ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ ГОСПИТАЛЯ 1

5185
УДК 519.854.2
ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
ГОСПИТАЛЯ
М.Я. Ковалев
Объединенный институт проблем информатики НАН Беларуси
Беларусь, 220012, Минск, Сурганова ул., 6
E-mail: kovalyov_my@newman.bas-net.by
Э. Козан
Технологический университет Брисбена
Австралия, School of Mathematical Sciences, QUT, GPO Box 2434, Brisbane Qld 4001
E-mail: e.kozan@qut.edu.au
Ключевые слова: теория расписаний, оптимальное планирование, операции госпиталя
Аннотация: Изучается следующая задача. Имеются пациенты, каждый из которых
ожидает операцию, которая должна быть проведена в одной из операционных комнат госпиталя в одном из заданных рабочих интервалов времени с нефиксированным временем завершения. В качестве рабочих интервалов могут рассматриваться
смены или полусмены. Каждый рабочий интервал связан со стоимостью единицы
времени увеличения момента его завершения. Каждый пациент связан с моментом
готовности, ранее которого операция не может быть начата, директивным сроком,
до которого она должна быть завершена, весом, длительностью операции и множеством недопустимых рабочих интервалов. Моменты готовности и директивные
сроки согласованы так, что более ранний момент готовности соответствует более
раннему директивному сроку. Задача состоит 1) в определении значений увеличения моментов завершения рабочих интервалов так, что суммарная стоимость их
увеличения не превосходит заданного порога, 2) в выборе подмножества пациентов
и 3) в допустимом назначении выбранных пациентов в операционные комнаты в рабочих интервалах так, что их суммарных вес максимален. Исследуются два случая
определенных и неопределенных длительностей операций. Неопределенный случай
моделируется дискретно-непрерывными сценариями, и для принятия решения о назначении используется оптимизация в худшем случае.
1.
Введение
Имеется n пациентов множетва N , каждый из которых ожидает операцию, которая должна быть проведена в одном из нескольких операционных комнат госпиталя в
заданных рабочих интервалах времени [At , Bt ], где At < Bt , t = 1, . . . , T . Каждый момент Bt завершения интервала может быть увеличен, и единица времени увеличения
стоит ct . Значение увеличения Bt не должно превосходить δt . Суммарная стоимость
увеличения всех рабочих интервалов не должна превосходить заданного порога C.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
5186
Каждый рабочий интервал связан с операционной комнатой. Эта связь делает
различными рабочие интервалы с одинаковыми моментами начала и завершения.
Рабочие интервалы различных операционных комнат могут пересекаться или совпадать, а рабочие интервалы одной и той же операционной комнаты не могут пересекаться. В практической ситуации, мотивирующей наши исследования, имеется
много рабочих интервалов с одинаковыми моментами начала и завершения, связанными с различными операционными комнатами. Для того, чтобы обрабатывать эту
специфику более эффективно, предполагается, что множество {1, . . . , T } индексов
рабочих интервалов разбито на подмножества Sv , |Sv | > 1, v = 1, . . . , V , V 6 T ,
такие, что каждое подмножество Sv содержит индексы интервалов с одинаковыми
моментами начала и завершения, а различные подмножества Sv содержат индексы
непересекающихся интервалов. Мы предполагаем, что индексы интервалов одного и
того же множества Sv являются последовательными.
Каждый пациент j связан с моментом готовности rj , ранее которого его операция не может начаться, с директивным сроком dj , до которого его операция должна
завершиться, с весом wj , отражающим относительную важность его операции или доход от нее, с длительностью pj его операции, и с множеством Mj ⊂ {1, . . . , T } индексов недопустимых рабочих интервалов, в которых операция j не может быть проведена, поскольку в соответствующих операционных комнатах отсутствуют необходимые для нее ресурсы. Моменты готовности и директивные сроки согласованы таким
образом, что более ранние моменты готовности соответствуют более ранним директивным срокам. Кроме того, rj ∈ {At , Bt | t = 1, . . . , T } и rj ∈ {At , Bt | t = 1, . . . , T }
для всех j ∈ N . Все числовые данные являются неотрицательными действительными
числами.
Задача состоит в определении значений увеличения моментов завершения рабочих интервалов, в выборе подмножества пациентов и в допустимом назначении выбранных пациентов в операционные комнаты в рабочих интервалах так, что моменты
готовности и директивные сроки операций соблюдены, суммарная стоимость увеличения моментов завершения рабочих интервалов не превосходит C, и суммарных вес
назначенных пациентов максимален. Мы обозначаем эту задачу как MaxWeight. В
дальнейшем мы не будем различать пациента и соответствующую ему операцию.
