Untitled-1 1 30.09.2009, 17:01 2-3.P65 1 30.09.2009, 17:15 ÑÅÍÒßÁÐÜ ÎÊÒßÁÐÜ ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ 2009 © Þ ¹5 ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ  íîìåðå: % ! Ó÷ðåäèòåëè Ðîññèéñêàÿ àêàäåìèÿ íàóê, Ôîíä ïîääåðæêè ôóíäàìåíòàëüíîé íàóêè è îáðàçîâàíèÿ (Ôîíä Îñèïüÿíà), ÈÔÒÒ ÐÀÍ Èçäàòåëü ÎÎÎ ÍÏÏ ÎÎ «Áþðî Êâàíòóì» ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ Êîñìè÷åñêèé íàíîëèôò. Ê.Áîãäàíîâ ' ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ» Çàäà÷è Ì2146Ì2153, Ô2153Ô2159 Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2124Ì2130, Ô2138Ô2144 ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ Ñ.Ñ.Êðîòîâ ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß À.ß.Áåëîâ, Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ, À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ, Ñ.À.Ãîðäþíèí, Í.Ï.Äîëáèëèí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà), Â.Í.Äóáðîâñêèé, À.À.Åãîðîâ, À.Â.Æóêîâ, À.Ð.Çèëüáåðìàí, Â.Â.Êâåäåð (çàìåñòèòåëü ïðåäñåäàòåëÿ ðåäêîëëåãèè), Ï.À.Êîæåâíèêîâ, Â.Â.Êîçëîâ (çàìåñòèòåëü ïðåäñåäàòåëÿ ðåäêîëëåãèè), Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.À.Ëåîíîâè÷, Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî, Â.Ã.Ñóðäèí, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà, Â.Ì.Óðîåâ, À.È.×åðíîóöàí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà) ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ À.Â.Àíäæàíñ, Â.È.Àðíîëüä, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.È.Áåðíèê, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé, Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Ñ.Ï.Íîâèêîâ, Ë.Ä.Ôàääååâ ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß 1970 ÃÎÄÀ ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ È.Ê.Êèêîèí ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ 01-18.p65 & ' ' ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ» Íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü !" !$ ØÊÎËÀ  «ÊÂÀÍÒÅ» Çàãàäêè ìàãíèòíîé ñòðåëêè (ïðîäîëæåíèå). È.Ëååíñîí Èîíîñôåðà è øóì öóíàìè. À.Ñòàñåíêî !& ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ Îá îäíîé íåòî÷íîñòè Èñààêà Íüþòîíà. Á.Êîíäðàòüåâ " "! ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Ñíîâà î òåîðåìå Ìîðëåÿ. Ë.Øòåéíãàðö Åùå äâà äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ìîðëåÿ "# "& "' # À.Í.Êîëìîãîðîâ #% #& 1 Ê Ì Ø Çàäà÷è Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 68» Ëåòíèé òóðíèð èìåíè À.Ï.Ñàâèíà ! Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí, Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ, Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ, Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé, À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ, Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Ï.Ñàâèí,È.Ø.Ñëîáîäåöêèé, Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé, ß.À.Ñìîðîäèíñêèé, Â.À.Ôàáðèêàíò, ß.Å.Øíàéäåð Òîâàðíûé çíàê «Æóðíàë «Êâàíò» ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîñòüþ ÎÎÎ ÍÏÏ ÎÎ «Áþðî Êâàíòóì» © 2009, ÐÀÍ, Ôîíä Îñèïüÿíà, æóðíàë «Êâàíò» Ïðÿìàÿ Ñèëüâåñòðà. Ñ.Òàáà÷íèêîâ, Â.Òèìîðèí Ìíîãîëèêèé ïðîòîí. È.Èâàíîâ Çàäà÷à Ýðäåøà Ñåêåðåøà: ïðîäîëæåíèå èñòîðèè. Â.Êîøåëåâ, À.Ðàéãîðîäñêèé ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Ñîõðàíåíèå ïîëíîé ýíåðãèè â çàäà÷àõ òåðìîäèíàìèêè. À.×åðíîóöàí ÎËÈÌÏÈÀÄÛ Ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà èìåíè Ëåîíàðäà Ýéëåðà Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï XXXV Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï XLIII Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå Ìîñêîâñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå 2009 ãîäà Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ Èíôîðìàöèÿ (12) Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé (27) ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ I II III IV Èëëþñòðàöèÿ ê ñòàòüå È.Èâàíîâà Êîëëåêöèÿ ãîëîâîëîìîê Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà Ïðîãóëêè ñ ôèçèêîé  èçäàíèè æóðíàëà «Êâàíò» ôèíàíñîâîå ó÷àñòèå ïðèíèìàåò ÎÀÎ «ÒÅÕÑÍÀÁÝÊÑÏÎÐÒ» 30.09.09, 16:31 ÊÂÀÍT 2009/¹5 Ïðÿìàÿ Ñèëüâåñòðà Ñ.ÒÀÁÀ×ÍÈÊÎÂ, Â.ÒÈÌÎÐÈÍ Çàäà÷à  1893 ãîäó Ñèëüâåñòð ïîñòàâèë òàêóþ çàäà÷ó [1]: âåðíî ëè, ÷òî ñðåäè ëþáîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òî÷åê íà ïëîñêîñòè, íå ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé, íàéäåòñÿ ïàðà òî÷åê òàêàÿ, ÷òî ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íèõ ïðÿìàÿ íå ñîäåðæèò íèêàêèõ äðóãèõ òî÷åê äàííîãî ìíîæåñòâà? (Òàêàÿ ïðÿìàÿ, åñëè îíà ñóùåñòâóåò, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé Ñèëüâåñòðà.) Íåñìîòðÿ íà ýëåìåíòàðíóþ ôîðìóëèðîâêó, çàäà÷à îñòàâàëàñü íåðåøåííîé 40 ëåò. Âîçìîæíî, åþ ïðîñòî íèêòî íå çàíèìàëñÿ.  1933 ãîäó èçâåñòíûé âåíãåðñêèé ìàòåìàòèê Ýðäåø ïåðåîòêðûë çàäà÷ó Ñèëüâåñòðà è, ïîñëå íåñêîëüêèõ íåóäà÷íûõ ïîïûòîê åå ðåøèòü, ñîîáùèë åå ñâîåìó êîëëåãå Òèáîðó Ãðþíâàëüäó (ïîçæå Ãðþíâàëüä ñìåíèë ñâîþ ôàìèëèþ íà Ãàëëàè; îí áîëåå èçâåñòåí ïîä ýòîé âòîðîé ôàìèëèåé). Ãàëëàè âñêîðå ðåøèë çàäà÷ó. Îäíàêî øèðîêóþ èçâåñòíîñòü îíà ïîëó÷èëà åùå ÷åðåç 10 ëåò, â 1943 ãîäó, êîãäà Ýðäåø îïóáëèêîâàë åå â ïîïóëÿðíîì àìåðèêàíñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì æóðíàëå American Mathematical Monthly [2]. Îäíîâðåìåííî ñ çàäà÷åé â ðåäàêöèþ áûëî ïðåäñòàâëåíî è ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå Ãàëëàè. Âñêîðå â ðåäàêöèþ ïîñòóïèëî åùå íåñêîëüêî ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ Áàêîì, Êåëëè, Øòåéíáåðãîì è Ñòèíðîäîì. Îòâåò íà âîïðîñ Ñèëüâåñòðà ïîëîæèòåëüíûé: Òåîðåìà 1. Äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî íåêîëëèíåàðíîãî (ò.å. íå ëåæàùåãî íà îäíîé ïðÿìîé) íàáîðà òî÷åê íà ïëîñêîñòè ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ Ñèëüâåñòðà. Ìû áóäåì íàçûâàòü ýòî óòâåðæäåíèå òåîðåìîé Ñèëüâåñòðà Ãàëëàè. Çàìåòèì, ÷òî ïåðâîå îïóáëèêîâàííîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû (1941) ïðèíàäëåæèò Ìåëüõèîðó. Èçâåñòíî ìíîæåñòâî äîêàçàòåëüñòâ òåîðåìû Ñèëüâåñòðà Ãàëëàè, èñïîëüçóþùèõ èäåè èç ñàìûõ ðàçíûõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè. Ìû îáñóäèì íåêîòîðûå èç ýòèõ èäåé. Âî-ïåðâûõ, ìû ðóêîâîäñòâóåìñÿ ïðèíöèïîì: ïîëåçíåé çíàòü ðàçëè÷íûå äîêàçàòåëüñòâà îäíîé è Äæ.Ñèëüâåñòð 01-18.p65 Ï.Ýðäåø 2 òîé æå òåîðåìû, ÷åì îäèíàêîâûå äîêàçàòåëüñòâà ðàçíûõ òåîðåì. Âî-âòîðûõ, ðàçëè÷íûå èäåè äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ÑèëüâåñòðàÃàëëàè ñâÿçàíû ñ ðàçëè÷íûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè òåîðèÿìè, è ìû õîòèì äàòü ÷èòàòåëþ ïðåäñòàâëåíèå îá ýòèõ òåîðèÿõ. Íåìíîãî èñòîðèè: Ñèëüâåñòð, Ýðäåø è Ãàëëàè Ïðåæäå ÷åì ãîâîðèòü î ðåøåíèÿõ çàäà÷è Ñèëüâåñòðà, ñêàæåì íåñêîëüêî ñëîâ î ñàìîì Ñèëüâåñòðå (1814 1897). Ýòî ìàòåìàòèê, ïîëó÷èâøèé ôóíäàìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû â òåîðèè èíâàðèàíòîâ, ïîëèëèíåéíîé àëãåáðå, òåîðèè ÷èñåë è êîìáèíàòîðèêå. Êñòàòè, Ñèëüâåñòðó ïðèíàäëåæèò òåðìèí «äåòåðìèíàíò». Êýëè è Ñèëüâåñòð âîò äâà ñàìûõ çíàìåíèòûõ ìàòåìàòèêà âèêòîðèàíñêîé Àíãëèè. Äæåéìñ Äæîçåô Ñèëüâåñòð ðîäèëñÿ â ñåìüå êóïöà Àáðàõàìà Äæîçåôà. Ôàìèëèþ Ñèëüâåñòð îí âçÿë ïîçæå. Ñèëüâåñòð ñìåíèë íåñêîëüêî øêîë è êîëëåäæåé, à çàòåì ó÷èëñÿ â Êåìáðèäæñêîì óíèâåðñèòåòå. Òàì îí çàíÿë âòîðîå ìåñòî ïî ðåçóëüòàòàì î÷åíü ñåðüåçíîãî âûïóñêíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ýêçàìåíà. Ýêçàìåí, â ïðèíöèïå, äàâàë ïðàâî íà ïîëó÷åíèå îäíîâðåìåííî ñòåïåíåé áàêàëàâðà è ìàãèñòðà. Íî Ñèëüâåñòð íå ïîëó÷èë ýòè ñòåïåíè, òàê êàê îòêàçàëñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìàëüíîé ïðîöåäóðû, âêëþ÷àâøåé ïðèçíàíèå êàíîíîâ àíãëèêàíñêîé öåðêâè. Íàó÷íûå ñòåïåíè Ñèëüâåñòð ïîëó÷èë òîëüêî ÷åðåç 4 ãîäà, óæå áóäó÷è ïðîôåññîðîì ôèçèêè â ëîíäîíñêîì óíèâåðñèòåòå. Ñðàçó ïîñëå ýòîãî Ñèëüâåñòð ïåðååõàë â ÑØÀ, ÷òîáû ïðåïîäàâàòü ìàòåìàòèêó â óíèâåðñèòåòå Âèðäæèíèè. Òàì îí íå ïðîðàáîòàë è ïÿòè ìåñÿöåâ. Ïðè÷èíà óõîäà ñîñòîÿëà â òîì, ÷òî êîëëåãè íå ïîääåðæàëè åãî â ñòðåìëåíèè âûãíàòü îäíîãî ñòóäåíòà. Ïîñëå áåçóñïåøíîãî ïîèñêà ðàáîòû â ÑØÀ Ñèëüâåñòð âåðíóëñÿ â Àíãëèþ è ñòàë ðàáîòàòü ñïåöèàëèñòîì ïî îöåíêå ôèíàíñîâûõ ðèñêîâ ñòðàõîâûõ êîìïàíèé. Òîëüêî â 1855 ãîäó (ò.å. â âîçðàñòå 40 ëåò) åìó óäàëîñü ïîëó÷èòü ïîñòîÿííóþ àêàäåìè÷åñêóþ ïîçèöèþ â Êîðîëåâñêîé âîåííîé àêàäåìèè â Âóëâè÷å. Òàê âûøëî, ÷òî ðàñöâåò ìàòåìàòè÷åñêîé êàðüåðû Ñèëüâåñòðà ïðèøåëñÿ íà ïåíñèîííûé âîçðàñò.  18771883 ãîäàõ Ñèëüâåñòð âîçãëàâëÿë îòäåëåíèå ìàòåìàòèêè â àìåðèêàíñêîì Óíèâåðñèòåòå Äæîíñà Õîïêèíñà, îñíîâàë «Àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòè÷åñÒ.Ãàëëàè 30.09.09, 16:31 ÏÐßÌÀß êèé æóðíàë» (American Journal of Mathematics). Ñ 1883 ãîäà äî êîíöà æèçíè Ñèëüâåñòð ðóêîâîäèë êàôåäðîé ãåîìåòðèè â Îêñôîðäå. Çàäà÷à Ñèëüâåñòðà ïðèõîäèòñÿ íà ýòîò, ïîñëåäíèé, ïåðèîä åãî æèçíè. Íåäàâíî ïîÿâèëàñü ïîäðîáíàÿ áèîãðàôèÿ Ñèëüâåñòðà [3]. Èìÿ Ïàëà Ýðäåøà (19131996), îäíîãî èç ñàìûõ èçâåñòíûõ è âëèÿòåëüíûõ ìàòåìàòèêîâ 20 âåêà, êîíå÷íî, çíàêîìî ÷èòàòåëÿì; åìó çàäà÷à Ñèëüâåñòðà îáÿçàíà ñâîåé çàïîçäàëîé ïîïóëÿðíîñòüþ. Çà ñâîþ æèçíü Ýðäåø îïóáëèêîâàë 1475 ìàòåìàòè÷åñêèõ ñòàòåé (ýòî àáñîëþòíûé ðåêîðä ñðåäè ìàòåìàòèêîâ âñåõ âðåìåí è íàðîäîâ). Áîëüøèíñòâî ñòàòåé áûëî íàïèñàíî ñ ñîàâòîðàìè, êîòîðûõ íàñ÷èòûâàåòñÿ 511.  ñâÿçè ñ ýòèì áûëî ââåäåíî «÷èñëî Ýðäåøà». ×èñëî Ýðäåøà äëÿ ìàòåìàòèêà ýòî êîëè÷åñòâî ñîàâòîðîâ, îòäåëÿþùèõ åãî îò Ýðäåøà. ×èñëî Ýðäåøà äëÿ ñàìîãî Ýðäåøà ðàâíî íóëþ, ó åãî ñîàâòîðîâ ýòî ÷èñëî ðàâíî åäèíèöå, ó ñîàâòîðîâ ñîàâòîðîâ äâîéêå, è ò.ä. Áîëüøèíñòâî àêòèâíî ðàáîòàþùèõ ìàòåìàòèêîâ èìååò ìàëûå ÷èñëà Ýðäåøà (íå áîëüøå 8). Íàïðèìåð, ÷èñëà Ýðäåøà àâòîðîâ ýòîé ñòàòüè ðàâíû 3 è 5. Òèáîð Ãàëëàè (19121992) áûë áëèçêèì äðóãîì Ýðäåøà. Åùå çàäîëãî äî òîãî, êàê îíè âïåðâûå óâèäåëè äðóã äðóãà, îíè áûëè çíàêîìû çàî÷íî, êàê ñàìûå àêòèâíûå ó÷àñòíèêè êîíêóðñà ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷, ïðîâîäèìîãî Âåíãåðñêèì ìàòåìàòè÷åñêèì æóðíàëîì äëÿ ñòàðøåé øêîëû (ýòîò æóðíàë áûë áëèçîê ïî ñîäåðæàíèþ ê æóðíàëó «Êâàíò»). Ãàëëàè ñòàë ïîáåäèòåëåì ïðåñòèæíîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû Ýòâåøà è, êàê òàêîâîé, áûë ïðèíÿò â óíèâåðñèòåò âíå êîíêóðñà. Îëèìïèàäà Ýòâåøà ñàìàÿ ñòàðàÿ â ìèðå, îíà ïðîâîäèòñÿ ñ 1894 ãîäà ïî èíèöèàòèâå Âåíãåðñêîãî ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî îáùåñòâà, êîòîðîå âîçãëàâëÿë â òî âðåìÿ èçâåñòíûé ôèçèê áàðîí Ëîðàí Ýòâåø. Ìíîãèå ïîáåäèòåëè ýòîé îëèìïèàäû ñòàëè â ïîñëåäñòâèè çíàìåíèòûìè ìàòåìàòèêàìè è ôèçèêàìè. Êåëëè è Øòåéíáåðã Òåïåðü, ïîñëå äîëãîãî èñòîðè÷åñêîãî ââåäåíèÿ, ïðèñòóïèì ê ìàòåìàòèêå. Ïîæàëóé, ñàìîå ïðîñòîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ÑèëüâåñòðàÃàëëàè ïðèíàäëåæèò Êåëëè (îíî áûëî îïóáëèêîâàíî Êîêñòåðîì [4]). Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïðåäïîëîæèì, äëÿ íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà M òî÷åê íà ïëîñêîñòè ïðÿìîé Ñèëüâåñòðà íå ñóùåñòâóåò. Òîãäà íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî âñå òî÷êè êîëëèíåàðíû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Ðàññìîòðèì òðè íåêîëëèíåàðíûå òî÷êè A, B è C èç ìíîæåñòâà M, òàêèå, ÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî ïðÿìîé BC ìèíèìàëüíî (ò.å. ñðåäè âñåõ ïàð «òî÷êà ìíîæåñòâà Ì» è «ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè ìíîæåñòâà Ì» âûáåðåì òàêóþ, â êîòîðîé ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé ïîëîæèòåëüíî è ìèíèìàëüíî). Çàìåòèì, ÷òî ïðÿìàÿ BC ñîäåðæèò ïî êðàéíåé ìåðå òðè òî÷êè ìíîæåñòâà Ì, èíà÷å îíà áóäåò ïðÿìîé Ñèëüâåñòðà. Òîãäà äâå èç ýòèõ òî÷åê, ñêàæåì  è Ñ, ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè A íà ïðÿìóþ BC. Ïðîòèâîðå÷èå ïîëó÷àåòñÿ èç òàêîãî ôàêòà: ðàññòîÿíèå îò îäíîé èç ýòèõ òî÷åê äî ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé A ñ äðó- 01-18.p65 3 ! ÑÈËÜÂÅÑÒÐÀ ãîé òî÷êîé, áóäåò ìåíüøå, ÷åì ðàññòîÿíèå îò A äî ïðÿìîé BC (ðèñ. 1). Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå, ÷òî âûñîòà òóïîóÐèñ. 1 ãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, îïóùåííàÿ èç âåðøèíû òóïîãî óãëà, ìåíüøå âûñîòû, îïóùåííîé èç âåðøèíû îñòðîãî óãëà. Äîêàæèòå òàêæå àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Ðåøåíèå Êåëëè î÷åíü ïðîñòî, íî îáëàäàåò òàêèì íåäîñòàòêîì (ñêîðåå ýñòåòè÷åñêèì è ìåòîäîëîãè÷åñêèì, ÷åì ñîáñòâåííî ìàòåìàòè÷åñêèì).  ôîðìóëèðîâêå çàäà÷è èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî ïîíÿòèÿ òî÷êè, ïðÿìîé è îòíîøåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè. Åâêëèäîâî ðàññòîÿíèå â íåé íèêàê íå ôèãóðèðóåò. Íà ñàìîì äåëå, åñòü ìíîãî ñïîñîáîâ îïðåäåëèòü «ðàññòîÿíèå» íà ïëîñêîñòè. Ýòè ðàçíûå «ðàññòîÿíèÿ» îòëè÷íû îò ïðèâû÷íîãî åâêëèäîâà ðàññòîÿíèÿ, íî îáëàäàþò ïîõîæèìè (èëè äàæå èäåíòè÷íûìè) ñâîéñòâàìè. Òî, êàê îïðåäåëÿåòñÿ ðàññòîÿíèå, íå âàæíî äëÿ îòíîøåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ìåæäó òî÷êàìè è ïðÿìûìè. Ìíîãèå èç àëüòåðíàòèâíûõ «ðàññòîÿíèé» ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû ÑèëüâåñòðàÃàëëàè. Êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì òàêîé âîïðîñ: ìîæíî ëè îáîéòèñü â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû òîëüêî ðàññìîòðåíèåì âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê è ïðÿìûõ, íî íå èñïîëüçîâàòü òàêèå ïîíÿòèÿ, êàê ðàññòîÿíèå, óãîë, ïåðïåíäèêóëÿð è ò.ä. Îêàçûâàåòñÿ, ìîæíî äîêàçàòü òåîðåìó, èñïîëüçóÿ òîëüêî îòíîøåíèå ïðèíàäëåæíîñòè ìåæäó òî÷êàìè è ïðÿìûìè è îòíîøåíèå ïîðÿäêà ìåæäó òî÷êàìè íà ïðÿìîé: òàêîå äîêàçàòåëüñòâî ïðèíàäëåæèò Øòåéíáåðãó. Óïðàæíåíèå 2. Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê Ì. Âûáåðåì òî÷êó X èç M è ïðÿìóþ L, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó X è íå ñîäåðæàùóþ äðóãèõ òî÷åê ìíîæåñòâà Ì. Ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî íè îäíà ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç Õ, íå ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé Ñèëüâåñòðà (èíà÷å òåîðåìà äîêàçàíà). Íàçîâåì ñîåäèíèòåëüíîé ïðÿìîé ïðÿìóþ, ñîäåðæàùóþ ïî ìåíüøåé ìåðå 2 òî÷êè ìíîæåñòâà Ì. ßñíî, ÷òî ñóùåñòâóåò òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî ñîåäèíèòåëüíûõ ïðÿìûõ. Ñðåäè òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé L ñ ðàçëè÷íûìè ñîåäèíèòåëüíûìè ïðÿìûìè íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà Y, ÷òî îòðåçîê XY íå ñîäåðæèò äðóãèõ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ. Äîêàæèòå, ÷òî ñîåäèíèòåëüíàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó Y, ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé Ñèëüâåñòðà. Óêàçàíèå. Åñëè íåò, òî ñîåäèíèòåëüíàÿ ïðÿìàÿ LY , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç Y, ñîäåðæèò ïî ìåíüøåé ìåðå òðè òî÷êè ìíîæåñòâà Ì. Çíà÷èò, ñ êàêîé-òî ñòîðîíû îò Y íà ïðÿìîé LY ëåæàò äâå òî÷êè ìíîæåñòâà Ì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Z òó èç òî÷åê ñ ýòîé ñòîðîíû îò Y, êîòîðàÿ áóäåò âòîðîé ïî ñ÷åòó îò Y (â ñìûñëå ïîðÿäêà òî÷åê íà ïðÿìîé). Îäíó èç òî÷åê ìíîæåñòâà Ì, ëåæàùèõ íà ïðÿìîé XZ, ìîæíî ñîåäèíèòü ñ îäíîé èç òî÷åê ìíîæåñòâà Ì, ëåæàùèõ íà ïðÿìîé LY òàê, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ñîåäèíèòåëüíîé ïðÿìîé ñ ïðÿìîé L íàõîäèòñÿ ñòðîãî âíóòðè îòðåçêà XY (çäåñü íóæåí íåáîëüøîé ïåðåáîð ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê). Ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì òî÷êè Y. Ãàëëàè Íàìå÷åííîå âûøå äîêàçàòåëüñòâî Øòåéíáåðãà ÿâëÿåòñÿ ìîäèôèêàöèåé äîêàçàòåëüñòâà Ãàëëàè. Ñàìî äîêàçàòåëüñòâî Ãàëëàè èñïîëüçóåò ÷óòü áîëüøå, à èìåííî, ìåðó óãëîâ è ïîíÿòèå ïàðàëëåëüíîñòè. 30.09.09, 16:31 " ÊÂÀÍT 2009/¹5 Ñíîâà ðàññìîòðèì ïðÿìóþ L, ïðîõîäÿùóþ ðîâíî ÷åðåç îäíó òî÷êó X íàøåãî ìíîæåñòâà. Ïðåäñòàâèì ñåáå ïëîñêîñòü âëîæåííîé â òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî (÷òîáû îòëè÷àòü åå îò äðóãèõ ïëîñêîñòåé, íàçîâåì åå íà÷àëüíîé), è çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ òî÷êó O, íå ïðèíàäëåæàùóþ íà÷àëüíîé ïëîñêîñòè (ðèñ.2). ×åðåç òî÷êó O è ïðÿìóþ L ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ ïëîñêîñòü. Ðèñ. 2 Ðàññìîòðèì ïàðàëëåëüíóþ åé ïëîñêîñòü Ð, è ñïðîåöèðóåì íà÷àëüíóþ ïëîñêîñòü íà ïëîñêîñòü Ð èç òî÷êè Î. Çàìåòèì, ÷òî ïðÿìàÿ L íå èìååò îáðàçà íà ïëîñêîñòè Ð, ïîñêîëüêó íèêàêîé ëó÷, íà÷èíàþùèéñÿ â O è ïðîõîäÿùèé ÷åðåç L, íå ïåðåñå÷åò Ð. Âûðàæàÿñü îáðàçíî, L ïåðåõîäèò â «áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ ïðÿìóþ íà ïëîñêîñòè л. ×åòêîå óòâåðæäåíèå (êîòîðîå íåòðóäíî ïðîâåðèòü) ñîñòîèò âîò â ÷åì: ïðÿìûå â íà÷àëüíîé ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îäíó è òó æå òî÷êó íà ïðÿìîé L, ïðîåöèðóþòñÿ â ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå. Íàïîìíèì, ÷òî ïðÿìàÿ L ïðîõîäèò ÷åðåç ðîâíî îäíó òî÷êó X ìíîæåñòâà M. Êðîìå òîãî, ìû ìîæåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âñå ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç X è åùå îäíó òî÷êó ìíîæåñòâà M, îáÿçàòåëüíî ñîäåðæàò êàêóþ-íèáóäü òðåòüþ òî÷êó ìíîæåñòâà Ì. Îáðàçû ýòèõ ïðÿìûõ ïðè íàøåé ïðîåêöèè ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè, ñîäåðæàùèìè ïî ìåíüøåé ìåðå ïî äâå òî÷êè ìíîæåñòâà M ′ (ïðîåêöèè ìíîæåñòâà M íà ïëîñêîñòü Ð). Òåïåðü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ÑèëüâåñòðàÃàëëàè ïîëó÷àåòñÿ èç ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ. Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî M ′ íà ïëîñêîñòè è êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, òàêîå, ÷òî êàæäàÿ èç ýòèõ ïðÿìûõ ñîäåðæèò ïî ìåíüøåé ìåðå äâå òî÷êè ìíîæåñòâà M ′ , è âñå òî÷êè ìíîæåñòâà M ′ ñîäåðæàòñÿ â îáúåäèíåíèè ýòèõ ïðÿìûõ. Ðàññìîòðèì ïðÿìóþ, ñîåäèíÿþùóþ äâå òî÷êè ìíîæåñòâà M ′ è îáðàçóþùóþ íàèìåíüøèé íåíóëåâîé óãîë ñ íàïðàâëåíèåì ðàññìàòðèâàåìûõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ. Ýòà ïðÿìàÿ íå ìîæåò ñîäåðæàòü íèêàêîé òðåòüåé òî÷êè ìíîæåñòâà M ′ . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ýòà ïðÿìàÿ ñîäåðæèò Ðèñ. 3 òðè òî÷êè À,  è Ñ, òî îäíà èç ïðÿìûõ, ñîåäèíÿþùèõ À èëè C ñ òî÷êîé E èëè D ìíîæåñòâà M ′ , îáðàçóåò åùå ìåíüøèé óãîë ñ íàïðàâëåíèåì íàøèõ ïðÿìûõ (ðèñ. 3). 01-18.p65 4 Ñêîëüêî ïðÿìûõ? Óêàæåì îäíî èíòåðåñíîå ñëåäñòâèå òåîðåìû ÑèëüâåñòðàÃàëëàè. Òåîðåìà 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòìå÷åíû n òî÷åê íà ïëîñêîñòè, íå ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé. Òîãäà íàéäåòñÿ ïî ìåíüøåé ìåðå n ïðÿìûõ, ñîåäèíÿþùèõ ïàðû îòìå÷åííûõ òî÷åê. Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì âåñòè èíäóêöèþ ïî êîëè÷åñòâó òî÷åê. Äëÿ òðåõ íåêîëëèíåàðíûõ òî÷åê óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå äîêàçàíî äëÿ ëþáîãî íàáîðà èç n òî÷åê ïëîñêîñòè, íå ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé. Ðàññìîòðèì òåïåðü íàáîð èç n + 1 âûäåëåííîé òî÷êè. Ïóñòü À îäíà èç ýòèõ òî÷åê. Åñëè îñòàâøèåñÿ n âûäåëåííûõ òî÷åê ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî, ñîåäèíÿÿ êàæäóþ èç íèõ ñ òî÷êîé À, ïîëó÷èì åùå n ïðÿìûõ; óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî îñòàâøèåñÿ n âûäåëåííûõ òî÷åê íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Òîãäà, ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, îíè îïðåäåëÿþò ïî ìåíüøåé ìåðå n ïðÿìûõ (êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîåäèíÿåò äâå èç îñòàâøèõñÿ âûäåëåííûõ òî÷åê). Ìîæåò òàê ñëó÷èòüñÿ, ÷òî âñå ýòè ïðÿìûå ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó À.  ýòîì ñëó÷àå íàçîâåì òî÷êó À ïëîõîé. Åñëè âñå âûäåëåííûå òî÷êè ïëîõèå, òî ïðÿìàÿ, ñîäåðæàùàÿ äâå âûäåëåííûå òî÷êè, îáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò è òðåòüþ. Ïðîòèâîðå÷èå ñ òåîðåìîé ÑèëüâåñòðàÃàëëàè. Çàìå÷àíèå. Åñòåñòâåííûé âîïðîñ: ñêîëüêî ïðÿìûõ Ñèëüâåñòðà îïðåäåëÿåò äàííîå íåêîëëèíåàðíîå ìíîæåñòâî èç n òî÷åê? Èçâåñòíî [5], ÷òî ïðÿìûõ Ñèëüâåñòðà äîëæíî áûòü íå ìåíüøå, ÷åì 3n/7. Ãàíñåí äîêàçàë â ñâîåé äèññåðòàöèè (1981), ÷òî ïðÿìûõ Ñèëüâåñòðà âñåãäà íå ìåíüøå, ÷åì n/2. Ê ñîæàëåíèþ, äîêàçàòåëüñòâî Ãàíñåíà î÷åíü ñëîæíî, è åãî íèêîìó íå óäàëîñü ïðîâåðèòü. Óíãàð äîêàçàë [6], ÷òî n òî÷åê, íå ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé, îïðåäåëÿþò ïî ìåíüøåé ìåðå 2[n/2] ðàçíûõ íàïðàâëåíèé. Ýòó îöåíêó íåëüçÿ óëó÷øèòü. Íà ñôåðå Îáñóäèì åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ÑèëüâåñòðàÃàëëàè. Îíî áûëî ïðåäëîæåíî Å.Ìåëüõèîðîì è, íåçàâèñèìî, Í.Ñòèíðîäîì èçâåñòíûì àìåðèêàíñêèì òîïîëîãîì. È ñàìî äîêàçàòåëüñòâî òîïîëîãè÷åñêîå. Íà÷íåì ñ òîãî, ÷òî ïåðåéäåì ñ ïëîñêîñòè íà ñôåðó. Ðàññìîòðèì öåíòðàëüíóþ ïðîåêöèþ ñôåðû íà ïëîñêîñòü. Öåíòðàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ýòî òàêîå îòîáðàæåíèå ñôåðû íà ïëîñêîñòü, ïðè êîòîðîì ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êó ñôåðû ñ åå îáðàçîì íà ïëîñêîñòè, âñåãäà ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ñôåðû. Ìû ìîæåì ïðîåöèðîâàòü ñôåðó íà ëþáóþ ïëîñêîñòü, íå ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç öåíòð. Ïðè òàêîé ïðîåêöèè â êàæäóþ òî÷êó ïëîñêîñòè áóäåò îòîáðàæàòüñÿ ïàðà äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê ñôåðû. Êðîìå òîãî, íà ñôåðå íàéäåòñÿ òàêàÿ áîëüøàÿ îêðóæíîñòü (ò.å. ïåðåñå÷åíèå ñôåðû ñ ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ñôåðû), ïðîåêöèè òî÷åê êîòîðîé íå îïðåäåëåíû. Ýòà îêðóæíîñòü ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè, íà êîòîðóþ ìû ïðîåöèðóåì. Îïèøåì òåïåðü î÷åíü ïîëåçíóþ êîíñòðóêöèþ ñôåðè÷åñêîé äâîéñòâåííîñòè. Êàæäîé ïàðå äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê íà ñôåðå ñîîòâåòñòâóåò áîëüøàÿ îêðóæíîñòü. À èìåííî, ïðîâåäåì ñîîòâåòñòâóþ- 30.09.09, 16:31 ÏÐßÌÀß ùèé äèàìåòð ñôåðû, à òàêæå ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç öåíòð è ïåðïåíäèêóëÿðíóþ äèàìåòðó. Ýòà ïëîñêîñòü âûñå÷åò íà ñôåðå íåêîòîðóþ áîëüøóþ îêðóæíîñòü. Îáðàòíî, êàæäîé áîëüøîé îêðóæíîñòè íà ñôåðå ñîîòâåòñòâóþò ðîâíî äâå äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè êîíöû äèàìåòðà, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ïëîñêîñòè äàííîé áîëüøîé îêðóæíîñòè. Òåïåðü êàæäîé òî÷êå íà ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóåò ïàðà äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê íà ñôåðå (ýòî ñîîòâåòñòâèå óñòàíàâëèâàåòñÿ öåíòðàëüíîé ïðîåêöèåé, êàê îïèñàíî âûøå), à ñëåäîâàòåëüíî, è íåêîòîðàÿ áîëüøàÿ îêðóæíîñòü. Óïðàæíåíèÿ 3. Ñôåðè÷åñêàÿ äâîéñòâåííîñòü «óâàæàåò» îòíîøåíèå èíöèäåíòíîñòè: åñëè òî÷êà A ëåæèò íà áîëüøîé îêðóæíîñòè b, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ áîëüøàÿ îêðóæíîñòü à ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó B. 4. Òðè òî÷êè íà ïëîñêîñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå áîëüøèå îêðóæíîñòè íà ñôåðå ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó è òó æå ïàðó äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê. 5. Ïóñòü òî÷êàì À è  îòâå÷àþò áîëüøèå îêðóæíîñòè a è b. Äîêàæèòå, ÷òî óãîë ìåæäó a è b ðàâåí ñôåðè÷åñêîìó ðàññòîÿíèþ ìåæäó A è B (ðèñ. 4). Èòàê, ìû âèäèì, ÷òî òåîðåìà ÑèëüâåñòðàÃàëëàè ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåìó óòâåðæäåíèþ. Ïóñòü äàíî Ðèñ. 4 êîíå÷íîå ìíîæåñòâî áîëüøèõ îêðóæíîñòåé íà ñôåðå. Òîãäà, åñëè íå âñå ýòè îêðóæíîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó è òó æå ïàðó äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê, òî íàéäåòñÿ òî÷êà, ñîäåðæàùàÿ ðîâíî äâå îêðóæíîñòè èç íàøåãî ìíîæåñòâà. Ìåëüõèîð, Ñòèíðîä è Ýéëåð Îïèøåì òåïåðü äîêàçàòåëüñòâî Ìåëüõèîðà è Ñòèíðîäà. Íàì äîñòàòî÷íî äîêàçàòü óòâåðæäåíèå ïðî áîëüøèå îêðóæíîñòè íà ñôåðå, è òåì ñàìûì áóäåò äîêàçàíà òåîðåìà ÑèëüâåñòðàÃàëëàè. Íà ñàìîì äåëå ìîæíî äîêàçàòü áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå. Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê íà ñôåðå. Áóäåì íàçûâàòü ýòè òî÷êè âåðøèíàìè. Ðàññìîòðèì òàêæå êîíå÷íîå ÷èñëî ïðîñòûõ êðèâîëèíåéíûõ äóã, ñîåäèíÿþùèõ íåêîòîðûå ïàðû âåðøèí. Äîïóñòèì, ÷òî ýòè äóãè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, êðîìå âåðøèí. Íàçîâåì ýòè äóãè ðåáðàìè. Åñëè íà ñôåðå íàðèñîâàòü âåðøèíû è ðåáðà, òî îíè ðàçîáüþò âñþ ñôåðó íà íåñêîëüêî êóñêîâ, êîòîðûå ìû áóäåì íàçûâàòü ãðàíÿìè. Âñþ êàðòèíêó, âêëþ÷àþùóþ âåðøèíû, ðåáðà è ãðàíè, ìû íàçîâåì êàðòîé íà ñôåðå. Òåîðåìà 3. Íå ñóùåñòâóåò òàêîé êàðòû íà ñôåðå, ÷òî êàæäàÿ ãðàíü îãðàíè÷åíà ïî ìåíüøåé ìåðå òðåìÿ ðåáðàìè, à èç êàæäîé âåðøèíû âûõîäèò ïî ìåíüøåé ìåðå øåñòü ðåáåð. Èç ýòîé ÷èñòî òîïîëîãè÷åñêîé òåîðåìû âûòåêàåò óòâåðæäåíèå ïðî áîëüøèå îêðóæíîñòè íà ñôåðå, ñôîð- 01-18.p65 5 # ÑÈËÜÂÅÑÒÐÀ ìóëèðîâàííîå â êîíöå ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà è ýêâèâàëåíòíîå òåîðåìå ÑèëüâåñòðàÃàëëàè. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Fk ÷èñëî ãðàíåé, îãðàíè÷åííûõ k ðåáðàìè, a Vk ÷èñëî âåðøèí, èç êîòîðûõ âûõîäèò k ðåáåð. Îáîçíà÷èì ÷åðåç F, E è V, ñîîòâåòñòâåííî, îáùåå ÷èñëî ãðàíåé, ÷èñëî ðåáåð è ÷èñëî âåðøèí, ïðèíàäëåæàùèõ ðàññìàòðèâàåìîé êàðòå. Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíîé òåîðåìîé Ýéëåðà: F E + V = 2. ×èòàòåëü, ñêîðåå âñåãî, çíàêîì ñ ýòîé òåîðåìîé; åñëè ýòî íå òàê, ìû ðåêîìåíäóåì äîêàçàòü åå ïî èíäóêöèè. Ïîñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî ïàð (âåðøèíà, âûõîäÿùåå èç íåå ðåáðî). Ñ îäíîé ñòîðîíû, êàæäîå ðåáðî îãðàíè÷åííî ðîâíî äâóìÿ âåðøèíàìè. Çíà÷èò, òàêèõ ïàð ðîâíî 2Å. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷èñëî òàêèõ ïàð ðàâíî 6V6 + 7V7 + … ≥ 6V . Îòñþäà ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî 2E ≥ 6V . Ïîñ÷èòàåì òåïåðü êîëè÷åñòâî ïàð (ãðàíü, ðåáðî íà åå ãðàíèöå). Ñ îäíîé ñòîðîíû, êàæäîå ðåáðî ëåæèò íà ãðàíèöå ðîâíî äâóõ ãðàíåé. Çíà÷èò, òàêèõ ïàð ðîâíî 2E. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷èñëî òàêèõ ïàð ðàâíî 3F3 + 4F4 + … ≥ 3F . Îòñþäà ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî 2 E ≥ 3F . Êîìáèíèðóÿ ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà, ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ: 6 ( E + 2 ) = 6V + 6F ≤ 2E + 4 E = 6 E . Óïðàæíåíèÿ 6. Ðàññìîòðèì êàðòó íà ñôåðå. Êîëè÷åñòâî ðåáåð, âûõîäÿùèõ èç äàííîé âåðøèíû, íàçîâåì ïîðÿäêîì ýòîé âåðøèíû. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êàæäàÿ ãðàíü îãðàíè÷åíà ïî ìåíüøåé ìåðå òðåìÿ ðåáðàìè, òî ñðåäíèé ïîðÿäîê âåðøèíû íå ïðåâîñõîäèò 6. (Ñðåäíèé ïîðÿäîê âåðøèíû ýòî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ïîðÿäêîâ âñåõ âåðøèí, òî åñòü ñóììà ïîðÿäêîâ âñåõ âåðøèí, äåëåííàÿ íà êîëè÷åñòâî âåðøèí.) 7. Ðàññìîòðèì âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. ×èñëî ðåáåð ìíîãîãðàííèêà, âûõîäÿùèõ èç äàííîé âåðøèíû, íàçîâåì ïîðÿäêîì âåðøèíû. ×èñëî ðåáåð ìíîãîãðàííèêà, ëåæàùèõ íà äàííîé ãðàíè, íàçîâåì ïîðÿäêîì ãðàíè. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäíèé ïîðÿäîê âåðøèíû, à òàêæå ñðåäíèé ïîðÿäîê ãðàíè íå ïðåâîñõîäÿò 6. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìíîãîãðàííèêà, ñðåäíèé ïîðÿäîê ãðàíè êîòîðîãî ïðåâûøàåò 5,5. 8. Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííîé òåîðåìîé ÑèëüâåñòðàÃàëëàè. Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè, íèêàêèå äâå èç êîòîðûõ íå ïàðàëëåëüíû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòè ïðÿìûå íå ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó è òó æå òî÷êó. Òîãäà íàéäåòñÿ òî÷êà, ñîäåðæàùàÿ ðîâíî äâå ïðÿìûå ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîæåñòâà. Äîêàæèòå, ÷òî äâîéñòâåííàÿ òåîðåìà ÑèëüâåñòðàÃàëëàè ýêâèâàëåíòíà òåîðåìå ÑèëüâåñòðàÃàëëàè. Óêàçàíèå: âîñïîëüçóéòåñü óòâåðæäåíèåì ïðî áîëüøèå îêðóæíîñòè íà ñôåðå, à òàêæå öåíòðàëüíîé ïðîåêöèåé ñôåðû íà ïëîñêîñòü, ïðè êîòîðîé áîëüøèå îêðóæíîñòè ïåðåõîäÿò â ïðÿìûå. 9. Ïîêàæèòå, ÷òî â óòâåðæäåíèè äâîéñòâåííîé òåîðåìû ÑèëüâåñòðàÃàëëàè ìîæíî ïðåäïîëàãàòü áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, ÷òî ñðåäè ðàññìàòðèâàåìîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ïðÿìûõ íåò íèêàêîé ïàðû ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ. Óêàçàíèå: ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ, ïðîåöèðóÿ ñôåðó íà ïîäõîäÿùóþ ïëîñêîñòü. Ýëêèñ è Çàéäåíáåðã Íàêîíåö, åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ÑèëüâåñòðàÃàëëàè, êîòîðîå áûëî ïðèäóìàíî íåçàâèñèìî Í.Ýëêèñîì è Ì.Çàéäåíáåðãîì. Íà÷íåì ñ äâóõ óïðàæ- 30.09.09, 16:31 $ ÊÂÀÍT 2009/¹5 íåíèé îíè äîñòàòî÷íî ñëîæíûå, ïî óðîâíþ êàê ñåðüåçíûå îëèìïèàäíûå çàäà÷è. Ðåøåíèÿ è óêàçàíèÿ ê ýòèì çàäà÷àì ìîæíî íàéòè â êíèãå [7] (çàäà÷à 38, á). Óïðàæíåíèÿ 10. Ïóñòü ÀÂÑ òðåóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè, à PQR âïèñàííûé â íåãî òðåóãîëüíèê (òàê, ÷òî âåðøèíû Ð, Q, R òðåóãîëüíèêà PQR ïðèíàäëåæàò, ñîîòâåòñòâåííî, ñòîðîíàì ÀÂ, ÂÑ, ÀÑ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ; ðèñ. 5). Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü îäíîãî èç òðåõ òðåóãîëüíèêîâ, îñòàþùèõñÿ ïðè âûêèäûâàíèè òðåóãîëüíèêà PQR èç òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, íå ïðåâûøàåò ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà PQR. 11. Åñëè â ïðåäûäóùåì óïðàæíåíèè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà APR ñîâïàäàåò ñ ïëîùàäüþ òðåóãîëüíèêà Ðèñ. 5 PQR, à ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ PBQ è QCR íå ìåíüøå, òî ñòîðîíû PQ, QR è RP ïàðàëëåëüíû, ñîîòâåòñòâåííî, ñòîðîíàì ÑÀ, ÀÂ, ÂÑ. Äîêàæåì òåïåðü äâîéñòâåííóþ òåîðåìó Ñèëüâåñòðà Ãàëëàè (à òåì ñàìûì è ñàìó òåîðåìó Ñèëüâåñòðà Ãàëëàè). Ðàññìîòðèì êîíå÷íîå ÷èñëî ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè. Äîïóñòèì, ÷òî íå âñå ýòè ïðÿìûå ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó òî÷êó. Ìû òàêæå ìîæåì ïðåäïîëàãàòü áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ìíîæåñòâå ïðÿìûõ íåò ïàðàëëåëüíûõ. Òîãäà ìîæíî ðàññìîòðåòü òðåóãîëüíèêè, îãðàíè÷åííûå ðàçëè÷íûìè òðîéêàìè ïðÿìûõ. Ñðåäè âñåõ òàêèõ òðåóãîëüíèêîâ âûáåðåì òðåóãîëüíèê íàèìåíüøåé ïëîùàäè. Îáîçíà÷èì ýòîò òðåóãîëüíèê ÷åðåç PQR. Òåïåðü ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïðÿìûõ íàøåãî ìíîæåñòâà ïðîõîäèò åùå êàêàÿ-òî òðåòüÿ ïðÿìàÿ íàøåãî ìíîæåñòâà (ýòî ïðåäïîëîæåíèå äîëæíî ïðèâåñòè íàñ ê ïðîòèâîðå÷èþ).  ÷àñòíîñòè, åñòü ïðÿìûå íàøåãî ìíîæåñòâà, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç âåðøèíû òðåóãîëüíèêà PQR, íî íå ñîâïàäàþùèå ñî ñòîðîíàìè ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Ïîñêîëüêó òðåóãîëüíèê PQR èìååò, ïî îïðåäåëåíèþ, ìèíèìàëüíóþ ïëîùàäü, ýòè äîïîëíèòåëüíûå ïðÿìûå íå çàõîäÿò âíóòðü òðåóãîëüíèêà. Çíà÷èò, îíè îãðàíè÷èâàþò òðåóãîëüíèê ÀÂÑ, îïèñàííûé âîêðóã òðåóãîëüíèêà PQR. Âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè ïðèâåäåííûõ âûøå óïðàæíåíèé. Ìû ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ ìèíèìàëüíîñòüþ ïëîùàäè, åñëè òîëüêî ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà PQR íå ïàðàëëåëüíû ñîîòâåòñòâóþùèì ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ. Îäíàêî ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ìíîæåñòâå ïðÿìûõ íåò ïàðàëëåëüíûõ. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà: êîíòðïðèìåð1 Ê ðàçðÿäó íåîæèäàííîñòåé ìîæíî îòíåñòè òîò ôàêò, ÷òî «êîìïëåêñèôèêàöèÿ» òåîðåìû ÑèëüâåñòðàÃàëëàè íå âåðíà. Òî÷êè è ïðÿìûå, ïðî êîòîðûå ìû ãîâîðèëè äî ñèõ ïîð, áûëè äåéñòâèòåëüíûìè òî÷êàìè è äåéñòâèòåëüíûìè ïðÿìûìè. Åñëè ââåñòè íà ïëîñêîñòè ñèñòåìó êîîðäèíàò, 1 ×èòàòåëü, íå çíàêîìûé ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, ìîæåò ïðîïóñòèòü ýòîò ðàçäåë áåç óùåðáà äëÿ ïîíèìàíèÿ äàëüíåéøåãî òåêñòà. 01-18.p65 6 òî äåéñòâèòåëüíûå òî÷êè èçîáðàçÿòñÿ ïàðàìè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Äåéñòâèòåëüíóþ ïðÿìóþ ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ òî÷åê, óäîâëåòâîðÿþùèõ îïðåäåëåííîìó ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Îäíàêî â êà÷åñòâå êîîðäèíàò ìîæíî áðàòü è êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ñîîòâåòñòâåííî, ìîæíî ãîâîðèòü î êîìïëåêñíûõ òî÷êàõ, êîìïëåêñíûõ ïðÿìûõ è ò.ä. Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïëåêñíûõ òî÷åê ïëîñêîñòè ñëîæíåå ñåáå ïðåäñòàâèòü, ïîñêîëüêó îíî åñòåñòâåííûì îáðàçîì îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ äåéñòâèòåëüíûì ÷åòûðåõìåðíûì, à íå äâóìåðíûì, ïðîñòðàíñòâîì. Ðàññìîòðèì òàêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé: z3 + w3 + (1 + 2z + 3w ) = zw (1 + 2z + 3w ) = 0 . 3 Ñóùåñòâóåò ðîâíî 9 êîìïëåêñíûõ òî÷åê (ò.å. ïàð êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (z, w)), óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòîé ñèñòåìå ïî òðè òî÷êè íà êàæäîé èç òðåõ ïðÿìûõ z = = 0, w = 0, 1 + 2z + 3 w = 0. Íàïðèìåð, åñëè ïîäñòàâèòü z = 0 â ïåðâîå óðàâíåíèå, òî ïîëó÷èòñÿ êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå íà w, ó êîòîðîãî òðè êîìïëåêñíûõ ðåøåíèÿ îíè ñîîòâåòñòâóþò òðåì òî÷êàì íà ïðÿìîé z = 0; òî÷íî òàêæå ìîæíî ïîñòóïèòü ñ äâóìÿ îñòàëüíûìè ïðÿìûìè. Êîìïëåêñíàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ëþáûå äâå èç ýòèõ äåâÿòè òî÷åê, ñîäåðæèò è íåêîòîðóþ òðåòüþ òî÷êó. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íå ñóùåñòâóåò êîìïëåêñíîé ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âñå 9 ðàññìàòðèâàåìûõ òî÷åê. Óïðàæíåíèå 12. Äîêàæèòå ýòè óòâåðæäåíèÿ. Èòàê, ìû óáåäèëèñü, ÷òî íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè òåîðåìà ÑèëüâåñòðàÃàëëàè íå èìååò ìåñòà. Çàìåòèì, ÷òî êîýôôèöèåíòû â âûðàæåíèè 1 + 2z + 3w ìîæíî âûáèðàòü ïî÷òè ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì (èçáåãàÿ òîëüêî íåêîòîðûõ âûðîæäåíèé, ïðè êîòîðûõ îäíà èç äåâÿòè òî÷åê óáåãàåò íà áåñêîíå÷íîñòü); íàïðèìåð, ìîæíî ñ òåì æå óñïåõîì âçÿòü e + πz + iw . Îòìåòèì, êñòàòè, ÷òî óðàâíåíèå z3 + w3 + (1 + 2z + 3 + 3w ) = 0 çàäàåò íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè êóáè÷åñêóþ êðèâóþ, à óðàâíåíèå zw (1 + 2z + 3w ) = 0 îïèñûâàåò òî÷êè ïåðåãèáà ýòîé êðèâîé. Òàêèì îáðàçîì, íàøè äåâÿòü òî÷åê ýòî òî÷êè ïåðåãèáà êîìïëåêñíîé êóáè÷åñêîé êðèâîé. Èç ýòèõ äåâÿòè òî÷åê òîëüêî òðè ìîãóò áûòü âåùåñòâåííûìè. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 1. J.J.Sylvester. Mathematical Question 11851. Educational Times, 59 (1893), 98. 2. P. Erdos. Problem 4065. Amer. Math. Monthly, 50 (1943), 65. 3. K.Parshall. James Joseph Sylvester: Jewish mathematician in a Victorian world. John Hopkins University Press, Baltimore, 2006. 4. H.S.M.Coxeter. A problem of collinear points. Amer. Math. Monthly, 55 (1948), 2628. 5. L.Kelly, W.Moser. On the number of ordinary lines determined by n points. Canad. J. Math., 1: (1958), 210219. 6. P.Ungar. 2N Noncollinear Points Determine at Least 2N Directions. Journal of Combinatorial Theory, Series A, 33 (1982), 343347. 7. Ä.Î.Øêëÿðñêèé, Í.Í.×åíöîâ, È.Ì.ßãëîì. Ãåîìåòðè÷åñêèå îöåíêè è çàäà÷è èç êîìáèíàòîðíîé ãåîìåòðèè. Áèáëèîòåêà ìàòåìàòè÷åñêîãî êðóæêà, âûï. 17. Ì.: 1974. (Îêîí÷àíèå ñëåäóåò) 30.09.09, 16:31 Ìíîãîëèêèé ïðîòîí È.ÈÂÀÍÎÂ È ÇÓ×Àß ÑÒÐÎÅÍÈÅ ÂÅÙÅÑÒÂÀ, ÔÈÇÈÊÈ ÓÇÍÀ- ëè, èç ÷åãî ñäåëàíû àòîìû, äîáðàëèñü äî àòîì íîãî ÿäðà è ðàñùåïèëè åãî íà ïðîòîíû è íåéòðîíû. Âñå ýòè øàãè äàâàëèñü äîâîëüíî ëåãêî íàäî áûëî ëèøü ðàçîãíàòü ÷àñòèöû äî íóæíîé ýíåðãèè, ñòîëêíóòü èõ äðóã ñ äðóãîì, è òîãäà îíè ñàìè ðàçâàëèâàëèñü íà ñîñòàâíûå ÷àñòè. À âîò ñ ïðîòîíàìè è íåéòðîíàìè òàêîé òðþê óæå íå ïðîøåë. Õîòÿ îíè è ÿâëÿþòñÿ ñîñòàâíûìè ÷àñòèöàìè, èõ íå óäàåòñÿ «ðàçëîìàòü íà ÷àñòè» íè â êàêîì äàæå ñàìîì ñèëüíîì ñòîëêíîâåíèè. Ïîýòîìó ôèçèêàì ïîòðåáîâàëèñü äåñÿòèëåòèÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèäóìàòü ðàçíûå ñïîñîáû çàãëÿíóòü âíóòðü ïðîòîíà, óâèäåòü åãî óñòðîéñòâî è ôîðìó.  íàøè äíè èçó÷åíèå ñòðóêòóðû ïðîòîíà îäíà èç ñàìûõ àêòèâíûõ îáëàñòåé ôèçèêè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Ïðèðîäà äàåò íàìåêè Èñòîðèÿ èçó÷åíèÿ ñòðóêòóðû ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ áåðåò ñâîå íà÷àëî ñ 1930-õ ãîäîâ. Êîãäà â äîïîëíåíèå ê ïðîòîíàì áûëè îòêðûòû íåéòðîíû (1932), òî, èçìåðèâ èõ ìàññó, ôèçèêè ñ óäèâëåíèåì îáíàðóæèëè, ÷òî îíà î÷åíü áëèçêà ê ìàññå ïðîòîíà. Áîëåå òîãî, îêàçàëîñü, ÷òî ïðîòîíû è íåéòðîíû «÷óâñòâóþò» ÿäåðíîå âçàèìîäåéñòâèå ñîâåðøåííî îäèíàêîâûì îáðàçîì. Íàñòîëüêî îäèíàêîâûì, ÷òî, ñ òî÷êè çðåíèÿ ÿäåðíûõ ñèë, ïðîòîí è íåéòðîí ìîæíî ñ÷èòàòü êàê áû äâóìÿ ïðîÿâëåíèÿìè îäíîé è òîé æå ÷àñòèöû íóêëîíà: ïðîòîí ýòî ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûé íóêëîí, à íåéòðîí íåéòðàëüíûé íóêëîí. Ïîìåíÿéòå ïðîòîíû íà íåéòðîíû è ÿäåðíûå ñèëû (ïî÷òè) íè÷åãî íå çàìåòÿò. Ôèçèêè ýòî ñâîéñòâî ïðèðîäû âûðàæàþò êàê ñèììåòðèþ ÿäåðíîå âçàèìîäåéñòâèå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî çàìåíû ïðîòîíîâ íà íåéòðîíû, ïîäîáíî òîìó êàê áàáî÷êà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî çàìåíû ëåâîãî íà ïðàâîå. Ýòà ñèììåòðèÿ, êðîìå òîãî ÷òî îíà ñûãðàëà âàæíóþ ðîëü â ÿäåðíîé ôèçèêå, áûëà íà ñàìîì äåëå ïåðâûì íàìåêîì íà òî, ÷òî ó íóêëîíîâ èìååòñÿ èíòåðåñíîå âíóòðåííåå ñòðîåíèå. Ïðàâäà òîãäà, â 30-å ãîäû, ôèçèêè ýòîò íàìåê íå îñîçíàëè. Ïîíèìàíèå ïðèøëî ïîçæå. Íà÷àëîñü ñ òîãî, ÷òî â 1940-50-å ãîäû â ðåàêöèÿõ ñòîëêíîâåíèÿ ïðîòîíîâ ñ ÿäðàìè ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ó÷åíûå ñ óäèâëåíèåì îáíàðóæèâàëè âñå íîâûå è íîâûå ÷àñòèöû. Íå ïðîòîíû, íå íåéòðîíû, íå îòêðûòûå ê òîìó âðåìåíè ïèìåçîíû, êîòîðûå óäåðæèâàþò íóêëîíû â ÿäðàõ, à êàêèå-òî ñîâñåì íîâûå ÷àñòèöû. Ïðè âñåì ñâîåì ðàçíîîáðàçèè ýòè íîâûå ÷àñòèöû îáëàäàëè äâóìÿ îáùèìè ñâîéñòâàìè. Âî-ïåðâûõ, îíè, òàê æå êàê è íóêëîíû, î÷åíü îõîòíî ó÷àñòâîâàëè â ÿäåðíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ ñåé÷àñ òàêèå ÷àñòèöû íàçûâàþò àäðîíàìè. À âî- 01-18.p65 7 âòîðûõ, îíè áûëè èñêëþ÷èòåëüíî íåñòàáèëüíûìè. Ñàìûå íåóñòîé÷èâûå èç íèõ ðàñïàäàëèñü íà äðóãèå ÷àñòèöû âñåãî çà òðèëëèîííóþ äîëþ íàíîñåêóíäû, íå óñïåâ ïðîëåòåòü äàæå íà ðàçìåð àòîìíîãî ÿäðà! Äîëãîå âðåìÿ «çîîïàðê» àäðîíîâ ïðåäñòàâëÿë èç ñåáÿ ïîëíóþ ìåøàíèíó.  êîíöå 1950-õ ãîäîâ ôèçèêè óçíàëè óæå äîñòàòî÷íî ìíîãî ðàçíûõ âèäîâ àäðîíîâ, íà÷àëè ñðàâíèâàòü èõ äðóã ñ äðóãîì è âäðóã óâèäåëè íåêóþ îáùóþ ñèììåòðè÷íîñòü, äàæå ïåðèîäè÷íîñòü èõ ñâîéñòâ. Áûëà âûñêàçàíà äîãàäêà, ÷òî âíóòðè âñåõ àäðîíîâ (â òîì ÷èñëå è íóêëîíîâ) ñèäÿò íåêèå ïðîñòûå îáúåêòû, êîòîðûå ïîëó÷èëè íàçâàíèå «êâàðêè». Êîìáèíèðóÿ êâàðêè ðàçíûìè ñïîñîáàìè, ìîæíî ïîëó÷àòü ðàçíûå àäðîíû, ïðè÷åì èìåííî òàêîãî òèïà è ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûå îáíàðóæèâàëèñü â ýêñïåðèìåíòå. ×òî äåëàåò ïðîòîí ïðîòîíîì? Ïîñëå òîãî êàê ôèçèêè îòêðûëè êâàðêîâîå óñòðîéñòâî àäðîíîâ è óçíàëè, ÷òî êâàðêè áûâàþò íåñêîëüêèõ ðàçíûõ ñîðòîâ, ñòàëî ïîíÿòíî, ÷òî èç êâàðêîâ ìîæíî ñêîíñòðóèðîâàòü ìíîãî ðàçëè÷íûõ ÷àñòèö. Òàê ÷òî óæå íèêîãî íå óäèâëÿëî, êîãäà ïîñëåäóþùèå ýêñïåðèìåíòû ïðîäîëæàëè îäèí çà äðóãèì íàõîäèòü íîâûå àäðîíû. Íî ñðåäè âñåõ àäðîíîâ îáíàðóæèëîñü öåëîå ñåìåéñòâî ÷àñòèö, ñîñòîÿùèõ, òî÷íî òàê æå êàê è ïðîòîí, òîëüêî èç äâóõ u-êâàðêîâ è îäíîãî d-êâàðêà. Ýòàêèå «ñîáðàòüÿ» ïðîòîíà. È âîò òóò ôèçèêîâ ïîäñòåðåãàë ñþðïðèç. Äàâàéòå ñíà÷àëà ñäåëàåì îäíî ïðîñòîå íàáëþäåíèå. Åñëè ó íàñ åñòü íåñêîëüêî ïðåäìåòîâ, ñîñòîÿùèõ èç îäèíàêîâûõ «êèðïè÷èêîâ», òî áîëåå òÿæåëûå ïðåäìåòû ñîäåðæàò áîëüøå «êèðïè÷èêîâ», à áîëåå ëåãêèå ìåíüøå. Ýòî î÷åíü åñòåñòâåííûé ïðèíöèï, êîòîðûé ìîæíî íàçûâàòü ïðèíöèïîì êîìáèíèðîâàíèÿ èëè ïðèíöèïîì íàäñòðîéêè, è îí ïðåêðàñíî âûïîëíÿåòñÿ êàê â ïîâñåäíåâíîé æèçíè, òàê è â ôèçèêå. Îí ïðîÿâëÿåòñÿ äàæå â óñòðîéñòâå àòîìíûõ ÿäåð âåäü áîëåå òÿæåëûå ÿäðà ïðîñòî ñîñòîÿò èç áîëüøåãî ÷èñëà ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ. Îäíàêî íà óðîâíå êâàðêîâ ýòîò ïðèíöèï ñîâåðøåííî íå ðàáîòàåò, è, íàäî ïðèçíàòüñÿ, ôèçèêè åùå íå äî êîíöà ðàçîáðàëèñü, ïî÷åìó. Îêàçûâàåòñÿ, òÿæåëûå ñîáðàòüÿ ïðîòîíà òîæå ñîñòîÿò èç òåõ æå ñàìûõ êâàðêîâ, ÷òî è ïðîòîí, õîòÿ îíè â ïîëòîðà, à òî è â äâà ðàçà òÿæåëåå ïðîòîíà. Îíè îòëè÷àþòñÿ îò ïðîòîíà (è ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé) íå ñîñòàâîì, à âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì êâàðêîâ, òåì, â êàêîì ñîñòîÿíèè îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà ýòè êâàðêè íàõîäÿòñÿ. Äîñòàòî÷íî èçìåíèòü âçàèìíîå ïîëîæåíèå êâàðêîâ è ìû èç ïðîòîíà ïîëó÷èì äðóãóþ, çàìåòíî áîëåå òÿæåëóþ ÷àñòèöó. À ÷òî áóäåò, åñëè âñå-òàêè âçÿòü è ñîáðàòü âìåñòå áîëüøå òðåõ êâàðêîâ? Ïîëó÷èòñÿ ëè íîâàÿ òÿæåëàÿ 30.09.09, 16:31 & ÊÂÀÍT 2009/¹5 ÷àñòèöà? Óäèâèòåëüíî, íî íå ïîëó÷èòñÿ êâàðêè ðàçîáüþòñÿ ïî òðîå è ïðåâðàòÿòñÿ â íåñêîëüêî ðàçðîçíåííûõ ÷àñòèö. Ïî÷åìó-òî ïðèðîäà «íå ëþáèò» îáúåäèíÿòü ìíîãî êâàðêîâ â îäíî öåëîå! Ëèøü ñîâñåì íåäàâíî, áóêâàëüíî â ïîñëåäíèå ãîäû, ñòàëè ïîÿâëÿòüñÿ íàìåêè íà òî, ÷òî íåêîòîðûå ìíîãîêâàðêîâûå ÷àñòèöû âñå æå ñóùåñòâóþò, íî ýòî ëèøü ïîä÷åðêèâàåò, íàñêîëüêî ïðèðîäà èõ íå ëþáèò. Èç ýòîé êîìáèíàòîðèêè ñëåäóåò î÷åíü âàæíûé è ãëóáîêèé âûâîä ìàññà àäðîíîâ âîâñå íå ñêëàäûâàåòñÿ èç ìàññû êâàðêîâ. Íî åñëè ìàññó àäðîíà ìîæíî óâåëè÷èòü èëè óìåíüøèòü ïðîñòûì ïåðåêîìáèíèðîâàíèåì ñîñòàâëÿþùèõ åãî êèðïè÷èêîâ, çíà÷èò, âîâñå íå ñàìè êâàðêè îòâåòñòâåííû çà ìàññó àäðîíîâ. È äåéñòâèòåëüíî, â ïîñëåäóþùèõ ýêñïåðèìåíòàõ óäàëîñü óçíàòü, ÷òî ìàññà ñàìèõ êâàðêîâ ñîñòàâëÿåò ëèøü îêîëî äâóõ ïðîöåíòîâ îò ìàññû ïðîòîíà, à âñÿ îñòàëüíàÿ òÿæåñòü âîçíèêàåò çà ñ÷åò ñèëîâîãî ïîëÿ (åìó îòâå÷àþò ñïåöèàëüíûå ÷àñòèöû ãëþîíû), ñâÿçûâàþùåãî êâàðêè âìåñòå. Èçìåíÿÿ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êâàðêîâ, íàïðèìåð îòîäâèãàÿ èõ ïîäàëüøå äðóã îò äðóãà, ìû òåì ñàìûì èçìåíÿåì ãëþîííîå îáëàêî, äåëàåì åãî áîëåå ìàññèâíûì, èç-çà ÷åãî è âîçðàñòàåò ìàññà àäðîíà (ðèñ.1). èõ äðóã ê äðóãó, òåïåðü ÿâëÿþòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíûìè ïàðòîíàìè è íàðÿäó ñ êâàðêàìè íåñóò «âåùåñòâî» è ýíåðãèþ áûñòðî ëåòÿùåãî ïðîòîíà. Îïûòû ïîêàçàëè, ÷òî ïðèìåðíî ïîëîâèíà ýíåðãèè çàïàñåíà â êâàðêàõ, à ïîëîâèíà â ãëþîíàõ. Ïàðòîíû óäîáíåå âñåãî èçó÷àòü â ñòîëêíîâåíèè ïðîòîíîâ ñ ýëåêòðîíàìè. Äåëî â òîì, ÷òî, â îòëè÷èå îò ïðîòîíà, ýëåêòðîí íå ó÷àñòâóåò â ñèëüíûõ ÿäåðíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ è åãî ñòîëêíîâåíèå ñ ïðîòîíîì âûãëÿäèò âåñüìà ïðîñòî: ýëåêòðîí íà î÷åíü êîðîòêîå âðåìÿ èñïóñêàåò âèðòóàëüíûé ôîòîí, êîòîðûé âðåçàåòñÿ â çàðÿæåííûé ïàðòîí è ïîðîæäàåò â êîíöå êîíöîâ áîëüøîå ÷èñëî ÷àñòèö (ðèñ.2). Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ýëåêòðîí ÿâëÿåòñÿ îòëè÷íûì ñêàëüïåëåì äëÿ «âñêðûòèÿ» ïðîòîíà è ðàçäåëåíèÿ åãî íà îòäåëüíûå ÷àñòè ïðàâäà, Ðèñ.2. Ïðè ñòîëêíîâåíèè ïðîòîíà ñ ýëåêòðîíîì ìåæäó íèìè «ïðîñêàêèâàåò» êâàíò ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ôîòîí. Ñòàëêèâàÿñü ñ îäíèì èç ïàðòîíîâ â ïðîòîíå, îí ïîðîæäàåò ìíîãî âòîðè÷íûõ àäðîíîâ, íàïðèìåð ìåçîíîâ Ðèñ.1. Óñëîâíîå èçîáðàæåíèå ïðîòîíà è íåñêîëüêèõ åãî «ñîáðàòüåâ». Öâåòíûå òî÷êè ýòî êâàðêè, êîòîðûå ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ãëþîííûì ïîëåì (ãîëóáîå îáëà÷êî). Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî âñå ýòè ÷àñòèöû ñîñòàâëåíû èç îäíèõ è òåõ æå êâàðêîâ, ó íèõ ðàçíûå ìàññû è ðàçíûå âðåìåíà æèçíè. Ìàññû ÷àñòèö âûðàæåíû â ýíåðãåòè÷åñêèõ åäèíèöàõ ìåãàýëåêòðîíâîëüòàõ (ÌýÂ) ×òî òâîðèòñÿ âíóòðè áûñòðî ëåòÿùåãî ïðîòîíà? Âñå îïèñàííîå âûøå êàñàåòñÿ íåïîäâèæíîãî ïðîòîíà, íà ÿçûêå ôèçèêîâ ýòî óñòðîéñòâî ïðîòîíà â åãî ñèñòåìå ïîêîÿ. Îäíàêî â ýêñïåðèìåíòå ñòðóêòóðà ïðîòîíà áûëà âïåðâûå îáíàðóæåíà â äðóãèõ óñëîâèÿõ âíóòðè áûñòðî ëåòÿùåãî ïðîòîíà.  êîíöå 1960-õ ãîäîâ â ýêñïåðèìåíòàõ ïî ñòîëêíîâåíèþ ÷àñòèö íà óñêîðèòåëÿõ áûëî çàìå÷åíî, ÷òî ëåòÿùèå ñ îêîëîñâåòîâîé ñêîðîñòüþ ïðîòîíû âåëè ñåáÿ òàê, ñëîâíî ýíåðãèÿ âíóòðè íèõ íå ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî, à ñêîíöåíòðèðîâàíà â îòäåëüíûõ êîìïàêòíûõ îáúåêòàõ. Ýòè ñãóñòêè âåùåñòâà âíóòðè ïðîòîíîâ çíàìåíèòûé ôèçèê Ðè÷àðä Ôåéíìàí ïðåäëîæèë íàçûâàòü ïàðòîíàìè (îò àíãëèéñêîãî part ÷àñòü).  ïîñëåäóþùèõ ýêñïåðèìåíòàõ áûëè èçó÷åíû ìíîãèå ñâîéñòâà ïàðòîíîâ íàïðèìåð, èõ ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, èõ êîëè÷åñòâî è äîëÿ ýíåðãèè ïðîòîíà, êîòîðóþ êàæäûé èç íèõ íåñåò. Îêàçûâàåòñÿ, çàðÿæåííûå ïàðòîíû ýòî êâàðêè, à íåéòðàëüíûå ïàðòîíû ýòî ãëþîíû. Äà-äà, òå ñàìûå ãëþîíû, êîòîðûå â ñèñòåìå ïîêîÿ ïðîòîíà ïðîñòî «ïðèñëóæèâàëè» êâàðêàì, ïðèòÿãèâàÿ 01-18.p65 8 ëèøü íà î÷åíü êîðîòêîå âðåìÿ. Çíàÿ, êàê ÷àñòî ïðîèñõîäÿò òàêèå ïðîöåññû íà óñêîðèòåëå, ìîæíî èçìåðèòü êîëè÷åñòâî ïàðòîíîâ âíóòðè ïðîòîíà è èõ çàðÿäû. Êòî òàêèå ïàðòîíû íà ñàìîì äåëå? È çäåñü ìû ïîäõîäèì ê åùå îäíîìó ïîðàçèòåëüíîìó îòêðûòèþ, êîòîðîå ñäåëàëè ôèçèêè, èçó÷àÿ ñòîëêíîâåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ïðè âûñîêèõ ýíåðãèÿõ.  îáû÷íûõ óñëîâèÿõ âîïðîñ î òîì, èç ÷åãî ñîñòîèò òîò èëè èíîé ïðåäìåò, èìååò óíèâåðñàëüíûé îòâåò äëÿ âñåõ ñèñòåì îòñ÷åòà. Íàïðèìåð, ìîëåêóëà âîäû ñîñòîèò èç äâóõ àòîìîâ âîäîðîäà è îäíîãî àòîìà êèñëîðîäà è íå âàæíî, ñìîòðèì ëè ìû íà íåïîäâèæíóþ èëè íà äâèæóùóþñÿ ìîëåêóëó. Îäíàêî ýòî ïðàâèëî êàçàëîñü áû, òàêîå åñòåñòâåííîå! íàðóøàåòñÿ, åñëè ðå÷ü èäåò îá ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèöàõ, äâèæóùèõñÿ ñî ñêîðîñòÿìè, áëèçêèìè ê ñêîðîñòè ñâåòà.  îäíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ñëîæíàÿ ÷àñòèöà ìîæåò ñîñòîÿòü èç îäíîãî íàáîðà ñóá÷àñòèö, à â äðóãîé ñèñòåìå îòñ÷åòà èç äðóãîãî. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ñîñòàâ ïîíÿòèå îòíîñèòåëüíîå! Êàê òàêîå ìîæåò áûòü? Êëþ÷åâûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ îäíî âàæíîå ñâîéñòâî: êîëè÷åñòâî ÷àñòèö â íàøåì ìèðå íå ôèêñèðîâàíî ÷àñòèöû ìîãóò ðîæäàòüñÿ è èñ÷åçàòü. Íàïðèìåð, åñëè ñòîëêíóòü âìåñòå äâà ýëåêòðîíà ñ äîñòàòî÷íî áîëüøîé ýíåðãèåé, òî âäîáàâîê ê ýòèì äâóì ýëåêòðîíàì ìîæåò ðîäèòüñÿ ëèáî ôîòîí, ëèáî ýëåêòðîí-ïîçèòðîííàÿ ïàðà, ëèáî åùå êàêèå-íèáóäü ÷àñòè- 30.09.09, 16:31 ÌÍÎÃÎËÈÊÈÉ öû. Âñå ýòî ðàçðåøåíî êâàíòîâûìè çàêîíàìè, èìåííî òàê è ïðîèñõîäèò â ðåàëüíûõ ýêñïåðèìåíòàõ. Íî ýòîò «çàêîí íåñîõðàíåíèÿ» ÷àñòèö ðàáîòàåò ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ ÷àñòèö. À êàê æå ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî îäèí è òîò æå ïðîòîí ñ ðàçíûõ òî÷åê çðåíèÿ âûãëÿäèò ñîñòîÿùèì èç ðàçíîãî íàáîðà ÷àñòèö? Äåëî â òîì, ÷òî ïðîòîí ýòî íå ïðîñòî òðè êâàðêà, ñëîæåííûå âìåñòå. Ìåæäó êâàðêàìè ñóùåñòâóåò ñèëîâîå ãëþîííîå ïîëå. Âîîáùå, ñèëîâîå ïîëå (êàê, íàïðèìåð, ãðàâèòàöèîííîå èëè ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå) ýòî íåêàÿ ìàòåðèàëüíàÿ «ñóùíîñòü», êîòîðàÿ ïðîíèçûâàåò ïðîñòðàíñòâî è ïîçâîëÿåò ÷àñòèöàì îêàçûâàòü ñèëîâîå âëèÿíèå äðóã íà äðóãà.  êâàíòîâîé òåîðèè ïîëå òîæå ñîñòîèò èç ÷àñòèö, ïðàâäà èç îñîáåííûõ âèðòóàëüíûõ. Êîëè÷åñòâî ýòèõ ÷àñòèö íå ôèêñèðîâàíî, îíè ïîñòîÿííî «îòïî÷êîâûâàþòñÿ» îò êâàðêîâ è ïîãëîùàþòñÿ äðóãèìè êâàðêàìè. Ïîêîÿùèéñÿ ïðîòîí äåéñòâèòåëüíî ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå êàê òðè êâàðêà, ìåæäó êîòîðûìè ïåðåñêàêèâàþò ãëþîíû. Íî åñëè âçãëÿíóòü íà òîò æå ïðîòîí èç äðóãîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, ñëîâíî èç îêíà ïðîåçæàþùåãî ìèìî «ðåëÿòèâèñòñêîãî ïîåçäà», òî ìû óâèäèì ñîâñåì èíóþ êàðòèíó. Òå âèðòóàëüíûå ãëþîíû, êîòîðûå ñêëåèâàëè êâàðêè âìåñòå, ïîêàæóòñÿ óæå ìåíåå âèðòóàëüíûìè, «áîëåå íàñòîÿùèìè» ÷àñòèöàìè. Îíè, êîíå÷íî, ïî-ïðåæíåìó ðîæäàþòñÿ è ïîãëîùàþòñÿ êâàðêàìè, íî ïðè ýòîì êàêîå-òî âðåìÿ æèâóò ñàìè ïî ñåáå, ëåòÿò ðÿäîì ñ êâàðêàìè, ñëîâíî íàñòîÿùèå ÷àñòèöû. Òî, ÷òî âûãëÿäèò ïðîñòûì ñèëîâûì ïîëåì â îäíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, ïðåâðàùàåòñÿ â äðóãîé ñèñòåìå â ïîòîê ÷àñòèö! Çàìåòüòå, ñàì ïðîòîí ìû ïðè ýòîì íå òðîãàåì, à òîëüêî ñìîòðèì íà íåãî èç äðóãîé ñèñòåìû îòñ÷åòà. Äàëüøå áîëüøå. ×åì áëèæå ñêîðîñòü íàøåãî «ðåëÿòèâèñòñêîãî ïîåçäà» ê ñêîðîñòè ñâåòà, òåì áîëåå óäèâèòåëüíóþ êàðòèíó âíóòðè ïðîòîíà ìû óâèäèì. Ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê ñêîðîñòè ñâåòà ìû çàìåòèì, ÷òî ãëþîíîâ âíóòðè ïðîòîíà ñòàíîâèòñÿ âñå áîëüøå è áîëüøå. Áîëåå òîãî, îíè èíîãäà ðàñùåïëÿþòñÿ íà êâàðê-àíòèêâàðêîâûå ïàðû, êîòîðûå òîæå ëåòÿò ðÿäîì è òîæå ñ÷èòàþòñÿ ïàðòîíàìè.  ðåçóëüòàòå óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèé ïðîòîí, ò.å. ïðîòîí, äâèæóùèéñÿ îòíîñèòåëüíî íàñ ñî ñêîðîñòüþ, î÷åíü áëèçêîé ê ñêîðîñòè ñâåòà, ïðåäñòàåò â âèäå âçàèìîïðîíèêàþùèõ îáëà÷êîâ êâàðêîâ, àíòèêâàðêîâ è ãëþîíîâ, êîòîðûå ëåòÿò âìåñòå è êàê áû ïîääåðæèâàþò äðóã äðóãà (ðèñ.3). ×èòàòåëü, çíàêîìûé ñ òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè, ìîæåò çàáåñïîêîèòüñÿ. Âñÿ ôèçèêà îñíîâàíà íà òîì ïðèíöèïå, ÷òî ëþáîé ïðîöåññ ïðîòåêàåò îäèíàêîâî âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. À òóò ïîëó÷àåò- ÏÐÎÒÎÍ ' ñÿ, ÷òî ñîñòàâ ïðîòîíà çàâèñèò îò ñèñòåìû îòñ÷åòà, èç êîòîðîé ìû åãî íàáëþäàåì?! Äà, èìåííî òàê, íî ýòî íèêàê íå íàðóøàåò ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè. Ðåçóëüòàòû ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ íàïðèìåð, êàêèå ÷àñòèöû è ñêîëüêî ðîæäàþòñÿ â ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèÿ äåéñòâèòåëüíî îêàçûâàþòñÿ èíâàðèàíòíûìè, õîòÿ ñîñòàâ ïðîòîíà çàâèñèò îò ñèñòåìû îòñ÷åòà. Ýòà íåîáû÷íàÿ íà ïåðâûé âçãëÿä, íî óäîâëåòâîðÿþùàÿ âñåì çàêîíàì ôèçèêè ñèòóàöèÿ ñõåìàòè÷íî ïðîèëëþñòðèðîâàíà íà ðèñóíêå 4. Çäåñü ïîêàçàíî, êàê ñòîëêíîâåíèå äâóõ ïðîòîíîâ ñ áîëüøîé ýíåðãèåé âûãëÿäèò Ðèñ.4 Ñõåìàòè÷íîå èçîáðàæåíèå ñòîëêíîâåíèÿ äâóõ ïðîòîíîâ ïðè î÷åíü áîëüøîé ýíåðãèè: â ñèñòåìå ïîêîÿ âòîðîãî ïðîòîíà (à), â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ (á), â ñèñòåìå ïîêîÿ ïåðâîãî ïðîòîíà (â). Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ âçàèìîäåéñòâèå ïðîòîíîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷åðåç îáìåí «ãëþîííîãî äåðåâà», íî ê êîìó èìåííî åãî îòíîñèòü (ê ïåðâîìó èëè êî âòîðîìó ïðîòîíó èëè æå ñ÷èòàòü îòäåëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì) çàâèñèò îò ñèñòåìû îòñ÷åòà â ðàçíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà: â ñèñòåìå ïîêîÿ îäíîãî ïðîòîíà, â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ, â ñèñòåìå ïîêîÿ äðóãîãî ïðîòîíà. Âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ïðîòîíàìè îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷åðåç êàñêàä ðàñùåïëÿþùèõñÿ ãëþîíîâ, íî òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå ýòîò êàñêàä ñ÷èòàåòñÿ «âíóòðåííîñòüþ» îäíîãî ïðîòîíà, â äðóãîì ñëó÷àå Ðèñ.3. Ñõåìàòè÷íîå èçîáðàæåíèå ïðîòîíà â ðàçíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Ìåäëåííî äâèæóùèéñÿ ïðîòîí (à) ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå òðåõ êâàðêîâ (ñïëîøíûå ëèíèè), êîòîðûå ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ãëþîíàìè (øòðèõîâûå ëèíèè).  áûñòðî äâèæóùåìñÿ ïðîòîíå (á) ãëþîíû óæå èíîãäà ëåòÿò ðÿäîì ñ êâàðêàìè. Ïðè ñêîðîñòè ïðîòîíà, î÷åíü áëèçêîé ê ñêîðîñòè ñâåòà (â), è ãëþîíû, è ïîðîæäåííûìè èìè êâàðê-àíòèêâàðêîâûå ïàðû ñòàíîâÿòñÿ ïîëíîïðàâíûìè ïàðòîíàìè ñîñòàâëÿþùèìè ÷àñòÿìè ïðîòîíà 01-18.p65 9 30.09.09, 16:31 ÊÂÀÍT 2009/¹5 ÷àñòüþ äðóãîãî ïðîòîíà, à â òðåòüåì ýòî ïðîñòî íåêèé îáúåêò, êîòîðûì îáìåíèâàþòñÿ äâà ïðîòîíà. Ýòîò êàñêàä ñóùåñòâóåò, îí ðåàëåí, íî ê êàêîé ÷àñòè ïðîöåññà åãî íàäî îòíîñèòü çàâèñèò îò ñèñòåìû îòñ÷åòà. Òðåõìåðíûé ïîðòðåò ïðîòîíà Âñå ðåçóëüòàòû, ïðî êîòîðûå ìû òîëüêî ÷òî ðàññêàçàëè, áàçèðîâàëèñü íà ýêñïåðèìåíòàõ, âûïîëíåííûõ äîâîëüíî äàâíî â 60-70-õ ãîäàõ ïðîøëîãî âåêà. Êàçàëîñü áû, ñ òåõ ïîð âñå óæå äîëæíî áûòü èçó÷åíî è âñå âîïðîñû äîëæíû íàéòè ñâîè îòâåòû. Íî íåò óñòðîéñòâî ïðîòîíà ïî-ïðåæíåìó îñòàåòñÿ îäíîé èç ñàìûõ èíòåðåñíûõ òåì â ôèçèêå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Áîëåå òîãî, â ïîñëåäíèå ãîäû èíòåðåñ ê íåé ñíîâà âîçðîñ, ïîòîìó ÷òî ôèçèêè ïîíÿëè, êàê ïîëó÷èòü «òðåõìåðíûé» ïîðòðåò áûñòðî äâèæóùåãîñÿ ïðîòîíà, êîòîðûé îêàçàëñÿ ãîðàçäî ñëîæíåå ïîðòðåòà íåïîäâèæíîãî ïðîòîíà. Êëàññè÷åñêèå ýêñïåðèìåíòû ïî ñòîëêíîâåíèþ ïðîòîíîâ ðàññêàçûâàþò ëèøü î êîëè÷åñòâå ïàðòîíîâ è èõ ðàñïðåäåëåíèè ïî ýíåðãèè.  òàêèõ ýêñïåðèìåíòàõ ïàðòîíû ó÷àñòâóþò êàê íåçàâèñèìûå îáúåêòû, à çíà÷èò, èç íèõ íåëüçÿ óçíàòü, êàê ïàðòîíû ðàñïîëîæåíû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà, êàê èìåííî îíè ñêëàäûâàþòñÿ â ïðîòîí. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî äîëãîå âðåìÿ ôèçèêàì áûë äîñòóïåí ëèøü «îäíîìåðíûé» ïîðòðåò áûñòðî ëåòÿùåãî ïðîòîíà. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñòðîèòü íàñòîÿùèé, òðåõìåðíûé ïîðòðåò ïðîòîíà è óçíàòü ðàñïðåäåëåíèå ïàðòîíîâ â ïðîñòðàíñòâå, òðåáóþòñÿ ãîðàçäî áîëåå òîíêèå ýêñïåðèìåíòû, ÷åì òå, êîòîðûå áûëè âîçìîæíû 40 ëåò íàçàä. Òàêèå ýêñïåðèìåíòû ôèçèêè íàó÷èëèñü ñòàâèòü ñîâñåì íåäàâíî, áóêâàëüíî â ïîñëåäíåå äåñÿòèëåòèå. Îíè ïîíÿëè, ÷òî ñðåäè îãðîìíîãî êîëè÷åñòâà ðàçíûõ ðåàêöèé, êîòîðûå ïðîèñõîäÿò ïðè ñòîëêíîâåíèè ýëåêòðîíà ñ ïðîòîíîì, åñòü îäíà îñîáåííàÿ ðåàêöèÿ ãëóáîêîâèðòóàëüíîå êîìïòîíîâñêîå ðàññåÿíèå, êîòîðàÿ è ñìîæåò ðàññêàçàòü î òðåõìåðíîé ñòðóêòóðå ïðîòîíà. Âîîáùå, êîìïòîíîâñêèì ðàññåÿíèåì, èëè ýôôåêòîì Êîìïòîíà, íàçûâàþò óïðóãîå ñòîëêíîâåíèå ôîòîíà ñ êàêîé-íèáóäü ÷àñòèöåé, íàïðèìåð ñ ïðîòîíîì. Âûãëÿäèò îíî òàê: ïðèëåòàåò ôîòîí, ïîãëîùàåòñÿ ïðîòîíîì, êîòîðûé íà êîðîòêîå âðåìÿ ïåðåõîäèò â âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå, à ïîòîì âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå, èñïóñêàÿ ôîòîí â êàêîì-íèáóäü íàïðàâëåíèè. Êîìïòîíîâñêîå ðàññåÿíèå îáû÷íûõ ñâåòîâûõ ôîòîíîâ íå ïðèâîäèò íè ê ÷åìó èíòåðåñíîìó ýòî ïðîñòîå îòðàæåíèå ñâåòà îò ïðîòîíà. Äëÿ òîãî ÷òîáû «âñòóïèëà â èãðó» âíóòðåííÿÿ ñòðóêòóðà ïðîòîíà è «ïî÷óâñòâîâàëèñü» ðàñïðåäåëåíèÿ êâàðêîâ, íàäî èñïîëüçîâàòü ôîòîíû î÷åíü áîëüøîé ýíåðãèè â ìèëëèàðäû ðàç áîëüøå, ÷åì â îáû÷íîì ñâåòå. À êàê ðàç òàêèå ôîòîíû ïðàâäà, âèðòóàëüíûå ëåãêî ïîðîæäàåò íàëåòàþùèé ýëåêòðîí. Åñëè òåïåðü îáúåäèíèòü îäíî ñ äðóãèì, òî è ïîëó÷èòñÿ ãëóáîêî-âèðòóàëüíîå êîìïòîíîâñêîå ðàññåÿíèå (ðèñ.5). Ãëàâíàÿ îñîáåííîñòü ýòîé ðåàêöèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíà íå ðàçðóøàåò ïðîòîí. Íàëåòàþùèé ôîòîí íå ïðîñòî áüåò ïî ïðîòîíó, à êàê áû òùàòåëüíî åãî îùóïûâàåò è çàòåì óëåòàåò ïðî÷ü. Òî, â êàêóþ ñòîðîíó îí óëåòàåò 01-18.p65 10 Ðèñ.5. Ñõåìà ãëóáîêî-âèðòóàëüíîãî êîìïòîíîâñêîãî ðàññåÿíèÿ. Íàëåòàþùèé ýëåêòðîí èñïóñêàåò âèðòóàëüíûé ôîòîí, êîòîðûé è ðàññåèâàåòñÿ íà ïðîòîíå íàïîäîáèå ýôôåêòà Êîìïòîíà è êàêóþ ÷àñòü ýíåðãèè ó íåãî îòáèðàåò ïðîòîí, çàâèñèò îò óñòðîéñòâà ïðîòîíà, îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ïàðòîíîâ âíóòðè íåãî. Èìåííî ïîýòîìó, èçó÷àÿ ýòîò ïðîöåññ, ìîæíî âîññòàíîâèòü òðåõìåðíûé îáëèê ïðîòîíà, êàê áû «âûëåïèòü åãî ñêóëüïòóðó». Ïðàâäà, äëÿ ôèçèêà-ýêñïåðèìåíòàòîðà ñäåëàòü ýòî î÷åíü íåïðîñòî. Íóæíûé ïðîöåññ ïðîèñõîäèò äîâîëüíî ðåäêî, è çàðåãèñòðèðîâàòü åãî òðóäíî. Ïåðâûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå îá ýòîé ðåàêöèè áûëè ïîëó÷åíû ëèøü â 2001 ãîäó íà óñêîðèòåëå HERA â íåìåöêîì óñêîðèòåëüíîì êîìïëåêñå DESY â Ãàìáóðãå; íîâàÿ ñåðèÿ äàííûõ ñåé÷àñ îáðàáàòûâàåòñÿ ýêñïåðèìåíòàòîðàìè. Âïðî÷åì, óæå ñåãîäíÿ, íà îñíîâàíèè ïåðâûõ äàííûõ, òåîðåòèêè ðèñóþò òðåõìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ êâàðêîâ è ãëþîíîâ â ïðîòîíå. Ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, ïðî êîòîðóþ ôèçèêè ðàíüøå ñòðîèëè ëèøü ïðåäïîëîæåíèÿ, íàêîíåö ñòàëà «ïðîñòóïàòü» èç ýêñïåðèìåíòà. Æäóò ëè íàñ êàêèå-íèáóäü íåîæèäàííûå îòêðûòèÿ â ýòîé îáëàñòè? Âïîëíå âåðîÿòíî, ÷òî äà.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ñêàæåì, ÷òî â íîÿáðå 2008 ãîäà ïîÿâèëàñü èíòåðåñíàÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ñòàòüÿ, â êîòîðîé óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî áûñòðî ëåòÿùèé ïðîòîí äîëæåí èìåòü âèä íå ïëîñêîãî äèñêà, à äâîÿêîâîãíóòîé ëèíçû. Òàê ïîëó÷àåòñÿ ïîòîìó, ÷òî ïàðòîíû, ñèäÿùèå â öåíòðàëüíîé îáëàñòè ïðîòîíà, ñèëüíåå ñæèìàþòñÿ â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè, ÷åì ïàðòîíû, ñèäÿùèå íà êðàÿõ. Áûëî áû î÷åíü èíòåðåñíî ïðîâåðèòü ýòè òåîðåòè÷åñêèå ïðåäñêàçàíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî! Ïî÷åìó âñå ýòî èíòåðåñíî ôèçèêàì? Çà÷åì âîîáùå ôèçèêàì íàäî çíàòü, êàê èìåííî ðàñïðåäåëåíî âåùåñòâî âíóòðè ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ? Âî-ïåðâûõ, ýòîãî òðåáóåò ñàìà ëîãèêà ðàçâèòèÿ ôèçèêè.  ìèðå åñòü ìíîãî ïîðàçèòåëüíî ñëîæíûõ ñèñòåì, ñ êîòîðûìè ñîâðåìåííàÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà ïîêà íå ìîæåò ïîëíîñòüþ ñîâëàäàòü. Àäðîíû îäíà èç òàêèõ ñèñòåì. Ðàçáèðàÿñü ñ óñòðîéñòâîì àäðîíîâ, ìû îòòà÷èâàåì ñïîñîáíîñòè òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, êîòîðûå âïîëíå ìîãóò îêàçàòüñÿ óíèâåðñàëüíûìè è, âîçìîæíî, ïîìîãóò â ÷åì-òî ñîâñåì èíîì, íàïðèìåð ïðè èçó÷åíèè ñâåðõïðîâîäíèêîâ èëè äðóãèõ ìàòåðèàëîâ ñ íåîáû÷íûìè ñâîéñòâàìè. Âî-âòîðûõ, òóò åñòü íåïîñðåäñòâåííàÿ ïîëüçà äëÿ ÿäåðíîé ôèçèêè. Íåñìîòðÿ íà ïî÷òè âåêîâóþ èñòîðèþ èçó÷åíèÿ àòîìíûõ ÿäåð, òåîðåòèêè äî ñèõ ïîð íå çíàþò òî÷íûé çàêîí âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ. 30.09.09, 16:31 ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ Èì ïðèõîäèòñÿ ýòîò çàêîí îò÷àñòè óãàäûâàòü, èñõîäÿ èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, îò÷àñòè êîíñòðóèðîâàòü íà îñíîâå çíàíèé î ñòðóêòóðå íóêëîíîâ. Òóò-òî è ïîìîãóò íîâûå äàííûå î òðåõìåðíîì óñòðîéñòâå íóêëîíîâ. Â-òðåòüèõ, íåñêîëüêî ëåò íàçàä ôèçèêè ñóìåëè ïîëó÷èòü íè ìíîãî íè ìàëî íîâîå àãðåãàòíîå ñîñòîÿíèå âåùåñòâà êâàðê-ãëþîííóþ ïëàçìó.  òàêîì ñîñòîÿíèè êâàðêè íå ñèäÿò âíóòðè îòäåëüíûõ ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ, à ñâîáîäíî ãóëÿþò ïî âñåìó ñãóñòêó ÿäåðíîãî âåùåñòâà. Äîñòè÷ü åãî ìîæíî, íàïðèìåð, òàê: òÿæåëûå ÿäðà ðàçãîíÿþòñÿ â óñêîðèòåëå äî ñêîðîñòè, î÷åíü áëèçêîé ê ñêîðîñòè ñâåòà, è çàòåì ñòàëêèâàþòñÿ ëîá â ëîá.  ýòîì ñòîëêíîâåíèè íà î÷åíü êîðîòêîå âðåìÿ âîçíèêàåò òåìïåðàòóðà â òðèëëèîíû ãðàäóñîâ, êîòîðàÿ è ðàñïëàâëÿåò ÿäðà â êâàðê-ãëþîííóþ ïëàçìó. Òàê âîò, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî òåîðåòè÷åñêèå ðàñ÷åòû ýòîãî ÿäåðíîãî ïëàâëåíèÿ òðåáóþò õîðîøåãî çíàíèÿ òðåõìåðíîãî óñòðîéñòâà íóêëîíîâ. Íàêîíåö, ýòè äàííûå î÷åíü íóæíû äëÿ àñòðîôèçèêè. Êîãäà òÿæåëûå çâåçäû âçðûâàþòñÿ â êîíöå ñâîåé æèçíè, îò íèõ ÷àñòî îñòàþòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî êîìïàêòíûå îáúåêòû íåéòðîííûå è, âîçìîæíî, êâàðêîâûå çâåçäû. Ñåðäöåâèíà ýòèõ çâåçä öåëèêîì ñîñòîèò èç íåéòðîíîâ, à ìîæåò áûòü äàæå è èç õîëîäíîé êâàðê-ãëþîííîé ïëàçìû. Òàêèå çâåçäû óæå äàâíî îáíàðóæåíû, íî ÷òî ïðîèñõîäèò ó íèõ âíóòðè ìîæíî òîëüêî äîãàäûâàòüñÿ. Òàê ÷òî õîðîøåå ïîíèìàíèå êâàðêîâûõ ðàñïðåäåëåíèé ìîæåò ïðèâåñòè ê ïðîãðåññó è â àñòðîôèçèêå. ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ Êîñìè÷åñêèé íàíîëèôò Ê.ÁÎÃÄÀÍÎÂ È ÇÂÅÑÒÍÎ, ×ÒÎ ÌÍÎÃÈÅ ÑÏÓÒÍÈÊÈ ÇÅÌËÈ, íàïðèìåð ñïóòíèêè ñâÿçè è ìåòåîðîëîãè÷åñêèå ñïóòíèêè, íàõîäÿòñÿ íà ãåîñòàöèîíàðíûõ îðáèòàõ è, òàêèì îáðàçîì, ìîãóò íåïîäâèæíî âèñåòü íàä îäíîé è òîé æå òî÷êîé åå ïîâåðõíîñòè. Îöåíèì âûñîòó H ãåîñòàöèîíàðíîé îðáèòû íàä ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè. Ïóñòü RÇ = 6400 êì = 6,4 ◊ 106 ì ðàäèóñ Çåìëè, Ò = 24 ÷ = 86400 ñ ïåðèîä åå îáðàùåíèÿ âîêðóã îñè. Òîãäà ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü v ãåîñòàöèîíàðíîãî ñïóòíèêà â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ îñüþ Çåìëè, ðàâíà v= 2π ( RÇ + H ) . T Ñ äðóãîé ñòîðîíû, öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ñïóòíèêà a äîëæíî áûòü ðàâíî óñêîðåíèþ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g íà äàííîé âûñîòå: a= RÇ g = g0 RÇ + H v2 , RÇ + H 2 , ãäå g0 = 9,8 ì ñ2 , a = g. Îòñþäà ïîñëå íåñêîëüêèõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì H= 3 g0 RÇ2Ò 2 − RÇ = 35900 êì . 4π2 Åùå ó Ê.Ý.Öèîëêîâñêîãî âîçíèêëà ìûñëü èñïîëüçîâàòü ãåîñòàöèîíàðíûå ñïóòíèêè, à âñå íåîáõîäèìîå äëÿ ðàáîòû äîñòàâëÿòü òóäà íà êîñìè÷åñêîì ëèôòå ïî 01-18.p65 11 òðîñó, ñîåäèíÿþùåìó ñïóòíèê ñ òî÷êîé íà Çåìëå, íàä êîòîðîé îí íàõîäèòñÿ. Îäíàêî ïðîñòûå ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî òàêîé òðîñ, ñäåëàííûé äàæå èç ñàìûõ ïðî÷íûõ ñîðòîâ ñòàëè, îáîðâåòñÿ ïîä ñèëîé ñîáñòâåííîé òÿæåñòè. Íàéäåì, êàêîé ìîæåò áûòü ìàêñèìàëüíàÿ äëèíà L òðîñà èç ñòàëè, êîòîðûé íå ðàçîðâåòñÿ ïîä ñèëîé ñîáñòâåííîé òÿæåñòè. Ïðåäåë ïðî÷íîñòè ñòàëè σïð = = 0,8 ÃÏà, ïëîòíîñòü ñòàëè ρ = 7800 êã ì3 . Åñëè S ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ òðîñà, òî âåñ P òðîñà äëèíîé L è ïëîòíîñòüþ ρ ðàâåí P = ρgLS . Êîãäà òðîñ ïîäâåøåí çà îäèí êîíåö, ìåõàíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå σ (îòíîøåíèå ñèëû óïðóãîñòè òðîñà ê ïëîùàäè åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ) â ñàìîé âåðõíåé òî÷êå òðîñà ðàâíî P σ= = ρgL . S ×òîáû òðîñ íå ðàçîðâàëñÿ, σ äîëæíî áûòü ìåíüøå σïð , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî σïð L< ≈ 10 êì . ρg Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå äëèíû òðîñà äåéñòâèòåëüíî ãîðàçäî ìåíüøå âûñîòû ãåîñòàöèîíàðíîé îðáèòû ñïóòíèêà. Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî ñàìûìè ïðî÷íûìè ìàòåðèàëàìè íà Çåìëå ñåãîäíÿ ÿâëÿþòñÿ óãëåðîäíûå íàíîòðóáêè. Òåîðåòè÷åñêè èõ ïðî÷íîñòü äîëæíà ñîñòàâëÿòü îêîëî 300 ÃÏà, îäíàêî ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ îêàçûâàþòñÿ íå áîëåå 60 ÃÏà. Ýòè ðàçëè÷èÿ, ïî-âèäèìîìó, âûçâàíû îòñóòñòâèåì òåõíîëîãèè ïðîèçâîäñòâà äëèííûõ íàíîòðóáîê áåç äåôåêòîâ.  íàñòîÿùåå âðåìÿ äëèíà íàíîòðóáîê ñîñòàâëÿåò íå áîëåå íåñêîëüêèõ 30.09.09, 16:29 ÊÂÀÍT 2009/¹5 ìèëëèìåòðîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ íàíîòåõíîëîãèé ñòàíåò âîçìîæíûì èçãîòîâëåíèå áåçäåôåêòíûõ íàíîòðóáîê äëèíîé â ñîòíè è òûñÿ÷è êèëîìåòðîâ. Ýòî ñäåëàåò âîçìîæíûì âåðíóòüñÿ ê èäåå êîñìè÷åñêîãî ëèôòà, èñïîëüçóÿ âìåñòî òðîñà íàíîòðóáêè. Íàéäåì ìàññó Ì óãëåðîäíîé íàíîòðóáêè äëèíîé L = = 1 êì è äèàìåòðîì D = 1,4 íì, ñ÷èòàÿ, ÷òî íàíîòðóáêà ñîñòîèò èç àòîìîâ óãëåðîäà, îáðàçóþùèõ ïðàâèëüíûå øåñòèóãîëüíèêè ñ ðåáðîì d = 0,14 íì (ñì. ðèñóíîê). Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî øèðèíà øåñòèóãîëüíèêà (ðàññòîÿíèå ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ðåáðàìè) ñîñòàâëÿåò a = d 3 . Âäîëü ïåðèìåòðà íàíîòðóáêè óêëàäûâàåòñÿ ïîëîñêà èç n òàêèõ øåñòèóãîëüíèêîâ, ïðè÷åì πD n= = 18 . d 3 Îáùåå ÷èñëî àòîìîâ óãëåðîäà â ýòèõ øåñòèóãîëüíèêàõ ðàâíî 4n. Àíàëîãè÷íûå ïîëîñêè èç n àòîìîâ ïîâòîðÿþòñÿ âäîëü äëèíû íàíîòðóáêè ÷åðåç ðàññòîÿíèå, ðàâíîå 3d. Ïîýòîìó îáùåå ÷èñëî àòîìîâ N ó òàêîé íàíîòðóáêè äëèíîé L ñîñòàâèò N = 4n L 4 ⋅ 18 ⋅ 103 ì = = 1,7 ⋅ 1014 . 3d 3 ⋅ 0,14 ⋅ 10−9 ì Ìàññà òàêîé íàíîòðóáêè áóäåò ðàâíà M = N ⋅ 12 ⋅ 1,67 ⋅ 10−27 êã = 3,4 ⋅ 10−12 êã . Ñ÷èòàÿ ïðî÷íîñòü òðîñà èç íàíîòðóáîê ðàâíîé σïð = 3 = 300 ÃÏà, à åãî ïëîòíîñòü ρ = 1400 êã ì , îïðåäåëèì ìàêñèìàëüíóþ äëèíó Lmax ýòîãî òðîñà, íå îáðûâàþùåãîñÿ ïîä ñèëîé ñîáñòâåííîé òÿæåñòè. Ïðè÷åì èçìåíåíèåì óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðè óäàëåíèè îò Çåìëè ñíà÷àëà áóäåì ïðåíåáðåãàòü. Âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè ðàñ÷åòîâ äëÿ ñòàëüíîãî òðîñà è íàéäåì íàïðÿæåíèå íàøåãî òðîñà èç íàíîòðóáîê: σ = ρgL . ×òîáû òðîñ íå ðàçîðâàëñÿ, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå σ σ < σïð , èëè Lmax < ïð ª 22000 êì . ρg Óæå íåïëîõîé ðåçóëüòàò. À êàêîé ìîæåò áûòü ìàêñèìàëüíàÿ äëèíà Lmax ýòîãî íå îáðûâàþùåãîñÿ ïîä ñèëîé ñîáñòâåííîé òÿæåñòè òðîñà, åñëè ó÷åñòü èçìåíåíèå óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðè óäàëåíèè îò Çåìëè? Ïóñòü ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ òðîñà ðàâíà S. Òîãäà âåñ dP îòðåçêà òðîñà äëèíîé dH è ïëîòíîñòüþ ρ 2 RÇ ðàâåí dP = ρgSdH , ãäå g = g0 . Åñëè òðîñ RÇ + H äëèíîé L ïîäâåñèòü çà îäèí êîíåö, òî íàïðÿæåíèå â ñàìîé âåðõíåé òî÷êå òðîñà áóäåò ðàâíî σ= L P dH L = ρg0 RÇ2 ∫ = ρg0 RÇ . 2 S R Ç +L 0 ( RÇ + H ) Ïîñëåäíèé ñîìíîæèòåëü â ïðàâîé ÷àñòè ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ ïðè çíà÷åíèÿõ L > RÇ ìîíîòîííî óâåëè÷èâàåòñÿ, ñòðåìÿñü ê åäèíèöå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íàïðÿæåíèå σ íå ìîæåò áûòü áîëüøå ρg0 RÇ ª 0,3 σïð . Òàêèì îáðàçîì, òðîñ, ñäåëàííûé èç óãëåðîäíûõ íàíîòðóáîê, â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå Çåìëè ìîæåò áûòü ëþáîé äëèíû, òàê êàê îí íèêîãäà íå ðàçîðâåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñîáñòâåííîé òÿæåñòè. Ýòî äåëàåò èäåþ êîñìè÷åñêîãî ëèôòà âïîëíå ðåàëüíîé. ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß Áëàãîòâîðèòåëüíûé ôîíä «Íîâàÿ ìûñëü» (ó÷ðåäèòåëü ÇÀÎ «Ôèíàì») îáúÿâëÿåò êîíêóðñ ñðåäè ëèö, ñêëîííûõ ê êðèòè÷åñêîìó àíàëèçó ðàçëè÷íûõ ïðîáëåì ôèçèêè, ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè. Êîíêóðñàíò äîëæåí ñàì ïîñòàâèòü çàäà÷ó è ïðåäñòàâèòü åå ðåøåíèå. Öåëü êîíêóðñà: âûÿâëåíèå è ïîîùðåíèå ñàìîñòîÿòåëüíî è êîíñòðóêòèâíî ìûñëÿùèõ ëþäåé. Êîíêóðñ åæåãîäíûé. Óñëîâèÿ ïðîâåäåíèÿ î÷åðåäíîãî êîíêóðñà îáúÿâëÿþòñÿ â äåêàáðå, èòîãè ïîäâîäÿòñÿ â ìàå ñëåäóþùåãî ãîäà, ïðè÷åì îòäåëüíî äëÿ ëèö íå ñòàðøå 18 ëåò è äëÿ ëèö äî 35 ëåò. Ïðåìèàëüíûå ôîíäû ôîðìèðóþòñÿ â ñëåäóþùèõ ðàçìåðàõ: äëÿ ó÷àñòíèêîâ âîçðàñòíîé êàòåãîðèè äî 18 ëåò 300000 ðóá. (ãëàâíàÿ ïðåìèÿ 150000 ðóá., òðè ïîîùðèòåëüíûå ïî 50000 ðóá.); äëÿ ó÷àñòíèêîâ âîçðàñòíîé êàòåãîðèè äî 35 ëåò 500000 ðóá. (ãëàâíàÿ ïðåìèÿ 200000 ðóá., òðè ïîîùðèòåëüíûå ïî 100000 ðóá.). Îðãêîìèòåò êîíêóðñà ïëàíèðóåò âïîñëåäñòâèè óâåëè÷åíèå îáúåìîâ íàãðàäíûõ ôîíäîâ. Îáðàùåíèå-äåêëàðàöèÿ Îðãêîìèòåòà êîíêóðñà ê ó÷àñòíèêàì, ïðàâèëà îôîðìëåíèÿ çàÿâîê, ñðîêè, ìåñòî è ôîðìà ïðåäñòàâëåíèÿ êîíêóðñíûõ ìàòåðèàëîâ, à òàêæå ïðî÷àÿ èíôîðìàöèÿ âñå ýòî áóäåò îïóáëèêîâàíî â øåñòîì íîìåðå æóðíàëà «Êâàíò» çà 2009 ãîä è â íà÷àëå äåêàáðÿ ïîìåùåíî íà ñàéòå æóðíàëà «Êâàíò». 01-18.p65 12 30.09.09, 16:29 Çàäà÷à Ýðäåøà Ñåêåðåøà: ïðîäîëæåíèå èñòîðèè Â.ÊÎØÅËÅÂ, À.ÐÀÉÃÎÐÎÄÑÊÈÉ Ñíîâà â ïóòü  «Êâàíòå» ¹2 çà ýòîò ãîä áûëà îïóáëèêîâàíà íàøà ñòàòüÿ «Çàäà÷à Ýðäåøà Ñåêåðåøà î âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêàõ» [1]. Òàì ìû ðàññêàçûâàëè óäèâèòåëüíóþ (à ìåñòàìè äàæå ðîìàíòè÷åñêóþ) èñòîðèþ îäíîé èç ñàìûõ êðàñèâûõ è ïîïóëÿðíûõ ïðîáëåì êîìáèíàòîðíîé ãåîìåòðèè èñòîðèþ, êîòîðàÿ íà÷àëàñü 75 ëåò íàçàä è êîòîðàÿ âåñüìà äàëåêà îò ñâîåãî çàâåðøåíèÿ. ×èòàòåëþ, æåëàþùåìó êàê ñëåäóåò ïîíÿòü èñòîêè òîãî, î ÷åì ìû ïîâåäåì ðå÷ü â íûíåøíåé ñòàòüå, íåîáõîäèìî, êîíå÷íî, âîîðóæèòüñÿ âûøåóïîìÿíóòîé ñòàòüåé, âåäü çäåñü ìû ëèøü íàïîìíèì êðàòêîå ñîäåðæàíèå «ïðåäûäóùèõ ñåðèé», à ïîñëå äâèíåìñÿ â ïðèíöèïèàëüíî íîâûå äëÿ íàñ, äî ñèõ ïîð íåèçâåäàííûå îáëàñòè. Èòàê, îñíîâíûìè îáúåêòàìè íàøåãî èññëåäîâàíèÿ áûëè ìíîæåñòâà òî÷åê îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè. Íàïîìíèì, ÷òî òàêîâû âñå ìíîæåñòâà, íèêàêèå òðè ýëåìåíòà êîòîðûõ íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Íàøåé öåëüþ áûëî îòûñêàíèå äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n çíà÷åíèÿ ôóíêöèè g (n ) , êîòîðóþ ìû ïîëàãàëè ðàâíîé íàèìåíüøåìó g òàêîìó, ÷òî â ëþáîì ìíîæåñòâå îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè, èìåþùåì ìîùíîñòü g, îáÿçàòåëüíî åñòü n òî÷åê, ÿâëÿþùèõñÿ âåðøèíàìè âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà. Ñïåðâà ìû îáñóäèëè âîïðîñ î ïîâåäåíèè ôóíêöèè g (n ) ïðè n ∈ {3,4,5,6} è âûÿñíèëè, ÷òî âñÿêèé ðàç g (n ) = 2n −2 + 1 . Çàòåì ìû óáåäèëèñü â òîì, ÷òî âîîáùå ïðè âñåõ n ≥ 3 âåëè÷èíà g (n ) êîíå÷íà è ÷òî, áîëåå òîãî, g (n ) ≤ 4n , òî÷íåå g (n ) ≤ C2nn−−25 + 1 ïðè n ≥ 5 . Íàêîíåö, ìû ïîêàçàëè, ÷òî îïÿòü-òàêè ïðè ëþáîì n g ( n ) ≥ 2n − 2 + 1 . Âîò, â ñóùíîñòè, è âñå. Îêàçûâàåòñÿ, îäíàêî, ÷òî ýòî ëèøü íà÷àëî ïóòè. È äåëî íå òîëüêî â òîì, ÷òî òî÷íûé âèä ôóíêöèè g (n ) ïî-ïðåæíåìó íåèçâåñòåí (ìû ëèøü ìîæåì âåðèòü âñëåä çà àâòîðàìè ïðîáëåìû, ÷òî g (n ) = 2n −2 + 1 ); äåëî åùå è â òîì, ÷òî èñõîäíàÿ çàäà÷à äîïóñêàåò ðÿä âåñüìà åñòåñòâåííûõ, íè÷óòü íå ìåíåå êðàñèâûõ îáîáùåíèé è, êàê ïðèíÿòî ãîâîðèòü â íàóêå, ìîäèôèêàöèé. Èìåííî î íèõ ìû òåïåðü è ïîãîâîðèì. Âûïóêëûå è ïóñòûå ìíîãîóãîëüíèêè Ìîäèôèêàöèÿ çàäà÷è Ýðäåøà Ñåêåðåøà Ñïóñòÿ áåç ìàëîãî ïîëâåêà ñ ìîìåíòà âûõîäà â ñâåò çàìå÷àòåëüíîé ñòàòüè [2], à òî÷íåå â 1978 ãîäó, Ï.Ýðäåø ïðåäëîæèë ñëåãêà âèäîèçìåíèòü óñëîâèå èñõîäíîé ïðîáëåìû, êîòîðàÿ ê òîìó âðåìåíè ñòàëà êëàññè÷åñêîé. 01-18.p65 13 Îí çàäàëñÿ âîïðîñîì: ÷òî åñëè ìû áóäåì èñêàòü â òîì èëè èíîì ìíîæåñòâå : îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè íå ïðîñòî âåðøèíû âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, íî âåðøèíû òàêèõ âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, âíóòðè êîòîðûõ íåò äðóãèõ òî÷åê ìíîæåñòâà : ? Òàêèå ìíîãîóãîëüíèêè åñòåñòâåííî íàçûâàòü ïóñòûìè èëè äûðàìè. Íà ðèñóíêå 1 ïîêàçàí ïðèìåð äûðû è ïðèìåð íå äûðû. Ââåäåì âåëè÷èíó h (n) , êîòîðàÿ ïîñëóæèò àíàëîãîì âåëè÷èíû g (n ) â ðàìêàõ íî- Ðèñ 1. Ïðèìåð äûðû è íå äûðû âîé çàäà÷è. ×òî ýòî çíà÷èò? Ïî èäåå, âñå î÷åíü ïðîñòî. Äîïóñòèì, äëÿ äàííîãî íàòóðàëüíîãî n ≥ 3 ìû íàøëè òàêîå ÷èñëî h, ÷òî â ëþáîì ìíîæåñòâå îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè, èìåþùåì ìîùíîñòü h, åñòü ïóñòîé n-óãîëüíèê è íàéäåòñÿ ìíîæåñòâî îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè, èìåþùåå ðàçìåð h 1 è äûð íà n âåðøèíàõ íå ñîäåðæàùåå. Âîò è ïîëîæèì òîãäà h (n) = h. Ïðîñòî? Íå ñîâñåì. Äåëî â òîì, ÷òî ñõîäó íå âïîëíå ïîíÿòíî, ïî÷åìó íàëè÷èå ïóñòûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ â ïðîèçâîëüíîì h-òî÷å÷íîì ìíîæåñòâå ãàðàíòèðóåò íàì èõ ïðèñóòñòâèå â êàæäîì ìíîæåñòâå ðàçìåðà h + 1. Âîçíèêàåò ïðîáëåìà ñ ñîáëþäåíèåì óñëîâèÿ ïóñòîòû, êîòîðîãî ðàíüøå (ò.å. ïðè îïðåäåëåíèè âåëè÷èíû g (n ) ) âîâñå íå áûëî. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè ïðåæäå ìû ñïîêîéíî ãîâîðèëè î ïîãðàíè÷íîé âåëè÷èíå g (n ) , íà÷èíàÿ ñ êîòîðîé âñÿêîå ìíîæåñòâî ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçìåðà ñîäåðæàëî âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê, òî îòíûíå òàêîå ñïîêîéñòâèå åùå íóæíî çàñëóæèòü. Ïî ñ÷àñòüþ, ïðîáëåìà ëåãêî óñòðàíèìà. Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü ïðè íåêîòîðîì h ëþáîå ìíîæåñòâî îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè, èìåþùåå ìîùíîñòü h, ñîäåðæèò âûïóêëûé è ïóñòîé n-óãîëüíèê. Òîãäà òî æå ñàìîå âåðíî è äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà îáùåãî ïîëîæåíèÿ ðàçìåðà h + 1. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî : ìîùíîñòè h + 1. Ïóñòü 0 ìíîãîóãîëüíèê, ÿâëÿþùèéñÿ åãî âûïóêëîé îáîëî÷êîé (ñì. [1]). Óäàëèì èç : ëþáóþ âåðøèíó ýòîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Îñòàíåòñÿ ìíîæåñòâî ðàçìåðà h, â êîòîðîì, ïî íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ, åñòü âûïóêëûé è ïóñòîé n-óãîëüíèê. Î÷åâèäíî, âûêèíóòàÿ íàìè âåðøèíà íàõîäèòñÿ âíå ýòîãî n-óãîëüíèêà. Çíà÷èò, : ñîäåðæèò âûïóêëûé è ïóñòîé n-óãîëüíèê. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Åñëè êàæäîìó h, äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî 30.09.09, 16:30 " ÊÂÀÍT 2009/¹5 ðàçìåðà h áåç âûïóêëûõ è ïóñòûõ n-óãîëüíèêîâ, ñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå 0, à êàæäîìó h, äëÿ êîòîðîãî ïîäîáíîãî ìíîæåñòâà íåò, ñîïîñòàâëÿòü 1, òî, ââèäó óòâåðæäåíèÿ 1, âîçíèêíåò îäíà èç òðåõ ñèòóàöèé, èçîáðàæåííûõ ãðàôè÷åñêè íà ðèñóíêå 2.  ïåðâîé Ðèñ. 2. Ñèòóàöèè, âîçíèêàþùèå ïðè îïðåäåëåíèè h (n ) ñèòóàöèè h (n) = 3, âî âòîðîé h (n) = h, â òðåòüåé ñèòóàöèè ìîæíî ãîâîðèòü, ÷òî h (n) = ∞ èëè ÷òî h (n) íå ñóùåñòâóåò. Ïîïðîáóåì ðàçîáðàòüñÿ ñ ìàëûìè n. Î÷åâèäíî, ÷òî h(3) = 3. Çíàÿ äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî g(4) = 5, íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî è Ðèñ. 3. ×åòûðå òî÷êè áåç h(4) = 5. Èëëþñòðàöèè ê òîìó âûïóêëûõ ÷åòûðåõïðåæíèå (ðèñ. 3, 4). óãîëüíèêîâ Ðèñ. 4. Âàðèàíòû âçèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ïÿòè òî÷åê Òàê, ìîæåò, h (n) = g (n)? ...È Ýðäåø òîëüêî çðÿ ñòàðàëñÿ, ïðèäóìûâàÿ ìîäèôèêàöèþ ñâîåé ñòàðîé çàäà÷è? Ý íåò, âñå êóäà èíòåðåñíåå. Âî-ïåðâûõ, íà ðèñóíêå 5 èçîáðàæåí ïðèìåð ìíîæåñòâà èç äåâÿòè òî÷åê: îíî â îáùåì ïîëîæåíèè, è, êàê ïîëîæåíî, âûïóêëûå ïÿòèóãîëüíèêè íà åãî ýëåìåíòàõ ñòðîÿòñÿ; îäíàêî íè îäèí èç ýòèõ ïÿòèóãîëüíèêîâ ïóñòûì íå ÿâëÿåòñÿ. Ðèñ. 5. Ïðèìåð äåâÿòè òî÷åê áåç Èòàê, h (5 ) ≥ 10 > âûïóêëûõ è ïóñòûõ ïÿòèóãîëüíèg (5 ) = 9 . Íà ñàìîì > êîâ äåëå h (5 ) = 10. Ýòî ïîêàçàë Õ.Õàðáîðò â 1978 ãîäó. Ìû íå ñòàíåì ïðèâîäèòü çäåñü åãî ðàññóæäåíèå, êîòîðîå, âïðî÷åì, íå î÷åíü è ñëîæíîå. À â 1983 ãîäó, ìîæíî ñêàçàòü, ãðÿíóë ãðîì ñðåäè ÿñíîãî íåáà: Äæ.Õîðòîí äîêàçàë íåñóùåñòâîâàíèå âåëè÷èíû h(7) è, ñòàëî áûòü, âñåõ h (n) ïðè n ≥ 7 . Äëÿ êàæäîãî h îí ïîñòðîèë ïðèìåð ìíîæåñòâà èç h òî÷åê íà ïëîñêîñòè, â êîòîðîì íåò âûïóêëûõ è ïóñòûõ ñåìè- 01-18.p65 14 óãîëüíèêîâ.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû îïèøåì õîðòîíîâñêóþ êîíñòðóêöèþ. Ìíîæåñòâà Õîðòîíà Èòàê, íàì íóæíî äëÿ êàæäîãî h ïîñòðîèòü ìíîæåñòâî íà ïëîñêîñòè, ðàçìåð êîòîðîãî h è â êîòîðîì ëþáîé âûïóêëûé ñåìèóãîëüíèê ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó òî÷êó âíóòðè. Ðàäè ðåàëèçàöèè ýòîãî çàìûñëà íàì ïîòðåáóåòñÿ âñïîìíèòü îïðåäåëåíèÿ «÷àøåê» è «êðûøåê». ×àøêè è êðûøêè: êðàòêîå íàïîìèíàíèå. Êîíå÷íî, îïðåäåëåíèå ÷àøåê è êðûøåê ìû óæå äàâàëè â ñòàòüå [1], è èìåííî ê íåé íàì ñëåäóåò îòîñëàòü ÷èòàòåëÿ. Ñîîòâåòñòâåííî, çäåñü ìû íå ñòàíåì âäàâàòüñÿ â êàêèåëèáî ïîäðîáíîñòè. Ìû ëèøü ïîä÷åðêíåì, ÷òî è ÷àøêè, è êðûøêè îïðåäåëÿþòñÿ â íåêîòîðîé (ëþáîé) ñèñòåìå êîîðäèíàò, êàêîâóþ îòíûíå ìû áóäåì ñ÷èòàòü ðàç è íàâñåãäà çàôèêñèðîâàííîé íà ïëîñêîñòè.  ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò òèïè÷íàÿ ÷àøêà è òèïè÷íàÿ êðûøêà âûãëÿäÿò òàê, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 6. Ðèñ. 6. Ñèñòåìà êîîðäèíàò è òèïè÷íûå ÷àøêà è êðûøêà â íåé Íàïîìíèì åùå, ÷òî k-÷àøêà ýòî ÷àøêà ñ k óçëàìè è, ñòàëî áûòü, k 1 çâåíüÿìè. Íàïðèìåð, ÷àøêà íà ðèñóíêå 6 ÿâëÿåòñÿ 6-÷àøêîé. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ è k-êðûøêè. È äëÿ ÷åãî æå íàì ÷àøêè ñ êðûøêàìè? À âñå äåëî â òîì, ÷òî âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ïðîñòîå óòâåðæäåíèå. Óòâåðæäåíèå 2. Ëþáîé âûïóêëûé ñåìèóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè, ó êîòîðîãî â äàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íåò ñòîðîí, ïàðàëëåëüíûõ îñè Oy (íàçîâåì òàêèå ñòîðîíû âåðòèêàëüíûìè), ëèáî ñîäåðæèò 5-÷àøêó, ëèáî ñîäåðæèò 5-êðûøêó. Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ ìû ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ. Âûâîä èç óòâåðæäåíèÿ òàêîé: åñëè äëÿ äàííîãî h ìû ïîñòðîèëè ìíîæåñòâî ðàçìåðà h íà ïëîñêîñòè, â êîòîðîì íèêàêèå äâå òî÷êè íå ñëóæàò êîíöàìè âåðòèêàëüíîãî îòðåçêà è â êîòîðîì ëþáàÿ 5-÷àøêà è ëþáàÿ 5-êðûøêà ñîäåðæàò õîòÿ áû îäíó òî÷êó ýòîãî ìíîæåñòâà, òî è ëþáîé âûïóêëûé ñåìèóãîëüíèê â ýòîì ìíîæåñòâå íå ïóñò. (Ìû ãîâîðèì, ÷òî ÷àøêà (èëè êðûøêà) ñîäåðæèò òî÷êó, åñëè ýòó òî÷êó ñîäåðæèò âûïóêëûé ïÿòèóãîëüíèê, ïîëó÷åííûé èç íàøåé ÷àøêè (êðûøêè) äîáàâëåíèåì íåäîñòàþùåãî ðåáðà.) Íåáîëüøîå óïðîùåíèå çàäà÷è. Èòàê, íàì íóæíî äëÿ êàæäîãî h ïðèäóìàòü ìíîæåñòâî ìîùíîñòè h íà ïëîñêîñòè, â êîòîðîì íåò âåðòèêàëüíûõ îòðåçêîâ è â êîòîðîì êàæäàÿ 5-÷àøêà è êàæäàÿ 5-êðûøêà â èçâåñòíîì ñìûñëå ñîäåðæàò òî÷êè. À â ñóùíîñòè, çà÷åì äëÿ êàæäîãî h? Íà ñàìîì äåëå, âïîëíå õâàòèò íàì è ïðîèçâîëüíîé áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë hk , k = 1, 2, 3, Ïðîñòî ââèäó óòâåð- 30.09.09, 16:30 ÇÀÄÀ×À ÝÐÄÅØÀ ÑÅÊÅÐÅØÀ: æäåíèÿ 1 íå áûâàåò ñèòóàöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 7 (ñðàâíèòå ñ ðèñóíêîì 2), âåäü åñëè åñòü íà ãðàôèêå íîëü, òî è Ðèñ. 7. Íåâîçìîæíàÿ ñèòóàöèÿ ñëåâà îò íåãî ñòîÿò òîëüêî íóëè.  äàëüíåéøåì ìû ðàññìîòðèì k = 4, 5, 6, è â êà÷åñòâå hk âîçüìåì 2k . Äàáû ñäåëàòü èçëîæåíèå ïðåäåëüíî ÿñíûì, ìû ñïåðâà âî âñåõ ïîäðîáíîñòÿõ îïèøåì êîíñòðóêöèþ â ñëó÷àå k = 4. Ñëó÷àé k = 4. Íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà èç øåñòíàäöàòè òî÷åê íà ïëîñêîñòè. Îíî äîëæíî áûòü îáùåãî ïîëîæåíèÿ, è â íåì íå äîëæíî áûòü ïóñòûõ 5-÷àøåê èëè 5-êðûøåê, à òàêæå âåðòèêàëüíûõ îòðåçêîâ. Îðãàíèçóåì èòåðàòèâíûé ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ. Èäåÿ ïðîñòàÿ: åñëè óæå åñòü êàêîå-òî ìíîæåñòâî, òî åãî êîïèþ, ïîëó÷åííóþ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì íà «äîñòàòî÷íî áîëüøîå ðàññòîÿíèå», îáúåäèíèì ñ íèì è âñå âìåñòå îáúÿâèì íîâûì ìíîæåñòâîì. Ïîíÿòíî ñðàçó, ÷òî, ñòàðòîâàâ ñ îäíîòî÷å÷íîãî ìíîæåñòâà, ìû çà ÷åòûðå øàãà êàê ðàç è ïîëó÷èì øåñòíàäöàòü òî÷åê. ×òî æ, ïîëîæèì S1 = {(0;0 )} , ò.å. S1 ýòî ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå òîëüêî èç îäíîé òî÷êè íà÷àëà êîîðäèíàò (ðèñ.8,à). Ñäâèíåì ýòî ìíîæåñòâî íà âåêòîð (1; 8), ïîëó÷èòñÿ ìíîæåñòâî S2 = {(0;0 ), (1;8 )} , êîòîðîå ìû ñ ëåãêîñòüþ èçîáðàçèì íà ðèñóíêå 8,á. Òåïåðü S2 ìû ñäâèãàåì íà âåêòîð (17; 4). Èìååì ÏÐÎÄÎËÆÅÍÈÅ # ÈÑÒÎÐÈÈ Ðèñ. 9. Ìíîæåñòâî Õîðòîíà äëÿ k = 4 äåëàåòñÿ ïóòåì ñðàâíèòåëüíî íåõèòðîãî ïåðåáîðà. Ìû ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ñàìîìó ðàçîáðàòüñÿ â ýòîì. Áóäåò íå î÷åíü ëåãêî! Âîçìîæíî, ñëåäóþùèå èëëþñòðàöèè (ðèñ.10 è 11), ïîêàçûâàþùèå òèïè÷íûå 5-÷àøêè (âñåãäà íåïóñòûå), ñëåãêà ïîìîãóò ÷èòàòåëþ. Ðèñ. 10. 5-÷àøêà â ìíîæåñòâå S 4 S3 = S2 ∪ {(17;4 ), (18;12 )} . Ýòî ñâîåãî ðîäà «çìåéêà», ïîêàçàííàÿ â óìåíüøåííîì ïî îñè x ìàñøòàáå íà ðèñóíêå 8,â. Ðèñ. 11. 5-÷àøêè â ìíîæåñòâå S 5 Ðèñ. 8. Èòåðàòèâíîå ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà Õîðòîíà äëÿ k = = 1, 2, è 3 Äàëåå îñóùåñòâëÿåì ñäâèã âñåé çìåéêè íà âåêòîð (17 ; 2) = (289; 2) (ñîâñåì äàëåêî îò èñõîäíîé çìåéêè 2 ðàñïîëàãàåì åå êîïèþ). Îáðàçóåòñÿ ìíîæåñòâî S4 ñ ïðàâîé ÷àñòè ðèñóíêà 8,ã, êîòîðóþ ìû íàäëåæàùèì îáðàçîì ïðîìàñøòàáèðîâàëè â ñðàâíåíèè ñ äðóãèìè ÷àñòÿìè òîãî æå ðèñóíêà. Íàêîíåö, èç S4 ôîðìèðóåì S5 ïðè ïîìîùè ïåðåíîñà íà 173; 1 = (4913; 1) (ðèñ.9). Î÷åâèäíà çàêîíîìåð- ( ) íîñòü? Íó êîíå÷íî: 17 = 24 + 1 = 2k + 1 , 8 = 23 = 2k−1 , è î÷åðåäíîå ìíîæåñòâî ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî çà ( ) i 3−i , i = 0, 1, 2, 3. Ïðè ýòîì, ñ÷åò ñäâèãà íà 17 ;2 ðàçóìååòñÿ, S5 = 2k = 16 , ÷òî è òðåáîâàëîñü. ßñíî, ÷òî â S5 âåðòèêàëüíûõ îòðåçêîâ íåò. Îñòàåòñÿ óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî íåò â S5 è ïóñòûõ 5-÷àøåê ñ 5-êðûøêàìè. Ýòî 01-18.p65 15 Îáðàòèòå âíèìàíèå íà êëþ÷åâóþ èäåþ: âñÿêàÿ ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ äâå òî÷êè èç îäíîé ïîëîâèíêè ìíîæåñòâà Õîðòîí, îñòàâëÿåò äðóãóþ ïîëîâèíêó ïî îäíó îò ñåáÿ ñòîðîíó. Ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî k. Ïóñòü òåïåðü k êàêîå óãîäíî, áîëüøåå ÷åòûðåõ. Ïðîäåëàåì àáñîëþòíî òó æå ïðîöåäóðó, ÷òî è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå. À èìåííî, ïîëîæèì c = 2k + 1 (ýòî àíàëîã ñåìíàäöàòè) è ñòàðòóåì ñ S1 = {(0;0 )} . Ìíîæåñòâî S2 ìû ïîëó÷àåì, îáúåäèíÿÿ S1 ñî ñâîåé êîïèåé, âîçíèêàþùåé ïðè ñäâèãå S1 íà âåêòîð c0 ; 2k −1 = 1; 2k −1 (àíàëîã âåêòîðà (1; 8)). Ìíîæåñòâî S3 çàäàåòñÿ âåêòîðîì c1; 2k −2 (àíàëîã âåêòîðà (17; 4)). È òàê äàëåå. Ïîñëåäíåå ìíîæåñòâî èìååò íîìåð k + 1 , òàê ÷òî åãî ìîùíîñòü â êàê ðàç ñîâïàäàåò ñ hk = 2k , è îáðàçóåòñÿ îíî ïóòåì ïåðåíîñà ñâîåãî ïðåäøåñòâåííèêà ìíîæåñòâà Sk íà âåêòîð ck −1; 20 = ck −1; 1 (àíàëîã âåêòîðà 173; 1 ). Èíûìè ñëîâàìè, ìû ñíîâà îðãàíèçóåì èòåðàòèâíûé ïðîöåññ, â êîòîðîì íà êàæäîì øàãå ìû êîïèðóåì óæå èìåþùååñÿ ìíîæåñòâî, óíîñÿ åãî «äîñòàòî÷íî äàëåêî» îò èñõîäíèêà. ( ( ) ( ) ( ) 30.09.09, 16:30 ) ( ( ) ) $ ÊÂÀÍT 2009/¹5 Ïîíÿòíî, ÷òî âåðòèêàëüíûõ îòðåçêîâ â Sk +1 íåò. Ïðîâåðêó æå òîãî ôàêòà, ÷òî íåò òàì òàêæå íè ïóñòûõ 5÷àøåê, íè ïóñòûõ 5-êðûøåê, ìû ñíîâà ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ. Ýòî åùå òðóäíåå, ÷åì â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå; çàòî åñëè âû ðàçîáðàëèñü ñ k = 4 , òî è ïðî÷èå çíà÷åíèÿ k âàì áóäóò ïîäâëàñòíû. À ÷òî æå ñ øåñòèóãîëüíèêàìè? Ìåæäó ïðî÷èì, ïðî ñëó÷àé n = 6 ìû ïîêà ñîâñåì íå ãîâîðèëè. Ìû ñäåëàëè ýòî íàìåðåííî, ïîñêîëüêó ó ýòîãî ñëó÷àÿ âåñüìà èíòðèãóþùàÿ èñòîðèÿ, êîòîðàÿ çàñëóæèâàåò îòäåëüíîãî èçëîæåíèÿ.  òå÷åíèå äîâîëüíî äîëãîãî âðåìåíè ñ ìîìåíòà ïîñòàíîâêè íîâîé çàäà÷è (ò.å., íàïîìíèì, ñ 1978 ãîäà) î âåëè÷èíå h(6) íè÷åãî èçâåñòíî íå áûëî. Íèêòî íå çíàë äàæå, êîíå÷íà ëè îíà. Çà íåèìåíèåì ëó÷øåãî ñòàëè ïðèäóìûâàòü íèæíèå îöåíêè, õîòÿ âïîëíå ìîãëî ñòàòüñÿ, ÷òî h(6) íå ñóùåñòâóåò. Îöåíêà h (6 ) ≥ g (6 ) = 17 òðèâèàëüíà.  1985 ãîäó Ä.Ðàïïîïîðò ñ ïîìîùüþ Ðèñ. 12. Êîíñòðóêöèÿ Îâåðìàðñà äëÿ 29 òî÷åê êîìïüþòåðà ïîñòðîèë ïðèìåð èç äâàäÊîøåëåâà èõ 43, è ðàáîòà åãî çàíèìàåò áîëåå ïÿòèäåñÿöàòè òî÷åê íà ïëîñêîñòè, ñðåäè êîòîðûõ íå áûëî øåñòè òè æóðíàëüíûõ ñòðàíèö. âåðøèí âûïóêëîãî è ïóñòîãî øåñòèóãîëüíèêà.  1988 Çàìåòèì, ÷òî åñëè âåðíà ãèïîòåçà î ðàâåíñòâå ãîäó Ì.Îâåðìàðñ, Á.Øîëòåí è È.Âèíñåíò ïðèâåëè g (n ) = 2n −2 + 1 , òî h (6 ) ≤ g (8 ) = 65 . Ìû âåðèì â áîëåå àíàëîãè÷íûé êîìïüþòåðíûé ïðèìåð èç äâàäöàòè øåññèëüíûé ôàêò: òè òî÷åê.  2001 ãîäó âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà óñîâåðÃèïîòåçà. Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî h(6) = 30. øåíñòâîâàëàñü, Îâåðìàðñ âåðíóëñÿ ê çàäà÷å è ïðåäúÿÈíûìè ñëîâàìè, íèêàêèå âû÷èñëèòåëüíûå ìîùíîñòè âèë ïðèìåð óæå èç äâàäöàòè äåâÿòè òî÷åê. Ýòî òåêóùèé óæå íå ïîìîãóò, ïî-âèäèìîìó, óòî÷íèòü ðåçóëüòàò ðåêîðä, è îí èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 12 (â ïðàâîé Îâåðìàðñà. êîëîíêå êîîðäèíàòû òî÷åê). Òîëüêî â 2006 ãîäó ñòàëî ÿñíî, ÷òî óñèëèÿ Îâåðìàðñà Ðàçëè÷íûå îáîáùåíèÿ çàäà÷ íå áûëè íàïðàñíûìè: Ò.Ãåðêåí äîêàçàë, ÷òî h (6 ) ≤ g (9 ) . Íåçàâèñèìî îò íåãî â òîì æå ãîäó Ê.ÍèÏî÷òè ïóñòûå ìíîãîóãîëüíèêè êîëàñ óñòàíîâèë íåðàâåíñòâî h (6 ) ≤ g (25 ) , êîòîðîå, Êîëü ñêîðî ìû çíàåì, ÷òî çàäà÷à î âåëè÷èíå h(n) êîíå÷íî, íàìíîãî õóæå ãåðêåíîâñêîãî. Îñíîâûâàÿñü íà ñîäåðæàòåëüíà, îñìûñëåííî ðàññìîòðåòü åå îáîáùåèäåÿõ Ãåðêåíà, Ï.Âàëüòð äàë çíà÷èòåëüíî áîëåå êîðîòíèå, ïðè êîòîðîì èùåòñÿ íå ïóñòîé ìíîãîóãîëüíèê, à êîå äîêàçàòåëüñòâî îöåíêè h (6 ) ≤ g (15 ) .  ëþáîì ìíîãîóãîëüíèê ñ íå áîëåå k òî÷êàìè èñõîäíîãî ìíîæåñëó÷àå ïîëó÷àëîñü, ÷òî çàâåäîìî ñòâà âíóòðè. Ñîîòâåòñòâóþùóþ ãðàíè÷íóþ âåëè÷èíó ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü h(n, k) . Òóò èìååòñÿ ãðîìàäíîå h (6 ) ≤ g (9 ) ≤ C29⋅−92−5 + 1 = 1717 . ïîëå äëÿ èññëåäîâàíèé, òàê êàê ïðî h(n, k) èçâåñòíî Ñïóñòÿ ãîä Â.