260 Получаем, что H ( P0 ) = 0 . Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. В данном случае стационарная точка P0 ( 0;0) является точкой локального минимума, поскольку Δz > 0∀P ∈ O& δ ( P0 ): z min = z( 0,0) = 0. § 13 Условный экстремум функции нескольких переменных Условный экстремум. При отыскании экстремумов функции z = f ( x , y ) часто необходимо их точки не на всей области определения D( f ) , а на некотором ее под- множестве, например на линии L ⊂ D( f ) . Таким образом ставиться задача отыскания на линии L точки P0 ( x 0 , y 0 ) , в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению с ее значениями в точках линии L , находящимися вблизи точки P0 ( x 0 , y 0 ) . Такие точки называются точками условного экстремума функции z = f ( x , y ) на линии L . В отличие от обычной (безусловной) точки экстремума значе- ние функции в точке условного экстремума сравнивается с ее значениями не во всех точках некоторой δ - окрестности точки P0 , а только в тех ее точках, которые лежат на линии L . Поясним постановку задачи следующим примером: пусть требуется найти экстремум функции z = x 2 + y 2 , при условии, что переменные удовлетворяют уравнению x + y − 1 = 0 , которое называется уравнением (условием) связи. Уравнение x + y − 1 = 0 определяет плоскость, параллельную оси OZ и пересекающей плоскость OXY по прямой L. Из уравнения связи находим y = 1 − x . Подставляем это значение в уравнение z = x 2 + y 2 , получаем функцию z = 2 x 2 − 2x − 1 одной переменной х. Находим экстре1 1 при x 0 = . Таким образом, получили, что функ2 2 1 при условии x + y − 1 = 0 имеет локальный минимум z = в точке 2 мум этой функции, получаем z = ция z = x 2 + y 2 ⎛ 1 1⎞ P0 ⎜ , ⎟ . ⎝ 2 2⎠ 261 Рассмотрим теперь общую задачу нахождения условного экстремума функции двух переменных. Пусть требуется найти локальный экстремум функции z = f ( x , y ) при условии, что переменные x и y удовлетворяют уравнению связи ϕ ( x , y ) = 0 . Если уравнение можно однозначно разрешить относительно переменной y , т.е. выразить y как функцию x : y = φ ( x ) , то подставив ее в функцию z, получаем z = f ( x , φ ( x ) ) - функцию одного переменного, которую и исследуем на экстремум. Аналогично поступаем, если можно выразить x , как функцию y . В случае параметрического задания лини L (уравнения связи), x = x( t ) , y = y( t ) подставляем оба эти задания в функцию z = f ( x , y ) и снова имеем функцию одной переменной. Решим задачу в случае когда уравнение связи неразрешимо относительно обеих переменных. Для этого используется метод множителей Лагранжа. Функция z = f ( x , y ) может иметь максимум или минимум при тех значениях x , при которых производная z x′ обращается в нуль. Найдем производную dz dx : dz ∂ z ∂ f dy = + . dx ∂ x ∂ y dx Следовательно, в точках экстремума ∂ z ∂ f dy = 0. + (24) ∂ x ∂ y dx Продифференцировав уравнение связи ϕ ( x , y ) = 0 по x , получим 262 ϕ′ dy ∂ ϕ ∂ ϕ dy + = 0. =− x ⇒ dx ϕ ′y ∂ x ∂ y dx (25) Равенству (25) удовлетворяют все точки x , y лежащие на линии L, задаваемой уравнением связи ϕ ( x , y ) = 0 . Умножим все члены равенства (25) на неопределенный коэффициент λ и сложив их с соответствующими членами равенства (24), получим: ⎛ ∂ f ∂ f dy ⎞ ⎛ ∂ ϕ ∂ ϕ dy ⎞ + + ⎜ ⎟ + λ⎜ ⎟=0 ⎝ ∂ x ∂ y dx ⎠ ⎝ ∂ x ∂ y dx ⎠ или ∂ ϕ⎞ ⎛∂ f ∂ ϕ ⎞ dy ⎛∂ f +λ +λ = 0. (26) ⎟ +⎜ ⎜ ⎟ ⎝∂ x ∂ x⎠ ⎝∂ y ∂ y ⎠ dx Равенство (26) выполняется во всех точках локального экстремума, лежащих на линии L. Подберем неопределенный множитель λ так, чтобы для значений x и y , ∂f ∂ϕ +λ . Тогда и соответствующих экстремуму функции z = f ( x , y ) , коэффициент ∂y ∂y ∂f ∂ϕ +λ тоже обратится в нуль. Таким образом точки локального эксвыражение ∂x ∂x тремума, лежащие на линии L, задаваемой уравнением связи ϕ ( x , y ) = 0 , должны удовлетворять условиям: ∂ϕ ⎧∂ f ⎪ ∂ x + λ ∂ x = 0, ⎪ ∂ϕ ⎪∂ f (27) +λ = 0, ⎨ ∂y ⎪∂ y ⎪ϕ ( x , y ) = 0. ⎪⎩ Решив систему (27), найдем критические точки и вспомогательное число λ . Система уравнений (27) представляет собой необходимые условия существования условного экстремума, т.