Институциональная экономика - 2: Теория аукционов Светлана Пивоварова 06 декабря 2011

Институциональная экономика - 2:
Теория аукционов
Светлана Пивоварова
06 декабря 2011
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
1 / 33
План курса
Основные виды аукционов
Теория аукционов
I
I
Игровое представление аукционов
Теорема об эквивалентности доходов
Семинары:
I
I
I
Эмпирическая и экспериментальная проверка теоремы об
эквивалентности доходов
Расширения стандартных моделей
Применение теории аукционов на практике
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
2 / 33
На этой лекции
Четыре основных типа аукционов;
Общая модель аукциона;
Эквивалентности между основными аукционами;
Теорема об эквивалентности доходов;
Эффективность и оптимальность;
Общие, частные и аффилированные оценки.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
3 / 33
В 193 году н.э. Римская Империя была “продана” на аукционе.
Победителем стал Дидий Юлиан. Он предложил по 25000 сестерциев
каждому члену Преторианской гвардии. Его ближайший конкурент
предложил лишь 20000 сестерциев.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
4 / 33
Основные виды аукционов: Английский аукцион
Самый распространенный на практике тип аукциона. Английский
аукцион = открытый аукцион первой цены.
Покупатели называют свои ставки вслух;
Каждая следующая ставка - выше предыдущей;
Процесс продолжается до тех пор, пока ставка повышается;
Победитель платит цену равную его последней ставке.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
5 / 33
Основные виды аукционов: Закрытый аукцион первой
цены
Часто используется на практике. Запрос котировок = закрытый
аукцион первой цены.
Покупатели подают ставки в закрытых конвертах;
Ставки подаются один раз;
Побеждает участник, предложивший максимальную ставку;
Победитель платит цену равную его ставке.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
6 / 33
Основные виды аукционов: Голландский аукцион
Использовался для продажи тюльпанов в Голландии, свежей рыбы в
Японии. Иногда используется в качестве маркетинговой стратегии в
магазинах. Голландский аукцион = открытый аукцион второй цены.
Продавец объявляет очень высокую цену;
Объявленная цена постепенно снижается;
До тех пор, пока кто-нибудь из участников не согласится на
текущую цену;
Победитель платит цену равную последней объявленной
продавцом цене.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
7 / 33
Основные виды аукционов: аукцион Викри
Предложен Уильямом Викри. Редко применяется на практике, но
обладает замечательными свойствами. Аукцион Викри = закрытый
аукцион второй цены.
Покупатели подают ставки в закрытых конвертах;
Ставки подаются один раз;
Побеждает участник, предложивший максимальную ставку;
Победитель платит цену равную “следующей”, второй по
величине, ставке.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
8 / 33
Цена
Четыре основных типа аукционов
Первая
Вторая
Светлана Пивоварова ()
Вид ставок
Закрытый
Открытый
Запрос котировок Английский аукцион
Аукцион Викри
Голландский аукцион
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
9 / 33
Модель аукциона
Участники:
n участников;
Внутренние оценки: v1 , v2 , ..., vn ;
Внутренние оценки - реализации случайных величин с одним и
тем же распределением;
Внутренние оценки не зависят друг от друга.
Асимметрия информации: участники не знают внутренних оценок
друг-друга; продавец не знает внутренних оценко участников.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
10 / 33
Внутренние оценки: пример
10 участников;
Половина “популяции” оценивает товар в vH = 10; половина - в
vL = 2;
Внутренние оценки: v1 , ..., vn . Каждая может принимать значение
vH или vL ;
Участники знают свои оценки - но не знают оценок конкурентов;
Каждый участник “ожидает”, что конкурент может оценивать
товар в 2 с вероятностью 1/2, и в 10 с вероятностью 1/2.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
11 / 33
Модель аукциона
Правило подачи ставок / стратегии участников:
Из чего состоит ставка? В каком порядке подаются ставки:
открытые/закрытые; один/несколько раз?
