РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по учебной работе
_________________/Волосникова Л.М./
_________ ____________ 201__г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010300.62 – Математика. Компьютерные науки,
очная форма обучения.
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы ______________/Мачулис В.В./
«___» ___________ 201__ г.
Рассмотрено на заседании кафедры математического моделирования
«___» ___________ 201__ г., протокол №___
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем ____ стр.
Зав. кафедрой __________________ /Татосов А.В./
«___» ________________ 201_ г.
Рассмотрено на заседании УМК Института математики и компьютерных
наук «__»___________201__ г., протокол №___
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК ______________/Гаврилова Н.М./
«___»_______________201__ г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Директор ИБЦ _________________/Ульянова Е.А./
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ___________________/Фарафонова И.Ю./
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
В.В. Мачулис
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебно-методический комплекс
Рабочая программа для студентов
направления 010300.62 – Математика. Компьютерные науки,
очная форма обучения.
Тюменский государственный университет
2013
В.В. Мачулис. Дифференциальные уравнения. Учебно-методический комплекс.
Рабочая учебная программа для студентов направлений «Математика. Компьютерные
науки», очная форма обучения. Тюмень, 2013 г., 13 стр.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Дифференциальные уравнения
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:
А.В. Татосов, д.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой
математического моделирования
© ФГБОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2013
1. Требования ГОСТ к содержанию курса
Математик должен быть подготовлен к выполнению деятельности в областях,
использующих математические методы и компьютерные технологии; созданию и
использованию математических моделей процессов и объектов; разработке эффективных
математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и
управления. Успешное усвоение курса «дифференциальные уравнения» является одним из
главных условий для достижения этих целей.
2. Цели и задачи курса
Дифференциальные
уравнения
возникают
в
процессе
математического
моделирования какого-либо процесса или явления. Математическое моделирование, как
известно, есть метод познания окружающего мира, прогнозирования и управления.
Поэтому представление о дифференциальных моделях, знание их основных типов
необходимо для качественного образования студента-математика. Основными целями
курса можно считать следующие:
1) обеспечить овладение минимумом знаний и практических навыков по методам
решения обыкновенных дифференциальных уравнений, с тем, чтобы по мере
необходимости студенты могли использовать их для самостоятельной
исследовательской работы;
2) познакомить студентов с простейшими приёмами и методами качественного
исследования обыкновенных дифференциальных уравнений;
3) продемонстрировать возможности современных пакетов символьной математики в
точном и приближенном решении различных дифференциальных уравнений и
систем.
3. Тематический план курса
1
4
5
Семестр 3
Модуль 1
Введение в предмет. Простейшие
методы интегрирования уравнений
первого порядка.
Всего
Модуль 2
Итого
количес
тво
баллов
Самостоятел
ьная работа*
2
Итого
часов
по
теме
Лабораторны
е занятия*
1
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Семинарские
(практически
е) занятия*
3 семестр
Тема
Лекции*
№
6
7
8
10
12
12
-
12
36
0-30
12
12
-
12
36
0-30
3
2
3
4
5
1
6
7
8
Теорема
существования
и 4
4
единственности
решения
начальной задачи.
Уравнения,
не
разрешённые 6
6
относительно производной.
Всего
10
10
Модуль 3
Уравнения высших порядков.
6
6
Некоторые
приложения 8
8
дифференциальных
уравнений
высших порядков.
2
4
5
Всего
14
14
Итого за семестр (часов, баллов):
36
36
Семестр 4
Модуль 1
Общая теория линейных систем 12
12
обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Всего
12
12
Модуль 2
Основы теории устойчивости.
12
12
Всего
12
12
Модуль 3
Фазовое пространство и фазовые 12
12
портреты.
Всего
12
12
Итого за семестр (часов, баллов):
36
36
Итого (часов, баллов):
72
72
-
7
15
0-14
-
7
19
0-16
-
14
34
0-30
-
6
6
18
22
0-20
0-20
6
-
7
12
38
8
40
110
10
0-40
0-100
-
12
36
0-30
-
12
36
0-30
-
12
12
36
36
0-30
0-30
-
14
38
0-40
-
14
38
76
38
110
220
0-40
0-100
4. Содержание программы курса по темам
Тема 1. Введение в предмет. Простейшие методы интегрирования уравнений
первого порядка. Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений.
Основные понятия. Геометрическое представление решений. Поле направлений,
интегральные кривые, изоклины. Методы интегрирования уравнений первого порядка.
Некоторые численные методы решения начальной задачи для уравнений первого порядка.