е. не всякая критическая точка P0 ( x 0 , y 0 ) координаты которой удовлетворяют системе уравнений (27) будет точкой условного экстремума. Для исследования характера критической точки требуется провести дополнительный анализ знака приращения Δz в окрестности критической точки P0 , лежащей на линии L. Заметим, что левые части уравнений системы (27) являются частными производными вспомогательной функции трех переменных F ( x , y , λ ) , называемой функцией Лагранжа: F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λϕ ( x , y ) , где f ( x , y ) - заданная функция; ϕ ( x , y ) - левая часть уравнения связи. Введение вспомогательной функции Лагранжа позволяет сформулировать правило нахождения точек условного экстремума. Для того чтобы определить точки условного экстремума функции z = f ( x , y ) , удовлетворяющие уравнению связи ϕ ( x , y ) = 0 , необходимо: 263 1) составить функцию Лагранжа F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λϕ ( x , y ) ; 2) вычислить частные производные по x , y , λ ; 3) приравняв к нулю найденные производные, составить систему уравнений (27) и решив ее, определить координаты критических точек возможного условного экстремума; 4) определить знак приращения Δz в окрестностях критических точек по тем точкам окрестности, которые удовлетворяют уравнению ϕ ( x , y ) = 0 , т.е. лежат на линии L. Если окажется, что (∀P ∈ L) ∩ ( P ∈ Oδ ( P0 )) ⇒ Δz = f ( P) − f ( P0 ) > 0, то P0 ( x 0 , y 0 ) − точка условного минимума; если же (∀P ∈ L) ∩ ( P ∈ Oδ ( P0 )) ⇒ Δz = f ( P) − f ( P0 ) < 0, то P0 ( x 0 , y 0 ) − точка условного максимума; Пример. Найти локальный минимум функции z = x 2 + y 2 при условии, что точки ( x, y ) лежат на прямой L, уравнение которой x + y − 1 = 0 . Составим функцию Лагранжа: F ( x , y , λ ) = x 2 + y 2 + λ ( x + y − 1) . Находим частные производные функции Лагранжа по x , y , λ : Fx′ = 2 x + λ , Fy′ = 2 y + λ , Fλ′ = x + y − 1 . Составим и решим систему уравнений вида (27): ⎧ Fx′( x , y , λ ) = 0, ⎧2 x + λ = 0, ⎧ x = 0,5, ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ Fy′( x , y , λ ) = 0, ⇔ ⎨2 y + λ = 0, ⇔ ⎨ y = 0,5, ⎪ ⎪ x + y − 1 = 0, ⎪λ = −1. ⎩ ⎩ ⎪⎩ Fλ′( x , y , λ ) = 0, Таким образом нашли единственную критическую точку P0 ( 0,5;0,5) ∈ L . Можно опре- делить, что для любой точки P ∈ L , выполняется условие f ( P0 ) > f ( P) . Следовательно точка P0 (0,5;0,5) является точкой условного минимума. Метод множителей Лагранжа можно обобщить на случай функции трех переменных. Поясним этот случай на примере. Пример. Из листа жести площадью 2a 2 надо сделать закрытую коробку в форме параллелипипеда, имеющую наибольший объем. Задача сводится к отысканию минимума функции V = xyz , где x , y , z − соответственно длина, ширина и высота коробки, при условии S = 2a 2 ⇔ xy + xz + yz = a 2 . Составим функцию Лагранжа: F ( x , y , z , λ ) = xyz + λ ( xy + xz + yz − a 2 ) . Найдем частные производные Fx′, Fy′ , Fz′, Fλ′ , приравнивая их к нулю получим систему уравнений: 264 ⎧Fx′( x , y , z , λ ) = 0, ⎧ yz + λ ( y + z ) = 0, ⎪ ⎪ ⎪Fy′( x , y , z , λ ) = 0, ⎪xz + λ ( x + z ) = 0, ⇔⎨ ⎨ ⎪Fz′( x , y , z , λ ) = 0, ⎪xy + λ ( x + y ) = 0, ⎪ ⎪xy + xz + yz − a 2 = 0. ⎩ ⎩Fλ′ ( x , y , z , λ ) = 0, Решив эту систему получим координаты критической точки P0 : x0 = y0 = z0 = a . 