Приближенные вычисления

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Приближенные вычисления»
для специальности 090102.65 «Компьютерная безопасность» подготовки специалиста
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины «Приближенные вычисления»
для специальности 090102.65 «Компьютерная безопасность» подготовки специалиста
Автор программы:
Перескоков А.В. , к.ф.-м.н., доцент, pereskokov62@mail.ru
Одобрена на заседании кафедры прикладной математики «20» мая 2014 г.
Зав. кафедрой М.В.Карасев
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Приближенные вычисления»
для специальности 090102.65 «Компьютерная безопасность» подготовки специалиста
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов специальности 090102 «Компьютерная безопасность» по специализации «Математические методы защиты информации», изучающих дисциплину «Приближенные вычисления».
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС 090102 Компьютерная безопасность.
 Образовательной программой 090102.65 «Компьютерная безопасность».
 Рабочим учебным планом университета по специальности 090102.65 «Компьютерная
безопасность», специализации «Математические методы защиты информации», утвержденным в 2014 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Приближенные вычисления» являются обеспечение выполнения требований, изложенных в государственном образовательном стандарте высшего профессионального образования по специальности 090102 «Компьютерная безопасность». Изучение дисциплины направлено на формирование перечисленных ниже компетенций.
Задачи дисциплины состоят в изучении численных методов и в освоении современных компьютерных технологий их применения.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать
- основные понятия теории приближенных вычислений,
- основные вычислительные методы,
- свойства и методы исследования алгоритмов вычислительной математики.
Уметь
- исследовать численные методы для решения нелинейных уравнений, систем линейных
алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений, для приближения функций, а
также для численного дифференцирования и интегрирования,
- обоснованно выбирать и использовать методы приближенных вычислений при решении
прикладных задач на компьютере.
Иметь навыки
- применения методов приближенных вычислений при моделировании реальных систем.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно научных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
- Математический анализ.
- Алгебра.
- Дифференциальные уравнения.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Приближенные вычисления»
для специальности 090102.65 «Компьютерная безопасность» подготовки специалиста
Для учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:
- Основами математического анализа, алгебры и теории обыкновенных дифференциальных уравнений, умение производить дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных, решать простейшие дифференциальные уравнения,
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
-Методы оптимизации
-Оптимизация в дискретных системах
5
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
6
6
Всего
часов
Название раздела
Понятие корректности вычислительных
алгоритмов. Обусловленность приближенных вычислений.
Приближенные вычисления решения систем линейных алгебраических уравнений
Приближенные вычисления для решения
нелинейных уравнений
Численное дифференцирование и интегрирование. Приближение функций.
Приближенные вычисления в теории разностных схем
Приближенные вычисления решения задачи Коши для ОДУ.
Итого
7
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
2
2
Самостоятельная
работа
3
18
6
3
9
9
3
2
4
26
9
4
13
23
8
3
12
17
6
3
8
100
34
17
49
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
Текущий
Контрольная работа
Итоговый
Экзамен
4 курс
1 семестр
9 неделя
В конце семестра
Параметры **
письменная работа 80 минут
Устная форма
6.1
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу студентов на практических занятиях: активность студентов
на семинарах; правильность решения задач на семинарах. Оценки за работу на семинарских и
практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10ти балльной шкале за работу на семинарских и практических занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: регулярность и правильность
выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях. Оценки за
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Приближенные вычисления»
для специальности 090102.65 «Компьютерная безопасность» подготовки специалиста
самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная
оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным
или итоговым контролем – Осам. работа.
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Онакопленная= 0,3 * Отекущий + 0,2 * Оауд + 0,5 * Осам.работа
где
Отекущий =Оконтр.работа.;
Способ округления накопленной оценки текущего контроля: в пользу студента.
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:
Орезульт = 0,5* Онакопл + 0,5 *·Озач
Способ округления накопленной оценки итогового контроля в форме зачета: в пользу студента.
7
Содержание дисциплины
Раздел 1. Название раздела: Понятие корректности вычислительных алгоритмов. Обусловленность приближенных вычислений
Содержание тем (для лекции, семинара)
Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Погрешности арифметических операций над приближенными числами. Погрешность функции одной и многих переменных.
Количество часов аудиторной работы - 2.