Êîøåëåâ (îäèí èç àâòîðîâ ýòîé ñòàòüè) äîâîëüíî ìàëî. Ìû ïåðå÷èñëèì çäåñü ïðàêòè÷åñêè âñå çàèíòåðåñîâàëñÿ çàäà÷åé, è åìó óäàëîñü åùå ïðîäâèêîãäà-ëèáî ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû. íóòüñÿ â íåé. Ñåé÷àñ, áëàãîäàðÿ Êîøåëåâó è ÎâåðìàðÂî-ïåðâûõ, ñó, ìû èìååì öåïî÷êó íåðàâåíñòâ h (3, k ) = 3 , h (4, k ) = 5 , h (5,0 ) = 10 , h (5, ≥ 1) = 9 . 30 ≤ h (6 ) ≤ g (8 ) ≤ C28⋅−82−5 + 1 = 463 . Âî-âòîðûõ, ïîíÿòíî, ÷òî Òåõíèêà äîêàçàòåëüñòâ, êîòîðóþ èñïîëüçóþò è Ãåðh ( n ) = h ( n,0 ) ≥ h ( n,1) ≥ h (n,2 ) ≥ … êåí, è Íèêîëàñ, è Âàëüòð, è Êîøåëåâ, î÷åíü ïîõîæà íà òó, êîòîðóþ ìû ïðèìåíÿëè â ðàçäåëå «À ÷òî ñ ïÿòèÑ äðóãîé ñòîðîíû, â íåêîòîðûé ìîìåíò ïîñëåäîâàóãîëüíèêàìè?» ñòàòüè [1]. Òàì ðå÷ü øëà î âëîæåííûõ òåëüíîñòü çàâåäîìî ïåðåñòàåò óáûâàòü, à èìåííî, äëÿ äðóã â äðóãà âûïóêëûõ îáîëî÷êàõ è ïåðåáèðàëèñü âñåõ k, íà÷èíàÿ ñ îïðåäåëåííîãî k′ = k′ (n ) , h (n, k ) = g (n ) . Èíûìè ñëîâàìè, åñëè âûïóêëûé nðàçëè÷íûå ñëó÷àè èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ. Íà ñåé ðàç ýòèõ ñëó÷àåâ ãîðàçäî áîëüøå: äëÿ ïðèìåðà, ó óãîëüíèê â ìíîæåñòâå åñòü, òî â íåì íå ñëèøêîì ìíîãî 01-18.p65 16 30.09.09, 16:30 ÇÀÄÀ×À ÝÐÄÅØÀ ÑÅÊÅÐÅØÀ: òî÷åê ìíîæåñòâà. Î÷åâèäíî, ÷òî k′ (n ) ≤ g (n ) − n , îäíàêî òî÷íûå çíà÷åíèÿ äëÿ k′ äåëî áóäóùåãî. Äàëåå, åñëè, íàîáîðîò, ôèêñèðîâàòü k è óâåëè÷èâàòü n, òî â êàêîé-òî ìîìåíò ñðàáîòàåò êîíñòðóêöèÿ òèïà õîðòîíîâñêîé è âåëè÷èíà h (n, k ) îáðàòèòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü. Îïÿòü æå, âîïðîñ ïîèñêà ýòîãî ìîìåíòà íåïðîñòàÿ çàäà÷à äëÿ èññëåäîâàòåëÿ! Âîò h (7,0 ) = ∞ , à ïðî h (7,1) ìû íè÷åãî íå çíàåì; h (8,1) = ∞ , à ÷òî ñ h (8,2 ) , íå ÿñíî; h (9,2 ) = ∞ , íî êîíå÷íà ëè âåëè÷èíà h (9,3 ) ïîêà âîïðîñ; è òàê äàëåå: íå ñóùåñòâóþò h (10,3 ), h (11,6 ), h (12,9 ), h (13,12 ), h (14,15 ), h (15,22 ), h (16,29 ), h (17,36 ), … Çàìåòèì, ÷òî âåñü ïåðå÷åíü ïîäîáíûõ ðåçóëüòàòîâ ñîäåðæèòñÿ â ðàáîòå Áë.Ñåíäîâà [3]. Íà ñàìîì äåëå, ñ ðîñòîì n âåëè÷èíà k, ïðè êîòîðîé, ïî Ñåíäîâó, h (n, k ) çàâåäîìî íå ñóùåñòâóåò, âåäåò ñåáÿ n ïðèìåðíî òàê æå, êàê 4 2 . Ñîâñåì íåäàâíî Êîøåëåâ ñóìåë çàìåíèòü óïîìÿíóòóþ ôóíêöèþ íà çíà÷èòåëüíî áîëüøóþ (áëèçêóþ ê 2n ).  ðåçóëüòàòå íå ñóùåñòâóþò ( ) h (12,11), h (13,19 ), h (14,39 ), h (15,69 ), h (16,139 ), h (17,251), … Çàìåòèì íàïîñëåäîê, ÷òî çàâåäîìî h (6,1) ≤ g (7 ) è ÷òî, ïî-âèäèìîìó, h (6,1) = g (6 ) = 17 . Òðåõìåðíûé àíàëîã g (n) Äî ñèõ ïîð ìû «æèëè» íà ïëîñêîñòè, è, êàê âèäíî, òàêàÿ æèçíü óæå èçîáèëîâàëà âñÿ÷åñêèìè òðóäíîñòÿìè. Èìåÿ æåëàíèå åùå óñëîæíèòü ñåáå ñóùåñòâîâàíèå, ìîæíî ïîïðîáîâàòü âûéòè â ïðîñòðàíñòâî. Òóò åñòü îäíà âàæíàÿ òîíêîñòü: à ÷òî òåïåðü ìû áóäåì ðàçóìåòü ïîä îáùíîñòüþ ïîëîæåíèÿ? Ïîíÿòíî, ÷òî íèêàêèå òðè òî÷êè ïî-ïðåæíåìó íå äîëæíû ïîïàäàòü íà îäíó ïðÿìóþ. Íî îáû÷íî çàìå÷àþò áîëüøåå: ëþáûå òðè òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå ïîðîæäàþò ïëîñêîñòü, òàê äàâàéòå ñ÷èòàòü, ÷òî íèêàêèå ÷åòûðå òî÷êè íàøåãî ìíîæåñòâà íå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Âìåñòî âûïóêëûõ n-óãîëüíèêîâ áóäåì èñêàòü îòíûíå âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè ñ n âåðøèíàìè. Ñîîòâåòñòâóþùóþ ïîãðàíè÷íóþ âåëè÷èíó íàçîâåì g3 (n ) , ïîä÷åðêèâàÿ, òåì ñàìûì, ÷òî òåïåðü ó íàñ òðè, à íå äâà èçìåðåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî â ýòîé ñâÿçè âåëè÷èíó g (n ) ÷àñòî îáîçíà÷àþò g2 ( n ) . Âåëè÷èíà g3 ( n ) êîíå÷íà âñåãäà, ïîäîáíî ñâîåìó «ïëîñêîìó» àíàëîãó. Áîëåå òîãî, g3 (n ) ≤ g2 (n ) . Ïîêàæèòå ýòî! (Ïîäñêàçêà: èñïîëüçóéòå ïðîåêöèè ìíîãîãðàííèêîâ íà ïëîñêîñòü.) Òóò òàêæå èìåþòñÿ ñïåöèôè÷åñêèå îöåíêè. Íàïðèìåð, g3 (n ) ≤ C2nn−−37 + 3 . Êðîìå òîãî, g3 (4 ) = 4, g3 (5 ) = 6, g3 (6 ) = 9 . Ðàçóìååòñÿ, è òóò íåïî÷àòûé êðàé äàëüíåéøåé ðàáîòû. À âåäü áûâàþò æå åùå ìíîãîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà... Òðåõìåðíûé àíàëîã h (n) Íó, òóò óæå âñå ÿñíî. Ïðàâäà, îò÷åãî áû íàì íå ðàññìîòðåòü è h3 (n ) ? 01-18.p65 17 ÏÐÎÄÎËÆÅÍÈÅ ÈÑÒÎÐÈÈ % Ðåçóëüòàòîâ, êîíå÷íî, åùå ìåíüøå äåë íà áóäóùåå íåâïðîâîðîò. Ïðèíöèïèàëüíî èçâåñòíî ëèøü, ÷òî h3 (n ) ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ n ≤ 7 (íàïðèìåð, h3 (4 ) = 4 , h3 (5 ) = 6 , h3 (6 ) = 9 ) è íå ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ n ≥ 22 . À ïðè n ∈ {8,…,21} âàøà, ÷èòàòåëè, âîò÷èíà. Êàæäûé íîâûé ôàêò öåíåí. Î ìèíèìàëüíîì ÷èñëå âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ Äàâàéòå íàïîñëåäîê ñïóñòèìñÿ ñ íåáåñ íà çåìëþ (ò.å. âåðíåìñÿ íà ïëîñêîñòü) è îáñóäèì åùå îäèí êðàñèâûé âîïðîñ, ñâÿçàííûé ñ çàäà÷åé Ýðäåøà Ñåêåðåøà. Äåéñòâèòåëüíî, ìû çíàåì, ÷òî â êàæäîì ìíîæåñòâå : èç x ≥ g (n ) òî÷åê åñòü n âåðøèí âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà. Åñëè ñàìî ìíîæåñòâî : ïîðîæäàåò âûïóêëûé x-óãîëüíèê, òî â íåì, êîíå÷íî, áóäåò ìàññà èíòåðåñóþùèõ íàñ îáúåêòîâ Cxn øòóê. À êàêîâî, ñïðàøèâàåòñÿ, ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî âûïóêëûõ n-óãîëüíèêîâ â ìíîæåñòâå èç x òî÷åê íà ïëîñêîñòè? Ýòî êîëè÷åñòâî ìû îáîçíà÷èì G (n, x ) . Ïî àíàëîãèè ââåäåì è âåëè÷èíó H (n, x ) , ðàâíóþ íàèìåíüøåìó êîëè÷åñòâó âûïóêëûõ è ïóñòûõ n-óãîëüíèêîâ â ìíîæåñòâå èç x òî÷åê íà ïëîñêîñòè.  íåêîòîðîì ñìûñëå âåëè÷èíà H (n, x ) èçó÷åíà ëó÷øå âåëè÷èíû G (n, x ) . Ýòî ñâÿçàíî õîòÿ áû ñ òåì, ÷òî óæå h(7) íå ñóùåñòâóåò, è ìíîãîîáðàçèå ïîòåíöèàëüíûõ ñèòóàöèé â ðåçóëüòàòå íå ñòîëü âåëèêî. Ïîñåìó ìû ëèøü îáñóäèì çäåñü ïîâåäåíèå H (n, x ) . Íà÷íåì ñ n = 3. Ñåé÷àñ èçâåñòíî, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî c > 0 x2 − cx ln x ≤ H (3, x ) ≤ 3771 2 x . 2240 Íàèáîëåå ëþáîïûòíà, âïðî÷åì, ÷óòü áîëåå ñëàáàÿ âåðõíÿÿ îöåíêà H (3, x ) ≤ 3x2 , ïîëó÷åííàÿ ñ ïîìîùüþ âåðîÿòíîñòíîé êîíñòðóêöèè. Ðàññìàòðèâàåòñÿ «ðàñ÷åñêà», èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 13.  íåé x çóáöîâ äëèíû 1, è ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñîñåäíèìè çóáöàìè ðàâíû åäèíèöå. Ñ êàæäîãî çóáöà áåðåòñÿ «ñëó÷àéíàÿ» òî÷êà. Ïîëó÷àåòñÿ ñëó÷àéíîå ìíîæåñòâî : ìîùíîñòè x. Ìåòîäàìè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ìîæíî ñòðîãî ïîêàçàòü, ÷òî ñ ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ íàøå ìíîæåñòâî ñîäåðæèò íå áîëüøå 3x2 ïóñòûõ òðåóãîëüíèêîâ, à ñòàëî áûòü, ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ñ íå áîëåå Ðèñ. 13. Ðàñ÷åñêà 3x2 ïóñòûìè òðåóãîëüíèêàìè.  ïîñëåäíåì «ñòàëî áûòü» çàêëþ÷åíà ãëóáîêàÿ ôèëîñîôèÿ âåðîÿòíîñòíîãî ìåòîäà â êîìáèíàòîðèêå (ñì., íàïðèìåð, [4]). Óïîìÿíóòûå âûøå ìåòîäû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íå âïîëíå ýëåìåíòàðíû, è ñòðîãîãî ðàññóæäåíèÿ ìû òóò íå ïðèâåäåì. Îäíàêî ñîçäàòü ïðåäñòàâëåíèå î âåðîÿòíîñòíîé òåõíîëîãèè ïîïûòàåìñÿ. Èòàê, ïðåäñòàâèì ñåáå ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò (æåëàþùèå ìîãóò ïîïðîáîâàòü ñìîäåëèðîâàòü åãî íà êîìïüþòåðå). Ïîëîæèì x = 1000 è ðàññìîòðèì íàøó ðàñ÷åñêó. Âîçüìåì â ðóêó èãîëêó è ñòàíåì íàóãàä òûêàòü åþ â ïîñëåäîâàòåëüíûå çóáöû, êàæäûé ðàç îòìå÷àÿ òî÷êó, â êîòîðóþ âîòêíóëàñü èãîëêà. Âîçíèêíóò òî÷êè a1,…, a1000 . Ïîãëÿäèì íà âñå òðåóãîëüíèêè, 30.09.09, 16:30 & ÊÂÀÍT 2009/¹5 îáðàçîâàííûå ýòèìè òî÷êàìè, è ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêî ñðåäè íèõ ÿâëÿþòñÿ ïóñòûìè. Îáîçíà÷èì íàéäåííóþ âåëè÷èíó ÷åðåç t1 . Ïðîäåëàåì àíàëîãè÷íóþ ïðîöåäóðó åùå 999 ðàç, òàê ÷òî â èòîãå ó íàñ áóäåò 1000 ÷èñåë t1,…,t1000 . Íàéäåì èõ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå t. Ñêîðåå âñåãî, ó íàñ ïîëó÷èòñÿ t ≤ 3 ⋅ 106 . Ïî÷åìó? Íó, ýòîòî êàê ðàç è äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ «íå âïîëíå ýëåìåíòàðíûõ» ìåòîäîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Âîò ïðîâåäèòå ýêñïåðèìåíò è óâèäèòå! Äàëåå, âñå òî æå ñàìîå îñóùåñòâèì äëÿ x = 2000, 3000, , 10000. Ïî÷òè íàâåðíÿêà âñÿêèé ðàç áóäåò âûõîäèòü, ÷òî t ≤ 3x 2 . Îïèñàííûé ýêñïåðèìåíò (êîëü ñêîðî â íåì íå íàðóøèòñÿ îáåùàííàÿ îöåíêà) äàåò óâåðåííîñòü â òîì, ÷òî «ñðåäíåå ÷èñëî» ïóñòûõ òðåóãîëüíèêîâ â ñëó÷àéíîì ìíîæåñòâå : ðàçìåðà x íà ðàñ÷åñêå íå ïðåâîñõîäèò 3x2 . Åñëè âëîæèòü â ïîíÿòèå ñðåäíåãî ñòðîãèé ìàòåìàòè÷åñêèé ñìûñë, òî óæå áåçî âñÿêîãî ýêñïåðèìåíòà ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî â ñðåäíåì ó ñëó÷àéíîé êîíôèãóðàöèè òî÷åê íà ðàñ÷åñêå çàâåäîìî íå áîëüøå 3x2 ïóñòûõ òðåóãîëüíèêîâ. Íî òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî ó íåêîòîðîé êîíêðåòíîé êîíôèãóðàöèè òàêæå íå áîëüøå 3x2 ïóñòûõ òðåóãîëüíèêîâ. Âîò è âñå. Êñòàòè, ýêñïåðèìåíò ýòî îòëè÷íûé ñïîñîá ïîäáèðàòü íàèáîëåå ïîäõîäÿùóþ êîíñòðóêöèþ òèïà ðàñ÷åñêè, ñòàðòóÿ ñ êîòîðîé ìîæíî ïîëó÷àòü îöåíêè äëÿ H (3, x ) è ïð. Ïðèâåäåì åùå íåñêîëüêî ðåçóëüòàòîâ î âåëè÷èíàõ H (n, x ) : äëÿ íåêîòîðîãî c1 > 0 1 2 976 2 x − c1x ≤ H (4, x ) ≤ x ; 4 448 393 2 x − 4 6 ≤ H (5, x ) ≤ 320 x ; 666 2 x . 2240 Ïîñëåäíÿÿ íèæíÿÿ îöåíêà òàêàÿ ñòðàííàÿ ïî òîé ïðîñòîé ïðè÷èíå, ÷òî, êàê ìû ïîìíèì, ëèøü ñîâñåì íåäàâíî áûëî äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå h (6 ) : åñëè áû ýòî áûëî íå òàê, òî H (6, x ) ðàâíÿëàñü áû íóëþ. Èìåííî ýòî è ïðîèñõîäèò c H (n, x ) ïðè n ≥ 7 . 0 < H (6, x ) ≤ Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 1. Â.Êîøåëåâ, À.Ðàéãîðîäñêèé. Çàäà÷à Ýðäåøà Ñåêåðåøà î âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêàõ. «Êâàíò», ¹2, 2009. 2. P.Erdös, G.Szekeres. A combinatorial problem in geometry. Compositio Math., 2 (1935), 463470. 3. Áë.Ñåíäîâ. Îáÿçàòåëüíûå êîíôèãóðàöèè òî÷åê íà ïëîñêîñòè. «Ôóíäàìåíòàëüíàÿ è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà», 1 (1995), 2, 491516. 4. À.Ì.Ðàéãîðîäñêèé. Âåðîÿòíîñòü è àëãåáðà â êîìáèíàòîðèêå. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2008. 5.Â.Êîøåëåâ. Çàäà÷à Ýðäåøà Ñåêåðåøà î ïóñòûõ øåñòèóãîëüíèêàõ íà ïëîñêîñòè. «Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì», ò. 16 (2009), ¹2, 2173. ÊÎËËÅÊÖÈß ÃÎËÎÂÎËÎÌÎÊ ÁÐÓÑÎ×ÊÈ (Íà÷àëî ñì. íà 2-é ñòðàíèöå îáëîæêè) Ïðèíöèï óñòðîéñòâà òàêèõ ãîëîâîëîìîê î÷åíü ïðîñòîé: â ïðÿìîóãîëüíîé êîðîáêå ëåæàò äåðåâÿííûå áðóñî÷êè ðàçíîé ôîðìû, èõ ìîæíî ïåðåäâèãàòü, íî íåëüçÿ âûíèìàòü è ïåðåêëàäûâàòü. (Ïî-âèäèìîìó, «êëîöêè» áûëè ñâîåîáðàçíîé âàðèàöèåé çíàìåíèòîé «Èãðû â 15».) Çàäà÷à â òîì, ÷òîáû èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ ïîëó÷èòü äðóãóþ (êîíêðåòíóþ) ðàññòàíîâêó ýòèõ áðóñî÷êîâ. Èíîãäà òðåáóåòñÿ, ÷òîáû òîëüêî îäèí áðóñî÷åê çàíÿë îïðåäåëåííóþ ïîçèöèþ, à èíîãäà ÷òîáû âñå. Ìîæíî óñëîæíèòü çàäà÷ó: äîáèòüñÿ öåëè çà ìèíèìàëüíîå ÷èñëî õîäîâ èëè çà îãðàíè÷åííîå âðåìÿ. Êàê ïðàâèëî, ïîäîáíûå ãîëîâîëîìêè äîâîëüíî òðóäíû, è ïîèñê ðåøåíèÿ ìîæåò ïîòðåáîâàòü íåìàëûõ óñèëèé. Íàïðèìåð, èçâåñòíî, ÷òî íåâîçìîæíî ðåøèòü ÷åìïèîíñêóþ ãîëîâîëîìÐèñ. 1 01-18.p65 18 êó (ðèñ. 1) ìåíåå, ÷åì çà 59 õîäîâ. Èãðà áûñòðî îáðåëà èçâåñòíîñòü è ïîïóëÿðíîñòü, ñòàëè ïîÿâëÿòüñÿ åå ìíîãî÷èñëåííûå ìîäèôèêàöèè. Íà ðèñóíêå 2 ïîêàçàíî äðóãîå íà÷àëüíîå ðàñïîëîæåíèå áðóñî÷êîâ. Çäåñü íóæíî ïåðåäâèíóòü áîëüøîé êâàäðàò íà ìåñòî ÷åòûðåõ ìàëåíüêèõ êâàäðàòèêîâ. Èíòåðåñíî, ÷òî âïåðâûå êðàò÷àéøåå Ðèñ. 2 ðåøåíèå çà 81 õîä îïóáëèêîâàë Ìàðòèí Ãàðäíåð â 1964 ãîäó. Èçãîòîâèòü ãîëîâîëîìêó ñ áðóñî÷êàìè íåñëîæíî è â äîìàøíèõ óñëîâèÿõ. Ñêëåéòå êîðîáêó ñ äíîì â ôîðìå ïðÿìîóãîëüíèêà ðàçìåðîì 4 ¥ 5 , âûðåæüòå èç áóìàãè èëè ôàíåðû áðóñî÷êè ðàçìåðîì 1 ¥ 1 , 1 ¥ 2 è 2 ¥ 2 . Ðåêîìåíäóåòñÿ äåëàòü êîðîáêó äëÿ áðóñî÷êîâ ñ íåáîëüøèì ïðèïóñêîì, ÷òîáû èõ áûëî ëåãêî ïåðåäâèãàòü. Ìîæíî ñäåëàòü è ïîïûòàòüñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ðåøèòü îäíó èç ïðèâåäåííûõ ãîëîâîëîìîê, à ìîæíî ïðèäóìàòü è ÷òî-òî íîâîå. Å.Åïèôàíîâ 30.09.09, 16:30 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ» Çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå. Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü íå ïîçäíåå 1 ÿíâàðÿ 2010 ãîäà ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå «Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹52009» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå, íàïðèìåð «Ì2146» èëè «Ô2153».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî.  ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå ìîæíî ïðèñûëàòü òàêæå ïî ýëåêòðîííûì àäðåñàì math@kvant.info è phys@kvant.info ñîîòâåòñòâåííî. Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).  íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü. Çàäà÷è Ì2149 è Ì2150 ïðåäëàãàëèñü íà Ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå èìåíè Ëåîíàðäà Ýéëåðà. Çàäà÷è Ì2146Ì2153, Ô2153Ô2159 M2146. Íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè íàðèñîâàëè 2008 ãðàôèêîâ êâàäðàòíûõ òðåõ÷ëåíîâ. Ìîæåò ëè îêàçàòüñÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî èç íèõ ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ, èìåþùàÿ îáùèå òî÷êè ñ ëþáûì ãðàôèêîì, êðîìå íåãî? Í.Àãàõàíîâ, È.Áîãäàíîâ M2147.  êàæäîé êëåòêå áåñêîíå÷íîé êëåò÷àòîé ïëîñêîñòè çàïèñàíî äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî òàê, ÷òî âñå áåñêîíå÷íûå â îáå ñòîðîíû ãîðèçîíòàëüíûå è âåðòèêàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷èñåë ïåðèîäè÷åñêèå. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ãîðèçîíòàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñ ðàçëè÷íûìè íàèìåíüøèìè ïåðèîäàìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íàéäåòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî âåðòèêàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñ ðàçëè÷íûìè íàèìåíüøèìè ïåðèîäàìè. Å.Çíàê M2148. Ïî êðóãó âûïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 3, , 100 â íåêîòîðîì ïîðÿäêå. Ïåòÿ âû÷èñëèë 100 ñóìì âñåõ òðîåê ñîñåäíèõ ÷èñåë è íàïèñàë íà äîñêå íàèìåíüøóþ èç ýòèõ ñóìì. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ìîãëî áûòü íàïèñàíî íà äîñêå? Ï.Êîæåâíèêîâ M2149.  òðåóãîëüíèêå ABC ñòîðîíû AB è BC ðàâíû. Òî÷êà D âíóòðè òðåóãîëüíèêà òàêîâà, ÷òî ∠ADC = 2∠ABC . Äîêàæèòå, ÷òî óäâîåííîå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè B äî âíåøíåé áèññåêòðèñû óãëà ADC ðàâíî AD + DC. Ñ.Áåðëîâ M2150.  ñòðàíå Ëåîíàðäèè âñå äîðîãè ñ îäíîñòîðîííèì äâèæåíèåì. Êàæäàÿ äîðîãà ñîåäèíÿåò äâà ãîðîäà è íå ïðîõîäèò ÷åðåç äðóãèå ãîðîäà. Äåïàðòàìåíò ñòàòèñòèêè âû÷èñëèë äëÿ êàæäîãî ãîðîäà ñóììàðíîå ÷èñëî 19-31.p65 19 æèòåëåé â ãîðîäàõ, îòêóäà â íåãî âåäóò äîðîãè, è ñóììàðíîå ÷èñëî æèòåëåé â ãîðîäàõ, êóäà âåäóò äîðîãè èç íåãî. Äîêàæèòå, ÷òî õîòÿ áû äëÿ îäíîãî ãîðîäà ïåðâîå ÷èñëî îêàçàëîñü íå ìåíüøå âòîðîãî. Í.Ãðàâèí M2151. ×èñëîâîé òðåóãîëüíèê 1 1 1 2 1 3 1 2 1 1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1 … ñîñòàâëåí ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó.  ïåðâîé ñòðîêå îäíî ÷èñëî, ðàâíîå 1.  k-é ñòðîêå (k = 2, 3, ) çàïèñûâàåòñÿ 2k 1 ÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ ðàâíî ñóììå òðåõ ÷èñåë: ÷èñëà, ñòîÿùåãî íàä íèì, è äâóõ åãî ñîñåäåé â ïðåäûäóùåé ñòðîêå (åñëè íåêîòîðûõ èç òàêèõ òðåõ ÷èñåë íåò, òî îíè ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè 0). Äîêàæèòå, ÷òî â ñðåäíåì ñòîëáöå íå âñòðåòèòñÿ ÷èñåë, äàþùèõ îñòàòîê 2 ïðè äåëåíèè íà 3. Ê.Êàèáõàíîâ M2152*. Ïàðà ( p, q ) ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ ÷èñåë íàçûâàåòñÿ îñîáîé, åñëè ñóùåñòâóåò a, ïðåäñòàâèìîå â âèäå a = x p + y p = zq + t q äëÿ íåêîòîðûõ íàòóðàëüíûõ x, y, z, t, íî íå ïðåäñòàâèìîå â âèäå u pq + v pq , ãäå u è v íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå ïðîñòîå ÷èñëî p âõîäèò â áåñêîíå÷íîå ÷èñëî îñîáûõ ïàð. Â.Ñåíäåðîâ M2153*. Ñóììà òåëåñíûõ óãëîâ ïðè âåðøèíàõ âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà ðàâíà π . Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò çàìêíóòûé ìàðøðóò ïî åãî ðåáðàì, ïðîõîäÿùèé 30.09.09, 16:33 ÊÂÀÍT 2009/¹5 ÷åðåç êàæäóþ åãî âåðøèíó ðîâíî îäèí ðàç. (Òåëåñíûé óãîë èçìåðÿåòñÿ ïëîùàäüþ ôèãóðû, âûñåêàåìîé ñîîòâåòñòâóþùèì ìíîãîãðàííûì óãëîì íà åäèíè÷íîé ñôåðå. Ïëîùàäü âñåé åäèíè÷íîé ñôåðû ðàâíà 4π .) È.Áîãäàíîâ Ô2153. Ïî ïðÿìîé äîðîãå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v0 áåæèò êðîëèê. Íà ðàññòîÿíèè L îò äîðîãè íàõîäèòñÿ ëèñà.  òîò ìîìåíò, êîãäà êðîëèê îêàçûâàåòñÿ áëèæå âñåãî ê ëèñå, îíà åãî çàìå÷àåò è áðîñàåòñÿ â ïîãîíþ. Ñêîðîñòü ëèñû òàêàÿ æå, êàê ó êðîëèêà, íî ëèñà áåæèò ñ «óïðåæäåíèåì» âåêòîð ñêîðîñòè ëèñû íàïðàâëåí âñå âðåìÿ â òî÷êó, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ âïåðåäè êðîëèêà íà ðàññòîÿíèè d îò íåãî. Íàéäèòå ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ó÷àñòíèêàìè çàáåãà. Ç.Ðàôàèëîâ Ô2159. Ýêðàí îñâåùåí óäàëåííûì èñòî÷íèêîì ñâåòà. Íà ïóòè ñâåòîâîãî ïó÷êà ðàñïîëàãàþò ëèíçó, ñêëååííóþ èç äâóõ ïëîñêîâûïóêëûõ ñòåêëÿííûõ ëèíç. Äèàìåòð ïåðâîé ëèíçû D1 = 5 ñì, åå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F1 = 20 ñì, äèàìåòð âòîðîé ëèíçû D2 = 1 ñì, åå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F2 = 10 ñì. Ëèíçû ñêëååíû ïëîñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè, ïëîñêîñòü ñêëåéêè ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè ýêðàíà, ãëàâíûå îïòè÷åñêèå îñè ëèíç ñîâïàäàþò. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò ýêðàíà íóæíî ðàñïîëîæèòü ýòó ëèíçó, ÷òîáû íà ýêðàíå ïîëó÷èëîñü ÿðêîå ïÿòíî ìèíèìàëüíîãî äèàìåòðà? Âî ñêîëüêî ðàç îñâåùåííîñòü â öåíòðå ýòîãî ïÿòíà áîëüøå îñâåùåííîñòè ýêðàíà áåç ëèíçû? Ç.Ðàôàèëîâ Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2124Ì2130, Ô2138Ô2144 Ô2154. Íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå ïîêîèòñÿ ìîíåòà, äðóãàÿ òàêàÿ æå ìîíåòà ñêîëüçèò ïî ñòîëó. Ïîñëå àáñîëþòíî óïðóãîãî óäàðà ñêîðîñòè ìîíåò îêàçàëèñü îäèíàêîâûìè ïî âåëè÷èíå. Íàéäèòå óãîë ðàçëåòà ìîíåò. À.Ïðîñòîâ M2124. Ïóñòü n ≥ 3 íàòóðàëüíîå ÷èñëî, a x1, x2,…, xn ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå ðàâåíñòâàì Ô2155. Ìîëü ãåëèÿ íàõîäèòñÿ â ñîñóäå ïîä ïîðøíåì ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ. Ñ ãàçîì ïðîâîäÿò çàìêíóòûé ïðîöåññ.  ïåðâîé ÷àñòè ïðîöåññà ãàç ðàñøèðÿåòñÿ, ïðè ýòîì òåïëîåìêîñòü åãî îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé è ðàâíîé Ñ = 100 Äæ/Ê, çàòåì ãàç îõëàæäàþò äî íà÷àëüíîé òåìïåðàòóðû ïðè íåèçìåííîì îáúåìå è, íàêîíåö, èçîòåðìè÷åñêè ñæèìàþò äî íà÷àëüíîãî îáúåìà.  ïåðâîé ÷àñòè ïðîöåññà ãàç ïîëó÷èë êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q = 1 Äæ. Íàéäèòå ðàáîòó ãàçà â ýòîì ïðîöåññå. À.Òåïëîâ Ïðè êàêèõ n ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ÷èñëà x1, x2,…, xn ðàâíû? Ô2156. Ïðîèçâîäÿò ðàñ÷åò «àòîìà âîäîðîäà», â êîòîðîì ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîòîíîì è ýëåêòðîíîì ñîñòàâëÿåò d = 1 ìêì, à ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå â 3 ðàçà áîëüøå. Êàêîé áóäåò ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ýëåêòðîíà â òàêîì «àòîìå»? Ð.Àëåêñàíäðîâ Ô2157. Êîàêñèàëüíûé êàáåëü ñîñòîèò èç öåíòðàëüíîé æèëû äèàìåòðîì d = 1 ìì è ïðîâîäÿùåé îïëåòêè äèàìåòðîì D = 5 ìì. Ïðîñòðàíñòâî ìåæäó æèëîé è îïëåòêîé çàïîëíåíî äèýëåêòðèêîì ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ε = 3 . Íàéäèòå åìêîñòü è èíäóêòèâíîñòü â ðàñ÷åòå íà 1 ì òàêîãî êàáåëÿ, à òàêæå âåëè÷èíó âîëíîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ïðè ïîäêëþ÷åíèè ðåçèñòîðà òàêîé âåëè÷èíû ê êîíöó êóñêà êàáåëÿ íå ïðîèñõîäèò îòðàæåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, áåãóùåé âäîëü íåãî. À.Ñëîæíîâ Ô2158. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ C = 10 ìêÔ, êàòóøêà èíäóêòèâíîñòüþ L = 1 Ãí è ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R = 300 Îì ñîåäèíåíû «çâåçäîé», à ñâîáîäíûå âûâîäû ïîäêëþ÷åíû ê òðåì ôàçàì ñåòè íàïðÿæåíèåì U = 220 è ÷àñòîòîé f = 50 Ãö. Íàéäèòå íàïðÿæåíèå â îáùåé òî÷êå ýëåìåíòîâ ïî îòíîøåíèþ ê «íóëåâîìó» ïðîâîäó. À.Çèëüáåðìàí 19-31.p65 20 x12 − x1x2 + x22 = x22 − x2 x3 + x32 = … … = xn2−1 − xn −1xn + xn2 = xn2 − xn x1 + x12 . Îòâåò: â òî÷íîñòè ïðè íå÷åòíûõ n. Åñëè n ÷åòíî, òî íàáîð x1 = a, x2 = b, x3 = a, x4 = b,... , xn −1 = a , xn = b óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ïðè ëþáûõ a è b. Çàìåòèì, ÷òî âîçìîæíû è äðóãèå íàáîðû: íàïðèìåð, ïðè n = 4 óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿåò íàáîð x1 = b + c, x2 = b, x3 = b + c, x4 = c, ãäå b è c ëþáûå ÷èñëà. Ïóñòü òåïåðü n íå÷åòíî. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x1 íàèáîëüøåå (èëè îäíî èç íàèáîëüøèõ) ñðåäè äàííûõ ÷èñåë. Òîãäà èç ðàâåíñòâà x12 − x1x2 + x22 = x22 − x2 x3 + x32 ñëåäóåò x12 − x32 − x1x2 + x2 x3 = 0 ⇔ ⇔ ( x1 − x3 ) ( x1 + x3 ) − x2 ( x1 − x3 ) = 0 ⇔ ⇔ ( x1 − x3 )( x1 + x3 − x2 ) = 0 .  ñèëó âûáîðà ÷èñëà x1 èìååì x1 ≥ x2 ; ïîýòîìó x1 − x2 ≥ 0 , çíà÷èò, x1 + x3 − x2 > 0 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x1 − x3 = 0 , ò.å. x3 = x1 , è x3 òàêæå îäíî èç íàèáîëüøèõ ñðåäè äàííûõ ÷èñåë. Ðàññóæäàÿ äàëåå òàêèì æå îáðàçîì, ïîëó÷àåì x5 = x3 , x7 = x5 , ..., xn = xn −2 , x2 = xn , x4 = x2 , , xn −1 = xn −3 . Òàêèì îáðàçîì, âñå äàííûå n ÷èñåë ðàâíû. Ïðèâåäåì òàêæå äðóãîå ðåøåíèå äëÿ íå÷åòíîãî n. Çàïèøåì èñõîäíûå ðàâåíñòâà â âèäå x1 ( x1 − x2 ) = − x3 ( x2 − x3 ), x2 ( x2 − x3 ) = − x4 ( x3 − x4 ), x ( x − x ) = − x ( x − x ). 1 2 1 2 n n Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x1 − x2 > 0 . Òîãäà, ïîñëåäîâàòåëüíî èñïîëüçóÿ âñå ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì x2 − x3 < 0 , 30.09.09, 16:33 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ x3 − x4 > 0 , x4 − x5 < 0 , x5 − x6 > 0 , , xn − x1 > 0 , x1 − x2 < 0 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Àíàëîãè÷íî ïðèâîäèòñÿ ê ïðîòèâîðå÷èþ ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî x1 − x2 < 0 . Åñëè æå x1 − x2 = 0 , òî ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì x2 − x3 = 0 , x3 − x4 = 0 , ..., xn − x1 = 0 , îòêóäà x1 = x2 = … = xn . Îòìåòèì, ÷òî ýòà çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì îäíîé èç çàäà÷ ðåãèîíàëüíîãî ýòàïà Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû ýòîãî ãîäà. Â.Ñåíäåðîâ M2125. Âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê ABC îêðóæíîñòü ω êàñàåòñÿ ñòîðîí CA è AB â òî÷êàõ B1 è C1 ñîîòâåòñòâåííî. Òî÷êà D, îòëè÷íàÿ îò B1 è C1 , íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè AC1 îò òî÷êè A. Ïðÿìûå DB1 è DC1 ïåðåñåêàþò âòîðîé ðàç îêðóæíîñòü ω â òî÷êàõ B2 è C2 . Äîêàæèòå, ÷òî B2C2 äèàìåòð îêðóæíîñòè ω , ïåðïåíäèêóëÿðíûé îòðåçêó DA. Ïóñòü I öåíòð îêðóæíîñòè ω . Ïðåäïîëîæèì âíà÷àëå, ÷òî òî÷êà D ëåæèò âíóòðè îêðóæíîñòè ω (ñì. ðèñóíîê). Òàê êàê IB1 ⊥ AB1 , òî ∠IB2 B1 + ∠ADB1 = ∠IB1B2 + ∠AB1D = 90° , îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî IB2 ⊥ AD . Òàê æå äîêàçûâàåì, ÷òî IC2 ⊥ AD . Çíà÷èò (ïîñêîëüêó B2 è C2 íå ñîâïàäàþò), ïðÿìàÿ B2C2 ïðîõîäèò ÷åðåç I è ïåðïåíäèêóëÿðíà AD, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Äðóãèå ñëó÷àè ðàñïîëîæåíèÿ òî÷êè D ìîæíî ðàññìîòðåòü àíàëîãè÷íî. Çàìå÷àíèå. Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå ∠ (a, b ) äëÿ óãëà îò ïðÿìîé a äî ïðÿìîé b, îòñ÷èòûâàåìîãî ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ( ∠ (a, b ) îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî ïðèáàâëåíèÿ ÷èñëà âèäà πk , ãäå k öåëîå ÷èñëî), ìîæíî ïåðåïèñàòü ðåøåíèå, èçëîæåííîå âûøå, òàê, ÷òîáû îíî íå çàâèñåëî îò ðàñïîëîæåíèÿ òî÷êè D: ∠ ( IB2, B1B2 ) + ∠ ( B1B2, AD ) = π . 2 Îòìåòèì, ÷òî ÷àñòíûé ñëó÷àé ýòîé çàäà÷è ïðåäëàãàëñÿ íà ðåãèîíàëüíîì ýòàïå Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû. Ð.Æåíîäàðîâ, Ï.Êîæåâíèêîâ = ∠ ( B1B2, IB1 ) + ∠ ( AB1, B1B2 ) = M2126. Íà âå÷åðèíêå êîìïàíèþ èç 20 ÷åëîâåê òðåáóåòñÿ óñàäèòü çà 4 ñòîëà. Ðàññàäêà íàçûâàåòñÿ óäà÷íîé, åñëè ëþáûå äâà ÷åëîâåêà, îêàçàâøèåñÿ çà îäíèì ñòîëîì, ÿâëÿþòñÿ äðóçüÿìè. Âûÿñíèëîñü, ÷òî óäà÷íûå ðàññàäêè ñóùåñòâóþò, ïðè÷åì ïðè ëþáîé óäà÷íîé ðàññàäêå çà êàæäûì ñòîëîì ñèäÿò ðîâíî ïî 5 ÷åëîâåê. Êàêîâî íàèáîëüøåå âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî ïàð äðóçåé â ýòîé êîìïàíèè? Îòâåò: 160. Åñëè äâà ÷åëîâåêà íå ÿâëÿþòñÿ äðóçüÿìè, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ íåäðóãàìè. Îáùåå ÷èñëî 19-31.p65 21 «ÊÂÀÍÒÀ» 20 ⋅ 19 = 190 , 2 ïîýòîìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ìèíèìàëüíîå ÷èñëî ïàð íåäðóãîâ ðàâíî 30. Äîêàæåì, ÷òî ìåíüøå ÷åì 30 ïàð íåäðóãîâ áûòü íå ìîãëî. Ïóñòü ýòî íå òàê. Òîãäà íàéäåòñÿ ÷åëîâåê A, ó êîòîðîãî íå áîëåå äâóõ íåäðóãîâ (åñëè ó êàæäîãî ÷åëîâåêà íå ìåíåå òðåõ íåäðóãîâ, òî ÷èñëî ïàð íåäðóãîâ 3 ⋅ 20 íå ìåíüøå ÷åì = 30 ). Ïóñòü A ïðè íåêîòîðîé 2 óäà÷íîé ðàññàäêå îêàçàëñÿ çà ñòîëîì T. Ïî óñëîâèþ çà ñòîëîì T âñåãî 5 ÷åëîâåê. Òàê êàê ó A íå áîëåå äâóõ íåäðóãîâ, òî çà îäíèì èç îñòàâøèõñÿ òðåõ ñòîëîâ âñå ñèäÿùèå ÿâëÿþòñÿ äðóçüÿìè A. Çíà÷èò, åñëè ïåðåñàäèòü A çà ýòîò ñòîë (à â îñòàëüíîì ðàññàäêó íå ìåíÿòü), òî íîâàÿ ðàññàäêà îêàæåòñÿ óäà÷íîé, íî çà ñòîëîì T áóäóò ñèäåòü 4 ÷åëîâåêà, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Ïðèâåäåì ïðèìåð, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ, â êîòîðîì èìååòñÿ ðîâíî 30 ïàð íåäðóãîâ. Ðàçîáüåì âñåõ ëþäåé íà 5 ÷åòâåðîê, è ïóñòü ëþáàÿ ïàðà ëþäåé èç îäíîé ÷åòâåðêè íåäðóãè, à ëþáàÿ ïàðà èç ðàçíûõ ÷åòâåðîê äðóçüÿ.  òàêîì ñëó÷àå ó êàæäîãî ÷åëîâåêà 3 ⋅ 20 = 30 ïàð ðîâíî 3 íåäðóãà, è âñåãî èìååòñÿ 2 íåäðóãîâ.  îïèñàííîé ñèòóàöèè ðàññàäêà ÿâëÿåòñÿ óäà÷íîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëþäè èç îäíîé ÷åòâåðêè îêàçûâàþòñÿ çà ðàçíûìè ñòîëàìè. Òåì ñàìûì, óäà÷íûå ðàññàäêè ñóùåñòâóþò, è ïðè ëþáîé óäà÷íîé ðàññàäêå çà êàæäûì ñòîëîì îêàæåòñÿ ïî îäíîìó ÷åëîâåêó èç êàæäîé ÷åòâåðêè, ò.å. ðîâíî 5 ÷åëîâåê. Ï.Êîæåâíèêîâ ïàð ëþäåé â äàííîé êîìïàíèè ðàâíî M2127. Âíóòðè âåòâè ãèïåðáîëû x = y2 + 1 ðàñïîëîæåíû îêðóæíîñòè ω1, ω2, ω3,… òàê, ÷òî ïðè êàæäîì n > 1 îêðóæíîñòü ωn êàñàåòñÿ ãèïåðáîëû â äâóõ òî÷êàõ è êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè ωn−1 , à îêðóæíîñòü ω1 èìååò ðàäèóñ 1 è êàñàåòñÿ ãèïåðáîëû â òî÷êå (1; 0). Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ðàäèóñ îêðóæíîñòè ωn ðàâåí íàòóðàëüíîìó ÷èñëó. Ïóñòü òî÷êà ( xn ; 0 ) öåíòð îêðóæíîñòè ωn , à rn åå ðàäèóñ. Èç ïîñòðîåíèÿ îêðóæíîñòåé ñðàçó âûòåêàåò, ÷òî r1 = 1, x1 = 1 + r1 = 2 è (1) xn +1 − xn = rn +1 + rn ïðè n ≥ 1 (ðèñ. 1). Îêðóæíîñòü ωn (n ≥ 2 ) çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì ( x − xn )2 + y2 = rn2 . Ïîäñòàâèâ â ýòî ðàâåíñòâî y2 = x2 − 1 , ïîëó÷èì ðàâåíñòâî, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿþò àáñöèññû x òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè ωn è ãèïåðáîëû: ( x − xn )2 + x2 − 1 = rn2 ⇔ ¤ 2x2 − 2xn x + xn2 − rn2 − 1 = 0 . (2) Êàñàíèå îêðóæíîñòè è ãèïåðáîëû îçíà÷àåò ñîâïàäåíèå êîðíåé â êâàäðàòíîì óðàâíåíèè (2), çíà÷èò, åãî äèñêðèìèíàíò îáðàùàåòñÿ â íîëü: ( ) 2 2 xn2 − 2 xn2 − rn2 − 1 = 0 ⇔ xn = 2rn + 2 . 30.09.09, 16:34 (3) ÊÂÀÍT 2009/¹5 Ðèñ. 1 Ðàâåíñòâî (3) äëÿ îêðóæíîñòè ωn+1 âûãëÿäèò êàê ( 3′ ) xn2+1 = 2rn2+1 + 2 . Âû÷èòàÿ èç ðàâåíñòâà ( 3′ ) ðàâåíñòâî (3), èìååì ( ìèòüñÿ ê êîñèíóñó óãëà íàêëîíà àñèìïòîòû ãèïåðáîëû, 2rn 1 . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äðîáè ðàâíû ò.å. ê xn 2 íåêîòîðûì ïîäõîäÿùèì äðîáÿì äëÿ ðàçëîæåíèÿ 2 â öåïíóþ äðîáü (ýòî îáúÿñíÿåòñÿ èçâåñòíîé ñâÿçüþ ìåæäó ëèíåéíûìè ðåêêóðåíòàìè, öåïíûìè äðîáÿìè è óðàâíåíèÿìè Ïåëëÿ ñì., íàïðèìåð, ñòàòüþ Â.Ñåíäåðîâà è À.Ñïèâàêà «Óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ» â «Êâàíòå» ¹3, 4 è 6 çà 2002 ã.). Âûáîð ðàäèóñà r1 = 1 ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî ðàäèóñ êðèâèçíû äàííîé ãèïåðáîëû â òî÷êå (1; 0) ðàâåí 1. Ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî ðàäèóñ êðèâèçíû ãèïåðáîëû â òî÷êå êàñàíèÿ ñ îêðóæíîñòüþ ωn ðàâåí rn3 . Ñàìûì ëþáîïûòíûì â äàííîé çàäà÷å, âèäèìî, ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå ëèíåéíîãî ñîîòíîøåíèÿ ( ∗ ) äëÿ ðàäèóñîâ òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ îêðóæíîñòåé. Âîîáùå, åñëè âïèñûâàòü öåïî÷êó êàñàþùèõñÿ îêðóæíîñòåé â ãèïåðy2 áîëó x2 − = 1 , B > 0, òî ðàäèóñû òðåõ ïîñëåäîâàB òåëüíûõ îêðóæíîñòåé áóäóò óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèþ rn +1 = (4 B + 2 ) rn − rn −1 . ) xn2+1 − xn2 = 2 rn2+1 − rn2 ⇔ ( xn +1 − xn )( xn +1 + xn ) = = 2 (rn +1 − rn )(rn +1 + rn ) , ( ∗′ ) Îêðóæíîñòè ìîæíî âïèñûâàòü è âî âíåøíîñòü ãèïåðáîëû x2 − By2 = 1 (ðèñ.2), è òîãäà ðàäèóñû òðåõ ïîñ- îòêóäà, ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (1), íàõîäèì xn +1 + xn = = 2 (rn +1 − rn ) . Âû÷èòàÿ èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà (1), èìååì 2xn = rn +1 − 3rn . (4) Ïðè n = 1, â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷àåì 4 = r2 − 3 , ò.å. r2 = 7 . Âîçâåäåì â êâàäðàò (4), è ïîäñòàâèì (3): 4 xn2 = rn2+1 − 6rn +1rn + 9rn2 ⇒ fi 8rn2 + 8 = rn2+1 − 6rn +1rn + 9rn2 ⇔ ¤ rn2+1 − 6rn +1rn + rn2 = 8 . (5) Èòàê, ïîëó÷åíî ñèììåòðè÷íîå ñîîòíîøåíèå (5), ñâÿçûâàþùåå ðàäèóñû rn è rn +1 . Ïåðåôîðìóëèðîâàòü (5) ìîæíî òàêèì îáðàçîì: ÷èñëî rn +1 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ x2 − 6rn x + rn2 = 8 . Åñëè n ≥ 2 , òî, ðàññìîòðåâ ñîîòíîøåíèå, àíàëîãè÷íîå (5), äëÿ ðàäèóñîâ rn è rn +1 , ïîëó÷èì, ÷òî rn −1 òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ x2 − 6rn x + rn2 = 8 . Òîãäà ïî òåîðåìå Âèåòà rn −1 + + rn +1 = 6rn , ÷òî äàåò ðåêêóðåíòíîå ñîîòíîøåíèå rn +1 = 6rn − rn −1 (∗) äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàäèóñîâ. Èç òîãî ÷òî r1 è r2 öåëûå ÷èñëà ïî öåïî÷êå âûâîäèì, ÷òî âñå rn ÿâëÿþòñÿ öåëûìè. Çàìå÷àíèÿ. Åñëè óðàâíåíèå (2) èìååò íóëåâîé äèñêðèx ìèíàíò, òî x = n åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ýòîãî 2 óðàâíåíèÿ. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî àáñöèññà òî÷êè êàñàxn . Èç ãåîìåòíèÿ îêðóæíîñòè ωn è ãèïåðáîëû ðàâíà 2 rn äîëæíî ñòðåðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ïîíÿòíî, ÷òî xn 19-31.p65 22 Ðèñ. 2 ëåäîâàòåëüíûõ îêðóæíîñòåé áóäóò óäîâëåòâîðÿòü òîìó æå ñîîòíîøåíèþ ( ∗′ ). Äëÿ öåïî÷êè îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â ïàðàáîëó, ðàäèóñû îáðàçóþò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ (ñì. çàäà÷ó Ì.Åâäîêèìîâà ñ XXXII Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû, 1998 ã.). Åñëè æå öåïî÷êó õîòÿ áû èç òðåõ îêðóæíîñòåé óäàåòñÿ y2 = 1 , òî ñîîòíîøåíèå íà ðàäèâïèñàòü â ýëëèïñ x2 + B óñû áóäåò èìåòü âèä rn +1 = (2 − 4 B ) rn − rn −1 . Â.Ðàñòîðãóåâ, Ï.Êîæåâíèêîâ M2128. Âàñÿ îòìåòèë 10 êëåòîê â êëåò÷àòîé òàáëèöå 10 × 10 êëåòîê. Âñåãäà ëè Ïåòÿ ìîæåò âûðåçàòü èç 30.09.09, 16:34 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ ! «ÊÂÀÍÒÀ» ýòîé òàáëèöû ïî ëèíèÿì ñåòêè 19 ôèãóðîê âèäà Èç ëåììû ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî íå÷åòíîãî k ÷èñëî òàê, ÷òîáû ôèãóðêè íå ñîäåðæàëè îòìå÷åííûå êëåòêè? ns kn − 1 = k 2 − 1 äåëèòñÿ íà 2s ; òîãäà kn äàåò îñòà òîê 1 ïðè äåëåíèè íà 2s . Èòàê, â ñóììå n n ñëàãàåìûõ äàþò îñòàòîê 1n + 2n + … + (n − 1) ðîâíî 2 s 2 1 ïðè äåëåíèè íà , à îñòàëüíûå ñëàãàåìûå äåëÿòñÿ íà n n 2s . Èìååì: 1n + 2n + … + (n − 1) ≡ ≡ 2s −1 mod 2s , 2 ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà íå äåëèòñÿ íà 2s è òåì áîëåå 2s Îòâåò: íå âñåãäà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Âàñÿ îòìåòèë 10 êëåòîê òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå (çíà÷îê «X»). Ðàññìîòðèì òåïåðü øàõìàòíóþ ðàñêðàñêó äîñêè (ïðè êîòîðîé âñå îòìå÷åííûå êëåòêè ÿâëÿþòñÿ ÷åðíûìè). Çàìåòèì, ÷òî ôèãóðêà, íå ñîäåðæàùàÿ îòìå÷åííûõ êëåòîê, íå ìîæåò ñîäåðæàòü òàêæå íè îäíó èç ÷åðíûõ êëåòîê A, B, C. Çíà÷èò, âñå âûðåçàííûå Ïåòåé ôèãóðêè ñîäåðæàò íå áîëåå 50 10 3 = 37 ÷åðíûõ êëåòîê. Íî ïîñêîëüêó êàæäàÿ ôèãóðêà ñîäåðæèò ïî äâå ÷åðíûõ è ïî äâå áåëûõ êëåòêè, ìîæåò áûòü âûðåçàíî íå 37 áîëåå = 18 ôèãóðîê. 2 È.Áîãäàíîâ, Î.Ïîäëèïñêèé M2129. Íàéäèòå âñå ïàðû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë n > 1 è n k, äëÿ êîòîðûõ 1n + 2 n + … + (n − 1) = nk . Îòâåò. n = 3, k = 2. Ïåðâîå ðåøåíèå. Åñëè n = 3, òî k = 2. Ïóñòü n íå÷åòíî, n > 3. Òîãäà ïðè ÷åòíîì x ñóììà 1n + 2n + … + x n x äåëèòñÿ íà . Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó a n + bn äå2 n ëèòñÿ íà a + b, êàæäàÿ èç ñóìì 1n + ( x − 1) , n n x x x n . 2n + ( x − 2 ) , , − 1 + + 1 äåëèòñÿ íà 2 2 2 n x Îñòàþòñÿ ñëàãàåìûå è x n , êîòîðûå, î÷åâèäíî, 2 x n äåëÿòñÿ íà . Çíà÷èò, 1n + 2n + … + (n − 1) äåëèòñÿ íà 2 n −1 n −1 n −1 > 1 ïðè n > 3. . Íî ÍÎÄ , n = 1 è 2 2 2 n n Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè n > 3 ñóììà 1 + 2n + … + (n − 1) èìååò ïðîñòîé äåëèòåëü, íà êîòîðûé íå äåëèòñÿ n. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ïðè ëþáîì ÷åòíîì n ñóììà n 1n + 2n + … + (n − 1) íå äåëèòñÿ íà n. Íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ ëåììà. s Ëåììà. Ïðè íå÷åòíîì a ÷èñëî a2 − 1 äåëèòñÿ íà 2s . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì èíäóêöèþ ïî s. Ïðè s = 1 óòâåðæäåíèå âåðíî. Ïóñòü ïðè s = r óòâåðæäåíèå âåðíî. r +1 ( ) r ( 2 r )( r ) Òîãäà a2 − 1 = a2 − 1 = a2 − 1 a2 + 1 äåëèòñÿ íà 2r +1 , òàê êàê ïåðâàÿ ñêîáêà äåëèòñÿ íà 2r , à âòîðàÿ ÷åòíà. Ïåðåõîä èíäóêöèè ñäåëàí, è ëåììà äîêàçàíà. Ïóñòü n = 2s l, ãäå s ≥ 1 , l íå÷åòíî. Î÷åâèäíî, s < n, ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî ÷åòíîãî k ÷èñëî kn äåëèòñÿ íà 2s . 19-31.p65 23 ( ) íà n. Çàìå÷àíèå 1. Ðàññóæäàÿ êàê â íà÷àëå ðåøåíèÿ, íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî ïðè ëþáîì íå÷åòíîì n ñóììà n 1n + 2n + … + (n − 1) äåëèòñÿ íà n. Çàìå÷àíèå 2. Ïðè æåëàíèè ëåììó ëåãêî óñèëèòü: ïðè s íå÷åòíîì a è íàòóðàëüíîì s ÷èñëî a2 − 1 äåëèòñÿ íà 2s+ 2 . Âòîðîå ðåøåíèå. Ïðîâåðèâ çíà÷åíèÿ n = 2, 3, ïîëó÷àåì, ÷òî ïîäõîäèò òîëüêî n = 3, ïðè ýòîì k = 2. Ïîêàæåì, ÷òî ïðè n ≥ 4 ðåøåíèé íåò. Ëåììà. Ïðè íàòóðàëüíûõ n ≥ 4 âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà n 1 n − 1 1 ≤ < . 2 n n Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî íåðàâåíñòâó Áåðíóëëè, n n 1 1 n >2, = 1 + ≥ 1+ n − 1 n −1 n − 1 îòêóäà ñëåäóåò ïðàâîå íåðàâåíñòâî. Ëåâîå íåðàâåíñòâî äîêàæåì èíäóêöèåé ïî n. Áàçà ïðè n = 4 ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî; ïåðåõîä ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâ n +1 n 1 n 1 n n n − 1 = > > ⋅ . ⋅ n + 1 n n +1 n n +1 n +1 Ëåììà äîêàçàíà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàøëîñü ðåøåíèå ñ n ≥ 4 . Èç ëåì1 n ìû ñëåäóåò, ÷òî (n − 1) > ⋅ nn = nn −1 . Òîãäà n n nk > (n − 1) > nn −1 , îòêóäà k ≥ n . Çàìåòèì, ÷òî ïðè ëþáîì s = 1, , n 1 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî s s n − 1 (ýòî ñíîâà íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè), ≥ 1− n n n sn 1 n− s n − 1 ïîýòîìó èç ëåììû èìååì ≤ ≤ s. 2 n n Çíà÷èò, 1= (n − 1)n + … + 1n nk ≤ (n − 1)n + … + 1n nn n = n n − (n − 1) 1 1 1 n − 1 = ≤ + 2 + … + n−1 < 1 . +…+ n n 2 2 2 Ïðîòèâîðå÷èå. Çàìå÷àíèå. Óðàâíåíèå ýòîé çàäà÷è âîçíèêëî èç ðàññìîòðåíèÿ áîëåå îáùèõ óðàâíåíèé â íàòóðàëüíûõ y ÷èñëàõ: 1n + 2n + … + x n = ( x + 1) . Ìåòîäîì ïåðâîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ìîæíî íàéòè âñå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâ- 30.09.09, 16:34 " ÊÂÀÍT 2009/¹5 íåíèÿ â ïðåäïîëîæåíèè íå÷åòíîñòè n: (n, x, y) = = (1, 2, 1) è (n, x, y) = (3, 2, 2). Ïðè ôèêñèðîâàííûõ ÷åòíûõ n ìû óìååì äîêàçûâàòü ëèøü, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé (x, y) êîíå÷íî. Î áëèçêèõ óðàâíåíèÿõ â öåëûõ ÷èñëàõ ñì. òàêæå â ðåøåíèè çàäà÷è Ì2025 â «Êâàíòå» ¹ 3 çà 2007 ãîä. È.Áîãäàíîâ, Â.Ñåíäåðîâ M2130. Äàí ïëîñêèé (íåâûïóêëûé) øåñòèóãîëüíèê ABCDEF, â êîòîðîì AB = DE, BC = EF, CD = FA, –FAB = 3 –CDE , ∠BCD = 3 ∠EFA , ∠DEF = 3 ∠ABC (çäåñü èìåþòñÿ â âèäó âíóòðåííèå óãëû ìíîãîóãîëüíèêà, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ìîãóò áûòü áîëüøå 180°). Èçâåñòíî, ÷òî íèêàêèå äâå ñòîðîíû øåñòèóãîëüíèêà íå ïàðàëëåëüíû. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå AD, BE è CF ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Èç ðàâåíñòâà óãëîâ â óñëîâèè ñëåäóåò, ÷òî ñóììà óãëîâ øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà 4 (∠ABC + ∠CDE + ∠EFA ) , à ñ äðóãîé ñòîðîíû ýòà ñóììà ðàâíà 4 ⋅ 180° , îòêóäà ∠ABC + ∠CDE + ∠EFA = 180° . (Îòìåòèì, ÷òî òàê êàê óãëû øåñòèóãîëüíèêà ìåíüøå 360°, òî êàæäûé èç óãëîâ ABC, CDE, EFA ìåíüøå 120°. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ∠EFA < 60° ; òîãäà â øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF ïëîñêèé óãîë BCD ìåíüøå ðàçâåðíóòîãî). Ïîñòðîèì òðåóãîëüíèê A′C′E′ , â êîòîðîì óãëû A′ , C′ , E′ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî óãëàì CDE, EFA, ABC. Ïóñòü òî÷êè D′ , F ′ , B′ ñèììåòðè÷íû ñîîòâåòñòâåííî òî÷êàì A′ , C′ è E′ îòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ C′E′ , A′E′ è A′C′ . Òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû øåñòèóãîëüíèêîâ ABCDEF è A′B′C′D′E′F ′ ðàâíû, è, êðîìå òîãî, â øåñòèóãîëüíèêå A′B′C′D′E′F′ ðàâíû ïàðû ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí, à äèàãîíàëè A′D′ , B′E′ è C′F ′ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå, òàê êàê ýòî âûñîòû â òðåóãîëüíèêå A′C′E′ . Ïðèìåíèâ ïîäõîäÿùåå ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ ê øåñòèóãîëüíèêó A′B′C′D′E′F′ , ìîæåì ïîëó÷èòü øåñòèóãîëüíèê A1B1C1D1E1F1 , â êîòîðîì A1 = A , B1 = B è íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðîâ ABCDEF è A1B1C1D1E1F1 îäèíàêîâîå (ñêàæåì, ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå; ðèñ. 1). Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñîâïàäåíèå ýòèõ äâóõ øåñòèóãîëüíèêîâ. Èç ðàâåíñòâà óãëîâ øåñòèóãîëüíèêîâ ñëåäóåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóÐèñ. 1 þùèå âåêòîðû BC è B1C1 , CD è C1D1 è ò.ä. ñîíàïðàâëåíû, â ÷àñòíîñòè C ëåæèò íà ëó÷å B1C1 , F íà ëó÷å A1F1 , à â ñèëó ðàâåíñòâà ñòîðîí ED = E1D1 (è, çíà÷èò, DD1 = EE1 ). Äîïóñòèì, ÷òî D ≠ D1 , è ïóñòü òî÷êè X è Y òàêîâû, ÷òî CX = FY = DD1 . Òîãäà D1X = DC , ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà X ëåæèò íà ïðÿìîé C1D1 , ïðè÷åì XC1 = XD1 − C1D1 = CD − C1D1 = AF − A1F1 = FF1 . 19-31.p65 24 Êðîìå òîãî, åñëè X ëåæèò íà îòðåçêå C1D1 , òî F ëåæèò íà îòðåçêå A1F1 ; åñëè æå X ëåæèò íà ïðîäîëæåíèè îòðåçêà C1D1 çà òî÷êó C1 , òî F ëåæèò íà ïðîäîëæåíèè îòðåçêà A1F1 çà òî÷êó F1 . Àíàëîãè÷íî, Y ëåæèò íà ïðÿìîé E1F1 è YF1 = CC1 , ïðè÷åì òî÷êè Y è C ëèáî îäíîâðåìåííî ëåæàò ñîîòâåòñòâåííî íà îòðåçêàõ E1F1 è B1C1 , ëèáî íà ïðîäîëæåíèÿõ ýòèõ îòðåçêîâ (çà òî÷êè F1 è C1 ). Ìû ïîëó÷àåì, ÷òî òðåóãîëüíèêè FFY è 1 XC1C ðàâíû ïî òðåì ñòîðîíàì. Çàìåòèì (ýòî ñóùåñòâåííî! ñì. çàìå÷àíèå íèæå), ÷òî ýòè òðåóãîëüíèêè íåâûðîæäåííûå: CX ≠ 0 ïî ïðåäïîëîæåíèþ, C ≠ C1 (èíà÷å F1 = Y è CD CX FY AF ), X ≠ C1 (èíà÷å F1 = F è BC CX FY EF ). Èç ðàâåíñòâà òðåóãîëüðàâåí íèêîâ èìååì ∠FFY 1 = ∠XC1C . Îäíàêî ∠FFY 1 ∠AFE ëèáî 180° − ∠AFE , à ∠XC1C ðàâåí ∠BCD ëèáî 180° − ∠BCD . Ïðè÷åì èç ïðåäûäóùèõ âûâîäîâ î ðàñïîëîæåíèè òî÷åê C, X, F, Y ñëåäóåò, ÷òî åñëè ∠FFY = ∠AFE , òî ∠XC1C = ∠BCD , à åñëè 1 ∠FFY = 180° − ∠AFE , òî ∠XC1C = 180° − ∠BCD .  1 ëþáîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì, ÷òî ∠AFE = ∠BCD ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, D = D1 , îòêóäà âûòåêàåò ñîâïàäåíèå øåñòèóãîëüíèêîâ ABCDEF è A1B1C1D1E1F1 . Çàìå÷àíèå. Ïðèâåäåì ïðèìåð øåñòèóãîëüíèêà, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî â ýòîé çàäà÷å óñëîâèå îòñóòñòâèÿ ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì. Ïîñòðîèì ïàðàëëåëîãðàìì ACDF, â êîòîðîì ∠ACD = 80° è AF > AC, E òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ óãëîâ AFD è CDF. Ïîñòðîèì íà ñòîðîíå AC âíå ïàðàëëåëîãðàììà òðåóãîëüíèê ACB, ðàâíûé òðåóãîëüíèêó DFE (ðèñ.2). Òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ â øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF ðàâíû ïàðû ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí, è ∠FAB = Ðèñ. 2 = 3∠CDE = 150°, ∠BCD = = 3∠EFA = 120° , ∠DEF = 3∠ABC = 270° . Îäíàêî BE íå ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ïàðàëëåëîãðàììà ACDF (òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ AD è CF), òàê êàê E ëåæèò íà ñðåäíåé ëèíèè, ïàðàëëåëüíîé CD, è îòëè÷íà îò öåíòðà ïàðàëëåëîãðàììà, à B íå ëåæèò íà ýòîé ñðåäíåé ëèíèè. Í.Áåëóõîâ, Ï.Êîæåâíèêîâ Ô2138. Ïîäúåìíûé êðàí ìåäëåííî ïîäíèìàåò ñ ïîìîùüþ òðîñà ïëàâàþùåå â âîäå áðåâíî (ðèñ.1). Òðîñ ïðèêðåïëåí ê îäíîìó êîíöó áðåâíà, êîòîðîå ìîæíî ñ÷èòàòü 30.09.09, 16:34 Ðèñ. 1 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ òîíêèì öèëèíäðîì ñ ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ. Ìàññà áðåâíà m, äëèíà L. Îòíîøåíèå ïëîòíîñòåé âîäû è äðåâåñèíû γ = 4/3. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g. Íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå áðåâíà ãîðèçîíòàëüíîå. 1) Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ðàáîòó À íóæíî ñîâåðøèòü êðàíó, ÷òîáû ïîëíîñòüþ âûòàùèòü áðåâíî èç âîäû? 2) Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñèëû íàòÿæåíèÿ Ò òðîñà îò âûñîòû íàä âîäîé h ïðèïîäíèìàåìîãî êîíöà áðåâíà. Óêàæèòå õàðàêòåðíûå òî÷êè ãðàôèêà. 