О моделях оптимизации затрат на информацию

УДК 519.06
С.Р. Камалян,
к.ф.-м.н. доцент,
доцент кафедры математики и прикладной информатики
Краснодарского филиала РГТЭУ
МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ЗАТРАТ НА ИНФОРМАЦИЮ
MODELS OF OPTIMIZATION OF EXPENSES FOR THE INFORMATION
Аннотация. В статье рассматриваются возможные модели оптимизации затрат
на информацию. Предложены две модели – прямая и обратная. Качественный и численный анализы находятся в хорошем соответствии с результатами наблюдений.
Abstract. The article describes the possible models of optimization of expenses for
the information. There are two models are offered – the direct and the inverse. Qualitative and
numerical analyses are in good conformity with results observations.
Ключевые слова: оптимизация, информация, риск, вероятность, дисперсия,
функция, продавец, покупатель.
Keywords: optimization, information, risk, probability, dispersion, function, seller,
buyer.
Присуждение Нобелевской премии по экономике за 2001 год группе ученых
[3], свидетельствует о том значении, которое приобрела в экономической теории проблема информации. Они доказали, что у информационного подхода есть важные макроэкономические приложения. Кроме того, оказалось, что понятие «информация» способно заменить понятие «конкуренция» и стать базовым для анализа рынка.
Одна из важных проблем – проблема поиска информации индивидом на конкретном рынке. Издержки поиска информации можно считать приблизительно пропорциональным числу выявленных продавцов, поскольку покупатель тратит время на этот
поиск. Согласно [3], если стоимость поиска равна своей предельной выгоде (для потребителя), то достигнут оптимальный уровень наблюдения. Если же покупатель выходит
на новый рынок, то у него лишь смутное представление об оптимальном уровне издержек поиска. В этом случае оценка дисперсии цен, как правило, осуществляется последовательно. Не вдаваясь в детали, отметим, что для нахождения оптимальных затрат на
2
информацию применимы, вообще-то, микроэкономические модели определения равновесия на рынке ресурсов [2]. Ниже обоснована и подробно исследована модель определения оптимальных затрат на информацию.
В теории вероятностей в качестве меры отклонения случайной величины от ее
среднего значения (меры «разброса») обычно берется дисперсия D ( X ) или среднеквадратическое отклонение
s = s(X ) =
D( X ) . Напомним, что формально диспер-
сия определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее ожидаемого значения, т.е.
D( X ) = M [ X - M ( X )]2 ,
или
D( X ) = M [ X - M ( X )]2 =
= [ x1 - M ( X )]2 p1 + [ x2 - M ( X )]2 p2 + L + [ xn - M ( X )]2 pn ,
где pi – вероятности возможных значений ( i = 1, 2,K , n ).
Заметим также, что чаще в качестве показателя риска рассматривают среднеквадратическое отклонение
s.
Таким образом, для задачи принятия решения в условиях риска выбор альтернативы приводит к случайной величине X , которая может быть охарактеризована парой показателей ( M ,
s ), где M = M ( X ) – ожидаемый выигрыш, s = s ( X ) – пока-
затель риска.
При выборе адекватного критерия сравнения альтернатив более заманчивым
является «соединение» двух критериев M и
s в единый (обобщенный) критерий. В
этом случае обобщенный критерий будет иметь вид [2]
F (M , s ) = M - l s ,
где
(1)
l – const .
Фактически критерий (1) представляет собой взвешенную сумму частных кри-
териев M и
s с весовыми коэффициентами 1 и - l . При l > 0 оценка случайной
величины с помощью обобщенного критерия (1) меньше, чем ее среднее значение, что
характерно для осторожного человека, т.е. человека, не склонного к риску. Напротив,
при
l < 0 оценка (1) больше, чем ее среднее значение, что характеризует человека,
склонного к риску. Наконец, при l = 0 оценка (1) случайной величины совпадает с ее
3
средним значением (т.е. возможные отклонения случайной величины от ее среднего
значения игнорируются) – это характеризует человека безразличного к риску.
Пусть принимающий решение не склонен к риску, т.е.
l > 0 . Содержательный
смысл обобщенного критерия (1) при
l > 0 состоит в том, что увеличение критерия F
может происходить как за счет увеличения M , так и за счет уменьшения s . Таким образом, для человека, не склонного к риску, критерий (1) отражает стремление к увеличению ожидаемого выигрыша и уменьшению риска отклонения от него. При этом показатель
l характеризует субъективное отношение принимающего решение к риску:
чем больше l , тем в большей степени он не склонен рисковать. Таким образом, l
можно рассматривать как субъективный показатель меры несклонности к риску (субъективный показатель осторожности).
