wEROQTNOSTNYJ ALGORITM PROWERKI ^ISEL NA PROSTOTU a m mIRONOW . . nEOBHODIMYE SWEDENIQ IZ TE- 1.2 sMEVNYE KLASSY ORII GRUPP pUSTX ZADANY NEKOTORAQ GRUPPA G NEKOTORAQ E< POD GRUPPA H 1.1 oPREDELENIE GRUPPY CMEVNYM KLASSOM PO PODGRUPPE H NAZYWAETSQ PODMNOVESTWO GRUPPY G SOSTOQ]EE IZ PROIZWEDENIJ gRUPPOJ NAZYWAETSQ MNOVESTWO G NA KOTOROM ZADANA WIDA gh GDE g NEKOTORYJ FIKSIROWANNYJ \LEMENT BINARNAQ OPERACIQ T E PRAWILO SOPOSTAWLQ@]EE KAV GRUPPY G I h PROIZWOLXNYJ PODGRUPPY H DOJ PARE a b \LEMENTOW G NEKOTORYJ \LEMENT ab 2 G dANNOE MNOVESTWO OBOZNA^AETSQ\LEMENT SIMWOLOM gH NAZYWAEMYJ PROIZWEDENIEM \LEMENTOW a I b PRI^<M o^EWIDNO ^TO g 2 gH POSKOLXKU e 2 H WYPOLNENY SLEDU@]IE USLOWIQ eSLI PODGRUPPA H SOSTOIT IZ KONE^NOGO ^ISLA \LE MENTOW I SPISOK WSEH RAZLI^NYH \LEMENTOW H IMEET OPERACIQ ASSOCIATIWNA T E DLQ WSEH a b c 2 G WID h1 : : : hk TO WSE \LEMENTY SMEVNOGO KLASSA gH a bc ab c SODERVATSQ W SPISKE 1 - . , , , . . , , - { , , . . , , : 1. { . - , , . . , ( ) = ( ) gh1 : : : ghk SU]ESTWUET \LEMENT e 2 G NAZYWAEMYJ NEJTRAWSEH a 2 G wSE \LEMENTY SPISKA RAZLI^NY T K IZ gh gh PO i j ZAKONU SOKRA]ENIQ SLEDUET ^TO hi hj ae ea a sLEDOWATELXNO ; 1 DLQ KAVDOGO a 2 G SU]ESTWUET \LEMENT a 2 G jgH j jH j NAZYWAEMYJ OBRATNYM K a TAKOJ ^TO pUSTX g1 I g2 PROIZWOLXNYE \LEMENTY GRUPPY G aa;1 a;1 a e dOKAVEM ^TO SMEVNYE KLASSY g1H I g2 H OBLADA@T SLEDU@]IM SWOJSTWOM LIBO gRUPPA G NAZYWAETSQ KOMMUTATIWNOJ ILI ABELEWOJ ESLI DLQ WSEH a b 2 G ab ba g1 H \ g2H w GRUPPAH IME@T MESTO ZAKONY SOKRA]ENIQ LIBO ESLI ab ac TO b c I g1 H g2 H ESLI ba ca TO b c eSLI NEWERNO TO SU]ESTWUET \LEMENT a PRINAD LEVA]IJ OBOIM KLASSAM T E dEJSTWITELXNO ESLI ab ac TO UMNOVAQ OBE ^ASTI DANNOGO RAWENSTWA SLEWA NA a;1 POLU^AEM a 2 g1H T E a g1 h1 DLQ NEKOTOROGO h1 2 H I a 2 g2H T E a g2 h2 DLQ NEKOTOROGO h2 2 H a;1 ab a;1 ac tAKIM OBRAZOM a g1h1 g2 h2 uMNOVAQ RAWENST ^TO PO SWOJSTWU ASSOCIATIWNOSTI RAWNOSILXNO RAWEN STWU a;1a b a;1 a c ILI eb ec ILI b c aNALO WO g1h1 g2 h2 SPRAWA NA h;1 1 POLU^AEM GI^NO DOKAZYWAETSQ DRUGOJ ZAKON SOKRA]ENIQ g1 g2h2 h;1 1 pODGRUPPOJ GRUPPY G NAZYWAETSQ PROIZWOLXNOE NEPUSTOE PODMNOVESTWO H G UDOWLETWORQ@]EE SLE pROIZWOLXNYJ \LEMENT KLASSA g1H IMEET WID g1 h DU@]IM USLOWIQM DLQ NEKOTOROGO h 2 H sOGLASNO \LEMENT g1 h RAWEN PROIZWEDENI@ DLQ WSEH a b 2 H ab 2 H g2h2 h;1 1h ; 1 DLQ KAVDOGO a 2 H a 2 H T E \LEMENT g1 h PRINADLEVIT g2 H mY DOKAZALI WKL@^ENIE g1 H g2H aNALOGI^NO w ^ASTNOSTI e 2 H T K BERQ PROIZWOLXNYJ \LE MENT a 2 H NA OSNOWANII PRIWED<NNYH WYE USLOWIJ DOKAZYWAETSQ OBRATNOE WKL@^ENIE tAKIM OBRAZOM MY DOKAZALI ^TO ESLI NEWERNO TO IMEET MESTO POLU^AEM aa;1 e 2 H 2. (1) ( LXNYM \LEMENTOM), TAKOJ, ^TO DLQ = (1) . . , = = = . , 3. , , = = , (2) { = . , : ( ) = . = (3) : = , = , = , = . , = = (3), , , : ( ) = , ) = ) = ( ) , = . . . = , , . . = . = = = - - . . , , - ( , , , ( (4) . , - : . = , (5) - : . (5), 1. (6) 2. . . . . , , . ., . - . , : = , . 1 (3), , (4). tEOREMA lAGRANVA 1.3 GDE pUSTX GRUPPA G SOSTOIT IZ KONE^NOGO ^ISLA \LEMENTOW I SPISOK WSEH E< \LEMENTOW IMEET WID g0 def e g1 def g g2 def gg ::: gk def gg :::g | {z } = , g1 : : : gn = (7) pUSTX H PROIZWOLXNAQ PODGRUPPA GRUPPY G rASSMOTRIM SPISOK WSEH SMEVNYH KLASSOW PO H { = . : g1 H : : : gn H = MNOVITELEJ pOSKOLXKU W GRUPPE G ^ISLO \LEMENTOW KONE^NO TO o^EWIDNO ^TO OB_EDINENIE WSEH MNOVESTW IZ SPISKA SPISOK NE MOVET BYTX BESKONE^NYM I SLEDOWA SOWPADAET S G T K KAVDYJ \LEMENT gi IZ SPISKA TELXNO NEKOTORYE EGO \LEMENTY SOWPADA@T T E SU]EST PRINADLEVIT SMEVNOMU KLASSU giH WU@T RAZLI^NYE ^ISLA i j TAKIE ^TO wOZMOVNO ^TO NEKOTORYE SMEVNYE KLASSY IZ SPIS KA SOWPADA@T w \TOM SLU^AE MY UDALIM IZ SPISKA gi gj LINIE KOPII SMEVNYH KLASSOW T E ESLI pUSTX NAPRIMER i < j giH gj H iZ SLEDUET ^TO PRI i 6 j TO ODIN IZ DANNYH SMEVNYH KLASSOW MY UDA g j ;i e LQEM I POSTUPAEM TAK DO TEH POR POKA WSE IZ OSTAWIH SQ SMEVNYH KLASSOW NE STANUT RAZLI^NYMI T E SREDI pUSTX k NAIMENXEE POLOVITELXNOE CELOE ^ISLO UDOW LETWORQ@]EE USLOWI@ NIH NE BUDET DWUH SOWPADA@]IH pUSTX SPISOK OSTAWIHSQ SMEVNYH KLASSOW IMEET gk e WID gi1 H : : : gim H o^EWIDNO ^TO SOWOKUPNOSTX \LEMENTOW o^EWIDNO ^TO e g g2 : : : gk;1 OB_EDINENIE SMEVNYH KLASSOW IZ SPISKA PO QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G PREVNEMU SOWPADAET S G I pODGRUPPA OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM hgi I NAZY KAK BYLO USTANOWLENO WYE WSE SMEVNYE KLASSY WAETSQ CIKLI^ESKOJ PODGRUPPOJ POROVD<NNOJ \LE IZ SPISKA POPARNO NE PERESEKA@TSQ MENTOM g pOSKOLXKU ^ISLO \LEMENTOW W RAWNO k TO PO sLEDOWATELXNO TEOREME lAGRANVA k (8) , , (8) , . . (11) (7) , . , (8) , , , , - . - . . - , = (8) , (12) . . . = = (12) , , - , , = - { ( . . , - ). = (9) , , (13) (9) , . , (13) - , , (9) . . (13) , jGj = jgi1 H j iZ (10) I (2) + ::: + jgim H j DLQ NEKOTOROGO CELOGO ^ISLA m pOSKOLXKU gk e TO . , m + , jGj = km (10) SLEDUET ^TO jGj = j|H j = :{z: : + jH}j = mjH j , { = ( ) = = tAKIM OBRAZOM MY DOKAZALI ^TO DLQ L@BOGO \LEMENTA g KONE^NOJ GRUPPY G IMEET MESTO SOOTNOENIE gjGj e , - , , gk m em e = SLAGAEMYH { , gjGj gkm mY DOKAZALI TEOREMU lAGRANVA KOTORAQ UTWERV DAET ^TO ESLI G KONE^NAQ GRUPPA I H E< PODGRUPPA TO jGj DELITSQ NA jH j , = , cIKLI^ESKIE PODGRUPPY 1.4 - (14) gOMOMORFIZMY GRUPP 1.5 ZADANA PARA GRUPP G1 G2 pUSTX G KONE^NAQ GRUPPA I g \LEMENT G OTLI^NYJ pUSTX gOMOMORFIZM IZ G1 W G2 \TO PROIZWOLXNOE OTO OT e rASSMOTRIM SPISOK \LEMENTOW G SLEDU@]EGO WIDA BRAVENIE f WIDA { , { . , { . : g0 g1 g2 g3 g4 : : : f G1 (11) - G2 TAKOE ^TO DLQ WSEH a b 2 G1 , f ab ( 2 ) = fafb ( ) ( ) - (15) pUSTX e1 I e2 NEJTRALXNYE \LEMENTY GRUPP G1 I nO LEWAQ ^ASTX W CEPO^NE RAWENSTW RAWNA \LEMENTU G2 SOOTWETSTWENNO f e1 dOKAVEM ^TO f e1 e2 KOTORYJ KAK BYLO USTANOWLENO WYE SOWPADAET S e2 { (20) . ( , ( ) = , , dEJSTWITELXNO W L@BOJ GRUPPE NEJTRALXNYJ \LEMENT tAKIM OBRAZOM \TO EDINSTWENNYJ \LEMENT a OBLADA@]IJ SWOJSTWOM TE a aa , , - f gi;1 gj , , TE e1 e1e1 . . = TO , , ) = ( ) ( ( , Ker f ( fa 2 G1 j f (a) = e2 g ) = gi;1 gj h 2 Ker f = ( ) gj gi h GDE h 2 Ker f ( ) I gi Ker f IME@T NEPUSTOE PERESE^ENIE I SLEDOWATELXNO SOWPA DA@T ^TO NEWOZMOVNO T E WSE SMEVNYE KLASSY W SPIS KE PO PREDPOLOVENI@ RAZLI^NY tAKIM OBRAZOM gj Ker f ( - ) ( , ) , : def e2 . . . { . T E SMEVNYE KLASSY ) ) ( ) = = f e1 f e1 f e1 I SLEDOWATELXNO f e1 QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMEN TOM G2 qDRO GOMOMORFIZMA f \TO PODMNOVESTWO Ker f GRUPPY G1 OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRAZOM ( ( . . = I POSKOLXKU ) , , , . . - - (17) (16) ) . jIm f j m nETRUDNO DOKAZATX ^TO Ker f QWLQETSQ PODGRUP POJ G1 GDE m ESTX KOLI^ESTWO RAZLI^NYH SMEVNYH KLASSOW PO oBRAZ GOMOMORFIZMA f \TO PODMNOVESTWO Im f Ker f GRUPPY G2 OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRAZOM iZ I IZ TEOREMY lAGRANVA SLEDUET ^TO def Im f fb 2 G2 j b f a DLQ NEKOTOROGO a 2 G1 g jG1j jKer f j jIm f j nETRUDNO DOKAZATX ^TO Im f QWLQETSQ PODGRUPPOJ w ^ASTNOSTI IMEET MESTO IMPLIKACIQ KOTORAQ BU G2 DET ISPOLXZOWATXSQ NIVE pUSTX GRUPPA G1 KONE^NA I SPISOK WSEH RAZLI^NYH SMEVNYH KLASSOW GRUPPY G1 PO PODGRUPPE Ker f IME jIm f j > ) jKer f j jG1j ET WID gOMOMORFIZM NAZYWAETSQ \PIMORFIZMOM ES g1Ker f g2Ker f : : : gm Ker f LI OTOBRAVENIE f QWLQETSQ S@R_EKTIWNYM T E ESLI GDE g1 : : : gm NEKOTORYE \LEMENTY GRUPPY G1 Im f G2 zAMETIM ^TO DLQ KAVDOGO i 2 f : : : mg WSE \LE MENTY SMEVNOGO KLASSA iZ SLEDUET ^TO ESLI f \PIMORFIZM TO , ( ) ( ) - = (21) . { ( , ( ) ( : ) = = ). (21) , ( ) = , ( ) ( ) ( ) (22) , ( . - ) , ( ( ) ( ) ( ) ) { - ( ) 1 ( 1 (23) 2 (15) (17) , , . , 1 ) ( - (22) - . . ) = , { , giKer f jG1j jKer f j jG2j PEREHODQT PRI OTOBRAVENII f W ODIN I TOT VE \LEMENT gOMOMORFIZM NAZYWAETSQ IZOMORFIZMOM ES GRUPPY G2 T K PROIZWOLXNYJ \LEMENT SMEVNOGO KLAS LI OTOBRAVENIE f QWLQETSQ WZAIMNO ODNOZNA^NYM SA IMEET WID gi h DLQ NEKOTOROGO h 2 Ker f I eSLI PARA GRUPP G1 G2 TAKOWA ^TO SU]ESTWUET IZO SLEDOWATELXNO MORFIZM IZ G1 W G2 TO MY BUDEM S^ITATX GRUPPY G1 I G2 RAWNYMI f gi h f gi f h f gi e2 f gi nAE VELANIE S^ITATX IZOMORFNYE GRUPPY RAWNY MI OBOSNOWYWAETSQ TEM ^TO PRI ANALIZE ALGEBRAI^ES w ^ASTNOSTI POSKOLXKU KAVDYJ \LEMENT IZ G1 POPA ( ) (18) = ( ) (24) (15) , (18) ( ), - , - . , , ( , - . . - , ) = ( ) ( ) = ( ) = ( . ) - , - TO WSE \LEMENTY KIH SWOJSTW GRUPPY PRIRODA E< \LEMENTOW NE IMEET NI KAKOGO ZNA^ENIQ WAVNO LIX TO KAK NA \TIH \LEMEN TAH DEJSTWUET OPERACIQ PROIZWEDENIQ pOSKOLXKU MEV DU IZOMORFNYMI GRUPPAMI G1 I G2 MOVNO USTANOWITX f g1 f g2 : : : f gm WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE PRI KOTOROM PRO zAMETIM ^TO WSE \LEMENTY W SPISKE RAZLI^NY PO IZWEDENI@ PROIZWOLXNOJ PARY a b \LEMENTOW G1 BUDET SKOLXKU ESLI SOOTWETSTWOWATX PROIZWEDENIE TEH \LEMENTOW G2 KOTO f gi f gj RYE SOOTWETSTWU@T a I b TO \TO OZNA^AET ^TO OPERACIQ PROIZWEDENIQ NA G1 I G2 DEJSTWUET ODINAKOWO I U NAS DLQ NEKOTOROJ PARY RAZLI^NYH INDEKSOW i j TO NET NIKAKIH PRI^IN S^ITATX G1 I G2 RAZNYMI S TO^KI f gi;1 gi f gi;1 f gi f gi;1 f gj f gi;1 gj ZRENIQ IH ALGEBRAI^ESKIH SWOJSTW , DAET W ODIN IZ KLASSOW W SPISKE Im f SODERVATSQ W SPISKE ( - - (17), { ) ( ) ( , - . ) ( ) - , - (19) (19) , , - - , ( ) = ( ) , , , , ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) (20) . 