительную кредитную историю: если он не
допускал неплатежей на начальных сроках жизни кредита, он с большой
вероятностью не станет неплательщиком и на более поздних сроках. Также можно
заметить, что на поздних сроках жизни кредитов интенсивность отказов становится
отрицательной. Это означает, что кредиты перестают быть «мертвыми», иначе
говоря, «выздоравливают»: после просрочки более 90 дней по ним снова
производятся выплаты.
30
Будем полагать, что интенсивность отказов для кредитных выплат описывается
линейной
функцией,
которой
аппроксимируются
исходные
данные
по
просроченным платежам.
.
Ранее была получена формула для расчета актуарной приведенной стоимости
страхования кредита в случае, если выплаты по нему происходят
∑ *(
где
)
раз в год:
+
– количество полных лет,
– остаток, например, количество
месяцев в предположении, что кредит выплачивается ежемесячно, то есть при
и
зависят от интенсивности отказов следующим образом:
* ∫
+
[ ∫
,
]
.
Произведем промежуточные вычисления, необходимые для получения выражений
для
∫
и
:
∫
(
(
)
)|
(
31
)
( )
∫
,
∫
(
(
(
)|
)
(
)
(
)
)
.
Таким образом,
(
( )
)
,
(
)
.
Подставляя полученные выражения в формулу для расчета актуарной приведенной
стоимости страхования кредита, получаем:
∑
*(
)
+
(
32
(
)
(
)
)
.
Применим полученную формулу для вычисления
актуарной приведенной
стоимости страхования кредита. Пусть сумма кредита
ставка процента
ежемесячно, то есть
рублей, годовая
, срок выплаты кредита – 4 года, выплаты производятся
. Подставляя эти данные в выражение для
,
получаем, что стоимость страхования кредита в указанных условиях составит 642
рубля 11 копеек. Стоимость страховки адекватна сумме кредита; исходя из
полученных результатов, модель можно считать состоятельной.
33
Модификация модели для кризисной ситуации
В свете событий финансового кризиса 2008-2009 годов приобрели актуальность
исследования с целью разработки новых методов оценки кредитных рисков,
моделирующих
поведение
заемщика
в
кризисной
ситуации.
Адаптируем
полученную модель к ситуации повышенного риска неплатежеспособности
заемщика.
Статистических данных, описывающих поведение заемщика во время кризиса,
недостаточно, или же они отсутствуют вовсе. Это объясняется тем, что
продолжительность кризисов невелика по сравнению с периодами стабильного
развития экономики. Таким образом, для того, чтобы адаптировать модель к
кризисной экономической ситуации, необходимо применить аналитические
методы.
Логично предположить, что негативная экономическая ситуация отразится на
финансовом состоянии заемщиков, и вследствии этого уровень неплатежей по
кредитам вырастет. Так, некоторым образом изменится функция, описывающая
интенсивность отказов. Ранее было замечено, что эта функция убывает. Скорее
всего, скорость убывания функции в кризисной ситуации снизится, поскольку даже
при желании сохранять положительную кредитную историю клиент не всегда
имеет такую возможность. Кроме того, вероятно, что количество невыплат в
первый же период существенно возрастет, то есть свободный член функции
увеличится. Таким образом, новая функция, описывающая интенсивность отказов,
может быть получена из старой посредством прибавления к ней линейной
функции.
34
0,008
Исходная функция
0,007
Поворот
0,006
Сдвиг на константу
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0
-0,001
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52
-0,002
-0,003
Время t, месяцы
Прибавив к исходной функции некоторую линейную функцию, мы получим более
пессимистичный прогноз для интенсивности отказов, который и будет отражать
последствия наступления кризисной экономической ситуации. В общем случае
новая функция будет описываться выражением
,
где
– интенсивность отказов в кризисной ситуации,
интенсивность отказов,
исходной,
– первоначальная
– линейная функция, которую мы прибавляем к
– неподвижная точка при повороте.
Предположим, что в кризисной ситуации уровень неплатежей по кредитам в
начальный момент выростет в 1,5 раза, а скорость убывания функции сократится в
2 раза. Тогда
= 0,00004,
= 0,0014. Новое выражение для вычисления
интенсивности отказов будет выглядеть следующим образом:
.
35
Тогда
(
( )
)
,
(
)
С учетом полученных выражений для
∑
*(
)
и
(
+
(
)
(
Пусть условия кредитования остаются неизменными:
,
,
.
. Подставляя эти данные в выражение для
)
)
.
рублей,
, получаем, что
стоимость страхования кредита составит 986 рублей 73 копейки. Как видно из
приведенных расчетов, в условиях кризиса стоимость страхового полиса
увеличивается. Для кредитов, выданных на условиях, описанных выше, стоимость
страховки возрастает примерно в 1,5 раза.
36
Заключение
В ходе данной работы было выполнено следующее:
1. Рассмотрены основные понятия, используемые в актуарной математике.
2. Построена модель для нахождения актуарной приведенной стоимости
страхования кредита в случае ежегодных и m-кратных выплат, для обоих
случаев рассмотрена возможность дискретных и непрерывных выплат.
3. Проведена оценка компонент построенной модели при помощи методов
актуарной математики и данных банковской статистики, вычислена
актуарная
приведенная
стоимость
страхования
кредита
на
основе
имеющихся статистических данных.
4. Полученная модель модифицирована для случая, когда кредитование
происходит в условиях экономического кризиса, вычислена стоимость
страхования кредита в этих условиях.
37
Список литературы
1. Бауэрс Н., Гербер Х., Джонс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная
математика. Перевод с англ./Под ред. В.К. Малиновского. – М.: Янус-К,
2001.
2. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. – М.:
Финансово-актуарный центр МГУ им. М.В. Ломоносова, 1994.
3. Четыркин Е.М. Финансовая математика. – М.: Дело, 2004.
4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и еѐ инженерные
приложения. – М.: Наука, 1988.
5. Andrew Kuritzkes, Til Schuermann, Scott Weiner. Deposit Insurance and Risk
Management of the U.S. Banking System: How Much? How Safe? Who Pays? –
The Wharton School, University of Pennsylvania, 2002.
6. Reza Vaez-Zadeh, Danyang Xie, Edda Zoli. A Market-Oriented Deposit Insurance
Scheme. – International Monetary Fund, 2002.
7. The Human Life-Table Database (http://www.lifetable.de/ ).
8. Практическое
руководство
по
актуарной
(http://oaoospos.ru/activities/mnresearch/9-resmat004.html ).
38
математике