УДК 532.59 И. В. Стурова ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПОГРУЖЕННОЕ ТЕЛО ПРИ ДВИЖЕНИИ ПОД ЛЕДЯНЫМ ПОКРОВОМ В рамках линейной потенциальной теории исследовано движение с постоянной скоростью сферы, погруженной в бесконечно глубокой жидкости под ледяным покровом, который моде­ лируется тонкой упругой пластиной. Рассмотрена задача о генерации изгибно-гравитационных волн при различных колебаниях сферы (продольных, поперечных и вертикальных). Использо­ ван метод мультипольных разложений. Представлены численные результаты для радиационной нагрузки: присоединенной массы и коэффициентов демпфирования. При нулевых значениях жесткости пластины и ее массы полученные результаты для гидродинамической нагрузки сов­ падают с известными данными для жидкости со свободной поверхностью. Ключевые слова: задача радиации при наличии хода, ледяной покров, погруженная сфера, присоединенные массы, коэффициенты демпфирования. В последние годы значительно возрос интерес к освоению полярных районов Миро­ вого океана. В связи с этим появилась необходимость в решении новых задач, посвя­ щенных процессам волнообразования в сплошном ледяном покрове. Ранее достаточно подробно была исследована задача о движении внешней нагрузки по поверхности льда (см. обзоры [1; 2]). Однако воздействие движущегося погруженного тела и действующие на него гидродинамические нагрузки еще мало изучены. В настоящее время известны лишь работы, в которых определены коэффициенты присоединенной массы и демпфи­ рования при чисто колебательном движении горизонтального цилиндра произвольного сечения в линейно стратифицированной жидкости [3] и сферы в однородной и двухслой­ ной жидкости [4–6]. Построено решение задачи о движении сферы в невязкой, несжимаемой и бесконеч­ но глубокой жидкости под ледяным покровом, который моделируется тонкой упругой напряженной пластиной постоянной толщины. Частные случаи этой задачи — движение погруженной сферы под битым льдом, мембраной, а также под свободной поверхностью как при наличии, так и при отсутствии капиллярных эффектов. Использован метод муль­ типольных разложений в рамках линейной потенциальной теории волн. Отметим, что решение задачи о совместном поступательном и колебательном движении погруженной сферы под обычной свободной поверхностью получено ранее [7; 8]; ниже эти результаты распространены на случай, когда жидкость ограничена сверху ледяным покровом. Постановка задачи Рассматривается задача для сферы радиусом a, которая движется поступательно с постоянной горизонтальной скоростью u и одновременно совершает колебания по любой ISSN 1818-7897. Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2012. Т. 12, вып. 4. C. 114–122 c И. В. Стурова, 2012 � Гидродинамические нагрузки, действующие на погруженное тело 115 из трех возможных степеней свободы (горизонтальной, поперечной, вертикальной) с уг­ ловой частотой σ. Верхняя граница жидкости является ледяным покровом. Жидкость предполагается невязкой, несжимаемой и бесконечно глубокой. Ледяной покров модели­ руется тонкой упругой пластиной, находящейся в состоянии равномерного растяжения или сжатия. В подвижной системе координат (x, y, z), связанной со сферой, плоскость z = 0 сов­ падает с невозмущенной верхней границей жидкости, и ось z направлена вертикально вверх. Центр сферы помещен в точке x = y = 0, z = −h (h > 0), где h — глубина погружения тела. Определим также сферическую систему координат (r, θ, β) c началом в центре сферы. Две введенные системы координат связаны соотношениями x = r sin θ cos β, y = r sin θ sin β, z = r cos θ − h. Потенциал скоростей движения жидкости представим в виде Φ(x, y, z, t) = u[φ̄(x, y, z) − x] + Re 3 � ηj φj (x, y, z) exp(iσt) , (1) j=1 ¯ — стационарный потенциал, соответствующий поступательному