pdf, 4,4 M

ÈÞÍÜ
ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ
2013
ÌÀÉ
Þ
¹3
ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
ÆÓÐÍÀË
ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ
 íîìåðå:
Ó×ÐÅÄÈÒÅËÜ
Ðîññèéñêàÿ àêàäåìèÿ íàóê
'
#
ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
À.Ë.Ñåìåíîâ
%
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß
À.ß.Áåëîâ, Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ,
À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ, Ñ.À.Ãîðäþíèí,
Í.Ï.Äîëáèëèí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî
ðåäàêòîðà), Â.Í.Äóáðîâñêèé,
À.À.Åãîðîâ, Ï.À.Êîæåâíèêîâ, Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ,
À.À.Ëåîíîâè÷, Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ,
Í.Õ.Ðîçîâ, À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî,
Â.Ã.Ñóðäèí, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà,
À.È.×åðíîóöàí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî
ðåäàêòîðà)
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ
À.Â.Àíäæàíñ, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.È.Áåðíèê,
Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé,
Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Ñ.Ï.Íîâèêîâ,
Ë.Ä.Ôàääååâ
%
!
!
ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
È.Ê.Êèêîèí
ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ
ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ
ÈÇ ÈÑÒÎÐÈÈ ÍÀÓÊÈ
Èñòîðèÿ, ïîëíàÿ çàãàäîê. Ë.Òêà÷åâ
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
Çàäà÷è Ì2301–Ì2308, Ô2308–Ô2314
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2286–Ì2293, Ô2293–Ô2299
Ðàâíûå ïëîùàäè è ïîâîðîòû. Â.Ðàñòîðãóåâ
«ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ
Çàäà÷è
Óäèâèòåëüíàÿ êîíñòðóêöèÿ, èëè Ðàññêàç î ãîôðå. Ñ.Äâîðÿíèíîâ
ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ»
Òåðìîìåòðèÿ
!"
!&
!'
ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»
Ìíîæåñòâà è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè. Ë.Àëüòøóëåð
Îðàëî è êðûëî. Â.Âûøèíñêèé, À.Ñòàñåíêî
Ýòà ìàíÿùàÿ ãëóáèíà. À.Ñòàñåíêî
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Á.Ìóêóøåâ
"!
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Ñêîëüêî ìîæíî æäàòü? È.Àêóëè÷
"$
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Âîò ÷òî-òî ñ ãîðî÷êè ñïóñòèëîñü... À.×åðíîóöàí
#
##
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
XXI Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí»
Ðåãèîíàëüíûé ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå
À.Í.Êîëìîãîðîâ
Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ,
Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí,
Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ,
Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ,
Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé,
À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ,
Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Ï.Ñàâèí,
È.Ø.Ñëîáîäåöêèé, Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé,
ß.À.Ñìîðîäèíñêèé, Â.À.Ôàáðèêàíò,
ß.Å.Øíàéäåð
Ãðàâèòàöèîííûé áèëüÿðä, èëè Ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü ëàçåðíîãî
ðåçîíàòîðà. À.Àíäðååâ, À.Ïàíîâ
!
"
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß
1970 ÃÎÄÀ
Ê 150-ËÅÒÈÞ À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ
Çíà÷åíèå ìàòåìàòèêè äëÿ êîðàáëåñòðîåíèÿ. À.Êðûëîâ
Êîðàáåëüíûé èíæåíåð-ñàìîó÷êà. À.Êðûëîâ
Î âîëíîâîì ñîïðîòèâëåíèè âîäû è î ñïóòíîé âîëíå. À.Êðûëîâ
#$
#'
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ
Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ
ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ
I
II
III
IV
Èëëþñòðàöèÿ ê ñòàòüÿì À.Êðûëîâà
Êîëëåêöèÿ ãîëîâîëîìîê
Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà
Ïðîãóëêè ñ ôèçèêîé
Ê
T 2013/¹3
1 5 0 - Ë Å ÒÊ ÂÈÀ ÍÞ
À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ
 àâãóñòå íûíåøíåãî ãîäà èñïîëíÿåòñÿ 150 ëåò ñî äíÿ ðîæäåíèÿ Àëåêñåÿ Íèêîëàåâè÷à Êðûëîâà
(1863–1945) – âûäàþùåãîñÿ ó÷åíîãî-ýíöèêëîïåäèñòà, êîðàáëåñòðîèòåëÿ, ìåõàíèêà, ìàòåìàòèêà è
èíæåíåðà, àêàäåìèêà. Âñþ æèçíü Êðûëîâ ñòðîèë êîðàáëè è ó÷èë ñòðîèòü êîðàáëè – à äëÿ ýòîãî íóæíû
çíàíèÿ èç ñàìûõ ðàçíûõ òåîðåòè÷åñêèõ è ïðàêòè÷åñêèõ îáëàñòåé. Àëåêñåé Íèêîëàåâè÷ çíàë î êîðàáëÿõ,
ïî-âèäèìîìó, âñå – îò íåîáõîäèìûõ ïðè ñòðîèòåëüñòâå ñóäíà ñëåñàðíûõ èíñòðóìåíòîâ äî ñëîæíåéøèõ
ôèçè÷åñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé, ñâÿçàííûõ ñî âñåìè ñòîðîíàìè ìîðåõîäíîãî äåëà. Îí àâòîð
ôóíäàìåíòàëüíîé «Òåîðèè êà÷êè êîðàáëÿ», èçîáðåòàòåëü ìíîæåñòâà ïîëåçíûõ ïðèáîðîâ (â òîì ÷èñëå
ìåõàíè÷åñêîãî ïðèáîðà äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé), íå ãîâîðÿ óæå î
ìíîæåñòâå íàó÷íûõ ðàáîò è ó÷åáíûõ ïîñîáèé ïî ìåõàíèêå, ìàòåìàòèêå è óðàâíåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêè. Åñòü ó íåãî è òðóäû ïî àñòðîíîìèè, è òðóäû ïî ïðàêòè÷åñêîé îïòèêå.
Àëåêñåé Íèêîëàåâè÷ îñòàâèë âîñïîìèíàíèÿ î ñâîåé æèçíè – à æèçíü îí ïðîæèë äîëãóþ, ÿðêóþ
è èíòåðåñíóþ. Âîñïîìèíàíèÿ ïðåâîñõîäíî íàïèñàíû, ìû âñåì ñîâåòóåì íàéòè èõ è ïðî÷èòàòü. Íî, íàäî
ñêàçàòü, è íàó÷íûå ðàáîòû, è äîêëàäíûå çàïèñêè ïî ìîðñêîìó ìèíèñòåðñòâó îí òîæå óìåë ïèñàòü ÿñíî,
îáðàçíî è äîõîä÷èâî.
Ïðåäëàãàåì âàøåìó âíèìàíèþ òðè íåáîëüøèå ñòàòüè À.Í.Êðûëîâà, âîøåäøèå â êíèãó «Àêàäåìèê
À.Í.Êðûëîâ. Âîñïîìèíàíèÿ è î÷åðêè» (Ì.: Èçäàòåëüñòâî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1956).
Çíà÷åíèå ìàòåìàòèêè
äëÿ êîðàáëåñòðîèòåëÿ
À.ÊÐÛËÎÂ
§
1. ÎÁÛ×ÍÎ Ñ×ÈÒÀÞÒ, ×ÒÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÑËÓ-
æèò îñíîâîþ îáðàçîâàíèÿ èíæåíåðà è ÷òî âñÿêèé
èíæåíåð äîëæåí çíàòü ìàòåìàòèêó.
Íàñòîÿùèé î÷åðê ïîñâÿùåí ðàññìîòðåíèþ âîïðîñà î
òîì, â êàêîé ìåðå òàêîé âçãëÿä ïðàâèëåí èëè íåïðàâèëåí, à âìåñòå ñ òåì è âîïðîñó î òîì, êîãî è êàê ó÷èòü
ìàòåìàòèêå.
Ìàòåìàòèêà â ñîâðåìåííîì ñâîåì ñîñòîÿíèè íàñòîëüêî îáøèðíà è ðàçíîîáðàçíà, ÷òî ìîæíî ñìåëî ñêàçàòü,
÷òî â ïîëíîì îáúåìå îíà óìó ÷åëîâå÷åñêîìó íåïîñòèæèìà, à ñëåäîâàòåëüíî, äîëæåí áûòü ñäåëàí ñòðîãèé
âûáîð òîãî, ÷òî èç ìàòåìàòèêè íóæíî çíàòü è çà÷åì
íóæíî çíàòü èíæåíåðó äàííîé ñïåöèàëüíîñòè.
 ýòîì âûáîðå íàì ìîæåò ïîìî÷ü è ñàìîå îáùåå
îáîçðåíèå èñòîðè÷åñêîãî õîäà ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè è
ïðàêòè÷åñêèõ åå ïðèëîæåíèé.
§ 2. Åâðîïåéñêèå íàðîäû óíàñëåäîâàëè ñâîþ êóëüòóðó îò äðåâíèõ ãðåêîâ, íàñåëÿâøèõ ïîáåðåæüå âîñòî÷íîé ÷àñòè Ñðåäèçåìíîãî ìîðÿ, ãëàâíûì îáðàçîì òåïåðåøíþþ Ãðåöèþ.
Çäåñü, â îñîáåííîñòè â Àôèíàõ, çà 400 ëåò äî íàøåé
ýðû óæå áûëà ïîïóëÿðíà ôèëîñîôèÿ è êàê îäíà èç åå
îòðàñëåé – ëîãèêà, ò. å. èñêóññòâî äåëàòü ïðàâèëüíûå
óìîçàêëþ÷åíèÿ èç äàííûõ ïðåäïîñûëîê. Ïðè çíàìåíèòûõ Ïëàòîíå è Àðèñòîòåëå îáðàçöîâûì ïðèìåðîì ëîãèêè ñëóæèëà ãåîìåòðèÿ, íå â ñìûñëå ïðîìûøëåííîãî
çåìëåìåðèÿ è îïðåäåëåíèÿ ãðàíèö çåìåëüíûõ ó÷àñòêîâ, à êàê ÷èñòî îòâëå÷åííàÿ íàóêà, èçó÷àâøàÿ èäåàëüíûå îáðàçû, åþ ñàìîþ ñîçäàííûå, ïî ñâîéñòâàì ñâîèì
ñîîòâåòñòâóþùèå ðåàëüíûì, èìåþùèìñÿ â ïðèðîäå.
Àëåêñåé Íèêîëàåâè÷ Êðûëîâ
Ýòî èçó÷åíèå îñíîâûâàëîñü íà íåáîëüøîì ÷èñëå
àêñèîì, îïðåäåëåíèé è íà òðåõ ïîñòóëàòàõ. ß íå áóäó
ïåðå÷èñëÿòü ýòèõ àêñèîì, âàì èçâåñòíûõ, à ïðèâåäó
Ê
150-ËÅÒÈÞ
ëèøü ïîñòóëàòû, î êîòîðûõ â ñîâðåìåííûõ ðóêîâîäñòâàõ ïî ãåîìåòðèè ÷àñòî íå óïîìèíàåòñÿ ñîâñåì. Âîò
îíè.
1) ×åðåç äâå äàííûå òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ
è ïðèòîì òîëüêî îäíó.
2) Îãðàíè÷åííàÿ ïðÿìàÿ ëèíèÿ ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà ïðÿìîþ æå íà ëþáóþ äëèíó.
3) Êîãäà äàí ðàäèóñ, îäèí êîíåö êîòîðîãî íàõîäèòñÿ
â äàííîé òî÷êå, òî ýòèì ðàäèóñîì ìîæåò áûòü îïèñàí
êðóã.
Çàòåì âñå ó÷åíèå, ñîñòàâëÿþùåå, ïî òåïåðåøíåé
òåðìèíîëîãèè, ýëåìåíòàðíóþ ãåîìåòðèþ, ïðèâîäèòñÿ,
ñâîäÿ âñå äîêàçàòåëüñòâà ÷èñòî ëîãè÷åñêèìè ðàññóæäåíèÿìè ê àêñèîìàì è âñå ïîñòðîåíèÿ ê ñêàçàííûì
ïîñòóëàòàì.
Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêëà òà ãåîìåòðèÿ, êîòîðàÿ ñ
íåïîäðàæàåìûì ñîâåðøåíñòâîì èçëîæåíà ïðèìåðíî çà
250 ëåò äî í.ý. Åâêëèäîì.
Ñàìî ñîáîé ðàçóìååòñÿ, ÷òî â òî âðåìÿ ãåîìåòðèþ
èçó÷àëè âçðîñëûå þíîøè, à âåðíåå, â ÷àñû äîñóãà
çðåëûå áîðîäàòûå ìóæè, èñêóøåííûå â ñëîâîïðåíèÿõ
ïåðåä ñóäèëèùàìè è àðåîïàãàìè, èáî ëèøü îíè ìîãëè
îöåíèòü âñþ òîíêîñòü ëîãèêè Åâêëèäà; òåïåðü æå â
Àíãëèè â áóêâàëüíûõ ïåðåâîäàõ ìó÷àþò 12- è 13ëåòíèõ ìàëü÷èêîâ, è ìîæíî ëèøü óäèâëÿòüñÿ, êàê
îáùåñòâî «Çàùèòû äåòåé îò æåñòîêîãî îáðàùåíèÿ è
ïîêðîâèòåëüñòâà æèâîòíûì» ýòî äîïóñêàåò.
Ïîïðîáóéòå âçÿòü Åâêëèäà â ïåðåâîäå è ïîñìîòðèòå,
êàêîå óìñòâåííîå íàïðÿæåíèå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïðîñëåäèòü õîä åãî äîêàçàòåëüñòâ, íî çàòî êàêîâà èçóìè-
Âåðôü äåðåâÿííîãî ñóäîñòðîåíèÿ
À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ
!
òåëüíàÿ ëîãè÷íîñòü è ñòðîãîñòü èõ è êàêîâà èõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Êîíå÷íî, ýòî èçó÷åíèå ïðåäñòàâëÿåò,
ìîæåò áûòü, è ïðåâîñõîäíóþ óìñòâåííóþ òðåíèðîâêó,
íî âî âñÿêîé òðåíèðîâêå íàäî ñîáëþäàòü äîëæíóþ
ìåðó.
 øêîëå æå Ïëàòîíà çàðîäèëîñü è ó÷åíèå î êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèÿõ (ïî ïîâîäó çíàìåíèòîé çàäà÷è îá óäâîåíèè êóáà), êîòîðîå âïîñëåäñòâèè, òàêæå çà 250 ëåò äî
í.ý., áûëî äîâåäåíî Àïîëëîíèåì äî òàêîé ñòåïåíè
ïîëíîòû è ñîâåðøåíñòâà, ÷òî õîòÿ âàñ è ìó÷èëè â êóðñå
àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè èçó÷åíèåì ñâîéñòâ ýòèõ êðèâûõ, íî ýòî ñîñòàâëÿåò ëèøü ìàëóþ äîëþ òîãî, ÷òî
íàõîäèòñÿ â ñî÷èíåíèè Àïîëëîíèÿ è ÷òî èì ñàìèì
ñîçäàíî. Åñëè ê ýòîìó ïðèñîåäèíèòü åùå ñî÷èíåíèÿ
Àðõèìåäà, âåëè÷àéøåãî èç ìàòåìàòèêîâ âñåõ âðåìåí è
íàðîäîâ, òî âû ïîëó÷èòå íåêîòîðîå ñóæäåíèå î òîì,
êàêîâ áûë ãåíèé äðåâíèõ ãðåêîâ.
Ñàìî ñîáîé ðàçóìååòñÿ, ÷òî âñå â ýòèõ ñî÷èíåíèÿõ
èçëàãàåòñÿ ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêè ñ ïîëíîþ «åâêëèäîâîé» ñòðîãîñòüþ ðàññóæäåíèé, íå ïðèáåãàÿ ê òîé
àëãåáðàè÷åñêîé ñèìâîëèñòèêå, ê êîòîðîé ìû òàê ïðèâûêëè òåïåðü.
Õîòÿ îò äðåâíèõ îñòàëèñü ãèãàíòñêèå ïî ðàçìåðàì è
èçóìèòåëüíûå ïî êðàñîòå è ïðîïîðöèîíàëüíîñòè çäàíèÿ è ñîîðóæåíèÿ, íî ñîâåðøåííî íå èçâåñòíî, êàêèì
îáðàçîì îíè ðàçðàáàòûâàëè ïðîåêòû ýòèõ ñîîðóæåíèé
è îêàçûâàëà ëè èì â ýòîì ïîìîùü ãåîìåòðèÿ. Ìíîãîå
çàñòàâëÿåò äóìàòü, ÷òî ýòà ïîìîùü áûëà íè÷òîæíà.
§ 3. Ñ çàâîåâàíèåì äðåâíåãî ìèðà ðèìëÿíàìè îòâëå÷åííàÿ, ÷èñòî ëîãè÷åñêàÿ íàóêà ãðåêîâ ïîñòåïåííî
"
ÊÂÀÍT 2013/¹3
ïðèõîäèò â óïàäîê, ñìåíÿÿñü ïðàêòè÷åñêîé àðõèòåêòóðîé, ãèäðàâëèêîé è çåìëåìåðèåì, à â IV è V ââ.,
ìîæíî ñêàçàòü, âñÿêàÿ íàóêà óòðà÷èâàåòñÿ è çàìèðàåò
íà öåëîå òûñÿ÷åëåòèå. Íî ïðàêòèêà è òåõíèêà êàê
èñêóññòâî, íåçàâèñèìî îò óòðàòû îòâëå÷åííîé íàóêè,
ïðîäîëæàþò ðàçâèâàòüñÿ, è ñîçäàåòñÿ êàê áû ðàçðûâ
ìåæäó îòâëå÷åííîþ íàóêîþ è ïðàêòèêîé.
Ìû òåïåðü ñ ïîíÿòèåì î ìàòåìàòèêå ñâÿçûâàåì
ïîíÿòèå î âû÷èñëåíèÿõ â ñàìîì îáùåì è îáøèðíîì
çíà÷åíèè ýòîãî ñëîâà.  äðåâíîñòè îãðàíè÷èâàëèñü
ëèøü ïðîèçâîäñòâîì ÷èñëåííûõ âû÷èñëåíèé, ïðè÷åì
îíî âõîäèëî ãëàâíûì îáðàçîì ëèøü â àñòðîíîìèþ, â
êîòîðîé áûëî äîâåäåíî äî çíà÷èòåëüíîãî ñîâåðøåíñòâà, íåñìîòðÿ íà íåóäîáñòâà ïèñüìåííîé íóìåðàöèè
äðåâíèõ ãðåêîâ.
Ñ XVI â. â Åâðîïå çàðîæäàåòñÿ ïðèøåäøåå
îò àðàáîâ èñêóññòâî áóêâåííîãî èñ÷èñëåíèÿ è ôîðìàëüíàÿ àëãåáðà, êîòîðàÿ, ïîñòåïåííî ñîâåðøåíñòâóÿñü, ê ñåðåäèíå XVII â. äîñòèãàåò çíà÷èòåëüíîãî ðàçâèòèÿ.
§ 4. Çäåñü ïðèõîäèòñÿ óïîìÿíóòü âåëèêîãî ôèëîñîôà è ìàòåìàòèêà Äåêàðòà; ñ îäíîé ñòîðîíû, îí ñâîèì
àôîðèçìîì «Cogito ergo sum» (Ìûñëþ – çíà÷èò ñóùåñòâóþ) êàê áû âíîâü íàëîæèë íà ìàòåìàòèêó òîò
îòïå÷àòîê îòâëå÷åííîñòè, êîòîðûé îíà íå òîëüêî ñîõðàíèëà è äîíûíå, íî êîòîðûé îñîáåííî óñèëèëñÿ çà
ïîñëåäíèå 70 ëåò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, Äåêàðò ïðåîáðàçîâàë ãåîìåòðèþ ââåäåíèåì â íåå àëãåáðû è åå âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ, êîòîðûå áûëè ñîâåðøåííî ÷óæäû
äðåâíèì.
 1670-õ ãîäàõ Íüþòîí ñîçäàåò «èñ÷èñëåíèå ôëþåíò è ôëþêñèé», ò.å. òåêóùèõ êîëè÷åñòâ, êàê îí åãî
íàçûâàåò. Íåçàâèñèìî îò íåãî â 1680-õ ãîäàõ ýòî æå
èñ÷èñëåíèå íàõîäèòñÿ è îïóáëèêîâûâàåòñÿ ôèëîñîôîì Ëåéáíèöåì è íàçûâàåòñÿ èì «èñ÷èñëåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ».
Íüþòîí âìåñòå ñ òåì â èçäàííîì èì â 1686 ã.
ñî÷èíåíèè «Ìàòåìàòè÷åñêèå íà÷àëà íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè» ðàçâèâàåò è êàê áû âíîâü ñîçäàåò äèíàìèêó,
ïåðâûå íà÷àëà êîòîðîé áûëè ïîëîæåíû çà 50 ëåò
ïåðåä òåì Ãàëèëååì, è äîâîäèò ýòó íàóêó äî âûñîêîé
ñòåïåíè ðàçâèòèÿ ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêèì ïóòåì, ïî
îáðàçöó äðåâíèõ, è ïðèëàãàåò ñîçäàííîå èì ó÷åíèå ê
óñòàíîâëåíèþ ñèñòåìû ìèðà è ïîçíàíèþ è ïðèëîæåíèÿì çàêîíà òÿãîòåíèÿ, èì îòêðûòîãî, ê èçó÷åíèþ
äâèæåíèÿ íåáåñíûõ òåë.
 òå÷åíèå XVIII â. àíàëèç áåñêîíå÷íî ìàëûõ äîâîäèòñÿ äî âûñîêîé ñòåïåíè ñîâåðøåíñòâà; íà åãî îñíîâå
ðàçâèâàåòñÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, êîòîðàÿ ñïåðâà,
ïî ïðèìåðó Íüþòîíà, ïðèëàãàåòñÿ ãëàâíûì îáðàçîì ê
èçó÷åíèþ äâèæåíèÿ íåáåñíûõ òåë è îò÷àñòè ê áàëëèñòèêå.
Ñ ñåðåäèíû XVIII â. ìåõàíèêà íà÷èíàåò ïðèëàãàòüñÿ ê ðåøåíèþ âîïðîñîâ òåõíè÷åñêèõ íå òîëüêî èç
îáëàñòè ñòàòèêè, êîòîðàÿ áûëà ñîçäàíà Àðõèìåäîì,
íî è äèíàìèêè.
Ñ XIX â. òåõíè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ ìåõàíèêè êàê â
îáëàñòè ñòàòèêè, òàê è äèíàìèêè âñå áîëåå è áîëåå
ïðîíèêàþò â òåõíèêó è âñå áîëåå è áîëåå åå îõâàòûâàþò.
§ 5. Íî è ìàòåìàòèêà íå ñòîèò íà ìåñòå, îíà ïðîäîëæàåò ðàçâèâàòüñÿ â ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ, êîòîðûå
ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü òàê:
à) ðàçâèòèå âû÷èñëèòåëüíûõ, â îáøèðíîì ñìûñëå
ýòîãî ñëîâà, ïðîöåññîâ;
á) èçó÷åíèå ñâîéñòâ ôóíêöèé, âîçíèêàþùèõ ïðè
âû÷èñëåíèÿõ, óñòàíîâëåíèå ñòðîãîñòè è ñòðîãîå îáîñíîâàíèå ñàìèõ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåññîâ;
â) îáùåå èçó÷åíèå ñâîéñòâ ÷èñåë;
ã) èçó÷åíèå ñâîéñòâ ïðîñòðàíñòâà è îáîáùåíèå èõ;
ä) èçó÷åíèå ñïåöèàëüíî àëãåáðàè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è
ñâîéñòâ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé;
å) óñîâåðøåíñòâîâàíèå ñïîñîáîâ ÷èñëåííûõ âû÷èñëåíèé, ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ èõ è ïðèëîæåíèÿ ýòèõ
ìåòîäîâ.
Êàæäàÿ èç ýòèõ îáëàñòåé ðàçðîñëàñü òàê, ÷òî ëèòåðàòóðà ïî êàæäîé èç íèõ â îòäåëüíîñòè ñîñòàâëÿåò öåëóþ
áèáëèîòåêó èç ìíîãèõ ñîòåí, ìíîãèõ òûñÿ÷, à èíîãäà è
ìíîãèõ äåñÿòêîâ òûñÿ÷ æóðíàëüíûõ ñòàòåé, ðóêîâîäñòâ è òðàêòàòîâ.
Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà òàêæå ðàçðîñëàñü íå â ìåíüøåé ñòåïåíè; â íåå âõîäÿò:
à) ÷èñòî òåîðåòè÷åñêàÿ èëè òàê íàçûâàåìàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ìåõàíèêà;
á) «íåáåñíàÿ ìåõàíèêà», ò. å. ïðèëîæåíèå ìåõàíèêè
ê èçó÷åíèþ äâèæåíèÿ íåáåñíûõ òåë;
â) òàê íàçûâàåìàÿ ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà, ò.å. ïðèëîæåíèå ìåõàíèêè ê âîïðîñàì èçó÷åíèÿ ìåõàíèçìîâ è
ïîñòðîåíèÿ èõ;
ã) òåîðèÿ óïðóãîñòè è ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ,
èçó÷àþùàÿ âìåñòå ñî «ñòðîèòåëüíîé ìåõàíèêîé» ñâîéñòâà ìàòåðèàëîâ, ðàñ÷åòû ðàçíîãî ðîäà êîíñòðóêöèé è
âîçíèêàþùèõ â íèõ íàïðÿæåíèé;
ä) íàêîíåö, ñþäà æå íàäî îòíåñòè ìàòåìàòè÷åñêóþ
ôèçèêó ñ åå ïîäðàçäåëåíèÿìè, êàæäîå èç êîòîðûõ
èìååò îáøèðíûå ïðèëîæåíèÿ â ïðàêòèêå è òåõíèêå.
Ëèòåðàòóðà ïî êàæäîìó èç ýòèõ îòäåëîâ ãðîìàäíà è,
ìîæíî ñêàçàòü, ïðàêòè÷åñêè íåîáîçðèìà.
§ 6. Ïðè íàøåì áåãëîì îáçîðå ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè
ìû îáðàòèëè âíèìàíèå íà òî, ÷òî ÷èñòûé ìàòåìàòèê,
êîòîðîãî ìû áóäåì íàçûâàòü «ãåîìåòð», òðåáóåò îò
ñâîåé íàóêè – ìàòåìàòèêè – ïðåæäå âñåãî áåçóêîðèçíåííîé ëîãè÷íîñòè è ñòðîãîñòè ñóæäåíèé.
Îäíî âðåìÿ â êîíöå XVIII â. ìàòåìàòèêà êàê áû
îò÷àñòè ñáèëàñü ñ ýòîãî ïóòè, íî óæå â ïåðâîé ÷åòâåðòè
XIX â. áûëà íà íåãî âíîâü íåóêëîííî íàïðàâëåíà
Ãàóññîì, Àáåëåì è Êîøè; íà÷èíàÿ æå ñ ïîñëåäíåé
÷åòâåðòè XIX â., ïî ïî÷èíó Âåéåðøòðàññà, â ìàòåìàòèêó âíîâü ââîäèòñÿ, ìîæíî ñêàçàòü, «åâêëèäîâà ñòðîãîñòü», à ñ íåþ îòâëå÷åííîñòü.
Ìàòåìàòèêà ñàìà ñîçäàåò òå èäåàëüíûå îáðàçû, íàä
êîòîðûìè îíà îïåðèðóåò, íå òîëüêî íå ïðèáåãàÿ ïðè
ýòîì ê íàãëÿäíîñòè, íî òùàòåëüíî èçãîíÿÿ èç ñâîèõ
ðàññóæäåíèé è äîêàçàòåëüñòâ âñÿêóþ íàãëÿäíîñòü,
âñÿêîå ñâèäåòåëüñòâî ÷óâñòâ. Ãåîìåòð íå òîëüêî íå
âåðèò ñâîèì ÷óâñòâàì, íî íå ïðèçíàåò ñàìîãî èõ
ñóùåñòâîâàíèÿ; îí åñòü äåêàðòîâî ìûñëÿùåå ñóùåñòâî. Ãåîìåòðó íåò äåëà äî òîãî, åñòü ëè â ïðèðîäå
òàêèå ïðåäìåòû, ê êîòîðûì åãî îáðàçû îòíîñÿòñÿ, äëÿ
íåãî âàæíî, ÷òî îí èõ ñîçäàë â ñâîåì óìå, ïðèïèñàë èì
Ê
150-ËÅÒÈÞ
îïðåäåëåíèÿ, àêñèîìû è äîïóùåíèÿ, ïîñëå ÷åãî îí ñ
ïîëíîþ ëîãè÷íîñòüþ è ñòðîãîñòüþ ðàçâèâàåò ñëåäñòâèÿ
ýòèõ àêñèîì è äîïóùåíèé, íå ââîäÿ ïðè ýòîì íèêàêèõ
äðóãèõ àêñèîì è íèêàêèõ íîâûõ äîïóùåíèé, – äî
îñòàëüíîãî åìó äåëà íåò.
§ 7. ßñíî, ÷òî ïðàêòèê, òåõíèê, êàêîâûì è äîëæåí
áûòü âñÿêèé èíæåíåð, ñìîòðèò íà äåëî ñîâåðøåííî
èíà÷å. Îí äîëæåí ðàçâèâàòü íå òîëüêî ñâîé óì, íî è
ñâîè ÷óâñòâà òàê, ÷òîáû îíè åãî íå îáìàíûâàëè; îí
äîëæåí íå òîëüêî óìåòü ñìîòðåòü, íî è âèäåòü, îí
äîëæåí óìåòü íå òîëüêî ñëóøàòü, íî è ñëûøàòü, íå
òîëüêî íþõàòü, íî è ÷óÿòü; ñâîè æå óìîçàêëþ÷åíèÿ
îí äîëæåí ñâîäèòü íå ê ðîáêîìó äåêàðòîâó «ìûñëþ –
çíà÷èò ñóùåñòâóþ», à ê òâåðäîìó, ïðàêòè÷åñêîìó: «ÿ
ýòî âèæó, ñëûøó, îñÿçàþ, ÷óþ – çíà÷èò ýòî òàê è
åñòü».
Äëÿ ãåîìåòðà ìàòåìàòèêà ñàìà ïî ñåáå åñòü êîíå÷íàÿ
öåëü, äëÿ èíæåíåðà – ýòî åñòü ñðåäñòâî, ýòî åñòü
èíñòðóìåíò òàêîé æå, êàê øòàíãåëü, çóáèëî, ðó÷íèê,
íàïèëüíèê äëÿ ñëåñàðÿ èëè ïîëóñàæåíîê, òîïîð è ïèëà
äëÿ ïëîòíèêà.
Èíæåíåð äîëæåí ïî ñâîåé ñïåöèàëüíîñòè óìåòü âëàäåòü ñâîèì èíñòðóìåíòîì, íî îí âîâñå íå äîëæåí óìåòü
åãî äåëàòü; ïëîòíèê íå äîëæåí óìåòü âûêîâàòü èëè
íàâàðèòü òîïîð, íî äîëæåí óìåòü îòëè÷èòü õîðîøèé
òîïîð îò ïëîõîãî; ñëåñàðü íå äîëæåí óìåòü ñàì íàñåêàòü íàïèëüíèê, íî äîëæåí âûáðàòü òîò íàïèëüíèê,
êîòîðûé åìó íàäî.
Òàê âîò, ãåîìåòðà, êîòîðûé ñîçäàåò íîâûå ìàòåìàòè÷åñêèå âûâîäû, ìîæíî óïîäîáèòü íåêîåìó âîîáðàæàåìîìó óíèâåðñàëüíîìó èíñòðóìåíòàëüùèêó, êîòîðûé ãîòîâèò íà ñêëàä èíñòðóìåíò íà âñÿêóþ ïîòðåáó;
îí äåëàåò âñå, íà÷èíàÿ îò êóâàëäû è êîí÷àÿ òîí÷àéøèì ìèêðîñêîïîì è òî÷íåéøèì õðîíîìåòðîì. Ãåîìåòð ñîçäàåò ìåòîäû ðåøåíèÿ âîïðîñîâ, íå òîëüêî
âîçíèêàþùèõ âñëåäñòâèå ñîâðåìåííûõ íàäîáíîñòåé,
íî è äëÿ áóäóùèõ, êîòîðûå
âîçíèêíóò, ìîæåò áûòü, çàâòðà, ìîæåò áûòü, ÷åðåç òûñÿ÷ó ëåò.
Âîîáðàçèòå æå òåïåðü èíæåíåðà, âîøåäøåãî â ýòîò ñêëàä
è æåëàþùåãî â íåì íàéòè
íóæíûé åìó èíñòðóìåíò. Îí
ïðåæäå âñåãî áóäåò ïîðàæåí
îãðîìíûì, ïîäàâëÿþùèì êîëè÷åñòâîì âñåãî íàêîïëåííîãî çà 2500 ëåò ìàòåðèàëà, åãî
èçóìèòåëüíûì ðàçíîîáðàçèåì. Ïðè áîëåå âíèìàòåëüíîì
ðàññìîòðåíèè îí çàìåòèò ñðåäè ìàññû äðóãèõ âåùåé, êàæóùèõñÿ ïðîñòûìè, è íåêîòîðûå ñëîæíåéøèå àïïàðàòû íåïîíÿòíîãî åìó íàçíà÷åíèÿ, íî
èçóìèòåëüíûå ïî îòäåëêå èõ
ìíîãî÷èñëåííûõ äåòàëåé, ïî
òùàòåëüíîé èõ ïðèãîíêå, äà ê
òîìó æå îïðàâëåííûå â ñåðåáðî è çîëîòî.
Êîðâåò «Ðûíäà»
À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ
#
Ñðåäè àïïàðàòîâ íîâåéøåãî èçãîòîâëåíèÿ îí óâèäèò
ìíîæåñòâî ïðèáîðîâ, ñëóæàùèõ äëÿ ñàìîé òî÷íîé,
ñàìîé òùàòåëüíîé îòäåëêè èçäåëèé, ò.å. ìíîæåñòâî
ðàçíûõ øàáåðîâ è øëèôîâàëüíûõ ñòàíêîâ. Çàìåòèò îí
è ìíîãî óñòàðåëîãî, âûøåäøåãî èç óïîòðåáëåíèÿ, ìåñòàìè áóäåò ïîïàäàòüñÿ è ïðîñòî ðàçíûé õëàì.
Íî âåäü èíæåíåð ïðèøåë ñþäà íå çàòåì, ÷òîáû
ëþáîâàòüñÿ íåèñ÷èñëèìûìè ñîêðîâèùàìè: íå çîëîòî è
ñåðåáðî åìó íóæíû, à áûñòðîðåæóùàÿ ñòàëü, åìó
íóæåí íå ñòîëüêî øàáåð, ñêîëüêî ãðóáàÿ îáäèðêà,
ãðóáîå íàäåæíîå çóáèëî, âåäü íå øàáåðîì æå áóäåò îí
âûáèðàòü øïóíò ó àõòåðøòåâíÿ. Ïðèñìîòðåâøèñü åùå
áëèæå, îí ñðåäè ýòîãî áåñ÷èñëåííîãî ðàçíîîáðàçèÿ
çàìåòèò ðÿä, âèäèìî, èçäàâíà ñèñòåìàòè÷åñêè ïîäîáðàííûõ àññîðòèìåíòîâ, îñòàþùèõñÿ ïî÷òè íåèçìåííûìè â òå÷åíèå 150 ëåò, ê òîìó æå êëàäîâùèê åìó
ïîäñêàæåò, ÷òî èõ òàê ÷àñòî òðåáóþò, ÷òî è íå íàïàñåøüñÿ, à çà îñòàëüíûì çàõîäÿò ëèøü çíàòîêè – ìàñòåðà è ëþáèòåëè.
Íå îòíåñòèñü ëè åìó ñ äîâåðèåì ê ýòèì, åùå èçäàâíà
âåëèêèìè ìàñòåðàìè ïîäîáðàííûì àññîðòèìåíòàì è íå
ñëåäóåò ëè åìó âîñïîëüçîâàòüñÿ ýòèìè ãîòîâûìè è
äåñÿòèëåòèÿìè, åñëè íå ñòîëåòèÿìè, èñïûòàííûìè èíñòðóìåíòàìè è íàó÷èòüñÿ èìè ïðàâèëüíî è èñêóñíî
âëàäåòü, à çàòåì óæå, êîãäà îí ñàì ñòàíåò çíàòîêîì è
ìàñòåðîì, ïîðûòüñÿ è â îñòàëüíûõ ñîêðîâèùàõ è
ïîïûòàòüñÿ èçâëå÷ü èç íèõ èìåííî òî, ÷òî åìó íàäî, íå
áðåçãóÿ è øàáåðàìè.
