È. Ñ. Ñåðãååâ (Ìîñêâà) Î ðåàëèçàöèè íåêîòîðûõ îïåðàöèé êîíå÷íûõ ïîëåé õàðàêòåðèñòèêè 2 ñõåìàìè ëîãàðèôìè÷åñêîé ãëóáèíû1  íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ ðåàëèçàöèÿ íåêîòîðûõ îïåðàöèé â êîíå÷íîì ïîëå GF (2n ) ñõåìàìè â áàçèñå âñåõ äâóìåñòíûõ áóëåâûõ ôóíêöèé ñ ãëóáèíîé O(log n) (ãëóáèíà îáñóæäàåìûõ äàëåå ñõåì íå áóäåò ñïåöèàëüíî îãîâàðèâàòüñÿ). Ââåäåíèå â àëãîðèòìè÷åñêóþ òåîðèþ êîíå÷íûõ ïîëåé ñîäåðæèòñÿ â [Ý], à ïîíÿòèÿ ñëîæíîñòè è ãëóáèíû ñõåì èçëîæåíû â [Ë]. Ïðè ðåàëèçàöèè àðèôìåòèêè â êîíå÷íûõ ïîëÿõ íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíîé ÿâëÿåòñÿ èíòåðïðåòàöèÿ êîíå÷íîãî ïîëÿ êàê âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà (â ÷àñòíîñòè, ïîëå GF (2n ) ÿâëÿåòñÿ äâîè÷íûì âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì ðàçìåðíîñòè n ñ îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ âåêòîðîâ). Ðåàëèçàöèÿ îïåðàöèé â êîíå÷íîì ïîëå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà. Ïðè ýòîì î÷åâèäíî, ÷òî ñëîæåíèå â ëþáîì áàçèñå ïîëÿ GF (2n ) âûïîëíÿåòñÿ ñî ñëîæíîñòüþ n è ãëóáèíîé 1. ×àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ ñòàíäàðòíûé (èëè ïîëèíîìèàëüíûé) áàçèñ {1, α, α2 , . . . , αn−1 }, ãåíåðàòîðîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíò α êîðåíü íåêîòîðîãî íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà m(x) ñòåïåíè n íàä GF (2). Ýëåìåíòû ïîëÿ â óêàçàííîì áàçèñå ïðåäñòàâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè ñòåïåíè íå âûøå n − 1, îïåðàöèè íàä êîòîðûìè ïðîèçâîäÿòñÿ ïî ìîäóëþ ìíîãî÷ëåíà m(x).  ïîñëåäíåå âðåìÿ àêòèâíî ïðèìåíÿþòñÿ íîðìàëüíûå áàçèñû, n−1 èìåþùèå âèä {α, α2 , . . . , α2 }. Ãåíåðàòîð íîðìàëüíîãî áàçèñà α òàêæå äîëæåí áûòü êîðíåì íåêîòîðîãî íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè n, ò.å. ãåíåðàòîðîì íåêîòîðîãî ñòàíäàðòíîãî áàçèñà. Îáðàòíîå íåâåðíî, ò.å. íå äëÿ êàæäîãî ñòàíäàðòíîãî áàçèñà ñóùåñòâóåò íîðìàëüíûé ñ òåì æå ãåíåðàòîðîì. Îäíàêî èçâåñòíî, ÷òî íîðìàëüíûå áàçèñû ñóùåñòâóþò âî âñåõ ïîëÿõ. Èíòåðåñ ê íîðìàëüíûì áàçèñàì îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî îïåðàöèÿ Ôðîáåíèóñà (âîçâåäåíèå â ñòåïåíü âèäà 2k ) îñóùåñòâëÿåòñÿ â íèõ öèêëè÷åñêèì ñäâèãîì êîîðäèíàò, ò.å. ñ íóëåâîé ñõåìíîé ñëîæíîñòüþ. 1 Ìàòåðèàëû XVI Ìåæäóíàðîäíîé øêîëû-ñåìèíàðà ¾Ñèíòåç è ñëîæíîñòü óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì¿ (Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 2630 èþíÿ 2006 ã.). Ì.: Èçä-âî ìåõ.ìàòåì. ôàêóëüòåòà ÌÃÓ, 2006. C. 101103. 1 Èçâåñòíî [S], ÷òî óìíîæåíèå â ñòàíäàðòíîì áàçèñå ïîëÿ GF (2n ) âûïîëíÿåòñÿ ñõåìîé ñëîæíîñòè O(n log n log log n). Òàêæå èçâåñòíî, ÷òî îïåðàöèþ Ôðîáåíèóñà â ñòàíäàðòíîì áàçèñå ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñî ñëîæíîñòüþ O(n1.67 ) (ñì. [Ý]). ( ïðèâîäèìûõ çäåñü è äàëåå îöåíêàõ èñïîëüçóþòñÿ ýêñïîíåíòû ìàòðè÷íûõ óìíîæåíèé, êîòîðûå âçÿòû èç [HP].) Âìåñòî îïåðàöèè äåëåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü îïåðàöèþ èíâåðòèðîâàíèÿ, ò.