3) Êàêóþ ðàáîòó A∆h ñîâåðøèò êðàí ïðè ïåðåâîäå áðåâíà èç îäíîãî íàêëîííîãî ïîëîæåíèÿ â äðóãîå íàêëîííîå ïîëîæåíèå, â êîòîðîì âåðõíèé êîíåö áðåâíà ïîäíÿëñÿ íà âûñîòó ∆h = L/5? 1) Ìèíèìàëüíàÿ ðàáîòà êðàíà ðàâíà èçìåíåíèþ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè áðåâíà: mgL A= . 2 2) Áðåâíî â ïðîöåññå ïîäúåìà áóäåò îáðàçîâûâàòü íåêèé óãîë α ñ ïîâåðõíîñòüþ âîäû, ïîêà íå ïðèìåò âåðòèêàëüíîå ïîëîæåíèå, îñòàâàÿñü ÷àñòè÷íî ïîãðóæåííûì â âîäó. Áðåâíî íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, åñëè âûïîëíÿþòñÿ äâà óñëîâèÿ (ðèñ.2). à) Ñóììà âñåõ äåéñòâóþùèõ íà áðåâíî ñèë ðàâíà íóëþ, èëè, â ïðîåêöèÿõ íà âåðòèêàëüíóþ îñü: T + FA − mg = 0 , ãäå FA = mgγx0 L àðõèìåäîâà ñèëà, x0 Ðèñ. 2 äëèíà ÷àñòè áðåâíà, ïîãðóæåííîé â âîäó. á) Ñóììà ìîìåíòîâ ñèë îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñè âðàùåíèÿ ðàâíà íóëþ, èëè, âûáðàâ îñü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç âåðõíèé êîíåö áðåâíà: mg L x x cos α − mgγ 0 L − 0 cos α = 0 . 2 L 2 Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèëà Ò íàòÿæåíèÿ òðîñà íå çàâèñèò îò óãëà íàêëîíà áðåâíà îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòà. Ðåøàÿ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì, ÷òî â âîäå áóäåò íàõîäèòüñÿ ÷àñòü áðåâíà äëèíîé 1 L x0 = L 1 − 1 − = . γ 2 Ïîêà áðåâíî áóäåò îñòàâàòüñÿ â íàêëîííîì ïîëîæåíèè, ñèëà íàòÿæåíèÿ òðîñà áóäåò ïîñòîÿííîé è ðàâíîé mg 3 . Ïîñëå òîãî êàê áðåâíî ïðèìåò âåðòèêàëüíîå ïîëîæåíèå, ñèëà íàòÿæåíèÿ òðîñà áóäåò ëèíåéíî âîçðàñòàòü îò mg 3 äî mg: γx T = mg − FA = mg 1 − . L 19-31.p65 25 # «ÊÂÀÍÒÀ» Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñèëû íàòÿæåíèÿ òðîñà Ò îò âûñîòû h ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 3. 3) Ïîäúåì âåðõíåãî êîíöà áðåâíà íà âûñîòó ∆h ïðîèñõîäèò ïðè ïîñòîÿííîé ñèëå íàòÿæåíèÿ mg 3 . Ïîýòîìó èñêîìàÿ ðàáîòà ðàâíà Ðèñ. 3 A∆h = T ∆h = mg L mgL = . 3 5 15 Â.×èâèë¸â Ô2139.  îòêðûòîì êîñìîñå òðè íåáîëüøèõ àñòåðîèäà èç-çà ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ ñáëèæàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì âäîëü îáùåé ïðÿìîé, íåïîäâèæíîé îòíîñèòåëüíî çâåçä. Îòíîøåíèå ðàññòîÿíèé îò ñðåäíåãî àñòåðîèäà äî êðàéíèõ îñòàåòñÿ ðàâíûì n = 2 âïëîòü äî èõ ñòîëêíîâåíèÿ (ñì. ðèñóíîê). Ìàññà ëåâîãî àñòåðîèäà m1 , öåíòðàëüíîãî m2 . Íàéäèòå ìàññó m3 ïðàâîãî àñòåðîèäà. Ïóñòü óñêîðåíèÿ àñòåðîèäîâ ðàâíû a1 , a2 , a3 , ïåðâûå äâà óñêîðåíèÿ íàïðàâëåíû âïðàâî, à òðåòüå âëåâî.  ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ òðåòüèì àñòåðîèäîì, óñêîðåíèÿ ïåðâûõ äâóõ ðàâíû a1 + a3 è a2 + a3 ñîîòâåòñòâåííî. ×òîáû îòíîøåíèå ðàññòîÿíèé îò m1 è m2 äî m3 ñîõðàíÿëîñü íåèçìåííûì, îíî äîëæíî áûòü ðàâíî îòíîøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ óñêîðåíèé: (a1 + a3 ) : (a2 + a3 ) = 3r : 2r = 3 : 2 . Îòñþäà ïîëó÷èì ñâÿçü óñêîðåíèé: a3 = 2a1 − 3a2 . Èç çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ íàéäåì óñêîðåíèÿ àñòåðîèäîâ: m m m m a1 = G 22 + G 32 , a2 = G 32 − G 21 , r 9r r 4r m1 m + G 22 . 2 9r 4r Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â âûðàæåíèå äëÿ ñâÿçè óñêîðåíèé, ïîëó÷èì a3 = G m m1 m2 m + = 2 m2 + 3 − 3 3 − m1 , 9 4 9 4 îòêóäà íàéäåì m3 = 104m1 + 63m2 . 19 È.Âîðîáüåâ Ô2140. Ãîâîðÿò, ÷òî â àðõèâå ëîðäà Êåëüâèíà íàøëè pV-äèàãðàììó çàìêíóòîãî öèêëè÷åñêîãî ïðîöåññà òåïëîâîé ìàøèíû (ñì. ðèñóíîê). Ïðîöåññ 12 30.09.09, 16:34 $ ÊÂÀÍT 2009/¹5 èçîáàðà, ïðîöåññ 23 àäèàáàòà, 31 èçîòåðìà. Îò âðåìåíè ÷åðíèëà âûöâåëè, è êîîðäèíàòíûå îñè íà äèàãðàììå èñ÷åçëè. Èçâåñòíî, ÷òî ðàáî÷èì âåùåñòâîì ìàøèíû áûë èäåàëüíûé ãàç (ãåëèé) êîëè÷åñòâîì ν = 2 ìîëü. Ìàñøòàá ïî îñè äàâëåíèé: 1 ìàë. êë. = = 1 àòì, ïî îñè îáúåìîâ: 1 ìàë. êë. = 1 ë. 1) Âîññòàíîâèòå ïîëîæåíèå êîîðäèíàòíûõ îñåé è âû÷èñëèòå ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå ãàçà â äàííîì öèêëè÷åñêîì ïðîöåññå. 2) Âû÷èñëèòå ìàêñèìàëüíóþ è ìèíèìàëüíóþ òåìïåðàòóðû ãàçà â öèêëå. 3) Íàéäèòå ðàáîòó AT ãàçà íà èçîòåðìå 31. 4) Íàéäèòå ÊÏÄ öèêëà η . Ïðèìå÷àíèå. Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = òì ( ìîëü ◊ Ê ) . = 0,082 ë.àò 1) Áóäåì îòñ÷èòûâàòü ðàçíîñòü äàâëåíèé ∆p = p − p3 îò òî÷êè 3 è ðàçíîñòü îáúåìîâ ∆V = V − V1 îò òî÷êè 1. Òîãäà óðàâíåíèå èçîòåðìû çàïèøåòñÿ â âèäå pV = ( p3 + ∆p ) (V1 + ∆V ) = const . Ðàññìîòðåâ òðè òî÷êè íà èçîòåðìå íàïðèìåð, òî÷êè 1, 3 è îäíó â ñåðåäèíå ãðàôèêà, ìîæíî ñîñòàâèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé è âûðàçèòü p3 è V1 . À ìîæíî p3 è V1 íàéòè áîëåå òî÷íûì ñïîñîáîì. Çàìåòèì, ÷òî p1 − p3 ÷èñëåííî, â êëåòêàõ, ðàâíî V3 − V1 , çíà÷èò, â ýòîì ìàñøòàáå ãðàôèê èçîòåðìû ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè p ↔ V è p3 ÷èñëåííî ðàâíî V1 è ðàâíî íåêîòîðîìó ÷èñëó à. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëåííî ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå ∆p∆V + a ( ∆p + ∆V ) + a2 = const . Åñëè îòìåòèòü íåñêîëüêî òî÷åê íà äàííîì ãðàôèêå è ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè y = ∆p∆V îò x = ∆p + ∆V , òî ãðàôèêîì áóäåò ïðÿìàÿ ñ êîýôôèöèåíòîì íàêëîíà k = = a. Òàê, íàéäåì p3 ≈ 1 àòì , V1 ≈ 1 ë , è, ñëåäîâàòåëüíî, ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå pmax = p1 ≈ 32 àòì . Ïîëîæåíèå êîîðäèíàòíûõ îñåé ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì. 2) Òåïåðü ìîæíî îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíóþ è ìèíèìàëüíóþ òåìïåðàòóðû â öèêëå: pV Tmin = T1 = T3 = 1 1 ≈ 195 Ê , νR pV Tmax = T2 = 2 2 ≈ 780 Ê . νR 3) Ðàáîòó ãàçà íà èçîòåðìå ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ïëîùàäü ïîä ãðàôèêîì èçîòåðìû ñî çíàêîì ìèíóñ: AT ≈ −11,2 êÄæ . 4) ÊÏÄ öèêëà íàéäåì êàê îòíîøåíèå ðàáîòû À ãàçà çà öèêë ê ïîäâåäåííîìó êîëè÷åñòâó òåïëîòû Q+ = Q12 = = A12 + νCV (T2 − T1 ) = 5 A12 2 . Ðàáîòû îïðåäåëèì ïî ãðàôèêó: A ≈ −13,0 êÄæ è A12 ≈ 9,7 êÄæ . 19-31.p65 26 Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì 2A A η= = ⋅ 100% ≈ 54% . Q+ 5 A12 À.Øåðîíîâ Ô2141.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñõåìà êîòîðîé ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå 1, íàïðÿæåíèå ìåæäó çàæèìàìè Ñ è D ðàâíî UCD = 15 Â. Èçâåñòíî, ÷òî R r . 1) Îïðåäåëèòå ïîêàçàíèå èäåàëüíîãî âîëüòìåòðà, ïîäêëþ÷åííîãî ê êëåììàì A è Â. 2) ÏðåäïîëîÐèñ. 1 æèì, ÷òî ê êëåììàì À è  ïîäêëþ÷åí èäåàëüíûé àìïåðìåòð. Óêàæèòå íàïðàâëåíèå òîêà, òåêóùåãî ÷åðåç êàæäûé èç ðåçèñòîðîâ è àìïåðìåòð. Ïî óñëîâèþ ñîïðîòèâëåíèå «âíóòðåííåãî» ó÷àñòêà öåïè ìíîãî áîëüøå r. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèëó òîêà, èäóùåãî ïî íåìó, ìîæíî íå ó÷èòûâàòü ïðè ðàñ÷åòå íàïðÿæåíèé è ñèë òîêîâ âî «âíåøíåì» ó÷àñòêå öåïè. Ñèëû òîêîâ, òåêóùèõ ïî âåòâÿì CED è CFD, ðàâíû U I0 = CD . r + 2r Íàïðÿæåíèå ìåæäó òî÷êàìè F è Å ñîñòàâëÿåò U UFE = UCE − UCF = I0 ⋅ 2r − I0 ⋅ r = CD . 3 1) Ïðè ïîäêëþ÷åíèè èäåàëüíîãî âîëüòìåòðà òîê ÷åðåç íåãî íå èäåò. Ñèëû òîêîâ â âåòâÿõ FAE è FBE ñîñòàâëÿþò UFE UFE IFAE = = IFAE . è IFBE = R + 4R 2R + 3R Íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå À (ïîêàçàíèå èäåàëüíîãî âîëüòìåòðà) ðàâíî U AB = UFB − UFA = IFBE ⋅ 2R − IFAE ⋅ R = UFE UCD = =1B. 5 15 2) Ñîïðîòèâëåíèå èäåàëüíîãî àìïåðìåòðà ðàâíî íóëþ, è ýòî ðàâíîñèëüíî çàìûêàíèþ êëåìì À è Â. Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè áîëüøèé òîê òå÷åò ÷åðåç ðåçèñòîð ñ ìåíüøèì ñîïðîòèâëåíèåì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî IFA > IFB è IAE < IBE . Ïîýòîìó òîê ÷åðåç àìïåðìåòð òå÷åò â íàïðàâëåíèè îò À ê  (òàê êàê ïîëíûé òîê, ïðîòåêàþùèé îò F ê óçëàì À è Â, ðàâåí òîêó, òåêóùåìó îò À è  ê Å). Íàïðàâëåíèÿ âñåõ òîêîâ óêàçàíû íà ðèñóíêå 2. Ì.Ïðîñêóðèí Ðèñ. 2 = 30.09.09, 16:34 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ Ô2142. N = 2009 îäèíàêîâûõ êîíäåíñàòîðîâ åìêîñòüþ Ñ = 10 ìêÔ êàæäûé çàðÿäèëè äî îäèíàêîâûõ íàïðÿæåíèé U = 10  è ñîåäèíèëè ïîñëåäîâàòåëüíî, ïðè÷åì n = 100 øòóê îêàçàëèñü ïîäêëþ÷åííûìè â îäíîé ïîëÿðíîñòè, à îñòàëüíûå â äðóãîé. Êîíöû ïîëó÷èâøåéñÿ öåïî÷êè ñîåäèíèëè ðåçèñòîðîì ñîïðîòèâëåíèåì R = 1 êÎì. Êàêîé ïîëíûé çàðÿä ïðîòå÷åò ïî ðåçèñòîðó è ñêîëüêî â íåì âûäåëèòñÿ òåïëà? Íàéäåì çàðÿä q, ïðîòåêøèé çà áîëüøîå âðåìÿ ÷åðåç ðåçèñòîð. Çàðÿäû êàæäîãî èç n êîíäåíñàòîðîâ ðàâíû òåïåðü CU + q, îñòàëüíûå êîíäåíñàòîðû èìåþò çàðÿäû CU q. Ñ ó÷åòîì ðàçëè÷èÿ ïîëÿðíîñòåé êîíäåíñàòîðîâ íàïðÿæåíèå íà ðåçèñòîðå äîëæíî áûòü íóëåâûì ïðè óñëîâèè (CU + q ) n − (CU − q )( N − n ) = 0 . Îòñþäà ïîëó÷èì âåëè÷èíó ïðîòåêøåãî çàðÿäà: CU ( N − 2n ) ≈ 0,9 ⋅ 10−4 Êë . N Òåïåðü íàéäåì âûäåëèâøååñÿ â ðåçèñòîðå òåïëî. Íà÷àëüíàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ñîñòàâëÿåò ∆ϕíà÷ = U ( N − 2n ) , êîíå÷íàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ðàâíà íóëþ. Çíà÷èò, â ðåçèñòîðå âûäåëèòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû 2 CU 2 ( N − 2n ) 1 ≈ 0,8 Äæ . Q = q∆ϕíà÷ = 2 2N Ç.Ðàôàèëîâ q= Ô2143. Íà êîëüöåâîé ñåðäå÷íèê ñ áîëüøîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ ñëîæåííûì âäâîå èçîëèðîâàííûì òîíêèì ïðîâîäîì íàìîòàíà êàòóøêà ñ áîëüøèì ÷èñëîì âèòêîâ (ïîëó÷èëèñü äâå îäèíàêîâûå êàòóøêè îäíà ñ âûâîäàìè À è Á, äðóãàÿ ñ âûâîäàìè  è Ã. Èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè ÀÁ ðàâíà 1 Ãí. Ê òî÷êàì  è à ïîäêëþ÷èëè ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì 1000 Îì, ê âûâîäàì À è Á ïðèñîåäèíèëè èñòî÷íèê ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ ÷àñòîòû 1000 Ãö ñ àìïëèòóäîé 1 Â. Êàêîé òîê òå÷åò ÷åðåç ðåçèñòîð? Êàê èçìåíèòñÿ òîê, åñëè âûâîäû  è à ïîìåíÿòü ìåñòàìè? Äâå êàòóøêè è ðåçèñòîð ïîäêëþ÷åíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Íóæíî ðàçîáðàòü äâà ñëó÷àÿ: ìàãíèòíûå ïîòîêè â ñåðäå÷íèêå âû÷èòàþòñÿ èëè ñêëàäûâàþòñÿ. Ýòè ñëó÷àè «ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè» ïðè îáìåíå òî÷åê  è Ã. Åñëè ïîòîêè âû÷èòàþòñÿ, òî ñóììàðíûé ìàãíèòíûé % «ÊÂÀÍÒÀ» ïîòîê ðàâåí íóëþ, è ðåçèñòîð îêàçûâàåòñÿ ïîäêëþ÷åííûì íàïðÿìóþ ê èñòî÷íèêó. Òîê ÷åðåç íåãî ïðè ýòîì ñîñòàâëÿåò U I= = 1 ìÀ . R  ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç êàæäóþ èç êàòóøåê óäâàèâàåòñÿ âòîðàÿ êàòóøêà äîáàâëÿåò ïîòîê, ðàâíûé «ñâîåìó», åñëè ðàññåÿíèÿ ìàãíèòíûõ ëèíèé íåò. Ó÷èòûâàÿ ÝÄÑ èíäóêöèè äâóõ êàòóøåê, ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå ðåçèñòîðà ñîïðîòèâëåíèåì R è êàòóøêè èíäóêòèâíîñòüþ 4L è òîê îïðåäåëÿåì ïî ôîðìóëå I= U ≈ 0,24 ìÀ . R + 16ω2 L2 Ìû ïîäñòàâëÿëè àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ, ïîýòîìó çíà÷åíèÿ òîêîâ òîæå ïîëó÷èëèñü àìïëèòóäíûìè. À.Çèëüáåðìàí 2 Ô2144. Çðèòåëüíàÿ òðóáà èìååò îáúåêòèâ ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì 1 ì è îêóëÿð ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì 5 ñì. Ëèíçû íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 106 ñì äðóã îò äðóãà, íà îáúåêòèâ ïàäàåò øèðîêèé ïó÷îê ëó÷åé, ïàðàëëåëüíûé ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè. Íàéäèòå óãîë ðàñõîæäåíèÿ âûõîäÿùåãî ïó÷êà. Äèàìåòð îêóëÿðà 0,5 ñì. Ðàññìîòðèì ïàäàþùèé ëó÷, ïàðàëëåëüíûé ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè. Ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ â ïåðâîé ëèíçå (îáúåêòèâ) îí ïåðåñå÷åò ýòó îñü íà ðàññòîÿíèè d = 6 ñì îò îêóëÿðà (ýòî çàäíèé ôîêóñ îáúåêòèâà). Äàëåå îí ïðîéäåò ÷åðåç îêóëÿð è ïåðåñå÷åò ãëàâíóþ îñü íà ðàññòîÿíèè f = 30 ñì îò íåãî (ýòî ñëåäóåò èç ôîðìóëû ëèíçû 1 d + 1 f = 1 F ). Çà ýòîé òî÷êîé ïó÷îê ðàñõîäèòñÿ, ïðè÷åì óãîë ðàñõîæäåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êðàéíèì èç ëó÷åé. Åñëè äèàìåòð îêóëÿðà D, òî óãîë îòêëîíåíèÿ ϕ ýòîãî ëó÷à îò ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì 1 D tg ϕ = = . 2f 120 Óãîë ðàñõîæäåíèÿ ïó÷êà δ âäâîå áîëüøå. Ó÷èòûâàÿ ìàëîñòü óãëà, ìîæíî çàïèñàòü 1 δ ª 2ϕ ª ðàä ª 1 . 60 À.Ïðîñòîâ Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé! Ìû ðàäû ñîîáùèòü íàøèì ÷èòàòåëÿì, ÷òî âûøåë â ñâåò îáíîâëåííûé âàðèàíò ýëåêòðîííîãî àðõèâà æóðíàëà «ÊÂÀÍÒ». Íà äèñêå âûëîæåíû âñå íîìåðà æóðíàëà ñ 1970 ïî 2008 ãîä âêëþ÷èòåëüíî, à òàêæå äâà ïðèëîæåíèÿ ê æóðíàëó: êíèãà Í.Á.Âàñèëüåâà, À.Ï.Ñàâèíà, À.À.Åãîðîâà «Èçáðàííûå îëèìïèàäíûå çàäà÷è. Ìàòåìàòèêà» è êíèãà Ê.Þ.Áîãäàíîâà «Ïðîãóëêè ñ ôèçèêîé». Èìååòñÿ õîðîøàÿ ñèñòåìà ïîèñêà íóæíîãî âàì ìàòåðèàëà. Äèñê ìîæíî ïðèîáðåñòè â ðåäàêöèè æóðíàëà «ÊÂÀÍÒ». Íàøè êîîðäèíàòû íà ïîñëåäíåé ñòðàíèöå æóðíàëà. Ïèøèòå, çâîíèòå, ìû âàñ æäåì. Ìû òàêæå íàïîìèíàåì íàøèì ÷èòàòåëÿì, ÷òî ïðèøëî âðåìÿ ïîäïèñûâàòüñÿ íà æóðíàë «ÊÂÀÍÒ» íà ïåðâîå ïîëóãîäèå 2010 ãîäà. Æóðíàë «ÊÂÀÍÒ» âûõîäèò îäèí ðàç â äâà ìåñÿöà âìåñòå ñ ïðèëîæåíèåì ê æóðíàëó è ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ òîëüêî ïî ïîäïèñêå. Ïîäïèñàòüñÿ íà «ÊÂÀÍÒ» ìîæíî â ëþáîì ïî÷òîâîì îòäåëåíèè ñâÿçè. Íàø ïîäïèñíîé èíäåêñ â êàòàëîãå àãåíòñòâà «ÐÎÑÏÅ×ÀÒÜ» 70465. 19-31.p65 27 30.09.09, 16:34 & ÊÌØ ÊÂÀÍT 2009/¹5 Çàäà÷è 1. Ïåòÿ è Âàñÿ åäóò â ñîñåäíèõ âàãîíàõ ïîåçäà. Âàãîí, â êîòîðîì åäåò Ïåòÿ, ïÿòûé îò «ãîëîâû» ïîåçäà, à âàãîí, â êîòîðîì åäåò Âàñÿ, ñåäüìîé ñ «õâîñòà». Ñêîëüêî âàãîíîâ â ïîåçäå? Ì.Àõìåäæàíîâà ãðèáîâ. Ìîãóò ëè âñå ãðèáû ñòàòü õîðîøèìè ïîñëå òîãî, êàê íåêîòîðûå ÷åðâÿêè ïåðåïîëçóò èç ïëîõèõ ãðèáîâ â õîðîøèå? À.Êàíåëü 4. Äëÿ äâóõ ðàçíûõ øàðèêîâ ëåãêî ñäåëàòü êîëå÷êî, êîòîðîå ìîæíî ïëîòíî íàäåòü íà êàæäûé øàðèê (÷òîáû íå áûëî ùåëåé). À åñëè âçÿòü äâå ðàçíûå êàðòîôåëèíû? Âñåãäà ëè óäàñòñÿ èçãîòîâèòü ïðîâîëî÷íîå êîëüöî, âîçìîæíî èçîãíóòîå è íå ïëîñêîå, êîòîðîå ìîæíî áóäåò ïëîòíî íàäåòü íà êàæäóþ èç êàðòîôåëèí? Ã.Ãàëüïåðèí 2. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíà ôèãóðà, âñå óãëû ìåæäó åå ñîñåäíèìè îòðåçêàìè ïðÿìûå. Êàê ñ ïîìîùüþ òîëüêî êàðàíäàøà è ëèíåéêè áåç äåëåíèé ïðîâåñòè ïðÿìóþ, êîòîðàÿ îòñåêàëà áû îò ôèãóðû êóñîê, ïî ïëîùàäè ðàâíûé ïîëîâèíå ïëîùàäè ôèãóðû? Â.Êðþêîâ 5. Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé 3. Ãðèá íàçûâàåòñÿ ïëîõèì, åñëè â íåì íå ìåíåå 10 ÷åðâÿêîâ. Åñëè æå â ãðèáå ìåíüøå 10 ÷åðâÿêîâ, îí ñ÷èòàåòñÿ õîðîøèì.  ëóêîøêå 90 ïëîõèõ è 10 õîðîøèõ Ïî êîðèäîðó èäåò òîëïà. Ïåðåä ðàçâèëêîé êîðèäîðà ñòîèò ðàçäåëèòåëü. Îí íàïðàâëÿåò îäíîãî ÷åëîâåêà íàëåâî, à äðóãîãî íàïðàâî, òàê ÷òî ïîòîê äåëèòñÿ íà äâå îäèíàêîâûå ÷àñòè. Ïðè ïîìîùè íåñêîëüêèõ òàêèõ ðàçäåëèòåëåé ìîæíî îòäåëèòü ÷åòâåðòü ïîòîêà èëè òðè âîñüìûõ åãî. À ìîæíî ëè îòäåëèòü òðåòü ïîòîêà? Â.Àðíîëüä Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 6 8 êëàññîâ. 19-31.p65 28 30.09.09, 16:34 Ê Ì Ø Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà ' «Ìàòåìàòèêà 68» Ìû ïðîäîëæàåì î÷åðåäíîé êîíêóðñ ïî ðåøåíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ äëÿ ó÷àùèõñÿ 68 êëàññîâ. Ðåøåíèÿ çàäà÷ âûñûëàéòå â òå÷åíèå ìåñÿöà ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ýòîãî íîìåðà æóðíàëà ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» èëè ïî ýëåêòðîííîìó àäðåñó: math@kvant.info (ñ ïîìåòêîé «Êîíêóðñ «Ìàòåìàòèêà 68»). Íå çàáóäüòå óêàçàòü èìÿ, êëàññ è äîìàøíèé àäðåñ. Êàê è ïðåæäå, ìû ïðèâåòñòâóåì ó÷àñòèå â êîíêóðñå íå òîëüêî îòäåëüíûõ øêîëüíèêîâ, íî è ìàòåìàòè÷åñêèõ êðóæêîâ. Ðóêîâîäèòåëåé êðóæêîâ ïðîñèì óêàçàòü ýëåêòðîííûé àäðåñ èëè êîíòàêòíûé òåëåôîí. Ïî òðàäèöèè, êðóæêè-ïîáåäèòåëè çàî÷íîãî êîíêóðñà ïðèãëàøàþòñÿ íà ôèíàëüíûé î÷íûé òóðíèð. 6. Íà íîâîì ñàéòå «Ðàçãîâîðû.ru» çàðåãèñòðèðîâàëèñü 2000 ÷åëîâåê. Êàæäûé èç íèõ ïðèãëàñèë ê ñåáå â äðóçüÿ ïî 1000 ÷åëîâåê. Äâà ÷åëîâåêà îáúÿâëÿþòñÿ äðóçüÿìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé èç íèõ ïðèãëàñèë äðóãîãî â äðóçüÿ. Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ïàð äðóçåé ìîãëî îáðàçîâàòüñÿ? À.Ýâíèí 7. Ìîæíî ëè êâàäðàò ðàçðåçàòü íà 9 êâàäðàòîâ è ðàñêðàñèòü èõ òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëèñü 1 áåëûé, 3 ñåðûõ è 5 ÷åðíûõ êâàäðàòîâ, ïðè÷åì îäíîöâåòíûå êâàäðàòû áûëè áû ðàâíû, à ðàçíîöâåòíûå êâàäðàòû íå ðàâíû? Í.Àâèëîâ 8. Äâåñòè ãèðåê ìàññîé 1 ã, 2 ã, , 200 ã ðàçëîæèëè íà äâå ÷àøè âåñîâ òàê, ÷òî ëþáûå äâå ãèðè ñ ðàçíèöåé ìàññ 100 ã ïîïàëè íà ðàçíûå ÷àøè è ëþáûå äâå ãèðè ñ ñóììîé ìàññ 201 ã òîæå ïîïàëè íà ðàçíûå ÷àøè. Ïðè ýòîì âåñû îêàçàëèñü â ðàâíîâåñèè. Çàòåì ñ êàæäîé ÷àøè óáðàëè âñå ãèðè ÷åòíîé ìàññû. Äîêàæèòå, ÷òî âåñû ñíîâà áóäóò â ðàâíîâåñèè. Â.Ïðîèçâîëîâ 9. Íàéäóòñÿ ëè òàêèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà a, b, c, d , ÷òî = ! + > ! + ? ! + @ ! = 100100? Ì.Ìóðàøêèí 10. Íà ñòîðîíàõ BC è CD ðîìáà ABCD âçÿëè òî÷êè P è Q ñîîòâåòñòâåííî òàê, ÷òî BP = CQ. Äîêàæèòå, ÷òî öåíòð òÿæåñòè (òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí) òðåóãîëüíèêà APQ ëåæèò íà äèàãîíàëè BD ðîìáà. Â.Ïðîèçâîëîâ Ëåòíèé òóðíèð èìåíè À.Ï.Ñàâèíà Êàæäûé ãîä â êîíöå èþíÿ óâëå÷åííûå ìàòåìàòèêîé øêîëüíèêè ñîáèðàþòñÿ â êðàñèâîì ìåñòå Êîñòðîìñêîé îáëàñòè, ÷òîáû ñîðåâíîâàòüñÿ â ðåøåíèè çàäà÷. Òóðíèð íîñèò èìÿ Àíàòîëèÿ Ïàâëîâè÷à Ñàâèíà, îñíîâàòåëÿ êîíêóðñà «Ìàòåìàòèêà 68» æóðíàëà «Êâàíò». Áëàãîäàðÿ êîíêóðñó â 1993 ãîäó è âîçíèê ýòîò òóðíèð ìàòåìàòè÷åñêèõ áîåâ. Îðãàíèçàòîðû òóðíèðà æóðíàë «Êâàíò» è îáðàçîâàòåëüíàÿ ïðîãðàììà «Áîëüøàÿ ïåðåìåíà» (ðóêîâîäèòåëü Ã.Â. Êîíäàêîâ). Ýòèì ëåòîì êîìàíäû ñúåõàëèñü íà 7 äíåé (ñ 26 èþíÿ ïî 2 èþëÿ 2009 ãîäà) ïîä ãîðîä Ñóäèñëàâëü íà æèâîïèñíóþ áàçó îòäûõà «Áåðåíäååâû Ïîëÿíû». Ìíîãèå ðåáÿòà ïðèåõàëè ñþäà ãîðàçäî ðàíüøå îíè ó÷èëèñü â ëåòíåé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëå, êîòîðàÿ íà÷àëàñü 11 èþíÿ, ïîñëå êîòîðîé ðåøèëè îñòàòüñÿ íà òóðíèð.  íûíåøíåì ãîäó äðóã ñ äðóãîì èãðàëè êîìàíäû 68 êëàññîâ: 8 êîìàíä 6 êëàññîâ, 12 êîìàíä 7 êëàññîâ è 8 êîìàíä 8 êëàññîâ. Øêîëüíèêè ïðèåõàëè èç Ìîñêâû, Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà, Èâàíîâà, Êîñòðîìû, Òàìáîâà è ×åðíîãîëîâêè. Êîìàíäà Òàìáîâà áûëà ïðèãëàøåíà íà òóðíèð êàê ïîáåäèòåëü êîíêóðñà «Ìàòåìàòèêà 68» æóðíàëà «Êâàíò».  äåíü çàåçäà (25 èþíÿ) ñðàçó áûëà ïðîâåäåíà îæèâëåííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ èãðà «Ìàãè÷åñêèé êâàäðàò». Ïîáåäèòåëÿìè ñòàëè êîìàíäû «Ôðàêòàë» (6 êëàññ, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã), «Èíòåëëåêòóàë» (7 êëàññ, Ìîñêâà) è «218-Á» (8 êëàññ, Ìîñêâà). Íà ñëåäóþùèé äåíü ïðîøëà óñòíàÿ êîìàíäíàÿ îëèìïèàäà, ïî ðåçóëüòàòàì êîòîðîé êîìàíäû áûëè ðàçäåëåíû íà ëèãè ïî 19-31.p65 29 êëàññàì, ïðè ýòîì 7 êëàññ áûë ðàçáèò íà äâå ëèãè. Äàëåå â êàæäîé ëèãå ïðîõîäèëè ìàòåìàòè÷åñêèå áîè. Ïîñëåäíèé äåíü òóðíèðà ôèíàëüíûå áîè, êîòîðûå îïðåäåëèëè ïîáåäèòåëåé â êàæäîé ëèãå.  ëèãå 8 êëàññîâ ïåðâîå ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà «Ìîñêâà-Þã». Åå ñîáðàëà Ò.Ï. Çîðèíà â èþíüñêîé ëåòíåé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëå 2008 ãîäà. Çà ãîä ñ íåáîëüøèì ðåáÿòà âûèãðàëè ðàçíûå òóðíèðû, âêëþ÷àÿ ýòîò òóðíèð â ïðîøëîì ãîäó.  âûñøåé ëèãå 7 êëàññîâ ëó÷øåé ñòàëà êîìàíäà êðóæêà ÌÖÍÌÎ ïîä ðóêîâîäñòâîì À.Â. Ñïèâàêà. Ëó÷øèå øåñòèêëàññíèêè ðåáÿòà èç êðóæêà «Ôðàêòàë» Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà, èõ ïðåèìóùåñòâî îêàçàëîñü îùóòèìûì è âî âðåìÿ áîåâ, è âî âðåìÿ êîìàíäíîé îëèìïèàäû. Ëó÷øåé âî âòîðîé ëèãå 7 êëàññîâ ñòàëà êîìàíäà øêîëû 82 èç ×åðíîãîëîâêè Ìîñêîâñêîé îáëàñòè. Íèæå â òàáëèöå ïðèâåäåí ñïèñîê âñåõ êîìàíä-ïðèçåðîâ òóðíèðà.  îäèí èç äíåé òóðíèðà ó÷àñòíèêè îòäîõíóëè îò áîåâ ïðîøëà ëè÷íàÿ îëèìïèàäà.  êàæäîé ïàðàëëåëè ïðîâîäèëîñü ñâîå ñîñòÿçàíèå ñî ñâîèìè çàäà÷àìè.  6 êëàññå çà ðåøåíèå âñåõ çàäà÷ «ãðàí-ïðè» ïîëó÷èë Àíäðåé Âîëãèí (êîìàíäà ÌÖÍÌÎ), à äèïëîì I ñòåïåíè âûèãðàë êîñòðîìè÷ Èâàí Ïåòðåíêî. Ëó÷øèì ñåìèêëàññíèêîì ñòàë Íèêèòà Ñîïåíêî (êîìàíäà Òàìáîâà), ëó÷øèì âîñüìèêëàññíèêîì Ìèõàèë Àðòåìüåâ (ãèìíàçèÿ 1543, Ìîñêâà). Îáëàäàòåëÿìè äèïëîìîâ II ñòåïåíè ñòàëè: Ñåìåí Âåð÷åíêî (8 êëàññ, ãèìíàçèÿ 1543), Ìàðèÿ Ñàíäðèêîâà (8 êëàññ, ÖÎ 218), 30.09.09, 16:34 ! ÊÂÀÍT 2009/¹5 Ëèãà Äèïëîì Êîìàíäà Êàïèòàí Ðóêîâîäèòåëü Âûñøàÿ 8 Âûñøàÿ 8 Âûñøàÿ 8 Âûñøàÿ 8 Âûñøàÿ 8 Âûñøàÿ 7 Âûñøàÿ 7 Âûñøàÿ 7 Âûñøàÿ 7 Âûñøàÿ 7 Âûñøàÿ 6 Âûñøàÿ 6 Âûñøàÿ 6 Âûñøàÿ 6 Âûñøàÿ 6 Ïåðâàÿ 7 Ïåðâàÿ 7 I ñòåïåíè II ñòåïåíè II ñòåïåíè III ñòåïåíè III ñòåïåíè I ñòåïåíè II ñòåïåíè II ñòåïåíè III ñòåïåíè III ñòåïåíè I ñòåïåíè II ñòåïåíè II ñòåïåíè III ñòåïåíè III ñòåïåíè I ñòåïåíè II ñòåïåíè Ìîñêâà-Þã Ãèìíàçèÿ 1514, Ìîñêâà Ëèöåé 14, Òàìáîâ ÖÎ 218, Ìîñêâà Ãèìíàçèÿ 1543, Ìîñêâà ÌÖÍÌÎ, Ìîñêâà Ñáîðíàÿ Êîñòðîìû Èíòåëëåêòóàë, Ìîñêâà Ãèìíàçèÿ 1543, Ìîñêâà Ãèìíàçèÿ 1514, Ìîñêâà Ôðàêòàë, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã Âîðîáüåâû Ãîðû, Ìîñêâà ÖÎ 218, Ìîñêâà Êâàíòèê, Ìîñêâà Ãîðíûå Âîðîáüè, Ìîñêâà Øêîëà 82, ×åðíîãîëîâêà Øêîëà 179, Ìîñêâà Ô.Ëÿùåíêî À.Ïîíôèëåíêî Í.Ñîïåíêî Ì.Ñàíäðèêîâà Ì.Àðòåìüåâ Ò.Ëåâèíñîí Ð.Öâåòíèêîâ Þ.Ãðåáåííèêîâà Þ.Êîòåëüíèêîâà Ò.Ñòåïàíîâ Å.Öåéòèíà È.Ãóùåíêî-×åâåðäà À.Çåðöàëîâ Â.Âîëêîâ À.Ìåëüíèê À.Ïîòàïîâ È.Ïàíòåëååâà Ò.Ï.Çîðèíà Î.Ð.Ãîðñêàÿ À.Â.Áóðìèñòðîâà À.Ä.Áëèíêîâ À.Â.Õà÷àòóðÿí À.Â.Ñïèâàê Ä.À.Êàëèíèí Í.Ì.Íåòðóñîâà È.Â.Ðàñêèíà Ò.Â.Æèòíèêîâà À.Ï.Ïîãîäà Ò.Ï.Çîðèíà Þ.À.Áëèíêîâ È.À.Íèêîëàåâà Ò.Ï.Çîðèíà Ë.Í.Ãîëîâêî À.Þ.Þðêîâ Þëèÿ Ãðåáåííèêîâà (7 êëàññ, «Èíòåëëåêòóàë»), Ìàêñèì Õàáàðîâ (7 êëàññ, øêîëà 30, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã), Àëåêñåé Áûñòðîâ (6 êëàññ, Êîñòðîìà), Ñòåïàí Êàðãàëüöåâ (6 êëàññ, ÖÎ 218), Íèêèòà Óâàðîâ (6 êëàññ, ãèìíàçèÿ 1543) è Ìèõàèë ßãóäèí (6 êëàññ, êîìàíäà ÌÌÌÔ). Äèïëîìàìè III ñòåïåíè íàãðàæäåíû Àëåêñåé Âèíîãðàäîâ (8 êëàññ, ãèìíàçèÿ 1514), Àííà Äîáðîâîëüñêàÿ (8 êëàññ, ãèìíàçèÿ 1514), Ëåâ Ñèíÿêîâ (8 êëàññ, «Ìîñêâà-Þã»), Ïåòð Ìåëüíè÷åíêî (7 êëàññ, ÖÎ 218), Áîãäàí Ñëàâîâ (7 êëàññ, øêîëà 179), Ìàðèíà Õà÷àòóðÿí (7 êëàññ, ãèìíàçèÿ 1543), Èâàí Áóðåíåâ (6 êëàññ, «Ôðàêòàë»), Àíäðåé Çåðöàëîâ (6 êëàññ, ÖÎ 218), Äàðüÿ Ëåáåäåâà (6 êëàññ, «Ôðàêòàë»), Ñåðãåé Ïîëåâîé (6 êëàññ, «Ìîñêâà-Þã») è Ïàâåë Øåâ÷óê (6 êëàññ, «Ãîðíûå Âîðîáüè»). Ïîìèìî ýòîãî, ìíîãèå ðåáÿòà áûëè ïîîùðåíû äèïëîìàìè çà óñïåøíîå ó÷àñòèå è ïîõâàëüíûìè ãðàìîòàìè.  ÷àñû, ñâîáîäíûå îò îñíîâíûõ ñîðåâíîâàíèé, ó÷àñòíèêè îëèìïèàäû ñëóøàëè ëåêöèè ïî ìàòåìàòèêå, êîòîðûå ÷èòàëè À.Â.Ñïèâàê, Ñ.È.Òîêàðåâ, À.Á.Ñêîïåíêîâ, À.Â.Øàïîâàëîâ, À.À.Çàñëàâñêèé, Ñ.Ã.Âîë÷åíêîâ. Íî ðàçâëå÷åíèÿ áûëè íå òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêèå. Íèêîãäà íå ïóñòîâàëè ôóòáîëüíîå ïîëå è âîëåéáîëüíàÿ ïëîùàäêà. Ïî âå÷åðàì ïðîõîäèëè èíòåëëåêòóàëüíûå èãðû, êîòîðûå ïðîâîäèëè Í.Ì.Íåòðóñîâà è À.Â.Õà÷àòóðÿí. Î÷åíü èíòåðåñíûå ïóòåøåñòâèÿ-ýêñêóðñèè îðãàíèçîâûâàëà Ò.Ï.Çîðèíà, êîòîðàÿ äàâíî óâëåêàåòñÿ èñòîðèåé Ñóäèñëàâëÿ è îêðåñòíûõ çåìåëü è òåïåðü ñòàëà, íàâåðíîå, ñàìûì ëó÷øèì ýêñêóðñîâîäîì ïî ýòîìó äðåâíåìó ãîðîäó. Áîëåå ïîäðîáíóþ èíôîðìàöèþ î ðåçóëüòàòàõ òóðíèðà è ôîòîãðàôèè ìîæíî ïîñìîòðåòü íà ñàéòå http://kostroma-open.info/20090626.html Îòáîðîì çàäà÷ è ñîñòàâëåíèåì âàðèàíòîâ çàíèìàëàñü ìåòîäè÷åñêàÿ êîìèññèÿ ïîä ðóêîâîäñòâîì Àëåêñàíäðà Âàñèëüåâè÷à Øàïîâàëîâà.  íåå âîøëè À.Ä.Áëèíêîâ, Þ.À.Áëèíêîâ, Í.Ò.Ãðåáåíèê, Å.Ñ.Ãîðñêàÿ, Ñ.À.Äîðè÷åíêî, À.À.Çàñëàâñêèé, Ä.À.Êàëèíèí, Ò.Â.Êàðàâàåâà, Ï.Â.Ìàðòûíîâ, Ê.À.Ìàòâååâ, Ä.Â.Ïðîêîïåíêî, È.Â.Ðàñêèíà, À.Á.Ñêîïåíêîâ, Ê.À.Ñêîïöîâ, Ñ.È.Òîêàðåâ, À.Â.Øàïîâàëîâ. Ñóùåñòâåííûé âêëàä â ðàáîòó êîìèññèè âíåñëè ðóêîâîäèòåëè êîìàíä. Êíèãè è äðóãèå ïðèçû äëÿ ïîáåäèòåëåé ïðåäîñòàâèëè æóðíàë «Êâàíò», êîìïàíèÿ «ßíäåêñ» è Ôîíä ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ è ïðîñâåùåíèÿ (äèðåêòîð Ñ.È.Êîìàðîâ). Ïî òðàäèöèè, èäóùåé åùå îò ïåðâûõ òóðíèðîâ, â òóðíèðå áûëî çàÿâëåíî ìíîãî íîâûõ àâòîðñêèõ çàäà÷. Èç íèõ ìû ïîñòàðàëèñü âûáðàòü òàêèå, ãäå èç óñëîâèé ñëåäóåò ÷óòü-÷óòü áîëüøå, ÷åì ìîæíî îæèäàòü, èëè â ðåøåíèè åñòü íåîæèäàííûé ïîâîðîò è êðàòêîñòü. Ïîñëå íîìåðà êàæäîé çàäà÷è óêàçàíî, äëÿ êàêèõ êëàññîâ îíà íàèáîëåå ïîäõîäèò. 19-31.p65 30 Èçáðàííûå çàäà÷è òóðíèðà 1 (78). Ó òðåõ áðàòüåâ Àíòîíà, Áîðè è Âàñè äíè ðîæäåíèÿ ñîâïàäàþò. Îêàçàëîñü, ÷òî êîãäà Aíòîíó èñïîëíèòñÿ 12 ëåò, ñóììà âîçðàñòîâ äâóõ äðóãèõ áðàòüåâ ðàçäåëèòñÿ íà 12 áåç îñòàòêà. Òî æå ñàìîå ñëó÷èòñÿ, êîãäà 12 ëåò èñïîëíèòñÿ Áîðå. Äîêàæèòå, ÷òî òàê æå áóäåò, êîãäà 12 ëåò èñïîëíèòñÿ Âàñå. À.Øàïîâàëîâ 2 (7).  ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ABC (AB = = AC) ïðîâåäåíà áèññåêòðèñà BD. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó D ïåðïåíäèêóëÿðíî BD, ïåðåñåêàåò ñòîðîíó BC â òî÷êå K. Äîêàæèòå, ÷òî BK = 2CD. Ôîëüêëîð 3 (78). Òðè ñòàëêåðà äîøëè äî Êàìåííîé Àíîìàëèè. Îòòóäà ê êëàäó âåäåò òðîïà äëèíîé 100 ì. Ñòàëêåðû çíàþò, ÷òî ïåðâûé ïîøåäøèé ïî òðîïå îêàìåíååò â ïðîèçâîëüíîì ìåñòå è ÷òî òàêàÿ æå ó÷àñòü æäåò è âòîðîãî. Îáà îæèâóò â òîò ìîìåíò, êîãäà òðåòèé áóäåò èäòè ïî òðîïå è ñóììàðíîå ðàññòîÿíèå îò íåãî äî äâóõ îêàìåíåâøèõ ñïóòíèêîâ áóäåò â òî÷íîñòè ðàâíî 100 ì. Ìîãóò ëè ñòàëêåðû äîáðàòüñÿ äî êëàäà áåç ðèñêà îêàìåíåòü íàâñåãäà? À.Áëèíêîâ, È.Ðàñêèíà 4 (8). Òðè îêðóæíîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó Ð è ïîïàðíî ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ À,  è Ñ. Èçâåñòíî, ÷òî öåíòð îäíîé îêðóæíîñòè ëåæèò íà ïðÿìîé ÀÐ, à öåíòð äðóãîé íà ïðÿìîé ÂÐ. Äîêàæèòå, ÷òî öåíòð òðåòüåé îêðóæíîñòè ëåæèò íà ïðÿìîé ÑÐ. Á.Ôðåíêèí 5 (8). Ìîæíî ëè ðàçáèòü âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 2009 íà äâå ãðóïïû òàê, ÷òîáû ñóììà ÷èñåë â îäíîé ãðóïïå ðàâíÿëàñü ïðîèçâåäåíèþ ÷èñåë â äðóãîé ãðóïïå? À.Øàïîâàëîâ 6 (8). Íà êëåò÷àòîé áóìàãå íàðèñîâàí 222-óãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè ïî ãðàíèöàì êëåòîê. Èç êàêîãî íàèìåíüøåãî ÷èñëà êëåòîê ìîæåò ñîñòîÿòü ýòîò ìíîãîóãîëüíèê? À.Øàïîâàëîâ 30.09.09, 16:34 Ê 7 (68). Ïî êðóãó ñòîÿò ëæåöû è ðûöàðè, âñåãî 100 ÷åëîâåê.  ïåðâûé ðàç êàæäîãî ñïðîñèëè «Âåðíî ëè, ÷òî òâîé ñîñåä ñïðàâà ëæåö?» Äâîå îòâåòèëè «äà», îñòàëüíûå «íåò». Âî âòîðîé ðàç êàæäîãî ñïðîñèëè: «Âåðíî ëè, ÷òî òâîé ñîñåä ñëåâà ÷åðåç îäíîãî ëæåö?» È ñíîâà äâîå îòâåòèëè «äà», îñòàëüíûå «íåò».  òðåòèé ðàç ñïðîñèëè: «Âåðíî ëè, ÷òî ñòîÿùèé íàïðîòèâ òåáÿ ëæåö?» Ñêîëüêî ÷åëîâåê íà ýòîò ðàç îòâåòÿò «äà»? À.Øàïîâàëîâ 8 (78). Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, çàïèñûâàåìîå îäèíàêîâûìè öèôðàìè è äåëÿùååñÿ íà 2009. Ñ.Òîêàðåâ 9 (8). Äèàãîíàëè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ïåðïåíäèêóëÿðíû. Íàéäèòå åãî óãëû, åñëè èçâåñòíî, ÷òî òðè èç íèõ ðàâíû, à âñå ñòîðîíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàçëè÷íû. À.Çàñëàâñêèé 10 (78). Ìîæíî ëè ðàçáèòü êâàäðàò 20 × 20 íà äîìèíîøêè 1 × 2 òàê, ÷òîáû êàæäàÿ ãðàíè÷èëà ïî îòðåçêó ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì äðóãèõ äîìèíîøåê? À.Øàïîâàëîâ 11 (78). Íà äîñêó âûïèñàíû ÷åðåç çàïÿòóþ ÷èñëà 1, 2, 3, , 2009. Äâîå èãðàþùèõ ïî î÷åðåäè çàìåíÿþò êàêóþ-íèáóäü çàïÿòóþ íà + èëè × (óìíîæèòü). Åñëè ïîñëå çàìåíû âñåõ çàïÿòûõ ðåçóëüòàò áóäåò ÷åòíûì, âûèãðûâàåò ïåðâûé, åñëè íå÷åòíûì âòîðîé. Êòî èç èãðîêîâ ìîæåò âûèãðûâàòü, êàê áû íè èãðàë ñîïåðíèê? À.Øàïîâàëîâ 12 (78). Äåñÿòü ðåáÿò íà ëóæàéêå èãðàþò â ïåéíòáîë. Ñíà÷àëà êàæäûé âûñòðåëèë êðàñêîé â áëèæàéøåãî ê ñåáå. (Åñëè èãðîêîâ, ðàñïîëîæåííûõ áëèæå âñåãî ê ñòðåëÿþùåìó, íåñêîëüêî, òî îí ñòðåëÿåò â ëþáîãî èç íèõ.) Çàòåì êàæäûé âûñòðåëèë â íàèáîëåå óäàëåííîãî îò ñåáÿ (åñëè òàêîâûõ íåñêîëüêî òî â ëþáîãî èç íèõ). Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ïîðöèé êðàñêè ìîãëî â èòîãå ïîïàñòü â îäíîãî èãðîêà? Ñ.Òîêàðåâ 13 (78).  òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíà ìåäèàíà BM. Íàéäèòå ∠ABC, åñëè ∠BAC = 30° , à ∠BMC = = 45° . Ñ.Òîêàðåâ 14 (78). Ìîæíî ëè âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 200 âûïèñàòü ïî êðóãó òàê, ÷òîáû äëÿ ëþáûõ äâóõ ñîñåäíèõ ÷èñåë õîòÿ áû îäíî îòëè÷àëîñü îò äðóãîãî íà öåëîå ÷èñëî ïðîöåíòîâ? È.Àêóëè÷ 15 (78). Íàçîâåì ðàçíîñòîðîííîñòüþ òðåóãîëüíèêà îòíîøåíèå åãî íàèáîëüøåé ñòîðîíû ê íàèìåíüøåé, à ðàçíîóãîëüíîñòüþ îòíîøåíèå åãî íàèáîëüøåãî óãëà ê íàèìåíüøåìó. Ïåòÿ óâåðåí, ÷òî ÷åì áîëüøå ðàçíîñòîðîííîñòü òðåóãîëüíèêà, òåì áîëüøå åãî ðàçíîóãîëüíîñòü. Ïðàâ ëè îí? È.Àêóëè÷ Ì ! Ø ëåííûé èç ôàíåðû. Óãîëüíèê ìîæíî ïðèêëàäûâàòü ê äîñêå (â òîì ÷èñëå ê óæå íà÷åð÷åííûì ïðÿìûì è òî÷êàì) è ÷åðòèòü ëèíèè ïî åãî êðàþ. Âñåãäà ëè ìîæíî ïîñòðîèòü êàêóþ-íèáóäü èç âûñîò íàðèñîâàííîãî òðåóãîëüíèêà? À.Áëèíêîâ, Þ.Áëèíêîâ 17 (8). Íà ñòîëå ëåæàò 10 êóñêîâ ñûðà. Ïåòÿ ñúåäàåò ñàìûé ìàëåíüêèé (ïî âåñó) êóñîê. Çàòåì îí ðåæåò îäèí èç îñòàâøèõñÿ íà ñòîëå êóñêîâ íà äâå ÷àñòè, è ñíîâà áåðåò ñåáå ñàìûé ìàëåíüêèé èç ïîëó÷èâøèõñÿ 10 êóñêîâ. Ýòè äåéñòâèÿ ðàçðåçàíèå è âçÿòèå êóñêà Ïåòÿ ïîâòîðÿåò, ïîêà íå ñúåñò 9 êóñêîâ. Äîêàæèòå, ÷òî Ïåòÿ ñúåñò íå áîëåå ïîëîâèíû ñûðà (ïî âåñó). À.Øàïîâàëîâ 18 (8). Èçìåðèâ äëèíû ñòîðîí è âûñîò íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà, Òàíÿ ïîëó÷èëà 6 ðàçëè÷íûõ ÷èñåë è çàïèñàëà èõ íà 6 êàðòî÷êàõ. Ïåðåòàñîâàâ êàðòî÷êè, îíà âûñëàëà èõ Áîðå. Âñåãäà ëè ñìîæåò Áîðÿ âûáðàòü èç íèõ òðè êàðòî÷êè, íà êîòîðûõ âûïèñàíû äëèíû ñòîðîí? Á.Ôðåíêèí 19 (68). Åñòü 63 îäèíàêîâûå ñ âèäó ìîíåòû, îäíà èç íèõ ôàëüøèâàÿ, îíà ëåã÷å íàñòîÿùåé. Åñòü ÷àøå÷íûå âåñû áåç ãèðü, ó êîòîðûõ ïðàâàÿ ÷àøà âûìàçàíà êðàñêîé. Êàê çà 5 âçâåøèâàíèé âûÿâèòü ôàëüøèâóþ ìîíåòó, åñëè ìîíåòû, ïîáûâàâøèå íà ïðàâîé ÷àøå, íåëüçÿ ïîñëå ýòîãî êëàñòü íà ëåâóþ? À.Øàïîâàëîâ 20 (8).  êëàññå 32 ÷åëîâåêà. Êàæäûé èç íèõ íàçâàë äâà ÷èñëà: êîëè÷åñòâî åãî îäíîêëàññíèêîâ ñ òàêèì æå ðîñòîì, íî äðóãèì âåñîì, è êîëè÷åñòâî åãî îäíîêëàññíèêîâ ñ òàêèì æå âåñîì, íî äðóãèì ðîñòîì. Ñðåäè íàçâàííûõ ÷èñåë âñòðåòèëèñü âñå ÷èñëà îò 0 äî 10. Äîêàæèòå, ÷òî â ýòîì êëàññå ìîæíî âûáðàòü äâóõ ÷åëîâåê ñ îäèíàêîâûì ðîñòîì è îäèíàêîâûì âåñîì. Ê.Ìàòâååâ, À.Øàïîâàëîâ 21 (8). Ðåøèòå ñèñòåìó x 5 + y 3 = 2z, 5 3 y + z = 2x, 5 3 z + x = 2y. 22 (8). Íà äîñêå íàïèñàíû äâà âûðàæåíèÿ: x + y + z è x2 + y2 + z2 . Èãðàþò äâîå, îíè ïî î÷åðåäè çàìåíÿþò x, y è z â âûðàæåíèÿõ íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè (âíà÷àëå ïåðâûé èãðîê çàìåíÿåò x, çàòåì âòîðîé y, è íàêîíåö ïåðâûé z). Ïåðâûé èãðîê õî÷åò, ÷òîáû â èòîãå îáà âûðàæåíèÿ äåëèëèñü íà 101, à âòîðîé ïûòàåòñÿ ïîìåøàòü ýòîìó. Êòî ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå ïîáåäó, êàê áû íè èãðàë åãî ïðîòèâíèê? Â.Ñåíäåðîâ, È.Áîãäàíîâ Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ä.Êàëèíèí, À.Øàïîâàëîâ 16 (78). Íà äîñêå íàðèñîâàí íåðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê. Èìååòñÿ óãîëüíèê òîé æå ôîðìû, âûïè- 19-31.p65 31 Â.Ñåíäåðîâ 30.09.09, 16:34 ! åñëè ó âàñ èìååòñÿ ïëîñêàÿ ïîâåðõíîñòü, ñîâåðøåííî ãëàäêàÿ, êàê çåðêàëî, à èç âåùåñòâà òâåðäîãî, êàê ñòàëü, íå ïàðàëëåëüíàÿ ãîðèçîíòó, íî íåñêîëüêî íàêëîííàÿ, è åñëè âû ïîëîæèòå íà íåå ñîâåðøåííî êðóãëûé øàð èç âåùåñòâà òÿæåëîãî è âåñüìà òâåðäîãî, íàïðèìåð èç áðîíçû, òî ÷òî, äóìàåòå âû, îí ñòàíåò äåëàòü, áóäó÷è ïðåäîñòàâëåí ñàìîìó ñåáå? ïîâòîðÿÿ îïûòû ñîòíè ðàç, ìû ïîñòîÿííî íàõîäèëè, ÷òî îòíîøåíèå ïðîéäåííûõ ïóòåé ðàâíî îòíîøåíèþ êâàäðàòîâ âðåìåí èõ ïðîõîæäåíèÿ ïðè âñåõ íàêëîíàõ ïëîñêîñòè Ñòåïåíè ñêîðîñòè, ïðèîáðåòàåìûå îäíèì è òåì æå òåëîì ïðè äâèæåíèè ïî ðàçíûì íàêëîííûì ïëîñêîñòÿì, ðàâíû ìåæäó ñîáîé, åñëè âûñîòû ýòèõ íàêëîííûõ ïëîñêîñòåé îäèíàêîâû Òåëà, îïóñêàþùèåñÿ ïî äóãàì, ñîîòâåòñòâóþùèì õîð- äàì, íàêëîíåííûì ê ãîðèçîíòó , ñîâåðøàþò äâèæåíèå, êàê ïîêàçûâàåò îïûò, òàêæå â ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè è ïðèòîì ìåíüøèå, íåæåëè äâèæåíèå ïî õîðäàì. Ãàëèëåî Ãàëèëåé òåëî, ïàäàþùåå ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè, äâèæåòñÿ íåñâîáîäíî, òàê êàê íàõîäÿùàÿñÿ âíèçó ïëîñêîñòü ïðåïÿòñòâóåò òåëó ïàäàòü ïðÿìî, êàê ýòîãî òðåáóåò ñèëà òÿæåñòè. Ëåîíàðä Ýéëåð Ñèëû, âîçíèêàþùèå ïðè äâèæåíèè ÷àñòèöû âíèç ïî ñêëîíó ïîä äåéñòâèåì òÿæåñòè, âåñüìà è âåñüìà çàïóòàíû Ðè÷àðä Ôåéíìàí ? À òàê ëè õîðîøî çíàêîìà âàì íàêëîíàÿ ïëîñêîñòü ×òî ñîáîé ïðåäñòàâëÿåò íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü îáúåêò íàáëþäåíèé, ïðèáîð äëÿ ïðîâåäåíèÿ îïûòîâ, ïðîñòîé ìåõàíèçì? È òî, è äðóãîå, è òðåòüå ïîòîìó è ñòàëà ïåðñîíàæåì «Êàëåéäîñêîïà», òåì áîëåå ÷òî îòêðûòèå îñíîâîïîëàãàþùèõ çàêîíîâ ìåõàíèêè òðóäíî ïðåäñòàâèòü áåç åå ó÷àñòèÿ. Âåëèêèé Ãàëèëåé, ñ êîòîðîãî è íà÷àëîñü ñîâðåìåííîå åñòåñòâîçíàíèå, ñóìåë ñäåëàòü åå íàäåæíûì ïîìîùíèêîì â ñâîèõ ýêñïåðèìåíòàõ è âûâîäàõ, î ÷åì ìîæíî ñóäèòü ïî ÷èñëó óïîìèíàíèé î íåé â åãî òðóäàõ, ÷òî ëèøü ìàëîé ÷àñòüþ îòðàæåíî â ýïèãðàôå. Êîíå÷íî, íàêëîííûå ïëîñêîñòè ïðèìåíÿëè åùå ñòðîèòåëè åãèïåòñêèõ ïèðàìèä, ïîäíèìàÿ ñ èõ ïîìîùüþ êàìåííûå áëîêè ìàññîé â äâå ñ ïîëîâèíîé òîííû íà âûñîòó â ïîëòîðàñòà ìåòðîâ. Íî ýòè ïëîñêîñòè íåîòúåìëåìàÿ ÷àñòü è ñåãîäíÿøíåé íàøåé æèçíè. Ïðèíöèï èõ äåéñòâèÿ èñïîëüçóåòñÿ â ëþáîì âèíòîâîì óñòðîéñòâå, íà÷èíàÿ îò øóðóïîâ è êîí÷àÿ íàâèí÷èâàåìûìè êðûøêàìè áàíîê è áóòûëîê. À êàê îáîéòèñü áåç çíàíèé î íàêëîííûõ ïëîñêîñòÿõ ïðè ñòðîèòåëüñòâå àâòîìîáèëüíûõ è æåëåçíûõ äîðîã, â îñîáåííîñòè íà ïåðåñå÷åííîé èëè ãîðíîé ìåñòíîñòè, ïðè ïðîåêòèðîâàíèè ôóíèêóëåðîâ è ýñêàëàòîðîâ, ïðè ïðîêëàäêå ãîðíîëûæíûõ ñïóñêîâ è âîçâåäåíèè òðàìïëèíîâ, ïðè îðãàíèçàöèè àòòðàêöèîíîâ èëè îáîðóäîâàíèè ïàíäóñîâ äëÿ èíâàëèäîâ, ïðè èññëåäîâàíèè ñïîëçàíèÿ ëåäíèêîâ è ñõîäà ëàâèí?.. Ìíîæåñòâî ïðèìåðîâ ëèøü ïîäòâåðæäàþò âàæíîñòü îáðàùåíèÿ ê ýòîìó ïðîñòîìó ìåõàíèçìó, «ïðîñòîòà» êîòîðîãî, ïî ìíåíèþ Ôåéíìàíà, íå òàê î÷åâèäíà, êàê êàæåòñÿ, â ÷åì ìû ïðèçûâàåì óáåäèòüñÿ è âàñ. Âîïðîñû è çàäà÷è 1. Ñêîðîñòü ìîíåòû, ñîñêàëüçûâàþùåé ñ êëèíà, èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå. Ãðàôè÷åñêèì ïîñòðîåíèåì íàéäèòå ñêîðîñòü êëèíà. 2. Èç âåðõíåé òî÷êè âåðòèêàëüíîãî äèñêà ïðîðåçàí æåëîá, ñîñòàâëÿþùèé óãîë α ñ âåðòèêàëüíûì äèàìåòðîì äèñêà. Êàê çàâèñèò âðå- 32-47.p65 32 ìÿ ñêîëüæåíèÿ ãðóçèêà ïî æåëîáó îò óãëà α , åñëè òðåíèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü? 3. Ïîä êàêèì óãëîì ê âåðòèêàëè äîëæåí áûòü íàïðàâëåí èç òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ íàä íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ, ãëàäêèé æåëîá, ÷òîáû øàðèê ñîñêîëüçíóë ïî íåìó íà ïëîñêîñòü çà íàèìåíüøåå âðåìÿ? 4.  ïðÿìîóãîëüíîé òðóáêå íàõîäèòñÿ ïîðøåíü, ôîðìà êîòîðîãî â ñå÷åíèè ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå. Äàâëåíèå æèäêîñòè ïî îáå ñòîðîíû ïîðøíÿ â ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîé òðóáêå îäèíàêîâî. Áóäåò ëè ïîðøåíü íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè? 5. Äâå ìåíçóðêè îäèíàêîâîé äëèíû çàïîëíåíû âîäîé, îäíà ðàñïîëîæåíà âåðòèêàëüíî, äðóãàÿ ïîä óãëîì 30° ê ãîðèçîíòó. Êàê áóäóò ðàçëè÷àòüñÿ äàâëåíèÿ âîäû íà äíî ìåíçóðîê? 6. Íà äîñêó ïîëîæèëè äâà îäèíàêîâûõ êèðïè÷à îäèí ïëàøìÿ, à âòîðîé íà ðåáðî. Êàêîé êèðïè÷ ñîñêîëüçíåò ñ äîñêè ïåðâûì (åñëè ïðè ýòîì îí íå îïðîêèäûâàåòñÿ), êîãäà äîñêó ñòàíóò íàêëîíÿòü? 7. Áðóñîê íàõîäèòñÿ íà øåðîõîâàòîé ïëîñêîñòè, óãîë íàêëîíà êîòîðîé ìîæíî èçìåíÿòü îò 0 äî 90°. ×òî ïðè ýòîì áóäåò ïðîèñõîäèòü ñ ñèëîé òðåíèÿ, äåéñòâóþùåé íà áðóñîê, åñëè ïðåíåáðå÷ü ÿâëåíèåì çàñòîÿ? 8. Íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ óãëîì íàêëîíà α ïîêîèòñÿ ìîíåòà ìàññîé m. Ñ êàêîé ñèëîé ðåàêöèè íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü äåéñòâóåò íà ìîíåòó? ×åìó ðàâíà ïðè ýòîì ñèëà òðåíèÿ? 9. Íà êëèí, ïëîñêîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò óãîë α ñ ãîðèçîíòîì, ïîëîæèëè íåáîëüøîå òåëî. Êàêîå óñêîðåíèå íàäî ñîîáùèòü êëèíó â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè, ÷òîáû òåëî ñâîáîäíî ïàäàëî? 10. Íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ëåæèò ìîíåòà, óäåðæèâàåìàÿ ñèëîé òðåíèÿ. Êàê îíà áóäåò äâèãàòüñÿ, åñëè åé ñîîáùèòü ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü âäîëü ïëîñêîñòè? 11. Êàêîé ñèëîé . ìîæíî óäåðæàòü íà ìåñòå áðóñîê ìàññîé m, ëåæàùèé íà ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ óãëîì ïðè îñíîâàíèè α ? 30.09.09, 12:33 12. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê óêðåïëåí íà òåëåæêå, ñêàòûâàþùåéñÿ áåç òðåíèÿ ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Íàéäèòå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ìàÿòíèêà. 13. Ëåâûé êëèí ìåäëåííî âäâèãàþò ïîä ïðàâûé, îòíîøåíèå êàòåòîâ â êîòîðîì ïðåäñòàâëåíî íà ðèñóíêå. Êàêèì äîëæåí áûòü óãîë α , ÷òîáû ïðàâûé êëèí ïåðåâåðíóëñÿ? 14. Ïðè êàêîì óñëîâèè âèíò ìîæåò ñëóæèòü äëÿ êðåïëåíèÿ äåòàëåé? 15. Ñ âåðøèíû ñîðòèðîâî÷íîé ãîðêè ïîî÷åðåäíî ñêàòûâàþò äâà âàãîíà: îäèí ïóñòîé, äðóãîé ãðóæåíûé. Êàêîé âàãîí ïðîåäåò äàëüøå ïî ïðÿìîëèíåéíîìó ó÷àñòêó ïîñëå ñêàòûâàíèÿ ñ ãîðêè? 16. Åñëè àâòîìîáèëü âúåçæàåò íà ãîðó ïðè íåèçìåííîé ìîùíîñòè äâèãàòåëÿ, òî åãî ñêîðîñòü äâèæåíèÿ óìåíüøàåòñÿ. Ïî÷åìó? 17. Öèëèíäð, äèàìåòð êîòîðîãî ðàâåí åãî âûñîòå, îäèí ðàç ñîñêàëüçûâàåò ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè âäîëü ñâîåé îáðàçóþùåé, à äðóãîé ðàç ñêàòûâàåòñÿ ñ òîé æå òî÷êè ïëîñêîñòè. Ñðàâíèòå ïîñòóïàòåëüíûå ñêîðîñòè öèëèíäðà ó îñíîâàíèÿ íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñ÷èòàÿ êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ ìåæäó öèëèíäðîì è ïëîñêîñòüþ î÷åíü ìàëûì. 18.  êóçîâå ãðóçîâèêà íàõîäÿòñÿ òðè îäèíàêîâûõ ãëàäêèõ áðåâíà, ðàñïîëîæåííûõ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Íà êàêîé óãîë α ìîæåò íàêðåíèòüñÿ êóçîâ, ÷òîáû âåðõíåå áðåâíî íå ñêàòèëîñü íà áîðò? Ìèêðîîïûò Ñêëåéòå öèëèíäð èç ïëîòíîé áóìàãè (ìîæíî âçÿòü êàðòîííóþ âòóëêó îò ðóëîíà òóàëåòíîé áóìàãè) è çàêðåïèòå íà åãî âíóòðåííåé ñòîðîíå êóñîê ïëàñòèëèíà. Òàêîé öèëèíäð ìîæåò êàòèòüñÿ ââåðõ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Êàê ýòîãî äîáèòüñÿ? Ëþáîïûòíî, ÷òî íàèáîëåå ãåíèàëüíûì èçîáðåòåíèåì Àðõèìåäà áûë âîäîïîäúåìíûé âèíò. Ïî îöåíêå Ãàëèëåÿ, ýòî óñòðîéñòâî «íå òîëüêî âåëèêîëåïíî, íî ïðîñòî ÷óäåñíî, ïîñêîëüêó ìû âèäèì, ÷òî âîäà ïîäíèìàåòñÿ â âèíòå, áåñïðåðûâíî îïóñêàÿñü». Àðõèìåäîâ âèíò èñïîëüçîâàëñÿ, íàïðèìåð, â Åãèïòå êàê äëÿ ïîäúåìà âîäû íà âîçâûøåííîñòè (íà âûñîòó äî 4 ìåòðîâ), êîòîðûõ îáû÷íî ðàçëèâ Íèëà íå äîñòèãàë, òàê è äëÿ îñóøåíèÿ íèçìåííûõ ìåñòíîñòåé. ñî âðåìåí ïîñëåäîâàòåëåé Àðõèìåäà Ãåðîíà è Ïàïïà ìåõàíèêó ñòàëè ñ÷èòàòü íàóêîé î ïðîñòûõ ìàøèíàõ: âîðîòå, ðû÷àãå, áëîêå, êëèíå è âèíòå. Äâà ïîñëåäíèõ îñíîâàíû íà ñâîéñòâàõ íàêëîííîé ïëîñêîñòè, çàêîí äåéñòâèÿ êîòîðîé, ïðàâäà, ñàìîìó Àðõèìåäó èçâåñòåí íå áûë. èçó÷àÿ ðàâíîâåñèå çàìêíóòîé öåïî÷êè, íàáðîøåííîé íà äâå íàêëîííûå ïëîñêîñòè, ãîëëàíäñêèé ó÷åíûé Ñèìîí Ñòåâèí â ñâîåé ðàáîòå «Íà÷àëà ñòàòèêè» äîêàçàë, ÷òî ñèëà, ñêàòûâàþùàÿ ãðóç, âî ñòîëüêî æå ðàç 32-47.p65 33 ìåíüøå åãî âåñà, âî ñêîëüêî ðàç âûñîòà ïëîñêîñòè ìåíüøå åå äëèíû. â òðàêòàòå, ñîñòàâëåííîì â ïåðèîä ÷òåíèÿ èì ïóáëè÷íûõ ëåêöèé â 15971598 ãîäàõ, Ãàëèëåé, íå çíàÿ åùå çàêîíà ðàçëîæåíèÿ ñèë, ðàññìàòðèâàë ñíà÷àëà ðû÷àã, çàòåì ñâîäèë ê ðû÷àãó êëèí, ê êëèíó íàêëîííóþ ïëîñêîñòü, à ê íàêëîííîé ïëîñêîñòè âèíò. çàêîíû ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ òåë Ãàëèëåé óñòàíàâëèâàë ñ ïîìîùüþ íàêëîííîé ïëîñêîñòè æåëîáà, îêëååííîãî èçíóòðè ïîëèðîâàííûì ïåðãàìåíòîì, ïðèìåíÿÿ åå äëÿ «óìåíüøåíèÿ» óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ â çàäàííîå ÷èñëî ðàç... ðàçáèðàÿ äâèæåíèå ïî ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ «íè âíèç íå îïóñêàåòñÿ, íè ââåðõ íå ïîäíèìàåòñÿ», Ãàëèëåé âûÿâèë ñâîéñòâî òåë ñîõðàíÿòü ñâîþ ñêîðîñòü, õîòÿ åùå íå íàøåë ïîëíîé è òî÷íîé ôîðìóëèðîâêè çàêîíà èíåðöèè, ÷òî ïðåäñòîÿëî ñäåëàòü Íüþòîíó. èññëåäóÿ ïåðåêàòûâàíèå øàðà «ñ ãîðêè íà ãîðêó», Ãàëèëåé ïðåäïîëîæèë, ÷òî, ãîâîðÿ ñîâðåìåííûì ÿçûêîì, ïðèîáðåòàåìàÿ ïðè ñïóñêå ñêîðîñòü íå çàâèñèò îò ôîðìû ïóòè, ïî êîòîðîìó äâèæåòñÿ òåëî. Ãàëèëåé, åñòåñòâåííî, íå çíàë, ÷òî òàêîå ïîëîæåíèå âûòåêàåò èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, îäíàêî îí ýòîò çàêîí ïðåä÷óâñòâîâàë è ïðèìåíÿë â ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ ïàäåíèÿ òåëà èëè äâèæåíèÿ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè è â îïûòàõ ñ ìàÿòíèêîì. Ãàëèëåé ãåîìåòðè÷åñêèì ìåòîäîì ïîñòðîèë òåîðèþ äâèæåíèÿ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè è äâèæåíèÿ ïî õîðäàì êðóãà, ïîêàçàâ, ÷òî ïî äóãå êðóãà, êîòîðàÿ ìåíüøå èëè ðàâíà ÷åòâåðòè îêðóæíîñòè, òåëî ñîñêàëüçûâàåò áûñòðåå, ÷åì ïî ñòÿãèâàþùåé õîðäå. Ýòèì îí ïðåäâîñõèòèë ïîñòàíîâêó çàäà÷è î ïîèñêå ëèíèè áûñòðåéøåãî ñïóñêà áðàõèñòîõðîíû, çàäà÷è, ðåøåííîé â 1697 ãîäó Èîãàííîì Áåðíóëëè. Óðàâíåíèå ýòîé êðèâîé, îêàçàâøåéñÿ öèêëîèäîé, èñïîëüçóåòñÿ, êñòàòè, ïðè ïðîåêòèðîâàíèè ñàííûõ òðàññ è «àìåðèêàíñêèõ» ãîðîê. ïðè çàâèí÷èâàíèè áîëòà ñ øàãîì ðåçüáû â 1 ìèëëèìåòð ñ ïîìîùüþ ãàå÷íîãî êëþ÷à äëèíîé 30 ñàíòèìåòðîâ ìû âûèãðûâàåì â ñèëå â äâå òûñÿ÷è ðàç, ÷òî ëèáî ïîçâîëÿåò íàäåæíî ñêðåïëÿòü äåòàëè, ëèáî ëåãêèì óñèëèåì ïåðåäâèãàòü áîëüøèå òÿæåñòè. ÷òîáû àâòîìîáèëè íå âûëåòàëè íà ïîâîðîòàõ, äîðîãè â ýòèõ ìåñòàõ äåëàþò íàêëîííûìè. Ïðàâèëüíûé óãîë íàêëîíà ñîîòâåòñòâóåò ðàäèóñó ïîâîðîòà è îïðåäåëåííîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ, íà êîòîðóþ íåîáõîäèìî óñòàíàâëèâàòü îãðàíè÷åíèå. À âîò âåëîñèïåäíûå òðåêè èìåþò íà ïîâîðîòàõ ïåðåìåííûé íàêëîí â ðàñ÷åòå íà ðàçëè÷íûå ñêîðîñòè, äîñòèãàåìûå ñïîðòñìåíàìè. ×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå» î íàêëîííîé ïëîñêîñòè (ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò) 1. «Êîìáèíèðîâàííûå çàäà÷è ïî ìåõàíèêå» 2003, Ïðèëîæåíèå ¹6, ñ. 92; 2. «Î äèíàìèêå êðèâîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ» 2005, ¹2, ñ. 30; 3. «Öåíòð ìàññ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû» 2006, ¹2, ñ. 25; 4. «Êàêàÿ ãîðêà ñàìàÿ áûñòðàÿ»?» 