Учебное пособие - Московский авиационный институт

Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Московский авиационный институт
(национальный исследовательский университет)»
филиал «Взлет»
кафедра РЭВС ЛА
Нестеров С. В.
«СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
по курсу
«ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ»
Рекомендовано к использованию
на заседании кафедры А-21
( протокол № 112 от 16
сентября 2010 г.)
Ахтубинск – 2013
1
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов
радиотехнических специальностей при изучении ими курса
«Основы теории цепей».
Пособие состоит из двух частей. В теоретической части
излагаются основные принципы синтеза и анализа линейных
электрических
цепей,
как
двухполюсников,
так
и
четырёхполюсников, даются основные понятия и определения по
данному разделу курса, даны примеры по использованию
расчётных выражений.
Во второй части даны руководства по проведению
лабораторных работ по синтезу и анализу линейных
электрических цепей (фильтров). Первая лабораторная работа
направлена на отработку у студентов навыков
синтеза
низкочастотных фильтров Баттерворта и Чебышёва I рода, вторая
лабораторная работа – на выработку умения выполнять синтез и
анализ
электрических
частотных
фильтров
различного
назначения.
2
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1 Характеристики электрических цепей
1.1 Характеристики двухполюсников
Характеристиками двухполюсника являются комплексные
сопротивление и проводимость, полные сопротивление и
проводимость, операторные сопротивление и проводимость.
Комплексным
сопротивлением

Z ( )
двухполюсника

называется отношение комплексных амплитуд напряжения U m на

двухполюснике и тока I m через него:

j


U
e
U
U
j(



)
j

(

)
m m
m
Z
(
ω
)

j

e

Z(
ω
)
e
,
(1.1)


Ie I
U
U
I
I
m
z
I
m
m
где Um и Im – амплитуды синусоидально-изменяющих напряжения
и тока соответственно; φU и φI – начальные фазы напряжения и
тока, Z(w) и φz(ω) – модуль и аргумент комплексного
сопротивления соответственно, являющиеся функциями частоты
напряжения (тока).
Модуль комплексного сопротивления называется полным
сопротивлением двухполюсника, показывающим отношение
амплитуд напряжения и тока
U
Z() m
Im .
Выражение (1.1) можно представить в алгебраической форме:

,
Z
(
)rjx
(1.2)
где r и x – активная и реактивная составляющие комплексного
сопротивления соответственно.
Из (1.1) и (1.2) следует:



x
2 2
Z
(
)

r

x, z
(
)

arctg
,
r
 

*
,
r

Re[
()
]

Z
()
cos
()
z
Z
 

*
.
x

Im[
()
]

Z
()
sin
()
z
Z
3
Комплексной

Y ( )
проводимостью
двухполюсника

называется отношение комплексных амплитуд тока I m через

двухполюсник и напряжения U m на нем:

j
I

e
I
mI
j

(

)
j
(



)
m
m
Y
(
)



e

Y
(
)
e,
(1.3)

j


I
I U
U
eU
m
U
m m
U

)
где Y(ω) и φY(ω) – модуль и аргумент комплексной проводимости
соответственно.
Модуль комплексной проводимости называется полной
проводимостью двухполюсника, показывающей отношение
амплитуд тока и напряжения:
I
Y() m .
Um
Выражение (1.3) можно представить в алгебраической форме:

Y
(
)gjb
,
(1.4)
где g и b – активная и реактивная составляющие комплексной
проводимости соответственно.
Из (1.3) и (1.4) следует:
b
2
2
Y
(
) g

b
,
(
)arctg
,
Y
g

gRe[
Y
(
)]

Y
(
)cos

(
),
Y

bIm[
Y
(
)]

Y
(
)sin

(
).
Y
В соответствии с (1.1) и (1.3) комплексные и полные
сопротивления и проводимости двухполюсника являются
взаимно-обратными величинами:









1
1
1
1
Z
(
)

,
Y
(
)

Z
(
)

,
Y
(
)

.

 ,
Y
(
)
Z
(
)
Y
(
)
Z
(
)
Причем
g
b
r 2 2, x 2 2,
g
b
g
b
r
x
g 2 2, b 2 2.
r x
r x
Комплексные сопротивление и проводимость двухполюсника
являются аналитическими функциями частоты. Их можно только
рассчитать. Полные сопротивления и проводимость являются
действительными функциями, их можно не только рассчитать, но
и измерить. Заменой аргумента jω, где j=  1 - мнимая единица,
на оператор p, т. е. ω на -jp, можно получить операторные
4
сопротивление Z(p) и проводимость Y(p), тоже являющиеся
аналитическими функциями, в данном случае оператора p.
1.2 Характеристики четырехполюсников
Наиболее важными характеристиками четырехполюсника
являются комплексные частотные характеристики (КЧХ),
амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), фазочастотные
характеристики (ФЧХ), комплексные входные сопротивление и
проводимость,
импульсная
характеристика,
переходная
характеристика, операторная передаточная функция.

КЧХ H ( ) называется отношение комплексной амплитуды

реакции Ym к комплексной амплитуде воздействия
установившемся режиме:

Xm в


H() 
Ym
 .
Xm
Так как в качестве воздействия четырехполюсника могут
выступать входные ток I1 или напряжение U1, а в качестве реакции
– выходные ток I2 или напряжение U2, то существует четыре вида
КЧХ четырехполюсника (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Виды комплексных частотных характеристик
Вид реакции
Вид
Напряжение U2
Ток I2
воздействия
РазмерРазмерВыражение
Выражение
ность
ность
Симменс



(размерU2

Напряжение H()   БезразI2
H()  
ность
U1 мерная
U1
U1
проводимости)

Ом
(раз

U2

I2
мерность
БезразH()  
Ток I1
I1 сопротивле H()  
мерная
I1
ния)
КЧХ может быть представлена как в показательной, так и в
алгебраической форме:


j
arg
H
(

)
H
(
)

H
e

Re[
H
(
)]

j
Im[
H
(
)].
(1.5)




5

АЧХ A(ω) называется частотная зависимость отношения
амплитуды гармонической (синусоидально изменяющейся)
реакции Ym к амплитуде гармонического воздействия Хm в
установившемся режиме:
Y 
A
(

)
m
H
(

)
.
X
m
АЧХ находится как модуль КЧХ, но ее можно также измерить,
т.е. она является действительной функцией.
ФЧХ φ(ω) называется частотная зависимость разности
начальных фаз гармонических реакций и воздействия:

(

)

(

)

y
x,
где φy(ω) и φх – соответственно начальные фазы реакции и
воздействия.
ФЧХ находится как аргумент КЧХ, но ее также, как и АЧХ,
можно измерить, т.е. она является действительной функцией.
Комплексные
входные
сопротивление

Z вх ()
и

проводимость Y вх () определяются как отношения комплексных


амплитуд входных напряжения U 1 и тока I 1 :


I1
U1 
Zвх()   , Yвх()   .
U1
I1

Если выходные контакты четырехполюсника разомкнуты

(выходной ток I 2 равен нулю), то в этом случае входное
сопротивление называется сопротивлением холостого хода
четырехполюсника:

Zхх Zвх

I20
Если
выходные
контакты
.
четырехполюсника
замкнуты

накоротко (выходное напряжение U 2 равно нулю), то в этом
случае входное сопротивление называется сопротивлением
короткого замыкания четырехполюсника:

Zкз Zвх

U20
Среднее геометрическое сопротивлений холостого хода и
короткого
замыкания
называется
характеристическим
сопротивлением четырёхполюсника



.
Z
Z
c Z
xx
кз
(1.6)
При нагрузке симметричного четырехполюсника, равной
характеристическому сопротивлению, входное сопротивление
6
четырехполюсника будет также равно характеристическому
сопротивлению. Такая нагрузка называется согласованной.
При изменении АЧХ в широких пределах их удобнее
представлять в логарифмическом масштабе, но логарифмировать
можно только безразмерные АЧХ, т. е. АЧХ по напряжению или
току.
Логарифмической АЧХ Адб () называется величина,
выражаемая как
  

А
(
)

20
lg
A
(
)

20
lg
H
(
)
.
дб
Логарифмическая АЧХ имеет размерность «децибел» (дБ). В

пассивных цепях, когда
H () ≤ 1, логарифмическая АЧХ
называется ослаблением и обозначается α(ω)

(

)
20
lg
H
(

).


Логарифмическое представление КЧХ H ( ) дает рабочую
постоянную передачи:
g
()
()

j()
,
где действительная часть есть затухание, а мнимая – ФЧХ.
При синтезе цепей используется понятие нормированная АЧХ
ˆ
А( ) , представляющая собой отношение текущего значения А(ω)
к максимальному значению:



А
(

)
ˆ(
А

)
.
max
А
(

)
Нормированная АЧХ является безразмерной величиной, ее
максимум равен единице.
Импульсной характеристикой h(t) называется реакция y(t)
цепи на единичный импульс (δ-функцию) при нулевых начальных
условиях (рис. 1.1).
а)
б)
Рис. 1.1 Реакция цепи при воздействии δ-функции (а) и произвольной
функции (б)
Единичный импульс (δ-функция) определяется следующим
образом:
7

, t 0

(t)

,
0
, t 0


причем площадь под δ-функцией равна 1.
Импульсная
характеристика
является
основной
характеристикой цепи, поскольку она позволяет определить
реакцию y(t) цепи на любое воздействие x(t), а не только
гармоническое:
y
(
t
)

x
(

)
h
(
t

)
d

.

t
0
Переходной характеристикой g(t) цепи называется реакция
y(t) цепи на единичный скачок 1(t) (функцию Хэвисайда).
Переходная характеристика при нулевых начальных условиях
связана с импульсной соотношением:
g
(t)
(
)d
.
h
t
0
Единичный скачок 1(t) связан с δ-функцией соотношением:

1
(t)
(
)d
.


Значения 1(t) определяются как
1при
t
0

1
(
t)

.
0при
t
0

Реакция y(t) цепи при
определяется выражениями
нулевых
начальных
условиях
t
y
(
t)
(
t

)
g
'(

)
d

x
0
или
t
y
(
t)
'(

)
g
(
t

)
d
,
x
0
называемыми интегралами Дюамеля.
Передаточной
функцией
(операторной
передаточной
функцией) Н(р) называется отношение L-изображения Y(p)
реакции y(t) к L-изображению X(p) воздействия х(t) при нулевых
начальных условиях:
Y
(p
)
H
(p
)
.
X
(p
)
L-изображение F(p) какой-либо функции f(t), называемой
оригиналом, находится по преобразованию Лапласа:


pt
F
(
p
)
t)
e
dt
.
f(
0
8
Обратное преобразование Лапласа позволяет найти оригинал
по известному L-изображению:


j

1
pt
f
(
t
)
 
F
(
p
)
e
dp
.
2

j


j

0
0
Передаточная функция четырёхполюсника
изображением импульсной характеристики, т.е.
является
L-


pt
H
(p
)
(
t)
e
dt
h
(1.7)
0
Передаточная функция связана с L-изображением
переходной характеристики g(t) выражениями
H
(
p
)
H
(
p
)

p

G
(
p
),
G
(
p
)
 .
p
G(p)
(1.8)
Передаточная функция H(p) может быть получена из КЧХ
Н ( ) формальным образом, а именно простой заменой в КЧХ


Н ( ) переменной jω на оператор p (точнее частоты ω на

выражение -jp). КЧХ Н ( ) также может быть получена из
передаточной функции Н(р) заменой оператора р на jω.
Также как и КЧХ, передаточная функция бывает четырех
видов: операторное передаточное сопротивление
U
(p
)
H
(p
) 2
z
I
(p
),
1
операторная передаточная проводимость
I(p
)
H
(p
) 2
,
Y
U
(p
)
1
передаточная функция по току
I(p
)
H
(p
)2
,
I
I
(
p
)
1
передаточная функция по напряжению
U
(p
)
H
(p
) 2 ,
U
U
(p
)
1
где – U1(p), U2(p), I1(p), I2(p) – L-изображения входных и выходных
напряжений и токов U1(t), U2(t), i1(t), i2(t) соответственно.
Передаточные функции по напряжению и по току также
называют операторные передаточные коэффициенты по
напряжению и по току соответственно.
9
2 Задача синтеза электрических цепей и этапы её решения
2.1 Постановка задачи синтеза электрической цепи
При проектировании разнообразных радиотехнических
устройств требуется решать задачи синтеза конкретных
электрических цепей, обладающих желаемыми характеристиками
и конструктивными параметрами, т. е. первое, удовлетворяющих
заданным частотным или временным характеристикам и второе,
должны быть реализованными с использованием некоторого
набора элементов. Набор элементов, из которых строятся
электрические цепи, называется элементным базисом (элементной
базой).
Первая часть задачи синтеза решается подбором функции F(x),
достаточно близкой к желаемой характеристике ξ(х). В качестве
ξ(х) может выступать любая характеристика цепи АЧХ A(ω),
квадрат АЧХ А2(ω), ФЧХ φ(ω), ослабление α(ω), импульсная
характеристика h(t), переходная характеристика g(t), входное
сопротивление Z(ω), передаточная функция H(p). Соответственно
в качестве аргумента х могут выступать: частота ω, квадрат
частоты ω2, нормированная частота  

(ωc – какая-либо
с
характеристическая частота цепи), время t, оператор р и т.п.
Процесс подбора или приближения функции F(x) называется
аппроксимацией,
желаемая
характеристика
ξ(х)
–
аппроксимируемой
функцией,
функцию
F(x)
–
аппроксимирующей.
Задача аппроксимации является сложной математической
задачей. Ее общее решение выходит далее за рамки дисциплины
«Основы теории цепей».
После решения задачи аппроксимации получается некоторая
функция, далее необходимо решать вторую задачу синтеза реализации в виде конкретной электрической цепи.
2.2 Этапы решения синтеза электрической цепи
Задача реализации выполняется в три этапа:
1. Переход от полученной функции к передаточной Н(р),
независимо от того, в какой области (частотной или временной)
решалась задача аппроксимации.
2. Оценка физической реализуемости передаточной функции Н(р).
10
3. Выбор метода реализации.
Переход к передаточной функции происходит в соответствии с
алгоритмами, изложенными в п. 1.2., в частности с выражениями
(1.7) и (1.8).
Передаточная функция выражается в виде дробнорациональной функции:
n
n

1
a
p

a
p

...

a
p

a
n
n

1
1
0
H
(
p
)
m m
.

