Касьянов В. А. Физика. 10 кл. Профильный уровень. Динамика.
реклама
Динамика
материальной точки
§ 17.
Принцип относительности Галилея
Принцип инерции. Кинематика описывает механическое движение мате­
матически, не объясняя физических причин его существования и измене­
ния, отвечая лишь на вопрос, как движется тело.
Дипамик:а объясняет причины, определяющие характер механическо­
го движения, т. е. даёт ответ на вопрос, почему движется тело.
Слово «динамика» происходит от греч.
Динамика
-
dynamis -
сила.
раздел механики, посвящённый изучению движения
тел под действием приложенных к ним сил.
Согласно современным физическим представлениям, характер движе­
ния тела определяет его взаимодействие с другими телами.
Согласно классической динамике начальное состояние системы одно­
значно определяется его координатами и скоростью.
Для того чтобы тело, находящееся в покое, изменило положение в про­
странстве, необходимо оказать на него некоторое воздействие. Поэтому ка­
жется логичным утверждение, что без внешнего воздействия не может
быть движения и чем сильнее воздействие, тем больше скорость тела. Еще
Аристотель утверждал: «Движущееся тело останавливается, если сила, его
толкающая, прекращает своё действие». Это подтверждал повседневный
опыт и непосредственные наблюдения: например, тележка, которую пере­
стают толкать, быстро останавливается на шероховатой дороге .
Чем лучше смазаны оси колес и чем ровнее дорога, тем большее рас­
стояние проходит тележка до остановки. В идеализированном эксперимен­
те, когда дорога абсолютно гладкая, т. е. когда исключены все внешние
воздействия, тележка будет катиться без остановки по инерции .
Инерция
-
явлеиие сохранения состояния движения или покоя
пр и отсутствии внешних воздействий.
76
Механика
Движение по инерции
-
движение тела, происходящее без внеш­
них воздействий. В земных условиях такое движение праRтически не
встречается.
Обобщив
результаты
уменьшении
сил
изучения
трения,
Галилей
движения
тел
при
сформулировал
максимальном
принцип
инер­
ции.
---- Принцип инерции - - - - - - - - - - - Если на тело не действуют внешние силы. то оно сохраняет состоя­
ние покоя или равномерного прямолинейного движения.
Инерциальные системы отсчета. Равномерное прямолинейное дви­
жение и состо яние покоя физически эквивалентны в том смысле, что они
существуют без внешнего воздействия. Кроме того, понятия •движение•
и •покой• относительны и зависят от выбора системы отсчёта. Например,
стол в комнате, неподвижный относительно системы отсчёта, связанной
с домом, движется вместе с Землёй вокруг её оси и вокруг Солнца, а вмес­
те с Солнечной системой вокруг центра ГалаRтики в расширяющейся Все­
ленной.
ОднаRо эквивалентность и взаимозаменяемость состояния покоя и равно­
мерного прямолинейного движения возможны лишь в
системах
инерциальных
отсч.ёта (ИСО), покоящихся или движущихся равномерно
и прямолинейно относительно друг друга.
Инерциальная система отсчёта -
система отсчёта. в которой тело.
не взаимодейсmующее с другими телами. сохраняет состоmне покоя
или равномерного прямолинейного движения.
Если систему отсчета, связанную с Землёй, можно рассматривать KaR
инерциальную, то и система отсчёта, связанная с кораблём, плывущим по
прямой с постоянной скоростью, или автобусом, движущимся равномерно
и прямолинейно, также будет инерциальной.
Системы отсчёта, в которых принцип инерции не выполняется, называ­
ют неинерциальными. При резком трогании с места автобуса пассажира
отбрасывает назад, в сторону, противоположную направлению движения .
Следовательно, скорость пассажира относительно автобуса изменяется в от­
сутствие внешних сил. Система отсчёта, связанная с автобусом, является
неинерциальной.
п
Динамика материальной точки
а
63
.
Относитедьность
и
..." .........._....x:-
--~.;!1!1--------~..-;.;:cl-.~~~--""""
T@·
состояния покоя рав­
номерного прямоди­
нейного движения
в раздич.ных инерци­
ал ьных системах
х
6)
отсчёта:
а) скорость автомо ­
биля. находящегося
на платформе, отно ­
ситедьно Земди рав ­
на
6)
-х
u;
скорость километ ­
рового столба относи­
тельно пдатформы
равна
-v
Примером неинерциальной системы отсчёта может служить система от­
счёта, связанная с лифтом при его ускоренном или замедленном движении,
а также система отсчёта, связанная с вращающимся барабаном стиральной
машины.
Рассмотрим
(рис.
примеры
возможных
инерциальных
систем
отсчёта
63).
Предположим, что на открытой платформе вагона поезда, движущегося
со скоростью
v относительно железнодорожного полотна, находится автомо­
биль. Относительно движущейся системы отсчета Х' (связанной с вагоном)
автомобиль покоится, а относительно неподвижной системы Х (связанной
с Землей) он движется со скоростью поезда.
В то же время километровый столб покоится в системе отсчета Х и дви­
жется со скоростью
-v относительно системы Х' (как это кажется маши­
нисту поезда, смотрящему из окна).
Возможная перестановка (эквивалентность) понятий покоя и движения в
системах отсчёта Х и Х' свидетельствует о том, что эти системы являются
инерциальными.
Преобразования Галилея. Найдём, как связаны между собой коорди­
наты и скорость тела в различных инерциальных системах отсчёта. Предпо­
ложим, что автомобиль, находящийся на платформе поезда, идущего со ско­
ростью
v, равномерно движется вдоль неё со скоростью v x, относительно
платформы (рис.
64,
а) .
78
Механика
х
~
1
х
-----
~
~ [)
"
----~---..----·
Через промежуток времени
столба на расстояние
vt.
х
t платформа сместится от километрового
Автомобиль за этот промежуток времени проедет
по платформе расстоян ие
х'
= ux't
(41)
и будет находиться от столба на расстоянии
х = х'
(рис.
64 ,
+ ut
(42)
б) . Координаты тела (автомобиля) в различных инерциальных
системах отсчёта Х и Х' связывают преобразования Галилея :
=
х'
х
- vt.
(43)
Время в классической механике является абсолютным: оно едино для
наблюдателей во всех инерциальных системах отсчета . Движущиеся и не­
подвижные часы идут с одинаковой скоростью и (после синхронизации)
показыв ают одинаковое время .
Скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта:
их=
Разделив почленно выражение
х
t '
(42)
на время
t,
получим закон сложе­
ния скоростей:
(44)
79
Динамика материальной точки
Преобразования Галилея и закон сложения
скоростей справедливы, если скорость движе­
ния тела или инерциальной системы отсчёта
много меньше скорости распространения света
в вакууме с
= 3 · 108 м/с.
Если платформа движется со скоростью
=
60 км/ч,
направлении движения поезда со скоростью
= 10 км/ч,
v =
а автомобиль едет относительно неё в
v х' =
то скорость автомобиля относительно
железнодорожного полотна
с той же скоростью, но в противоположном на­
правлении, то его скорость относительно полот­
на дороги была бы равна
50 км/ч.
Из-за вращения Земли вокруг своей оси ско­
рость движения
v
её затенённой стороны при­
бавляется к скорости движения
круг Солнца (рис.
65
vx = 70 км/ч.
Если бы автомобиль двигался по платформе
vc
по орбите во­
Отличие скорости
движения вокруг
Солнца освещённой
и затенённой
сторон Земли:
V0
V3
=
=
Vc Vc
+
V,
V
65).
Скорость движения
освещённой
стороны
меньше,
чем
затенённой.
Поэтому жители Земли ночью движутся вокруг Солнца быстрее, чем
днем.
Движение инерциальной системы отсчёта не оказывает влияния на пря­
молинейное равномерное движение тела или его состояние покоя в этой
системе.
Во всех инерциальных системах отсчёта законы классической ди­
намики имеют один и тот же вид.
В этом состоит принцип относительности Галилея.
Это означает, что при переходе от одной инерциальной системы отсчёта
к другой математические формулы, описывающие законы механики, не
изменяются.
Все инерциальные системы отсчёта равноправны . Принцип относитель­
нос ти Галилея характеризует симметрию законов физики по отношению
к переходу от одной ИСО к другой.
ВОПРОСЫ
1.
2.
Что изучает динамика?
Какое движение на з ывается движением п о инерции? Сформулируйте принцип и нер­
ции Галилея.
80
З.
Механика
Какую систему отсчёта называют инерциальной? Почему равномерное прямолиней­
ное движение и состояние покоя физически эквивалентны и взаимозаменяемы лишь
в инерциальных системах отсчёта?
4.
5.
Получите преобразования Галилея и закон сложения скоростей .
Сформулируйте принцип относительности Галилея . Разъясните его смысл .
§ 18.
Первый закон Ньютона
Закон инерции. Формулировка принципа инерции, данная Галилеем , сви­
детельствует о том, что не всегда можно доверять очевидным выводам, ба­
зирующимся на непосредственном наблюдении. К представлению о движе­
нии по инерции удалось прийти лишь при анализе идеализированного экс­
перимента (который невозможно реализовать в действительности), когда
отсутствуют трение и любые внешние воздействия на тело.
В
1687
г. принцип инерции Галилея был сформулирован Ньютоном
в виде первого закона динамики (закона инерции).
Приведём современную формулировку этого закона.
Первый закоп Ньютопа - - - - - - - - - - Существуют инерциальные системы отсчёта, в которых все тела в
отсутствии внешних воздействий движутся прямолинейно и рав­
номерно.