Òàê âîò, ýòè ñèñòåìàòè÷åñêèå àññîðòèìåíòû – ýòî òå
êóðñû, êîòîðûå âàì ÷èòàþò, è òå ðóêîâîäñòâà, èçó÷åíèå
êîòîðûõ âàì ðåêîìåíäóþò, à êëàäîâùèêè è èíñòðóìåíòàëüùèêè – ýòî òå ïðîôåññîðà è ðóêîâîäèòåëè, êîòîðûå âàñ îáó÷àþò. Ìîæåò áûòü, îíè ñàìè è íå èíæåíåðû, íî çàòî îíè õîðîøî çíàþò è õîðîøî âëàäåþò
ââåðåííûì èì èíñòðóìåíòîì, ñêëàä ñâîé îíè èçó÷èëè
è çíàþò, ãäå è ÷òî â íåì ìîæíî íàéòè.
$
ÊÂÀÍT 2013/¹3
§ 8. Îäíàêî, ÷òîáû ïðàâèëüíî âûáðàòü ãîòîâûé èëè
ïðàâèëüíî ïîäîáðàòü ñâîé àññîðòèìåíò èíñòðóìåíòîâ,
íàäî áëèæå ðàçîáðàòüñÿ â òîì äåëå, äëÿ êîòîðîãî îí
íóæåí. Äëÿ ýòîãî îïÿòü-òàêè áåãëî è â îáùèõ ÷åðòàõ
ïðîñëåäèì ðàçâèòèå êîðàáëåñòðîåíèÿ.
Î ñóäîñòðîåíèè äðåâíèõ êóëüòóðíûõ íàðîäîâ ïî÷òè
íå ñîõðàíèëîñü íèêàêèõ äàííûõ, ïî êîòîðûì èíæåíåð
ìîã áû ñîñòàâèòü ÿñíîå ïðåäñòàâëåíèå î ñóäàõ, èõ
óñòðîéñòâå, ñïîñîáàõ èõ ïðîåêòèðîâàíèÿ è ïîñòðîéêè.
Ðàññêàçû íåêîòîðûõ èñòîðèêîâ ïî áîëüøåé ÷àñòè ñâèäåòåëüñòâóþò îá èõ òåõíè÷åñêîé áåçãðàìîòíîñòè è
ëåãêîâåðèè. Ìåæäó òåì íà÷àëî ñóäîñòðîåíèÿ âîñõîäèò
çàäîëãî äî âñÿêîé ïèñüìåííîñòè è âñÿêîé èñòîðèè...
×åðòåæåé òîãäà, ïî-âèäèìîìó, íå áûëî, èëè îíè
èçãîòîâëÿëèñü íà ïîêðûòûõ âîñêîì äîùå÷êàõ èëè
âðåìåííûõ äåðåâÿííûõ ïîìîñòàõ âðîäå òåõ, êîòîðûìè
è òåïåðü ïîëüçóþòñÿ êóñòàðè ïðè ïîñòðîéêå ðå÷íûõ
áàðæ; ÿñíî, ÷òî îò ýòîãî íè÷åãî íå ñîõðàíèëîñü, äà è íå
ìîãëî ñîõðàíèòüñÿ.
Çäåñü, âèäèìî, âñå øëî ïðåèìóùåñòâåííî ÷èñòî ïðàêòè÷åñêè, ïåðåäàâàÿñü îò îòöà ê ñûíó, îò ìàñòåðà ê
ó÷åíèêó, à íå êàê íàóêà.
Äàæå îñíîâíîé çàêîí î ðàâíîâåñèè ïëàâàþùèõ òåë,
äàííûé Àðõèìåäîì çà 250 ëåò äî í.ý., áûë âïåðâûå
ïðèìåíåí ê äåëó ñóäîñòðîåíèÿ ëèøü â 1660-õ ãîäàõ
Àíòîíèåì Äèíîì â Àíãëèè, êîãäà â íåé óæå áûë
Íüþòîí, ìàòåìàòè÷åñêèé ãåíèé êîòîðîãî ïî÷èòàåòñÿ
îäèíàêîâûì ñ ãåíèåì Àðõèìåäà.
Íî çäåñü ïðèõîäèòñÿ çàìåòèòü, ÷òî, ñóäÿ ïî íàéäåííîìó îêîëî Òóíèñà, âáëèçè òîãî ìåñòà, ãäå áûë äðåâíèé
Êàðôàãåí, çàòîíóâøåìó ñóäíó, ãðóæåííîìó â÷åðíå
îòäåëàííûìè ñòàòóÿìè, íà êîòîðîì ñîõðàíèëàñü êîïèÿ
òîãî äîêóìåíòà, ÷òî òåïåðü íàçûâàþò «÷àðòåð ïàðòèåé», âèäíî, ÷òî è òîãäà, ò.å. ïðèìåðíî 2000 ëåò òîìó
íàçàä, ýòîò äîêóìåíò ñîñòàâëÿëñÿ ïî÷òè â òåõ æå
âûðàæåíèÿõ, êàê è òåïåðü, òàêæå ïðåäóñìàòðèâàëèñü
ñëó÷àè «íåïðåîäîëèìûõ ñèë», äà ïðèòîì åùå è øêèïåð
êëÿëñÿ «Çåâñîì è âñåìè áîãàìè Îëèìïà õðàíèòü óñëîâèÿ ÷àðòåðà ñâÿòî è íåðóøèìî è äîáàâî÷íîãî ãðóçà íà
ñâîå ñóäíî íå ïðèíèìàòü». Çíà÷èò, ïðàêòèêà ìîðåïëàâàíèÿ è òîãäà ñîçíàâàëà çíà÷åíèå íàäâîäíîãî áîðòà,
õîòÿ åäâà ëè çíàëà çàêîí Àðõèìåäà.
Ïåðâûå ðóêîâîäñòâà ïî «Òåîðèè êîðàáëÿ» ïîÿâèëèñü
â 1740-õ ãîäàõ. Â íèõ âïåðâûå áûëî óñòàíîâëåíî
ó÷åíèå îá îñòîé÷èâîñòè êîðàáëÿ.
 íà÷àëå 1800-õ ãîäîâ… áûëè óñâîåíû ïîëüçà è
íåîáõîäèìîñòü äèàãîíàëüíûõ ñâÿçåé, ïðèäàâàâøèõ êðåïîñòü è íåèçìåíÿåìîñòü ñóäîâîìó áîðòó; äà è òî òåîðèÿ
ýòîãî äåëà áûëà îáîñíîâàíà ôèçèêîì Þíãîì.
 1840-õ ãîäàõ íà÷àëàñü ïîñòðîéêà æåëåçíûõ ïàðîâûõ ñóäîâ; îíà ñòàëà áûñòðî ðàçâèâàòüñÿ, íî çäåñü
äîâîëüíî äîëãîå âðåìÿ (îêîëî 30 ëåò) øëè îùóïüþ è
ñîõðàíÿëè íå òîëüêî íåíóæíîå, íî äàæå âðåäíîå íàñëåäèå äåðåâÿííîãî ñóäîñòðîåíèÿ, âðîäå òîëñòîãî, íà
ðåáðî ïîñòàâëåííîãî ïîëîñîâîãî êèëÿ.
Ëèøü â 1870 ã. Ðèä äàë äî ñèõ ïîð ñîõðàíèâøèåñÿ
ïðàêòè÷åñêèå ïðèåìû âû÷èñëåíèÿ îñòîé÷èâîñòè êîðàáëÿ íà áîëüøèõ íàêëîíåíèÿõ è ðàñ÷åòû íàïðÿæåíèé,
âîçíèêàþùèõ â ñâÿçÿõ êîðàáëÿ íà âîëíåíèè.
Ñòàëü â ñóäîñòðîåíèå ââåäåíà ñ íà÷àëà 1800-õ ãîäîâ.
Óòî÷íåíèå ðàñ÷åòîâ êîðàáëÿ êàê öåëîãî ñîîðóæåíèÿ,
à òàêæå åãî âàæíåéøèõ äåòàëåé ñîçäàíî òðóäàìè
È.Ã.Áóáíîâà, Ï.Ô.Ïàïêîâè÷à, Þ.À.Øèìàíñêîãî, êîòîðûõ ÿ ïî÷èòàþ çà ÷åñòü ñ÷èòàòü â ÷èñëå ìîèõ ó÷åíèêîâ.
Îòñþäà âû âèäèòå, íàñêîëüêî ìîëîäî äåéñòâèòåëüíî
íàó÷íîå èçó÷åíèå êîðàáëÿ, åãî êîíñòðóêöèè, åãî ìîðåõîäíûõ êà÷åñòâ ïî ñðàâíåíèþ ñ òåìè íåèñ÷èñëèìûìè
ñòîëåòèÿìè, â òå÷åíèå êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ñóäîñòðîåíèå è ìîðåïëàâàíèå, è íàñêîëüêî çäåñü ïðàêòèêà ïðåäøåñòâîâàëà òåîðèè.
§ 9. Ïîñòàðàåìñÿ òåïåðü óñòàíîâèòü â îáùèõ ÷åðòàõ
òîò ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, êîòîðûì äîëæåí ðàñïîëàãàòü êîðàáåëüíûé èíæåíåð, ÷òîáû âïîëíå ñîçíàòåëüíî ðàññ÷èòûâàòü ïðîåêòèðóåìûé èì êîðàáëü, è
ïðèòîì âîåííûé, êàê íàèáîëåå ñëîæíûé, ïðè÷åì èíæåíåð íèêàêèìè ïðàâèëàìè íè Ëëîéäà, íè Ðåãèñòðà íå
ñòåñíåí.
Ïîä ñëîâîì «ñîçíàòåëüíî» áóäåì ðàçóìåòü, ÷òî èíæåíåð õîòÿ è áóäåò ïðèìåíÿòü ãîòîâûå è äàâíî ðàçðàáîòàííûå ìåòîäû, íî îí âïîëíå îâëàäååò òåìè îòäåëàìè
ìàòåìàòèêè, íà êîòîðûõ ýòè ìåòîäû îñíîâàíû, è,
çíà÷èò, ìîæåò âïîëíå ÿñíî ñóäèòü îá èõ ïðèìåíèìîñòè
è óñëîâèÿõ åå.
Íà÷íåì ñ òåîðèè êîðàáëÿ.
Ðàñ÷åò ïëàâó÷åñòè è îñòîé÷èâîñòè òðåáóåò ïðèìåíåíèÿ íà÷àë èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ
ïëîùàäåé è îáúåìîâ, ïîëîæåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè è
ïðî÷. Ïðè÷åì âñå ýòî âûðàæàåòñÿ ïðîñòûìè, à íå
êðàòíûìè èíòåãðàëàìè, èñ÷èñëÿåìûìè ïî ïðèáëèæåííûì ôîðìóëàì êâàäðàòóð.
Âû÷èñëåíèå îñòîé÷èâîñòè, êðîìå òîãî, òðåáóåò îò÷åòëèâîãî ïîíÿòèÿ î êðèâèçíå è ýâîëþòå è ñâÿçè ìåæäó
êîîðäèíàòàìè òî÷åê ýâîëþòû è ýâîëüâåíòû. Èññëåäîâàíèå âëèÿíèÿ ïîâðåæäåíèé íà ïîñàäêó è îñòîé÷èâîñòü
êîðàáëÿ òðåáóåò äëÿ ïîëíîé îò÷åòëèâîñòè çíàíèÿ ñâîéñòâ
ìîìåíòîâ èíåðöèè ïëîñêîé ôèãóðû è îïðåäåëåíèÿ
ïîëîæåíèÿ åå ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè.
Ðàñ÷åò êà÷êè íà âîëíåíèè òðåáóåò çíàíèÿ îñíîâ
ãèäðîäèíàìèêè è òåîðèè «ìàëûõ» êîëåáàíèé òâåðäîãî
òåëà, êàê ñâîáîäíûõ, òàê è âûíóæäåííûõ, ò.å. èíòåãðèðîâàíèÿ ñîâîêóïíûõ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Åñëè êîðàáëü ïðåäïîëîæåíî ñíàáäèòü óñïîêîèòåëÿìè êà÷êè â âèäå öèñòåðí, òî íàäî èìåòü åùå íåêîòîðûå
ñâåäåíèÿ èç ãèäðîäèíàìèêè, à åñëè óñïîêîèòåëü äîëæåí áûòü ãèðîñêîïè÷åñêèì, òî òðåáóåòñÿ áîëåå óãëóáëåííîå çíàíèå äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà.
Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èíæåíåð íå áóäåò
ðàññ÷èòûâàòü òåîðåòè÷åñêè «ïðèâåäåííîé ìàññû» óâëåêàåìîé êîðàáëåì âîäû ïðè êà÷àíèÿõ åãî, à âîñïîëüçóåòñÿ èìåþùèìèñÿ íà ýòîò ñ÷åò îïûòíûìè äàííûìè,
èáî òàêîé ðàñ÷åò ïîòðåáîâàë áû òàêèõ ñâåäåíèé èç
ãèäðîäèíàìèêè, íà ñîîáùåíèå êîòîðûõ â êóðñå íå
õâàòèëî áû âðåìåíè, åñëè íå ðàçâèâàòü ýòîò îòäåë â
óùåðá äðóãèì, áîëåå ïðîñòûì, íî çàòî áîëåå îáèõîäíûì.
Õîäêîñòü èëè òðåáóåò åùå áîëåå óãëóáëåííîãî çíàíèÿ
ãèäðîäèíàìèêè è èçó÷åíèÿ ñèñòåìû âîëí, îáðàçóåìûõ
ïðè äâèæåíèè êîðàáëÿ, èëè æå íàäî îãðàíè÷èòüñÿ
Ê
150-ËÅÒÈÞ
ïðèìåíåíèåì ýìïèðè÷åñêèõ ôîðìóë è ðåçóëüòàòîâ
èñïûòàíèÿ ïîäîáíûõ ñóäîâ è ìîäåëåé...
Ïîâîðîòëèâîñòü ïëîõî ïîääàåòñÿ ó÷åòó, è ñóæäåíèå
î íåé îñíîâûâàþò íà ñóùåñòâóþùåé ïðàêòèêå è ðåçóëüòàòàõ èñïûòàíèÿ ñóäîâ, ïîäõîäÿùèõ ïî òèïó ê ïðîåêòèðóåìîìó.
Èòàê, ïîëîæèì, ÷òî ýëåìåíòû êîðàáëÿ è âñå, ÷òî
îòíîñèòñÿ ê ìîðåõîäíûì åãî êà÷åñòâàì, óñòàíîâëåíî è
ðàññ÷èòàíî; òîãäà èäåò âòîðîé âîïðîñ, ãäå íà ïåðâûé
ïëàí âûñòóïàåò ñòðîèòåëüíàÿ ìåõàíèêà êîðàáëÿ, ñîãëàñíî îñíîâàíèÿì êîòîðîé íàäî ïðîèçâåñòè ðàñ÷åòû
ïðî÷íîñòè êîðàáëÿ êàê öåëîãî ñîîðóæåíèÿ è ðàñ÷åòû
ïðî÷íîñòè âñåõ äåòàëåé è îòäåëüíûõ óñòðîéñòâ åãî.
Çäåñü òðåáóåòñÿ ãîðàçäî áîëåå ñëîæíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, íåæåëè äëÿ òåîðèè êîðàáëÿ, èáî ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ èçãèáîì è ñæàòèåì ïëàñòèí è
óñòîé÷èâîñòüþ èõ, à äëÿ ýòîãî òðåáóþòñÿ îñíîâàòåëüíûå
ïîçíàíèÿ òåîðèè óïðóãîñòè, à ñëåäîâàòåëüíî, è âåñü
íåîáõîäèìûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ñ áèãàðìîíè÷åñêèì óðàâíåíèåì, ó÷åíèåì î ðÿäàõ, ïîäîáíûõ ðÿäàì
Ôóðüå, è ïðèòîì íå òîëüêî ïðîñòûõ, íî è äâîéíûõ.
Çàòåì âîçíèêíóò âîïðîñû î ïîäêðåïëåíèÿõ ïîä îðóäèÿìè èëè áàøíÿìè è î äåéñòâèè íà íèõ âûñòðåëà, ò.å.
ñèë «ìàëîé» ïðîäîëæèòåëüíîñòè, è ðàññìîòðåíèå âîïðîñà î òîì, ñ÷èòàòü ëè ýòî äåéñòâèå «ñòàòè÷åñêèì» èëè
«äèíàìè÷åñêèì». Ýòî ñâÿçàíî ñ èçó÷åíèåì êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ óïðóãèõ ñèñòåì, ÷òî òðåáóåò åùå áîëåå
ñëîæíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, íåæåëè âîïðîñ î
âèáðàöèè âñåãî êîðàáëÿ, è ñ ó÷åíèåì î ôóíäàìåíòàëüíûõ ôóíêöèÿõ è õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ÷èñëàõ. Âìåñòå ñ
òåì çäåñü íåîáõîäèìî ñòîëü æå îò÷åòëèâîå çíàíèå è
óìåíèå ÷èñëåííî èíòåãðèðîâàòü äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ, ìåæäó òåì êàê äëÿ ó÷åíèÿ î ïëàâó÷åñòè è
îñòîé÷èâîñòè òðåáóåòñÿ óìåíüå ïðèáëèæåííî ïðîèçâîäèòü êâàäðàòóðû.
Êàê òîëüêî áóäåò óñòàíîâëåíî, ÷òó èìåííî îò êîðàáåëüíîãî èíæåíåðà òðåáóåòñÿ ïî åãî ñïåöèàëüíîñòè,
òàê ñåé÷àñ æå óñòàíàâëèâàåòñÿ è ñîîòâåòñòâóþùèé
îáúåì çíàíèé èç àíàëèçà è ìåõàíèêè. Íî çäåñü íàäî
òùàòåëüíî çàáîòèòüñÿ î òîì, ÷òîáû íå ââîäèòü ëèøíèõ
òðåáîâàíèé; âåäü îòòîãî ÷òî âåðõíÿÿ ïàëóáà ïîêðûâàåòñÿ äåðåâÿííûì íàñòèëîì, íåëüçÿ æå òðåáîâàòü èçó÷åíèÿ áîòàíèêè, èëè îòòîãî ÷òî â êàþò-êîìïàíèè äèâàí
îáèò êîæåé, íåëüçÿ òðåáîâàòü èçó÷åíèÿ çîîëîãèè; òàê è
çäåñü, åñëè ïðè ðàññìîòðåíèè êàêîãî-òî ÷àñòíîãî âîïðîñà âñòðå÷àåòñÿ íåêîòîðàÿ ôîðìóëà, òî ãîðàçäî ëó÷øå
ïðèâåñòè åå áåç äîêàçàòåëüñòâà, à íå ââîäèòü â êóðñ
öåëûé îòäåë ìàòåìàòèêè, ÷òîáû äàòü ïîëíûé âûâîä
ýòîé åäèíè÷íîé ôîðìóëû...
Ïðè èçó÷åíèè àíàëèçà è ìåõàíèêè è ïîäñîáíûõ
îòäåëîâ èç àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è âûñøåé àëãåáðû
äîëæíû ñîáëþäàòüñÿ îïðåäåëåííàÿ ïîñòåïåííîñòü è
ïîëíîòà; ìíîãîå ìîæåò êàçàòüñÿ èçëèøíèì è íåïîñðåäñòâåííûõ ïðèëîæåíèé íå èìåþùèì, íî îíî íóæíî äëÿ
ÿñíîãî óñâîåíèÿ äàëüíåéøåãî è íå ìîæåò áûòü ïðîïóùåíî ïîäîáíî ñêó÷íîé ãëàâå ðîìàíà.
Çäåñü áûëî áû ñëèøêîì äîëãî è íåóìåñòíî ïåðå÷èñëÿòü íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ, ò.å. êàê áû ñîñòàâëÿòü
ó÷åáíûé ïëàí; äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü åãî ïðèíöèïû:
ñîîòâåòñòâåííî òîé ïîäãîòîâêå, êîòîðóþ èíæåíåð
À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ
%
äîëæåí ïîëó÷èòü ïî ñâîåé ñïåöèàëüíîñòè, óñòàíàâëèâàåòñÿ îáúåì åãî ïîçíàíèé ïî ïðèêëàäíûì ïðåäìåòàì,
ò.å. òåîðèè êîðàáëÿ, ñòðîèòåëüíîé ìåõàíèêå êîðàáëÿ ñî âêëþ÷åíèåì òåîðèè óïðóãîñòè (åñëè íàäî) è
ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ; êàê òîëüêî îáúåì ïðèêëàäíûõ ïðåäìåòîâ îïðåäåëåí, òàê îïðåäåëÿåòñÿ è
ñîîòâåòñòâóþùèé îáúåì ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîçíàíèé.
×òî êàñàåòñÿ ñàìîãî ïðåïîäàâàíèÿ èõ è îòâîäèìîãî
èì ìåñòà, òî ìîæåò áûòü äâà âçãëÿäà: èëè âñå ìàòåìàòè÷åñêîå îòíîñèòü ê êóðñó ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè,
èëè æå ê ýòèì êóðñàì îòíîñèòü òîëüêî òå îáùèå
ïîçíàíèÿ, êîòîðûå âõîäÿò â íåñêîëüêî, ïî êðàéíåé
ìåðå â äâà, ïðèêëàäíûõ ñïåöèàëüíûõ ïðåäìåòà, à òå
îòäåëû, êîòîðûå âõîäÿò òîëüêî â îäèí ïðåäìåò, îòíîñèòü ê ââåäåíèþ â ýòîò ïðåäìåò èëè ê ñîîòâåòñòâóþùåé ãëàâå åãî.
Ïî ñóòè äåëà ýòî ðàñïðåäåëåíèå â êîíöå êîíöîâ
ýêâèâàëåíòíî. Ãîðàçäî âàæíåå ðåøåíèå äðóãîãî âîïðîñà, à èìåííî: åñòü ëè íåîáõîäèìîñòü îò êàæäîãî êîðàáåëüíîãî èíæåíåðà òðåáîâàòü âñå â ïîëíîì îáúåìå,
ñîâåðøåííî äëÿ âñåõ îäíîîáðàçíîì.
Âåäü äåÿòåëüíîñòü èíæåíåðà âåñüìà ðàçíîîáðàçíà.
Îäèí èíæåíåð ðàáîòàåò è ïðåäíàçíà÷àåò ñåáÿ ê ðàáîòå
â êîíñòðóêòîðñêîì áþðî, äðóãîé áîëåå ñêëîíåí ê
ðàáîòå íà ïðîèçâîäñòâå, ê ðàáîòå â öåõå. Îäíè èíæåíåðû èìåþò â âèäó ðàáîòàòü ñïåöèàëüíî ïî êîììåð÷åñêîìó ñóäîñòðîåíèþ, äðóãèå – ïî âîåííîìó.
Äîëæíà ëè øêîëà äàâàòü êàê áû çàêîí÷åííóþ ïîäãîòîâêó, èëè îíà äîëæíà äàâàòü òîëüêî òå ïðèíöèïèàëüíûå îñíîâû, íà êîòîðûõ èíæåíåð íà ñàìîé ñëóæáå
áóäåò âäóì÷èâîé ïðàêòèêîé ñîâåðøåíñòâîâàòüñÿ, íåïðåðûâíî ïîâûøàÿ ñâîþ êâàëèôèêàöèþ, íàó÷íóþ è
òåõíè÷åñêóþ, ê ÷åìó òåïåðü ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñòîëüêî
âîçìîæíîñòåé? Íàäî ïîìíèòü àôîðèçì Êîçüìû Ïðóòêîâà: «Íåëüçÿ îáúÿòü íåîáúÿòíîå».
Íàäî ëè âñåõ ïîäãîíÿòü ïîä îäèí øàáëîí, èëè íàäî
è â ñàìîé âûñøåé øêîëå ñ÷èòàòüñÿ ñ èíäèâèäóàëüíûìè
ñïîñîáíîñòÿìè åñëè íå êàæäîãî ó÷àùåãîñÿ, òî ãëàâíûõ
ãðóïï ó÷àùèõñÿ? Íå ïðàâèëüíåå ëè áóäåò, åñëè äëÿ
êàæäîé òàêîé ãðóïïû óñòàíîâèòü ìèíèìàëüíîå òðåáîâàíèå ïî îäíèì ïðåäìåòàì, íî çàòî ìàêñèìàëüíîå – ïî
äðóãèì? Ïîñòàíîâêà êóðñà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè
áóäåò òîãäà èíàÿ, íåæåëè â ïåðâîì ñëó÷àå; êóðñ ñàì
ñîáîþ ðàçîáüåòñÿ íà ìèíèìàëüíûé, îáùèé äëÿ âñåõ
ãðóïï, è íà îòäåëüíûå äîïîëíèòåëüíûå êóðñû, êîòîðûå
ÿâÿòñÿ îáÿçàòåëüíûìè äëÿ ãðóïï, ñîîòâåòñòâåííî ñïåöèàëèçèðîâàâøèõñÿ.
Ìíå ëè÷íî äóìàåòñÿ, ÷òî ýòà ïîñëåäíÿÿ ñèñòåìà áóäåò
áîëåå ðàöèîíàëüíà, íåæåëè ñèñòåìà îãóëüíîãî îáó÷åíèÿ âñåõ è êàæäîãî îäíîìó è òîìó æå, íå ñ÷èòàÿñü ñ åãî
ñêëîííîñòüþ.
§ 10. Ñêàæó íåñêîëüêî ñëîâ î ñàìîì õàðàêòåðå
ïîñòàíîâêè ïðåïîäàâàíèÿ è ñàìîãî êóðñà ìàòåìàòèêè è
ìåõàíèêè äëÿ èíæåíåðîâ.
Âûøå óæå áûëà îòìå÷åíà ðàçíèöà âçãëÿäîâ íà ìàòåìàòèêó ãåîìåòðà è èíæåíåðà. Ñîîòâåòñòâåííî ýòîé
ðàçíèöå äîëæåí áûòü ïîñòàâëåí è êóðñ.
Äëÿ ãåîìåòðà, êîòîðûé äîëæåí âïîñëåäñòâèè ñîçäàâàòü íîâûå ìåòîäû â ìàòåìàòèêå èëè íîâûå ìåòîäû
ðåøåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ âîïðîñîâ, à çíà÷èò, è äîëæ-
&
ÊÂÀÍT 2013/¹3
íûì îáðàçîì ýòè ìåòîäû îáîñíîâûâàòü, ïîëíàÿ è
áåçóêîðèçíåííàÿ ñòðîãîñòü áåçóñëîâíî íåîáõîäèìà.
Äëÿ èíæåíåðà, êîòîðîìó ãëàâíûì îáðàçîì ïðèäåòñÿ
ýòè ìåòîäû ïðèëàãàòü ê ðåøåíèþ êîíêðåòíûõ âîïðîñîâ
â óçêîé îáëàñòè åãî ñïåöèàëüíîñòè, òàêàÿ âñåîáúåìëþùàÿ ñòðîãîñòü ÿâëÿåòñÿ áåñöåëüíîé. Íà èíæåíåðà ýòè
ñòðîãèå, ëèøåííûå íàãëÿäíîñòè äîêàçàòåëüñòâà è ðàññóæäåíèÿ íàâîäÿò òîñêó è óíûíèå, îí âèäèò â íèõ
òîïòàíèå íà ìåñòå, æåâàíèå æâà÷êè, ñòðåìëåíèå äîêàçûâàòü î÷åâèäíîå, ÷òî äàâíî èì ïîíÿòî è ÷òî åìó äî
äîêàçàòåëüñòâà êàæåòñÿ áîëåå ÿñíûì è ïîíÿòíûì,
íåæåëè ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà.
Ãåîìåòð îáûêíîâåííî ìàëî öåíèò âû÷èñëèòåëüíûå
ïðîöåññû, îñîáåííî äîâåäåíèå èõ äî êîíöà, ò.å. äî
÷èñëåííîãî ðåçóëüòàòà, âû÷èñëÿåìîãî ñ çàäàííîé íàïåðåä, îáûêíîâåííî íåáîëüøîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè; èíæåíåð æå ñìîòðèò íà äåëî êàê ðàç îáðàòíî: â ðåøåíèè
âû÷èñëåíèåì êîíêðåòíî ïîñòàâëåííîãî âîïðîñà îí âèäèò è öåíèò èìåííî ïðèêëàäíóþ ñòîðîíó, óñìàòðèâàÿ
â íåé ïðèìåð òîãî, êàê íàäî ïîñòóïàòü â àíàëîãè÷íîì
ñëó÷àå â ïðåäñòîÿùåé åìó ïðàêòèêå.
§ 11. Ìîëîäûå èíæåíåðû ÷àñòî ñêëîííû îòíîñèòüñÿ
ñ ñâîåãî ðîäà ïðåíåáðåæåíèåì «ê ðàçíîãî ðîäà ïðàâèëàì Ëëîéäîâ è Ðåãèñòðîâ», ñ÷èòàÿ, ÷òî ýòè ïðàâèëà
ñîñòàâëåíû ïî ïðèíöèïó «íàçíà÷ü ðàçìåð, ñêàæåì
òîëùèíó, íà ãëàç äà ÷åòâåðòü äþéìà ïðèáàâü».
Íà ñàìîì æå äåëå ýòî äàëåêî íå òàê. Âîçüìåì äëÿ
ïðèìåðà àíãëèéñêèé Ëëîéä. Îí ñóùåñòâóåò êàê êëàññèôèêàöèîííîå îáùåñòâî, ò.å. íàáëþäàþùåå çà íàäëåæàùåé ïðî÷íîñòüþ êîðàáëÿ è åãî ñíàáæåíèÿ êàê âî
âðåìÿ ïîñòðîéêè, òàê è âî âðåìÿ ñëóæáû, ñòî ëåò. Âñå
ñëó÷àè ïîâðåæäåíèÿ ñóäîâ îñìàòðèâàþòñÿ åãî èíñïåêòîðàìè, ðàññåÿííûìè ïî ïîðòàì âñåãî ìèðà, è äîâîäÿòñÿ äî ñâåäåíèÿ ãëàâíîé ëîíäîíñêîé êîíòîðû Îáùåñòâà,
â êîòîðîé ðàáîòàþò îïûòíåéøèå èíæåíåðû ñ îáøèðíîé
ïðàêòèêîé è øèðîêèì íàó÷íûì îáðàçîâàíèåì.
Ñåé÷àñ â ñïèñêàõ àíãëèéñêîãî Ëëîéäà íàõîäèòñÿ
îêîëî 35 òûñÿ÷ ïàðîõîäîâ âñåõ íàöèé; îòñþäà ìîæíî
çàêëþ÷èòü, êàêîé îãðîìíûé ìàòåðèàë è êàêîå áîãàòñòâî îïûòíûõ äàííûõ è «ñëó÷àåâ» íàêîïëÿåòñÿ â åãî
ãëàâíîé êîíòîðå.
Ïðàâèëà Ëëîéäà íå ÿâëÿþòñÿ íåèçìåííûìè, îíè
ïîñòîÿííî ñîâåðøåíñòâóþòñÿ íà îñíîâàíèè äåéñòâèòåëüíîãî îïûòà ïëàâàíèÿ ñóäîâ è àíàëèçà àâàðèé èëè
ïîâðåæäåíèé, èìè ïîíåñåííûõ. Áîëåå òîãî, ïðåäîñòàâëåíî îòñòóïàòü îò áóêâû ýòèõ ïðàâèë, ïîäòâåðæäàÿ
îòñòóïëåíèå ðàñ÷åòàìè, ïðåäñòàâëÿåìûìè íà ïðîñìîòð
è îäîáðåíèå ãëàâíîé êîíòîðû, â êîòîðîé òàêèì îáðàçîì
ãðóïïèðóåòñÿ è ýòîò îïûò, âåäóùèé ê ïîñòîÿííîìó
ñîâåðøåíñòâîâàíèþ ïðàâèë. Ââèäó ýòîãî ïðàâèëà ïåðèîäè÷åñêè ïåðåèçäàþòñÿ, ïðè÷åì â íèõ âíîñÿòñÿ ñóùåñòâåííûå èçìåíåíèÿ, ïîëüçà êîòîðûõ îïðàâäàëàñü
ïðàêòèêîé; ïîýòîìó ïðàâèëà ýòè çàñëóæèâàþò âíèìàòåëüíîãî è âäóì÷èâîãî èçó÷åíèÿ.
§ 12. Çíàìåíèòûé àíãëèéñêèé íàòóðàëèñò Ãåêñëè ëåò
70 òîìó íàçàä ñêàçàë: «Ìàòåìàòèêà, ïîäîáíî æåðíîâó,
ïåðåìàëûâàåò ëèøü òî, ÷òî ïîä íåãî çàñûïàþò». Âû
âèäåëè, ÷òî â ñòðîãîé «åâêëèäîâîé» ìàòåìàòèêå ýòà
çàñûïêà ñîñòîèò èç òàêèõ àêñèîì è ïîñòóëàòîâ, â
ñïðàâåäëèâîñòè êîòîðûõ èíæåíåð óñîìíèòüñÿ íå ìî-
æåò, à òàê êàê ëèøü ýòè àêñèîìû è ïîñòóëàòû «ïåðåìàëûâàþòñÿ» áåç äîáàâëåíèÿ íîâûõ (à åñëè ÷òî äîáàâëÿåòñÿ, òî äîëæíî áûòü òî÷íî è ÿñíî óêàçàíî), òî
èíæåíåð è ïðèäàåò òàêóþ âåðó ìàòåìàòè÷åñêîìó äîêàçàòåëüñòâó.
Íî çäåñü íåîáõîäèìî ïîñòîÿííî èìåòü â âèäó ñëåäóþùåå îáñòîÿòåëüñòâî: êîãäà êîíêðåòíûé âîïðîñ ïðèâîäèòñÿ ê âîïðîñó ìàòåìàòè÷åñêîìó, òî âñåãäà ïðèõîäèòñÿ äåëàòü ðÿä äîïóùåíèé, èáî ìàòåìàòèêà âìåñòå ñ
ìåõàíèêîé îïåðèðóþò íàä îáúåêòàìè èäåàëüíûìè, ëèøü
áîëåå èëè ìåíåå áëèçêèìè ê îáúåêòàì ðåàëüíûì, ê
êîòîðûì èíæåíåð áóäåò ïðèëàãàòü ïîëó÷åííûå ìàòåìàòè÷åñêèå âûâîäû. ßñíî, ÷òî ñêîëüêî áû íè áûëî òî÷íî
ìàòåìàòè÷åñêîå ðåøåíèå, îíî íå ìîæåò áûòü òî÷íåå òåõ
ïðèáëèæåííûõ ïðåäïîñûëîê, íà êîèõ îíî îñíîâàíî.
Îá ýòîì ÷àñòî çàáûâàþò, äåëàþò âíà÷àëå êàêîå-íèáóäü
ãðóáîå ïðèáëèæåííîå ïðåäïîëîæåíèå èëè äîïóùåíèå,
÷àñòî äàæå íå îãîâîðèâ òàêîâîå, à çàòåì ïðèäàþò
ïîëó÷åííîé ôîðìóëå ãîðàçäî áîëüøåå äîâåðèå, íåæåëè
îíà çàñëóæèâàåò, è ýòî ïîòîìó, ÷òî åå âûâîä ñëîæíûé.
§ 13.  î÷åðêå î Ï.À.Òèòîâå 1 óêàçàíî, ÷òî èíæåíåð
äîëæåí íåïðåñòàííî íàêîïëÿòü ïðàêòè÷åñêèé îïûò, îí
äîëæåí âûðàáîòàòü ñâîé ãëàçîìåð è ñðàçó âèäåòü,
âåðåí ëè ðåçóëüòàò ðàñ÷åòà, èëè íåò. À âîò äðóãîé
ïðèìåð. Çíàìåíèòûé èòàëüÿíñêèé ìàòåìàòèê Òóëëèî
Ëåâè ×èâèòà, ìåæäó ïðî÷èì ñîñòàâèâøèé ïðåâîñõîäíûé êóðñ ìåõàíèêè, ïðî÷åë ãîäà òðè òîìó íàçàä â Âåíå,
ïî ïðèãëàøåíèþ Àâñòðèéñêîãî îáùåñòâà èíæåíåðîâ,
äîêëàä «Î äèíàìè÷åñêîé íàãðóçêå óïðóãèõ ñèñòåì».
Èçÿùíåéøèìè ñ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòîðîíû âûâîäàìè
îí óñòàíîâèë íåêîòîðûé îáùèé êðèòåðèé, êîòîðûì
îïðåäåëÿåòñÿ âåðõíèé ïðåäåë äèíàìè÷åñêîé íàãðóçêè,
ò.å. òàêîå çíà÷åíèå åå, êîòîðîãî îíà ïðè äàííûõ
îáñòîÿòåëüñòâàõ ïðåâçîéòè íå ìîæåò.
 ôîðìóëû Ëåâè ×èâèòà âõîäèò ïðîäîëæèòåëüíîñòü
äåéñòâèÿ íàãðóçêè, ïîýòîìó, íàïðèìåð, ïîëó÷èëîñü,
÷òî ïðè ïðîõîäå ïîåçäà ïî ìîñòó äèíàìè÷åñêàÿ íàãðóçêà òåì áîëüøå, ÷åì ñêîðîñòü õîäà ïîåçäà ìåíüøå.