3 - 1.6 pROOBRAZY \LEMENTOW OTNOSITELXNO GOMOMORFIZMOW pUSTX ZADANY PARA GRUPP G1 G2 I GOMOMORFIZM f IZ G1 W G2 dLQ KAVDOGO g 2 G2 SIMWOL f ;1 g OBOZNA^AET MNOVES TWO def 2 mNOVESTWO CELYH ^ISEL Z S OPERACIEJ SLOVENIQ QW LQETSQ GRUPPOJ nEJTRALXNYM \LEMENTOM \TOJ GRUPPY QWLQETSQ ^ISLO I DLQ KAVDOGO a 2 Z OBRATNYM K a QWLQETSQ ^ISLO ;a nETRUDNO DOKAZATX ^TO DLQ KAVDOGO CELOGO ^ISLA n > MNOVESTWO - . f ;1 (g) fa 2 G1 j f (a) = gg = gRUPPA CELYH ^ISEL I E< PODGRUPPY 2.1 , ( ) gRUPPY, SWQZANNYE S CELYMI ^ISLAMI . 0, - . , (25) 0 iZ DANNOGO OPREDELENIQ SLEDUET ^TO MNOVESTWO nZ def fni j i 2 Zg LIBO QWLQETSQ PUSTYM LIBO QWLQETSQ NEKOTORYM SMEVNYM KLASSOM PO QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY Z dOKAVEM ^TO L@BAQ PODGRUPPA GRUPPY Z IMEET WID PODGRUPPE Ker f nIVE MY BUDEM TAKVE ISPOLXZOWATX SLEDU@]EE OBO dLQ \TOGO SNA^ALA DOKAVEM TEOREMU O DELENII S ZNA^ENIE DLQ KAVDOGO g 2 Im f SIMWOL OSTATKOM KOTORAQ UTWERVDAET ^TO DLQ PROIZWOLXNOJ PARY f ;1 g , (25) = , (30) . , ( ). (30). - : ( ) , , an ( ) OBOZNA^AET MNOVESTWO OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRA CELYH ^ISEL GDE n > SU]ESTWU@T EDINSTWENNAQ PARA ZOM ^ISEL ;1 def , : 1.7 f g - fa 2 G1 j f (a) 6= gg ( ) = , 0, qr (26) UDOWLETWORQ@]IH SLEDU@]IM USLOWIQM dEKARTOWO PROIZWEDENIE GRUPP pUSTX ZADAN KONE^NYJ SPISOK GRUPP WIDA a nq r (31) r<n (32) = G1 : : : Gn 0 (27) GRUPP IZ SPISKA NAZYWAETSQ GRUPPA OBOZNA^AEMAQ SIMWOLOM dEKARTOWYM PROIZWEDENIEM + ~ISLA IZ MNOVESTWA RAZBIWA@T MNOVESTWO NA OTREZKI DLINY n KAVDYJ OTREZOK IMEET WID (30) (27) Z : , G1 : : : Gn : ni n i (28) ( + 1)] ( i2Z ) (33) dLQ PROIZWOLXNOGO ^ISLA a SU]ESTWU@T DWE WOZMOV NOSTI LIBO g1 : : : gn a QWLQETSQ KONCOM ODNOGO IZ OTREZKOW WIDA GDE g1 2 G1 : : : gn 2 Gn LIBO oPERACIQ PROIZWEDENIQ NA OPREDELQETSQ POKOM a QWLQETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ ODNOGO IZ OTREZKOW PONENTNO WIDA g1 : : : gn g10 : : : gn0 def g1 g10 : : : gngn0 w PERWOM SLU^AE T E DLQ KAVDOGO i 2 f : : : ng KOMPONENTY S INDEK a nq SOM i PEREMNOVA@TSQ SOGLASNO OPERACII PROIZWEDENIQ W GRUPPE Gi nEJTRALXNYM \LEMENTOM GRUPPY QWLQETSQ SPI DLQ NEKOTOROGO q 2 Z I MY POLAGAEM r RAWNYM A WO WTOROM SOK \LEMENTAMI KOTOROJ QWLQ@TSQ SPISKI WIDA - : ( ) (29) 1. (33), . - (28) 2. : (33). ( )( ) = ( . . ) 1 - = (34) . (28) , - 0, { nq < a < n q e1 : : : en GDE DLQ KAVDOGO i 2 f : : : ng \LEMENT ei QWLQETSQ NEJ DLQ NEKOTOROGO q 2 Z I MY POLAGAEM r RAWNYM RAZNOS TI TRALXNYM \LEMENTOM GRUPPY Gi a ; nq oBRATNYM \LEMENTOM K PROIZWOLXNOMU \LEMENTU GRUPPY QWLQETSQ SPISOK WIDA pOLU^AEM ^TO W OBOIH SLU^AQH r UDOWLETWORQET RAWEN STWU I NERAWENSTWU ; 1 ; 1 g1 : : : gn eSLI q0 r0 DRUGAQ PARA ^ISEL UDOWLETWORQ@]IH GDE DLQ KAVDOGO i 2 f : : : ng \LEMENT gi;1 QWLQETSQ SOOTNOENIQM a nq0 r0 OBRATNYM K gi W GRUPPE Gi ( ( ) 1 + 1) , - (35) - . (29) (28) , ( - (31) ) (32). , { 1 = . 4 + (36) 0 TO IZ I (31) r0 < n 2.2 (38) pUSTX a b NEKOTORAQ PARA CELYH ^ISEL OTLI^NYH OT NULQ rASSMOTRIM MNOVESTWO SLEDUET ^TO (36) , n q0 ; q ( ) = r ; r0 pREDSTAWLENIE NAIBOLXEGO OB]EGO DELITELQ (37) { , . pO\TOMU aZ bZ def fai bj j i j 2 Zg ESLI q0 q TO r0 r I ESLI q0 6 q TO PUSTX NAPRIMER q0 > q TOGDA LEWAQ nETRUDNO PROWERITX ^TO DANNOE MNOVESTWO QWLQETSQ ^ASTX UDOWLETWORQET SOOTNOENI@ PODGRUPPOJ W Z sLEDOWATELXNO PO DOKAZANNOMU W PREDYDU]EJ SEK n q0 ; q n CII SU]ESTWUET CELOE POLOVITELXNOE ^ISLO d TAKOE ^TO PODGRUPPA IMEET WID A PRAWAQ = , = , = + , = , + (42) , (38) . , ( ) r ; r0 < n 0 1], (42), - (43), . , = , (32), . , = 0 , = 0 . . ( ) 0 ( ) nZ H - . . = . = (44) (43), , . , - , - , - { - 0, . . . , , = , . 0 , - . . . . - (30). = (43) pOSKOLXKU ^ISLA a I b PRINADLEVAT TO SLEDOWA TELXNO ONI PRINADLEVAT I TE a d a1 I b d b1 T E d QWLQETSQ DELITELEM ^ISEL a I b dOKAVEM ^TO d QWLQETSQ NAIBOLXIM OB]IM DELI TELEM ^ISEL a I b pUSTX d0 KAKIJ LIBO OB]IJ POLOVITELXNYJ DELI TELX ^ISEL a I b T E a d0 a01 I b d0 b01 pOSKOLXKU d PRINADLEVIT MNOVESTWU TO SLE DOWATELXNO d PRINADLEVIT MNOVESTWU T E d IME ET WID , . . 