Асимптотические методы и теория возмущений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
“САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”
Механико-математический факультет
Кафедра математического моделирования в механике
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
______________ В.П. Гарькин
«____» ______________2005 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Асимптотические методы и теория возмущений
(блок "Дисциплины специализации"; раздел "Вузовский компонент"
основная образовательная программа специальности 010501 Прикладная
математика и информатика)
Самара
2005 г.
Рабочая программа составлена на основании Государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования
специальности 010501 Прикладная математика и информатика,
утвержденного 23.03.2000 (номер государственной регистрации
199ЕН/СП)
Составитель рабочей программы: к.ф.-м.н., доцент Степанова Лариса
Валентиновна.
Рецензент:
_________________д.ф.-м.н., проф. Астафьев В.И.
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математического
моделирования в механике (протокол № ___ от «__» ____________2005 г.)
Заведующий кафедрой
«____» _______________2005 г.
________________И.С. Загузов
СОГЛАСОВАНО
Декан факультета
«____»_______________2005 г.
_______________В.И. Астафьев
СОГЛАСОВАНО
Начальник методического отдела
«____»_______________2005 г.
_________________Н.В. Соловова
ОДОБРЕНО
Председатель методической комиссии факультета
«____»_______________2005 г.
_________________И.А. Власова
1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе,
требования к уровню освоения содержания дисциплины
1.1. Цели и задачи изучения дисциплины
Цель дисциплины - изучение и освоение теории асимптотических
разложений и теории специальных функций
Задачи дисциплины:
 ознакомить слушателей с современными асимптотическими
методами решения алгебраических и дифференциальных уравнений,
привести методы построения асимптотических оценок интегралов;
 рассмотреть методы сингулярных возмущений;
 продемонстрировать основные методы и алгоритмы на примерах
решения задач.
1.2. Требования к уровню подготовки студента, завершившего
изучение данной дисциплины
В результате изучения дисциплины слушатели должны
Иметь представление:
 об асимптотических методах и теории возмущений, а также должны
уметь применять эти метода на практике.
Знать:
 основные понятия и определения теории асимптотических методов;
 основные
методы
построения
асимптотических
решений
алгебраических и дифференциальных уравнений, и асимптотических
оценок интегралов;
Уметь:
 применять методы теории возмущений на практике.
1.3. Связь с предшествующими дисциплинами
Дисциплина основывается на знаниях, полученных слушателями при
изучении дисциплин «Обыкновенные дифференциальные уравнения»,
«Уравнения
в
частных
производных»,
«Линейная
алгебра»,
«Математический анализ».
1.4. Связь с последующими дисциплинами
Знания
и
навыки,
полученные
при
изучении
дисциплины
«Асимптотические методы и теория возмущений», используются
слушателями при изучении обязательных и специальных дисциплин.
2. Содержание дисциплины
2.1. Объём дисциплины
Дневная форма обучения, 8-й семестр - зачет, экзамен.
Вид учебных занятий
Всего часов аудиторных занятий
Лекции
Практические занятия (семинары)
Всего часов самостоятельной
работы
Подготовка к практическим
занятиям
Подготовка к экзамену
Всего часов по дисциплине
Количество часов
102
68
34
50
20
30
152
2.2. Разделы дисциплины и виды занятий
п/п Название раздела дисциплины
1
2
3
4
5
6
7
Введение
Прямые разложения и источники
неравномерностей
Алгебраические уравнения
Введение в специальные функции
Приближенные методы оценки
интегралов
Асимптотические методы в
уравнениях колебаний
Асимптотические методы в краевых
задачах
Количество часов
лекции
Практические
занятия
6
8
2
8
4
12
6
2
8
14
8
16
8
2.3. Лекционный курс
Тема 1. Введение.
Анализ размерностей. Разложения по степеням параметра или независимой
переменной. Функции сравнения (калибровочные функции). Символы
порядка. Асимптотические ряды. Асимптотические разложения и
последовательности. Единственность асимптотических разложений.
Сравнение сходящихся и асимптотических рядов. Простейшие действия
над асимптотическими разложениями. Неравномерные разложения.
Тема 2. Прямые разложения (разложения типа Пуанкаре) и источники
неравномерностей.
Бесконечные области. Уравнение Дюффинга. Малый параметр при
старшей производной. Пример уравнения второго порядка. Изменение
типа дифференциального уравнения в частных производных. Наличие
особенностей.
Тема 3. Алгебраические уравнения.
Квадратные уравнения. Кубические уравнения. Уравнения высших
порядков. Асимптотическое решение трансцендентных уравнений.
Тема 4. Введение в специальные функции.
Гамма-функция. Интегральные функции: показательная, логарифмическая,
синус и косинус. Интегралы Френеля. Неполная гамма-функция. Интеграл
Эйри. Функции Бесселя.
Тема 5. Приближенные методы оценки интегралов.
Разложение подынтегральной функции. Интегрирование по частям. Метод
Лапласа. Лемма Ватсона. Метод стационарной фазы. Вклад от внутренней
стационарной точки. Метод наискорейшего спуска (метод перевала).
Точки перевала. Линии наискорейшего спуска.
Тема 6. Приближенные решения дифференциальных уравнений.
Асимптотические разложения в уравнениях колебаний.
Прямые разложения типа Пуанкаре. Методика Линдштедта – Пуанкаре.
Метод перенормировки. Метод многих масштабов. Метод усреднения
(метод Ван-дер-Поля). Метод обобщенного усреднения. Метод усреднения
Крылова-Боголюбова-Митропольского.
