§9. Линейные представления конечных групп 9.1. Разложение

§9.
Линейные представления конечных групп
G обозначается конечная группа, а через k | алгебраически замкнутое поле, причём char(k) - |G|.
Если специально не оговаривается противное, всюду в этой лекции через
9.1. Разложение представлений на неприводимые. Мы будем обозначать множество всех
G через Irr(G), а сами неприводимые предстаGL(U ), и писать в этом случае, что ∈ Irr(G) или U ∈ Irr(G) .
вления | через : G
Согласно теор. 8.1 любой конечномерный G-модуль V является прямой суммой конечного
различных неприводимых представлений группы
-
числа неприводимых:
V
=
⊕ Vi ;
(9-1)
i
Vi изоморфен ровно одному из неприводимых U ∈ Irr(G). Сумма всех слагаемых
U ∈ Irr(G) , называется -изотипным подмодулем и
обозначается V ⊂ V . Целое неотрицательное число
где каждый из
этого разложения, изоморфных данному
m (V ) = dim V = dim U ;
U
равное количеству изоморфных
стью
прямых слагаемых разложения (9-1), называется
неприводимого представления
Покажем, что кратности
m (V )
в представлении V .
V
и изотипные подмодули
⊂
V
кратно-
V и ,
G-модуля какое-
зависят только от
но не от выбора разложения (9-1). Для этого вначале зафиксируем у каждого
нибудь разложение в сумму неприводимых подмодулей и дадим инвариантную характеризацию
кратностям и изотипным подмодулям.
Лемма 9.1
Для любых
G-модулей V
и
W
G (V; W )
dim Hom
В частности,
X
=
∈Irr(G)
m (V ) m (W ) :
(9-2)
m (V ) = dim HomG (U ; V ) не зависит от выбора разложения (9-1).
V = ⊕ Vi и W = ⊕ Wj два
i
j
HomG (V; W ) = HomG (⊕ Vi ; ⊕ Wj ) =
Доказательство.
модулей. Тогда
Пусть
i
неприводим. По лемме Шура для
Hom
j
U ; U0 ∈ Irr(G)
G (U ; U0 )
(
=
k · IdU
0
разложения в сумму неприводимых под-
L
ij
Hom
G (Vi ; Wj ) ,
где каждый из
0 = 0
при 6= :
Vi , Wj
при
(9-3)
Отсюда получается формула (9-2). Второе утверждение является её частным случаем.
Следствие 9.1
G (V; W )
dim Hom
= dim Hom
Следствие 9.2
Представления
V
Доказательство.
m (V )
6=
m (W )
и
W
G (W; V )
для любых
G-модулей V
и
W.
изоморфны тогда и только тогда, когда
m (V ) = m (W ) для всех .
Модули с одинаковыми разложениями (9-1), ясное дело, изоморфны. Если же
при каком-то
могут быть изоморфны.
,
G (U ; V ) 6=
то dim Hom
dim Hom
G ( U ; W )
и такие модули не
§9. Линейные
74
9.1.1. Каноническая свёртка. Для любых
ется тривиальным
G-модулем
G-модулей V , W
представления конечных групп
пространство Hom
(подмодулем неподвижных векторов действия
G
G (V; W )
на Hom(
явля-
V; W )
сопряжениями). Отображение
Hom
'⊗v7→'(v) -
G (V; W ) ⊗ V
W
(9-4)
G-модулей и называется канонической свёрткой .
является гомоморфизмом
Упражнение 9.1. Убедитесь, что отображение (9-4) получается ограничением на подпространство
HomG (
V; W ) ⊗ V
⊂
Hom(
V; W ) ⊗ V
V; W ) ⊗ V
линейного оператора Hom(
V; W )
реходит в тождественный эндоморфизм пространства Hom(
Hom(Hom(
V; W ) ⊗ V ; W ) ' Hom(V; W )∗ ⊗ Hom(V; W ) ' End
Hom(
-
W,
который пе-
при каноническом изоморфизме
V; W )
.