При использовании критерия (1) учет риска отклонения от ожидаемого значения выигрыша производится следующим образом. Ожидаемый выигрыш уменьшается
или увеличивается (в зависимости от того, имеется «несклонность» или «склонность» к
риску) на величину, равную произведению показателя риска
s (представляющую собой объективную характеристику меры риска), на субъективный показатель l , харак-
теризующий отношение принимающего решение к риску.
Что можно сказать о мере склонности или несклонности к риску по величине
показателя
l ? Например, большая ли склонность к риску у человека, для которого
l = 3 ? Для ответа на этот вопрос воспользуемся неравенством Чебышева. Напомним
его суть. Оно утверждает, что вероятность того, что отклонение случайной величины
X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного
числа
e , не меньше чем 1- D( X ) e2 , т.е.
P ( X - M ( X ) < e)і 1-
D( X )
e2
.
(2)
Пусть принимающий решение не склонен к риску. Так как оценкой случайной
величины X служит число M -
l s , то «неприятность» для принимающего решение
наступает тогда, когда X < M - l s . Оценим вероятность этого события. В этом случае выполняется неравенство
M- X > l s,
следовательно,
X- M >ls.
4
В силу неравенства (2), вероятность последнего соотношения меньше, чем
s2
D( X )
1
.
=
=
(l s )2 (l s )2 l 2
Итак, вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее
ее оценки M -
l s , не превосходит 1 l 2 . Если, к примеру, l = 3 , то вероятность то-
го, что случайная величина, не «опустится» ниже оценки M - 3s , будет не менее
1- 1 9 , т.е. почти 90% . Такую степень риска можно считать невысокой, т.е. значение
l = 3 соответствует «достаточно большой степени осторожности» (или «достаточно
высокой несклонности к риску»).
Основной недостаток критерия (1) состоит в том. что он базируется на предположении постоянства меры несклонности к риску для данного лица, принимающего
решение (это означает постоянство локального коэффициента между критериями M и
s ). Вместе с тем, для большинства моделей их мера склонности (или несклонности) к
риску меняется в зависимости от величины ожидаемого выигрыша и степени риска.
Долю оптимизма здесь привносит то обстоятельство, что для установления ранжирования альтернатив достаточно знать не точное значения показателя
l , а некоторый со-
держащий его интервал.
Итак, одна из основных проблем современного бизнеса – полнота информации
о реализуемой продукции, ибо информация позволяет уточнять условия принятия решений, то есть снизить неопределенность результата. Это относится к любым субъектам рынка в равной мере и когда продавцы осведомляют покупателей, и когда покупатели осведомляют продавцов. Данные процессы, так или иначе, происходят в экономике, например, с помощью рекламных кампаний, социологических исследований и т.д.
Рассмотрим модель, где «продавцы» осведомляют «покупателей» с целью продажи товара. В модели, которую назовем M-I, рассматриваются
=
n 1, 2, 3, , ∞ потенциальных потребителей товаров фирмы, каждый из которых с вероятностью P купит товар и с вероятностью 1 − P нет. Заметим, что эта часть работы в более широком
содержании была доложена на IV-ой Международной научно-практической конференции [1]. Здесь она приводится в более кратком варианте для сохранения последовательности изложения.
5
Введем обозначения. Пусть PR – цена продаваемого товара; AC – затраты на
опрос каждого покупателя. Тогда вероятность покупки товара после опроса n покупателей
Pn =1 − (1 − P) n ,
(3)
затраты на информацию
TCn = nAC ,
средняя выручка продавца
TR=
PR 1 − (1 − P ) n  ,
n
прибыль фирмы
ProF
=
TRn − TCn ,
n
предельный доход фирмы
=
MR
TRn+1 − TRn ,
n
предельные издержки
MCn = AC .
Можно предположить, что фирма негативно относится к риску, считая его антиблагом, и оценивает эффективность своей деятельности функцией вида (1)
F ( ProFn , s n ) = ProFn - l s n .
Исследуем динамику вышеназванных функций. Пусть
что при n ® Ґ
l = 1 . Из (3) следует,
Pn ® 1, а (1- P ) ® 0 . Средняя выручка продавца TRn – возрас-
тающая функция; при n = 0 TRn = 0 , а при n ® Ґ
TRn ® PR . Следовательно, по
мере роста опрошенных покупателей доход фирмы возрастает с 0 до гарантированной
продажи товара.
