Изучение арифметических операций в школе

Пример 2.
Исследовать функцию
x
f x  
3
 18 x  9
и поx  12
строить ее график.
► Область определения функции D f   ;1   1;  .
Асимптоты.
Так как знаменатель функции f x  обращается в ноль при
x  1 , то прямая x  1 — вертикальная асимптота.
Так как
x 3  18 x  9
x  1
2
 x2
21x  11
x  12
, то прямая y  x  2
является асимптотой графика функции при x   и при
x   . При x   график функции лежит выше асимптоты,
а при x   — ниже.
Построение эскиза. Изображаем асимптоты. При x  
график функции стремится к асимптоте y  x  2 снизу, так как
21x  11
x  1
2
 0 . Можно предположить, что график функции при до-
статочно больших отрицательных значениях аргумента является
выпуклым вверх.
При стремлении к асимптоте x  1 слева функция стремится к   . Можно предположить, что график функции в некоторой
левой полуокрестности точки x  1 является выпуклым вверх (к
асимптоте).
При стремлении к асимптоте x  1 справа функция стремится к   . Можно предположить, что график функции в некоторой правой полуокрестности точки x  1 также является выпуклым вверх (к асимптоте).
При x   график функции стремится к асимптоте
y  x  2 сверху, так как
21x  11
x  12
 0 . Можно предположить, что
график функции при достаточно больших значениях аргумента
24
является выпуклым вверх. Так как на промежутке x  1 функция
дифференцируема и меняет направление выпуклости, то на этом
промежутке должна быть точка перегиба. Эскиз графика изображен на рис. 9.1.
Найдем первую и вторую производные функции
f x  
x 3  3x 2 18 x
x 1
3

xx  3x  6
x 13
;

 x 3  3x 2 18 x  67 x  3
 
.
f x   
3
4





x

1
x

1


Анализ результатов исследования. Заполняя таблицу, учитываем, что в правой и левой окрестностях точки x0  1 , поведение графика функции различно.
A
yx 
yx 
yx
3;
~ x2
3
45 8

0


25
Выводы
  , асимптота
точка локального
минимума
3 7 ; 3
B
37
8

35
8,2
8
0; 3 7
C
0
 1;0
9



243

70
 3,5
0
точка перегиба,



0

точка локального
максимума



tg  
243
 3,5
70
 1 0



 1 0


  , вертикальная
асимптота

  , вертикальная
асимптота



 6;1
D

6
 12,6
0

 ;6
~ x2

точка локального
максимума

  , асимптота
Построение графика по результатам исследования
З а ме ч ан и е . Пункт приведен только для пояснения этапов
анализа результатов исследования и построения графика функции.
На координатной плоскости изображаем вертикальную и
наклонные асимптоты.
Так как при x   график функции возрастает и имеет
выпуклость вверх, то график стремится к наклонной асимптоте
снизу. Возрастание продолжается до точки локального максимума
26
D 6;12,6 . Далее график функции убывает и стремится к вертикальной асимптоте x  1 .
Так как график функции является выпуклым вверх, то функция возрастает справа от вертикальной асимптоты x  1 до точки максимума C0;9 , а затем убывает до точки перегиба
3 8 
B ; 8  . Тангенс угла наклона касательной в точке перегиба
 7 35 
243
tg  
 3,5 . На оставшемся промежутке график функции
70
является выпуклым вниз.
 45 
,
 8 
Функция убывает до точки локального минимума A 3;
а затем функция возрастает, стремясь к асимптоте сверху. График
функции изображен на рис. 9.2.
27
28