G (V; W ) какой-нибудь базис '1 ; '2 ; : : : ; 'm , то G-модуль
G-подмодулей (k · 'i ) ⊗ V , каждый из которых
Если зафиксировать в пространстве Hom
Hom
G (V; W ) ⊗
изоморфен
V
разложится в прямую сумму
G-модулю V :
Hom
G
(
V; W ) ⊗ V
m
⊕ k · 'i ⊗ V
'
i=1
запомнить в обозначении, какому именно
вается формулой
(
;
перед
V ). В этих обозначениях каноническая свёртка (9-4) описы-
G (U ; V ) ⊗ U
X
i
'i (vi )
(9-5)
V является изоморфизмом на -изотипный подV ⊂ V . В частности, этот подмодуль не завит от способа разложения V в прямую сумму
Каноническая свёртка Hom
модуль
k
'1 ⊗ v1 ; '2 ⊗ v2 ; : : : ; 'm ⊗ vm ) 7−→
Лемма 9.2
· · · ⊕ ('m ⊗ V )
'i , однако сам 'i будем оставлять, чтобы
- W отвечает
базисному гомоморфизму 'i : V
(для сокращения записи мы будем опускать
соответствующее прямое слагаемое
'1 ⊗ V ) ⊕ ('2 ⊗ V ) ⊕
= (
-
неприводимых подмодулей.
Доказательство.
V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vn на неприводимые
m были изоморфны U , а остальные нет. СоHomG (U ; Vi ) . Выберем в каждом одномерном
Возьмём произвольное разложение
подмодули и перенумеруем их так, чтобы первые
G (U ; V )
гласно (9-3) , Hom
G (U ; ⊕ Vi )
i
= Hom
=
m
⊕
i=1
U ; Vi ) (где i 6 m) какой-нибудь базисный изоморфизм 'i : U - Vi . Тогда
m операторов æi : u 7−→ (0; : : : ; 0; 'i (u) ; 0; : : : ; 0) ∈ V = ⊕ Vj составят базис в HomG (U ; V ) , а
j
G-модуль HomG (U ; V ) ⊗ U разложится в прямую сумму
∼
пространстве Hom(
Hom
G ( U ; V ) ⊗ U '
(
æ1 ⊗ U ) ⊕ (æ2 ⊗ U ) ⊕
· · · ⊕ (æm ⊗ U )
;
и каноническая свёртка, согласно формуле (9-5), будет действовать по правилу
æ1 ⊗ u1 ; æ2 ⊗ u2 ; : : : ; æm ⊗ um
Её образ содержится в
V
=
из единственного вектора
⊕
i6m
Vi ⊂ V
7−→
'1 (u1 ); '2 (u2 ); : : : ; 'm (um ); 0; : : : ; 0 :
v ; v2 ; : : : ; vm ; 0; : : : ; 0) ∈ V получается
и любой вектор ( 1
'−1 1 (v1 ); '−2 1 (v2 ); : : : ; '−m1 (vm )
m
∈ ⊕
i=1
'i ⊗ U .
Следствие 9.3
Образ каждой изотипной компоненты при любом гомоморфизме
G-модулей содержится в изо-
типной компоненте того же типа.
v=
i ui с i
P
' i v ∈ W для любого ' ∈ HomG (V; W ), поскольку '
Доказательство.
Запишем
v
∈ V
как
P
G (U ; V ) и ui ∈
i ∈ HomG (U ; W ) .
∈
Hom
U .
Тогда
'v
=
9.2. Строение групповой алгебры.
75
Следствие 9.4
W = W ∩ V для любого G-подмодуля W
Доказательство.
⊂V.
Применим предыдущее следствие к вложению
9.2. Строение групповой алгебры. Групповая алгебра
ет собою
|G|-мерное
X
g
cf
=
P
gh=f
ag bh =
P
t
Действие группы
представлением
ag g
X
P
as bs−1 f .
aft−1 bt =
G
на
s
k[G]
.
k[G] конечной группы G представля-
h
bh h
=
X
gh
c=
g ∈ G cg g
P
ag bh gh =
X
f
и перемножаются как
cf f ;
умножениями с левой стороны называется
левым регулярным
и обозначается
L:G
Для каждого
⊂W
векторное пространство с каноническим базисом, состоящим из элементов
группы. Элементы групповой алгебры имеют вид
где
V
g7→Lg -
k G]) ;
End( [
(где
Lg : h 7→ gh.)