Рассмотрим теперь функцию прибыли фирмы
ProFn = TRn - TCn = TRn - nAC .
При n = 0 ProFn = 0 , а при n ® Ґ
ProFn ® - Ґ , т.е. затраты на инфор-
мацию наверняка нецелесообразны при больших ее размерах. Необходимое условие
экстремума (максимума) данной функции ищется из равенства нулю ее производной,
т.е.
( ProFn )ў= 0 ,
6
или
(PR йкл1-
ў
nAC
(1- P) n щ
= 0,
)
ъ
ы
откуда
(1- P) n = -
AC
.
PR ln(1- P )
(4)
Из (4) следует, что если
-
AC
і 1,
PR ln(1- P )
то опрашивать покупателей (и производить трату на информацию) нецелесообразно
вовсе. Это происходит при относительно высоких затратах на опрос, низком доходе от
продаж, высокой вероятности продаж.
Найдем дисперсию риска
Dn = s n2 = ( PR - TRn )2 Pn + (0 - TRn )2 (1- Pn ) ,
или, после некоторых преобразований, получим
s n2 = Dn = PR2[(1- P) n - (1- P)2n ] .
Из (5) следует, что при n = 0 ,
(5)
s 0 = 0 , а при n ® Ґ s ® 0 . Среднее квадра-
тическое отклонение достигает максимума при (1- P ) = 0.5 , а максимум функции
n
равен
s n = 0.5PR .
Подробный анализ результатов численного исследования по модели M-I при-
веден в [1].
Из проведенного исследования вытекает, что в общем плане динамику рассмотренных величин можно проиллюстрировать с помощью кривых, представленных
на рис.1.
Затраты на информацию целесообразны, очевидны, лишь при n ≥ 1 .
7
PR
2
PR
2
1
4
3
5
1
n
0
Рис.1. Динамика величин:
1 – Pn , 2 – TRn , 3 – s n , 4 – ProFn , 5 – Fn .
Рассмотрим теперь модель M-II. В ней предполагается, что «покупатели ищут
продавцов» с целью получения более выгодных условий покупки товара. Вновь полагаем, что имеется
=
n 1, 2, 3, , ∞ потенциальных продавцов товара, которых может
опросить покупатель. Пусть каждый продавец готов продать товар с вероятностью P
по цене PR1 , и с вероятностью (1- P ) – по цене PR2 , причем PR1 < PR2 .
Покупатель ищет продавца, продающего товар по более низкой цене. При n
опросах вероятность покупки дорогого товара (1 − P ) , дешевого Pn =1 − (1 − P ) .
n
n
Средние ожидаемые затраты на покупку товара у потребителя составят
TCn1 = 1 − (1 − P ) n  PR1 + (1 − P ) n PR2 .
(6)
При n → ∞ TnCn → PR1 , то есть при большом выборе покупатель почти на1
верняка купит дешевый товар; при n = 0 TCn = PR2 (рис. 2). Определив производ1
ную, можно убедиться в убываемости функции TCn . Действительно,
1
(TCn1 )′ =−
(1 P ) n ln(1 − P ) [ PR2 − PR1 ] < 0 .
Как и в модели M-I, будем предполагать постоянство затрат на опрос одного
продавца, равных AC . Таким образом, общие затраты покупателя составят
TCn2 = TCn1 + nAC = 1 − (1 − P ) n  PR1 + (1 − P ) n PR2 + nAC .
(7)
8
В (7) сумма двух первых слагаемых – убывающая функция, третье слагаемое
возрастает с ростом n . Общий вид TCn иллюстрирует рисунок 2.
2
TCn1
PR2
PR1
n
0
Рис. 2. Затраты на покупку товара без учета стоимости информации
Найдем производную от (7)
MCn =
(TCn2 )′n =−
(1 P) n ln(1 − P) [ PR2 − PR1 ] + AC .
(8)
Если приравнять MCn = 0 , то из (8) имеем
AC
,
(1 − P) n =
−
ln(1 − P)[ PR2 − PR1 ]
которая аналогична формуле (4) с противоположным смыслом.
TCn2
TCn2
PR2
PR1 + nAC
nAC
TCn1
PR1
n
0
Рис.3. Затраты на покупку товара с учетом стоимости информации
9
При n → 0 TCn → PR2 , а при n → ∞ TCn → PR1 + nAC . Если покупатель
2
2
ограничится только опросом продавцов, не совершая покупок, то его затраты, как следует из (7), будут равны
TCn2 = nAC .
