Случайные процессы и анализ временных рядов Random Processes and Time Series Analysis Курс лекций в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского осенью 2014 года лектор: Янсон Наталия Борисовна, университет Лафборо (Великобритания) Общее описание курса Настоящий курс посвящен изучению случайных процессов и анализу временных рядов. Идея данного курса состоит в том, чтобы дать студентам представление о математической основе анализа экспериментальных и статистических данных. В современном мире существует большое количество компьютерных программ, которые используются в различных компаниях для обработки экспериментальных данных, например, для анализа финансовых процессов. Однако, опыт показывает, что многие не знают, как извлечь полезную информацию из данных, характеризующих случайные процессы. Особая проблема связана с корректным выбором параметров использующихся алгоритмов и с интерпретацией полученных результатов. На ознакомление студентов с особенностями изучения случайных процессов и анализа временных рядов и нацелен данный курс. В начале курса будет дано представление об основных статистических методах, использующихся для анализа случайных данных, для которых последовательность во времени не важна. Затем будет сделано краткое введение в теорию случайных процессов и подчеркнута важность порядка событий во времени; будут даны определения самых необходимых характеристик случайных процессов, которые можно оценить по временным рядам. После этого описываются практические методы и полезные приемы, позволяющие посчитать нужные характеристики по данным, и перечисляются основные источники ошибок, о которых необходимо иметь представление при интерпретации результатов. В основной части курса будут обсуждаться классические, хорошо разработанные и опробованные теории и методы, связанные с анализом данных. В заключение студентам будет дано представление на концептуальном уровне о наиболее современном, мощном, но и математически наиболее сложном методе выявления временных масштабов в экспериментальных данных – вейвлетном анализе. Лекционный курс будет прочитан полностью по каноническим правилам типичного английского курса для бакалавриата, с использованием «lecture notes with gaps» (готовых конспектов, которые раздаются студентам перед лекцией в распечатанном виде, и в которых есть пробелы для некоторых формул), «lecture slides» (презентаций, по которым читаются лекции, содержащие все формулы, которые студенты должны вписать в конспект), «problem sheets» (листов с задачами на только что рассмотренную тему). Курс рассчитан на 9 недель. На каждую неделю будет приходиться две академических пары лекций и одна академическая пара семинара, на котором будут рассматриваться задачи по только что представленному материалу. Конспекты, слайды лекций и задачи для семинаров будут на английском языке. В то же самое время, для наиболее широкого охвата аудитории, лекционный курс будет прочитан на русском языке, с элементами английского, при этом соотношение русского и английского языков будет подобрано лектором с учетом уровня владения студентами английским языком. После завершения лекционного курса будет проведен письменный экзамен по стандарту, принятому в британских университетов. Программа курса 1. Статистика. 1.1. Напоминание об основных понятиях теории вероятности. Дискретные и непрерывные случайные величины и их плотности распределения вероятности (ПРВ). Свойства ПРВ, среднее значение, наиболее вероятное значение, дисперсия и стандартное отклонение. Нормальное распределение (стандартное и нестандартное) и его свойства. 1.2. Понятие о случайной переменной, популяция и случайная выборка. Выборочное распределение. Центральная предельная теорема и ее отношение к выборке. Оценка среднего и дисперсии популяции по ее случайной выборке. Большая и малая выборка, смещенная и несмещенная оценка. 1.3. Доверительный интервал. Проверка гипотез. Односторонний и двусторонний критерии. Использование нормального распределения для оценки доверительного интервала и проверки гипотез, когда случайная выбока является большой. Использование t-распределения для малой выборки. 2. Случайные процессы. 2.1. Ансамбль реализаций случайного процесса. Плотность распределения непрерывной случайной величины: от 1-го до N-го порядка. Квазидетерминированный случайный процесс. Фундаментальная теорема для случайной величины. 2.2. Автокорреляционная функция и ковариация случайного процесса. Стационарность случайного процесса. Стационарность различных порядков, стационарность в широком смысле. Память случайного процесса и время корреляции. 2.3. Эргодичность случайного процесса и отношение к стационарности. Эргодичность по отношению к среднему, дисперсии и ковариации. 3. Анализ временных рядов. 3.1. Визуальный анализ экспериментальных данных, нахождение средних значений. Одномерная плотность распределения из экспериментальных данных: из ансамбля реализаций и из одной реализации. Нахождение среднего, среднеквадратичного и ковариации из одной реализации эргодического случайного процесса. 3.2. Временные масштабы в случайном процессе. Ритм, его временной масштаб и устойчивость. Отношение к предсказуемости случайного процесса. Частотные составляющие случайного процесса. Преобразование Фурье и его свойства. Амплитудный и фазовый спектры Фурье. Преобразование Фурье специальных функций: дельта-функции Дирака, сдвинутой во времени дельта-функции, константы, экспоненты мнимого аргумента, косинуса, косинуса конечной длительности. Принцип неопределенности преобразования Фурье. 3.3. Спектральный анализ случайных процессов. Спектральная плотность мощности (спектр) и теорема Винера-Хинчина. Энергия и мощность случайного процесса. Два метода нахождения спектра: по теореме Винера-Хинчина и по ансамблю реализаций. 3.4. Приближенная оценка спектра мощности по экспериментальным данным. Ошибка, вносимая конечным временем наблюдения. Дискретное преобразование Фурье конечного временного ряда и его ограничения. Выборка временного ряда и теорема Котельникова-Найквиста. Искажение спектра из-за неправильной выборки. Операция свертки и просачивание мощности в спектре. Процедура умножения на временное окно для уменьшения ошибки при оценке спектра. 3.5. Представление о вейвлет-преобразовании и его применимость к нестационарным данным.