∈ Irr(G) обозначим через I ⊂ k[G] -изотипную компоненту левого регулярного
k[G] = ⊕I (сумма по всем для которых I 6= 0).
представления. Таким образом,
Лемма 9.3
I ⊂ k[G] является двусторонним идеалом.
Каждое подпространство
Доказательство.
G-подмодули левого регулярного представления тавтологически являются
I тоже левый идеал. Отображения k[G] - k[G], задаваемые
Все
левыми идеалами. В частности,
умножением на произвольно заданный элемент справа и умножением на произвольно заданный
элемент слева, перестановочны. Поэтому умножение справа на любой элемент является
морфизмом левого регулярного представления. По сл. 9.3 оно переводит
I
G-эндоI
в себя. Значит,
является правым идеалом.
Следствие 9.5
Если
f
∈ I ,
а
g ∈ I0
Доказательство.
и
6= 0 , то fg = 0.
fg ∈ I ∩ I0 = 0 .
Упражнение 9.2. Докажите, что I являются минимальными (по включению) двусторонними идеалами алгебры
k[G],
суммами идеалов
I .
Лемма 9.4
Любое представление
го представления
,
%
:
k[G]
переводит
эпиморфно отображает
Доказательство.
и что все двусторонние идеалы групповой алгебры исчерпываются прямыми
-
I
V ),
End(
не содержащее в своём разложении неприводимо-
в нуль. Неприводимое представление
I на всю алгебру эндоморфизмов End(U ).
Поскольку
I является левым идеалом, для любого v ∈ V
W
=
I v = {fv | f
:
k[G]
-
U )
End(
подпространство
∈ I }
G-подмодулем в V , а отображение I - W , переводящее f в fv, является сюрьективным гомоморфизмом G-модулей. По сл. 9.3 весь модуль W является в этом случае -изотипным, т. е. W = W . С другой стороны, если -изотипная компонента V = 0, то по сл. 9.4
W = W ∩ V = 0. Это доказывает первое утверждение. Из него следует, что каждое неприводи- End(U ) отображает в нуль все прямые слагаемые разложения
мое представление : k[G]
k[G] = ⊕ I0 кроме слагаемого I . По сл. 8.4 неприводимое представление эпиморфно. Поэтому
0
(I ) = End(U ).
является
§9. Линейные
76
Теорема 9.1 (теорема Машке)
Гомоморфизм алгебр
Rep :
k[G]
Q
-
U ) ,
End(
∈Irr(G)
представления конечных групп
переводящий элемент
f
∈ k[G]
в набор
операторов, которыми этот элемент действует во всех неприводимых представлениях группы
G,
является изоморфизмом алгебр. Его ограничение на изотипный идеал
изоморфизмом
I на матричную алгебру End(U ).
Доказательство.
По лем. 9.4 гомоморфизм Rep эпиморфно отображает
(
: : : ; 0; : : : ; 0 ; End(U ) ; 0; : : : ; 0; : : : )
∈
Y
I
⊂ k[G]
является
I на компоненту
U ) :
End(
∈Irr(G)
В частности, гомоморфизм Rep эпиморфен. Остаётся доказать его инъективность. Если элемент
f
∈ k[G] действует нулевым оператором во всех неприводимых представлениях, то он действует
нулевым оператором вообще в любом представлении. В частности, в левом регулярном представлении
f · 1 = 0, откуда f
= 0.
Следствие 9.6
Множество Irr(
G) конечно и
2
P
∈Irr(G)
Упражнение 9.3. Докажите, что
dim
U = |G|.
m (k[G]) = dim U .