Правило определения победителя и формирования цены:
Зависит только от содержания ставок;
Любая функция от набора параметров в ставках (первая, вторая,
третья... цена; комбинация цены и времени и т.д.)
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
12 / 33
Модель аукциона
Поведение участников зависит от правил игры и ожиданий
относительно конкурентов.
Каждый участник выбирает ставку, которая максимизирует его
ожидаемую прибыль:
Πi = (Вероятность выигрыша)*(vi − P(b1 , b2 , ...bn ))
P - правило определения цены;
b1 , b2 , ..., bn - ставки всех участников аукциона.
Вероятность выигрыша и ожидаемая цена зависят от представлений
участника под номером i о своих конкурентах.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
13 / 33
Аукцион Викри
Участник выигрывает аукцион, если его ставка оказалась
максимальной - но платит “вторую” цену.
Прибыль участника i:
(
vi − maxi6=j bj , если bi − максимальная предложенная ставка,
πi =
0,
во всех остальных случаях
Замечетльное свойство аукциона Викри: в равновесии участники
называют ставки равные их “внутренним оценкам”. Почему?
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
14 / 33
Аукцион Викри
Что произойдет, если участник назовет ставку большую или меньшую,
чем его внутрення оценка?
Величина прибыли не зависит от ставки;
Чем больше ставка - тем больше вероятность выигрыша;
Если ставка выше, чем внутренняя оценка - есть вероятность, что
цена, которую придется заплатить тоже выше внутренней оценки
=⇒прибыль будет отрицательной;
Если ставка ниже, чем внутрення оценка - величина прибыли не
меняется, но вероятность получить ее уменьшается.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
15 / 33
Закрытый аукцион первой цены
Ставка = цена, которую участник готов заплатить в случае выигрыша.
Прибыль участника i:
(
vi − bi , если bi − максимальная предложенная ставка,
πi =
0,
во всех остальных случаях
Участник должен выбрать оптимальную ставку.
Он выигрывает, если максимальная ставка конкурентов - меньше его
ставки.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
16 / 33
Закрытый аукцион первой цены: ставки
Предположим, что n − 1 участник делают ставки в соответсвии со
стратегией β(v ) : β(0) = 0, β 0 > 0. Какой стратегии должен следовать
участник под номером n?
Если он делает ставку b > β(v ) - он может увеличить свой
выигрыш, не меняя вероятность выигрыша, снизив ставку;
=⇒ b ≤ β(v ).
Какой порог он должен преодолеть своей ставкой чтобы выиграть?
maxi6=n β(Xi ) = β(maxi6=n Xi ) = β(Y1 ), где Y1 - первая порядковая
статистика, максимум, из n − 1 случайных величин
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
17 / 33
Закрытый аукцион первой цены: ставки
Ожидаемый выигрыш:
G (β −1 (b))(vn − b)
G () - функция распределения первой порядковой статистики;
G (β −1 (b)) - вероятность того, что все остальные ставки будут
меньше, чем b.
FOC:
g (β −1 (b))
(v
β 0 (β −1 (b))
− b) − G (β −1 (b)) = 0
Предположим, что равновесие симметрично, т.е. b = β(v ), тогда:
d
dv (G (v )β(v ))
= vg (v ),
и, т.к. β(0) = 0:
1
β(v ) =
G (v )
Светлана Пивоварова ()
ˆ
v
yg (y )dy = E [Y1 |Y1 < v ]
0
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
18 / 33
Закрытый аукцион первой цены: равновесие
Предположим, что все игроки кроме n следуют выведенной нами
стратегии.
