Ответ

С6.
Найдите все пары натуральных чисел разной чётности, удовлетворяющие
уравнению
1 1
1
  .
m n 12
Решение:
Натуральные числа m  n разной чётности удовлетворяют уравнению тогда и только
тогда, когда
1 1 1
 
 12m  12n  mn 
m n 12
 mn  12m  12n  122  122  (m  12)( n  12)  122 ,
Причём числа m  12 и n 12  разной чётности.
В качестве возможного разложения
122  24  32  p  q, где p-нечётно, а q-чётно, имеем следующие варианты:
 p  1,
m  12  1,
m  13,
1)


q  144
n  12  144
n  156;
 p  3,
m  12  3,
m  15,
2)


q  48
n  12  48
n  60;
 p  9,
m  12  9,
m  21,
1) 3)


q  16
n  12  16
n  28;
 p  0,
 12  m  12  0,
4)


q  0
 12  n  12  0
 (m  12)( n  12)  122 ,
Поэтому требуемое равенство невозможно.
Ответ:(13;156), (15;60), (21;28).
1. Докажите, что при любом натуральном
не делится нацело на 121.
Ответ:
2. Найдите все пары пятизначных чисел
такие, что число
полученное
приписыванием десятичной записи числа после десятичной записи числа ,
делиться на
.
Ответ: 16667 и 33334
3. Найдите все натуральные числа, являющимися степенью двойки, такие, что после
зачёркивания первой цифры их десятичной записи снова получается десятичная
запись числа, являющегося степенью двойки.
Ответ: 32 и 64
4. Найдите все решения в целых числах уравнения
Ответ:
5. Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно
78, а наибольший общий делитель равен 13.
Ответ: 78 и 13 или 26 и 39
6. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.
Ответ: 28 и 27 или 8 и 3
7. Найдите двузначное число, которое на 19 больше суммы квадратов его десятичных
цифр и на 44 больше удвоенного произведения его цифр.
Ответ: 72
8. Произведение натурального числа и числа, записанного теми же цифрами в
обратном порядке, ровно 2430. Найдите все такие числа.
Ответ: 54 и 45
9. Каким может быть наибольший общий делитель натуральных чисел m и n , если
при увеличении числа m на 6 он увеличивается в четыре раза?
Ответ: 2 или 6
10. Натуральные числа a, b, c, d, удовлетворяют условию ab= cd. Может ли число
a+b+c+d быть простым?
Ответ: не может
11.
12. Найдите несократимую дробь
такую, что
.
Ответ:
.
13. Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие
уравнению
.
Ответ:
.
14. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой
стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности
натуральных чисел
В результате получилось рациональное число, которое выражается
несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите наименьшее возможное
значение .
Ответ: 3.
15. Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз
больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.
Ответ: 40 и 3.
16. Найдите все целые значения m и k такие, что
.
Ответ:
,
.
17. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из
них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре было не более
от общего
числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего
числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе
было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно
известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в
группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Ответ: а) да: б) 9; в) .
18. На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел
равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее
арифметическое всех отрицательных из них равно
.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
Ответ: а) 49; б) положительных; в) 22.
19. На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел
равно
, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее
арифметическое всех отрицательных из них равно
.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Ответ: а) 42; б) отрицательных; в) 15.
20. Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что если к десятичной записи
числа a приписать справа десятичную запись числа b, то получится число, большее
произведения чисел a и b на 32.
Решение.
Ответ: 12 и 8; 23 и 9.
21. Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что
число p является общим делителем чисел
и
.
Ответ: 3, 5, 7.
22. Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а, что
дробь
можно сократить на b.
Ответ: 2, 7.
23. Ученик должен перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на
пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом
трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное)
оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите все три числа.
Ответ: 167, 334 и 278889 или 167, 334 и 55778.
24.
На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее
арифметическое этих чисел равно -5, среднее арифметическое всех
положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных
из них равно −
18,
а)
С
колько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
25. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами.
Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз
больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов
последовательности равна 3024.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
26. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение
которых равно 720, и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
27. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, –2, –3, 4,
–5, 7, –8, 9. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах
заново пишут по одному каждое из чисел 1, –2, –3, 4, –5, 7, –8, 9. После этого
числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм
перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате
получиться?
28.
29.
30.
31.