3 По смыслу задачи эта точка является точкой условного максимума, т.к. объем коробки не может быть неограниченно большим, значит при определенных условиях он будет наибольшим. § 14 Наибольшее и наименьшие значения ( глобальные экстремумы ) функции двух переменных в замкнутой области Пусть функция z = f ( x , y ) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда в области D она достигает своих наименьшего и наибольшего значений, причем эти значения достигаются либо внутри области D, либо на границе. Точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения в ограниченной замкнутой области, называют также точками абсолютного или глобального экстремума. Если наибольшее или наименьшее значения достигаются во внутренних точках области, то это точки локального экстремума функции z = f ( x , y ) . Таким образом точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения являются либо локальными экстремумами, либо граничными точками области. Следовательно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f ( x , y ) в ограниченной замкнутой области D, следует вычислить значение функции в критических точках области D, а также наибольшее и наименьшее значения функции на границе. Если граница задана уравнением ϕ ( x , y ) = 0 , то задача отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на границе области D сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений (абсолютного экстремума) функции одной переменной, так как уравнение границы области D - ϕ ( x , y ) = 0 связывает переменные x и y между собой. Значит, если разрешить уравнение ϕ ( x , y ) = 0 относительно одной из переменных или параметрические уравнения границы области D и подставить их в уравнение z = f ( x , y ) , то придем к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной. Если уравнение ϕ ( x , y ) = 0 невозможно разрешить относительно одной из переменных или невозможно найти параметрическое задание границы, то задача сводится к отысканию условного экстремума. Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2 x 3 − 6 xy + 3 y 2 1 2 в замкнутой области D, ограниченной осью OY, прямой y = 2 и параболой y = x 2 при x ≥ 0 . 265 Определим критические точки, лежащие внутри области D. Вычислим частные производные z x′ = 6 x 2 − 6 y , z ′y = −6 x + 6 y . Составляем систему уравнений ⎧ 6 x 2 − 6 y = 0, ⎨ ⎩− 6 x + 6 y = 0. Решив эту систему получим координаты двух критических точек О(0;0) и М(1;1). Точка О(0;0) принадлежит границе области. Следовательно, если функция принимает наибольшее(или наименьшее) значение внутри области D, то только в точке М(1;1). Исследуем функцию на границе области. На отрезке ОА x = 0 и, следовательно 2 z = 3 y ( 0 ≤ y ≤ 2) . Функция z = 3 y 2 является возрастающей функцией одной переменной на отрезке [ 0;2] , наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка ОА. На отрезке АВ y = 2 , поэтому здесь функция z = 2 x 3 − 12 x + 12 ( 0 ≤ x ≤ 2) представляет собой функцию одной переменной х. Ее глобальные экстремумы находятся среди локальных экстремумов и значениях на концах отрезка. Исследуем функцию на экстремум dz = 6x 2 − 12 = 0 ⇒ x = ± 2 . dx Отрезку [ 0;2] принадлежит значение x = 2 . На отрезке АВ этому значению соответ- ствует точка Q( 2 ;2) .