Рассматриваются два варианта этой задачи, а именно, детерминированный и
неопределенный. В детерминированном варианте все числовые параметры являются
заданными числами. В неопределенном варианте длительности операций являются неопределенными. Их неопределенность предлагается моделировать с помощью
дискретно-непрерывных сценариев и использовать для принятия оптимального решения подход оптимизации в худшем случае. Этот подход борьбы с неопределенностью
широко используется в комбинаторной оптимизации и оптимальном планировании,
см., например, Коувелис и Ю [6], Айсси и др. [2], Рой [8], Айсси и др. [1], Перейра и
Авербах [7] и Долгий и Ковалев [4].
Рассмотрим вектор длительностей операций p = (p1 , . . . , pn ). Обозначим через
S множество сценариев для значений этого вектора. Таким образом, p ∈ S. Пусть
(i) (i)
S = S1 ∪· · ·∪Ss , где Si = {p | pj ∈ [aj , bj ], j = 1, . . . , n}, i = 1, . . . , s. Здесь s - количество типов сценариев. Если s = 1, то сценарии являются интервальными, в которых
каждая длительность pj может принять любое действительное значение в заданных
границах независимо от других длительностей. Интервальные сценарии моделируют
ситуацию, в которой границы длительностей операций могут быть надежно определе-
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
5187
(i)
(i)
ны. Если aj = bj , j = 1, . . . , n, сценарии являются дискретными, в которых вектор p
длительностей операций принадлежит заданному множеству сценариев мощности s.
В действительности типы сценариев могут определяться динамически изменяющимися ресурсами, необходимыми для операций, такими как квалификация персонала,
их количество, доступность медицинских материалов и оборудования. Отметим, что
один и тот же тип сценария применяется ко всем операциям.
Задачи построения оптимальных расписаний для госпиталей в последнее время
интенсивно исследуются. Обзор соответствующей литературы приведен Кардоен и
др. [3]. Задача, которая мотивирует наши исследования, и наш подход к моделированию близки к тематике, рассмотренной Ханс и др. [5]. Основные отличия состоят
в том, что эти более ранние исследования используют вероятностный подход для
борьбы с неопределенностью, не рассматривают моменты готовности и директивные
сроки операций, а также стоимости увеличения моментов завершения интервалов
времени, и рассматривают минимизацию сверхурочного времени и максимизацию
числа свободных интервалов времени или их свободное время как критерии.
2.
Практическая ситуация и ее сведение к задаче
MaxWeight
Рассмотрим следующую практическую задачу. Госпиталь имеет список пациентов, каждый из которых ожидает проведение операции. Этот список обновляется
каждое утро. Операции этого списка заранее разбиты на группы, например, на группы g = 1, . . . , G0 , такие, что операции одной и той же группы g имеют одинаковый
момент готовности r(g) and одинаковый директивный срок d(g) . Момент готовности
и директивный срок являются результатом соглашения между пациентом и госпиталем, которое принимает во внимание дату заявки на операцию, состояние здоровья пациента, необходимые предварительные процедуры и другие факторы. Госпиталь использует политику диспетчеризации, которая предполагает, что моменты
0
готовности и директивные сроки операций согласованы так, что r(1) 6 · · · 6 r(G ) и
0
d(1) 6 · · · 6 d(G ) . В большинстве случаев r(g) является началом дня и d(g) является
концом того же дня. Операции проводятся в допустимых рабочих интервалах операционных комнат. Параметры операций одной и той же группы, отличные от моментов
готовности и директивных сроков, например, длительности операций и множества
недопустимых рабочих интервалов, могут быть различными. Предполагается, что
время операции включает время необходимых предварительных и послеоперационных процедур, которые зависят от операции и не зависят от операционной комнаты.
Госпиталь заинтересован в максимизации количества проведенных операций.
Любая операция может быть назначена в любую операционную комнату, допустимую
для данного типа операции в любой доступный для этой комнаты рабочий интервал
времени. В обычных условиях рабочий интервал соответствует смене или полусмене
непосредственно до или после обеденного перерыва. Операции могут завершаться
за пределами рабочего интервала, и каждая единица сверхурочного времени влечет
стоимость использования персонала и других ресурсов госпиталя.
Необходимо принять решение о допустимых значениях расширения рабочих интервалов такое, что суммарная стоимость расширения не превосходит заданного порога C, о выборе операций из первых групп 1, . . . , G, G 6 G0 , списка, и о расписании
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
5188
для выбранных операций, которое покрывает заданный период времени, например,
один день, одну неделю, один месяц или один год. Расписание должно быть допустимым по отношению к моментам готовности и директивным срокам выбранных
операций, а также к границам временных интервалов. Критерий состоит в лексикографической максимизации числа операций выбранных из G групп, что можно
пояснить следующим образом.
