ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГОРИТМА «ВИХРИ–В–ЯЧЕЙКАХ» ПРИ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГОРИТМА «ВИХРИ–В–ЯЧЕЙКАХ»
ПРИ ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
С.М. БАХРАХ, С.Г. ВОЛКОВ, С.Е. КУРАТОВ, А.О. НАУМОВ, О.В. ОЛЬХОВ
Российский федеральный ядерный центр 
Всероссийский НИИ экспериментальной физики, Саров, Россия
Введение
Достаточно широкий класс течений можно охарактеризовать наличием участков локально концентрированной завихренности внутри безвихревого в целом потока (пограничные слои, сдвиговые течения, следы за
обтекаемыми телами и т.д.). Области завихренности в таких течениях имеют характерные размеры много
меньшие масштабов движения, сохраняют связность и структурные характеристики в процессе движения
в невязкой двумерной жидкости и могут существенно влиять на движение всего потока. Зачастую течения
с локализованными «островками» завихренности не могут быть напрямую промоделированы обычными конечно–разностными схемами. Для подобного моделирования понадобилось бы катастрофичное увеличение
числа счетных точек. Так, порядок толщины пограничного слоя оценивается величиной δ ∝ O (Re −1 / 2 ) [1];
если выбирать шаг пространственной сетки исходя из условия h ∝ δ , то уже это накладывает очень жесткое
условие h ∝ O (Re −1 / 2 ) для потоков с большим числом Рейнольдса Re. Но иногда даже достаточно подробная
пространственная сетка в расчетах не позволяет моделировать возникающие в потоке крупномасштабные вихревые движения. Во–первых, это связано с тем, что завихренность может образовываться из–за молекулярной
вязкости, как, например, в случае с пограничными слоями, что, естественно, не может быть учтено в рамках
уравнений Эйлера. Во–вторых, в конечно–разностных схемах вихревое движение обычно удается удовлетворительно воспроизвести только на малом начальном этапе эволюции вихрей, как правило, завихренность «заглаживается» из–за нефизичной диффузии, обусловленной схемной вязкостью. Это касается течений со стратифицированными границами раздела сред; течений с искривленным фронтом ударной волны, многофазных
течений и т.п.
Для моделирования движений с локализованными областями завихренности хорошо разработаны алгоритмы, носящие общее название «вихревые» [25]. Классическим примером вихревого алгоритма является хорошо известный метод точечных вихрей. Наиболее известной программой, основанной на вихревом подходе
к моделированию течения, является созданная еще в 70–е годы программа VORTEX [6]. Однако существующие программные реализации вихревого подхода описывают, как правило, лишь достаточно узкий класс задач.
В данной статье предложена схема, позволяющая учесть вихревую составляющую движения в любом потоке,
который способна описать конечно–разностная программа. Для этого разработаны физические положения
и математические способы их реализации. Внедрение предложенного способа учета вихревой составляющей
движения осуществлено в программных комплексах МЕДУЗА [7, 8] и ЛЭГАК [9, 10].
В качестве примеров приведены расчеты задач развития гидродинамической неустойчивости.
1. Физическая постановка
Алгоритм «вихри–в–ячейках» предполагает решение системы дифференциальных уравнений в переменных
Лагранжа [5].
G

W2 
dU
1
,
(1)
= − grad  p + ρ
2 
dt
ρ


W2
 p + ρ
2

d 
 e +
 = − 
dt 
2 
ρ
W2


 div UG ,
(2)
2
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
G G G
dr
= U +W,
dt
(3)
G G
dρ
+ ρ div U + W = 0,
dt
(
)
(4)
G
dΓ
(5)
= −Γ div U ,
dt
G
где Г  интенсивность вихря в данной точке, W  вихревая скорость; остальные обозначения общепринятые.
G G
При выводе уравнений (1)–(5) использовалось предположение о малости отношения W U << 1 .
G
G
Вихревые скорости W ` порождаются в каждой точке r пространства интенсивностью вихрей, заданных в
G
точках r j некоторой окрестности:
G G
G
Γ j (r − r j )′
W =
(6)
G G ,
2π r − r j
j
G
G
где символ b ′ означает вектор, полученный поворотом вектора b по часовой стрелке на π 2 .