9.2.1. Центр групповой алгебры. Напомним, что
центром
кольца или группы
K
называ-
K.
z ∈ k[G] коммутирует со всей алгеброй тогда и только тогда, когда он коммутирует с
ется множество всех элементов, мультипликативно коммутирующих со всеми элементами
Элемент
её базисом. Поэтому центр групповой алгебры
Zk[G] = {z ∈ k[G] | zx = xz ∀ x ∈ k[G] } = {z ∈ k[G] | gzg−1 = z ∀ g ∈ G } :
gzg−1 = z на элемент z = zh h означает, что все элементы h, лежащие в одном классе
h
сопряжённости, входят в z с одним и тем же коэффициентом. Таким образом, сопоставляя
каждому классу сопряженности C ⊂ G элемент
P
Условие
zC =
X
h∈C
h
(9-6)
Zk[G] . В частности, dim Zk[G] равна числу классов сопряжённых элементов
G. Мы будем обозначать это число через cl(G) и называть числом классов .
Ещё одно описание центра получается из теоремы Машке. Алгебра
⊕ End(U ) предста-
мы получаем базис в
в группе
∈Irr(G)
вляет собой прямую сумму матричных алгебр и её центр равен прямой сумме их центров. Центр
каждой матричной алгебры End(
U ) состоит из скалярных матриц c · IdU . Отсюда вытекает
Следствие 9.7
Число неприводимых представлений группы
|Irr(G)| = cl(G).
G
равно числу классов сопряжённых элементов:
9.2.2. Базисные идемпотенты. Обозначим прообраз
мента прямой суммы
⊕
U )
End(
∈Irr(G)
-того
базисного центрального эле-
при отображении Rep из теоремы Машке через
e = Rep−1 ( : : : ; 0; IdU ; 0; : : : ) ∈ I ⊂ k[G]:
Элементы
e
называются
неприводимыми
(или
минимальными ) идемпотентами .
(9-7)
По построе-
нию, они образуют базис центра групповой алгебры и перемножаются по правилам
e e0 =
(
e
0
0 = 0
при 6= :
при
(9-8)
9.2. Строение групповой алгебры.
В любом представлении
77
k[G]
V)
End(
-
-изотипной
ственно действует на
компоненте
V
⊂
G-инвариантным
типные компоненты, т. е. является
однозначно определяет элементы
каждый из неприводимых идемнотентов
e .
V
e
тожде-
и переводит в нуль все остальные изо-
проектором
V
e -
V .
Это свойство
Упражнение 9.4. Проверьте, что главный левый идеал k[G]·e является минимальным (по включению)
левым идеалом и как
G-модуль (относительно действия G умножениями слева) изоморфен непривоU . Покажите также, что двусторонний идеал, порождённый e , есть I .
димому представлению
9.2.3. Пример: простенькие представления симметрических групп. Напомню, что классы
Sn состоят из всех перестановок фиксированного циклового типа и, тем самым, взаимно однозначно соответствуют n-клеточным диаграмсопряжённых элементов симметрической группы
1
мам Юнга . Таким образом, число неприводимых представлений симметрической группы равно
числу разбиений
2
p(n).
У любой симметрической группы
и
знаковое
представление sgn :
).
ем на знак sgn(
Sn
Sn имеются два одномерных представления | тривиальное
- {±1}, в котором перестановка действует умножени-
Базисными идемпотентами, отвечающими этим представлениям являются
операторы симметризации и альтернирования
e(n) =
1
X
n! g∈Sn
g
и
e(1n ) =
1
X
n! g∈Sn
g g
sgn( )
Упражнение 9.5. Покажите, что каждый из них лежит в центре и является идемпотентным (тем
самым, в любом представлении эти операторы являются
Sn -инвариантными проекторами).
Легко видеть, что образ оператора симметризации лежит в тривиальной изотипной компоненте,
и он тождественно на ней действует. Аналогично, образ оператора альтернирования лежит в
знаковой изотипной компоненте, и он тоже действует на ней тождественно.
Каждая симметрическая группа
Sn имеет (n − 1)-мерное симплициальное
n − 1)-мерного симплекса3 .
