Методы исследования линейных систем

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. Первый метод Ляпунова
Как определить, не решая систему уравнений, тип неподвижной точки и устойчива ли
она? Для этого используют первый метод Ляпунова для определения типа устойчивости
неподвижной точки.
Рассмотрим систему уравнений:
(8.1)
Решение системы уравнений (8.1) представим в виде:
(8.2)
Подставим (8.2) в исходную систему уравнений (8.1) и получим:
или после сокращения
(8.3)
В матричной форме запись уравнений (8.3) выглядит следующим образом:
(8.4)
Для того чтобы система (8.4) имела нетривиальные решения С
0, необходимо, чтобы
т. е.
(8.5)
Собственные числа матрицы А определяют из условия (8.5). Раскрывая детерминант,
получим квадратичное уравнение относительно , называемое характеристическим:
(8.6)
Следовательно, исходная система (8.1) допускает решения:
По значению собственных чисел матрицы А можно определить тип точки и тип её
устойчивости. Существуют три возможности поведения собственных чисел,
соответствующих трём видам устойчивости неподвижных точек:
1) если
имеют действительные отрицательные части, то неподвижная точка
асимптотически устойчива;
2) если хотя бы один из корней имеет положительную действительную часть, то
неподвижная точка неустойчива;
3) если корни чисто мнимые или один из корней имеет нулевую действительную
часть, а действительная часть другого - отрицательна, то неподвижная точка
нейтрально устойчива.
2. Классификация неподвижных точек на плоскости
Для определения типа неподвижной точки рассмотрим уравнение (8.6) более
подробно. Введём обозначения:
Тогда квадратичное уравнение (8.6) примет вид
(8.7)
и будет иметь корни
Анализ корней уравнения (8.7) позволяет классифицировать неподвижные точки в
зависимости от значений коэффициентов матрицы А, не прибегая к решению системы
уравнений. Классификация неподвижных точек представлена в таблице.
>0
=0
> 0, Т > 0 - неустойчивый узел Т > 0 - неустойчивый узел
> 0, Т < 0 - устойчивый узел
<0
Т = 0, > 0 - центр
(корни чисто мнимые)
Т < 0 - устойчивый узел T > 0 - неустойчивый фокус
T < 0 - устойчивый фокус
< 0 - седло
Следовательно, если корни характеристического уравнения (8.7):
а) действительные и одного знака, то неподвижная точка - узел, причём
- устойчивый узел,
- неустойчивый узел;
б) действительные и различных знаков, то неподвижная точка – седло;
в) комплексно - сопряженные, то неподвижная точка - фокус, причём
- устойчивый фокус,
- неустойчивый фокус;
г) чисто мнимые, то неподвижная точка – центр.
3. Примеры анализа систем с использованием первого метода Ляпунова
3.1. Анализ экономического процесса.
Рассмотрим некоторый процесс управления, в котором происходят действия по
схеме:
Математическая модель такого процесса имеет вид:
Определим стационарное состояние и тип этого состояния. Неподвижную точку
находим из условия:
Запишем характеристическое уравнение и определим его корни:
всегда отрицательно; знак
зависит от соотношения времени протекания процесса
и константы реакции следующим образом:
при
при
Таким образом, если константа реакции больше
стационарное состояние
является седлом и неустойчиво, если меньше - стационарное состояние является
устойчивым узлом. Отметим, что неустойчивость процессов такого типа
предсказывает метод функций Ляпунова (избыточного производства энтропии).
Причина неустойчивости кроется в наличии обратной связи. Действительно, если
увеличить управляющее воздействие так, чтобы
гашение возникающих флуктуаций; если же
стационарный режим будет неустойчивым.
то произойдет
флуктуации не затухают, и
4. Определение типа неподвижных точек для систем n-го порядка
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка. В
качественной теории дифференциальных уравнений формулируются следующие
теоремы:
Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения системы
имеют отрицательные действительные части, то неподвижная точка
асимптотически устойчива;
Теорема 2. Если хотя бы один корень характеристического уравнения системы
имеет положительную действительную часть, то неподвижная точка неустойчива по
Ляпунову;
Теорема 3. Если характеристическое уравнение системы имеет простые корни с
нулевой действительной частью или простые чисто мнимые корни, либо простой
нулевой корень и простые чисто мнимые корни, а все остальные корни (если они
имеются) имеют отрицательные действительные части, то неподвижная точка
устойчива по Ляпунову (нейтральная устойчивость).