1
b
p

b
p

...

b
p

b
m
m

1
1
0
(2.1)
Условия физической реализации функции (2.1) следующие.
1. Все коэффициенты функции (2.1) вещественные и
положительные.
2. Степень полинома числителя не должна превышать степень
полинома знаменателя.
3. Полином знаменателя должен быть полиномом Гурвица.
Полином Гурвица обладает следующими свойствами:
m
m

1
р
)

b
p

b
p

...

b
p

b
1. Полином Гурвица степени m (
m
m

1
1
0
может быть представлен в виде произведений полиномов первой и
второй
степени
с
вещественными
положительными
коэффициентами:
2
2
(
р
)

b
(
p

)...(
p

)(
p

p

)...(
p

p

)
.
m
1
к
11
m

k m

k
2. Ни один из коэффициентов bm, bm-1,..., b1, b0 полинома Гурвица
не равен нулю и все они положительные (точнее, все они того же
знака, что и bm).
3. При замене оператора р на jω у получившегося из полинома
Гурвица комплексного числа (комплексного полинома) аргумент






монотонно возрастает от 0 до m 

2
при изменении частоты ω от 0
до ∞.
4. Нули вещественной и мнимой частей комплексного
полинома Гурвица (при замене p на jω) являются простыми,
вещественными (расположены на частотной оси) и
чередуются, т. е. между любыми двумя нулями полинома
Re[
(pj
)]
(pj
)]
расположен нуль полинома Im[
и
наоборот.
11
3 Методы реализации пассивных двухполюсников
3.1 Реактансные функции
Сопротивление Z(p) и проводимость Y(p) реактивных
двухполюсников являются реактансными функциями.
Реактансные
функции
относятся
к
положительным
вещественным функциям, являющимися дробно-рациональными
функциями типа (2.1) и обладающими следующими свойствами.
1. Все коэффициенты вещественны и неотрицательны.
2. Наибольшие и наименьшие степени числителя и знаменателя
отличаются не больше, чем на единицу.
3. Значения функции вещественны при вещественных значениях
переменной.
4. Ни один из полюсов (нулей знаменателя) не располагается в
правой полуплоскости.
5. Полюсы, расположенные на мнимой оси, простые (некратные).
6. Вещественная часть функции (при замене оператора р на jω) –
положительна.
Реактансные функции Z(р) формируются из полиномов
Гурвица υ(р)

(
p
)

(

p
)
Z
(
p
)
k

(
p
)

(

p
) или

(p
)

(

p
)
Z
(p
)
k

(p
)

(

p
),
где k – некий положительный коэффициент.
Реактансные функции имеют особые свойства, отличающие их
от остальных положительных вещественных функций.
1. Нули и полюсы расположены только на мнимой оси.
2. Нули и полюсы чередуются, при этом, как в начале координат
(р = 0 или ω = 0), так и на бесконечности (р = ±j∞ или ω = ±∞)
реактансная функция имеет либо нуль, либо полюс.
3. Значения реактансной функции с ростом частоты на всех
интервалах растут в алгебраическом смысле.
4. Любая реактансная функция может быть представлена в виде
разложения на сумму простых дробей вида
m
A
A
0
ip
Z
(
p
)

A
p


,


2
2
pi
p
1 i

(3.1)
где m – число полюсов функции (кроме р=0 и р = ±j∞), деленное
на два, причём все коэффициенты разложения являются
вещественными числами. В этом разложении слагаемое A p
соответствует полюсу при р = ±j∞, слагаемое
12
A0
- полюсу при
p
р = 0, а слагаемые под знаком суммирования – соответствуют
парам полюсов при р = ±jωi (при их наличии).
Значения коэффициентов разложения А∞ , А0 , Аi находятся по
формулам

22
Z
(
p
)
p

i
A

lim
,
A

lim
p
Z
(
p
),
A

lim
Z
(
p
).

0
i
p


p

0
p



p
p
22
i
5. Сумма любого числа реактансных функций также реактансная
функция.
3.2 Методы Фостера реализации реактансных функций
Первая форма Фостера связана с реализацией функции
сопротивления. Сопротивление Z(p) представляется в виде (3.1).
Тогда слагаемые в (3.1) можно трактовать следующим образом:
A p - операторная индуктивность (L= А∞), полюс при р = ∞;
операторная емкость ( С 
A0
p
1
Аi p
), полюс при р = 0;
А0
i2  p2
1
операторное сопротивление параллельного контура ( Сi  А ,
i
Li 
Ai
i2 ), два чисто мнимых полюса при р = ±jωi.
Поскольку сопротивления суммируются при последовательном
соединении, то выражение (3.1) соответствует двухполюснику,
состоящему из последовательно соединенных индуктивности
L=A0, конденсатора С 
Сi 
1
А0
и m параллельных контуров с
1
A
Li  i2 (рис. 3.1.)
и
Аi
i
Рис. 3.1 Схема реактивного двухполюсника, реализующего реактансную
функцию (3.1) по первой форме Фостера
13
Если какие-либо коэффициенты в выражении (3.1) равны нулю,
значит, соответствующий элемент отсутствует (рис. 3.2).
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис. 3.2 Схемы двухполюсников, реализованных по первой форме Фостера:
А∞ = 0 (а), А0 = 0 (б), А∞ = 0 и А0 = 0 (в), все Аi = 0 (г), А0 = 0 и все Аi = 0 (д),
А∞ = 0 и все Аi = 0 (е)
Пример
3.1
Построить
реактивный
двухполюсник,
сопротивление которого задано реактансной функцией
2 62
62
6
0
,
5
(
p

10
)(
p

4

10
)(
p

8

10
)
Z
(
p
)

.
2
62
6
p
(
p

2

10
)(
p

6

10
)
Решение: Для указанной реактансной функции определяются нули
(p = ± j103, p = ± j2·103, p = ± j80,5·103, т. е. ω = 103,, ω = 2·103,
ω = 80,5·103) и полюсы (р = 0, p = ± j20,5·103, p = ± j60,5·103, p = ± j∞,
т. е. ω = 0, ω = 20,5·103, ω = 60,5·103, ω = ∞). Можно отметить,
что нули и полюсы чередуются. Также следует отметить, что
все коэффициенты в заданном выражении вещественны и
14
положительны.
Таким
образом,
данное
выражение
соответствует первым двум свойствам реактансных функций.
Несложно отметить и его соответствие другим двум
свойствам. В соответствии с количеством полюсов Z(p) имеется
четыре слагаемых
A
A
p
A
p
0
1
Z
(
p
)

A
p


1 6

.
2
6 2
p
p

2

10
p

6

10
Далее
определяются
коэффициенты
разложения,
следовательно, значения реактивных элементов.
и,
Z(p)
LA
0
,5(Гн
)
lim
p
 p
1
1

6
С 
0
,75
10
(Ф
)
А
lim
pZ(p)
0
p
0
1
C

1
A
1
1

6
1
,33
10
(Ф
)
6
p 210
lim
Z(p)
6
p2

2
10
p
2
1
0
,375
(Гн
)
 C
1
L
1
2
1

1
С

2
А
2
1

6
2
,410
(Ф
)
6
p 610
lim
Z(p
)
6
p2

6
10
p
2
1
0
,0659
(Гн
)
 C
2
L
2
2
2
Схема, соответствующая заданному выражению Z(p), имеет
следующий вид (рис. 3.3).
Рис. 3.3 Схема реализации реактивного двухполюсника к примеру 3.1
Вторая форма Фостера связана с реализацией проводимости
искомого двухполюсника. Выражение для проводимости
аналогично (3.1)
m
A
A
p
0
i
Y
(
p
)

A
p



,

2
2
1
pi
p

i

15
(3.2)
где m – число полюсов функции (кроме р = 0 и р = ±jω), деленное
на два.
Двухполюсник, чья проводимость описывается выражением
(3.2), представляет собой параллельное соединение конденсатора
( С  А ), индуктивности ( L0 
1
A
i
1
) и m последовательных
A0
A
 ,C
 i2).
контуров ( L
i
i

i
В зависимости от значений коэффициентов в (3.2) могут быть
различные варианты реализации двухполюсника (рис. 3.4).
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Рис. 3.4 Схемы двухполюсников, реализующих вторую форму Фостера,
нет нулевых коэффициентов (а), А∞ = 0 (б), А0 = 0 (в), А∞ = 0 и А0 = 0 (г), все
Аi = 0 (д), А0 = 0 и все Аi = 0 (е), А∞ = 0 и все Аi = 0 (ж)
Пример 3.2 Найти реактивный двухполюсник, проводимость
которого обратна сопротивлению Z(p) (пример 3.1).
16
2
62
6
1 2
p
(
p

2

10
)(
p

6

10
)
Y
(
p
)

.
2 62
62
6
Z
(
p
)
(
p

10
)(
p

4

10
)(
p

8

10
)
Решение. Нули и полюса функций Y(p) и Z(p) поменялись
местами. Тогда
A
A A
1
3
Y
(
p
)

2 6

.
2 6 2
2
6
p

10
p

4

10
p

8

10
Соответственно номиналы элементов
А
1

6
1

2
,1(Гн
), С
0
,476
10
(
Ф
),
1 2
6
p
10

1
lim
Y
(p
)
2
6
p


10
p
А
1
1

6
2
L

1
,875
(Гн
), С
0
,133
10
(
Ф
),
2 
2 2
2
6
A
p
4
10

2
2
lim
Y
(p
)
2
6
p


4
10
p
А
1
1

6
3
L

1
,167
(Гн
), С
0
,107
10
(
Ф
).
3 
3 2
2
6
A
p
8
10

3
3
lim
Y
(p
)
2
6
p


8
10
p
1
L
1 
A
1
2
Схема двухполюсника имеет вид (рис. 3.5).
Рис. 3.5 Схема двухполюсника к примеру 3.2
3.3 Метод Кауэра реализации реактансных функций
Метод Кауэра предполагает разложение реактансной функции
в цепную дробь. Первая форма Кауэра – это реализация функции
сопротивления с полюсом при р = j∞ , вторая - сопротивления с
полюсом при р = 0.
Метод Кауэра основан на том, что любая сравнительно
сложная дробь (числитель или знаменатель выше первого
порядка) может быть представлена в виде суммы двух более
простых реактансных функций. Так, реактансная функция вида
(3.1), имеющая полюс при р = j∞ может быть представлена
суммой
Z
(
p
)
A
p

Z
(
p
)
,
(3.3)

1
17
где А∞ > 0, а Z1(p) – некая реактансная функция, имеющая в точке
р = j∞ нуль (Z1(p) не может иметь в точке р = j∞ полюс вследствие
определения коэффициента А∞).
Выражение (3.3) можно представить как
Z
(p
)
Lp

Z
(p
)
,
(3.4)
1
где L = А∞ номинал индуктивности, последовательно соединенной
с двухполюсником, имеющим сопротивление Z1(p), образуя таким
образом двухполюсник, имеющий сопротивление Z(p) (рис. 3.6).
Рис. 3.6 Двухполюсник Z(p) как последовательное соединение
индуктивности L и двухполюсника Z1(p)
Тогда встает вопрос реализации двухполюсника, имеющего
1
(p
)
.
1
сопротивление Z1(p) или проводимость Y
Z(p
)
1
Поскольку в точке р = j∞ у функции Z1(p) не полюс, а нуль, то
функция Y1(p) в этой точке наоборот не имеет нуля, а имеет
полюс, т. е.
Y
(
p
)
A
p

Y
(
p
)
1
1

2
или
Y
(
p
)
C
p

Y
(
p
)
,
1
1
2
(3.5)
где С1 – находится как соответствующий коэффициент А∞ в
разложении Y1(p), а Y2(p) – некая реактансная функция, имеющая
не полюс, а ноль в точке р = j∞. Тогда
Z1(p) 
1
C1pY2(p)
и
Z(p) Lp
1
.
C1pY2(p)
Выражение (3.5) описывает параллельное соединение емкости
С1 и двухполюсника с проводимостью Y2(p) (рис. 3.7).
1
Реализация как сопротивление функции Z2(p)Y(p), причем
2
функция Z2(p) имеет в точке р = j∞ полюс, аналогична реализации
как сопротивление функции Z(p), но порядок Z2(p) ниже порядка
Z(p), и т. д., до тех пор пока не образуется функция первого
порядка, реализуемая как индуктивность или емкость.
18
Рис. 3.7 Двухполюсник Y1(p) как параллельное соединение емкости С1 и
двухполюсника Y2(p)
Таким образом, Z(p) последовательно раскладывается в виде
выражений типа (3.4) и (3.5)
1
Z
(p
)
Lp

1
C
p

1
1
,
L
p

2
1
C
p

3
L
p

...
4
образуя поочередно последовательно-параллельное соединение
или лестничный двухполюсник (рис. 3.8.).
Рис. 3.8 Реализация функции Z(p) в виде лестничного двухполюсника
Разложение реактансной функции в цепную дробь сводится к
последовательному делению:
- полинома числителя на полином знаменателя,
- полинома знаменателя на остаток от первого деления,
- остатка от первого деления на остаток от второго деления,
- остатка от второго деления на остаток от третьего деления и
т.д.
Вычисляемые в процессе деления частные являются
коэффициентами цепной дроби, а коэффициенты при операторе р
в них – значениями индуктивностей и емкостей соответственно.
Пример 3.3
Построить лестничный двухполюсник,,
сопротивление которого задано реактансной функцией (пример
3.1).
19
Решение. Реактансную функцию необходимо представить в
виде отношения двух полиномов:
6
6
4
12
2
18
0
,
5
p

6
,
5

10
p

22

10
p

16

10
Z
(
p
)
 5
.
6
3
12
p

8

10
p

12

10
p
Затем последовательно производится деление.
Первое деление:
6
6
4
12
2
18 5
6 3
12
0
,
5
p

6
,
5

10
p

22

10
p

16

10
p

8

10
p

12

10
p
6
64
12
2
0,5р
0
,
5
p

4

10
p

6

10
p
64
12
2
18
2
,
5

10
p

16

10
p

16

10
Второе деление:
5
63
12
p

8

10
p

12

10
p
5
63
12
p

6
,
4

10
p

6
,
4

10
p
6 3
12
1
,
6

10
p

5
,
6

10
p
64
12
2
18
2
,
5

10
p

16

10
p

16

10
6
0,410
р
Третье деление:
64
12
2
18
6 3
12
2
,
5

10
p

16

10
p

16

10
1
,
6

10
p

5
,
6

10
p
64
12
2
1,5625
р
2
,
5

10
p

8
,
75

10
p
12
2
18
7
,
25

10
p

16

10
Четвертое деление:
6 3
12
12
2
18
1
,
6

10
p

5
,
6

10
p
7
,
25

10
p

16

10
63
12

6
1
,
6

10
p

3
,
5310

10
p
0
,22069
10
р
12
2
,069
10p
Пятое деление:
122
18
7
,25
10
p
16
10
12 2
7,25
10
p
161018
12
2
,069
10
p
3,5041
р
Шестое деление:
12
2,069
10
p
12
2,069
10 p
161018

6
0
,12931
10
р
0
Цепная дробь имеет вид:
1
Z
(
p
)

0
,
5
p

1

6
0
,
4

10
p

1
1
,
56
p

1

6
0
,
221

10
р

1
3
,
5
p


6
0
,
129

10
р
20
Соответствующие ей значения элементов двухполюсника (рис.
3.9): L1=0,5 Гн, С1=0,4 мкФ, L2=1,56 Гн, С3=0,221 мкФ, L4=3,5 Гн,
С5=0,129 мкФ.
Рис. 3.9 Лестничный двухполюсник к примеру 3.3
Для использования второй формы Кауэра реактансная функция
Z(p) должна быть представлена в виде
1
A
(p
) 
Z
(p
),
Z
(p
) 0
Z
(p
) или Z
1
1
Cp
p
где C 
(3.6)
1
- номинал емкости, последовательно соединенной с
A0
двухполюсником сопротивлением Z1(p) (рис. 3.10), причем у
реактансной функции Z1(p) нет полюса при р = 0 (в этой точке
функция Z1(p) имеет нуль из определения коэффициента А0).
1
(p
)
1
Тогда при р = 0 полюс имеет проводимость Y
Z(p
). Таким
1
образом, выражение (3.6) раскладывается в цепную дробь
1
1
Z
(p
) 
Cp 1 1
,
Lp 1 
...
C
p
2
которой соответствует двухполюсник с последовательнопараллельным соединением элементов (рис. 3.10).
Рис. 3.10 Лестничный двухполюсник, реализующий вторую форму
Кауэра
21
Разложение реактансной функции в цепную дробь по второй
форме Кауэра производится аналогично разложению по первой.
3.4 Каноничность схем реактивных двухполюсников
Реактивные двухполюсники, реализованные по обоим методам
Фостера или Кауэра, являются каноническими и обладают
следующими свойствами:
1. Содержат минимально-необходимое число элементов.
2. Число реактивных элементов равно числу нулей и полюсов.
3. Значения индуктивностей при реализации схем по вторым
формам выше соответствующих значений при реализации первых
форм.
Если расположение нулей и полюсов неизвестно, то легче
реализовать
лестничный
двухполюсник.
Однако,
для
практических
задач
предпочтительнее
использование
параллельных контуров (первая форма Фостера), позволяющее
учесть паразитную емкость катушек индуктивности соответствующим уменьшением емкости параллельно подключенного
конденсатора.
22
4 Методы реализации четырехполюсников
4.1 Мостовая реализация
При расчете симметричных четырехполюсников, имеющих
чисто
активное
характеристическое
сопротивление
Z