Тело движется прямолинейно и равномерно, так как все действующие
на него силы скомпенсированы. Пока такая компенсация сохраняется, ско­
рость тела либо постоянна (при прямолинейном равномерном движении),
либо равна нулю (в состоянии покоя). Понятие инерциальной системы от­
счёта является
идеализацией,
потому что
она
связана с телом отсчёта , а все тела в природе в
большей или меньшей степени взаимодействуют
друг с другом. Во Вселенной практически невоз­
можно найти тело, не испытывающее внешние
воздействия, и непосредственно эксперименталь­
но подтвердить первый закон Ньютона. Однако с
его помощью можно объяснить ряд опытов, что
является косвенным подтверждением справедли ­
вости этого закона.
66
Сохранени е состоя­
Экспериментальные подтверждения закона
Монета, лежащая на плексигласе, за­
инерции.
ния покоя: монета
крьmающем
проваливается
щелчке по плексигласу в горизонтальной плос­
горлышко
бутылки,
в 6уты.пку
кости падает в бутылку (рис.
66).
при
резком
81
Динамика материальной точки
При резком торможении автомобиля пасса­
жиры, не пристёгнутые ремнями безопасности,
продолжают по
инерции движение вперед, что
может привести к травме.
Межпланетная космическая станция, запус­
каемая с Земли, на большом расстоянии от пла­
неты
движется
практически
прямолинейно
и
равномерно, вообще не расходуя топливо.
Облако раскалённого газа, образовавшегося
при взрыве сверхновой звезды, по инерции рас­
ширяется в окружающее
взрыва (рис.
67).
67
пространство от места
В момент фотографирования
Расшире ние облака
(1990 г.) его диаметр составлял 2 • 10 1 з км.
раскалённого газа,
Таким образом, из первого закона Ньюто­
на следует, что тел.о может двигаться
образовавшегося при
внешнего
Следовательно, ско-
8 космическом
рость сама по себе не показывает, действуют на
пространстве
как при наличии, так и при отсутствии
воздействия.
взрыве сверхновой
звезды (1987А},
тело внешние силы или нет. Ответ на фундаментальный вопрос, какая фи­
зическая величина является однозначным показателем наличия
внешнего
воздействия, был дан Ньютоном во втором законе. Ньютон
показал, что такой величиной является ускорение тела.
ВОПРОСЫ
1.
Сформулируйте закон инерции (первый закон Ньютона) .
2.
При каком условии скорость тела остается неизменной?
З.
П очему при резком выдергивании свёклы из земли ботва рвётся , а при постепенном
нет?
4.
Какие различные физические эффекты и почему наблюдаются при резком и посте­
пенном выдёргивании листа бумаги из-под стоящего на нём стакана с водой?
5.
Сформулируйте следствие первого закона Н ьютона .
§ 19.
Второй закон Ньютона
Сила как мера взаимодействия тел. Тело движется прямолинейно и рав­
номерно по абсолютно гладкой поверхности лишь в случае, когда отсутст­
вует внешнее воздействие . Если подтолкнуть тело в направлении движе­
ния, его скорость увеличится. Воздействие на тело в направлении, противо­
положном его движению, уменьшает скорость тела. Следовательно, внеш­
нее воздействие изменяет скорость. Таким образом, не
скорость,
а
её
изменение является показател.е.111. наличия ил.и отсутствия внеш­
него воздейств ия. При равномерном прямолинейном движении измене-
82
Механика
ние скорости равно нулю, что свидетельствует об
~i
отсутствии внешнего воздействия.
При
воздействии
на
движущееся
тело
1
других тел его скорость может изменяться
'
ния скорости их отдельных частей могут быть раз­
не только по модулю, но и по направлению.
При контакте взаимодействующих тел измене­
''
'
личными. При этом возникают деформации тел,
т . е. изменения их формы и размеров. Деформа­
и
~ д~
ции тел прекращаются, когда возникающие силы
Ли =
••
и - и
0
упругости уравновесят внешние воздействия на
тело.
Направление внешнего воздействия может не
68
совпадать с направлением скорости тела.
Изменение вектора
Рассмотрим удар бильярдного кия по шару в
u
скорости шара па-
направлении, перпендикулярном скорости 0 дви­
ралл ельно направле­
жения шара (рис .
нию удара:
ли 1f
i
68).
В результате удара с силой F шар получает до­
полнительную скорость в направлении F. Вектор из~
Чем больше сила
~
менения скорости Ли направлен в сторону силы F .
F,
тем больше изменение скорости л и, т. е.
можно предположить, что
~
Ли-
~
F.
(45)
Так как изменение скорости в единицу времени определяет ускорение
тела а, то
ли
-
а.
(46)
Следовательно, ускорение тела пропорционально силе, действующей на тело:
а
Сила
-
- i'.
(47)
векторная физическая величина, являющаяся мерой ме­
ханического воздействия на тело со стороны других тел, в резуль­
тате которого тело приобретает ускорение или изменяет форму и
размеры.
Физическая природа взаимодействий может быть различной. Сущест­
вует четыре фундаментальных взаимодействия : гравитационное, слабое,
электромагнитное и сильное. Сила явля ется количественной мерой взаимо­
действия. Силы взаимодействия различной природы можно измерять в од-
83
Дина м ика матер и альной точки
--а и
них и тех же единицах с помощью одних и тех же
приборов .
Пропорциональность между силой F и ускоре­
нием а справедлива для сил различной физиче­
ской природы. Направление ускорения совпадает
с направлением силы независимо от направления
скорости тела (рис.
69).
69
Совпадение н.аправл.е­
Коэффициент пропорциональности между си­
ния ускорения
ii
с !fй-·
F
лой и ускорением для данного тела является по­
правл.ение.м сил.ы
стоянной величиной, не зависящей от модуля
зависимо от направле­
и
направления
силы .
Он
характеризует
меру
ния скорости
(не­
uтел.а)
и нертност и тела.
Инертность
том ,
что
-
свойство, заКJПОчающееся в
разJIИЧИЫе
тела
по -разному
из­
2а
меняют свою скорость при одном и том же
внешнем воздействии.
Количественной мерой инертности является
ма сса тела .
Масса
тела
-
физическая
величина ,
являющаяся мерой инертности тела.
d
2
--70
Ускорение тел.а прямо
пропорционально сил.е,
Чем больше сила, действующая на тело
определённой массы, тем большее ускорение
оно приобретает (рис.
действующей на тел.о
70).
Опыт показывает, что телу большей массы
труднее сообщить определённое ускорение, чем
телу меньшей массы.
Чем больше масс а тела, тем .м.енъшее ус­
корение оно приобретает при одной и той
же действующей на него силе (рис.
71).
Связь между ускорением тела и силой, дейст­
вующей на него, можн о представить в виде
...
а=
F
т
(48)
т
а
111
..L~
71
ттт
ь
Ускорение тел.а обрат­
но пропорционально
его массе
84
Механика
Единица силы определяется из формулы
(48):
[F ] = [m] [а]= 1кг · 1 м/с 2 = 1 Н.
Единица силы
-
(49)
н.ьютон. (Н).
1Н -
сил.а, которая сообщает тел.у массой
в н.аправл.ен.ии действия силы.
1 кг ускорен.ие 1 м/с 2
Движение тела под действием нескольких сил. Найдём ускорение
тела при одновременном действии на него нескольких сил .
Если на тело массой т действует сила F1 , то она вызывает его движение
с ускорением
(рис. 72, а).
Согласно формуле (48)
al
...
ai =
i'i
(50)
т.
Под действием силы F2 (рис. 72, 6) тело приобретает ускорение
(51)
При одновременном действии на тело двух сил
F1 и F2 (рис.
72, в) тело
движется с ускорением
(52)
или
...
i\ +ff2
а = --т
72
Ускорение, приобретаемое
телом массой т:
а) под дейсrп8ием силы
...
al =
az
=
т
m;
F2
'
Ё'2
m;
в) под действием сил
ff 1 + F2
d= - т
--
в
(J
Ё'1
6) под дейсrп8ием силы
...
F1
F1 и F2
''
''v ,
i)
а
85
Динамика материальной точки
Каждая
из
сил,
действующих
на тело,
сообщает
телу
ускорение,
:которое она бы сообщила ему в отсутствие других сил .
В этом состоит прин цип
не завис имос ти
действия
разл и чных
сил.
В общем случае если на тело действует п сил
(F1' F2 ,
•• • ,
Fп), то резуль­
тирующее ускорение тела определяется суммарной (равноде йствующей)
силой:
(53)
---------- Принцип суперпозиции сил
Результирующая (равнодействующая) сила, действующая на час­
тицу со стороны других тел, равна векторной сумме сил, с которы­
ми каждое из этих тел действует на частицу.
Принцип суперпозиции справедлив для сил различной природы . С его
помощью возможно сложение гравитационной силы (например, силы тя­
жести) с электромагнитной (например, силой трения).
Сформулируем второй за кон Ньютона.
----------- Второй закон Ньютона
В инерциальной системе отсчёта ускорение тела прямо пропорцио­
нально векторной сумме всех действующих на тело сил и обратно
пропорционально массе тела:
а=
t.F
(54)
т
При решении задач динамики второй закон Ньютона удобно записывать
иначе:
та =
EF.
(55)
Произведение м ассы тела и его ускоре ния равно векторной сум­
ме всех действу ющих на тело сил.
Как вы помните, любой физический закон имеет границы примени­
мости.
Второй закон Ньютона применим для описания движения тел
со скоростью, много меньшей скорости распространения света в вакууме ,
v
«
3 · 108 м/с .
86
Механика
ВОПРОСЫ
1.
Какая физическая величина характеризует отсутствие или наличие внешнего воз­
действия? Дайте определение силы и назовите единицы силы .
2.
Почему, находясь в купе поезда с зашторенным окном и хорошей звукоизоляцией ,
можно обнаружить, что поезд движется ускоренно , но нельзя узнать , что он движет­
ся равномерно?
З.
Что такое инертность? Какая физическая величина является мерой инертности?
4.
5.
Сформулируйте принцип суперпозиции сил .
Сформулируйте второй закон Ньютона.
ЗАДАЧИ
1 . Тело массой т =2 кг, движущееся на восток, тормозится постоянной силой F = 1О Н,
направленной на запад. Ч ему равно и куда направлено ускорение тела? [а=
2.
Коляска массой т
= 1О
кг движется на юг с ускорением а=
двух сил, одн а из которых
F1
= 25 Н направлена на юг.
0,5
Н а тело массой т
5
м/с 2 ]
под действием
Куда н аправлена и чему равна
сила F 2 , действующая на коляску?
З.
м/с 2
[на север ;
= 5 кг действуют силы F 1 =9 Ни F 2 = 12
20
Н]
Н, направленные на север
и восток соответственно . Чему равно и куда направлено ускорение тела?
[а= З м /с 2 ;
4.
При входе ракеты со скоростью
v0
36,87°;
на северо-восток]
в плотные слои атмосферы тормозящая сила
F 1,
действовавшая на ракету в менее плотных слоях, скачком возросла втрое , оставаясь
затем постоянной. Как будет зависеть от времени скорость ракеты в плотных слоях
атмосферы? Масса ракеты т .
5.
[ v = v0
-
З~t
J
Моторная лодка движется с ускорением а=
дв игателя
Сила
F 1 = 1ООО
F 1 направлена
Н, силы ветра F 2
на юг, сила
F2 -
2 м/с 2 под действ ием трёх сил : силы тяги
Ни силы сопротивления воды F 3 = 414 Н .
запад , а сила F 3 противоположна направле­
= 1ООО
на
нию движения лодки. В каком направлении движется лодка и чему равна её масса?
[на юго- з апад ; 500 кг]
§ 20.
Третий закон Ньютона
Силы действия и противодействия. Сила, сообщающая телу ускорение,
.являете.я мерой внешнего воздействия на него другого тела. Эта сила воз­
никает при взаимодействии между этими телами . Так как объекты взаи­
модействия равноправны, то на второе тело со стороны первого также дей­
ствует сила -
сила противодействия.
Силы действия и противодействия, возникающие в результате взаимо­
действия тел, .явл.яютс.я силами одной природы. Так , взаимодействие пла-
87
Динамика материальной точки
1
--- g
2
а
..
...
73
Равен.сmво сил дейст­
вия и противодейст­
вия при столкнове­
нии двух одинаковых
шаров
нет является гравитационным, взаимодействие стального бруска и магнита
-
электромагнитным.
Рассмотрим силы действия и противодействия на примере встречного
столкновения двух одинаковых шаров из пластилина . Если скорости ша­
ров одинаковы по модулю, то в результате столкновения шары останавли­
ваются (рис.
73).
При столкновении наблюдается равенство сил действия и противодейст­
вия. Покажем это для частного случая.
Изменение скорости первого шара дr\ = О
Изменение скорости второго шара дv 2 = О
v -v направлено влево.
=
- (-v) = v
направлено вправо и
равно по модулю дv 1 . Ускорения шаров, характеризующие изменение их
скорости в единицу времени, равны по модулю и противоположны по направлению:
а1
= -а.2 .
Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на первый шар
со стороны второго, F12 = тй. 1 • Аналогично сила, действующая на второй
шар со стороны первого, F21 = тй. 2 • Равенство сил действия и противо­
действия
наблюдаете.я
и
при
столкновении
тел
произвольной
массы,
движущихся с различными скоростями.
В этом состоит третий закон Ньютона.
Третий закон Ньютона
Силы, с которыми две материалъяые точки действуют друг на друга ,
равны по модулю, противоположны по направлению и действуют
вдоль прямой, соединяющей эти точки:
....
....
F 12
=
-F21·
(56)
Эти силы приложены к разным телам, всегда действуют парами и .явля ­
ются силами одной природы.
Ньютоном этот закон был сформулирован так : «Любому действию
всегда препятствует равное и противоположное противодейст­
вие».
88
Механика
Движение
ного
автомобильного
транспорта
колёс
о
рельсы.
происходит
бетонное
или
Разрушение
магистралей
-
и
железнодорож­
благодаря
асфальтовое
авто-
и
трению
покрытие и
железнодорожных
следствие третьего закона Нью­
тона.
Третий закон Ньютона справедлив при любом
соотношении масс взаимодействующих тел, дви­
жущихся
со
скоростями,
много
меньшими
ско­
рости света.
Примеры действия и противодействия. В ка­
74
Ускорение, приобре ­
таемое Зем.л.ёй при
старте спринтера
честве примеров действия и противодействия мож­
но рассматривать любые столкновения и удары.
Так, при столкновении двух автомобилей каждый
автомобиль получает повреждения.
Ускорение, приобретаемое телами в результате
их взаимодействия, зависит от соотношения масс
тел.
Рассчитаем,
например,
ускорение,
которое
приобретает Земля при старте спринтера массой
т=
60 кг .
Отталкиваясь от стартовых колодок, спринтер
действует на Землю (рис.
74).
В свою очередь, на спринтера, стартующего с
ускорением al' со стороны Земли действует сила
противодействия
(57)
По третьему закону Ньютона такая же по мо­
дулю и противоположная по направлению сила F21
будет действовать на Землю (масса Земли М Et> =
= 6 · 1024 кг).
Под действием этой силы Земля приобретёт ус­
корение,
которое
находится
из
второго
закона
Ньютона:
75
Запуск космического
а2
=
F 21
М
ЕiЭ
=
F 12
М
ЕiЭ
=
т
М а1.
(58)
GЭ
корабля многоразово ­
Так как масса Земли на
го использования
массу спринтера, то ускорение Земли при старте
23
порядка превышает
89
Динамика материальной точки
спринтера оказывается ничтожным: оно на
23
порядка меньше, чем уско­
рение спринтера:
а1
= 5 м/с 2 ,
а2
= 5 • 10-2з м/с2 .
Космический корабль многоразового использования имеет массу около
т. Ускорение, приобретаемое Землёй при его старте (рис. 75), может
быть зафиксировано чувствительными сейсмическими приборами .
2000
ВОПРОС Ы
1.
П очему при дей ствии тела на частицу возникает противодействие со сторон ы частицы?
2.
Сформулируйте третий закон Ньютона.
3.
Дл я каких фундаментальных взаимодей ствий применим третий закон Ньюто н а?
4.
С какой с илой вы притяги в аете к себе Землю?
5.
Как ускорение , приобретаемое телами в результате п арного столкновен ия , зави сит
от соотношения масс тел?
§ 21.
Гравитационная сила. Закон всемирного тяготения
Гравитационные и электромагнитные силы. Любое движение тела
определяется
четырьмя
фундаме нтальными
в заимоде йствиям и :
гравитационным, слабым, электромагнитным и сильным . При описании
ме ханического движения представляют интерес макроскопические мас ш ­
табы
(l0- 6 - 10 13 )
сильное
м. На таком расстоянии короткодействующие слабое и
взаимодействия
практически
несущественны
и
не
оказывают
влияние на механическое движение тел . Напомним, что радиус действия
слабого взаимодействия 10- 17 м, а сильного 10- 15 м . Электромагнитное и
гравитационное взаимодействи.я (в отличие от слабого и сильного) явл.яют­
ся дальнодействующими: их действие проявляется и на очень большом рас­
сто.янии, поэтому именно электромагнитное и гравитационное взаимод ей ­
ствия определяют характер мак роскопического дв ижени.я от молекул.ярно ­
го уровн.я до масштабов Вселенной.
Все механические явления в макромире определяются электро­
маг нитным и гравитационным в заимодействиями .
Ка.к отмечалось ранее (см . табл .
2),
интенсивность электромагнитного
взаимодействи.я на много пор.ядков б ольше, чем гравитационного . Тем не
менее гравитационная сила оказывается соизмеримой с электромагнитной
из-за большой массы Земли. Электромагнитные силы резко убывают с рас­
сто.янием из-за компенсаци и положительных и отрицательных з ар.ядов в
90
Механика
электронейтральных телах. Силами электромагнитной природы являются
с илы упругости и трения.
Изучим более подробно гравитационные силы .
Гравитационное притяжение. Слово нравитация» происходит от ла­
тинского слова gravitas, означающего «вес, тяжесты. Свободное падение
тел на Землю издавна объяснялось наличием их таинственного притяже­
ния к Земле. Астрономические наблюдения показали, что небесные тела
также притягивают друг друга .
В
1685 г.
И. Ньютон предположил, что движение земных объектов и не­
бесных тел подчиняется общим закономерностям: все тела притягива­
ются друг к другу гравитационными силами. Единые универсальные
законы справедливы для всей Вселенной : свободное падение яблока на Зем­
лю и движение Луны имеют общую причину
-
гравитационное притяже­
ние к Земле. В отличие от упругих сил и сил трения гравитационное притя­
жение является взаимодействием тел друг с дру­
гом на расстоянии. Радиус действия гравитацион­
ного притяжения неограничен.