Линейный
осциллятор
с
затуханием. Колебательные системы с самовозбуждением. Системы с
квадратичными и кубическими нелинейностями. Колебательные системы
со слабой нелинейностью общего вида. Уравнение Дюффинга в случае
вынужденных колебаний.
Тема 7. Приближенные решения дифференциальных уравнений.
Асимптотические разложения в краевых задачах. Метод сращивания
асимптотических разложений и составные разложения.
Метод Прандтля. Внешнее и внутреннее разложения.
Высшие
приближения и усовершенствованные процедуры сращивания. Метод
составных разложений. Уравнения с постоянными коэффициентами.
Уравнения с переменными коэффициентами. Задачи с двумя
пограничными слоями.
Тема 8. Условия разрешимости.
Нелинейные колебания в системах с двумя степенями свободы. Системы с
параметрическим возбуждением. Краевые задачи для дифференциальных
уравнений второго порядка. Задачи на собственные значения. Краевая
задача для дифференциального уравнения четвертого порядка. Задача на
собственные значения для дифференциального уравнения четвертого
порядка.
2.4. Практические (семинарские) занятия
№ Номер
Кол-во Тема практического занятия
раздела часов
1 2
2
Разложение данных функций в ряд. Сравнение
сходящихся и асимптотических разложений.
Проверка
разложений
на
равномерную
пригодность
2 3
6
Использование асимптотических методов для
решения алгебраических уравнений.
3 4
2
Специальные функции
4 5
8
Построение асимптотики интегралов с помощью
разложения подынтегральной функции в ряд и
интегрирования
по
частям.
Построение
асимптотики интеграла с помощью метода
Лапласа, стационарной фазы и метода перевала.
5 6
8
Построение асимптотических разложений в
уравнениях колебаний с помощью прямого
разложения
типа
Пуанкаре,
методики
Линдштедта-Пуанкаре, метода перенормировки,
метода многих масштабов, метода усреднения и
метода обобщенного усреднения.
6
7
6
Построение асимптотических разложений в
краевых задачах с помощью метода Прандтля,
процедуры сращивания и метода составных
разложений.
7
1-7
2
Итоговая контрольная работа.
2.5. Лабораторный практикум
Не предусмотрен.
3. Организация текущего и промежуточного контроля знаний
3.1. Контрольные работы
Тематика контрольной работы Сроки проведения
Итоговая контрольная работа
17-е занятие
Разделы и темы
дисциплины
1-7
3.2. Комплекты тестовых заданий
Тестирование по курсу не предусматривается.
3.3. Самостоятельная работа
3.3.1. Поддержка самостоятельной работы (сборники текстов, задач,
упражнений и др.)
Кожевников Е.Н., Степанова Л.В. Асимптотические методы. Основные
теоремы, методы и задачи. Самара. Изд-во "Самарский университет". 2003.
98 с. (100 экз.)
3.3.2. Тематика рефератов
Написание рефератов по курсу не предусматривается.
3.4. Курсовая работа, ее характеристика; примерная тематика
Курсовая работа по курсу не предусматривается.
Итоговый контроль проводится в виде зачета и экзамена в 8-ом семестре.
Зачет ставится на основании выполнения практических заданий.
Экзамен ставится на основании владения лекционным курсом.
4.Технические средства обучения и контроля, использование ЭВМ
Для решения задач повышенной сложности используются ПЭВМ на базе
процессора INTEL 586.
5. Активные методы обучения (деловые игры, научные проекты)
На практических занятиях часть решаемых задач носит проблемный
характер, имеет научное значение.
6. Материальное обеспечение дисциплины
7. Литература
7.1. Основная литература
(Одновременно изучают дисциплину 17 человек)
1. Найфе А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984. 536 с. (8
экз.)
2. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир. 1976. 456 с. (6 экз.)
3. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М. 1990. 528 с. (2 экз.)
4. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука. 1987. 544 с.
(5 экз.)
5. Кожевников Е.Н., Степанова Л.В. Асимптотические методы. Основные
теоремы, методы и задачи. Самара. Изд-во "Самарский университет". 2003.
98 с. (100 экз.)
7.2. Дополнительная литература
1. Бауэр С.М., Смирнов А.Л., Товстик П.Е., Филиппов С.Б.
Асимптотические методы в примерах и задачах. С.-Петербург.: Изд - во С.Петербургского Университета. 1997. 276 с.
2. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных
дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1968. 464 с.
3. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической
физики. М. 1982. 464 с.
4. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости М.: Мир. 1967.
310 с.
5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений
сингулярно возмущенных уравнений. М. Наука. 1973. 272 с.
6. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука.
1979. 320 с.
7. Коул Дж. методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир. 1972.
274 с.
8. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции.
М.: Наука. 1978. 376 с.
9. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и
таблицами. Под ред. Абрамовича М., Стиган И. М.: Наука. 1979. 830 с.
10. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные
уравнения. М.: Наука. 1998. 232 с.
7.3 Учебно-методические материалы по дисциплине
Кожевников Е.Н., Степанова Л.В. Асимптотические методы. Основные
теоремы, методы и задачи. Самара. Изд-во "Самарский университет". 2003.
98 с. (100 экз.)
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ В РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ
за _______/________ учебный год
В рабочую программу «Асимптотические методы и теория возмущений»
для специальности вносятся следующие дополнения и изменения: