Цели, задачи и содержание дисциплины «Механика жидкости и газа»

Цели, задачи и содержание дисциплины «Механика жидкости и газа»
Основной целью данной дисциплины является формирование у студентов понятий и представлений о законах равновесия и движения жидкостей, а также использования данных законов при проектировании и эксплуатации гидравлического и пневматического оборудования наземных
транспортно-технологических машин.
В курсе лекций даны основы теоретической гидромеханики и основы
гидравлических устройств. Выводятся дифференциальные уравнения равновесия и движения жидкости, приводятся примеры расчета различного
типа трубопроводов.
Дано устройство и принцип действия гидравлических машин (насосов). Приведены схемы синхронизации, регулирования и стабилизации
гидрофицированных машин.
ЛЕКЦИЯ 1. ЖИДКОСТЬ И ЕЕ ФИЗИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА
Жидкостью называется система материальных частиц, обладающих большой подвижностью и непрерывно заполняющих занимаемый объем.
В гипотезе сплошности жидкость рассматривают как сплошную
среду (континиум), которая непрерывно заполняет занимаемый объем, без разрывов или пустот. Правомерность представления жидкости
как сплошной среды подтверждается практикой.
Жидкости подразделяют на капельные и газообразные. Капельные жидкости, такие, как вода, бензин, керосин и другие, практически
несжимаемы. Газообразные жидкости, такие, как воздух и другие газы, сжимаемы. Общее для всех жидкостей свойство  текучесть 
обусловлено диффузией молекул жидкостей и газов.
В гидромеханике (гидравлике) рассматриваются неподвижные
(равновесные) и движущиеся жидкости [1].
1.1. Силы и напряжения в жидкости
Выделим в потоке жидкости (рис. 1) элементарную поверхность
S. Часть жидкости, находящаяся выше, действует на нижнюю через
3
эту поверхность с усилием R, которое можно разложить на нормальное усилие P и касательное T.
P
R
ΔS
а
T
Q
Q
3 ,
d3 Поверхностные силы в жидкости
Рис. 1.
2,
d2
Сила P, действующая
по нормали, это сила давления жидкости.

,
1
Сила, с которой слои жидкости
действуют в потоке по касательной –
d
1
сила трения T. Единичную
силу давления, т.е. силу, действующую на
единицу площади, называют напряжением силы давления или гидро3 ,
механическим давлением
жидкости:
d3
2,
d
p
P
.
S
(1)
2
Это выражение верно
только в том случае, если сила давления P
равномерно распределена
 1 , по площадке S. В ином случае:
d1
H
 P 
p  im
.


S

 S 0
(2)
Ри
с.
2
Гидромеханическое
10.давление измеряется в Па, 1Па=1Н/ м .
8.
Единичную силу Ис
трения или напряжение силы трения называют
касательным напряжением,
те- Па:
че
 T 
  im
.

ни
(3)
S  S 0

е
че
рез
за4
то
пл
ен
но
е
Массовые силы распределены по массе жидкости. В случае, когда плотность жидкости постоянна, они называются также объемными. К ним относятся силы тяжести, инерции и центробежные силы.
По закону Ньютона массовая сила, определяется в Н по формуле
F  Ma .
(4)
Единичная массовая сила, т.е. сила, отнесенная к единице массы,
равна ускорению этой силы, м/с2:
Fед 
Ma
a.
M
(5)
1.2. Основные физические свойства жидкости
Плотность жидкости  характеризует распределение массы жидкости М по еѐ объему V. Для однородной жидкости плотность определяют по формуле

M
.
V
(6)
Единицы измерения плотности в системе СИ кг/м3. В общем случае плотность может зависеть от координат и от времени.
Плотность жидкостей зависит от температуры и давления. Для
воды при атмосферном давлении и температуре 40С плотность
=1000 кг/м3.
Удельный вес жидкости определяется как отношение веса жидкости G к объему V:
 