а"= 0,0027 м /с
2
1
Выясним
зависимость
силы
притяжения
от
расстояния между телами. Для этого сравним ус­
корение тел, притягивающихся к Земле и находя­
щихся от нее на известном расстоянии. Зная зави­
r
=
384
ООО к м
1
1
g = 9,8
м /с
2
симость ускорения от расстояния, с помощью вто­
рого закона Ньютона
зависимость
силы
(Fя=
та) можно определить
гравитационного
притяжения
от расстояния. Тело, свободно падающее на Землю
под действием силы притяжения с ускорением
м/с 2 , находится от центра Земли на рас­
стоянии R @ = 6400 км. Луна вращается вокруг
g = 9,8
Земли с периодом Т =
орбите радиусом
27 ,32 дня = 2,36 • 106 с по
r = 384 ООО км = 60 R ®. Под дей­
ствием гравитационного притяжения Земли Луна
приобретает нормальное (центростремительное)
76
ускорение(рис .
Совпадени е нормал ь ­
ап
ного ускорения Луны,
вращающейся вокруг
3eJ1f..llи в экваториаль ­
ной плоскости, с у с ­
кор е нием, приобре ­
таемым Луной под
действием сил ы
притяжения к Земле
Найдём
76)
=
4rt 2
Т2
r = 0,0027
отношение
м/с 2 •
ускорений,
приобретае­
мых Луной и свободно падающим телом, находя­
щимися от центра Земли на расстояниях, отли­
чающихся в
60 раз :
а"
0,0027
1
g= ~ = 3600'
91
Динамика материальной точки
Следовательно, увеличение расстояния между притягивающимися те­
60 раз приводит к уменьшению их ускорения в 602 раз.
лами в
Это означает, что ускорение тела под действием гравитационной
силы
F я обратно пропорционально квадрату расстояния между
телами. Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела прямо пропор­
ционально действующей на него силе. Следовательно, сила гравитацион­
ного притяжения двух тел обратно пропорциональна квадрату
расстояния между ними:
(59)
Обратная пропорциональность квадрату расстояния силы гравитацион­
ного притяжения оказывается справедливой лишь для взаимодействия ма­
териальных точек. При контакте тел конечных размеров сила притяжения
между ними не возрастает неограниченно. Поэтому мы легко поднимаем
одно тело с поверхности другого.
Так как все тела падают на Землю с постоянным ускорением
g,
то гра­
витационная сила, действующая на тело массой т со стороны Земли, со­
гласно второму закону Ньютона, имеет вид
Fя= тg.
Если сила, действующая на тело массой т, пропорциональна его массе,
то сила, действующая на Землю, пропорциональна массе Земли М @ · По
третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю. Следовательно, сила
гравитационного взаимодействия тела и Земли пропорциональна
произведению их масс.
Закон всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения Нью­
тона определ яет силу притяжения двух материальных точек.
- - - - - - - - - - Закон всемирного тяготения ----­
Между двумя любыми материаJIЪвыми то'ЖаМИ действует сила вза­
имного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс
этих точек, обратно пропорциональная квадрату расстоян.ия между
ними, направленная вдоль прямой, соединяющей материальные
точки:
F g =G
где
G-
(60)
гравитационная постоянная (коэффициент пропорциональности, одинако­
вый для всех тел).
92
Механика
В
1798 г.
гравитационная постоянная была измерена английским физи­
ком Генри Кавендишем с помощью крутильных весов (рис.
Два шарика
1,
лёгкого коромысла
на расстоянии
r
77).
имеющих одинаковую массу тl' укреплены на концах
2,
подвешенного на упругой нити
от более массивных шаров
4
3.
Шарики находятся
массой т 2 • Под действием сил
притяжения малых шаров к большим коромысло поворачивается. По углу
закручивания нити определяется сила гравитационного притяжения
F 12
шариков массами т 1 и т 2 • Шарики в опыте Кавендиша не являются мате­
риальными точками. Но можно показать, что закон всемирного тяготения
справедлив и для взаимодействия шариков. Кавендиш нашел числовое зна­
чение гравитационной постоянной. Последующие эксперименты лишь не­
сколько уточнили его результат:
G = 6,67 · l0- 11 Н • м 2 /кг 2 •
Гравитациоппая постояппая числепно равпа силе гравитациоп­
ного притяжения двух тел, массой по
на расстоянии
1
1
кг каждое, находящихся
модно от другого.
Эта сила столь мала, что мы не замечаем притяжения между окружаю­
щими нас телами и сами не испытываем к ним притяжения. Значительным
оказывается лишь притяжение тел к Земле благодаря её огромной массе.
Гравитационное притяжение определяет характер движения тел вблизи
Земли.
Земля и Луна образуют единую систему двух тел, связанных гравитаци­
онным притяжением. Ускорения, приобретаемые Землёй и Луной под дей­
ствием Солнца, примерно одинаковы, поэтому система «Земля
вращается как целое вокруг Солнца.
77
Принципиальная схе­
ма опыта Кавендиша
по определению грави ­
тационной постоян­
ной
-
Луна»
93
Динамика материальной точки
Гравитационное притяжение испытывают световые лучи при прохож­
дении вблизи звёзд (например, Солнца). Отклонение их траектории от пря­
молинейной наблюдается при полном солнечном затмении, когда Луна
•затеняет• Солнце. Расчёт силы притяжения тел конечных размеров про­
водится с помощью принципа суперпозиции. При этом тела мысленно де­
лятся на материальные точки, сила гравитационного взаимодействия кото­
рых определяется законом всемирного тяготения. Суммирование этих сил
даёт силу притяжения тел конечных размеров.
ВОПРОСЫ
1.
2.
В чём отличие сил гравитационного притяжения от сил упругости и трен ия ?
Сформулируйте закон всемирного тяготения. В чём заключается физический смысл
гравитационной постоянной?
З.
4.
Как определял Г. Кавендиш силу гравитационного притяжения шариков?
Почему не приближаются друг к другу предметы в комнате, несмотря на их гравита­
ционное притяжение?
5.
Во сколько раз уменьшается гравитационная сила притяжения к Земле космической
ракеты, совершающей посадку на Луне?
ЗАДАЧИ
1.
Во сколько раз сила гравитационного притяжения двух шаров массой по
дящихся на расстоянии
1 м друг от друга ,
1 кг,
нахо­
меньше силы их притяжения к Земле?
[1 ,47· 1011 ]
2.
Сравните гравитационные силы , действующие на Луну со стороны Земли и Солнца.
Масса Земли 6 • 1024 кг, масса Солнца 2 • 1озо кг. Среднее расстояние от Земли до
Луны
3,8 • 1os м , от Луны до Солнца 1,5 • 10 11 м .
[F3 /F с= 0,47]
З.
Первый искусственный спутник Земли (был запущен в нашей стране) вращался по
орбите радиусом 6950 км. Чему был равен период его обращения?
(1 ч 36 мин]
4.
Определите радиус орбиты , на которую должен быть выведен спутник Земли, чтобы он
5.
постоянно висел над определённой точкой , находящейся на экваторе . [ 42,З · 103 км]
Солнце притягивает Луну примерно в 2 раза сильнее , чем Земля (см. задачу 2).
Почему Луна является спутником Земли , а не самостоятельной планетой?
§ 22.
Сила тяжести
Сила тяжести. Все тела притягиваются друг к другу гравитационными
силами.
Сила тяжести
щая на тело.
-
результирующая гравитационная сила, действую­
94
Меха ника
Например, на тело массой т, находящееся на
т
высоте
h
над поверхностью Земли, действует гра­
витационная сила притяжения Земли (рис.
6
78):
67
тМ
тМ
Fк =G-;:г = G(R<t> + h)2·
(61)
"Ускорение, приобретаемое телом под действи­
ем гравитационной силы, можно найти из второго
м®
закона Ньютона ag = G (RGЭ + li )2 •
Ускорение
свободного
«
верхности Земли (h
падения. Вблизи по­
R GJ)
_ тМ67
Fg - Gfi2.
78
Гравитационная си­
ла в поле тяжести
Земли
(62)
®
Следовательно,
аg = g = Fтя
=
G~
R2
®
=98
'
м/с2 ·
(63)
Ускорение свободного падения (гравитационное ускорение)
-
ус­
корение, приобретаемое телом под действием гравитационной си­
лы вблизи поверхности небесных тел (планет, звёзд).
В таблице
8
приведено гравитационное ускорение у поверхности планет
Солнечной системы, значение которого зависит от их массы и радиуса.
-
,..
Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и Луне
Пл анета
Ускорение свободного
падения, м/с2
Планета
Юпитер
Ус корение свободно го
падения, м/с 2
3,7
8 ,9
9,8
Сатурн
26
12
Уран
11
Луна
1,6
Нептун
12
Марс
3,7
Меркурий
Венера
Земля
95
Ди намика м атериальной точки
Сила тяжести, действующая на тело массой т вблизи поверхности
Земли, равна
В О П РОС Ы
1.
2.
Ч то такое с ила тяже сти?
Как с ила тяжести зависит от вы соты подъёма тела над Землёй?
З.
В каком п риближе н ии можн о считать силу тяжести постоянной?
4.
5.
Дайте о п ределе ни е ускорения свободного падения.
Как грав итацион н ое ускорение зависит от плотности планеты?
ЗА Д АЧ И
1.
Во скол ько раз с и ла тяжести космо н авта на Ма р се ме н ь ш е, чем на Земле?