Тема 2. Теорема существования и единственности решения начальной задачи.
Теорема существования и единственности решения начальной задачи для уравнения,
разрешённого относительно производной. Непрерывная зависимость решений от
начальных данных и малых возмущений.
Тема 3. Уравнения, не разрешённые относительно производной. Уравнения, не
разрешённые относительно производной, методы их решения. Уравнение Лагранжа (и
Клеро), особые решения, огибающая.
Тема 4. Уравнения высших порядков. Задачи, приводящие к уравнениям высших
порядков. Линейные уравнения высших порядков. Определитель Вронского, формула
Остроградского-Лиувилля. Уравнения Коши-Эйлера.
Тема 5. Некоторые приложения дифференциальных уравнений высших
порядков. Простые гармонические колебания, затухающие колебания, движение под
действием возмущающей силы. Понятие о краевой задаче. Функция Грина.
4
Тема 6. Общая теория линейных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений. Метод неопределённых коэффициентов и метод вариации параметров.
Матричная экспонента.
Тема 7. Основы теории устойчивости. Устойчивость по Ляпунову и
асимптотическая устойчивость. Орбитальная устойчивость, устойчивость по Лагранжу.
Критерий устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами.
Устойчивость нелинейных систем. Функция Ляпунова.
Тема 8. Фазовое пространство и фазовые портреты. Фазовое пространство и
фазовый портрет системы дифференциальных уравнений. Классификация линейных
неподвижных точек. Сепаратрисы. Предельный цикл. Отображение Пуанкаре.
Мультипликаторы, теорема Флоке.
5. Планы практических занятий
Тема 1. Введение в предмет. Простейшие методы интегрирования уравнений
первого порядка (12 часов):
1) Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка;
2) Уравнения с разделяющимися переменными;
3) Линейные уравнения и уравнения Бернулли;
4) Однородные уравнения и приводящиеся к ним. Поле направлений. Особенность
интегральных кривых однородного уравнения;
5) Уравнения в полных дифференциалах и уравнения с интегрирующим
множителем. Метод Эйлера для нахождения приближённого решения;
6) Контрольная работа №1.
Тема 2. Теорема существования и единственности решения начальной задачи
(4 часа):
1) Единственность решения начальной задачи. Особые решения;
2) Область единственности решений. Исследование уравнений, нахождение
областей единственности.
Тема 3. Уравнения, не разрешённые относительно производной (6 часов):
1) Типы уравнений, не разрешённых относительно производной и способы их
решения;
2) Уравнение Лагранжа и Клеро. Нахождение особых решений;
3) Огибающая и её нахождение.
Тема 4. Уравнения высших порядков (6 часов):
1) Уравнения высших порядков. Линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами;
2) Неоднородные линейные уравнения высших порядков. Метод неопределённых
коэффициентов и метод вариации параметров;
3) Уравнения Эйлера-Коши.
Тема 5. Некоторые приложения дифференциальных уравнений высших
порядков (8 часов):
1) Приложения теории дифференциальных уравнений. Гармонические колебания.
Простейшие механические модели;
2) Затухающие колебания. Электрические цепи;
3) Колебания с внешним воздействием;
5
4) Контрольная работа №2.
Тема 6. Общая теория линейных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений (12 часов):
1) Повторение пройденного материала;
2) Простейшие системы обыкновенных дифференциальных уравнений и методы их
решения;
3) Однородные системы с постоянными коэффициентами;
4) Неоднородные системы с постоянными коэффициентами. Метод
неопределённых коэффициентов;
5) Неоднородные системы с постоянными коэффициентами. Метод вариации
параметров;
6) Контрольная работа №3.
Тема 7. Основы теории устойчивости (12 часов):
1) Основы теории устойчивости. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая
устойчивость;
2) Устойчивость по первому приближению;
3) Критерии устойчивости (Рауса-Гурвица и Михайлова);
4) Функция Ляпунова;
5) Орбитальная устойчивость и устойчивость по Лагранжу;
6) Исследование частных решений
нелинейных систем на устойчивость.
Повторение.
Тема 8. Фазовое пространство и фазовые портреты (12 часов):
1) Фазовые портреты линейных автономных систем. Классификация неподвижных
точек;
2) Нелинейные системы. Теорема о линеаризации. Исследование равновесных
решений на устойчивость;
3) Предельные циклы. Модельные нелинейные системы. Доказательство
существования (и отсутствия) предельного цикла;
4) Отображение Пуанкаре. Мультипликаторы. Теорема Флоке;
5) Повторение пройденного материала;
6) Контрольная работа №4.
6. Примерные задания для контрольной работы
1. Решить уравнение x 2 y  1  x 2  y 2  x 2 y 2 .
2. Решить задачу Коши 2 xy  3 y  9 x3 , y(1)  3 .
3. Решить уравнение ( x  2 y ) y  x  y .
4. Найти интегрирующий множитель и решить уравнение x 2 y  xy  2 x 2 y 2 .
5. Решить задачу Коши xy  y  xy 2 , y (0)  0 .
6. Решить уравнение методом вариации
y  2 y  2  4 x 2 sin x 2 .
7. Решить граничную задачу
 