2. , dZ T K r ; r0 ESTX RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI r I r0 KOTORYE OBE LEVAT W OTREZKE n ; I MY POLU ^ILI PROTIWORE^IE tAKIM OBRAZOM PARA ^ISEL q r UDOWLETWORQ@]IH USLOWIQM I OPREDELENA ODNOZNA^NO tEPERX MOVNO DOKAZATX ^TO PROIZWOLXNAQ PODGRUP PA H GRUPPY Z IMEET WID eSLI H f g TO H Z eSLI H 6 f g TO H SODERVIT NENULEWOE ^ISLO a sLEDOWATELXNO H SODERVIT POLOVITELXNOE ^IS LO T K ESLI a < TO ;a > I ;a 2 H oPREDELIM n KAK NAIMENXEE POLOVITELXNOE ^IS LO PRINADLEVA]EE H o^EWIDNO ^TO 1. , (42) { (31) - , (42), , . . - d ai bj DLQ NEKOTORYH CELYH ^ISEL i j = (39) + (45) . pODSTAWIM W WMESTO ^ISEL a I b IH PREDSTAWLE NIQ IZ POLU^IM eSLI (45) nZ 6 H TO SU]ESTWUET ^ISLO a 2 H TAKOE ^TO = , . . (40) d d0 a01 i d0 b01 j d0 k = , + = (46) GDE k def a01 i b01 j pOSKOLXKU ^ISLA d I d0 POLOVITELXNYE TO ^ISLO k TOVE POLOVITELXNOE sLEDOWATELXNO = + . , (31) . r6 = 0 tK - (44), a 62 nZ T E W RAZLOVENII - , (41) d d0 k d0 = . . r a ; nq a n ;q = TO = + ( T E d NAIBOLXIJ OB]IJ DELITELX ^ISEL a I b w ^ASTNOSTI ESLI a I b WZAIMNO PROSTYE ^ISLA TO SU]ESTWU@T TAKIE CELYE ^ISLA u I v ^TO ) . . { . , r2H { , , au bv nO IZ I IZ SLEDUET ^TO r POLOVI TELXNOE ^ISLO PRINADLEVA]EE H KOTOROE MENX o^EWIDNO ^TO WERNO I OBRATNOE ESLI ^ISLA a I b E ^EM n TAKOWY ^TO SU]ESTWU@T CELYE ^ISLA u I v UDOWLETWO |TO PROTIWORE^IT OPREDELENI@ n RQ@]IE USLOWI@ TO ^ISLA a I b WZAIMNO PROSTY OIBO^NO I tAKIM OBRAZOM PREDPOLOVENIE IZ SLEDUET ^TO (32) (41) , , { + - , , . . (40) , (47) - , (39) = 1 - , (47), , , H nZ = 5 - . gRUPPA WY^ETOW PO MODUL@ n 2.3 NA MNOVESTWE Zn SLEDU@]IM OBRAZOM DLQ WSEH a b IZ MNOVESTWA Zn : pUSTX n NEKOTOROE POLOVITELXNOE CELOE ^ISLO oBOZNA^IM SIMWOLOM Zn MNOVESTWO { . f0 a n b def rn a b + ::: n; g 1 : : I ) (31) (32), a nq rn a DLQ NEKOTOROGO CELOGO ^ISLA q dOKAVEM ^TO DLQ WSEH a b 2 Z rn a b rn rn a rn b + I + ( )+ ( )+ ( rn a n rn b (63) , (48) ( ) ( )) ( ) (50) = + ( ) (51) = + ( + ( ) ( )+ = + ( ( ) = + ( ( )) ) ( ) ( )) (50), (51), (53), . . - = TO + + + ( ( ) + rn b ( )) - = (52) = (53) = (54) = (55) = = = (56) anb nc ) = ( + )+ b rn b ( ) = c rn c ( ) = ( ) an bnc rn a n rn b n rn c rn a n rn b c rn a b c rn a b c rn a b n rn c rn a n rn b n rn c anb nc +( - a b n q1 n q2 n q4 rn rn a \+" + a rn a , = , , an bnc sLOVIW I SOKRATIW ODINAKOWYE SLA GAEMYE W OBOIH ^ASTQH POLU^ENNOJ SUMMY POLU^AEM RAWENSTWO + (63) . . tK (49) + + ( ) , ( )) ( ) ( ) \+". = ( ) = - ) = ( ) \ " rn rn a rn b iZ OPREDELENIQ FUNKCII rn SLEDU@T RAWENSTWA a n q1 rn a b n q2 rn b a b n q3 rn a b rn a rn b n q4 rn rn a rn b a b n q5 rn a b rn a rn b n q6 rn rn a rn b ) = WYGLQ rn a b +( ( (49) (61) ( ) ( rn a b I (48) (62) ( )+ (62) , ) = ) iZ SOOTNOENIJ I NETRUDNO WYWESTI ^TO OPERACII ASSOCIATIWNY I KOMMUTATIWNY I OPERACIQ n DISTRIBUTIWNA OTNOSITELXNO OPERA CII n dOKAVEM NAPRIMER ^TO OPERACIQ n ASSOCIATIW NA T E DLQ WSEH a b c IZ MNOVESTWA Zn IMEET MESTO RAWENSTWO . . . + ( rn a n rn b + ( , ( = ) = ( ) = a n b def rn a b ) rn a b ( SLEDU@]IM OBRAZOM DLQ KAVDOGO a 2 Z \LEMENT rn a PO OPREDELENI@ RAWEN TOMU EDINSTWENNOMU r KOTORYJ SOWMESTNO S q UDOWLETWORQET USLOWIQM I TE DLQ KAVDOGO a 2 Z ( + : ! Zn Z ( w NOWYH OBOZNA^ENIQH SOOTNOENIQ DQT SLEDU@]IM OBRAZOM 1 oPREDELIM OTOBRAVENIE rn = + ) = ( ) +( ( )+ ( )+ ( (( ( ( ( ( +( + + )+ + )+ ( )+ + + ( )) = ) = )) = ) = ( ) = ( )) + ( ) = )+ dRUGIE UPOMQNUTYE WYE SWOJSTWA OPERACIJ DOKAZYWA@TSQ ANALOGI^NO a b n q7 rn rn a rn b nIVE MY BUDEM NAZYWATX OPERACII SOOTWET STWENNO SLOVENIEM I UMNOVENIEM PO MODUL@ n ILI iZ I SLEDUET PROSTO SLOVENIEM I UMNOVENIEM I DLQ KAVDOJ PARY dALEE IZ I SLEDUET ^TO a b 2 Zn MY BUDEM OBOZNA^ATX \LEMENTY a ; n q1 b ; n q2 rn a rn b a n b I a n b TE ZNAKOSO^ETANIQMI a b n q8 rn a rn b a b I ab sLOVIW I SOKRATIW ODINAKOWOE SLAGAEMOE W OBOIH ^ASTQH POLU^ENNOJ SUMMY POLU^AEM RAWENSTWO SOOTWETSTWENNO kROME TOGO DLQ PROIZWOLXNYH CELYH ^ISEL a b ZNA a b n q9 rn rn a rn b KOSO^ETANIE anb iZ I SLEDUET OZNA^AET ^TO oPREDELIM OPERACII TE (61) . . + (57) = + (52) , ( ( )) ( ) + . (57) ( (48). (50) ( (51) , ( ) = ) - (61) ), ( ) ( ) (58) + . . = + ( ) ( ) (59) + (59) c (55), , . , = (60) (54) + ( ( ) ( )) - (60) = (49). , + n I n rn a ( ) = rn b ( ) iZ WYESKAZANNOGO WYTEKAET ^TO (61) , 6 DLQ KAVDOJ PARY a b \LEMENTOW Zn IH PROIZWEDE- OPERACIQ SLOVENIQ NA MNOVESTWE Zn QWLQETSQ AS- NIE SOCIATIWNOJ ^ISLO QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM OTNO SITELXNO OPERACII SLOVENIQ I DLQ KAVDOGO a 2 Zn ^ISLO 0 , 8 < rn ;a ( ) = n ; a ESLI a > ESLI a : 0 ab TOVE PRINADLEVIT Zn - OPERACIQ UMNOVENIQ NA MNOVESTWE Zn ASSOCIA- TIWNA ^ISLO PRINADLEVIT Zn I QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM OTNOSITELXNO OPERACII UMNOVENIQ DLQ KAVDOGO \LEMENTA a 2 Zn SU]ESTWUET \LEMENT a;1 2 Zn