движению сферы где φ с единичной скоростью; φj (j = 1, 2, 3) — радиационные потенциалы, обусловленные колебаниями тела с амплитудами ηj . Малые вертикальные прогибы ледяного покрова w(x, y, t) можно по аналогии с (1) представить в виде w(x, y, t) = w̄(x, y) + Re 3 � ηj wj (x, y) exp(iσt) . j=1 Потенциал скоростей Φ(x, y, z, t) удовлетворяет уравнению Лапласа в области, заня­ той жидкостью, ΔΦ = 0 (−∞ < x, y < ∞, z < 0). (2) Кинематические и динамические условия на верхней границе жидкости (z = 0) име­ ют вид ( ) ∂φ ¯ ¯ ¯ ∂2 ∂2φ ∂w̄ ∂φ + ρu2 2 = 0, =− , DΔ22 + QΔ2 + M u2 2 + ρg ∂z ∂x ∂x ∂z ∂x ( [ ( )2 ] ∂ ) ∂φ ∂ , DΔ22 + QΔ2 + M iσ − u + ρg wj + iσ − u wj = ∂x ∂z ∂x ( ∂ ) + ρ iσ − u φj = 0, ∂x (3) (4) где D = Eh31 /[12(1 − ν2 )], M = ρ1 h1 , Δ2 = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 , E, ν, Q, ρ1 и h1 — мо­ дуль Юнга, коэффициент Пуассона, усилие сжатия (Q > 0) или растяжения (Q < 0), плотность и толщина ледяного покрова, ρ — плотность жидкости, g — ускорение силы тяжести. В частном случае при D = 0, Q = −T , M �= 0 верхняя граница жидкости пред­ ставляет собой мембрану с коэффициентом натяжения T . При M = 0 в этом случае T — коэффициент поверхностного натяжения, а возникающие волны являются капиллярно­ гравитационными. При D = Q = 0, M = � 0 верхняя граница представляет собой битый лед, а если при этом и M = 0, то имеем случай обычной свободной поверхности. 116 И. В. Стурова На поверхности тела выполняются условия непротекания ∂φ̄/∂n = n1 , ∂φj /∂n = iσnj + umj (j = 1, 2, 3) (r = a), (5) где (n1 , n2 , n3 ) = (nx , ny , nz ), (m1 , m2 , m3 ) = (n · ∇)∇(φ̄ − x), n — внутренняя нормаль к телу. В рассматриваемом случае бесконечно глубокой жидкости должно выполняться условие затухания волновых возмущений с глубиной (6) ∇Φ → 0 (z → −∞). В дальнем поле требуется выполнение условия излучения, которое означает, что рас­ пространяющиеся впереди тела волны могут быть только в случае, когда их групповая скорость больше скорости тела, в противном случае волновые движения существуют только за телом. Мультипольные разложения Для решения задачи (2)–(6) использован метод мультипольных разложений [8], ос­ нованный на присоединенных функциях Лежандра Pnm , согласно которому решение для стационарного потенциала представим в виде ¯= φ ∞ � n � A¯m n n=0 m=0 an+1 m an+1 im P (cos θ) cos mβ + n r n+1 2π(n − m)! π −π L1 T1 Λ cos mγ dkdγ , Z1 (7) где T1 (k, γ) = Z1 (k, γ) + 2ρu2 k cos2 γ, Λ(k, γ) = kn exp[k(z − h + i(x cos γ + y sin γ))]; Z1 (k, γ) = Dk4 − Qk2 − u2 k cos2 γ(ρ + M k) + ρg. Подробное решение стационарной задачи дано в [9]. Радиационные потенциалы φj (x, y, z) с использованием мультипольных разложений имеют вид φj = ∞ � n � Anm n=0 m=0 + ∞ � n � n=0 m=0 an+1 m an+1 im P (cos θ) cos mβ + n r n+1 2π(n − m)! Bnm π −π L2 an+1 m an+1 im P (cos θ) sin mβ + r n+1 n 2π(n − m)! T2 Λ cos mγ dkdγ + Z2 π −π L2 T2 Λ sin mγ dkdγ , (8) Z2 где T2 (k, γ) = Z2 (k, γ) + 2ρ(σ − uk cos γ)2 , Z2 (k, γ) = k(Dk4 − Qk2 + ρg) − (σ − uk cos γ)2 (ρ + M k). Контуры интегрирования L1 и L2 в (7), (8) проходят по вещественной оси k от нуля до бесконечности. Подынтегральное выражение имеет простые полюса, которые опре­ деляются положительными корнями уравнений Z1 = 0 и Z2 = 0 соответственно. Для Гидродинамические нагрузки, действующие на погруженное тело 117 выбора правильного пути обхода этих полюсов необходимо использовать условие из­ лучения и дисперсионное соотношение для изгибно-гравитационных волн, которое для бесконечно глубокой жидкости имеет вид [9] ω = k(Dk4 − Qk2 + ρg)/(ρ + M k). Это уравнение определяет связь между частотой волны ω и ее волновым числом k. Фазовая скорость волны равна cf (k) = ω(k)/k, а ее групповая скорость — cg (k) = dω(k)/dk. √ Имеется ограничение на величину сжатия Q. Условие Q < Q∗ ≡ 2 ρgD обеспечивает устойчивость плавающего ледяного покрова [9]. В данной работе предполагается также, что Q < Q0 < Q∗ , где Q0 определяется условием положительности групповой скоро­ сти. Метод определения Q0 для жидкости конечной глубины дан в [11]. Значение Q0 и соответствующее ему k0 находятся из решения уравнений cg (k0 ) = dcg (k0 )/dk = 0. В предположении малости инерционных сил (M = 0) значения k0 и Q0 определяют­ √ √ ся явно: k0 (D/ρg)1/4 = 5−1/4 ≈ 0,669, Q0 / ρgD = 20/3 ≈ 1,491. С увеличением M значения Q0 и k0 уменьшаются. Фазовая и групповая скорости для изгибно-гравитационных волн имеют минималь­ ные значения, которые обозначим соответственно Uf ≡ cf (kf ) и Ug ≡ cg (kg ), где kf соот­ ветствует волновому числу, при котором dcf (kf )/dk = 0, и аналогично для kg < kf имеем dcg (kg )/dk = 0. Основные свойства изгибно-гравитационных волн в дальнем поле для задачи о суперпозиции поступательного и колебательного движений тела определены в [11–13] на примере решения задачи о пульсирующем давлении, равномерно движущем­ ся по ледяному покрову на поверхности жидкости конечной глубины. Для бесконечно глубокой жидкости эти результаты можно представить в более простой форме. Функцию Z2 (k, γ) в (8) удобно записать при |γ| < π/2 в виде Z2 (k, γ) = (ρ + M k)Ψ2 Ψ3 , а при |γ| > π/2 после замены γ на π − γ — в виде Z2 (k, γ) = (ρ + M k)Ψ1 Ψ4 , где Ψ1,2 (k, γ) = ω(k) + σ ± kU, Ψ3,4 (k, γ) = ω(k) − σ ± kU, U = u cos γ. Интервал интегрирования по γ в (8) сведен к отрезку [0, π/2]. Функция Ψ1 (k, γ) не имеет положительных нулей в этой области. Функция Ψ2 (k, γ) может иметь не более (1) (2) (1) (2) двух нулей, обозначенных k2 и k2 (k2 < k2 ). Оба нуля существуют только при u > U1 (σ) ≡ cg (k1∗ ) и 0 < γ < γ1 , где волновое число k1∗ удовлетворяет уравнению kcg (k) − ω(k) = σ и γ1 = arccos(U1 /u). Если указанные условия не выполняются, то функция Ψ2 (k, γ) не имеет нулей. Функция Ψ3 (k, γ) всегда имеет только один корень k3 для любых значений γ ∈ [0, π/2]. Уравнение Ψ4 (k, γ) = 0 может иметь не более трех корней, причем один корень существует всегда, а два дополнительных — только при σ < σ∗ ≡ ω(kg ) − kg Ug и U3 < U < U2 . Функции U2 (σ) и U3 (σ) определяются следующим образом: U2 = cg (k2∗ ), U3 = cg (k3∗ ), где значения k2∗ < kg < k3∗ являются корнями уравнения ω(k) − kcg (k) = σ. (9) 118 И. В. Стурова (1) Если для заданной частоты σ < σ∗ значение скорости u > U2 (σ), то три корня k4 < (2) k4 < (3) k4 < существуют только для γ2 < γ < γ3 . Однако если U3 (σ) < u < U2 (σ), тогда три корня существуют только для 0 < γ < γ3 , где γ2 = arccos(U2 /u) и γ3 = arccos(U3 /u). Для битого льда (D = Q = 0) уравнение Ψ2 (k, γ) = 0 всегда имеет только один (1) корень k2 > k3 . Функция Ψ4 (k, γ) может иметь не более двух нулей, обозначенных k4 (2) и k4 (1) (k4 (2) < k4 ), для некоторых значений γ и только при σ < U∗ gρ/M . Оба нуля существуют только при U > ≡ где удовлетворяет (9). При u < U ∗ корни (1) (2) k4 , k4 существуют для всех значений γ ∈ [0, π/2]. Однако при u > U ∗ эти корни cg (k4∗ ), k4∗ существуют только для γ > arccos(U ∗ /u). В случае свободной поверхности (D = Q = = M = 0) получим известный результат [7; 8]: k4∗ = 4σ2 /g, U ∗ = 0, 25g/σ. m m Для определения неизвестных коэффициентов Ām n , An , Bn в (7), (8) используют­ ся граничные условия (5) на поверхности сферы и соотношения ортогональности для присоединенных функций Лежандра. Получающиеся бесконечные системы линейных алгебраических уравнений совпадают с приведенными в [8] и здесь не приводятся ввиду их громоздкости. При численном решении этих систем используется метод редукции. Гидродинамическая нагрузка, действующая на погруженное тело, определяется в ре­ зультате интегрирования распределения давления жидкости по его поверхности. Стаци­ онарная нагрузка, действующая на равномерно движущуюся сферу, определяется толь­ ко силой F = (F1 , F2 , F3 ), где 1 Fj = − ρu2 2 S ∇(φ̄ − x)∇(φ̄ − x)nj dS (j = 1, 2, 3), так как моменты относительно центра сферы равны нулю. Ненулевыми компонентами стационарной нагрузки являются только компоненты сил в направлении осей x и z, соответствующие волновому сопротивлению и подъемной силе. Расчеты для этих ха­ рактеристик даны в [9]. Радиационная гидродинамическая нагрузка равна τij = σ2 µij − iσλij = −ρ S [iσφj + u∇(φ̄ − x)∇φj ]nj dS, где µij и λij представляют соответственно присоединенные массы и коэффициенты демп­ фирования. Для сферы ненулевыми компонентами радиационной нагрузки являются только диагональные элементы τjj (j = 1, 2, 3), а также τ13 и τ31 . Выражения для этих m m компонент через коэффициенты Ām n , An , Bn совпадают с приведенными в [8]. Численные результаты Для выполнения численных расчетов использованы следующие значения исходных параметров: E = 5 · 109 Па, ρ = 1 025 кг/м3 , ρ1 = 922,5 кг/м3 , ν = 0, 3, a = 10 м. Рис. 1 показывает зависимости Uj (j = 1, 2, 3) от частоты для льда толщиной h1 = 1 м при Q = 0. Кривые Uj делят плоскость (σU ) на четыре области Sn (n = 1, . . . , 4). При значениях параметров σ и U из области S1 в дальнем поле существуют все шесть (1) (2) (1) (2) (3) возможных волн: k2 , k2 , k3 , k4 , k4 , k4 . Для областей S2 и S3 существуют четыре Гидродинамические нагрузки, действующие на погруженное тело 119 Рис. 1. Зависимость Uj (j = 1, 2, 3) от частоты при h1 = 1 м, Q = 0 (1) (2) (1) волны: k2 , k2 , k3 , k4 (1) волны: k3 , k4 . (1) (2) (3) и k3 , k4 , k4 , k4 соответственно. Для области S4 — только две В случае битого льда значение критической скорости U ∗ в виде безразмерного ком­ плекса σU ∗ /g в зависимости от частоты показано на рис. 2 для различных толщин льда. В этом случае плоскость (σU ) делится на две области: S1 и S2 . Существуют четыре вол­ (1) (2) ны (k2 , k3 , k4 , k4 ) в дальнем поле для значений из области S1 и две волны (k2 , k3 ) для области S2 . Рис. 2. Влияние частоты на безразмерную величину σU ∗ /g для битого льда 120 И. В. Стурова Рис. 3. Зависимость присоединенных масс (а) и коэффициентов демпфирования (б) от частоты для свободной поверхности и битого льда Рис. 4. Зависимость присоединенных масс (а) и коэффициентов демпфирования (б) от частоты для сплошного ледяного покрова Гидродинамические нагрузки, действующие на погруженное тело 121 Поведение радиационной нагрузки в зависимости от частоты колебания тела показа­ но на рис. 3 для сферы, погруженной на глубине h = 2a под свободной поверхностью и √ битым льдом, при значении скорости u/ ga = 0, 4. Использованы безразмерные значе­ ния: µ̄ij = µij /(πρa3 ), ¯λij = λij /(πρa3 σ). Результаты для случая свободной поверхности сопоставлены с табличными значениями [7]. Значения τ31 здесь не представлены, так как при относительно малой скорости движения тела выполняется равенство τij = −τji (i �= j). Некоторые коэффициенты радиационной нагрузки резко меняются в окрест­ ности критической частоты, которая при заданной скорости движения сферы для сво­ бодной поверхности составляет σ2 a/g ≈ 0,3906. Критические частоты уменьшаются с толщиной битого льда, как это следует из рис. 2: σ2 a/g ≈ 0,34603; 0,31456; 0,27118 при h1 = 0, 5; 1; 2 м соответственно. Влияние сплошного ледяного покрова на поведение радиационной нагрузки пред­ √ ставлено на рис. 4 при u/ ga = 0, 4 и h = 2a для различных толщин льда, а также значений усилия сжатия. Для сравнения показаны значения радиационной нагрузки при замене ледяного покрова твердой крышкой. В этом случае ненулевыми значени­ ями радиационной нагрузки являются только µjj (j = 1, 2, 3) и λ13 = −λ31 . Из рис. 4 следует, что диагональные коэффициенты