Для замыкания приведенной выше системы уравнений добавляется, как обычно, уравнение состояния
∑
p = p (ρ, e )
(7)
2. Математическая реализация
Система уравнений (17), описывающая алгоритм «вихри–в–ячеках» была реализована в комплексах
МЕДУЗА [7, 8] и ЛЭГАК [9, 10], предназначенных для расчета нестационарных осесимметричных газодинамических течений с большими деформациями контактных границ.
Не заостряя внимание на деталях конечно–разностной аппроксимации уравнений (17), следует подчеркнуть существенное различие методик МЕДУЗА и ЛЭГАК.
Во–первых, различен характер счетной сетки: регулярная в методике ЛЭГАК и нерегулярная в методике
МЕДУЗА.
Во–вторых, в методиках МЕДУЗА и ЛЭГАК разными способами определены величины на счетной сетке.
В методике МЕДУЗА все величины (плотность, энергия, давление, скорость) определены в одной точке 
центре счетной ячейки. В методике ЛЭГАК величины разнесены: координаты и скорости определены в узлах
счетной ячейки, остальные величины (плотность, энергия, давление) определены в ячейках счетной сетки.
Кроме того, в лагранжево–эйлеровой методике ЛЭГАК каждый счетный шаг по времени включает лагранжев и эйлеров этапы. На лагранжевом этапе счетная сетка движется вместе с веществом. На эйлеровом этапе
производится построение новой счетной сетки и пересчет величин на эту новую сетку с соблюдением законов
сохранения. На этом этапе возникает проблема пересчета интенсивностей вихревого поля в случае сжимаемой
жидкости. При реализации алгоритма в рамках указанных методик при пересчете интенсивности сохраняется
величина Гm, где m – масса счетной ячейки. Это правило непосредственно следует из закона сохранения количества движения вихря [1].
3. Общие замечания о численном моделировании гидродинамической неустойчивости
Методически наиболее простой способ расчета гидродинамической неустойчивости является прямое численное моделирование с помощью кодов нестационарных газодинамических течений. На практике, однако,
прямое численное моделирование оказывается не всегда применимо из–за малого масштаба начальных возмущений. Особенно это касается сложных задач со многими физическими областями, где для подробного описания существующих возмущений необходима очень подробная сетка, расчеты на которой невозможны из–за
ограниченности ресурсов современной вычислительной техники. Алгоритм «вихри–в–ячейках» позволяет
моделировать начальную стадию развития основных типов гидродинамической неустойчивости в двумерных
потоках. Это связано с тем, что согласно современным представлениям о развитии гидродинамической неустойчивости, динамика неустойчивых контактных границ во многих случаях представляет собой задачу об эволюции образовавшихся в начальный момент времени на этих границах полей завихренности (см., например,
[18]). При этом существует ряд особенностей данного алгоритма, которые необходимо учитывать в практических расчетах.
VII Забабахинские научные чтения
3
Уравнения (15) получены из уравнений Эйлера в предположении малости вихревой составляющей движения. Это предположение позволило линеаризовать возмущения, связанные с наличием вихрей в системе.
Кроме того, в уравнении для завихренности (5) оставлено только слагаемое, отвечающее за интенсификацию
вихрей при сжатии вещества. Члены, связанные с рождением и диссипацией вихрей на мелких масштабах
движения в уравнении (5) опущены. Такой подход предполагает, что начальное поле завихренности является
входным параметром в модели «вихри–в–ячейках». Обычно, исходя из физических особенностей рассчитываемого течения, мы можем a priori предполагать, что в некоторых областях течения будет генерироваться
ненулевая завихренность. Очень часто, например, источником завихренности в точке является бароклинический механизм, когда градиенты давления и плотности в данной точке неколлинеарны. Таков источник вихрей
при неустойчивости контактной границы по Рэлей–Тейлору или Рихтмайер–Мешкову, а также за фронтом искривленной ударной волны. Зная особенности рассчитываемой геометрии и средние характеристики потока,
мы можем достаточно достоверно определить момент зарождения вихрей в задаче, их начальную интенсивность и месторасположение.
