ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СФЕРЫ С ГРАНИЦЕЙ ПОЛОСТИ, СОВЕРШАЮЩЕЙ ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ

Конвективные течения…. Вып. 2
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СФЕРЫ
С ГРАНИЦЕЙ ПОЛОСТИ,
СОВЕРШАЮЩЕЙ ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ
ВИБРАЦИИ
А.А. ИВАНОВА1, В.Г. КОЗЛОВ2, А.Ф. КУЗАЕВ1
1
Пермский государственный педагогический университет,
614990, Пермь, Сибирская, 24
2
Институт механики сплошных сред УрО РАН,
614013, Пермь, Академика Королева, 1
Экспериментально изучается взаимодействие плотного сферического тела с границей плоского слоя, заполненного
жидкостью и совершающего продольные гармонические
вибрации. Обнаружено, что вблизи дна на тело действует
подъемная сила, способная удерживать тяжелое тело в поле
силы тяжести на некотором расстоянии. Показано, что сила
отталкивания проявляется на расстояниях, сравнимых с толщиной пограничного слоя Стокса, и быстро угасает с удалением тела от поверхности. Найдены безразмерные параметры, определяющие вибрационное взаимодействие, построена пороговая кривая перехода тела в “подвешенное” состояние. Показано, что сила отталкивания проявляется во всем
интервале безразмерных частот.
ВВЕДЕНИЕ
В заполненной жидкостью и совершающей горизонтальные вибрации полости свободное плотное тело под действием осциллирующей силы инерции также совершает колебания. Гидродинамическое взаимодействие колеблющегося тела с жидкостью рождает
среднюю по времени силу, действующую на тело.
Взаимодействие тела и жидкости зависит от характера вибраций
полости (жидкость считаем несжимаемой). При поступательных
 А.А. Иванова, В.Г. Козлов, А.Ф. Кузаев, 2005
Иванова А.А., Козлов В.Г., Кузаев А.Ф.
вибрациях колебание жидкости вызывается колебаниями тела (в
отсутствие тела или в случае равенства плотности тела и жидкости,
последняя остается неподвижной относительно полости). При высокочастотных вибрациях, когда толщина вязких пограничных слоев вблизи поверхности тела мала по сравнению с его размером, при
описании колебательного движения жидкости вязкостью можно
пренебречь. В этом случае действующие на тело осредненные силы
появляются при нарушении симметрии пульсационного поля скорости, что приводит к нарушению симметрии поля среднего давления на поверхности тела. Это проявляется, когда тело совершает
колебания на некотором расстоянии от стенки полости (тело испытывает силу притяжения к стенке) либо колеблется вблизи другого
тела [1]; сила взаимодействия быстро убывает с расстоянием [2, 3].
Иная ситуация складывается при непоступательных вибрациях
полости, когда колебания жидкости относительно полости вызваны
изменением ее ориентации и имеют место в отсутствие тела. Особый интерес представляют комбинированные, поступательновращательные вибрации. Вращательная вибрационная компонента
вызывает колебания жидкости относительно полости, не связанные
с наличием тела, а интенсивная поступательная – синхронные колебания тела; результирующие осредненные силы значительно
больше по величине и проявляются во всем объеме полости [4, 5].
Отмеченные задачи касаются предельного случая высоких частот с невязким характером колебаний жидкости. При существенной
роли вязкости, когда размеры тела или расстояние между телами
сравнимы с толщиной слоев Стокса, вибрационное взаимодействие
тел становится более сложным, направление осредненных сил нередко становится противоположным. Это демонстрируют физические [5] и прямые численные эксперименты [6]. Природа такого
взаимодействия не до конца выяснена, закономерности осредненного взаимодействия тел в области умеренных и низких частот
изучены мало.
В настоящей работе экспериментально исследуется подъемная
сила, действующая на плотное сферическое тело, находящееся в
вязкой несжимаемой жидкости вблизи стенки полости, совершающей продольные вибрации.
1. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Измерение действующей на тело вибрационной силы основывается на сравнении этой силы с силой тяжести: в случае квазистационарного “подвешенного” состояния тела подъемная сила гидро88
Конвективные течения…, вып. 2, 2005
динамической природы уравновешивается весом тела (используется методика редукции действия гравитационного поля [5]).
Сферическое тело находится на дне полости и прижимается к
боковой границе за счет наклона слоя под углом α к горизонту
(рис. 1). Под действием поступательных вибраций тело совершает
колебания вдоль боковой грани, ориентированной вдоль оси вибраций: изучается взаимодействие тела с этой боковой стенкой.
Положение тела в полости определяется суммой касательных
компонент вибрационной подъемной силы FL и силы тяжести P .
В условиях равновесного (подвешенного) состояния, когда тело не
касается боковой грани, вибрационная сила компенсируется касательной компонентой силы тяжести Pn и может быть рассчитана;
величина силы Pn варьируется за счет изменения угла наклона полости. В случае малых углов α могут быть измерены даже слабые
вибрационные силы в условиях нормального тяготения.
z
y
α
FL
Pn
x
α
P
Рис. 1. Постановка задачи: кювета с жидкостью, тело – стальной шарик
диаметром d (P – сила тяжести, FL – вибрационная подъемная сила); α –
угол наклона слоя к горизонту
Кювета прямоугольной формы 20 × 20 ×140 мм3 (рис. 1) изготовлена из плексигласа. Дно полости вдоль координаты x имеет небольшую кривизну (радиус r ~ 50 см), поэтому в состоянии покоя
тело занимает устойчивое положение вблизи дна и боковой грани
полости. Опыты проводятся со стальными ( ρ S = 7.8 г/см3) шариками диаметром d в водоглицериновых растворах (плотность
ρ L ~ 1.2 г/см3, вязкость ν = 0.04 − 5.8 Ст).
89
Иванова А.А., Козлов В.Г., Кузаев А.Ф.
Возвратно-поступательные вибрации с частотой f = 0 − 20 Гц и
амплитудой b = 5 − 25 мм задаются при помощи механического
вибратора. Частота измеряется оптическим методом с точностью
0.01 Гц (нестабильность в ходе отдельного опыта не превышает
0.2 Гц), точность измерения амплитуды не ниже 0.02 мм.
При постоянных значениях d , α и b плавно повышается (понижается) частота вибраций f . При некоторой критической частоте тело отрывается от боковой стенки слоя (в направлении силы
FL ), при этом между телом и стенкой образуется зазор l . При понижении частоты тело возвращается в исходное состояние. Динамика тела регистрируется на видеокамеру. Аналогичные серии измерений проводятся при различных значениях амплитуды вибраций, вся последовательность повторяется при разных углах наклона
в интервале α = 0.06 − 0.25 рад.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
Тело, находясь в замкнутой полости с жидкостью, под действием
вибраций совершает колебания. При небольшой интенсивности
вибраций тело колеблется вдоль боковой грани полости (рис. 2, а),
находясь при этом в непрерывном контакте с обеими стенками, при
критической интенсивности вибраций тело отрывается от боковой
грани и “повисает” на некотором расстоянии l , продолжая совершать колебания, уже опираясь лишь на дно полости (рис. 2, б). При
дальнейшем повышении интенсивности вибраций зазор l между
телом и боковой стенкой увеличивается (рис. 2, в), стремясь к некоторому постоянному значению.
При снижении интенсивности вибраций зазор уменьшается
(рис. 2, г). Квазистационарные состояния (рис. 2, б – г) являются
устойчивыми.
В маловязких жидкостях отрыв тела от границы происходит
мягко, высота поднятия над поверхностью относительно невелика.
Положение тела не зависит от направления изменения интенсивности (частоты) вибраций, гистерезис в переходах отсутствует. Критическая частота подъема тела возрастает как с уменьшением амплитуды вибраций, так и с увеличением угла наклона полости α .
В вязкой жидкости тело отрывается от поверхности скачком,
“взлетая” сразу на конечное расстояние l * (штриховые линии на
рис. 3, направленные вверх). С повышением частоты при заданной
амплитуде зазор l увеличивается (светлые точки), при понижении
90
Конвективные течения…, вып. 2, 2005
(темные) l монотонно уменьшается, однако в последний момент
тело возвращается скачком, в переходах наблюдается гистерезис.
а
б
в
г
Рис. 2. Положение тела при вибрациях: а – в докритической области, б, в –
с повышением надкритичности, г – при снижении интенсивности вибраций, вблизи границы перехода
0.6
1
2
3
4
l,см
0.3
0
4
12
f, Гц
20
Рис. 3. Зависимость зазора l между стенкой полости и шариком от частоты
вибраций (α = 0.157 рад, d = 9.2 мм, ν = 4.6 Ст) для b = 6.1, 9.1, 20 и 25 мм
(1–4); стрелками отмечено резкое изменение положения тела (переходы
вверх – вниз при повышении и понижении частоты соответственно)
91
Иванова А.А., Козлов В.Г., Кузаев А.Ф.
При изменении амплитуды вибраций b характер кривых l ( f )
меняется мало, однако критическое расстояние l * с увеличением
амплитуды заметно повышается.
0.6
1
2
3
l,см
0.3
0
4
10
f, Гц
16
Рис. 4. Пороговые кривые поднятия и падения тела (d = 9.2 мм, переходы
обозначены стрелками) для b = 15.3 мм, ν = 4.6 Ст при α = 0.090, 0.157,
0.231 рад (1–3)
На рис. 4 показана зависимость l ( f ) от угла наклона полости.
При увеличении α (при увеличении нормальной к боковой границе компоненты силы тяжести, прижимающей тело к стенке) критическая частота отрыва тела от границы полости возрастает. Для
различных значений угла в изученном интервале α = 0.06 − 0.23 рад
характер кривых l ( f ) , за исключением области большой надкритичности, одинаков.
Для тел меньшего и большего размеров характер зависимости
l ( f ) сохраняется при различных α и амплитудах вибраций b .
На рис. 5 показаны пороговые кривые для различных по размеру
стальных шариков. Для точек 1−3 угол наклона кюветы остается
постоянным, вязкость жидкости изменяется вверх от значения
ν = 1.6 Ст.
92
Конвективные течения…, вып. 2, 2005
b,см
2
1
0.8
1
2
3
4
0.6
4
6
8
10
f, Гц 20
Рис. 5. Пороговые кривые на плоскости параметров вибраций; угол α =
0.157 рад: d = 6.0 мм, ν = 5.8 Ст (1), d = 9.2 мм, ν = 4.6 (2) и 1.62 Ст (3); α =
0.075 рад: d = 12.8 мм, ν = 1.85 Ст (4); заштрихованы области гистерезиса
Видно, что границы переходов существенно зависят от вязкости
жидкости, размера тела и угла наклона полости.
3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
В колеблющейся полости с жидкостью динамика тела существенным образом определяется безразмерной частотой вибраций
ω = Ωd 2 /ν (отношением размера тела d к толщине вязкого пограничного слоя δ = 2ν / Ω ). В поле силы тяжести в области высоких
частот определяющим динамику тела является вибрационный параметр Wd =(bΩ) 2 /( gd ) [4], который в условиях редуцированного
действия силы тяжести имеет вид: Wd =(bΩ)2 /(dg sin α ) [5].
Вязкое взаимодействие тела, колеблющегося относительно жидкости, с границей полости зависит от частоты ω и критического
расстояния l * / δ и играет определяющую роль в генерации подъемной силы. На рис. 6 приведены кривые, построенные для разных
по размеру тел при различных значениях вязкости жидкости и амплитуды вибраций.
На плоскости ω , l * / δ кривые, полученные при различных b и
ν для тела заданного размера, удовлетворительно согласуются между собой. С увеличением ω относительная высота скачка (подъема тела) l * / δ быстро уменьшается и обращается в нуль. Для тела
93
Иванова А.А., Козлов В.Г., Кузаев А.Ф.
размером d = 9.2 мм (точки 3–6) это происходит при ω ≈ 60 , в случае d = 6.0 мм (7–9) нулевое значение скачка достигается при
меньшей частоте, для d = 12.8 мм – при большей частоте.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
l*/δ
0.5
0
0
ω
40
*
80
1/2
Рис. 6. Зависимость критического зазора l /δ (δ = (2ν/Ω) – толщина пограничного слоя) от безразмерной частоты вибраций ω = Ωd2/ν; α = 0.075
рад: d = 12.8 мм, ν = 1.85 и 1.32 Ст (1, 2); α = 0.157 рад: d = 9.2 мм, ν = 4.6,
1.62, 1.10 и 0.73 Ст (3–6); d = 6.0 мм, ν = 5.8, 1.52 и 0.47 Ст (7–9); амплитуды вибраций разные
Таким образом, при одинаковом значении ω отношение l * / δ
повышается с увеличением размера тела. Причиной того, что для
тела меньшего размера кривая находится ниже, может быть как
большая восприимчивость тела небольшого размера к неконтролируемым возмущениям (например, шероховатость поверхности), так
и сложный состав подъемной силы (обсуждение этого – ниже).
На плоскости параметров ω , Wd кривая равновесия колеблющегося тела вблизи поверхности имеет две ветви (рис. 7): границу
подъема тела ( I ) и границу падения ( II ), которые в области частот
ω > 70 совпадают; между кривыми I и II находится область гистерезиса. Точки, полученные с телом d = 12.8 мм, точно совпадают
с кривой в диапазоне частот ω > 40 (на фигуре не показаны).