R

const
, не зависящее от частоты, используются
c
0
характеристические параметры. Такими четырехполюсниками
являются мостовые четырехполюсники (рис. 4.1).
Рис. 4.1 Мостовой четырехполюсник

Сопротивления холостого хода Z xx и короткого замыкания

Zкз легко находятся из соответствующих схем (рис. 4.2).
а)
б)
23
Рис. 4.2 Эквивалентные схемы мостового четырехполюсника в режимах
холостого хода (а) и короткого замыкания (б)
Сопротивления холостого
соответственно равны:

хода
и
короткого

замыкания
 

Z

Z
2
Z
Z
а
б
а
б
Z

,Z

xx
кз

 ,
2
Z

Z
а
б



где Zа и Zб - сопротивления плеч мостового четырехполюсника.
В соответствии с (1.6) характеристическое сопротивление
мостового четырехполюсника



Z
c Z
aZ
б.
При подключении согласованной нагрузки её сопротивление R0



R

Z
.
CZ
aZ
б
0
Откуда
2
2


R
R
0
0
Z
и
Z

a
б

 ,
Z
Z
б
а

(4.1)

т. е. Zа и Zб - сопротивления взаимнообратных двухполюсников.
А-параметры мостового четырехполюсника связаны с
сопротивлениями плеч выражениями


 

Z

Z
2
Z
Z
a
б
a
б
А

иА

.
11
12




Z

Z
Z

Z
б
a
б
a

Передаточная функция этого четырехполюсника с учетом (4.1)
R

Z
1
0
a


.
Z

Z
Z
Z

Z
а
б 2
а
б R

0
a
А
(
p
)
12


А
(
p
)

11
Z

Z
Z

Z
б
аR
0
б
а
Z
н
H
(
p
)

Откуда
1

1

H
(
p
)
1

H
(
p
)
Z
(
p
)

R
и
Z
(
p
)

R
.
a
0
б
0
1

H
(
p
)
1

H
(
p
) (4.2)
Необходимо отметить, что передаточная функция Н(р)
реализуется с точностью до постоянного вещественного
множителя К, т. е. в (4.2) вместо Н(р) можно записывать К·Н(р).
Тогда, если Н(р) удовлетворяет условиям физической
реализуемости (см. п. 2), всегда можно подобрать значение К для
физической

реализации


Z
(р
)иZ
(р
).
а
б
По

функциям
Z
р
)иZ
р
) могут быть построены RLC-двухполюсники, на
а(
б(
базе которых строится мостовой четырехполюсник.
24
Реализация заданной передаточной функции Н(р) в виде одной
мостовой схемы оказывается весьма сложной и неэффективной,
чаще на практике используют каскадное соединение более
простых мостовых схем. С этой целью Н(р) разлагают на
произведение N-передаточных функций.
Н
(
р
)

Н
(
р
)

Н
(
р
)...
Н
(
р
),
1
2
N
каждая из которых реализуется в виде несложной мостовой схемы.
Но для всех схем характеристическое сопротивление выбирается
одинаковым, в результате получается каскадное соединение
согласованных четырехполюсников. При этом характеристическое
сопротивление всей цепи равно той же величине, кроме того,
отклонения номиналов элементов от рассчитанных значений
оказывают меньшее влияние.
Мостовая реализация обладает недостатками в том, что
получаемые схемы имеют большое число элементов и не
обладают возможностью подключения к общей шине, т. к.
мостовой четырехполюсник уравновешен, т. е. не заземлен.
Пример 4.1 Построить схему мостового четырехполюсника,
имеющего передаточную функцию
6
р

5
10
Н
(р
)
6
р

7
10
и активную нагрузку сопротивлением 103 Ом.
Решение. В соответствии с (4.2) для согласованного с
нагрузкой мостового четырехполюсника сопротивление Za равно
6
p

5
10
1

9
6
10
p

7
10
3
Z
(
p
)
10
6
a
6.
p

5
10
p

6
10
1

6
p

7
10
Соответственно проводимостьYa(p) равна

9

3
Y
(
p
)

10
p

6

10
.
a
Полученное выражение для проводимости соответствует
параллельному соединению конденсатора емкостью 1 нФ и
резистора проводимостью 6·10-3 См (сопротивлением 166 Ом).
Сопротивление Zб(р) равно
6
10

3
3
Z
(
p
)
 9 
10
р

6

10
б
10
6
p

6

10
и соответствует последовательному соединению катушки
индуктивностью 1 мГн и резистора сопротивлением 6 кОм (рис.
4.3).
25
Рис. 4.3 Мостовой четырехполюсник к примеру 4.1
4.2 Реализация на основе Т- и П-образных симметричных
схем
Недостатки мостовых схем устраняются переходом к
симметричным Т- и П-образным четырехполюсникам (рис. 4.4).
Симметричный Т-образный четырехполюсник эквивалентен
мостовому (имеет одинаковые параметры и характеристики), если
Z

Z
б
а
Z

Z
и
Z

.
1
a
2
2
(4.3)
а)
б)
Рис. 4.4 Симметричные Т- (а) и П- (б) образные четырехполюсники
Тогда после определения функций Za(р) и Zб(р) по выражениям
(4.2), функции Z1(р) и Z2(р) находятся с помощью (4.3).
Пример
4.2.
Построить
Т-образный
симметричный
четырехполюсник для передаточной функции и сопротивления
нагрузки (пример 4.1).
Решение. Двухполюсник сопротивлением Z1 соответствует
двухполюснику сопротивлением Za (пример 4.1) в силу (4.3).
Функция Z2(р) равна
26

3
3
9
10
p

12

10
p

35

10
Z
(
p
)

.
2
6
2
p

12

10
2
Ее реализация возможна любым способом,
лестничным, по первой форме Кауэра (рис. 4.5).
например,
Рис. 4.5 Симметричный Т-образный четырехполюсник к примеру 4.2
Симметричный П-образный четырехполюсник эквивалентен
мостовому, если
1
Z

Z
Y
 иY
б а.
1
2
Z
2
Z
Z
б
aб
(4.4)
После задания передаточной функции и сопротивления
нагрузки с помощью выражений (4.2) находятся сопротивления
плеч мостового, а затем с помощью (4.4) сопротивления Побразного четырехполюсника.
Пример 4.3
Построить П-образный симметричный
четырехполюсник для передаточной функции и сопротивления
нагрузки (пример 4.1).
Решение. В соответствии с (4.4) по известной функции Zб
(пример 4.1) находится функция Y1(р) или ей обратная Z1(р).
1
Z
(
p
)


Z
(
p
).
1
б
Y
(
p
)
1
Таким образом двухполюсник с проводимостью Y1(р)
идентичен двухполюснику сопротивлением Zб(р) (пример 4.1).
Проводимость продольной ветви Y2(р) из (4.4) равна

12
2

6
10
p

12

10
p

35

9

3
Y
(
p
)


0
,
5

10
p

3

10
,
2
3
3
2

10
p

12

10
что соответствует параллельному соединению конденсатора
емкостью 0,5 нФ и резистора проводимостью 3·10-3 См
(сопротивление 333 Ом) (рис. 4.6).
27
Рис. 4.6 Симметричный П-образный четырехполюсник к примеру 4.3
4.3 Лестничная реализация полиномиальных
электрических цепей
Передаточные функции Н(р) вида

1
1
H
(
p
)


, (4.5)
m
m

1
(
p
)
b
p

b
p

...

b
p

b
m
m

1
1
0
имеющие в знаменателе полином Гурвица, называются
полиномиальными, а цепи с такими передаточными функциями –
полиномиальными цепями.
Выражение (4.5) можно представить в виде
2
1

(
p
)

(

p
)
H
(
p
)

.

(
p
)


(

p
)

(
p
) 1


(
p
)

(

p
)
(4.6)
Для четырехполюсника, нагруженного на реальный генератор
напряжением Е(р) и сопротивлением Rг (рис. 4.7) и разомкнутым
выходом (режим холостого хода), передаточная функция имеет
вид
U
(
p
)U
(
p
)
Z
(
p
)
I
(
p
) Z
(
p
)
2
2
21
1
21
H
(
p
)




,
(4.7)
E
(
p
)
U
(
p
)

I
(
p
)
R
Z
(
p
)
I
(
p
)

R

I
(
p
)
Z
(
p
)

R
1 1Г
11
1 Г
1
11
Г
где U1(p) и U2(p) – операторные изображения входного и
выходного напряжений при холостом ходе, I1(p) – операторное
изображение входного тока при холостом ходе, Z11(p) и Z21(p) –
собственные Z-параметры четырехполюсника (входное и взаимное
сопротивления холостого хода).
28
Рис. 4.7 Четырехполюсник, нагруженный на реальный генератор в
режиме холостого хода
Из (4.6) и (4.7) следует, что соответствие выражений будет при

(p
)

(

p
)

(p
)

(

p
).
Z
(p
)
R

11
Г
(4.8)
.
Поскольку υ(p) – полином Гурвица, то выражение (4.8) будет
реактансной функцией, т.е. выражение (4.8) действительно может
быть реализовано как входное сопротивление четырехполюсника.
Учитывая, что числитель в (4.8) может иметь степень большую
или меньшую чем знаменатель, то при реализации Z11(p) в виде
лестничного двухполюсника по первой форме Кауэра четырехполюсник
представляет
продольные
ветви
из
индуктивностей и поперечные из конденсаторов (рис. 4.8) с
четным или нечетным числом реактивных элементов
соответственно.
а)
б)
Рис. 4.8 Возможные варианты реализации полиномиальных цепей при
большей (а) и меньшей (б) степени числителя по сравнению со степенью
знаменателя в выражении (4.8)
Если рассмотреть четырехполюсник с идеальным источником
тока I0(p) на входе, нагруженный на сопротивление Rн и током
I(p) на выходе (рис. 4.9), то его передаточная функция имеет вид
U
(
p
)
2
I
(
p
) R
Z
(
p
)

Z
(
p
)
Н
(
р
)

Н 22  21
,
U
(
p
)
I
(
p
)
R

Z
(
p
)
2
0
н
22
Z
(
p
)
21
29
где Z22(р) – выходное сопротивление четырехполюсника с
разомкнутым входом.
Рис. 4.9 Четырехполюсник, нагруженный на сопротивление, с идеальным
источником тока на входе
Тогда реактансная функция, подлежащая реализации,

(p)


(-p)
Z
(
p
)
R
22
н
.

(p)

(-p)
(4.9)
Четырёхполюсники имеют соответствующий вид (рис. 4.10).
а)
б)
Рис. 4.10 Возможные варианты реализации полиномиальных цепей при
большей (а) или меньшей (б) степени числителя по сравнению со степенью
знаменателя в выражении (4.9)
Если четырехполюсник нагружен на входе на идеальный
генератор напряжения Е(р), а на выходе – на сопротивление Rн
(рис. 4.11), то его передаточная функция имеет вид:
U
(
p
)

Y
(
p
)
H
(
p
)
 21
.
E
(
p
) 1

Y
(
p
)
22
R
н
Рис. 4.11 Четырехполюсник, нагруженный на идеальный генератор
напряжения на входе и сопротивление на выходе
30
Реализации
проводимости
подлежит
реактансная
 
 
функция
1(
p
)

(

p
)
Y
(
p
)

.
22
R
(
p
)

(

p
)
н
выходной
(4.10)
Полиномиальные цепи при этом имеют четное или нечетное
число элементов, в зависимости от того меньше или больше
степень числителя в (4.10) степени знаменателя (рис. 4.12).
а)
б)
Рис. 4.12 Варианты реализации полиномиальных цепей при большей (а) или
меньшей (б) степени числителя по сравнению со степенью знаменателя в
выражении (4.10)
При реализации выражений (4.8) – (4.10) в цепи могут
создаваться резонансные контура в продольных и поперечных
ветвях. Если в продольной ветви получился параллельный контур
(или в поперечной – последовательный (рис. 4.13), то на
резонансной частоте соответствующего контура будет иметь
всплеск затухания (ослабления), эквивалентный соответственно
разрыву или короткому замыканию цепи. В результате сигнал от
зажимов 1-1’ к зажимам 2-2’ передаваться не будет.
а)
б)
Рис. 4.13 Цепи с всплесками затухания с параллельными (а) или
последовательными (б) контурами
31
При синтезе полиномиальных цепей в целях управления
частотными характеристиками (коррекцией) цепи целесообразно
представлять в виде каскадного соединения цепей первого и
второго порядка. Для этого для известной передаточной функции
Н(р) типа (2.1) необходимо выполнить следующие действия.
1. Вынести коэффициенты при старших членах выражения (2.1) в
виде отдельной дроби
pn a'n− 1 pn− 1 . . . a '1 p a'0
H p =k m '
= k⋅ H ' p ,
p bm− 1 pm− 1 .. . b '1 p b '0
'
где H p =
a
an
H p
a 'i = i
k=
,
,
an
bm
k
bk
'
и bk = b .
m
2. Найти нули р0k и полюсы р*k функции Н´(p).
*
3. Каждые два комплексно-сопряженных нуля p0k и p0k и два
*
комплексно-сопряженных
полюса
( p*k , p*k )
использовать
соответственно для записи числителя и знаменателя передаточной
функции некоего k-го звена второго порядка.
*
2
(
p

p
)(
p

p
)
p

a
p

a
0
k
0
k
1
k
2
k
H
(
p
)


.
k
*
2
(
p

p
)(
p

p
)
p

b
p

b
*
k
*
k
1
k
2
k
4. Если нуль р0i и полюс р*i вещественны, то передаточная
функция i-го звена первого порядка имеет вид:
p

a
H
(p
) 2 1i .
i
p
b
1
i
В итоге передаточная функция всей цепи предстает в виде
H
(
p
)

k

H
(
p
)

H
(
p
)

...

H
(
p
)

...

H
(
p
)...