При развитии возмущений на контактной границе даже в несжимаемой жидкости интенсивность вихрей
нестационарна, что противоречит уравнению (5). Однако пренебрежение законом изменения вихревой интенсивности не должно вносить сильную погрешность в расчеты. Действительно, при относительно малых амплитудах возмущений, развивающихся на контактной границе, погрешность, вносимая нестационарностью Г,
не превосходит погрешности используемых приближений. Когда же граница разрыва становится сильно деформированной (амплитуда возмущений сравнивается с длиной волны возмущения), величина счетной ячейки
в практических расчетах становится меньше масштабов возникших возмущений и дальнейшее движение на
границе описывается уже газодинамическими кодами. Отметим также, что, зная физические закономерности
развития неустойчивости на контактной границе, можно «навязать» закон изменения интенсивности от времени, как это сделано ниже при моделировании неустойчивости Рэлей–Тейлора (задачи № 59). Тестовые расчеты, однако, подтверждают высказанное выше предположение о слабом влиянии нестационарности Г на результаты расчетов (см. ниже).
Такой подход позволяет существенно сэкономить счетные ресурсы, поскольку нет необходимости детализировать сеткой мелкомасштабные начальные возмущения контактных границ или, например, неоднородности
фронта волн сжатия. Возможность моделирования задач гидродинамической неустойчивости с помощью вихрей продемонстрирована ранее в ряде работ [1317]. В данной работе мы расширили возможности этого алгоритма, инкорпорировав его в газодинамические программы, что позволило расширить счетные возможности
как самого алгоритма, так и этих программ.
4. Постановка расчетов гидродинамической неустойчивости
Постановка расчетов по программам ЛЛЭГАК и МЕДУЗА были, как правило, идентичны, за исключением
особо оговоренных случаев.
4.1 Постановка расчетов неустойчивости Рихтмайера–Мешкова
Рассматриваются двумерные задачи о поведении границы раздела двух газов при моделировании неустойчивости Рихмайера–Мешкова.
Расчет № 1. Моделирование развития неустойчивости Рихтмайера–Мешкова при одномодовом возмущении
контактной границы с использованием алгоритма «вихри–в–ячейках».
Начальную геометрию можно увидеть в верхней части рис. 1.
3
Сверху находится идеальный газ с плотностью ρ1=0,7 г/см , γ = 6, снизу также идеальный газ с плотностью
3
ρ2 = 0,9 г/см , γ = 6. По всей области задано начальное давление P0 = 0,1 Гпа. Граница раздела двух газов в начальный момент представляет собой синусоиду малой амплитуды с длиной волны λ = 7,45 см и амплитудой
а0 = 0,031 λ.
 2π 
yгр ( x ) = y0 + a0 cos 
x
(8)
 λ 
Здесь y0 – расстояние от оси x до границы раздела сред. Для моделирования плоской геометрии счетная область располагалась на достаточно большом расстоянии над осью X.
На границе раздела веществ в начальный момент времени задавалась распределенная по гармоническому
закону интенсивность вихревого поля с той же длиной волны возмущения, что и в выражении (8) и с амплиту2
дой Г0 = 0,3 см /с, но с распределением
 2π 
Г = − Г 0 ⋅ sin 
x
(9)
 λ 
4
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Дальнейшая эволюция границы раздела определялась в соответствии со стандартной схемой алгоритма
«вихри–в–ячейках.
Рис. 1. Динамика развития неустойчивости Рихтмайера–Мешкова при одномодовом возмущении.
Слева напрваво  результаты эксперимента [11], результаты по «Медузе», возмущенная граница, невозмущенная граница
(расчеты 1, 2 по методике ЛЭГАК)
VII Забабахинские научные чтения
5
Расчет № 2. Моделирование развития неустойчивости Рихтмайера–Мешкова с плоской границей с использованием алгоритма «вихри–в–ячейках»
Начальная постановка этого расчета аналогична постановке предыдущего расчета, за исключением того,
что поверхность раздела двух газов является плоской. Как и в предыдущем расчете на границе раздела задается
интенсивность вихревого поля по закону (9) с той же начальной амплитудой и длиной волны.
Расчет № 3. Моделирование развития неустойчивости Рихтмайера–Мешкова при двухмодовом возмущении
контактной границы с использованием алгоритма «вихри–в–ячейках»
Начальную геометрию данного расчета можно увидеть в верхней части рис. 2.
Начальные данные такие же, как и в предыдущих расчетах.
Возмущение границы раздела газов задано в виде:
 2π 
 2π 
yгр ( x ) = − a0 ⋅ cos 
x  − b0 ⋅ sin  2
x ,
λ


 λ 
(10)
где a0 = 0,031 λ, b0 = 0,574a0.