присоединенной массы для ледяного покрова и твердой крышки при заданной скорости движения тела практически совпадают, но для коэффициента демпфирования λ13 это имеет место лишь при относительно толстом ледяном покрове h1 = 2 м. Из сравнения результатов, представленных на рис. 3, 4, вид­ но, что радиационная нагрузка в случае сплошного ледяного покрова меньше, чем в случаях битого льда и свободной поверхности. Однако следует отметить, что представ­ ленные на рис. 4 значения радиационной нагрузки относятся к случаю, когда скорость движения тела относительно мала и не превышает минимальной групповой скорости изгибно-гравитационных волн для всех рассмотренных случаев толщины льда и усилия сжатия. С увеличением скорости движения тела появятся критические частоты, соот­ ветствующие границам областей Sn (n = 1, . . . , 4) на рис. 1. В окрестности критических частот возможно резкое увеличение радиационной нагрузки. Заключение Следует отметить, что используемое моделирование ледяного покрова тонкой упру­ гой пластиной может быть применено только в случаях, когда толщина пластины мно­ го меньше длины образующихся волн. Применяемый метод мультипольных разложений наиболее эффективен при исследовании движения сферы, и полученные результаты могут быть использованы для тестирования вычислительных алгоритмов, предназна­ ченных для решения задачи о движении тела более сложной формы. Список литературы 1. Squire V. A., Hosking R. J., Kerr A. D., Langhorne P. J. Moving Loads on Ice Plates. Dordrecht: Kluwer, 1996. 122 И. В. Стурова 2. Bukatov A. E., Zharkov V. V. Formation of the Ice Cover’s Flexural Oscillations by Action of Surface and Internal Ship Waves. Pt. I. Surface Waves // Int. J. Offshore and Polar Engng. 1997. Vol. 7. No. 1. P. 1–12. 3. Стурова И. В. Гидродинамические нагрузки, действующие на колеблющийся ци­ линдр, погруженный в стратифицированную жидкость, при наличии ледяного покро­ ва // ПМТФ. 2011. Т. 52, № 3. С. 102–115. 4. Das D., Mandal B. N. Water Wave Radiation by a Sphere Submerged in Water with an Ice-Cover // Arch. Appl. Mech. 2008. Vol. 78. No. 8. P. 649–661. 5. Das D., Mandal B. N. Water Wave Radiation by a Sphere Submerged a Two-Layer Ocean with an Ice-Cover // Appl. Ocean Res. 2010. Vol. 32. No. 3. P. 358–366. 6. Mohapatra S., Bora S. N. Radiation of Water Waves by a Sphere in an Ice-Covered Two-Layer Fluid of Finite Depth // J. Advvanced Res. Appl. Math. 2010. Vol. 2. No. 1. P. 46–63. 7. Wu G. X., Eatock Taylor R. Radiation and Diffraction of Water Waves by a Submerged Sphere at Forward Speed // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1988. Vol. 417. No. 1853. P. 433– 461. 8. Wu G. X. Radiation and Diffraction by a Submerged Sphere Advancing in Water Waves of Finite Depth // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1995. Vol. 448. No. 1932. P. 29–54. 9. Стурова И. В. Движение погруженной сферы в жидкости под ледяным покро­ вом // ПММ. 2012. Т. 76, № 3. С. 406–417. 10. Хейсин Д. Е. Динамика ледяного покрова. Л.: Гидрометеоиздат, 1967. 11. Букатов А. Е. Влияние продольно сжатой упругой пластинки на неустановив­ шееся волновое движение однородной жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. № 5. С. 68–75. 12. Букатов А. Е., Черкесов Л. В. Неустановившиеся колебания упругой пластинки, плавающей на поверхности потока жидкости // Прикл. мех. 1977. Т. 13, № 9. С. 103–107. 13. Букатов А. Е., Ярошенко А. А. Развитие трехмерных изгибно-гравитационных волн при движении области давлений переменной интенсивности // ПМТФ. 1986. № 5. С. 54–60. Материал поступил в редколлегию 15.07.2012 Адреса авторов СТУРОВА Изольда Викторовна Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН пр. Акад. Лаврентьева, 15, Новосибирск, 630090, Россия e-mail: sturova@hydro.nsc.ru