Определим степень риска s n . Формула для ее нахождения имеет вид
s 2n = ( PR2 - PR1 )2 (1- P ) n [1- (1- P ) n ].
(9)
Из (9) следует, что при n = 0 s n = 0 (риск отсутствует), а при n → ∞
2
s 2n ® 0 . Найдем производную (s 2n )ў. Для этого продифференцируем (9) по n
(s 2n )ў= ( PR2 - PR1 )2 (1- P ) n ln(1- P )[1- 2(1- P) n ].
(10)
Приравняем (10) нулю
(s 2n )ў= 0, ( PR2 - PR1 )2 (1- P ) n ln(1- P )[1- 2(1- P ) n ] = 0.
Из (11) следует, что s n достигает максимума при (1- P ) =
2
n
n=
(11)
1
, или при
2
ln 0.5
.
ln(1- P)
Анализ последнего показывает, что если P > 0.5 , то риск максимален при
0 < n < 1, которое означает, по существу, что риск всегда убывает по мере увеличения
опрошенных продавцов. В общем виде функция риска представлена на рис.4.
sn
0
n*
Рис.4. Функция риска покупателя
n
10
Таким образом, функция U (TCn , s n ) , соизмеряющая общие затраты и риск,
2
представится в виде
U (TCn2 , s n ) = TCn2 + s n
или, с учетом (7) и (9)
nщ
n
й
U (TCn2 , s n ) = л
к1- (1- P) ъ
ыPR1 + (1- P) PR2 + nAC +
n
2
n
(12)
1
2
+ ( PR1 - PR2 )(1- P ) [1- (1- P ) ] .
Общий вид функции (12) представлен на рис.4
U
PR2
PR1 + nAC
PR1
0
n+
n-
n
Рис.5. Общий вид функции U (TCn , s n )
2
Отметим, что в данном случае и затраты, и риск представляют антиблаго.
Функция U (TCn , s n ) вначале опроса возрастает, достигая значения U opt , со2
ответствующего n+ , затем убывает до некоторого значения при n = n- , а затем вновь
начинает возрастать при n → ∞ .
Численный анализ по модели M-II был произведен при следующих исходных
данных: PR1 = 100 , PR2 = 200 ; вероятности покупок: P1 = 0 , P2 = 0,1 , P3 = 0, 3 ,
P4 = 0, 9 , P5 = 1 ; затраты на информацию: AC = 0 , AC = 3 , AC = 30 .
Анализ численных результатов показал, что затраты на информацию потребителя существенно зависят от всех параметров: вероятности покупки по более низкой
цене; стоимости единицы информации; его отношению к риску.
При крайних по вероятности покупки вариантах ( P = 0 , P = 1) результат гарантирован для потребителя, и поэтому затраты на информацию нецелесообразны. Для
5
11
других значений вероятности это, вообще говоря, не так. Если P = 0, 2 , то при малых
затратах на информацию потребитель опросит более 20 продавцов, но если затраты на
одного опрошенного возрастут до 30, то потребитель от них откажется вообще. Однако
уже при P = 0, 4 даже небольшое значение AC приведет к тому, что потребителю
станет целесообразен опрос лишь 15 продавцов, а при P = 0, 3 лишь 3. В последнем
случае увеличение AC с 3 до 30 приведет к сокращению оптимальных затрат на информацию с 500 до 200 единиц.
С увеличением отрицательного отношения потребителя к риску (рост l с 1 до
10) при P = 0, 2 и P = 0, 4 сначала функция U растет, то есть состояние потребителя
ухудшается, и лишь при дальнейшем росте затрат на опрос достигается оптимум.
Численное исследование проиллюстрировало достаточно интересный факт: если фирма ограничена в затратах, то есть их не хватает до точки оптимума, то далеко не
всегда целесообразно использовать все возможности. Это связано с возможным увеличением неопределенности ситуации и риска и ухудшением поэтому состояния потребителя.
Литература
1. Камалян Р.З., Камалян С.Р. К определению оптимальных затрат на информацию /
Р.З. Камалян, С.Р. Камалян // Экономические проблемы организации производственных систем и бизнес-процессов. Материалы IV Международной научнопрактической конференции. – Часть 2. – Новочеркасск, 2006. – С. 9-14.
2. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике / В.В. Розен. –
М.: Высшая школа, 2002. – 288 с.
3. Сапир Ж. Экономика информации: Новая парадигма и ее граница / Ж. Сапир // Вопросы экономики. – 2005. – № 10. – С. 4-24.