Êàê ïðàâîâåðíûé ìàòåìàòèê îí âåðèò ñâîåé ôîðìóëå
áîëüøå, íåæåëè ãëàçó è çäðàâîìó ñìûñëó, è íå âèäèò
â íåé íàãëÿäíîé íåñîîáðàçíîñòè. Ìàòåìàòè÷åñêè åãî
ôîðìóëà âåðíà, íî îíà äàåò ñëèøêîì áîëüøîå çíà÷åíèå
ñêàçàííîãî âåðõíåãî ïðåäåëà, íå èìåþùåå ïðàêòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ.
Âîçüìåì äëÿ ïðèìåðà çíàìåíèòûé ìîñò «Áðèòàíèÿ»,
ïîñòðîåííûé â 1848 ã. Ïðîëåòû ýòîãî ìîñòà èìåþò
äëèíó îêîëî 450 ôóòîâ, ñå÷åíèå ìîñòà êîðîá÷àòîå, ñî
ñïëîøíûìè áîêîâûìè ñòåíêàìè è ñî ñïëîøíûìè, è
ïðèòîì äâîéíûìè, âåðõíåþ è íèæíåþ ïàíåëÿìè, òàê
÷òî êàæäûé ïðîëåò èìååò àíàëîãèþ ñ êîðàáëåì. Òàê
âîò, ïî ôîðìóëå Ëåâè ×èâèòà ïðè ïðîõîäå ïî ýòîìó
ìîñòó òîâàðíîãî ïîåçäà, èäóùåãî ñàìûì ìàëûì õîäîì,
âåðõíèé ïðåäåë äèíàìè÷åñêîé íàãðóçêè ïîëó÷àåòñÿ
3000 ò íà ïîãîííûé ôóò, ò.å. 1350000 ò íà âåñü ïðîëåò.
Íà ñàìîì æå äåëå âåðõíèé ïðåäåë ýòîé íàãðóçêè åñòü
3 ò íà ïîãîííûé ôóò, ò.å. 1350 ò íà âåñü ïðîëåò. Íà ýòó
íàãðóçêó îí è ðàññ÷èòàí åãî çíàìåíèòûìè ñòðîèòåëÿìè
1
Ñì. ñëåäóþùóþ ñòàòüþ. (Ïðèì. ðåä.)
Ê
150-ËÅÒÈÞ
Ôåðáåðíîì è Ñòåôåíñîíîì, è ñòîèò îí ñ 1848 ã.
íåçûáëåìî, ïðîïóñòèâ ìèëëèîíû ïîåçäîâ ñ áîëüøèìè
è ìàëûìè õîäàìè.
Êîíå÷íî, 3000 ò áîëüøå 3 ò, ôîðìóëà Ëåâè ×èâèòà
âåðíà, à êàêîé â íåé òîëê?
Âñÿêèé èíæåíåð çàìåòèë áû ïðàêòè÷åñêóþ íåïðèãîäíîñòü ôîðìóëû è, îáðàòèâøèñü ê ïðåäïîñûëêàì, ñäåëàííûì ïðè åå âûâîäå, ëåãêî óâèäåë áû íåñîîòâåòñòâèå
äåéñòâèòåëüíîñòè, à çíàìåíèòûé ìàòåìàòèê, ïðèâûêøèé ñî âñåþ «åâêëèäîâîé» ñòðîãîñòüþ ïåðåìàëûâàòü
Êîðàáåëüíûé
èíæåíåð-ñàìîó÷êà
À.ÊÐÛËÎÂ
Â
1894 Ã. ÂÍÅÇÀÏÍÎ ÑÊÎÍ×ÀËÑß ÎÄÈÍ ÈÇ ÑÀÌÛÕ ÇÀÌÅ-
÷àòåëüíûõ ðóññêèõ êîðàáåëüíûõ èíæåíåðî⠖ Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ Òèòîâ, ïàìÿòè êîòîðîãî ÿ è õî÷ó ïîñâÿòèòü ýòè
ñòðîêè.
Îòåö Ïåòðà Àêèíäèíîâè÷à áûë ðîäîì ðÿçàíñêèé êðåñòüÿíèí è ñëóæèë ìàøèíèñòîì íà ïàðîõîäàõ Ïåòðîçàâîäñêîé
ëèíèè. Êîãäà ñûíó ìèíóëî 12 ëåò, îí ñòàë áðàòü åãî íà ëåòî
ê ñåáå íà ïàðîõîä ïîäðó÷íûì â ìàøèíó, à íà çèìó ïîñûëàë
íà ðàáîòó íà Êðîíøòàäòñêèé ïàðîõîäíûé çàâîä; ñ 16-ëåòíåãî
âîçðàñòà îí îïðåäåëèë åãî ðàáî÷èì â êîðàáåëüíóþ ìàñòåðñêóþ Íåâñêîãî çàâîäà. Èç êîðàáåëüíîé ìàñòåðñêîé Ïåòðà
Àêèíäèíîâè÷à íàçíà÷èëè íà ïëàç ïîäðó÷íûì, ñ ïëàçà – â
çàâîäñêóþ ÷åðòåæíóþ, à èç ÷åðòåæíîé – ñïåðâà ïëàçîâûì
ìàñòåðîì, à ïîòîì ïîìîùíèêîì êîðàáåëüíîãî ìàñòåðà, êîòîðûì òîãäà áûë ïàìÿòíûé ñòàðûì èíæåíåðàì àíãëè÷àíèí
Áåéí. Â òå ãîäû ê Íåâñêîìó çàâîäó îòíîñèëàñü è Îõòèíñêàÿ
àäìèðàëòåéñêàÿ âåðôü, íà êîòîðîé â òî âðåìÿ ñòðîèëñÿ
ïîëóáðîíåíîñíûé ôðåãàò «Ãåíåðàë-àäìèðàë». Ïîñòðîéêà åãî
åùå íå áûëà äîâåäåíà äî êîíöà, êàê Áåéí óìåð, è ìàñòåðîì
áûë íàçíà÷åí ìîëîäîé òîãäà Ï.À.Òèòîâ. Ïîñëå «Ãåíåðàëàäìèðàëà» íà òîì æå çàâîäå Òèòîâûì áûëè ïîñòðîåíû
êëèïåðû «Ðàçáîéíèê» è «Âåñòíèê».
 1881 ã. Âîåííî-èíæåíåðíîå âåäîìñòâî ðåøèëî ïîñòðîèòü
ñðàçó ïÿòüäåñÿò ìàëûõ ïîäâîäíûõ ëîäîê ñèñòåìû Äæåâåöêîãî, ïðèâîäèìûõ â äâèæåíèå íîæíûì ïðèâîäîì, íà êîòîðîì
ðàáîòàëî äâà ÷åëîâåêà èç ÷èñëà òðåõ, ñîñòàâëÿâøèõ ýêèïàæ
ëîäêè. Ïîñòðîéêà äîëæíà áûëà âåñòèñü ñîâåðøåííî ñåêðåòíî íà ñïåöèàëüíîì íåáîëüøîì çàâîäå, ïðîèçâîäèâøåì ñáîðêó; èçãîòîâëåíèå æå îòäåëüíûõ ÷àñòåé áûëî ïîðó÷åíî ðàçíûì çàâîäàì.
Ïîäâîäíàÿ ëîäêà Äæåâåöêîãî îáðàçöà 1881 ãîäà, ïåðåîáîðóäîâàííàÿ â ýëåêòðîõîä
À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ
'
àêñèîìû è ïîñòóëàòû, íå çàìåòèë ãðóáîñòè îäíîãî èç
ñâîèõ ïîñòóëàòîâ, ñîîáðàçíî êîòîðîìó è ïîëó÷èë ñòîëü
âûñîêèé âåðõíèé ïðåäåë.
Òèòîâà çíàëè íåìíîãèå êîðàáåëüíûå èíæåíåðû òîãî
âðåìåíè. Çíàìåíèòîãî Ëåâè ×èâèòà çà åãî ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèå ðàáîòû çíàþò è ïî÷èòàþò ìàòåìàòèêè âñåãî
ìèðà. Åñëè áû âû ãîòîâèëèñü áûòü ìàòåìàòèêàìè, ÿ
ïîæåëàë áû âàì ñòàòü Ëåâè ×èâèòàìè, íî âû ãîòîâèòåñü
áûòü êîðàáåëüíûìè èíæåíåðàìè, ïîýòîìó æåëàþ âàì
ñòàòü Òèòîâûìè.
Êîðïóñ ëîäêè ñîñòîÿë èç òðåõ âûãíóòûõ æåëåçíûõ ëèñòîâ äîâîëüíî õèòðîé ôîðìû. Ëèñòû ýòè áûëè âû÷åð÷åíû â
ðàçëè÷íîì ìàñøòàáå è ðîçäàíû äëÿ èçãîòîâëåíèÿ òðåì
ðàçíûì çàâîäàì, â òîì ÷èñëå è Íåâñêîìó. Äâà èç ýòèõ
çàâîäîâ, ïîáèâøèñü íàä ýòèì äåëîì è ïåðåïîðòèâ íåìàëîå
êîëè÷åñòâî ìàòåðèàëà, ïåðåäàëè çàòåì ñâîé çàêàç Íåâñêîìó çàâîäó, è òàêèì îáðàçîì ðàáîòà îêàçàëàñü ñîñðåäîòî÷åííîé â ðóêàõ Òèòîâà. Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ ëþáèë îá ýòîì
âñïîìèíàòü.
– Ïîñòóïèëè ê íàì çàêàçû îò ðàçíûõ çàâîäîâ íà ëèñòû,
âûêðîåííûå êàêèìè-òî óñêîðíèêàìè âðîäå òåõ, ÷òî ïîëó÷àþòñÿ, êîãäà ñ àïåëüñèíà êîðêó çâåçäî÷êîé ñíèìàòü, è âñå
âû÷åð÷åíû â ðàçíûõ ìàñøòàáàõ, ê òîìó æå îäèí â ôóòîâîé
ìåðå, äðóãèå â ìåòðè÷åñêîé, è íàäî èõ íå òîëüêî âûêðîèòü,
íî è âûêîëîòèòü ïî ÷åðòåæó. Äóìàþ, íåñïðîñòà ýòî, õîòü è
ñ ðàçíûõ çàâîäîâ. Âû÷åðòèë ÿ èõ âñå òðè â îäíîì ìàñøòàáå è ïîñìîòðåë, ÷òî áóäåò, åñëè èõ âñå âìåñòå ñëîæèòü.
Ïîëó÷èëñÿ êàê áû áîëüøîé àìåðèêàíñêèé îðåõ. Òîãäà,
ÿñíîå äåëî, ñîãëàñîâàë ÿ ó íèõ ïàçû, ñäåëàë íàêðîè, êàê
ñëåäóåò âûêîëîòèë òðè ëèñòà è ñëîæèë âìåñòå. Ïðèåçæàåò
Äæåâåöêèé, ñ íèì ôðàíöóç, ïîòîì ìîé ïðèÿòåëü Ãàðóò;
êàê âçãëÿíóëè, òàê è àõíóëè:
– Âåäü ýòî ñåêðåò!
– Êàêîé òàì, – ãîâîðþ, – ñåêðåò; äàâàéòå ëó÷øå ÿ âàì â
âàøèõ ëèñòàõ è äûðû ïðîêîëþ, à òî ïðèäåòñÿ íà ìåñòå
òðåùåòêîé ñâåðëèòü – íèêîãäà íå êîí÷èòå.
Òàê è ñäåëàë ÿ èì ýòè ëèñòû, à ïîòîì èõ Ãàðóò íà ñâîåì
çàâîäèêå ñêëåïûâàë.
Êàæåòñÿ, â 1882 ã. Îõòèíñêàÿ âåðôü áûëà çàêðûòà. Çàâîä
Áåðäà êóïèëî âíîâü îñíîâàííîå Ôðàíêî-ðóññêîå îáùåñòâî,
êîòîðîå òàêæå ïîëó÷èëî â áåçâîçìåçäíîå «àðåíäíîå ïîëüçîâàíèå» Ãàëåðíûé îñòðîâîê ñ áûâøèìè íà íåì ýëëèíãàìè è
ìàñòåðñêèìè. Ïðè ýòîì Îáùåñòâó áûëè çàêàçàíû ïî âûñîêîé
öåíå êðåéñåðû «Âèòÿçü» è «Ðûíäà».
Ïåðâûì äèðåêòîðîì îáðàçîâàâøèõñÿ Ôðàíêî-ðóññêèõ çàâîäîâ áûë ôðàíöóç, èíæåíåð Ïàâåë Êàðëîâè÷ Äþáþè,
ðîäñòâåííèê ìîëîäîé êðàñàâèöû-ôðàíöóæåíêè Ìàðèè Èâàíîâíû, íà êîòîðîé íåçàäîëãî ïåðåä ýòèì æåíèëñÿ ìîðñêîé
ìèíèñòð, àäìèðàë È.À.Øåñòàêîâ.
Ñòàë Äþáþè èñêàòü êîðàáåëüíîãî èíæåíåðà, êîòîðîìó îí
ìîã áû ââåðèòü âåðôü Ãàëåðíîãî îñòðîâêà è ïîñòðîéêó
êðåéñåðîâ. Îáðàòèëñÿ îí ê ñâîåìó òîâàðèùó ïî ïàðèæñêîìó
èíæåíåðíîìó ó÷èëèùó Äæåâåöêîìó, è òîò ðåêîìåíäîâàë åìó
Ï.À.Òèòîâà. Òàêèì îáðàçîì, Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ ñòàë ãëàâíûì èíæåíåðîì è óïðàâëÿþùèì âåðôüþ Ãàëåðíîãî îñòðîâêà, õîòÿ, îáëàäàÿ ðåäêîé ïðàêòè÷åñêîé îïûòíîñòüþ ïî âñåì
÷àñòÿì êîðàáëåñòðîåíèÿ, îí íå èìåë äèïëîìà äàæå ñåëüñêîé
øêîëû.
«Ðûíäà» è «Âèòÿçü» áûëè íàøè ïåðâûå ñóäà, ïîñòðîåííûå
íå èç æåëåçà, à èç ñóäîñòðîèòåëüíîé ñòàëè, è Ïåòðó Àêèíäèíîâè÷ó ïðèøëîñü ñàìîìó âûðàáîòàòü âñå ïðèåìû ïðåäîñòîðîæíîñòè ïðè åå îáðàáîòêå, â îñîáåííîñòè ãîðÿ÷åé, êîòîðîé
ÊÂÀÍT 2013/¹3
â òî âðåìÿ ïðè îñòðûõ îáâîäàõ, ïðè ââàðíûõ áèìñîâûõ
êíèöàõ, ïðè ìíîæåñòâå ðàçíîãî ðîäà óãîëüíèêîâ áûëî îñîáåííî ìíîãî.
Ïðè ñïóñêå «Âèòÿçü», ïî âèíå çàâåäóþùåãî çåìëå÷åðïàíèåì â Ïåòåðáóðãñêîì ïîðòó, ïîòåðïåë ñåðüåçíóþ àâàðèþ.
Ýëëèíã, â êîòîðîì «Âèòÿçü» ñòðîèëñÿ, ïóñòîâàë 17 ëåò, è
ïåðåä íèì èç ïðàâîãî óñòüÿ Ôîíòàíêè (òåïåðü çàïðóæåííîãî) íàíåñëî ìåëü. Äëÿ óñòðîéñòâà ïîäâîäíîãî ñïóñêîâîãî
ôóíäàìåíòà ìåæäó äàìáàìè áûëà ñäåëàíà ïåðåìû÷êà, êîòîðóþ ðàçîáðàëè ïåðåä ñïóñêîì, âûäåðíóâ øïóíòîâûå ñâàè
êðàíîì, ïðè÷åì ãëèíó, çàáèòóþ ìåæäó íèìè, áûëî ðåøåíî
óáðàòü çåìëå÷åðïàëêîé, óãëóáèâ âìåñòå ñ òåì è êàíàë,
ñîñòàâëÿâøèé ïðîäîëæåíèå êàíàëà ìåæäó äàìáàìè. Âîò ýòà
ðàáîòà è áûëà âûïîëíåíà ïåòåðáóðãñêèì ïîðòîì íåäîñòàòî÷íî âíèìàòåëüíî, òàê ÷òî ïðè ñïóñêå «Âèòÿçü» ïðîáîðîçäèë
êîðìîé ïî ãðóíòó, øêàëû (çàäåðæíèêè) ó ðóëÿ îáëîìèëèñü,
ðóëü ïîëîæèëñÿ íà áîðò è âûâîðîòèë ïåòëè, âìåñòå ñ
àõòåðøòåâíåì.
Ïðåäñòîÿëà òÿæåëàÿ è ñëîæíàÿ ðàáîòà ïî çàìåíå àõòåðøòåâíÿ íîâûì, è òóò-òî è ïðîÿâèëàñü âñÿ îïûòíîñòü è íàõîä÷èâîñòü Ïåòðà Àêèíäèíîâè÷à. Îí ïîñòðîèë äåðåâÿííûé
êåññîí ïî êîðìîâûì îáâîäàì «Âèòÿçÿ», ïîäâåë åãî ïîä
êîðìó, âûêà÷àë âîäó è çà çèìó, íå ââîäÿ ñóäíà â äîê, ñìåíèë
åìó àõòåðøòåâåíü.
×åðåç 20 ëåò ïîäîáíóþ æå ðàáîòó ïðîèçâåëè â Ïîðò-Àðòóðå
Ï.Ô.Âåøêóðöåâ è Í.Å.Êóòåéíèêîâ, èñïðàâèâ ïîâðåæäåíèÿ,
ïðè÷èíåííûå âçðûâàìè ìèí áðîíåíîñöàì «Ðåòâèçàí» è «Öåñàðåâè÷» è êðåéñåðó «Ïàëëàäà».
Ïî îêîí÷àíèè ïîñòðîéêè «Ðûíäû» è «Âèòÿçÿ» Ôðàíêîðóññêèé çàâîä ïîëó÷èë çàêàç íà ïîñòðîéêó áðîíåíîñöà
«Èìïåðàòîð Íèêîëàé I».
Çäåñü Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ ââåë öåëûé ðÿä îðèãèíàëüíûõ
ïðèåìîâ ðàáîòû, âàæíåéøèì è ñàìûì ñìåëûì èç êîòîðûõ
áûëà ïîñòðîéêà êîðàáëÿ áåç ðûáèí; âìåñòî ïîñëåäíèõ åìó
ñëóæèëè äíèùåâûå è ïàëóáíûå ñòðèíãåðû. Çàâîäó ýòî
äàâàëî íåñêîëüêî òûñÿ÷ ýêîíîìèè íà ëåñå è ðàáî÷åé ñèëå, íî
Áðîíåíîñåö «Èìïåðàòîð Íèêîëàé I»
çàòî òðåáîâàëî îò Ïåòðà Àêèíäèíîâè÷à íåîáûêíîâåííîé
ýíåðãèè è òðóäà: âñþ ðàçáèâêó ñòðèíãåðîâ è ðàñòÿæêó èõ íà
ïëàçå ñ ðàçìåòêîé öåíòðîâ äûð îí èñïîëíÿë ñàì, ñâîèìè
ðóêàìè, ïîñëå øàáàøà è íî÷üþ, òàê êàê â ðàáî÷åå âðåìÿ îí
âñåöåëî áûë ïîãëîùåí òåêóùåé ðàáîòîé. Ïîìîùíèêîâ èíæåíåðîâ ó íåãî íå áûëî.
ß õîðîøî ïîìíþ ýòî âðåìÿ. Â èþëå 1887 ã. ÿ áûë
êîìàíäèðîâàí ïîñòóïëåíèåì â àêàäåìèþ íà ïðàêòèêó ïî
êîðàáëåñòðîèòåëüíûì ðàáîòàì íà Ôðàíêî-ðóññêèé çàâîä.
Îáëà÷èâøèñü â ïîëíóþ ïàðàäíóþ ôîðìó, ÿ ÿâèëñÿ ê íàáëþäàþùåìó çà ïîñòðîéêîé ñòàðøåìó ñóäîñòðîèòåëþ Í.Å.Êóòåéíèêîâó, ïîçíàêîìèëñÿ ñ ìîèìè áóäóùèìè ñîòîâàðèùàìè,
åãî ïîìîùíèêàìè, êîðàáåëüíûìè èíæåíåðàìè Å.À.Ââåäåíñêèì, Í.È.Õîìÿêîâûì è Í.È.Áîêîâûì, à çàòåì ïîøåë ïðåäñòàâèòüñÿ óïðàâëÿþùåìó âåðôüþ. Ìåíÿ ðàäóøíî ïðèíÿë
ñèäåâøèé çà ïèñüìåííûì ñòîëîì â ìàëåíüêîì, ïëîùàäüþ íå
áîëåå 6 êâ. ìåòðîâ, êàáèíåòèêå ìîãó÷èé ðóññêèé áîãàòûðü, ñ
êîòîðîãî Âàñíåöîâ ñìåëî ìîã áû ïèñàòü Èëüþ Ìóðîìöà.
Âûñëóøàâ, ÷òî ìíå íàäî, îí ñêàçàë, ÷òî âñå, ÷òî åñòü íà
çàâîäå, äëÿ ìåíÿ âñåãäà îòêðûòî è ÷òî ÷åì áîëüøåìó ÿ
íàó÷óñü, òåì ðàäîñòíåå åìó áóäåò. Ýòî áûë Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ Òèòîâ. Âñêîðå ìû ñ íèì, íåñìîòðÿ íà ðàçíèöó ëåò (îí
áûë ñòàðøå ìåíÿ íà 20 ëåò), ñîøëèñü, à çàòåì è ïîäðóæèëèñü.
Ïðè ïîñòðîéêå «Íèêîëàÿ I» Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ ïðèìåíèë
è öåëûé ðÿä äåòàëüíûõ óñîâåðøåíñòâîâàíèé â ïðîèçâîäñòâå
ðàáîò, êîòîðûå âåëè ê áîëüøåé èõ òî÷íîñòè è òùàòåëüíîñòè,
íå òîëüêî íå ïîâûøàÿ ñòîèìîñòè, íî äàæå ñíèæàÿ åå. Êàê
ïðèìåð, óêàæó íà ðàçìåòêó è çàòåì ïðîêîëêó äûð. Äûðû íà
ëèñòàõ ðàçìå÷àëèñü ïî ðåéêå ñ ïëàçà, è íàìå÷åííûå öåíòðû
èõ ñïåðâà ïðîêåðíèâàëèñü, êàê îáû÷íî, êåðíåðîì, ïî êîòîðîìó ðàçìåò÷èê óäàðÿë ðó÷íèêîì; ïîëó÷àëñÿ êîíè÷åñêèé
êåðí äèàìåòðîì îêîëî 2 ìì. Ïîñëå ýòîãî ïðîõîäèëè âòîðûì
êåðíåðîì èëè áîðîäêîì, ïî êîòîðîìó ìîëîòîáîåö óäàðÿë
òÿæåëîé êóâàëäîé; ïîëó÷àëñÿ êîíè÷åñêèé æå êåðí, íî äèàìåòðîì îêîëî 6 ìì è ãëóáèíîé îêîëî 4 ìì.
Øòåìïåëü äûðîïðîáèâíîãî
ïðåññà îêàí÷èâàëñÿ íå ïðîñòî
êðóãîì, êàê îáûêíîâåííî, à â
ñåðåäèíå ýòîãî êðóãà âîçâûøàëñÿ êîíóñ âûñîòîé îêîëî 5 ìì ïðè
äèàìåòðå îêîëî 7 ìì. Áëàãîäàðÿ
ýòîìó ïðîêàëûâàíèå äûð ïðîèñõîäèëî ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Øòåìïåëü, ñïóñêàÿñü, ïðåæäå
÷åì íàæàòü ëèñò, êàñàëñÿ ïðîèçâîäÿùåé ñâîåãî êîíóñà, ïðîêåðíåííîãî íà ëèñòå, è ñàì ñîáîé
ïðîäâèãàë ëèñò òàê, ÷òî îñè îáîèõ êîíóñîâ ñîâïàäàëè. Ëèñò ïîëó÷àëñÿ àáñîëþòíî öåíòðèðîâàííûì, à äûðà — ïðàâèëüíî ïðîáèòîé.
Äðóãîé, òàêæå ïî âèäó, ìåëî÷üþ, çíà÷èòåëüíî óñêîðÿâøåé è
óòî÷íÿâøåé ðàáîòó, áûëà çåíêîâêà äûð. Íàäî ïîìíèòü, ÷òî
50 ëåò íàçàä ïíåâìàòèêè íå áûëî,
ýëåêòðè÷åñêîå îñâåùåíèå áûëî â
çàðîäûøå (÷åòûðå ñâå÷è ßáëî÷êîâà — áîëüøå äëÿ êóðüåçà, ÷åì
äëÿ ñâåòà, íà âåñü ýëëèíã), î
ãàçîâîé ðåçêå íèêòî è íå ïîìûøëÿë. Åñëè íàäî áûëî ñâåðëèòü
èëè çåíêîâàòü äûðó íà ìåñòå, òî
ýòî äåëàëîñü âðó÷íóþ òðåùîò-
Ê
150-ËÅÒÈÞ
êîé, èáî äðóãèõ ñðåäñòâ íå áûëî. Îòñþäà, åñòåñòâåííî,
âîçíèêàëà çàáîòà — âñå äûðû ðàççåíêîâàòü íà ñòàíêå. Ïåòð
Àêèíäèíîâè÷ è òóò ââåë êðàéíå ïðîñòîå ïðèñïîñîáëåíèå —
çåíêîâêó ñ íàïðàâëÿþùèì ñòåðæíåì è çàïëå÷èêîì. Ðàáî÷èé,
çåíêóÿ, ïðîñòî íàæèìàë ðû÷àã, ïîêà çàïëå÷èê çåíêîâêè íå
óïðåòñÿ â ïîâåðõíîñòü ëèñòà. Î÷åâèäíî, ÷òî òàêèì îáðàçîì
ðàáîòà øëà áûñòðåå, íå òðåáóÿ ñî ñòîðîíû ðàáî÷åãî íàïðÿæåííîãî âíèìàíèÿ, è âñå äûðû ïîòîì ïîëó÷àëèñü àáñîëþòíî
îäèíàêîâûìè è íàçíà÷åííîãî ðàçìåðà.
Ïëîòíîñòü êëåïêè ñèëüíî çàâèñèò îò ïðàâèëüíîãî äåðæàíèÿ è äîñòàòî÷íîãî âåñà ïîääåðæêè. Íà ýòó ñòîðîíó Ïåòð
Àêèíäèíîâè÷ îáðàùàë îñîáåííîå âíèìàíèå, è ó íåãî áûë
öåëûé ðÿä âåñüìà îñòðîóìíûõ è ïðîñòûõ ïðèñïîñîáëåíèé,
÷òîáû îáåñïå÷èòü ïðàâèëüíîå äåðæàíèå òÿæåëîé ïîääåðæêè, íå âûçûâàÿ èçëèøíåãî óòîìëåíèÿ ðàáî÷åãî. ×åêàíêà â
òî âðåìÿ, ñàìî ñîáîé ðàçóìååòñÿ, ïðîèçâîäèëàñü âðó÷íóþ,
è çäåñü Òèòîâûì òàêæå áûëè âûðàáîòàíû ñâîè ïðèåìû
ðàáîòû.
Ñðåäè ðàáî÷èõ Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ ïîëüçîâàëñÿ áåçãðàíè÷íûì óâàæåíèåì è àâòîðèòåòîì, èáî ðàáî÷èå âèäåëè â íåì
ñâîåãî ÷åëîâåêà, êîòîðûé êàæäóþ ðàáîòó çíàë è óìåë âûïîëíÿòü â ñîâåðøåíñòâå. È äåéñòâèòåëüíî, ÷àñòî ìîæíî áûëî
âèäåòü, êàê Òèòîâ ïîäõîäèë ê ìîëîäîìó, åùå íåîïûòíîìó
ðàáî÷åìó, áðàë ó íåãî, íàïðèìåð, ðó÷íèê è çóáèëî è ïîêàçûâàë, êàê íàäî, îáðóáàÿ êðîìêó ëèñòà, äåðæàòü çóáèëî, êàê
áèòü ðó÷íèêîì è ïðî÷åå. Ïðè ýòîì ñòðóæêà ó íåãî çàâèâàëàñü
êàê áû ñàìà ñîáîé, è ñòàðèêè-ðàáî÷èå ëþáîâàëèñü åãî
ðàáîòîé.
 òî âðåìÿ íå ñóùåñòâîâàëî åùå è ñâåòîêîïèðîâêè. Ïîäëèííûå ÷åðòåæè, ïðåäñòàâëÿâøèåñÿ íà óòâåðæäåíèå ìèíèñòðó èëè èíûì âûñîêèì íà÷àëüíèêàì, èñïîëíÿëèñü íà
áóìàãå â òóøü è ðàñêðàøèâàëèñü; êîïèè ñíèìàëèñü íà
êîëåíêîð è òàêæå ðàñêðàøèâàëèñü. Ïîýòîìó íà îáùèõ ÷åðòåæàõ, ïîñòóïàâøèõ íà çàâîä èç Ìîðñêîãî òåõíè÷åñêîãî
êîìèòåòà äëÿ ðóêîâîäñòâà ïðè ïîñòðîéêå, ñ ãîðàçäî áîëüøåé
òùàòåëüíîñòüþ ðàçäåëûâàëèñü ïóãîâèöû íà êðåñëàõ àäìèðàëüñêîé êàþòû èëè óçîð åå êîâðà, íåæåëè ñóùåñòâåííûå
äåòàëè ñóäíà.
Âñå ðàáî÷èå è èñïîëíèòåëüíûå ÷åðòåæè ðàçðàáàòûâàëèñü
ñàìèì çàâîäîì, è âîò òóò âñå äèâèëèñü íà Ïåòðà Àêèíäèíîâè÷à. Âñÿ êîðàáëåñòðîèòåëüíàÿ ÷åðòåæíàÿ çàíèìàëà êîìíàòó ïðèìåðíî â 30 êâ. ìåòðîâ, â êîòîðîé ïîìåùàëîñü ñåìü
÷åðòåæíûõ ñòîëîâ; èç íèõ îäèí áûë çàíÿò çàâåäóþùèì
÷åðòåæíîé èíæåíåð-òåõíîëîãîì À.Ì.Êàðíèöêèì, íà äâóõ
äðóãèõ ðàáîòàëè ñòàðøèå ÷åðòåæíèêè – Íàäòî÷ååâ è Ìèõàéëîâ, à íà îñòàëüíûõ – ÷åòûðå ìîëîäûõ ÷åðòåæíèêà-êîïèèñòà. Äëÿ âñÿêîé äåòàëè, äëÿ âñÿêîãî óñòðîéñòâà, äàæå òàêèõ
êðóïíûõ, êàê øòåâíè, ðóëåâàÿ ðàìà, êðîíøòåéíû äëÿ âàëîâ
è ïð., Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ äàâàë íàáðîñàííûé èì ñàìèì ýñêèç
ñ ðàçìåðàìè. ×åðòèë îí îò ðóêè íà îáûêíîâåííîé ãðàôëåíîé
â êëåòêó áóìàãå, âñåãäà ïåðîì è ñ íåîáûêíîâåííîé áûñòðîòîé. Ïåðåäàâ ÷åðòåæ Íàäòî÷ååâó èëè Ìèõàéëîâó, îí èçðåäêà
ïîäõîäèë ê íèì, ÷òîáû ïîïðàâèòü êàêóþ-ëèáî ìåëî÷ü èëè
óêàçàòü ïîäðîáíîñòü.
Âåðíîñòü åãî ãëàçà áûëà ïîðàçèòåëüíàÿ. Íàçíà÷àÿ, íàïðèìåð, ðàçìåðû îòäåëüíûõ ÷àñòåé ÿêîðíîãî èëè áóêñèðíîãî
óñòðîéñòâà, èëè øëþïáàëîê, èëè ïîäêðåïëåíèé ïîä îðóäèÿ,
îí íèêîãäà íå çàãëÿäûâàë íè â êàêèå ñïðàâî÷íèêè, ñòîÿâøèå
íà ïîëêå â åãî êàáèíåòå, è, ñàìî ñîáîé ðàçóìååòñÿ, íå äåëàë,
äà è íå óìåë äåëàòü íèêàêèõ ðàñ÷åòîâ. Í.Å.Êóòåéíèêîâ,
áûâøèé â òî âðåìÿ ñàìûì îáðàçîâàííûì êîðàáåëüíûì
èíæåíåðîì â íàøåì ôëîòå, ÷àñòî ïûòàëñÿ ïðîâåðÿòü ðàñ÷åòàìè ðàçìåðû, íàçíà÷åííûå Òèòîâûì, íî âñêîðå óáåäèëñÿ,
÷òî ýòî íàïðàñíûé òðóä, — ðàñ÷åò ëèøü ïîäòâåðæäàë òî, ÷òî
Òèòîâ íàçíà÷èë íà ãëàç.
Ýòè ðàñ÷åòû Í.Å.Êóòåéíèêîâ ïîðó÷àë èñïîëíÿòü ñâîèì
À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ
ïîìîùíèêàì. Åùå áóäó÷è â Ìîðñêîì ó÷èëèùå, ÿ ñàìîñòîÿòåëüíî èçó÷èë ïðèìåðíî óíèâåðñèòåòñêèé êóðñ âûñøåãî
àíàëèçà; ïîñëå âûïóñêà ÿ òðè ãîäà ðàáîòàë ïî äåâèàöèè
êîìïàñîâ è ïî ðàçíûì äðóãèì âîïðîñàì, òðåáîâàâøèì ïðèëîæåíèÿ ìàòåìàòèêè (êàê ïîìîùíèê È.Ï.Êîëîíãà è ïîä åãî
ðóêîâîäñòâîì). Í.Å.Êóòåéíèêîâ âñêîðå çàìåòèë, ÷òî ÿ ãîðàçäî ñâîáîäíåå âëàäåþ ìàòåìàòèêîé, íåæåëè åãî ïîìîùíèêè-èíæåíåðû, è ïîýòîìó áîëåå ñëîæíûå ðàñ÷åòû ñòàë ïîðó÷àòü ìíå. Çàìåòèë ýòî è Òèòîâ è èíîãäà, ïîäçûâàÿ ìåíÿ,
ãîâîðèë:
– Çàéäè-êà, ìè÷ìàí, êî ìíå, ïîäñ÷èòàé-êà ìíå îäíó
øòó÷êó.
 1888 ã. ÿ ïîñòóïèë â Ìîðñêóþ àêàäåìèþ, â 1890 ã.
îêîí÷èë â íåé êóðñ è áûë ñðàçó íàçíà÷åí ðóêîâîäèòåëåì
ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé ñëóøàòåëåé ïî ìàòåìàòèêå; âñêîðå,
ââèäó áîëåçíè, à çàòåì äëèòåëüíîé êîìàíäèðîâêè À.À.Ãðåõíåâà, ìíå áûëî ïîðó÷åíî ÷òåíèå êóðñà òåîðèè êîðàáëÿ.  ýòî
âðåìÿ íà Ôðàíêî-ðóññêîì çàâîäå ñòðîèëñÿ áðîíåíîñåö «Íàâàðèí», è ÿ ÷àñòåíüêî çàáåãàë íà Ãàëåðíûé îñòðîâîê ïðîâåäàòü Ïåòðà Àêèíäèíîâè÷à è óâèäåòü ÷òî-íèáóäü íîâåíüêîå.
Êàê-òî ðàç îí ìíå è ãîâîðèò:
— Õîòü òû òåïåðü è ïðîôåññîð, äà è ÷èí ó òåáÿ äðóãîé, à
ÿ âñå òåáÿ ìè÷ìàíîì áóäó çâàòü. Òàê âîò, ìè÷ìàí, âèæó ÿ, òû
ïî öèôèðíîìó äåëó ìàñòàê. Îáó÷è òû ìåíÿ ýòîé öèôèðè,
ñêîëüêî åå äëÿ ìîåãî äåëà íóæíî, – òîëüêî íèêîìó íå ãîâîðè,
à òî åùå ìåíÿ çàñìåþò.
È ñòàëè ìû ñ Ïåòðîì Àêèíäèíîâè÷åì ïî âå÷åðàì êàæäóþ ñðåäó è ñóááîòó çàíèìàòüñÿ ìàòåìàòèêîé, íà÷àâ ñ
ýëåìåíòàðíîé àëãåáðû. Íå÷åãî ãîâîðèòü, ÷òî ÿ ðåäêî âñòðå÷àë ñòîëü ñïîñîáíîãî ó÷åíèêà è íèêîãäà íå âñòðå÷àë ñòîëü
óñåðäíîãî. Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ áûñòðî óâèäåë, ÷òî àëãåáðà
åñòü îñíîâíîé ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòðóìåíò, è ðåøèë, ÷òî
èì íàäî íàó÷èòüñÿ âëàäåòü áûñòðî, óâåðåííî è áåçîøèáî÷íî. È âîò, âîçâðàòèâøèñü ñ çàâîäà, îí ñàäèëñÿ çà çàäà÷íèê
Áû÷êîâà è äî ïîçäíåé íî÷è ðåøàë çàäà÷ó çà çàäà÷åé,
÷òîáû «ðóêó íàáèòü».
