Приложение При подборе заданий для каждой темы курса учитель может воспользоваться

Приложение
При подборе заданий для каждой темы курса учитель может воспользоваться
предложенным набором задач, может дополнять этот набор и видоизменять его, основываясь
на уровне подготовленности учащихся, на анализе учебно-методического комплекта и на
рефлексии собственного опыта.
Вводная диагностика.
1. Является ли последовательность 4, 6, 8, 10,… арифметической
прогрессией?
а) да,
б) нет,
в) затрудняюсь ответить.
2. Является ли последовательность 10, 20, 30, 40,…геометрической
прогрессией?
а) да,
б) нет,
в) затрудняюсь ответить.
3. Для арифметической прогрессии с первым членом а1=5, заданной
формулой аn+1=аn-8 указать три последующих члена.
а) 3, 11, 19;
б) -3, -11, -19;
в) -3, -11, -18.
4. Для геометрической прогрессии 8, -4, 2,… найти знаменатель q.
а) q= 1/2 ,
б) q= -2,
в) q= -1/2.
5. Найти сумму шести первых членов арифметической прогрессии
-4 + 1 + 6 +… .
а) 51,
б) 54,
в) -75.
Ключ ответов:
1
2
3
4
5
а
б
б
в
а
Тема 1. Прогрессии в задачах с древнейших времен до наших дней.
Справочная таблица
Определение
Формула n-го члена
Сумма n первых членов
Характеристическое
свойство
Арифметическая прогрессия
an1  an  d , d  R, n  N .
an=a1+(n-1)d, d  R, n  N .
a  an
Sn  1
n, n  N.
2
an 
ank  an k
,
2
n  N , n  2, n  k , k  N .
Геометрическая прогрессия
bn1  bn * q, q  0.
bn=b1*qn-1, q  0.
b1 (1  q n )
, q  0, q  1.
1 q
b
S   1 , q  0, q  1.
1 q
Sn 
bn  bnk bn  k , bn  0,
n  N , n  2, n  k , k  N .
Сумма первого и пятого членов арифметической
прогрессии равна 5/3, а
произведение третьего и
четвертого её членов равно 65/72. Найти сумму
семнадцати первых членов этой прогрессии.
Ответ: 119/3.
2. В соревнованиях по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок
получает штрафное очко, а за каждый последующий на 1/2 очка больше, чем за
предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?
Ответ: 21попадание в цель.
3. Найти три первых члена бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем |q|<1, сумма которой равна 6, а сумма пяти первых членов равна
93/16.
Ответ: 3; 3/2; 3/4.
4. Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии
равна15, если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему
члену прибавить 1, то полученные три числа составят геометрическую
прогрессию. Найти сумму 10 первых членов арифметической прогрессии и
заданные числа.
Ответ: 3; 5; 7; S10=120 .
5. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой
второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 500.
Ответ: 1) -35/3; -140/3; -560/3; -2240/3;
2) 7; -28; 112; -448.
6. Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил
на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго,
четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое
первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно
дать каждому? (Задача, найденная на папирусе, 3 тыс. лет до н.э.)
Ответ: 5/3, 65/6, 20, 175/6, 115/3.
7. Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал её
покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
- Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди,
лошадь же получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За
первый гвоздь дай мне всего ¼ коп, за второй 1/2 коп, за третий 1коп. и т.д.
Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь,
принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более
10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
Ответ: 4194303 ¾ коп.~ 42тыс. рублей.
(из «Арифметики…»Магницкого)
8. Артель землекопов подрядилась вырыть канаву. Если бы она работала в полном
составе, канава была бы вырыта в 24 часа. Но в действительности к работе сначала
приступил только один землекоп. Спустя некоторое время присоединился второй,
еще через столько же времени – третий, за ним через такой же промежутокчетвертый и т.д. до последнего. Сколько времени работал последний?
Ответ:4 часа.
9. Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и еще пол-яблока,
второму покупателю половину оставшихся и еще пол-яблока; третьему - половину
оставшихся и ещё пол-яблока и т.д. Седьмому покупателю он продал половину
оставшихся яблок и ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько
яблок было у садовника?
Ответ: 127 яблок.
1.
10. В огороде 30 грядок, каждая длиной 16м. и шириной 2,5м. Поливая грядки,
огородник приносит вёдра с водой из колодца, расположенного в 14м. от края огорода
и обходит грядки по меже, причём воды, приносимой за один раз, достаточно для
поливки только одной грядки. Какой путь по длине должен пройти огородник,
поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.
Ответ: 4,125км.
Проверочная работа
1. Найти восьмой член и сумму восьми первых членов арифметической
прогрессии, заданной формулой аn=3n-4.
Ответ: а8=20; S8=76.
2. Доказать, что последовательность 10, 5, 2,5… является бесконечно
убывающей геометрической прогрессией и найти ее сумму.
Ответ: q=1/2 => |q|<1;
S= 20.
3. В арифметической прогрессии известны члены а19=392 и а84=-63.
Укажите номер k члена этой прогрессии, начиная с которого все ее
члены меньше 21.
Ответ: 73 .
4. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 75, а
сумма трех последних 129. Первый член равен 7. Найти все члены
этой прогрессии.
Ответ: 7, 11, 15, 19,…, 47.
5.
Сколько слагаемых в сумме 2 + 5 + 8 + 11 + …+ 62?
Ответ: 21.
Тема 2. Решение нестандартных задач на прогрессии.
1. За установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 2600 руб., а
за каждое следующее кольцо платили на 200 руб. меньше, чем за предыдущее. Кроме
того, по окончании работы было уплачено еще 4000 руб. Средняя стоимость одного
кольца оказалась 20200/9 руб. Сколько колец было установлено?
Ответ: 9 колец.
2. Сократить дробь
Ответ:
.
3. Найти натуральное число n из равенства:
Ответ: n=5.
4. Найти сумму: 1+11+111+…+111…1.
(n раз)
Ответ: 1/81*(10n+1-10-9n).
5. Для оплаты пересылки четырёх бандеролей понадобились 4 почтовые
марки на
общую сумму 84р. Определите стоимость марок, приобретённых отправителем, если
эти стоимости составляют арифметическую прогрессию, а самая дорогая марка в
2,5раза дороже самой дешевой.
Ответ: 12р, 18р, 24р, 30р.
6. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800м, а за тем каждый
последующий час поднимался на высоту на 25м меньше, чем в предыдущий. За
сколько часов он достигнет высоту в 5700м?
Ответ: 8 часов.
7. Найти значение выражения:
.
Ответ:
8. Докажите, что числа вида
прогрессию.
.
, где n Є N, не образуют арифметическую
9. Решить уравнение:
Ответ: 10; -20,5.
10. Решите в целых числах уравнение:
Ответ: х=7.
11. Арифметическая прогрессия обладает следующим свойством: при любом n сумма её
n первых членов равна
. Найти разность этой прогрессии и три первых её члена.
Ответ: d=10; 5; 15; 25.
12. Решите уравнение:
, где |x| < 1.
Ответ: 1/2; -7/9.
13. Решите уравнение: 3х – 1 + х2 - х3 + х4 - х5 +…=
2
, где |х|<1 и укажите наибольшее
3
решение.
14. Решите неравенство
решений.
0,82+4+6+…+2х
Ответ: 0,5.
>0,856 и укажите среднее арифметическое целых
Ответ: 3,5.
15. Известно, что в некоторую арифметическую прогрессию входят члены
а 2n и а2m
такие, что а2n/а2m = -1. Имеется ли член этой прогрессии, равный нулю? Если да, то
каков номер этого члена?
Ответ: аn+m=0.
16. Найти сумму всех положительных чётных двухзначных чисел, делящихся на 3
нацело?
Ответ: 810.
17. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой
каждый член в 4 раза больше суммы всех её последующих членов.
1
Ответ: q= .
