Комплексные профессионально-ориентированные задания

Комплексные профессионально-ориентированные задания
«Прикладная математика и информатика»- Бакалавриат
Компания ABC продает некоторую модель стиральных машин.
1.
Известно, что
i) Розничная цена стиральной машины равна 600$.
ii) Компания ABC дает десять лет гарантии на каждуюпроданную
стиральную машину.
iii) В случае выхода из строя стиральной машины в момент , где
, компания ABC возмещает
от розничной цены.
iv) Возмещениевыплачивается в момент выхода из строя
стиральной машины.
v) Интенсивность отказа в работе стиральных машин постоянна и
равна0.02.
vi) Сила процента равна
Вычислить актуарную стоимость гарантии в момент продажи
стиральной машины.
2.
Компания страхует концертный зал от убытков в случае
отключения электропитания. В рамках коллективной модели риска известно,
что
а)
Число
отключения
электропитания
в
течение
года
имеет
пуассоновское распределение со средним значением 1,
б) распределение потерь при одном отключении электропитания
приведено в таблице
Величина
потерь
Вероя
тность
10
0,3
1
20
0,3
50
0,4
Найти вероятность того, что суммарная величина выплат страховщика
в течение года равна 20.
3.
Функция полного спроса на товар задается уравнением
Qd = −30 P + 0.05Y + 2 Pr + 4T ,
где P -- цена товара, Y -- доход, Pr -- цена аналогичного товара и T
-- привлекательность товара (taste).
(a) Дать экономическую интерпретацию представленной зависимости.
(b) Считая Y = 5000 , Pr = 25 и T = 30 , выразить Qd через P и
построить график.
(c) Выразить P через Qd и построить график. (d) Что произойдёт,
если доход Y возрастет до 7400 ?
В двухсекторной модели экономики ВВП (валовый внутренний
4.
C
Y , объем потребления
продукт)
и инвестиции
I
связаны
соотношениями Y = C + I и C = C0 + bY .
(a) Дать экономическую интерпретацию этих соотношений.
(b) Найти точку равновесия при I = I 0 .
(c) Как связаны параметр b и коэффициент автономных затрат?
(d) Найти Y , если C0 = 85 , b = 0.9 и I 0 = 55 .
5.
1/3 1/2
Потребитель имеет функцию полезности u ( x1 , x2 ) = x1 x2 → max
и бюджетное ограничение p1 x1 + p2 x2 = M .
Найти
равенства
du ∗
dM
x∗ ,
y∗ , λ ∗ . Вычислить
du ∗
dM
и убедиться в справедливости
= λ ∗ . Чему равна предельная полезность денег?
2
p1 = 2 ,
Рассмотреть конкретные цены и бюджет. Пусть
p2 = 5 ,
M = 40 . Как изменится полезность, если M возрастёт до 42 ?
6.
Брокер заявил, что премия по опциону представляет собой
арбитражную прибыль, поскольку он мог выписать опцион колл, положить
премию к себе в карман, а затем подобрать портфель-копию, чтобы
хеджировать короткий опцион колл. Что он упустил из виду?
7.
денежные
Cтавка
дисконтирования
потоки
CFB = (0, −120);(1,125);(2,65) .
A
равна
B:
и
r = 12% .
Рассматриваются
CFA = (0, −110);(1,140);(2,70)
и
Требуемый период окупаемости не должен
превышать 2.75 года, а будущие поступления в текущем выражении на
каждый вложенный рубль должны составлять не менее 1.5 руб.
Вопрос 1. Укажите формулу для NPV денежного потока
Вопрос 2. Укажите (точный) период окупаемости проекта A
Вопрос 3. Укажите (точный) дисконтированный период окупаемости
проекта A .
Вопрос 4. Окупится ли проект A в установленный срок?
Вопрос 5. Найти индекс доходности (PI) проекта A , сравнить с
критическим значением
Вопрос 6. Проекты A и B взаимно исключающие. Определить
предпочтительный проект, анализируя NPV
Вопрос 7. Проекты A и B взаимно исключающие. Определить
предпочтительный проект, анализируя PI (индекс доходности).