2.
Найдите ускорение свободн ого падения на поверхности планеты , если её масса
[в
рав на массе Земли , а радиус в
2 раза меньше.
2,65 раза]
[39,2 м/с 2 ]
З.
Какое расстояние пролетит за первую секунду тело, свободно падающее вблизи п ове рх­
ности Венеры? Диаметр Венеры 1,21 · 104 км , её средняя плотность 5,2 · 103 кг;мз.
4.
Во сколько раз масса Луны мен ьше массы Земли, если ускорение свободного паде ния
[4,45 м]
н а её поверхности gл =
1,6 м/с 2? Радиус Луны в 3,7 раза мен ьше радиуса Земл и.
[в 81 раз]
5 . Зная ускорение свободного падения на поверхности Марса gм = 3,7 м/с 2 и его
диаметр d =6790 км , найдите плотность Марса.
[3,95 · 103 кг/м 3 ]
§ 23.
Сила упругости. Вес тела
Электромагнитная природа силы упругости. Среди многочисленных сил
электромагнитной природы наибольшее влияние на механическое движе­
н ие тела оказывают две: сила упру г ос ти и сила треп ия.
Возникновение этих сил обусловлено силами электромагнитного взаи­
модействия между заряженными частицами, из которых состоят все мак­
роскопические тела .
Сила упругости
-
сила, возникающая при деформации тела и
восстанавливающая первоначальные размеры и форму тела при
прекращении ввеmвего воздействия.
Деформации тела не всегда приводят к по.явлению сил упругости. Наря­
ду с упругими телами (теннисный мяч, стальной шар) имеются пластичные
96
Меха ни ка
тела (пластилин, свинцовый шар), которые не
восстанавливают свою форму по сле прекраще­
ния действия внешних сил. Для пластичных тел
сила, противодействующая деформации, пропор­
циональна скорости её возникновения .
Механическая модель кристалла. Рассмот­
рим возникновение сил упругости п ри деформа­
ции кристаллического твёрдого тела . В таком те­
79
ле атомы располагаются упорядочен но , среднее
расстояние между ними не изменяется . Каждый
Механическая
модель кристалл.а
атом находится в равновесии , так как силы при­
тяжения и отталкивания, действующие между
соседними атомами, компенсируют друг друга. Характерная особенность
сил взаимодействия соседних атомов состоит в том, что он и подобны силам,
действующим в растянутой или сжатой п ружине.
При увеличени и межатомного расстояния по сравнению с равновесным
(растяжение пружины) атомы притягиваются друг к другу (пружина стре­
мится сжаться). При уменьшении расстояния между атомами (сжатие пру­
жины) возникают силы отталкивания (пружина стремится растянуться).
Поэтому простейшей механической моделью кристалла являются ша­
рики, соединённые нерастянутыми пружинами (рис.
79).
В этой модели шарики играют роль атомов, а связывающие их пружины
имитируют особенности электромагнитного взаимодействия атомов. Пред­
ложенная модель позволяет просто объяснить упругие свойства твёрдых тел.
При растяжении твёрдого тела увеличивается среднее расстояние меж­
ду атомами (при этом между шариками растягиваются все пружины). Сум ­
марная сила притяжения атомов (сила упругости пружин) стремится сжать
тело до п ервоначальных размеров.
При сжатии тела уменьшение межатомных расстоя ний (сжатие п ру­
жин) приводит к возникновению силы отталкивания атомов (растягиваю­
щей упругой силы). В результате эта сила стремится восстановить первоначал ьную длину тела.
Упругость
-
свойство тел изменять форму и размеры под дейст­
вием внешних воздействий
и самопроизвольно восстанавливать
исходную конфигурацию при их прекращении.
Механическая модель кристалла правильно описывает его упругие
свойства. Силы упругости пружинок между шариками имеют то же элек­
тромагнитное происхождение, что и силы взаимодействия между атомами
в кристалле .
97
Динамика материальной точки
Воздействие тела на опору (например, чай­
ник давит на стол, автомобиль на дорогу) приво­
дит к её сжатию, подобно сжатию пружины.
При этом со стороны опоры возникает встречная
сила - сила упругости (сила нормальной ре­
акции опоры).
Сила
нормальной
реакции
опоры
-
сила упругости, действующая на тело
.А ВО
со стороны опоры перпендикулярно её
поверхности.
На рисунке
80
Сжатие воздушного
шарин:_.а под действием
F.
На р~у действует
сила нормальной реакции опоры
При
шнура,
силы
воздуц~ный шарик прижи­
мается к стене с силой
растяжении
N 1•
пружины,
F
и силы
1i,Ормал.ьной реакции
N2
стены
резинового
нити возникает упругая сила сжатия,
равновесие
или сила натяжения.
Сила
натяжения
сила
упругости,
~
или пружины.
,1_ А
Закон Гука. О величине силы упругости
х
1
действующая на тело со стороны нити
l
F
-
можно судить по степени растяжения или сжа ­
\"
тия пружины.
Чем
больше
растянута
ил.и
сжата
пружина, тем больше сила упругости.
Пусть на тележку, прикреплённую пружи­
ной длиной
l0
кое (рис. 81, а}, вдоль оси ~действует сила F
(рис. 81, 6). Сила упругости Fупр, действующая
на пружину,
направлена противоположно пе­
ремещению её правого конца. Модуль этого пе­
ремещения называется удлинением (измене­
нием длины):
z01.
ПRи сжатии Лх одномерной пружины си­
F,
i
~"
l
'
"'
о
действующей на тележку противопо-
"
х
.А 81
i'ynp =
-kлх.
Упругие силы расrпяже·
ния и сжатия в пружи·
не:
а) нерастянутая пру ·
IЛxl = Лl = ll лой
в)
к стенке и находящуюся в по­
жина;
6)
растянутая пружи·
на;
в) сжатая пружина
98
Механика
ложно оси Х (рис. 81, в), сила
Fупр также направлена противоположно пе­
ремещению Лх. Чем больше растянута или сжата пружина (чем больше
Лх), тем больше сила упругости F ynp·
Fупрх=-k дх .
Коэффициент пропорциональности
k -
(64)
жёсткость. Жёсткость зави­
сит от упругих свойств материала и размеров пружины (или тела) .
Единица жёсткости следует из формулы
(64):
[F]
[k] = [Лl] = Н/м.
Единица жёсткости
ньютон на метр (Н/м).
-
Закон Гука связывает модуль силы упругости и удлинение.
Закон. Гу ка
Модуль силы упругости
F упр•
возяикающей при деформации тела,
пропорциояалев его удлинению Лl:
F упр = k дl.
(65)
В отличие от гравитационной силы, зависящей от расстояния между
разл ич ными
телами,
сила
упругости
зависит
от
изменения
расстояния
между частями одного и того же тела.
Закон Гука, как и любой другой физический закон, имеет определён­
ную область применимости. Он справедлив при малом удлинении, т. е. ког­
да удлинение много меньше длины нерастянутой пружины:
Лl
«
l0 •
В этом случае деформация является упругой.
Для некоторых тел (резинок, пружин) закон Гука справедлив и при Лl
::::: l 0 •
При больших деформациях сила упругости перестаёт быть пропорциональной удлинению тела. При еще больших деформациях тело разрушается.
Как следует из закона Гука, по удлинению пружины можно судить
о силе, действующей на неё. Этот факт используется для измерения сил
с помощью динамометра
-
пружины с линейной шкалой, проградуиро­
ванной в единицах силы.
Вес тела. На тело массой т, подвешенное на пружине, действуют сила
тяжести тg и сила натяжения Т (рис. 82, а).
В равновесии Т = тg. По третьему закону Ньютона на пружину со сто ­
роны тела действует в направлении силы тяжести сила упругости, или
99
Динамика материальной точки
вес, равный по модулю и протююпо­
ложно
направленный
ния: Р = -т.
силе
6)
а)
натяже­
Возникновение этой силы можно
представить наглядно
ханической
модели
с помощью ме ­
кристалла.
При
подвешивании тела в результате дей­
ствия силы тяжести тела все пружин ­
ки
между
шариками
растягиваются,
стремясь затем сократиться (рис .
82, 6).
Поэтому на подвес (пружину) будет
действовать упругая сила, направлен­
ная вниз.
Вес тела определяется суммарной
силой
притяжения
между
атомами,
" 82
Возникнов е ние сил.ы упру гости
при подвешивании тел.а:
а) измерени е веса тел.а;
возникающей вследствие растяжения
6)
тела под действием силы тяжести.
упругости
Вес тела
-
модель возникновения силы
суммарная сила упругости тела, действующая при нали­
чии силы тяжести ка все опоры, подвесы.
На тело массой m, находящееся на неподвижной горизонтальной опоре,
действуют сила тяжести mg и сила реакции опоры N, равные по модулю,
N = mg (рис. 83, а) . Согласно третьему закону Ньютона на опору действует
вес
P=-N.
а)
6)
83
Возникнов е ние силы упру гости при ра змещении тел.а на опоре
100
Механика
Вес тела на опоре определяется приростом суммарной силы отталки­
вания между атомами, возникающим из-за сжатия тела силой тяжести
(рис.
83, 6).
В рассматриваемом случае вес тела равен по модулю и направ-
лению силе тяжести:
Р = тg.
Говоря об этих силах, нужно помнить, что сила тяжести приложе­
на к телу, а вес приложен к опоре или подвесу.
ВОПРОСЫ
1.