На границе раздела газов задавалась интенсивность по следующему закону:

 2π 
 2π  
x  − 2 ⋅ 0.574 cos  2
x  ,
Г( x ) = Г 0  sin 
 λ 
 λ 

(11)
Амплитуда Г0 во всех расчетах определялась аналогично тому, как это сделано в работе [15], в наших рас2
четах она полагалась равной 0,2 см /с.
4.2 Постановка расчетов неустойчивости Рэлей–Тейлора
В данном разделе будет описана постановка задач по моделированию развития Рэлей–Тейлоровской неустойчивости.
Расчет № 4. Прямое моделирование развития неустойчивости Релей–Тейлора при одномодовом возмущении контактной границы.
Рассмотрим двумерную задачу о поведении поверхности раздела двух сред в гравитационном поле. Введем
прямоугольную систему координат (x, y) и предположим, что граница раздела сред в начальный момент времени описывается функцией (рис. 3)
y = y0 – a0 cos nx,
(12)
–2
–1
где a0 = 4·10 см  начальная амплитуда, n = 3,14 см  волновое число (длина волны λ = 2 см), y0  расстояние от оси x до границы раздела сред.
Уравнения состояния веществ принимались в виде трехчлена с параметрами:
3
− вещество 1: γ = 1, ρ1=10 г/см , с0 = 200 км/с, n = 1;
3
− вещество 2: γ = 1, ρ2=1 г/см , с0 = 200 км/с, n = 1,
где c0  скорость звука, ρi – начальная плотность i–го вещества.
В начальный момент времени задается стратификация, соответствующая ускорению g.
Расчеты № 59. Моделирование неустойчивости Релей−Тейлора с использованием алгоритма «вихри–в–
ячейках» при невозмущенной контактной границе.
Начальная постановка данных расчетов отличается от предыдущей лишь прямой контактной границей и заданием начальной интенсивности вихревого поля.
Между собой расчеты отличаются временем перехода с линейной стадии на нелинейную.
В начальный момент времени на прямой контактной границе задается интенсивность, соответствующая одномодовому возмущению следующего вида:
 2π 
x ,
(13)
Γ = Γ0 sin 
 λ 
2
Здесь Г0 = 0,1 см /с, λ = 2 см.
6
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Рис. 2. Динамика развития неустойчивости Рихтмайера–Мешкова при двухмодовом возмущении контактной границы.
Слева напрваво  результаты эксперимента [11], результаты по «Медузе», результаты по методике ЛЭГАК
VII Забабахинские научные чтения
7
Y
ρ1
g
ρ2
X
Рис. 3. Начальная геометрия расчета неустойчивости Рэлей–Тейлора
Далее на каждом шаге новое значение интенсивности корректируется по следующему закону:
~
Γ n +1 = Γ n +1
 F n +1лин (t )
, если t ≤ t пер ;
 n
 F лин (t )

 F n +1нелин (t )
, если t > t пер .
 n
 F нелин (t )
(14)
~
Здесь Γ n +1 – новое значение интенсивности, полученное при использовании стандартного алгоритма «вихAg
ри–в–ячейках», Fлин = 4
⋅ a0 exp A g k t  функция корректировки интенсивности на линейном этапе,
k
2
Fнелин = с A 2 g 2 t 3  функция корректировки интенсивности на нелинейном этапе. Здесь tпер  время пе3
рехода с линейного этапа на нелинейный, А  число Атвуда, g  ускорение, k  волновое число, с  константа, равная 0,06.
В таблице представлены номера расчетов, соответствующие различным временам перехода.
(
)
8
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Краткое описание расчетов
№
расчета
Вид неуст.