G
.
V
(7)
Единицы измерения удельного веса в системе СИ - Н/ м3.
Учитывая, что вес жидкости равен произведению массы на ускорение свободного падения G= Мg, получим:
 =g.
(8)
Свойство жидкости изменять объем при изменении давления называется сжимаемостью. Сжимаемость жидкости характеризуется ко5
эффициентом объемного сжатия р ,который показывает относительное изменение объема при изменении давления, 1/Па:
p  
1 dV
.
V dp
(9)
Знак «минус» показывает, что при увеличении давления объем
жидкости уменьшается.
Модуль упругости жидкости Еж – величина, обратная коэффициенту объемного сжатия, Па:
Еж 
1
.
(10)
р
Модуль упругости воды имеет порядок 2∙103 МПа [2,3,4], что показывает незначительную сжимаемость капельных жидкостей, не
учитываемую в обычных гидравлических расчетах.
Свойство жидкости изменять объем при изменении температуры
называется температурным расширением. Температурное расширение
характеризуется коэффициентом температурного расширения Т, который представляет относительное изменение объема жидкости при
изменении температуры, 1/К:
T 
1 dV
.
V dT
(11)
Свойство жидкости оказывать сопротивление относительному
сдвигу (скольжению) ее слоев называется вязкостью. Силы сопротивления сдвигу (скольжению) слоев жидкости при их относительном
перемещении называются силами внутреннего трения (силами вязкости). Под действием сил внутреннего трения соседние слои жидкости
движутся с разными скоростями.
Рассмотрим прямолинейное слоистое движение жидкости вдоль
твердой поверхности (рис. 2). Скорость слоев жидкости различна и
увеличивается при удалении от твердой поверхности. Обозначим скорость слоя жидкости  на расстоянии y от стенки. У соседнего слоя,
удаленного от предыдущего на dy, скорость больше на d . Разность
скоростей в соседних слоях вызвана наличием сил внутреннего
трения.
6
y
  d
dy

y
x
Рис. 2. Изменение скорости жидкости при движении вдоль поверхности
Впервые обнаруживший силы внутреннего трения Ньютон установил, что они пропорциональны площади соприкосновения слоев и
относительной скорости перемещения слоев. По закону Ньютона
о внутреннем трении касательное напряжение пропорционально градиенту скорости в направлении, перпендикулярном движению жидкости:
 
d
,
dy
(12)
где   динамическая вязкость Па·с.
В размерность  входят динамические величины. В гидравлических расчетах чаще используют кинематическую вязкость, равную
отношению динамической вязкости к плотности, м2/с:


.