TAKOJ ^TO 0 1 = 0 QWLQETSQ OBRATNYM K a OTNOSITELXNO OPERACII SLOVENIQ aa;1 a;1 a tAKIM OBRAZOM MNOVESTWO Zn QWLQETSQ GRUPPOJ OTNO SITELXNO OPERACII SLOVENIQ dANNAQ GRUPPA NAZYWAETSQ GRUPPOJ WY^ETOW PO T E Zn QWLQETSQ GRUPPOJ OTNOSITELXNO OPERACII UMNO VENIQ MODUL@ n |TA GRUPPA NAZYWAETSQ MULXTIPLIKATIWNOJ GRUP, . , = - , = 1 . . . . mULXTIPLIKATIWNAQ GRUPPA W Zn 2.4 - . POJ W Zn . kAK BYLO OTME^ENO WYE OPERACIQ UMNOVENIQ NA MNO VESTWE Zn TOVE QWLQETSQ ASSOCIATIWNOJ I NETRUDNO DOKAZATX ^TO ^ISLO QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMEN TOM OTNOSITELXNO OPERACII UMNOVENIQ oDNAKO MNOVESTWO Zn NE QWLQETSQ GRUPPOJ OTNOSI TELXNO OPERACII UMNOVENIQ T K NE DLQ KAVDOGO \LE MENTA a 2 Zn SU]ESTWUET OBRATNYJ \LEMENT OTNOSI TELXNO OPERACII UMNOVENIQ NAPRIMER DLQ ^ISLA NE SU]ESTWET OBRATNOGO OTNOSITELXNO UMNOVENIQ tEM NE MENEE W Zn SU]ESTWUET PODMNOVESTWO KO TOROE QWLQETSQ GRUPPOJ OTNOSITELXNO OPERACII UMNO VENIQ dANNOE PODMNOVESTWO OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM , 2.5 - , , 1 mALAQ TEOREMA fERMA pUSTX ^ISLO n QWLQETSQ PROSTYM w \TOM SLU^AE . - . - , . . Zn - w ^ASTNOSTI - ( , , 0 , f1 : : : n ; 1g (66) jZn j = n ; 1 (67) iZ SLEDUET ^TO DLQ L@BOGO a IZ MNOVESTWA IMEET MESTO SOOTNOENIE ). , = (14) - - , an;1 n . =1 (67) (68) dANNOE UTWERVDENIE NAZYWAETSQ MALOJ TEOREMOJ Zn fERMA. mNOVESTWO Zn SOSTOIT IZ WSEH \LEMENTOW Zn KOTO RYE WZAIMNO PROSTY S n 2.6 rAZLOVENIE GRUPPY Zn W DEKARTOWO iZ RASSUVDENIJ W KONCE W PUNKTA WYTEKAET ^TO PROIZWEDENIE ^ISLO a 2 Zn QWLQETSQ WZAIMNO PROSTYM S n TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA SU]ESTWU@T CELYE ^ISLA u I v pUSTX ^ISLO n QWLQETQ PROIZWEDENIEM WIDA TAKIE ^TO , - . 2.2 , , , , au nv + pRIMENQQ rn K OBEIM ^ASTQM rn a ( ) = a rn n ( = 1 (64), ) = 0 n uv = (64) I U^ITYWAQ ^TO GDE ^ISLA u I v WZAIMNO PROSTY dOKAVEM ^TO W \TOM SLU^AE IMEET MESTO RAWENSTWO , rn . , (1) = 1 Zn POLU^AEM ^TO W Zn IMEET MESTO RAWENSTWO , a rn u ( (69) ) = 1 = Zu Zv oPREDELIM OTOBRAVENIE (65) - Zu Zv Zn T E ESLI \LEMENT a PRINADLEVIT PODMNOVESTWU Zn TO K NEMU SU]ESTWUET OBRATNYJ \LEMENT OTNOSITELXNO OPE SLEDU@]IM OBRAZOM DLQ KAVDOGO a 2 Zn RACII UMNOVENIQ nETRUDNO DOKAZATX ^TO WERNO I OBRATNOE ESLI K f a def ru a rv a \LEMENTU a 2 Zn SU]ESTWUET OBRATNYJ OTNOSITELXNO OPERACII UMNOVENIQ TO a QWLQETSQ WZAIMNO PROSTYM dOKAVEM ^TO QWLQETSQ IZOMORFIZMOM T E Sn tAKIM OBRAZOM QWLQETSQ WZAIMNO ODNOZNA^NYM I . . f , - : . , : ( ) = ( , , . , (70) 7 ( ) ( )) (70) , , . . (70) tEPERX DOKAVEM ^TO SOHRANQET OPERACI@ SLO SOHRANQET OPERACI@ SLOVENIQ VENIQ T E DLQ WSEH a b 2 Zn iZ SLEDUET ^TO KOLI^ESTWO \LEMENTOW W MNO VESTWE Zn RAWNO KOLI^ESTWU \LEMENTOW W MNOVESTWE fa b fa fb (70) , . , (69) Zu , (70) - ( Zv . + , - (70), , ( a b TE + ) ( + )) = ( ( + ) ( + )) = ( TE ( ) I (73) rv b ( )) + ( ru b rv b ( ) ( )) ru a u ru b rv a v rv b + ) = rv a n b ( rv a ( ) ru a n b ( ru b ru a rv a ( . . ( ) = I (72) . . ru a ( ) . . (71) = (71), ( . . ( ) ( ) = ( ) + . . , (70) , ) = n pO\TOMU DLQ TOGO ^TOBY DOKAZATX WZAIMNU@ ODNO T E ZNA^NOSTX OTOBRAVENIQ DOSTATO^NO DOKAZATX ^TO ru a n b rv a n b OTOBRAVENIE QWLQETSQ IN_EKTIWNYM T E DLQ WSEH a b 2 Zn IZ TE fa fb SLEDUET ^TO ru a n b rv a n b pUSTX WERNO + ) = ( )+ ( ) ( )+ ( )) ru a u ru b (84) rv a v rv b (85) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ANA dOKAZATELXSTWA ISTINNOSTI RAWENSTW I \KWIWALENTNO TOMU ^TO SU]ESTWUET ^ISLO q1 TA LOGI^NY PO\TOMU MY OBOSNUEM LIX RAWENSTWO iZ SLEDUET ^TO PRAWAQ ^ASTX RAWNA KOE ^TO ( ) = (73) ( ) (74) , , , (84) = , , = iZ (75) I (76) , ( ru a n b ( , u q1 v q2 = + I , iZ (78) (79) ru a b ( + ) (86) = anb (87) anb + ) = + ( + + ( + ) (88) . , = (69) (79) a b u v q1 q2 SLEDUET ^TO + , v q2 i v j q1 q1 + ) u q2 ru a n b { , I ) = GDE q1 I q2 NEKOTORYE CELYE ^ISLA sKLADYWAQ DANNYE RAWENSTWA PO^LENNO I U^ITYWAQ POLU^AEM RAWENSTWO SLEDUET ^TO + (77) ( (78) u i q1 v j q1 q1 iZ + a b n q1 , = 1 ) iME@T MESTO RAWENSTWA (77) pOSKOLXKU u I v WZAIMNO PROSTY TO SU]ESTWU@T TAKIE CELYE ^ISLA i I j ^TO + + \KWIWALENTNO RAWENSTWU (76) SLEDUET ^TO ui vj (84) ru a b - . . (84) a ; b v q2 - (84). (75) I \KWIWALENTNO TOMU ^TO SU]ESTWUET ^ISLO q2 TA KOE ^TO TE (74) (85) , - (62) a ; b u q1 , - . . = iZ = ( + )+ ru a n b ( + ) (89) WYTEKAET VELAEMOE RAWENSTWO zAMETIM ^TO ANALOGI^NYM OBRAZOM MOVNO DOKAZATX ^TO SOHRANQET TAKVE I OPERACI@ UMNOVENIQ GDE UMNOVENIE NA Zu Zv OPREDELQETSQ POKOMPONENTNO (80) TE (89) (86). , . . v q3 q1 DLQ NEKOTOROGO CELOGO q3 = iZ (75) I (81) , : a b a0 b0 . (81) SLEDUET ^TO ( , a ; b u v q3 (82) a ; b n q3 (83) = TE . . pOSKOLXKU a I b QWLQ@TSQ \LEMENTAMI Zn TO SLEDOWA TELXNO RAWENSTWO WOZMOVNO TOLXKO W TOM SLU^AE KOGDA , , (83) ( def a u a0 b v b0 ) = ( , ) nETRUDNO DOKAZATX ^TO PARA QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM OT NOSITELXNO OPERACII UMNOVENIQ NA Zu Zv K \LEMENTU a b 2 Zu Zv SU]ESTWUET OBRATNYJ \LEMENT OTNOSITELXNO DANNOJ OPERACII UMNOVE NIQ TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA a 2 Zu I b 2 Zv , - - ( , ) - , q3 T E TOLXKO TOGDA KOGDA a I b SOWPADA@T = 0 , ) (1 1) = . . , (70) . DLQ KAVDOGO a 2 Zn 8 \LEMENT a OBLADAET OBRATNYM PO UMNOVENI@ W Zn TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA { EGO OBRAZ f a OBLADAET OBRATNYM PO UMNO VENI@ W Zu Zv iZ SKAZANNOGO WYE SLEDUET ^TO SOWOKUPNOSTX \LE MENTOW { ( ) 3. pREDSTAWIM ^ISLO n ; W WIDE 1 k l , ( ) 2 - ( ) , { - 4. ff (a) j a 2 Zn g . - f1 : : : n ; 1g SOWPADAET S SOWOKUPNOSTX@ 5. Z Zu GDE l NE^<TNOE ^ISLO wYBEREM SLU^AJNYM OBRAZOM ^ISLO a IZ MNOVES TWA wY^ISLIM SLEDU@]IE ^ISLA v b0 def al b1 def b20 b2 def b21 ::: bk def b2k;1 = I SUVENIE OTOBRAVENIQ f NA PODMNOVESTWO Zn QWLQETSQ IZOMORFIZMOM IZ GRUPPY Zn W GRUPPU Zu Zv (OTNO- = SITELXNO OPERACII UMNOVENIQ tAKIM OBRAZOM W TOM SLU^AE KOGDA n QWLQETSQ PRO IZWEDENIEM DWUH WZAIMNO PROSTYH ^ISEL u I v IME@T MESTO RAWENSTWA = ). , , - , Zn I Zn = Zu = Zu Zv = eSLI DLQ NEKOTOROGO (90) j 2 f ::: k ; g Z 0 v (91) 8 > > > < wEROQTNOSTNYJ ALGORITM PROWERKI ^ISLA NA PROSTOTU oDNIM IZ PRILOVENIJ IZLOVENNYH WYE PONQTIJ I RE ZULXTATOW QWLQETSQ POSTROENIE I ANALIZ WEROQTNOST NYH ALGORITMOW pUSTX ZADANO NEKOTOROE CELOE ^ISLO n tREBUETSQ OPREDELITX QWLQETSQ LI n PROSTYM ^IS LOM dLQ REENIQ \TOJ ZADA^I PREDLAGAETSQ NIVESLEDU @]IJ ALGORITM w DANNOM ALGORITME WSE ^ISLA INTERPRETIRU@TSQ KAK SOOTWETSTWU@ ]IE IM \LEMENTY Zn W ^ASTNOSTI SIMWOL ; RASSMATRIWAEMYJ KAK \LEMENT Zn OBOZNA^AET ^IS LO n ; I WSE OPERACII PONIMA@TSQ KAK SOOTWETSTWU@]IE OPERACII W Zn > > > : - { . 2. . - 3.2 - \ - , aNALIZ SLOVNOSTI ALGORITMA nETRUDNO DOKAZATX ^TO SLOVNOSTX DANNOGO WLGORITMA T E KOLI^ESTWO ISPOLNQEMYH DEJSTWIJ MOVNO OCENITX SLEDU@]IM WYRAVENIEM : (93) , log2 ng ] I DLQ KAVDOGO KONKRETNOGO ZNA^ENIQ POKAZATELQ i PO SKOLXKU FUNKCIQ y xi MONOTONNA PRI POLOVITELXNOM ZNA^ENII ARGUMENTA TO URAWNENIE , - - = - , . xi n = . (94) MOVNO REATX METODOM POLOWINNOGO DELENIQ ^TO TRE BUET NE BOLEE 2 n PROWEROK DLQ WOZMOVNYH KANDI DATOW NA REENIE DANNOGO URAWNENIQ , 2 { 2 )) ) , f2 : : : , , 2, n , - 2. ((log2 ( 2. - { , , . , , . , aLGORITM SOSTOIT IZ POSLEDOWATELXNOGO WYPOLNENIQ IZ LAGAEMYH NIVE AGOW eSLI NA KAKOM LIBO AGE ALGORITM OPREDELIL ^TO n SOSTAWNOE TO POSLE \TOGO ON SRAZU ZAKAN^IWAET RA BOTU W PROTIWNOM SLU^AE PROISHODIT PEREHOD K SLEDU @]EMU AGU eSLI n ^<TNOE TO n SOSTAWNOE eSLI n IMEET WID mi DLQ NEKOTORYH CELYH m I i TO n SOSTAWNOE { . mY PROANALIZIRUEM LIX SLOVNOSTX AGA o^EWIDNO ^TO DLQ WYQSNENIQ TOGO PREDSTAWIMO LI ^ISLO n W WIDE mi DOSTATO^NO PEREBRATX ZNA^ENIQ DLQ POKAZATELQ i W DIAPAZONE oPISANIE ALGORITMA 1. = 1 { O . { 1 . . 1), 3.1 = , 1", , = 1, { . , = 1 . 6. - ( bj 6 bj 6 ; bj +1 TO n SOSTAWNOE eSLI bk 6 TO n SOSTAWNOE eSLI POSLE ESTOGO AGA ALGORITM NE USTANOWIL ^TO n SOSTAWNOE TO ON OB_QWLQET n PROSTYM - , 1 WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ 3 , (92) log . ] - . 9 - sLOVNOSTX PROWERKI WOZMOVNOGO KANDIDATA x NA REENIE URAWNENIQ T E SLOVNOSTX WY^ISLENIQ xi MOVNO OCENITX NAPRIMER KAK O 2 i tAKU@ SLOVNOSTX IMEET NAPRIMER SLEDU@]IJ RE KURSIWNYJ ALGORITM 8 ESLI i < x xi : x2 2i i;1 ESLI i ^<TNOE x x2 2 ESLI i NE^<TNOE (94) ( . . 2. ) (log ( )). : ) , { ) tAKIM OBRAZOM AG TREBUET WYPOLNENIQ STWIJ , 2 (93) DEJ { 6. (95) 2, . , 5 (95) 6, . (95) 5, 0 (97) - bj 6 ; = 1 iZ . . 1 bj 6 = b2j SLEDUET ^TO 1 bj ; bj (97) : = (101) 1 bj +1 6 = 1 bk 3.4 (98) , (98) , (66) , . . (98) . , 5, . , (95) 6. bk a = (102) oCENKA WEROQTNOSTI OIBKI iZ I SLEDUET ^TO W TOM SLU^AE KOGDA ALGO RITM WYDA<T OIBO^NYJ OTWET ^ISLO n DOLVNO OBLA DATX SLEDU@]IM SWOJSTWOM SU]ESTWU@T NEKOTORYE WZAIMNO PROSTYE NE^<TNYE ^ISLA u v TAKIE ^TO n uv (99) (100) , , - , , (103) = nAZOW<M ^ISLO IZ MNOVESTWA PLOHIM ESLI PRI WYBORE \TOGO ^ISLA W KA^ESTWE ZNA^ENIQ a WYPOLNQ@TSQ SOOTNOENIQ I o^EWIDNO ^TO WEROQTNOSTX WYDA^I OIBO^NOGO OT WETA W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE RAWNA DOLE PLOHIH a SREDI WSEH ^ISEL IZ MNOVESTWA zAMETIM ^TO WSE PLOHIE a PRINADLEVAT MNOVESTWU