Легко видеть, что рассмотренные ранее возможности поведения корней
характеристического уравнения для случая n = 2 являются частным случаем данных
теорем.
5. Необходимый признак асимптотической устойчивости линейных
систем (критерий Раусса - Гурвица).
Характеристическое уравнение
вид:
для системы n-го порядка имеет
(8.8)
Из коэффициентов характеристического уравнения (8.8) составим матрицу,
называемую матрицей Раусса - Гурвица:
Для того чтобы все корни характеристического многочлена (8.8) имели строго
отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные
диагональные миноры матрицы Раусса - Гурвица, составленной из коэффициентов
характеристического многочлена, были строго положительны:
Критерий Раусса - Гурвица является критерием асимптотической устойчивости для
линейных систем.
Рассмотрим случай n = 2. Для многочлена (8.7) построим матрицу Раусса - Гурвица:
Критерий Раусса - Гурвица определяет условия
соответствующие устойчивому фокусу или устойчивому узлу (см. таблицу,
приведённую в разделе "Классификация неподвижных точек на плоскости").
Рассмотрим случай n = 3. Характеристический многочлен имеет вид:
(8.9)
Запишем матрицу Раусса - Гурвица
Тогда условия критерия асимптотической устойчивости выглядят следующим образом:
или
(8.10)
6. Детальный анализ типа неподвижной точки для системы 3-го
порядка.
Для более детального анализа неподвижной точки для случая n = 3 необходимо знать
знак выражения:
В зависимости от знака характеристическое уравнение (8.9) имеет либо три
действительных корня, либо один действительный и два комплексных сопряжённых (см.
таблицу).
Условия
Тип корней характеристического многочлена
Тип
неподвижной
точки
все корни положительны
неустойчивый
узел
все корни отрицательны;условия совпадают с
условиями асимптотической устойчивости (8.10)
устойчивый
узел
действительные части корней положительны
неустойчивый
фокус
действительные части корней
отрицательны;условия совпадают с условиями
асимптотической устойчивости (8.10)
устойчивый
фокус
корни действительные, но знаки их не совпадают
седло
один из корней действительный, а два других комплексные сопряжённые, причём знаки их
действительных частей противоположны знаку
действительного корня
седло-фокус
Неподвижная точка седлофокус (см. рисунок) имеет
сепаратрисную поверхность,
на которой фазовые
траектории расположены так
же, как в окрестности фокуса
на фазовой плоскости
двумерных систем. Причём,
для сепаратрисной плоскости
состояние устойчиво, для
других плоскостей неустойчиво.
7. Пример анализа процесса с использованием критерия Раусса -Гурвица
Рассмотрим экономический процесс, в котором происходят действия по схеме:
Математическая модель процесса имеет вид:
Определим стационарное состояние:
Построим характеристический многочлен
Определим собственные числа матрицы А:
Очевидно, что стационарное состояние является устойчивым узлом. Подтвердим его
асимптотическую устойчивость с помощью критерия Раусса - Гурвица.
Введём обозначения:
Тогда характеристический многочлен принимает вид:
где
Так как
то
Таким образом, условие Раусса - Гурвица выполняется, и рассматриваемая система
является асимптотически устойчивой.
8. Качественная эквивалентность систем.
Определение. Две системы дифференциальных уравнений первого порядка
называются качественно эквивалентными, если существует непрерывное взаимно
однозначное преобразование, которое переводит фазовый портрет одной системы в
фазовой портрет другой так, что сохраняется ориентация траекторий.
Таким образом, любая линейная система на плоскости качественно эквивалентна
одной из систем, фазовые портреты которых изображены на рисунке. Десять фазовых
портретов представляют типы поведения линейных систем. Следовательно, все
устойчивые (неустойчивые) узлы и устойчивые (неустойчивые) фокусы
эквивалентны друг другу. Это означает, что классы алгебраически эквивалентных
систем можно группировать в классы качественно эквивалентных. В этом смысле для
линейных систем существует только четыре типа качественного поведения:
асимптотическая устойчивость (а), центр (b), седло (c) и неустойчивость (d).