Òàê ìû â äâà ãîäà ïðîøëè ýëåìåíòàðíóþ àëãåáðó, òðèãîíîìåòðèþ, íà÷àëà àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè, íà÷àëà äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, îñíîâàíèÿ ñòàòèêè, îñíîâàíèÿ ó÷åíèÿ î ñîïðîòèâëåíèè ìàòåðèàëîâ è íà÷àëà
òåîðèè êîðàáëÿ. Òèòîâó áûëî òîãäà 48–49 ëåò.
Îñîáåííî ðàäîâàëñÿ Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ ïîñëå òîãî, êàê îí
óñâîèë òðèãîíîìåòðèþ, âû÷èñëåíèå ïî ëîãàðèôìàì è ïîëüçîâàíèå ëîãàðèôìè÷åñêîé ëèíåéêîé, ÷òî òîãäà òîæå áûëî êàê
áû ðåäêîñòüþ.
 òî âðåìÿ êîãäà ìû, íàêîíåö, äîøëè äî ñîïðîòèâëåíèÿ
ìàòåðèàëîâ è ðàñ÷åòîâ áàëîê, ñòîåê è ïð., êàê ðàç çàêàí÷èâàëàñü ïîñòðîéêà «Íàâàðèíà», è íå ðàç Ïåòð Àêèíäèíîâè÷
ãîâàðèâàë ìíå:
– Íó-êà, ìè÷ìàí, äàâàé ñ÷èòàòü êàêóþ-íèáóäü ñòðåëó èëè
øëþïáàëêó.
Ïî îêîí÷àíèè ðàñ÷åòà îí îòêðûâàë ÿùèê ñâîåãî ïèñüìåííîãî ñòîëà, âûíèìàë ýñêèç è ãîâîðèë:
– Äà, ìè÷ìàí, òâîè ôîðìóëû âåðíûå: âèäèøü, ÿ ðàçìåðû
íàçíà÷èë íà ãëàç – ñõîäÿòñÿ.
Ëèøü âîñåìíàäöàòü ëåò ñïóñòÿ, çàíèìàÿ ñàìóþ âûñîêóþ
äîëæíîñòü ïî êîðàáëåñòðîåíèþ, ÿ îöåíèë èñòèííîå çíà÷åíèå
ýòèõ ñëîâ Òèòîâà. Íàñòîÿùèé èíæåíåð äîëæåí âåðèòü ñâîåìó ãëàçó áîëüøå, ÷åì ëþáîé ôîðìóëå; îí äîëæåí ïîìíèòü
ñëîâà íàòóðàëèñòà è ôèëîñîôà Ãåêñëè: «Ìàòåìàòèêà, ïîäîáíî æåðíîâó, ïåðåìàëûâàåò ëèøü òî, ÷òî ïîä íåãî çàñûïàþò»,
– è âîò íà ýòó-òî çàñûïêó ïðåæäå âñåãî èíæåíåð è äîëæåí
ñìîòðåòü.
Êàæåòñÿ, â 1891 ã. ïðèåõàë â Ïåòåðáóðã ïðåäñåäàòåëü
ïðàâëåíèÿ Îáùåñòâà ôðàíêî-ðóññêèõ çàâîäîâ, ñòàðèê-ôðàíöóç, áûâøèé ìíîãî ëåò äèðåêòîðîì êîðàáëåñòðîåíèÿ ôðàí-
ÊÂÀÍT 2013/¹3
öóçñêîãî ôëîòà, ÷ëåí Ïàðèæñêîé àêàäåìèè íàóê, çíàìåíèòûé èíæåíåð äå Áþññè. Ñàìî ñîáîé ðàçóìååòñÿ, ÷òî îí
ïîñåòèë ïîñòðîéêó «Íàâàðèíà».
Ï.Ê.Äþáþè õîòåë åãî áûñòðåíüêî ïðîâåñòè ïî ïîñòðîéêå
è óâåñòè íà êàêîé-òî çâàíûé çàâòðàê. Íî íå òóò-òî áûëî.
Ñòàðèê ñðàçó çàìåòèë, ÷òî ïîñòðîéêà âåäåòñÿ íå ðóòèííûìè,
à îðèãèíàëüíûìè ñïîñîáàìè, áûñòðî ñâåë Äþáþè íà ðîëü
ïðîñòîãî ïåðåâîä÷èêà è ñòàë âíèêàòü âî âñå äåòàëè, ðàññïðàøèâàÿ Òèòîâà. Îí çàáûë è ïðî çàâòðàê, îáëàçèë âåñü
êîðàáëü, ïðîâåäÿ íà ïîñòðîéêå ÷àñà ÷åòûðå. Ðàññòàâàÿñü, îí
âçÿë Òèòîâà çà ðóêó è, íå âûïóñêàÿ åå, ñêàçàë ïðè âñåõ
Äþáþè:
– Ïåðåâåäèòå âàøåìó èíæåíåðó ìîè ñëîâà. ß 48 ëåò ñòðîèë
ñóäà ôðàíöóçñêîãî ôëîòà, ÿ áûâàë íà âåðôÿõ âñåãî ìèðà, íî
íèãäå ÿ ñòîëü ìíîãîìó íå íàó÷èëñÿ, êàê íà ýòîé ïîñòðîéêå.
Òèòîâ áûë ðàñòðîãàí ïî÷òè äî ñëåç, — çàòî âå÷åðîì è áûëî
æå ó íåãî ïðèÿòåëÿì óãîùåíèå!
Êàæåòñÿ, â 1892 èëè 1893 ã. Ìîðñêîå ìèíèñòåðñòâî îðãàíèçîâàëî êîíêóðñ íà ñîñòàâëåíèå ïðîåêòà áðîíåíîñöà ïî
îáúÿâëåííûì çàäàíèÿì, ïðè÷åì áûëè íàçíà÷åíû äâå äîâîëüíî êðóïíûå ïðåìèè.
Íà êîíêóðñ áûëî ïðåäñòàâëåíî ìíîãî ïðîåêòîâ, è ïî
ðàññìîòðåíèè èõ Òåõíè÷åñêèì êîìèòåòîì áûëè ïðèçíàíû:
çàñëóæèâàþùèì ïåðâîé ïðåìèè ïðîåêò ïîä äåâèçîì «Íåïîáåäèìûé» è âòîðîé ïðåìèè — ïðîåêò ïîä äåâèçîì «Êðåìëü».
Âñêðûâàþò êîíâåðò ñ äåâèçîì è ÷èòàþò: «Ñîñòàâèòåëü
ïðîåêòà ïîä äåâèçîì «Íåïîáåäèìûé» — èíæåíåð Ôðàíêîðóññêîãî çàâîäà Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ Òèòîâ»; çàòåì ÷èòàþò:
«Ñîñòàâèòåëü ïðîåêòà ïîä äåâèçîì «Êðåìëü» èíæåíåð Ôðàíêî-ðóññêîãî çàâîäà Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ Òèòîâ».
Ïðîèçîøëà íåìàÿ ñöåíà, áîëåå êàðòèííàÿ, íåæåëè çàêëþ÷èòåëüíàÿ ñöåíà â «Ðåâèçîðå», èáî ìíîãèå ÷ëåíû êîìèòåòà
îòíîñèëèñü ê Òèòîâó ñâûñîêà è ãîâîðèëè ïðî íåãî: «Äà îí
äëÿ âðàçóìèòåëüíîñòè ñëîâî èíæåíåð ïèøåò ñ äâóìÿ ÿòÿìè».
È âäðóã òàêîé ïàññàæ: äâà åãî ïðîåêòà, îðèãèíàëüíûõ,
îòëè÷íî ðàçðàáîòàííûõ, ïðåâîñõîäíî âû÷åð÷åííûõ è ñíàáæåííûõ âñåìè òðåáóåìûìè ðàñ÷åòàìè, ïîëó÷àþò îáå âûñøèå
ïðåìèè.
Îò ïîëó÷åíèÿ ïðåìèé Ïåòð Àêèíäèíîâè÷ îòêàçàëñÿ, ïåðåäàâ èõ, êàæåòñÿ, â ïîëüçó Ìîðñêîãî èíæåíåðíîãî ó÷èëèùà.
Íî íå ñóæäåíî áûëî Ïåòðó Àêèíäèíîâè÷ó ïîñòðîèòü íè
«Íåïîáåäèìîãî», íè «Êðåìëÿ» — â íî÷ü íà 16 àâãóñòà
1894 ã. îí âíåçàïíî ñêîí÷àëñÿ â âîçðàñòå 51 ãîäà, â ïîëíîì
ðàñöâåòå ñèë è òàëàíòà.
Î âîëíîâîì ñîïðîòèâëåíèè
âîäû è î ñïóòíîé âîëíå
À.ÊÐÛËÎÂ
Î
ÑÅÍÜÞ 1885 Ã. ÌÍÅ ÏÐÈØËÎÑÜ ÏÎÄ ÐÓÊÎ-
âîäñòâîì È.Ï.Êîëîíãà óíè÷òîæàòü äåâèàöèþ
ó êîðìîâûõ ïóòåâûõ êîìïàñîâ ìèííîãî êðåéñåðà «Ëåéòåíàíò Èëüèí», êîòîðûé òîãäà âûøåë íà
ïðèåìíûå õîäîâûå èñïûòàíèÿ. Â òî âðåìÿ ýòî áûëî
ñàìîå áûñòðîõîäíîå è ñàìîå áîëüøîå èç ìèííûõ ñóäîâ
íàøåãî ôëîòà. Åãî õîä áûë ðàâåí 20–21 óçëó 1, âîäîèçìåùåíèå – 750 ò.
Ìåíÿ òîãäà æå ïîðàçèëè ïî÷òè ïîëíîå îòñóòñòâèå
áóðóíà ó ôîðøòåâíÿ, íåçíà÷èòåëüíîñòü íîñîâîé âîëíû, ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèå ðàñõîäÿùèåñÿ âîëíû è
ñèñòåìà âåñüìà áîëüøèõ (âûñîòîé îêîëî 2 ì) ïîïåðå÷íûõ âîëí çà êîðìîé, áåæàâøèõ çà êîðàáëåì, íî ñî
ñêîðîñòüþ, ìåíüøåé ñêîðîñòè åãî õîäà, òàê ÷òî ýòà
ñèñòåìà âîëí îòñòàâàëà îò êîðàáëÿ; îäíàêî ïðè ìåðòâîì øòèëå îíà áûëà ÿñíî çàìåòíà íà ðàññòîÿíèè áîëåå
2 ìèëü, ÷òî áûëî âèäíî ïî âåõàì ìåðíîé ìèëè. Âîëíû
íà ñâîå îáðàçîâàíèå òðåáóþò çàòðàòû ýíåðãèè; ñòàíîâèëîñü ÿñíûì, ÷òî ýòà ýíåðãèÿ äîñòàâëÿëàñü ãëàâíûìè
1
Èíòåðåñíî, ÷òî:
1 óçåë = 1 ìîðñêàÿ ìèëÿ â ÷àñ,
1 ìîðñêàÿ ìèëÿ â ÷àñ = 1,852 êì,
1 ôóò = 12 äþéìîâ = 0,3048 ì,
1 ñàæåíü = 1/500 âåðñòû = 3 àðøèíà = 12 ïÿäåé =
= 48 âåðøêîâ = 7 ôóòîâ = 2,1336 ì.
(Ïðèì. ðåä.)
Ïîðòðåò À.Í.Êðûëîâà çà ðàáîòîé
ìåõàíèçìàìè êîðàáëÿ è áåçâîçâðàòíî óíîñèëàñü â
ìîðå.
Ýòî ÿâëÿëîñü âåñüìà íàãëÿäíûì ïîäòâåðæäåíèåì
òåîðèè, äàííîé çà 10 ëåò ïåðåä òåì Â.Ôðóäîì, çàêëþ÷àþùåéñÿ â ïîäðàçäåëåíèè ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ
Ê
150-ËÅÒÈÞ
âîäû íà ñîïðîòèâëåíèå îò òðåíèÿ è âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå è â ðàçäåëüíîì îïðåäåëåíèè òîãî è äðóãîãî ïî
îïûòàì íàä ìîäåëÿìè, à çàòåì îïðåäåëåíèè ïîòðåáíîé
ìîùíîñòè äëÿ äàííîé ñêîðîñòè õîäà êîðàáëÿ.
Íàø Îïûòîâûé áàññåéí áûë îòêðûò â 1892 ã. ïî
ñîâåòó Ä.È.Ìåíäåëååâà.
1 ÿíâàðÿ 1900 ã. ÿ áûë íàçíà÷åí íà äîëæíîñòü
çàâåäóþùåãî áàññåéíîì è ñ ëåòà 1900 ã. ïðèñòóïèë ê
ðÿäó íàòóðíûõ ïðîãðåññèâíûõ èñïûòàíèé ñóäîâ, êîòîðûå ïðåæäå ïî÷òè íå ïðîèçâîäèëèñü; ïàðàëëåëüíî
èñïûòûâàëèñü è ìîäåëè ýòèõ ñóäîâ.
Áûëî âåñüìà óäèâèòåëüíî, íàñêîëüêî áëèçêî òåîðèÿ Ôðóäà, íåñìîòðÿ íà èçâåñòíîå åå ïðîòèâîðå÷èå
òåîðåòè÷åñêèì îñíîâàì ãèäðîäèíàìèêè, ñîãëàñîâàëàñü
ñ äåéñòâèòåëüíîñòüþ (ïîãðåøíîñòü â ñêîðîñòè ñîñòàâëÿëà îêîëî 2–2,5%), õîòÿ ìíîãèå ñóäà («Ïåòðîïàâëîâñê», «Ñåâàñòîïîëü», «Ïîëòàâà», «Àëåêñàíäð III»)
áûëè ïîëíîãî îáðàçîâàíèÿ è ãëàâíàÿ ÷àñòü ìîùíîñòè
ïîãëîùàëàñü ó íèõ âîëíîâûì ñîïðîòèâëåíèåì.
 ÿíâàðå 1898 ã. áûëà îïóáëèêîâàíà ñòàòüÿ Ìèò÷åëÿ î òåîðèè âîëíîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. ß ïûòàëñÿ
òîãäà æå ïðèëîæèòü ýòó òåîðèþ ê âû÷èñëåíèþ âîëíîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, íî ñ ïåðâûõ æå øàãîâ âñòðåòèë
òàêèå îñíîâíûå ãèïîòåçû, îáùèå äëÿ áîëüøåé ÷àñòè
ïîëîæåíèé êëàññè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêè, êîòîðûå
ìåíÿ ñðàçó îòòîëêíóëè îò çàòðàòû áîëüøîãî òðóäà è
âðåìåíè íà îáñòîÿòåëüíîå èçó÷åíèå ñòàòüè Ìèò÷åëÿ è
íà ïîñòàíîâêó îïûòîâ äëÿ åå ïðîâåðêè, – íàñòîëüêî
ýòè ãèïîòåçû êàçàëèñü ïðîòèâîðå÷àùèìè âñåé óñòàíîâèâøåéñÿ ïðàêòèêå áàññåéíîâ, êàê íàøåãî, òàê è çàãðàíè÷íûõ.
Ê òàêîãî ðîäà ãèïîòåçàì îòíîñÿòñÿ ñëåäóþùèå äîïóùåíèÿ.
1. Æèäêîñòü ïðåäïîëàãàåòñÿ èäåàëüíîé, ò.å. íå âÿçêîé. Âñÿ æå äåÿòåëüíîñòü áàññåéíà îñíîâûâàëàñü íà
âû÷èñëåíèè òðåíèÿ íà îñíîâàíèè îïûòîâ Ôðóäà, à â
èäåàëüíîé æèäêîñòè âíóòðåííåãî òðåíèÿ èëè âÿçêîñòè íåò.
2. Æèäêîñòü ïðåäïîëàãàåòñÿ
íåñæèìàåìîé – òàêàÿ æèäêîñòü
çâóêà ïðîâîäèòü íå ìîæåò. Ìåæäó òåì, â ýòî âðåìÿ èçó÷àëñÿ
ãèäðîôîí ñèñòåìû Íèðåíáåðãà;
ãèäðîôîí òàê îãëóøèòåëüíî âûë
â Ãàëåðíîé ãàâàíè, ÷òî åãî áûëî
ñëûøíî çà 7 âåðñò íà Íåâñêîì
ïëàâó÷åì ìàÿêå; ïî âîçäóõó æå
òóäà çâóê íå äîñòèãàë. Ïðåäâàðèòåëüíûå îïûòû ñ ýòèì ãèäðîôîíîì ïðîèçâîäèëèñü â áàññåéíå. Îïÿòü âûõîäèëî íåïðèìèðèìîå ïðîòèâîðå÷èå ìåæäó òåîðåòè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêîé èäåàëüíîé æèäêîñòè è ïðàêòèêîé.
 1909 ã., êîãäà ÿ óæå áûë
ãëàâíûì èíñïåêòîðîì êîðàáëåñòðîåíèÿ è ïðåäñåäàòåëåì Ìîðñêîãî òåõíè÷åñêîãî êîìèòåòà, ïî
ìîåìó ïðåäñòàâëåíèþ, ââèäó
ïðåäñòîÿâøèõ èñïûòàíèé áû- Êðåéñåð «Êàãóë»
À.Í.ÊÐÛËÎÂÀ
!
ñòðîõîäíûõ ìèíîíîñöåâ è ñòðîèâøèõñÿ íàøèõ ïåðâûõ äðåäíîóòîâ, áûëî ðåøåíî ïðîèçâåñòè â ×åðíîì
ìîðå, íà Ëóêóëëüñêîé ìåðíîé ìèëå, èñïûòàíèÿ âëèÿíèÿ ãëóáèíû âîäû íà âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå. Äëÿ
ïðîèçâîäñòâà ýòèõ èñïûòàíèé áûëà íàçíà÷åíà êîìèññèÿ ïîä ïðåäñåäàòåëüñòâîì çàâåäóþùåãî áàññåéíîì
ïðîô. È.Ã.Áóáíîâà ïðè ó÷àñòèè ïåðñîíàëà áàññåéíà.
 ðàñïîðÿæåíèå êîìèññèè áûë ïðåäîñòàâëåí íà äâà
ìåñÿöà êðåéñåð «Êàãóë», âîäîèçìåùåíèåì 6500 ò,
ñòîèìîñòüþ â 8 ìëí òîãäàøíèõ ðóáëåé; òàêèì îáðàçîì,
îäíî ïîãàøåíèå è ïðîöåíòû íà çàòðà÷åííûé êàïèòàë çà
äâà ìåñÿöà ñîñòàâëÿëè îêîëî 150000 ðóáëåé. Ê ýòèì
íàêëàäíûì ðàñõîäàì íàäî ïðèáàâèòü ñîäåðæàíèå è
äîâîëüñòâèå êîìàíäû (500 ÷åëîâåê), îôèöåðîâ è ìåõàíèêîâ (25 ÷åëîâåê) è ñòîèìîñòü óãëÿ, ìàñëà è ïð. – åùå
îêîëî 50000 ðóáëåé.
Ðåçóëüòàòû ýòèõ èñïûòàíèé, ïðîèçâåäåííûõ ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ ñïåöèàëüíî ïîñòðîåííûìè ñàìîçàïèñûâàþùèìè ïðèáîðàìè, áûëè îïóáëèêîâàíû îòäåëüíîé
êíèãîé è íå óòðàòèëè ñâîåãî çíà÷åíèÿ è ïîó÷èòåëüíîñòè è ïî ñèå âðåìÿ. Äåëî â òîì, ÷òî ïðîô. Ñðåòåíñêèé
â 1938 ã. ðàçâèë è îáîáùèë òåîðèþ Ìèò÷åëÿ, à ïðîô.
Õàíîâè÷ è ïðîô. Ïàâëåíêî ïîêàçàëè óïðîùåííûå
ñïîñîáû ïðîèçâîäñòâà îòíîñÿùèõñÿ ñþäà ÷èñëîâûõ
ðàñ÷åòîâ.
Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòàòû èñïûòàíèé «Êàãóëà»
äàþò âîçìîæíîñòü ñëè÷èòü ÷èñòî òåîðåòè÷åñêèå ðàñ÷åòû ñ íåïîñðåäñòâåííî íàáëþäåííûìè äàííûìè, óñòàíîâèâ ïðè ýòîì ðàçìåðû ñïóòíîé âîëíû, ÷òî ïðè òåïåðåøíèõ áûñòðîõîäíûõ ñóäàõ è ñðàâíèòåëüíîì ìåëêîâîäüå
Ôèíñêîãî çàëèâà ïîëó÷àåò íåìàëîâàæíîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå.
Íà òîé æå Ëóêóëëüñêîé ìåðíîé ìèëå â 1915 ã. ïîä
ïðåäñåäàòåëüñòâîì êîíòð-àäìèðàëà Áåëîãîëîâîãî ðàáîòàëà êîìèññèÿ ïî ïðîèçâîäñòâó ïðèåìíûõ èñïûòàíèé øåñòè ìèíîíîñöåâ òèïà «Áûñòðûé» (âîäîèçìåùå-
"
ÊÂÀÍT 2013/¹3
íèå 1350 ò, ìàøèíà â 30000 ë.ñ., õîä 35 óçëîâ).  ÷èñëå
êîíòðàêòíûõ èñïûòàíèé áûëî îãîâîðåíî 10-÷àñîâîå
èñïûòàíèå ïðè ñêîðîñòè â 30 óçëîâ, ÷òî òðåáîâàëî
ìîùíîñòè îêîëî 0,8 îò ïîëíîé.
Íå çíàÿ îá èñïûòàíèÿõ «Êàãóëà» èëè íå ïðèäàâàÿ èì
çíà÷åíèÿ, êîíòð-àäìèðàë Áåëîãîëîâûé õîòåë äîáèòüñÿ
òðåáóåìîãî õîäà 30 óçëîâ è íà ãëóáèíå îêîëî 20 ì.
Îäíàêî, õîòÿ ìàøèíà ðàçâèëà ìîùíîñòü íå â 20000, à
â 30000 ñèë è äàæå áîëüøå, õîä îñòàâàëñÿ ðàâíûì 29
óçëàì è äàëüøå íå âîçðàñòàë. Çà êîðìîé áåæàëà
ãðîìàäíàÿ âîëíà, è, åñëè áû íå ïðîòåñò ïðåäñòàâèòåëÿ
çàâîäà (ñ çàïèñüþ â àêò èñïûòàíèé è â âàõòåííûé
æóðíàë), êîòëû áûëè áû ñîææåíû è ïðîèçîøåë áû
ìàññîâûé ðàçðûâ êîòåëüíûõ òðóáîê, ïðè÷åì ïîñòðàäàëè áû êî÷åãàðû, ïîäîáíî òîìó êàê â 1888 ã. îò äðóãîé
ïðè÷èíû íà áðîíåíîñöå «Ñèíîï» áûëè îáâàðåíû íàñìåðòü 29 êî÷åãàðîâ è ìàòðîñîâ.
Àâàðèÿ íà «Êàãóëå» èìåëà áû è äðóãèå ÷ðåçâû÷àéíî
òÿæåëûå ïîñëåäñòâèÿ: ëè÷íûé ñîñòàâ âñåãî ôëîòà ïîòåðÿë áû äîâåðèå ê âîäîòðóáíûì êîòëàì, ò.å. ôëîò
ïîòåðÿë áû äîâåðèå ê ñâîèì êîðàáëÿì, à ýòî óæå
çíà÷èòåëüíî âàæíåå, ÷åì äîâåðèå èëè íåäîâåðèå ê
ôîðìóëå Ìèò÷åëÿ, ê ãèïîòåçàì ãèäðîäèíàìèêè èëè ê
ñïðàâåäëèâîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé.
Èñïûòàíèÿ íà Ëóêóëëüñêîé ìèëå áûëè ïðåêðàùåíû
(ïðîäîëæåíèåì èõ ÿâèëèñü èñïûòàíèÿ áëèç ìûñà Ñàðû÷, ãäå ãëóáèíà âîäû ñîñòàâëÿëà îêîëî 100 ñàæåíåé
è ìèíîíîñåö ñâîáîäíî ðàçâèë 30 óçëîâ ïðè ìîùíîñòè,
íåñêîëüêî áîëüøåé 20000 ñèë).
Ìíå áûëî ïîðó÷åíî ðàçîáðàòü ýòî äåëî. ß òîãäà æå
ñîñòàâèë î íåì ïîäðîáíóþ çàïèñêó, êîòîðàÿ òîëüêî â
1931 ã. áûëà íàïå÷àòàíà â «Áþëëåòåíå Íàó÷íî-òåõíè÷åñêîãî êîìèòåòà» ïîä çàãëàâèåì «Îá èñïûòàíèÿõ
ìèíîíîñöà «Áûñòðûé».
Ñóùíîñòü ÿâëåíèÿ ñîñòîèò â òîì, êàê ýòî áûëî
óñòàíîâëåíî îïûòàìè ßððîó åùå â 1905 ã., ÷òî ïðè
ñêîðîñòè
v=
gh ,
ãäå v – ñêîðîñòü, h – ãëóáèíà âîäû, g – óñêîðåíèå ñèëû
òÿæåñòè, îáðàçóåòñÿ ñïóòíàÿ âîëíà, ñêîðîñòü áåãà êîòîðîé ðàâíà ñêîðîñòè õîäà êîðàáëÿ, è äîáàâî÷íàÿ ìîùíîñòü, ðàçâèâàåìàÿ ìàøèíîé êîðàáëÿ, çàòðà÷èâàåòñÿ
íå íà óâåëè÷åíèå ñêîðîñòè õîäà, êàê áûëî áû íà
ãëóáîêîé âîäå, à íà ïîääåðæàíèå ýòîé âîëíû. Íàäî,
÷òîáû ìàøèíà ðàçâèëà ìîùíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùóþ
ïðèìåðíî ñêîðîñòè, íà 5–6 óçëîâ áîëüøåé óêàçàííîé
«êðèòè÷åñêîé»; òîãäà êîðàáëü, êàê áû ñêà÷êàìè, ñðàçó
äîñòèãíåò ýòîé ïîâûøåííîé ñêîðîñòè è äàëåå ïîéäåò
íîðìàëüíî, ïîäîáíî òîìó êàê íà ãëóáîêîé âîäå.
Ñêîðîñòü 30 óçëîâ ñîñòàâëÿåò 51 ôóò â ñåêóíäó;
«êðèòè÷åñêàÿ» ãëóáèíà âîäû:
h=
v2 51 ◊ 51
=
ôóò = 81 ôóò = 14,5 ñàæåíè ;
g
32,2
ýòî êàê ðàç òà ãëóáèíà, íà êîòîðîé ïðîèçâîäèëîñü
èñïûòàíèå íà Ëóêóëëüñêîé ìåðíîé ìèëå, è íàäî áûëî
áû ðàçâèòü ìîùíîñòü íå â 20000 ñèë, ñîîòâåòñòâóþùóþ
30 óçëàì, à ìîùíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùóþ 36 óçëàì,
îêîëî 33000 ñèë, ò.å. áîëüøóþ, íåæåëè ïðåäåëüíàÿ.
Ñòðåìëåíèå äîñòèãíóòü ñêîðîñòè â 30 óçëîâ íà
10-÷àñîâîì èñïûòàíèè áûëî áû ðàâíîñèëüíî ïðîèçâîäñòâó èñïûòàíèÿ ñàìûì ïîëíûì õîäîì â òå÷åíèå
10 ÷àñîâ, ÷òî íàäîðâàëî áû êîòëû.
 1912 ã. ìèíîíîñåö «Íîâèê» ïîä êîìàíäîâàíèåì
êàïèòàíà 2-ãî ðàíãà Ä.Í.Âåðäåðåâñêîãî ïðîõîäèë
20-óçëîâûì õîäîì â ðàññòîÿíèè îêîëî 6 ìèëü ìèìî
ìàÿêà, ðàñïîëîæåííîãî ïðè âõîäå â îäèí èç øõåðíûõ ôàðâàòåðîâ, ïîäîáíî òîìó êàê áàøíÿ Ãðîõàðà
ðàñïîëîæåíà ïðè âõîäå â Ãåëüñèíãôîðñ. Ó ýòîãî ìàÿêà áûëà ïîñòðîåíà íà ñâàÿõ äåðåâÿííàÿ ïðèñòàíü,
ïîìîñò êîòîðîé âîçâûøàëñÿ íàä âîäîé íà 9 ôóòîâ.
Áûë ìåðòâûé øòèëü, íà ïðèñòàíè ëåæàëà ââåðõ êèëåì øëþïêà, è îêîëî íåå èãðàëè äâà ìàëü÷èêà, îäèí
10 ëåò, äðóãîé 6 ëåò. Ñòàðøèé çàìåòèë, ÷òî ïî ìîðþ
ê ïðèñòàíè èäåò âûñîêàÿ âîëíà, è áðîñèëñÿ áåæàòü ê
áåðåãó; ìëàäøèé îñòàëñÿ íà ïðèñòàíè. Âîëíà âêàòèëà
íà ïðèñòàíü, ñìûëà øëþïêó è âñå, ÷òî áûëî íà
ïðèñòàíè, â òîì ÷èñëå è ìàëü÷èêà, êîòîðûé è óòîíóë.
Ñàìî ñîáîé ðàçóìååòñÿ, ÷òî ñ «Íîâèêà» íè÷åãî ýòîãî
âèäíî íå áûëî, è ëèøü ïî ïðèõîäå â Ãàíãå êîìàíäèðó áûëà äîñòàâëåíà òåëåãðàììà î ïðîèñøåäøåì íåñ÷àñòèè.
Áûëî íàðÿæåíî ñëåäñòâèå, è ìîðñêîé ìèíèñòð ïîðó÷èë ìíå äîëîæèòü åìó ýòî äåëî. Îêàçàëîñü, ÷òî íà
îòêðûòîì ïëåñå ïî ïóòè «Íîâèêà» áûëà êîðîòêàÿ
áàíêà ñ ãëóáèíîé âîäû â 35 ôóòîâ. Ýòà ãëóáèíà
ÿâëÿåòñÿ êàê ðàç «êðèòè÷åñêîé» äëÿ ñêîðîñòè 20 óçëîâ; íà íåé è îáðàçîâàëàñü ãðîìàäíàÿ âîëíà, êîòîðàÿ
çàòåì ïîáåæàëà äàëüøå è íàòâîðèëà áåäó. Ýòî áûëà
âîèñòèíó «íåïðåäâèäåííàÿ íà ìîðå ñëó÷àéíîñòü».
Ñëó÷àé ñ «Íîâèêîì» ïîêàçûâàåò, íàñêîëüêî îïàñíî
íå äëÿ ñàìîãî êîðàáëÿ, à äëÿ ìàÿêîâ, áàøåí, çíàêîâ,
ïîñòðîåííûõ íà íèçìåííûõ ìåñòàõ, äëÿ ìèìî èäóùèõ ñóäîâ è ïð. ðàçâèòèå íà äàííîé ãëóáèíå «êðèòè÷åñêîé» è áëèçêèõ ê íåé ñêîðîñòåé (íà÷èíàÿ ïðèìåðíî îò ñêîðîñòè â 0,75 äî 1,25 îò êðèòè÷åñêîé).
Ïîäâåðãíóâ çàíîâî èññëåäîâàíèþ âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå «Êàãóëà» è îïðåäåëèâ ïî ôîðìóëàì ïðîô.
Ñðåòåíñêîãî ýëåìåíòû ñïóòíîé âîëíû äëÿ òèïè÷íûõ
ñóäîâ Êðàñíîçíàìåííîãî Áàëòèéñêîãî ôëîòà (ýñêàäðåííîãî ìèíîíîñöà, ëèäåðà, êðåéñåðà, ëèíåéíîãî êîðàáëÿ), ìîæíî áûëî áû íàíåñòè íà ãåíåðàëüíûå êàðòû Áàëòèéñêîãî ìîðÿ èçîáàòû, ò.å. ëèíèè ðàâíûõ
ãëóáèí, ñîîòâåòñòâóþùèå êðèòè÷åñêèì ñêîðîñòÿì.
Èçó÷èâ òàêóþ êàðòó è èìåÿ åå ïåðåä ñîáîé, êîìàíäèð
èëè ñòàðøèé øòóðìàí êîðàáëÿ ìîãëè áû âûáèðàòü
êóðñû è ñêîðîñòè ñâîåãî êîðàáëÿ òàê, ÷òîáû íå ïðè÷èíÿòü âðåäà áåðåãîâûì ñîîðóæåíèÿì. Âìåñòå ñ òåì
èì íå ïðèøëîñü áû óäèâëÿòüñÿ âíåçàïíûì ïàäåíèÿì
õîäêîñòè êîðàáëÿ è ïðèïèñûâàòü íåâåäîìûì ïðè÷èíàì ýòî åñòåñòâåííîå è íåèçáåæíîå ÿâëåíèå.
Òàêàÿ ðàáîòà, âûïîëíåííàÿ â Âîåííî-ìîðñêîé àêàäåìèè, áûëà áû ïîëåçíûì óïðàæíåíèåì äëÿ ñëóøàòåëåé àêàäåìèè è â òî æå âðåìÿ ìîãëà áû ñ ïîëüçîé
ïîñëóæèòü è äëÿ ôëîòà.
Ãðàâèòàöèîííûé áèëüÿðä,
èëè Ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü
ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà
À.ÀÍÄÐÅÅÂ, À.ÏÀÍÎÂ
Ë
ÀÇÅÐÍÛÉ ÐÅÇÎÍÀÒÎÐ ÏÐÅÄÑÒÀÂËßÅÒ ÑÎÁÎÉ
ïðîñòîå îïòè÷åñêîå óñòðîéñòâî – äâà ñôåðè÷åñêèõ çåðêàëà, ðàñïîëîæåííûõ äðóã ïðîòèâ äðóãà.
 ïðîøëîì íîìåðå «Êâàíòà» â ñòàòüå «Ëàçåðíûé
ðåçîíàòîð» îáñóæäàëñÿ âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè òàêîãî
ðåçîíàòîðà.
Åñëè êîðîòêî, òî ðå÷ü øëà î ñëåäóþùåì.  çàâèñèìîñòè îò ñî÷åòàíèÿ ðàäèóñîâ çåðêàë R1 è R2 è
ðàññòîÿíèÿ L ìåæäó
íèìè (ðèñ.1) ñâåòîâîé
ëó÷,
ïðîõîäÿùèé
âáëèçè îñè (ïàðàêñèàëüíûé ëó÷), äåìîíÐèñ.1. Ëàçåðíûé ðåçîíàòîð, çàäà- ñòðèðóåò äâà òèïà ïîíû ðàäèóñû çåðêàë è ðàññòîÿíèå âåäåíèÿ. Ïðè îäíèõ
ìåæäó íèìè
ñî÷åòàíèÿõ ïàðàìåòðîâ
ïàðàêñèàëüíûé ëó÷ ïîñëå íåñêîëüêèõ îòðàæåíèé âûáðàñûâàåòñÿ èç ïðîñòðàíñòâà ìåæäó çåðêàëàìè, è òàêîé ðåçîíàòîð íàçûâàåòñÿ íåóñòîé÷èâûì. Ïðè äðóãèõ
ñî÷åòàíèÿõ ïàðàêñèàëüíûé ëó÷ ïðè ëþáîì êîëè÷åñòâå
îòðàæåíèé ïðîäîëæàåò îñòàâàòüñÿ âíóòðè ðåçîíàòîðà,
è òàêîé ðåçîíàòîð íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Âèåòà è ôîðìóëû ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà
áûë âûâåäåí êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà, à ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðíîãî ýêñïåðèìåíòà
ýòîò êðèòåðèé áûë ïîäòâåðæäåí.
Ñåé÷àñ ìû äîáàâèì ê ýòîìó ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé
ýêñïåðèìåíò, êîòîðûé ïîçâîëèò óâèäåòü íàÿâó ýòó
ñàìóþ óñòîé÷èâîñòü/íåóñòîé÷èâîñòü, è çàîäíî ñêîíñòðóèðóåì ìåõàíè÷åñêóþ ìîäåëü ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà.
Ãðàâèòàöèîííûé áèëüÿðä
Ðèñ.2. Èç-çà ðàçíîñòè äàâëåíèé
âîçäóõà ðåçèíîâàÿ ïëåíêà ïðèíèìàåò ñôåðè÷åñêóþ ôîðìó
Íà ýòîò ðàç â êà÷åñòâå îäíîãî çåðêàëà ìû
èñïîëüçóåì ðåçèíîâóþ
ïëåíêó îò âîçäóøíîãî
øàðèêà, â êà÷åñòâå
«äðóãîãî çåðêàëà» –
ãðàâèòàöèîííîå ïîëå,
à ñâåòîâîé ëó÷ çàìåíèì ìåòàëëè÷åñêèì
øàðèêîì.