представление
несобственной группой правильного (
Sn ). Покажите, что неn-вершинного симплекса с центром в начале координат простран-
Упражнение 9.6 (симплициальное и тавтологическое представления
собственная группа правильного
kn−1 изоморфна Sn и неприводимо действует в kn−1 . Покажите также, что тавтологическое
представление Sn перестановками стандартных базисных векторов пространства kn является пряства
мой суммой тривиального одномерного представления в линейной оболочке суммы базисных векторов и симплициального представления в гиперплоскости векторов с нулевой суммой координат.
Неприводимые представления группы
S3 , имеющей ровно три класса сопряжённости, исчер-
пываются тривиальным, знаковым и симплициальным представлением группой треугольника.
Если обозначить цикл
|1; 2; 3i
через
, а транспозицию |1; 2i | через , то элементы неприводи-
мые идемпотенты, отвечающие этим представлениям, будут иметь вид
e(3) =
e(13 ) =
1
X
6
g ∈S 3
1
X
6
g ∈S 3
g = (1 + + 2 + + + 2 )=6
g g = (1 + + 2 − − − 2 )=6
sgn( )
e(2;1) = 1 − e(3) − e(13 ) = (2 − − 2 )=3
(про симметризацию
e(3) и альтернирование e(13 ) мы это уже установили выше; e(2;1) аннулиру-
ет тривиальный и знаковый модули и действует тождественным оператором в представлении
группой треугольника).
n
1
длины строк диаграммы суть длины независимых циклов, на которые раскладывается перестановка
2
напомню, что количество всех n-клеточных диаграмм обозначается p(n) и называется числом разбиений числа
(в сумму неупорядоченных целых неотрицательных слагаемых)
3
при n = 2 оно совпадает со знаковым
§9. Линейные
78
представления конечных групп
Упражнение 9.7. Проверьте прямым вычислением в групповой алгебре, что
идемпотентен.
У группы
e(2;1)
лежит в центре и
S4 , имеющей 5 классов сопряжённости, кроме тривиального, знакового и 3-мерного
представления несобственной группой тетраэдра имеется ещё одно трёхмерное представление
собственной группой куба и двумерное представление группой треугольника, индуцированное
факторизацией
S4
-
S3 по подгруппе Клейна D2 ⊂ S4 .
Упражнение 9.8. Покажите, что все эти представления неприводимы, причём два трёхмерных не
изоморфны и получаются одно из другого тензорным умножением на знаковое представление. Разложите в сумму неприводимых
функций на множестве
S4 -модулей
а) вершин
представления группы вращений куба в пространстве
б) рёбер
9.2.4. Скалярное произведение на
k[G]
этого куба.
G
k[
]. Левое регулярное представление
L : k[G]
вкладывает групповую алгебру
в) граней
k G])
End( [
-
в алгебру End(
k[G]),
на которой имеется стандартная сим-
метричная билинейная форма | след композиции. Ограничение этой формы на
на
k[G]
L(k[G]) задаёт
симметричное скалярное произведение
(
f; g) = tr (Lf Lg ) = tr (Lfg ) :
Поскольку след левого умножения на единицу группы равен
|G|,
а умножение на любой другой
элемент группы бесследно, скалярные произведения элементов группы задаются формулой
(
(
g; h) =
|G|
h = g −1
−1
при h 6= g
.
при
0
(9-9)
1
{g }
∈ k[G]
Таким образом, скалярное произведение невырождено , и двойственным базисом к базису
{|G
·g
|−1
из групповых элементов является базис
− 1 }.
В частности, каждый элемент
c
разлагается по базису из групповых элементов в виде
Ó=
1
|G|
X
(
g ∈G
g−1 ; c) · g
(9-10)
Упражнение 9.9. Покажите, что левое и правое умножение на заданный элемент сопряжены другу
fg; h) = (f; gh) и выведите отсюда, что ортогональ-
другу относительно скалярного произведения: (
ное дополнение к любому левому идеалу в
k[G] является правым идеалом, а ортогональное дополнение
к правому | левым (тем самым, ортогональное дополнение к любому двустороннему идеалу тоже
двусторонний идеал).
