Практическая работа Исследование функций и построение графиков. Общая схема построения графиков функций. 1. Найти область определения функции. 2. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической. 3. Найти точки пересечения графика с осями координат ( если это не вызывает затруднений). 4. Найти асимптоты графика функции. 5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы. 6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба. 7. Построить график, используя полученные результаты исследования. Пример 1. Построить график функции у х 3 6 х 2 9 х 3 . Решение. 1. Так как функция задана в виде многочлена, то она определена на всей числовой прямой, т.е. D(y)=R. 2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной, так как подставив вместо х (-х) получаем ,что первое и третье слагаемые поменяли свой знак, а второе и четвертое остались без изменения, то есть y( x) ( x) 3 6( x) 2 9( x) 3 x 3 6 x 2 9 x 3 . Кроме того, она не периодическая, так как не является тригонометрической функцией. 3. Найдем точку пересечения графика с осью Оу: полагая х=0, имеем у 0 3 6 0 2 9 0 3 3 . Точки пересечения графика с осью Ох в данном случае найти затруднительно. 4. Так как функция определена на всей числовой прямой, то график функции не имеет асимптот. 5. Найдем производную функции: у 3х 2 12 х 9 . Найдем критические точки, т.е. 3х 2 12 х 9 0 , получим х=1 и х=3. Эти точки делят область определения на три промежутка: х 1 , 1 х 3 , 3 х . В промежутках х 1 и 3 х у 0 , т.е. функция возрастает, а в промежутке 1 х 3 у 0 , т.е. функция убывает. При переходе через точку х=1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х=3 производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, у max у (1) 13 6 12 9 1 3 1 , у min у(3) 33 6 32 9 3 3 3 . 6. Найдем вторую производную: у 6 х 12 . Приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение, получим 6х-12=0, х=2. Точка х=2 делит область определения функции на два промежутка х 2 и 2 х . В первом из них у 0 , а во втором у 0 , т.е. в промежутке х 2 кривая выпукла вверх, а в промежутке 2 х выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба (2;-1). 7. Используя полученные данные, строим искомый график. Пример 2. х2 Построить график функции у . х3 Решение. 1. Найдем область определения функции – это все числа кроме 3, так как знаменатель при 3 будет равен нулю. 2.Данная функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. 3. При х=0 получим у=0, т.е. график проходит через начало координат. x2 . 4. Прямая х=3 является вертикальной асимптотой графика, так как lim x 3 0 x 3 Далее найдем наклонную асимптоту у=кх+в. Сначала найдем к= lim x f ( x) x2 lim 1 , потом x x( x 3) x x2 3x в= lim f ( x) kx lim x lim 3. x x x 3 x x 3 Следовательно, можно записать уравнение наклонной асимптоты графика у=х+3. 5. Найдем производную функции: ( х 2 ) ( х 3) х 2 ( х 3) 2 х( х 3) х 2 2 х 2 6 х х 2 х 2 6 х у . ( х 3) 2 ( х 3) 2 ( х 3) 2 ( х 3) 2 Найдем точки в которых производная у обращается в нуль или терпит разрыв, т.е. х 2 6 х 0 , х( х 6) 0 , х 0 или х 6 и терпит разрыв при х=3. Этими точками числовая прямая делится на четыре промежутка: х 0 , 0 х 3 , 3 х 6 , 6 х . Определим знак производной в каждом из них. Очевидно, что у 0 на промежутках х 0 и 6 х , т.е. в этих промежутках функция возрастает. А на промежутках 0 х 3 и 3 х 6 у 0 , т.е. в этих промежутках функция убывает. При переходе через точку х=0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. это точка максимума. При переходе через точку х=6 производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. это точка минимума. Найдем значение функции в найденных точках, получим 02 62 36 у max у (0) 0 , у min у (6) 12 . 03 63 3 6. Найдем вторую производную: ( х 2 6 х) ( х 3) 2 ( х 2 6 х) (( х 3) 2 ) (2 х 6) ( х 3) 2 ( х 2 6 х) 2( х 3) 18 у 4 4 ( х 3) ( х 3) ( х 3) 3 Вторая производная в нуль нигде не обращается и терпит разрыв при х=3. В промежутке х 3 у 0 , т.е. в этом промежутке кривая выпукла вверх. А в промежутке 3 х имеем у 0 , т.е. в этом промежутке кривая выпукла вниз. Точек перегиба нет. 7. На основании полученных данных строим график функции. Задания для самостоятельного решения. Исследуйте следующие функции и постройте их графики: х2 х3 3 2 1. у х 6 х 9 х 8 5. у 8. у 2 х4 х 1 2 х х3 4 2. у 2 х 3 3х 2 12 х 1 6. у 9. у х2 х2 х3 3. у х 3 6 х 2 16 7. у 2 х 4 4. у 2 х 3 3х 2 12 х 10