Zn T K ESLI a 62 Zn TO a I n IME@T OB]IJ DELITELX d > (92) (101) , (102). , - \ " (92). , \ " . . (104) , 1: a d a1 n d n1 = n;1 = a = , , (68), . . = 1, . . . = , = 1 6, . = , 1. (102) b0 b1 : : : bn QWLQ@TSQ STEPENQMI ^ISLA a eSLI BY n BYLO PROSTYM TO SOGLASNO MALOJ TEOREME I W \TOM SLU^AE NE BUDET WYPOLNENO SOOTNOENIE fERMA IMELO BY MESTO SOOTNOENIE T E bk T K ESLI ^TO PROTIWORE^IT NAEMU PREDPOLOVENI@ bk an;1 sLEDOWATELXNO ESLI OTWET BYL WYDAN NA AGE TO TO ON TOVE QWLQETSQ PRAWILXNYM n1 an;1 n1 ) tAKIM OBRAZOM ) n1 d a1 n;1 n1 ) W TOM SLU^AE KOGDA n QWLQETSQ PROSTYM NA AL GORITM NIKOGDA NE WYDAST OTWET T E W SLU ) n1 dn;1 an1 ;1 n1 ) ^AE PROSTOGO n OTWET ALGORITMA WSEGDA BUDET PRA ) n dn;2 an1 ;1 n1 WILXNYM , - : , 2kl = 1 . + 1) = 0 . , 1 (101) PRI^<M IZ SLEDUET ^TO OBA SOMNOVITELQ W OTLI^NY OT NULQ eSLI BY n BYLO PROSTYM TO IZ SLEDUET ^TO PROIZWEDENIE OTLI^NYH OT NULQ \LEMENTOW Zn NE MOVET BYTX RAWNO NUL@ T E BYLO BY NEWOZMOVNO sLEDOWATELXNO ESLI OTWET BYL WYDAN NA AGE TO ON QWLQETSQ PRAWILXNYM tEPERX PREDPOLOVIM ^TO OTWET BYL WYDAN NA AGE iZ OPREDELENIJ ^ISEL b0 : : : bk SLEDUET ^TO (96) (100) , = 1 1)( 2 iSTINNOSTX ILI LOVNOSTX SOOTNOENIJ I ZAWISIT TOLXKO OT WYBORA ^ISLA a POSKOLXKU WSE ^ISLA IZ SPISKA (96) , ( 2 = 1 (95) , (99) 0 aLGORITM MOVET WYDATX OTWET n SOSTAWNOE TOLXKO NA AGAH I o^EWIDNO ^TO ESLI OTWET BYL WYDAN NA AGAH ILI TO n DEJSTWITELXNO QWLQETSQ SOSTAWNYM dOKAVEM ^TO ESLI OTWET BYL WYDAN NA AGAH ILI TO n TOVE DEJSTWITELXNO QWLQETSQ SOSTAWNYM pUSTX OTWET BYL WYDAN NA AGE T E DLQ NE KOTOROGO j 2 f : : : k ; g WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ 1 : , - oBOSNOWANIE KORREKTNOSTI ALGORITMA 1,2,5 (95), { . 3.3 6 . . { ( , 1,2,5 = 1 ( , { - := W TOM SLU^AE KOGDA n QWLQETSQ SOSTAWNYM NA ALGORITM INOGDA MOVET WYDATX OIBO^NYJ OTWET n PROSTOE I \TO PROIZOJD<T W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE KOGDA NA AGAH I NE BYL WYDAN OTWET T E IME@T MESTO SLEDU@]IE SOOTNOENIQ n NE^<TNOE ^ISLO n NE IMEET WID mi GDE m I i 9 DLQ KAVDOGO j 2 f : : : k ; g > > > WYPOLNENO ODNO IZ USLOWIJ > = bj ILI > > bj ; ILI > > , , (95), . . - - ( ) = = - = 10 (102), NO T K n n TO . . SOOTNOENIE (102) MOVNO \KWIWALENTNYM OBRAZOM = 0, n dn;2 an1 ;1 SFORMULIROWATX TAK : fk a = 0 ( ) = 1 (107) I MY POLU^ILI PROTIWORE^IE w SWO@ O^EREDX POZWOLQET PEREPISATX SOOTNOENIQ I W DRUGOJ FORME DLQ ^EGO MY WWED<M SLEDU@]IE OBOZNA SOOTNOENIE MOVNO \KWIWALENTNYM OBRAZOM ^ENIQ SFORMULIROWATX TAK pUSTX DLQ KAVDOGO j 2 f : : : k ; g A PROIZWOLXNAQ ABELEWA GRUPPA I a 2 fj;1 fj;1 ; fj;+11 m NEKOTOROE POLOVITELXNOE CELOE ^ISLO oBOZNA^IM SIMWOLOM Am SOWOKUPNOSTX \LEMENTOW A SOOTNOENIE MOVNO \KWIWALENTNYM OBRAZOM WIDA SFORMULIROWATX TAK m . (104) (101) , (102) , - (106) . : { 0 , 1 (108) { (1) . ( (1) 1) (107) fg j g 2 Ag : o^EWIDNO ^TO Am QWLQETSQ PODGRUPPOJ W A oBOZNA^IM SIMWOLOM ^m OTOBRAVENIE WIDA , - Am ^m : A a 2 fk;1 . (108) (105) a 2 KOTOROE SOPOSTAWLQET KAVDOMU g 2 A \LEMENT gm . o^EWIDNO ^TO ^m QWLQETSQ \PIMORFIZMOM rASSMOTRIM SLEDU@]U@ CEPO^KU \PIMORFIZMOW , G - G0 ^2 - G1 GDE ^2 - ::: ^2 k\ ;1 ( j =0 fj;1 (1) (109) : fj;1 (;1) fj;+11 (1) ) (110) iZ SKAZANNOGO WYE SLEDUET ^TO ESLI DLQ ^ISLA n ALGORITM MOVET WYDATX OIBO^NYJ OTWET TO IMEET MESTO I WEROQTNOSTX WYDA^I OIBO^NOGO OTWETA W RASSMAT RIWAEMOM SLU^AE RAWNA OTNOENI@ ^ISLA \LEMEN TOW W PERESE^ENII MNOVESTW . , : ^l MOVNO PEREPISATX TAK (1) , - Gk (103), - Z n G G0 def Gl k\ ;1 fj;1 fj;1 ; fj;+11 G1 def G20 j =0 ::: I Gk def G2k;1 fk;1 K ^ISLU \LEMENTOW MNOVESTWA dLQ KAVDOGO j 2 f : : : kg OBOZNA^IM SIMWOLOM fj SKWOZNOJ \PIMORFIZM IZ G W Gj W DANNOJ CEPO^KE T E dLQ OCENKI WEROQTNOSTI WYDA^I OIBO^NOGO OTWETA MY OTDELXNO RASSMOTRIM SLU^AI KOGDA j fj ^ l jGk j 6 o^EWIDNO ^TO I b0 f0 a jGk j b1 f1 a pUSTX IMEET MESTO ::: pOSKOLXKU fk QWLQETSQ \PIMORFIZMOM WIDA bk fk a fk G ! Gk def = - = ( = (1) ( = 1) (1) , = (2 , ) = ( ) = ( ) 1. = = 1 (113) = 1 (114) (113). ( ) pO\TOMU SOOTNOENIE MOVNO \KWIWALENTNYM OBRAZOM SFORMULIROWATX TAK 9 DLQ KAVDOGO j 2 f : : : k ; g > > > WYPOLNENO ODNO IZ USLOWIJ > = fj a ILI > > fj a ; ILI > > (101) : TO SOGLASNO , 0 1 : (106) 1 ( ) = 1 (23), IMEET MESTO NERAWENSTWO jfk;1 (1)j = jKer(fk )j 21 jGj : ( ) = (112) . . , fj +1 a 6 (111) (92). 