Íà îáû÷íóþ ñòåêëÿííóþ áàíêó íàòÿíåì
êóñîê ðåçèíîâîé ïëåí-
êè. Íàæìåì íà íåå è âûïóñòèì èç áàíêè íåìíîãî
âîçäóõà, ÷òîáû ïîä äåéñòâèåì àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ
ïëåíêà ïðîãíóëàñü âíóòðü, à çàòåì çàôèêñèðóåì åå
ðåçèíîâûì êîëå÷êîì (ðèñ.2). Åñëè íà òàêóþ ïëåíêó ñ
ìàëîé âûñîòû òî÷íî ïî öåíòðó îòïóñòèòü íåáîëüøîé
ìåòàëëè÷åñêèé øàðèê, òî îí áóäåò ìíîãîêðàòíî ïîäïðûãèâàòü, îòðàæàÿñü îò ïëåíêè, è ýòè îòðàæåíèÿ
áóäóò ïðîäîëæàòüñÿ äîñòàòî÷íî äîëãî. Íà ñàìîì äåëå,
âñå çàâèñèò îò ñàìîé ïëåíêè, îò áàíêè è îò ðàçìåðîâ
øàðèêà.
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïîäïðûãèâàíèé áóäåò äîõîäèòü äî îäíîé ìèíóòû, à òî è áîëüøå.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïîòåðè ýíåðãèè ïðè êàæäîì ñîóäàðåíèè øàðèêà ñ ïëåíêîé êðàéíå ìàëû. Âî âñÿêîì ñëó÷àå,
ìû íàáëþäàåì, ÷òî ïðè ìàëîé íà÷àëüíîé âûñîòå øàðèê
óñòîé÷èâî äâèæåòñÿ âäîëü âåðòèêàëüíîé îñè îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè.
Áóäåì òåïåðü ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàòü âûñîòó, ñ
êîòîðîé îòïóñêàåì øàðèê.  íåêîòîðûé ìîìåíò, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé êðèòè÷åñêîé âûñîòû hêð , âîçíèêàåò
íåóñòîé÷èâîñòü. À èìåííî, åñëè íà÷àëüíàÿ âûñîòà
áîëüøå hêð , òî, êàê áû òî÷íî ìû íè ïðèöåëèâàëèñü ïî
öåíòðó ïëåíêè, âñå ðàâíî ïîñëå íåñêîëüêèõ ñîóäàðåíèé
øàðèê áóäåò âûáðîøåí çà ïðåäåëû ïëåíêè. Ýòî – òî æå
ñàìîå ÿâëåíèå íåóñòîé÷èâîñòè, êîòîðîå íàáëþäàåòñÿ â
ëàçåðíîì ðåçîíàòîðå. ×òîáû ðàçîáðàòüñÿ ñ ìåõàíèçìîì íåóñòîé÷èâîñòè â ýòîì ñëó÷àå è îöåíèòü âåëè÷èíó
êðèòè÷åñêîé âûñîòû hêð , ïåðåéäåì îò ôèçè÷åñêîé
ìîäåëè ê êîìïüþòåðíîé.
Ïàðàáîëè÷åñêèé ãðàâèòàöèîííûé áèëüÿðä
Çàìåíèì ñôåðè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü ðåçèíîâîé ïëåíêè íà èäåàëüíóþ îòðàæàþùóþ ïàðàáîëè÷åñêóþ ïëåíêó. «Èäåàëüíóþ» – ýòî çíà÷èò òàêóþ, ÷òî ïðè ñîóäàðåíèÿõ ñ íåé íå ïðîèñõîäèò ïîòåðè ýíåðãèè øàðèêà è óãîë
ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ. Âûáîð æå ïàðàáîëè÷åñêîé ôîðìû ïëåíêè ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî äëÿ íåå âñå
ðàñ÷åòû îêàçûâàåòñÿ íàìíîãî ïðîùå, ÷åì äëÿ ñôåðè÷åñêîé.
Äëÿ íà÷àëà áóäåì ðàáîòàòü ñ îòðàæàþùåé ïàðàáî2
ëîé, çàäàííîé óðàâíåíèåì y = x . Êîìïüþòåðíûé ýêñïåðèìåíò ïîêàçûâàåò (ðèñ.3), ÷òî â ýòîì ñëó÷àå
hêð = 0,25 . Íî íà âûñîòå 0,25 êàê ðàç ðàñïîëîæåí
îïòè÷åñêèé ôîêóñ ïàðàáîëû y = x2 – ïó÷îê ñâåòîâûõ
ëó÷åé, èäóùèé ïàðàëëåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè ýòîé
$
ÊÂÀÍT 2013/¹3
òè/íåóñòîé÷èâîñòè, ÷òî áûëî îïèñàíî â ñòàòüå «Ëàçåðíûé ðåçîíàòîð».
Âûÿñíèì ìåõàíèçì ïîÿâëåíèÿ íåóñòîé÷èâîñòè â ãðàâèòàöèîííîì ïàðàáîëè÷åñêîì áèëüÿðäå.
Êîìïüþòåðíûé ýêñïåðèìåíò ïîêàçûâàåò: åñëè òðàåêòîðèÿ øàðèêà ïðîøëà ÷åðåç ôîêóñ, òî ïîñëå ñëåäóþùåãî ñîóäàðåíèÿ îíà ñíîâà ïðîéäåò ÷åðåç ôîêóñ. È
åñëè øàðèê ïðîøåë ÷åðåç ôîêóñ ïî íèñõîäÿùåé âåòâè
ïàðàáîëû, òî åãî òðàåêòîðèÿ íåêîòîðîå âðåìÿ áóäåò
ïðèòÿãèâàòüñÿ ê îñè áèëüÿðäà. Èòàê, âáëèçè îñè áèëüÿðäà ïðîõîäÿò òðàåêòîðèè, êîòîðûå ê ýòîé ñàìîé îñè
ïðèòÿãèâàþòñÿ.
Ïîäîæäåì, ïîêà òàêàÿ òðàåêòîðèÿ äîâîëüíî ñèëüíî
ïðèòÿíåòñÿ ê îñè, è â êàêîé-òî ìîìåíò âðåìåíè îáðàòèì
íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ øàðèêà. Øàðèê áóäåò äâèãàòüñÿ ïî òîé æå ñàìîé òðàåêòîðèè, íî â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Íîâàÿ òðàåêòîðèÿ òîæå áóäåò ïðîõîäèòü âáëèçè
îñè, íî óæå áóäåò îòòàëêèâàòüñÿ îò íåå.
Òàêèì îáðàçîì, ñðåäè ïàðàêñèàëüíûõ òðàåêòîðèé,
ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôîêóñ, åñòü è ïðèòÿãèâàþùèåñÿ è
îòòàëêèâàþùèåñÿ.
Òåïåðü îñòàåòñÿ ó÷åñòü, ÷òî êîìïüþòåðíûå âû÷èñëåíèÿ ïðîèñõîäÿò ñ îãðàíè÷åííîé òî÷íîñòüþ. Çà ñ÷åò
îøèáîê îêðóãëåíèÿ, ðîëü êîòîðûõ âîçðàñòàåò ïðè
ïðèáëèæåíèè òðàåêòîðèè ê îñè, ïðîèñõîäèò «ïåðåñàäêà» ñ ïðèòÿãèâàþùåéñÿ òðàåêòîðèè íà îòòàëêèâàþùóþñÿ, è øàðèê îòáðàñûâàåòñÿ îò îñè áèëüÿðäà.
Ìîæíî åùå ñêàçàòü, ÷òî êàæäàÿ ïàðàêñèàëüíàÿ
òðàåêòîðèÿ, ïîäíèìàþùàÿñÿ âûøå ôîêóñà, ÿâëÿåòñÿ
«ñìåñüþ» ïðèòÿãèâàþùåéñÿ è îòòàëêèâàþùåéñÿ òðàåêòîðèé. Çà ñ÷åò îòòàëêèâàþùåé êîìïîíåíòû òàêàÿ
òðàåêòîðèÿ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè îòáðàñûâàåòñÿ îò îñè áèëüÿðäà, ÷òî è ïðîèñõîäèëî â íàøèõ
êîìïüþòåðíûõ (ñì. ðèñ.3 è 4) è ôèçè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòàõ.
À òåïåðü ïåðåéäåì ê îáåùàííîé íàìè ìåõàíè÷åñêîé
ìîäåëè.
•
Ðèñ.3. Øàðèê îòïóñêàåòñÿ ñ âûñîòû h 0 ñ îòêëîíåíèåì îò îñè
0,0001; ñëåâà h 0 = 0,24 – ïîñëå 500 ñîóäàðåíèé, ñïðàâà
h 0 = 0,26 – ïîñëå 20 ñîóäàðåíèé
ïàðàáîëû, ïîñëå îòðàæåíèÿ îò íåå ñîáèðàåòñÿ â ýòîì
ôîêóñå.
Òî÷íî òàê æå è äëÿ ëþáîé ïàðàáîëû y = ax2 êðèòè÷åñêàÿ âûñîòà, ðàçäåëÿþùàÿ óñòîé÷èâûå è íåóñòîé÷èâûå îñåâûå òðàåêòîðèè, áóäåò ðàâíà hêð = 1 4 a , ÷òî
ñîâïàäàåò ñ âûñîòîé îïòè÷åñêîãî ôîêóñà òàêîé ïàðàáîëû.
Ó ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà ôîêóñ ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè ïîëîâèíû ðàäèóñà îò âåðøèíû – èìåííî òàì
ñîáèðàþòñÿ ïàðàêñèàëüíûå ëó÷è, ïàðàëëåëüíûå îñè
çåðêàëà, ïîñëå îòðàæåíèÿ. Íàø êîìïüþòåðíûé ýêñïåðèìåíò ãîâîðèò, ÷òî, ïî-âèäèìîìó, äëÿ ñôåðè÷åñêîé
îòðàæàþùåé ïëåíêè ðàäèóñîì R êðèòè÷åñêàÿ âûñîòà,
îòäåëÿþùàÿ óñòîé÷èâûå òðàåêòîðèè îò íåóñòîé÷èâûõ,
áóäåò ðàâíà hêð = R 2 .
Ìåõàíèçì íåóñòîé÷èâîñòè
ãðàâèòàöèîííîãî áèëüÿðäà
Çàïóñòèì øàðèê òàê, ÷òîáû îí ïðîëåòåë ÷åðåç ôîêóñ
ïàðàáîëè÷åñêîãî áèëüÿðäà (ðèñ.4). Âèäíî, ÷òî ïîñëå
•
•
•
•
Ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà
Ðèñ.4. Øàðèê âñå âðåìÿ ïðîõîäèò ÷åðåç ôîêóñ ïàðàáîëû è íà
íà÷àëüíîì ýòàïå òðàåêòîðèè ïðèæèìàåòñÿ ê åå îñè; çàòåì
øàðèê íà÷èíàåò îòòàëêèâàòüñÿ îò îñè, è åãî âûáðàñûâàåò çà
ïðåäåëû ïëåíêè
êàæäîãî îòðàæåíèÿ îí òîæå ïðîõîäèò ÷åðåç ôîêóñ. È
åñëè îí ïðîëåòåë ÷åðåç ôîêóñ ïî íèñõîäÿùåé âåòâè
ïàðàáîëû, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 4 ñëåâà, òî åãî
òðàåêòîðèÿ áóäåò ïðèæèìàòüñÿ ê îñè ïàðàáîëû. Íî,
êàê ñëåäóåò èç ðèñóíêå 4 ñïðàâà, â íåêîòîðûé ìîìåíò
òðàåêòîðèÿ øàðèêà íà÷èíàåò îòòàëêèâàòüñÿ îò îñè, è
åãî âûáðàñûâàåò çà ïðåäåëû ïëåíêè.
Ïðàâûå ÷àñòè ðèñóíêîâ 3 è 4 ãîâîðÿò, ïî ñóòè, îá
îäíîì è òîì æå: åñëè ïðèîñåâàÿ – äàëüøå ìû áóäåì
ãîâîðèòü ïàðàêñèàëüíàÿ – òðàåêòîðèÿ øàðèêà ïîäíèìàåòñÿ âûøå ôîêóñà, òî ïîñëå íåñêîëüêèõ ñîóäàðåíèé
åå îòáðàñûâàåò îò îñè. Íàîáîðîò, åñëè ïàðàêñèàëüíàÿ
òðàåêòîðèÿ öåëèêîì ðàñïîëîæåíà íèæå ôîêóñà, òî îíà
âñå âðåìÿ îñòàåòñÿ âáëèçè îñè (ñì. ðèñ.3 ñëåâà). È
çäåñü ìû íàáëþäàåì òî æå ñàìîå ÿâëåíèå óñòîé÷èâîñ-
Åñëè áû óäàëîñü âûêëþ÷èòü ãðàâèòàöèþ è îêàçàòüñÿ
â óñëîâèÿõ íåâåñîìîñòè, òî äâå ðàñïîëîæåííûå äðóã
ïðîòèâ äðóãà áàíêè ñ äâèæóùèìñÿ ìåæäó íèìè øàðèêîì ìîãëè áû ïîñëóæèòü îòëè÷íîé ìåõàíè÷åñêîé ìîäåëüþ ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà (ðèñ.5). Ñ ïîìîùüþ ýòîé
êîíñòðóêöèè ìû ñìîãëè áû, íàïðèìåð, ïðîâåñòè ôèçè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò ïî ïðîâåðêå êðèòåðèÿ óñòîé÷èâîñòè ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà.
À èìåííî, ëàçåðíûé ðåçîíàòîð ñ ðàäèóñàìè çåðêàë
R1 , R2 è ðàññòîÿíèåì L ìåæäó íèìè áóäåò óñòîé-
Ðèñ.5. Ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü ëàçåðíîãî ðåçîíàòîðà
ÈÇ
ÈÑÒÎÐÈÈ
÷èâûì, åñëè
%
ÍÀÓÊÈ
Ïîäñòàâèì y = ax
(L - R1 )( L - R2 )(L - R1 - R2 ) < 0 ,
2
2
â óðàâíåíèå îêðóæíîñòè:
(
)
x + ax2 - R
2
= R2 .
Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê ïîëó÷èì
è áóäåò íåóñòîé÷èâûì, åñëè
(L - R1 )( L - R2 )(L - R1 - R2 ) ≥ 0 .
Ïîä êîíåö – äâà íåáîëüøèõ äîáàâëåíèÿ.
Ïàðàáîëà ïðîòèâ îêðóæíîñòè
 êàêîé-òî ìîìåíò íàì ïðèøëîñü çàìåíèòü ñôåðè÷åñêóþ
îòðàæàþùóþ ïîâåðõíîñòü ïàðàáîëè÷åñêîé, è ïðè ýòîì ìû
èñõîäèëè èç îïòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ìû ïîñ÷èòàëè, ÷òî
ïðè òàêîé çàìåíå îïòè÷åñêèå ôîêóñû ýòèõ ïîâåðõíîñòåé
äîëæíû ñîâïàäàòü. Ïîñìîòðèì íà äðóãèå ñîîáðàæåíèÿ,
ïîçâîëÿþùèå ñäåëàòü ïðàâèëüíóþ çàìåíó.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïëîñêîå ñå÷åíèå ïàðàáîëè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì y = ax2 , à ïëîñêîå ñå÷åíèå
2
ñôåðû çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì x2 + ( y - R) = R2 . Ýòî – ïàðàáîëà è îêðóæíîñòü,
îíè êàñàþòñÿ äðóã äðóãà â íà÷àëå êîîðäèíàò. Íà ðèñóíêå 6 ïîêàçàíî, ÷òî îêðóæíîñòü áîëüøîãî ðàäèóñà èìååò ñ ïàðàáîëîé
òðè îáùèå òî÷êè, à îêðóæíîñòü ìàëîãî ðàäèóñà òîëüêî îäíó –
òî÷êó êàñàíèÿ. Åñëè
ìû íà÷íåì óìåíüøàòü
ðàäèóñ áîëüøîé îêðóæíîñòè, òî åå òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïàðàáîÐèñ.6. Áîëüøàÿ îêðóæíîñòü ñëèø- ëîé áóäóò ñõîäèòüñÿ ê
êîì âåëèêà, ìàëåíüêàÿ – ñëèøêîì íà÷àëó êîîðäèíàò.
Î÷åâèäíî, ÷òî òîò ðàìàëà
äèóñ R, ïðè êîòîðîì
ýòè òî÷êè ñîëüþòñÿ ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò, è áóäåò ðàäèóñîì
îêðóæíîñòè, êîòîðàÿ ëó÷øå âñåãî ïðèáëèæàåò óêàçàííóþ
ïàðàáîëó. Âû÷èñëèì åãî.
(
)
x2 a2 x2 - (1 - 2aR) = 0 .
Ïðè áîëüøèõ R, êîãäà 1 - 2aR < 0 , ýòî óðàâíåíèå èìååò
÷åòûðå êîðíÿ: x1,2 = 0 , x3,4 = ± (1 a) - 2R , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò òðåì òî÷êàì ïåðåñå÷åíèÿ. Ïðè ìàëûõ R, êîãäà 1 - 2aR > 0 ,
óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ: x1,2 = 0 , è â ýòîì ñëó÷àå ïàðàáîëà è îêðóæíîñòü èìåþò òîëüêî îäíó îáùóþ òî÷êó – òî÷êó
êàñàíèÿ. Ýòîò ïåðåõîä îò îäíîãî ñëó÷àÿ ê äðóãîìó ïðîèñõîäèò, êîãäà
R
1
= .
1 - 2aR = 0 , èëè
4a
2
Íî ýòî êàê ðàç è åñòü óñëîâèå ñîâïàäåíèÿ îïòè÷åñêèõ
ôîêóñîâ ïàðàáîëè÷åñêîé è ñôåðè÷åñêîé îòðàæàþùèõ ïîâåðõíîñòåé.
Äîïîëíèòåëüíîå çàäàíèå
Îíî ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ òåõ, êòî ñîáèðàåòñÿ ïðîâîäèòü
êîìïüþòåðíûå ýêñïåðèìåíòû ïî ïîñòðîåíèþ òðàåêòîðèé
øàðèêà â ãðàâèòàöèîííîì ïàðàáîëè÷åñêîì áèëüÿðäå. Äëÿ
ïîñòðîåíèÿ òàêîé òðàåêòîðèè íóæíî ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿòü êîîðäèíàòû n-é òî÷êè ñîóäàðåíèÿ ( xn, yn ) è êîîðäèíàòû âåêòîðà ñêîðîñòè (un , vn ) íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå ýòîãî
ñîóäàðåíèÿ. Ïðîâåðüòå, ÷òî âäîëü òðàåêòîðèè øàðèêà ñîõðàíÿåòñÿ âåëè÷èíà
un2 vn2
+
+ gyn .
2
2
Ýòî – ïðîñòî-íàïðîñòî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè (çäåñü g –
óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ). Òàêæå ñîõðàíÿåòñÿ åùå
îäíà âåëè÷èíà, à èìåííî
2aun xn - vn .
Òàêèå ñîõðàíÿþùèåñÿ âåëè÷èíû íàçûâàþòñÿ èíòåãðàëàìè
áèëüÿðäà. Òàêèì îáðàçîì, ó ïàðàáîëè÷åñêîãî áèëüÿðäà èìåþòñÿ äâà èíòåãðàëà.
ÈÇ ÈÑÒÎÐÈÈ ÍÀÓÊÈ
Èñòîðèÿ, ïîëíàÿ
çàãàäîê
Ë.ÒÊÀ×ÅÂ
Î
ÊÀÇÛÂÀÅÒÑß, ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÅ ËÓ×È ÁÛËÈ ÎÒÊÐÛÒÛ
ñ ïîìîùüþ... øêîëüíîãî ýëåêòðîñêîïà. Åùå â 1785 ãîäó
Øàðëü Êóëîí ïðåäñòàâèë òðè äîêëàäà ïî ýëåêòðè÷åñòâó è
ìàãíåòèçìó Ôðàíöóçñêîé àêàäåìèè íàóê. Â îäíîì èç íèõ îí
îïèñàë ñâîè ýêñïåðèìåíòû, ïîêàçàâøèå, ÷òî èçîëèðîâàííûå
íàýëåêòðèçîâàííûå òåëà ñïîíòàííî ðàçðÿæàþòñÿ è ÷òî êà÷åñòâî èçîëÿöèè íå âëèÿåò íà ýòî ÿâëåíèå. Ïðîøëî 50 ëåò, è
Ìàéêë Ôàðàäåé â 1835 ãîäó (à çàòåì Óèëüÿì Êðóêñ â 1879)
îáíàðóæèë, ÷òî ñêîðîñòü ðàçðÿäà óìåíüøàåòñÿ, êîãäà óìåíüøàåòñÿ äàâëåíèå âîçäóõà: òàêèì îáðàçîì, íåïîñðåäñòâåííîé
ïðè÷èíîé ðàçðÿäà ÿâëÿåòñÿ èîíèçàöèÿ âîçäóõà. Íî ÷òî
èîíèçóåò âîçäóõ? Ïîïûòêè îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ è ïðîëîæèëè ïóòü ê îòêðûòèþ â 1912 ãîäó êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé.
 1896 ãîäó Àíðè Áåêêåðåëü îòêðûë ñïîíòàííóþ ðàäèîàêòèâíîñòü. Âñêîðå ïîñëå ýòîãî áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî çàðÿæåííûé ýëåêòðîñêîï áûñòðåå ðàçðÿæàåòñÿ â ïðèñóòñòâèè
ðàäèîàêòèâíîãî ìàòåðèàëà, è ñêîðîñòü ðàçðÿäà ýëåêòðîñêîïà
áûëà èñïîëüçîâàíà äëÿ èçìåðåíèÿ óðîâíÿ ðàäèîàêòèâíîñòè.
Îêîëî 1900 ãîäà ×àðëüç Âèëüñîí è, íåçàâèñèìî, Þëèóñ
Ýëñòåð è Ãàíñ Ãåéòåëü óëó÷øèëè òåõíèêó òùàòåëüíîé èçîëÿöèè ýëåêòðîñêîïà â çàìêíóòîì ñîñóäå è òåì ñàìûì ïîâûñèëè
åãî ÷óâñòâèòåëüíîñòü. Â 1901 ãîäó Âèëüñîí ñäåëàë ïî òåì
âðåìåíàì ôàíòàñòè÷åñêîå ïðåäïîëîæåíèå î âíåçåìíîé ïðèðîäå íàáëþäàåìîé ðàäèàöèè, èìåþùåé èñêëþ÷èòåëüíî âûñîêóþ ïðîíèêàþùóþ ñèëó. Îí ïðîâåë èññëåäîâàíèÿ â òóííåëÿõ, íî íå îáíàðóæèë óìåíüøåíèÿ ñêîðîñòè èîíèçàöèè, ÷òî
&
ÊÂÀÍT 2013/¹3
×àðëüç Âèëüñîí
ïðîòèâîðå÷èëî åãî ãèïîòåçå, è îíà áûëà çàáûòà íà ìíîãèå
ãîäû. Ýðíåñò Ðåçåðôîðä è Ãåíðè Êóê â 1903–1906 ãîäàõ
ïðîâåëè êîëè÷åñòâåííûå èçìåðåíèÿ ñ ýëåêòðîñêîïîì, çàùèùåííîì ìåòàëëè÷åñêèìè ñòåíêàìè òîëùèíîé â íåñêîëüêî
ñàíòèìåòðîâ, è óáåäèëèñü â òîì, ÷òî èîíèçàöèÿ âîçäóõà îò
òàêîé çàùèòû èçìåíÿëàñü íåçíà÷èòåëüíî. Ýòîò âûâîä áûë
ïîäòâåðæäåí èçìåðåíèÿìè äðóãîé ãðóïïû ó÷åíûõ, êîòîðûå
ïîãðóæàëè ýëåêòðîñêîï â áàê ñ âîäîé. Âîçíèê î÷åâèäíûé
âîïðîñ î ïðèðîäå ýòîé ðàäèàöèè: èìååò ëè îíà çåìíîå èëè
âíåçåìíîå ïðîèñõîæäåíèå.
Ïðîñòåéøåé ãèïîòåçîé áûëî, ÷òî ðàäèàöèÿ ñâÿçàíà ñ
ðàäèîàêòèâíûìè ýëåìåíòàìè â çåìíîé êîðå è â âîçäóõå, î
ñóùåñòâîâàíèè êîòîðûõ ñòàëî èçâåñòíî ïîñëå èññëåäîâàíèé
åñòåñòâåííîé ðàäèîàêòèâíîñòè Ìàðèåé è Ïüåðîì Êþðè.
Çåìíàÿ ïðèðîäà íàáëþäàåìîé ðàäèàöèè áûëà îáùåé òî÷êîé
çðåíèÿ, îäíàêî äîáèòüñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äîêàçàòåëüñòâ
îêàçàëîñü íåëåãêî. Òàê, áûëè ïðåäïðèíÿòû áîëüøèå óñèëèÿ,
÷òîáû ñîçäàòü òðàíñïîðòàáåëüíûé ýëåêòðîñêîï â âåíñêîé
Þëèóñ Ýëñòåð è Ãàíñ Ãåéãåëü
ìåòåîðîëîãè÷åñêîé ãðóïïå, ëèäèðîâàâøåé â òî âðåìÿ â
èçìåðåíèÿõ èîíèçàöèè â àòìîñôåðå. Îäíàêî îêîí÷àòåëüíàÿ
ðàçðàáîòêà òàêîãî èíñòðóìåíòà ïðèíàäëåæèò èåçóèòñêîìó
ñâÿùåííèêó è ó÷åíîìó Òåîäîðó Âóëüôó.  ýëåêòðîñêîïå
Âóëüôà äâà ìåòàëëè÷åñêèõ ëåïåñòêà áûëè çàìåíåíû ñòåêëÿííûìè ïðîâîëî÷êàìè, íàïûëåííûìè ìåòàëëîì è ðàñòÿíóòûìè ïðóæèíêîé òàêæå èç ñòåêëà. Ïîêàçàíèÿ ýëåêòðîìåòðà
ñ÷èòûâàëèñü ñ ïîìîùüþ ìèêðîñêîïà.  1909 ãîäó Âóëüô
ñîçäàë ýòîò ýëåêòðîìåòð äëÿ èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè îáðàçîâàíèÿ èîíîâ âíóòðè ãåðìåòè÷åñêè çàêðûòîãî êîíòåéíåðà è
èñïîëüçîâàë åãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü óðîâåíü ðàäèàöèè íà
âåðõó Ýéôåëåâîé áàøíè (300 ì íàä çåìëåé). Ïðèäåðæèâàÿñü ãèïîòåçû çåìíîãî ïðîèñõîæäåíèÿ áîëüøåé ÷àñòè èîíèçàöèè, îí îæèäàë óâèäåòü ñóùåñòâåííîå óìåíüøåíèå èîíèçàöèè íà âåðõó áàøíè ïî ñðàâíåíèþ ñ åå âåëè÷èíîé íà óðîâíå
çåìëè. Îäíàêî óìåíüøåíèå ñêîðîñòè èîíèçàöèè îêàçàëîñü
ñëèøêîì ìàëûì äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ ýòîé ãèïîòåçû.
Íàáëþäåíèÿ Âóëüôà áûëè çàãàäî÷íû è òðåáîâàëè îáúÿñíåíèÿ. Îäíèì èç âîçìîæíûõ ïóòåé ðåøåíèÿ ýòîé çàãàäêè
áûëî ïðîâåäåíèå èçìåðåíèé íà áîëüøèõ âûñîòàõ. Ê òîìó
âðåìåíè áàëëîííûå ýêñïåðèìåíòû èñïîëüçîâàëèñü óæå áîëåå
100 ëåò äëÿ èññëåäîâàíèÿ àòìîñôåðíîãî ýëåêòðè÷åñòâà íà
âûñîòàõ äî 7000 ì, è áûëî î÷åâèäíî, ÷òî èìåííî îíè ìîãóò
äàòü îòâåò íà âîïðîñ ïðîèñõîæäåíèÿ ïðîíèêàþùåãî èçëó÷åíèÿ.
Ìåòåîðîëîã Ôðàíö Ëèíêå ñîâåðøèë 12 áàëëîííûõ ïîëåòîâ â 1900–1903 ãîäàõ, ïîäíèìàÿñü äî âûñîòû 5500 ì ñ
ýëåêòðîñêîïàìè êîíñòðóêöèè Ýëñòåðà è Ãåéòåëÿ. Îïóáëèêîâàííûé èì îò÷åò çàêëþ÷àëñÿ ñëîâàìè: «…íà âûñîòå 1 êì
èîíèçàöèÿ ìåíüøå, ÷åì íà ïîâåðõíîñòè, ìåæäó 1 è 3 êì
èìååò òî æå ñàìîå çíà÷åíèå è ñòàíîâèòñÿ áîëüøå â 4 ðàçà íà
âûñîòå 5,5 êì… Îøèáêè èçìåðåíèé ïîçâîëÿþò ñäåëàòü
òîëüêî çàêëþ÷åíèå, ÷òî ïðè÷èíà èîíèçàöèè äîëæíà áûòü
íàéäåíà ïðåæäå âñåãî â Çåìëå». Íèêòî ïîçäíåå íå ññûëàëñÿ
íà Ëèíêå – ïî-âèäèìîìó, ïîòîìó, ÷òî îí ñäåëàë ïðàâèëüíûå
èçìåðåíèÿ, íî ïðèøåë ê íåïðàâèëüíîìó âûâîäó.
Êàðë Áåðãâèòö – ó÷åíèê Ýëñòåðà è Ãåéòåëÿ – ïîäíÿëñÿ â
1909 ãîäó íà àýðîñòàòå íà âûñîòó 1300 ì è îáíàðóæèë, ÷òî
âåëè÷èíà èîíèçàöèè óìåíüøèëàñü íà 24% ïî ñðàâíåíèþ ñ
âåëè÷èíîé íà çåìëå. Îäíàêî åãî ðåçóëüòàò áûë ïîäâåðãíóò
ñîìíåíèÿì ââèäó òîãî, ÷òî ýëåêòðîìåòð ñëîìàëñÿ âî âðåìÿ
ïîëåòà.
Ïðèìåðíî â ýòî æå âðåìÿ àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû áûëè
ïîëó÷åíû Àëôðåäîì Ãîêåëåì, êîòîðûé ïîäíèìàëñÿ äî âûñîòû 3000 ì. Èìåííî îí âïåðâûå ââåë òåðìèí «êîñìè÷åñêàÿ
ðàäèàöèÿ».
 1911 ãîäó Âèêòîð Ãåññ ñîâåðøèë ñâîè ïåðâûå äâà
áàëëîííûõ ïîëåòà. Äëÿ íèõ áûëè ïðåäîñòàâëåíû àýðîñòàòû
àâñòðèéñêîé àðìèè. Öåëüþ óæå ñàìîãî ïåðâîãî ïîëåòà áûëî
èññëåäîâàíèå çàâèñèìîñòè ïðîíèêàþùåãî èçëó÷åíèÿ, ïðèâîäÿùåãî ê ðàçðÿäó ýëåêòðîñêîïà, îò âûñîòû. Ãåññ äîñòèã
âûñîòû îêîëî 1100 ì è íå îáíàðóæèë ñóùåñòâåííîãî èçìåíåíèÿ â èíòåíñèâíîñòè ðàäèàöèè ïî ñðàâíåíèþ ñ èçìåðåíèÿìè íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Îäíàêî ýòî óêàçûâàëî íà ñóùåñòâîâàíèå êàêîãî-òî èñòî÷íèêà ðàäèàöèè â äîïîëíåíèå ê
ãàììà-ëó÷àì, âîçíèêàþùèì ïðè ðàäèîàêòèâíûõ ðàñïàäàõ â
çåìíîé êîðå. Ïåðâûå øåñòü ïîëåòîâ 1912 ãîäà ïðîâîäèëèñü
ñ áàçû âáëèçè Âåíû íà÷èíàÿ ñ 17 àïðåëÿ, êîãäà ïðîèñõîäèëî
÷àñòè÷íîå ñîëíå÷íîå çàòìåíèå. Äîñòèãíóâ âûñîòû 2750 ì,
Ãåññ íå îáíàðóæèë óìåíüøåíèÿ ïðîíèêàþùåé ðàäèàöèè âî
âðåìÿ çàòìåíèÿ. Íàïðîòèâ, îí ïîëó÷èë óêàçàíèå íà åå
óâåëè÷åíèå íà âûñîòå îêîëî 2000 ì.
7 àâãóñòà 1912 ãîäà ñîñòîÿëñÿ ïîñëåäíèé èç ñåìè áàëëîííûõ ïîëåòîâ Ãåññà, êîòîðûå îí ñîâåðøèë â òå÷åíèå 1912 ãîäà.
 íèõ èñïîëüçîâàëèñü òðè ýëåêòðîñêîïà Âóëüôà. Îäèí èç
ýëåêòðîñêîïîâ áûë îòêðûò íà âîçäóõ. Ñ ó÷åòîì óìåíüøåíèÿ
ÈÇ
ÈÑÒÎÐÈÈ
äàâëåíèÿ ýòîò ýëåêòðîñêîï ïîêàçàë äâóêðàòíîå óâåëè÷åíèå
èîíèçàöèè íà âûñîòå 4000 ì ïî ñðàâíåíèþ ñ èîíèçàöèåé íà
ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Ýòî áûëî ñâèäåòåëüñòâîì òîãî, ÷òî
ðàäèàöèÿ ïîïàäàåò â àòìîñôåðó èç âíåøíåãî ïðîñòðàíñòâà.
Ïðåæäå ÷åì äîëîæèòü ýòè ðåçóëüòàòû, Ãåññ ïðîâåë êîìáèíèðîâàííûé àíàëèç âñåõ äàííûõ ïî ñâîèì ïîëåòàì: íà âûñîòàõ
âûøå 2000 ì èçìåðåííûé óðîâåíü ðàäèàöèè íà÷èíàë ðàñòè;
ìåæäó 3000 è 4000 ì êîëè÷åñòâî èîíîâ âîçðîñëî íà 4 ïàðû;
íà âûñîòàõ îò 4000 äî 5200 ì óâåëè÷åíèå äîñòèãàëî îò 16 äî
18 ïàð èîíîâ. Âûâîäû Ãåññà áûëè òàêèìè: «Ðåçóëüòàòû
ïðåäñòàâëåííûõ íàáëþäåíèé íàèáîëåå ëåãêî ìîãóò áûòü
îáúÿñíåíû â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî èçëó÷åíèå ñ î÷åíü âûñîêîé
ïðîíèêàþùåé ñèëîé âõîäèò â íàøó àòìîñôåðó ñâåðõó… Òàê
êàê íå îáíàðóæåíî óìåíüøåíèÿ èçëó÷åíèÿ íè íî÷üþ, íè âî
âðåìÿ ñîëíå÷íîãî çàòìåíèÿ, òî òðóäíî ðàññìàòðèâàòü Ñîëíöå â êà÷åñòâå èñòî÷íèêà ýòîãî èçëó÷åíèÿ».
 1913–1914 ãîäàõ Âåðíåð Êîëüñòåð ïîäòâåðäèë ðåçóëüòàòû è âûâîäû Ãåññà, ïðîâåäÿ èçìåðåíèÿ íà âûñîòàõ äî 9200 ì.
Òîãäà æå îí îáíàðóæèë, ÷òî êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ
êîñìè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ âîçäóõîì îêàçàëñÿ â 8 ðàç ìåíüøå
îæèäàåìîãî â ñëó÷àå, åñëè áû ýòî áûëè ãàììà-ëó÷è, îäíàêî
íå ïðèäàë ýòîìó çíà÷åíèÿ. Åãî ïîñëåäíèé ïîëåò ñîñòîÿëñÿ â
äåíü íà÷àëà ïåðâîé ìèðîâîé âîéíû, íàäîëãî ïðåðâàâøåé
èññëåäîâàíèÿ ýòîãî çàãàäî÷íîãî ÿâëåíèÿ.
Èòàê, ãîäîì êîñìè÷åñêîé ðàäèàöèè ÿâëÿåòñÿ 1912 ãîä.