5
18. Написать три первых члена арифметической прогрессии, у которой сколько бы
не взять членов, всегда сумма их равна утроенному квадрату числа этих членов.
Ответ: 3; 9; 15.
19. При каких значениях х сумма чисел
равна сумме бесконечно
убывающей геометрической прогрессии 6.5; 3.25; 1.625;…?
Ответ: х=4.
Проверочная работа
1. Найти разность убывающей арифметической прогрессии, у которой
сумма первых трех членов равна 27, а сумма их квадратов равна 275.
Ответ: -4.
2. Служившему воину дано вознаграждения за первую рану 1 копейка, за вторую 2
копейки, за третью 4коп. и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего
вознаграждения 655рублей 35копеек. Спрашивается число его ран. (Из старинного
русского учебника математики Ефима Войтяховского).
Ответ: 16 ран.
3. Вычислить
5 3 5 3 5 3 5... .
Ответ:
3
75 .
4. Решить уравнение:
.
Ответ: х1=4, х2=4/3.
5. Решить уравнение:
log 10 x  log 10 x  log 3 10 x  ...  log 10 10 x  5,5.
Ответ: x=
.
Тема 3. Арифметическая и геометрическая прогрессии в геометрических задачах.
1.Сторона квадрата равна а. Середины сторон этого квадрата соединили отрезками.
Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с данным и т.д.
Найти предел суммы периметров и предел суммы площадей этих квадратов.
Ответ: предел суммы периметра 4а(2+ 2 ),
предел суммы площадей
.
2. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 1.
Косинус среднего по величине угла этого треугольника равен 2/3. Найти периметр
этого треугольника.
Ответ: Р=3 10 .
3. Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого многоугольника,
наименьший угол которого равен 120˚, образуют арифметическую прогрессию
разностью 5˚. Определить число сторон этого многоугольника.
Ответ: 9 сторон.
4.
с
Докажите, что если стороны прямоугольного треугольника составляют
арифметическую прогрессию, то её разность равна радиусу вписанного круга.
5. У мальчика был один лист бумаги, который он разделил на 4 части. Четвёртую часть
количества имеющихся кусков бумаги мальчик выбросил. Каждый из оставшихся
кусков мальчик разделил опять на 4 части и опять выбросил четвёртую часть
имеющихся кусков бумаги. После того как мальчик повторил такую процедуру ещё 5
раз, он выбросил все имеющиеся у него куски бумаги. Сколько всего кусков бумаги
мальчик выбросил?
Ответ: 3280.
Тема 4. Прогрессии в материалах ГИА и ЕГЭ.
1. Третий член арифметической прогрессии равен -6, сумма второго и пятого членов
равна -9. Известно, что один из членов прогрессии равен 15. Найдите его номер.
Ответ: n = 10.
2. Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен -17, а сумма первых сорока
восьми членов равна
-2112. Найдите сумму четвертого, четырнадцатого и
девятнадцатого членов этой прогрессии.
Ответ: -59.
3. Второй член арифметической прогрессии равен -7, разность пятого и восьмого
членов равна -6. Известно, что один из членов прогрессии равен 9. Найдите его номер.
Ответ: n = 10.
4. Длина наименьшего звена ломаной равна 2, а длина наибольшего звена равна 128.
Длины звеньев образуют геометрическую прогрессию. Найти число звеньев ломаной,
если длина всей ломаной равна 254.
Ответ: 7 звеньев.
5. Сумма первого, третьего, пятого и седьмого членов арифметической прогрессии равна
40. Чему равна сумма второго, четвертого и шестого членов этой прогрессии?
Ответ: 30.
6. Какое наибольшее число членов может содержать конечная арифметическая
прогрессия с разностью 4 при условии, что квадрат ее первого члена в сумме с
остальными членами не превосходит 100?
Ответ: 8.
7. Найдите арифметическую прогрессию, в которой сумма любого числа первых членов
равна утроенному квадрату числа этих членов.
Ответ: а1 =3; d=6.