(13)
Кинематическая вязкость воды при нормальных условиях имеет
порядок 1·10-6 м2/с, для минеральных масел эта величина выше на порядок и более.
7
Вязкость жидкости измеряется с помощью приборов, называемых
вискозиметрами.
Жидкости, подчиняющиеся закону внутреннего трения Ньютона
(2), называются ньютоновскими. Для некоторых жидкостей (бетонные гидросмеси, строительные растворы, растворы полимеров и т.п.)
связь между касательными напряжениями и градиентом скорости выражается формулой
  0  
d
,
dy
(14)
где 0 – касательное напряжение в состоянии покоя.
Такие жидкости называются неньютоновскими. Движение таких
жидкостей начинается лишь после преодоления касательного напряжения 0.
Контрольные вопросы.
1. В чем различие капельных жидкостей и газов? 2. В чем заключается
гипотеза сплошности жидкости? 3. Что называется удельным весом жидкости? 4. Какие силы называются массовыми и какие поверхностными?
5. Что называется вязкостью жидкости? 6. Как формулируется закон Ньютона о внутреннем трении в жидкости? 7. Каковы единицы измерения динамической и кинематической вязкости? 8. Чему равно касательное напряжение в покоящейся жидкости? 9. Что называется сжимаемостью жидкости?
8
ЛЕКЦИЯ 2. ГИДРОСТАТИКА
2.1. Гидростатическое давление и его свойства
Гидростатическое давление обладает двумя свойствами. Свойство первое: гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали к площадке действия.
Второе свойство гидростатического давления: в любой точке
внутри жидкости гидростатическое давление одинаково по всем направлениям и не зависит от ориентации площадки действия.
2.2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
Рассмотрим жидкость, которая находится в покое относительно
координат x, y, z. Выделим в ней элементарный объем в виде параллелепипеда, ребрами которого являются элементарные отрезки dx, dy, dz
(рис. 3).
z
p
p
B
A
dz
p
 dx
x
dy
dx
x
y
Рис. 3. Элементарный объем покоящейся жидкости
На жидкость в элементарном объеме действует массовая сила
9
F  ma  dxdydza.
Для нахождения сил давления, которые действуют на элементарный объем, определим давление, действующее со стороны окружающей жидкости на каждую грань элементарного объема. В точке А оно
одинаково по всем направлениям, но зависит от координат: p=f(x,y,z).
При переходе от точки А к точке В координата x изменяется на бесконечно малую величину dx, вследствие чего давление получает приращение (∂p/∂x)dx, где ∂p/∂x – градиент давления, показывающий изменение давления, приходящееся на единицу длины dx. Давление в точке В будет p+(∂p/∂x)dx. Силы давления жидкости, которые действуют
в направлении оси x на левую грань (точка А) и правую грань (точка
В) элементарного объема соответственно равны
pdydz
и
p 

dx dydz.
p
x 

Уравнение равновесия элементарного объема жидкости в направлении оси ox:


dxdydzax  pdydz   p 
p 
dx dydz  0.
x 
После сокращений и деления на ρ, dx, dy, dz получим
ax 
1 p
 0.
 x
Рассмотрев аналогично уравнения равновесия в направлении
осей oy и oz, получим окончательно