Âèêòîð Ãåññ áûë óäîñòîåí Íîáåëåâñêîé ïðåìèè «çà îòêðûòèå
êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé» òîëüêî â 1936 ãîäó. Ê òîìó âðåìåíè åãî
ðîëü è ôóíäàìåíòàëüíàÿ âàæíîñòü ýòîé «åñòåñòâåííîé ëàáîðàòîðèè» ñòàëè î÷åâèäíûìè. Òåðìèí «êîñìè÷åñêèå ëó÷è»
áûë ââåäåí â îáðàùåíèå Ðîáåðòîì Ìèëëèêåíîì, êîòîðûé
ïðîâîäèë èçìåðåíèÿ èîíèçàöèè íà áîëüøèõ ãëóáèíàõ è
áîëüøèõ âûñîòàõ. Îí ïîëàãàë, ÷òî ïåðâè÷íûå êîñìè÷åñêèå
ëó÷è ÿâëÿþòñÿ ãàììà-ëó÷àìè, ò.å. ýíåðãè÷íûìè ôîòîíàìè, è
ïðåäïîëîæèë èõ ðîæäåíèå â ìåæçâåçäíîé ñðåäå â ðåçóëüòàòå
ñëèÿíèÿ àòîìîâ âîäîðîäà è ïðåâðàùåíèÿ èõ â áîëåå òÿæåëûå
àòîìû. Îäíàêî â 1927 ãîäó ßêîá Êëåé ïðîâåë èçìåðåíèÿ
êîñìè÷åñêîé èîíèçàöèè íà òåððèòîðèè îò îñòðîâà ßâà âáëèçè Àâñòðàëèè äî ãîðîäà Ãåíóÿ â Èòàëèè è îáíàðóæèë
èçìåíåíèå èíòåíñèâíîñòè êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé â çàâèñèìîñòè
îò øèðîòû, ÷òî áûëî ïîäòâåðæäåíî è â äðóãèõ ýêñïåðèìåíòàõ. Óìåíüøåíèå èíòåíñèâíîñòè êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé íà ýêâàòîðå óêàçûâàëî íà òî, ÷òî ïåðâè÷íûå êîñìè÷åñêèå ëó÷è
îòêëîíÿþòñÿ ãåîìàãíèòíûì ïîëåì è äîëæíû áûòü çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè, à íå ôîòîíàìè.  1929 ãîäó Âàëüòåð Áîòå
è Âåðíåð Êîëüõåðñòåð îáíàðóæèëè, ÷òî êîñìè÷åñêèå ÷àñòèöû ñïîñîáíû ïðîíèçûâàòü çîëîòóþ ïëàñòèíó òîëùèíîé
4,1 ñì. Áûëî î÷åâèäíî, ÷òî ýòî çàðÿæåííûå ÷àñòèöû.
Êàêîâ æå çíàê çàðÿäà êîñìè÷åñêèõ ÷àñòèö? Áðóíî Ðîññè â
1930 ãîäó ïðåäñêàçàë ðàçëè÷èå ìåæäó èíòåíñèâíîñòÿìè
êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé, ïðèõîäÿùèõ ñ âîñòîêà è ñ çàïàäà,
êîòîðîå ñâÿçàíî ñî çíàêîì çàðÿäà ïåðâè÷íûõ ÷àñòèö. Â
íåñêîëüêèõ íåçàâèñèìûõ ýêñïåðèìåíòàõ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî
íà ñàìîì äåëå èíòåíñèâíîñòü áîëüøå ñ çàïàäà, ò.å. áóëüøàÿ
÷àñòü ïåðâè÷íûõ ÷àñòèö ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè. Ïðîâîäÿ ñâîè ýêñïåðèìåíòû, Ðîññè îòêðûë øèðîêèå àòìîñôåðíûå
ëèâíè ÷àñòèö, íî íå èçó÷èë ýòî ÿâëåíèå â äåòàëÿõ. Ïîçäíåå,
â 1938 ãîäó, ýòè ëèâíè, âîçíèêàþùèå â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðâè÷íûõ ëó÷åé ñ ÿäðàìè àòîìîâ àòìîñôåðû,
áûëè ïåðåîòêðûòû è èçó÷åíû Ïüåðîì Îæå. Âî ìíîãèõ
èññëåäîâàíèÿõ ñ 1930 ïî 1945 ãîä áûëî ïîêàçàíî, ÷òî
ïåðâè÷íûå êîñìè÷åñêèå ëó÷è ÿâëÿþòñÿ â îñíîâíîì ïðîòîíàìè, à âòîðè÷íàÿ ðàäèàöèÿ, âîçíèêàþùàÿ â àòìîñôåðå, âûçûâàåòñÿ ïî áîëüøåé ÷àñòè ýëåêòðîíàìè, ôîòîíàìè è ìþîíàìè.
 1948 ãîäó íàáëþäåíèÿ ñ ÿäåðíîé ýìóëüñèåé, ïîäíÿòîé
áàëëîíàìè ïî÷òè íà ãðàíèöó àòìîñôåðû, ïîêàçàëè, ÷òî
ïðèáëèçèòåëüíî 10% ïåðâè÷íûõ ÷àñòèö – ýòî ÿäðà ãåëèÿ
ÍÀÓÊÈ
'
Çàèíòåðåñîâàííàÿ îáùåñòâåííîñòü ïðîâîæàåò Âèêòîðà Ãåññà
â îäèí èç ïåðâûõ áàëëîííûõ ïîëåòîâ
( α -÷àñòèöû) è 1% – ýòî ÿäðà áîëåå òÿæåëûõ ýëåìåíòîâ,
òàêèõ êàê óãëåðîä, æåëåçî è ñâèíåö.
Çàãàäêà ïðîèñõîæäåíèÿ êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé íå ðåøåíà äî
êîíöà ïî ñèþ ïîðó. Â 1933 ãîäó Ôðèö Öâèêè è Âàëüòåð Áààäå
ïåðâûìè âûñêàçàëè ãèïîòåçó î òîì, ÷òî êîñìè÷åñêèå ëó÷è
ðîæäàþòñÿ ïðè âñïûøêàõ ñâåðõíîâûõ çâåçä, êîòîðûå, ïî
ñîâðåìåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì, ïðîèñõîäÿò ïðè êîëëàïñå
çâåçä ïîñëå âûãîðàíèÿ âñåãî òåðìîÿäåðíîãî òîïëèâà. Ýòà
ãèïîòåçà ïîëó÷èëà ðàçëè÷íûå òåîðåòè÷åñêèå è ýêñïåðèìåíòàëüíûå îáîñíîâàíèÿ, â òîì ÷èñëå ñ ïîìîùüþ èçìåðåíèÿ
íåéòðèííîãî ñèãíàëà îò âñïûøêè ñâåðõíîâîé 1987 ãîäà,
ïðîèçîøåäøåé â Áîëüøîì Ìàãåëëàíîâîì îáëàêå – ñïóòíèêå
íàøåé ãàëàêòèêè Ìëå÷íûé ïóòü.
Ïåðâûå íàáëþäåíèÿ òðåêîâ ðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö èç
àòìîñôåðû ïðîâåë Äìèòðèé Ñêîáåëüöûí. Èì áûëî ïîêàçàíî, ÷òî èìïóëüñû ýòèõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö òàê âûñîêè, ÷òî
îíè íå ìîãóò áûòü ïðîäóêòàìè ðàñïàäà ðàäèîàêòèâíûõ
ýëåìåíòîâ. Ñêîáåëüöûí îáíàðóæèë òàêæå, ÷òî òàêèå îáúåêòû ÷àñòî ïîÿâëÿþòñÿ â êàìåðå Âèëüñîíà ãðóïïàìè ïî íåñêîëüêî ÷àñòèö. Ýòî ñòàëî ïåðâûì íàáëþäåíèåì ëèâíåé
êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé.
Ó÷åíèê Äìèòðèÿ Ñêîáåëüöûíà Ñåðãåé Âåðíîâ ðàçðàáîòàë
íîâûé ìåòîä ñòðàòîñôåðíûõ èññëåäîâàíèé ñ ïîìîùüþ øàðîâ-ðàäèîçîíäîâ, ÷åì çàëîæèë ïðèíöèïèàëüíî íîâóþ ýêñïåðèìåíòàëüíóþ áàçó äëÿ èññëåäîâàíèé.  1935 ãîäó îí
âûïîëíèë èçìåðåíèÿ ïåðâè÷íîãî êîñìè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ íà
âûñîòå 13,6 êì, èñïîëüçóÿ ñ÷åò÷èêè Ãåéãåðà.
 1932 ãîäó Êàðë Àíäåðñîí ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæèë
â êîñìè÷åñêèõ ëó÷àõ ÷àñòèöû, êîòîðûå âåäóò ñåáÿ, êàê
ýëåêòðîíû, íî èìåþùèå ïîëîæèòåëüíûé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. Òàê áûë îòêðûò ïîçèòðîí. «Çà îòêðûòèå ïîçèòðîíà»
Àíäåðñîí â 1936 ãîäó ïîëó÷èë Íîáåëåâñêóþ ïðåìèþ.
Ïîñëå îòêðûòèÿ ïîçèòðîíà êîñìè÷åñêèå ëó÷è äîëãîå âðåìÿ
îñòàâàëèñü ôàáðèêîé íîâûõ îòêðûòèé. Òàê, â 1937 ãîäó áûë
îòêðûò ìþîí ( µ -ìåçîí), â 1947 – ïèîí ( π -ìåçîí) è êàîí
(K-ìåçîí), â 1951 – Λ -ãèïåðîí è ò.ä.  1965 ãîäó áûëî
ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîäòâåðæäåíî ñóùåñòâîâàíèå ðåëèêòîâîãî ìèêðîâîëíîâîãî èçëó÷åíèÿ, òåîðåòè÷åñêè ïðåäñêàçàííîãî
Äæîðäæåì Ãàìîâûì â ðàìêàõ òåîðèè Áîëüøîãî âçðûâà.
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
Çàäà÷è
ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå
Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è
íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå
çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ,
íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå.
Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò».
Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ
êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå «Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹3–2013» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ
Âû ïîñûëàåòå, íàïðèìåð «Ì2301» èëè «Ô2308».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî.  ïèñüìî
âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå
ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå ìîæíî ïðèñûëàòü òàêæå ïî ýëåêòðîííûì
àäðåñàì math@kvant.ras.ru è phys@kvant.ras.ru ñîîòâåòñòâåííî.
Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì êîíâåðòå â äâóõ
ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî
ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).
 íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü.
Çàäà÷à M2302 ïðåäëàãàëàñü íà XI Óñòíîé îëèìïèàäå ïî ãåîìåòðèè, çàäà÷à Ì2305 – íà VII Þæíîì ìàòåìàòè÷åñêîì
òóðíèðå, çàäà÷è Ì2306 è Ì2307 – íà ìåæäóíàðîäíîé îëèìïèàäå Romanian Masters of Mathematics 2013.
Çàäà÷è Ì2301–Ì2308, Ô2308–Ô2314
M2301. Äàíà ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1, –2, –3,
4, 5, 6, –7, –8, –9, –10, 11, 12, 13, 14, 15, –16, … (ýòà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëó÷àåòñÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1, 2, 3, 4, … ðàññòàíîâêîé çíàêîâ: îäíî ÷èñëî ñî
çíàêîì «+», çàòåì äâà ÷èñëà ñî çíàêîì «–», òðè ÷èñëà
ñî çíàêîì «+», ÷åòûðå ÷èñëà ñî çíàêîì «–», è ò.ä.).
Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî íàòóðàëüíûõ n òàêèõ, ÷òî ñóììà ïåðâûõ n ÷ëåíîâ ýòîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíà 0.
Â.Ðàñòîðãóåâ
M2302. Âíóòðè óãëà AOD ïðîâåäåíû ëó÷è OB è OC,
ïðè÷åì –AOB = –COD .  óãëû AOB è COD âïèñàíû
íåïåðåñåêàþùèåñÿ îêðóæíîñòè. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà
ïåðåñå÷åíèÿ îáùèõ âíóòðåííèõ êàñàòåëüíûõ ê ýòèì
îêðóæíîñòÿì ëåæèò íà áèññåêòðèñå óãëà AOD.
Ô.Íèëîâ
M2303. Íà áåñêîíå÷íîé êëåò÷àòîé ïëîñêîñòè êëåòêè
ðàñêðàøåíû â ÷åðíûé è áåëûé öâåòà â øàõìàòíîì
ïîðÿäêå. Äàí ìíîãîóãîëüíèê ïåðèìåòðà P è ïëîùàäè
S, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî èäóò ïî ëèíèÿì ñåòêè. ÄîêàS P
æèòå, ÷òî ýòîò ìíîãîóãîëüíèê ñîäåðæèò íå áîëåå +
2 2
÷åðíûõ êëåòîê.
À.Ìàãàçèíîâ
M2304. ×åðåç s (n ) îáîçíà÷èì ñóììó öèôð â äâîè÷íîé
çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n. Íàïðèìåð, s (2013) = 9 ,
ïîñêîëüêó 2013 èìååò äâîè÷íóþ çàïèñü 11111011101
(ò.å. 2013 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 24 + 23 + 22 + 20 ).
Íàòóðàëüíîå ÷èñëî n íàçîâåì ñ÷àñòëèâûì, åñëè
s (n ) = s (3n ) .
à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ïàð
ïîäðÿä èäóùèõ ñ÷àñòëèâûõ ÷èñåë.
á) Äîêàæèòå, ÷òî íå ñóùåñòâóåò òðåõ ïîäðÿä èäóùèõ
ñ÷àñòëèâûõ ÷èñåë.
À.Óñòèíîâ
M2305. Ïî êðóãó ðàññòàâëåíû 99 ïîëîæèòåëüíûõ
÷èñåë a1, a2, …, a99 . Èçâåñòíî, ÷òî åñëè âûáðàòü èç íèõ
íåñêîëüêî ÷èñåë, ñðåäè êîòîðûõ íåò äâóõ ñîñåäíèõ, òî
èõ ñóììà áóäåò ìåíüøå, ÷åì ñóììà îñòàâøèõñÿ ÷èñåë.
Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé (ñ òî÷íîñòüþ
äî äâèæåíèÿ) îïèñàííûé 99-óãîëüíèê, ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû a1, a2, …, a99 .
Ë.Åìåëüÿíîâ
M2306*. Äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåëûõ ÷èñåë x1, x2, … ñëåäóþùèì îáðàçîì: x1 = a , xn +1 = 2xn + 1 ïðè n ≥ 1 . Ïîëîæèì
yn = 2xn - 1 . Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå k òàêîå,
÷òî äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî a êàæäîå èç ÷èñåë
y1, …, yk ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì.
Â.Ñåíäåðîâ
M2307*.  âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî 2n-óãîëüíèêà ðàññòàâëåíû 2n ðàçëè÷íûõ ôèøåê òàê, ÷òî â êàæäîé
âåðøèíå ñòîèò ðîâíî îäíà ôèøêà. Õîä ñîñòîèò â
ñëåäóþùåì: âûáèðàåòñÿ îäíà èç ñòîðîí 2n-óãîëüíèêà è
äâå ôèøêè, íàõîäÿùèåñÿ â êîíöàõ ýòîé ñòîðîíû,
ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè äðóã ñ äðóãîì. Ïîñëå êîíå÷íîãî
÷èñëà õîäîâ îêàçàëîñü, ÷òî êàæäàÿ ïàðà ôèøåê ìåíÿëàñü ìåñòàìè ðîâíî îäèí ðàç. Äîêàæèòå, ÷òî íåêîòîðàÿ
ñòîðîíà 2n-óãîëüíèêà íå âûáèðàëàñü íè ðàçó.
À.Ãðèáàëêî
M2308*. Äàí îïèñàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD.
Îêðóæíîñòè ω1 è ω2 âïèñàíû â òðåóãîëüíèêè ABC è
ADC ñîîòâåòñòâåííî.
à) Äèàãîíàëü BD ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü ω1 â òî÷êàõ
E è P, à îêðóæíîñòü ω2 – â òî÷êàõ F è Q òàê, ÷òî òî÷êè
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
P è Q ëåæàò íà îòðåçêå EF. Äîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíàÿ
ê ω1 , ïðîâåäåííàÿ â òî÷êå E, è êàñàòåëüíàÿ ê ω2 ,
ïðîâåäåííàÿ â F, ïåðåñåêàþòñÿ íà ïðÿìîé AC èëè
ïàðàëëåëüíû.
á) Îêðóæíîñòü Ω êàñàåòñÿ îêðóæíîñòåé ω1 è ω2
âíóòðåííèì îáðàçîì â òî÷êàõ K è L ñîîòâåòñòâåííî.
Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå BK è DL ïåðåñåêàþòñÿ íà
ïðÿìîé AC.
Ñ.Èëüÿñîâ, È.Áîãäàíîâ
Ô2308. Íà ïîèñêè óïàâøåãî ñàìîëåòà çà ìåñÿö ïîèñêîâ
áûëî èçðàñõîäîâàíî 30 ìèëëèîíîâ ðóáëåé, â ïîèñêàõ
ó÷àñòâîâàëè ñîòíè ëþäåé, à óïàâøèé ñàìîëåò òàê è íå
íàøëè. ×åðåç ãîä îí áûë îáíàðóæåí ñëó÷àéíî íà
ðàññòîÿíèè L = 10 êì îò àýðîäðîìà, ñ êîòîðîãî âçëåòåë
è íà êîòîðûé íàìåðåâàëñÿ âåðíóòüñÿ. Îäèí ÷àñ ïîëåòà
áåñïèëîòíîãî ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà – ÁÏËÀ – ñòîèò 1
òûñÿ÷ó ðóáëåé. Çà ñâåòëîå âðåìÿ ñóòîê òàêîé ñàìîëåò
ìîæåò îòðàáîòàòü äî 8 ÷àñîâ. Ñàìîëåò ëåòèò ñî ñêîðîñòüþ v = 100 êì/÷ íà âûñîòå H = 1 êì è ïðîèçâîäèò
ñúåìêó ìåñòíîñòè âèäåîêàìåðîé ñ óãëîì îáçîðà α = 60∞
(ïî 30∞ âïðàâî è âëåâî). Êàê ñêîðî ìîæíî áûëî áû
îáíàðóæèòü ïðîïàâøèé ñàìîëåò ñ ïîìîùüþ ÁÏËÀ è â
êàêóþ ñóììó îáîøëèñü áû ïîèñêè?
Ñ.Áåñïèëîòíèê
Ô2309. Øåñòåðåí÷àòûé íàñîñ (ðèñ.1) ïðåäíàçíà÷åí
äëÿ ïåðåêà÷êè ìàñëà ïîä äàâëåíèåì è ïåðåäà÷è ìîùíîñòè ê ãèäðàâëè÷åñêèì
ìåõàíèçìàì. ×èñëî
çóáüåâ êàæäîé øåñòåðíè N = 10, âûñîòà
çóáüåâ h = 1 ñì. Êàæäûé çóá èìååò ôîðìó, áëèçêóþ ê ïðàâèëüíîìó (ðàâíîñòîðîííåìó) òðåóãîëüíèêó. Øèðèíà øåñÐèñ. 1
òåðåí L = 3 ñì, ðàññòîÿíèå d îò âåðøèí
çóáüåâ äî ñòåíîê êîðïóñà âåñüìà ìàëî: d = 10 -4 ì .
Øåñòåðíè âðàùàþòñÿ ñ ÷àñòîòîé f = 25 Ãö. Ñ÷èòàÿ
ìàñëî íåñæèìàåìûì, ìàëîâÿçêèì è èìåþùèì ïëîòíîñòü ρ = 103 êã ì 3 , íàéäèòå òåîðåòè÷åñêóþ ìàêñèìàëüíóþ ìîùíîñòü, êîòîðóþ ìîæåò ïåðåäàòü ýòîò
íàñîñ ê ïîòðåáèòåëÿì (ãèäðàâëè÷åñêèì ìåõàíèçìàì), à
òàêæå òåîðåòè÷åñêóþ ìàêñèìàëüíóþ ðàçíèöó äàâëåíèé
íà âûõîäå è íà âõîäå íàñîñà.
Ñ.Äìèòðèåâ
Ô2310. Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñòîëà ðàçëèòî
ìàñëî, êîòîðîå îáðàçóåò òîíêèé ñëîé òîëùèíîé d =
= 1 ìì. Ïîâåðõ ìàñëà ëåæèò òîíêèé ëèñò áóìàãè
ðàçìåðîì a ¥ a = 1 ¥ 1 ì. Îäíà èç ñòîðîí êâàäðàòíîãî
ëèñòà áóìàãè íåìíîãî âûñòóïàåò çà êðàé ñòîëà è
ïàðàëëåëüíà åìó. Áóìàãà ñíà÷àëà íåïîäâèæíà. Âûñòóïàþùóþ ÷àñòü áóìàãè ïîòÿíóëè ñ ñèëîé F = 1 Í,
íàïðàâëåííîé ãîðèçîíòàëüíî è ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîìó êðàþ ñòîëà. ×åðåç êàêîå âðåìÿ çà êðàé ñòîëà áóäåò
âûñòóïàòü ïîëîâèíà ëèñòà áóìàãè? Âÿçêîñòü ìàñëà
η = 1 Ïà ◊ ñ .
Â.Ñåðãååâ
«ÊÂÀÍÒÀ»
Ô2311. Âîçäóøíûé øàðèê ñ òîíêîé ðåçèíîâîé îáîëî÷êîé èìååò â âîçäóõå ïðè òåìïåðàòóðå 0 ∞C îáúåì V =
= 1 ë. Ýòîò øàðèê îïóñêàþò â ãëóáîêèé ñîñóä ñ ãîðÿ÷åé
âîäîé ïðè òåìïåðàòóðå 90 ∞C íà ãëóáèíó H = 2 ì.
Êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ è êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ðàáîòó
ïðè òàêîì ïåðåìåùåíèè ìîæåò ñîâåðøèòü ïðè íàãðåâàíèè âîçäóõ, ñîäåðæàùèéñÿ â øàðèêå? Òåìïåðàòóðà
ãàçà íå óáûâàåò, à ãëóáèíà ïîãðóæåíèÿ øàðèêà â âîäó
íå óìåíüøàåòñÿ. Äàâëåíèåì, ñîçäàâàåìûì ðåçèíîâûìè
ñòåíêàìè øàðèêà, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, àòìîñôåðíîå
äàâëåíèå íîðìàëüíîå: p = 105 Ïà .
Ñ.Êðþêîâ
Ô2312.  ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìå (ðèñ.2) âñå ýëåìåíòû
èäåàëüíûå, òîê ðàâåí íóëþ. Êëþ÷ ñíà÷àëà çàìûêàþò,
à çàòåì ðàçìûêàþò â ìîìåíò, êîãäà ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ
ýíåðãèè, çàïàñàåìîé â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè, äîñòèãàåò ìàêñèìóìà. Íàéäèòå:
à) êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êîòîðîå âûäåëèòñÿ â ñõåìå
ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à;
á) îòíîøåíèå òîêîâ â ðåçèñòîðàõ çà ìãíîâåíèå äî
ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à.
À.Øåðîíîâ
Ðèñ. 2
Ô2313. Íàä ñòîÿùèì íà
ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå òîíêîñòåííûì ñòàêàíîì öèëèíäðè÷åñêîé ôîðìû, çàïîëíåííûì äî ïîëîâèíû ìîëîêîì,
ïîìåñòèëè ñîáèðàþùóþ ëèíçó. Îñü ñèììåòðèè ñòàêàíà
ñîâïàäàåò ñ ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñüþ ëèíçû. Äèàìåòð
èçîáðàæåíèÿ äíà ñòàêàíà ñîâïàäàåò ñ äèàìåòðîì äíà
ñàìîãî ñòàêàíà, à âûñîòà èçîáðàæåíèÿ áîëüøå âûñîòû
ñàìîãî ñòàêàíà â äâà ðàçà. Êàêóþ ÷àñòü îáúåìà çàíèìàåò èçîáðàæåíèå ìîëîêà â èçîáðàæåíèè ñòàêàíà?
Ñ.Âàðëàìîâ
Ô2314. Ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåò ñ äëèíîé âîëíû λ =
= 0,5 ìêì ïàäàåò ïåðïåíäèêóëÿðíî íà íåïðîçðà÷íóþ
ïëàñòèíó, â êîòîðîé ïðîðåçàíà äëèííàÿ ùåëü ïîñòîÿííîé øèðèíû D = 0,1 ìì λ . Íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì íà ðàññòîÿíèè L = 10 ì D2 λ ïàðàëëåëüíî ïëàñòèíå, âèäíû äèôðàêöèîííûå ïîëîñû ðàçíûõ ïîðÿäêîâ. Êàêîâî îòíîøåíèå èíòåíñèâíîñòåé/ÿðêîñòåé ñâåòà â öåíòðàõ ïîëîñ äëÿ ðàçíûõ ïîðÿäêîâ n è m?
Ñ÷èòàéòå, ÷òî 1 n < m D λ .
Ô.Ðåíåëü
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2286–Ì2293,
Ô2293–Ô2299
M2286.  ÷èñëå íå ìåíüøå 10 ðàçðÿäîâ, â åãî çàïèñè
èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî äâå ðàçíûå öèôðû, ïðè÷åì îäèíàêîâûå öèôðû íå ñòîÿò ðÿäîì. Íà êàêóþ íàèáîëüøóþ ñòåïåíü äâîéêè ìîæåò äåëèòüñÿ òàêîå ÷èñëî?
Îòâåò: íà øåñòóþ.
Îòùåïèì îò ÷èñëà èç óñëîâèÿ «õâîñò» èç ïîñëåäíèõ 8
öèôð. Ðàçíîñòü ÷èñëà è åãî «õâîñòà» îêàí÷èâàåòñÿ íà
8 íóëåé, ïîýòîìó äåëèòñÿ íà 28 . À «õâîñò» èìååò âèä
abababab = ab ◊ 1010101 , ãäå a è b – öèôðû. ßñíî, ÷òî
ÊÂÀÍT 2013/¹3
äâîéêè â ðàçëîæåíèè «õâîñòà» íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè
ïîÿâëÿþòñÿ òîëüêî èç ÷èñëà ab . Íàèáîëüøàÿ ñòåïåíü
äâîéêè, íà êîòîðóþ îíî ìîæåò äåëèòüñÿ, íå áîëåå
øåñòîé ( 27 = 128 óæå òðåõçíà÷íîå). Òîãäà è èñõîäíîå
÷èñëî äåëèòñÿ íå áîëåå ÷åì íà 6-þ ñòåïåíü äâîéêè.
Ïðèìåðîì òàêîãî ÷èñëà ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 6464646464.
Çàìå÷àíèå.  ïðèâåäåííîì ðàññóæäåíèè îòùåïëåíèå
«õâîñòà» èç 6 öèôð ababab íåäîñòàòî÷íî, òàê êàê
ñóììà ÷èñëà, îêàí÷èâàþùåãîñÿ íà 6 íóëåé, è òàêîãî
«õâîñòà» ìîæåò äåëèòüñÿ íà 27 (âîçüìåì, íàïðèìåð,
÷èñëî 1646464).
Ë.Ìåäíèêîâ, À.Øàïîâàëîâ
â ïðîòèâîðå÷èå ñ óñëîâèåì çàäà÷è.
Ïðîâåäåì ÷åðåç M ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ BC, ïóñòü
îíà ïåðåñåêàåò AA¢ â òî÷êå T. Òîãäà AT: A ¢T =
= AM : A0M = 2. Ïî ïîñòðîåíèþ, T ëåæèò íà îòðåçêå
1
AP, è, çíà÷èò, SCA¢P < SCA¢T = SCAT (â òðåóãîëüíèêàõ
2
CA ¢T è CAT îñíîâàíèÿ A ¢T è AT îòíîñÿòñÿ êàê 1 ê 2,
à âûñîòà ê ýòèì îñíîâàíèÿì – îáùàÿ). Äàëåå, òàê êàê
B0
ïðèíàäëåæèò
îòðåçêó
èìååì
AB¢ ,
1
1
SAB¢P > SAB0T = SCAT . Èòàê, SCA¢P < SCAT < SAB¢P ,
2
2
÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîìèìî ïðåäëîæåííîãî ñèíòåòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ èìåþòñÿ è âû÷èñëèòåëüíûå ïîäõîäû. Åùå îäèí êðàñèâûé
ïîäõîä ê ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷è ñì. â ñòàòüå Â.Ðàñòîðãóåâà «Ðàâíûå ïëîùàäè è ïîâîðîòû».
Ï.Êîæåâíèêîâ
M2287. Â êëàññå 20 øêîëüíèêîâ. Äëÿ íèõ îðãàíèçîâàíî íåñêîëüêî ýêñêóðñèé.
à) Èçâåñòíî, ÷òî â êàæäîé ýêñêóðñèè ó÷àñòâîâàë
õîòÿ áû îäèí øêîëüíèê. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ
ýêñêóðñèÿ, êàæäûé èç ó÷àñòíèêîâ êîòîðîé ïîñåòèë
íå ìåíåå 1/20 âñåõ ýêñêóðñèé.
á) Èçâåñòíî, ÷òî â êàæäîé ýêñêóðñèè ó÷àñòâîâàëè
õîòÿ áû ÷åòâåðî. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ ýêñêóðñèÿ, êàæäûé èç ó÷àñòíèêîâ êîòîðîé ïîñåòèë íå ìåíåå
1/17 âñåõ ýêñêóðñèé.
Ïóñòü ÷èñëî ýêñêóðñèé ðàâíî n, è êàæäûé øêîëüíèê
ñîõðàíèë áèëåòû ñî âñåõ ýêñêóðñèé, â êîòîðûõ ó÷àñòâîâàë.
à) Íàçîâåì øêîëüíèêà áåäíÿãîé, åñëè îí ïîáûâàë
ìåíüøå ÷åì íà n 20 ýêñêóðñèÿõ. Îòìåòèì áèëåòû âñåõ
áåäíÿã. Âñåãî îòìå÷åíî ìåíüøå 20 ◊ n 20 = n áèëåòîâ,
ïîýòîìó íàéäåòñÿ ýêñêóðñèÿ, íè îäèí áèëåò íà êîòîðóþ
íå îòìå÷åí. Çíà÷èò, â íåé áåäíÿãè íå ó÷àñòâîâàëè, ÷òî
è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
á) Òåïåðü íàçîâåì øêîëüíèêà áåäíÿãîé, åñëè îí ïðèíÿë ó÷àñòèå ìåíåå ÷åì â n 17 ýêñêóðñèÿõ. Ñíîâà
îòìåòèì áèëåòû âñåõ áåäíÿã. Äîïóñòèì, ÷òî â êàæäîé
ýêñêóðñèè õîòÿ áû îäèí èç áèëåòîâ îòìå÷åí. Òîãäà
îòìå÷åíî íå ìåíåå n áèëåòîâ, âêëàä êàæäîãî áåäíÿãè
ìåíüøå n 17 áèëåòîâ, çíà÷èò, áåäíÿã áîëüøå 17. Âûáåðåì èç íèõ ðîâíî 17. Ó âûáðàííûõ 17 áåäíÿã âñåãî
ìåíüøå 17 ◊ n 17 = n áèëåòîâ, ó êàæäîãî èç îñòàëüíûõ
òðåõ øêîëüíèêî⠖ íå áîëåå ÷åì ïî n áèëåòîâ, ïîýòîìó
âñåãî áèëåòîâ ìåíüøå 4n. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî óñëîâèþ íà êàæäóþ èç n ýêñêóðñèé ïðîäàíî íå ìåíåå 4
áèëåòîâ. Ïðîòèâîðå÷èå.
Ë.Ìåäíèêîâ, À.Øàïîâàëîâ
M2289. Â íåêîòîðûõ êëåòêàõ êâàäðàòà 11 × 11 ñòîÿò
ïëþñû, ïðè÷åì âñåãî ïëþñîâ ÷åòíîå êîëè÷åñòâî. Â
êàæäîì êâàäðàòèêå 2 × 2 òîæå ÷åòíîå ÷èñëî ïëþñîâ.
Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòíî è ÷èñëî ïëþñîâ â 11 êëåòêàõ
ãëàâíîé äèàãîíàëè êâàäðàòà.
Ñòóïåí÷àòàÿ ôèãóðà À â ëåâîì âåðõíåì óãëó (ðèñ.1)
ñîñòîèò èç 15 êâàäðàòèêîâ 2 ¥ 2 , ïîýòîìó â íåé ÷åòíîå
÷èñëî ïëþñîâ. Òî æå âåðíî äëÿ ôèãóðû B, êîòîðàÿ
ñèììåòðè÷íà ôèãóðå A îòíîñèòåëüíî öåíòðà êâàäðàòà.
Êàæäàÿ èç êëåòîê êâàäðàòà âíå äèàãîíàëè ïîêðûòà
ôèãóðàìè A è B îäèí ðàç, à êàæäàÿ êëåòêà äèàãîíàëè
– 0 èëè 2 ðàçà (ðèñ. 2). Ñóììà ÷èñëà ïëþñîâ â âåðõíåé
è â íèæíåé ôèãóðå ÷åòíà, ïðè ýòîì ïëþñû â êëåòêàõ ñ
öèôðîé 2 ó÷òåíû äâàæäû è äàþò, òåì ñàìûì, ÷åòíûé
âêëàä. Çíà÷èò, è ÷èñëî ïëþñîâ âíå äèàãîíàëè ÷åòíî. À
M2288. Íà ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà ABC âçÿòû
òî÷êè A′ , B′ , C′ òàê, ÷òî îòðåçêè AA′ , BB′ ,
CC′ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå P. Èçâåñòíî,
÷òî ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ AB′P , BC′P , CA′P
ðàâíû. Äîêàæèòå, ÷òî P ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí òðåóãîëüíèêà ABC.
Ïðîâåäåì ìåäèàíû AA0 , BB0 , CC0 è îòìåòèì èõ
òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ M. (Êàê èçâåñòíî, ïëîùàäè
òðåóãîëüíèêîâ AMB0 , AMC0 , BMC0 , BMA0 ,
CMA0 , CMB0 ðàâíû.)
Òîãäà òî÷êà P ëåæèò â îäíîì èç òðåóãîëüíèêîâ
ABM, BCM, CAM. Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè,
ýòî òðåóãîëüíèê BCM (ñì. ðèñóíîê). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî P π M , è äîêàæåì, ÷òî SCA¢P < SAB¢P
Ðèñ. 1
Ðèñ. 2
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
òàê êàê ÷åòíî îáùåå ÷èñëî ïëþñîâ, òî è íà äèàãîíàëè
÷èñëî ïëþñîâ ÷åòíî.
Ë.Ìåäíèêîâ, À.Øàïîâàëîâ
M2290. Ïóñòü C (n ) – êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ äåëèòåëåé ÷èñëà n.
à) Êîíå÷íî èëè áåñêîíå÷íî ÷èñëî òàêèõ ïàð íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (a, b ) , ÷òî a ≠ b è C (a + b ) = C (a ) +
+ C (b ) ?
á) À åñëè ïðè ýòîì äîïîëíèòåëüíî òðåáóåòñÿ,
÷òîáû C (a + b ) > 1000?
à) Îòâåò: áåñêîíå÷íî.
Íàïðèìåð, ïîäõîäÿò âñå ïàðû âèäà 2n , 2n+1 . Çäåñü
(
)
(
)
C (a ) = C (b ) = 1 , C (a + b ) = C 3 ◊ 2n = 2 .
á) Îòâåò: áåñêîíå÷íî.
Ðàññìîòðèì ÷èñëî P, ðàâíîå ïðîèçâåäåíèþ p1p2 … pn
ïåðâûõ n ïðîñòûõ ÷èñåë (n > 1000). P – íàèìåíüøåå
÷èñëî, ó êîòîðîãî n ïðîñòûõ äåëèòåëåé, â ÷àñòíîñòè
C ( P - 1) < n , è òîãäà C (1) + C ( P - 1) = C ( P - 1) < C ( P ) .
Ïîëîæèì C ( P - 1) = n - k . Ðàññìîòðèì ÷èñëî Q, ðàâíîå ïðîèçâåäåíèþ íåêîòîðûõ k ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ
÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ áîëüøå pn è âñåõ ïðîñòûõ
äåëèòåëåé ÷èñëà P – 1. Âîçüìåì a = Q, b = ( P - 1) Q .
Èìååì C (a ) = k, C (b ) = n, C (a + b ) = C ( PQ ) = n + k .
Âàðüèðóÿ ïðîñòûå ÷èñëà, âõîäÿùèå â ðàçëîæåíèå Q,
ïîëó÷èì áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî èñêîìûõ ïàð.
Ë.Ìåäíèêîâ, À.Øàïîâàëîâ
M2291. Ïî îêðóæíîñòè äëèíû 1 íà÷àëè äâèæåíèå n
òî÷å÷íûõ øàðèêîâ. Êàæäûé øàðèê èìååò ñêîðîñòü
1, ïðè÷åì k øàðèêîâ äâèæóòñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå,
à îñòàëüíûå n – k äâèæóòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Åñëè äâà øàðèêà ñòàëêèâàþòñÿ, òî îíè ðàçëåòàþòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû òàê, ÷òî èõ
ñêîðîñòè îñòàþòñÿ ðàâíûìè 1. Äîêàæèòå, ÷òî
íàéäåòñÿ ÷èñëî t (çàâèñÿùåå òîëüêî îò n è k, íî íå
îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ) òàêîå, ÷òî ÷åðåç âðåìÿ
t ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ êàæäûé øàðèê çàéìåò
ñâîå íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå, è íàéäèòå íàèìåíüøåå
òàêîå t.
n
Îòâåò: t =
.
ÍÎÄ ( n, 2k)
Ñëó÷àè n £ 2 ðàçáèðàþòñÿ ëåãêî. Ïóñòü n > 2.
Çàìåòèì, ÷òî çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ðàâíûé 1,
øàðèê ïðè äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè áåç ñòîëêíîâåíèé
ñäåëàåò îäèí ïîëíûé îáîðîò.