0 ( ) = 1 (1) ) sLEDOWATELXNO ^ISLO \LEMENTOW W PERESE^ENII I TAKVE NE PREWOSHODIT ^ISLA , 1 2 11 (111) (112) jGj (115) pOSKOLXKU NE PREWOSHODIT POLOWINY OT ^IS LA \LEMENTOW MNOVESTWA TO SLEDOWATELXNO W SLU^AE WEROQTNOSTX WYDA^I OIBO^NOGO OT WETA NE PREWOSHODIT = tEPERX RASSMOTRIM SLU^AJ zAMETIM ^TO GRUPPA G NE QWLQETSQ ODNO\LEMENT NYM MNOVESTWOM T K ONA SODERVIT PO MENXEJ MERE DWA \LEMENTA I ; kROME TOGO GRUPPA G0 Gl TAKVE NE QWLQET SQ ODNO\LEMENTNYM MNOVESTWOM POSKOLXKU WWI DU TOGO ^TO ^ISLO l NE^<TNOE TO (115) w DANNYH OBOZNA^ENIQH RAWENSTWO - (92), , , (113) = I DLQ KAVDOGO j 2 f : : : k ; g IMEET MESTO RA WENSTWO 0 (114). , , (= - , , . (116) ) { , (70), G! U V - , \LEMENTU ; GRUPPY G PRI DANNOM IZOMORFIZME SOOTWETSTWUET W DEKARTOWOM PROIZWEDENII U V PARA ;1)l = ;1 1 ( I SLEDOWATELXNO GRUPPA G0 TAKVE SODERVIT PO MENXEJ MERE DWA \LEMENTA tAKIM OBRAZOM SU]ESTWUET NOMER , POSKOLXKU WOZWEDENIE W STEPENX PAR IZ U V OSU ]ESTWLQETSQ POKOMPONENTNO sOGLASNO OPREDELENI@ OTOBRAVENIQ KOTOROE INDUCIRUET IZOMORFIZM - - 1 , ( (116). (121) ( ( j0 2 f : : : k ; g 0 ;1 ;1) LEWAQ KOMPONENTA KOTOROJ PONIMAETSQ KAK ru ; A PRAWAQ KAK rv ; zAMETIM ^TO W OBOIH GRUPPAH U I V \LEMENTY ; NE SOWPADA@T S \LEMENTAMI rASSMOTRIM SLEDU@]IE SLU^AI jUj0 j ILI jVj0 j w \TOM SLU^AE PARA NE MOVET PRINAD LEVATX DEKARTOWU PROIZWEDENI@ , TAKOJ ^TO - = . . 1 1 Gj Uj Vj - , IMEET WID G U V - 1 2. 2. (91) - 1 ( 1), 1)). , , I jGj0 j 6= 1 (117) jGj0+1 j = 1 (118) \ , (a) fj;0 1 (;1) fj;0 1+1 (1) PO\TOMU \LEMENT ; GRUPPY G SOOTWET STWU@]IJ DANNOJ PARE NE PRINADLEVIT GRUP PE Gj0 T E \ , (115) , - , (114) = - wWED<M SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ U def Zu U0 def U l U1 def U02 ::: Uk def Uk2;1 = = = = 1 2 jGj . - 1 2 - jGj (122) nERAWENSTWO SLEDUET IZ POSKOLXKU fj0 QWLQETSQ \PIMORFIZMOM WIDA (122) (115), jfj;0 1 (;1)j , jfj;0 1 (1)j (119) + (120) pO\TOMU DLQ DOKAZATELXSTWA TOGO ^TO ^ISLO \LE MENTOW W MNOVESTWE NE PREWOSHODIT ^ISLA DOSTATO^NO DOKAZATX NERAWENSTWO jfj;0 1 (1)j - , , 1) = (120) , (1) fj;0 1 ; , 1 2. fj;0 1+1 ( I SLEDOWATELXNO WTOROE SLAGAEMOE W LEWOJ ^ASTI NERAWENSTWA RAWNO NUL@ tAKIM OBRAZOM W DANNOM SLU^AE DLQ DOKAZA TELXSTWA NERAWENSTWA DOSTATO^NO DOKA ZATX NERAWENSTWO - (118) . . ( - (92), , 1" ) (111) (115), - Uj0 Vj0 (115). (112) = 1. (119) NE PREWOSHODIT ^ISLA w ^ASTNOSTI ^ISLO \LEMENTOW W PERESE^ENII I W \TOM SLU^AE TAKVE NE BUDET PREWOSHO DITX ^ISLA I POSKOLXKU NE PREWOSHO DIT POLOWINY OT ^ISLA \LEMENTOW MNOVESTWA TO SLEDOWATELXNO W SLU^AE WEROQTNOSTX WY DA^I OIBO^NOGO OTWETA TAKVE NE BUDET PREWOS HODITX = iZ SLEDUET ^TO , = 1 (121) - (1) \1". : dOKAVEM ^TO DLQ DANNOGO NOMERA j0 ^ISLO \LE MENTOW W MNOVESTWE fj;0 1 1" (23): fj0 G ! Gj0 (120) : I jGj0 j > TO NA OSNOWANII NERAWENSTWO 1, : V def Zv V0 def V l V1 def V02 ::: Vk def Vk2;1 = (23) IMEET MESTO jfj;0 1 (1)j = jKer(fj0 )j 12 jGj = = (b) jUj0 j > 1 I jVj0 j > 1. w \TOM SLU^AE jIm(fj0 )j = 12 = jGj0 j 4 - I SLEDOWATELXNO NA OSNOWANII ZAKL@^ITX ^TO , , (22) MOVNO , jKer(fj0 )j 1 jGj (123) 4 wWIDU TOGO ^TO , fj;0 1 (1) = Ker(fj0 ), I MNOVESTWO f ;1 (;1) QWLQETSQ ODNIM IZ SMEVj0 NYH KLASSOW PO PODGRUPPE Ker fj0 T E W ^ASTNOSTI ( ), . ., , jfj;0 1 (;1)j = jKer(fj0 )j TO jfj;0 1 (1)j jfj;0 1 (;1)j + 2 jKer(fj0 )j (124) (120) SLEDUET IZ (124) = iSKOMOE NERAWENSTWO I (123). 3.5 uMENXENIE WEROQTNOSTI OIBKI pREDLOVENNYJ ALGORITM MOVNO NEMNOGO MODICIFIRO WATX TAK ^TOBY WEROQTNOSTX OIBO^NOGO OTWETA SU ]ESTWENNO UMENXILASX dANNAQ MODIFIKACIQ ZAKL@^AETSQ W TOM ^TO WMESTO ODNOKRATNOGO PRIMENENIQ DANNOGO ALGORITMA K ^ISLU n MY PRIMENIM EGO K ^ISLU n NESKOLXKO RAZ pUSTX SIMWOL d OBOZNA^AET KOLI^ESTWO PRIMENENIJ DANNOGO ALGORITMA K ^ISLU n w KA^ESTWE OKON^ATELXNOGO OTWETA MY WYDA<M OTWET n PROSTOE ESLI PRI WSEH d PRIMENENIQH DANNOGO ALGORITMA K ^ISLU n BYL POLU^EN OTWET I OTWET n SOSTAWNOE ESLI PRI HOTQ BY ODNOM IZ d PRIMENENIJ DANNOGO ALGORITMA K ^ISLU n BYL POLU^EN OTWET nETRUDNO WIDETX ^TO OKON^ATELXNYJ OTWET QWLQ ETSQ OIBO^NYM TOLXKO TOGDA KOGDA PRI KAVDOM IZ d PRIMENENIJ TO ^ISLO a KOTOROE WYBIRALOSX NA AGE BYLO PLOHIM tAKIM OBRAZOM WEROQTNOSTX OIBKI MOVNO OCENITX KAK WEROQTNOSTX TOGO ^TO PRI d NEZAWISIMYH WYBORAH ^ISEL - , - . , . . { (125) (125), { (126) (126). , - , \ ", 4, . , , a1 : : : ad (127) IZ MNOVESTWA WSE WYBRANNYE ^ISLA BUDUT PLOHIMI oBOZNA^IM SIMWOLOM p WEROQTNOSTX TOGO ^TO PRI ODNOKRATNOM WYBORE ^ISLA a IZ MNOVESTWA DANNOE ^ISLO BUDET PLOHIM kAK BYLO USTANOWLENO WYE p = pOSKOLXKU WSE ^ISLA IZ SPISKA POROVDA@TSQ NEZAWISIMO DRUG OT DRUGA TO WEROQTNOSTX TOGO ^TO WSE ONI ODNOWREMENNO BUDUT PLOHIMI RAWNA pd tAKIM OBRAZOM WEROQTNOSTX OIBKI MODIFICIRO WANNOGO ALGORITMA NE PREWOSHODIT ^ISLA ;d (92) . , (92) . , 1 2. (127) , , , . , - 2 . 13