H
(
p
).
1
2
k
i
n
Каждое звено реализуется по мостовой или Т-образной схеме.
Для удобства для каждого звена можно взять коэффициент
передачи равный n k , где n – число звеньев. Также все звенья
имеют одинаковое характеристическое сопротивление равное
сопротивлению нагрузки последнего звена, т. е. всей цепи (рис.
4.14).
32
Рис. 4.14 Каскадно-согласованная реализация сложной цепи
5 Основные определения и классификация электрических
фильтров
5.1 Условия безыскаженной передачи сигналов
При передаче сигнала через любую электрическую цепь для его
правильного восприятия необходимо, чтобы входной сигнал x(t)
(воздействие) и выходной сигнал y(t) (реакция) имели одинаковую
форму (рис. 5.1).
Это условие математически записывается как
y(t) = k·x(t-t0),
(5.1)
где k - некий вещественный коэффициент, а t0 – время задержки
реакции.
а)
б)
в)
Рис. 5.1 Электрическая цепь (а), воздействие (б) и реакция (в) при
неискаженной передаче
33
Если подвергнуть преобразованию Лапласа выражение (5.1), то
оно будет иметь вид

pt
Y
(
p
)
kX
(
p
)
e
,
0
откуда по определению передаточная функция цепи имеет вид
Y
(
p
) 
pt
H
(
p
)


ke
.
X
(
p
)
0
При переходе к комплексной частотной функции получается


j
t,
H
(

)
ke
0
или АЧХ цепи есть величина постоянная,
A
(

)
H
(

)
k

(5.2)
а ФЧХ цепи


(

)
arg
H
(

)


t
0
(5.3)
является линейной функцией частоты (рис. 5.2).
а)
б)
Рис. 5.2 АЧХ (а) и ФЧХ (б) цепи с безыскаженной передачей
Физический смысл выражений (5.2) и (5.3) состоит в том, что
все гармоники yi(t) реакции имеют амплитуды одинаково
пропорциональные амплитудам гармоник хk(t) воздействия, и все
они имеют одинаковый сдвиг по времени:







y
(
t
)

A
cos[
t

(
)]

k

A
cos(
t

t
)

k

A
cos[
(
t

t
)]

k

x
(
t

t
).
k yk
k
xk0 xk
0 k
0
Время t0 называется временем задержки или групповым
временем задержки tзад(ω), оно связано с ФЧХ соотношением (в
общем случае зависящим от частоты)
d

(

)
tзад
(

)

.
d

Условия безыскаженной передачи (5.2) и (5.3) выполняются
только в резистивных цепях, где 0<k<1 и t0 = 0.
34
5.2 Определение фильтра
Под электрическим фильтром в широком смысле понимают
четырехполюсник,
который
преобразует
воздействия,
представляющие смесь сигнала с помехой, с целью получения
реакции с требуемой точностью.
К таким фильтрам относятся амплитудные и фазовые
корректоры, согласованные фильтры, оптимальные и адаптивные
фильтры.
Под электрическим фильтром в узком смысле понимают
частотно-избирательную или селективную цепь, которая разделяет
сигнал и помеху по частоте.
Избирательные или селективные фильтры пропускают
сигналы в заданной полосе частот, называемой полосой
пропускания, и подавляют сигналы в другой, тоже заданной
полосе частот, называемой полосой задерживания.
В зависимости от взаимного расположения полос пропускания
и задерживания различаются фильтры нижних частот (ФНЧ),
верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ) и режекторные
(РФ).
Синтез фильтра состоит в следующем.
1. Выбор типа фильтра.
2. Задание требований к характеристикам фильтра.
3. Выбор метода аппроксимации характеристик фильтра.
4. Расчет передаточной функции фильтра.
5. Построение по передаточной функции принципиальной схемы.
6. Реализация полученной схемы на выбранной элементной базе.
5.3 Фильтр низких частот
Идеальный фильтр нижних частот имеет полосу пропускания в
диапазоне частот от нуля до граничной частоты f = fгр и полосу
задерживания от граничной частоты до бесконечности (рис. 5.3).
Рис. 5.3 Нормированная АЧХ идеального ФНЧ
35
Реальный ФНЧ не может иметь идеальную АЧХ. Его АЧХ
имеет полосу пропускания от 0 до fχ, где частота fχ – называется
частотой среза полосы пропускания. Причем в полосе
пропускания задается допустимое отклонение δ1 значения АЧХ от
единицы (рис. 5.4).
Рис. 5.4 АЧХ реального ФНЧ
Полоса задерживания начинается с частоты fk , где fk –
называется граничной частотой полосы задерживания. В полосе
задерживания задается допустимое отклонение δ2 значения АЧХ
от нуля. Полосы пропускания и задерживания разделены
сравнительно узкой переходной полосой в пределах fχ < f < fk .
При использовании вместо АЧХ характеристик ослабления
(затухания) допустимые отклонения задаются в логарифмическом
масштабе:
для полосы пропускания:

20
lg(
1

)

0
,
максимальное ослабление max
(5.1)
1


20
lg(
1

)

0
,
максимальное затухание max
1
для полосы задерживания:

20
lg(

)
0
,
минимальное ослабление 
(5.2)
min
2


20
lg(

)
0
.
минимальное затухание 
min
2
Для переходной полосы требования не задаются.




5.4 Фильтр верхних частот
Идеальный фильтр верхних частот имеет полосу пропускания в
диапазоне частот от граничной частоты fгр до бесконечности и
полосу задерживания от нуля до граничной частоты (рис. 5.5).
36
Рис. 5.3 Нормированная АЧХ идеального ФВЧ
Реальный ФВЧ имеет полосу пропускания от fχ до
бесконечности, где частота fχ –частота среза полосы пропускания.
В полосе пропускания задается допустимое отклонение δ1
значения АЧХ от единицы. Полоса задерживания расположена от
нуля до fk , где fk – называется граничной частотой полосы
задерживания. В полосе задерживания задается допустимое
отклонение δ2 значения АЧХ от нуля. Полосы пропускания и
задерживания разделены сравнительно узкой переходной полосой
в пределах fk < f < fχ (рис. 5.6).
Рис. 5.6 . АЧХ реального ФВЧ
5.5 Полосовой фильтр
Идеальный полосовой фильтр частот имеет полосу
пропускания в диапазоне от f-χ до fχ, где f-χ и fχ – левая и правая
частоты среза полосы пропускания и две полосы задерживания:
одна – от нуля до частоты f-χ, другая – от частоты fχ
до
бесконечности (рис. 5.7, а).
Реальный
полосовой
фильтр
характеризуется
пятью
частотными полосами (рис. 5.7, б):
полосой пропускания в пределах от f-χ до fχ,;
двумя полосами задерживания: одна – от нуля до граничной
частоты f-k, другая – от граничной частоты fk до бесконечности;
двумя переходными полосами: одна – от f-k до f-χ,, другая – от fχ
до fk (причем переходные полосы обычно различаются по
ширине).
37
а)
б)
Рис. 5.7 Нормированные АЧХ идеального (а) и реального ПФ
Для полосы пропускания задается допустимое отклонение δ1
значения АЧХ от единицы. Для полос задерживания задается
допустимое отклонение δ2 значений АЧХ от нуля, хотя это
отклонение для полос задерживания может быть и различным.
5.6 Режекторный фильтр
Режекторный фильтр называемый также заграждающим или
полосно-заграждающим характеризуется пятью частотными
полосами (рис. 5.8):
двумя полосами пропускания: одна – от нуля до частоты среза
f-χ, другая – от частоты среза fχ до бесконечности;
полосой задерживания от одной граничной частоты f-k до
другой - fk;
двумя переходными полосами: одна от частоты f-χ до f-k, другая
– от fk до fχ. (Переходные полосы могут быть разные по ширине).
Для полосы пропускания задается максимальное отклонение δ1
значения АЧХ от единицы, для полосы задерживания задается
максимальное отклонение δ2 значения АЧХ от нуля.
38
а)
б)
Рис. 5.8 Нормированные АЧХ идеального (а) и реального (б)
режекторных фильтров
5.7 Нормирование параметров фильтра
Нормированная частота Ω получается делением угловой ω или
циклической f частоты на нормирующую частоту
 f

  .

fн
н
В качестве нормирующей частоты ωн (или fн) выступают для
ФНЧ и ФВЧ частоты среза ωχ (или fχ), для ПФ и РФ – среднее
геометрическое частот среза
H   или fH  f f .
Для ФНЧ и ФВЧ нормированная частота среза равна единице

 




1
.

Н
Нормированный оператор Лапласа Λ определяется как

P
Н .
Нормированная АЧХ рассматривалась выше (см. п. 1.2).
При нормировании импедансов в качестве нормирующей
величины выступает сопротивление нагрузки Rн:
39
Z
(
p
)
Z
(

)
ˆ
ˆ
Z
(
p
)
 или
Z
(

)
 ,
R
R
н
н
ˆ(p
ˆ(
)иZ
) - нормированные, а Z(p) и Z(Λ) –
где Z
ненормированные импедансы как функции ненормированного (p)
или нормированного (Λ) операторов.
Тогда для резистивного элемента
R
ˆ
ˆ
R
или
R

R
R
,
н
R
н
где R̂ и R - нормированное
сопротивления;
для индуктивного элемента
или
и
ненормированное
значения


jL
ˆ
ˆ
ˆ
Z
(

)

j

L

j L

L
R
Н
н

L
Н
ˆ 
ˆ  LН  L RН ,
L
L
, LL
RН
LН
Н
RН
нормированное, LН 
- нормирующее,
где L̂ 
действительное значения индуктивности;
для емкостного элемента
Н
а
L
–
1
1
1
ˆ
Z
(

)



C
ˆ jН
CR
j

C
ˆ
н
j C




Н

Cˆ
1
ˆ
ˆ
C

R
C

,
C

C

C

C
,
Н
Н
Н
C
R
Н
Н
Н
1

Н
где Ĉ - нормированное, C
НRН - нормирующее, а С –
или
действительное значения емкости.
5.8 Сведение синтеза фильтра к синтезу низкочастотного
фильтра-прототипа
Для решения задачи синтеза фильтров независимо от их
требуемых характеристик едиными, общими методами расчет всех
фильтров сводится в расчету нормированного ФНЧ-прототипа.
Для этого необходимо сделать преобразование частотной оси с
сохранением при этом значения АЧХ, например, если для АЧХ
ФВЧ заменить частоту на величину ей обратную, то получится
АЧХ ФНЧ (рис. 5.4 и 5.6).
Процедура преобразования заключается в следующем.
40
1. Преобразование частот ω, частот среза ω-χ и ωχ и граничных
частот ω-k и ωk в частоты , χ и k ненормированного ФНЧпрототипа (табл. 5.1).
Таблица 5.1
Преобразование частот фильтров в частоты ненормированного
ФНЧ-прототипа
Частоты ФНЧ – прототипа
Вид
фильтра
χ
k

ФНЧ
ω
ωχ
ωk
1
1
1
ФВЧ
ω
ωχ
ωk
Наименьшее из
 
2
2
и
 
 

ПФ


 2 
2

k
k

k

k
Наименьшее из
РФ

  
2

2 

  и

 
k
2

k
k
2
k

Примечания:
1. Для ФВЧ после преобразования начало координат (точка ω =0)
переносится в бесконечность (точка = ∞), а точка ω = ∞
переносится в начало координат.
2. Для ПФ после преобразования начало координат переносится в
середину (приближенно) полосы пропускания (точка  

 ,
а точки ω=0 и ω=∞ объединяются в точку = ∞).
3. Для РФ после преобразования начало координат объединяет
точки ω=0 и ω=∞, а точка  

 преобразуется в = ∞.
2 
2 
4. Для РФ величина
больше нуля, а


меньше нуля, но их модули равны.


5. Для ПФ величина  2  больше нуля, а  2 

 

 
меньше нуля, но их модули равны.
41
k2  k2 
6. Для РФ модули величин
и
могут
k
k
быть не равны.
k
k
7. Для ПФ модули величин 2  и  2  могут
k
 
k
 
быть не равны.
2. Расчет частоты среза полосы пропускания Ωχ и граничной
частоты полосы задерживания Ωk нормированного ФНЧ –
прототипа по частотам χ и k ненормированного ФНЧ –
прототипа
Ωχ = χ / χ = 1,
Ωk =  / χ > 1.
3. Расчет нормированного ФНЧ-прототипа при заданных
допустимых отклонениях δ1 и δ2 и получившегося значения
граничной частоты полосы задерживания  k . Расчет производится
методами аппроксимации и подбора вида передаточной функции.
4. Определение нулей р0п и полюсов р*п нормированного ФНЧ –
прототипа.
5. Пересчет нулей и полюсов ФНЧ – прототипа в нули и полюсы
синтезируемого фильтра (табл. 5.2).
Таблица 5.2
Преобразование нулей и полюсов ФНЧ – прототипа в нули и
полюсы реального фильтра
ФНЧпрототип
ФНЧ
ФВЧ
нуль, р0
полюс, р*
нуль, р0п
р0 = р0п ωχ
-
полюс, р*п
-
р* = р*п ωχ
нуль, р0п
-
р0 
полюс,
р*п
ПФ
нуль, р0п
полюс, р*п
р* 

42
р*П
-
р0
2
2
p
4

0
 p
0

0
р0 =
2
-

-
р* =
2
2
p
p

4





0
2
РФ
нуль, р0п
р0 =
полюс, р*п
р* =
Примечание.
2
2
1 14р

*
П 0
2р
*
П
1  1  4 р 02П  02
Частота
-
2 р0 П
ω0
находится
как
среднее

геометрическое частот среза ( 
0


 ).
6. Построение передаточной функции и синтез по ней
четырехполюсника в соответствии с выше рассмотренными
правилами (см. разд. 4).
Примечание. Построение схемы фильтра на основе схемы
ФНЧ - прототипа рассмотрено в гл. 7.
6 Синтез фильтров нижних частот
6.1 Фильтры Баттерворта
Функция квадрата АЧХ фильтра Баттерворта n-го порядка
имеет вид:
1
2
Н
(
) 
,
2
n
1


(6.1)
где Ω – нормированная частота.
Частотой среза является значение Ω=1, при этом АЧХ
принимает значение 1-1, равное
43
1
, для любого n (рис. 6.1).
2
Рис. 6.1 АЧХ фильтра Баттерворта
Полоса пропускания находится в пределах частот от нуля до
единицы, переходная полоса – от единицы до Ωk , полоса
задерживания от Ωk до ∞.
Фильтр Баттерворта - с максимально-плоской АЧХ вследствие
того, что первые n производных функции (6.1) равны нулю в
точках Ω = 0 и Ω = ∞.
При увеличении n переходная полоса уменьшается, т.е.
улучшается качество избирательности фильтра, которое можно
оценивать с помощью коэффициента прямоугольности Кпр.
Данный коэффициент можно оценивать по отношению полосы
пропускания к сумме полосы пропускания и переходной полосы
(рис. 6.1), называемой полосой мешания.
 