Ïðåäïîëîæèì âíà÷àëå, ÷òî øàðèêè íåîòëè÷èìû, òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñòîëêíîâåíèé íå ïðîèñõîäèò
(ò.å. â ìîìåíò ñòîëêíîâåíèÿ øàðèêè «ïðîëåòàþò»
äðóã ñêâîçü äðóãà), è, çíà÷èò, ÷åðåç ïðîìåæóòîê
âðåìåíè, ðàâíûé öåëîìó ÷èñëó, íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå
øàðèêîâ áóäåò ïîâòîðåíî.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íåòðóäíî çàäàòü íà÷àëüíîå ðàñïîëîæåíèå (íåîòëè÷èìûõ) øàðèêîâ òàê, ÷òîáû ÷åðåç
íåöåëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè íà÷àëüíàÿ ïîçèöèÿ íå
ìîãëà ïîâòîðèòüñÿ – ñêàæåì, âçÿòü â íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè ïàðó øàðèêîâ, äâèãàþùèõñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè íà ìàëîì (ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ðàññòîÿíèÿìè
ìåæäó ïàðàìè øàðèêîâ) ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà.
«ÊÂÀÍÒÀ»
!
Îòñþäà ÿñíî, ÷òî îòâåòîì â çàäà÷å ìîæåò ÿâëÿòüñÿ
òîëüêî öåëîå ÷èñëî.
Òåïåðü âñïîìíèì, ÷òî øàðèêè ðàçëè÷íû, çàíóìåðóåì èõ
â ïîðÿäêå îáõîäà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå è îáîçíà÷èì ÷åðåç
T1, T2, …, Tn ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè îêðóæíîñòè, ÿâëÿþùèåñÿ íà÷àëüíûìè ïîëîæåíèÿìè øàðèêîâ. Ïóñòü ÷åðåç
ïðîìåæóòîê âðåìåíè t ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ (ñ÷èòàåì
t íàòóðàëüíûì) ïåðâûé øàðèê ïîïàë â òî÷êó Tm +1
(çäåñü è äàëåå èíäåêñû, îòëè÷àþùèåñÿ íà ÷èñëî, êðàòíîå n, ñ÷èòàåì îäèíàêîâûìè), ïðîéäÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå äóãó TT
1 m +1 è l ïîëíûõ îáîðîòîâ (âîçìîæíî, l < 0, ÷òî
ñîîòâåòñòâóåò îáîðîòàì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè). Â
ïðîöåññå ñîóäàðåíèé öèêëè÷åñêèé ïîðÿäîê øàðèêîâ íå
èçìåíÿåòñÿ, çíà÷èò, ÷åðåç âðåìÿ t øàðèê íîìåð i ïîïàäåò â Ti + m , ïðîéäÿ äóãó TT
i i + m è l ïîëíûõ îáîðîòîâ (i =
= 1, 2, …, n).
Ïîäñ÷èòàåì äâóìÿ ñïîñîáàìè ñóììàðíîå ïåðåìåùåíèå S
âñåõ øàðèêîâ â íàïðàâëåíèè ÷àñîâîé ñòðåëêè çà âðåìÿ
t. Ñ îäíîé ñòîðîíû, k øàðèêîâ äâèãàþòñÿ ñî ñêîðîñòüþ
1 è (n - k) øàðèêî⠖ ñî ñêîðîñòüþ –1, îòêóäà
S = t (k - (n - k)) = t (2k - n ) . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, S ðàâíî ñóììå äóã TT
i i + m (i = 1, 2, …, n) è ln ïîëíûõ îáîðîòîâ.
Äóãè TT
ïîêðûâàþò
îêðóæíîñòü â m ñëîåâ, ò.å. èõ
i i +m
ñóììàðíàÿ äëèíà ðàâíà m, îòêóäà S = m + nl. Èìååì
S = t (2k - n ) = m + nl , îòêóäà m ∫ 2kt (mod n ) . Óñëîâèå âîçâðàùåíèÿ êàæäîãî øàðèêà íà ñâîå ìåñòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî m äåëèòñÿ íà n, èëè 2kt äåëèòñÿ íà n.
Îòñþäà ìèíèìàëüíîå âðåìÿ âîçâðàùåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ
n
êàê t =
.
ÍÎÄ ( n, 2k)
Ï.Êîæåâíèêîâ
M2292. à) Âíóòðè îêðóæíîñòè íàõîäèòñÿ ïðàâèëüíûé 2n-óãîëüíèê ( n ≥ 2 ), åãî öåíòð A íå îáÿçàòåëüíî
ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì îêðóæíîñòè. Ëó÷è, âûïóùåííûå
èç A â âåðøèíû 2n-óãîëüíèêà, âûñåêàþò 2n òî÷åê íà
îêðóæíîñòè. Çàòåì 2n-óãîëüíèê ïîâåðíóëè òàê, ÷òî
åãî öåíòð îñòàëñÿ íà ìåñòå. Òåïåðü ëó÷è âûñåêàþò 2n
íîâûõ òî÷åê. Äîêàæèòå, ÷òî èõ öåíòð ìàññ ñîâïàäàåò
ñ öåíòðîì ìàññ ñòàðûõ 2n òî÷åê.
á*) Âíóòðè ñôåðû íàõîäèòñÿ èêîñàýäð, åãî öåíòð A íå
îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ñôåðû. Ëó÷è, âûïóùåííûå èç A â âåðøèíû èêîñàýäðà, âûñåêàþò 12 òî÷åê
íà ñôåðå. Èêîñàýäð ïîâåðíóëè òàê, ÷òî åãî öåíòð
îñòàëñÿ íà ìåñòå. Òåïåðü ëó÷è âûñåêàþò 12 íîâûõ
òî÷åê. Äîêàæèòå, ÷òî èõ öåíòð ìàññ ñîâïàäàåò ñ
öåíòðîì ìàññ ñòàðûõ 12 òî÷åê.
à) Ïðîäîëæèâ ãëàâíûå äèàãîíàëè 2nóãîëüíèêà, ïîëó÷èì n
õîðä, ïðîõîäÿùèõ
÷åðåç òî÷êó A, òàêèõ,
÷òî óãëû ìåæäó ñîñåäíèìè õîðäàìè ðàâíû ïî 180∞ n (ñì. ðèñóíîê). Öåíòð ìàññ
êîíöîâ õîðä ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ ñåðåäèí ýòèõ õîðä – òî-
"
ÊÂÀÍT 2013/¹3
÷åê M1, M2, …, Mn . Êàæäàÿ ñåðåäèíà Mi ÿâëÿåòñÿ
ïðîåêöèåé öåíòðà O îêðóæíîñòè íà ñîîòâåòñòâóþùóþ
õîðäó, çíà÷èò, òî÷êè M1, M2, …, Mn ëåæàò íà îêðóæíîñòè s ñ äèàìåòðîì OA. Èç ðàâåíñòâà âïèñàííûõ óãëîâ
ñëåäóåò, ÷òî âñå òî÷êè M1, M2, …, Mn äåëÿò îêðóæíîñòü s íà ðàâíûå äóãè, ïîýòîìó èõ öåíòð ìàññ íàõîäèòñÿ â öåíòðå îêðóæíîñòè s, ò.å. â ñåðåäèíå îòðåçêà AO.
á) Ðàññìîòðèì ñåðåäèíû M1, …, M6 øåñòè õîðä l1, …, l6 ,
ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç A è ÿâëÿþùèõñÿ ïðîäîëæåíèÿìè
äèàãîíàëåé èêîñàýäðà. Àíàëîãè÷íî ïóíêòó à), äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî öåíòð ìàññ Q òî÷åê M1,
…, M6
íå çàâèñèò îò âûáîðà èêîñàýäðà. Ïîëîæèì AO = a
(äàëåå âåêòîð a áóäåì ñ÷èòàòü ïåðåìåííûì) è
1 f (a ) = AQ =
AM1 + … + AM6 . Ïîêàæåì, ÷òî
6
f (a ) = αa , ãäå α – íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà; îòñþäà ñðàçó
ïîñëåäóåò ðåøåíèå.
Çàìåòèì, ÷òî AMi – ïðîåêöèÿ âåêòîðà a íà ïðÿìóþ
li , è, çíà÷èò, 6f (a ) – ýòî ñóììà ïðîåêöèé âåêòîðà a
íà ïðÿìûå l1, …, l6 .
Ïóñòü ei – åäèíè÷íûé íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé
li . Èç ñèììåòðèè èêîñàýäðà ïîëó÷èì f ( e1 ) = αe1 . (Äåéñòâèòåëüíî, èêîñàýäð ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè ïîâîðîòå
2π
âîêðóã îñè l1 íà óãîë
, ïîýòîìó ñóììà ïðîåêöèé
5
âåêòîðà e1 íà îñòàëüíûå äèàãîíàëè l2, …, l5 ÿâëÿåòñÿ
âåêòîðîì, êîòîðûé òàêæå ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè ýòîì
ïîâîðîòå.) Àíàëîãè÷íî ðàññóæäàÿ, ïîëó÷àåì f ( e2 ) =
= α ¢e2 , ïðè÷åì èç ñèììåòðèè èêîñàýäðà α ¢ = α . (Äåéñòâèòåëüíî, ýòî ñëåäóåò èç íàëè÷èÿ äâèæåíèÿ, êîòîðîå
ïåðåâîäèò èêîñàýäð â ñåáÿ: ïðè íåì l1 ïåðåõîäèò â l2 ,
ýòî äâèæåíèå ïåðåñòàâëÿåò íåêîòîðûì îáðàçîì ïðÿìûå
l1, l2, …, l6 .) Òàêèì æå îáðàçîì, f (e3 ) = αe3 .
Òàê êàê îïåðàöèÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ ëèíåéíà, òî îòîáðà
æåíèå f òàêæå ëèíåéíî, ò.å. äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ x ,
y è ÷èñëà λ âûïîëíåíî f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ,
f (λx ) = λf ( x ) . Ïðîèçâîëüíûé âåêòîð a ðàçëîæèì ïî
íåêîìïëàíàðíûì âåêòîðàì e1, e2, e3 : a = µ1e1 + µ2e2 +
+ µ3e3 . Òîãäà
f (a ) = µ1f ( e1 ) + µ2 f ( e2 ) + µ3 f ( e3 ) =
= µ1αe1 + µ2αe2 + µ3αe3 = αa ,
(
)
÷òî è òðåáîâàëîñü.
Çàìå÷àíèå. Óòâåðæäåíèå, àíàëîãè÷íîå çàäà÷å á), ìîæíî äîêàçàòü è äëÿ ïðàâèëüíîãî îêòàýäðà, êóáà, äîäåêàýäðà.
Ë.Ìåäíèêîâ, À.Øàïîâàëîâ
M2293. Ïåòÿ è Âàñÿ èãðàþò â èãðó, ïðàâèëà êîòîðîé
òàêîâû. Ïåòÿ çàãàäûâàåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî x ñ
ñóììîé öèôð 2012. Çà îäèí õîä Âàñÿ âûáèðàåò ëþáîå
íàòóðàëüíîå ÷èñëî a è óçíàåò ó Ïåòè ñóììó öèôð ÷èñëà
|x – a|. Êàêîå ìèíèìàëüíîå ÷èñëî õîäîâ íåîáõîäèìî
ñäåëàòü Âàñå, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàííî îïðåäåëèòü x?
Îòâåò: 2012 õîäîâ.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç S (n) ñóììó öèôð ÷èñëà n.
Àëãîðèòì. Ïåðâûì õîäîì Âàñÿ íàçûâàåò 1. Åñëè ÷èñëî
x îêàí÷èâàåòñÿ íà k íóëåé, òî S ( x - 1) = 2011 + 9k .
Òàêèì îáðàçîì Âàñÿ óçíàåò ïîëîæåíèå ñàìîé ïðàâîé
íåíóëåâîé öèôðû â x. Ïîëîæèì x1 = x - 10k . Âàñÿ
çíàåò, ÷òî S ( x1 ) = 2011. Ïîäîáðàâ íà âòîðîì õîäó
÷èñëî a òàê, ÷òîáû x - a = x1 - 1 , Âàñÿ óçíàåò, ñêîëüêî
íóëåé â êîíöå x1 . Ïóñòü èõ m. Ïîëîæèì x2 = x1 - 10m .
Òîãäà S ( x2 ) = 2010. Ïîäîáðàâ íà òðåòüåì õîäó ÷èñëî
a òàê, ÷òîáû x - a = x2 - 1 , Âàñÿ óçíàåò, ñêîëüêî íóëåé
â êîíöå x2 , è ò.ä. Ïîñëå 2012 õîäà îí ïîëó÷èò
S ( x2012 ) = 0 è òåì ñàìûì íàéäåò ÷èñëî x.
Îöåíêà. Ïóñòü Ïåòÿ ïðèçíàëñÿ, ÷òî â çàïèñè ÷èñëà x
åñòü òîëüêî íóëè è åäèíèöû, ò.å. x = 10k2012 + 10k2011 + …
… + 10k1 , ãäå k2012 > k2011 > … > k1 . Òîãäà çàäà÷à Âàñè
ñâîäèòñÿ ê âûÿñíåíèþ çíà÷åíèé ïîêàçàòåëåé ki . Ïóñòü
Âàñå íå âåçåò, è íà i-ì õîäó îêàçûâàåòñÿ, ÷òî 10ki
áîëüøå ïðåäúÿâëåííîãî Âàñåé ÷èñëà a. Òîãäà, íåçàâè-
(
)
ñèìî îò çíà÷åíèé k2012, …, ki +1 , S ( x - a ) = S 10ki - a +
+ (2012 - i) . Òåì ñàìûì, î çíà÷åíèÿõ k2012, …, ki +1
íè÷åãî íå èçâåñòíî (êðîìå òîãî, ÷òî âñå îíè áîëüøå ki ).
 ÷àñòíîñòè, ïîñëå 2011 õîäîâ ìîæåò îñòàòüñÿ íåèçâåñòíûì òî÷íîå çíà÷åíèå k2012.
Ñ.Ñàôèí
Ô2293. Âíóòðè ñôåðè÷åñêîé êîëáû ñ âíóòðåííèì
äèàìåòðîì D = 8 ñì íàõîäèòñÿ ðàçðåæåííûé ãàç,
ñîñòîÿùèé èç îäèíàêîâûõ ìîëåêóë. Êàêîâî ñðåäíåå
çíà÷åíèå ðàññòîÿíèÿ îò öåíòðà êîëáû äî ìîëåêóë
ãàçà (ãðàâèòàöèåé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü)?
Âûäåëèì ìàëåíüêèé òåëåñíûé óãîë Ω ñ âåðøèíîé â
öåíòðå êîëáû.  îáúåìå êîëáû, îãðàíè÷åííîì ýòèì
òåëåñíûì óãëîì, íàõîäèòñÿ ìíîãî ìîëåêóë ñ îäèíàêîâûìè ìàññàìè, êîòîðûå ðàñïðåäåëåíû ïî îáúåìó ðàâíîìåðíî. Íàéäåì ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ ýòîãî âûäåëåííîãî îáúåìà:
m Rk  Rk
.
=
R=
mk
k
Âñå âåêòîðû íà÷èíàþòñÿ â öåíòðå êîëáû è ïðè ìàëîì
çíà÷åíèè òåëåñíîãî óãëà ïî÷òè ñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ. Òàêèì îáðàçîì, öåíòð ìàññ ýòîãî ó÷àñòêà îáúåìà
íàõîäèòñÿ êàê ðàç íà ñðåäíåì ðàññòîÿíèè îò öåíòðà
êîëáû äî âñåõ ìîëåêóë. Ïðè óäàëåíèè îò öåíòðà êîëáû
íà x è ñìåùåíèè íà ∆x ê îáúåìó äîáàâëÿåòñÿ
ïîðöèÿ
Rk
Σ
Ωx 2 ∆x . Âêëàä ýòîé ïîðöèè îáúåìà â ñóììó
ðàâåí
k
3
Ωx ∆x
. Ïðîñóììèðîâàâ (ïðîèíòåãðèðîâàâ) âñå âêëàV
D
, ïîëó÷èì
äû íà âñåõ èíòåðâàëàõ îò x = 0 äî x =
2
4
3
Ω ( D 2)
Ω ( D 2)
. Îáúåì âûäåëåííîé ÷àñòè ðàâåí
,
4V
3
ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíåå ðàññòîÿíèå îò öåíòðà äî ìîëåêóë â øàðå (êîëáå) ðàâíî
3 D 3D
Rñð =
=
= 3 ñì .
4 2
8
Ñ.Âàðëàìîâ
Ô2294. Ê 1 àïðåëÿ ÷àñîâùèê èç äåòàëåé ñòàðûõ ÷àñîâ
ðàçíûõ êîíñòðóêöèé è èç øåñòåðåíîê ðàçíûõ ðàçìå-
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
ðîâ ñîáðàë ìåõàíèçì, â êîòîðîì òðè ñòðåëêè –
÷àñîâàÿ, ìèíóòíàÿ è ñåêóíäíàÿ – âðàùàëèñü «ïî
÷àñîâîé ñòðåëêå» ñ ðàçíûìè óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè
ω÷ < ωì < ωñ . Ïðè óñòàíîâêå âñåõ ñòðåëîê íà 12:00 è
çàïóñêå ìåõàíèçìà âûÿñíèëîñü ñëåäóþùåå: à) êàæäûé
ðàç, êîãäà ÷àñîâàÿ ñòðåëêà ïðîõîäèëà îòìåòêó 12:00,
åå îáÿçàòåëüíî îáãîíÿëè îáå äðóãèå (ìèíóòíàÿ è
ñåêóíäíàÿ) ñòðåëêè; á) êàæäûé ðàç, êîãäà ÷àñîâóþ
ñòðåëêó îáãîíÿëà òîëüêî ñåêóíäíàÿ, âñå ñòðåëêè
âûòÿãèâàëèñü âäîëü îäíîé ïðÿìîé ëèíèè; â) ÷àñîâàÿ
ñòðåëêà çà 1 ÷àñ ñäåëàëà 5 îáîðîòîâ. Êàêîå ìèíèìàëüíîå ÷èñëî îáîðîòîâ çà ýòî âðåìÿ ìîãëà ñäåëàòü
ìèíóòíàÿ ñòðåëêà è ñêîëüêî ðàç ïðè ýòîì ïîâåðíóëàñü ñåêóíäíàÿ ñòðåëêà?
Ðàçíîñòè óãëîâûõ ñêîðîñòåé ωc - ω÷ è ωì - ω÷ îòëè÷àþòñÿ ðîâíî â äâà ðàçà. Êðîìå òîãî, ýòè ðàçíîñòè
óãëîâûõ ñêîðîñòåé òàêîâû, ÷òî ( ωì - ω÷ ) ω÷ = N , ãäå
N – öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ìèíèìàëüíîå ÷èñëî
N = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ωì = 2ω÷ è ωñ = 3ω÷ . Òàêèì
îáðàçîì, ìèíóòíàÿ ñòðåëêà çà 1 ÷àñ ñäåëàåò 10 îáîðîòîâ, à ñåêóíäíàÿ – 15 îáîðîòîâ.
Ñ.×àñîâùèê
Ô2295. Íà ãîðèçîíòàëüíîé øåðîõîâàòîé ïîâåðõíîñòè íàõîäèòñÿ ìàëåíüêàÿ ïëîñêàÿ øàéáà. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ øàéáû î ïîâåðõíîñòü µ = 0,5. Åñëè
ïîäåéñòâîâàòü íà ïîêîèâøóþñÿ øàéáó ïîñòîÿííîé
ãîðèçîíòàëüíîé ñèëîé F = 10 Í, òî øàéáà áóäåò
äâèãàòüñÿ ïî ïîâåðõíîñòè ïðÿìîëèíåéíî è ïîñòóïàòåëüíî ñ óñêîðåíèåì a = µg = 5 ì ñ2 . Êàêîé ìèíèìàëüíîé ïî ìîäóëþ ñèëîé ìîæíî çàñòàâèòü ýòó æå
øàéáó äâèãàòüñÿ ïîñòóïàòåëüíî ïî òîé æå ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñ óñêîðåíèåì, ðàâíûì ïî ìîäóëþ a?
 óñëîâèè çàäà÷è åñòü ïîäñêàçêà: «ñ óñêîðåíèåì,
ðàâíûì ïî ìîäóëþ…», ò.å. äâèæåíèå íå îáÿçàòåëüíî
ïðÿìîëèíåéíîå. Ïîýòîìó ïðèäåòñÿ ñðàâíèòü ìèíèìàëüíûå âåëè÷èíû ñèë äëÿ ïðÿìîëèíåéíîãî è êðèâîëèíåéíîãî äâèæåíèé. Ïîíÿòíî, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ ïî ìîäóëþ ñèëà äîëæíà áûòü íàïðàâëåíà íå ãîðèçîíòàëüíî.
Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó â äâóõ âàðèàíòàõ. 1) Ñíà÷àëà
ïðèëîæèì ê øàéáå òàêóþ ìèíèìàëüíóþ ñèëó, ïðè
êîòîðîé øàéáà áóäåò ñêîëüçèòü ïî ïîâåðõíîñòè ñ
ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, à çàòåì èçìåíèì ãîðèçîíòàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ýòîé ñèëû òàê, ÷òîáû øàéáà äâèãàëàñü ïî ïîâåðõíîñòè ïî îêðóæíîñòè ñ óñêîðåíèåì,
ðàâíûì ïî ìîäóëþ a. 2) Íàéäåì ìèíèìàëüíóþ ñèëó,
êîòîðàÿ íóæíà, ÷òîáû âûïîëíèòü óñëîâèå çàäà÷è ïðè
ïðÿìîëèíåéíîì äâèæåíèè øàéáû.
Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
ma = F - µmg .
Çíà÷èò, ìàññà øàéáû ðàâíà
F
m=
= 1 êã .
a + µg
1) Íàïðàâèì ñèëó f , ïðèëîæåííóþ ê øàéáå, ïîä
íåêîòîðûì óãëîì β ê ãîðèçîíòó. Íàéäåì ìèíèìàëüíîå
çíà÷åíèå ýòîé ñèëû, ïðè êîòîðîì øàéáà áóäåò äâèãàòüñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ.  ïðîåêöèÿõ íà ãîðèçîí-
#
«ÊÂÀÍÒÀ»
òàëüíîå è âåðòèêàëüíîå íàïðàâëåíèÿ óðàâíåíèå ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ øàéáû èìååò âèä
f cos β = µN è mg = f sin β + N ,
ãäå N – ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè ïîâåðõíîñòè. Îòñþäà íàõîäèì
µmg
f =
.
cos β + µ sin β
Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ìîäóëÿ ñèëû f, îáåñïå÷èâàþùåé ðàâíîìåðíîå äâèæåíèå, äîñòèãàåòñÿ ïðè óãëå
β = arctg µ è ðàâíî
µmg
fmin =
ª 4,47 H .
1 + µ2
Äëÿ òîãî ÷òîáû øàéáà äâèãàëàñü ïîñòóïàòåëüíî ñ
óñêîðåíèåì, ðàâíûì ïî ìîäóëþ a, íóæíî, ÷òîáû ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ñóììû âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà
øàéáó, áûëà ðàâíà ma. Íî òàêîå äâèæåíèå âîâñå íå
îáÿçàíî áûòü ïðÿìîëèíåéíûì. Íàïðèìåð, ìîæíî çàñòàâèòü øàéáó äâèãàòüñÿ ïîñòóïàòåëüíî ïî îêðóæíîñòè
ðàäèóñîì R ñ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòüþ v è ïðè ýòîì îáåñïå÷èòü ðàâåíñòâî v2 R = a . Â
ýòîì ñëó÷àå ìèíèìàëüíàÿ ñèëà, ñ êîòîðîé íóæíî äåéñòâîâàòü íà øàéáó, ðàâíà ïî âåëè÷èíå
2
(ma)2 + fmin
fmin
¢ =
ª 6,71 H .
2) Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå øàéáû ñ íóæíûì ïî âåëè÷èíå óñêîðåíèåì.  ïðîåêöèÿõ íà
ãîðèçîíòàëüíîå è âåðòèêàëüíîå íàïðàâëåíèÿ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ øàéáû ïðèìåò âèä
f1 cos β - µN = ma è mg = f1 sin β + N .
Îòñþäà ïîëó÷àåì
m (µg + a )
.
cos β + µ sin β
Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ñèëû äîñòèãàåòñÿ ïðè òàêîì
óãëå β , ÷òî tg β = µ , è ðàâíî
f1 =
m (µg + a )
ª 8,94 H .
1 + µ2
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ãîâîðÿò ñàìè çà ñåáÿ.
À.Çèëüáåðìàí
fmin 1 =
Ô2296. Æåñòêèé ñòåðæåíü ïîñòîÿííîãî êðóãëîãî
ñå÷åíèÿ S è äëèíû L S ðàñêðóòèëè îòíîñèòåëüíî
åãî ñðåäíåé òî÷êè âîêðóã îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè
ñèììåòðèè ñòåðæíÿ. Ïðè êàêîé ëèíåéíîé ñêîðîñòè
äâèæåíèÿ êîíöîâ ñòåðæíÿ ïðè âðàùåíèè îí ïîðâåòñÿ? Ïðåäåëüíîå íàïðÿæåíèå ðàñòÿæåíèÿ, êîòîðîå
âûäåðæèâàåò ìàòåðèàë ñòåðæíÿ, σmax = 109 Ïà ,
ïëîòíîñòü ýòîãî ìàòåðèàëà ρ = 8000 êã ì3 .
Ðàçîáüåì (ìûñëåííî) öèëèíäðè÷åñêèé ñòåðæåíü íà
ìíîæåñòâî ïëîñêèõ «áëèíîâ» òîëùèíîé dx, ïëîñêîñòè
êîòîðûõ ïåðïåíäèêóëÿðíû îñè ñòåðæíÿ. Äëÿ êàæäîãî
áëèíà ìîæíî íàïèñàòü çàêîí äâèæåíèÿ (âòîðîé çàêîí
Íüþòîíà) â âèäå
2
Ê vx ˆ
ÁË L 2 ˜¯
ρ ( Sdx )
= - Sdσ .
x
$
ÊÂÀÍT 2013/¹3
Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî íàïðÿæåíèå ðàñòÿæåíèÿ âáëèçè
êîíöîâ öèëèíäðà ðàâíî íóëþ, à â ñàìîì åãî öåíòðå (íà
ρv2
îñè âðàùåíèÿ) ìàêñèìàëüíî è ðàâíî
. Ïðèðàâíè2
âàÿ ýòî ìàêñèìàëüíîå íàïðÿæåíèå åãî ïðåäåëüíîìó
çíà÷åíèþ, íàõîäèì ìàêñèìàëüíóþ ëèíåéíóþ ñêîðîñòü
÷àñòèö íà êîíöàõ öèëèíäðà:
vmax =
2σmax
= 500 ì ñ .
ρ
Ä.Ñîïðîìàòîâ
Ô2297. Þíûé ôèçèê Ãëåá ðåøèë èññëåäîâàòü ïðîöåññ
òàÿíèÿ ëüäà. Ê äíó öèëèíäðè÷åñêîãî ñòàêàíà îí
ïðèìîðîçèë öèëèíäðè÷åñêóþ ñîñóëüêó è íàëèë â ñòàêàí ëåäÿíîé âîäû (ïðè òåìïåðàòóðå 0 ∞Ñ ) òàê, ÷òî
ñîñóëüêà îêàçàëàñü ïîëíîñòüþ
ïîä âîäîé (ðèñ.1). Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âîäû â ñòàêàíå
S = 10 ñì2 . Ãëåá ïîñòàâèë ñòàêàí íà ñòîë â êîìíàòå è ñòàë
èçìåðÿòü çàâèñèìîñòü âûñîòû
H óðîâíÿ âîäû â ñòàêàíå îò
âðåìåíè t. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé îí àêêóðàòíî çàíîñèë â òàáëèöó. Íî âñêîðå ýêñïåðèìåíòàòîðà ïîçâàëè îáåäàòü, à êîãäà îí
âåðíóëñÿ, ñîñóëüêà ñîâñåì ðàñÐèñ. 1
òàÿëà. Ãëåá òî÷íî çíàë, ÷òî â
íà÷àëå ýêñïåðèìåíòà ñîäåðæèìîå ñòàêàíà íàõîäèëîñü â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè è èìåëî òåìïåðàòóðó
0 ∞Ñ , à òåìïåðàòóðà â êîìíàòå íå èçìåíÿëàñü.
Ïëîòíîñòü ëüäà ρë = 900 êã ì 3 , óäåëüíàÿ òåïëîòà
ïëàâëåíèÿ ëüäà λ = 330 êÄæ êã , ïëîòíîñòü âîäû
ρâ = 1000 êã ì 3 . Ñîñóëüêà çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ íå
âñïëûâàëà. Ïîëüçóÿñü ïîëó÷åííîé òàáëèöåé:
t, ìèí
H, ìì
0
2
15
30
39
45
55
80
105 … 150
153 153 152 151 151 150 150 148 147 ... 145
ñîñóëüêà åñòü åñòü åñòü åñòü åñòü åñòü åñòü åñòü åñòü ... íåò
1) ïîìîãèòå Ãëåáó óñòàíîâèòü, ÷åðåç êàêîå âðåìÿ
ïîñëå íà÷àëà ýêñïåðèìåíòà ïðîèçîøëî ïîëíîå òàÿíèå
ëüäà;
2) íàéäèòå ìîùíîñòü ïðèòîêà òåïëà èç êîìíàòû ê
ñîäåðæèìîìó ñòàêàíà (ò.å. îïðåäåëèòå, êàêàÿ ýíåðãèÿ ïîñòóïàåò çà îäíó ñåêóíäó ê ñîäåðæèìîìó ñòàêàíà ÷åðåç åãî ñòåíêè).
Òàê êàê ñòàêàí âñå âðåìÿ èìååò òåìïåðàòóðó 0 ∞C è
êîìíàòíàÿ òåìïåðàòóðà òàêæå íå ìåíÿåòñÿ, òî ïîñòîÿííîé áóäåò è ìîùíîñòü ïîäâîäèìîãî òåïëà. Äîêàæåì,
÷òî ãðàôèê çàâèñèìîñòè H (t ) äîëæåí áûòü ëèíåéíûì.
Ïóñòü çà ìàëîå âðåìÿ ∆t ñèñòåìå ïåðåäàíî êîëè÷åñòâî
òåïëîòû N ∆t , ãäå N – èñêîìàÿ ìîùíîñòü ïîäâîäèìîãî
òåïëà. Îíî öåëèêîì ðàñõîäóåòñÿ òîëüêî íà ïëàâëåíèå
ëüäà, ñëåäîâàòåëüíî, çà ýòî âðåìÿ ðàñòàåò ëåä ìàññîé
∆m =
N ∆t
.
λ
Èçìåíåíèå îáúåìà ñîäåðæèìîãî ñòàêàíà ìîæíî íàéòè
êàê ðàçíîñòü îáúåìîâ ðàñòàÿâøåãî ëüäà è âîäû, ïîëó-
÷åííîé èç ýòîãî ëüäà:
∆m ∆m
.
ρë
ρâ
Ïðè ýòîì ïîíèæåíèå óðîâíÿ âîäû â ñòàêàíå áóäåò
ðàâíî
1ˆ
∆V N ∆t Ê 1
∆H =
=
- ˜.
Á
λ S Ë ρë ρâ ¯
S
Âèäíî, ÷òî âûñîòà Í ëèíåéíî óìåíüøàåòñÿ ñ òå÷åíèåì
âðåìåíè t.
1) Äëÿ îòâåòà íà ïåðâûé âîïðîñ çàäà÷è ñëåäóåò,
ïîëüçóÿñü òàáëèöåé, íàíåñòè òî÷êè íà ãðàôèê çàâèñèìîñòè âûñîòû îò âðåìåíè (ðèñ.2), ïðîâåñòè ÷åðåç íèõ
ïðÿìóþ ëèíèþ è ýêñòðàïîëèðîâàòü ïîëó÷åííóþ çàâèñèìîñòü äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ óðîâíåì 145 ìì – ýòî óðîâåíü
∆V =
Ðèñ. 2
âîäû â ñòàêàíå ïîñëå ïîëíîãî òàÿíèÿ ëüäà. Îòñþäà
ïîëó÷èì îòâåò: ∆tò = 135 ìèí (ñ òî÷íîñòüþ äî 5 ìèí).
2) Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìîùíîñòè ïðèòîêà òåïëà âîñïîëüçóåìñÿ âûâåäåííûì ñîîòíîøåíèåì äëÿ ∆H , èç êîòîðîãî ïîëó÷èì
∆Hò λSρë ρâ
N=
ª 2,93 Âò .
∆tò (ρâ - ρë )
Çäåñü ïðè ïîäñòàíîâêå âçÿòî ∆Hò = 0,008 ì (ïîëíîå
óìåíüøåíèå óðîâíÿ âîäû â ñòàêàíå çà âðåìÿ òàÿíèÿ
ëüäà), ∆tò = 135 ìèí .
Çàìå÷àíèå. Âîîáùå ãîâîðÿ, ïðè òàêîì ðàçáðîñå òî÷åê
íà ãðàôèêå ñëåäóåò ïûòàòüñÿ ïðîâåñòè ÷åðåç íèõ äâå
ïðÿìûå ëèíèè äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíî áûëî îöåíèòü
ïîãðåøíîñòü íàéäåííîãî âðåìåíè òàÿíèÿ ëüäà – îíî
ìîæåò ëåæàòü â èíòåðâàëå 130–140 ìèí.
Ì.Çàìÿòíèí
Ô2298. Äàíû âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè –
ÂÀÕ – äâóõ íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ïðè U > 0 (ñì.
ðèñóíîê). Ó ïåðâîãî ýëåìåíòà íà ÂÀÕ ëåæàò òî÷êè
1 (I = 1À, U = 0), 2 (I = 1A, U = 1Â), 3 (I = 0, U = 2Â).
Ó âòîðîãî ýëåìåíòà íà ÂÀÕ ëåæàò òî÷êè 1 (I = 0,
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
U = 0), 2 (I = 0, U = 1Â), 3 (I = 2À, U = 2Â), à äàëåå
ãðàôèê èäåò âäîëü ïî ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé îòðåçîê
2–3. Êàêèìè áóäóò âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè
ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì è ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè
ýòèõ ýëåìåíòîâ?
Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè òîêè ýëåìåíòîâ ïðè
îäíîì è òîì æå íàïðÿæåíèè ñêëàäûâàþòñÿ, ïîýòîìó
ÂÀÕ ïðè U > 0 ñîñòîèò èç òðåõ ïðÿìîëèíåéíûõ
ó÷àñòêî⠖ äâóõ îòðåçêîâ è ïðÿìîé ëèíèè. Èõ íà÷àëà
è êîíöû – 1-2, 2-3, 3-4 è äàëåå ïî ïðÿìîé – ðàñïîëîæåíû â òî÷êàõ 1 (I = 1 À, U = 0), 2 (I = 1 A, U = 1 Â),
3 (I = 2 À, U = 2 Â), 4 (I = 4 À, U = 3 Â).
Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ íàïðÿæåíèå íà äâóõ ýëåìåíòàõ íå ìîæåò áûòü ìåíüøå 1,5 Â,
ò.å. íà ÂÀÕ îòñóòñòâóþò çíà÷åíèÿ òîêîâ ïðè U < 1,5 Â.
Ïîýòîìó ïåðâàÿ (áëèæàéøàÿ ê íà÷àëó êîîðäèíàò)
òî÷êà ÂÀÕ 1 èìååò êîîðäèíàòû I = 1 À, U = 1,5 Â.
Âòîðàÿ õàðàêòåðíàÿ òî÷êà 2 èìååò êîîðäèíàòû I = 1 A,
U = 2,5 Â. Ìåæäó òî÷êàìè 1 è 2 – ïðÿìîé îòðåçîê
ÂÀÕ. Òðåòüÿ õàðàêòåðíàÿ òî÷êà 3 èìååò êîîðäèíàòû
I = 0, U = 3 Â. Ìåæäó òî÷êàìè 2 è 3 – ïðÿìîé îòðåçîê
ÂÀÕ. Ïðè íàïðÿæåíèÿõ U > 3  òîê ÷åðåç ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûå ýëåìåíòû íå òå÷åò.
Â.Àõîâ
Ô2299. Ìàëüâèíà ðàññìàòðèâàåò ñâîå èçîáðàæåíèå
â çåðêàëå, ïëîñêîñòü êîòîðîãî âåðòèêàëüíà è íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè L îò íîñà Ìàëüâèíû. Çåðêàëî
èìååò äâå îòðàæàþùèå ïîâåðõíîñòè è óêðåïëåíî íà
âåðòèêàëüíîé îñè, âîêðóã êîòîðîé ìîæåò âðàùàòüñÿ. Îñü âðàùåíèÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè çåðêàëà è òàêæå
íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè L îò íîñà Ìàëüâèíû.
Áóðàòèíî çàêðóòèë çåðêàëî òàê, ÷òî îíî ïðèîáðåëî
íà÷àëüíóþ óãëîâóþ ñêîðîñòü ω0 . Âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ
òðåíèÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ çåðêàëà ðàâíîìåðíî óìåíüøèëàñü äî íóëÿ çà âðåìÿ τ .