94
Конвективные течения…, вып. 2, 2005
400
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Wd
200
I
II
0
10
100
ω
1000
Рис. 7. Границы поднятия (зависания) тела над поверхностью (I) и возвращения в исходное положение (II) на плоскости ω,Wd (α = 0.157 рад); точки
1–8 – d = 9.2 мм, ν = 5.6, 4.6, 1.62, 1.1, 0.73, 0.46, 0.18 и 0.063 Ст; 9, 10 – d =
6.0 мм, ν = 5.8 и 1.52 Ст
На данной плоскости критические точки взлета (темные) и критические точки падения (светлые) удовлетворительно согласуются
между собой, хотя и получены для различных размеров тела и в
жидкостях разной вязкости. Относительно пологая в области частот
ω ~ 20 кривая имеет локальные минимум при ω ~ 50 и максимум
при ω ~ 300 . При частотах ω > 300 граница квазиравновесного
состояния тела (зависания) понижается, при ω < 20 граница резко
возрастает с уменьшением ω .
Основным вопросом, рассматриваемым в работе, является “способность” тела подниматься на некоторую высоту над поверхностью, в данном случае – это ширина зазора между колеблющимся
телом и плоскостью, которая характеризует радиус действия силы
отталкивания. Если представить зависимость критического вибрационного параметра от частоты в виде Wd* ~ ω − n , то в различных
интервалах частот с изменением ω показатель степени также будет
95
Иванова А.А., Козлов В.Г., Кузаев А.Ф.
изменяться. Так, в диапазоне ω = 5 − 20 граница “падения” тела
(равновесие тела в непосредственной близости от поверхности)
характеризуется законом Wd* ~ ω −1 (при ν = 4.6 Ст в интервале частот f = 6 − 18 Гц этому соответствует f * ~ b −2 / 3 , светлые точки 2
на рис. 5). Поэтому для указанного интервала частот имеет смысл
представить безразмерную высоту поднятия тела l / δ в зависимости от произведения ω Wd (рис. 8).
Произведение ω Wd нормирует вибрационный параметр Wd в
указанном интервале частот на критическое значение, которое изменяется с ω . Результаты экспериментов (различные амплитуды
вибраций, точки 1–6, разные углы наклона, 7–9) согласуются между собой: все точки группируются вблизи одной кривой. С увеличением ω Wd относительный зазор l / δ между телом и плоскостью
монотонно возрастает, стремясь к значению, приблизительно равному удвоенной толщине слоя Стокса.
Толщина слоя Стокса δ , выбранная в качестве единицы измерения ширины зазора, играет важную роль. Это доказывает, вопервых, определяющую роль слоя Стокса, во-вторых, эффективность использованного метода редукции поля силы тяжести (кривые, полученные при углах α = 0.06 − 0.23 рад, согласуются).
Можно сделать вывод, что вязкое взаимодействие колеблющегося в жидкости тела с границей полости приводит к генерации осредненной силы отталкивания, которая в состоянии поднять тяжелую (стальную) сферическую частицу над дном полости в поле силы тяжести. Эта сила проявляется в том случае, если ширина зазора
сравнима с толщиной слоя Стокса и монотонно и быстро убывает с
увеличением расстояния. При этом за подъем тела в поле силы тяжести отвечает вибрационный параметр Wd = (bΩ) 2 / dg n , где
g n = g sin α – нормальная к границе компонента ускорения свободного падения. Критическое значение Wd * зависит от безразмерной частоты ω . В области частот ω < 100 (при этом размер тела
сравним с толщиной слоя Стокса) между границами отрыва и падения тела наблюдается гистерезис. При понижении ω (по мере погружения тела в слой Стокса) подъемная сила снижается, значение
Wd * быстро нарастает, глубина гистерезиса увеличивается.
При анализе взаимодействия двух близко расположенных тел в
вибрирующей полости в области умеренных безразмерных частот
наряду со слагаемым подъемной силы, обязанным вязкому взаимо96
Конвективные течения…, вып. 2, 2005
действию колеблющихся тел, в [6] обнаружен значительный вклад
осредненных потоков во взаимодействие тел. Речь идет об акустических течениях, возбуждаемых неоднородными по поверхности
тела пограничными слоями. Природа этой компоненты подъемной
силы – обмен импульсом между телом и возбуждаемым им потоком, необходимое условие – асимметрия среднего течения.