Какие взаимодействия определяют характер механических движений в макромире?
Следствием какого взаимодействия являются силы упругости?
2.
Почему механическая модель кристалла правильно описывает упругие силы, возни­
3.
4.
Сформулируйте определения силы реакции опоры и силы натяжения .
кающие при его сжатии и растяжении?
Сформулируйте закон Гука. Выясните физический смысл жёсткости пружины. Опре­
делите границы применимости закона Гука.
5.
Сформулируйте определения силы тяжести и веса тела.
ЗАДАЧИ
1.
При растяжении стержня длиной l 0
личилось на
2.
1%.
[7
Найдите удлинение стержня .
направлена и чему равна суммарная сила реакции
Когда четыре человека массой по
ра автомобиля сжимается на
[F J2J
70
кг садятся в автомобиль, пружина амортизато­
2,5 см .
Найдите жёсткость одной пружины, если всего
[ 2 ,7· 10 4 Н/ м]
пружин-четыре.
4.
Пружина длиной l 0
= 20 см растягивается с илой F = 50
растянутой пружины , если её жесткость k =
5.
мм ]
Мяч прижимают ногой к стене и полу одновременно. Силы давления мяча на стену и
пол одинаковы и равны F. Куда
опоры? Чему равен вес мяча?
3.
=70 см среднее расстояние между атомами уве-
Две одинаковые пружины жесткостью
1ООО
Н/м .
Н . Найдите конечную длину
[О, 25 м]
k и Зk соединены друг с другом одним концом,
образуя единую пружину. Найдите её жесткость .
[О , 75k]
§ 24. Сила трения
Треиие покоя. Сила трения, так же как и сила упругости, имеет электро­
магнитную природу. В земных условиях трение часто сопутствует движе­
нию тел. В отличие от силы реакции опоры (силы упругости, направленной
перпендикулярно поверхности соприкосновения тел) сила трения всегда
направлена вдоль соприкасающихся поверхностей .
101
Динамика материальной точки
Сила трения
сила, возникающая при соприкосвовевии поверх­
-
ностей тел, препятствующая их отн осительному перемещению, на­
правленная вдо JIЬ поверхности соприкосновения.
При контакте твёрдых тел возможны три вида трения
коя, трение скольжения,
Трение покоя
-
-
трение по­
трение кач.епия.
трение, возникающее при отсутствии относительного
перемещения соприкасающихся тел .
Автомобиль, поезд приводятся в движение силами трения покоя, дейст­
вующими между колесами и полотном дороги . Отталкивание ноги челове­
ка от земли при ходьбе и беге позволяет ему перемещаться в пространстве.
Рассмотрим взаимодействие бруска с поверхностью стола (рис.
84).
Поверхность соприкасающихся тел не является абсолютно ровной. На­
ибольшая сила притяжения возникает между атомами веществ, находящи­
мися на минимальном расстоянии друг от друга, т . е. на микроскопических
выступах.
Суммарная
сила притяжения атомов соприкасающихся тел
столь значительна, что даже под действием внешней силы F, приложенной
к бруску параллельно поверхности его соприкосновения со столом, брусок
остаётся в покое . Это означает, что на брусок действует сила, равная по мо­
дулю внешней силе, но противоположно направленная . Эта сила является
си лой трения покоя.
Сила трения покоя
-
сила трения, препятствующая возникнове­
нию движения одного тела по поверхности другого :
-+
Fтр. п
-+
= - F.
(66)
84
В з аимодействие бруска
с поверхностью стола:
а) пропорциональность силы
трения покоя числу взаимо­
действующих выступов и
давлению бруска на стол
(Fтр. п)mах - пр;
s
а)
б)
б) силы взаимодействия
i'тр•
iJ
-
102
Механика
При увеличении внешней силы происходит микроскопическое смеще­
ние трущихся поверхностей друг относительно друга. Оно продолжается до
тех пор, пока силы притяжения между взаимодействующими атомами
выступов не скомпенсируют внешнюю силу.
Когда приложенная сила достигает максимального критического значе­
ния (Fтр. п>mах• достаточного для разрыва связей между выступами, брусок
начинает скользить по столу. Естественно предположить, что (F тр. п>mах
пропорциональна числу п взаимодействующих выступов и давлению р бру­
ска на стол:
(Fтр. п>mах - пр·
Давление равно отношению силы нормального давления
F .L•
действую­
щей перпендикулярно поверхности соприкосновения тел, к площади по­
верхности
S:
F l.
p=s·
Число взаимодействующих выступов пропорционально площади по­
верхности соприкосновения тел: п
- S,
поэтому
(Fтр. п>mах - S
F l.
S - F .L•
Максималъная сила трения покоя не зависит от площади со­
прикосновения поверхностей (рис.
85).
По третьему закону Ньютона сила нормального давления равна по моду­
лю силе реакции опоры
N.
Максимальная сила трения покоя
(Fтр. п>mах пропорциональна силе нор­
мального давления:
(Fтр. п>mах = µ~'
где
µ0
-
(67)
коэффициент трения покоя.
Максимальное критическое значение силы трения покоя определяется
конечностью силы взаимодействия поверхностных атомарных слоев сопри­
касающихся тел.
85
Равенство сил, тре­
бующихся для сдвига
книги (независимо
от её положения)
103
Динамика материальной точки
Коэффициент трения покоя зависит от характера обработки поверхно­
сти и от сочетания материалов, из которых состоят соприкасающиеся тела.
Качественная обработка гладких поверхностей контакта приводит к увели­
чению числа притягивающихся атомов и соответственно к увеличению ко­
эффициента трения покоя. Силы притяжения отдельных атомов различ­
ных веществ существенно зависят от их электрических свойств.
Трение скольжения. Трение скольжения возникает при относитель­
ном перемещении соприкасающихся тел.
Сила трения скольжения всегда направлена в сторону, проти­
воположную относительной скорости соприкасающихся тел.
Когда одно тело начинает скользить по поверхности другого, связи меж­
ду атомами (молекулами) первоначально неподвижных тел разрываются,
трение уменьшается. При дальнейшем относительном движении тел посто­
янно образуются новые связи между атомами. При этом сила трения сколь­
жения остаётся постоянной, несколько меньшей силы трения покоя. Как и
максимальная
сила
трения
покоя,
сила
трения
скольжения
пропорцио­
нальна силе нормального давления и, следовательно, силе нормальной ре­
акции опоры:
Fтр
где
= µN,
(68)
(µ <
~), зависящий от свойств сопри.ка ­
коэффициент трения скольжения
µ-
сающихся поверхностей .
При ходьбе сила трения покоя, действующая на подошву, сообщает че­
ловеку ускорение. Передвигаясь по льду, человек старается идти неболь­
шими шагами: при большом шаге возрастает сила отталкивания ноги ото
льда и начинается скольжение. Как видно из таблицы
9,
коэффициент тре -
ТJ5л1119
Коэффициент трения покоя и скольжения для некоторых пар материалов
Материал
Лёд- лёд
Кожаная обувь
Сталь
-
лёд
лёд
-
Автошина
-
лёд
Кожаная обувь
-
дерево
Де рево
-
дерево
Резина
-
асфальт
µn
µ
0,05- 0,15
0,1
0,1
0,3
0,3
0,5
0,6
0,02
0,05
0,05
0,02
0,2
0,5
0,4
Материал
С таль
-
стал ь
Кожаная обувь
-
Автошина
Стекло
-
-
ковёр
мокрый бетон
стекло
Резиновая обувь
Автошина
-
-
дерево
сухой бетон
Обувь альпиниста
-
скала
µn
µ
0,6
0,6
0,7
0,9
0,9
1,0
0,4
0,5
0,5
0,7
0,7
0,8
0,8
1,0
104
Механика
ния скольжения кожаной обуви о лёд вдвое меньше коэффициента трения
покоя. Соответственно сила, сообщающая человеку ускорение, уменьшает­
ся в
2 раза.
Разрыв атомарных (молекулярных связей)
-
главное отличие меха­
низма возниRновения сил трения от механизма возникновения сил упру­
гости.
Именно поэтому сила трения скольжения зависит от относительной
скорости движения соприкасающихся тел .
Силу трения можно уменьшить с помощью смазки. Наиболее радикаль­
ным способом уменьшения сил трения, получающим в последнее время всё
большее распространение, является создание « воздушной подушки» меж­
ду соприRасающимися поверхностями.
Трение качения. Одно из самых гениальных изобретений человечества
колесо. Оно использовалось для транспортировки грузов еще
5000
-
лет на­
зад. Хорошо известно, что несравненно легче везти груз на тележке, чем
тащить его (рис.
86).
Сила Fl' вызывающая скольжение груза (рис.
лы
F2,
86,
необходимой для того, чтобы его катить (рис.
а), гораздо больше си­
86, 6).
При скольже­
нии участки тела смещаются вдоль поверхности соприкосновения и вместо
разорванных связей постоянно образуются новые. Когда колесо катится без
проскальзывания по поверхности,
молекулярные связи разрываются при
подъёме участков колеса быстрее, чем при скольжении . Поэтому сила тре­
ния качения значительно меньше силы трения скольжения.
На рисунке
86,
в показана траектория точки на ободе колеса при его
качении. Точка К движется по кривой, называемой циклоидой.
а)
86 ...
Сравнение сил тре­
ния, скольжения и
качения:
6)
а) с кольжение гру з а;
6)
качение груза;
в) траектория точ­
ки на ободе кол е са
при его качении
к
к
105
Динамика материальной точки
ВОПРОСЫ
1.