Вопрос 8. Дополнительно предположим, что уровень годовой
инфляциии равен 5% . Найти денежный поток A и ставку дисконтирования в
реальном выражении.
3
Вопрос 9. Сравнить NPV для потока A , посчитанный в реальном
выражении (вопрос 8), с NPV, посчитанным в номинальном выражении
(вопрос 6).
8.
. Cтавка дисконтирования, сложившаяся на рынке, равна r = 8% .
Инвестор рассматривает проекты A , B и C , генерирующие следующие
денежные
CFA = (0, −150);(1,180)
потоки
CFC = (0, −14);(1,26);(2, −6)
и
CFB = (0,10);(1, −18)
,
.
Вопрос 1. Рассчитав IRR денежного потока A и указав ее значение,
определите, следует ли браться за данный проект.
Вопрос 2. Рассчитав IRR денежного потока B и указав ее значение,
определите, следует ли браться за данный проект.
Вопрос 3. Рассчитать модифицированную IRR (в процентах) для потока
C.
9.
60000
Keller Co. приобрела четыре года назад оборудование ценой
ден.ед. В начале этого года компания затратила еще 6500 ден.ед. на
модернизацию данного оборудования. В настоящее время фирма не
использует данное оборудование и получило предложение продать его по
цене 78000 ден.ед. Однако Keller Co. думает о расширении своей
деятельности, и в таком случае оборудование будет использоваться. Если
Keller Co. примет решение о расширении, то какую стоимость оборудования
следует приписать проекту по расширению в качестве первоначальных
инвестиций? Ставка дисконтирования r = 11%
10.
Дивидендная
доходность
по
акциям
Martin's
Mills,
Inc.
составляет 2% . Текущие дивиденды в расчете на акцию составили 1.7 ден.ед.
В следующем году фирма планирует выплатить в качестве дивидендов 1.768
ден.ед. на акцию. В будущем рост дивидендов сохранится на текущем
уровне. Найти текущую стоимость акции, темп роста дивидендов и
доходность по акциям данной компании.
4
Вопрос 1. Найти текущую цену акции компании.
Вопрос 2. Найти темп роста дивидендов.
Вопрос 3. Указать формулу для поиска доходности r акции.
11.Инвестор приобретает некоторый рисковый актив за 100 д.е. с тем,
чтобы продать его через два месяца. Одновременно за 2 д.е. инвестор
приобретает европейский опцион пут на этот актив с сроком
исполнения через два месяца и ценой исполнения 103 д.е. Для этих
целей инвестор занимает 102 д.е. под 9% годовых при непрерывном
начислении процентов. Определить (в зависимости от цены базового
актива на момент продажи) прибыль, которую принесет планируемая
операция.
12. Построить и обосновать арбитражную стратегию, если нарушен
паритет цен европейских опционов так, что Ct – Pt > St –
K
(1 + r )T −t ,где St, Ct и Pt – цены в момент времени t соответственно на
актив и опционы колл и пут на этот актив с датой исполнения T и
ценой исполнения K.
13.Трехпериодная
биномиальная
модель
задана
следующими
параметрами u = 1,12; d = u–1 ; r = 1%. Текущая цена базового
актива равна 100. Найти цену американского опциона пут со сроком
исполнения до конце четвертого периода и ценой исполнения 100.
14.Найдите реальный доход вкладчика, если на депозит положено 1 млн.
руб. на 5 лет под 12% годовых с ежеквартальным начислением
процентов при полугодовой инфляции 3% . Ответ округлите до
ближайшего целого.
15.На банковский счет ежегодно зачисляется сумма 12 тыс. рублей под
12% годовых. Найдите сумму на счете через 7 лет для следующих
схем платежей и начислений процентов:
a) поступление средств в конце года, годовое начисление процентов;
б) поступление средств в конце года, полугодовое начисление
процентов;
5
в) поступление средств в конце каждого полугодия равными суммами,
годовое начисление процентов;
г) поступление средств в конце каждого квартала равными суммами,
полугодовое начисление процентов;
д) поступление средств в конце каждого квартала равными суммами и
ежеквартальное начисление процентов.
