конкурс МАТЕМАТИКА С ОКТЯБРЯ ПО АПРЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ 7-го ТУРА Задача 1. Фальшивая монета Имеется 9 монет одинакового достоинства. Известно, 8 из них имеют одинаковый вес, а одна – фальшивая – немного легче остальных. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету. Решение. Первое взвешивание Второе взвешивание Разбиваем 9 монет на 3 равные группы и кладем по 3 монеты на каждую чашу весов (третью группу оставляем в стороне). Далее возможны два варианта. Весы остаются в равновесии. Равновесия нет. Искомая монета – в числе Следовательно, искомая монет – на оставленных в стороне монет. той чашке, которая пошла вверх. Выбираем из трех монет, выбранных после первого взвешивания, любые 2 и кладем по одной на каждую чашку весов. Опять возможны два варианта. Весы остаются в равновесии. Равновесия нет. Искомая монета – третья, не Чашка с фальшивой (более легкой) попавшая на весы. монетой пойдет вверх. Задача 3. Найди закономерность, которая была использована при записи ряда чисел, и напиши три следующих числа ряда. a) 121, 314, 151, 617, 181, 920, … , … , … . b) 2, 3, 5, 8, 12, 17, … , … , … . Решение. a) 121, 314, 151, 617, 181, 920, 212 , 223 , 242 . В ряд были записаны двузначные числа 12, 13, 14, 15, … Далее в записанном ряду запятые поставили после каждой третьей цифры, получив ряд трехзначных чисел. (Возможно и другое решение!) b) 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23 , 30, 38. Для того чтобы получить следующее число необходимо к предыдущему прибавить 1, 2, 3, 4 и так далее. Задача 2. Выписать в ряд цифры от 1 до 9 (каждую по одному разу) так, чтобы любые две подряд идущие цифры давали бы двухзначное число, делящееся на 7 или на 13. Решение (ход рассуждения). Выпишем все двухзначные числа, которые делятся на 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 84, 91, 98 Выпишем все двухзначные числа, которые делятся на 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91 Далее проанализируем, какую цифру можно поставить «следующей» за цифрой 1, за цифрой 2 и т.д. цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 следующая 3, 4 1, 8, 6 5, 9 2, 9 2, 6 3, 5 8 4 1, 8 цифра Видим, что цифра 7 ни разу не встречается среди «следующих». Следовательно, наш ряд цифр может начинаться только с цифры 7. За цифрой 7 может стоять только цифра 8, а за цифрой 8 может стоять только цифра 4. Следовательно, первые три цифры нашего ряда будут 784. За 4 можно поставить как 2, так и 9. Значит, далее анализируем ряды 7842 и 7849. Для удобства восприятия анализа, представим его в виде схемы. Ветви, которые оказываются в результате анализа «тупиковыми», т.е. повторно встречается цифра, которая в последовательности уже была, на схеме заканчиваются закрашенным квадратом. Видим, что нашим условиям удовлетворяет только одна последовательность чисел: 784913526. Проверка: 78 делится на 13 84 делится на 7 49 делится на 7 91 делится на 7 и на 13 13 делится на 13 35 делится на 7 52 делится на 13 26 делится на 13 Ответ: 784913526. Задача 4. Дорожная инспекция Отправляясь из пункта А, инспектор должен проверить состояние всех дорог между населенными пунктами, обозначенными на схеме буквами. Длина каждой из этих дорог равна 13, 12 и 5 км (см. рисунок). Каким наикратчайшим путем следует двигаться инспектору, если он может закончить путь в любой выбранной точке? Решение. ABCHCDEIEFGBHDIHGIFAG 13+13+5+5+13+13+5+5+13+12+12+12+12+12+12+12+12+12+13+5=211 км По двум коротким дорогам (CH и EI) инспектор проезжает дважды. Задача 5. Пары произведений 4 64 Необходимо расставить в клетках различные цифры (ровно по два в каждой строке и в каждом столбце) так, чтобы числа вне сетки были равны произведению двух чисел в соответствующей строке или столбце. 84 88 30 90 80 32 66 27 20 56 Пример: 33 6 35 52 72 20 11 44 9 78 56 30 10 Решение. 1 32 2 64 3 8 28 84 88 11 6 10 4 4 5 9 80 32 66 27 20 56 30 90 3 33 1 6 6 7 5 35 4 13 52 9 8 72 10 2 20 44 9 78 56 30 10