Изоморфизм
Rep :
k[G]
∼
Q
-
U )
End(
∈Irr(G)
из теоремы Машке позволяет вычислять скаляр-
ные произведения в терминах следов действия элементов в неприводимых представлениях.
Предложение 9.1 (формула Планшереля)
(
f; g) =
P
U ) · tr ((fg))
dim (
∈Irr(G)
Доказательство.
для любых
f; g ∈ k[G].
Lfg ) в алгебре
Вычислим tr (
⊕
∈Irr(G)
U ). Он равен сумме по всем неприво-
End(
следов левого умножения на (fg) в End(U ). След левого умножения
n k) равен n · tr (M ), поскольку каждая матричная единица Eij входит в MEij с коэффициентом mii .
димым представлениям
на матрицу
1
M
в матричной алгебре Mat (
отметим, что если характеристика поля делит порядок группы, то это не так
9.3. Характеры.
79
Следствие 9.8
Базисные идемпотенты составляют ортогональный базис центра групповой алгебры и имеют
e ; e ) =
скалярные квадраты (
dim
U ) 2 .
Следствие 9.9
Разложение левого регулярного представления в прямую сумму изотипных подмодулей
k[G] =
является
ортогональным
ми проекциями
∈ k[G]
на идеалы
I .
ортогональны-
e выражается через элементы группы по формуле
Базисный идемпотент
e =
U
|G|
dim
X
(g−1 ) g
tr
g ∈G
(9-11)
End(V ) правая часть этого равенства перейдёт
G-инвариантный проектор на -изотипный подмодуль V ⊂ V .
В частности, при любом представлении
в
I
разложением, и неприводимые идемпотенты являются
единицы 1
Следствие 9.10
⊕
∈Irr(G)
Доказательство.
(
k[G]
e = |G|−1
Согласно формуле (9-10)
g−1 ; e ) =
X
P
(
g−1 ; e ) · g. По формуле Планшереля
0 ∈Irr(G)
U0 ) · tr 0 (g−1 e )
dim (
0 ∈Irr(G)
поскольку умножение слева на
-
= dim (
U ) · tr (g−1 ) ;
e аннулирует все неприводимые U0 c 0 6= , а на U действует
тождественным оператором.
9.3. Характеры. Для произвольного линейного представления
% : k[G]
действия на V
форма
называется
- k
%
: [
G]
-
характером
представления
% (f ) = tr %(f )
%. В силу того,
V ) линейная
∈ G след его
GL(
на групповой алгебре, сопоставляющая каждому элементу
f
что след оператора не меняется при
сопряжении, характер любого представления постоянен на классах сопряжённых элементов.
Поскольку любая линейная форма однозначно задаётся своими значениями на базисных векторах, пространство линейных форм
функций
G
- k.
ет отождествить
k[x]∗
естественно отождествляется с пространством
kG
С другой стороны, скалярное произведение на групповой алгебре позволя-
k[G]∗
c
k[G]
при помощи изоморфизма, сопоставляющего вектору функционал
скалярного умножения на этот вектор:
f 7−→(f; ∗ ) -
k[G]
Согласно (9-9) базисный вектор
g
∈
G
k[G]∗ :
(9-12)
перейдёт при этом изоморфизме в умноженную на
форму, вычисляющую координату вдоль базисного вектора
g−1 , а функция G
|G|
'k | в элемент
групповой алгебры
'b =
(его иногда называют
1
|G|
X
g ∈G
преобразованием Фурье
' g −1 · g
от функции
'). Отметим, что по сл. 9.10 преобра-
зования Фурье от характеров неприводимых представлений пропорциональны неприводимым
идемпотентам:
b =
1
dim
U
· e
(9-13)
§9. Линейные
80
представления конечных групп
Перенесём при помощи изоморфизма (9-12) скалярное произведение из групповой алгебры в
пространство функций на группе, полагая по-определению
(
';
';
b b) =
) = (
1
|G|2
X
g;h∈G
' g −1
h−1 (g; h) =
1
|G|
X
g ∈G
' g −1
g
( )
(9-14)
Из (9-13) и сл. 9.8 вытекает
Следствие 9.11
Неприводимые характеры образуют ортонормальный базис в пространстве функций, постоян-
ных на классах сопряжённых элементов.