8. Числа а, в, с в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию, а числа а-с,
с-в, 2а
в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Какое
минимальное значение может принимать число 2а2 - 4в2 – с2 + 4вс + 6а ?
Ответ: -9.
9. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если разность шестого
и четвертого членов равна 72, а разность третьего и первого членов равна 9.
Ответ: b1=3, q=2.
10. Произведение всех членов геометрической прогрессии в1, в2,…,в25 , имеющих
нечетные номера, в 6 раз больше, чем произведение всех её членов с четными
номерами. Найти в13 и в8 •в10 • в21.
Ответ: в13 =6; в8 • в13 • в21 =216.
11.Три положительных числа являются последовательными членами возрастающей
геометрической прогрессии. Если среднее из них увеличить в два раза, то они станут
последовательными членами арифметической прогрессии. Какому из указанных ниже
промежутков принадлежит знаменатель g геометрической прогрессии:
1) q є (1;4); 2) q є [4;5], 3) q є [5;6), 4) q є [6;7), 5) q є[7;99)?
Ответ: 1) q є (1;4).
12. В арифметической прогрессии известны члены a15=143, a38=-110. Укажите номер k
члена этой прогрессии, начиная с которого все её члены отрицательны.
Ответ: k=29.
13. Среднее арифметическое первых 14 членов арифметической прогрессии
( т.е. 1/14 часть их суммы) на 9 больше половины её десятого члена. Найти пятый
член этой прогрессии.
Ответ: а5 =3.
14. Удвоенный седьмой член арифметической прогрессии, сложенный с суммой её
первых восьми членов, равен 9. Какой из членов прогрессии однозначно находится из
этого условия?
Ответ: пятый.
Проверочная работа
1. В арифметической прогрессии а18=-11 и а44=197. Указать номер n члена этой
прогрессии, начиная с которого все её члены больше 69.
Ответ: n=29.
2. Несколько детей бегали поочереди в сад за яблоками. Первый сорвал 5 яблок.
Каждый следующий рвал яблок в два раза больше предыдущего. Сколько детей
сбегало в сад, если всего было сорвано 635 яблок?
Ответ: 7.
3. В геометрической прогрессии с положительными членами среднее геометрическое
первых двенадцати членов (т.е. корень 12-ой степени из их произведения) в 2 раза
больше корня квадратного из её третьего члена. Найти десятый член этой прогрессии.
Ответ: b10 =4.
4. Масса сурьмы, свинца и меди в сплаве, состоящем лишь из указанных металлов,
являются натуральными числами и составляют арифметическую прогрессию,
произведение крайних членов которых равно 9999. Найдите массу сплава (в граммах),
если разность прогрессии является натуральным числом, меньшим 10.
Ответ: 300.
5. Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если а1+а2+а3=0 и
а12+а22+а32=50.
Ответ: 1) а1=5, d=-5;
2) а1=-5, d=5.
Итоговая диагностика.
1. В стране 10 аэропортов. С наименьшего из них взлетает 3 самолёта, а с каждого
последующего (в порядке возрастания интенсивности) в 2 раза больше. Сколько
самолётов взлетает за сутки со всех аэропортов?
Ответ: 3069.
2. Произведение третьего и восьмого членов геометрической прогрессии
равно 3. Найдите произведение первых десяти членов этой прогрессии.
Ответ: 243.
3. Докажите, что три неравных между собой числа не могут одновременно
составлять арифметическую и геометрическую прогрессии.
4. В арифметической прогрессии сумма шестого, девятого, двенадцатого и
пятнадцатого её членов равна 20. Найти сумму первых двадцати членов этой
прогрессии.
Ответ: 100.
5. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном
получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается
2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.
Ответ: а1=3, d=4.
6. Дан квадрат со стороной 128см. Середины его сторон являются вершинами второго
квадрата. Середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата
и т.д. Найдите длину стороны седьмого квадрата.
Ответ: 16.
3
1
8. Решите уравнение
+х +х2 + …+хn + …= , где |х|<1 и укажите наибольшее
2
3х
решение.
Ответ: 0,4.