Общий объем самостоятельной работы - 3.
Литература по разделу: 1) из основного списка литературы, раздела 1) из дополнительного
списка литературы раздела 10.
Раздел 2. Название раздела: Приближенные вычисления решения систем линейных алгебраических уравнений
Содержание тем (для лекции, семинара)
Прямые методы. Метод Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Применение
метода Гаусса для решения задач линейной алгебры. Метод прогонки. Норма вектора и матрицы.
Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений. Итерационные
методы. Метод простой итерации. Условия сходимости, оценки погрешности. Метод Зейделя.
Количество часов аудиторной работы - 3.
Общий объем самостоятельной работы - 9.
Литература по разделу: 1) из основного списка литературы, раздела 1) из дополнительного
списка литературы раздела 10.
Содержание тем (для лекции, семинара )
Приближенные вычисления для решения нелинейных уравнений.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Приближенные вычисления»
для специальности 090102.65 «Компьютерная безопасность» подготовки специалиста
Локализация корней. Метод бисекции. Метод простой итерации. Условие сходимости, оценки погрешности. Метод Ньютона.
Количество часов аудиторной работы - 2
Общий объем самостоятельной работы - 4.
Литература по разделу: 1) из основного списка литературы, раздела 1) из дополнительного
списка литературы раздела раздела 10.
Раздел 3. Название раздела: Приближенные вычисления для решения нелинейных уравнений
Содержание тем (для лекции, семинара)
Прямые методы. Метод Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Применение
метода Гаусса для решения задач линейной алгебры. Метод прогонки. Норма вектора и матрицы.
Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений. Итерационные
методы. Метод простой итерации. Условия сходимости, оценки погрешности. Метод Зейделя.
Количество часов аудиторной работы - 3.
Общий объем самостоятельной работы - 9.
Литература по разделу: 1) из основного списка литературы, раздела 1) из дополнительного
списка литературы раздела 10.
Приближенные вычисления для решения нелинейных уравнений.
Локализация корней. Метод бисекции. Метод простой итерации. Условие сходимости, оценки погрешности. Метод Ньютона.
Количество часов аудиторной работы - 2
Общий объем самостоятельной работы - 4.
Литература по разделу: 1) из основного списка литературы, раздела 1) из дополнительного
списка литературы раздела раздела 10.
Раздел 4. Название раздела: Численное дифференцирование и интегрирование. Приближение
функций.
Содержание тем (для лекции, семинара)
Простейшие формулы численного дифференцирования. Вычислительная погрешность формул численного дифференцирования. Простейшие квадратурные формулы. Формулы прямоугольников,
трапеций, Симсона. Априорные оценки погрешности. Правило Рунге оценки погрешности.
Количество часов аудиторной работы - 1.
Общий объем самостоятельной работы - 4.
Литература по разделу: 1) из основного списка литературы, раздела 1) из дополнительного списка
литературы раздела 10.
Постановка задачи приближения функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Оценка погрешности интерполяции. Разделенные разности и их свойства. Интерполяционный многочлен Ньютона. Интерполяция сплайнами. Метод наименьших квадратов.
Количество часов аудиторной работы - 3.
Общий объем самостоятельной работы - 8.
Литература по разделу: 1) из основного списка литературы, раздела 1) из дополнительного
списка литературы раздела 10.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Приближенные вычисления»
для специальности 090102.65 «Компьютерная безопасность» подготовки специалиста
Раздел 5. Название раздела: Приближенные вычисления в теории разностных схем
Содержание тем (для лекции, семинара)
Разностные схемы для краевых задач в случае обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка. Основные понятия теории разностных схем. Решение начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности разностным методом.
Задача Дирихле для уравнения Пуассона. Разностная схема. Принцип максимума. Начальнокраевая задача для двумерного уравнения теплопроводности. Явная и неявные схемы.
Количество часов аудиторной работы - 3.
Общий объем самостоятельной работы - 12.
Литература по разделу: 2) из основного списка литературы, раздела 2) из дополнительного списка
литературы раздела 10.
Раздел 6. Название раздела: Приближенные вычисления решения задачи Коши для ОДУ.