G действует на векторном пространстве переg ∈G
равно числу неподвижных элементов перестановки g . В частности, сказанное перед формулой
9.3.1. Вычисление характеров. Если группа
становками базисных векторов, то значение характера такого представления на элементе
(9-9) означало, что характер регулярного представления имеет вид
L ( g ) =
(
|G|
если
0
если
g=e
g 6= e
Упражнение 9.10. Вычислите характеры тавтологического и симплициального представлений
Sn .
Характеры геометрических представлений обычно без проблем вычисляются прямым сложением собственных значений соответствующих поворотов и отражений. Например, легко видеть,
что значения характеров пяти представлений симметрической группы
S4 , перечисленных перед
упр. 9.8, задаются таблицей:
классы
число элементов
1
6
3
8
6
значения характеров:
тривиального
1
1
1
1
1
знакового
1
1
1
тетраэдрального
3
−1
−1
0
кубического
3
1
−1
−1
−1
−1
0
1
треугольного
2
0
2
−1
0
из которой непосредственно видно, что они ортонормальны.
Лемма 9.5
Для любых двух представлений
V, W
группы
G с характерами U
и
V
V ⊕ W ( g ) = V ( g ) + W ( g )
V ⊗ W ( g ) = V ( g ) W ( g )
V ∗ ( g ) = V ( g − 1 )
Hom(V;W ) (g) = V (g−1 )W (g)
(9-15)
(9-16)
(9-17)
(9-18)
Доказательство. Поскольку любой оператор g из конечной группы полупрост, в пространствах
V и W имеются базисы {vi } и {wj } из собственных векторов g. Пусть i и j | соответствующие
наборы собственных чисел. Набор собственных чисел g в представлении V ⊕ W получается
объединением этих наборов, откуда следует (9-15). Собственными числами g в представлении
V ⊗ W являются всевозможные попарные произведения i j , что даёт (9-16). Формула (9-17)
−1
следует из того, что матрица g в двойственном представлении транспонирована к матрице g
в исходном (см. n
◦ 8.2).
Последняя формула следует из двух предыдущих.
9.3. Характеры.
81
Упражнение 9.11. Докажите, что производящие функции для характеров симметрических и внешних
степеней представления
X
>0
V
имеют вид:
˜ V (g) t = det(1 + t g)
Следствие 9.12
Характер любого представления
V
>0
S V (g) t =
X
=
Следствие 9.13
G (V; W )
dim Hom
∈Irr(G)
Применяем (9-15) к разложению
V
V ; W ) для любых G-модулей V
= (
Доказательство.
det(1 −
t g)
P
Обе части равны
как
m (V ) · (9-19)
m (V ) обозначает кратность вхождения U в разложение V
Доказательство.
1
выражается через неприводимые характеры
V
где
X
в прямую сумму неприводимых.
и
левая | по лем. 9.1, правая | в силу
сл. 9.12 и ортонормальности характеров.
Следствие 9.14
U в произвольное представление V
m (V ) = ( ; V ).
Кратность вхождения неприводимого представления
скалярному произведению их характеров
Доказательство.
Скалярно умножаем обе части (9-19) на
равна
и пользуемся ортонормальностью
характеров.
Следствие 9.15
Представление
V
Доказательство.
V ; V ) = 1.
неприводимо тогда и только тогда, когда (
Из ортонормальности характеров и сл. 9.12 вытекает, что
(
где все
W.
m (V )m (W ) :
∈Irr(G)
◦ 9.1).
на неприводимые (см. n
V ; V ) =
X
∈Irr(G)
m2 (V ) ;
m (V ) целые неотрицательные. Такая сумма равна единице только если она состоит из
одного слагаемого, равного единице.
Упражнение 9.12. Опишите все неприводимые представления и вычислите их характеры для групп:
а)
Dn
б)
A4
в)
A5
г)
S5 .