ТРЕНИЕ При движении или стремлении двигать ... другого в касательной плоскости поверхностей ...

ТРЕНИЕ
При движении или стремлении двигать одно тело по поверхности
другого в касательной плоскости поверхностей соприкосновения возникает
сила трения скольжения.
Если одно тело, например цилиндрический каток, катить или
стремиться катить по поверхности другого тела, кроме силы трения
скольжения из-за деформации поверхностей тел дополнительно возникает
пара сил, препятствующая качению катка.
1. Трение скольжения
Все поверхности тел в той или иной степени
шероховаты и все тела деформируемы. В связи с
r
этим и сила реакции R шероховатой поверхности
при равновесии тела зависит от активных сил не
r
R
r
F1
n
r
N
r
F
r
Fn
только по числовой величине, но и по направлению
(рис. 1).
Если силу реакции
r
F2
Рис. 1
r
R
шероховатой поверхности разложить на
r
составляющие, одна из которых N направлена по общей нормали к
r
поверхности соприкосновения, а другая F находится в касательной
r
плоскости к этой поверхности, то составляющая F силы реакции является
r
силой трения скольжения, а составляющая N нормальной реакцией.
В теоретической механике обычно рассматривается только сухое
трение между поверхностями тел, то есть такое трение, когда между ними
нет смазывающего вещества. Для сухого трения надо различать трение
скольжения при покое и равновесии тела и трение скольжения при движении
одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью.
При покое сила трения зависит только от активных сил. При
выбранном направлении касательной в точке соприкосновения поверхностей
тел сила трения вычисляется по формуле
F = å Fit .
i
Аналогично,
при
выбранном
выражается через заданные силы
направлении
нормальная
реакция
- N = å Fin .
i
В 1781 г. Кулон установил основные приближенные законы для сухого
трения скольжения при покое.
Законы Кулона
1. Сила трения скольжения находится в общей касательной плоскости
соприкасающихся
поверхностей
тел
и
направлена
в
сторону,
противоположную направлению возможного скольжения тела под действием
активных сил. Сила трения зависит от активных сил, и ее модуль заключен
между нулем и максимальным значением, которое достигается в момент
выхода тела из положения равновесия, то есть
0 £ F £ Fmax .
2. Максимальная сила трения скольжения не зависит от площади
соприкосновения трущихся поверхностей.
3.
Максимальная
сила
трения
скольжения
пропорциональна
нормальному давлению (нормальной реакции), то есть
Fmax=fN,
где
безразмерный
коэффициент
f
называют
коэффициентом
трения
скольжения; он не зависит от нормального давления.
4.
Коэффициент
трения
скольжения
зависит
от
материала
и
физического состояния трущихся поверхностей, то есть от величины и
характера шероховатости, влажности, температуры и других условий.
Коэффициент трения скольжения в зависимости от различных условий
устанавливается экспериментально.
Закон Кулона о предельной силе трения справедлив и при скольжении
одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью.
При этом коэффициент трения скольжения зависит от относительной
скорости скольжения. Для большинства материалов он уменьшается с
увеличением относительной скорости скольжения, но для некоторых
материалов, наоборот, увеличивается (трение кожи о металл).
В
приближенных
технических
расчетах
обычно
считают,
что
коэффициент трения скольжения не зависит от относительной скорости
скольжения.
В отличие от сухого трения, трение при наличии смазывающего слоя
между поверхностями определяется распределением относительной скорости
скольжения в этом слое. В этом случае трение происходит не между
поверхностями тел, а между слоями смазывающего вещества. Теория трения
в смазывающем слое жидкости рассматривается в гидродинамике.
Угол и конус трения
Многие задачи на равновесие тела на шероховатой поверхности, то есть
при наличии силы трения, удобно решать геометрически. Для этой цели
введем понятие угла и конуса трения.
Пусть твердое тело под действием активных сил находится на
шероховатой поверхности в предельном состоянии равновесия, то есть в
таком состоянии, когда сила трения достигает своего наибольшего значения
при данном значении нормальной реакции (рис. 2). В этом случае полная
r
реакция шероховатой поверхности R отклонена от нормали общей
касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол.
Этот наибольший угол j между полной
реакцией, построенной на наибольшей силе
трения при данной нормальной реакции, и
направлением нормальной реакции называют
углом трения.
Угол трения j зависит от коэффициента
r
R
r
F1
r
Fmax
трения.
Как следует из рис. 2
Fmax
.
N
Но по третьему закону Кулона
Fmax = fN,
следовательно,
tgφ = f,
то есть тангенс угла трения равен коэффициенту трения.
tgj =
j
r
F2
r
N
r
Fn
Рис. 2
Конусом трения называют конус, описанный полной реакцией,
построенной на максимальной силе трения, вокруг направления
нормальной реакции.
Если коэффициент трения во всех направлениях одинаков, то конус
трения круговой. Если же коэффициент трения в различных направлениях не
одинаков, то конус трения не круговой, например, в случае, когда свойства
соприкасающихся
поверхностей
различны
(вследствие
определенного
направления волокон или в зависимости от направления обработки
поверхности тел).
2. Трение качения
Если рассматриваемое тело имеет форму катка и под действием
приложенных активных сил может катиться по поверхности другого тела, то
из-за деформации поверхностей этих тел в месте соприкосновения могут
возникнуть силы реакции, препятствующие не только скольжению, но и
качению. Примерами таких катков являются различные колеса, как,
например, у электровозов, вагонов, автомашин, шарики и ролики в
шариковых и роликовых подшипниках и т.п.