Содержание тем (для лекции, семинара)
Численные методы решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Основные понятия и определения. Явный и неявный метод Эйлера. Использование
формулы Тейлора. Методы Рунге-Кутта. Оценка погрешности по правилу Рунге. Устойчивость численных методов решения задачи Коши. Понятие жесткой системы дифференциальных уравнений.
Количество часов аудиторной работы - 3.
Общий объем самостоятельной работы - 9.
Литература по разделу: 1) из основного списка литературы, раздела 1) из дополнительного списка
литературы раздела 10.
8
Образовательные технологии
Рекомендуемые образовательные технологии:
– чтение лекций,
– проведение практических занятий,
 проведение контрольной работы,
выполнение домашнего задания,
 проведение зачета.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1
Тематика заданий текущего контроля
Тема заданий утверждается преподавателем в индивидуальном порядке.
9.2
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету по всему курсу для самопроверки студентов.
1
2
3
Виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Правила записи приближенных чисел. Округление.
Погрешности арифметических операций. Погрешность функции.
Решение нелинейных уравнений. Метод бисекции.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Приближенные вычисления»
для специальности 090102.65 «Компьютерная безопасность» подготовки специалиста
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
Метод простой итерации для решения нелинейных уравнений.
Метод Ньютона (метод касательных).
Решение систем линейных алгебраических уравнений ( СЛАУ). Метод Гаусса. Метод Гаусса
с выбором главного элемента.
Применение метода Гаусса к решению задач линейной алгебры.
Норма вектора и матрицы. Обусловленность задачи решения СЛАУ.
Метод простой итерации для решения СЛАУ.
Метод Зейделя.
Метод Гаусса и LU-разложение.
Метод Холецкого ( метод квадратного корня).
Метод прогонки.
Постановка задачи интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Погрешность интерполяции.
Разделенные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона.
Метод наименьших квадратов.
Сплайны.
Численное интегрирование. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.
Априорные оценки погрешности. Правило Рунге оценки погрешности.
Численное дифференцирование.
Явный и неявный метод Эйлера.
Оценка качества численных методов. Оценка глобальной погрешности явного метода Эйлера.
Использование формулы Тейлора для получения численных методов.
Методы Рунге-Кутта.
Оценка погрешности по правилу Рунге. Автоматический выбор шага.
Устойчивость численных методов решения задачи Коши.
Понятие жесткой системы дифференциальных уравнений.
Разностная схема в случае первой краевой задачи для о.д.у. второго порядка.
Разностная схема в случае третьей краевой задачи для о.д.у. второго порядка.
Правило Рунге оценки погрешности. Метод стрельбы.
Основные понятия теории разностных схем.
Решение начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности разностным методом. Явная схема. Условие устойчивости.
Решение начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности разностным методом. Неявная схема. Схема Кранка-Николсона.
Задача Дирихле для уравнения Пуассона. Разностная схема. Методы решения.
Задача Дирихле для уравнения Пуассона. Принцип максимума. Единственность и устойчивость решения разностной схемы.
Начально-краевая задача для двумерного уравнения теплопроводности. Явная и неявная
схемы.
Начально-краевая задача для двумерного уравнения теплопроводности. Схема переменных
направлений.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров.
Москва: Издательство МЭИ, 2003.
10.2 Основная литература
1. Н.В. Копченова, И.А. Марон. Вычислительная математика в примерах и задачах. СПб. «Лань».
2008.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Приближенные вычисления»
для специальности 090102.65 «Компьютерная безопасность» подготовки специалиста
2. Б.И. Прокопов. Алгоритмы численного решения нелинейных уравнений М.: МИЭМ, 2008.
3. В.М. Вержбицкий. Основы численных методов. М: «Высшая школа». 2005.
4. А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. Вычислительные методы для инженеров.
М.Изд-во МЭИ, 2003.
5. А.А. Самарский, П.Н. Вабищев. Задачи и упражнения по численным методам. М: «КомКнига»,
2007.
10.3
Дополнительная литература
1. Волков Е.А. Численные методы. Москва: Наука, 1987.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. Москва: Наука, 1989.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва: Наука, 1987.
10.4 Справочники, словари, энциклопедии
10.5 Программные средства
Для успешного освоения дисциплины, студент использует следующие программные средства:
Wolfram MATHEMATICA, Maple, Mathcad, MATLAB.
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Специализированный компьютерный класс.