1 p
ax 
 0; 
 x

1 p

ay 
 0;
(15)
 y


1 p
az 
 0. 
 z

Полученная система дифференциальных уравнений представляет
собой систему уравнений равновесия жидкости и называется уравнениями Эйлера.
10
Систему дифференциальных уравнений можно преобразовать в
одно эквивалентное им уравнение, не содержащее частных производных, которое после преобразования система (15) запишется так:
dp   (ax dx  a y dy  az dz).
(16)
Полученное уравнение называют приведенным уравнением Эйлера. Оно выражает приращение давления dp при изменении координат на dx, dy и dz в общем случае равновесия жидкости.
Для капельных жидкостей плотность ρ – постоянная величина.
Поскольку левая часть уравнения – полный дифференциал, его правая
часть также представляет собой полный дифференциал. Если существует функция U=f(x,y,z), частные производные которой соответственно равны
U
U
U
 ax ,
 ay ,
 az ,
(17)
x
y
z
то такая функция является силовой или потенциальной, а единичные массовые силы a x , a y и a z имеют потенциал.
Таким образом, жидкость находится в равновесии, если массовые
силы, действующие на нее, имеют потенциал (запас энергии). Пример
сил, имеющих потенциал – силы тяжести и силы инерции.
Для наиболее часто встречающегося случая равновесия жидкости, когда на нее действует лишь одна массовая сила – сила тяжести.
Уравнение (16) будет иметь вид:
p  p0  gh,
(18)
где p – абсолютное давление в рассматриваемой точке внутри жидкости;
p0 − давление на свободной поверхности жидкости; ρgh – избыточное гидростатическое давление в рассматриваемой точке,
называемое весовым давлением.
Уравнение (18) называется основным уравнением гидростатики и
выражает гидростатический закон распределения давления в однородной несжимаемой покоящейся жидкости.
2.3. Закон Паскаля и его техническое применение
Рассмотрим, как изменится давление внутри жидкости при изменении давления на еѐ поверхности. В сосуде, заполненном жидко11
стью, при помощи поршня, находящегося в плоскости 1−1, создается
давление p0 на еѐ поверхности (рис. 4). По основному закону гидростатики давление в произвольной точке A на глубине h:
p A  p0  gh. .
(20)
P0
h
A
Рис. 4. К выводу закона Паскаля (
При перемещении поршня в плоскость 2−2 давление на свободной поверхности жидкости изменится на величину ∆p. При этом давление на свободной поверхности будет p0+∆p, а давление внутри
жидкости в точке A будет
pA  p0  p  gh. .
(21)
Таким образом, изменение давления на свободной поверхности
жидкости на ∆p приводит к изменению давления в любой точке внутри жидкости на такую же величину. Это положение (10) известно, как
закон Паскаля: давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается во все точки этой жидкости по всем направлениям
без изменений.
Закон Паскаля применяется при конструировании таких гидравлических устройств, как гидравлический пресс, гидравлический домкрат, гидроаккумулятор.
2.5. Приборы для измерения давления
Простейший жидкостный прибор – пьезометр представляет собой
вертикальную стеклянную трубку, верхний конец которой открыт, а
нижний присоединен к сосуду с жидкостью (рис. 5,а). Жидкость в
12
пьезометре поднимается на высоту hП, которая называется пьезометрической высотой. Абсолютное давление в точке A по основному
уравнению гидростатики
p  pат  ghП ,
(22)
где pат – атмосферное давление;
hП – пьезометрическая высота.
Отсюда пьезометрическая высота определяется по формуле
hП   p  pат  g  pизб  ,
(23)
где pизб – избыточное давление, разность между абсолютным и атмосферным давлениями.
В открытых сосудах давление на свободной поверхности атмосферное и пьезометрическая высота любой точки будет равна глубине
расположения этой точки. Избыточное давление для открытого сосуда равно весовому давлению
p  gh,
(24)
где h – глубина погружения точки, в которой измеряется давление.
Для открытого сосуда hП=h.
p= 0
рат
p0pат
p0<pат
hпп
hп
Hп
Hг
Z
А
В
рат
А
а
hвак
б
Рис. 5. Пьезометр (а), ваккумметр (б)
Если к сосуду присоединить закрытую трубку, из которой предварительно откачан воздух и давление на свободной поверхности
p0=0, то жидкость под действием гидростатического давления поднимется в ней на высоту h ПП (рис. 5,а). Высота столба жидкости h ПП ,
которым измеряется абсолютное гидростатическое давление, называется приведенной пьезометрической высотой.
13
Давление ниже атмосферного (разрежение) называется вакуумом.
Величина вакуума pвак – это разность между атмосферным давлением
pат и абсолютным давлением в разреженной области pабс:
p вак  p ат  p абс .
(25)
Для измерения вакуума служит вакуумметр, который представляет собой U-образную трубку, присоединенную в точке, где измеряется разрежение (рис. 9,б). Жидкость под действием атмосферного давления опустится в трубке на высоту hвак, называемую вакуумметрической высотой. Абсолютное давление в точке А
р = рт  ghвак,
(26)
откуда вакуумметрическая высота
p  p p вак
hвак  ат

.
g

(27)
Таким образом, величина вакуума есть произведение удельного
веса жидкости на вакуумметрическую высоту:
p вак   hвак .
(28)
Выберем горизонтальную плоскость 0−0 ниже сосуда (рис. 5,а),
которую будем называть плоскостью сравнения. Высота произвольной точки A, отсчитанная от плоскости сравнения, называется геометрической высотой z. Пьезометр, присоединенный в этой точке, показывает пьезометрическую высоту h П =p/γ. Сумма геометрической высоты и пьезометрической высоты называется пьезометрическим напором H П :
p
HП  z  .
(29)

Пьезометрический напор (11) для любых точек покоящейся жидкости
Сумма геометрической высоты точки над плоскостью есть величина постоянная:
p
p
H П  z1  1  z 2  2  const.