0
1

К
 


пр
(

0
)

(

) k 

k

k
(6.2)
Значение коэффициента прямоугольности, равное единице,
может быть только у идеального фильтра. У реальных фильтров,
поскольку Ωk>1, значение коэффициента прямоугольности
меньше единицы.
Достоинством фильтров Баттерворта является близость их
ФЧХ в пределах полосы пропускания к линейной функции.
Единственным параметром фильтра, по которому проводится
процедура аппроксимации является порядок n. Смысл
аппроксимации состоит в том, чтобы подобрать такое значение n,
при котором АЧХ фильтра удовлетворяет требованиям.
При замене в (6.1) нормированной частоты нормированным
оператором (см. п. 5.7) данное выражение принимает вид:
1
ˆ)
H
(p
2
n
ˆ)
1

(

jp
Минимальный порядок n находится из условия
0
.
05

min
H
(

)

10
k
2
44
(6.3)
или
0
.1

H
(

)
10
.
k
2
min
Тогда
1
0
.1


10
2
n
1


k
min
и
n
lgC
lgk ,
(6.4)
0
.1

10

1
где величина C
- определяется минимальным

0
.1

10
min
min
затуханием в полосе задерживания.
Значение n определяется как наименьшее целое число,
удовлетворяющее выражению (6.4).
Пример 6.1. Рассчитать порядки фильтров Баттерворта для
величин затухания α в полосе задерживания -60, -40 и -20 дБ и
нормированного значения частоты Ωк начала полосы
задерживания, равного двум.
Решение. В соответствии с выражением (6.4) получаются
lg C
следующие значения величин lg  :
k
для α = -60 дБ – 9,666;
для α = -40 дБ – 6,644;
для α = -20 дБ – 3,329;
в соответствии с чем порядки фильтров равны 10, 7 и 4
соответственно.
Выражение (6.3) не имеет нулей, кроме p̂ jили   
(числитель нельзя разложить на сомножители). Для разложения на
сомножители нужно найти все 2n полюсы из решения уравнения
ˆ)2n 
1

(
jp
0
,
откуда

j
j

2
n
n
2 2
ˆ
p

j

1

e
e
,
*
так
как
j

j e 2 , а
(1)  e j ,
то
формально
получившееся
выражение описывает один 2n-кратный полюс, однако, если
1
)ej(2k1), где k – любое целое число, но
представить (
целесообразно взять k от 0 до 2n-1 или от –n до n-1, что полностью
соответствует представлению чисел на комплексной плоскости и
понятию «аргумент комплексного числа», то получается
 


(
2
k

1
)
(
2
k

1
)
ˆ
p

e


sin

j
cos
. (6.5)
*
k
2
n
2
n
(
2
k

1
)
j
[

]
2
n
2
45
Нетрудно видеть, что модуль любого полюса равен 1,
ˆ*k  1.
p
Тогда полученные 2n полюсы – комплексные попарно
сопряженные числа, расположенные равномерно через угол в
на окружности единичного радиуса (рис. 6.2).

n
Рис 6.2 Расположение полюсов выражения (6.1) (для значения n=4)
Для достижения устойчивости фильтра используются только те
n полюсов, которые расположены в левой полуплоскости (имеют
отрицательную действительную часть), т.е. должно выполняться
неравенство
2
0
k
1

sin
.
2
n
Это неравенство верно при
1
2
n1
k
.
2
2
Поскольку k целое число, то нужные полюсы получаются при
0k n1.
Тогда передаточная функция образуется только данными n
полюсов
1
ˆ)n1
H
(p
ˆp
ˆ*k).
(p

k
0
46
(6.6)
Причем выражение в знаменателе образует полином Гурвица и
называется полиномом Баттерворта. Тогда (6.6) запишется как

1
1
ˆ
H
(
p
)

.
n
n

1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(
p
)
p

b
p

...

b
p

b
n
n

1
1
0
Полиномы Баттерворта младших порядков:
ˆ
ˆ

(
p
)

p

1
,
ˆ
ˆ
ˆ

(
p
)

p

1
,
414
p

1
,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ

(
p
)

p

2̂
p

2̂
p

1

(
p

1
)(
p

p

1
),
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ

(
p
)

p

2
,
613
p

3
,
414
p

2
,
613
p

1

(
p

0
,
7654
p

1
)(
p

1
,
848
p

1
).
1
2
2
3
2
2
3
4
3
2
2
2
4
Пример 6.2. Для условий примера 6.1. определить полюсы и
указать те из них, которые используются для образования
передаточной функции.
Решение. В соответствии с выражением (6.5) для n=10
полюсы имеют следующие значения:
P10(-10) = 0,156 - j0,988;
P10(-9) = 0,454 – j0,891;
P10(-8) = 0,707 – j0,707;
P10(-7) = 0,891 – j0,454;
P10(-6) = 0,988 – j0,156;
P10(-5) = 0,988 + j0,156;
P10(-4) = 0,891 + j0,454;
P10(-3) = 0,707 + j0,707;
P10(-2) = 0,454 + j0,891;
P10(-1) = 0,156 + j0,988;
P10(0) = -0,156 + j0,988;
P10(1) = -0,454 + j0,891;
P10(2) = -0,707 + j0,707;
P10(3) = -0,891 + j0,454;
P10(4) = -0,988 + j0,156;
P10(5) = -0,988 – j0,156;
P10(6) = -0,891 – j0,454;
P10(7) = -0,707 – j0,707;
P10(8) = -0,454 – j0,891;
P10(9) = -0,156 – j0,988.
В образовании передаточной функции используются последние
десять полюсов с P10(0) по P10(9).
Для n=7 полюсы имеют значения:
P7(-7) = 0,223 – j0,975;
P7(-6) = 0,623 – j0,782;
P7(-5) = 0,901 – j0,434;
P7(-4) =1;
47
P7(-3) = 0,901 + j0,434;
P7(-2) = 0,623 + j0,782;
P7(-1) = 0,223 + j0,975;
P7(0) = -0,223 + j0,975;
P7(1) = -0,623 + j0,782;
P7(2) = -0,901 + j0,434;
P7(3) = -1;
P7(4) = -0,901 – j0,434;
P7(5) = -0,623 – j0,782;
P7(6) = -0,223 – j0,975.
В образовании передаточной функции используются последние
семь полюсов с P7(0) по P7(6).
Для n=4 полюса имеют значения:
P4(-4) = 0,383 – j0,924;
P4(-3) = 0,924 – j0,383;
P4(-2) = 0,924 + j0,383;
P4(-1) = 0,383 + j0,924;
P4(0) = -0,383 + j0,924;
P4(1) =- 0,924 + j0,383;
P4(2) = -0,924 – j0,383;
P4(3) = -0,383 – j0,924;
В образовании передаточной функции используются последние
четыре полюса с Р4(0) по Р4(3).
Пример 6.3. Получить АЧХ фильтров Баттерворта порядков
1,2,3 и 4.
Решение. Из полиномов Баттерворта младших порядков и
замены    jpˆ получаются соответственно КХЧ фильтров
Баттерворта:
для n=1
для n=2
для n=3
для n=4

1
H

)
,
1(
1
j

1
H
(

)
 2
,
2
1



j
1
,
414


1
H
(

)
 2
,
3
2
1

2


j

(
2


)

1
H
(

)
4
.
4
2
2
1



3
.
414


j
2
.
613

(
1


)
Им соответствуют АЧХ:
A
(
)
1
1
,
2
1


1
A
(

)

,
2
2
2
2
(
1


)

(
1
,
414

)
48
1
A
(

)

,
3
2
2 2
2
2
(
1

2

)


(
2


)
1
A
(

)

,
4
4
2
2
2
2
(
1



3
,
414

)

[
2
,
613

(
1


)]
Фильтры Баттерворта наиболее полно соответствуют условиям
безыскаженной передачи по амплитуде и фазе, они содержат n
реактивных элементов (в продольных ветвях – индуктивности, в
поперечных – емкости), но при прочих равных условиях имеет
более высокий порядок, чем другие типы фильтров.
6.2 Фильтры Чебышёва
Фильтры Чебышёва I рода обладают равноволновой АЧХ в
полосе пропускания и монотонной в полосе задерживания (рис.
6.3). Функция квадрата АЧХ фильтра n-го порядка имеет вид
1
2
H
(

) 22 ,
1

C
(

)
N
(6.7)
где СN(Ω) – полином Чебышёва N-го порядка; ε – параметр,
управляющий частотой пульсаций (неравномерностью).
Рис. 6.3 Нормированная АЧХ фильтра Чебышёва I рода
Полином Чебышёва степени N определяется выражением
C
(
x
)
cos(
N
arccos
x
),
N
или для любого х
C
(
x
)
ch
(
N
Archx
).
N
где ch(x) – гиперболический косинус, вычисляемый по формуле
ex ex
ch
(x)
;
2
а Arch(x) – гиперболический ареа-косинус (функция, обратная
гиперболическому косинусу), вычисляемый по формуле
2
Arch
(
x
)

ln(
x

x

1
).
Тогда
49
C1(x)  x,
C
)2x2 1,
2(x
C
x
)4
x33
x,
3(
4
2
C
(x
)
8
x

8
x

1
,
4
5
3
C
(
x
)

16
x

20
x

5
x
.
5
Для вычисления полиномов высоких
использовать рекуррентную формулу
порядков
можно
C
(
x
)

2
xC
(
x
)

C
(
x
)
.
N
N

1
N

2
Коэффициент полинома Чебышёва степени N при старшей
степени аргумента равен 2N-1. Для всех значений аргумента, по
модулю не превышающих единицу, модуль полинома Чебышёва
также не превосходит единицу
Параметр ε в (6.7) определяется из максимального допустимого
затухания αmax в полосе затухания
0
,1

10

1
,
(6.8)
откуда с учетом (5.1) нетрудно получить
max
11
1
12
или
1

(
1

1)2

.
1

1
Пример 6.4
(6.9)
Определить значение параметра ε для значения
допустимого отклонения 1 в полосе пропускания, равным 1 
1
2
.
Решение: В соответствии с выражением (6.9) значение
параметра ε равно 1.
Порядок фильтра n определяется как наименьшее целое,
удовлетворяющее условию
 12 
2 

Arch
 

(6.10)
2

.
n
Arch
(k)
Пример 6.5 Определить порядки фильтров Чебышёва I рода
для условий примера 6.1. и 6.3.
Решение: В соответствии с выражением (6.10) получены
 1 2
2

Arch

2
следующие значения величин

Arch
(k )
для α= -60 дБ - 5,772;
для α= -40 дБ - 4,023;
50


:

для α= -20 дБ - 2,269;
в соответствии с чем порядки фильтров равны 6, 5 и 3
соответственно.
Полюсы функции (6.7) вычисляются по формуле
  
(
2
k

1
)
(
2
k

1
)
ˆ
p


sh
(
)

sin

jch
(
)

cos
,
(6.11)
*
k
0
0
2
n
2
n
1
Arsh
 
 
0 
n
где параметр
, а Arsh(x) – гиперболический ареа-
синус
(функция,
обратная
вычисляемый по формуле
гиперболическому
синусу),
2
Arsh
(
x
)

ln(
x
x

1
).
Полюсы фильтра лежат на эллипсе.
Алгоритм расчета фильтра Чебышёва I рода состоит в
следующем:
1. Задание требования к допустимым отклонениям δ1 и δ2 АЧХ в
полосах пропускания и задерживания.
2. Вычисление параметра ε согласно (6.8) или (6.9).
3. Определение порядка n согласно (6.10).
4. Вычисление n полюсов с отрицательной вещественной частью,
т. е. для 0k n1, согласно (6.11).
5. Формирование из полученных n полюсов передаточной
функции
1
H
(p
)
.
n

1
n

1
ˆ
2 

(p
p
)
*
k
(6.12)
k

0
Пример 6.6
Получить АЧХ фильтра Чебышёва I рода
четвертого порядка для условий примера 6.4.
Решение: Из примера 6.4 значение параметра ε равно 1. Из
выражения (6.11) для n=4 и k=0, 1, 2 и 3 получены следующие
значения полюсов:
р(0)= -0,085 + j0,964;
p(1)= -0,205 + j0,392;
p(2) = -0,205 – j0,392;
p(3) = -0,085 – j0,946.
В соответствии с (6.12)
1
H
(
p
)


4

1
2

1

(
p

0
,
085

j
0
,
964
)(
p

0
,
085

j
0
,
964
)(
p

0
,
205

j
0
,
392
)(
p

0
,
205

j
0
,
392
)
1
1

.
2
2
4
3
2
8

(
p

0
,
17
p

0
,
902
)(
p

0
,
41
p

0
,
196
)
8

(
p

0
,
58
p

1
,
168
p

0
,
403
p

0
,
177
)
После замены p = jω получается
51
1

H
(

)

.
4
2
3
8

[
0
,
177



1
,
168


j
(
0
,
403


0
,
58

)]
Откуда АЧХ

1

A
()

H
(

)


4
2
2
3
2
8
(
0
,
177



1
,
168

)

(
0
,
403


0
,
58

)
1

.
8
6
4
2
8


2


1
,
25


0
,
25


0
,
031
Аналогичный результат получается при использовании в
выражении (6.7) полинома Чебышёва для n=4
1
2
H
(

)

,
4
2
2
1

(
8


8


1
)
откуда АЧХ
1

.
8 6
4
2
1
1
8


2


1
,
25


0
,
25


0
,
031
42
2
8
(




)

2
8
8
A
(

)

H
(

)

1
Фильтры Чебышёва II рода обладают монотонной АЧХ в
полосе пропускания и равноволновой в полосе задерживания (рис.
6.4). Вид АЧХ обратен виду АЧХ фильтра Чебышёва I рода.
Фильтры Чебышёва II рода называют инверсными.
Рис. 6.4 Нормированная АЧХ фильтра Чебышёва II рода
Функция квадрата их АЧХ имеет вид
2 21
2
C
n( )
H
(

)  2 2.
1)
1

2C
n( 
2
(6.13)
В соответствии с (6.13) передаточные функции фильтров
Чебышёва II рода обладают и полюсами, и нулями.
Параметр ε2 (отвечающий за пульсации в полосе задерживания)
определяется из соотношения
2
1
,
10 
1
0
,1

min
или с учетом выражения (5.2)
52
(6.14)
2
.
(6.15)
12
Пример 6.7
Вычислить параметр ε2 для заданных
максимальных значений δ2 АЧХ в полосе задерживания 0,1; 0,01 и
0,001.
Решение:
В
соответствии
с
выражением
(6.15)
соответствующие значения параметра ε2 равны 0,101; 0,01 и
0,001.
Порядок фильтра определяется как наименьшее целое число,
удовлетворяющее неравенству
2 
2
 

1


Arch
 12 
1 
 2
n
,
Arch
(
k)
(6.16)
Пример 6.8 Для условий примера 6.5 определить порядки
фильтров Чебышёва II рода.
Решение: Затухания α, равные -60, -40
и -20 дБ,
соответствуют значениям параметра δ2 - 0,001; 0,01 и 0,1,
тогда в соответствии с примером 6.7 значения параметра ε2
равны 0,001;0,01 и 0,101. Для значений параметра 1 1
1
2
и
 

1


Arch
2 

частоты Ωk=2 значения величины
2 11  соответственно
Arch
(k )
равны 4,866; 3,117 и 1,347. Таким образом, порядки фильтров должны быть
5, 4 и 2.
Нули инверсного фильтра рассчитываются по формуле
1
p

.
0
k
(2
k
1
)

cos
2
n
(6.17)
Алгоритм расчета фильтров Чебышёва II рода следующий. В
соответствии с (6.11) рассчитываются полюсы pˆ *K 1 фильтров
Чебышёва I рода. По ним рассчитываются полюсы pˆ *k 2 фильтров
Чебышёва II рода в соответствии с выражениями
ˆ


Re
p
*
k
1
ˆ


Re
p
2
*
k
2
,
2
ˆ
ˆ




Re
p

Im
p
*
k
1
*
k
1
ˆ


Im
p
*
k
1
ˆ


Im
p
2
*
k
2
,
2
ˆ
ˆ




Re
p

Im
p
*
k
1
*
k
1
ˆ
ˆ
ˆ
p

Re(
p
)

j
Im(
p
)
*
k
2
*
k
2
8
k
2
,
(6.18)
(6.19)
(6.20)
где Re(.) и Im(.) – соответственно действительная и мнимая части
комплексного числа. Далее алгоритм расчета фильтров Чебышёва
53
II рода аналогичен алгоритму расчета фильтров Чебышёва I рода,
только вместо выражений (6.8), (6.9) и (6.10) используются (6.14),
(6.15) и (6.16), а также идет расчет нулей в соответствии с (6.17).
Передаточная функция с точностью до постоянного сомножителя
формируется из нулей и полюсов с отрицательной вещественной
частью
n
ˆp
ˆ )
(p