ê. äåëåíèå ñâîäèòñÿ ê óìíîæåíèþ è èíâåðòèðîâàíèþ. Èç ðàáîò [LD,G] ñëåäóåò, ÷òî èíâåðòèðîâàíèå ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíî ñõåìîé ïîëèíîìèàëüíîé ñëîæíîñòè. Èñïîëüçóÿ ìåòîä À. Áðàóýðà (ñì. [Ý]), ìîæíî ïîñòðîèòü ñõåìó èíâåðòèðîâàíèÿ ñëîæíîñòè O(n1.67 ), îäíàêî ãëóáèíû O(log2 n). Íà ñàìîì äåëå, îöåíêó ñëîæíîñòè O(n1.67 ) ìîæíî ïîëó÷èòü è äëÿ ñõåìû ëîãàðèôìè÷åñêîé ãëóáèíû. Ðàçðàáîòàííûå ñïåöèàëüíî äëÿ íîðìàëüíûõ áàçèñîâ ìåòîäû óìíîæåíèÿ è èíâåðòèðîâàíèÿ èìåþò äîñòàòî÷íî âûñîêóþ ñëîæíîñòü (ïî êðàéíåé ìåðå, O(n2 )) è ïîðÿäîê ãëóáèíû íå ìåíåå O(log2 n). Äëÿ óñêîðåíèÿ ðåàëèçàöèè îïåðàöèé â óêàçàííûõ áàçèñàõ (êàê ïî ñëîæíîñòè, òàê è ïî ãëóáèíå) ìîæíî èñïîëüçîâàòü èäåþ ïåðåõîäà ê ñòàíäàðòíîìó áàçèñó (ñì. [Ý]). Ïîä ïåðåõîäîì ïîíèìàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò ýëåìåíòà ïîëÿ. Äëÿ ïåðåõîäà ìåæäó íîðìàëüíûì è ñòàíäàðòíûì áàçèñàìè ìîæíî ïîñòðîèòü ñõåìó ñëîæíîñòè O(n1.81 ) (ýòîò ðåçóëüòàò ÷àñòè÷íî ïîëó÷åí â [KS]), ÷òî ïðèâîäèò ê àíàëîãè÷íîé îöåíêå ñëîæíîñòè óìíîæåíèÿ è èíâåðòèðîâàíèÿ â íîðìàëüíûõ áàçèñàõ. Ýòà æå èäåÿ ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ è äëÿ óñêîðåíèÿ íåêîòîðûõ îïåðàöèé â ñòàíäàðòíûõ áàçèñàõ.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì èíîãäà âñòðå÷àþùóþñÿ â ïðèëîæåíèÿõ çàäà÷ó ïðîâåðêè áàçèñíîñòè íîðìàëüíîé ñèñòåìû: çàäàí ýëåìåíò β ∈ GF (2n ) òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü, ïîðîæäàåò ëè îí íîðìàëüíûé áàçèñ.  íîðìàëüíîì áàçèñå äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ìîæíî ïîñòðîèòü ñõåìó ñëîæíîñòè O(n1.67 ), îòêóäà ñëåäóåò îöåíêà O(n1.81 ) äëÿ ðåàëèçàöèè â ñòàíäàðòíîì áàçèñå.  ïðèëàãàåìîé òàáëèöå ñîäåðæàòñÿ ñâåäåíèÿ î ñëîæíîñòè ðåàëèçàöèè îáñóæäàâøèõñÿ îïåðàöèé ñõåìàìè ëîãàðèôìè÷åñêîé ãëóáèíû (âûäåëåíû ðåçóëüòàòû, êîòîðûå, ïî-âèäèìîìó, ÿâëÿþòñÿ íîâûìè). Àâòîð ïðèçíàòåëåí íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ Ñ. Á. Ãàøêîâó çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è è âíèìàíèå ê ðàáîòå. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé (ïðîåêò 050100994), ïðîãðàì2 Îïåðàöèÿ Óìíîæåíèå Ôðîáåíèóñà Èíâåðòèðîâàíèå Ïåðåõîä ê ÍÁ Ïåðåõîä ê ÑÁ Òåñò ãåíåðàòîðà ÍÁ ÑÁ n log n log log n n1.67 n1.67 n1.81 n1.67 n1.81 ÍÁ n1.81 0 n1.81 n log n log log n n1.81 n1.67 ìû ïîääåðæêè âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë ÐÔ (ïðîåêò ÍØ5400.2006.1) è ïðîãðàììû ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé Îòäåëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê ÐÀÍ ¾Àëãåáðàè÷åñêèå è êîìáèíàòîðíûå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé êèáåðíåòèêè¿ (ïðîåêò ¾Ñèíòåç è ñëîæíîñòü óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì¿). Ëèòåðàòóðà [Ý] Áîëîòîâ À. À., Ãàøêîâ Ñ. Á., Ôðîëîâ À. Á., ×àñîâñêèõ À. À. Ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â ýëëèïòè÷åñêóþ êðèïòîãðàôèþ: àëãåáðàè÷åñêèå è àëãîðèòìè÷åñêèå îñíîâû. Ì.: ÊîìÊíèãà, 2006. [Ë] Ëóïàíîâ Î. Á. Àñèìïòîòè÷åñêèå ëÿþùèõ ñèñòåì. Ì.: Èçä. ÌÃÓ, 1984. îöåíêè ñëîæíîñòè óïðàâ- [G] von zur Gathen J. Inversion in nite elds using logarithmic depth. // J. Symb. Comput. 1990. 9. P. 175183. [HP] Huang X., Pan V. Fast rectangular matrix multiplication and applications. // J. Complexity. 1998. 14. P. 257299. [KS] Kaltofen E., Shoup V. Subquadratic-time factoring of polynomials over nite elds. // Math. Comput. 1998. 67, 223. P. 1179 1197. [LD] Litow B., Davida G. O(log n) parallel time nite eld inversion. // Proc. Aegean Workshop on Computing, Lecture Notes in Computer Science, Berlin. 1988. 319. P. 7480. [S] Schonhage A. Schnelle multiplikation von polynomen u ber k orpern der charakteristik 2. // Acta Inf. 1977. 7. P. 395398. 3