2006, Ïðèëîæåíèå ¹6, ñ. 68; 5. «È òåëåæêà â ãîðó åäåò » 2008, ¹5, ñ. 35; 6. «Ïîäâîäíûå êàìíè» ñèëû Àðõèìåäà» 2009, ¹2, ñ. 46. Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷ 30.09.09, 12:33 !" Ê ÂÀÀ Í T « 2 0Ê 0 9 /¹ ØÊÎË À5 Í Ò Å » Çàãàäêè ìàãíèòíîé ñòðåëêè È.ËÅÅÍÑÎÍ Â ÏÅÐÂÎÉ ×ÀÑÒÈ ÑÒÀÒÜÈ ÐÀÑÑÊÀÇÛÂÀËÎÑÜ Î ×ÅÒÛÐÅÕ ïðîñòûõ çàãàäêàõ ìàãíèòíîé ñòðåëêè. À òåïåðü áîëåå òðóäíûå çàãàäêè. Çàãàäêà ïÿòàÿ. Âîçüìèòå êîìïàñ, îñâîáîäèòå ñòðåëêó îò çàæèìà (îí íóæåí äëÿ òîãî, ÷òîáû ñòðåëêà ïîïóñòó íå áîëòàëàñü è íå ñòèðàëà îñü) è ïîäíåñèòå êîìïàñ ê ìàññèâíîìó ïðåäìåòó èç ÷óãóíà, íàïðèìåð ê áàòàðåå îòîïëåíèÿ. Âû óâèäèòå, ÷òî ê âåðõíåé ÷àñòè áàòàðåè ñòðåëêà áóäåò îáðàùåíà ñèíèì êîíöîì, à ê íèæíåé ÷àñòè êðàñíûì. Êàê ýòî îáúÿñíèòü? Ýòîò îïûò âïîëíå ìîæíî ïîêàçûâàòü êàê ôîêóñ, ïðè÷åì âðÿä ëè êòî èç ïðèñóòñòâóþùèõ ñðàçó ñìîæåò åãî ðàçãàäàòü. È ÷åì ñåâåðíåå âû æèâåòå, òåì áîëåå ÷åòêî áóäåò ïðîÿâëÿòüñÿ ýòîò ýôôåêò. Ìíîãî ëåò íàçàä îäíà èç ãàçåò íàïå÷àòàëà ëþáîïûòíóþ ñòàòüþ î òîì, êàê ïðîõîäÿò âñòóïèòåëüíûå ýêçàìåíû â Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò. Ñàìûì èíòåðåñíûì îêàçàëñÿ âîïðîñ, êîòîðûé çàäàëè íå ýêçàìåíàòîðû, à îäíà èç ïîñòóïàþùèõ (è òàêîå ñëó÷àåòñÿ). Çàãàäêà øåñòàÿ. Äåâóøêà ïðîäåëàëà äîìà îïûò, ðåçóëüòàò êîòîðîãî ïîêàçàëñÿ åé ñòðàííûì: áîëüøàÿ êîíñåðâíàÿ áàíêà îòðûâàëà îò ñèëüíîãî ìàãíèòà ïðèòÿíóòóþ èì æåëåçíóþ êíîïêó.  ÷åì òóò äåëî? Ýòî è â ñàìîì äåëå çàãàäêà. Êîíñåðâíûå áàíêè äåëàþò èç æåñòè, êîòîðàÿ íå íàìàãíè÷èâàåòñÿ. À åñëè îíà è «ïåðåäàåò» äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî ìàãíèòà, ñ êîòîðûì ñîïðèêàñàåòñÿ, òî óæ, êîíå÷íî, íå ìîæåò ñòàòü «ñèëüíåå» åãî è ïåðåòÿíóòü êíîïêó íà ñâîþ ñòîðîíó. Íî îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ìîæåò! Äàâàéòå ïðîâåðèì. Âñå, ÷òî íàì ïîòðåáóåòñÿ, ýòî äîñòàòî÷íî ñèëüíûé ïîäêîâîîáðàçíûé ìàãíèò è äâà áðóñêà èç íåìàãíèòíîãî æåëåçà (âåðíåå, èç ìàëîóãëåðîäèñòîé ñòàëè, òàê êàê èç ÷èñòîãî æåëåçà ïî÷òè íè÷åãî íå äåëàþò). Ñ òàêèìè áðóñêàìè óäîáíåå ñòàâèòü îïûòû, ÷åì ñ êíîïêîé è êîíñåðâíîé áàíêîé. Îäèí áðóñîê äîëæåí áûòü íåáîëüøèì íàïðèìåð, ïîäîéäåò îáûêíîâåííûé áîëò, êîòîðûé çàìåíèò êíîïêó, äðóãîé ìàññèâíûì, îí çàìåíèò áàíêó. Ñíà÷àëà óáåäèìñÿ, ÷òî íè áîëò, íè áðóñîê íå ÿâëÿþòñÿ ìàãíèòàìè (âåðíåå, íå îáëàäàþò îñòàòî÷íûì ìàãíåòèçìîì, ò.å. íå ìîãóò ñîõðàíÿòü íàìàãíè÷åííîñòü). Ïîäíåñåì èõ ïîî÷åðåäíî íà íåñêîëüêî ñåêóíä ê ïîñòîÿííîìó ìàãíèòó, à çàòåì ê æåëåçíûì îïèëêàì (èõ ìîæíî çàìåíèòü ìåëêèìè íåìàãíèòíûìè ãâîçäèêàìè, êàíöåëÿðñêèìè ñêðåïêàìè è ò.ï.). Îïèëêè íå äîëæíû ïðèòÿãèâàòüñÿ íè ê áîëòó, íè ê áðóñêó. Òåïåðü ðàñïîëîæèì íåìàãíèòíûé áðóñîê âåðòèêàëüíî, ïîñòàâèì íà íåãî áîëò è ñâåðõó ïîäíåñåì ìàãíèò. Ïðè ýòîì ìåæäó íèæíèì áðóñêîì è áîëòîì òîæå îáíàðóæèòñÿ ïðèòÿÍà÷àëî ñì. â «Êâàíòå» ¹3 çà ýòîò ãîä. 32-47.p65 34 æåíèå áîëò ïåðåäàåò ìàãíèòíîå äåéñòâèå ìàãíèòà. À äàëüøå (âíèìàíèå!) íà÷èíàåòñÿ ñàìîå èíòåðåñíîå. Êàê âû äóìàåòå, ÷òî áóäåò, åñëè, ïðèäåðæèâàÿ áðóñîê íà ìåñòå, ïðèêîñíóòüñÿ ìàãíèòîì ê áîëòó, à çàòåì ïîòÿíóòü ìàãíèò ââåðõ? Îòâåò êàê áóäòî î÷åâèäåí: ìàãíèò îòîðâåò áîëò îò áðóñêà. Íè÷åãî ïîäîáíîãî íå îòîðâåò, áîëò îñòàíåòñÿ íà ìåñòå. Ñòðàííûé ðåçóëüòàò... Ìîæåò áûòü, áîëò ñëèøêîì òÿæåë? Íî òîãäà ïî÷åìó ìàãíèò ëåãêî ïîäíèìàåò åãî, êîãäà ñíèçó íåò áðóñêà? Íåìíîãî èçìåíèì îïûò, äëÿ ÷åãî áóäåò óäîáíåå èñïîëüçîâàòü ìàãíèò íå â âèäå ïîäêîâû, à ïðÿìîé (ïîëîñîâîé): ðàñïîëîæèì ìàãíèò ñíèçó, íà íåãî ïîñòàâèì áîëò, à ñâåðõó áðóñîê. Ïðèäåðæèâàÿ ìàãíèò, ïîòÿíåì íåìàãíèòíûé áðóñîê ââåðõ. Íåâåðîÿòíî áîëò îòðûâàåòñÿ îò ìàãíèòà è âèñèò íà áðóñêå! È ÷åì ñèëüíåå ïîñòîÿííûé ìàãíèò (è ìàññèâíåå ðàñïîëîæåííûé ñâåðõó áðóñîê), òåì âûøå ìîæíî ïîäíÿòü áðóñîê ñ ïðèòÿíóòûì ê íåìó áîëòîì. Àáèòóðèåíòêà áûëà ïðàâà: æåëåçî ñòàëî áîëåå ñèëüíûì ìàãíèòîì, ÷åì ïîñòîÿííûé ìàãíèò (ñ êîòîðûì, êñòàòè, îíî äàæå íå ñîïðèêàñàëîñü). Êàê æå òàêîå âîçìîæíî? Íî ñåé÷àñ íàñòàëà ïîðà ðàçãàäàòü òàéíó áàòàðåè îòîïëåíèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî áàòàðåÿ íàìàãíè÷åíà, õîòÿ è î÷åíü ñëàáî íå óäåðæèò äàæå ëåãêóþ ñêðåïêó. È íàìàãíèòèòü åå ìîã òîëüêî îäèí ìàãíèò ýòî ñàìà Çåìëÿ. Ïî÷åìó æå þæíûé ìàãíèòíûé ïîëþñ îêàçàëñÿ ó áàòàðåè ââåðõó, à ñåâåðíûé âíèçó? (À âîò â þæíîì ïîëóøàðèè, íàïðèìåð â Àâñòðàëèè, âñå áóäåò íàîáîðîò.) Ðàçãàäêó äàåò ïðîñòîé ýêñïåðèìåíò. Åñëè õîðîøî íàìàãíè÷åííóþ äëèííóþ ñïèöó ïîäâåñèòü òî÷íî â öåíòðå òÿæåñòè (à ýòî íå òàê ïðîñòî, ïîýòîìó ëó÷øå ïîäâåñèòü íåíàìàãíè÷åííóþ ñïèöó, à óæå ïîòîì åå íàìàãíèòèòü), òî ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî îäèí åå êîíåö íîðîâèò «êëþíóòü» âíèç, à äðóãîé «çàäèðàåò õâîñò». ×åì áëèæå ê ñåâåðó, òåì çàìåòíåå íàêëîí ñïèöû, à íà ýêâàòîðå íàêëîí íå íàáëþäàåòñÿ âîâñå. Ýòî ÿâëåíèå, â îòëè÷èå îò ìàãíèòíîãî ñêëîíåíèÿ, íàçâàëè ìàãíèòíûì íàêëîíåíèåì. Åãî ìîæíî îáíàðóæèòü è ñ ïîìîùüþ êîìïàñà, íî íåîáû÷íîãî: ñòðåëêà êîìïàñà äîëæíà áûòü íàñàæåíà íå íà âåðòèêàëüíóþ, à íà ãîðèçîíòàëüíóþ îñü (òàêîé ïðèáîð íàçûâàåòñÿ èíêëèíàòîðîì, îò ëàòèíñêîãî inclinare íàêëîíÿòü). Åñëè æå ñâîáîäíî ïîäâåøåííóþ ìàãíèòíóþ ñòðåëêó äåðæàòü òî÷íî íàä ìàãíèòíûì ïîëþñîì (èëè íåïîäàëåêó îò íåãî), òî îíà ðàñïîëîæèòñÿ âåðòèêàëüíî è áóäåò ñìîòðåòü âíèç. Äàííûå íà æåñòêèõ äèñêàõ êîìïüþòåðîâ çàïèñûâàþò íà òîíêèõ ìàãíèòíûõ ïîêðûòèÿõ 30.09.09, 12:34 ØÊÎËÀ Çíàÿ î òîì, ÷òî ñóùåñòâóåò ìàãíèòíîå íàêëîíåíèå, ëåãêî ïîíÿòü, êàê èìåííî íàìàãíèòèëàñü áàòàðåÿ ïîä äåéñòâèåì «êîñîãî» ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè è ïî÷åìó âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ åå ÷àñòè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé þæíûé è ñåâåðíûé ïîëþñû ïîñòîÿííîãî, õîòÿ è ñëàáåíüêîãî, ìàãíèòà. (Ïîíÿòíî òàêæå, ÷òî â þæíîì ïîëóøàðèè íàìàãíè÷åííîñòü áóäåò ïðîòèâîïîëîæíîé.) Åñëè ñ ïîìîùüþ ñèëüíîãî ïîñòîÿííîãî ìàãíèòà ïåðåìàãíèòèòü ñïèöó, îíà, êîíå÷íî, ðàçâåðíåòñÿ â äðóãóþ ñòîðîíó. Ïðè ýòîì òîò åå êîíåö, êîòîðûé áûë íàêëîíåí âíèç, áóäåò òåïåðü ïðèïîäíÿò. Íà ñåâåðå Êàíàäû, íàïðèìåð, íàêëîí ñïèöû áóäåò î÷åíü ñèëüíûì. À âîò ó ñòðåëêè îáû÷íîãî êîìïàñà ìàãíèòíîå íàêëîíåíèå ïðàêòè÷åñêè íå çàìåòíî ýòîìó ïðåïÿòñòâóåò ñïîñîá êðåïëåíèÿ ñòðåëêè íà îñè. Êðîìå òîãî, ýòà ñòðåëêà ñëèøêîì ìàëåíüêàÿ. Òåïåðü ïîñòàðàåìñÿ îáúÿñíèòü «ôîêóñ» ñ áîëòîì, êîòîðûé îòðûâàåòñÿ îò ìàãíèòà. Ìàãíèòíûå ñâîéñòâà âåùåñòâà ñâÿçàíû ñ ìàãíèòíûìè ñâîéñòâàìè åãî àòîìîâ. Ó íåêîòîðûõ ìåòàëëîâ (èõ íàçûâàþò ôåððîìàãíèòíûìè, îò ëàòèíñêîãî íàçâàíèÿ æåëåçà Ferrum) îòäåëüíûå àòîìû-ìàãíèòèêè ñòðåìÿòñÿ îðèåíòèðîâàòüñÿ òàê, ÷òîáû èõ îäíîèìåííûå ïîëþñà áûëè íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó. Òàêèì ñâîéñòâîì ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå îáëàäàþò ëèøü æåëåçî, êîáàëüò, íèêåëü è ðåäêèé ìåòàëë ãàäîëèíèé. Îäíàêî îäèíàêîâàÿ ìàãíèòíàÿ îðèåíòàöèÿ àòîìîâ èìååò ìåñòî òîëüêî â î÷åíü îãðàíè÷åííûõ îáëàñòÿõ ìåòàëëà, íàçûâàåìûõ äîìåíàìè. Ðàçìåðû ýòèõ ìåëü÷àéøèõ ìàãíèòèêîâ-äîìåíîâ ñîñòàâëÿþò ïðèìåðíî 0,010,1 ìì. Åñëè îòøëèôîâàòü ïîâåðõíîñòü ìàãíèòà è ïîñûïàòü åå ìàãíèòíûì ïîðîøêîì, åãî ÷àñòèöû ðàñïîëîæàòñÿ â îñíîâíîì ïî ãðàíèöàì äîìåíîâ, ÷åòêî îáîçíà÷èâ èõ êîíòóðû. Ó êóñêà ÷èñòîãî æåëåçà â öåëîì íåò ñîáñòâåííîãî ìàãíåòèçìà, ïîòîìó ÷òî «ñòðåëêè» ðàçíûõ äîìåíîâ íàïðàâëåíû â ðàçíûå ñòîðîíû è óíè÷òîæàþò äåéñòâèå äðóã äðóãà. Ïîäíåñåì òåïåðü ê êóñêó æåëåçà ìàãíèò. Ïîä åãî âëèÿíèåì «ñòðåëêè» âñåõ ìèêðîìàãíèòèêîâ, êàê ïî êîìàíäå, ïîâåðíóòñÿ â îäíó ñòîðîíó. Èññëåäîâàíèÿ ïîä ìèêðîñêîïîì ïîêàçàëè, ÷òî ïðîèñõîäèò ýòî ÿâëåíèå äîâîëüíî ëþáîïûòíûì îáðàçîì: äîìåíû, êîòîðûå ñëó÷àéíî îêàçàëèñü «ïðàâèëüíî» îðèåíòèðîâàííûìè, óâåëè÷èâàþòñÿ â ðàçìåðàõ. Îíè ïðèñîåäèíÿþò ê ñåáå, êàê áû «ïîåäàþò», ñîñåäíèå äîìåíû, ó êîòîðûõ íàïðàâëåíèå ñîáñòâåííîé íàìàãíè÷åííîñòè îêàçàëîñü «íåïðàâèëüíûì» îòíîñèòåëüíî ïîäíåñåííîãî ìàãíèòà.  ðåçóëüòàòå æåëåçî íàìàãíè÷èâàåòñÿ. Ìàêñèìàëüíàÿ íàìàãíè÷åííîñòü äîñòèãàåòñÿ, êîãäà ìàãíèòíûå ìîìåíòû âñåõ äîìåíîâ îðèåíòèðîâàíû â îäíó ñòîðîíó äëÿ ýòîãî íóæåí î÷åíü ñèëüíûé âíåøíèé ìàãíèò. Ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè óáðàòü ìàãíèò. Åñëè áû âìåñòî ÷èñòîãî æåëåçà áûëà ñòàëüíàÿ èãîëêà, îíà òàê áû è îñòàëàñü íàìàãíè÷åííîé: äîìåíàì â çàêàëåííîé ñòàëè íå î÷åíü ïðîñòî âûñòðîèòüñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè, íî òàê æå òðóäíî è ïðèíÿòü ïðåæíþþ îðèåíòàöèþ. Èìåííî ýòî ñâîéñòâî èñïîëüçóþò äëÿ ñîçäàíèÿ ïîñòîÿííûõ ìàãíèòîâ.  íèõ íóæíî îðèåíòèðîâàòü êàê ìîæíî áîëüøå äîìåíîâ â îäíîì íàïðàâëåíèè, íî òàê, ÷òîáû îíè ïîòîì ñàìè ñîáîé íå ðàçìàãíè÷èâàëèñü (ðàçìàãíè÷èâàíèå ïðîèñõîäèò ïðè ñèëüíûõ óäàðàõ è ïðè íàãðåâå äî âûñîêîé òåìïåðàòóðû). Ïîíÿòíî, ÷òî ðàç äàæå îäèí àòîì ìàãíèòà èìååò ñåâåðíûé è þæíûé ïîëþñà, òî íåâîçìîæíî èçãîòîâèòü ìàãíèò òîëüêî ñ îäíèì ïîëþñîì. Òåì íå ìåíåå, ïðîäîëæàþòñÿ, õîòÿ ïîêà è áåçóñïåøíî, ýêñïåðèìåíòàëüíûå ïîèñêè ìåëü÷àéøèõ «ìàãíèòíûõ ìîíîïîëåé», ó êîòîðûõ åñòü òîëüêî îäèí ïîëþñ (ïî àíàëîãèè ñ òåì, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû ìîæíî ðàçäåëèòü 32-47.p65 35  !# «ÊÂÀÍÒÅ» íà ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå). Ïåðâûå ïîñòîÿííûå ìàãíèòû, êîòîðûå èçãîòîâëèâàëè åùå â XIX âåêå, äåëàëè èç óãëåðîäèñòîé, à çàòåì èç âîëüôðàìîâîé ñòàëè. Ìàãíèò ñ÷èòàëñÿ õîðîøèì, åñëè îí ìîã óäåðæàòü ãðóç, ìàññà êîòîðîãî ðàâíà åãî ñîáñòâåííîé. Ñ ñåðåäèíû 30-õ ãîäîâ ÕÕ âåêà íà÷àëè ïðèìåíÿòü ñïëàâû, êîòîðûå ïî ìàãíèòíûì ñâîéñòâàì ïðåâîñõîäèëè ñòàëü â äåñÿòü è áîëåå ðàç. Ýòî áûëè ñïëàâû æåëåçà ñ íèêåëåì, àëþìèíèåì, êîáàëüòîì, ìåäüþ.  1952 ãîäó ïîÿâèëñÿ ñïëàâ ïëàòèíû ñ êîáàëüòîì, ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ êîòîðîãî áûëà åùå âûøå.  1969 ãîäó íàÏðîñòåéøèé ýëåêòðîìàãíèò: íà ÷àëîñü ïðîìûøëåííîå ïðîôåððîìàãíèòíûé ñåðäå÷íèê èçâîäñòâî ìàãíèòîâ, ñïîíàìîòàí ýëåêòðîïðîâîä â èçîñîáíûõ óäåðæèâàòü ãðóç, ëÿöèè ìàññà êîòîðîãî óæå â ñîòíè ðàç ïðåâûøàëà èõ ñîáñòâåííóþ. Òàêèå ìàãíèòû áûëè ñäåëàíû èç ñïëàâîâ, ñîäåðæàùèõ ðåäêèå ìåòàëëû öåðèé, ïðàçåîäèì, ñàìàðèé. Ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøîé ìàãíèò èç ñïëàâà ñàìàðèÿ ñ êîáàëüòîì, óìåùàþùèéñÿ íà ëàäîíè, ñïîñîáåí óäåðæàòü íåáîëüøîé àâòîìîáèëü âìåñòå ñ ïàññàæèðàìè. Ñåêðåò òàêîãî ñïëàâà â òîì, ÷òî îí ñîñòîèò èç î÷åíü ìåëêèõ ñèëüíî íàìàãíè÷åííûõ ÷àñòèö âûòÿíóòîé ôîðìû, êîòîðûå êàê áû âêðàïëåíû â ñëàáîìàãíèòíîå âåùåñòâî. Ïðè èçãîòîâëåíèè ìàãíèòà ýòè ÷àñòèöû îðèåíòèðóþòñÿ â ñèëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå ïðåèìóùåñòâåííî â îäíîì íàïðàâëåíèè è äàëüøå ñâîþ îðèåíòàöèþ íå òåðÿþò, äàæå êîãäà âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå óáèðàþò.  ÷èñòîì æåëåçå, åãî íàçûâàþò «ìÿãêèì», èëè â íèçêîóãëåðîäèñòîé ñòàëè, íàïðèìåð â îáû÷íîì ãâîçäå, ìàãíèòíûå ñòðåëêè äîìåíîâ ïåðåîðèåíòèðóþòñÿ î÷åíü ëåãêî. Ïîýòîìó íàìàãíè÷åííîå æåëåçî äàæå íå íàäî ñèëüíî íàãðåâàòü èëè ïîäâåðãàòü ðåçêèì óäàðàì îíî ðàçìàãíè÷èâàåòñÿ ñàìî ïî ñåáå, è äîâîëüíî áûñòðî. Íî ýòî æå ñâîéñòâî äîìåíîâ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî â ñèëüíîì âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå îíè ïî÷òè âñå ïðèíèìàþò îäíó îðèåíòàöèþ, è æåëåçî ñòàíîâèòñÿ ñèëüíåéøèì ìàãíèòîì. Âîò ïî÷åìó â íàøåì îïûòå äîñòàòî÷íî ìàññèâíûé æåëåçíûé áðóñîê ñòàë áîëåå ñèëüíûì ìàãíèòîì, ÷åì ïîðîäèâøèé åãî ïîñòîÿííûé ìàãíèò. Ïîäîáíûì ñâîéñòâîì ìÿãêîãî æåëåçà ïîëüçóþòñÿ ïðè èçãîòîâëåíèè ýëåêòðîìàãíèòîâ: äîâîëüíî ñëàáîå ìàãíèòíîå ïîëå êàòóøêè ñ òîêîì (ñîëåíîèäà) çíà÷èòåëüíî óñèëèâàåòñÿ, êîãäà âíóòðü êàòóøêè ââîäÿò ñåðäå÷íèê èç ìÿãêîãî æåëåçà. Èç òàêîãî æå æåëåçà äåëàþòñÿ è ñåðäå÷íèêè òðàíñôîðìàòîðîâ âåäü îíè äîëæíû áûñòðî ïåðåìàãíè÷èâàòüñÿ, êîãäà ïî îáìîòêàì êàòóøåê òå÷åò ïåðåìåííûé òîê. Èíòåðåñíî, ÷òî ìÿãêîå æåëåçî çà äîëè ñåêóíäû ðàçìàãíè÷èâàåòñÿ ïî÷òè ïîëíîñòüþ. Ýòî ëåãêî ïðîâåðèòü â íàøåì âòîðîì îïûòå: îòâåäèòå ìàãíèò â ñòîðîíó è áîëò ñðàçó æå óïàäåò.  çàêëþ÷åíèå ñòàòüè äâå ïðîñòûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå çàäà÷è íà ñìåêàëêó. 30.09.09, 12:34 !$ ÊÂÀÍT 2009/¹5 Çàäà÷à 1.  øêîëüíîì ôèçè÷åñêîì êàáèíåòå èìååòñÿ áîëüøîé ïîëîñîâîé ìàãíèò, ïîëþñà êîòîðîãî êîãäà-òî áûëè îêðàøåíû â ñèíèé è êðàñíûé öâåòà, è òî÷íî òàêàÿ æå ïî ðàçìåðó íåíàìàãíè÷åííàÿ ïîëîñêà æåëåçà. Ñî âðåìåíåì âñÿ êðàñêà ñ ìàãíèòà ñîøëà, òàê ÷òî åãî ñòàëî íåâîçìîæíî îòëè÷èòü îò íåìàãíèòíîé ïîëîñêè. Êàê îïðåäåëèòü, êàêàÿ èç ïîëîñîê ìàãíèòíàÿ, åñëè íåò íèêàêèõ äðóãèõ æåëåçíûõ ïðåäìåòîâ? Èîíîñôåðà è øóì öóíàìè À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ «Ï ÎÄÍßËÀÑÜ Ê ÍÅÁÓ ÂÎËÍÀ ÂÛÑÎÒÛ ÍÅÈÇÌÅÐÈÌÎÉ, çàêðûëà ãðóäüþ ïîëîâèíó íåáà è, êà÷àÿ áåëûì õðåáòîì, ñîãíóëàñü, ïåðåëîìèëàñü, óïàëà íà áåðåã è ñòðàøíîé òÿæåñòüþ ñâîåþ ñìûëà âåñü áåðåã» (Ì.Ãîðüêèé). Òàêîâî õóäîæåñòâåííîå îïèñàíèå êàòàñòðîôè÷åñêèõ ÿâëåíèé, âðåìÿ îò âðåìåíè ïðîèñõîäÿùèõ ó áåðåãîâ òåïëûõ ñòðàí è óæå óíåñøèõ æèçíè ñîòåí òûñÿ÷ ëþäåé. Íî ïðè ÷åì òóò èîíîñôåðà, ðàñïîëîæåííàÿ íà âûñîòå ïîðÿäêà ñîòåí êèëîìåòðîâ íàä çåìëåé è ìîðåì? À âîò ïîñëóøàéòå. Âñïîìíèì, êàê îáúÿñíÿþò ïîâåäåíèå âåùåñòâà, ïîïàâøåãî âî âíåøíåå ïîñòîÿííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñ íàïðÿæåííîñ òüþ E0 . Ïóñòü èìååòñÿ ïëîñêèé ñëîé âåùåñòâà, ñîñòîÿùåãî èç ÷àñòèö ñ ïîëîæèòåëüíûìè è îòðèöàòåëüíûìè çàðÿäàìè â ðàâíûõ êîëè÷åñòâàõ, òàê ÷òî ýòîò ñëîé â öåëîì ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëåí. È ïóñòü îí íàõîäèòñÿ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ïëîñêîñòÿì ýòîãî ñëîÿ. Ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ ïîëîæèòåëüíûå çàðÿäû ñìåñòÿòñÿ â íàïðàâëåíèè âåêòîðà E0 , îòðèöàòåëüíûå â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè, òàê ÷òî íà îáåèõ ïëîñêîñòÿõ ñëîÿ âîçíèêíóò ïîâåðõíîñòíûå çàðÿäû, êîòîðûå ïîðî äÿò âòîðè÷íîå ïîëå E1 , ïðîòèâîïîëîæíîå ïî íà ïðàâëåíèþ ïîëþ E0 (ðèñ.1). Ýòî, òàê ñêàçàòü, íîðìàëüíîå ïîâåäåíèå âåùåñòâà, ïîëÿðèçîâàííîãî âíåøíèì ïîëåì. Åãî ñîñòîÿíèå ìîæíî îïèñàòü òàêèìè Ðèñ. 1 ìàêðîñêîïè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè, êàê äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ε è êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ n. Îáå ýòè âåëè÷èíû áîëüøå åäèíèöû.  ñëó÷àå âàêóóìà îíè ðàâíû åäèíèöå. Òåïåðü ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè âíåøíåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè, íàïðèìåð ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó E = Em sin ωt . (1) Çäåñü Em àìïëèòóäà, ω = 2π T êðóãîâàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ïîëÿ, Ò ïåðèîä êîëåáàíèé. Êîíêðåòèçèðóåì âåùåñòâî 32-47.p65 36 Çàäà÷à 2. Ïîñëå òîãî êàê îïðåäåëèëè, êàêàÿ ïîëîñêà ìàãíèò, ïîëþñà ýòîãî ìàãíèòà çàõîòåëè çàíîâî îêðàñèòü ñèíåé è êðàñíîé êðàñêîé. Êàê óçíàòü, êàêîé êîíåö ýòîé ïîëîñêè íóæíî îêðàñèòü â ñèíèé öâåò, à êàêîé â êðàñíûé? Ðàññìîòðèòå äâà ñëó÷àÿ êîãäà ó âàñ åñòü êîìïàñ è êîãäà åãî íåò. ïóñòü îíî ñîñòîèò èç ýëåêòðîíîâ è ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ èîíîâ, ò.å. ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëàçìó. Êàê èçâåñòíî, ñàìûé ëåãêèé èç èîíîâ (ïðîòîí) ïî÷òè â äâå òûñÿ÷è ðàç òÿæåëåå ýëåêòðîíà, ïîýòîìó ïåðåìåííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå áóäåò çàìåòíî ñìåùàòü â òå÷åíèå ïåðèîäà òîëüêî ýëåêòðîíû, è î èîíàõ ìîæíî íå äóìàòü îíè íóæíû òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû âåùåñòâî â ñðåäíåì (â ïðîñòðàíñòâå è â òå÷åíèå ïåðèîäà) îñòàâàëîñü ýëåêòðîíåéòðàëüíûì. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà, îïèñûâàþùèé äèíàìèêó ýëåêòðîíà â çàäàííîì ïåðåìåííîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, çàïèøåì â âèäå eE a = − 0 m sin ωt = ve′ = xe′′ . (2) me Çäåñü à ýòî óñêîðåíèå, me ìàññà ýëåêòðîíà, e0 âåëè÷èíà åãî çàðÿäà; çíàê «ìèíóñ» ó÷èòûâàåò, ÷òî ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ýëåêòðîí, íàïðàâëåíà ïðîòèâ ïîëÿ; â êîíöå ñòðî÷êè ôîðìóë ñäåëàíî íàïîìèíàíèå, ÷òî óñêîðåíèå åñòü ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ñêîðîñòè èëè âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ñìåùåíèÿ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (êîãäà xe = 0 ). Òîò, êòî óìååò èíòåãðèðîâàòü, ñðàçó ñêàæåò, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñìåùåíèÿ ïî èçâåñòíîìó ãàðìîíè÷åñêè èçìåíÿþùåìóñÿ óñêîðåíèþ íóæíî ïîñëåäíåå óìíîæèòü íà 2 − 1 ω2 = − (T 2π ) . À äëÿ òîãî, êòî íå óìååò, äîñòàòî÷íî ïðåäëîæèòü ñëåäóþùóþ àíàëîãèþ. Ðàññìîòðèì ìàëûå êîëåáàíèÿ ãðóçèêà ìàññîé m íà íèòè äëèíîé l. Ýòèì «ãðóçèêîì» ìîæåò âîîáðàçèòü ñåáÿ ×èòàòåëü, à «íèòüþ» ïóñòü áóäóò ñòðîïû êà÷åëåé. Íàðèñóåì èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè êèíåìàòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ãðóçèêà: óñêîðåíèÿ à, ñêîðîñòè v, ñìåùåíèÿ õ (ðèñ.2; îñü t íàïðàâëåíà âíèç). Ïîñêîëüêó êîëåáàíèÿ ãàðìîíè÷åñêèå, ñìåùåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå x = xm sin ωt , ãäå xm àìïëèòóäà ìàëûõ êîëåáàíèé, à èõ ÷àñòîòà, êàê èçâåñòíî, ðàâíà ω = g l (g êîíå÷íî, óñêîðåíèå ïîëÿ òÿãîòåíèÿ). Ñèëà, âîçâðàùàþùàÿ ×èòàòåëÿ â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ðàâíà F = −mg sin α ≈ −mg x , l 30.09.09, 12:34 Ðèñ. 2 ØÊÎËÀ îòêóäà óñêîðåíèå ðàâíî F g a= = − x = −ω2 x , m l è ñìåùåíèå a x=− 2 , ω (3) ÷òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü. Òóò ñàìîå ãëàâíîå çíàê «ìèíóñ», ò.å. òîò ôàêò, ÷òî ïðè êîëåáàíèÿõ óñêîðåíèå íàïðàâëåíî ïðîòèâîïîëîæíî ñìåùåíèþ. Ðàçóìååòñÿ, òîò æå ðåçóëüòàò äàñò è ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2). Âåðíåìñÿ ê íàøåìó âåùåñòâó, íàõîäÿùåìóñÿ â ïåðåìåííîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. Íà ðèñóíêå 3 èçîáðàæåíà êàðòèíà ïîëåé è çàðÿäîâ â òîò ìîìåíò, êîãäà íàïðÿæåííîñòü âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ äîñòèãëà íàèáîëüøåãî (àìïëèòóäíîãî) çíà÷åíèÿ Em . Ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (3), â ýòîò ìîìåíò ñìåùåíèå çàðÿäîâ ïðÿìî ïðîòèâîïîëîæíî òîé êàðòèíå (ñì. ðèñ.1), Ðèñ. 3 êîòîðàÿ áûëà ïðè ñòàöèîíàðíîì ïîëå.  ðåçóëüòàòå òàêîãî ðàçäåëåíèÿ çàðÿäîâ âîçíèêàåò ïîëå E1 , óñèëèâàþùåå âíåøíåå ïîëå. Òóò íàäî îæèäàòü ÷åãî-òî íåîáû÷íîãî è âîò îíî-òàêè ïîÿâëÿåòñÿ. À èìåííî, ìîæíî îæèäàòü, ÷òî, â îòëè÷èå îò ýëåêòðîñòàòèêè, ãäå äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü è êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ áîëüøå åäèíèöû, òóò áóäåò âñå íàîáîðîò: ε < 1 , n < 1. Íî ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ n = c0 c , äàåò çíà÷åíèå c > c0 ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ïëàçìå áîëüøå, ÷åì â âàêóóìå! Ïîðà êðè÷àòü «êàðàóë» è âûçûâàòü ìèëèöèþ, ïîñêîëüêó ýòî ïðîòèâîðå÷èò îñíîâíîìó ïîñòóëàòó ñîâðåìåííîé ôèçèêè. Íî ïîäîæäåì, ÷òî áóäåò äàëüøå. À äàëüøå âñïîìíèì, êàê ââîäèòñÿ òàêàÿ áåçðàçìåðíàÿ ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà âåùåñòâà, êàê ε : Pe = ε0 (ε − 1) E . (4) Ñìûñë Pe ïîíÿòåí õîòÿ áû èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, [ε0 ] = Ô ì , [E ] =  ì (âñïîìíèì ïðèâû÷íûé ïëîñêèé êîíäåíñàòîð), òîãäà [Pe ] = [ε0 E ] = Ô Â Êë Êë ⋅ ì ⋅ = = . ì ì ì2 ì3 Îòñþäà âèäíî, ÷òî Pe ýòî îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêèõ äèïîëåé. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî, åñëè êàæäûé ýëåêòðîí ñìåñòèëñÿ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà õ, âîçíèê ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëü ñ ìîìåíòîì pe = −e0 x . À åñëè ýëåêòðîíîâ â åäèíèöå îáúåìà Ne , òî îáùèé äèïîëüíûé ìîìåíò ýòîé åäèíèöû îáúåìà áóäåò Ne pe = − Ne e0 x = Pe . Çàïèñàâ âûðàæåíèå (3) â âèäå x=− 32-47.p65 ( −e0 E ) a F =− =− , 2 2 ω mω meω2 37  !% «ÊÂÀÍÒÅ» èç ðàâåíñòâà (4) ïîëó÷èì N e2 E − e 0 2 = ε0 (ε − 1) E meω è, ñîêðàòèâ íà Å, íàéäåì Nee02 ε =1− < 1. (5) ε0meω2 Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè Ne = 0 (íåò íè ýëåêòðîíîâ, íè èîíîâ) èìååì ε = 1 , êàê è ïîëàãàåòñÿ äëÿ âàêóóìà. Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó çàðÿä âõîäèò â êâàäðàòå, çíàê åãî íå èìååò çíà÷åíèÿ: åñëè êàêèì-òî ÷óäîì çàêðåïèòü ýëåêòðîíû, òî äâèæåíèå èîíîâ äàñò êà÷åñòâåííî òîò æå ðåçóëüòàò, íî ãîðàçäî áîëåå ñëàáûé èç-çà èõ áîëüøîé ìàññû. Íî âîò ÷òî ñàìîå ëþáîïûòíîå: ñóùåñòâóåò òàêîå çíà÷åíèå ÷àñòîòû âíåøíåãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïðè êîòîðîì ïîëó÷åííàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ! Ýòî òàê íàçûâàåìàÿ ïëàçìåííàÿ ÷àñòîòà: Nee02 . (6) ε0me Ïðè ýòîé ÷àñòîòå ïëàçìà ñòàíîâèòñÿ ïîõîæåé íà ìåòàëë, à îò ìåòàëëà ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû îòðàæàþòñÿ. Áëàãîäàðÿ ýòîìó è áûëî îáíàðóæåíî ñóùåñòâîâàíèå âûñîòíûõ èîíîñôåðíûõ ñëîåâ è âîçìîæíîñòü äàëüíåé ðàäèîñâÿçè. Äà, à êàê æå áûòü ñ òåì, ÷òî ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ïëàçìå ïîëó÷èëàñü áîëüøå, ÷åì ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå: c > c0 ? Íè÷åãî ñòðàøíîãî: äåëî â òîì, ÷òî ýòîò ðåçóëüòàò ïîëó÷åí äëÿ ñëó÷àÿ èäåàëüíîé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû, êîòîðàÿ, ïî îïðåäåëåíèþ, ñóùåñòâîâàëà äî âîçíèêíîâåíèÿ Âñåëåííîé è áóäåò ñóùåñòâîâàòü âå÷íî. Íî òàêîé âîëíû íå áûâàåò! Ðåàëüíî ñóùåñòâóåò âîëíîâîé ïàêåò, îãðàíè÷åííûé â ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè, ñîñòîÿùèé èç íàáîðà âîëí ñ ðàçëè÷íûìè ÷àñòîòàìè è, çíà÷èò, ñ ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè ðàñïðîñòðàíåíèÿ â ïëàçìå. Ýòè ñîñòàâëÿþùèå ãàðìîíèêè, îáãîíÿÿ äðóã äðóãà è îòñòàâàÿ äðóã îò äðóãà, íåñóò ñóììàðíóþ ýíåðãèþ ñî ñêîðîñòüþ, íå ïðåâîñõîäÿùåé c0 , ñ òàê íàçûâàåìîé ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ. Ïîëó÷åííûå âûøå âûðàæåíèÿ (5) è (6) îêàçàëèñü ïîëåçíûìè ïðåæäå âñåãî äëÿ èññëåäîâàíèÿ âåðõíåé àòìîñôåðû. Èç íèõ âèäíî, íàïðèìåð, ÷òî, èçìåíÿÿ ω , ìîæíî íàéòè çíà÷åíèå Ne , ò.å. êîíöåíòðàöèþ ýëåêòðîíîâ â èîíîñôåðå. Íî ïðè ÷åì çäåñü öóíàìè ãèãàíòñêàÿ âîëíà, ïîðîæäàåìàÿ ïîäâîäíûì çåìëåòðÿñåíèåì? À âîò ïðè ÷åì. Äëèíà òàêîé óåäèíåííîé âîëíû ýòè âîëíû íàçûâàþò ñîëèòîíàìè ïîðÿäêà äåñÿòêîâ è ñîòåí êèëîìåòðîâ (ïîýòîìó îíè è íå î÷åíü-òî çàìåòíû â îòêðûòîì îêåàíå). Äëÿ òàêîé âîëíû îêåàí, à òåì áîëåå ïðèáðåæíûå îòìåëè, ìåëêèå ëóæè. Ïîýòîìó ñêîðîñòü öóíàìè ìîæíî îöåíèòü ïî ôîðìóëå òåîω2p = ðèè «ìåëêîé âîäû»: v= gh (ïðîâåðüòå ðàçìåðíîñòü). 3 Ïîëàãàÿ h ∼ 10 ì , ïîëó÷èì v ∼ 10 ì ñ2 ⋅ 103 ì = 102 ì ñ íå âñÿêèé áàéêåð âûæìåò òàêóþ ñêîðîñòü! Òàê âîò, ýòîò ñîëèòîí âîçìóùàåò àòìîñôåðó îò íåãî èäåò ìîùíàÿ àêóñòè÷åñêàÿ âîëíà. Äîéäÿ äî èîíîñôåðû, îíà ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿåò êîíöåíòðàöèþ ýëåêòðîíîâ Ne . À çîíäèðóÿ âîçìóùåííóþ èîíîñôåðó ïðè ïîìîùè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, ìîæíî çà òûñÿ÷è êèëîìåòðîâ óçíàòü î ïðèáëèæàþùåéñÿ îïàñíîñòè. Ïîèñòèíå ÷óäåñíûì îáðàçîì çäåñü îêàçàëèñü ñâÿçàííûìè âîëíû ðàçëè÷íîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû! 30.09.09, 12:34 !& À ÍÉ T Ô 2 0 0À 9 /Ê ¹Ó 5 Ë Ü Ò À Ò È Â Ô È Ç È × Å ÑÊÊÂ È Îá îäíîé íåòî÷íîñòè Èñààêà Íüþòîíà Á.ÊÎÍÄÐÀÒÜÅ Ââåäåíèå Ëóíà åñòåñòâåííûé ñïóòíèê Çåìëè âåñüìà ïðèìå÷àòåëüíûé îáúåêò íà íåáå. Íåâîîðóæåííûì ãëàçîì íà íåé âèäíû òåìíî-æåëòûå ïÿòíà, èõ íàçûâàþò «ìîðÿìè» è «ìàòåðèêàìè». Íåêîòîðûå äðåâíåãðå÷åñêèå ôèëîñîôû äàæå ïîëàãàëè, ÷òî ýòî îòðàæåíèå ëèêà Çåìëè. Íî åñëè ïðèñìîòðåòüñÿ, ðèñóíîê ïÿòåí îñòàåòñÿ âñåãäà îäíèì è òåì æå, ÷òî äåëàåò íåñîñòîÿòåëüíîé ýòó ýêñòðàâàãàíòíóþ ãèïîòåçó ðèñóíîê äîëæåí áûë áû ìåíÿòüñÿ èç-çà áûñòðîãî ñóòî÷íîãî âðàùåíèÿ ñàìîé Çåìëè èëè, òàê êàê äðåâíèå ñ÷èòàëè Çåìëþ ïîêîÿùåéñÿ, èç-çà ñóòî÷íîãî ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ Ëóíû. Åñëè æå ïÿòíà ïðèíàäëåæàò ñàìîé Ëóíå, âûâîä áóäåò åùå áîëåå èíòåðåñíûì: Ëóíà ñìîòðèò íà Çåìëþ âñåãäà îäíîé è òîé æå ñâîåé ñòîðîíîé. Âîçíèêàåò óâëåêàòåëüíàÿ íàó÷íàÿ çàäà÷à îáúÿñíåíèÿ íàáëþäàåìîãî ÿâëåíèÿ. Îäíàêî âïëîòü äî êîíöà ñåìíàäöàòîãî âåêà âñå àñòðîíîìè÷åñêèå òåîðèè ïåðâûì äåëîì áðàëèñü çà îáúÿñíåíèå òîëüêî ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ Ëóíû. Ýòî è ïîíÿòíî, âåäü ñàìûìè çàìåòíûìè íà íåáå ÿâëÿþòñÿ ôàçû Ëóíû è ñâÿçàííîå ñ íèìè åå ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå íà ôîíå çâåçä. Ïî ôàçàì Ëóíû îòñ÷èòûâàëè âðåìÿ, ïî åå ïîëîæåíèþ ñðåäè çâåçä ìîæíî áûëî îïðåäåëÿòü äîëãîòó êîðàáëÿ íà ìîðå. Ñîáñòâåííîå æå âðàùåíèå Ëóíû äîëãîå âðåìÿ îñòàâàëîñü ñêðûòûì äëÿ çåìëÿí, è çàäà÷à î íåì ìîãëà âîçíèêíóòü ëèøü ïðè äîñòàòî÷íî âûñîêîì óðîâíå ðàçâèòèÿ àñòðîíîìèè. Íè â ôóíäàìåíòàëüíîì òðóäå Ïòîëåìåÿ «Àëüìàãåñò», ãäå Ëóíå ïîñâÿùåíû ÷åòâåðòàÿ è ïÿòàÿ êíèãè, íè ó Êîïåðíèêà àâòîð ýòîé ñòàòüè íå íàøåë îáúÿñíåíèé óäèâèòåëüíîé îñîáåííîñòè âðàùàþùåéñÿ Ëóíû ðàâåíñòâà åå ñóòîê ëóííîìó ìåñÿöó. íîå äâèæåíèå Ëóíû ñðàçó èñêëþ÷àåòñÿ, åñëè óãëîâàÿ ñêîðîñòü çàäàåòñÿ ïî èçâåñòíîé ïðîäîëæèòåëüíîñòè ëóííîãî 2π ñèäåðè÷åñêîãî ìåñÿöà: Ω = . Íî èíòåðåñíî, ÷òî 27,32 ñóò Ëóíà âñåãäà áóäåò ñìîòðåòü íà öåíòð îäíîé è òîé æå ñòîðîíîé â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè îíà âðàùàåòñÿ âîêðóã ñâîåé îñè ñ òîé æå óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω . Îáúÿñíèì, ïî÷åìó òàê ïîëó÷àåòñÿ. Ëþáàÿ òî÷êà íàøåãî äèñêà íà ðàññòîÿíèè r îò öåíòðà èìååò ñêîðîñòü v = Ωr , è, êàê ãîâîðÿò â ìåõàíèêå, çäåñü ñóùåñòâóåò ïîëå ñêîðîñòåé. Âàæíîé æå õàðàêòåðèñòèêîé ëþáîãî ïîëÿ ñêîðîñòåé ÿâëÿåòñÿ âèõðü (èëè ðîòîð) ς . Íåîáõîäèìîñòü ïðèâëå÷åíèÿ ïîíÿòèÿ ðîòîðà âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî èìåííî îí ïðåäñòàâëÿåò ëîêàëüíîå âðàùåíèå â çàäàííîé òî÷êå ïîëÿ ñêîðîñòåé. Äåëî â òîì, ÷òî ïðè îáùåì âðàùåíèè äèñêà ïðîèñõîäèò è ëîêàëüíîå (ñîáñòâåííîå) âðàùå1 ς.  íèå ëþáîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ 2 îáùåì ñëó÷àå ðîòîð ýòî âåêòîð, íî â äàííîé ïëîñêîé çàäà÷å îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî îäíà åãî ñîñòàâëÿþùàÿ: ς = rot 3 v = Ω d 2 1 d r =2Ω. (r v ) = r dr r dr ( ) Òàêèì îáðàçîì, â ëþáîé òî÷êå äèñêà ñ æåñòêèì âðàùåíèåì ðîòîð ς ðàâåí óäâîåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ äèñêà. Ñëåäîâàòåëüíî, òâåðäîòåëüíîå âðàùåíèå çàìå÷àòåëüíî íå òîëüêî îäèíàêîâîñòüþ óãëîâûõ ñêîðîñòåé âñåõ ÷àñòèö äèñêà ïðè îáðàùåíèè âîêðóã öåíòðàëüíîé îñè, íî åùå è òåì, ÷òî èíäóöèðóåìîå ñîáñòâåííîå âðàùåíèå êàæäîé åãî ÷àñòèöû (â òîì ÷èñëå è ÷àñòèö íà öåíòðàëüíîé îñè) áóäåò ïðîèñõîäèòü ñ îäèíàêîâîé äëÿ âñåõ ëîêàëüíîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ. Äëÿ Ëóíû ýòî îçíà÷àåò ñëåäóþùåå: ÷òîáû íàø ñïóòíèê ñìîòðåë íà Çåìëþ âñåãäà îäíîé ñòîðîíîé, îí äîëæåí èìåòü ñîáñòâåííîå îñåâîé âðàùåíèå ñ òîé æå óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω . Äðóãèìè ñëîâàìè, âðàùåíèå ìàëîãî êðóæêà, âûäåëåííîãî ìåëîì íà äèñêå, äëÿ ëþáîãî (!) íàáëþäàòåëÿ áóäåò òàêèì æå, êàê è âèäèìîå âðàùåíèå Ëóíû. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî îäèí è òîò æå âèä ïîâåðõíîñòè Ëóíû äëÿ çåìíîãî íàáëþäàòåëÿ íå äîëæåí ñêðûâàòü ãëàâíîãî åå îñåâîãî âðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò è äðóãèõ (âíåøíèõ) òåë ñîëíå÷íîé ñèñòåìû. Èç óêàçàííûõ îñîáåííîñòåé âðàùåíèÿ Ëóíû ñëåäóåò: ëóííûå ñóòêè â òî÷íîñòè ðàâíû ëóííîìó ìåñÿöó. Çàêîíû Êåïëåðà Âàæíûé øàã â ðàçâèòèè àñòðîíîìèè ñâÿçàí ñ îòêðûòèåì òðåõ çàêîíîâ Êåïëåðà äâèæåíèÿ ïëàíåò âîêðóã Ñîëíöà. 1 (1609 ã.). Îðáèòà êàæäîé ïëàíåòû åñòü ýëëèïñ, â îäíîì èç ôîêóñîâ êîòîðîãî íàõîäèòñÿ Ñîëíöå (ðèñ.1). Ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó, äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî ýëëèïñó ñ Îáúÿñíåíèå âðàùåíèÿ Ëóíû â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ïîñòóïàòåëüíî-âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå Ëóíû âîêðóã Çåìëè íà îäíîé ïðîñòîé, íî íåòðèâèàëüíîé ìîäåëè. Ïóñòü îðáèòà Ëóíû ÷èñòî êðóãîâàÿ. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî â ïëîñêîñòè ýòîé îðáèòû ñ öåíòðîì â öåíòðå Çåìëè ðàñïîëîæåí æåñòêèé äèñê è äëÿ Ëóíû â íåì íà ñîîòâåòñòâóþùåì ðàññòîÿíèè îò öåíòðà âûðåçàí êðóæîê, â êîòîðîì îíà ñâîáîäíî âðàùàåòñÿ âîêðóã ñîáñòâåííîé îñè. Äèñê â öåëîì òîæå âðàùàåòñÿ. Òîãäà íàáëþäàòåëü íà Çåìëå ìîæåò ïîäîáðàòü ýòîìó äèñêó òàêóþ óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ Ω , ïðè êîòîðîé Ëóíà íå áóäåò èìåòü íè ïîñòóïàòåëüíîãî, íè ñàìîå ãëàâíîå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ëþáîé òî÷êè äèñêà, âêëþ÷àÿ è íàáëþäàòåëÿ â öåíòðå. Ïîñòóïàòåëü- 32-47.p65 38 Ðèñ.1. Òðàåêòîðèÿ ïëàíåòû ýëëèïñ ñ öåíòðîì â Î, òî÷êè f1 è f2 åãî ôîêóñû, Ï è À ïåðèãåé è àïîãåé, r ðàäèóñ-âåêòîð ïëàíåòû Ð, θ óãîë èñòèííîé àíîìàëèè ïîëóîñÿìè a1 è a2 , a1 > a2 , óðàâíåíèå êîòîðîãî â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ñ íà÷àëîì â ôîêóñå f1 èìååò âèä a1 1 − e2 r= , 1 + e cos θ ( 30.09.09, 12:34 ) ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ãäå r ðàäèóñ-âåêòîð äâèæóùåãîñÿ òåëà, θ èñòèííàÿ àíîìàëèÿ, ò.å. óãîë, èçìåíÿþùèéñÿ îò 0 äî 2π , å ýêñöåíòðèñèòåò. Èìåííî â ôîêóñå f1 ýëëèïñà è íàõîäèòñÿ Ñîëíöå. 2 (1609 ã.). Ðàäèóñ-âåêòîð ïëàíåòû çà ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè îïèñûâàåò ðàâíûå ïëîùàäè. 3 (1619 ã.) Êâàäðàòû ñèäåðè÷åñêèõ ïåðèîäîâ îáðàùåíèÿ äâóõ ïëàíåò îòíîñÿòñÿ äðóã ê äðóãó êàê êóáû èõ ñðåäíèõ ðàññòîÿíèé îò Ñîëíöà. Êåïëåð ïîïûòàëñÿ îïèñàòü è äâèæåíèå Ëóíû ïî ýëëèïñó, íî áåç îñîáûõ óñïåõîâ. ×òîáû ïðîíèêíóòü â òàéíû äâèæåíèÿ Ëóíû, ìàëî áûëî îäíîé êèíåìàòèêè, íå õâàòàëî ãëàâíîãî çíàíèÿ äåéñòâóþùåé íà Ëóíó ñèëû. Íàñòóïèëà ýïîõà Íüþòîíà.  1687 ãîäó âûøëè â ñâåò åãî çíàìåíèòûå «Ìàòåìàòè÷åñêèå íà÷àëà íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè», ãäå Íüþòîí ñôîðìóëèðîâàë îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ïðèíöèïû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè è, â ÷àñòíîñòè, çàëîæèë îñíîâû íîâîé íàóêè íåáåñíîé ìåõàíèêè. Çäåñü æå Íüþòîí ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãî ïîäòâåðäèë ïðåáûâàþùóþ â ïåëåíêàõ ãèïîòåçó î çàêîíå îáðàòíûõ êâàäðàòîâ è òåì ñàìûì îòêðûë (ëó÷øå ñêàçàòü ñòðîãî äîêàçàë, òàê êàê èäåþ âûñêàçûâàëè è äðóãèå) çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Áûë íàéäåí êëþ÷ ê îáúÿñíåíèþ ìíîãèõ òàéí Ïðèðîäû. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî çàêîíà Íüþòîí îáúÿñíèë è îáîáùèë ýìïèðè÷åñêèå çàêîíû Êåïëåðà. Ñâîåé î÷åðåäè æäàëà è çàäà÷à î Ëóíå. Äëÿ íåå ê òîìó âðåìåíè ñòàëè èçâåñòíû íîâûå, âåñüìà ëþáîïûòíûå è òîíêèå íàáëþäàòåëüíûå ôàêòû. Ñ ïîÿâëåíèåì òåëåñêîïîâ áûëè îáíàðóæåíû (è òî äàëåêî íå ñðàçó) ìàëûå ïîêà÷èâàíèÿ òåëà Ëóíû. Ýòî ñëó÷èëîñü â 1637 ãîäó. Ãàëèëåé, ñèñòåìàòè÷åñêè èçó÷àÿ Ëóíó â òåëåñêîï íà âèëëå â Àð÷åòðè (ãäå îí ïðåáûâàë â êà÷åñòâå ïëåííèêà èíêâèçèöèè), îáíàðóæèë: «Ëóíà îòêðûâàåò è ñêðûâàåò ñâîè âîëîñû è ÷àñòü äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíîãî ïîäáîðîäêà, ÷òî ìîæíî íàçâàòü ïîíèæåíèåì è ïîäíÿòèåì ëèöà». Êðîìå òîãî: «Ëóíà ïîâîðà÷èâàåò ñâîþ ãîëîâó òî íàïðàâî, òî íàëåâî è îòêðûâàåò òî èëè äðóãîå óõî».  ýòèõ ñëîâàõ èòàëüÿíñêèé ó÷åíûé êðàñî÷íî ïðåäñòàâèë çàìå÷àòåëüíûé è òîíêèé ýôôåêò: ïåðèîäè÷åñêîå ïåðåìåùåíèå äåòàëåé ðåëüåôà îòíîñèòåëüíî êðàÿ âèäèìîãî ëóííîãî äèñêà. Òàê áûëà îòêðûòà îïòè÷åñêàÿ ëèáðàöèÿ Ëóíû (îò ëàòèíñêîãî libratio ïîêà÷èâàíèå). Òåîðèè áûë ñäåëàí âûçîâ. Êàê æå Íüþòîí îáúÿñíÿë âèäèìûå ïîêà÷èâàíèÿ òåëà Ëóíû, ò.å. îïòè÷åñêóþ ëèáðàöèþ? Äâèæåíèå Ëóíû ïî çàêîíàì Êåïëåðà Ñ îòêðûòèåì çàêîíîâ Êåïëåðà íà÷àëñÿ íîâûé ýòàï â èññëåäîâàíèè äâèæåíèÿ Ëóíû. Ñåé÷àñ èçâåñòíî, ÷òî ìàññà 1 Ëóíû ðàâíà îò ìàññû íàøåé ïëàíåòû (íè îäíà ïëàíå81,3 òà â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå íå èìååò ñòîëü ìàññèâíîãî, â ñðàâíåíèè ñ íåé ñàìîé, ñïóòíèêà). Ëóíà äâèæåòñÿ ñ çàïàäà íà âîñòîê ñî ñðåäíåé ñêîðîñòüþ 1,02 êì/ñ ïî ïðèáëèçèòåëüíî ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòå âîêðóã íàøåé ïëàíåòû â òîì æå íàïðàâëåíèè, â êàêîì äâèæåòñÿ è Çåìëÿ âîêðóã Ñîëíöà. Îðáèòà Ëóíû äîâîëüíî âûòÿíóòà è èìååò ýêñöåíòðèñèòåò a22 ≈ 0,0549 , òàê ÷òî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæa12 äó öåíòðàìè Çåìëè è Ëóíû ðàâíî 363300 êì (Ëóíà â ïåðèãåå), à ìàêñèìàëüíîå ñîñòàâëÿåò 405500 êì (Ëóíà â àïîãåå). Ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ðàâíî 384400 êì ýòî è åñòü áîëüøàÿ ïîëóîñü a1 îðáèòû Ëóíû. Ñ õîðîøèì ïðèáëèæåå = 1− 32-47.p65 39 ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ !' íèåì ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â ïåðâîì ôîêóñå ýëëèïñà f1 íàõîäèòñÿ öåíòð Çåìëè. À âîò âî âòîðîì Âïðî÷åì, âñå ïî ïîðÿäêó. Îáúÿñíåíèå îïòè÷åñêîé ëèáðàöèè Ëóíû Äâèæåíèå Ëóíû âîîáùå î÷åíü ñëîæíîå, à îòêðûòàÿ Ãàëèëååì îïòè÷åñêàÿ ëèáðàöèÿ îòíîñèòñÿ ê òîíêèì ÿâëåíèÿì â íåáåñíîé ìåõàíèêå. Òðè ýìïèðè÷åñêèõ çàêîíà îïòè÷åñêîé ëèáðàöèè äëÿ Ëóíû ñôîðìóëèðîâàë Äîìåíèêî Êàññèíè â 1693 ãîäó. Ïåðâûå äâà èç íèõ ãëàñÿò: 1) Ëóíà âðàùàåòñÿ ðàâíîìåðíî âîêðóã îñè, ïðè÷åì ïåðèîä åå âðàùåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ïåðèîäîì îáðàùåíèÿ ïî îðáèòå âîêðóã Çåìëè. 2) Ïëîñêîñòü ýêâàòîðà Ëóíû ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé (ñåé÷àñ áû ñêàçàëè ïî÷òè ïîñòîÿííûé) íàêëîí ê ýêëèïòèêå, ò.å. ê ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà. Íüþòîí îáúÿñíèë îïòè÷åñêóþ ëèáðàöèþ Ëóíû êàê ñëåäñòâèå íåðàâíîìåðíîãî åå äâèæåíèÿ ïî ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòå âîêðóã Çåìëè (ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êåïëåðà, â ïåðèãåå ïîñòóïàòåëüíàÿ ñêîðîñòü áîëüøå, à â àïîãåå ìåíüøå) ïðè ñòðîãî ðàâíîìåðíîì âðàùåíèè âîêðóã îñè.  êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìû âèäèì ðîâíî ïîëîâèíó ïîâåðõíîñòè Ëóíû, îäíàêî çà ëóííûé ìåñÿö (ðàçëè÷àþò íåñêîëüêî ëóííûõ ìåñÿöåâ, íî áåç ïîòåðè ñìûñëà çäåñü ýòî ìîæíî íå ó÷èòûâàòü) àñòðîíîìû ìîãóò âèäåòü äî 59% ýòîé ïîâåðõíîñòè. Ðèñ.2. Îïòè÷åñêàÿ ëèáðàöèÿ Ëóíû ïî äîëãîòå. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ îðèåíòàöèÿ òåëà Ëóíû ïðåäñòàâëåíà òðåìÿ òî÷êàìè a, b, c. Ìàëûå ñåêòîðû (âûäåëåíû áîëåå òîëñòûìè ëèíèÿìè) ïîêàçûâàþò äîïîëíèòåëüíûå ïðè îáçîðå ñ Çåìëè ó÷àñòêè ëóííîé ïîâåðõíîñòè Ðàññìîòðèì ðèñóíîê 2. Çà ÷åòâåðòü ìåñÿöà ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ïåðèãåÿ Ï Ëóíà ïðîéäåò ïóòü íåìíîãî áîëüøå ÷åòâåðòè âñåé îðáèòû, à âîêðóã îñè ïîâåðíåòñÿ ðîâíî íà 90°.  ýòîì ïîëîæåíèè ìû ñ ïðàâîãî (çàïàäíîãî) êðàÿ Ëóíû áóäåì âèäåòü ñåêòîð, ðàíåå íåäîñòóïíûé íàì.  àïîãåå À áóäåò âèäíà òà æå ÷àñòü ïîâåðõíîñòè, ÷òî è â ïåðèãåå.  ñëåäóþùóþ (òðåòüþ) ÷åòâåðòü ìåñÿöà Ëóíà ïðîéäåò óæå ìåíüøå ÷åòâåðòîé ÷àñòè îðáèòû, à óãîë ïîâîðîòà áóäåò ðîâíî 270°, òàê ÷òî íàì îòêðîåòñÿ ðàíåå íåâèäèìàÿ ÷àñòü ïîâåðõíîñòè ñ âîñòî÷íîãî êðàÿ. Ýòî è åñòü îïòè÷åñêàÿ ëèáðàöèÿ Ëóíû ïî äîëãîòå. Î÷åâèäíî, â òî÷êàõ À è Ï ëèáðàöèÿ ïî äîëãîòå îáðàùàåòñÿ â íîëü. Äëÿ ïîëíîòû äîáàâèì, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêæå ëèáðàöèÿ ïî øèðîòå è ñóòî÷íàÿ ëèáðàöèÿ, íî èõ ìû ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì. Èç ñêàçàííîãî ÷èòàòåëü äîëæåí òàêæå óÿñíèòü, ÷òî ïîä îïòè÷åñêîé ëèáðàöèåé ïîíèìàþò ëèøü êàæóùèåñÿ (÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêèé ýôôåêò!) ïîêà÷èâàíèÿ òåëà Ëóíû. Íà êà÷åñòâåííîì óðîâíå Íüþòîí ïîëíîñòüþ îáúÿñíèë îïòè÷åñêóþ ëèáðàöèþ Ëóíû. Îäíàêî, ïîõîæå, äîïóñòèë ïðè ýòîì îäíó íåòî÷íîñòü. 30.09.09, 12:34 " ÊÂÀÍT 2009/¹5 Êóäà ñìîòðèò Ëóíà? Íàáëþäåíèÿ ñâèäåòåëüñòâóþò: ëóííûé øàð âñåãäà îáðàùåí ê Çåìëå ïðåèìóùåñòâåííî îäíîé ñòîðîíîé. Íî ïî÷åìó, êàêèì îáðàçîì âîçíèêëà ñòîëü ÿðêàÿ îñîáåííîñòü â äâèæåíèè Ëóíû? Çíàìåíèòûé ìåõàíèê è ìàòåìàòèê Ëàãðàíæ ïåðâûì ïðèáëèçèëñÿ ê îòâåòó íà ýòîò òðóäíûé âîïðîñ. Åùå â 1764 ãîäó îí óñòàíîâèë, ÷òî «ôîðìà Ëóíû äîëæíà áûòü ýëëèïñîèäîì ñ íàèáîëüøåé îñüþ, íàïðàâëåííîé ê Çåìëå < ìû æå óòî÷íÿåì, ÷òî, ñòðîãî ãîâîðÿ, ýòà îñü íàïðàâëåíà íå íà Çåìëþ, à ñîâåðøàåò íåáîëüøèå êîëåáàíèÿ îòíîñèòåëüíî òî÷êè âòîðîãî ôîêóñà >. È åñëè äàæå ïåðâîíà÷àëüíî ïåðèîä âðàùåíèÿ Ëóíû íå ñîâïàäàë ñ ïåðèîäîì îáðàùåíèÿ âîêðóã Çåìëè, âñå ðàâíî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ äâà ýòèõ ïåðèîäà äîëæíû áûëè ñðàâíÿòüñÿ èç-çà âëèÿíèÿ ïðèòÿæåíèÿ Çåìëè è ñâÿçàííîé ñ íèì ïðèëèâíîé äèññèïàöèåé ýíåðãèè âðàùåíèÿ íàøåãî ñïóòíèêà».  ñâîèõ «Íà÷àëàõ» Íüþòîí ïèøåò: «...Âñëåäñòâèå ýòîãî... ïðîèñõîäèò, ÷òî ñ Çåìëè íàáëþäàåòñÿ îäíà è òà æå ñòîðîíà Ëóíû; â äðóãîì ïîëîæåíèè òåëî Ëóíû íå ìîãëî áû íàõîäèòüñÿ â ïîêîå, à ïîñòîÿííî âîçâðàùàëîñü áû ê ýòîìó ïîëîæåíèþ, ñîâåðøàÿ êîëåáàíèÿ. Íî ýòè êîëåáàíèÿ, âñëåäñòâèå ìàëîñòè äåéñòâóþùèõ ñèë, ïðîèñõîäèëè áû âåñüìà ìåäëåííî, òàê ÷òî òà ñòîðîíà, êîòîðàÿ äîëæíà áû áûòü ïîñòîÿííî îáðàùåíà ê Çåìëå, ìîãëà áû áûòü îáðàùåíà è ê äðóãîìó ôîêóñó ëóííîé îðáèòû... áåç òîãî, ÷òîáû íåìåäëåííî áûòü îòòÿíóòîé è ïîâåðíóòîé ê Çåìëå». Îïðåäåëåííî, Íüþòîí ãîâîðèò çäåñü î âåñüìà òîíêîì ýôôåêòå: èç-çà îïòè÷åñêîé ëèáðàöèè íåìíîãî âûòÿíóòàÿ ôèãóðà Ëóíû äîëæíà ñîâåðøàòü åùå è î÷åíü ìàëûå êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ, íî óæå íå êàæóùèåñÿ, à äåéñòâèòåëüíî ïðîèñõîäÿùèå îòíîñèòåëüíî åå öåíòðà ìàññ. Ýòî ïåðâîå ïðåäñêàçàíèå ôèçè÷åñêîé ëèáðàöèè Ëóíû. Íî ïðè ýòîì ñàìî ÿâëåíèå îïòè÷åñêîé ëèáðàöèè Íüþòîí îïèñûâàåò ñëèøêîì ðàñïëûâ÷àòî è äàæå äâóñìûñëåííî. Äåéñòâèòåëüíî, èç åãî ôðàçû, âûäåëåííîé âûøå êóðñèâîì, íåëüçÿ ïîíÿòü, êàê ñòîðîíà Ëóíû, êîòîðàÿ äîëæíà áû áûòü ïîñòîÿííî îáðàùåíà ê Çåìëå, ìîãëà áû áûòü îáðàùåíà è ê äðóãîìó ôîêóñó ëóííîé îðáèòû. Âåäü ðàññòîÿíèå ìåæäó îáîèìè ôîêóñàìè îðáèòû Ëóíû äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ 42207 êì, ÷òî ñîñòàâëÿåò 3,3 ïîïåðå÷íèêà Çåìëè íå òàê óæ ìàëî. Ïîýòîìó óêàçàííûå ñëîâà Íüþòîíà áîëüøå îçàäà÷èâàþò, ÷åì ïðîÿñíÿþò ñóòü äåëà.  äðóãîì ìåñòå «Íà÷àë» ÷èòàåì: «Òàê êàê äëÿ Ëóíû, ïðè ðàâíîìåðíîì åå îáðàùåíèè âîêðóã îñè, ñóòêè ðàâíû íàøåìó ìåñÿöó, òî ê íèæíåìó ôîêóñó åå îðáèòû áóäåò âñåãäà îáðàùåíà ïî÷òè ïîñòîÿííî îäíà è òà æå ñòîðîíà » «Ê íèæíåìó» çíà÷èò êî âòîðîìó ôîêóñó îðáèòû. Ó ýëëèïñà, êàê èçâåñòíî, åñòü äâà ôîêóñà: â îäíîì íàõîäèòñÿ öåíòð Çåìëè (òî÷íåå, ñèñòåìû Çåìëÿ-Ëóíà), à íà äðóãîé, ïî âûñêàçàííîìó çäåñü ìíåíèþ Íüþòîíà (âûäåëåíî êóðñèâîì), áóäåò âñåãäà îáðàùåíà ïî÷òè ïîñòîÿííî îäíà è òà æå ñòîðîíà Ëóíû. Îäíàêî íèêàêîé îïðåäåëåííîñòè ê ïåðâîìó óòâåðæäåíèþ ýòà ôðàçà Íüþòîíà íå äîáàâëÿåò. Êàê ìîæåò âûäåëåííûé ðàäèóñ Ëóíû ïî÷òè ïîñòîÿííî áûòü íàïðàâëåííûì â îäíó è òó æå òî÷êó âíåøíåãî ïðîñòðàíñòâà? Âåäü ïðîöåññ îïòè÷åñêîé ëèáðàöèè ïðîèñõîäèò íåïðåðûâíî. È êàê ñåé÷àñ ìû óáåäèìñÿ, íà ñàìîì äåëå âñå íàîáîðîò: âûäåëåííûé ðàäèóñ Ëóíû ïî÷òè ïîñòîÿííî íå íàïðàâëåí (!) â òî÷êó âòîðîãî ôîêóñà, à ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ îòíîñèòåëüíî íàïðàâëåíèÿ íà íåãî. Êîíå÷íî, íà îñíîâàíèè ñêàçàííîãî âðÿä ëè ìîæíî ãîâî- 32-47.p65 40 ðèòü îá îøèáêå Íüþòîíà, òåì íå ìåíåå, íåäîïîíèìàíèå ñóòè äåëà â âîïðîñå î äåéñòâèòåëüíîì íàïðàâëåíèè âûäåëåííîãî ðàäèóñà Ëóíû â õîäå îïòè÷åñêîé ëèáðàöèè ïî äîëãîòå ïðîÿâëÿåòñÿ ó Íüþòîíà ñîâåðøåííî îïðåäåëåííî. Íå ÷óâñòâóåòñÿ ÷åêàííîé ÿñíîñòè, õàðàêòåðíîé äëÿ ýòîãî âåëèêîãî ó÷åíîãî, àâòîðèòåò êîòîðîãî è ñåé÷àñ íåîáû÷àéíî âûñîê. Íåóäèâèòåëüíî, ÷òî íåêîòîðàÿ íåÿñíîñòü â îïèñàíèè äàííîãî ÿâëåíèÿ âñòðå÷àåòñÿ è â íàó÷íî-ïîïóëÿðíîé ëèòåðàòóðå. Çàìå÷àòåëüíûé ïîïóëÿðèçàòîð íàóêè ß.È.Ïåðåëüìàí â êíèãå «Çàíèìàòåëüíàÿ àñòðîíîìèÿ» ñíà÷àëà ïèøåò: « êîãäà Ëóíà îêàçûâàåòñÿ â E, ðàäèóñ Ëóíû, îáðàùåííûé ê Çåìëå â òî÷êå A, îïèøåò äóãó â 90° è áóäåò íàïðàâëåí ê òî÷êå íåïîäàëåêó îò äðóãîãî ôîêóñà ëóííîé îðáèòû». À íèæå ÷èòàåì: « Ëóíà íåèçìåííî îáðàùåíà îäíîé è òîé æå ñòîðîíîé íå ê Çåìëå, à ê äðóãîìó ôîêóñó ñâîåé îðáèòû .». Çäåñü ïåðâàÿ ôðàçà (âåðíàÿ!) âñòóïàåò â ïðîòèâîðå÷èå ñî âòîðîé. Èçâåñòíûé ðîññèéñêèé àñòðîíîì Â.È.Áðîíøòýí â ñîäåðæàòåëüíîé êíèãå «Êàê äâèæåòñÿ Ëóíà» ïðèâîäèò áåç êàêèõëèáî êîììåíòàðèåâ óêàçàííûé âûøå âçãëÿä Íüþòîíà íà õàðàêòåð äâèæåíèÿ Ëóíû. È äàæå êðóïíûé ó÷åíûé, ñïåöèàëèñò ïî âðàùåíèþ Ëóíû Ìîóòñóëàñ â èçâåñòíîé êîëëåêòèâíîé ìîíîãðàôèè «Ôèçèêà è àñòðîíîìèÿ Ëóíû» (â ïåðåâîäå ñ àíãëèéñêîãî ÿçûêà), ãîâîðÿ î ïðåäñêàçàíèè Íüþòîíîì ôèçè÷åñêîé ëèáðàöèè, ïðèâîäèò åãî ñëîâà òàêæå, ê ñîæàëåíèþ, áåç êàêèõ-ëèáî êðèòè÷åñêèõ êîììåíòàðèåâ. Òàéíàÿ ðîëü âòîðîãî ôîêóñà Ëþáîé ýëëèïñ, íå âûðîæäåííûé â îêðóæíîñòü, èìååò äâà ôîêóñà.  àñòðîíîìèè ïåðâûé çàêîí Êåïëåðà óòâåðæäàåò: â îäíîì èç ôîêóñîâ íàõîäèòñÿ ïðèòÿãèâàþùèé öåíòð äëÿ ïëàíåò ýòî Ñîëíöå, äëÿ Ëóíû Çåìëÿ è ò.ä. Òî÷êà æå âòîðîãî ôîêóñà äëÿ ïëàíåò íå èãðàåò íèêàêîé ôèçè÷åñêîé ðîëè è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòî ãåîìåòðè÷åñêóþ òî÷êó. Äðóãàÿ ñèòóàöèÿ ñêëàäûâàåòñÿ ïðè îïèñàíèè ñèíõðîííîãî äâèæåíèÿ Ëóíû. Çäåñü âòîðîé ôîêóñ êèíåìàòè÷åñêè âûäåëÿåòñÿ èìåííî òåì, ÷òî âîêðóã íàïðàâëåíèÿ íà íåãî ãëàâíàÿ îñü Ëóíû ñîâåðøàåò íåáîëüøèå êîëåáàíèÿ. Òàêîâà æå ðîëü âòîðîãî ôîêóñà è äëÿ äðóãèõ ñïóòíèêîâ ñ ñèíõðîííûì âðàùåíèåì â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå. Îäíàêî îñîáîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà äëÿ ÷åòûðåõ ãàëèëååâñêèõ ñïóòíèêîâ Þïèòåðà ýòîò âòîðîé ôîêóñ íå èìååò, òàê êàê íàõîäèòñÿ ãëóáîêî âíóòðè ñàìîãî Þïèòåðà. À âîò ñèñòåìà Çåìëÿ-Ëóíà óíèêàëüíà òåì, ÷òî òîëüêî çäåñü òî÷êà âòîðîãî ôîêóñà ëåæèò äàëåêî çà ïðåäåëàìè Çåìëè (áîëåå òðåõ åå äèàìåòðîâ), è íå ñ÷èòàòüñÿ ñ ýòèì ôàêòîì â ñîâðåìåííîé íåáåñíîé ìåõàíèêå óæå íåëüçÿ. Ðèñ.3. Áîëüøîé ýëëèïñ îðáèòà Ëóíû Ì (äëÿ íàãëÿäíîñòè ñæàòèå ïðåóâåëè÷åíî), Ï è À òî÷êè ïåðèãåÿ è àïîãåÿ, f1 è f2 ôîêóñû ýëëèïñà, öåíòð ìàññ Çåìëÿ-Ëóíà íàõîäèòñÿ â ïåðâîì ôîêóñå. Ìàëûé ýëëèïñ èçîáðàæàåò ôèãóðó Ëóíû 30.09.09, 12:34 ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ×òîáû âûÿñíèòü, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ íàïðàâëåíèåì ãëàâíîé îñè, èëè áîëüøîé îñè èíåðöèè, Ëóíû â õîäå îïòè÷åñêîé ëèáðàöèè ïî äîëãîòå, ðàññìîòðèì äâèæåíèå Ëóíû ïî ýëëèïñó ñ ýêñöåíòðèñèòåòîì å = 0,0549 ïðè ñîâïàäåíèè ïåðèîäîâ îñåâîãî âðàùåíèÿ è îáðàùåíèÿ Ëóíû âîêðóã Çåìëè (ðèñ.3). Äàëåå îãðàíè÷èìñÿ äâóìÿ çàêîíàìè Êåïëåðà. Ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó, â òî÷êå ïåðâîãî ôîêóñà ýëëèïñà íàõîäèòñÿ öåíòð ìàññ Çåìëÿ-Ëóíà. Åùå â äðåâíîñòè àñòðîíîìû, à ïîçäíåå è Êåïëåð, íàðÿäó ñ èñòèííîé àíîìàëèåé θ ââîäèëè óãîë ýêñöåíòðè÷åñêîé àíîìàëèè ε . Îáà óãëà ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé òàêèì òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ñîîòíîøåíèåì: cos ε − e cos θ = . 1 − e cos ε Çà âðåìÿ, ïðîòåêøåå îò ìîìåíòà, êîãäà Ëóíà íàõîäèëàñü â ïåðèãåå ( ε = 0 , θ = 0 ), äî ìîìåíòà ñ çàäàííûìè â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè t çíà÷åíèÿìè ýòèõ óãëîâ ε è θ ðàäèóñâåêòîð Ëóíû çàìåòàåò ïëîùàäü S= a1a2 (ε − e sin ε ) . 2 Âòîðîé çàêîí Êåïëåðà òðåáóåò, ÷òîáû îòíîøåíèå ýòîé ïëîùàäè ê ïîëíîé ïëîùàäè ýëëèïñà áûëî ðàâíî îòíîøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ âðåìåí: S t = , πa1a2 T ãäå T ïåðèîä îáðàùåíèÿ ïî ýëëèïñó. Îòñþäà íàõîäèì t= (ε − e sin ε ) T 2π . Ïîñêîëüêó îñåâàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ Ëóíû Ω äîëæíà áûòü ðàâíà (ïî óñëîâèþ ñèíõðîííîãî åå îáðàùåíèÿ 2π âîêðóã Çåìëè) ñðåäíåìó çíà÷åíèþ óãëîâîé ñêîðîñòè ω = T ïðè îáðàùåíèè âîêðóã íàøåé ïëàíåòû, òî óãîë ïîâîðîòà áîëüøîé îñè èíåðöèè Ëóíû çà óêàçàííîå âðåìÿ t ðàâíî Tω (ε − e sin ε ) = ε − e sin ε . 2π Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê f1MC .  íåì δ = tΩ = tω = dC f1 sin χ = r sin χ , δ + χ = θ , è dC f1 = r . sin (θ − χ ) sin δ Íàñ èíòåðåñóåò ðàññòîÿíèå ∆ = dC f2 = 2a1e − dC f1 . Äëÿ íåãî èìååì 2 1 − e2 sin χ ∆ = 2e − = 2e − 1 − e (sin θ ctg δ − cos θ ) . a1 1 + e cos θ sin δ 1 + e cos θ Îïðåäåëèì òåïåðü ctg δ êàê ôóíêöèþ îò óãëà ε (èëè θ ): 1 + tg ε tg (e sin ε ) ctg δ = ctg (ε − e sin ε ) = . tg ε − tg (e sin ε ) Ïîñêîëüêó cos ε = e + cos θ 1 − e2 sin θ 1 − e2 sin θ , sin ε = , tg ε = , 1 + e cos θ 1 + e cos θ e + cos θ Ðèñ.4. Ãðàôèê äëÿ âåëè÷èíû àíîìàëèè θ ( ) äàåò, ÷òî â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ýôôåêò èñêîìîãî îòêëîíåíèÿ ïðîïîðöèîíàëåí êâàäðàòó ýêñöåíòðèñèòåòà îðáèòû Ëóíû. Èòàê, ïðè îáðàùåíèè Ëóíû ïî ýëëèïñó âîêðóã Çåìëè êîíåö áîëüøîé îñè èíåðöèè íàøåãî ñïóòíèêà íå âñåãäà áóäåò íàïðàâëåí â òî÷êó âòîðîãî ôîêóñà, íî ñîâåðøàåò (áåç ó÷åòà ìàëîé ôèçè÷åñêîé ëèáðàöèè) êîëåáàòåëüíûå äâèæåíèÿ â îêðåñòíîñòè ýòîé ñàìîé òî÷êè: −1,5933 ⋅ 10−3 ≤ ∆ ≤ 1,4275 ⋅ 10−3 . a1  ëèíåéíîé ìåðå −612 êì ≤ ∆ ≤ 548 êì . Îáðàòèì âíèìàíèå íà íåêîòîðóþ àñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî òî÷êè ôîêóñà f2 èíòåðâàëà èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû ∆ . Êàê âû äóìàåòå, â ÷åì ïðè÷èíà òàêîé àñèììåòðèè? ∆ È åùå. Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà äëÿ âåëè÷èíû îïèñûâàåò a1 îïòè÷åñêóþ ëèáðàöèþ ïî äîëãîòå äëÿ íàáëþäàòåëÿ, ðàñïîëîæåííîãî â ïåðâîì ôîêóñå îðáèòû. À êàêîé áóäåò âåëè÷èíà ýòîé ëèáðàöèè äëÿ íàáëþäàòåëÿ, ïåðåìåñòèâøåãîñÿ âî âòîðîé ôîêóñ èëè â öåíòð ýëëèïñà? Äðóãèìè ñëîâàìè, â êàêîé èç òðåõ óêàçàííûõ òî÷åê ìîæíî áóäåò âèäåòü íàèáîëüøóþ äîïîëíèòåëüíóþ (ê 50%) ïëîùàäü Ëóíû? Îòâåòû íà ýòè âîïðîñû âäóì÷èâûì ÷èòàòåëÿì ïðåäëàãàåòñÿ íàéòè ñàìîñòîÿòåëüíî. Àâòîð ãëóáîêî ïðèçíàòåëåí ðåöåíçåíòàì Ê.Â.Õîëøåâíèêîâó è Â.Ã.Ñóðäèíó çà ïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ. 1 − e2 sin θ e 1 − e2 sin θ tg 1 + e cos θ e + cos θ . 2 2 e 1 − e sin θ 1 − e sin θ − tg 1 + e cos θ e + cos θ 41 êàê ôóíêöèè óãëà èñòèííîé ∆ cos ε 2 1 1 cos ε =− e + − 2 cos2 ε e3 − 1 + 8 cos2 ε e4 + … a1 2 32 24 1+ 32-47.p65 ∆ a1  èòîãå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî èñêîìîå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè âòîðîãî ôîêóñà, íà êîòîðîì ïðîäîëæåíèå áîëüøîé îñè èíåðöèè Ëóíû ïåðåñåêàåò ãëàâíóþ îñü îðáèòû Ëóíû, îòëè÷íî îò íóëÿ è ñâÿçàíî ñ ïîëóîñüþ a1 òàêèì ñîîòíîøåíèåì: ∆ = e + cos ε − ctg δ ⋅ 1 − e2 sin ε . a1 Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïî ýòîé ôîðìóëå ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå 4. Ðàçëîæåíèå â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ýêñöåíòðèñèòåòà: ïîëó÷àåòñÿ ctg δ = " ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ 30.09.09, 16:38 " ÂÀ ¹5 Ì À Ò Å Ì À ÒÊÈ ×ÍÅT Ñ 2Ê0 0È9 /É ÊÐÓÆÎÊ ÑÍÎÂÀ Î ÒÅÎÐÅÌÅ ÌÎÐËÅß Ë.ØÒÅÉÍÃÀÐÖ Òðè êîðîòêèå çàäà÷è î áèññåêòðèñàõ Îäíîé èç ñàìûõ óäèâèòåëüíûõ è êðàñèâûõ òåîðåì â ãåîìåòðèè ïî ïðàâó ñ÷èòàåòñÿ òåîðåìà Ìîðëåÿ, êîòîðàÿ óòâåðæäàåò ñëåäóþùåå (ðèñ.1): Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñìåæíûõ òðèñåêòðèñ óãëîâ (ò.å. ëó÷åé, äåëÿùèõ äàííûé óãîë íà òðè ðàâíûå ÷àcòè) ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ðàâíîñòîðîííåãî Ðèñ. 1 òðåóãîëüíèêà. Òåîðåìà áûëà îòêðûòà â 1904 ãîäó àíãëèéñêèì ìàòåìàòèêîì Ôðàíêîì Ìîðëååì (Frank Morley). Òîãäà îí ðàññêàçàë îá ýòîé òåîðåìå ñâîèì äðóçüÿì, à îïóáëèêîâàë åå äâàäöàòü ëåò ñïóñòÿ â ßïîíèè. Ó ýòîé òåîðåìû åñòü, ê ñîæàëåíèþ, îäèí ñóùåñòâåííûé «íåäîñòàòîê». Äî íåäàâíåãî âðåìåíè áûëè èçâåñòíû ëèøü äîâîëüíî ñëîæíûå äîêàçàòåëüñòâà ýòîé òåîðåìû (ñì. ñïèñîê ëèòåðàòóðû â êîíöå ñòàòüè). Êàê ïðàâèëî, ó÷èòåëÿ, ðàññêàçûâàÿ ó÷åíèêàì îá ýòîé òåîðåìå, ãîâîðÿò, â êàêîì ãîäó è êåì îíà áûëà îòêðûòà, ïîêàçûâàþò êðàñèâûé ÷åðòåæ, íî î÷åíü ðåäêî åå äîêàçûâàþò. Íà íàø âçãëÿä, ýòîò «íåäîñòàòîê» ìîæíî óñòðàíèòü.  ýòîé íåáîëüøîé ñòàòüå ìû ïðåäëàãàåì òðè ñîâñåì íåòðóäíûå çàäà÷è, ðåøåíèÿ êîòîðûõ äîñòóïíû ïðàêòè÷åñêè ëþáîìó øêîëüíèêó. Ïîñëå ýòèõ çàäà÷ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ìîðëåÿ ñòàíîâèòñÿ ïî÷òè î÷åâèäíûì. Çàäà÷à 1. Áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Î Ðèñ. 2 (ðèñ.2). Äîêàæèòå, ÷òî óãîë ÑΠíà 90° áîëüøå, ÷åì ïîëîâèíà óãëà A. Ðåøåíèå. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: ∠ A = 2α , ∠ B = 2β , ∠ C = 2 γ . ßñíî, ÷òî α + β + γ = 90° . Òîãäà β + γ = 90° − α . Ñëåäîâàòåëüíî, ∠COB = 180° − (β + γ) = 180° − (90° − α) = = α + 90° . Çàäà÷à 2 (îáðàòíàÿ ê çàäà÷å 1). Âíóòðè òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ (ðèñ.3) âçÿòà òî÷êà Î òàê, ÷òî óãîë ÑΠíà 90° Àâòîð ñòàòüè ïðåïîäàâàòåëü øêîëû «Øóâó» èç Èåðóñàëèìà. 32-47.p65 42 áîëüøå, ÷åì óãîë ÑÀÎ, à óãîë ÑÎÀ íà 90° áîëüøå, ÷åì óãîë ÑÂÎ. Äîêàæèòå, ÷òî AO, BO è CO ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè óãëîâ äàííîãî òðåóãîëüíèêà. Ðèñ. 3 Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì: ∠CAO = α , ∠CBO = β . Òîãäà, ïî óñëîâèþ, ∠COA = β + 90° , ∠COB = α + 90° . Òî, ÷òî CO áèññåêòðèñà óãëà Ñ, î÷åâèäíî, òàê êàê â êàæäîì èç òðåóãîëüíèêîâ ÀCO è ÂCO ñóììà äâóõ óãëîâ îäèíàêîâà (êàæäàÿ èç íèõ ðàâíà α + β + 90° ). Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ÀO áèññåêòðèñà óãëà ÑÀÂ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Âîçüìåì òîãäà íà ñòîðîíå Ñ (èëè íà åå ïðîäîëæåíèè) òî÷êó B1 òàê, ÷òîáû ëó÷ ÀO îêàçàëñÿ áèññåêòðèñîé óãëà CAB1 (ñì. ðèñ.3). Ïðè ýòîì îêàæåòñÿ, ÷òî Î òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ òðåóãîëüíèêà CAB1 . Òîãäà ïîëó÷àåì (ñì. çàäà÷ó 1), ÷òî ∠COB1 = α + 90° , à ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ âåäü ∠COB = α + 90° . Ñëåäîâàòåëüíî, ÀO áèññåêòðèñà óãëà À. Íî òàê êàê, êðîìå òîãî, ÑO áèññåêòðèñà óãëà Ñ, òî ÂO áèññåêòðèñà óãëà Â, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Çàäà÷à 3. Íà ñòîðîíàõ OA1 è OB1 ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà A1OB1 (ðèñ.4) ïîñòðîèëè âíåøíèì îáðàçîì òðåóãîëüíèêè A1OA è B1OB òàê, ÷òî óãîë B1OB íà 60° Ðèñ. 4 áîëüøå, ÷åì óãîë A1 AO , à óãîë A1OA íà 60° áîëüøå, ÷åì óãîë B1BO . Ïðÿìûå AA1 è BB1 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ñ. Äîêàæèòå, ÷òî ÀÎ, ÂÎ è ÑÎ ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè óãëîâ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ. Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì: ∠A1 AO = α , ∠B 1 BO = β . ßñíî, ÷òî ∠AA1O = ∠BB 1O . Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ∠CA1B1 = = ∠CB1 A1 (òàê êàê ∠OA1B1 = ∠OB1 A1 = 60° ), ò.å. òðåóãîëüíèê A1CB1 îêàçûâàåòñÿ ðàâíîáåäðåííûì. Ïîýòîìó òðåóãîëüíèêè A1OC è B1OC ðàâíû (ïî òðåì ñòîðîíàì), è êàæäûé èç óãëîâ A1OC è B1OC ðàâåí 30°. Ïðè ýòîì ∠BOC = α + 90° , à ∠AOC = β + 90° . Ñëåäîâàòåëüíî (ñì. çàäà÷ó 2), ÀÎ, ÂÎ è ÑÎ ÿëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ìîðëåÿ Ïóñòü ÀÂÑ äàííûé òðåóãîëüíèê, à òðåóãîëüíèê XYZ îáðàçîâàí òðèñåêòðèñàìè óãëîâ äàííîãî òðåóãîëüíèêà (ðèñ.5). Äîêàæåì, ÷òî òðåóãîëüíèê XYZ ðàâíîñòîðîííèé. 30.09.09, 16:38 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: ∠B = 3β , ∠A = 3α , ∠C = 3γ . Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê A1B1C1 (ðèñ. 6). Ïîñòðîèì íà ñòîðîíå B1C1 òðåóãîëüíèê A2 B1C1 òàê, ÷òîáû ∠A2 B1C1 = Ðèñ. 5 = γ + 60° , à ∠A2C1B1 = = β + 60° . Î÷åâèäíî, ÷òî ∠B1 A2C1 = α , òàê êàê α + β + + γ = 60° . "! ÊÐÓÆÎÊ Òî÷íî òàê æå ïîñòðîèì åùå äâà òðåóãîëüíèêà A1C1B2 è A1B1C2 (ñì. ðèñ.6). Ëó÷è A2 B1 è B2 A1 ïåðåñåêóòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå Ì, òàê êàê ñóììà óãëîâ B1 A2 B2 è A1B2 A2 ìåíüøå 180 ãðàäóñîâ. Ïðè ýòîì äëÿ òðåóãîëüíèêà A2 B2 M âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ çàäà÷è 3. Ïîýòîìó A2C1 áóäåò áèññåêòðèñîé óãëà B1 A2 B2 , à B2C1 áóäåò áèññåêòðèñîé óãëà A1B2 A2 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ∠C1 A2 B2 = α , à ∠C1B2 A2 = β . Àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò ïîëó÷àåòñÿ è â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ (äëÿ A2 B1 , C2 B1 , C2 A1 è B2 A1 ). Òàêèì îáðàçîì, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â òðåóãîëüíèêå A2 B2C2 ïðîâåäåíû òðèñåêòðèñû, è îíè ïðè ñâîåì ïåðåñå÷åíèè îïðåäåëÿþò ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê. Íî î÷åâèäíî, ÷òî òðåóãîëüíèêè A2 B2C2 è ÀÂÑ ïîäîáíû (ïî óãëàì). Ñëåäîâàòåëüíî, è òðåóãîëüíèê XYZ òàêæå ðàâíîñòîðîííèé. Òåîðåìà Ìîðëåÿ äîêàçàíà. Ëèòåðàòóðà 1. Ã.Ñ.Ì.Êîêñåòåð, Ñ.Ï.Ãðåéòöåð. Íîâûå âñòðå÷è ñ ãåîìåòðèåé. Ì.: Íàóêà, 1978. 2. Ã.Òîíîÿí, È.ßãëîì. Òåîðåìà Ìîðëåÿ. «Êâàíò», ¹8, 1978. 3. Ç.À.Ñêîïåö. Ãåîìåòðè÷åñêèå ìèíèàòþðû. Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1990. 4. Â.Â.Ïðàñîëîâ. Ãåîìåòðèÿ. Çàäà÷è ïî ïëàíèìåòðèè. Ì.:ÌÖÍÌÎ, 2007. 5. À.Connes. A new proof of Morleys theorem. Publications Mathématiques de lIHÉS, S88 (1998). Ðèñ. 6 ( Îò ðåäàêöèè Ñ ìîìåíòà îòêðûòèÿ òåîðåìû Ìîðëåÿ ïðîøëî óæå áîëüøå âåêà, íî äî ñèõ ïîð ýòà íåîáûêíîâåííî êðàñèâàÿ çàäà÷à ïðèâëåêàåò ê ñåáå âíèìàíèå ìàòåìàòèêîâ.  àíãëîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå åå èíîãäà íàçûâàþò «Morleys Miracle» («÷óäî Ìîðëåÿ»). «Êâàíò» óæå ïèñàë îá ýòîé òåîðåìå â ¹ 8 çà 1978 ãîä â ñòàòüå Ã.Òîíîÿíà è È.ßãëîìà «Òåîðåìà Ìîðëåÿ», ãäå ïðèâåäåíû ïåðâûå ýëåìåíòàðíûå, íî âåñüìà íåïðîñòûå åå äîêàçàòåëüñòâà. Ìû ïðåäëàãàåì âàøåìó âíèìàíèþ åùå äâà ýëåãàíòíûõ è êîðîòêèõ ðàññóæäåíèÿ, íàéäåííûõ íå òàê äàâíî. Ïåðâîå ïðèíàäëåæèò Äæ.Êîíâåþ (èçîáðåòàòåëþ èãðû «Æèçíü»), à âòîðîå âçÿòî èç ìàòåìàòè÷åñêîãî ôîëüêëîðà. Îíè áëèçêè ïî äóõó, íî â êàæäîì åñòü ñâîÿ èçþìèíêà. Ñîâåòóåì òàêæå çàãëÿíóòü íà ñàéò http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/ Òàì ïðèâåäåíî áîëüøå äåñÿòêà äîêàçàòåëüñòâ òåîðåìû, â òîì ÷èñëå ïðèíàäëåæàùèõ è èçâåñòíûì ìàòåìàòèêàì. Äîêàçàòåëüñòâî Êîíâåÿ (0 , 0 , 0 ) , (α, β , γ ) , (α , β, γ ) , (α , β , γ ) , (α , β, γ ) , (α, β , γ ) , (α, β, γ ) , òàê êàê â êàæäîì ñëó÷àå ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ñóììà óãëîâ ðàâíà 180°. Òåïåðü äëÿ êàæäîé òðîéêè óãëîâ ïîñòðîèì êîíêðåòíûé òðåóãîëüíèê ñ ýòèìè óãëàìè, ñïåöèàëüíî ïîäáèðàÿ äëèíû ñòîðîí. Äëÿ òðîéêè 0∗, 0∗, 0∗ ýòî áóäåò ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé 1. ( 32-47.p65 ) 43 (ðèñ.1,à). Àíàëîãè÷íî ïîñòóïèì ñ òðîéêàìè (α , β , γ ) . ∗ ∗ ( (α, β , γ ) ∗ ∗ è ) Äëÿ òðîéêè α∗∗, β, γ ñäåëàåì òàê. Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê BXC (ðèñ.1,á), â êîòîðîì óãîë ïðè âåðøèíå B ðàâåí β , ïðè âåðøèíå X ðàâåí α∗∗ , à ïðè âåðøèíå C ðàâåí γ . ×åðåç Ðèñ. 1 Ïóñòü óãëû èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû 3α, 3β, 3γ . Ââåäåì óäîáíîå îáîçíà÷åíèå: áóäåì ïèñàòü ϕ∗ âìåñòî ϕ + 60° . Òîãäà α + β + γ = 0∗ . Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò òðåóãîëüíèêè ñ óãëàìè ) Äëÿ òðîéêè α∗, β, γ ∗ ýòî òðåóãîëüíèê, â êîòîðîì ñòîðîíà, ñîåäèíÿþùàÿ âåðøèíû ñ óãëàìè α∗ è γ ∗ , ðàâíà 1 âåðøèíó X ïðîâåäåì äâà ëó÷à, êîòîðûå ïåðåñåêàþò ïðÿìóþ BC â òî÷êàõ Y è Z ïîä óãëîì α∗ , è ïîäáåðåì ìàñøòàá òàê, ÷òîáû XY = XZ = 1. Ïðè ýòîì ñòîðîíà BX îêàæåòñÿ ðàâíîé ñòîðîíå, ëåæàùåé ïðîòèâ óãëà α∗ â óæå ïîñòðîåííîì òðåóãîëüíèêå ñ óãëàìè α∗ , β , γ ∗ (ïîäóìàéòå, ïî÷åìó). Ýòî ïîòðåáóåòñÿ íàì ÷óòü äàëüøå. Àíàëîãè÷íî ïîñòðîèì òðåóãîëüíèêè è äëÿ äâóõ îñòàâøèõñÿ òðîåê òàêîãî âèäà. Èòàê, ìû ïîëó÷èëè 7 òðåóãîëüíèêîâ. Ðàñïîëîæèì èõ êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 2, è íà÷íåì ïðèäâèãàòü èõ äðóã ê äðóãó, ÷òîáû ïîëó÷èëñÿ ðèñóíîê 3. Ïî÷åìó âñå òàê õîðîøî ñîâïàäåò? Âî-ïåðâûõ, ñóììû óãëîâ ïðè âñåõ âíóòðåííèõ âåðøèíàõ 30.09.09, 16:38 "" ÊÂÀÍT 2009/¹5 íîì òðåóãîëüíèêå îáðàçîâàííûé òðèñåêòðèñàìè òðåóãîëüíèê áóäåò ðàâíîñòîðîííèì. Åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî Ðàññìîòðèì ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê XYZ è îòðàçèì åãî ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî êàæäîé èç ñòîðîí, ïîëó÷èòñÿ Ðèñ. 4 òðåóãîëüíèê PQR (ðèñ.4). Ïóñòü íàì äàí òðåóãîëüíèê ñ óãëàìè 3α , 3β è 3γ . Òîãäà α + β + γ = 60° . Èç òî÷êè X ïðîâåäåì ëó÷, îáðàçóþùèé óãîë γ ñ ëó÷îì XP, à èç òî÷êè Z îáðàçóþùèé óãîë α ñ ëó÷îì ZP. Ýòè ëó÷è îáÿçàòåëüíî ïåðåñåêóòñÿ (â òî÷êå B), òàê êàê ñóììà óãëîâ, êîòîðûå îíè îáðàçóþò ñ îòðåçêîì XZ, ìåíüøå 180° (ðèñ.5). Àíàëîãè÷íî ïðîâåäåì ëó÷è ZA è YA ( ∠RZA = β , ∠RYA = γ ). ßñíî, ÷òî Ðèñ. 2 ðàâíû 360°. Âî-âòîðûõ, êðàñíûé òðåóãîëüíèê ïðèìûêàåò ê çåëåíûì ïî åäèíè÷íûì îòðåçêàì, à æåëòûå òðåóãîëüíèêè ïðèìûêàþò ê çåëåíûì ïî ðàâíûì îòðåçêàì ïî ïîñòðîåíèþ (âûøå ìû äîêàçàëè ýòî äëÿ òðåóãîëüíèêà BXC è òðåóãîëüíèêà ñ óãëàìè α∗ , β , γ ∗ , àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ëþáàÿ ïàðà èç æåëòîãî è çåëåíîãî òðåóãîëüíèêîâ). Îáðàçîâàâøèéñÿ òðåóãîëüíèê ABC ïîäîáåí èñõîäíîìó ïî òðåì óãëàì, à ïîëó÷èâøàÿñÿ êàðòèíêà ñîâïàäàåò ñ òîé, ÷òî ïîëó÷èòñÿ ïðè ïðîâåäåíèè òðèñåêòðèñ. Ïîýòîìó è â èñõîä- Ðèñ. 5 óãîë ïðè âåðøèíå B â òðåóãîëüíèêå BXZ ðàâåí β , à óãîë ïðè âåðøèíå A â òðåóãîëüíèêå AZY ðàâåí α . Ïóñòü ïðÿìàÿ PR ïåðåñåêàåò BX è AY â òî÷êàõ S è T ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 6). Òðåóãîëüíèêè SXZ è TYZ ðàâíû ïî ñòîðîíå è äâóì ïðèëåãàþùèì óãëàì. Ïîýòîìó SZ = TZ. Äàëåå, òðåóãîëüíèêè SBZ Ðèñ. 6 è TZA ïîäîáíû (â êàæäîì åñòü óãëû α è β ). Èç äâóõ ïîñëåäíèõ óòâåðæäåíèé ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà BZ:ZA = SZ:TA = = TZ:TA. Íàêîíåö, çàìåòèì, ÷òî ∠BZA = ∠ZTA = 180° − − α − β . Òîãäà òðåóãîëüíèê BZA ïîäîáåí òðåóãîëüíèêó ZTA ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè. Òàêèì îáðàçîì, ∠ZBA = β , ∠ZAB = α . Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ äëÿ òî÷åê X è Y âìåñòî òî÷êè Z ïðèâåäóò íàñ ê òðåóãîëüíèêó ABC, óãëû êîòîðîãî ðàâíû 3α , 3β è 3γ . Ýòîò òðåóãîëüíèê ïîäîáåí èñõîäíîìó, è, çíà÷èò, ñíîâà òåîðåìà äîêàçàíà. Ðèñ. 3 32-47.p65 44 30.09.09, 16:38 ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Ñîõðàíåíèå ïîëíîé ýíåðãèè â çàäà÷àõ òåðìîäèíàìèêè ïðåíåáðå÷ü èçìåíåíèåì (çà âðåìÿ ïðîöåññà) âíóòðåííåé ýíåðãèè ñòåíîê ñîñóäà è ïîðøíÿ. Òîãäà ïîëó÷àåì (ðèñ.1) 3 mv2 3 + νRT1 = mgh2 + νRT2 . mgh1 + 2 2 2 Òåïåðü çàïèøåì óñëîâèå ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ïîðøíÿ À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ Â òåõ çàäà÷àõ òåðìîäèíàìèêè, ãäå äåéñòâóþùèìè ëèöàìè ÿâëÿþòñÿ æèäêîñòè è òâåðäûå òåëà, âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ âûñòóïàåò äîñòàòî÷íî îáîñîáëåííî ïî îòíîøåíèþ ê ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè. Áîëåå òîãî, ïåðâûå æå êà÷åñòâåííûå çàäà÷è ïîêàçûâàþò, ÷òî òèïè÷íûå ïðîèñõîäÿùèå âîêðóã íàñ ïðåâðàùåíèÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè ñîîòâåòñòâóþò âåñüìà çíà÷èòåëüíûì èçìåíåíèÿì ýíåðãèè ìåõàíè÷åñêîé. Âîò õàðàêòåðíûé ïðèìåð. Çàäà÷à 1. Íà êàêóþ âûñîòó ìîæíî áûëî áû ïîäíÿòü ãðóç ìàññîé M = 100 êã, åñëè áû óäàëîñü ïîëíîñòüþ ïðåâðàòèòü â ðàáîòó ýíåðãèþ, âûäåëÿþùóþñÿ ïðè îõëàæäåíèè ñòàêàíà âîäû îò 100 °Ñ äî 20 °Ñ? Ìàññà âîäû â ñòàêàíå m = 250 ã. Ðåøåíèå. Çàïèñàâ ñîîòíîøåíèå Ðèñ. 1 è óðàâíåíèå ÌåíäåëååâàÊëàïåéðîíà äëÿ ãåëèÿ â íà÷àëüíîì è êîíå÷íîì ñîñòîÿíèÿõ ñèñòåìû: p1S = mg , p1Sh1 = νRT1 , p2 S = mg , p2 Sh2 = νRT2 . Îòñþäà, èñêëþ÷èâ äàâëåíèÿ, ïîëó÷èì mgh1 = νRT1 , mgh2 = νRT2 . Âèäíî, ÷òî áëàãîäàðÿ óñëîâèþ ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà îêàçûâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïîðøíÿ. Ïîäñòàâèâ ýòè ñîîòíîøåíèÿ â çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, íàéäåì 5 mv2 5 = mgh2 , mgh1 + 2 2 2 câm ∆t = Mgh , ãäå câ = 4,2 ⋅ 103 Äæ (êã ⋅ Ê ) óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû, ïîëó÷èì h = 84 ì. Çàáûòü âûïèòü ñòàêàí ÷àÿ äåëî îáû÷íîå, à âîò ïîäíÿòü ñòîêèëîãðàììîâûé ãðóç ïî÷òè íà ñòîìåòðîâóþ âûñîòó äîñòîéíî Ãåðàêëà èëè Èëüè Ìóðîìöà! Ñîâñåì äðóãàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò â çàäà÷àõ ñ èäåàëüíûìè ãàçàìè. Òàì èçìåíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé è âíóòðåííåé ýíåðãèè âûñòóïàþò êàê òåñíî ñâÿçàííûå âåëè÷èíû îäíîãî ïîðÿäêà. Íàèáîëåå ÿðêî ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â çàäà÷àõ, ãäå ñèñòåìà, âûâåäåííàÿ èç ðàâíîâåñèÿ, ïðèõîäèò â íîâîå ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå â ðåçóëüòàòå íåðàâíîâåñíîãî ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà. Îñîáåííîñòü òàêèõ çàäà÷ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìû íå ìîæåì îïèñàòü ïðîìåæóòî÷íûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, íî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñîâìåñòíî ñ óñëîâèåì êîíå÷íîãî ðàâíîâåñèÿ ïîçâîëÿþò íàéòè ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ. Çàäà÷à 2.  âûñîêîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ ãåëèé. Ïîðøíþ òîë÷êîì ñîîáùàþò ñêîðîñòü v = 2 ì/ñ. Íà ñêîëüêî âûøå íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ îêàæåòñÿ ïîðøåíü ïîñëå ïðèõîäà ñèñòåìû â ðàâíîâåñèå? Òðåíèåì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà íåò. Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ê ñèñòåìå ãàç ïîðøåíü òåïëî íå ïîäâîäèòñÿ è ðàáîòà ýòîé ñèñòåìû íàä âíåøíèìè òåëàìè ðàâíà íóëþ, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû (ìåõàíè÷åñêàÿ ïëþñ âíóòðåííÿÿ) ñîõðàíÿåòñÿ. Êðîìå òîãî, ïî óñëîâèþ ìîæíî 32-47.p65 45 èëè h2 − h1 = v2 = 8 ñì . 5g Îòìåòèì, ÷òî îòâåò íå çàâèñèò îò òîãî, â êàêîì íàïðàâëåíèè òîëêíóëè ïîðøåíü ââåðõ èëè âíèç. Çàìå÷àíèå. Èíîãäà óäîáíåå çàïèñûâàòü óðàâíåíèÿ ïîäðóãîìó. Äëÿ ãàçà îòäåëüíî ìîæíî çàïèñàòü â ñòàíäàðòíîé ôîðìå âòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêè: 0 = ∆U + A , à ðàáîòó ãàçà íàä âíåøíèìè òåëàìè (íàä ïîðøíåì) ïðèðàâíÿòü ê èçìåíåíèþ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ïîðøíÿ. Ýòî îñîáåííî óäîáíî â òåõ çàäà÷àõ, ãäå íàäî ó÷åñòü ïîäâîäèìîå ê ñèñòåìå òåïëî. Çàäà÷à 3.  âûñîêîì âåðòèêàëüíîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì ìàññîé m = 16,6 êã íàõîäèòñÿ ν = 0,1 ìîëü ãåëèÿ ïðè òåìïåðàòóðå T1 = 200 Ê. Âíà÷àëå ïîðøåíü óäåðæèâàþò íà âûñîòå h1 = 50 ñì, à çàòåì îòïóñêàþò. Íà êàêîé âûñîòå îêàæåòñÿ ïîðøåíü ïîñëå ïðèõîäà ñèñòåìû ê ðàâíîâåñèþ? Òðåíèåì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà íåò. Ðåøåíèå. Îòëè÷èå ýòîé çàäà÷è îò ïðåäûäóùåé ñîñòîèò â òîì, ÷òî óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ïîðøíÿ ìîæíî çàïèñàòü òîëüêî â êîíå÷íîì ïîëîæåíèè, à â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ñèëà òÿæåñòè ïîðøíÿ íå ðàâíà ñèëå äàâëåíèÿ ãàçà. Òîãäà ïîëó÷èì p2 S = mg , p2 Sh2 = νRT2 , 30.09.09, 16:38 "$ ÊÂÀÍT 2009/¹5 èëè mgh2 = νRT2 . Ïîäñòàâèâ ýòî ñîîòíîøåíèå â çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè 3 3 mgh1 + νRT1 = mgh2 + νRT2 , 2 2 íàéäåì mgh1 + îòêóäà 3 5 νRT1 = mgh2 , 2 2 νRT1 = 80 ñì . mg Îòìåòèì, ÷òî êîíå÷íàÿ âûñîòà ìîæåò áûòü êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå íà÷àëüíîé. Åñëè ñèëà äàâëåíèÿ ãàçà â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ïðåâûøàåò âåñ ïîðøíÿ: νRT1 p1S = > mg , h1 òî ïîðøåíü ïîñëå îñâîáîæäåíèÿ ïîéäåò ââåðõ è âûñîòà óâåëè÷èòñÿ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîðøåíü ïîéäåò âíèç è âûñîòà óìåíüøèòñÿ. Çàäà÷à 4.  âåðòèêàëüíîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ãåëèÿ ïðè òåìïåðàòóðå T1 = 240 Ê. Íà ïîðøíå ëåæèò ãðóç ìàññîé, ðàâíîé ïîëîâèíå ìàññû ïîðøíÿ. Ãðóç ìãíîâåííî óáèðàþò è äîæèäàþòñÿ ïðèõîäà ñèñòåìû ê ðàâíîâåñèþ. ×åìó ñòàíåò ðàâíà òåìïåðàòóðà ãàçà? Òðåíèåì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà íåò. Ðåøåíèå.  ýòîé çàäà÷å óñëîâèÿ ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ â íà÷àëüíîì è êîíå÷íîì ñîñòîÿíèÿõ âûãëÿäÿò ïî-ðàçíîìó (ðèñ.2): m p1S = m + g , p2 S = mg , 2 h2 = 0,4h1 + 0,6 ãäå m ìàññà ïîðøíÿ, è ïîñëå ïîäñòàíîâêè â óðàâíåíèÿ íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ òîëüêî ïîñëå ñíÿòèÿ ãðóçà è ñèñòåìà ïîðøåíü ãàç ïîñëå ýòîãî ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé. (Åñëè æå âêëþ÷àòü â ñèñòåìó ãðóç, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëå îòäåëåíèÿ îò ïîðøíÿ åãî óäåðæèâàþò íà ìåñòå, è òîãäà åãî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñîêðàùàåòñÿ.) Çàäà÷à 5.  âåðòèêàëüíîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ãåëèÿ ïðè òåìïåðàòóðå T1 = 200 Ê. Òåìïåðàòóðó áûñòðî, òàê ÷òî ïîðøåíü íå óñïåâàåò ñäâèíóòüñÿ ñ ìåñòà, ïîâûøàþò äî T2 = 250 Ê. Êàêîé ñòàíåò àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà ãàçà ïîñëå ïðèõîäà ñèñòåìû ê ðàâíîâåñèþ? Íàä ïîðøíåì ãàçà íåò. Ðåøåíèå. Ïîñëå áûñòðîãî íàãðåâàíèÿ ãàçà åãî äàâëåíèå âîçðàñòåò, è ðàâíîâåñèå íàðóøèòñÿ. Ïîýòîìó óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ è çàêîí Ìåíäåëååâà Êëàïåéðîíà íàäî çàïèñûâàòü äëÿ ñèñòåìû äî íàãðåâàíèÿ (ðèñ.3): p1S = mg, p1Sh1 = νRT1 è â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè: p3 S = mg, p3 Sh2 = νRT3 , à çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû ñðàçó ïîñëå Ðèñ. 3 íàãðåâàíèÿ è â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè: 3 3 mgh1 + νRT2 = mgh2 + νRT3 . 2 2 Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ 3 3 νRT1 + νRT2 = νRT3 + νRT3 , 2 2 îòêóäà íàõîäèì 2T + 3T2 T3 = 1 = 230 Ê. 5 Ðèñ. 2 ÌåíäåëååâàÊëàïåéðîíà ïîëó÷àþòñÿ ðàçíûå ñîîòíîøåíèÿ: 3 mgh1 = νRT1 , mgh2 = νRT2 . 2 Èñïîëüçóÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ è çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè 3 3 mgh1 + νRT1 = mgh2 + νRT2 , 2 2 ïîëó÷èì 13 T1 = 208 Ê. 15 Çàìå÷àíèå. Ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ õàðàêòåðíàÿ îøèáêà: â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, âûðàæàþùåãî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, çàïèñûâàþò íà÷àëüíóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ íå êàê mgh1 , à êàê 1,5mgh1 , ò.å. ó÷èòûâàþò ëåæàâøèé íà ïîðøíå ãðóç. Ýòî íåâåðíî, òàê êàê ïîðøåíü T2 = 32-47.p65 46 Çàäà÷à 6.  âûñîêîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä òîíêèì ìàññèâíûì ïîðøíåì íàõîäèòñÿ îäíîàòîìíûé èäåàëüíûé ãàç. Íàä ïîðøíåì íà íåêîòîðîé âûñîòå óäåðæèâàþò ãðóç, ìàññà êîòîðîãî ðàâíà ìàññå ïîðøíÿ. Ãðóç îòïóñêàþò, è îí ïàäàåò íà ïîðøåíü. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïîñëå àáñîëþòíî íåóïðóãîãî óäàðà ñèñòåìà ïðèõîäèò â ðàâíîâåñèå. Îêàçàëîñü, ÷òî ïîðøåíü â êîíöå íàõîäèòñÿ íà òîé æå âûñîòå, ÷òî è â íà÷àëå. Âî ñêîëüêî ðàç íà÷àëüíàÿ âûñîòà ãðóçà íàä äíîì ñîñóäà áîëüøå âûñîòû ïîðøíÿ? Òðåíèåì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà íåò. Ðåøåíèå.  ýòîé çàäà÷å íåëüçÿ ïðèðàâíèâàòü íà÷àëüíóþ è êîíå÷íóþ ýíåðãèè ñèñòåìû, òàê êàê ïðè íåóïðóãîì óäàðå ÷àñòü ýíåðãèè ïåðåéäåò âî âíóòðåííþþ ýíåðãèþ ïîðøíÿ è ãðóçà. Ïîñêîëüêó òåïëîîáìåíîì ìåæäó ïîðøíåì è ãàçîì çà âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ìû ïðåíåáðåãàåì, ýòó ýíåðãèþ ó÷èòûâàòü íå íàäî. Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ ïàäàþùåãî ãðóçà è çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû ãðóçïîðøåíü ïðè 30.09.09, 16:38 ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ "% ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå kx 2 = νRT2 . 3 Ïîäñòàâèâ â çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, íàéäåì T2 = 0,9 T1 = 270 Ê. Ðèñ. 4 íåóïðóãîì óäàðå (ðèñ.4): mãð g αh1 = mãðv2 2 ( ) , mãðv = mãð + mï v1 , ãäå h1 íà÷àëüíàÿ âûñîòà ïîðøíÿ, αh1 íà÷àëüíàÿ âûñîòà ãðóçà íàä ïîðøíåì (íàì íàäî íàéòè α + 1). Òåïåðü çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ âñåé ñèñòåìû ïîñëå óäàðà: 3 v2 νRT1 + mãð + mï 1 + mãð + mï gh1 = 2 2 3 = νRT2 + (mãð + mï ) gh2 . 2 ( ) ( ) Îò òåìïåðàòóð ìû èçáàâèìñÿ, çàïèñàâ óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ è óðàâíåíèå ÌåíäåëååâàÊëàïåéðîíà â íà÷àëüíîì è êîíå÷íîì ñîñòîÿíèÿõ: p1S = mï g, νRT1 = p1Sh1, ( ) p2 S = mãð + mï g, νRT2 = p2 Sh2. Ïîäñòàâèâ âñå â çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è îáîçíà÷èâ mãð = βmï , â äàííîé çàäà÷å β = 1, ïîëó÷èì β2 3 5 mï gh1 + mï gαh1 + mï (1 + β ) gh1 = mï (1 + β ) gh2 . 2 2 1+ β Ó÷èòûâàÿ, ÷òî h2 = h1 è β = 1 , íàéäåì 3 (1 + β ) α= = 3, 2β ò.å. íà÷àëüíàÿ âûñîòà ãðóçà íàä äíîì ñîñóäà äîëæíà áûòü â 4 ðàçà áîëüøå âûñîòû ïîðøíÿ. Çàìå÷àíèå. Âûñîòà ïîðøíÿ îñòàëàñü ïðåæíåé íåñìîòðÿ íà óâåëè÷åíèå âåñà ïîðøíÿ, ïîñêîëüêó ïðèîáðåòåííîé ïðè óäàðå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè õâàòèëî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî óâåëè÷åíèÿ âûñîòû (ñì. çàäà÷ó 2). Çàäà÷à 7.  òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä íåâåñîìûì ïîðøíåì íàõîäèòñÿ èäåàëüíûé îäíîàòîìíûé ãàç ïðè òåìïåðàòóðå T1 = 300 Ê. Âíà÷àëå ïîðøåíü çàêðåïëåí è ñîåäèíåí ñ äíîì öèëèíäðà íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíîé. Ïîñëå òîãî êàê ïîðøåíü îñâîáîäèëè è ñèñòåìà ïðèøëà â ðàâíîâåñèå, îáúåì ãàçà îêàçàëñÿ â 1,5 ðàçà áîëüøå íà÷àëüíîãî. Íàéäèòå êîíå÷íóþ òåìïåðàòóðó ãàçà (ïî øêàëå Êåëüâèíà). Òðåíèåì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà íåò. Ðåøåíèå. Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â âèäå kx2 3 3 , νRT1 = νRT2 + 2 2 2 ãäå x äåôîðìàöèÿ ïðóæèíû, ðàâíàÿ ïî óñëîâèþ ïîëîâèíå íà÷àëüíîé âûñîòû ïîðøíÿ ( x = h1 2 ). Èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ïîðøíÿ â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè è óðàâíåíèÿ Ìåíäåëååâà Êëàïåéðîíà: p2 S = kx , p2 ( S ⋅ 3x ) = νRT2 32-47.p65 47  ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå íå ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåì ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîìåíò, êîãäà âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ (è òåìïåðàòóðà) äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ. Ïåðâàÿ èç ýòèõ çàäà÷ âêëþ÷àëàñü â ïîñëåäíèå ãîäû â âàðèàíòû ÅÃÝ. Çàäà÷à 8.  âàêóóìå çàêðåïëåí ãîðèçîíòàëüíûé öèëèíäð.  öèëèíäðå íàõîäèòñÿ ν = 0,1 ìîëü ãåëèÿ, çàïåðòîãî ïîðøíåì. Ïîðøåíü óäåðæèâàåòñÿ óïîðàìè è ìîæåò ñêîëüçèòü âëåâî âäîëü ñòåíîê öèëèíäðà áåç òðåíèÿ.  ïîðøåíü ïîïàäàåò ïóëÿ ìàññîé m = 10 ã, ëåòÿùàÿ ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ v = 400 ì/ñ, è çàñòðåâàåò â íåì. Òåìïåðàòóðà ãåëèÿ â ìîìåíò îñòàíîâêè ïîðøíÿ â êðàéíåì ëåâîì ïîëîæåíèè âîçðàñòàåò íà ∆T = 64 Ê. Êàêîâà ìàññà ïîðøíÿ? Ñ÷èòàòü, ÷òî çà âðåìÿ äâèæåíèÿ ïîðøíÿ ãàç íå óñïåâàåò îáìåíÿòüñÿ òåïëîì ñ ïîðøíåì è öèëèíäðîì. Ðåøåíèå. Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ïðè óäàðå mv = (m + M ) v1 âûðàçèì íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü ïîðøíÿ ñ ïóëåé è ïîäñòàâèì â çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè (m + M ) v12 2 Ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå + 3 3 νRT1 = νRT2 . 2 2 m2v2 3 = νR∆T , 2 (m + M ) 2 îòêóäà íàéäåì ìàññó ïîðøíÿ: m2v2 − m = 90 ã. 3νR∆T Çàäà÷à 9.  äëèííîì ãîðèçîíòàëüíîì öèëèíäðå ìåæäó äâóìÿ îäèíàêîâûìè ïîðøíÿìè íàõîäèòñÿ ν = 0,1 ìîëü ãåëèÿ.  íà÷àëüíûé ìîìåíò îäèí ïîðøåíü ïîêîèòñÿ, à äðóãîé ïðèáëèæàåòñÿ ê íåìó ñî ñêîðîñòüþ v = 12 ì/ñ. Íà ñêîëüêî ãðàäóñîâ ìàêñèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ãàçà áîëüøå íà÷àëüíîé? Ìàññû ïîðøíåé m = 415 ã. Òðåíèåì ìåæäó ïîðøíÿìè è öèëèíäðîì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, çà ïîðøíÿìè ãàçà íåò. Ðåøåíèå. Ìàêñèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó, êîãäà ïîðøíè îêàæóòñÿ íà ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà è èõ ñêîðîñòè áóäóò îäèíàêîâû. (Ýòî îñîáåííî õîðîøî âèäíî â ñèñòåìå îòñ÷åòà öåíòðà ìàññ, ãäå ïîðøíè â ýòîò ìîìåíò íåïîäâèæíû.) Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè: 2mu2 3 mv2 3 + νRT1 = + νRT2 . 2 2 2 2 Ñêîðîñòü ïîðøíåé â ìîìåíò íàèáîëüøåãî ñáëèæåíèÿ íàéäåì èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà M= mv = 2mu . Ïîäñòàâèâ â çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ïîëó÷èì ∆T = T2 − T1 = mv2 = 12 Ê. 6νR (Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 57) 30.09.09, 16:38 "& À ÍÌ T Ï2 È 00À 9/Ä ¹ 5Û ÎÊËÂ È Ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà èìåíè Ëåîíàðäà Ýéëåðà Ïî íîâîìó Ïîëîæåíèþ î Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäå øêîëüíèêîâ åå ðåãèîíàëüíûé è çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàïû ïðîâîäÿòñÿ òîëüêî äëÿ ó÷àùèõñÿ 911 êëàññîâ. Áîëåå òîãî, Öåíòðàëüíûé îðãêîìèòåò îëèìïèàäû íå ðåêîìåíäîâàë äîïóñêàòü âîñüìèêëàññíèêîâ ê ó÷àñòèþ â çàêëþ÷èòåëüíîì ýòàïå îëèìïèàäû çà 9 êëàññ. ×òîáû âîñïîëíèòü ýòè ïîòåðè, ãðóïïà îðãàíèçàöèé, ðàáîòàþùèõ ñ ìàòåìàòè÷åñêè îäàðåííûìè øêîëüíèêàìè, ó÷ðåäèëà è ïðîâåëà â 2008/09 ó÷åáíîì ãîäó äëÿ ðîññèéñêèõ âîñüìèêëàññíèêîâ ìàòåìàòè÷åñêóþ îëèìïèàäó èìåíè Ëåîíàðäà Ýéëåðà. Îëèìïèàäà ïðîâîäèëàñü òàêæå â Áîëãàðèè è Ãðóçèè. Äëÿ ó÷àñòíèêîâ îëèìïèàäà áûëà áåñïëàòíîé: åå ñïîíñèðîâàëè ÀÍÎÎ «Âÿòñêèé öåíòð äîïîëíèòåëüíîãî îáðàçîâàíèÿ» (Êèðîâ) è ÎÎÎ «Êîìïàíèÿ ßíäåêñ» (Ìîñêâà), îêàçàâøàÿ îëèìïèàäå òàêæå èíôîðìàöèîííóþ ïîääåðæêó. Ïîëíàÿ èíôîðìàöèÿ îá îëèìïèàäå, âêëþ÷àÿ çàäà÷è âñåõ ýòàïîâ ñ ðåøåíèÿìè, ðàçìåùåíà â Èíòåðíåòå íà ñàéòå http://www.matol.ru/. Îëèìïèàäà ïðîõîäèëà â òðè ýòàïà. Ïåðâûé äèñòàíöèîííûé ñîñòîÿëñÿ â äåêàáðå è ñîáðàë áîëåå 3000 ó÷àñòíèêîâ èç 46 ðåãèîíîâ Ðîññèè. Ó÷àñòâîâàòü â íåì ìîãëè âñå æåëàþùèå âîñüìèêëàññíèêè è ó÷àùèåñÿ áîëåå ìëàäøèõ êëàññîâ. Ýòàï âêëþ÷àë 7 òóðîâ, ïðîõîäèâøèõ â ðàçíîå âðåìÿ äíÿ è ðàçíûå äíè íåäåëè, ÷òîáû êàæäûé, íåçàâèñèìî îò ÷àñîâîãî ïîÿñà è ñìåíû, â êîòîðóþ îí ó÷èòñÿ, ìîã âûáðàòü óäîáíîå äëÿ ó÷àñòèÿ âðåìÿ. ×òîáû ïðîéòè íà ñëåäóþùèé, ðåãèîíàëüíûé ýòàï, äîñòàòî÷íî áûëî ïîêàçàòü õîðîøèé ðåçóëüòàò õîòÿ áû â îäíîì èç òóðîâ. Ñâîè ðàáîòû ó÷àñòíèêè ñêàíèðîâàëè è îòïðàâëÿëè íà ïðîâåðêó ýëåêòðîííîé ïî÷òîé. Âàæíåéøóþ ðîëü â ïðîïàãàíäå íîâîé îëèìïèàäû ñûãðàëè ó÷èòåëÿ è ðóêîâîäèòåëè êðóæêîâ. Îêîëî 80 èç íèõ ïîëó÷èëè ñòàòóñ äîâåðåííûõ ëèö åå Êîîðäèíàöèîííîãî ñîâåòà ñ ïðàâîì ïðîâîäèòü òóðû äèñòàíöèîííîãî ýòàïà äëÿ ñâîèõ ïîäîïå÷íûõ â î÷íîì ðåæèìå îáû÷íîé îëèìïèàäû, à âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ è ïðàâîì ïåðâè÷íîé ïðîâåðêè ðàáîò. Ðåãèîíàëüíûé ýòàï îëèìïèàäû ïðîõîäèë â 35 ðåãèîíàõ Ðîññèè è ñîáðàë îêîëî 900 ó÷àñòíèêîâ. Îí áûë î÷íûì è ïðîâîäèëñÿ äîâåðåííûìè ëèöàìè Êîîðäèíàöèîííîãî ñîâåòà. Êðîìå ïîáåäèòåëåé äèñòàíöèîííîãî ýòàïà ñþäà áûëè ïðèãëàøåíû ëó÷øèå ó÷àñòíèêè ðÿäà äðóãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñîðåâíîâàíèé: Òóðíèðà ãîðîäîâ, îêðóæíûõ îëèìïèàä è Ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðàçäíèêà â Ìîñêâå, ìóíèöèïàëüíîãî Îáëàäàòåëü äèïëîìà I ñòåïåíè Íèêèòà Êîñèíîâ è ÷ëåíû æþðè 48-57.p65 48 Âðó÷åíèå äèïëîìà III ñòåïåíè Ñòåïàíó Êîìêîâó ýòàïà Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå è ðÿäå äðóãèõ ðåãèîíîâ Ðîññèè, ëè÷íûõ îëèìïèàä Óðàëüñêèõ òóðíèðîâ þíûõ ìàòåìàòèêîâ, Êóáêà ïàìÿòè À.Í. Êîëìîãîðîâà, Êèðîâñêîé ëåòíåé ìíîãîïðåäìåòíîé øêîëû, îëèìïèàä èìåíè Å.Í.Àíèñèìîâîé â Èæåâñêå è èìåíè Ã.Ï.Êóêèíà â Îìñêå è íåêîòîðûõ äðóãèõ. Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ïðîâîäèëñÿ ïî çàäà÷àì, ñîñòàâëåííûì Ìåòîäè÷åñêîé êîìèññèåé Âñåðîññèéñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû.  ðÿäå ðåãèîíîâ Ðîññèè, ãäå áûëè ñîõðàíåíû îôèöèàëüíûå ðåãèîíàëüíûå îëèìïèàäû äëÿ âîñüìèêëàññíèêîâ, ýòè îëèìïèàäû ïðîâîäèëèñü ïî òåì æå çàäà÷àì, è èõ ðåçóëüòàòû øëè â çà÷åò îëèìïèàäû èìåíè Ýéëåðà. Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ïðîøåë ñ 24 ïî 27 ìàðòà ïàðàëëåëüíî â Êèðîâå, Ìîñêâå, Îìñêå è Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå (ó÷àñòíèêè ðàñïðåäåëÿëèñü ìåæäó ýòèìè ãîðîäàìè ïî òåððèòîðèàëüíîìó ïðèçíàêó). Ïî ôîðìàòó è óðîâíþ òðóäíîñòè âàðèàíòà îí ñîîòâåòñòâîâàë çàêëþ÷èòåëüíîìó ýòàïó Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ.  íåì ïðèíÿëè ó÷àñòèå 209 øêîëüíèêîâ: 167 âîñüìèêëàññíèêîâ, 39 ñåìèêëàññíèêîâ è 3 øåñòèêëàññíèêà èç Àðõàíãåëüñêîé, Áåëãîðîäñêîé, Âîëîãîäñêîé, Èðêóòñêîé, Êèðîâñêîé, Êîñòðîìñêîé, Êóðãàíñêîé, Ëåíèíãðàäñêîé, Ìîñêîâñêîé, Íèæåãîðîäñêîé, Íîâîñèáèðñêîé, Îìñêîé, Ðîñòîâñêîé, Ñàìàðñêîé, Ñàðàòîâñêîé, Ñâåðäëîâñêîé, Òàìáîâñêîé, Òîìñêîé, ×åëÿáèíñêîé, Óëüÿíîâñêîé, ßðîñëàâñêîé îáëàñòåé, Êàì÷àòñêîãî, Êðàñíîäàðñêîãî, Êðàñíîÿðñêîãî, Ïåðìñêîãî êðàåâ, ðåñïóáëèê Áàøêîðòîñòàí, Ìàðèé Ýë, Òóâà, Òàòàðñòàí, Ñàõà (ßêóòèÿ), Óäìóðòèÿ, ×óâàøèÿ, ãîðîäîâ Ìîñêâû è Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà, à òàêæå ãîðîäà Ïåòðîïàâëîâñêà ðåñïóáëèêè Êàçàõñòàí.  Êèðîâñêîì ôèíàëå ó÷àñòâîâàëè 66 øêîëüíèêîâ, Ìîñêîâñêîì 65, Îìñêîì 45, Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîì 33. Íåïðîñòàÿ çàäà÷à ñîãëàñîâàíèÿ êðèòåðèåâ îöåíêè ðåøåíèé è íàãðàæäåíèÿ ìåæäó ÷åòûðüìÿ ëîêàëüíûìè æþðè áûëà ñâîåâðåìåííî è óñïåøíî ðåøåíà ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîííîé ïåðåïèñêè è òåëåôîííûõ ïåðåãîâîðîâ, è óòðîì 27 ìàðòà íà âñåõ ÷åòûðåõ ëîêàëüíûõ ôèíàëàõ áûëî ïðîâåäåíî íàãðàæäåíèå ó÷àñòíèêîâ, ïîêàçàâøèõ íàèáîëåå âûñîêèå ðåçóëüòàòû. 30.09.09, 16:43 "' ÎËÈÌÏÈÀÄÛ Àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû ñ ðåçóëüòàòîì 55 áàëëîâ èç 56 âîçìîæíûõ ñòàë ñåìèêëàññíèê èç ÔÌË 239 Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà Äìèòðèé Êðà÷óí. Îí íàãðàæäåí äèïëîìîì I ñòåïåíè è ñïåöèàëüíûì äèïëîìîì çà àáñîëþòíî ëó÷øèé ðåçóëüòàò. Äèïëîìàìè I ñòåïåíè íàãðàæäåíû òàêæå 5 ó÷àñòíèêîâ, ïîêàçàâøèõ ðåçóëüòàòû â äèàïàçîíå îò 39 äî 43 áàëëîâ: Ëåíàð Èñõàêîâ (Èæåâñê), Íèêèòà Êîñèíîâ (Óëüÿíîâñê), Ïàâåë Îñèïîâ (Òîìñê), Àëåêñàíäð Êàëìûíèí (Èðêóòñê), Íèêîëàé Êðîõìàëü (Áåëãîðîä). 124 ëó÷øèõ ðåçóëüòàòà, ïîêàçàííûõ ó÷àñòíèêàìè ôèíàëà, â òîì ÷èñëå ðåçóëüòàòû âñåõ ïîáåäèòåëåé è ïðèçåðîâ, îïóáëèêîâàíû â Èíòåðíåòå ïî àäðåñó http://www.matol.ru/3etap_res.xls ÇÀÄÀ×È ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÎÃÎ ÝÒÀÏÀ 1. Ó ðåêè æèâåò ïëåìÿ Ìóìáî-Þìáî. Îäíàæäû ñî ñðî÷íûì èçâåñòèåì â ñîñåäíåå ïëåìÿ îäíîâðåìåííî îòïðàâèëèñü ìîëîäîé âîèí Ìóìáî è ìóäðûé øàìàí Þìáî. Ìóìáî ïîáåæàë ñî ñêîðîñòüþ 11 êì/÷ ê áëèæàéøåìó õðàíèëèùó ïëîòîâ è çàòåì ïîïëûë íà ïëîòó â ñîñåäíåå ïëåìÿ. À Þìáî, íå òîðîïÿñü, ñî ñêîðîñòüþ 6 êì/÷, ïîøåë ê äðóãîìó õðàíèëèùó ïëîòîâ è ïîïëûë â ñîñåäíåå ïëåìÿ îòòóäà.  èòîãå Þìáî ïðèïëûë ðàíüøå, ÷åì Ìóìáî. Ðåêà ïðÿìîëèíåéíà, ïëîòû ïëûâóò ñî ñêîðîñòüþ òå÷åíèÿ. Ýòà ñêîðîñòü âñþäó îäèíàêîâà è âûðàæàåòñÿ öåëûì ÷èñëîì êì/÷, íå ìåíüøèì 6. Êàêîâî íàèáîëüøåå âîçìîæíîå åå çíà÷åíèå? Ì.Åâäîêèìîâ, â ðåäàêöèè Ë.Ñàìîéëîâà 2. Ïðè âñÿêîì ëè íàòóðàëüíîì n, áîëüøåì 2009, èç äðîáåé 1 2 3 n −1 n , , ,…, , ìîæíî âûáðàòü äâå ïàðû äðîáåé 2 1 n n −1 n − 2 ñ îäèíàêîâûìè ñóììàìè? À.Øàïîâàëîâ 3. Ñì. Çàäà÷ó Ì2149 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 4. Ñì. Çàäà÷ó Ì2150 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 5. Ìîæíî ëè âìåñòî çâåçäî÷åê âñòàâèòü â íåêîòîðîì ïîðÿäêå â âûðàæåíèå ÍÎÊ( * , * , * ) ÍÎÊ( * , * , * ) = 2009 øåñòü ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òàê, ÷òîáû ðàâåíñòâî ñòàëî âåðíûì? Ð.Æåíîäàðîâ 6.  âûïóêëîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ AB = BD è ∠ABD = ∠DBC . Íà äèàãîíàëè BD íàøëàñü òî÷êà K òàêàÿ, ÷òî BK = BC. Äîêàæèòå, ÷òî ∠KAD = ∠KCD . Ñ.Áåðëîâ 7. Íà ñòîëå ëåæèò 10 êó÷åê ñ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 è 10 îðåõàìè. Äâîå èãðàþùèõ áåðóò ïî î÷åðåäè ïî îäíîìó îðåõó. Èãðà çàêàí÷èâàåòñÿ, êîãäà íà ñòîëå îñòàíåòñÿ 3 îðåõà. Åñëè ýòî òðè êó÷êè ïî îäíîìó îðåõó, âûèãðûâàåò òîò, êòî õîäèë âòîðûì, èíà÷å åãî ñîïåðíèê. Êòî èç èãðîêîâ ìîæåò âûèãðûâàòü, êàê áû íè èãðàë ñîïåðíèê? È.Ðóáàíîâ, À.Øàïîâàëîâ 8. Íà áåñêîíå÷íîé ëåíòå âûïèñàíû â ðÿä ÷èñëà. Ïåðâîé èäåò åäèíèöà, à êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî ïðèáàâëåíèåì ê íåìó íàèìåíüøåé íåíóëåâîé öèôðû åãî äåñÿòè÷íîé çàïèñè. Ñêîëüêî çíàêîâ â äåñÿòè÷íîé çàïèñè ÷èñëà, ñòîÿùåãî â ýòîì ðÿäó íà 9 ⋅ 10001000 -ì ìåñòå? È.Áîãäàíîâ Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë È.Ðóáàíîâ Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï XXXV Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå Êàê è â ïðîøëîì ãîäó, çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï Âñåðîññèéñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû ïðîøåë â êîíöå àïðåëÿ â ãîðîäå-êóðîðòå Êèñëîâîäñêå.  îëèìïèàäå ïðèíÿëè ó÷àñòèå 60 äåâÿòèêëàññíèêîâ, 83 äåñÿòèêëàññíèêà è 77 ó÷àùèõñÿ 11 êëàññà, ïðåäñòàâëÿþùèõ 70 ðåãèîíîâ Ðîññèè. Äèïëîìû ïðèçåðîâ îëèìïèàäû ïîëó÷èëè 76 øêîëüíèêîâ (8 ïî ïàðàëåëè 9 êëàññà, 28 ïî ïàðàëëåëè 10 êëàññà è 40 ïî ïàðàëëåëè 11 êëàññà), äèïëîìàìè ïîáåäèòåëåé áûëè íàãðàæäåíû 15 ëó÷øèõ ó÷àñòíèêîâ (ïî 5 èç êàæäîé ïàðàëëåëè).  ñâÿçè ñ èçìåíåíèÿìè â îðãàíèçàöèè Âñåðîññèéñêèõ îëèìïèàä Ôåäåðàëüíûé îêðóæíîé ýòàï, ïðîâîäèâøèéñÿ â òå÷åíèå ìíîãèõ ëåò, â 2009 ãîäó áûë îòìåíåí, ïîýòîìó ê ó÷àñòèþ â çàêëþ÷èòåëüíîì ýòàïå îëèìïèàäû äîïóñêàëèñü ëèøü ïîáåäèòåëè ðåãèîíàëüíîãî ýòàïà îëèìïèàäû 2009 ãîäà, à òàêæå ïîáåäèòåëè è ïðèçåðû çàêëþ÷èòåëüíîãî ýòàïà îëèìïèàäû 2008 ãîäà. Òàêàÿ ñõåìà îòáîðà ó÷àñòíèêîâ çàêëþ÷èòåëüíîãî ýòàïà íåñêîëüêî ðàñøèðèëà ãåîãðàôèþ îëèìïèàäû, îäíàêî íå ïîçâîëèëà ïðèåõàòü íà ãëàâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé ôîðóì ñòðàíû ìíîãèì ÿðêèì òàëàíòàì (ýòî îòðàçè- 48-57.p65 49 ëîñü â îñíîâíîì íà ïàðàëëåëè 9 êëàññà, â êîòîðîé êîëè÷åñòâî ó÷àñòíèêîâ áûëî íà ÷åòâåðòü ìåíüøå ïðîøëîãîäíåãî, äà è ñðåäíèå ðåçóëüòàòû âûïîëíåíèÿ çàäàíèé îëèìïèàäû îêàçàëèñü ñóùåñòâåííî íèæå ñðåäíåñòàòèñòè÷åñêèõ çà ïîñëåäíèå ãîäû). Òðàäèöèîííûìè ãîñòÿìè îëèìïèàäû ñòàëè êîìàíäû øêîëüíèêîâ èç Áîëãàðèè è Êèòàÿ. Íàøè çàðóáåæíûå êîëëåãè è ñîïåðíèêè íà ìåæäóíàðîäíûõ îëèìïèàäàõ ïîäòâåðäèëè âûñîêèé óðîâåíü ïîäãîòîâêè äîñòîéíûìè ðåçóëüòàòàìè. Ïî ðåøåíèþ æþðè, áûëî âðó÷åíî íåñêîëüêî ñïåöèàëüíûõ èíäèâèäóàëüíûõ ïðèçîâ. Ïðèçû çà ðåøåíèå âñåõ çàäà÷ îëèìïèàäû ïîëó÷èëè äåâÿòèêëàññíèê Àëåêñåé Ïàõàðåâ èç Óëüÿíîâñêà, îäèííàäöàòèêàññíèê Ãëåá Íåíàøåâ èç ÑàíêòÏåòåðáóðãà, à òàêæå âûñòóïàâøèé â ïàðàëëåëè 11 êëàññà äåñÿòèêëàññíèê Âèêòîð Îìåëüÿíåíêî èç Áåëãîðîäà. Ïðèçàìè çà èçÿùíîå ðåøåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ áûëè íàãðàæäåíû äåâÿòèêëàññíèê Íèêèòà Êîñèíîâ (Óëüÿíîâñê) è äåñÿòèêëàññíèê Ìàêñèì Ïîïîâ (Íèæíåêàìñê). Òðàäèöèîííûé îïðîñ ïîêàçàë, ÷òî â ïàðàëëåëè 9 êëàññà 30.09.09, 16:43 # ÊÂÀÍT 2009/¹5 ó÷àñòíèêàì áîëüøå âñåãî ïîíðàâèëèñü çàäà÷è 7, 6 è 4, â ïàðàëëåëè 10 êëàññà 2, 6 è 3, â ïàðàëëåëè 11 êëàññà 6, 8 è 4. Ñåìü èç ýòèõ çàäà÷-ëàóðåàòîâ âêëþ÷åíû â «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ïðîøëîãî íîìåðà. Íèæå ïðèâîäÿòñÿ óñëîâèÿ çàäà÷ è ñïèñîê äèïëîìàíòîâ çàêëþ÷èòåëüíîãî ýòàïà XXXV Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå. ÇÀÄÀ×È ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÎÃÎ ÝÒÀÏÀ 7. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì I êàñàåòñÿ ñòîðîí AB, BC, AC íåðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ABC â òî÷êàõ C1 , A1 , B1 ñîîòâåòñòâåííî. Îêðóæíîñòè ωB è ωC âïèñàíû â ÷åòûðåõóãîëüíèêè BA1IC1 è CA1IB1 ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî îáùàÿ âíóòðåííÿÿ êàñàòåëüíàÿ ê ωB è ωC , îòëè÷íàÿ îò IA1 , ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A. È.