1
H
(p
)k
n
0k
.
ˆp
ˆ )
(p

k
1
*
k
Инверсные фильтры сложнее в реализации, однако, в полосе
пропускания они имеют АЧХ монотонную, как у фильтров
Баттерворта, но их коэффициент прямоугольности выше, а ФЧХ
часто бывает приемлемой.
Дробные фильтры Чебышёва имеют АЧХ с равноволновым
изменением в полосах пропускания и задерживания (рис. 6.5).
Рис. 6.5 Нормированная АЧХ дробного фильтра Чебышёва
Дробный фильтр подлежит реализации при заданном
расположении нулей АЧХ (т.е. всплесков затухания) в полосе
задерживания на q частотах Ω1, Ω2,… Ωi,... Ωq. Это достигается
заменой в (6.7) полинома Чебышёва Сn(Ω) на дробь Чебышёва
Pn(Ω)
2
2 2
q


(
2


1
)



i
i
P
(

)

cos
(
n

2
q
)
arccos


arccos
.

n

2 2 
i

1





i
Число наибольших и наименьших значений в полосе
пропускания равно n+1. Среди остальных фильтров дробные
фильтры обладают наибольшим затуханием в полосе пропускания,
а заданием частот Ωi можно обеспечить полное подавление помех.
6.3 Фильтры Золотарёва – Кауэра
Фильтры Золотарёва – Кауэра характеризуются равноволновой
АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Их
54
можно рассматривать как частный случай дробных фильтров
Чебышёва, когда на частоте Ωk АЧХ равна нулю. Фильтры
Золотарёва – Кауэра среди всех фильтров порядка n при заданной
неравномерности отклонения δ1 в полосе пропускания обладают
минимально возможным значением максимального отклонения
δ2(ω).
Фильтры Золотарёва – Кауэра при заданных n, δ1 и δ2 обладают
наименьшей переходной полосой и наибольшим коэффициентом
прямоугольности.
Эти
фильтры
обладают
высокой
избирательностью, но не отвечают требованиям о линейности
ФЧХ в полосе пропускания.
Функция квадрата АЧХ фильтра Золотарёва – Кауэра порядка n
определяется дробью Золотарёва:
1
2
H
(

) 2 2
,
1

U
(

,
k
)
n
1

где параметр ε определяется в соответствии с (6.8) или (6.9),
параметр k1 зависит от допустимых отклонений δ1 и δ2,
Un(ω,k1) – эллиптическая функция Якоби.
Расчет фильтров Золотарёва – Кауэра производится с помощью
табл. 6.1, где приведены коэффициенты разложения αi и βi
входного сопротивления Zвх(Λ), как функции нормированного
оператора Λ, в цепную дробь
Z
(

)



вх
1
1
.
1



1
1



2



...
2
Коэффициенты αi и βi соответствуют нормированным параметрам
ФНЧ Золотарёва – Кауэра двумя способами: первым, когда в
продольных ветвях размещаются параллельные контуры (α и β четные) (рис. 6.6. а), а в поперечных – емкости (α – нечетные), и
вторым, когда в продольных ветвях – индуктивности (α – нечетные) (рис. 6.6. б), а в поперечных – последовательные контуры (α и
β — четные).
Таблица 6.1
Коэффициенты разложения входного сопротивления фильтра
Золотарёва – Кауэра в цепную дробь при равенстве сопротивлений
генератора и нагрузки
Требования к
фильтру
αmax,
дБ
Ωk
Пор
ядок
филь
αmin, тра,
дБ
Коэффициенты разложения
α1
α2
β2
α3
n
55
α4
β4
α5
α6
β6
α7
0,044 4,14 40,7
(δ1= 5,24 47
0,1) 2,46 40,3
2,85 45,9
3
0,82 1,1 0,042 0,82
0,83 1,1 0,026 0,83
4
0,7 1,2 0,12 1,3
0,72 1,2 0,084 1,3
1,53 40,7
1,67 45,6
5
0,86 1,2
0,88 1,2
0,15
0,12
1,31 40
1,41 46
1,52 51,2
6
0,65 1,1
0,7 1,2
0,73 1,2
0,3 1,2 0,99 0,57 1,1
0,23 1,3 1,1 0,43 1,2
0,18 1,37 1,2 0,34 1,2
1,14
1,18
1,24
1,37
40,1
45,3
50,6
60,5
7
0,85
0,87
0,9
0,9
1,2
1,2
1,3
1,3
0,21
0,17
0,14
0,1
1,2 0,69 1,1 1,0 0,73 0,83 0,48
1,3 0,79 0,88 1,1 0,82 0,66 0,56
1,4 0,9 0,71 1,2 0,9 0,53 0,62
1,5 1,1 0,49 1,4 1,0 0,36 0,72
0,011 1,41 40
(δ1= 1,51 45,1
0,05) 1,64 50,6
6
0,52 1,1
0,55 1,1
0,58 1,2
0,26
0,21
0,17
1,2 0,99 0,48 1,1 0,74
1,3 1,1 0,38 1,1 0,73
1,3 1,2 0,3 1,2 0,73
1,2
1,26
1,31
1,47
7
0,67
0,7
0,71
0,74
40,5
45,9
50,1
60,6
1,2 0,17
1,2 0,14
1,3 0,12
1,3 0,086
0,8
0,8
1,8 0,92 0,43 0,65
1,6 1,0 0,33 0,71
0,9
0,9
0,9
1,2 0,78 0,87 1,1 0,75 0,7 0,35
1,3 0,89 0,69 1,1 0,84 0,55 0,42
1,3 0,47 0,59 1,2 0,9 0,46 0,47
1,4 1,1 0,39 1,3 1,0 0,3 0,56
Примечание. Значения коэффициентов разложения с точностью до четырех значащих цифр приведены в литературе [6].
а)
б)
Рис. 6.6 ФНЧ Золотарёва – Кауэра седьмого порядка, реализованный
первым (а) и вторым (б) способами
7 Анализ схем фильтра
7.1 Обратное преобразование нормированного фильтра
низких частот
После синтеза и построения нормированного ФНЧ обратное
преобразование может осуществляться через построение
требуемого фильтра на базе ФНЧ-прототипа (табл.7.1).
Таблица 7.1
Преобразование элементов ФНЧ-прототипа
56
Элементы
ФНЧпрототипа
ФНЧ


L
C
L
C

LL
RH


C
ФВЧ
L
L
1
C 
LRH
C
П
реобра
зова
нные
элем
енты
1
RH
CC
RH
ˆ
C

L
L

ПФ
LRH
L
 




C
LR

H


C
(
)R
L   H
C





C
C
(



)R
H
L
РФ
C
С
ˆR
(

L


)
H
L




L
R
H
L
ˆ
С
(

 
)
ˆ(
C




)
C

R

H



1
C

ˆR
(


L


)
H
Пример 7.1
По построенному нормированному ФНЧпрототипу (рис. 7.1) сделать преобразование и построить ФНЧ
для условий: частота среза fχ =3,4 кГц, сопротивление нагрузки
RH=200 Ом
Рис.7.1 ФНЧ-прототип к примерам 7.1-7.4
57
Решение: В соответствие с табл. 7.1 ФНЧ-прототип
преобразован в ФНЧ с параметрами L1=9,4 мГн, L2=4,7 мГн,
С=0,47 мкФ (рис. 7.2).
Рис. 7.2 Преобразованный ФНЧ к примеру 7.1
Пример 7.2
По построенному нормированному ФНЧпрототипу (рис. 7.1) сделать преобразование и построить ФВЧ
для условий: частота среза fχ=600 Гц, сопротивление нагрузки
RH=200 Ом.
Решение: В соответствии с табл. 7.1 ФНЧ-прототип
преобразован в ФВЧ с параметрами С1=1,3 мкФ, С2=2,65 мкФ,
L=26,5 мГн (рис. 7.3)
Рис. 7.3 Преобразованный ФВЧ к примеру 7.2
Пример 7.3 По построенному нормированному ФНЧпрототипу (рис. 7.1) сделать преобразование и построить ПФ
для условий: полоса пропускания от f-χ=600 Гц, до fχ=3,4 кГц,
сопротивление нагрузки RH=200 Ом.
Решение: В соответствии с табл. 7.1. ФНЧ-прототип
преобразован в ПФ с параметрами L1=11,4 мГн, С1=1,1 мкФ,
L2=5,7 мГн, С2= 2,2 мкФ, L3=21,8 мГн, С3=0,57 мкФ (рис. 7.4)
Рис. 7.4 Преобразованный ПФ к примеру 7.3
58
Пример 7.4
По построенному нормированному ФНЧпрототипу (рис. 7.1) сделать преобразование и построить РФ
для условий: полосы пропускания – от 0 до f-χ = 3,4 кГц и от
fχ=4 кГц до бесконечности, сопротивление нагрузки RH=200 Ом.
Решение: В соответствии с табл. 7.1. ФНЧ-прототип
преобразован в РФ с параметрами: L1=1,4 мГн, С1=1,3 мкФ,
L2=0,7 мГн, С2=2,6 мкФ, L3=26 мГн, С3=0,07 мкФ (рис. 7.5).
Рис. 7.5 Преобразованный РФ к примеру 7.4
7.2 Определение типа избирательности фильтра
После построения фильтра практической важной задачей
является качественный анализ схемы фильтра. В результате
анализа определяется тип избирательности, качественно

А
(
)Н
(
)
отображается АЧХ
и ослабление α(ω)=20lgA(ω),
записывается передаточная функция.
Тип избирательности можно оценить по величине ослабления
(затухания) на частотах ω = 0 и ω = ∞ (табл. 7.2).
Таблица 7.2
Тип избирательности фильтра
Частота, ω
Значения ослабления, α(ω)
0
0
0
-∞
-∞
∞
-∞
0
-∞
0
Тип фильтра
ФНЧ
РФ
ПФ
ФВЧ
Для оценки ослабления на частотах ω = 0 и ω = ∞ необходимо
использовать свойства реактивных элементов: на частоте ω = 0
индуктивность представляет короткозамкнутое соединение, а
емкость - разрыв; на частоте ω = ∞ - наоборот, индуктивность
59
представляет собой разрыв, а емкость – короткозамкнутое
соединение.
Пример 7.5 Определить тип избирательности фильтра (рис.
7.6).
Рис. 7.6 Анализируемый фильтр к примеру 7.5
Решение: На частоте ω = 0 данная схема преобразуется
одним образом (рис. 7.7, а.), а на частоте ω = ∞ - другим (рис.
7.7, б)
а)
б)
Рис. 7.7 Эквивалентные схемы анализируемого фильтра к примеру 7.5
на частотах ω = 0 (а) и ω = ∞ (б)
Исходя из получившихся эквивалентных схем ослабление на
частоте ω = 0 нулевое, а на частоте ω = ∞ - бесконечно велико,
следовательно анализируемая схема есть ФНЧ.
Пример 7.6. Определить тип избирательности фильтра (рис.
7.8.)
Рис. 7.8 Анализируемый фильтр к примерам 7.6 и 7.7
60
Решение: Данная схема на частотах ω = 0 и ω = ∞
преобразуется одинаковым образом (рис. 7.9).
Рис. 7.9. Эквивалентная схема анализируемого фильтра к примеру 7.6
на частотах ω = 0 и ω = ∞
Исходя из эквивалентной схемы ослабление на частотах ω = 0
и ω = ∞ бесконечно велико, следовательно, анализируемая схема
должна быть ПФ.
7.3 Качественное построение амплитудно-частотной
характеристики и характеристики затухания фильтра
Для фильтра (рис. 7.6.) значения АЧХ на частотах ω = 0 и ω = ∞
соответственно равны А(0) = 1 и А(∞) = 0 или соответственно
характеристики затухания α(0) = 0 и α(∞) = ∞. Имеет всплеск
затухания на частоте ω = ∞. Такая характеристика затухания
присуща ФНЧ Баттерворта и Чебышёва. Порядок фильтра
определен числом реактивных элементов (в данном случае пятью).
Анализ схемы (рис. 7.8) более сложен. В продольных ветвях
содержится два контура: параллельный L3 C4 (с резонансной
частотой 0

1
L
3C
4
) и последовательный L5 C7 (с резонансной
частотой 0

1
L
5C
7
). В поперечных ветвях – три контура: два
1
2
последовательных L2 C1 (с резонансной частотой 0
3
C6 ( с резонансной частотой 0
4
резонансной частотой 0
5


1
)
L
4C
6

1
)
L2C
1
и L4
и параллельный L6 C8 (с
1
).
L
6C
8
На
резонансной
частоте
сопротивление
идеального
параллельного контура бесконечно велико (реального контура максимально) и ток через контур не протекает (минимален).
Сопротивление идеального последовательного контура равно
61
нулю (реального - минимально) и напряжение на нем равно нулю
(минимально). Таким образом, на частотах ω01, ω03 и ω04 АЧХ
контура принимает нулевое (минимальное) значение, т. е.
затухание на этих частотах бесконечно велико (максимально),
имеют место всплески затухания дополнительно к всплескам на
частотах ω = 0 и ω = ∞. А на частотах ω02 и ω05 АЧХ может
принимать максимальное значение, т. е. затухание - нулевое
(бесконечно малое). Тогда сам фильтр представляет собой или
дробный Чебышёва или Золотарёва-Кауэра.
Для оценки качества избирательности фильтра можно
использовать коэффициент прямоугольности (6.2), однако чаще
качество избирательности фильтров оценивают с помощью
асимптотической крутизны характеристики затухания, т. е.
определение скорости затухания на неком интервале частот.
1
Интервалом частот ω1 и ω0 называется их отношение  . Если это
0
отношение равно двум, то интервал называется октавой, если –
десяти, то – декадой. Любой интервал можно измерить в октавах
по формуле