Число операций, выбранных из первой группы, должно быть глобально максимальным. Обозначим это число F1∗ . Число операций, выбранных из второй группы
должно быть максимальным при условии, что из первой группы выбрано F1∗ операций. Обозначим это число F2∗ . Число операций, выбранных из третьей группы
должно быть максимальным при условии, что из первой группы выбрано F1∗ операций и из второй группы выбрано F2∗ операций. Продолжая в том же духе, число
операций, выбранных из группы g, должно быть максимальным при условии, что из
∗
групп 1, . . . , g − 1 выбрано F1∗ , . . . , Fg−1
операций соответственно, g = 2, 3, . . . , G.
Мы предлагаем сведение задачи лексикографической максимизации к задаче
MaxWeight. Пусть ng обозначает количество пациентов в группе g. Определим веса
операций группы g так, что они все одинаковы и равны w(g) , g = 1, . . . , G. Вычислим
их рекурсивно следующим образом.
(1) w(G) = 1 and w(g) = w(g+1) ng+1 +w(g+2) ng+2 +· · ·+w(G) nG +1, g = G−1, G−2, . . . , 1.
Значение наибольшего веса, w(1) , равно O(n2 n3 · · · nG ).
Пусть x∗1 , . . . , x∗G обозначают оптимальные количества операций, выбранные в
группах 1, . . . , G соответственно для задачи MaxWeight, которая состоит в максими∗
обозначают такие же количества
зации W (x) = w(1) x1 + · · · + w(G) xG . Пусть y1∗ , . . . , yG
∗
в оптимальном решении, S , задачи лексикографической максимизации. Предположим, что x∗1 < y1∗ . Отметим, что решение с вектором количеств выбранных операций
x(1) = (y1∗ , 0, . . . , 0), в котором выбраны только y1∗ операций первой группы из S ∗ и
значения увеличения рабочих интервалов определяются S ∗ , является допустимым
для обеих задач. Кроме того, x∗g 6 ng , g = 1, . . . , G. Получаем
W (x(1) )−W (x∗ ) = w(1) (y1∗ −x∗1 )−(w(2) x∗2 +· · · w(G) x∗g ) > w(1) −(w(2) n2 +· · · w(G) ng ) = 1 > 0.
Таким образом, W (x(1) ) > W (x∗ ), что противоречит предположению о том, что
вектор x∗ оптимален для задачи MaxWeight. Поэтому должно выполняться x∗1 > y1∗ .
Поскольку x∗1 6 y1∗ по определению y1∗ , мы делаем вывод о том, что x∗1 = y1∗ . Сейчас
предположим, что x∗1 = y1∗ и x∗2 < y2∗ . Как это сделано выше, рассмотрим допустимое
решение с вектором количеств выбранных операций x(2) = (y1∗ , y2∗ , 0, . . . , 0) и покажем,
что W (x(2) ) > W (x∗ ). Таким образом, x∗1 = y1∗ и x∗2 = y2∗ . Продолжая в том же духе,
приходим к заключению, что x∗ = y ∗ , т.е. задача лексикографической максимизации
и задача MaxWeight с весами, определенными формулой (1), эквиваленты в смысле
их оптимального решения.
3.
Детерминированная задача
Введем действительнозначные переменные zt , t = 1, . . . , T , такие, что zt является
значением увеличения момента Bt рабочего интервала [At , Bt ], t = 1, . . . , T . Введем
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
5189
P
0-1 переменные xjt , j = 1, . . . , n, t = 1, . . . , T , такие, что Tt=1 xjt 6 1. Предположим,
что xjt = 1 тогда и только тогда, когда пациент j назначен в рабочий интервал
[At , Bt ], t = 1, . . . , T . Введем 0-1 переменные yj такие, что yj = 1 тогда и только
тогда, когда операция j выбрана для выполнения в каком-либо рабочем интервале,
j = 1, . . . , n. Обозначим T -размерный вектор с координатами zt как z и n×T матрицу
с элементами xjt как x. Обозначим y = (y1 , . . . , yn ).
Для каждой операции j вычислим множество Ij индексов рабочих интервалов, в
которых эта операция на может быть выполнена, поскольку они недопустимы либо
противоречат моменту готовности или директивному сроку операции:
(2) Ij = Mj ∪{t | rj +pj > Bt , t = 1, . . . , T }∪{t | dj −pj < At , t = 1, . . . , T }, j = 1, . . . , n.
Введем нумерацию операций, обозначаемую ERT-EDD, такую, что r1 6 · · · 6 rn
и d1 6 · · · 6 dn .
Лемма 1. Существует оптимальное решение детерминированной задачи, в
которой операции, назначенные в один и тот же рабочий интервал, выполняются
по возрастанию их номеров (в порядке ERT-EDD).