Áîãäàíîâ 8. Ñì. çàäà÷ó Ì2145 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 9 êëàññ 11 êëàññ 1. Çíàìåíàòåëè äâóõ íåñîêðàòèìûõ äðîáåé ðàâíû 600 è 700. Íàéäèòå íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå çíàìåíàòåëÿ èõ ñóììû (â íåñîêðàòèìîé çàïèñè). È.Áîãäàíîâ 1.  ñòðàíå íåêîòîðûå ïàðû ãîðîäîâ ñîåäèíåíû äîðîãàìè, êîòîðûå íå ïåðåñåêàþòñÿ âíå ãîðîäîâ.  êàæäîì ãîðîäå óñòàíîâëåíà òàáëè÷êà, íà êîòîðîé óêàçàíà ìèíèìàëüíàÿ äëèíà ìàðøðóòà, âûõîäÿùåãî èç ýòîãî ãîðîäà è ïðîõîäÿùåãî ïî âñåì îñòàëüíûì ãîðîäàì ñòðàíû (ìàðøðóò ìîæåò ïðîõîäèòü ïî íåêîòîðûì ãîðîäàì áîëüøå îäíîãî ðàçà è íå îáÿçàí âîçâðàùàòüñÿ â èñõîäíûé ãîðîä). Äîêàæèòå, ÷òî ëþáûå äâà ÷èñëà íà òàáëè÷êàõ îòëè÷àþòñÿ íå áîëåå ÷åì â ïîëòîðà ðàçà. Ì.Ìóðàøêèí 2. Ñì. çàäà÷ó Ì2141 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 2 3. Äàíî íàòóðàëüíîå n > 1. ×èñëî a > n òàêîâî, ÷òî ñðåäè ÷èñåë a + 1, a + 2, , a + n åñòü êðàòíûå êàæäîãî èç ÷èñåë n2 + 1 , n2 + 2 , , n2 + n . Äîêàæèòå, ÷òî a > n 4 − n 3 . À.Ãîëîâàíîâ 4. Ñì. çàäà÷ó Ì2144 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 5. ×èñëà a, b è c òàêîâû, ÷òî (a + b )(b + c )(c + a ) = abc, (a 3 )( )( ) + b3 b 3 + c3 c3 + a 3 = a 3b3c3 . Äîêàæèòå, ÷òî abc = 0. Ñ.Òîêàðåâ 6. Ñì. çàäà÷ó Ì2139 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 7. Ñì. çàäà÷ó Ì2140 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 8. Òðåóãîëüíèêè ABC è A1B1C1 èìåþò ðàâíûå ïëîùàäè. Âñåãäà ëè ìîæíî ïîñòðîèòü ïðè ïîìîùè öèðêóëÿ è ëèíåéêè òðåóãîëüíèê A2 B2C2 , ðàâíûé òðåóãîëüíèêó A1B1C1 è òàêîé, ÷òî ïðÿìûå AA2 , BB2 è CC2 áóäóò ïàðàëëåëüíû? Ä.Òåð¸øèí 10 êëàññ 1. Íàéäèòå âñå òàêèå íàòóðàëüíûå n, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ îòëè÷íûõ îò íóëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñëàõ a, b, c, d ìíîãî÷ëåí (ax + b )1000 − (cx + d )1000 ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ âñåõ ïîäîáíûõ ñëàãàåìûõ èìååò ðîâíî n íåíóëåâûõ êîýôôèöèåíòîâ. Â.Ñåíäåðîâ 2. Ñì. çàäà÷ó 2 äëÿ 9 êëàññà. 3. Ñì. çàäà÷ó Ì2142 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 4. Ïî êðóãó ñòîÿò 2009 öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë, íå ïðåâûøàþùèõ 100. Ðàçðåøàåòñÿ ïðèáàâèòü ïî 1 ê äâóì ñîñåäíèì ÷èñëàì, ïðè÷åì ñ ëþáûìè äâóìÿ ñîñåäíèìè ÷èñëàìè ýòó îïåðàöèþ ìîæíî ïðîäåëàòü íå áîëåå k ðàç. Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì k âñå ÷èñëà ãàðàíòèðîâàííî ìîæíî ñäåëàòü ðàâíûìè? È.Áîãäàíîâ 5.  áåñêîíå÷íîé âîçðàñòàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êàæäîå äåëèòñÿ õîòÿ áû íà îäíî èç ÷èñåë 1005 è 1006, íî íè îäíî íå äåëèòñÿ íà 97. Êðîìå òîãî, êàæäûå äâà ñîñåäíèõ ÷èñëà îòëè÷àþòñÿ íå áîëåå ÷åì íà k. Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì k òàêîå âîçìîæíî? À.Ãîëîâàíîâ 6. Ñì. çàäà÷ó Ì2143 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 48-57.p65 50 2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a1, a2,… òàêîâà, ÷òî a1 ∈ (1; 2 ) è k ak +1 = ak + ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì k. Äîêàæèòå, ÷òî â ak ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü áîëåå îäíîé ïàðû ÷ëåíîâ ñ öåëîé ñóììîé. À.Ãîëîâàíîâ 3.  òðåóãîëüíîé ïèðàìèäå ABCD âñå ïëîñêèå óãëû ïðè âåðøèíàõ íå ïðÿìûå, à òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò â òðåóãîëüíèêàõ ABC, ABD, ACD ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Äîêàæèòå, ÷òî öåíòð îïèñàííîé ñôåðû ïèðàìèäû ëåæèò â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíû ðåáåð AB, AC, AD. È.Áîãäàíîâ 4. Íà ïëîñêîñòè îòìå÷åíû âñå òî÷êè ñ öåëûìè êîîðäèíàòàìè ( x; y ) òàêèå, ÷òî x2 + y2 ≤ 1010 . Äâîå èãðàþò â èãðó (õîäÿò ïî î÷åðåäè). Ïåðâûì õîäîì ïåðâûé èãðîê ñòàâèò ôèøêó â êàêóþ-òî îòìå÷åííóþ òî÷êó è ñòèðàåò åå. Çàòåì êàæäûì î÷åðåäíûì õîäîì èãðîê ïåðåíîñèò ôèøêó â êàêóþòî äðóãóþ îòìå÷åííóþ òî÷êó è ñòèðàåò åå. Ïðè ýòîì äëèíû õîäîâ äîëæíû âñå âðåìÿ óâåëè÷èâàòüñÿ; êðîìå òîãî, çàïðåùåíî äåëàòü õîä èç òî÷êè â ñèììåòðè÷íóþ åé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïðîèãðûâàåò òîò, êòî íå ìîæåò ñäåëàòü õîä. Êòî èç èãðàþùèõ ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå ïîáåäó, êàê áû íè èãðàë åãî ñîïåðíèê? È.Áîãäàíîâ 5. Ïóñòü 1 < a ≤ b ≤ c . Äîêàæèòå, ÷òî log a b + logb c + log c a ≤ logb a + log c b + log a c . Ä.Òåð¸øèí 6.  íåêîòîðûõ êëåòêàõ äîñêè 10 × 10 ïîñòàâèëè k ëàäåé è çàòåì îòìåòèëè âñå êëåòêè, êîòîðûå áüåò õîòÿ áû îäíà ëàäüÿ (ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ëàäüÿ áüåò êëåòêó, íà êîòîðîé ñòîèò). Ïðè êàêîì íàèáîëüøåì k ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ïîñëå óäàëåíèÿ ñ äîñêè ëþáîé ëàäüè õîòÿ áû îäíà îòìå÷åííàÿ êëåòêà îêàæåòñÿ íå ïîä áîåì? Ñ.Áåðëîâ 7. Íà ñòîðîíàõ AB è BC ïàðàëëåëîãðàììà ABCD âûáðàíû òî÷êè A1 è C1 ñîîòâåòñòâåííî. Îòðåçêè AC1 è CA1 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå P. Îïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ AA1P è CC1P âòîðè÷íî ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Q, ëåæàùåé âíóòðè òðåóãîëüíèêà ACD. Äîêàæèòå, ÷òî ∠PDA = ∠QBA . Ë.Åìåëüÿíîâ 8. Ñì. çàäà÷ó 8 äëÿ 10 êëàññà. 30.09.09, 16:43 # ÎËÈÌÏÈÀÄÛ Äèïëîìàíòû îëèìïèàäû Äèïëîì ïîáåäèòåëÿ ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè Ïàõàðåâ Àëåêñåé Óëüÿíîâñê, ãèìíàçèÿ 79, Ìàëÿñîâà Âèêòîðèÿ Ðîñòîâ-íà-Äîíó, Ýêîíîìè÷åñêèé ëèöåé 14, Åãîðîâ Äìèòðèé Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Êðà÷óí Äìèòðèé Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Ìóêîñååâà Åêàòåðèíà Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 30; ïî 10 êëàññàì Áîíäàðåíêî Ìèõàèë Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Åðîõèí Ñòàíèñëàâ Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Êóøíèð Àíäðåé Èðêóòñê, ëèöåé 2, Êëèìîâèöêèé Èîñèô Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Ïîïîâ Ìàêñèì Íèæíåêàìñê, ëèöåé-èíòåðíàò 24; ïî 11 êëàññàì Íåíàøåâ Ãëåá Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Îìåëüÿíåíêî Âèêòîð Áåëãîðîä, ëèöåé 38, Ãóñåâ Äàíèèë Äçåðæèíñê, øêîëà 2 ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì ïðåäìåòîâ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî öèêëà, Èâàíîâà Àëèíà Êàçàíü, ëèöåé èì. Í.È.Ëîáà÷åâñêîãî ïðè ÊÃÓ, Áðàãèí Âëàäèìèð Ñíåæèíñê, ãèìíàçèÿ 127. Äèïëîì ïðèçåðà ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè Áóðîâà Îëüãà Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Ñåðãèåíêî ßðîñëàâ Êðàñíîäàð, ÍÎÓ ÂÏÎ «Èíñòèòóò ñîâðåìåííûõ òåõíîëîãèé è ýêîíîìèêè», Çàâîäîâ Àëåêñåé Äîëãîïðóäíûé, ÔÌË 5, ßíóøêîâñêèé Âëàäèìèð Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Êîñèíîâ Íèêèòà Óëüÿíîâñê, ìíîãîïðîôèëüíûé ëèöåé 20, Òèòîâ Äìèòðèé Óñòü-Ëàáèíñê, øêîëà 2, Êóíÿâñêèé Ïàâåë Ñàðàòîâ, ÔÒË 1, Öûáûøåâ Àëåêñåé Ñàìàðà, ãèìíàçèÿ 1; ïî 10 êëàññàì Áåðíøòåéí Àíòîí Íîâîñèáèðñê, ãèìíàçèÿ 1, Ãîðáà÷åâà Èðèíà Êðàñíîäàð, ëèöåé 64, Ìîêèí Âàñèëèé Ñàðàòîâ, ÔÒË 1, Èñààê Åâãåíèé Êóðãàí, øêîëà 38, Áàëèöêèé Àëåêñåé Æåëåçíîãîðñê, øêîëà 11 ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì îòäåëüíûõ ïðåäìåòîâ, Ãîðáàíü Ñòåïàí Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ, Êîçà÷èíñêèé Àëåêñàíäð Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Áåðäíèêîâ Àëåêñàíäð Íîâîñèáèðñê, ãèìíàçèÿ 1, Áîÿðîâ Èãîðü Òîëüÿòòè, ëèöåé 51, Ðåøåòíèêîâ Èâàí Äîëãîïðóäíûé, ÔÌË 5, Ìåíüùèêîâ Àíäðåé Êóðãàí, øêîëà 38, Ïîëîãîâà Àííà Èæåâñê, ÈÅÃË «Øêîëà-30», Ñòåïàíîâ Áîðèñ Åêàòåðèíáóðã, ãèìíàçèÿ 9, Âîòÿêîâ Àëåêñàíäð Èæåâñê, ÝÌË 29, Ìèôòàõîâ Àçàò Íèæíåêàìñê, ëèöåé-èíòåðíàò 24, Ñòðó÷êîâà Àííà ßêóòñê, ëèöåé-èíòåðíàò «Ðåñïóáëèêàíñêèé ëèöåé», Èâëåâ Ôåäîð Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ, Êóïðèÿíîâ Àëåêñàíäð ßðîñëàâëü, øêîëà 33 èì. Ê.Ìàðêñà ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì ìàòåìàòèêè, Ìåäâåäü Íèêèòà Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Ñåðáèíà Äàðüÿ Êóðãàí, ãèìíàçèÿ 47, Áàãëàé Ìèõàèë Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ», Ãëóõîâ Åâãåíèé Êîñòðîìà, ëèöåé 17, 48-57.p65 51 Ãîëîâà Àííà Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ, Íèêîëàåâ Ñåìåí Ìîñêâà, Öåíòð îáðàçîâàíèÿ «Ïÿòüäåñÿò ñåäüìàÿ øêîëà», Ïå÷èíà Àííà Äîëãîïðóäíûé, ÔÌË 5, Ñàìîëþê Ñåðãåé Òîìñê, øêîëà 41, Ëàìòþãèí Àëåêñåé Óëüÿíîâñê, øêîëà 21, Ëûñåíêî Íèêîëàé Ìîñêâà, Öåíòð îáðàçîâàíèÿ «Ïÿòüäåñÿò ñåäüìàÿ øêîëà»; ïî 11 êëàññàì Ñîêîëîâ Âÿ÷åñëàâ Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ãèìíàçèÿ 261, Ñàâåíêîâ Êèðèëë Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Ìàòäèíîâ Ìàðñåëü Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ, Ïîãîðåëîâ Äìèòðèé Íèæíèé Íîâãîðîä, ëèöåé 165 èìåíè 65-ëåòèÿ ÃÀÇ, Òûùóê Êîíñòàíòèí Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Öàðüêîâ Îëåã Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Íå÷àåâ Ñòàíèñëàâ Èðêóòñê, ãèìíàçèÿ 25, Øàáàëèí Ôèëèïï Êèðîâ, ÊÔÌË, Áåðøàäñêèé Åôèì Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ, Àêñåíîâ Âèòàëèé Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, ßíóøåâè÷ Ëåîíèä Ìîñêâà, öåíòð îáðàçîâàíèÿ «Òåõíîëîãèè îáó÷åíèÿ», Àíòðîïîâ Àëåêñàíäð Ïåðìü, øêîëà 146 ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì ìàòåìàòèêè, ôèçèêè, èíôîðìàòèêè, Ãóñåâ Àíòîí Îìñê, ëèöåé 64, Êóâøèíîâ Àëåêñåé Èæåâñê, ÝÌË 29, Ñèâîëîáîâ Âèòàëèé Òîìñê, ëèöåé ïðè Òîìñêîì ïîëèòåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå, ßðîñëàâöåâ Èâàí Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ, Ãëþç Áîðèñ Ìàéêîï, ãèìíàçèÿ 22, Êàëàøíèê Àííà Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ, Êðóëü ßðîñëàâ Óôà, øêîëà 42 ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì îòäåëüíûõ ïðåäìåòîâ, Íèæèáèöêèé Åâãåíèé Êðàñíîäàð, øêîëà 73, Óñòèíîâ Íèêèòà Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Êîíäàêîâà Åëèçàâåòà Ìîñêâà, ëèöåé «Âîðîáüåâû ãîðû», ×åðêàøèí Äàíèëà Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé 533, Àäóåíêî Àëåêñàíäð Áðÿíñê, ãèìíàçèÿ 1, Êðàñíîâ Äìèòðèé Êóðãàíñêàÿ îáë., ï. Çàîçåðíûé, ãèìíàçèÿ 19, Ëîáàñòîâ Ñòåïàí Êèðîâ, ÔÌË, Ëóêüÿíåö Åâãåíèé Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Îðëîâ Îëåã Ïåðìü, øêîëà 146 ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì ìàòåìàòèêè, ôèçèêè, èíôîðìàòèêè, Ïîïîâ Ëåîíèä Ïåðìü, øêîëà 146 ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì ìàòåìàòèêè, ôèçèêè, èíôîðìàòèêè, Ñóíãîðêèí Ìàêñèì ×åáîêñàðû, ëèöåé 3, Ãèëüìàí Ìèõàèë Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé 533, Äóõîâ Êèðèëë Æóêîâñêèé, ãèìíàçèÿ 1, Ìàÿíöåâ Êèðèëë Âîëãîðå÷åíñê, øêîëà 3, Íèêèôîðîâ Äüóëóñòàí ßêóòñê, ëèöåé-èíòåðíàò «Ðåñïóáëèêàíñêèé ëèöåé», Ïëîñêîíîñîâ Àíäðåé Êàëóãà, øêîëà 6 èì. À.Ñ.Ïóøêèíà, Ðîãóëåíêî Ñåðãåé Ñàðàòîâ, ÔÒË 1, Ñî÷íåâ Ñåðãåé Ìàéêîï, ãèìíàçèÿ 22, Øåðøíåâ Àëåêñåé Ãàò÷èíà, ëèöåé 3, Êîêóðèí Ìèõàèë Éîøêàð-Îëà, øêîëà 20, Êîëüöîâ Èâàí ßðîñëàâëü, øêîëà 33 èì. Ê.Ìàðêñà ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì ìàòåìàòèêè. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Í.Àãàõàíîâ, È.Áîãäàíîâ, Ï.Êîæåâíèêîâ, Î.Ïîäëèïñêèé, Ä.Òåð¸øèí 30.09.09, 16:43 # ÊÂÀÍT 2009/¹5 Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï XLIII Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå  ýòîì ãîäó çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï îëèìïèàäû ïî ôèçèêå ïðîõîäèë â ãîðîäå Æóêîâñêîì Ìîñêîâñêîé îáëàñòè íà áàçå ôàêóëüòåòà àýðîìåõàíèêè è ëåòàòåëüíîé òåõíèêè Ìîñêîâñêîãî ôèçèêî-òåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà (ÔÀËÒ ÌÔÒÈ). Îñíîâíûå õëîïîòû ïî ïðèåìó ãîñòåé, èõ ðàçìåùåíèþ è ïèòàíèþ, à òàêæå ïî îðãàíèçàöèè êóëüòóðíîé ïðîãðàììû âçÿë íà ñåáÿ Ãåíåðàëüíûé ñïîíñîð îëèìïèàäû Öåíòðàëüíûé àýðîãèäðîäèíàìè÷åñêèé èíñòèòóò (ÖÀÃÈ). Æþðè îëèìïèàäû áûëî ñôîðìèðîâàíî èç ñîòðóäíèêîâ íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèõ èíñòèòóòîâ Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê (ÈÒÝÔ, ÔÈÀÍ, ÖÀÃÈ), ïðîôåññîðîâ è ïðåïîäàâàòåëåé ÌÔÒÈ, ÌÃÓ, ÍÃÓ, à òàêæå èç ïðåäñòàâèòåëåé Öåíòðàëüíîé ìåòîäè÷åñêîé êîìèññèè ïî ôèçèêå è ñòóäåíòîâ Ôèçòåõà ïîáåäèòåëåé Ìåæäóíàðîäíûõ ôèçè÷åñêèõ îëèìïèàä ïðîøëûõ ëåò.  ñîîòâåòñòâèè ñ íîâûì Ïîëîæåíèåì îá îëèìïèàäå, â çàêëþ÷èòåëüíîì ýòàïå ìîãëè ó÷àñòâîâàòü êàê ïîáåäèòåëè è ïðèçåðû çàêëþ÷èòåëüíîãî ýòàïà ïðîøëîãîäíåé îëèìïèàäû, òàê è ïîáåäèòåëè ðåãèîíàëüíîãî ýòàïà êàæäîãî ñóáúåêòà Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè (ïî îäíîìó ïðåäñòàâèòåëþ îò ïàðàëëåëè 9, 10 è 11 êëàññîâ). Îñòàâøèåñÿ ìåñòà áûëè ñîîòâåòñòâåííî ðàñïðåäåëåíû ìåæäó ïðèçåðàìè ðåãèîíàëüíûõ îëèìïèàä. Êàê îáû÷íî, îëèìïèàäà ïðîõîäèëà â äâà òóðà òåîðåòè÷åñêèé è ýêñïåðèìåíòàëüíûé. Âîò íåêîòîðûå ñïðàâî÷íûå äàííûå îá ó÷àñòíèêàõ è äèïëîìàíòàõ îëèìïèàäû: Êëàññ Êîëè÷åñòâî Äèïëîì ó÷àñòíèêîâ ïîáåäèòåëÿ ïðèçåðà 9 10 11 Âñåãî 48 90 86 224 5 7 7 19 16 29 23 68 Îäèííàäöàòèêëàññíèê Àíäðåé Êîðîëüêîâ èç ïîäìîñêîâíûõ Õèìîê ïîáåäèòåëü îëèìïèàäû Íèæå ïðèâîäÿòñÿ óñëîâèÿ çàäà÷ òåîðåòè÷åñêîãî è ýêñïåðèìåíòàëüíîãî òóðîâ è ñïèñîê äèïëîìàíòîâ îëèìïèàäû. ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐ 9 êëàññ Çàäà÷à 1. Áðåâíî íà ïðèâÿçè Ñì. çàäà÷ó Ô2138 èç «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». Íèíà Êóäðÿøîâà ñî ñâîèì ó÷èòåëåì ôèçèêè Àïîëîíñêèì Àëåêñàíäðîì Íèêîëàåâè÷åì. Îíè åùå íå çíàþò, ÷òî ÷åðåç òðè ìåñÿöà Íèíà çàâîþåò ñåðåáðÿíóþ ìåäàëü íà Ìåæäóíàðîäíîé ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäå øêîëüíèêîâ 48-57.p65 52 Çàäà÷à 2. Êîíôåòà íà òðàíñïîðòåðå Âî âðåìÿ ýêñêóðñèè íà êîíäèòåðñêóþ ôàáðèêó ýêñïåðèìåíòàòîð Ãëþê çàìåòèë, ÷òî ñêîðîñòü êîíôåòû, ïîïàäàþùåé èç óïàêîâî÷íîé ìàøèíû ïîä óãëîì α = 60° íà ëåíòó òðàíñïîðòåðà (ðèñ.1; âèä ñâåðõó), ñíà÷àëà óìåíüøàåòñÿ, à ïîòîì óâåëè÷èâàåòñÿ. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v0 êîíôåòû ðàâíà ïî ìîäóëþ ñêîðîñòè u ëåíòû òðàíñïîðòåðà è ëåæèò â ïëîñêîñòè ëåíòû. ×åìó ðàâíà ñêîðîñòü v0′ êîíôåòû îòíîñèòåëüíî ëåíòû òðàíñïîðòåðà ñðàçó ïîñëå ïîïàäàíèÿ åå íà ëåíòó? Âû÷èñëèòå ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü vmin êîíôåòû îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî Ãëþêà. Â.Ñëîáîäÿíèí Çàäà÷à 3. Äâîéíîé ìîñò Ñì. çàäà÷ó Ô2141 èç «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 30.09.09, 16:43 Ðèñ. 1 #! ÎËÈÌÏÈÀÄÛ Çàäà÷à 4. «Äîçàïðàâêà» ÷àéíèêà Òåîðåòèê Áàã ðåøèë ïîïèòü ÷àéêó. Îí âçÿë òåïëîèçîëèðîâàííûé ÷àéíèê, ñíàáæåííûé ìèíèàòþðíûì òåðìîìåòðîì, è âêëþ÷èë åãî â ýëåêòðè÷åñêóþ ñåòü. Òåðìîìåòð ïîêàçàë òåìïåðàòóðó t0 = 20 °C . ×åðåç âðåìÿ τ1 = 1 ìèí , êîãäà âîäà íàãðåëàñü äî òåìïåðàòóðû t1 = 40 °C , îí ñòàë äîëèâàòü â ÷àéíèê âîäó.  ìîìåíò τ2 = 3,5 ìèí , êîãäà òåìïåðàòóðà âîäû äîñòèãëà t2 = 50 °C , Áàã îñòàíîâèëñÿ. Åùå ÷åðåç 5 ìèí âîäà çàêèïåëà. Íà ðèñóíêå 2 ïðèâåäåí ãðàôèê èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû âîäû â ÷àéíèêå â õîäå åå íàãðåâà è «äîçàïðàâêè». Êàêîé Ðèñ. 2 áûëà òåìïåðàòóðà tx äîëèâàåìîé âîäû? Ñ÷èòàéòå, ÷òî âîäà áûñòðî ïåðåìåøèâàåòñÿ, à òåðìîìåòð ïîêàçûâàåò òåêóùåå çíà÷åíèå åå òåìïåðàòóðû. À.Âîðîíîâ 1) ×åðåç êîíäåíñàòîð òå÷åò òîê. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå ñèëû òîêà Imax . 2) Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà ðàâíî d = 1 ñì, îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíóþ òåïëîâóþ ìîùíîñòü, êîòîðàÿ ìîæåò âûäåëèòüñÿ âíóòðè êîíäåíñàòîðà ïðè èçìåíåíèè íàïðÿæåíèÿ ìåæäó ïëàñòèíàìè. Ïîñòðîéòå êà÷åñòâåííûé ãðàôèê çàâèñèìîñòè ìîùíîñòè Ð îò íàïðÿæåíèÿ U. 3) Ïóñòü òåïåðü íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå ïîñòîÿííî è ðàâíî U1 = 2,0 ⋅ 103 B . Êàêàÿ ìàêñèìàëüíàÿ ìîùíîñòü ìîæåò âûäåëèòüñÿ âíóòðè êîíäåíñàòîðà, åñëè èçìåíÿòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè? Ïðè êàêîì çíà÷åíèè d = d1 äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ ìîùíîñòü? Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êîíäåíñàòîð ïîëíîñòüþ çàïîëíåí âåùåñòâîì ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ d. Ïîñòðîéòå êà÷åñòâåííûé ãðàôèê çàâèñèìîñòè âûäåëÿåìîé ìîùíîñòè Ð îò ðàññòîÿíèÿ d ìåæäó ïëàñòèíàìè. Ñ.Êîçåë, Â.Ñëîáîäÿíèí 10 êëàññ Çàäà÷à 1. Ãîëîâîêðóæèòåëüíûé àòòðàêöèîí  ãîëîâîêðóæèòåëüíîì àòòðàêöèîíå ÷åëîâåê ìàññîé m = = 70 êã ïðûãàåò ñ ïëàòôîðìû âíèç â îçåðî. Ê íîãàì ÷åëîâåêà ïðèâÿçàí êîíåö ðåçèíîâîãî æãóòà íåêîòîðîé äëèíû L è æåñòêîñòè k. Äðóãîé êîíåö æãóòà ïðèêðåïëåí ê ïëàòôîðìå. Ó ïîâåðõíîñòè âîäû, ïðîëåòåâ ðàññòîÿíèå h = 90 ì, ÷åëîâåê äîëæåí èìåòü íóëåâóþ ñêîðîñòü è óñêîðåíèå a0 = 2g . Ñ÷èòàéòå, ÷òî g = 10 ì ñ2 , à æãóò ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Ãóêà. Ðàçìåðàìè ÷åëîâåêà, ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà è äðóãèìè ïîòåðÿìè ýíåðãèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Îïðåäåëèòå: 1) äëèíó L íåðàñòÿíóòîãî æãóòà è åãî æåñòêîñòü k; 2) óäëèíåíèå æãóòà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ (ïîñëå çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé); 3) ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü vmax ïàäåíèÿ ÷åëîâåêà; 4) àìïëèòóäó A è ÷àñòîòó ω ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ÷åëîâåêà íà æãóòå; 5) âðåìÿ τ ïàäåíèÿ ÷åëîâåêà äî ïîâåðõíîñòè âîäû. Âíèìàíèå! Îò òî÷íîñòè âàøèõ ðàñ÷åòîâ âîçìîæíî áóäåò çàâèñåòü æèçíü ÷åëîâåêà! Ê.Çàõàð÷åíêî Çàäà÷à 1. Øàðèê â ëóíêå  ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîé ïëèòå ñäåëàíà ïîëóñôåðè÷åñêàÿ ãëàäêàÿ ëóíêà ðàäèóñîì R (ðèñ.3). Ìàëåíüêèé øàðèê ìàññîé m ïðèêðåïëåí ñ ïîìîùüþ ëåãêîé íåðàñòÿæèìîé íèòè äëèíîé L = R ê êðàþ ëóíêè (â òî÷êå À).  íà÷àëüíûé ìîìåíò íèòü íàòÿíóòà, à øàðèê êàñàåòñÿ êðàÿ ëóíêè. Øàðèê îòïóñêàþò, è îí áåç íà÷àëüíîé ñêîðîÐèñ. 3 ñòè íà÷èíàåò ñêîëüçèòü âíèç. Íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè Ò â ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ øàðèêîì íèæíåãî ïîëîæåíèÿ. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g. Ä.Ïîäëåñíûé Çàäà÷à 2. Ïðåëîìëåííûé ëó÷ Ãîâîðÿò, ÷òî â àðõèâå Ñíåëëèóñà íàøëè ÷åðòåæ îïòè÷åñêîé ñõåìû (ðèñ.4). Îò âðåìåíè ÷åðíèëà âûöâåëè, è íà ÷åðòåæå îñòàëèñü âèäíû òîëüêî ïàäàþùèé ëó÷ è òðè òî÷êè: ïðàâûé ôîêóñ F òîíêîé ëèíçû, òî÷êà À, â êîòîðîé ïðåëîìèëñÿ ïàäàþùèé ëó÷, è òî÷êà Â, ïðèíàäëåæàùàÿ ëåâîé ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. Âîññòàíîâèòå ïî ýòèì äàííûì ïîëîæåíèå ëèíçû è åå ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè è õîä ëó÷à çà ëèíçîé. Â.Ñëîáîäÿíèí Çàäà÷à 3. Ñòîëêíîâåíèå àñòåðîèäîâ Ñì. çàäà÷ó Ô2139 èç «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». Çàäà÷à 4. Íåëèíåéíàÿ ïðîâîäèìîñòü Íåêîòîðîå âåùåñòâî îáëàäàåò íåëèíåéíîé ïðîâîäèìîñòüþ. Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ρ ýòîãî âåùåñòâà çàâèñèò îò íàïðÿ2 æåííîñòè Å ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïî çàêîíó ρ = ρ0 + AE , ãäå 7 3 2 −3 ρ0 = 1,0 ⋅ 10 Îì ⋅ ì è A = 1,0 ⋅ 10 Îì ⋅ ì  . Ýòèì âåùåñòâîì çàïîëíåíî âñå ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ïëàñòèíàìè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà. Ïëîùàäü ïëàñòèí S = 1 ì 2 . Ðèñ. 4 48-57.p65 53 Çàäà÷à 5. Ïîòåðÿííûå îñè Ñì. çàäà÷ó Ô2140 èç «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 11 êëàññ Çàäà÷à 2. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà ñ èíäóêòèâíîñòüþ  ñõåìå íà ðèñóíêå 5 ïàðàìåòðû âñåõ ýëåìåíòîâ çàäàíû.  íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè, êîãäà êëþ÷ áûë ðàçîìêíóò, òîê â öåïè, ñîäåðæàùåé êàòóøêó èíäóêòèâíîñòüþ L, îòñóòñòâîâàë. Êëþ÷ çàìûêàþò íà íåêîòîðîå âðåìÿ, à çàòåì ñíîâà ðàçìûêàþò. Èçâåñòíî, ÷òî çà âðåìÿ, ïîêà êëþ÷ áûë çàìêíóò, ÷åðåç êàòóøêó ïðîòåê çàðÿä q0 . Çà âñå âðåìÿ ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à â ñõåìå âûäåëèëîñü êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q0 . Ïðåäïîëàãàÿ èäåàëüíûìè âñå ýëåìåíòû öåïè, îïðåäåëèòå: 1) ñèëó òîêà I0 , ïðîòåêàþ- Ðèñ. 5 ùåãî ÷åðåç êàòóøêó íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ðàçìûêàíèåì êëþ÷à; 2) çàðÿä q1 , ïðîòåêøèé ÷åðåç ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R çà âðåìÿ, ïîêà êëþ÷ áûë çàìêíóò; 3) çàðÿä q2 , ïðîòåêøèé ÷åðåç ðåçèñòîð ïîñëå òîãî, êàê êëþ÷ áûë ðàçîìêíóò; 4) ðàáîòó A, ñîâåðøåííóþ èñòî÷íèêîì ïîñòîÿííîãî òîêà â òå÷åíèå âñåãî ïðîöåññà; 30.09.09, 16:44 #" ÊÂÀÍT 2009/¹5 5) êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q, âûäåëèâøååñÿ â ñõåìå, ïîêà êëþ÷ áûë çàìêíóò. Óêàçàíèå. Íàéäèòå ñâÿçü ìåæäó çàðÿäîì, ïðîòåêøèì ÷åðåç ðåçèñòîð, è èçìåíåíèåì ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç êàòóøêó. À.Øåðîíîâ Çàäà÷à 3. Òåïëîîáìåí ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé  ñîñóä, ñîäåðæàùèé ñìåñü âîäû è ëüäà, â ìîìåíò âðåìåíè τ = 0 îïóñòèëè íàãðåâàòåëü ìîùíîñòüþ P0 = 440 Âò . Íà ðèñóíêå 6 ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû t ñìåñè îò âðåìåíè τ . Èçâåñòíî, ÷òî ìîùíîñòü Pò òåïëîâûõ ïîòåðü ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè òåìïåðàòóð ∆t = t − t0 , ãäå t0 òåìïåðàòóðà îêðóæàþùåé ñðåäû. Ïðè ðàñ÷åòàõ âû ìîæåòå ïðèíÿòü t0 = 0 °C è, Ðèñ. 6 ñëåäîâàòåëüíî, Pò = = αt , ãäå α ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò, íå çàâèñÿùèé îò òåìïåðàòóðû. Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííûé ãðàôèê çàâèñèìîñòè t ( τ ) , íàéäèòå: 1) íà÷àëüíóþ ìàññó ëüäà më â ñìåñè; 2) îáùóþ ìàññó M ñîäåðæèìîãî ñîñóäà; 3) êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè α ; 4) ìàêñèìàëüíóþ ìîùíîñòü íàãðåâàòåëÿ Pmax , ïðè êîòîðîé âîäà íèêîãäà íå çàêèïèò; 5) âðåìÿ τ1 îò íà÷àëà òàÿíèÿ ëüäà, â òå÷åíèå êîòîðîãî âîäà â ñîñóäå çàêèïèò, åñëè ìîùíîñòü íàãðåâàòåëÿ P1 = 300 Âò . Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû câ = 4200 Äæ (êã ⋅ Ê ) , óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà λ = 3,2 ⋅ 105 Äæ êã . Ñ.Êîçåë Çàäà÷à 4. Çàäà÷à Êåëüâèíà Ãîâîðÿò, ÷òî â àðõèâå ëîðäà Êåëüâèíà íàøëè ãðàôèê öèêëè÷åñêîãî ïðîöåññà, ñîâåðøåííîãî íàä îäíèì ìîëåì èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà (ðèñ.7). Ñî âðåìåíåì ÷åðíèëà âûöâåëè, è îò êîîðäèíàòíûõ îñåé Ò (òåìïåðàòóðà) è V (îáúåì) íå îñòàëîñü è ñëåäà. Èç ïîÿñíåíèé ê òåêñòó ñëåäîâàëî, ÷òî â òî÷êå À òåìïåðàòóðà 400 Ê, îáúåì 4 ë, äàâëåíèå ãàçà ìèíèìàëüíî, à íà÷àëî êîÐèñ. 7 îðäèíàò íàõîäèòñÿ â íèæíåé ÷àñòè ðèñóíêà. Òàì æå áûë óêàçàí ìàñøòàá ïî îñÿì. 1) Âîññòàíîâèòå ïîñòðîåíèåì ïîëîæåíèå îñåé Ò è V. 2) Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå ãàçà â ýòîì ïðîöåññå. Ã.Òàðíîïîëüñêèé Çàäà÷à 5. Çàäà÷à ñ äâóìÿ ëèíçàìè Íà ýêñïåðèìåíòàëüíîì òóðå ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäû ó÷àñòíèêàì áûëî ïðåäëîæåíî îïðåäåëèòü ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ äâóõ òîíêèõ ñîáèðàþùèõ ëèíç, ðàñïîëîæåííûõ â òîðöàõ ïîëîãî öèëèíäðà äëèíîé L = 20,0 ñì (ðèñ.8). Îäèí èç Ðèñ. 8 48-57.p65 54 ó÷àñòíèêîâ, Âàñÿ Çàçíàéêèí, àêêóðàòíî âûïîëíèë ýêñïåðèìåíòû è ïîëó÷èë ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû: à) åñëè ñëåâà îò ëåâîãî òîðöà öèëèíäðà íà åãî îñè íà ðàññòîÿíèè l1 = 5,0 ñì ðàñïîëîæèòü òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà, òî ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ñèñòåìó ñâåò âûõîäèò èç ïðàâîãî òîðöà ïàðàëëåëüíûì ïó÷êîì; á) åñëè íà ëåâûé òîðåö ïîñëàòü ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà, òî ñïðàâà îò ïðàâîãî òîðöà íà ðàññòîÿíèè l2 = 10,0 ñì ëó÷è ñõîäÿòñÿ â îäíó òî÷êó, ëåæàùóþ íà îñè öèëèíäðà. Îäíàêî ðàññ÷èòàòü ïî ýòèì ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ F1 è F2 îáåèõ ëèíç Çàçíàéêèí íå ñìîã. Ïîìîãèòå áåäíîìó Âàñå. Ñ.Êîçåë ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÀËÜÍÛÉ ÒÓÐ 9 êëàññ Çàäà÷à 1. Èññëåäîâàíèå ñòåêëà Îáîðóäîâàíèå: ñòåêëÿííàÿ áóòûëêà; êóñî÷êè ñòåêëà; ïëàñòèêîâûé ñîñóä; ìåðíûé öèëèíäð; ïëàñòèêîâûé ñòàêàí÷èê; ïåíîïëàñòîâàÿ êðûøêà; òåðìîìåòð; ñåêóíäîìåð; ïîëîñêà ñêîò÷à; ãîðÿ÷àÿ è õîëîäíàÿ âîäà (ïî òðåáîâàíèþ); ïîäíîñ è ñàëôåòêè äëÿ ïîääåðæàíèÿ â ÷èñòîòå ðàáî÷åãî ìåñòà. 1) Îïðåäåëèòå ïëîòíîñòü ρ ñòåêëà, èç êîòîðîãî ñäåëàíà áóòûëêà. 2) Îïðåäåëèòå ñóììàðíóþ òåïëîåìêîñòü Ñ êóñî÷êîâ ñòåêëà. Óêàçàíèå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåïëîåìêîñòè ñòåêëà èññëåäóéòå çàâèñèìîñòè òåìïåðàòóðû ñîäåðæèìîãî ïëàñòìàññîâîãî ñòàêàíà îò âðåìåíè è ïîñòðîéòå ãðàôèêè ýòèõ çàâèñèìîñòåé. Âûâåäèòå ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà òåïëîåìêîñòè ñòåêëà ïî ðåçóëüòàòàì ýòèõ èññëåäîâàíèé. Ñ÷èòàéòå, ÷òî ìîùíîñòü òåïëîâûõ ïîòåðü ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè òåìïåðàòóð ìåæäó ñîäåðæèìûì ñòàêàíà è êîìíàòíîé òåìïåðàòóðîé. 3) Ñ÷èòàÿ, ÷òî ïëîòíîñòü êóñî÷êîâ ñòåêëà ðàâíà ïëîòíîñòè áóòûëî÷íîãî ñòåêëà, îïðåäåëèòå óäåëüíóþ òåïëîåìêîñòü ñ ñòåêëà. Ïðèìå÷àíèå. Ïëîòíîñòü âîäû ρ0 = 1000 êã ì3 , óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû c0 = 4200 Äæ ( êã ⋅ °Ñ ) . Ïðè ðàáîòå ñ ãîðÿ÷åé âîäîé áóäüòå ïðåäåëüíî àêêóðàòíû! Ïðè èçìåðåíèè òåìïåðàòóðû ïðèäåðæèâàéòå òåðìîìåòðû ðóêîé, ÷òîáû íå ðàçáèòü èõ. À.Øåðîíîâ, Ì.Îñèí Çàäà÷à 2. Óðàãàí Îáîðóäîâàíèå: ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñ âåíòèëÿòîðîì èçâåñòíîé ìàññû Ì (ìàññà óêàçàíà íà êîðïóñå âåíòèëÿòîðà); ìóëüòèìåòð â ðåæèìàõ âîëüòìåòðà è îììåòðà; øòàòèâ ñ ìóôòîé è ëàïêîé; äâå ëèíåéêè; êàíöåëÿðñêèé çàæèì; çàæèì «êðîêîäèë»; äâå òîíêèå ïðîâîëîêè. Èçìåðüòå ÊÏÄ η âåíòèëÿòîðà. Èññëåäóéòå çàâèñèìîñòü ÊÏÄ îò ïîäàâàåìîãî íà âåíòèëÿòîð íàïðÿæåíèÿ U. ÂåíÐèñ. 9 òèëÿòîð âêëþ÷åí â ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ïðèâåäåííóþ íà ðèñóíêå 9. Äëÿ ñîåäèíåíèÿ êîíòàêòà 5 ñ êîíòàêòàìè 1, 2, 3 è 4 èñïîëüçóéòå çàæèì «êðîêîäèë». Ïðåäñòàâüòå ñâîè ðåçóëüòàòû â âèäå òàáëèöû. Ïðèìå÷àíèå. Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà, åñëè íà òåëî äåéñòâóåò ïîñòîÿííàÿ ñèëà F, òî èçìåíåíèå èìïóëüñà òåëà ∆p çà âðåìÿ ∆t ðàâíî èìïóëüñó ñèëû: ∆p = F ∆t . Óêàçàíèå. Ñ÷èòàéòå, ÷òî ïðè çàäàííîì íàïðÿæåíèè U ñêîðîñòü v ïîòîêà âîçäóõà ïîñòîÿííà ïî âñåìó ñå÷åíèþ ïîòîêà, èäóùåãî îò ëîïàñòåé, à â öåíòðàëüíîé ÷àñòè îíà 30.09.09, 16:44 ## ÎËÈÌÏÈÀÄÛ Ðèñ. 10 ðàâíà íóëþ (ðèñ.10). Ïîëåçíîé ìîùíîñòüþ âåíòèëÿòîðà ñ÷èòàéòå êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ, ïåðåäàâàåìóþ âîçäóõó çà åäèíèöó âðåìåíè. Ïëîòíîñòü âîçäóõà ρ = 1,29 êã ì 3 . Çàêîðà÷èâàòü áàòàðåéêè çàïðåùåíî! Ðàçðÿæåííûå áàòàðåéêè íå çàìåíÿþòñÿ! Ì.Îñèí 10 êëàññ Çàäà÷à 1. «Çâåçäíûé ÿùèê» Îáîðóäîâàíèå: «÷åðíûé ÿùèê» ñ òðåìÿ âûâîäàìè; ìóëüòèìåòð â ðåæèìå âîëüòìåòðà; ìóëüòèìåòð â ðåæèìå àìïåðìåòðà; ñîåäèíèòåëüíàÿ êîëîäêà; îòâåðòêà; áàòàðåéêà; äâà ïðîâîäà; ðåçèñòîð ïåðåìåííîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Âíóòðè «÷åðíîãî ÿùèêà» íàõîäÿòñÿ 3 ýëåìåíòà, ñîåäèíåííûå «çâåçäîé» (ðèñ.11). Óáåäèòåñü â ëèíåéíîñòè ýòèõ ýëåìåíòîâ, ïîñòðîèâ äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà åãî âîëüò-àìïåðíóþ õàðàêòåðèñòèêó (íå ìåíåå 10 òî÷åê). Îïðåäåëèòå ïàðàìåòð Ri = ∆Ui ∆Ii äëÿ êàæäîãî èç íèõ.  ñîñòàâ îäíîãî èç ýëåìåíòîâ âêëþ÷åí èñòî÷íèê ïîñòîÿííîãî òîêà. Îïðåäåëèòå íîìåð ýòîãî ýëåìåíòà è ÝÄÑ - èñòî÷Ðèñ. 11 íèêà. Ïðèìå÷àíèå. Íàïðÿæåíèå âûäàííîé áàòàðåéêè äîëæíî ïðåâûøàòü 1 Â. Áóäüòå ïðåäåëüíî àêêóðàòíû ñ ÿùèêàìè íå ïåðåâîðà÷èâàéòå è íå òðÿñèòå èõ.  ñëó÷àå, åñëè ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ âûâîäàìè íåïîäêëþ÷åííîãî «÷åðíîãî ÿùèêà» íàïðÿæåíèå ïðåâûøàåò 4 Â, ñëåäóåò îáÿçàòåëüíî îáðàòèòüñÿ ê äåæóðíûì äëÿ ïðîâåðêè ÿùèêà. À.Êîáÿêèí Çàäà÷à 2. Óðàãàí â òðóáå Îáîðóäîâàíèå: âåíòèëÿòîð èçâåñòíîé ìàññû Ì è øàðèê äëÿ íàñòîëüíîãî òåííèñà èçâåñòíîé ìàññû m (ìàññû óêàçàíû íà âåíòèëÿòîðå è øàðèêå ñîîòâåòñòâåííî); ðåãóëèðóåìûé èñòî÷íèê ïîñòîÿííîãî òîêà; äâà ìóëüòèìåòðà; äâå ëèíåéêè; êàíöåëÿðñêèé çàæèì; øòàòèâ; ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà è òîíêàÿ ïðîâîëîêà; íèòêè; áóìàæíàÿ òðóáà; íîæíèöû è ñêîò÷ (ïî òðåáîâàíèþ). 1) Ñì. çàäà÷ó 2 äëÿ 9 êëàññà. 2) Ïîñòàâüòå âåíòèëÿòîð âïëîòíóþ ê îäíîìó èç êîíöîâ âûäàííîé âàì áóìàæíîé òðóáû. Ïîòîê âîçäóõà äîëæåí áûòü íàïðàâëåí âíóòðü òðóáû. Âáëèçè äðóãîãî êîíöà òðóáû íà åå îñè ñèììåòðèè ðàñïîëîæèòå òåííèñíûé øàðèê. Íàéäèòå ñèëó F, äåéñòâóþùóþ íà øàðèê, ïîìåùåííûé â ïîòîê âîçäóõà, âûõîäÿùèé èç òðóáû. Ïîëàãàÿ F = Av2 , îïðåäåëèòå êîýôôèöèåíò À. Ñ÷èòàéòå, ÷òî ñêîðîñòü âîçäóõà íà âûõîäå èç òðóáû ðàâíà ñêîðîñòè âîçäóõà, ñîçäàâàåìîé âåíòèëÿòîðîì. Ì.Îñèí 11 êëàññ Çàäà÷à 1. Ôîðìóëà Ãåðöà Îáîðóäîâàíèå: äâà ñòàëüíûõ øàðèêà; òîíêàÿ ìåäíàÿ ïðîâîëîêà áåç èçîëÿöèè; áóìàæíûé òðàíñïîðòèð; òðè äåðåâÿííûå ëèíåéêè; êîíäåíñàòîð èçâåñòíîé åìêîñòè Ñ = 20 ìêÔ; ðåçèñòîð ñ èçâåñòíûì ñîïðîòèâëåíèåì R = 68 Îì; áàòàðåéêà; äâå êíîïêè; ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà; ìóëüòèìåòð â ðåæèìå âîëüòìåòðà c âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì RV = 1,0 ÌÎì , ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûé ñ ðåçèñòîðîì ñîïðîòèâëåíèåì rV (íîìèíàëüíîå çíà÷åíèå íàïèñàíî íà ðàáî÷åì ìåñòå); øåñòü êëåììíûõ êîëîäîê; îòâåðòêà; äâà ïðîâîäà ñ çàæèìàìè «êðîêîäèë»; ñêîò÷. Ïîäâåñüòå øàðèêè íà áèôèëëÿðíûõ ïîäâåñàõ (ðèñ.12). Èññëåäóéòå, êàê çàâèñèò âðåìÿ ñîóäàðåíèÿ τ äâóõ îäèíàêîâûõ ñòàëüíûõ øàðèêîâ îò èõ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñ- Ðèñ. 12 òè v, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî îíî óäîâëåòâîðÿåò çàâèñèìîñòè τ = Bvα . Îïðåäåëèòå ïîêàçàòåëü ñòåïåíè α . Ïî ïîëó÷åííûì äàííûì îïðåäåëèòå âðåìÿ ñîóäàðåíèÿ τ1 ïðè îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè v1 = 10 ì ñ . Ïðîâåäèòå èçìåðåíèÿ äëÿ íå ìåíåå ÷åì ñåìè ðàçëè÷íûõ îòíîñèòåëüíûõ ñêîðîñòåé øàðèêîâ. Ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ âðåìåíè äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè íå äîëæíà ïðåâûøàòü 20%. Óêàçàíèå. Åñëè íåçàðÿæåííûé êîíäåíñàòîð áîëüøîé åìêîñòè çàðÿæàåòñÿ â òå÷åíèå íåáîëüøîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè è íàïðÿæåíèå íà íåì äîñòàòî÷íî ìàëî, òàê ÷òî òîê çàðÿäêè IC ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåòñÿ, òî ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå ∆qC qC dq = IC = C ª . ∆t dt t Å.Áîãåð Çàäà÷à 2. Êîëåáàíèÿ ëèíåéêè Îáîðóäîâàíèå: ïðèêðåïëåííàÿ ê ñòîëó ìåòàëëè÷åñêàÿ ëèíåéêà; äëèííàÿ äåðåâÿííàÿ ëèíåéêà; êàíöåëÿðñêèé çàæèì; øàðèêè èç áóìàãè; øòàòèâ. Ïîñòðîéòå òàáëèöó çàâèñèìîñòè êðóãîâîé ÷àñòîòû ω êîëåáàíèé ñâîáîäíîãî êîíöà ìåòàëëè÷åñêîé ëèíåéêè îò äëèíû L åå ñâîáîäíîãî êîíöà â äèàïàçîíå îò 10 ñì äî 20 ñì ñ øàãîì 2 ñì. Â.Ñëîáîäÿíèí Äèïëîìàíòû îëèìïèàäû Äèïëîì ïîáåäèòåëÿ ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè Ïàíüêîâ Àëåêñàíäð Ïåðìü, øêîëà 9 èì. À.Ñ.Ïóøêèíà, Áåãóí Àëåêñàíäð Âëàäèâîñòîê, øêîëà 35, Àðçàìàññêèé Ëåâ Êàëèíèíãðàä, ëèöåé 23, Ïàðèíîâ Äàíèèë Âîðîíåæ, ãèìíàçèÿ 9, Âèíîãðàäîâ Êîíñòàíòèí ßðîñëàâëü, øêîëà 33 èì. Ê.Ìàðêñà; Ãîðíîñòàåâ Äìèòðèé ñ. Øîêøà (Ðåñïóáëèêà Ìîðäîâèÿ), Øîêøèíñêàÿ øêîëà, Êîíîíîâ ßêîâ Óëàí-Óäý, Ðîññèéñêàÿ ãèìíàçèÿ 59, Àíòîíåíêî Äèíèèë Ðîñòîâ-íà-Äîíó, Åñòåñòâåííî-íàó÷íûé ëèöåé 11, Òàðàñîâ Àðòåì Êèðîâ, ÔÌË, Êîâàëåâ Êèðèëë ßðîñëàâëü, øêîëà 33 èì. Ê.Ìàðêñà, Ôðîëîâ Ôåäîð Âîëîãäà, Âîëîãîäñêèé ìíîãîïðîôèëüíûé ëèöåé; ïî 10 êëàññàì Êàðåëèíà Ëþáîâü Åêàòåðèíáóðã, ãèìíàçèÿ 9 , ïî 11 êëàññàì Êîðîëüêîâ Àíäðåé Õèìêè, ëèöåé 11, 48-57.p65 55 30.09.09, 16:44 #$ ÊÂÀÍT 2009/¹5 Ãðèãîðüåâûõ Äàíèë Èæåâñê, Ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ëèöåé 29, Àëþøèí Àëåêñåé Ìîñêâà, ÑÓÍà ÌÃÓ, Òîëìà÷åâ Ëåâ Ìîñêâà, øêîëà 192, Êóäðÿøîâà Íèíà Áèéñê, Áèéñêèé ëèöåé Àëòàéñêîãî êðàÿ, Ñîáîëåâ Àíòîí Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ», Çåìëÿíîâ Âëàäèñëàâ Óðàé, ãèìíàçèÿ. Äèïëîì ïðèçåðà ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè Øóðàíîâ Äìèòðèé Óôà, ãèìíàçèÿ 3 èì. À.Ì.Ãîðüêîãî, ×óðèëîâ Àíòîí Åôðåìîâ, Åôðåìîâñêèé ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ëèöåé, Çàíî÷êèí Àíäðåé Ñàðîâ, ëèöåé 15, Àêèíüùèêîâ Àëåêñåé Âåëèêèé Íîâãîðîä, øêîëà 23, Íèêèòåíêîâ Ïàâåë Ñìîëåíñê, ãèìíàçèÿ èì. Í.Ì.Ïðæåâàëüñêîãî, Áóáèñ Àíòîí Òàòàðñòàí, ÔÌË 131, Øåëü Åãîð Òþìåíü, øêîëà 29, Ãîëîâåøêèí Àëåêñàíäð Ìîñêâà, ëèöåé 1303, Ïðîêîôüåâ Âàäèì Ðÿçàíü, øêîëà 3, Äåõòÿðåíêî ßðîñëàâ Áðÿíñê, øêîëà 41, Ëó÷íèêîâ Èëüÿ Êèðîâ, øêîëà 21, Ãàìîâ Àðòåìèé Ñàðîâ, ëèöåé 15, Áîãäàíîâ Ñâÿòîñëàâ Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Øóìàêîâ Àíòîí Îìñê, ãèìíàçèÿ 117, Öûáðîâ Ôåäîð Ðåñïóáëèêà Êîìè, ãèìíàçèÿ, Èîíîâ Àíäðåé Ìîñêâà, Öåíòð îáðàçîâàíèÿ «Ïÿòüäåñÿò ñåäüìàÿ øêîëà»; ïî 10 êëàññàì Íèêîëàåâ Åãîð Ðåñïóáëèêà Ìàðèé Ýë, Ïîëèòåõíè÷åñêèé ëèöåé-èíòåðíàò, Àëåêñååâ Àëåêñåé Áèéñê, Áèéñêèé ëèöåé Àëòàéñêîãî êðàÿ, Ñòðîéíîâ Åâãåíèé Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ, Áàéíåâ Âèòàëèé Ñàðàíñê, ëèöåé 43, Êà÷àëîâ Âÿ÷åñëàâ Ìîñêâà, øêîëà-èíòåðíàò «Èíòåëëåêòóàë», Êîíîâàëîâ Àëåêñàíäð Äîëãîïðóäíûé, ëèöåé 5 «Ôèçìàò», Ëàâðîâ Ïåòð Ïåðìü, øêîëà 146, Àíàñêèí Âèêòîð Áèéñê, Áèéñêèé ëèöåé Àëòàéñêîãî êðàÿ, Êàçååâ Íèêèòà Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ», Äàâûäîâ Èâàí Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ», Ñòàðè÷êîâ Íèêèòà Êàëóãà, øêîëà 46, Àðòàìîíîâ Äìèòðèé Ñàðîâ, ëèöåé 15, Ñàäêîâ Âèêòîð Ñàðàòîâ, ÔÒË 1, Ñâåòîãîðîâ Àëåêñàíäð Êàëóãà, ãèìíàçèÿ, Ðàçóìîâ Äìèòðèé Íèæíèé Íîâãîðîä, ëèöåé 40, Êîñòèí Ïåòð Áåëãîðîä, ëèöåé 38, Îôåíãåéì Äìèòðèé Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ», Êóðî÷êèí Íèêèòà ×åáîêñàðû, ëèöåé 3, Ïîïîâ Ôåäîð Ïåðìü, øêîëà 146, Êèì Àëåêñàíäð Ðåñïóáëèêà Ñàõà (ßêóòèÿ), Ðåñïóáëèêàíñêèé ëèöåé, Ðûêîâ Àíäðåé Ñíåæèíñê, ãèìíàçèÿ 127, Øóñòèêîâà Àííà Çàðå÷íûé, ëèöåé 230, Ìàðãàðèòîâ Àðòåìèé ßðîñëàâëü, øêîëà 33 èì. Ê.Ìàðêñà, Áåáåõ Èëüÿ Ðåñïóáëèêà Êîìè, Ðåñïóáëèêàíñêèé ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ëèöåé-èíòåðíàò, Ïåðåâîùèêîâ Äåíèñ Êèðîâ, øêîëà 21, Òîìàñ Ïàâåë Íîâîñèáèðñê, ëèöåé 130 èì. Ì.À.Ëàâðåíòüåâà, Áåëÿí÷èêîâ Ìèõàèë Ìåæäóðå÷åíñê, ãèìíàçèÿ 20, Ñìèðíîâ Íèêîëàé Íîâîñèáèðñê, ãèìíàçèÿ 3, Êîìåíäàòÿí Àíäðåé Ñàìàðà, ÔÌØ; ïî 11 êëàññàì Êðàâ÷óê Ïåòð Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ», Óñìàíîâà Äèíàðà Ìèàññ, ëèöåé 6, Ñâåòêèí Ìèõàèë Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ, Êîñòàðåâ Èëüÿ Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé 533, Öûìáàëîâ Èâàí Òâåðü, ëèöåé 35 ÎÀÎ «ÐÆÄ», Ôàäååâ Àëåêñåé Íîâî÷åáîêñàðñê, ëèöåé 18, Ñòàðêîâ Ãðèãîðèé Íîÿáðüñê, øêîëà 7, Îáèäèíà ßíà Îðåíáóðã, ãèìíàçèÿ 3, Êàçååâ Àëåêñàíäð Ïåòðîïàâëîâñê-Êàì÷àòñêèé, øêîëà 33, Áåðñåíåâ Íèêèòà Ìîñêâà, Öåíòð îáðàçîâàíèÿ 1925, Òðåãóáîâ Äìèòðèé Êèðîâ, ÔÌË, Ñàôîøêèí Àëåêñåé Ðÿçàíü, ãèìíàçèÿ 2 èì. È.Ï.Ïàâëîâà, Áû÷èí Àíäðåé Áèéñê, Áèéñêèé ëèöåé Àëòàéñêîãî êðàÿ, Ìèõàéëîâà Àíàñòàñèÿ Îðåíáóðã, ãèìíàçèÿ 3, Âëàñþê Àëåêñàíäð Íîâîñèáèðñê, ÑÓÍÖ ÍÃÓ, Ëåâäèê Ïàâåë ×åëÿáèíñê, ëèöåé 39, Ëèáåðçîí Äàíèèë Êèðîâ, ÔÌË, Äîðîøåíêî Àíäðåé Îìñê, ëèöåé 92, Äóáîâ Àëåêñàíäð Âîëîãäà, Âîëîãîäñêèé ìíîãîïðîôèëüíûé ëèöåé, Êèÿí Ñåðãåé Òàìáîâ, ëèöåé 14, Êóçíåöîâ Èâàí Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ, Ëèñèöêèé Äìèòðèé Áåëîðåöê, Êîìïüþòåðíàÿ øêîëà, Ìàòðîñîâ Ìèõàèë Íîâîâîðîíåæ, øêîëà 2. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ñ.Êîçåë, Â.Ñëîáîäÿíèí ÏÐÎÃÓËÊÈ Ñ ÔÈÇÈÊÎÉ Â ãîðàõ òåëà âåñÿò áîëüøå èëè ìåíüøå? (Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè) ...  ãîðàõ ïëîòíîñòü âîçäóõà, à âìåñòå ñ íåé è ñèëà Àðõèìåäà, ìîæåò çíà÷èòåëüíî óìåíüøàòüñÿ. Äîâîëüíî ïðîñòûå ðàñ÷åòû (âûïîëíèòå èõ ñàìè) ïîêàçûâàþò, ÷òî âåñ òåë ïëîòíîñòüþ, íàïðèìåð, 1/3 ïëîòíîñòè âîäû íå 48-57.p65 56 ïàäàåò, à ðàñòåò ñ ïîäúåìîì íà âûñîòó. Òàê, âåñ ïåíîïëàñòà, ïëîòíîñòü êîòîðîãî îêîëî 50 êã/ì3, óâåëè÷èâàåòñÿ, êîãäà âû ïîäíèìàåòåñü â ãîðû. Êîíå÷íî, äëÿ êèðïè÷à, ãèðè è ÷åëîâåêà âûâîä, ñäåëàííûé â áîëüøèíñòâå ó÷åáíèêîâ, îñòàåòñÿ âåðíûì. Ê.Áîãäàíîâ 30.09.09, 16:44 ÎËÈÌÏÈÀÄÛ Ìîñêîâñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå 2009 ãîäà 24 ìàÿ â Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå (ÌÃÒÓ) èì. Í.Ý. Áàóìàíà ïðîøëà î÷åðåäíàÿ Ìîñêîâñêàÿ ãîðîäñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå ñðåäè ñòóäåíòîâ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ.  îëèìïèàäå ïðèíÿëè ó÷àñòèå 75 ñòóäåíòîâ èç 8 âóçîâ Ìîñêâû. Ïî ðåçóëüòàòàì êîìàíäíîãî çà÷åòà ïåðâîå ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà ÌÃÒÓ èì. Í.Ý.Áàóìàíà, íàáðàâøàÿ 155 áàëëîâ, âòîðîå ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî èíñòèòóòà ñòàëè è ñïëàâîâ (ÌÈÑèÑ) (129 áàëëîâ), òðåòüå ìåñòî êîìàíäà Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî èíñòèòóòà ýëåêòðîííîé òåõíèêè (80 áàëëîâ).  ëè÷íîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàâîåâàë È.Èâàíîâ èç ÌÃÒÓ èì. Í.Ý.Áàóìàíà, íàáðàâøèé 50 áàëëîâ, âòîðîå ìåñòî çàâîåâàë À.Âÿòñêèõ (ÌÃÒÓ èì. Í.Ý.Áàóìàíà, 46 áàëëîâ), òðåòüå ìåñòî Ï.Êàðïîâ (ÌÈÑèÑ, 31 áàëë). ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ 1. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíûé ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè àâòîìîáèëÿ ìàññîé m ïðè ìàêñèìàëüíî áûñòðîì ïîâîðîòå åãî íà 90 ãðàäóñîâ, åñëè ñêîðîñòü äî è ïîñëå ïîâîðîòà ðàâíà v. Ïîâîðîò ïðîèñõîäèò íà ïðåäåëå ñöåïëÿåìîñòè êîëåñ ñ äîðîãîé, ìàêñèìàëüíàÿ ñèëà òðåíèÿ ðàâíà F. 2. Äîñêà ìàññîé m ñâîèìè êîíöàìè îïèðàåòñÿ íà öèëèíäð ðàäèóñîì R è íà êàòóøêó ïî âíóòðåííåìó ðàäèóñó r1 , êîòîðûå ëåæàò íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè òàê, ÷òî îñè èõ ãîðèçîíòàëüíû è ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó. Îñè êàòóøêè è öèëèíäðà ñâÿçàíû æåñòêèìè ïîâîäêàìè. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó äîñêîé, öèëèíäðîì è êàòóøêîé ðàâåí 1, ïðîñêàëüçûâàíèå ìåæäó êàòóøêîé, öèëèíäðîì è ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ îòñóòñòâóåò. Êàêóþ ñèëó íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü ê äîñêå, ÷òîáû ñäâèíóòü åå ñ ìåñòà, åñëè âíåøíèé ðàäèóñ êàòóøêè r2 è 2R = r1 + r2 ? 3. Ïëàíåòíàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç äâóõ ïëàíåò îäèíàêîâîé ìàññû, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè l, âðàùàþùèõñÿ îòíîñèòåëüíî èõ îáùåãî öåíòðà ìàññ. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ êðóãîâîé ñòàöèîíàðíîé îðáèòû êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà â ýòîé ñèñòåìå. 4. Òåïëîâàÿ ìàøèíà ðàáîòàåò ïî öèêëó Êàðíî, çàáèðàÿ òåïëî îò íàãðåâàòåëÿ ñ òåìïåðàòóðîé T1 è îòäàâàÿ òåïëî Ñîõðàíåíèå ïîëíîé ýíåðãèè ... (Íà÷àëî ñì. íà ñ. 45) Óïðàæíåíèÿ 1.  âåðòèêàëüíîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ãåëèÿ ïðè òåìïåðàòóðå 200 Ê. Íàä ïîðøíåì ñíà÷àëà óäåðæèâàþò ãðóç òàê, ÷òî îí åäâà êàñàåòñÿ ïîâåðõíîñòè ïîðøíÿ, à çàòåì îòïóñêàþò. Êàêîé ñòàíåò òåìïåðàòóðà (â êåëüâèíàõ) ãàçà ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ? Ìàññà ãðóçà ðàâíà ïîëîâèíå ìàññû ïîðøíÿ. Òðåíèåì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà íåò. 2.  âåðòèêàëüíîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ãåëèÿ. Íà ïîðøíå ëåæèò ãðóç ñ ìàññîé, ðàâíîé ìàññå ïîðøíÿ. Ãðóç ìãíîâåííî óáèðàþò è äîæèäàþòñÿ ïðèõîäà ñèñòåìû ê ðàâíîâåñèþ. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óâåëè÷èòñÿ âûñîòà, íà êîòîðîé íàõîäèòñÿ ïîðøåíü? Íàä ïîðøíåì ãàçà íåò. Ñ÷èòàòü, ÷òî çà âðåìÿ äâèæåíèÿ ïîðøíÿ ãàç íå óñïåâàåò îáìåíÿòüñÿ òåïëîì ñ ïîðøíåì è öèëèíäðîì. 3.  âåðòèêàëüíîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì 48-57.p65 57 #% õîëîäèëüíèêó ñ òåìïåðàòóðîé T2 . Îïðåäåëèòå ðàáîòó, ïîëó÷àåìóþ â êàæäîì öèêëå, åñëè ïðèðàùåíèå ýíòðîïèè â êàæäîì öèêëå ïðè òåïëîîáìåíå ∆S , à ÊÏÄ ìàøèíû η . 5. Îïðåäåëèòå íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â òî÷êå, íàõîäÿùåéñÿ íà îñè Z c êîîðäèíàòîé z = à, åñëè ÷àñòü ïëîñêîñòè XY ìåæäó âåòâÿìè ãèïåðáîëû x2 − y2 = a2 çàðÿæåíà ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà σ . 6. Îïðåäåëèòå ïîòîê âåêòîðà èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÷åðåç áîêîâûå ïîâåðõíîñòè äâóõ îäèíàêîâûõ ïëîñêèõ êîíòóðîâ ñ òîêîì I , íàìîòàííûõ â âèäå îäíîñëîéíîé ñïèðàëè ñ âíóòðåííèì äèàìåòðîì R, âíåøíèì äèàìåòðîì 2R è áîëüøèì ÷èñëîì âèòêîâ N. Êîíòóðû ñîîñíû, ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè δ R , à òîêè â íèõ òåêóò â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. 7. Òîíêîñòåííûé äëèííûé öèëèíäð òîëùèíîé d, ðàäèóñîì R è äëèíîé L âûïîëíåí èç ìàòåðèàëà ñ ýëåêòðîïðîâîäíîñòüþ σ è êîíöåíòðàöèåé ýëåêòðîíîâ n è âðàùàåòñÿ âîêðóã ñîáñòâåííîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω â ìàãíèòíîì ïîëå. Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ âî âñåõ òî÷êàõ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà è ðàâíà Â. Ê êîíöàì öèëèíäðà ïîñðåäñòâîì ñêîëüçÿùèõ êîíòàêòîâ ïðèëîæåíà ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U. Îïðåäåëèòå òîê âäîëü îñè öèëèíäðà. 8. Òîíêîñòåííûé äëèííûé ïðîâîäÿùèé öèëèíäð òîëùèíîé δ , ðàäèóñîì R è äëèíîé L íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ñ íàïðÿæåííîñòüþ Å, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî îñè. Öèëèíäð âðàùàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ñîáñòâåííîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω . Îïðåäåëèòå ìîìåíò ñèë, ïðèêëàäûâàåìûõ ê öèëèíäðó äëÿ ïîääåðæàíèÿ âðàùåíèÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ, åñëè êîýôôèöèåíò ýëåêòðîïðîâîäèìîñòè ïðîâîäíèêà γ . 