Пусть цилиндрический каток находится на горизонтальной плоскости
под действием активных сил. Соприкосновение катка с плоскостью из-за
деформации фактически происходит не вдоль одной образующей, как в
случае абсолютно твердых тел, а по некоторой площадке. Если активные
силы приложены симметрично относительно среднего сечения катка, то есть
вызывают одинаковые деформации вдоль всей его образующей, то можно
изучать только одно среднее сечение катка. Этот случай рассмотрен ниже.
Активные силы, действующие на катки в виде колес (рис. 2.37), кроме
r
r
силы тяжести P обычно состоят из силы Q , приложенной к центру колеса
параллельно общей касательной в точке A, и пары сил с моментом L,
стремящейся катить колесо, называемое в этом случае ведомо-ведущим. Если
r
r
L=0, а Q ¹ 0, колесо называют ведомым, и если L ¹ 0, а Q = 0, то ведущим.
Ведомо-ведущими являются колеса локомотива, идущего вторым в составе
поезда.
Если активные силы, действующие на колесо, привести к точке A
соприкосновения катка с плоскостью, у которых нет деформации, то в общем
случае получим силу и пару сил, стремящиеся заставить каток скользить и
катиться. Следует различать чистое качение, когда точка соприкосновения
A катка не скользит по неподвижной плоскости, и качение со скольжением,
когда наряду с вращением катка есть и скольжение, то есть точка A катка
движется по плоскости. При чистом скольжении, наоборот, каток движется
по плоскости, не имея вращения.
Соприкосновение среднего сечения колеса с неподвижной плоскостью
из-за деформации колеса и плоскости происходит по некоторой линии BD.
По этой линии на колесо действуют распределенные силы реакции (рис. 4).
Если привести распределенные силы к точке A, то в этой точке получим
r
r
главный вектор R этих распределенных сил с составляющими N
r
(нормальная реакция) и F (сила трения) скольжения, а также пару сил с
моментом М (рис. 5).
r
F 1(a )
r
P
r
F (2a )
r
Q
r
N
r
R
r
F (na )
r
F
Рис. 3
(
Рис. 4
r
R(a )
Рис. 5
)
r
r
r
Приведем активные силы F1( a ) , F2( a ) , ... , Fn( a ) в общем случае к точке А.
r
В этой точке получим главный вектор этих сил R (a ) и пару сил, момент
которой равен главному моменту L (рис. 5).
При равновесии катка, то есть когда каток не катится и не скользит по
плоскости, активные силы уравновешиваются силами реакций связи и,
следовательно,
n r
r r
r
- R = R (a ) = å Fi(a ) ; - M = L = å M A Fi (a ) .
i= 1
Изменим
активные
силы,
i
приложенные
( )
к
катку
так,
чтобы
увеличивался момент L пары активных сил, стремящейся катить каток. Пока
каток находится в равновесии, увеличивается и равный ему по числовой
величине, но противоположный по направлению момент М пары сил,
препятствующий качению катка и возникающий от действия на каток
неподвижной плоскости. Наибольшее значение М достигается в момент
начала качения катка по плоскости.
Установлены следующие приближенные законы для наибольшего
момента пары сил, препятствующей качению.
1. Наибольший момент пары сил, препятствующий качению, в
довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.
2. Предельное значение момента Mmax пропорционально нормальному
r
давлению, а следовательно, и равной ему нормальной реакции N :
Mmax = δN.
Коэффициент пропорциональности d называют коэффициентом трения
качения при покое или коэффициентом трения второго рода. d имеет
размерность длины.
3. Коэффициент трения качения d зависит от материала катка,
плоскости и физического состояния их поверхностей. Коэффициент трения
при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой
скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости. Для случая
качения вагонного колеса по стальному рельсу коэффициент трения качения
d » 0,5 мм.
Законы трения качения, как и законы трения скольжения, справедливы
для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко
деформирующихся материалов катка и плоскости.
Эти законы позволяют не рассматривать деформации катка и
плоскости, считая их абсолютно твердыми телами, касающимися в одной
точке. В этой точке соприкосновения кроме нормальной реакции и силы
трения надо приложить еще и пару сил, препятствующую качению.
Для того чтобы каток не скользил, необходимо выполнение условия
r
F < Fmax = fN .
Для того чтобы каток не катился, должно выполняться условие
M < M max = dN .
Решение задач на равновесие тел при наличии сил трения обычно
вызывает затруднения. Это связано с тем, что сила трения является
величиной неопределенной, для которой известно ее предельное значение fN.
Неудобство решения задач на равновесие тел при наличии сил трения
состоит в том, что приходится оперировать с неравенствами. Задача сводится
к решению обычной системы уравнений статики в тех случаях, когда силы
трения достигают своих максимальных (предельных) значений. Однако
область изменения искомой величины при равновесии установить на
основании предельного значения этой величины не всегда представляется
возможным. Поэтому, если рассматривается не предельное положение
равновесия тела, можно составить для этого тела уравнения равновесия, в
которых силы трения положить равными
Fi = ki Ni (i=1,2, …),
где Ni – нормальная реакция; 0 £ k i £ f .
Разрешив систему уравнений относительно искомых величин, получим
искомые величины как функции от параметров ki. Области изменения
искомых величин определяются в зависимости от изменения параметров.