1.8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
l/δ
1
0.9
0.5
0
500
0
0
3000
1000
ωW d
1500
6000
Рис. 8. Безразмерный равновесный зазор l/δ между телом и поверхностью
в зависимости от произведения ωWd для области частот ω < 10 (ν = 4.6
Ст, d = 9.2 мм): α = 0.157 рад, b = 6.1, 9.1, 14, 15.3, 20 и 25 мм (1–6); b =
15.3 мм, α = 0.060, 0.090 и 0.231 рад (7–9); на фрагменте штриховые линии со стрелками отмечают “взлет” тела
В области низких частот эффект вибрационного отталкивания
качественно согласуется с результатами [8], где показано, что на
частицу, движущуюся в вязкой жидкости параллельно плоской поверхности, действует подъемная сила, направленная от стенки. Эта
сила пропорциональна квадрату скорости и быстро убывает с расстоянием за пределами радиуса вязкого взаимодействия частицы и
стенки (как показано выше, в нашем случае роль этого расстояния
играет толщина слоя Стокса). Природа резкого снижения подъем97
Иванова А.А., Козлов В.Г., Кузаев А.Ф.
ной вибрационной силы с понижением безразмерной частоты в
области ω < 10 заключается, очевидно, в снижении скорости колебательного движения тела вследствие вязкого демпфирования.
Заключение. Экспериментально изучено поведение сферического тела в вязкой жидкости вблизи твердой плоской границы слоя,
совершающего продольные гармонические колебания.
Обнаружено, что на тяжелое тело действует подъемная сила (сила отталкивания), способная удерживать тело в поле тяжести на
некотором расстоянии над поверхностью. Сила проявляется на расстояниях, сравнимых с толщиной пограничного слоя, и быстро угасает с удалением от поверхности.
Найдены безразмерные параметры, характеризующие вибрационную динамику тела на близком расстоянии от поверхности:
Wd = (bΩ) 2 / dg n и ω = Ωd 2 /ν ; на плоскости этих параметров построена критическая кривая, определяющая область “подвешенного” состояния тела.
Показано, что сила отталкивания проявляется на всех частотах
вибраций, включая высокие, с увеличением ω сила взаимодействия ослабевает с расстоянием быстрее. В области безразмерных
частот ω < 100 между границами отрыва тела от поверхности (при
увеличении вибрационного параметра) и возвращения в исходное
положение (при понижении Wd ) обнаружен гистерезис.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант РФФИ-Урал 0401-96055).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: ГИТТЛ, 1947. 928 с.
2. Луговцов Б.А., Сенницкий В.Л. О движении тела в вибрирующей
жидкости // Докл. АН СССР. 1986. Т. 289. № 2. С. 314–317.
3. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А. О движении твердого тела в вибрирующей жидкости // Конвективные течения /
Перм. гос. пед. ин-т. Пермь, 1987. С. 61–70.
4. Kozlov V.G. Solid body dynamics in cavity with liquid under highfrequency rotational vibration // Europhys. Lett. 1996. V. 36. № 9.
P. 651–656.
5. Иванова А.А., Козлов В.Г. Динамика сферического тела в жидкости при вращательных колебаниях полости // Изв. РАН. МЖГ.
2001. № 5. С. 35–47.
98
Конвективные течения…, вып. 2, 2005
6. Tabakova S.S., Zapruanov Z.D. On the hydrodynamic interaction of
two spheres oscillating in a viscous fluid. I. Axisymmetrical case; II.
Three dimensional case // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 1982. V. 33.
P. 344–357; P. 487–502.
7. Иванова А.А., Козлов В.Г., Кузаев А.Ф. Вибрационная подъемная
сила, действующая на тело в жидкости вблизи твердой поверхности // Докл. АН. 2005. Т. 402. № 4. С. 1–4.
8. Vasseur P., Cox R.G. The lateral migration of spherical particles sedimenting in a stagnant bounded fluid // J. Fluid Mech. 1977. V. 80.
Pt 3. P. 561–591.
HYDRODYNAMIC INTERACTION OF
SPHERE WITH BOUNDARY OF CAVITY
SUBJECT TO TRANSLATIONAL VIBRATION
A.A. IVANOVA, V.G. KOZLOV, A.F. KUZAEV
Abstract Interaction of dense spherical body with border of flat
layer filled with liquid and subject to longitudinal vibrations is
experimentally studied. It is revealed that near to the bottom the
vibrational force capable to lift heavy body in gravity field acts
on the body. The repulsion force acts at the distance comparable
to the thickness of Stokes layer, and quickly decreases with distance growth. The dimensionless parameters governing the vibrational interaction are determined, the threshold curve of transition of body in the “suspended” condition is found. It is shown,
that repulsion force acts in all the interval of frequencies.
99