Один процент от числа – это сотая часть этого числа. Например, 1% от числа 200 есть 2, а 1% 30 от числа 30 есть = 0, 3 . Поэтому, например, 12% от 18 составляет двенадцать сотых числа 100 12 ⋅ 18 = 0,12 ⋅ 18 = 2,16 . 18, то есть 100 Увеличим число 30 на 15%. Что это значит? На сколько мы должны увеличить 30? На величину, равную 15% от 30, то есть на 0,15 ⋅ 30 = 4,5 . Теперь увеличиваем: 30 + 0,15 ⋅ 30 = 30 + 4, 5 = 34,5 . Можно сделать и по-другому. Пусть 30 составляет 100%, тогда после увеличения на 15% получим число, составляющее 115% от 30. Обозначим это новое число буквой x и запишем 30 − 100% 30 ⋅ 115 345 пропорцию , из которой 100 x = 30 ⋅ 115 , x = = = 3, 45 . x − 115% 100 10 Теперь, если мы хотим увеличить, например, число а на 15%, запишем a + 0,15a = 1,15a . Если хотим увеличить а на 20%, запишем a + 0, 20a = 1, 2a , на 48% - a + 0, 48a = 1, 48a и так далее. Аналогично, при уменьшении а на 15% получим a − 0,15a = 0,85a , при уменьшении а на 27% получим a − 0, 27 a = 0, 73a . Задача 1. Цена товара была повышена на 10%, а затем снижена на 10%. Изменилась ли в итоге цена? Решение. Конечно, увеличив цену, скажем, на 12 рублей, а затем снизив на 12 рублей, мы получим первоначальную цену без изменений: x + 12 − 12 = x . Но с процентами это будет не так. Давайте смотреть. Пусть исходная цена равна t . Повышаем цену на 10%: t + 0,1t = 1,1t . Прирост цены в рублях составил 0,1t . Теперь снижаем полученную цену 1,1t на 10%: 1,1t − 0,1 ⋅ 1,1t = 0,9 ⋅ 1,1t = 0, 99t . Снижение произошло на 0,1 ⋅ 1,1t = 0,11t рублей, что больше, чем прирост 0,1t . Поэтому, в результате этих манипуляций цена изменилась по сравнению с исходной: была t , а стала 0, 99t . Она уменьшилась на 1%. Задача 2. Волнистый попугай дешевле хохлатого на 37,5%. На сколько процентов хохлатый попугай дороже волнистого? Решение. Пусть хохлатый попугай стоит x рублей. Волнистый стоит на 37,5% меньше, то есть x − 0, 375 x = 0, 625 x рублей. В задаче требуется сравнить стоимость хохлатого попугая со стоимостью волнистого, поэтому именно стоимость волнистого попугая мы должны принять 0, 625 x − 100% за 100%. Составим пропорцию , из которой 0, 625 x ⋅ ? = 100 x . Тогда x − ?% 100 x 100000 1000 ⋅ 100 ?= = = = 40 ⋅ 4 = 160% , то есть стоимость хохлатого попугая составляет 0, 625 x 625 25 ⋅ 25 160%, что на 60% больше стоимости волнистого. Задача 3. Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара? Решение. Пусть первоначально товар стоил x рублей. Повышаем цену на 25%: 1, 25 x , повышаем ещё на 10%: 1,1 ⋅ 1, 25 x , и ещё на 12%: 1,12 ⋅ 1,1 ⋅ 1, 25 x = 1,54 x . Таким образом, общее повышение составляет 54%. Задача 4. Три числа относятся как 2 : 3 : 7. Если первое число уменьшить на 20%, а второе – на 10%, то на сколько процентов надо увеличить третье число, чтобы их сумма не изменилась? Решение. Отношение 2 : 3 : 7 означает, что числа имеют вид 2 x, 3 x, 7 x . Первое число, уменьшенное на 20%, превратится в 0,8 ⋅ 2 x = 1, 6 x , второе, уменьшенное на 10%, - в 0,9 ⋅ 3 x = 2, 7 x . По условию задачи 1, 6 x + 2, 7 x + ? = 2 x + 3 x + 7 x , где за ? обозначен результат увеличения 7 x на некоторое число процентов. Из этого уравнения ? = 7, 7 x . Остаётся понять, на сколько процентов 7, 7 x 7 x − 100% 7, 7 x ⋅ 100 больше, чем 7 x . Составим пропорцию , из которой ? = = 110% . Значит, 7, 7 x − ? % 7x третье число нужно увеличить на 10%. Задача 5. Первый сплав содержит 5% меди, второй – 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Решение. В задачах на смеси и сплавы нужно следить за абсолютными единицами измерения, то есть в данном случае за килограммами. Обозначим массу первого сплава за x кг, тогда масса второго будет равна x + 9 кг, а масса третьего x + x + 9 = 2 x + 9 кг. Найдём массу меди в каждом сплаве. В первом сплаве меди 0, 05 ⋅ x кг, во втором сплаве меди 0,13 ( x + 9 ) кг, и в третьем - 0,11( 2 x + 9 ) кг. Поскольку при сплавлении медь одного сплава соединяется с медью другого, то должно быть верно равенство 0, 05 x + 0,13 ( x + 9 ) = 0,11( 2 x + 9 ) , из которого x = 4,5 . В ответ пишем массу третьего сплава 2 x + 9 = 18 кг. Задача 6. Смешав 43-процентный и 47-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 41-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50процентного раствора той же кислоты, то получили бы 45-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 43-процентного раствора использовали для получения смеси? Решение. Пусть первого раствора брали x кг, второго y кг. Тогда кислоты в первом растворе 0, 43 x кг, во втором кислоты 0, 47 y кг. Новый раствор весит x + y + 10 кг, и кислоты в нём 0, 41( x + y + 10 ) кг. Складывая массы кислот, получим уравнение 0, 43x + 0, 47 y = 0, 41( x + y + 10 ) . Во втором случае масса всего нового раствора будет такой же: x + y + 10 кг, поскольку добавляется в любом случае 10 кг. Но кислота сложится уже из трёх растворов: в 43% растворе 0, 43 x кг, в 47% - 0, 47 y кг и в 50% - 0,5 ⋅ 10 = 5 кг кислоты, поэтому суммарная масса кислоты будет 0, 43 x + 0, 47 y + 5 кг. С другой стороны, её 45% в растворе массой x + y + 10 кг, то есть 0, 45 ( x + y + 10 ) кг. Получаем ещё одно уравнение 0, 43x + 0, 47 y + 5 = 0, 45 ( x + y + 10 ) . 0, 43 x + 0, 47 y = 0, 41( x + y + 10 ) Решаем эти два уравнения совместно: 0, 43 x + 0, 47 y + 5 = 0, 45 ( x + y + 10 ) 43 x + 47 y = 41( x + y + 10 ) Домножим для удобства каждое уравнение на 100: 43 x + 47 y + 500 = 45 ( x + y + 10 ) 2 x + 6 y = 410 x + 3 y = 205 4 y = 180 y = 45 Вычитаем уравнения: 2 x − 2 y = 50 x − y = 25 x − y = 25 x = 70 В ответ запишем массу первого раствора, то есть 70 кг.