НИУ ВШЭ, 2009

НИУ ВШЭ, 2014-2015 уч.г.
экономика, 1 курс
«Микроэкономика»
Домашнее задание №007
Дата сдачи: 12.03.15 перед лекцией (своего потока!)
Темы: выбор потребителя в условиях неопределенности
Ответы без объяснения не засчитываются!
Задача 1. Предположим, что перед каждым человеком существует выбор, стать преступником или нет.
Если человек решает связать свою жизнь с преступным миром, то его уровень потребления составит 𝑥1 ,
если его не поймают, и 𝑥0 (который сильно меньше 𝑥1 ), если его поймают и посадят в тюрьму. Пусть
вероятность быть пойманным равна 𝜋. Предположим, что у всех людей одинаковые предпочтения, но
разный уровень дохода (в случае честной работы вне преступного сектора). Пусть известно, что уровни
дохода всех людей принимают значения от 𝑥0 до 𝑥1 (и пусть людей с одним и тем же уровнем дохода
примерно одинаковое количество). Причем человек может либо быть преступником, либо иметь честный
заработок, а одновременно иметь честные заработки и преступные нельзя.
Пусть существует два способа снизить уровень преступности: тратить больше денег на полицию,
чтобы повысить вероятность поимки преступника, или же тратить больше денег на образование, чтобы
повысить уровень дохода, который потенциальные преступники могли бы получать честным трудом.
(а) Изобразите взаимосвязь между потреблением (по горизонтальной оси) и полезностью (по
вертикальной) для индивида-рискофоба. В предположении, что 𝜋 = 0,25, укажите ожидаемую полезность
от выбора преступной жизни и укажите уровень дохода 𝑥̃, заработанного честным трудом, при котором
индивиду все равно: стать преступником или нет.
(б) Повторите пункт (а), для случая 𝜋 = 0,75.
(в) Пусть 𝜋 достаточно велико. Рассмотрите политику инвестирования в образование, которая приводит
к росту всех честных заработков на некоторую величину 𝑥̂ ≤ 𝑥̃ − 𝑥0 . На графике, укажите такие типы
индивидов (тип определяется уровнем честного дохода до введения новых мер), которые после
проведения новой политики откажутся от преступлений и выберут честную жизнь.
(г) Теперь рассмотрите политику инвестирования в полицию, которая приводит к росту 𝜋. Покажите на
графике, на сколько ожидаемый уровень потребления (в случае выбора преступной жизни) должен
изменится, чтобы снижение числа преступников было таким же, как в пункте (в). (То есть, чтобы люди с
теми же доходами, что и в пункте (в), отказались от преступной жизни)
(д) Если для государства издержки увеличения честного дохода всех граждан на 1 рубль равны издержкам
уменьшения на 1 рубль ожидаемого потребления преступника в случае совершения преступления, то
какой тип политики требует меньше расходов при том же снижении преступности? Отвечая на данный
вопрос, предполагайте, что изначально 𝜋 высоко.
(е) Как изменится ваш ответ, если изначально 𝜋 было низким?
(ё) Как изменятся ваши ответы на вопросы из пунктов (б, в, г, д, е), если преступники нейтральны к риску?
(ж) Как изменятся ваши ответы на вопросы из пунктов (б, в, г, д, е), если преступники рискофилы?
(з) Вернемся к изначальной ситуации и произвольной 𝜋 (можно рассмотреть как высокую, так и среднюю
или низкую вероятность). Депутат А считает, что государство тратит слишком много усилий на поимку
преступников, но слишком мало на то, чтобы наказать уже пойманных. Он предлагает новый закон,
который приводит к уменьшению как 𝑥0 , так и 𝜋. Рассмотрим рискофоба Эраста, который при честной
жизни зарабатывает 𝑥̃. Предположим, что ожидаемый уровень потребления Эраста в случае выбора
преступного пути остается неизменным после проведения политики депутата А. Будет ли после принятия
данного закона Эраст безразличен между выбором преступной и честной жизни?