16.Сотрудник компании получил кредит на трехлетнее обучение в
размере 600 тыс. рублей под 5% годовых. После обучения он
обязуется выплачивать 10% процентов от годовой зарплаты 1 млн. 200
тыс. рублей в конце года. Через сколько лет после окончания обучения
он выплатит кредит?
17.Найдите изменение рыночной цены пятилентней облигации n = 5 ,
номинальной стоимостью N = 10 тыс. руб. и купонной ставкой q = 7% ,
если ее доходность к погашению ρ а) увеличилась с 7% до 8% , б)
уменьшилась с 7% до 6% .
18.Найдите величину дисконта
стоимостью N = 10 тыс. руб.
рыночная цена за 5 лет до
облигация продается а) за 5
погашения.
пятилетней облигации номинальной
и купонной ставкой q = 7% , если ее
погашения равна V = 9600,73 руб. и
лет до погашения; б) за 4 года до
19.Сформируйте портфель из 3--х летней и 7--ми летней бескупонных
облигаций, иммунизирующий 6-ти летнюю бескупонную облигацию
номинальной стоимостью 10 тыс. руб. при 12% годовой ставке.
20.Три облигации с одинаковой номинальной стоимостью 25 тыс.руб,
сроком погашения 5 лет, купонной ежегодной ставкой 9% имеют
различные доходности к моменту погашения 6, 9 и 12 процентов.
Найдите рыночные стоимости этих облигаций. Объясните результат.
21. Две облигации имеют одинаковые номинальные стоимости 75 тыс.
руб., купонные ставки 6% и доходности к погашению 10% , но разные
сроки погашения 10 и 5 лет соответственно. Найдите курсы этих
облигаций. Объясните результат.
22. Найдите изменение стоимости облигации со сроком обращения n = 5
лет и купонной ставкой q = 7% , продаваемой по номиналу N = 100 тыс.
6
руб. при увеличении и уменьшении доходности на 1% . Объясните
результат.
23. Выгодно ли сегодня продать облигацию, номинальная стоимость
которой 100 тыс.руб, срок погашения 10 лет, купонная ставка
процента 7% , доходность равна 12% , а рыночная цена облигации
равна 75 тыс. руб.? Ответ обоснуйте.
24.Найдите дюрацию облигации сроком до погашения 7 лет и ежегодной
купонной ставкой 7% , если ее доходность к моменту погашению равна
10% .
25. Найдите дюрацию облигации сроком до погашения 7 лет, купонной
ставкой 7% и номиналом 100 тыс.руб, которая продается по цене 85
тыс.руб.
26. Инвестиционный портфель содержит 15% облигаций с дюрацией 2
года, 25% облигаций с дюрацией 4 года, 40% с дюрацией 3 года и 20%
облигаций с дюрацией 5 лет. Найдите дюрацию такого портфеля.
27.Используя дюрацию, найдите в первом приближении ожидаемую цену
облигации номиналом 100 тыс. руб., купонной ставкой 7% (с
ежегодной выплатой), рыночной ценой за 7 лет до погашения 85 тыс.
руб, если ожидается рост доходности на 2% .
28.Корпорация купила за 5 долларов колл опцион. Прибыль от колл
опциона
на некоторый актив с ценой исполнения K , равной 100
долларов, и днем исполнения T , наступающим через два месяца.
Игнорируя стоимость хранения денег, найдите зависимость прибыли,
которую получит корпорация, от цены S (T ) актива в момент
исполнения T .
29.Корпорация купила за 5 долларов колл опцион на некоторый актив с
ценой исполнения K , равной 100 долларов, и днем исполнения T ,
наступающим через два месяца. Предполагая, что процентная ставка
постоянна и равна 8% годовых, найдите зависимость прибыли,
которую получит корпорация, от цены S (T ) актива в момент
исполнения T
30.Цена S (t ) некоторого актива в текущий момент времени t равна 40
долларов, а его волатильность σ = 20% годовых. В рамках
однопериодной биномиальной модели вычислите текущую цену c(t )
7
трехмесячного опциона колл с ценой исполнения 41 доллар.