Способ моделирования
Контактная граница
Интенсивность
1
РМ
алгоритм
«вихри–в–ячейках»
возмущена
 2π 
x
c = −c 0 sin 
 λ 
2
РМ
алгоритм
«вихри–в–ячейках»
невозмущенна
 2π 
c = −c 0 sin 
x
 λ 
3
РМ
алгоритм
«вихри–в–ячейках»
возмущена

 2π 
 2π  
x  − 2 ⋅ 0,574 ⋅ cos  2 x  
c ( x ) = c 0  sin 
λ


 λ 

4
РТ
прямой
возмущена
—
5
РТ
алгоритм
«вихри–в–ячейках»
невозмущенна
 2π 
x ,
c = c 0 sin 
 λ 
без корректировки
6
РТ
алгоритм
«вихри–в–ячейках»
невозмущенна
 2π 
x  , tпер = 0,5 мкс
Γ = Γ 0 sin 
 λ 
7
РТ
алгоритм
«вихри–в–ячейках»
невозмущенна
 2π 
x  , tпер = 1мкс
Γ = Γ 0 sin 
 λ 
8
РТ
алгоритм
«вихри–в–ячейках»
невозмущенна
 2π 
x ,
Γ = Γ 0 sin 
 λ 
tпер = 2 мкс
9
РТ
алгоритм
«вихри–в–ячейках»
невозмущенна
 2π 
x ,
Γ = Γ 0 sin 
 λ 
tпер = 5 мкс
10
11
РТ
алгоритм
«вихри–в–ячейках»
РТ
алгоритм
«вихри–в–ячейках»
прямой
алгоритм
«вихри–в–ячейках»
невозмущенна
 2π 
x
Γ = Γ 0 sin 
 λ 
без корректировки
невозмущенна
 2π 
x ,
Γ = Γ 0 sin 
 λ 
возмущена
tпер = 2 мкс
—
невозмущенна
Локально в окрестностях двух точек
12
КГ
13
КГ
14
КГ
алгоритм
«вихри–в–ячейках»
невозмущенна
 2π 
x
Γ = Γ + Γ0 sin 
 λ 
15
КГ
алгоритм
«вихри–в–ячейках»
возмущена
Постоянная
Расчеты № 10, 11. Моделирование неустойчивости Релей−Тейлора с использованием алгоритма «вихри–в–
ячейках» при невозмущенной контактной границе без учета гравитации.
Постанова этих двух расчетов отличается от постановки предыдущих отсутствием действия ускорения свободного падения. Соответственно, стратификация в этом случае не задавалась.
Между собой расчеты отличаются корректировкой во времени интенсивности вихревого поля. В первом
случае она отсутствовала, во втором время перехода равнялось 2 мкс.
VII Забабахинские научные чтения
9
4.3 Постановка расчетов неустойчивости Кельвина–Гельмгольца
Расчет № 12. Прямое моделирование развития неустойчивости Кельвина–Гельмгольца.
3
Область заполнена идеальным газом с плотностью ρ0 = 1г/см , γ = 3, P0 = 2 ГПа. Контактная граница задана
в виде синусоиды с амплитудой а0 = 0,05 см и длиной волны λ = 5 см:
 2π 
y = y0 − a0 cos 
x
 λ 
(15)
В верхнем веществе задана постоянная скорость 1 км/сек, нижнее вещество неподвижно.
На вертикальных границах задавались периодические граничные условия.
Расчеты №1315. Моделирование развития неустойчивости Кельвина–Гельмгольца с использованием алгоритма «вихри–в–ячейках».
В расчетах № 13, 14 контактная граница была невозмущенной. В расчете № 13 интенсивность задавалась
локально в окрестностях точек, которые являются максимумами возмущенной границы в предыдущем расчете
2
и равнялась 0,1 см /с.
В расчете 14 начальная интенсивность на границе задавалась в виде:
~
 2π 
x
Γ = Γ + Γ0 sin 
 λ 
(16)
~
2
2
Здесь Γ  постоянная интенсивность, равная 0,1 см /с, Г0=0,02 см /с, λ = 5 см.
2
В расчете № 15 на искривленной границе вида (15) задавалась постоянная интенсивность Г = 0,1 см /с. При
этом оба вещества были неподвижны.
При моделировании неустойчивости Кельвина–Гельмгольца по программе МЕДУЗА помимо указанного
выше использовался также способ моделирования, который позволяет одновременно получить картину развития сдвиговой неустойчивости как на начальном ее этапе, так и на стадии сильной нелинейности. Этот способ
моделирования можно назвать «пространственной моделью». Вихри в пространственной модели рождаются на
некотором фиксированном расстоянии от левой границы рассматриваемой счетной области через определенное число шагов. Рождающиеся вихри сносятся вниз по потоку со средней скоростью потока, при достижении
ими правой границы они в силу периодических условий переносятся в левую часть рассчитываемой области.