(30)
сравнения и приведенной пьезометрической высоты называется
гидростатическим напором
p
H Г  z  hПП  H П  ат .
(31)

14
Гидростатический напор HГ отличается от пьезометрического напора HП на величину атмосферного давления, отнесенного к удельному весу жидкости.
Рассмотрим энергетический смысл уравнений гидростатики. Если обозначить полную энергию жидкости E, то удельная энергия,
приходящаяся на единицу веса жидкости e=E/G. Потенциальная энергия положения жидкости есть геометрическая высота:
E
mgz
eпол  пол 
 z.
(32)
G
mg
Потенциальная энергия давления жидкости есть пьезометрическая высота:
E
pV
p
eдав  дав 
 .
(33)
G
V

Суммарная удельная потенциальная энергия жидкости есть пьезометрический напор
p
e П  eпол  eдав  z   H П .
(34)

Таким образом, удельная потенциальная энергия жидкости равна
пьезометрическому напору (34) и одинакова для всех точек объема
жидкости.
Для измерения величины гидростатического давления обычно
используют пьезометры, манометры и вакуумметры.
2.6. Сила давления жидкости на плоскую поверхность,
гидростатический парадокс
Рассмотрим жидкость, покоящуюся в сосудах различной формы
(рис. 11), имеющих горизонтальное дно с одинаковой площадью поверхности S. Все точки поверхности находятся на одинаковой глубине h, поэтому избыточное гидростатическое давление в них
pизб  gh.
(35)
При условии, что на свободной поверхности жидкости действует
атмосферное давление (p0=pатм), сила избыточного давления будет
Pизб  pизб S  ghS.
15
(36)
Это соответствует силе веса жидкости, заключенной в вертикальной призме высотой h и площадью основания S. Из формулы видно,
что сила избыточного гидростатического давления на дно сосуда зависит от плотности жидкости, площади дна, высоты столба жидкости
и не зависит от формы сосуда. Поэтому сила избыточного гидростатического давления на горизонтальное дно сосудов различной формы
(рис. 6) одинакова, при том, что вес жидкости в этих сосудах различный. Это явление называется гидростатическим парадоксом.
Рис. 6. Иллюстрация гидростатического парадокса
Рассмотрим плоскую поверхность, расположенную под углом β к
горизонту, с одной стороны которой находится жидкость плотностью
ρ (рис. 7). Определим силу гидростатического давления жидкости на
площадь величиной S на этой плоской поверхности. Давление жидкости в каждой точке этой площадки различное, так как глубина их различна.
16


Рис. 7. Сила гидростатического давления на плоскую наклонную поверхность
Разобьем площадь S на элементарные площадки dS, в пределах
которых давление одинаково. Элементарная сила dP, действующая на
элементарную площадку dS:
dP  pdS   p0  ghdS.
(37)
Суммарная сила гидростатического давления P находится интегрированием выражения (37) по площади S:
P    p0  ghdS  p0  dS  g  hdS.
S
S
S
Выразим глубину погружения элементарной площадки h через
расстояние y от оси ох до этой площадки: h=y·sin β, тогда
P  p0 S  g sin   ydS .
S
Интеграл  ydS представляет собой статический момент инерции
S
площади S относительно оси ох и равен произведению площади S на
расстояние до центра тяжести этой площади yC, измеряемое от этой
оси:
 ydS  yc S .
S
17
Тогда, учитывая, что yC·sin β=hc, получим:
P  p0 S  g sin yC S  p0 S  ghC S .
Сила гидростатического давления жидкости на плоскую наклонную поверхность равна произведению давления жидкости в центре
тяжести этой поверхности на ее площадь:
P   p0  ghC S .
(38)
Если на свободную поверхность жидкости действует атмосферное давление (р0 = рат), тогда сила избыточного гидростатического
давления
Pизб  ghC S .
(39)
Сила гидростатического давления направлена со стороны жидкости по нормали к поверхности. Линия действия силы Р пересекает
площадку S в точке D, которая называется центром давления.
Сила Р0=р0S, связанная с действием давления р0 на поверхности,
приложена в центре тяжести (точка С) поверхности S. Полная сила
гидростатического давления Р приложена в центре давления, координату которого определим по правилу сложения сил.
Из теоретической механики известно, что момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен сумме моментов
составляющих сил относительно той же оси. Принимая за ось моментов линию, проходящую через поверхность жидкости (ось ох), получим
Py D 
 ydP.
(40)
S
Так как P=ρghCS; dP=ρghdS=ρgysinβdS, то, подставив эти значения в формулу (19), получим
ghC Sy D  g sin   y 2 dS .
S
Зная, что J 
y
2
dS – момент инерции площади S относитель-
S
но оси, проходящей через плоскость свободной поверхности жидкости (оси ох), получим
ghC SyD  g sin J ,
откуда
18
yD 
sin J
J