Он делает ставку b ≤ β(vn ), и ∃z = β −1 (b)
Его ожидаемый выигрыш в этом случае:
G (z)[v − β(z)] = G (z)v −
´z
0
yg (y )dy = G (z)(v − z) +
´z
0
G (y )dy
Выигрыш от следования симметричной стратегии:
Π(β(v ), v ) − Π(β(z), v ) = G (z)(z − x) −
Светлана Пивоварова ()
´z
x
G (y )dy ≥ 0
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
19 / 33
Закрытый аукцион первой цены: равновесие
В равновесии все участники называют ставки bi = E (Y1 |Y1 < vi ), т.е.
= ожидаемой величине максимума оценок конкурентов, при условии,
что эти оценки не превышают его собственную.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
20 / 33
Голландский аукцион
Ставка = цена, во время “появления” которой, участник готов сказать
“стоп!” = цена по которой участник готов купить товар.
Поэтому прибыль участника i:
(
vi − bi , если bi − максимальная цена "остановки",
πi =
0,
во всех остальных случаях
Т.е. выбор участника Голландского аукциона совпадает с выбором
участника закрытого аукциона первой цены. Такие аукционы
называют стратегически эквивалентными.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
21 / 33
Английский аукцион
Участники по очереди называют ставки. До каких пор участнику i
имеет смысл участвовать в Английском аукционе?
Если последняя названная ставка больше внутренней оценки
участника i - ему выгодно выйти из игры;
Если последняя ставка меньше внутренней оценки - ему выгодно
поднять ее.
Выбор оптимальной стратегии участника Английского аукциона =
выбор цены, после которой он выйдет из игры.
=⇒Английский аукцион и аукцион Викри эквивалентны (но не
стратегически эквивалентны!)
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
22 / 33
Эквивалентность
В некотором смысле все четыре вида аукционов эквивалентны между
собой...
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
23 / 33
Теорема об эквивалентности доходов
Когда продавец выбирает “правила игры” - он думает о своем
ожидаемом доходе.
Если есть два аукциона, в которых:
Внутренние оценки участников одинаково распределены, и не
зависят друг от друга;
Являются частными оценками;
Все участники нейстрально относятся к риску;
Все участники не сталкиваются с бюджетными ограничениями;
В задаваемой правилами аукциона игре существует симметричное
равновесие;
В равновесии ставки являются неубывающими функциями
внутренних оценок
=⇒Ожидаемый доход аукциониста в этих аукционах будет
одинаковым.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
24 / 33
Теорема об эквивалентности доходов: ожидаемый
платеж и доход аукциониста
В аукционе второй цены:
mII = P(выигрыша)E [вторая частная оценка|своя частная оценка] =
G (v )E [Y1 |Y1 < v ]
В аукционе первой цены:
mI = P(выигрыша)Ставку = G (x)E [Y1 |Y1 < v ]
Аукционист ex ante ожидает получить с каждого игрока
E [mA ] =
´w
0
mA (v )f (v )dv =
´w
0
y (1 − F (y ))g (y )dy
Наконец, ожидаемая прибыль аукциониста:
(n)
E [R A ] = NE [mA ] = E [Y2 ]
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
25 / 33
Эквивалентные аукционы: примеры
Аукцион третьей, четвертой, пятой... цены;
All-pay auction: участники платят цену, равную своей ставке,
независимо от выигрыша;
Англо-Голландский аукцион: цена понижается до тех пор, пока
кто-нибкдь на не не согласится; после этого начинается
Английский аукцион с начальной ценой, полученной на первом
этапе;
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
26 / 33
Эффективность и оптимальность
Аукцион называется эффективным, если его победитель ценит товар
выше конкурентов.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
27 / 33
Эффективность и оптимальность
Аукцион называется эффективным, если его победитель ценит товар
выше конкурентов.
Аукцион называется оптимальным, если он максимизирует ожидаемую
прибыль продавца.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
27 / 33
Эффективность и оптимальность
Аукцион называется эффективным, если его победитель ценит товар
выше конкурентов.
Аукцион называется оптимальным, если он максимизирует ожидаемую
прибыль продавца.
Четыре основных типа аукционов эффективны, но не оптимальны.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
27 / 33
Оптимальность и резервная цена
Продавец может увеличить свой ожидаемый доход, назначив
оптимальную резервную цену.