y  y  2sin x , y (0)  0, y    0 .
2
6
Найти два независимых интеграла для системы
dx dy dz

 .
x
y
0
9. Решить систему любым разумным способом
x  6x  y
.

 y  16 x  2 y
10. По заданной фундаментальной матрице ( x) найти A( x ) линейной системы
y( x)  A( x) y ( x)
x 1
Ф( x )   2
 , x  0.
 x 2x 
8.
11. Решить уравнение x3 y  2 x2 y  5xy  3 y  x  8ln x  60  .
12. Решить системы:
 x  x  2 y  z
 y  2 y  z
 y  3 y  z  x

(а) 
; (б) 
; (в)  y  2 x  3 y .


z  5 y  2z
 z  13 y  3z  sin x
 z  y  2 z

 x  x  2 y
 x(0)  3
13. Решить задачу Коши 
, если 
.
 y  x  5cos t
 y (0)  1
14. Построить однородное уравнение, имеющее следующую фундаментальную
систему решений y1  1 , y2  x , y3  x 2 .
15. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, выяснить, устойчиво ли
решение задачи Коши:
dy
dt
 y  e  t , y (0)  1
16. Исследовать устойчивость тривиального решения и нарисовать фазовый портрет
канонической системы
 x  5x  2 y

 y  17 x  5 y
17. Найти все неподвижные точки нелинейной системы и определить тип
устойчивости каждой, если это возможно
 x  2 x  xy

2
 y  2x  y
18. Исследовать на устойчивость тривиальное решение уравнения
y  y  y  2 y  0 .
19. При каких значениях параметров тривиальное решение уравнения
y  ay  by  2 y  0
асимптотически устойчиво?
20. С помощью функции Ляпунова вида V ( x, y)  ax 2  by 2 исследовать нулевое
решение системы
7
 x   x  y 2