.
hC S
SyC
(41)
Переместим ось момента инерции в центр тяжести площади S.
Моменты инерции относительно параллельных осей связаны между
собой:
J  J0  y 2S,
где Ј0 – момент инерции площади S относительно оси, проходящей
через свободную поверхность жидкости.
Тогда формула (41) преобразуется:
J0
yD  yC 
.
(42)
yC S
Таким образом, центр давления силы избыточного давления на
плоскую наклонную поверхность расположен ниже центра тяжести
смоченной площади, считая вдоль оси симметрии поверхности, на величину J0/(yCS). Как уже указывалось, величина yCS – статический
момент инерции площади S относительно оси ох, проходящей через
плоскость свободной поверхности жидкости.
2.7. Сила давления жидкости на криволинейную поверхность
Рассмотрим действие покоящейся жидкости на твердую криволинейную поверхность (рис. 8). Разобьем поверхность на элементарные поверхности площадью dS, которые в связи с их малостью будем
считать плоскими. Элементарная сила давления, действующая на такую площадку
dP  pdS  ghdS .
19
Рис. 8. Сила давления жидкости на криволинейную поверхность
Элементарная сила dP действует по нормали к элементарной
площадке dS. Найдем горизонтальную dPx и вертикальную dPy составляющие силы dP:
dPx  dP cosdP; ох   ghdS cosdP; ox ;
dPy  dP cosdP; оy   ghdS cosdP; oy .
Поскольку dS cosdP ,̂ ox   dS y ; dS cosdP,̂ oy   dS x ,то dPx=ρghdSy,
dPy=ρghdSx. Здесь dSx и dSy – проекции элементарной площадки dS на
горизонтальную и вертикальную плоскость соответственно. Интегрируем полученные выражения:
Px  g

Sy
hdS
y
.
Интеграл представляет собой статический момент площади Sy относительно оси oz и равен произведению величины этой площади на
расстояние от оси oz до ее центра тяжести hC:

Sy
hdS y  hC S y .
Горизонтальная составляющая силы давления
Px  ghC S y ,
(43)
где hC – глубина погружения центра тяжести площади вертикальной
проекции Sy относительно свободной поверхности жидкости
(оси oz).
Вертикальная составляющая силы давления
20
Py  g  hdS x .
Sx
Интеграл представляет собой объем призмы, ограниченной снизу
криволинейной поверхностью, а сверху – ее проекцией Sx на свободную поверхность жидкости. Направляющие этой призмы – вертикальные прямые. Полученное таким образом тело называется телом
давления, объем которого обозначим как VД:
 hdS  V Д .
Sx
Вертикальная составляющая силы давления численно равна весу
жидкости в объеме тела давления:
Py  gV Д .
(44)
Полная сила гидростатического давления на криволинейную поверхность
P
Px2  Py2 ,
(45)
где Px, Py – горизонтальная и вертикальная составляющие силы давления.
Горизонтальная составляющая Px проходит через центр давления
на вертикальной проекции Sy, а вертикальная составляющая Py – через
центр тяжести тела давления.
2.8. Закон Архимеда. Плавание и остойчивость плавающих тел
Рассмотрим твердое тело произвольной формы, погруженное в
жидкость (рис. 9). Определим силу давления жидкости на это тело.
Горизонтальные составляющие Px и Py взаимно уравновешиваются.
Найдем вертикальную составляющую Pz полной силы давления Р на
погруженное в жидкость тело объемом VТ.
21
z
Свободная поверхность жидкости
A
B
Sz
D
C
Pz
O
E
VТ
F
x
y
Рис. 9. Сила, действующая на тело, погруженное в жидкость
Тело имеет две криволинейные поверхности: верхнюю СDЕ и
нижнюю CFЕ, проекции которых на свободную поверхность жидкости Sz. Соответственно, на верхнюю криволинейную поверхность
действует вертикальная составляющая PZ1  gV1 на нижнюю – вертикальная составляющая PZ 2  gV2 . Здесь объем первого тела давления
V1 – объем АВЕDС (рис. 15), объем второго тела давления V2 – объем
АВЕFC, причем V2=V1+Vт. Составляющая Pz1 направлена вниз, составляющая Pz2 – по вертикали вверх. Равнодействующая сила давления равна их разности:
PZ  PZ 2  PZ1  g V1  VТ   gV1  gVТ .
(46)
Поскольку горизонтальные составляющие уравновешены, т.е.
PX=PY=0, то полная сила давления жидкости P=PZ=ρgVТ. Учитывая,
что ρgVТ=γVТ=Gж – вес жидкости в объеме тела, т.е. вес вытесненной
телом жидкости. Силу давления жидкости на погруженное тело называют также выталкивающей или архимедовой силой.
На тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу
вытесненной жидкости:
P  gVТ  Gж .
(47)
Это – закон Архимеда. Сила Р направлена вверх и приложена в
центре тяжести объема погруженного тела.
22
Рассмотрим плавающее на поверхности жидкости тело (рис. 16, а).
При надводном плавании глубину погружения самой низкой точки
плавающего тела, отсчитываемую от свободной поверхности, называют осадкой. Линию пересечения свободной поверхности с поверхностью плавающего тела называют ватерлинией. Вертикальная линия,
проходящая через центр тяжести плавающего в равновесии тела, называется осью плавания.
Объем вытесненной телом жидкости называется объемным водоизмещением. Центр тяжести объемного водоизмещения называют
центром водоизмещения или центром давления. Центр давления (точка D) – точка приложения равнодействующей силы давления жидкости на тело (рис. 10, а).
а
б
Рис. 10. Тело, плавающее на поверхности (а) и внутри жидкости (б)
При полном погружении тела в жидкость объем вытесненной
жидкости V равен объему VТ, при неполном погружении V<VТ. При
неполном погружении выталкивающая сила
P  gV .
Если выталкивающая сила Р больше веса тела G, тело всплывает
в жидкости и плавает на ее поверхности (рис. 10, а). Если выталкивающая сила Р и сила веса тела G равны – тело плавает внутри жидкости (рис. 10, б), если P < G – тело тонет (погружается на дно). Если
тело погружено в жидкость полностью, плавание называется подводным, если только часть тела – надводным.
Плавающее тело занимает определенное положение, которое может измениться в результате приложения внешних усилий. Способ23
ность тела плавать в одном и том же положении и восстанавливать
это положение после прекращения действия внешних усилий называется остойчивостью.
Рис. 11. Наклоненное плавающее тело
Рассмотрим остойчивость плавающего тела относительно оси