Для наглядности краткое описание расчетов 115 приведено в таблице (см. выше).
5. Результаты численного моделирования гидродинамической неустойчивости
5.1 Неустойчивость Рихтмайера–Мешкова.
Результаты расчетов развития неустойчивости при одномодовом возмущении представлены на рисунке 1.
В левом столбце представлены результаты эксперимента из работы [11]. Второй и третий столбец – результаты расчетов задачи с возмущенной границей (задача 1) по методикам МЕДУЗА и ЛЭГАК соответственно;
последний столбец – расчет с невозмущенной границей по методике ЛЭГАК (задача 2).
Расчетные и экспериментальные данные, соответствующие двухмодовому возмущению границы (задача 3),
представлены на рисунке 2.
Результаты расчетов, приведенные на рис. 1, 2, показывают, что используемый при численном моделировании способ учета вихревой составляющей движения дает хорошее согласие как с экспериментальными результатами, так и с результатами расчетов по другим, чисто вихревым методикам. При моделировании удается
воспроизвести общие закономерности развития неустойчивости Рихтмайера–Мешкова, включая нелинейную
ее стадию, например, поведение во времени структурных элементов границы раздела, так называемых пиков
(spikes) и пузырей (bubbles). Кроме того, наблюдается хорошее согласие экспериментальных и расчетных значений зависимости амплитуды возмущения от времени (рис. 4).
Проведенные расчеты неустойчивости Рихтмайера–Мешкова позволяют сделать вывод о том, что внедренный в программные комплексы МЕДУЗА и ЛЭГАК алгоритм «вихри–в–ячейках» описывает качественно процессы развития данного типа неустойчивости, воспроизводя экспериментально наблюдаемую картину.
10
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Амплитула возмущения, мм
35
30
25
20
15
Расчет по МЕДУЗЕ
10
эксперимент
5
0
0
10
20
30
40
50
Время, 1/60 сек
Рис. 4. Рост амплитуды возмущения в расчетах по модифицированной программе МЕДУЗА и в эксперименте [11]
5.2 Неустойчивость Рэлей–Тейлора
В этом разделе представлены результаты расчетов задач неустойчивости Рэлей–Тейлора, проведенные по
методике ЛЭГАК.
На рис. 5 представлены результаты прямого численного моделирования неустойчивости Рэлей–Тейлора
(задача 4).
Следующая серия расчетов неустойчивости Рэлей–Тейлора проводилась с использованием алгоритма «вихри–в–ячейках». Расчеты отличаются временем корректировки интенсивности.
На рис. 6 представлены результаты развития неустойчивости Рэлей–Тейлора без корректировки интенсивности.
На рис. 7 представлены результаты расчета с учетом линейной и нелинейной стадий развития неустойчивости. Время перехода составило 0,5 мкс.
Видно, что развитие неустойчивости здесь произошло заметно быстрее, чем при прямом моделировании и в
расчете без корректировки интенсивности.
Также были проведены расчеты со временем корректировки 1, 2 и 5 мкс.
На рис. 8 представлена динамика развития неустойчивости при tпер=5 мкс.
В следующей паре расчетов ускорение свободного падения не учитывалось, соответственно, не задавалась
начальная стратификация. На рис. 9 слева представлен расчет без корректировки интенсивности, а справа 
с корректировкой (tпер = 2 мкс).
Как показали результаты расчетов, алгоритм «вихри–в–ячейках» качественно воспроизводит результаты
прямого численного моделирования неустойчивости Рэлей–Тейлора вне зависимости от выбора модели, описывающей изменение интенсивности Г от времени. Нам представляется, что результат расчета без корректировки интенсивности Г (расчет 5, рис. 6) предпочтительней, так как он наиболее близок результату прямого
моделирования. Возможно, именно в такой постановке следует рассчитывать развитие неустойчивости Рэлей–
Тейлора с использованием алгоритма «вихри–в–ячейках».