3
 y   xy  y
на устойчивость.
7. Контрольные вопросы к экзамену
1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Начальные понятия.
2. Построение ФС однородного линейного уравнения с постоянными
коэффициентами.
3. Уравнения первого порядка. Основные понятия.
4. Простейшие методы интегрирования систем.
5. Уравнения с разделяющимися переменными.
6. Неоднородные линейные уравнения.
7. Однородные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.
8. Матричный метод решения систем. Характеристические числа.
9. Линейные уравнения первого порядка (метод вариации).
10. Системы дифференциальных уравнений. Общие определения.
11. Линейные уравнения первого порядка (метод Бернулли).
12. Матричный метод решения систем. Элементарные делители.
13. Уравнения в полных дифференциалах.
14. Системы линейных дифференциальных уравнений (теорема 1 и теорема 2).
15. Интегрирующий множитель и особые решения.
16. Системы линейных дифференциальных уравнений (теоремы 3, 4, 5).
17. Уравнения с интегрирующим множителем.
18. Системы линейных дифференциальных уравнений (теорема 6 и теорема 7).
19. Принцип сжимающих отображений.
20. Нахождение решения систем матричным методом (первый способ).
21. Теорема существования и единственности решения дифференциального
уравнения первого порядка.
22. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.
23. Особые точки и особые решения.
24. Нахождение решения систем матричным методом (второй способ).
25. Уравнения, не разрешённые относительно производной (все случаи).
26. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.
27. Уравнение Лагранжа и уравнение Клеро.
28. Нахождение решения системы матричным методом (первый способ).
29. Однородные уравнения первого порядка.
30. Понятие устойчивости по Пуанкаре.
31. Общий метод введения параметра.
32. Понятие устойчивости по Лагранжу.
33. Теорема существования и единственности решения дифференциального
уравнения первого порядка.
34. Устойчивость по первому приближению.
35. Уравнения высших порядков. Начальные понятия.
36. Функция Ляпунова.
37. Некоторые способы понижения порядка дифференциальных уравнений.
38. Приложения дифференциальных уравнений к расчёту электрических цепей.
39. Общие свойства линейных уравнений n – го порядка.
40. Гармонические колебания.
8
41. Однородные уравнения n – го порядка.
42. Колебания с диссипацией.
43. Линейная независимость системы функций (теорема 1).
44. Колебания с внешним воздействием.
45. Линейная независимость системы функций (теорема 2).
46. Основные понятия теории устойчивости. Устойчивость по Ляпунову и
асимптотическая устойчивость.
47. Формула Остроградского–Лиувилля.
48. Устойчивость тривиальных решений автономных систем.
49. Фундаментальная система и общее решение.
50. Фундаментальная система (основная теорема).
51. Признаки отрицательности действительных частей всех корней многочлена
8. Литература
8.1 Основная литература
1.
Рыбаков, К. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Практический курс [Электронный ресурс] : учебное пособие / К. А. Рыбаков,
А. С. Якимова, А. В. Пантелеев. - М.: Логос, 2010. - 384 с. - Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=84753 (дата обращения
21.01.2014).
2.
Треногин, В. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения
[Электронный ресурс] : учебник / В. А. Треногин. - М.: Физматлит, 2009. - 312 с.
Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=82614 (дата обращения
21.01.2014).
8.2. Дополнительная литература
1. Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. Минск: Выш.
школа, 1979.
2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.
3. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория
динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1966.
4. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. М.: Наука, 1978.
5. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука,
1967.
6. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных
уравнений. М.;Л.: Гостехиздат, 1949.
7. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.
8. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.
9. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений. М.: Высшая школа, 1967.
10. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984.
11. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.
9
12. Эдвардс Ч.Г., Пенни Д.Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи:
моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и Matlab.
Издательский дом «Вильямс», /пер. с англ./, 2008.
13. Сергеев И.Н. Лекции по дифференциальным уравнениям. М.: Изд-во ЦПИ при
мех.-мат. ф-те МГУ. 2006
14. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.; Ижевск:
Изд-во РХД, 2000.
15. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.:
Едиториал УРСС, 2007. – 240c.
9. Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательн дополнитель
ые
ные
Модуль 1
1. Введение в предмет.
Простейшие
методы
интегрирования
уравнений
первого
порядка.
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2. Теорема существования
и
единственности
решения
начальной
задачи.
3.
Уравнения,
разрешённые
относительно
производной.
работа
с
литературой,
решение
домашнего
задания
работа
с
литературой,
решение
домашнего
задания
с
не работа
литературой,
решение
домашнего
задания
Всего по модулю 2:
Модуль 3
4.
Уравнения
высших работа
с
порядков.
литературой,
решение
домашнего
задания
5.
Некоторые приложения работа
с
дифференциальных
литературой,
уравнений
высших решение
10
подготовка к
коллоквиуму
Недел
я
семест
ра
Объе
м
часов
Кол-во
баллов
1-6
12
0-30
12
0-30
подготовка к
коллоквиуму
7-8
7
0-14
подготовка к
коллоквиуму
9-11
7
0-16
14
0-30
12-14
6
0-20
15-18
6
0-20
подготовка к
коллоквиуму
и
контрольной
работе
порядков.
домашнего
задания
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
12
38
0-40
0-100
Недел
я
семест
ра
Объе
м
часов
Кол-во
баллов
1-6
12
0-30
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Модуль 1
6. Общая теория линейных
систем
обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
Виды СРС
обязательн дополнитель
ые
ные
работа
с
литературой,
решение
домашнего
задания
Всего по модулю 1:
Модуль 2
7. Основы
с
теории работа
литературой,
устойчивости.
решение
домашнего
задания
Всего по модулю 2:
Модуль 3
8.
Фазовое пространство и работа
с
фазовые портреты.
литературой,
решение
домашнего
задания
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
11
подготовка к
коллоквиуму
12
подготовка к
коллоквиуму
7-12
12
12
подготовка к
коллоквиуму
и
контрольной
работе
13-18
0-30
0-30
0-30
14
0-40
14
38
0-40
0-100
10. БАЛЛЬНАЯ ОЦЕНКА ТЕКУЩЕЙ УСПЕВАЕМОСТИ СТУДЕНТА (3
семестр)
№
п/п
Тема
Формы текущего контроля
решение
задач
на пр. занятии коллоквиум
контрольная
работа
самост.
работа
Итого
количество
баллов
Модуль 1
Введение в
предмет.
Простейшие
методы
интегрировани
я уравнений
первого
порядка.
0-5
0-10
0-10
0-5
0-30
Всего
0-5
0-10
0-10
0-5
0-30
Теорема
существования
и
2.1 единственност
и решения
начальной
задачи.
0-2
0-3
0-3
0-2
0-10
Уравнения, не
разрешённые
2.2
относительно
производной.
0-3
0-7
0-7
0-3
0-20
0-5
0-10
0-10
0-5
0-30
0-3
0-7
0-7
0-3
0-20
0-3
0-7
0-7
0-3
0-20
1.1
Модуль 2
Всего
Модуль 3
Уравнения
3.1 высших
порядков.
Некоторые
приложения
3.2 дифференциаль
ных уравнений
высших
12
порядков.
Всего
0-6
0-14
0-14
0-6
0-40
Итого баллов
0-16
0-34
0-34
0-16
0-100
БАЛЛЬНАЯ ОЦЕНКА ТЕКУЩЕЙ УСПЕВАЕМОСТИ СТУДЕНТА (4 семестр)
№
п/п
Тема
Формы текущего контроля
решение
задач
на пр. занятии коллоквиум
контрольная
работа
самост.
работа
Итого
количество
баллов
Модуль 1
1.1
Общая теория
линейных
систем
обыкновенных
дифференциаль
ных уравнений.
0-5
0-10
0-10
0-5
0-30
Всего
0-5
0-10
0-10
0-5
0-30
Основы теории
устойчивости.
0-5
0-10
0-10
0-5
0-30
Всего
0-5
0-10
0-10
0-5
0-30
0-6
0-14
0-14
0-6
0-40
0-6
0-14
0-14
0-6
0-40
0-16
0-34
0-34
0-16
0-100
Модуль 2
2.1
Модуль 3
Фазовое
3.1 пространство и
фазовые
портреты.
Всего
Итого баллов
13