Прогнозирование повреждений, обусловленных изнашиванием

Пример реализации процесса Ht представлен на рис. 6.20.
Рис. 6.20. Схематическая реализация процесса изнашивания
по трехчленной модели
В сравнении с моделями, представленными выше, трехчленная
модель (6.44) отличается тем, что наряду с ее линейным характером и
случайными флуктуациями износа здесь выступают постоянные
периодические отклонения с частотой, которая отвечает
циклическому изменению условий работы системы (например, запуск
двигателя, изменяющийся вращательный момент, переменные
внешние температуры и т.п.).
6.4. Прогнозирование повреждений,
обусловленных изнашиванием
6.4.1. Прогнозирование распределения моментов
времени повреждений
Предварительно в 5.2.1 и 6.1 повреждением считается факт
превышения критическим параметром (линейным износом)
допустимой величины hm. Поскольку износ характеризуется
363
определенным статистическим разбросом, то моменты времени
повреждений также будут иметь разброс. То есть промежутки
времени до момента повреждения являются по характеру случайными
переменными с функцией плотности f(t). Распределение этой
случайной переменной будет распределением долговечности
(продолжительности, ресурса) технической системы и однозначно
связано с функцией плотности f(h) распределения износа, которая
ранее представлена на рис. 6.2.
Функция плотности распределения износа описывается
величинами математического ожидания mh и среднеквадратичного
отклонения σh. Используя зависимости (6.19) и (6.20), получаем
f [ h(T) ] = f [ mIh , σIh, ],
(6.45)
где f[h(T)] – функция плотности распределения износа в момент
времени Т, причем Т является временем нормальной работы.
При наличии зависимости (6.45), в случае известной функции
плотности интенсивности износа f(Ih), возможно по формуле (6.1)
установить распределение долговечности. Полагая, что
интенсивность изнашивания характеризуется нормальным законом
распределения с функцией плотности f(Ih)
f(Ih ) =
1
σ Ih
⎡ (Ih − mIh ) ⎤
exp ⎢ −
⎥,
2σ 2Ih ⎥⎦
2π
⎢⎣
(6.46)
возможно доказать, что функция распределения плотности износа
будет иметь вид
2
⎡
⎤
f(h) =
1
σ Ih
(h − h 0 − mIh t)
1
exp ⎢ −
⎥.
2(σ Ih t)2
2π t
⎣⎢
⎦⎥
(6.47)
Также возможно доказать, что функция плотности распределения
долговечности f(t) имеет вид
⎡ (h − h 0 − m I t) 2 ⎤
h −h 1
f(t) =
m
o
2
σ Ih 2π t
exp ⎢ −
⎣⎢
h
2σ 2Ih t 2
⎥.
⎦⎥
(6.48)
При известной функции плотности распределения долговечности
можно определить параметры распределения долговечности,
которыми являются:
– средняя долговечность (математическое ожидание
распределения)
364
ts =
hm − ho
,
mIh
(6.49)
при этом следует указать, что ts тождественно θs (средний ресурс),
представленному формулой (5.38));
– доминирующая долговечность (доминанта) – это значение
долговечности, которое чаще всего встречается в исследуемом
множестве триботехнических систем2
2
t dom
(h m − h o ) ⎡ (mIh ) + 8σIh − mIh ⎤
⎣
⎦;
=
4σ2Ih
(6.50)
– среднеквадратичное отклонение (оно является мерой рассеяния
вокруг средней величины)
σt =
σ Ih
m Ih
ts.
(6.51)
Сравнивая формулы (6.49) и (6.50), можно заметить, что tdom < ts,
то есть функция (6.48) имеет максимум, расположенный слева от
Рис. 6.21. Схема определения распределения долговечности
365
Следует отметить, что распределение долговечности существенно
зависит от параметровm I h , σ I h
распределения интенсивности
изнашивания.
С практической точки зрения очень важной проблемой является
вычисление для принятого распределения долговечности
соответствующих гамма-процентных ресурсов (формула 5.37). В
данном случае он вычисляется по зависимости
tγ =
hm − h0
,
mIh + σ Ih X γ
(6.52)
где Хγ – значение функции Лапласа для принятой вероятности; если,
например, вычисляется 90% ресурс (γ = 90% = 0,9), то есть ищем
долговечность, которую достигнет 90% систем (10% систем раньше
выйдет из строя), то следует найти в таблицах функции Лапласа
значение аргумента, для которого она равна 1 – γ.
Потребителя чаще всего интересует величина γ – процентного
ресурса (90% или 95%), поскольку она определяет минимальную
долговечность технической системы, например, двигателя. В
специальных задачах (например, исследовательских) чаще всего
указываются значения средней долговечности (то есть 50% ресурса) и
среднеквадратичное отклонение. Полная характеристика
долговечности получается, однако, только тогда, когда известна
функция плотности распределения долговечности f(t). Ее
аналитическое представление можно получить при наличии двух из
трех параметров распределения долговечности ts, tdom, σt или также
тmрI е х
“входных”
параметров
–
hm
–
ho,
, σt. Последняя из указанных возможностей построения функции
f(t) является предметом исследований в вышеприведенной модели
прогнозирования повреждений вследствие износа (модели
прогнозирования долговечности).
h
6.4.2. Процедура решения
С целью определения распределения прогнозируемых
повреждений используется следующий алгоритм:
– Выбирается критический параметр, характеризующий состояние
пригодности технической системы (элемента). Например, для
цилиндропоршневой группы критическим параметром принимается
выбранный параметр ее плотности, в частности, зазор между
поршнем и цилиндром.
366
– Принимается максимальная допустимая величина критического
параметра hm согласно техническим условиям, нормам или
результатам исследований.
– Определяется начальное значение критического параметра ho по
результатам исследований или (с целью облегчения) по
конструкторской документации (согласно полям допусков).
– Вычисляется различие hm – ho.
mI
– Устанавливается величина
средней интенсивности изменений
критического параметра
(средняя интенсивность изнашивания).
С целью реализации вышеприведенных процедур следует
выполнить серию измерений значений критического параметра h,
регистрируя в каждом случае его величины hi и время работы
трибосистемы.mИзмерения
возможно проводить на одном или многих
Ih
вычисляются по формулам
экземплярах. Значения Ihi и
h
Ihi =
hi − h0
,
ti
(6.53)
1 n
∑Ihi ,
n i=1
(6.54)
mIh =
где n – общее количество измерений.
Определяется среднеквадратичное
отклонение σIh по формуле
n
σI h =
1
(Ihi − mIh )2 .
∑
n i=1
(6.55)
m I σ Ih
При известных значениях величин hm, ho,
,
можно
определить по (6.48) функцию плотности распределения
долговечности f(t) технической (триботехнической) системы.
Соответственно, используя формулы (6.49)-(6.52), можно определить
отдельные параметры распределения долговечности. Если известен
вид функции f(t), то также можно определить
функцию надежности R
t
(t) исследуемой системы R(t) = 1 − f(t)dt.
h
∫
0
(6.56)
367