VII Забабахинские научные чтения
11
12
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Рис. 5. Динамика развития неустойчивости Релей–Тейлора при прямом численном моделировании по методике ЛЭГАК
VII Забабахинские научные чтения
Рис. 6. Динамка развития неустойчивости Релей–Тейлора с использованием алгоритма «вихри–в–ячейках»
без корректировки интенсивности по методике ЛЭГАК
Рис. 7. Динамика развития неустойчивости Релей–Тейлора с использованием алгоритма «вихри–в–ячейках»
с корректировкой интенсивности (tпер = 0,5 мкс)
13
14
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Рис. 8. Динамика развития неустойчивости Релей–Тейлора с использованием алгоритма «вихри–в–ячейках»
с корректировкой интенсивности (tпер = 5 мкс)
Рис. 9. Расчет неустойчивости Релей–Тейлора без учета ускорения свободного падения
(слева  без корректировки интенсивности, справа  с корректировкой и временем перехода t = 2 мкс)
5.3. Неустойчивость Кельвина–Гельмгольца
На рис. 10 приведены результаты расчета по методике ЛЭГАК развития неустойчивости Кельвина–Гельмгольца при прямом численном моделировании (расчет 12).
Видно, что мелкомасштабные возмущения со временем переходят в два ярко выраженных гребня.
VII Забабахинские научные чтения
15
На рис. 11, 12 представлены результаты расчетов с использованием алгоритма «вихри–в–ячейках» по методикам ЛЭГАК и МЕДУЗА соответственно. В обоих случаях контактная граница была невозмущенной (расчет 13, таблица).
На рис. 13 представлены результаты расчета развития неустойчивости Кельвина–Гельмгольца по методике
ЛЭГАК, где на возмущенной в начальный момент времени границе задана постоянная интенсивность. Вещества при этом покоятся.
На рис. 15 даны результаты расчетов сдвиговой неустойчивости по программе МЕДУЗА с использованием
алгоритма «вихри–в–ячейках». На рис. 16 приведены результаты расчетов из работы [13] в аналогичной постановке.
Результаты расчетов среднеквадратичных пульсаций продольной (U ' ) 2 / ∆U и поперечной (V ' ) 2 / ∆U
компонент скорости даны на рис. 14. На этих же рисунках приведены экспериментальные данные из работы
Броуанда [12]. Видно достаточно хорошее согласие расчетных результатов с экспериментальными. Максимальные значения поперечных пульсаций в расчетах, как и в эксперименте, примерно в 1,5 раза больше продольных. Наиболее удачно воспроизводятся поперечные пульсации скорости.
Результаты расчетов неустойчивости Кельвина–Гельмгольца показывают, что алгоритм «вихри–в–ячейках»
качественно воспроизводит результаты прямого численного моделирования при различном подходе к моделированию начальных условий. Есть некоторые различия между прямым численным моделированием и моделированием с помощью «вихрей–в–ячейках», которые требуют дополнительного исследования.
16
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Рис. 10. Динамика развития неустойчивости Кельвина–Гельмгольца при прямом моделировании по методике ЛЭГАК
Рис. 11. Результаты численного моделирования неустойчивости Кельвина–Гельмгольца по методике ЛЭГАК при заданной
по всей границе переменной интенсивности
17
VII Забабахинские научные чтения
t = 11,8
t = 15,8
t = 19,2
t = 23,0
t = 26,2
t = 29,8
t = 33,2
t = 36,9
Рис. 12. Развитие неустойчивости Кельвина–Гельмгольца в расчетах по методике МЕДУЗА
18
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Рис. 13. Динамика развития неустойчивости Кельвина–Гельмгольца с использованием алгоритма «вихри в ячейках »
при отсутствии разрыва тангенциальной составляющей скорости
Среднеквадратичные пульсации скорости
0,18
U', расчет
0,16
0,14
0,12
V', расчет
0,10
0,08
U', эксперимент
0,06
0,04
V', эксперимент
0,02
0,00
-2
-1
0
1
2
Y, см
Рис. 14. Результаты расчета среднеквадратичных пульсаций в свободном сдвиговом слое, полученные в расчетах
по программе МЕДУЗА с использованием алгоритма «вихри–в–ячейках».
Экспериментальные данные  из работы [12]
VII Забабахинские научные чтения
а) вещества, t = 42,38
б) концентрация завихрености, t = 42,38
а) вещества, t = 47,72
б) концентрация завихренности, t = 47,72
Рис. 15. Плоский слой смешения, полученный в расчетах по программе МЕДУЗА
с учетом вихревой компоненты движения
Рис. 16. Характерный вид плоского турбулентного слоя смешения при больших числах Рейнольдса,
полученный в расчетах работы [13]
19
20
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Заключение
Проведенные расчеты задач развития гидродинамической неустойчивости демонстрируют эффективность
и перспективность использование реализованного в программных комплексах МЕДУЗА и ЛЭГАК алгоритма
«вихри–в–ячейках».