1
1
N

log

3
,
321

lg
ок
2
, (октав),
0
0
или в декадах
1
0 , (декад).
Таким образом, одна декада составляет 3,32 октав, а одна
октава – 0,301 декады.
Для фильтра Баттерворта (рис.6.1.), АЧХ которого
определяется соотношением (6.1.), для Ω>>1 можно считать
затухание приближенно равным
α ≈ lgkΩ, (Hn).
Тогда удвоению частот (увеличению интервала на 1 октаву)
соответствует приращение затухания на 0,7 Hn или 6 дБ, т.е.
асимптотическая крутизна затухания составляет 0,7 Hn (3 дБ) на
октаву или 20 дБ на декаду.
Для более сложных фильтров, имеющих k кратных нулей (см.
ниже) при Ω→∞ и Ω→0, величина асимптотической крутизны
затухание в k раз выше, т. е. 3k дБ на октаву или 20k дБ на декаду.
Nдекlg
7.4 Определение вида передаточной функции
62
Если передаточная функция ФНЧ описывается выражением
(4.5), порядок фильтра определяется степенью соответствующего
полинома Гурвица.
Передаточная функция ПФ в общем виде записывается
к
2
2
в
р
(
р



i)
W
(
p
)
1
H
(
p
)
 i
n ,
V
(
p
)
V
(
p
)
m
m
q
(7.1)
где k – кратность нуля передаточной функции при р = 0, b – некий
вещественный сомножитель, q – общее количество параллельных
контуров в продольных и последовательных контуров в
поперечных ветвях фильтра, ωi – частоты затухания, Wn(p) и Wm(p)
- полиномы.
АЧХ ПФ при ω = ∞ имеет нуль, т.е. передаточная функция при
р = ∞ также имеет нуль, кратность которого r может быть больше,
чем единица.
Значение кратности k нуля при р = 0 и значения q позволяет
записать полином Wn(р) в (7.1), степень n которого равна
n = k + 2q.
Значение кратности r нуля при р = ∞ позволяет определить
степень m полинома Vm(p) в (7.1)
m=n+r
Для нахождения кратности k нуля при р = 0 необходимо
каждый элемент индуктивности продольной ветви заменить
короткозамкнутым соединением, а каждый элемент емкости в
поперечных ветвях заменить разрывом цепи, общее количество
реактивных ветвей (как продольных, так и поперечных) после
этих преобразований есть кратность k нуля при р = 0.
Пример 7.7. Определить кратность k нуля фильтра (рис.7.8.)
при р = 0.
Решение. После замены индуктивностей в продольных ветвях
на коротко замкнутое соединение, а емкостей в поперечных
ветвях на разрывы схема приобретает вид (рис. 7.10).
а)
б)
Рис. 7.10 Преобразованная схема фильтра для определения кратности k
нуля передаточной функции при р=0: после преобразования (а) и замены
последовательно соединенных емкостей одной (б)
63
В получившейся схеме две реактивные ветви: продольная с
емкостью С37 и поперечная с индуктивностью L6, следовательно
кратность k нуля передаточной функции при р=0 равна двум.
Пример 7.8 Определить степень полинома числителя Wn(р)
передаточной функции ПФ (рис. 7.8).
Решение. Количество параллельных контуров в продольных
ветвях схемы равно одному, количество последовательных
контуров в поперечных ветвях равно двум, следовательно, q=3.
Так как, кратность k нуля передаточной функции при р=0 равна
двум (см. пример 7.7), то степень n полинома Wn(р)
n = k + 2q = 8
Сам полином имеет вид

где,
22 2 2 2 2 2
W
(
p
)

вp
(
p

)(
p

)(
p

),
8
01
03
04
1
1
1
,
.
04
соответственно, 01 L3C4 , 03 L2C
L
1
4C
6
Для нахождения кратности r нуля передаточной функции при
р = ∞ необходимо каждый элемент емкости продольной ветви
заменить короткозамкнутым соединением, а каждый элемент
индуктивности поперечных ветвей заменить разрывом, в качестве
величины
r взять общее количество реактивных ветвей
(последовательных
и
поперечных),
оставшихся
после
преобразований.
Пример 7.9 Определить кратность r нуля передаточной
функции фильтра (рис. 7.8) при р = ∞.
Решение: После замены емкостей в продольных ветвях на
короткозамкнутое соединение, а индуктивностей в поперечных
ветвях на разрывы схема приобретает вид (рис. 7.11).
а)
б)
Рис. 7.11 Преобразованная схема фильтра для определения кратности
нуля передаточной функции при р = ∞: после преобразования (а) и замены
параллельно соединенных емкостей одной (б)
В получившейся схеме четыре реактивные ветви: две
продольные с индуктивностями L1 и L5 и две поперечные с
емкостями С25 и С8, следовательно, кратность r нуля
передаточной функции при р = ∞ равна четырем.
64
Пример 7.10. Определить степень полинома Vm(р) знаменателя
передаточной функции ПФ (рис. 7.8)
Решение. Степень n полинома числителя равна восьми (см.
пример 7.8), кратность r нуля передаточной функции при р=∞
равна четырем (см. пример 7.9), следовательно, степень m
mолинома Vm(р) знаменателя равна
m = r + n = 4 + 8 =12
Пример. 7.11. Определить асимптотическую крутизну
характеристики ПФ (рис. 7.8).
Решение. Кратности k и r нулей передаточной функции ПФ
(рис. 7.8) равны соответственно двум и четырем (см. примеры
7.7 и 7.9), следовательно, асимптотическая крутизна
характеристики затухания при Ω→0 составляет 0,7·k=14
Нп/окт или 6·r=24 дБ/окт.
7.5 Влияние потерь на характеристики фильтра
Все предыдущие рассуждения базировались на том, что
реактивные элементы идеальны, т. е. не имеют потерь. В
реальности катушка индуктивности имеет сопротивление потерь,
а конденсатор – проводимость потерь (рис. 7.12). Наличие потерь
в реактивных элементах ведет к искажению АЧХ (рис. 7.13).
а)
б)
Рис. 7.12 Схемы замещения реальных катушки индуктивности (а) и
конденсатора (б)
65
Рис. 7.13 АЧХ фильтра на идеальных (а) и реальных (б) реактивных
элементах
Операторное сопротивление реальной индуктивности можно
представить в виде
R
Z

pL

R

(
р П
)
L
,
L
П
L
а операторную проводимость реальной емкости
G
Y
p
с

G

(
р П
)
С
.
с
П
С
Величины
L
RП
и
с
называются
GП
добротностями
индуктивности и конденсатора соответственно.
Если в схеме добротности всех катушек индуктивности и
конденсаторов равны, то потери, вносимые сопротивлениями и
проводимостями
реактивных
элементов,
называются
однородными потерями.
Для случая однородных потерь операторные сопротивление
каждой катушки и проводимость каждого конденсатора имеют
вид
ZL (р)L
,
Y
)С
,
с (р
R G
i
Пi
где L  C (i- индекс для конкретного элемента)
i
i
Тогда функции, описывающие реальный фильтр, в случае
однородных потерь, будут преобразованы: передаточная функция
– как Н(р+δ), комплексная частотная характеристика – как


Н

(j



),
Н(jω+δ), амплитудно-частотная характеристика- А



arg
Н
(
j



)
.
фазочастотная характеристика - 

66
Однородные потери всегда приводят к смещению всех полюсов
и нулей передаточной функции влево на величину δ.
Существует
метод
компенсации
однородных
помех,
предложенный Дарлингтоном. Он состоит в том, чтобы в
передаточной функции Н(р), полученной при аппроксимации,
заменить оператор р на р-δ. Тогда нули и полюсы вновь
полученной функции сместятся вправо, а однородные потери
вновь сместят их на прежнее место. Но такой метод допустим,
если не нарушаются условие физической реализуемости, т. е. ни
один из полюсов функции Н(р-δ) не должен попасть в правую рполуплоскость или на мнимую ось. Заданные передаточные
функции могут быть реализованы на элементах с высокой
добротностью.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
8 Лабораторная работа
«Синтез и анализ нормированных фильтров Баттерворта и
Чебышёва низких частот»
8.1 Цель работы
Сравнение фильтров Баттерворта и Чебышёва I рода.
67
8.2 Домашнее задание студенту
8.2.1
Получить у преподавателя значения параметров
фильтра: максимально допустимого отклонения δ1 в полосе
пропускания и δ2 в полосе задерживания, граничной частоты Ωk
полосы задерживания, способ подключения фильтра.
8.2.2 Используя выражение (6.4) получить значение порядка
фильтра Баттерворта.
Пример 8.1 Найти порядок фильтра Баттерворта для
условий примера 6.1 в среде Mathcad (или SmathStudio).
Решение:
2    10
0.05
C   
2    1
n   k 
2
2  
2
log C   
log  k
n( 60 2)  9.966
n( 40 2)  6.644
n( 20 2)  3.329
8.1.3
Используя выражение (6.5) определить полюсы
передаточной функции фильтра Баттерворта.
Пример 8.2 Найти полюсы передаточной функции фильтра
Баттерворта для условий примера 6.2 в среде Mathcad (или
SmathStudio).
Решение:
n1  10
n2  7


n3  4
p10( k)  sin ( 2 k  1) 
j  1
  j cos ( 2 k  1)   



2 n1
2 n1


p10( 10)  0.156  0.988i
p10( 3)  0.707  0.707i
p10( 4)  0.988  0.156i
p10( 8)  0.707  0.707i p10( 1)  0.156  0.988i p10( 6)  0.891  0.454i
p10( 9)  0.454  0.891i
p10( 2)  0.454  0.891i
p10( 7)  0.891  0.454i p10( 0)  0.156  0.988i
p10( 5)  0.988  0.156i
p10( 7)  0.707  0.707i p10( 6)  0.988  0.156i p10( 1)  0.454  0.891i
p10( 8)  0.454  0.891i p10( 5)  0.988  0.156i
p10( 2)  0.707  0.707i p10( 9)  0.156  0.988i
p10( 4)  0.891  0.454i p10( 3)  0.891  0.454i


p7( k)  sin ( 2 k  1) 

  j cos ( 2 k  1)   



2 n2

2 n2
p7( 7)  0.223  0.975i
p7( 2)  0.623  0.782i
p7( 3)  1
p7( 6)  0.623  0.782i
p7( 1)  0.223  0.975i
p7( 4)  0.901  0.434i
p7( 5)  0.901  0.434i
p7( 0)  0.223  0.975i
p7( 5)  0.623  0.782i
p7( 4)  1
68
p7( 1)  0.623  0.782i
 
  1)     j cos
p7
p7( 2) k0.901
p4( 
k)3)0.901
sin ( 2 k0.434i
1)   0.434i

2

n3
2

n3 0.383i
4)  0.924
0.383
p4( 2
3
0.383i
0.383
0.924i
  0.924i

p4(10)1)0.924
p7( 6)  0.223  0.975i
2)  0.383
0.924  0.924i
0.383i
p4( 3
8.1.4 По полученным полюсам в соответствии с выражением
(6.6) получить передаточную функцию и АЧХ фильтра
Баттерворта (см. пример 6.3).
8.1.5 Построить АЧХ фильтра Баттерворта.
Пример 8.3 Построить АЧХ фильтров Баттерворта для
условий примера 6.3 среде Mathcad (или SmathStudio).
Решение:
H1  
H2  
1
2
1 
H3  
1
1  222  2  32
1
1  22  1.4142
H4  
1
1  4  3.41422  2.613  2.61332
Рис. 8.1 АЧХ фильтров Баттерворта для условий примера 6.3
8.2.6 С помощью выражений (4.8), (4.9) и (4.10) в зависимости
от способа подключения фильтра получить выражение для
входного сопротивления или выходных сопротивления или
проводимости фильтра.
8.2.7
Используя тот или иной метод реализации
двухполюсников (см. раздел 3) получить структуру фильтра
Баттерворта и значения его элементов.
8.2.8 Используя выражение (6.8) или (6.9) получить значение
параметра ε фильтра Чебышёва I рода.
Пример 8.4 Найти значения параметра ε фильтра Чебышёва I
рода для условий примера 6.4 в среде Mathcad (или SmathStudio).
Решение:
69
1
1  1 
 
2
1   1  1
2
1  1
 1
8.2.9 По выражению (6.10) определить порядка фильтра
Чебышёва I рода.
Пример 8.5 Найти порядок фильтра Чебышёва I рода для
условий примера 6.5 в среде Mathcad (или SmathStudio).
Решение:

Arch ( x)  ln x 
2

  1
x 1
0.05 
2    10
n     k  
 1  2   2 
  2   
Arch 
Arch   k 
n( 20 2)  2.269
n( 60 2)  5.772
8.2.10 Используя выражение (6.11)
определить
полюсы
передаточной
функции фильтра Чебышёва I рода.
Пример 8.5. Найти полюсы передаточной функции фильтра
Чебышёва I рода для условий примера 6.6. в среде Mathcad (или
SmathStudio).
Решение:
n( 40 2)  4.023
n  4
j 
x
sh ( x) 
e e
x
Arsh ( x)  ln x 
Arsh
 
x
ch ( x) 
2

  1
1
2

e e
x
2
x 1
1
 

n
 
 


p ( k)  sh     sin ( 2 k  1) 
  j ch     cos ( 2 k  1)  
2

n
2
 n



p ( 0)  0.085  0.946i
p ( 1)  0.205  0.392i
p ( 2)  0.205  0.392i
p ( 3)  0.085  0.946i
8.2.11 По полученным полюсам в соответствии с выражением
(6.12) получить передаточную функцию и АЧХ фильтра
Чебышёва I рода (см. пример 6.6).
8.2.12 Построить АЧХ фильтра Чебышёва I рода.
Пример 8.6 Построить АЧХ фильтра Чебышёва I рода для
условий примера 6.6 в среде Mаthcad (или SmathStudio).
70
Решение:
  1
j 
1
[ p  ( 0.205  0.392i) ]  [ p  ( 0.205  0.392i) ]
p
[ p  ( 0.085  0.946i) ]  [ p  ( 0.085  0.946i) ]
p
H( p ) 
1

4
3
2
 0.41 p  0.196
2
 0.17 p  0.902
2 4
2 2
3
p p 0.41
 p  0.196
 p  0.17
 p  0.902
 0.58p
 1.168p
 0.403p
 0.177



2
8 p  0.58p  1.168p  0.403p  0.177
H1  
1

4
2
3
8  0.177    1.168  0.403 j  0.58 j

1
A ( ) 
8
0.177  4  1.16822  0.403  0.5832
1
A(  )
0.5
0
0
1
2
3
4

Рис. 8.2 АЧХ фильтра Чебышёва для условий примера 8.6
8.3 Исследование фильтров методом математического
моделирования
8.3.1
Исследование фильтров производится методом
математического моделирования на ПЭВМ. Независимо от
структуры, названия и назначения фильтра данное исследование
выполняется по единому алгоритму и начинается с вызова
(обращения, «загрузки») программы (среды) “Electronics
Workbench”, имеющей обозначение “EWB” или «Анализатор
схем». Данная программа реализована в среде «Windows» и имеет
общие с ней принципы пользования.
8.3.2 После вызова программы EWB на экране появляется
рабочее поле (рис. 8.3.). Окно программы EWB содержит меню,
линейку контрольно-измерительных приборов и линейку
библиотек компонентов.
8.3.3 Используя группы библиотек элементов Basic (рис. 8.4),
Sources (рис. 8.5) и Indicators (рис 8.6) вывести на рабочее поле
71