Пусть операции i1 , . . . , ih выполняются в рабочем интервале [At , Bt + zt ] в указанном порядке. Отметим, что их моменты готовности, директивные сроки
Pl и границы интервала соблюдены тогда и только тогда, когда max{At , rik } + j=k pij 6
min{Bt +zt , dil }, 1 6 k 6 l 6 h. Это наблюдение и Лемма 1 обосновывают следующую
формулировку детерминированной задачи как задачи смешанно целочисленного линейного программирования.
Задача DET:
n
X
max
wj yj ,
j=1
subject to
max{At , rk } +
(3)
l
X
pj xjt 6 Bt + zt , 1 6 k 6 l 6 n, t = 1, . . . , T,
j=k
max{At , rk } +
(4)
l
X
pj xjt 6 dl , 1 6 k 6 l 6 n, t = 1, . . . , T,
j=k
T
X
(5)
ct zt 6 C,
t=1
T
X
(6)
xjt − yj = 0, j = 1, . . . , n,
t=1
(7)
n
X
j=1
(8)
(9)
xjt >
n
X
xj,t+1 , j = 1, . . . , n, t ∈ Sv , t + 1 ∈ Sv , |Sv | > 2, v = 1, . . . , V,
j=1
xjt = 0, t ∈ Ij , j = 1, . . . , n, t = 1, . . . , T,
zt > 0, xjt ∈ {0, 1}, yj ∈ {0, 1}, j = 1, . . . , n, t = 1, . . . , T.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
5190
4.
Неопределенная задача
Рассмотрим задачу DET и предположим, что вектор p длительностей операций
является неопределенным. Поскольку он влияет только на допустимость решения,
наихудший случай достигается, когда решение недопустимо. Далее, нетрудно заметить, что любое заданное решение задачи DET недопустимо для некоторого вектора
p = (p1 , . . . , pn ) длительностей операций тогда и только тогда, когда оно недопустимо
(i)
(i)
для одного из векторов p(i) = (b1 , . . . , bn ), i = 1, . . . , s, с наибольшими длительностями операций. Мы делаем вывод, что оптимальное решение в худшем случае является оптимальным решением следующей задачи смешанно целочисленного линейного
программирования.
Problem SCE:
n
X
max
wj yj
j=1
при условиях (5), (6), (7), (8), (9) и
l
X
(i)
(10) max{At , rk } +
bj xjt 6 Bt + zt , 1 6 k 6 l 6 n, t = 1, . . . , T, i = 1, . . . , s,
j=k
(11)
max{At , rk } +
l
X
(i)
bj xjt 6 dl , 1 6 k 6 l 6 n, t = 1, . . . , T, i = 1, . . . , s.
j=k
Отметим, что поскольку длительности операций pj являются неопределенными,
определение множеств Ij недопустимых рабочих интервалов, задаваемых формулой (2) и присутствующих в ограничениях (8) задачи SCE, должно быть изменено.
Мы предлагаем определить их следующим образом.
(i)
(i)
Ij := Mj ∪{t | rj + min {bj } > Bt , t = 1, . . . , T }∪{t | dj − min {bj } < At , t = 1, . . . , T },
16i6m
16i6m
j = 1, . . . , n.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Aissi H., Aloulou M.A., Kovalyov M.Y. Minimizing the number of late jobs on a single machine
under due date uncertainty // Journal of Scheduling. 2011. Vol. 14, No. 4. P. 351-360.
Aissi H., Bazgan C., Vanderpooten D. Complexity of the min-max and min-max regret assignment
problem // Operations Research Letters. 2005. Vol. 33. P. 634-640.
Cardoen B. Demeulemeester E. Belien J. Operating room planning and scheduling: A literature
review // European Journal of Operational Research. 2010. Vol. 201, No. 3. P. 921-932.
Dolgui A., Kovalev S. Min-max and min-max (relative) regret approaches to representatives
selection problem // 4OR. 2012. Vol. 10, No. 2. P. 181-192.
Hans E., Wullink G., van Houdenhoven M., Kazemier G. Robust surgery loading // European
Journal of Operational Research. 2008. Vol. 185. P. 1038-1050.
Kouvelis P., Yu G. Robust discrete optimization and its applications. Boston: Kluwer Academic
Publishers, 1997.
Pereira J., Averbakh I. Exact and heuristic algorithms for the interval data robust assignment
problem // Computers and Operations Research. 2011. Vol. 38, No. 8. P. 1153-1163.
Roy B. Robustness in operational research and decision aiding: A multi-faceted issue // European
Journal of Operations Research. 2010. Vol. 200. P. 629-638.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г