плавания. Если пара сил: вес плавающего тела G и выталкивающая
сила Р при наклоне плавающего тела стремится увеличить его крен,
то плавание называется неостойчивым. Если под действием этой пары
сил крен уменьшается, плавание называется остойчивым.
Если плавающее на поверхности тело (рис. 11) выведено из положения равновесия и наклонено на угол β от оси плавания, объем
водоизмещения V изменит свою первоначальную форму, но величина его не изменится. Поперечное сечение АОВ изменится на
А1ОВ1 и центр водоизмещения (центр давления) D переместится в
точку D1 – точку приложения выталкивающей силы Р при наклоне
тела на угол β.
24
Р
М
Рис. 12. Остойчивость плавающего тела
Точка пересечения линии действия выталкивающей силы Р с
осью плавания наклоненного тела называется метацентром (точка М
на рис. 11). При углах наклона β < 15˚ центр водоизмещения перемещается по дуге окружности, описываемой из метацентра М радиусом
rМ, который называется метацентрическим радиусом.
Плавающее тело кроме бокового крена (на угол β) может иметь
также поперечный крен (дифферент). В этом случае метацентр и метацентрический радиус называют поперечным.
При малых углах бокового крена (β < 15˚) метацентрический радиус равен частному от деления центрального момента инерции площади по ватерлинии относительно продольной оси на объемное водоизмещение плавающего тела:
(48)
Jx
rМ 
V
.
Если при надводном плавании центр тяжести расположен ниже
центра водоизмещения (рис. 12, а), тело плавает остойчиво. Если центр
тяжести выше метацентра (рис. 12, б), плавание является неостойчивым,
так как пара сил Р и G стремятся увеличить крен. Остойчивым является
так же плавание, когда центр тяжести тела С расположен между центром водоизмещения D и метацентром М (рис. 12, в).
Таким образом, для обеспечения остойчивости тела при надводном плавании необходимо, чтобы расстояние δ между центром водоизмещения D и центром тяжести тела С было меньше метацентрического радиуса: δ < rМ.
25
Расстояние между метацентром М и центром тяжести тела С называется метацентрической высотой. Чем больше метацентрическая
высота, тем больше остойчивость плавающего тела, поскольку тем
больше момент пары сил Р и G, который уменьшает крен.
Обычно, если тело обладает остойчивостью относительно продольной оси, то остойчивость относительно поперечной оси заведомо
обеспечена.
Контрольные вопросы.
1. Под каким углом направлено гидростатическое давление к площадке действия? 2. Как зависит гидростатическое давление в точке от ориентации площадки действия? 3. В каких единицах измеряется давление?
4. Может ли гидростатическое давление быть меньше нуля? 5. Что называется абсолютным, избыточным, весовым и вакуумметрическим давлением?
6. Может ли вакуумметрическое давление быть больше атмосферного?
7. В чем различие пьезометрической и вакуумметрической высот?
8. В чем различие пьезометрического напора и гидростатического напора?
9. Когда плоскость пьезометрического напора расположена выше свободной поверхности жидкости и когда ниже? 10. В каком случае плоскость
пьезометрического напора совпадает со свободной поверхностью покоящейся жидкости? 11. Чему равен полный дифференциал давления в приведенном уравнении Эйлера для равновесной жидкости? 12. В чем заключается основное уравнение гидростатики? 13. Каким уравнением описывается поверхность равного давления? 14. Как определить силу гидростатического давления на плоскую наклонную поверхность? 15. В чем заключается гидростатический парадокс? 16. Что называется центром давления?
17. В чем различие центра тяжести и центра давления плоской наклонной
поверхности? 18. Как определить глубину погружения центра давления
смоченной наклонной поверхности? 19. Как определить криволинейную
поверхность? 20. Как определить вертикальную проекцию силы давления
жидкости на криволинейную поверхность? 21. Чему равна сила давления
жидкости на криволинейную поверхность? 22. Как определить объем тела
давления? 23. Как направлена относительно криволинейной поверхности
равнодействующая сила гидростатического давления и еѐ составляющие?
24. В чем заключается закон Архимеда? 25. В чем заключаются условия
плавания тел? 26. Каковы условия остойчивого плавания тела?
26