Резервная цена - пороговое значение; если выигравшая в аукционе
ставка меньше резервной цены - сделка не состоится.
Продавцу не выгодно продавать товар по цене ниже собственной
внутренней оценки.
Оптимальная резервная цена - всегда немного выше внутренней
оценки товара продавцом.
Она не зависит от числа участников аукциона.
Она одинакова для всех четырех типов аукционов.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
28 / 33
Аукционы с резервной ценой
Участники:
mII = rG (r ) +
´v
r
yg (y )dy
(r )
β I = E [max{Y1 , r }|Y1 < v ] = r GG (v
) +
´
v
mII = rG (r ) + r yg (y )dy = mI
Светлана Пивоварова ()
1
G (v )
´v
r
yg (y )dy
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
29 / 33
Оптимальная резервная цена
Аукционист:
Π = NE [mA ] + F (r )N x0 =
ˆ w
= N
mA f (x)dx + F (r )N x0 =
r
ˆ w
= N{r (1 − F (r ))G (r ) +
y (1 − F (y ))g (y )dy } + F (r )N x0
r
FOC:
dΠ
dr
f (r )
= N[1 − (r − x0 ) 1−F
(r ) ](1 − F (r ))G (r )
f (x)
λ(x) = 1−F
(x) - hazard rate. Оптимальная резервная цена зависит в
первую очередь от этого параметра распределения.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
30 / 33
Общие и аффилированные оценки
Общие оценки:
Реальная ценность товара для всех участников одинакова;
Но они получают разные частные сигналы об этой ценности.
Пример: нефтяное месторождение.
Аффилированные оценки:
Оценка состоит из общей и частной частей;
Пример: предмет искуства.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
31 / 33
Summary
Четыре основных типа аукционов:
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
32 / 33
Summary
Четыре основных типа аукционов:
Два открытых: Английский и Голландский;
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
32 / 33
Summary
Четыре основных типа аукционов:
Два открытых: Английский и Голландский;
Два закрытых: Викри и первой цены;
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
32 / 33
Summary
Четыре основных типа аукционов:
Два открытых: Английский и Голландский;
Два закрытых: Викри и первой цены;
Два стратегически эквивалентных: Голландский и закрытый
аукцион первой цены;
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
32 / 33
Summary
Четыре основных типа аукционов:
Два открытых: Английский и Голландский;
Два закрытых: Викри и первой цены;
Два стратегически эквивалентных: Голландский и закрытый
аукцион первой цены;
Два слабо эквивалентных: Английский и аукцион Викри.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
32 / 33
Summary
Четыре основных типа аукционов:
Два открытых: Английский и Голландский;
Два закрытых: Викри и первой цены;
Два стратегически эквивалентных: Голландский и закрытый
аукцион первой цены;
Два слабо эквивалентных: Английский и аукцион Викри.
Ожидаемый доход аукциониста во всех четырех - одинаковый.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
32 / 33
Summary
Четыре основных типа аукционов:
Два открытых: Английский и Голландский;
Два закрытых: Викри и первой цены;
Два стратегически эквивалентных: Голландский и закрытый
аукцион первой цены;
Два слабо эквивалентных: Английский и аукцион Викри.
Ожидаемый доход аукциониста во всех четырех - одинаковый.
Оптимальный аукцион = оптимальная резервная цена.
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
32 / 33
Дополнительная литература
Vijay Krishna: Auction Theory,
Myerson, R. (1981): “Optimal Auction Design,” Mathematics of
Operations Research,
Riley, J., and W. Samuelson (1981): “Optimal Auctions,” American
Economic Review,
Vickrey, W. (1962): “Auctions and Bidding Games,” in Recent
Advances in Game Theory
Светлана Пивоварова ()
Институциональная экономика - 2: Теория аукционов
06 декабря 2011
33 / 33