Какое фундаментальное взаимодействие определяет силу трения? Сформулируйте
определение силы трения , перечислите возможные виды трения .
2.
Чему равна сила трения покоя? Как находится максимальная сила трения покоя?
З.
Что требует меньшего усилия: удержать сани на склоне горы или перемещать их
равномерно вверх по склону?
4.
5.
Куда направлена сила трения скольжения и чему она равна?
Почему сила трения качения значительно меньше силы трения скольжения?
ЗАДАЧИ
1.
Ластик может скользить по поверхности стола под действием постоянной силы
F.
При движении на какой грани сила трения скольжения ластика будет наибольшей?
Размеры ластика
2.
50 х 37 х 14 мм .
Найдите массу стального бруска , равномерно скользящего по горизонтальной сталь­
ной поверхности под действием силы
F = 20
Н . Сила направлена вдоль поверхности .
Коэффициент трения скольжения приведён в таблице
З.
= 250 кг,
4.
1О .
если коэффициент трения скольжения µ=О , 1?
Для сооружения памятника Петру
1в XVlll
в. гранитную глыбу массой
зили на салазках, катившихся по пушечным ядрам. Зная силу тяги
равномерном движении, найдите коэффициент трения качения .
5.
[5, 1
кr]
С какой силой упряжка собак равномерно перемещает сани с грузом массой т
Де ревянный брусок массой
1
100
1600 т перево­
F = 157 кН при
[0,01]
Н/м . Найдите удлинени е п ружи ны , если
=0,5.
§ 25.
=
Н]
кг тянут равномерно по горизонтальной деревянной
доске с помощью пружины жесткостью
µ
[245
[4,9 см]
Применение законов Ньютона
Методика решения задач динамики. Для решения задач динамики целе­
сообразно использовать следующий стандартный подход.
Изобразите силы, действующие на каждое тело (условно
r.i).
Запишите для каждого тела второй закон Ньютона в вектор ­
ной форме
Выберите
(55).
координатные
оси. Если заранее известно направление
ускорения, то целесообразно направить одну из осей вдоль ускорения,
а вторую (если она требуется) перпендикулярно ему.
Запишите второй закон Ньютона через проекции на коорди­
натные оси входящих в него величин, получите систему урав­
нений для нахождения неизвестпых величин.
106
Механика
Решите
полученную
тические
выражения
систему
уравнений,
для
сил
всех
и
используя
анали­
дополнительные
усло­
вия.
Воспользуемся предложенным подходом для решения конкретных за­
дач динамики.
КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Покажем с помощью законов Ньютона, что вес тела не всегда равен
действующей на него силе тяжести .
1.
Вес тела в лифте
Человек массой т находится в лифте. Найдём силу давления человека
на пол лифта (вес), если:
а) лифт покоится или равномерно движется;
б) лифт движется с постоянным ускорением а , направленным вверх;
в) лифт движется с постоянным ускорением а,
направленным вниз.
у
а
=
о
Решение.
а) Ускорение лифта равно нулю (а = О) .
Изобразим
силу
тяжести
тg
и
силу
нормальной реакции опоры N1 , действующие на
тело (рис . 87). Согласно третьему закону Ньютона
сила нормальной реакции опоры равна по модулю
и противоположна по направлению весу тела Р1 •
Поэтому большинство задач о нахождении веса
тела сводятся к задачам определения силы реак­
ции опоры.
Запишем второй закон Ньютона в векторной
87
форме :
(69)
Равенство в еса тел. а
силе тяжести в по ­
коящемся ил.и равно­
.мерно движущ емся
л ифте
Направим ось У вертикально вверх.
Запишем второй закон Ньютона через проек­
ции сил на ось У, учитывая , что а = О:
0= - тg+ Nl'
Р1
=N1=
тg.
Вес тела, н.аходящегося в покое или движущегося равномерн.о
и прямолинейно, равен силе тяжести.
б) Лифт движется с постоянным ускоре нием а, направленным
вверх (рис. 88).
107
Динамика материальной точки
}•
Запишем второй закон Ньютона в проекции на
ось У:
та= - тg+N 2 •
Тогда
Р2 =
N2
=
m(g
+ а).
В этом случае вес больше, чем гравитационная
сила.
Возрастание
веса (перегрузки) космонавты
и пилоты реактивных самолетов особенно остро
ощущают
при взлете
максимально.
и посадке,
Количественно
характеризуется
когда ускорение
возрастание
коэффициентом
веса
перегрузки,
определяемым отношением ускорения тела к
88
ускорению свободного падения.
Например, при посадке космический корабль
может
двигаться
равнозамедленно
с
ускорением
а =
6g, направленным от Земли вверх. В этом слу­
чае Р 2 = 7тg, т. е. возникает семикратное увеличе­
Переzрузка при дви­
жении лифта с постоянным ускорением, направленным
противопол.ожно ус­
ние веса, которое у нетренированных людей может
корению свободного
вызвать временную утрату зрения и потерю созна­
падения
ния .
Отрицательные
(табл.
10),
ли
его
физиологические
эффекты
связанные с перегрузками, легче переносятся космонавтом, ес­
тело
располагается
перпендикулярно
направлению
ускорения.
Это позволяет выдерживать даже десяти-двенадцатикратное увеличение
веса. Несмотря на все меры предосторожности, подобная перегрузка сопря­
жена с болью в груди, усталостью, частичной потерей периферического
зрения.
1
n
n
Физ иологические эффекты , свS1занные с перегрузками
Ускорение
р
Физиологический эффект
mg
2g
3
Движение затруднено
3g
4
Ходьба невозможна
4g -
бg
5-7
Нарастающая нечеткость зрения, временная потеря
зрения
108
Механика
в) Лифт движется с ускорением а, направ­
ленным вниз.
В этом случае удобно выбрать ось У, направлен­
ную вниз (рис .
89).
Проецируя второй закон Ньютона на ось У, по­
лучаем
та = тg-N3 •
Следовательно,
Р3
= N3 =
т. е. вес тела меньше
N 3 <mg
т(g
-
а),
(70)
силы тяжести.
Вес тела на экваторе меньше, чем на полюсах
89
Земли, так как вследствие вращения Земли вокруг
Уменьшение веса
оси тело на экваторе движется с центростремитель­
по сравнени ю с си ­
ным ускорением.
лой тяжести при
движении лифта
с постоянным
равным
нулю,
ii = g.
т. е.
Вес при этом ста­
возникает
состояние
невесомости.
ускорением
Невесомость
При свободном падении
новится
-
состоявие , при котором тело движется только под
действием силы тяжести.
Любое тело, свободно движущееся в гравитационном поле Земли, нахо­
дится в состоянии невесомости. Длительное пребывание космонавта в со­
стоянии невесомости существенно влияет на физиологические процессы в
организме, приспособившемся к земной гравитации в результате длитель­
ной эволюции.
11.
Скольжение тела по горизонтальной поверхности
Найдём силу нормальной реакции опоры и ускорение
тела массой т,
движущегося по поверхности стола, под действием силы F, направленной
под углом а к горизонтали (рис. 90). Коэффициент трения скольжения
между телом и поверхностью стола равен µ.
Решение .
_ На тело действуют си-!!а тяжести
N,
сила
F
mg,
сила нормальной реакции опоры
и сила трения Fтр• направленная противоположно скорости дви­
жения .
Второй закон Ньютона в векторной форме имеет вид
та = тi + iJ + i' + i'тр·
Направим ось Х вдоль ускорения а, а ось У вертикально .
(71)
109
Динамика материальной точки
90
Ум е ньшение силы
нормальной реакции
опоры и сил ы трения
Fz= Fcosa
F11 =Fsina
скольжения за счёт
вертикальной компо­
ненты силы, припод­
нимающей тел.о
х
Спроецируем уравнение
та
{О =
Согласно равенству
(71) на оси Х и
У:
+ О + F cos а - Fтр
-тg + N + Fsin а+ О
=
О
(на ось Х),
(72)
(на ось У).
(63)
Fтр
= µN.
Подставляя выражение для силы трения в первое уравнение системы
(72),
получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
та=
и а:
{ О = -тg + N + Fsin а.
Fcos
а-
N
µN,
(73)
Из второго уравнения находим силу нормальной реакции опоры
N =
тg
N:
- Fsin а.
(74)
Сила нормальной реакции опоры меньше силы тяжести, когда
на тело кроме силы тяжести действуют силы, имеющие состав­
ляющую, направленную противоположно силе тяжести.
Вертикальная компонента внешней силы FY(FY
=
Fsin а) приподнимает
тело и уменьшает силу давления на опору, а следовательно, и силу трения.
Подставляя
N
из выражения
(74) в первое уравнение системы (73)
та= Fcos а - µ (тg- Fsin а),
находим ускорение тела:
а=
Fcos
а
-
µ (т g
- Fsin
а)
т
.
IП. Соскальзывание тела с наклонной плоскости
Найдём силу нормальной реакции опоры и ускорение тела массой т,
скатывающегося по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизон­
том (рис.
91).
Коэффициент трения скольжения равенµ.
11 0
Механика
Решепие.
Изобразим все силы, действующие на тело: си­
~ тяжести тg, СИ-!!У нормальной реакции опоры
N и силу трения F тр• направленную противопо­
ложно скорости движения.
Запишем второй закон Ньютона в векторной
форме:
та = тЯ + iJ + i'тр.
(75)
Выберем ось Х параллельно и ось У перпендикулярно наклонной плоскости .