Процентная ставка r постоянна, начисляется непрерывно и равна 7%
годовых.
31.Текущая цена акции равна 200 долларов. По ней будут выплачены
дивиденды в размере 10 долларов через один и два года. Найдите цену
поставки двухлетнего фьючерса на эту акцию. Процентная ставка
предполагается постоянной и равной 5% годовых.
32.Цена некоторой акции сегодня равна 100 долларов. Процентная ставка
равна 8% годовых. Дивиденды, равные 1% годовых, за акцию будут
выплачены через полгода и через год. Найдите цену поставки годового
фьючерса.
33.Инвестор покупает двухмесячный пут опцион за 5 долларов с ценой
исполнения 100 долларов. Пренебрегая стоимостью хранения денег,
нарисуйте график зависимости прибыли пут опциона в зависимости от
цены актива ко дню исполнения.
34. Инвестор прода ɺɺå т акцию за 30 долларов и покупает колл на эту
акцию за 3 доллара. Цена исполнения опциона 33 доллара. В момент
исполнения опциона инвестор покупает акцию, либо исполняя опцион,
либо на рынке. Естественно, что инвестор делает более выгодный для
себя выбор. Пренебрегая разницей стоимости денег в различные
моменты времени, нарисуйте график зависимости прибыли инвестора
от этой операции в момент исполнения опциона.
35. Текущая цена актива равна 40 долларов. Предполагается, что месяц
спустя цена актива может быть равна 38 долларов или 42 доллара. В
рамках однопериодной модели ценообразования опционов вычислите
текущую стоимость месячного опциона колл на этот актив, цена
исполнения которого равна 41 доллар. Процентная ставка r
постоянна, начисляется непрерывно и равна 7% годовых.
36. Цена S (t ) некоторого актива в текущий момент времени t равна 40
долларов, а его волатильность σ = 20% годовых. В рамках
однопериодной биномиальной модели вычислите текущую цену c(t )
тр ɺɺå хмесячного опциона колл с ценой исполнения 42 доллара.
Процентная ставка r постоянна, начисляется непрерывно и равна 9%
годовых.
8
37. Текущая цена актива равна 40 долларов. В рамках однопериодной
модели ценообразования опционов вычислите текущую стоимость
месячного опциона пут на этот актив, цена исполнения которого равна
равна 20% годовых.
39 долларов. Волатильность актива σ
Процентная ставка r постоянна, начисляется непрерывно и равна 7%
годовых.
38. В однопериодной модели ценообразования опционов цена акции в
начале периода равна 32 доллара, а в конце периода "--- 30 или 35
долларов. Цена исполнения колл опциона со сроком исполнения в
конце периода равна 34 доллара. Приведите пример безрискового
портфеля, состоящего из акций и колл опционов на эту акцию.
39. В однопериодной модели ценообразования опционов цена акции в
начале периода равна 32 доллара, а в конце периода "--- 30 или 35
долларов. Цена исполнения пут опциона со сроком исполнения в
конце периода равна 31 доллар. Приведите пример безрискового
портфеля, состоящего из акций и пут опционов на эту акцию.
40. Текущая цена актива равна 40 долларов, а его волатильность "--- 20%
годовых. В рамках двухпериодной биномиальной модели вычислите
цену тр ɺɺå хмесячного колл опциона, цена исполнения которого равна
41 доллар. Процентная ставка r постоянна, начисляется непрерывно и
равна 7% годовых.
41. Цена S (t ) некоторого актива равна в текущий момент времени t равна
40 долларов, а его волатильность σ = 20% годовых. Составьте
шестипериодную модель (с ∆t = 1 месяц) ценообразования опционов и
вычислите текущую цену шестимесячного опциона пут на
рассматриваемый актив. Цена исполнения опциона K = 41 доллар,
постоянная процентная ставка r , начисляемая непрерывно, равна 9%
годовых.
9