9.  âàøåì ðàñïîðÿæåíèè îñòàëàñü òîëüêî ïåðèôåðèéíàÿ ÷àñòü çîííîé ïëàñòèíêè, ïðî êîòîðóþ âàì áîëüøå íè÷åãî íå èçâåñòíî. Åñëè îñâåòèòü ïëàñòèíêó ïàðàëëåëüíûì ïó÷êîì ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû λ , òî ïó÷îê îòêëîíèòñÿ íà óãîë α è ñôîêóñèðóåòñÿ â òî÷êå íà ðàññòîÿíèè l îò ïëàñòèíêè. ×òî ïðîèçîéäåò, åñëè îñâåòèòü ïëàñòèíêó ïó÷êîì ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû Λ ? Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Â.Ãîëóáåâ, Ì.ßêîâëåâ íàõîäèòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ãåëèÿ ïðè òåìïåðàòóðå 200 Ê. Íàä ïîðøíåì ñíà÷àëà óäåðæèâàþò ãðóç òàê, ÷òî îí åäâà êàñàåòñÿ ïîâåðõíîñòè ïîðøíÿ, à çàòåì îòïóñêàþò. Ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ãðóç ìãíîâåííî óäàëÿþò ñ ïîðøíÿ. Íàéäèòå òåìïåðàòóðó ãàçà ïîñëå òîãî, êàê ñèñòåìà ñíîâà ïðèäåò â ðàâíîâåñèå. Ìàññà ãðóçà ðàâíà ìàññå ïîðøíÿ. Òðåíèåì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà íåò. 4.  âåðòèêàëüíîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ãåëèÿ ïðè òåìïåðàòóðå 300 Ê. Òåìïåðàòóðó áûñòðî (òàê, ÷òî ïîðøåíü íå óñïåâàåò ñäâèíóòüñÿ ñ ìåñòà) ïîâûøàþò äî 350 Ê. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óâåëè÷èòñÿ âûñîòà ïîðøíÿ íàä äíîì öèëèíäðà ïîñëå ïðèõîäà ñèñòåìû ê ðàâíîâåñèþ? Íàä ïîðøíåì ãàçà íåò. 5.  òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðå ïîä íåâåñîìûì ïîðøíåì íàõîäèòñÿ èäåàëüíûé îäíîàòîìíûé ãàç. Âíà÷àëå ïîðøåíü çàêðåïëåí è ñîåäèíåí ñ äíîì öèëèíäðà íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíîé. Ïîñëå òîãî, êàê ïîðøåíü îñâîáîäèëè è ñèñòåìà ïðèøëà â ðàâíîâåñèå, îáúåì ãàçà óâåëè÷èëñÿ â 4 ðàçà. Âî ñêîëüêî ðàç ïðè ýòîì óìåíüøèëîñü åãî äàâëåíèå? Òðåíèåì è òåïëîîáìåíîì ïðåíåáðå÷ü, íàä ïîðøíåì ãàçà íåò. 30.09.09, 16:44 #& 2 0È 0 9ß /¹ Î Ò Â Å Ò Û , Ó ÊÊÂÀÀ ÍÇ TÀ Í ,5 Ð Å Ø Å Í È ß ÊÌØ ÇÀÄÀ×È (ñì. «Êâàíò» ¹ 4) 1. 2054 = 764 + 26 + 1264 Ïî óñëîâèþ Ä è Ó ðàçíûå öèôðû. Íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå Ä = 2 ïðè Ó = 1. Ïîïðîáóåì ñ÷èòàòü E = 0. Ïîëó÷èì + + ÌÀË 2À 12ÀË 20ÖË Èç ïîñëåäíåãî ñòîëáöà Ë + À = 10. Öèôðû 0, 1, 2 çàíÿòû. Îñòàëèñü 4 ñëó÷àÿ: Ë = 3, À = 7, èëè Ë = 4, À = 6, èëè Ë = = 7, À = 3, èëè Ë = 6, À = 4. Ïåðåáèðàÿ èõ, íàõîäèì îòâåò. 2. Áàðîí íå õâàñòàåò. Ïðèâåäåì ïðèìåð äëÿ N = 19 (ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ýòî íàèìåíüøåå âîçìîæíîå N): 9|18|7|16|5|14|3|12|1|10|11|2|13|4|15|6|17|8|19. 3. Äà. Íàçîâåì ñòîèìîñòüþ ÷àÿ â ïðÿíèêàõ êîëè÷åñòâî ïðÿíèêîâ (âîçìîæíî, íåöåëîå), êîòîðîå ìîæíî êóïèòü çà òå æå äåíüãè, ÷òî è ÷àé. Ïðè ïîäîðîæàíèè ñòîèìîñòü ÷àÿ â ïðÿíèêàõ îñòàíåòñÿ ïðåæíåé. Çàìåíèì ìûñëåííî ÷àé ïðÿíèêàìè. Òàê êàê öåíû îáà ðàçà ïîâûøàëèñü íà îäíî è òî æå ÷èñëî ïðîöåíòîâ, êàæäûé ðàç êîëè÷åñòâî ïðÿíèêîâ, êîòîðûå ìîæíî êóïèòü íà 1 ðóáëü, óìåíüøàëîñü â îäíî è òî æå ÷èñëî ðàç. Ïîñêîëüêó ïîñëå ïåðâîãî ïîäîðîæàíèÿ ýòî êîëè÷åñòâî óìåíüøèëîñü íå áîëüøå, ÷åì íà îäèí ïðÿíèê, ïîñëå âòîðîãî ïîäîðîæàíèÿ îíî òàêæå óìåíüøèòñÿ íå áîëüøå, ÷åì íà îäèí ïðÿíèê. Çíà÷èò, ðóáëÿ íà ÷àé õâàòèò. 4. Îáîçíà÷èì ëàäüè öèôðàìè 1, 2, 3, 4 ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, ãäå 1 ëàäüÿ â ëåâîì íèæíåì óãëó. Õîäû âëåâî, âïðàâî, ââåðõ, âíèç áóäåì îáîçíà÷àòü Ë, Ï, Â, Í ñîîòâåòñòâåííî. Ñåðèþ õîäîâ îäíîé ëàäüåé áóäåì îáîçíà÷àòü öèôðîé è ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ áóêâ. Âîò âàðèàíò õîäîâ, ñîáèðàþùèé ëàäüè â öåíòðå: 3Ë, 4ÂË, 1ÏÂË, 2ÍÏÂËÍ, 3ÍÏÂ, 4ÍÏÂ, 1ËÍÏÂ, 3ËÍÏ, 2Â, 4ÏÍËÂ, 2ÏÍËÂ, 4ÏÍËÂ, 2ÏÍËÂ, 3Â. 5. 60°. Åñëè ïîäâåñèòü òåëî çà îäíó òî÷êó, òî îíî îáÿçàòåëüíî ïîâåðíåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû öåíòð òÿæåñòè (òî÷êà ïðèëîæåíèÿ ñèëû òÿæåñòè) ëåæàë íà âåðòèêàëè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó ïîäâåñà. Äâà ïåðâûõ ïîäâåøèâàíèÿ ïîçâîëÿþò íàéòè ïîëîæåíèå öåíòðà òÿæåñòè òî÷êó Î (ðèñ. 1). Ïðè ïîäâåøèâàíèè çà òî÷êó C âåðòèêàëü ñíîâà ïðîéäåò ÷åðåç òî÷êó Ðèñ. 1 O. Óãîë ìåæäó íåé è ñòîðîíîé AB áóäåò ðàâåí 60°. (Òðåóãîëüíèê AOB ïðÿìîóãîëüíûé, ïîýòîìó CO = CB è òðåóãîëüíèê BCO ðàâíîáåäðåííûé, íî îäèí èç åãî óãëîâ ðàâåí 60° çíà÷èò, ýòîò òðåóãîëüíèê ðàâíîñòîðîííèé.) õîðäå äèñêà, áóäåò îäíèì è òåì æå. 3. Íóæíî ïîñòðîèòü îêðóæíîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç äàííóþ òî÷êó À è êàñàþùóþñÿ ïëîñêîñòè ñ çàäàííûì óãëîì íàêëîíà α â íåêîòîðîé òî÷êå A′ , Ðèñ. 2 à öåíòð ýòîé îêðóæíîñòè äîëæåí ëåæàòü íà âåðòèêàëè ïîä òî÷êîé À (ðèñ.3). Òîãäà äâèæåíèå ïî æåëîáó, ðàñïîëîæåííîìó ïî ïðÿìîé AA′ ïîä óãëîì α 2 ê âåðòèêàëè, áóäåò ïðîèñõîäèòü çà êðàò÷àéøåå âðåìÿ (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 2). 4. Ïîðøåíü áóäåò íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè, òàê êàê ïðîåêöèè ñèë äàâëåíèÿ æèäêîñòè íà îñü òðóáêè ñëåâà è ñïðàâà ðàâíû. Ðèñ. 3 5. Äàâëåíèå æèäêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ãëóáèíîé, îòñ÷èòûâàåìîé ïî âåðòèêàëè, èñõîäÿ èç ÷åãî â ïåðâîé ìåíçóðêå äàâëåíèå âîäû íà äíî áóäåò â äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé. 6. Êèðïè÷è íà÷íóò ñêîëüçèòü îäíîâðåìåííî, òàê êàê äåéñòâóþùèå íà íèõ ñèëû òðåíèÿ ðàâíû îíè íå çàâèñÿò îò ðàçìåðîâ òðóùèõñÿ ïîâåðõíîñòåé. 7. Äî îïðåäåëåííîãî óãëà α 0 (ðàñ÷åò äàåò çíà÷åíèå tg α 0 = µ , ãäå µ êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ) ðàñòåò ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ, óäåðæèâàþùàÿ áðóñîê íà ïëîñêîñòè, ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè óãëà íà áðóñîê äåéñòâóåò ñèëà òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ, óáûâàþùàÿ äî íóëÿ ïðè äîñòèæåíèè 90°. 8. R = −mg, Fòð = mg sin α . 9. Íà÷àâ ñâîáîäíî ïàäàòü, òåëî çà íåêîòîðîå âðåìÿ ñìåñòèòñÿ ïî âåðòèêàëè íà âûñîòó h, ïðîïîðöèîíàëüíóþ óñêîðåíèþ g (ðèñ. 4). Çà òî æå âðåìÿ êëèí äîëæåí ñìåñòèòüñÿ â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè íå ìåíåå ÷åì íà ïåðåìåùåíèå s, ïðîïîðöè- Ðèñ. 4 îíàëüíîå óñêîðåíèþ à (ñì. çàøòðèõîâàííûé òðåóãîëüíèê íà ðèñóíêå). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî s h = ctg α , ïîëó÷àåì a = g ctg α . 10. Êàê òîëüêî ìîíåòà ïîëó÷èò óêàçàííóþ ñêîðîñòü, ñèëà òðåíèÿ îêàæåòñÿ íàïðàâëåííîé ïðîòèâîïîëîæíî åé. Òàê êàê ýòà ñèëà ãîðèçîíòàëüíà, òî îíà íå ñìîæåò ïðåïÿòñòâîâàòü äâèæåíèþ ìîíåòû âíèç ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè.  ðåçóëüòàòå ìîíåòà ñòàíåò äâèãàòüñÿ ïî êðèâîé, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 5. ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ» Âîïðîñû è çàäà÷è 1. Ñì. ðèñ.2. 2. Ïîñêîëüêó óñêîðåíèå ãðóçèêà ïðîïîðöèîíàëüíî äëèíå æåëîáà, âðåìÿ äâèæåíèÿ ïî ëþáîìó æåëîáó, ïðîðåçàííîìó ïî 58-64.p65 58 Ðèñ. 5 Ðèñ. 6 11. Fx = mg sin α , Fy ≤ mg cos α (ñì. ðèñ. 6). 12. Ïîñêîëüêó ìàÿòíèê íàõîäèòñÿ íà òåëåæêå, ñêàòûâàþùåéñÿ ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ óñêîðåíèåì a = g sin α , åãî ïîëî- 30.09.09, 16:46 ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, æåíèå ðàâíîâåñèÿ áóäåò òàêèì, ïðè êîòîðîì ìàÿòíèê äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè ñ òåì æå óñêîðåíèåì, ÷òî è òåëåæêà. Íà ðèñóíêå 7 âèäíî, ÷òî ýòî âîçìîæíî, ëèøü êîãäà íèòü ìàÿòíèêà ïåðïåíäèêóëÿðíà íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Ðèñ. 7 13. tg α > 0,75 . 14. Äëÿ òàêèõ âèíòîâ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî 2πr h , ãäå r è h ðàäèóñ è øàã âèíòà ñîîòâåòñòâåííî. 15. Îäèíàêîâî, åñëè íå ó÷èòûâàòü ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà; âòîðîé âàãîí, åñëè ñîïðîòèâëåíèå ó÷èòûâàòü. 16. Ïðè äâèæåíèè â ãîðó íåîáõîäèìî óâåëè÷èòü ñèëó òÿãè, à ïðè ïîñòîÿííîé ìîùíîñòè äâèãàòåëÿ ýòî âîçìîæíî ëèøü ïðè óìåíüøåíèè ñêîðîñòè àâòîìîáèëÿ. 17. Ïðè âûïîëíåíèè óêàçàííîãî â çàäà÷å óñëîâèÿ ñêîðîñòü öèëèíäðà ó îñíîâàíèÿ ïëîñêîñòè â ïåðâîì ñëó÷àå áîëüøå, òàê êàê âî âòîðîì ñëó÷àå ÷àñòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè öèëèíäðà áóäåò ïðåîáðàçîâàíà â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ âðàùåíèÿ. 18. Âåðõíåå áðåâíî (2) îñòàíåòñÿ â ðàâíîâåñèè ïðè α < 30° .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå íàïðàâëåíèå ñèëû òÿæåñòè ýòîãî áðåâíà ïðîéäåò ëåâåå òî÷êè îïîðû î íèæíåå áðåâíî (1), è âåðõíåå áðåâíî ñêàòèòñÿ íà áîðò. Ìèêðîîïûò Íàäî ðàçìåñòèòü öèëèíäð íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 8, òîãäà îí áóäåò âåñòè ñåáÿ ïîäîáíî èãðóøêå «Âàíüêàâñòàíüêà», êîãäà ìîìåíò Ðèñ. 8 ñèëû òÿæåñòè îòíîñèòåëüíî òî÷êè îïîðû çàñòàâëÿåò ôèãóðêó ðàçâîðà÷èâàòüñÿ, âçáèðàÿñü ââåðõ. Íåîáõîäèìî ó÷åñòü, ÷òî ïðè áîëüøèõ óãëàõ íàêëîíà ïëîñêîñòè öèëèíäð ìîæåò íà÷àòü ïðîñêàëüçûâàòü ïî íåé. ÇÀÃÀÄÊÈ ÌÀÃÍÈÒÍÎÉ ÑÒÐÅËÊÈ Çàäà÷è 1. Êîíöîì îäíîé èç ïîëîñîê íàäî ïðèêîñíóòüñÿ ê ðàçíûì ìåñòàì âòîðîé ïîëîñêè. Åñëè ïåðâàÿ ïîëîñêà ìàãíèò, îíà áóäåò ïðèòÿãèâàòü âòîðóþ â ëþáîì ìåñòå. Åñëè æå ïåðâàÿ ïîëîñêà íåìàãíèòíàÿ, îíà áóäåò ñ íàèáîëüøåé ñèëîé ïðèòÿãèâàòüñÿ ê êîíöàì âòîðîé ïîëîñêè, ñ ìåíüøåé ñèëîé áëèæå ê åå öåíòðó è ñîâñåì íå áóäåò ïðèòÿãèâàòüñÿ òî÷íî â öåíòðå (ãäå ñåâåðíûé è þæíûé ïîëþñà ìàãíèòà êàê áû óíè÷òîæàþò äðóã äðóãà). Çàäà÷è 2. Åñëè åñòü êîìïàñ, òî ìàãíèòíóþ ïîëîñêó, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ìàãíèòîì, íóæíî ïîäíåñòè ê êîìïàñó è ïîñìîòðåòü, êàê îíà áóäåò äåéñòâîâàòü íà ñòðåëêó. Òîò êîíåö ïîëîñêè, êîòîðûé ïðèòÿíóë ñèíèé êîíåö ñòðåëêè êîìïàñà, íàäî ïîêðàñèòü â êðàñíûé öâåò, à äðóãîé êîíåö ïîëîñêè (îí ïðèòÿãèâàåò êðàñíûé êîíåö ñòðåëêè) â ñèíèé. Åñëè êîìïàñà íåò, òî ïîäâåñüòå ìàãíèò íà íèòêå òî÷íî â öåíòðå (èëè ïîëîæèòå íà ïëàâàþùèé â âîäå ïðåäìåò) è ïîñìîòðèòå, êàê îí áóäåò îðèåíòèðîâàòüñÿ ïî ñòîðîíàì ñâåòà. Òîò êîíåö áðóñêà, êîòîðûé ñìîòðèò íà ñåâåð, íàäî ïîêðàñèòü â ñèíèé öâåò. ÑÎÕÐÀÍÅÍÈÅ ÏÎËÍÎÉ ÝÍÅÐÃÈÈ Â ÇÀÄÀ×ÀÕ ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÈ 1. T = 240 Ê . 4. δ = 10% . 58-64.p65 2. δ = 60% . 5. k = 5. 59 3. T = 224 Ê . ÐÅØÅÍÈß #' ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ÈÌÅÍÈ ËÅÎÍÀÐÄÀ ÝÉËÅÐÀ 1. 26 êì/÷. Îáîçíà÷èì ìåñòî îáèòàíèÿ ïëåìåíè Ìóìáî-Þìáî ÷åðåç O, õðàíèëèùå, ê êîòîðîìó ïîáåæàë Ìóìáî, ÷åðåç M, à õðàíèëèùå, ê êîòîðîìó ïîøåë Þìáî, ÷åðåç U. Î÷åâèäíî, ÷òî M íàõîäèòñÿ âûøå ïî òå÷åíèþ, ÷åì O, à U íèæå. Ïóñòü ðàññòîÿíèÿ îò O äî M è U ðàâíû x è y êì ñîîòâåòñòâåííî (x < y), ñêîðîñòü ðåêè ðàâíà v êì/÷. Íà ïóòü îò O äî U Þìáî çàòðàòèë y/6 ÷àñîâ, à Ìóìáî x/11 + (x + y)/v ÷àñîâ. ßñíî, ÷òî â ñîñåäíåå ïëåìÿ Þìáî ïðèïëûâàåò ðàíüøå Ìóìáî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà y/6 < x/11 + (x + y)/v. Òàê êàê x < y, èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî y/6 < y/11 + + (y + y)/v. Ñîêðàòèâ íà y è ïðåîáðàçîâàâ, ïîëó÷àåì v < 26,4 êì/÷. Îñòàëîñü ïðîâåðèòü, ÷òî ñêîðîñòü ðåêè ìîãëà ðàâíÿòüñÿ 26 êì/÷. Äëÿ ýòîãî â íåðàâåíñòâå y/6 < < x/11 + (x + y)/v ïîëîæèì v = 26 êì/÷ è ðàâíîñèëüíî ïðåîáðàçóåì åãî ê âèäó y/x < 111/110. Ïîñëåäíåå âîçìîæíî (íàïðèìåð, ïðè y = 1,12 êì, x = 1,11 êì), ÷òî è çàâåðøàåò ðåøåíèå. 2. Äà. n +1− a n +1 Êàæäàÿ èç äàííûõ äðîáåé èìååò âèä = − 1 , ãäå a a 1 ≤ a ≤ n . Ñòàëî áûòü, íàì òðåáóåòñÿ íàéòè òàêèå ðàçëè÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà a, b, c è d, íå áîëüøèå 2009, äëÿ êîòîðûõ n +1 n +1 n +1 n +1 − 1 + − 1 = − 1 + − 1 . Óáðàâ ìèíóñ a b c d åäèíèöû è ïîäåëèâ çàòåì íà n + 1, ïîëó÷èì ðàâíîñèëüíîå ðà1 1 1 1 + = + . Îñòàëîñü ïîäîáðàòü óäîâëåòâîðÿþùèå âåíñòâî a b c d åìó äðîáè. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, âçÿâ ëþáîå ðàâåíñòâî äâóõ ñóìì ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ñëàãàåìûõ, ÍÎÊ êîòîðûõ íå áîëüøå 2009, è ïîäåëèâ åãî íà ýòîò ÍÎÊ. Íàïðèìåð, ðàâåí1 1 1 1 + = + . ñòâî 1 + 4 = 2 + 3, ïîäåëåííîå íà 12, äàåò 12 3 6 4 5. Íåò. Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå (ÍÎÊ) íåñêîëüêèõ ÷èñåë äåëèòñÿ íà êàæäîå èç íèõ è, ñëåäîâàòåëüíî, íà êàæäûé èõ äåëèòåëü. Çíà÷èò, åñëè ñðåäè ÷èñåë, îò êîòîðûõ íàõîäÿò ÍÎÊ, åñòü ÷åòíîå, òî ÍÎÊ òîæå áóäåò ÷åòíûì. Ðàçíîñòü äâóõ ÷åòíûõ ÷èñåë ÷èñëî ÷åòíîå, à 2009 íå÷åòíîå. Çíà÷èò, åñëè òàêèå øåñòü ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñóùåñòâóþò, òî âñå ÷åòíûå ÷èñëà ñðåäè íèõ äîëæíû áûòü â îäíîì ÍÎÊå. Ñðåäè øåñòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òðè ÷åòíûõ è òðè íå÷åòíûõ, çíà÷èò, îäèí ÍÎÊ áóäåò íàõîäèòñÿ îò òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷åòíûõ ÷èñåë, à äðóãîé îò òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íå÷åòíûõ ÷èñåë. Íî ñðåäè òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ êàê ÷åòíûõ, òàê è íå÷åòíûõ ÷èñåë åñòü êðàòíîå òðåì. Ñëåäîâàòåëüíî, îáà ÍÎÊà êðàòíû òðåì, è èõ ðàçíîñòü äåëèòñÿ íà 3. Íî 2009 íà 3 íå äåëèòñÿ. Çíà÷èò, òàêèõ øåñòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íå ñóùåñòâóåò. 6. Îòëîæèì íà ñòîðîíå AB îòðåçîê BE = BC. Ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè EBK è KBC ðàâíû ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè. Ïîýòîìó EK = KC, à ∠AEK = 180° − − ∠BEK = 180° − ∠BKC = ∠CKD . Êðîìå òîãî, KD = BD BK = BA BE = EA. Ñëåäîâàòåëüíî, òðåóãîëüíèêè AEK è DKC ðàâíû. Äàëåå, ïîñêîëüêó îáà òðåóãîëüíèêà BEK è BAD ðàâíîáåäðåííûå, ∠BEK = 90° − ∠EBD 2 = ∠BAD . Ïîýòîìó AD E K, îòêóäà ∠KAD = ∠EKA = ∠KCD . 7. Ïåðâûé. Íàçîâåì êó÷êè èç îäíîãî îðåõà åäèíèöàìè, à èç äâóõ äâîéêàìè. Ïåðâûé èãðîê äîëæåí ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäóþùèõ ïðàâèë: 1) åñëè íà äîñêå åñòü åäèíèöû óáðàòü îäíó èç íèõ; 2) íå áðàòü èç äâîåê.  îñòàëüíîì õîäû ïåðâîãî ìîãóò áûòü ëþáûìè. Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëî îðåõîâ â íà÷àëå èãðû íå÷åòíî, 30.09.09, 16:47 $ ÊÂÀÍT 2009/¹5 çíà÷èò, îíî íå÷åòíî è ïåðåä ëþáûì õîäîì ïåðâîãî. Ïîýòîìó ïåðåä åãî õîäîì íà äîñêå âñåãäà áóäåò õîòÿ áû îäíà íå÷åòíàÿ êó÷êà, ò.å. ïåðâûé âñåãäà ñìîæåò ñäåëàòü õîä, íå íàðóøàÿ îïèñàííûõ ïðàâèë. Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî ïîñëå ïåðâîãî õîäà ïåðâîãî èãðîêà íà äîñêå íåò åäèíèö. Ïîñëå õîäà âòîðîãî èãðîêà ìîæåò ïîÿâèòüñÿ íå áîëåå îäíîé íîâîé åäèíèöû, êîòîðóþ ïåðâûé çàáåðåò. Çíà÷èò, è ïîñëå ñëåäóþùèõ õîäîâ ïåðâîãî åäèíèö íà äîñêå íå áóäåò, à ïîñëå ëþáîãî õîäà âòîðîãî íà äîñêå áóäåò íå áîëüøå îäíîé åäèíèöû.  ÷àñòíîñòè, òàê áóäåò è â êîíöå èãðû, ò.å. ïåðâûé âûèãðàåò. 8. 3001. Ïîñêîëüêó êàæäîå ÷èñëî ðÿäà, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, áîëüøå ïðåäûäóùåãî õîòÿ áû íà åäèíèöó, 9 ⋅ 10001000 -å åãî ÷èñëî áîëüøå 9 ⋅ 10001000 , ò.å. â íåì êàê ìèíèìóì 3001 öèôðà. Îáîçíà÷èì n-å ÷èñëî ðÿäà ÷åðåç an , è ïóñòü k íàèìåíüøèé íîìåð òàêîé, ÷òî â ÷èñëå ak 3002 öèôðû. Åñëè ìû äîêàæåì, ÷òî k > 9 ⋅ 10001000 , òî ïîëó÷èì, ÷òî â 9 ⋅ 10001000 -ì ÷èñëå ðÿäà íå áîëåå 3001 öèôðû, ò.å. â íåì ðîâíî 3001 öèôðà. Ðàññìîòðèì ÷èñëà îò 0 äî 103001 − 1 , íå èìåþùèå åäèíèö â äåñÿòè÷íîé çàïèñè. Äîïîëíèâ êàæäîå ñëåâà íóëÿìè äî 3001 çíàêà, ìû ïîëó÷èì âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëèíû 3001 èç öèôð, îòëè÷íûõ îò åäèíèöû. Òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé 3001 ÷èñåë, 93001 . Çíà÷èò, è ñðåäè ÷èñåë a1,… , ak −1 íå áîëåå 9 íå èìåþùèõ åäèíèöû â äåñÿòè÷íîé çàïèñè (òàê êàê âñå îíè íå ïðåâîñõîäÿò 103001 − 1 ). Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîöåññ ïîëó÷åíèÿ ÷èñëà ak èç a1 . Íà êàæäîì èç k 1 øàãîâ ïðèáàâëÿåòñÿ ÷èñëî îò 1 äî 9, ïðè÷åì êîëè÷åñòâî øàãîâ, íà êîòîðûõ ïðèáàâëÿåòñÿ íå åäèíèöà, íå ïðåâîñõîäèò 93001 . Çíà÷èò, ( ) 103001 − 1 ≤ ak − a1 ≤ 9 ⋅ 93001 + 1 ⋅ k − 1 − 93001 = k − 1 + 8 ⋅ 93001 , 3001 3001 îòêóäà k ≥ 10 . Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî −8⋅9 103001 − 8 ⋅ 93001 > 9 ⋅ 103000 . Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, 3002 < 103000 . Çàìåòèì, ÷òî 97 = 4782969 < 5 ⋅ 106 , îòêóäà ÷òî 9 56 54 928 < 54 ⋅ 1024 < 1027 , è 9 < 10 . Ïîýòîìó 93002 = 956 ⋅ 92946 < 1054 ⋅ 102946 = 10 3000 . ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÛÉ ÝÒÀÏ XXXV ÂÑÅÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÎËÈÌÏÈÀÄÛ ØÊÎËÜÍÈÊΠÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ 9 êëàññ 1. 23 ⋅ 3 ⋅ 7 = 168 . a b è . Òîãäà a âçàèìíî ïðîñòî 600 700 7a + 6b ñ 6, à b ñ 7. Ïîýòîìó ÷èñëèòåëü èõ ñóììû âçàèìíî 4200 3 ïðîñò êàê ñ 6 = 2 ⋅ 3 , òàê è ñ 7. Ïîñêîëüêó 4200 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 52 , ýòî îçíà÷àåò, ÷òî çíàìåíàòåëü ïîñëå ñîêðàùåíèÿ áóäåò íå ìåíüøå ÷åì 23 ⋅ 3 ⋅ 7 = 168. Òàêîé çíàìåíàòåëü äåéñòâèòåëüíî 1 3 1 + = ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ; íàïðèìåð, . 600 700 168 3. Çàìåòèì, ÷òî ðàçíîñòü ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ÷èñëàìè âèäà a + i (i = 1, , n) íå ïðåâîñõîäèò n 1. Ïóñòü êðàòíîå ÷èñëó n2 + i , ñîäåðæàùååñÿ ñðåäè íàøèõ ÷è- Ïóñòü íàøè äðîáè ýòî ( ) ( ) 2 ñåë, ýòî ai n + i . ßñíî, ÷òî a1 > 1. Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîå 1 ≤ i ≤ n − 1 , ÷òî ai > ai +1 (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå a1 ≤ a2 ≤ … ( ) … ≤ an , è an n2 + n − a1 n2 + 1 ≥ a1 ( n − 1) > n − 1 , ÷òî íåâîçìîæíî). Òîãäà ( ) ( ) ( ) a ≥ ai n2 + i − n > n4 − n3 + n2 − 2n ≥ n4 − n3 , òàê êàê n ≥ 2 . 5. Çàìåòèì ñíà÷àëà, ÷òî äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ ÷èñåë x è y âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî x2 − xy + y2 > xy . íåðàâåíñòâó ( x − y )2 > 0, êîòîðîå âåðíî; åñëè æå |xy| = xy, òî ( * ) ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó x 2 + y2 > 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî abc ≠ 0 . Òîãäà, ðàçäåëèâ âòîðîå ðàâåíñòâî íà ïåðâîå, ìû ïîëó÷àåì (a 2 )( − ab + b2 b2 − bc + c2 ( ) ( ) 2 2 ≥ ai n + i − (ai − 1) n + i + 1 = n + i + 1 − ai , 2 2 ò.å. ai ≥ n − n + i + 2 > n − n . Òåïåðü, òàê êàê îäíî èç íàøèõ ( ) ( )( ) ÷èñåë åñòü ai n2 + i > n2 − n n2 + 1 = n4 − n3 + n2 − n , òî 58-64.p65 60 )(c 2 ) − ca + a2 = a2b2c2 = ab bc ac . Îäíàêî âñå ñêîáêè ñëåâà è âñå ñîìíîæèòåëè ñïðàâà ïîëîæèòåëüíû; ïðè ýòîì êàæäûé ñîìíîæèòåëü ñëåâà íå ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîìíîæèòåëÿ ñïðàâà. Òîãäà ðàâåíñòâî ìîæåò äîñòèãàòüñÿ ëèøü òîãäà, êîãäà âñå ýòè òðè íåðàâåíñòâà îáðàùàþòñÿ â ðàâåíñòâà, ò.å. êîãäà a = b = c.  ýòîì ñëó÷àå ïåðâîå ðàâåíñòâî èç óñëîâèÿ ïðèíèìàåò âèä 8a 3 = a 3 , ÷òî íåâîçìîæíî ïðè a ≠ 0 . Çíà÷èò, íàøå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî, è abc = 0. 8. Âñåãäà. Åñëè ∆ABC = ∆A1B1C1 , òî ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ î÷åâèäåí.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî AB ≠ A1B1 (ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè AB < A1B1 ). Ïîñòðîèì òðåóãîëüíèê A′B′C′ òàêîé, ÷òî AB A′B′ , A′B′ = A1B1 , B′C = B1C1 , CA′ = C1 A1 (ðèñ.9; ýòî ïîñòðîåíèå ëåãêî îñóùåñòâèòü, íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî ∠BCB′ = ∠ABC + ∠A1B1C1 ). Òîãäà ABB′A′ òðàïåöèÿ. Ïóñòü MN åå ñðåäíÿÿ ëèíèÿ, à P òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðîäîëæåíèé áîêîâûõ ñòîðîí. Ïîñòðîèì íà îòðåçêå PC êàê íà äèàìåòðå îêðóæíîñòü ω . Òàê êàê AB < A1B1 = A′B′ è SABC = SA1B1C1 = SA′B′C′ , òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè C äî ïðÿìîé AB áîëüøå ðàññòîÿíèÿ îò C äî ïðÿìîé A′B′ , ïîýòîìó òî÷êè Ðèñ. 9 P è C ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò ïðÿìîé MN, ñëåäîâàòåëüíî, ω ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ MN. Ïóñòü K îäíà èç òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ (íà ðèñóíêå îíà ëåæèò íà îòðåçêå MN, íî íàøè ðàññóæäåíèÿ íà ýòî îïèðàòüñÿ íå áóäóò). Ïðîâåäåì ïðÿìóþ PK äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðÿìûìè AB è A′B′ AX A′Y = â òî÷êàõ X è Y ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà , ïîýòîìó XB YB′ SXBC = SYB′C . Êðîìå òîãî, XK = KY, à óãîë PKC ïðÿìîé êàê îïèðàþùèéñÿ íà äèàìåòð â îêðóæíîñòè ω . Çíà÷èò, CK ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó XY, è CX = CY. Íà ïðîäîëæåíèè îòðåçêà XC çà òî÷êó C âîçüìåì òî÷êó Z òàêóþ, ÷òî XC = CZ. Ïîñòðîèì òðåóãîëüíèêè A2CZ è B2CZ , n − 1 ≥ ai n2 + i − ai +1 n2 + i + 1 ≥ 2 (* )  ñàìîì äåëå, åñëè |xy| = xy, òî íåðàâåíñòâî ( * ) ðàâíîñèëüíî Ðèñ. 10 30.09.09, 16:47 ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ðàâíûå òðåóãîëüíèêàì A′CY è B′CY ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.10). Òîãäà ∆A2 B2C = ∆A′B′C = ∆A1B1C1 . Ïîêàæåì, ÷òî AA2 BB2 , òîãäà ìîæíî ñäâèíóòü òðåóãîëüíèê A2 B2C âäîëü ïðÿìîé AA2 , ïîëó÷èâ òðåáóåìûé. Òàê êàê CX = CZ, SABC = SA2 B2C è SXBC = SZB2C , òî SXAC = SZA2C , ðàññòîÿíèÿ îò òî÷åê A è A2 äî ïðÿìîé XZ ðàâíû, è ðàññòîÿíèÿ îò òî÷åê B è B2 äî ïðÿìîé XZ òàêæå ðàâíû. Ñëåäîâàòåëüíî, AA2 XZ BB2 , ÷òî è òðåáîâàëîñü. 10 êëàññ 1. 1001, 1000, 500. ßñíî, ÷òî ñóùåñòâóþò òðåáóåìûå ìíîãî÷ëåíû ñ 1001 è 1000 íåíóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè (íàïðèìåð, (2x + 2 )1000 − 1000 − ( x + 1) è (2x + 1) ). − ( x + 1) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íàøåì ìíîãî÷ëåíå åñòü äâà êîýôôèöèåíòà, ðàâíûõ íóëþ, ïðè xi è x j (i > j). Òîãäà aib1000 − i = 1000 1000 = cid1000 −i , a jb1000 − j = c j d1000 − j ; ðàçäåëèâ ïåðâîå ðàâåíñòâî íà i 1000 j ad ad d ad âòîðîå, ïîëó÷àåì = = . Îòñþäà bc = 1 , bc b bc d a =1 è =1. b c ßñíî, ÷òî ïðè çàìåíå ax + b íà (a)x + (b) íàø ìíîãî÷ëåí a = 1 . Òîãäà, åñëè íå èçìåíèòñÿ. Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî c 1000 1000 b − (ax + b ) íóëå= 1 , òî èòîãîâûé ìíîãî÷ëåí (ax + b ) d b = 1, òî â ïîëó÷åííîì ìíîãî÷ëåíå âîé, à åñëè d 1000 (ax + b ) − (ax − b )1000 îáíóëÿþòñÿ â òî÷íîñòè êîýôôèöèåí- òû ïðè ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ x, ò.å. ïîëó÷àåòñÿ 500 íåíóëåâûõ êîýôôèöèåíòîâ. 4. k = 100400. Îáîçíà÷èì ÷èñëà íà îêðóæíîñòè ÷åðåç a1,…, a2009 , è ïîëîæèì an + 2009 = an = an − 2009 . Ïóñòü N = 100400. Ïîëîæèì a2 = a4 = … = a2008 = 100 è a1 = a3 = … = a2009 = 0 . Ïóñòü ìû ñóìåëè ñäåëàòü âñå ÷èñëà ðàâíûìè ïðè êàêîì-òî çíà÷åíèè k. Ðàññìîòðèì ñóììó S = (a2 − a3 ) + (a4 − a5 ) + … … + ( a2008 − a2009 ) . Ýòà ñóììà óâåëè÷èâàåòñÿ íà 1 ïðè ïðèáàâëåíèè åäèíèöû ê ïàðå (a1, a2 ) , óìåíüøàåòñÿ íà 1 ïðè ïðèáàâëåíèè ê ïàðå (a2009, a1 ) è íå èçìåíÿåòñÿ ïðè âñåõ îñòàëüíûõ îïåðàöèÿõ. Ïîñêîëüêó èñõîäíîå çíà÷åíèå S ðàâíî S0 = 100 ⋅ 1004 = N , à êîíå÷íîå äîëæíî áûòü íóëåì, òî ïàðà (a2009, a1 ) óâåëè÷èâàëàñü õîòÿ áû N ðàç. Ýòî çíà÷èò, ÷òî k≥N. Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ïðè k = N òðåáóåìîå âñåãäà âîçìîæíî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íàáîð ÷èñåë ai . Óâåëè÷èì êàæäóþ ïàðó (ai, ai +1 ) ðîâíî si = ai + 2 + ai + 4 + … + ai + 2008 ðàç. Òîãäà ÷èñëî ai ïðåâðàòèòñÿ â ai + si −1 + si = ai + (ai +1 + ai + 3 + … + ai + 2007 ) + + (ai + 2 + ai + 4 + … + ai + 2008 ) = a1 + … + a2009 , ò.å. âñå ÷èñëà ñòàíóò ðàâíûìè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, si ≤ 1004 ⋅ 100 = N , ÷òî è òðåáîâàëîñü. 5. k = 2010. Îáîçíà÷èì íàøó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ) . ßñíî, ÷òî a1 < 1005 ⋅ 1006 ⋅ 97 ⋅ N = D ïðè íåêîòîðîì íàòóðàëüíîì N. Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîå n, ÷òî an ≤ D , íî an +1 > D (ïðè ýòîì an ≠ D èç óñëîâèÿ). Íî íàèáîëüøèìè ÷èñëàìè, ìåíüøèìè D è äåëÿùèìèñÿ íà 1005 è 1006, ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà D 1005 è D 1006 ñîîòâåòñòâåííî; ïîýòîìó an ≤ D − 1005 . Àíàëîãè÷íî, an +1 ≥ D + 1005 ; îòñþäà an +1 − an ≥ ( D + 1005 ) − ( D − − 1005 ) = 2010 . Çíà÷èò, è k ≥ 2010 . Ïðè k = 2010 ïîäõîäèò, íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âñåõ ÷èñåë, êðàòíûõ 1005, íî íå êðàòíûõ 97 (çàìåòèì, ÷òî 1005 íå êðàòíî 97). 58-64.p65 61 $ ÐÅØÅÍÈß 7. Ïóñòü ωB êàñàåòñÿ BA1 , IA1 è BC1 â òî÷êàõ KB , LB è MB ñîîòâåòñòâåííî, à ωC êàñàåòñÿ CA1 , IA1 è CB1 â òî÷êàõ KC , LC è MC ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.11). Îáîçíà÷èì ÷åðåç OB è OC öåíòðû îêðóæíîñòåé ωB è ωC ñîîòâåòñòâåííî, à ÷åðåç rB è rC èõ ðàäèóñû (ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè Ðèñ. 11 rB > rC ). Òîãäà ÷åòûðåõóãîëüíèêè OB KB A1LB è OC KC A1LC êâàäðàòû, ïîýòîìó A1LB = rB , A1LC = rC è LB LC = rB − rC . Åñëè âòîðàÿ îáùàÿ âíóòðåííÿÿ êàñàòåëüíàÿ l êàñàåòñÿ ωB è ωC â òî÷êàõ NB è NC , òî NB NC = rB − rC , ïðè÷åì NC è LB ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò ëèíèè öåíòðîâ OBOC (çàìåòèì, ÷òî òî÷êà A ëåæèò ïî òó æå ñòîðîíó). Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî C1MB = rB , B1MC = rC . Îòëîæèì íà ïðîäîëæåíèè îòðåçêà NB NC çà òî÷êó NC îòðåçîê NC A′ = AMC = AB1 + B1MC . Òîãäà NB A′ = AMC + NB NC = ( AB1 + rC ) + (rB − rC ) = AC1 + rB = AMB . Èòàê, êàñàòåëüíûå èç òî÷åê A è A′ ê îêðóæíîñòè ωB ðàâíû, è êàñàòåëüíûå èç íèõ ê ωC òàêæå ðàâíû. Çàìåòèì, ÷òî ÃÌÒ, äëèíà êàñàòåëüíîé èç êîòîðûõ ê îêðóæíîñòè ωB ðàâíà AMB , åñòü îêðóæíîñòü Ω B ñ öåíòðîì OB è ðàäèóñîì rB2 + AMB2 . Òàêèì îáðàçîì, òî÷êè A è A′ ëåæàò íà Ω B . Àíàëîãè÷íî, îíè ëåæàò íà îêðóæíîñòè ΩC ñ öåíòðîì OC è ðàäèóñîì rC2 + AMC2 . Èòàê, êàæäàÿ èç òî÷åê A è A′ ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç äâóõ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòåé Ω B è ΩC , à ïîñêîëüêó A è A′ ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò OBOC , èìååì A′ = A . Çíà÷èò, A ëåæèò íà ïðÿìîé NB NC , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 11 êëàññ 1. Ðàññìîòðèì ñàìûé êîðîòêèé ìàðøðóò l, ïðîõîäÿùèé ïî âñåì ãîðîäàì. Ïóñòü îí íà÷èíàåòñÿ â ãîðîäå A, çàêàí÷èâàåòñÿ â ãîðîäå B, à åãî äëèíà ðàâíà N. Òîãäà ÷èñëà íà òàáëè÷êàõ â ãîðîäàõ A è B ðàâíû N, à âñå îñòàëüíûå íå ìåíüøå N. Ïóñòü C îäèí èç îñòàâøèõñÿ ãîðîäîâ. Îí ëåæèò íà äàííîì ìàðøðóòå, ïîýòîìó äëèíà ïóòè îò C äî îäíîãî èç ãîðîäîâ A èëè B íå áîëüøå N/2 (áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè äî A). Ðàññìîòðèì ìàðøðóò, êîòîðûé âûõîäèò èç C, äîõîäèò êðàò÷àéøèì îáðàçîì äî A, à çàòåì ïîâòîðÿåò ìàðøðóò l. Îí ïðîõîäèò ÷åðåç âñå ãîðîäà, è åãî äëèíà íå ïðåâîñõîäèò N/2 + N = = 3N/2. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî íà òàáëè÷êå â ãîðîäå C íå áîëüøå 3N/2. Òàêèì îáðàçîì, âñå ÷èñëà íà òàáëè÷êàõ ïðèíàäëåæàò îòðåçêó [N; 3N/2], îòêóäà è ñëåäóåò òðåáóåìîå. 2. Ïîëîæèì bk = ak − k . Òîãäà bk +1 = bk − 1 + bk k 1 = bk 1 − = bk − k + bk k + bk k + bk . Îòñþäà î÷åâèäíîé èíäóêöèåé ïî k ïîëó÷àåì, ÷òî bk > 0 (ïîbk ñêîëüêó b1 > 0). Êðîìå òîãî, bk +1 = bk − < bk . Îòñþäà, k + bk â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî bk ≤ b1 < 1 . 2 1 1 − 2 = a1 − Çàìåòèì, ÷òî b2 = a1 + . Âûðàæåíèå â a1 a1 ñêîáêàõ ïîëîæèòåëüíî è âîçðàñòàåò, êîãäà a1 ïðîáåãàåò èí- 30.09.09, 16:47 $ ÊÂÀÍT 2009/¹5 1 1 1 − 2 < b2 < 2 + − 2 = . Òàêèì 1 2 2 1 îáðàçîì, bk ≤ b2 < ïðè k ≥ 2 . 2 Òåïåðü, åñëè ak + a j öåëîå ÷èñëî, òî bk + bj òàêæå öåëîå. Çíà÷èò, îäíî èç ÷èñåë bk , bj (äëÿ îïðåäåëåííîñòè bk ) íå 1 ìåíüøå ; òîãäà k = 1, è bj = 1 − b1 . Íî òàêèõ ÷èñåë j íå 2 áîëüøå îäíîãî, òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (bi ) óáûâàåò. Èç ýòîãî è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è. Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êîëè÷åñòâî ïàð ñ öåëîé ñóììîé áóäåò êîíå÷íûì ïðè ëþáîì a1 > 1. 3. Ïóñòü AB1 , AC1 , AD1 âûñîòû ãðàíåé ACD, ABD, ABC (ðèñ.12). Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò ýòèõ ãðàíåé ëåæàò íà ïðÿ- òåðâàë (1; 2); òîãäà 0 = 1 + Ðèñ. 12 ìûõ AB1 , AC1 , AD1 è îòëè÷íû îò òî÷êè A. Ïîñêîëüêó îíè ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé l, òî ïðÿìûå AB1 , AC1 , AD1 ëåæàò â ïëîñêîñòè α , ñîäåðæàùåé l è A (ÿñíî, ÷òî A íå ëåæèò íà l). Çíà÷èò, òî÷êè B1 , C1 , D1 ëåæàò íà ïðÿìîé ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé α è BCD. Ïóñòü A′ ïðîåêöèÿ òî÷êè A íà ïëîñêîñòü BCD. Òîãäà ïî òåîðåìå î òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ òî÷êè B1 , C1 , D1 ÿâëÿþòñÿ ïðîåêöèÿìè A′ íà ïðÿìûå CD, BD, BC. Çíà÷èò, òî÷êè A′ , C, B1 , D1 ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè (ñ äèàìåòðîì A′C ), à òàêæå òî÷êè A′ , D, B1 , C1 ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè (ñ äèàìåòðîì A′D ). Îòñþäà ∠ ( BC, A′C ) = ∠ ( D1C, A′C ) = ∠ ( D1B1, A′B1 ) = = ∠ (C1B1, A′B1 ) = ∠ (C1D, A′D ) = ∠ ( BD, A′D ) (çäåñü ÷åðåç ∠ (a, b ) îáîçíà÷åí óãîë îò ïðÿìîé a äî ïðÿìîé b, îòñ÷èòûâàåìûé ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè; ýòîò óãîë ñ÷èòàåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïðèáàâëåíèÿ ÷èñëà âèäà πk , ãäå k öåëîå). Èç ðàâåíñòâà ∠ ( BC, A′C ) = ∠ ( BD, A′D ) ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà A′ ëåæèò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà BCD (ðèñ.13) è, ñëåäîâàòåëüíî, íà îïèñàííîé ñôåðå S ïèðàìèäû ABCD. ãîëüíèêà BCD. Ýòà ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé Ñèìñîíà òî÷êè A′ . Çàìå÷àíèå 2. Òåòðàýäðû, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ çàäà÷è, ñóùåñòâóþò. 4. Ïåðâûé èãðîê. Äîêàæåì áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå: Ïóñòü èãðà ñ òåìè æå ïðàâèëàìè ïðîèñõîäèò íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå òî÷åê S, êîòîðîå ñîäåðæèò òî÷êó O(0; 0) è ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè ïîâîðîòå íà 90°. Òîãäà â ýòîé èãðå âûèãðûâàåò ïåðâûé èãðîê. (ßñíî, ÷òî ìíîæåñòâî òî÷åê èç óñëîâèÿ óäîâëåòâîðÿåò ýòèì óñëîâèÿì.) Äîêàçàòåëüñòâî áóäåì âåñòè èíäóêöèåé ïî êîëè÷åñòâó n òî÷åê â S. Åñëè n = 1, òî ïåðâûé âûèãðûâàåò ïåðâûì ñâîèì õîäîì. Ïóñòü n > 1. Äàëåå ïîä îòðåçêàìè ìû âñåãäà áóäåì ïîäðàçóìåâàòü îòðåçêè, êîíöû êîòîðûõ ëåæàò â S è íå ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî O. Ðàññìîòðèì äëèíû âñåõ îòðåçêîâ. Ïóñòü d ìàêñèìàëüíàÿ èç íèõ, è ïóñòü A1B1 , A2 B2 , , An Bn âñå îòðåçêè äëèíû d (íåêîòîðûå èç òî÷åê Ai , Bj ìîãóò ñîâïàäàòü). Çàìåòèì, ÷òî òî÷êà O íå ÿâëÿåòñÿ êîíöîì íè îäíîãî èç ýòèõ îòðåçêîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ýòî íå òàê, è ñðåäè íàøèõ îòðåçêîâ åñòü êàêîé-òî îòðåçîê OA. Ïóñòü òî÷êà B ∈ S ïîëó÷àåòñÿ èç A ïîâîðîòîì íà 90° îòíîñèòåëüíî O. Òîãäà AB = 2 OA > OA, ò.å. äëèíà îòðåçêà OA íå ìàêñèìàëüíà ïðîòèâîðå÷èå. Âûêèíåì èç S âñå òî÷êè Ai , Bi . Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå ìíîæåñòâî S′ óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì íàøåãî óòâåðæäåíèÿ (òàê êàê ìíîæåñòâî îòðåçêîâ Ai Bi ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè ïîâîðîòå íà 90°). Çíà÷èò, ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè â èãðå íà ïîëó÷åííîì ìíîæåñòâå S′ âûèãðûâàåò ïåðâûé. Ïðåäúÿâèì òåïåðü âûèãðûøíóþ ñòðàòåãèþ äëÿ íåãî íà ìíîæåñòâå S. Ïåðâûé áóäåò äåéñòâîâàòü ïî ñòðàòåãèè äëÿ ìíîæåñòâà S′ ñ íà÷àëà äî òîãî ìîìåíòà, êîãäà âòîðîé âïåðâûå âûâåäåò ôèøêó çà ïðåäåëû ìíîæåñòâà S′ . Ýòî ñëó÷èòñÿ, èáî ñîãëàñíî ñòðàòåãèè äëÿ S′ ó ïåðâîãî âñåãäà åñòü õîä, ïîñëå êîòîðîãî ôèøêà îñòàåòñÿ â ìíîæåñòâå S′ . Çíà÷èò, ðàíî èëè ïîçäíî âòîðîé ñäåëàåò õîä èç òî÷êè X, ëåæàùåé â S′ , â òî÷êó Y, íå ëåæàùóþ òàì (ïóñòü òîãäà Y = Ai ). Òîãäà ïåðâûé ìîæåò ñäåëàòü õîä â òî÷êó Bi (òàê êàê Ai Bi = d , à XAi < d , èíà÷å áû X íå ëåæàëà â S′ ), ïîñëå ÷åãî âòîðîìó õîäèòü íåêóäà îí äîëæåí ñäåëàòü õîä äëèíû áîëüøåé d, à òàêèõ õîäîâ íåò. Èòîãî, ïåðâûé âûèãðûâàåò. Çàìå÷àíèå. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ìíîæåñòâî S ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè ïîâîðîòå íà 90° âîêðóã O, íî íå ñîäåðæèò åå, òî âûèãðûâàåò âòîðîé. 5. Ââåäåì ïåðåìåííûå x = log a b , y = logb c .  íîâûõ ïåðåìåííûõ íåðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä x+y+ 1 1 1 ≤ + + xy , xy x y ÷òî ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ïåðåõîäèò â ( x − 1)( y − 1)( xy − 1) ≥ Ðèñ. 13 Òîãäà öåíòð O ñôåðû S ëåæèò â ïëîñêîñòè β , ÿâëÿþùåéñÿ ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì ê AA′ . ßñíî, ÷òî ñåðåäèíû ðåáåð AB, AC, AD òàêæå ëåæàò â β (òàê êàê òðåóãîëüíèêè ABA′ , ACA′ , ADA′ ïðÿìîóãîëüíûå). Ýòî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Çàìå÷àíèå 1. Îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿðû èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè A′ , ëåæàùåé â ïëîñêîñòè BCD, íà ïðÿìûå BC, CD, BD (ñì. ðèñ. 13). Èõ îñíîâàíèÿ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A′ ëåæèò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåó- 58-64.p65 62 0. xy Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî âåðíî, òàê êàê x ≥ 1 , y ≥ 1 è xy ≥ 1 â ñèëó óñëîâèÿ çàäà÷è. 6. k = 16. Ðàññìîòðèì ðàññòàíîâêó k ëàäåé, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ. Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ. 1. Ïóñòü â êàæäîì ñòîëáöå ñòîèò õîòÿ áû ïî îäíîé ëàäüå. Òîãäà âñÿ äîñêà íàõîäèòñÿ ïîä áîåì, è ìîæíî óáðàòü ëàäüþ èç ëþáîãî ñòîëáöà, â êîòîðîì èõ õîòÿ áû äâå. Çíà÷èò, â ýòîì ñëó÷àå â êàæäîì ñòîëáöå ñòîèò ðîâíî ïî îäíîé ëàäüå, è k ≤ 10 . Àíàëîãè÷íî, åñëè â êàæäîé ñòðîêå åñòü ëàäüÿ, òî òîæå k ≤ 10 . 30.09.09, 16:47 ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, 2. Ïóñòü òåïåðü íàéäóòñÿ ïóñòàÿ ñòðîêà è ïóñòîé ñòîëáåö. Òîãäà êëåòêà íà èõ ïåðåñå÷åíèè íå ïîä áîåì. Çàìåòèì, ÷òî êàæäàÿ ëàäüÿ ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé ëèáî â ñâîåé ñòðîêå, ëèáî â ñâîåì ñòîëáöå (èíà÷å åå ìîæíî âûêèíóòü, è åå ñòðîêà è ñòîëáåö îñòàíóòñÿ ïîä áîåì). Äëÿ êàæäîé ëàäüè îòìåòèì ýòó ñòðîêó èëè ýòîò ñòîëÐèñ. 14 áåö. Åñëè îòìå÷åíû íå áîëåå 8 ñòîëáöîâ è íå áîëåå 8 ñòðîê, òî âñåãî ëàäåé íå áîëüøå 8 + 8 = = 16. Åñëè æå, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, îòìå÷åíû 9 ñòîëáöîâ, òî ëàäåé âñåãî 9 (â êàæäîì èç 9 ñòîëáöîâ ïî îäíîé, à â 10-ì ñòîëáöå ïî ïðåäïîëîæåíèþ ëàäåé íåò). Èòîãî, âî âñåõ ñëó÷àÿõ ìû ïîëó÷èëè k ≤ 16 . Ïðèìåð äëÿ 16 ëàäåé ïîêàçàí íà ðèñóíêå 14; äëÿ êàæäîé ëàäüè ñòðåëêîé óêàçàíà êëåòêà, êîòîðàÿ îñòàíåòñÿ íå ïîä áîåì, åñëè ýòó ëàäüþ óáðàòü. 7. Îáîçíà÷èì îïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ AA1P è CC1P ÷åðåç ω A è ωC , ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü ëó÷è AQ è CQ ïåðåñåêàþò ñòîðîíû CD è AD â òî÷êàõ C2 è A2 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà èç ïàðàëëåëüíîñòè AB CD è âïèñàííîñòè ÷åòûðåõóãîëüíèêà AA1PQ ïîëó÷àåì ∠PCC2 = 180° − ∠AA1P = ∠AQP = 180° − ∠PQC2 , ò.å. ÷åòûðåõóãîëüíèê CPQC2 òàêæå âïèñàí. Ýòî çíà÷èò, ÷òî C2 ëåæèò íà ωC ; àíàëîãè÷íî, òî÷êà A2 ëåæèò íà ω A (ðèñ.15). $! ÐÅØÅÍÈß Ðèñ. 16 Ðèñ. 17 Ðèñ. 19 Ðèñ. 18 S Sd = 5 ìÀ ; 2) Pmax = = 10 Âò , ñì. A 2 Aρ0 U1 Sd1 ðèñ.18; 3) d1 = = 2 ñì , P1max = = 10 Âò , ñì. 2A ρ0 A ðèñ.19. 4. 1) Imax = 11 êëàññ 9mg h = 35 H ì ; = 30 ì , k = 2h 3 2h 2 = 20 ì ; 3) vmax = 2gh = 28,3 ì ñ ; 2) x0 = 9 3 4h 9g = 0,71 c −1 ; = 40 ì , ω = 4) A = 2h 9 2π 2h 1 + = 5,41 c . 5) τ = 9 9 3 2Q0 L 2Q0 ; 2) q1 = ; 3) q2 = 0 ; 2. 1) I0 = R L 2Q0 L ; 4) A = -q0 + 5) Q = A − Q0 . R Pτ 3. 1) më = 0 0 ≈ 0,15 êã , ãäå τ0 = 2 ìèí âðåìÿ ïëàâëåíèÿ λ ëüäà; 2) M ≈ 0,48 êã ; 3) α ≈ 2,0 Âò °Ñ ; 4) Pmax ≈ 200 Âò ; 5) τ1 ≈ 21 ìèí . 1. 1) L = Ðèñ. 15 Äàëåå, òàê êàê ÷åòûðåõóãîëüíèê AA1PA2 âïèñàí è AB CD , èìååì ∠A2 PC = 180° − ∠A1PA2 = ∠A1 AA2 = 180° − ∠A2 DC , ò.å. ÷åòûðåõóãîëüíèê A2 PCD òàêæå âïèñàí. Òîãäà ∠PDA = = ∠PDA2 = ∠PCA2 = ∠PCQ . Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê BA1QC âïèñàí, îòêóäà ∠QBA = ∠QCA1 = = ∠PCQ . Îòñþäà ñëåäóåò ∠PDA = ∠PCQ = ∠QBA , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Çàìå÷àíèå. Óòâåðæäåíèå çàäà÷è îñòàåòñÿ âåðíûì, åñëè Q íå ëåæèò â òðåóãîëüíèêå ACD. ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÛÉ ÝÒÀÏ XLIII ÂÑÅÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÎËÈÌÏÈÀÄÛ ØÊÎËÜÍÈÊΠÏÎ ÔÈÇÈÊÅ 4. 1) Ñì. ðèñ.20, ãäå à = 400 Ê, b = 4 ë, l = a2 + b2 . 2) Ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå ñîîòâåòñòâóåò òî÷êå Ñ íà ãðàôèêå è ðàâíî pmax ≈ 4,75 ÌÏà . ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐ 9 êëàññ 2. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü êîíôåòû îòíîñèòåëüíî ëåíòû òðàíñïîðòåðà ðàâíà v0′ = u 3 è íàïðàâëåíà ïî áîëüøåé äèàãîíàëè ðîìáà ñî ñòîðîíîé u è óãëîì 60° ïðè âåðøèíå. Ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü êîíôåòû îòíîñèòåëüíî Ãëþêà ðàâíà vmin = u 2 . 4. tx = 10 °C . 10 êëàññ 1. T = mg 3 . 2. Ñì. ðèñ.16, åñëè ëèíçà ñîáèðàþùàÿ, è ðèñ.17, åñëè ëèíçà ðàññåèâàþùàÿ. 58-64.p65 63 Ðèñ. 20 30.09.09, 16:47 $" ÊÂÀÍT 2009/¹5 5. F1 = L2 + 2l1L ± L L2 + 4l1l2 = (20,0 ± 16,3 ) ñì , 2 ( L + l1 − l2 ) L2 + 2l2 L ± L L2 + 4l1l2 = (16,0 ± 9,8 ) ñì , 2 ( L + l2 − l1 ) âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: îáå ëèíçû äëèííîôîêóñíûå, òîãäà F1 = 36,3 ñì è F2 = 25,8 ñì , èëè îáå ëèíçû êîðîòêîôîêóñíûå, òîãäà F1 = 3,7 ñì è F2 = 6,2 ñì . F2 = ÌÎÑÊÎÂÑÊÀß ÑÒÓÄÅÍ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ÏÎ ÔÈÇÈÊÅ 2009 ÃÎÄÀ 1. Rmin = mv2 . 2F mg R 1 − . 2 r2 σ TT 1 2 η∆S 4. A = . 5. E = . T1 (1 − η) − T2 2 2 ε0 3. r = 2l. 6. Φ = µ0 πINδ . 2. F = 7. I = 2πRδσ (U − BLωR ) ( 1 + B2σ2 e2n2 ) . ÌÎÄÓËÜ ÑÓÌÌÛ È ÑÓÌÌÀ ÌÎÄÓËÅÉ (ñì. «Êâàíò» ¹4) 1. Íåðàâåíñòâî (2) (ñì. ñòàòüþ) ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó ab ≥ −ab . Ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ ïðè ab ≤ 0 . Íåðàâåíñòâî ( 2′ ) ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó ab ≥ ab . Ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ ïðè ab ≥ 0 . 2. Ñòàíäàðòíîå ðàññóæäåíèå ïî èíäóêöèè. Íåðàâåíñòâî (3) ñïðàâåäëèâî ïðè n = 2 (ýòî íåðàâåíñòâî (1)). Åñëè îíî ñïðàâåäëèâî ïðè n = k, òî îíî ñïðàâåäëèâî è ïðè n = k + 1: a1 + … + ak + ak +1 ≤ a1 + … + ak + ak +1 ≤ a1 + a2 + … + ak +1 . )( ) 3. Ðàâíîñèëüíîå íåðàâåíñòâî èìååò âèä x 2 − 1 y2 − 1 < 0 , à ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷èñëî 1 ðàñïîëîæåíî ìåæäó |x| è |y|. 4. ×èñëà õ, ó, z ëèáî íåïîëîæèòåëüíû, ëèáî íåîòðèöàòåëüíû, à ÷èñëà |x|, |y|, |z| äëèíû ñòîðîí íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà (ìîæåò áûòü, âûðîæäåííîãî). Íåðàâåíñòâî çàäà÷è 3 îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî, åñëè è òîëüêî åñëè ÿâëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè òðè íåðàâåíñòâà, êîòîðûå ìû ñêëàäûâàëè, ðåøàÿ çàäà÷ó. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ òðåõ óñëîâèé: 2 x − (z − y) ≥ 0 , èëè 2 2 y − (x − z) ≥ 0 , x ≥ z−y , 2 2 z − (x − y) ≥ 0 , 2 Ðåäàêöèÿ æóðíàëà «Êâàíò» kvant.info Ìîñêîâñêèé öåíòð íåïðåðûâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ kvant.mccme.ru Ìîñêîâñêèé äåòñêèé êëóá «Êîìïüþòåð» math.child.ru Êîñòðîìñêîé öåíòð äîïîëíèòåëüíîãî îáðàçîâàíèÿ «Ýâðèêà» ceemat.ru © ÍÎÌÅÐ ÏÎÄÃÎÒÎÂÈËÈ C.À.Äîðè÷åíêî, À.À.Åãîðîâ, Å.Ì.Åïèôàíîâ, Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.Þ.Êîòîâà, Â.À.Òèõîìèðîâà, À.È.×åðíîóöàí ÍÎÌÅÐ ÎÔÎÐÌÈËÈ Ä.Í.Ãðèøóêîâà, À.Å.Ïàöõâåðèÿ, Ì.Â.Ñóìíèíà, Â.Ì.Õëåáíèêîâà ÕÓÄÎÆÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ Å.Â.Ìîðîçîâà ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÀß ÃÐÓÏÏÀ Å.À.Ìèò÷åíêî, Ë.Â.Êàëèíè÷åâà y ≥ x−z , z ≥ x−y . (∗ ) Äîêàæåì, ÷òî âñå ÷èñëà õ, ó, z ëèáî íåïîëîæèòåëüíû, ëèáî íåîòðèöàòåëüíû. Åñëè îäíî èç òðåõ ÷èñåë ðàâíî 0, òî, î÷åâèäíî, äâà îñòàëüíûõ ðàâíû. Åñëè íè îäíî èç íèõ íå ðàâíî íóëþ è ñðåäè íèõ åñòü êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x > > 0, y > 0, z < 0 (åñëè õ, ó, z óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå ( ∗ ), òî õ, ó, z òîæå åé óäîâëåòâîðÿþò). Íî òîãäà x ≥ y − z , y ≥ x − z , îòêóäà x + y ≥ y + x − 2z , ò.å. z ≥ 0 (ïðîòèâîðå÷èå). Èòàê, ÷èñëà õ, ó, z èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè, è èç ( ∗ ) ñëåäóåò, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà x + y ≥ z , y + z ≥ x , x + z ≥ y . 58-64.p65 x−y 2a . Ïðè à, áëèçêèõ ê 1, ïîñëåäíåå âûðàæå= 1 − xy 1 − a2 íèå ìîæåò áûòü ñäåëàíî ñêîëü óãîäíî áîëüøèì. òî Èíôîðìàöèþ î æóðíàëå «Êâàíò» è íåêîòîðûå ìàòåðèàëû èç æóðíàëà ìîæíî íàéòè â ÈÍÒÅÐÍÅÒÅ ïî àäðåñàì: 4πωLε20 E2 R3 . 8. M = δγ Λ sin α 9. Ïó÷îê ñâåòà îòêëîíèòñÿ íà óãîë β = arcsin è ñôîêóλ lλ îò ïëàñòèíêè. ñèðóåòñÿ íà ðàññòîÿíèè L = Λ ( Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòè óñëîâèÿ íå òîëüêî íåîáõîäèìû, íî è äîñòàòî÷íû. 5. n ◊ 2n - 2 . Êàæäàÿ òàêàÿ ðàññòàíîâêà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì òî÷êè, â êîòîðîé ñòàâèòñÿ 1 (n ñïîñîáîâ), è ëþáûì íàáîðîì ÷èñåë, ñòîÿùèõ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íà äóãå ìåæäó 1 è n. n− 2 . Èòîãî, ïîëóÒàêèõ íàáîðîâ (âêëþ÷àÿ è ïóñòîé íàáîð) 2 n -2 ÷àåòñÿ n ◊ 2 ñïîñîáîâ. 7. Íåò. Åñëè x = ai, y = ai, ãäå à äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî è |a| < 1, 64 Æóðíàë «Êâàíò» çàðåãèñòðèðîâàí â Êîìèòåòå ÐÔ ïî ïå÷àòè. Ðåã. ñâ-âî ¹0110473 Àäðåñ ðåäàêöèè: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» Òåë.: 930-56-48 Å-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info, phys@kvant.info Ñàéò: kvant.info Îòïå÷àòàíî â ÎÀÎ îðäåíà Òðóäîâîãî Êðàñíîãî Çíàìåíè «×åõîâñêèé ïîëèãðàôè÷åñêèé êîìáèíàò» 142300 ã.×åõîâ Ìîñêîâñêîé îáëàñòè, Ñàéò: www.chpk.ru E-mail: marketing@chpk.ru Ôàêñ: 8(49672) 6-25-36, ôàêñ: 8(499) 270-73-00 Îòäåë ïðîäàæ óñëóã ìíîãîêàíàëüíûé: 8(499) 270-73-59 30.09.09, 16:47 2-3.P65 1 30.09.2009, 17:15 Untitled-1 1 30.09.2009, 17:01