Спроецируем уравнение
91
Сила нормальной
реакции опоры па на­
- Fтр
{ О =N- тgcosa
=
та
клонной плоскости:
N = mgcos
(75)
на координатные
осиХи У:
а
тgsin а
(на ось Х),
(76)
(на ось У).
Используя выражение для силы трения Fтр
= µN
и подставляя его в первое уравнение системы
(76),
=
получаем систему
двух уравнений с двумя неизвестными:
та = тgsin а - Fтр•
{О = N -
(77)
тgcos а.
Из второго уравнения находим силу нормальной реакции опоры
N= mgcosa.
N:
Сила нормальной реакции опоры на наклонной плоскости мень­
ше силы тяжести тела.
Подставляя выражение для силы нормальной реакции опоры в первое
уравнение системы
(77)
та
=
тgsin а
-
µтgcos а,
находим ускорение тела
а =
g(sin
а
- µcos
а).
Соскальзывание тела с наклонной плоскости происходит, если а
т. е. если коэффициент трения скольжения
µ
~
tg
а. Если
µ > tg а,
#
О,
тело
покоится на наклонной плоскости.
ВОПРОСЫ
1.
При каком движении лифта вес тела , находящегося в нём , равен силе тяжести; боль­
ше силы тяжести; ме н ьше силы тяжести; раве н нулю?
2.
Какой способ перемещения холодильника по полу требует меньших усилий
- когда
его толкают или когда тянут?
З.
Под действием какой силы
F (см.
задачу
11на с. 108) тело движется
равномерно?
111
Динамика материальной точки
4.
Какие часы следует использовать в условия х невесомости: маятниковые , п есчаные,
пружинные?
5.
При каком угле наклона плоскости к горизонту (см. задачу
на с .
111
109)
тел о будет
скаты в аться с неё равномерно? П ри каком угле наклона плоскости тело н е будет
скатываться с плоскости?
ЗАДАЧИ
1.
Собачья упряжка начинает тащить стоящие на снегу сани массой
ной силой
114
100
кг с постоя н ­
Н . За какой промежуто к времени сани проедут первые
м пути?
200
Коэффициент трения скольжения полозьев о снег О, 1.
2.
В агон массой т соединён с электровозом массой М пружиной жесткостью
дите ускорение состава, если на электровоз действует тормозящая сила
[а = -
лите сжатие пружины.
F
т+М'
З.
Тепловоз тащит состав из трёх одинаковых вагонов массой т =
Коэффициент трения качения колес о рельсы
µ
кач
[50 с]
k . Най­
Опреде -
F.
х=!:_ _
т ]
kт+М
50 т с силой F = 17 940 Н.
= 0,002. С каким ускорением дв и ­
жется состав? Определите силы н атяжения сцепок между вагонами .
4.
[а= О , 1 м/с 2 ; 5980 Н ; 11 960 Н]
Стальной кубик вкатывают с начальной скоростью v0 на ледяную прямолинейную
горку, наклонённую к горизонту под углом сх. Коэффициент трения скольжения куби ­
ка о лёд
µ. Через
какой промежуток времени кубик вернется к основанию горки? Н а
какую максимальную высоту он поднимется?
2g( l
5.
Два груза, массы которых т 1 и т 2 (т 2
нитью , перекинутой через блок (т н
«
> т1 ) ,
J
vб
[h =
+ µ ctg
а)
связаны невесомой и нерастяжи мой
m p т 2 ). С каким ускорением будут двигаться
грузы? Найдите силу натяжения нити и с илу давления на ось блока .
ОСНОВНЫЕ
Динамика
-
раздел меха ники, по­
ра вномерного прямолинейного дви­
свящённый изучению движения тел
жения .
под действием приложенных к ним
Инерциальные
сил.
(ИСО)- системы отсчёта , в которых
Движение по инерции
8
ПОЛОЖЕНИЯ
-
движение ,
системы
отсчета
тело , не взаимодействующее с дру ­
происходящее без внешних воздей ­
гими
ствий.
покоя или ра в номерн ого прямолиней ­
Принцип инерции Галилея : если на
ного движен ия.
тело не действуют внешние
оно
силы,
сохраняет состояние покоя или
телами ,
сохраняет
Преобразования Галилея :
х
=
х'+
vt,
состояние
112
Механика
-
где х
координата тела в ИСО Х ;
Второй закон Ньютон а: в инерци­
координата тела в ИСО Х' , дви­
альной системе отсчёта ускорение те ­
жущейся относительно Х со скоро­
ла прямо пропорционально векторной
х' -
стью и.
сумме всех действующих на него сил и
Закон сложения скоросте й :
обратно пропорционально массе тела:
....
...
'f.F
а=-.
где их
-
т
скорость тела в ИСО Х; их. ­
Третий закон Ньютона : силы, с кото­
скорость тела в ИСО Х', движущейся
рыми две материальные точки дейст­
относительно Х со скоростью и.
8
Принцип относительности
вуют друг на друга, равны по модулю,
Гали ­
противоположны
лея: во всех инерциальных системах
отсчёта законы механики имеют один
щей эти точки :
и тот же вид.
8
F12 = -F21·
Первый закон Ньютона : существу­
ют инерциальные системы отсчёта, в
Все механические явления определя­
которых все тела в отсутствии внеш­
ются электромагнитным и гравитаци­
них воздействий движутся прямоли­
онным взаимодействиями. Электро­
нейно и равномерно.
магнитными
Сила
упругости и сила трения .
-
векторная физическая вели­
силами
являются
сила
чина, являющаяся мерой механичес­
Закон Гука : сила упругости, возни­
кого воздействия на тело со стороны
кающая при деформации тела, прямо
других тел, в результате которого те­
пропорциональна
ло приобретает ускорение или изме­
направлена противоположно направ­
няет форму и размеры .
лению деформации :
Единица силы
ньютон (Н) :
-
Fyпpz
1 Н = 1 кг· м/с 2 .
Инертность
Масса (инертная масса) ская
величина ,
физиче­
являющаяся
мерой
инертности тела.
Единица массы
Принцип
-
со
суперпозиции
с ил :
ре ­
зультирующая сила, действующая на
частицу со стороны других тел, равна
векторной сумме сил, с которыми каж­
дое из этих тел действует на частицу.
"'LF =i'i +i'2 + " . + i'п.
и
-kЛх .
-
стороны
опоры
перпендикулярно
её поверхности.
8
Сила натяжения -
сила упругости,
действующая на тело со стороны нити
или пружины .
Сила трения
килограмм (кг) .
удлинению
сила упругости, действующая на тело
разному изменяют свою скорость при
одном и том же внешнем воздействии.
=
его
Сил а нормальной реакции опоры
свойство , заключаю­
-
щееся в том , что различные тела по ­
8
по направлению и
действуют вдоль прямой, соединяю­
-
сила , возникающая
при
соприкосновении
тел ,
препятствующая
их относитель­
перемещению,
направленная
ному
поверхностей
вдоль поверхности соприкосновения .
Сила трения покоя равна по модулю
и
противоположно
направлена
силе,
приложенной к покоящемуся телу па-
113
Динамика материальной точки
раллельно
поверхности
его
контакта
с другим телом .
8
ла , действующая на тело .
Вблизи
пропорциональна
тяжести , дей ствующая на тело мас­
(Fтр. o)max
гдеµ" -
силе
нормальной
-
•
коэффициент трения скольже­
ус корение свободного паде­
ния .
суммарная сила упру­
-
чии силы тяжести на все опоры , под­
вес ы .
двумя любыми материальными точ­
ками дейс твует сила взаимного при­
тяжения,
прямо
пропорциональная
произведению масс этих точек, об­
пропорциональная
квадрату
расстояния ме:«;.цу ними, направленная
прямой,
соединяющей
мате­
Вес тела может быть не равен силе
тяжести ,
если
на
тело
кроме
силы
тяжести действуют и другие силы .
Вес тела в лифте, находящемся в по­
кое
или
движущемся
равномерно ,
равен силе тяжести .
Перегрузка
увеличение веса тела ,
-
вызванное его ускоренным движени­
ем .
риальные точки :
т 1 т2
F 6 = G--2 - ,
r
где G
g -
с ила
гости тела , дей ствующая при нали­
Закон всемирного тяготения: ме:«;.цу
вдоль
где
Вес тела
µN,
ния .
ратно
m,
Земли
F 6 = mg,
Сила трения скольжения
гдеµ
сой
поверх н ости
= µnN ,
коэффициент трения покоя .
Fтр =
8
Сила тяжести - гравитационная си­
Максимальная сила трения покоя
реакции опоры :
8
8
= 6,67 · 10- 11 Н · м
тационная постоянная .
Невесомость
-
котором
движется
оно
действием
2
/кг2 - грави­
силы
состояние тела , при
только
тяжести .
Вес
под
тела
в состоянии невесомости равен нулю .
Оглавление
3.
Динамика материальной точки
§ 17.
Принцип относительности Галилея
§ 18.
Первый закон Ньютон а
§ 19.
§ 20.
§ 21.
§ 22.
§ 23.
§ 24.
§ 25.
...........
...........
Второй закон Ньютона
...........
Третий закон Ньютона
...........
Гравитационная сила. Закон всемирного тяготения . . . . . . . . . . .
Сила тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Сила упругости. Вес тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Сила трения .......... . . . .............................
Применение законов Ньютона .. . . ... .. .......... . . . . . ....
Основные положен ия
.
..........
...........
...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 75
. 80
. 81
. 86
. 89
. 93
. 95
. 100
. 105
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