(и) В отличие от депутата А, депутат Б считает, что государство обходится с пойманными преступникам
слишком жестоко. Он предлагает другой закон, который повышает как 𝑥0 , так и 𝜋. Рассмотрим Эраста,
который при честной жизни зарабатывает 𝑥̃. Предположим, что ожидаемый уровень потребления Эраста
в случае выбора преступного пути остается неизменным после проведения политики депутата А. Будет
ли после принятия данного закона Эраст безразличен между выбором преступной и честной жизни?
(й) Меры какого депутата более эффективны для уменьшения численности преступников, если
преступники рискофобы?
(к) Как изменится ваш ответ на вопрос из пункта (й), если преступники нейтральны к риску?
(л) Как изменится ваш ответ на вопрос из пункта (й), если преступники рискофилы?
Формализуем задачу. Пусть потребление выражено в тысячах рублей в год и составляет 𝑥0 = 100,
𝑥1 = 1600. Пусть предпочтения индивидов представимы функцией ожидаемой полезности с
элементарной функцией полезности 𝑢(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥)
(м) Как относится к риску данный индивид? Объясните.
(н) Если 𝜋 = 0,75, то чему равно ожидаемое потребление, если выбран преступный путь.
(о) Чему для этого 𝜋 будет равна ожидаемая полезность от преступной жизни.
(п) Сравните полезность от ожидаемого потребления, полученного в пункте (н) и результат пункта (о).
Объясните полученный результат.
(р) При каком уровне честного дохода 𝑥̃ индивиду все равно: выбирать преступную жизнь или нет?
(с) Пусть инвестирование в образование приводит к равномерному повышению честных заработков на
50. Люди с каким изначальным уровнем дохода откажутся от преступлений в пользу честного дохода?
(укажите диапазон значений)
(т) Насколько необходимо увеличить 𝜋, чтобы добиться такого же снижения числа преступников как в
предыдущем пункте?
(у) Насколько это увеличение изменит ожидаемый уровень потребления в случае выбора преступной
жизни?
(ф) Если для государства издержки увеличения честного дохода всех граждан на 1 рубль равны
издержкам уменьшения на 1 рубль ожидаемого потребления преступника в случае совершения
преступления, то какой тип политики более эффективен?
(х) Как изменятся ваши ответы на вопросы (р, с, т, у, ф), если 𝜋 = 0,25?
(ц) Пусть во всех следующих пунктах 𝜋 = 0,5. При каком уровне честного дохода 𝑥̃ индивиду все равно:
выбирать преступную жизнь или нет?
(ч) Теперь рассмотрите меры, предложенные Депутатом А в пункте (з). Пусть в результате этих мер 𝑥0
падает до 50. На сколько должна упасть 𝜋, чтобы ожидаемый уровень потребления Эраста, если он стал
преступником, не изменился?
(ш) Как изменился 𝑥̃ в результате политики Депутата А?
(щ) Теперь рассмотрите меры, предложенные Депутатом Б в пункте (и). Пусть в результате этих мер 𝜋
растет до 0,6. На сколько должна возрасти 𝑥0 , чтобы ожидаемый уровень потребления Эраста, если он стал
преступником, не изменился?
(ъ) Как изменился 𝑥̃ в результате политики Депутата Б?
(ы) Какая политика более эффективна?
(ь) Пусть теперь предпочтения индивидов представимы в виде 𝑢(𝑥) = 𝑥 2 . Как относится к риску данный
агент? Объясните.
(э) Как изменятся ваши ответы на вопросы пунктов (ц, ч, ш, щ, ъ, ы) для функции случая пункта (ь)?
(ю) Пусть теперь предпочтения индивидов представимы в виде 𝑢(𝑥) = 𝑥. Как относится к риску данный
агент? Объясните.
(я) Как изменятся ваши ответы на вопросы пунктов (ц, ч, ш, щ, ъ, ы) для функции случая пункта (ю)?