необходимые элементы. Обращения к той или иной группе
библиотек производится стандартным образом подвод курсора к
соответствующей иконке группы двойной щелчок, после чего
группа раскрывается, затем подвод курсора к нужному элементу,
нажатие левой клавиши манипулятора («мыши») и удерживаем
клавиши вывод элемента на рабочее поле.
Рис. 8.3. Рабочее поле программы Electronics Workbench
Рис. 8.4 – Поле программы EWB с открытой группой Basic
72
Рис. 8.5 – Поле программы EWB с открытой группой Sources
Рис. 8.6 – Поле программы EWB с открытой группой Indicators
73
В группе Basic необходимые элементы для эксперимента:
•
- точка соединения проводников;
- резистор (указано сопротивление 1 кОм);
- конденсатор (указана емкость 1 мкф);
- катушка (указана индуктивность 1 млГн).
В группе Indicators используется:
- вольтметр.
В группе Sources используются:
- заземление;
- батарея (указано напряжение 12 В);
- источник переменного синусоидального
напряжения (указаны действующее значение
напряжения 120 В, частота 60 Гц, фаза 0о);
- источник переменного синусоидального
тока (указаны действующее значение тока 1А,
частота 1 Гц, фаза 0о).
8.3.4 Элементы выводятся в необходимом количестве.
Соединение двух элементов между собой производится
нахождением курсором соединения у вывода элемента, нажатием
и удержанием его левой клавишей манипулятора, подводом
курсора (с линией соединения) к соединяющему выводу другого
элемента. Соединение трех и четырех элементов в один узел
производится через точку соединения, у которой четыре
соединяющих выводов (у других элементов по два). При
соединении в узел большого числа элементов необходимо
использовать две и более точек соединения. При простом
наложении одного элемента на другой они не соединяются.
8.3.5 После подвода курсора к элементу нажатием левой
клавиши устанавливается выбор стандартных операций удаления,
выставки, копирования; нажатием правой клавиши выводятся
операции поворота (вращения) элемента и задания его
характеристик.
8.3.6 После соединения всех элементов и установки, включая
режимы работы генератора и вольтметра, производится
моделирование работы схемы включением и выключением
74
переключателя в правом верхнем углу рабочего окна.
(Предупреждение: Выключать обязательно).
8.3.7 Произвести измерение АЧХ каждого из исследуемых
фильтров путем изменения частоты генератора, измерения
выходного напряжения и определения отношения амплитуд
входного и выходного напряжений. Измерения производить в
диапазоне частот от нуля до 2Ωk.
8.3.8 Отобразить графически измеренную АЧХ каждого
фильтра в сравнении с АЧХ, полученной расчетным путем (п.п.
8.2.11 и 8.2.12).
8.3.9 Сравнить АЧХ и структуру фильтров Баттерворта и
Чебышёва I ряда.
8.4 Контрольные вопросы
8.4.1 Определение фильтра Баттерворта.
8.4.2 Параметры фильтра Баттерворта.
8.4.3 Алгоритмы определения порядка фильтра Баттерворта и его
полюсов.
8.4.4
алгоритм получения передаточной функции фильтра
Баттерворта.
8.4.5 Вид АЧХ фильтра Баттерворта.
8.4.6 Определение фильтра Чебышёва I рода.
8.4.7 Параметры фильтра Чебышёва I рода.
8.4.8 Алгоритмы определения порядка фильтра Чебышёва I и его
полюсов.
8.4.9
Алгоритм получения передаточной функции фильтра
Чебышёва I рода.
8.4.10 Вид АЧХ фильтра Чебышёва I рода.
8.4.11 Алгоритм получения АЧХ из передаточной функции.
8.4.12
Алгоритм получения выражения для входного
сопротивления или проводимости четырехполюсника из
передаточной функции.
8.4.13
Алгоритмы реализации пассивных двухполюсников:
методы Фостера, метод Кауэра.
8.4.14 Порядок применения измерительных приборов.
8.4.15 Особенности АЧХ фильтров Чебышёва II рода.
8.4.16 Особенности АЧХ дробных фильтров Чебышёва.
8.4.17 Алгоритм получения передаточной функции фильтра
Чебышёва II рода.
8.4.18 Алгоритм получения передаточной функции дробного
фильтра Чебышёва.
75
8.4.19 Алгоритм получения передаточной функции фильтра
Золотарёва – Кауэра.
8.4.20 Сравнение характеристик фильтров.
8.5 Требования к отчету
Отчет должен содержать:
- название, фамилию исполнителя;
- цель работы;
- результаты расчета фильтров с изложением расчетных
выражений, их пояснений, схем и графиков;
- схемы проведения экспериментов;
- результаты экспериментов (исследования фильтра);
 выводы по работе.

76
9 Лабораторная работа «Синтез и анализ электрических
фильтров различного назначения
9.1 Цель работы
Исследование АЧХ электрических фильтров.
9.2 Домашнее задание студенту
9.2.1 Получить у преподавателя задание на исследование
фильтра: тип (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ), частота(ы) f (f-) среза,
граничная(ые) частота(ы) fк (f-к) полосы задерживания,
допустимое отклонение δ1 значение АЧХ в полосе пропускания,
допустимое отклонение δ2 АЧХ в полосе задерживания.
9.2.2 Выполнить преобразование частот для синтеза ФНЧпрототипа (таблица 5.1).
9.2.3 Выполнить синтез ФНЧ-прототипа (раздел 6 или п. 8.2).
9.2.4 Сделать преобразование элементов ФНЧ-прототипа в
элементы синтезируемого фильтра в соответствии с таблицей 7.1.
9.2.5 Изобразить схему синтезированного фильтра.
9.2.6 Проверить тип избирательности фильтра (п. 7.2).
9.2.7 Исходя из схемы фильтра получить выражение для его
АЧХ и построить ее.
9.2.8 Представить материалы преподавателю для проверки.
9.3 Исследование фильтра методом математического
моделирования
9.3.1 Построить АЧХ фильтра в среде Mafhcad (п. 8.2).
9.3.2 Определить не менее десяти точек на частотной оси,
обязательно включая точку максимума, и точки, на которых
значение АЧХ составляет не более 10 % от максимума.
Пример 9.1 Найти положение максимума АЧХ фильтра на
частотной оси в среде Mafhcad (или SmathStudio), если АЧХ
задано функцией
77


А

1
2



1

L

2
1



С



1
1
1






1
,
512
1

L

С




2
1 С

2 L

R
1
2






где L1 =8 мГн, С1=32 мФ, L 2 =0,16 мГн, С2=1,6 мкФ, R=100 Ом.
Решение:
3
9
L1  8 10
3
C1  32 10
R  100
L2  0.16 10
X( f )    ( f )  L1 

6
C2  1.6 10


1
 ( f )  C1 
( f )  2  f
Y( f ) 
 ( f )   C2  1 

 X( f )
 ( f ) bL2

( f) 
R
a( f )  1  X( f )  Y( f )
1
H( f ) 
2
1.512 a( f )  b ( f )
y ( f ) 
2
d
H( f )
df
 9947.1839432434584856  i 
 9947.1839432434584856  i 


 9947.1839432434584856 
 9947.1839432434584856 
0 solve  f  

 10574.955586524843723 
 9356.6793345972248046 
 9356.6793345972248046 


 10574.955586524843723 
y(f)
f1  9356.6793345972248046
f2  9947.1839432434584856
f3  10574.955586524843723
H( f1)  1
H( f2)  0.661
H( f3)  1
Пример 9.2 Для фильтра, АЧХ которого задано в примере 9.1,
найти в среде Mafhcad (или SmathStudio) точки на частотной оси,
в которых АЧХ равно 0,1 от максимума.
Решение:
3
L1  8 10
9
C1  32 10
3
L2  0.16 10
R  100
( f )  2  f
X( f )    ( f )  L1 



 ( f )  C1 
1
Y( f ) 
 ( f )   C2  1 


 ( f )  L2
 78
6
C2  1.6 10
a( f )  1  X( f )  Y( f )
H( f )
X( f )
b ( f ) 
1
H( f ) 
R
2
1.512 a( f )  b ( f )
2
12032.225976416012051


 9801.1164033617382626  1698.4067971113233504  i 


 9801.1164033617382626  1698.4067971113233504  i 


8223.4549612567402434
0.1 solve  f  

8223.4549612567402434


 9801.1164033617382626  1698.4067971113233504  i 
 9801.1164033617382626  1698.4067971113233504  i 


12032.225976416012051


fk  12032.225976416012051
f_k  8223.4549612567402434
Пример 9.3 Для условий примеров 9.1 и 9.2 выбрать десять
точек для измерения АЧХ в среде Mafhcad (или SmathStudio).
Решение:
3
L1  8 10
R  100
( f )  2  f
9
3
C1  32 10
X( f )    ( f )  L1 

6
L2  0.16 10


 ( f )  C1 
1
b ( f ) 
C2  1.6 10
Y( f ) 
 ( f )   C2  1 


 ( f )  L2

X( f )
R
a( f )  1  X( f )  Y( f )
1
H( f ) 
2
1.512 a( f )  b ( f )
f_k  8223.4549612567402434
fk  12032.225976416012051
f
f 
f  400
f  820010
 8600 12200
f1  9356.6793345972248046
f2  9947.1839432434584856
f3  10574.955586524843723
fH  8200
f  fK  fH
f 
2
fK  12200
3
f  4  10
H( f ) 
8.2·10 3
0.097
8.6·10 3
0.185
9·10 3
0.465
9.4·10 3
0.987
9.8·10 3
0.684
1.02·10 4
0.727
1.06·10 4
0.996
79 4
1.1·10
0.459
1.14·10 4
0.216
1.18·10 4
0.128
1.22·10 4
0.086
9.3.3
Выполнить п.п. 8.3.2-8.3.9 для исследования
синтезированного фильтра измерения АЧХ производить на
частотах, полученных в п. 9.3.2.
9.3.4
Рассчитать коэффициент прямоугольности каждого
фильтра.
Пример 9.4 Для фильтра, АЧХ которого задана в примере 9.1,
определить в среде Mafhcad (или SmathStudio) коэффициент
прямоугольности, если параметр δ1=0,34, а параметр δ2=0,1.
Решение:
3
9
L1  8 10
R  100
( f)  2 f
3
C1  32 10
1  0.34
a( f)  1  X( f)  Y( f)
b ( f) 
C2  1.6 10
2  0.1
X( f)    ( f)  L1 

6
L2  0.16 10


 ( f)  C1 
1
X( f)
Y( f) 
H( f) 
R
 ( f)   C2  1 


 ( f)  L2

1
2
1.512 a( f)  b ( f)
2
10846.733410063634685

 9947.1148879239211771  37.06490473

 9947.1148879239211771  37.06490473

9122.2365905036094433
H( f) 1  1 solve  f  
9122.2365905036094433

 9947.1148879239211771  37.064904731
 9947.1148879239211771  37.064904731

10846.733410063634685

f01  9122.2365905036094433
f02  10846.733410063634685
12032.225976416012051


 9801.1164033617382626  1698.4067971113233504  i 


 9801.1164033617382626  1698.4067971113233504  i 


8223.4549612567402434
H( f) 2 solve  f  

8223.4549612567402434


 9801.1164033617382626  1698.4067971113233504  i 
 9801.1164033617382626  1698.4067971113233504  i 


12032.225976416012051


f001  8223.4549612567402434
f002  12032.225976416012051
80



f02
H( f) d f
f01
K 



f002
H( f) d f
f001
K  0.722
9.4 Контрольные вопросы
9.4.1 Определение электрического фильтра.
9.4.2 Определение ФНЧ.
9.4.3 Определение ФВЧ.
9.4.4 Определение ПФ.
9.4.5 Определение РФ.
9.4.6 Сведение ФВЧ к ФНЧ-прототипу.
9.4.7 Сведение ПФ к ФНЧ-прототипу.
9.4.8 Сведение РФ к ФНЧ-прототипу.
9.4.9 Преобразование нормированного ФНЧ-прототипа в ФНЧ.
9.4.10 Преобразование нормированного ФНЧ-прототипа в ФВЧ.
9.4.11 Преобразование нормированного ФНЧ-прототипа с ПФ.
9.4.12 Преобразование нормированного ФНЧ-прототипа в РФ.
9.4.13 Определение типа избирательности фильтра.
9.4.14 Качественное построение АЧХ фильтра.
9.4.15 определение вида передаточной функции фильтра.
9.4.16 Определение коэффициента прямоугольности фильтра.
9.4.17 Влияние потерь на характеристики фильтра.
9.4.18 Схема замещения реального конденсатора.
9.4.19 Схема замещения реальной катушки.
9.4.20 Однородные потери, метод их компенсации.
9.5 Требования к отчету
Требования к отчету в соответствии с п. 8.5.
81
Литература
1. Атабеков Г.И. Основы теории цепей. Учебник для вузов. М.,
«Энергия», 1969
2. Г.В. Зевеке Г.В., П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов.
Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е,
переработанное. М., «Энергия» 1975
3. Дьяконов В. Д. Mathcad 2000: Учебный курс-СПб: Питер, 2000
4. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Учебник
для вузов. М., «Высшая школа», 1981
5. Улахович Д. А. Основы теории линейных электрических цепей.
Учебное пособие. – СПб.; БХВ-Петербург, 2009
6. Шебес М.Р., Каблукова М. В. Задачник по теории линейных
электрических цепей: Учеб. пособ. для электротехнич.,
радиотехнич. спец. Вузов. – 4-е изд., перераб. и доп. – Высш. шк.,
1990
7. М. Херхагер, Х. Партоль Mathcad 2000 полное руководство:
перевод с нем.-К.: Издательская группа BHV. 2000
8. Карлащук В.И. Электронная лаборатория на IBM PC.
Программа Electronics Workbench и ее применение. «Салон-Р»,
2000.-506с.
82
Оглавление
Введение……..………….…………………………………...………..2
Теоретическая часть……………….…………………………………3
1 Характеристики электрических цепей.…….……………………..3
1.1 Характеристики двухполюсников......…………………………...3
1.2 Характеристики четырехполюсников…..……………………….5
2 Задача синтеза электрических цепей и этапы решения…..…….10
2.1 Постановка задачи синтеза электрической цепи…………..….10
2.2 Этапы решения синтеза электрической цепи………………….10
3 Методы реализации пассивных двухполюсников……......……..12
3.1 Реактансные функции….......………………………………..…..12
3.2 Методы Фостера реализации реактансных функций…....……13
3.3 Метод Кауэра реализации реактансных функций…...……......17
3.4 Каноничность схем реактивных двухполюсников……...….…21
4 Методы реализации четырехполюсников……..…………….….23
4.1 Мостовая реализация…………………………………………..22
4.2 Реализация на основе Т- и П-образных симметричных схем...26
4.3 Лестничная реализация полиномиальных электрических цепей........................................................................................................28
5 Основные определения и классификация электрических фильтров……............................................................................................…33
5.1 Условия безыскаженной передачи сигналов….....…………...33
5.2 Определение фильтра…..........………......……………………34
5.3 Фильтр низких частот…………………………………………35
5.4 Фильтр верхних частот………………………………………..36
5.5 Полосовой фильтр……………………………………………..37
5.6 Режекторный фильтр…………………………………………..38
5.7 Нормирование параметров фильтра…….……………………39
5.8
Сведение синтеза фильтра к синтезу низкочастотного
фильтра-прототипа……………………………………………..…..40
6 Синтез фильтров нижних частот………….……………………43
6.1 Фильтры Баттерворта…………………………………………43
6.2 Фильтры Чебышёва……………………………………………48
6.3 Фильтры Золотарёва – Кауэра…………………………………54
7 Анализ схем фильтра…………………………………………….56
83
7.1 Обратное преобразование нормированного фильтра низких
частот...…...........................................................................................56
7.2 Определение типа избирательности фильтра………………..58
7.3 Качественное построение амплитудно-частотной характеристики и характеристики затухания фильтра...………………….60
7.4 Определение вида передаточной функции…....……………....62
7.5 Влияние потерь на характеристики фильтра………………...64
Экспериментальная часть……………………………....………….67
8 Лабораторная работа «Синтез и анализ нормированных
фильтров Баттерворта и Чебышёва низких частот»….……….…..67
8.1 Цель работы……………………………………………………67
8.2 Домашнее задание студенту…………………………………..67
8.3 Исследование фильтров методом математического моделирования…...........................................................................................…71
8.4 Контрольные вопросы…………...……………………………75
8.5 Требования к отчету………………............…………………...76
9 Лабораторная работа «Синтез и анализ электрических фильтров
различного назначения»…..………………………………………..77
9.1 Цель работы….....………………………………………………77
9.2 Домашнее задание студенту………........……………………..77
9.3 Исследование фильтра методом математического моделирования…........................................................................................…...77
9.4 Контрольные вопросы…………………………………………81
9.5 Требования к отчету………….....……………………………...81
Литература.....………………………………………………………..82
84