Использование данного алгоритма позволяет корректно задавать на относительно грубой сетке мелкомасштабные начальные возмущения.
Этот алгоритм также позволяет проводить расчеты развития гидродинамической неустойчивости на более
грубой счетной сетке, чем при прямом численном моделировании таких задач. Тем самым, использование
алгоритма «вихри–в–ячейках» может оказаться эффективным при расчете сложных гидродинамических течений с большими деформациями контактных границ.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ  проект 02–01–00796.
Ссылки
1. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.  М.: Наука, 1982.  392 с.
2. Maull D.J. An Introduction to the Discrete Vortex Method. IUTAM/IAHR, Karlsruhe, 1979.
3. Christiansen J.R.. Numerical Simulation of Hydrodynamics by the Method of Points Vortices// J. of Comput.
Phys.  1973.  Vol. 13.  P. 363379.
4. Leonard A.. Vortex Method for Flow Simulation// Ibid.  1980.  Vol. 37.  P. 289335.
5. Ю.Н. Григорьев, В.А. Вшивков, Численные методы «частицы в ячейках» //Новосибирск, 1996г.
6. Christiansen J.P. Vortex. Two–dimensional hydrodynamics simulation code// Culham. Lab. Rep., CLM–106.
HMSO. Londin, 1970.
7. Глаголева Ю.П., Жогов Б. М., Кирьянов Ю.Ф. и др. Основы методики МЕДУЗА численного расчета двумерных нестационарных задач газодинамики // Численные методы механики сплошной среды.  Новосибирск, 1972.  Т.3.  № 2.  С. 1855.
8. Sofronov I.D., Rasskazova V.V., Nesterenko L.V. The use of nonregular nets for solving two–dimensional nonstationary problems in gas dynamics // Numerical Methods in Fluid Dynamics / Ed.by N.N. Yanenko, Ju.I. Shokin. 
M.: Mir Publishers, 1984.  P.82121.
9. Бахрах С.М., Спиридонов В.Ф., Шанин А.А. Метод расчета газодинамических течений неоднородной среды
в лагранжево–эйлеровых координатах // ДАН СССР, 1984.  T. 278.  Bып. 4.  С. 829833.
10. Авдеев П.А., Артамонов М.В., Бахрах С.М. и др. Комплекс программ ЛЭГАК для расчета нестационарных
течений многокомпонентной сплошной среды // ВАНТ. Сер. Математическое моделирование физических
процессов.  2001.  Вып. 3.  С. 1418.
11. Jacobs J.W. and Sheeley J.M. Experimental study of incompressible Richtmyer–Meshkov instability // Phys. of
Fluids.  1996, 8, 405.
12. Browand F.K., Weidman P.D. Large scales in the developing mixing layer // J. Fluid Mech.  1976.  76. 
С. 127–144.
13. Ашурст В.Т. Численное моделирование турбулентных слоев смешения через динамику вихрей. В сб. «Турбулентные сдвиговые течения» / Под ред. А.С. Гиневского.  М.: Машиностроение, 1982.  Т.1. 
С. 418431.
14. Zabusky N.J. Vortex paradigm for accelerated inhomogeneous flows: Visiometrics for the Rayleigh–Tailor and
Richtmyer–Meshkov environments // Annu. Rev. Fluid Mech.  1999.  31.  Р. 495.
15. Kotelnikov A.D., Ray J., Zabusky N.J. Vortex Morphologies on Reaccelerated interfaces: Visualization, Quantification and Modeling of One– and Two–mode Compressible and Incompressible Environments // Phys. Of
Fluids.  2000, 12.  No. 12, 3245.
16. Winkler K.–H.A., Chalmers J.W., Hodson S.W., Woodward P.R., Zabusky N.J. Phys. Today.  1987, 40. 
No. 10, 28.
17. Winkler K.–H.A., Chalmers J.W., Hodson S.W., Woodward P.R., Zabusky N.J. Fluid Dyn. Res.  1988, 3, 392.
18. Иногамов Н.А., Демьянов А.Ю, Сон Э.Е. Гидродинамика перемешивания.  М.: изд. МФТИ, 1999.