Ðàâíûå ïëîùàäè è ïîâîðîòû
 ýòîé íåáîëüøîé çàìåòêå ìû ðàññìîòðèì íåñêîëüêî
çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ îäíîé ãåîìåòðè÷åñêîé êîíñòðóêöèåé. Â
÷àñòíîñòè, ìû îáîáùèì çàäà÷è Ì827 (ðåøåíèå – â «Êâàíòå» ¹1 çà 1984 ã.) è Ì2288 (ðåøåíèå – â ýòîì íîìåðå
æóðíàëà).
Íà÷íåì ñ òàêîé çàäà÷è.
Çàäà÷à 1. Íà ñòîðîíàõ BC, CA, AB ðàâíîñòîðîííåãî
òðåóãîëüíèêà ABC âûáðàëè òî÷êè A′ , B′ , C′ ñîîòâåòñòâåííî. Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêîâ AA′ , BB′ , CC′ îáîçíà÷èì
P, Q, R (ðèñ. 1, à, á) 1 . Ïîëîæèì x = AB′ , y = BC′ ,
z = CA′ . Äîêàæèòå, ÷òî x = y = z òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ APB′ , BQC′ è CRA′ ðàâíû.
Ðåøåíèå.  îäíó ñòîðîíó óòâåðæäåíèå äîêàçàòü íåñëîæíî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè AB′ = BC′ = CA′ , òî òî÷êè A′ , B′ ,
C′ ïåðåõîäÿò äðóã â äðóãà (ïî öèêëó) ïðè ïîâîðîòå íà 120
1) Ïî êàêîé òðàåêòîðèè äâèæåòñÿ èçîáðàæåíèå íîñà
Ìàëüâèíû â çåðêàëå?
2) Ñ êàêîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ äâèæåòñÿ èçîáðàæåíèå
íîñà Ìàëüâèíû â çåðêàëå ÷åðåç âðåìÿ τ 2 ïîñëå
íà÷àëà âðàùåíèÿ çåðêàëà?
3) ×åìó ðàâåí ìîäóëü óñêîðåíèÿ, ñ êîòîðûì äâèæåòñÿ èçîáðàæåíèå íîñà Ìàëüâèíû â ìîìåíò âðåìåíè τ 2
ïîñëå íà÷àëà âðàùåíèÿ çåðêàëà?
1) Ïóñòü çåðêàëî ïîâåðíóëîñü âîêðóã îñè íà íåêîòîðûé
óãîë α . Åñëè ïîñòðîèòü èçîáðàæåíèå íîñà Ìàëüâèíû
â ïëîñêîì çåðêàëå â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè è â
ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, òî èç ÷åðòåæà ñòàíåò
ïîíÿòíî, ÷òî èçîáðàæåíèå íîñà Ìàëüâèíû äâèæåòñÿ ïî
îêðóæíîñòè ðàäèóñîì L.
2) Åñëè ìãíîâåííàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü çåðêàëà ðàâíà ω ,
òî ìãíîâåííàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü èçîáðàæåíèÿ íîñà â
çåðêàëå ðàâíà 2ω . Êîýôôèöèåíò «2» çäåñü âîçíèêàåò
ïîòîìó, ÷òî çà ïîë-îáîðîòà çåðêàëà èçîáðàæåíèå ñîâåðøàåò ïîëíûé îáîðîò. Çà âðåìÿ τ 2 óãëîâàÿ ñêîðîñòü
çåðêàëà óìåíüøèëàñü äî âåëè÷èíû ω0 2 . Ïîýòîìó
óãëîâàÿ ñêîðîñòü èçîáðàæåíèÿ íîñà â ýòîò ìîìåíò
ðàâíà ω0 .
3) Ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü èçîáðàæåíèÿ íîñà ðàâíà v = 2ωL .
Ñîñòàâëÿþùàÿ óñêîðåíèÿ, íàïðàâëåííàÿ ïî ëèíèè
ìãíîâåííîé ñêîðîñòè íàâñòðå÷ó ýòîé ñêîðîñòè, ðàâíà
2ωL τ , ïîñêîëüêó ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü ðàâíîìåðíî óìåíüøàåòñÿ äî íóëÿ çà âðåìÿ τ . Ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê
ìãíîâåííîé ñêîðîñòè ñîñòàâëÿþùàÿ ìãíîâåííîãî óñêîðåíèÿ ðàâíà v2 L . Òàêèì îáðàçîì, â èíòåðåñóþùèé íàñ
ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà ω = ω0 2 , ýòà ñîñòàâëÿþùàÿ
ðàâíà ω20 L . Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûé ìîäóëü óñêîðåíèÿ íîñà Ìàëüâèíû ðàâåí
a=
Ïîêàçàíû äâå âîçìîæíûå êîíôèãóðàöèè.  ïåðâîì ñëó÷àå
òðåóãîëüíèêè APB¢ , BQC¢ è CRA¢ íå ïåðåñåêàþòñÿ, à âî âòîðîì
– ïåðåñåêàþòñÿ ïî òðåóãîëüíèêó PQR. Âî âòîðîì ñëó÷àå ÿñíî,
÷òî ðàâåíñòâî ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ APB¢ , BQC¢ è CRA¢
ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó ïëîùàäåé ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ AB¢QR ,
BC ¢RP è CA′PQ .
(2ω0 L τ)2 + (ω20 L)
2
(
)
= ω0 L 4 τ2 + ω20 .
Ê.Áàðàáàñ
âîêðóã öåíòðà òðåóãîëüíèêà ABC, çíà÷èò, òðåóãîëüíèêè
APB′ , BQC′ è CRA′ ðàâíû (îíè ñîâìåùàþòñÿ ïîâîðîòîì).
Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå äîêàçàòü ñëîæíåå.2 Îäíàêî è çäåñü
ïîïðîáóåì ïðèìåíèòü ïîâîðîò íà 120 . Èòàê, ðàññìîòðèì
ïîâîðîò, ïåðåâîäÿùèé A â B, B â C, C â A (äëÿ ðèñóíêà 1 ýòî
ïîâîðîò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè). Ïðè ýòîì ïîâîðîòå òî÷êè
A′ , B′ è C′ ïåðåéäóò â òî÷êè A′′ , B′′ è C′′ , ëåæàùèå íà
ñòîðîíàõ CA, AB, BC ñîîòâåòñòâåííî è òàêèå, ÷òî AA′′ = z ,
BB′′ = x , CC′′ = y .
 íàøåé êîíñòðóêöèè îòðåçêè AB′ , BC′ , CA′ ðàâíîïðàâíû, è ìîæíî äàëåå ñ÷èòàòü, ÷òî AB′ = x – íàèìåíüøèé èç
íèõ ïî äëèíå. Èìååòñÿ äâà ñëó÷àÿ óïîðÿäî÷åíèÿ äëèí:
x ≤ y ≤ z è x ≤ z ≤ y.
1. Ïóñòü x ≤ y ≤ z (ðèñ.1,â), òîãäà B′′ ëåæèò íà îòðåçêå
BC′ , à C′′ – íà îòðåçêå CA′ . Òðåóãîëüíèê BB′′C ëåæèò
öåëèêîì â òðåóãîëüíèêå BC′C , à òðåóãîëüíèê CC′′A –
2
1
%
«ÊÂÀÍÒÀ»
Àíàëèòè÷åñêèé ñïîñîá ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé çàäà÷å (ïîëàãàåì, ÷òî ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà 1): äîêàçàòü, ÷òî äëÿ
xy2
yz2
zx2
=
=
÷èñåë x, y, z Œ (0;1) ðàâåíñòâî
1 - x + xy 1 - y + yz 1 - z + zx
âåðíî òîëüêî ïðè x = y = z. Àëãåáðàè÷åñêè ðåøèòü ýòó çàäà÷ó
äîâîëüíî òðóäíî. Íàîáîðîò, çà ñ÷åò ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ó ýòîé àëãåáðàè÷åñêîé çàäà÷è âîçíèêàåò èçÿùíîå ðåøåíèå.
&
ÊÂÀÍT 2013/¹3
ñåðåäèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà (ðèñ.2).
Íî òîãäà, î÷åâèäíî,
AA′ , BB′ è CC′ íå
ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Àíàëîãè÷íî ïðèâîäèòñÿ ê ïðîòèâîðå÷èþ è ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî
λ > 1 2. 4
Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëÿì åùå íåñêîëüêî çàäà÷, â ðåøåíèè Ðèñ. 2
êîòîðûõ ìîãóò ïîìî÷ü çàäà÷è 1 è 2, à òàêæå èäåè, êîòîðûå âñòðåòèëèñü íàì
âûøå.
Ðèñ. 1
öåëèêîì â òðåóãîëüíèêå CA′A . Ïîýòîìó ïðè íàøåì ïîâîðîòå
∆BQC′ = ∆BC′C ∩ ∆AB′B ïåðåéäåò â òðåóãîëüíèê T =
= ∆CC′′A ∩ ∆BB′′C (çåëåíûé íà ðèñóíêå 1,â), êîòîðîé öåëèêîì ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà ∆CRA′ = ∆BC′C ∩ ∆CA′A .
Ïî óñëîâèþ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà T ðàâíà ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà CRA′ , ïîýòîìó ýòè òðåóãîëüíèêè äîëæíû ñîâïàäàòü. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî B′′ = C′ , C′′ = A′ , è çíà÷èò, x =
= y = z.
2. Ïóñòü x ≤ z ≤ y (ðèñ.1,ã), òîãäà B′ ëåæèò íà îòðåçêå
AA′′ , à A′ – íà îòðåçêå CC′′ . Ïðè íàøåì ïîâîðîòå òðåóãîëüíèê CRA′ ïåðåéäåò â òðåóãîëüíèê T′ (çåëåíûé íà ðèñóíêå
1,ã), êîòîðîé öåëèêîì ïîêðûâàåò òðåóãîëüíèê APB′ . Èç
ðàâåíñòâà ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ T′ è APB′ ñëåäóåò
ñîâïàäåíèå ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ, îòêóäà x = y = z.
Çàäà÷ó 1 ìîæíî îáîáùèòü äëÿ ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Çàäà÷à 2.  (ïðîèçâîëüíîì) òðåóãîëüíèêå ABC ïîëîæèì
a = BC, b = CA, c = AB. Îñòàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ òàêèå æå,
x y z
= =
òîãäà è òîëüêî
êàê â çàäà÷å 1. Äîêàæèòå, ÷òî
b c a
òîãäà, êîãäà ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ APB′ , BQC′ è CRA′
ðàâíû.
Ðåøåíèå. Ìîæíî ñäåëàòü àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå äàííûé òðåóãîëüíèê ABC â ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê. 3 Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ñîõðàíèò îòíîøåíèå ïëîùàäåé
è îòíîøåíèå äëèí îòðåçêîâ, ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé.
Ïîýòîìó çàäà÷à 2 ñëåäóåò èç çàäà÷è 1.
Îòìåòèì, ÷òî èç óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è 2 ëåãêî ñëåäóåò
Ðåøåíèå çàäà÷è Ì2288.  óñëîâèè ýòîé çàäà÷è äàíî
ðàâåíñòâî ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ APB′ , BQC′ è CRA′ â
òîì ñëó÷àå, êîãäà AA′ , BB′ è CC′ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé
òî÷êå (ò.å. â ñëó÷àå P = Q = R). Èç çàäà÷è 2 ïîëó÷àåì
x y z
= = . Ïóñòü êàæäîå èç ýòèõ îòíîøåíèé
ðàâåíñòâî
b c a
ðàâíî λ . Îñòàåòñÿ ïîíÿòü, ÷òî λ ìîæåò áûòü ðàâíî ëèøü 1 2
(ïðè λ = 1 2 îòðåçêè AA′ , BB′ è CC′ ÿâëÿþòñÿ ìåäèàíàìè).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ < 1 2 . Òîãäà òî÷êè A′ , B′ , C′ ëåæàò
âíóòðè îòðåçêîâ CA0 , AB0 , BC0 , ãäå A0 , B0 , C0 –
3 Ñì. íàïðèìåð, ñòàòüþ À. Çàñëàâñêîãî â «Êâàíòå» ¹1 çà
2009 ã.
Çàäà÷è
3. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäè êðàñíûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ íà
ðèñóíêå 3 ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëîùàäè
æåëòûõ òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû (â çàäà÷å Ì827,à òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü, ÷òî èç ðàâåíñòâà ïëîùàäåé æåëòûõ
òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò ðàâåíñòâî ïëîùàäåé êðàñíûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ).
Óêàçàíèå: îáà óòâåðæäåíèÿ, ðàâíîñèëüíîñòü
êîòîðûõ íóæíî äîêàçàòü,
ýêâèâàëåíòíû, ñîãëàñíî
çàäà÷å 2, îäíîìó è òîìó
æå óñëîâèþ íà îòíîøåíèÿ, â êîòîðûõ òî÷êè ðàçäåëÿþò ñòîðîíû òðåóãîëü- Ðèñ. 3
íèêà.
4. à) Íà ñòîðîíàõ êâàäðàòà âûáðàëè òî÷êè òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 4,à. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäè æåëòûõ
òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = y =
= z = t.
Ðèñ. 4
á) Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäè êðàñíûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ
(ðèñ. 4,á) ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = y = z = t.
â*) Ñôîðìóëèðóéòå è ðåøèòå àíàëîã çàäà÷è 1 äëÿ
ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Óêàçàíèÿ. à), á) Âíà÷àëå ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî x = z è y = t, ðàññìîòðåâ öåíòðàëüíóþ ñèììåòðèþ (çàìåòèì, ÷òî
ïîïûòêà èñïîëüçîâàòü ïîâîðîò íà 90∞ è íàïðÿìóþ ïåðåíåñ4 Äîêàçàòü, ÷òî λ = 1 2 , ìîæíî è èíà÷å, ïðèìåíèâ òåîðåìó
×åâû.
ÏÐÎÃÓËÊÈ
òè ðàññóæäåíèÿ èç ðåøåíèÿ çàäà÷è 1 íå ïðîéäåò: âîçìîæíî,
êàæäûé èç îòðåçêîâ x, z áîëüøå êàæäîãî èç îòðåçêîâ y, t).
â) Ïðè íå÷åòíîì n ïðîõîäèò èäåÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è 1
(ïîâîðîò íà 360∞ n âîêðóã öåíòðà), íóæíî ëèøü íàéòè
ïîäõîäÿùóþ òðîéêó ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà. Ïðè ÷åòíîì n (n = 2m), êàê è â ïóíêòå à), ñíà÷àëà
ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïîâîðîò íà 360∞ m ãðàäóñîâ.
5. Âûÿñíèòå, âåðíû ëè àíàëîãè ïðåäûäóùèõ çàäà÷, åñëè
òî÷êè A′ , B′ , C′ è ò.ä. âûáèðàþòñÿ íå íà ñòîðîíàõ, à íà èõ
ïðîäîëæåíèÿõ (íàïðèìåð, êàê íà ðèñóíêå 5).
Ñ
'
ÔÈÇÈÊÎÉ
6. à) Äàí ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé 1
(ðèñ.6,à). Äîêàæèòå, ÷òî S1 + S2 + S3 = S òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà x + y + z = 1.
á) (çàäà÷à Ì1332, «Êâàíò» ¹9 çà 1992 ã.) Äàí êâàäðàò ñî
ñòîðîíîé 1 (ðèñ.6,á). Äîêàæèòå, ÷òî S1 + S2 + S3 + S4 = S
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x + y + z + t = 2.
Ðèñ. 6
Óêàçàíèå ê ïóíêòó à). Óñëîâèå S1 + S2 + S3 = S îçíà÷àåò,
÷òî ñóììà ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ ABB′ , BCC′ , CAA′
ðàâíà ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ABC.
Â. Ðàñòîðãóåâ
Ðèñ. 5
ÏÐÎÃÓËÊÈ Ñ ÔÈÇÈÊÎÉ
Êàê ðàñòÿíóòü ìãíîâåíèå
(Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè)
...×òîáû çàïå÷àòëåòü ìãíîâåíèå, ìû èñïîëüçóåì ôîòîêàìåðó. Äåéñòâèòåëüíî, êîãäà âûäåðæêà ñîñòàâëÿåò ìåíåå
1/100 ñ, îáúåêòû äëÿ êàìåðû ñòàíîâÿòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåïîäâèæíûìè, à èõ ãðàíèöû íà êàäðå ïîëó÷àþòñÿ ðåçêèìè. Ýòî
õîðîøî âèäíî íà ôîòîãðàôèè, ñäåëàííîé ñ âûäåðæêîé
1/400 ñ (ðèñ.1). À òåïåðü óâåëè÷èì âûäåðæêó â ñîòíè ðàç
è óâèäèì, ÷òî íåïîäâèæíûå îáúåêòû – äîðîãà è äåðåâüÿ –
îñòàëèñü ðåçêèìè, à äâèæóùàÿñÿ ìàøèíà èç êàäðà èñ÷åçëà,
îñòàâèâ òîëüêî áåëóþ è êðàñíóþ ïîëîñû ãàáàðèòíûõ îãíåé
Ðèñ.2
(ðèñ.2). Ýòà ôîòîãðàôèÿ áûëà ñäåëàíà ïîçäíî âå÷åðîì áåç
âñïûøêè ñ âûäåðæêîé 1/2 ñ.
Çíàÿ âûäåðæêó, ïî äëèíå ïîëîñû ãàáàðèòíûõ îãíåé íà
íî÷íîì ôîòî ìîæíî ëåãêî âû÷èñëèòü ñðåäíþþ ñêîðîñòü
àâòîìîáèëÿ. Øèðèíà «çåáðû» ïåðåä ìîèì äîìîì ñîñòàâëÿåò 4 ì. Íà ôîòîãðàôèè âèäíî, ÷òî äëèíà ïîëîñû ãàáàðèòíûõ îãíåé ïðèáëèçèòåëüíî â 2 ðàçà áîëüøå øèðèíû «çåáðû». Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü íî÷íîãî àâòîìîáèëÿ
áûëà 8 ì/(0,5 ñ) = 16 ì/ñ = 57,6 êì/÷.
Èñïîëüçóÿ òîò æå ñàìûé ìåòîä, ìîæíî ñ ïîìîùüþ ôîòîêàìåðû îïðåäåëèòü ñêîðîñòü âåòðà ïðè ñíåãîïàäå. Äëÿ ýòîãî
Ðèñ.1
(Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 37)
«ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ
1.
Çàäà÷è
Ó Êîñòè åñòü ÷åòûðå áîëüøèõ òðåóãîëüíèêà è
÷åòûðå ìàëåíüêèõ – òàêèõ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå.
Ïîìîãèòå Êîñòå ñëîæèòü êâàäðàò áåç äûð è íàëîæåíèé, èñïîëüçîâàâ âñå ýòè òðåóãîëüíèêè.
Ê.Êíîï
4.
Ðåøèòå ðåáóñ: ÀÁ2 – ÑÑ = 2014. (Îäèíàêîâûìè
áóêâàìè îáîçíà÷åíû îäèíàêîâûå öèôðû, ðàçíûìè –
ðàçíûå.)
Ò.Âîëîñíèêîâà
3.
Òðè áîðîäàòûõ ìóäðåöà ñïîðèëè, ó êîãî ñàìàÿ
äëèííàÿ áîðîäà.
Ïåðâûé ñêàçàë : «Ó ìåíÿ ñàìàÿ äëèííàÿ áîðîäà ñðåäè
âàñ!»
Âòîðîé : «Íåò, ó ìåíÿ äëèííåå, ÷åì ó òåáÿ!»
Òðåòèé : «Õîòÿ áû îäèí èç âàñ îøèáàåòñÿ».
Ó êîãî èç ìóäðåöîâ ñàìàÿ êîðîòêàÿ áîðîäà, åñëè
äëèíû âñåõ áîðîä ðàçíûå è ïðàâäó ñêàçàë òîëüêî
ìóäðåö ñ ñàìîé äëèííîé áîðîäîé?
È.Ñèäîðîâ
Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 6–8
êëàññîâ.
Çàäà÷è 1, 3 è 4 ïðåäëàãàëèñü íà Îëèìïèàäå ïÿòèêëàññíèêîâ Òâîð÷åñêîé ëàáîðàòîðèè «2 ¥ 2» â 2013 ãîäó.
5.
Ìîæíî ëè íàðèñîâàòü íà ëèñòå áóìàãè ÷åòûðå
îäèíàêîâûõ êâàäðàòà è äâå ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïðÿìûå òàê, ÷òîáû êâàäðàòû íå ïåðåêðûâàëèñü (äàæå íå
êàñàëèñü) è êàæäàÿ ïðÿìàÿ ïåðåñåêàëà êàæäûé êâàäðàò ïî îòðåçêó?
Ôîëüêëîð
Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé
2.
Òåòÿ Ãðóøà ïðîäàåò êàáà÷êè. Òðè êàáà÷êà îíà
ïðîäàåò çà 5 äîëëàðîâ, ÷åòûðå êàáà÷êà – çà 6 äîëëàðîâ, à ïÿòü êàáà÷êî⠖ çà 7 äîëëàðîâ. Íè â êàêîì
äðóãîì êîëè÷åñòâå òåòÿ Ãðóøà êàáà÷êè íå ïðîäàåò.
Â÷åðà îíà ïðîäàëà 100 êàáà÷êîâ è âûðó÷èëà çà íèõ
160 äîëëàðîâ. Ñêîëüêî ïðîäàæ ñîâåðøèëà â÷åðà òåòÿ
Ãðóøà?
Å.Áàêàåâ
«ÊÂÀÍÒ»
ÄËß
ÌËÀÄØÈÕ
ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ
Óäèâèòåëüíàÿ êîíñòðóêöèÿ,
èëè Ðàññêàç î ãîôðå
!
Ñ.ÄÂÎÐßÍÈÍÎÂ
Ò
ÎËß ÂÒÓËÊÈÍ ÓÒÂÅÐÆÄÀÅÒ, ×ÒÎ ÈÇ ÎÁÛ×ÍÎÃÎ ÒÅÒÐÀÄÍÎ-
ãî ëèñòà áóìàãè ðàçìåðîì ïðèìåðíî 16 ¥ 20 ñì,
èñïîëüçóÿ òîëüêî íîæíèöû, îí ìîæåò ñîçäàòü êîíñòðóêöèþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ òàêèì óñëîâèÿì:
i êîíñòðóêöèþ ìîæíî ðàçìåñòèòü íà ñòîëå;
i åå âûñîòà ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî ïîëòîðà ñàíòèìåòðà;
i íà íåå ñâåðõó ìîæíî ïîìåñòèòü ãðóç ìàññîé áîëåå
3 êã (íàïðèìåð, ïîñòàâèòü òðåõëèòðîâóþ áàíêó ñ âîäîé), è êîíñòðóêöèÿ ïðè ýòîì íå ðàçðóøèòñÿ.
Ìîæíî ëè ýòîìó âåðèòü? Äàâàéòå ïðîâåðèì.
Âûðåæåì èç ëèñòà áóìàãè íåñêîëüêî ïîëîñîê äëèíîé
20 ñì è øèðèíîé ÷óòü áîëåå 1,5 ñì. Êàæäóþ ïîëîñêó
íàìîòàåì íà êàðàíäàø è ïîòîì, ñíÿâ ñ êàðàíäàøà,
îòïóñòèì. Åñëè ïîëîñêà ðàñêðóòèòñÿ ñëèøêîì ñèëüíî, òî íàìîòàåì åå åùå ðàç. Â
ðåçóëüòàòå ïîëîñêà
ïðèìåò ôîðìó ñïèðàëè. Ðàçìåñòèì âñå
òàêèå ïîëîñêè íà ñòîëå â êðóãå ðàäèóñîì
10–12 ñì (íà ðèñóíêå
1 òàêèõ ïîëîñîê øåñòü,
Ðèñ. 1
äëÿ ñðàâíåíèÿ ðÿäîì
ïîìåùåíà äâóõðóáëåâàÿ ìîíåòà). Íà ýòè
ïîëîñêè ñâåðõó ïîëîæèì êóõîííóþ ïîäñòàâêó ïîä ãîðÿ÷åå
òàê, ÷òîáû îíà îïèðàëàñü íà âñå íàøè
îïîðû (ðèñ.2). À çàòåì íà ýòó ïîäñòàâêó
îñòîðîæíî, òî÷íåå
Ðèñ. 2
ãîâîðÿ – ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëÿÿ íàãðóçêó, ïîñòàâèì è ãðóç – íàïðèìåð,
÷óãóííûé óòþã ìàññîé 4,5 êã. Çàìåòüòå – íè îäíà
áóìàæíàÿ ïîëîñêà íå ñìÿëàñü! Óòþã îêàçàëñÿ íà òðåáóåìîé âûñîòå íàä ñòîëîì.
Òåïåðü, êîãäà èäåÿ ðåøåíèÿ ýòîé òåõíè÷åñêîé çàäà÷è âàì ÿñíà, âû ìîæåòå ïîýêñïåðèìåíòèðîâàòü.
Åñëè êîí÷èêè íàìîòàííûõ íà êàðàíäàø ïîëîñîê àêêóðàòíî ïðèêëåèòü ê ñîîòâåòñòâóþùèì âèòêàì ñïèðàëåé, òî ó íàñ ïîëó÷àòñÿ ïðî÷íûå áóìàæíûå öèëèíäðû âûñîòîé 1,5 ñì. Èç òåòðàäíîãî ëèñòà ìîæíî ñäåëàòü 10 òàêèõ öèëèíäðîâ. Ðàñïîëîæèòå ýòè îïîðû
â êðóãå âïëîòíóþ îäíà ê äðóãîé è íà÷èíàéòå ñòîïêîé
âûêëàäûâàòü íà íèõ ñâåðõó êíèãè. Ìîæåòå äàæå
óñòðîèòü ñîðåâíîâàíèå – ó êîãî âûñîòà
ñòîïêè è êîëè÷åñòâî
êíèã îêàæóòñÿ áîëüøå.
À ìîæíî â êà÷åñòâå
îïîð èñïîëüçîâàòü òå
æå ïîëîñêè, ñæàòûå
ãàðìîøêîé (ðèñ.3).
Ïðàâäà, íà òàêèõ îïîðàõ íàì íå óäàëîñü Ðèñ. 3
ðàçìåñòèòü ñëèøêîì áîëüøîé ãðóç. Ìîæíî åùå ïîïðîáîâàòü êàæäóþ òàêóþ ïîëîñêó ñêëåèòü â êîëüöî.
Íàâåðíîå, ìíîãèå íàøè ÷èòàòåëè, à îñîáåííî äåâî÷êè, ñðàçó âñïîìíèëè ïëèññå è ãîôðå – òàê íàçûâàþò ìåëêèå çàóòþæåííûå ïàðàëëåëüíûå ñêëàäêè íà
ìàòåðèè. Èìåííî òàêàÿ ãîôðèðîâàííàÿ, ò.å. ñæàòàÿ,
áóìàãà èñïîëüçóåòñÿ â ïðîìûøëåííîñòè äëÿ ïðîèçâîäñòâà ãîôðîêàðòîíà – ìàòåðèàëà äëÿ óïàêîâî÷íîé
òàðû.
Ïîñìîòðèòå íà êàðòîííûå êîðîáêè â ìàãàçèíå –
âñå îíè ñäåëàíû èç ãîôðîêàðòîíà. Ýòîò ìàòåðèàë
î÷åíü äåøåâûé, íî ïðè ýòîì îòëè÷àåòñÿ âûñîêèìè
ôèçè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè: îí ëåãêèé è äîñòàòî÷íî
ïðî÷íûé.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå òàêîé êàðòîí ñîñòîèò
èç òðåõ ñëîåâ: âíóòðåííèé ñëîé – ýòî ãîôðîáóìàãà,
äâà íàðóæíûõ – ïëîñêèå ñëîè êàðòîíà. È òî è äðóãîå
èçãîòàâëèâàþò èç ìàêóëàòóðû èëè äðóãîãî âòîðè÷íîãî ñûðüÿ, ÷òî çàìå÷àòåëüíî ñ ïîçèöèé ýêîíîìèè ðåñóðñîâ è çàùèòû îêðóæàþùåé ñðåäû. Èíòåðåñíî, ÷òî
ïî îòäåëüíîñòè è áóìàãà è êàðòîí – äîâîëüíî ìÿãêèå ìàòåðèàëû, à âîò ïîëó÷àåìàÿ â ñî÷åòàíèè êîìïîçèöèÿ îêàçûâàåòñÿ æåñòêîé. Äëÿ åùå áîëüøåãî óïðî÷åíèÿ ãîôðîêàðòîí èçãîòàâëèâàþò ìíîãîñëîéíûì –
ïÿòè- è äàæå ñåìèñëîéíûì. Â íåì ñëîè êàðòîíà è
ãîôðèðîâàííîé áóìàãè ÷åðåäóþòñÿ îäèí çà äðóãèì.
 èíòåðíåòå ìîæíî ïðî÷èòàòü, ÷òî ãîôðèðîâàííàÿ
áóìàãà áûëà çàïàòåíòîâàíà â Âåëèêîáðèòàíèè â 1856
ãîäó è èñïîëüçîâàëàñü êàê ïîäêëàäêà ïîä øëÿïû. Â
1871 ãîäó â Àìåðèêå áûë çàïàòåíòîâàí ãîôðàêàðòîí,
âñêîðå íà÷àëîñü åãî ìàññîâîå ïðîèçâîäñòâî, ïîñòåïåííî ðàñïðîñòðàíèâøååñÿ íà âåñü ìèð.
Ïðèíöèï ãîôðà èñïîëüçóåòñÿ íàìíîãî øèðå, ÷åì ýòî
ìîæåò ïîêàçàòüñÿ. Íåäàâíî âî âðåìÿ ðåìîíòà íàì
ïðèøëîñü çàìåíèòü äâåðü, êîòîðóþ âñå ìíîãèå ãîäû
íàçûâàëè äåðåâÿííîé. Îêàçàëîñü, ÷òî ýòà äâåðü ïóñòîòåëàÿ è èçãîòîâëåíà èç äâóõ ñëîåâ òîëñòîãî êàðòîíà, ê
êîòîðûì èçíóòðè ïðèêëååí òîíêèé ãîôðèðîâàííûé
êàðòîí. Ïî ñóòè äåëà, äâåðü ýòà áóìàæíî-êàðòîííàÿ.
Ïàïüå-ìàøå äà è òîëüêî!
Òåðìîìåòð, áåç ñîìíåíèÿ, åñòü îäíî èç ÷óäåñíûõ èçîáðåòåíèé ñîâðåìåííîé ôèçèêè, êîòîðîå â ñâîþ î÷åðåäü
ìíîãî ñîäåéñòâîâàëî åå óñïåõàì.
Ðåíå Àíòóàí Ðåîìþð
Ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû â îêñèäàõ è ñóëüôèäàõ
÷èñëî ïðîâîäÿùèõ èëè ñâîáîäíûõ êâàíòîâ ýëåêòðè÷åñòâà
– ýëåêòðîíî⠖ óâåëè÷èâàåòñÿ, ïîêà íå ñòàíåò ïðåäåëüíûì, ïîñëå ÷åãî èõ ïîâåäåíèå óïîäîáëÿåòñÿ ìåòàëëàì…
Èîãàíí Êåíèãñáåðãåð
Êîíêðåòíûì âèäîì òåðìîìåòðà, â íàèìåíüøåé ñòåïåíè
ïîäâåðæåííîãî íåîïðåäåëåííûì îòêëîíåíèÿì ëþáîãî òèïà,
ÿâëÿåòñÿ òåðìîìåòð, êîòîðûé îñíîâàí íà ðàñøèðåíèè
âîçäóõà…
Óèëüÿì Òîìñîí (ëîðä Êåëüâèí)
Îäíàæäû ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
ìîëåêóë ïðîïîðöèîíàëüíà òåìïåðàòóðå. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå ïðèâåëî ê òåìïåðàòóðíîé øêàëå, êîòîðóþ ìû íàçâàëè
øêàëîé èäåàëüíîãî ãàçà.
Ðè÷àðä Ôåéíìàí
?
À òàê ëè õîðîøî çíàêîìà âàì
òåðìîìåòðèÿ
Ñàìî ñëîâî «òåðìîìåòðèÿ» ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ðå÷ü
ñåãîäíÿ ïîéäåò îá èçìåðåíèÿõ. Òîëüêî èçìåðåíèÿõ
÷åãî? Ñîçäàòü ïðèáîð ïîä íàçâàíèåì «òåìïåðàòóðîìåòð», íåïîñðåäñòâåííî óêàçûâàþùèé íà èçìåðÿåìóþ
âåëè÷èíó, íåëüçÿ. À âîò ñëåäèòü çà ðàçëè÷íûìè ñâîéñòâàìè îêðóæàþùèõ íàñ òåë, çàâèñÿùèìè îò òåìïåðàòóðû, âïîëíå âîçìîæíî. Ñîáñòâåííî, ýòó çàäà÷ó íà
ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ äåñÿòèëåòèé è ñòàðàëèñü ðåøèòü
òàêèå êîðèôåè íàóêè, êàê Ãàëèëåé, Ãåðèêå, Íüþòîí,
Ëîìîíîñîâ, Òîìñîí. Íî íåìàëî è ìåíåå èçâåñòíûõ
ó÷åíûõ îñòàâèëè ñâîè èìåíà íà òåìïåðàòóðíûõ øêàëàõ.
Ýòèìè çàâèñèìûìè îò òåìïåðàòóðû âåëè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ îáúåì è äàâëåíèå ãàçà, äëèíà òâåðäûõ ñòåðæíåé è
îáúåì æèäêîñòåé, ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ïîëóïðîâîäíèêîâ è ïðîâîäíèêîâ, öâåò îñîáîãî ðîäà êðèñòàëëîâ, ÿðêîñòü ðàñêàëåííûõ ìåòàëëîâ è ñâåòèìîñòü
çâåçä… Ñêîëüæåíèå ëûæ ïî ñíåãó, âÿçêîñòü ñèðîïà,
ïëàâëåíèå âîñêà… – ìû ñîáüåìñÿ ñî ñ÷åòà, ïðèâîäÿ
ïðèìåðû ÿâëåíèé è ïðîöåññîâ, òàê èëè èíà÷å ïîçâîëÿþùèõ ñóäèòü î âëèÿíèè íà íèõ ïåðåìåííû òåìïåðàòóðû. Íàøè èçîáðåòàòåëüíûå ïðåäøåñòâåííèêè òàê óñîâåðøåíñòâîâàëè ïðîöåäóðó èçìåðåíèÿ òåìïåðàòóðû,
÷òî òåïåðü ìû ìîæåì îáíàðóæèòü äàæå «ýõî» Áîëüøîãî
âçðûâà ìèëëèàðäíîëåòíåé äàâíîñòè, çàïå÷àòëåííîå â
ðåëèêòîâîì èçëó÷åíèè, ñîîòâåòñòâóþùåì òåìïåðàòóðå
îêîëî 3 Ê.
Ïîïðîáóåì-êà è ìû ñ áóëüøèì óâàæåíèåì îòíåñòèñü
êî âðîäå áû ïðîñòåíüêîìó ïðèáîðó, èìåíóåìîìó â
îáèõîäå «ãðàäóñíèêîì», è ñ åãî ïîìîùüþ âçÿòü íåñêîëüêî óðîêîâ ïî èñòîðèè íàóêè, ïî òåîðåòè÷åñêîé è
ïðèêëàäíîé ôèçèêå.
Âîïðîñû è çàäà÷è
1. Êîãäà ãèòàðó âûíîñÿò èç òåïëîãî ïîìåùåíèÿ íà
ìîðîç, åå ñòàëüíûå ñòðóíû ñòàíîâÿòñÿ áîëåå íàòÿíóòûìè. Ïî÷åìó?
2. Êàêèì òðåáîâàíèÿì äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü ìàòåðèàë ýëåêòðîäîâ, âïàèâàåìûõ â ñòåêëÿííûé áàëëîí ëàìïû
íàêàëèâàíèÿ?
3. Íàðóøèòñÿ ëè ðàâíîâåñèå ÷óâñòâèòåëüíûõ âåñîâ,
åñëè îäíî ïëå÷î êîðîìûñëà íàãðåòü?
4. Ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû áèìåòàëëè÷åñêàÿ
ïëàñòèíêà äîëæíà
ðàçîìêíóòü ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñóíêå. Óêàæèòå, êàêàÿ
÷àñòü ïëàñòèíêè ìåäíàÿ, à êàêàÿ ÷àñòü –
ñòàëüíàÿ.
5. Äîïóñòèì, ÷òî íàéäåíà æèäêîñòü, êîýôôèöèåíò
îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ êîòîðîé ïðè ëþáîé òåìïåðàòóðå
ðàâåí íóëþ. Êàê âåëà áû ñåáÿ ýòà æèäêîñòü, åñëè áû åå
íàëèëè â ìåòàëëè÷åñêóþ êàñòðþëþ è ïîñòàâèëè íà
ðàñêàëåííóþ ïëèòó?
6. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû ñîîáùàþùèåñÿ ñîñóäû.
Êóäà ïîòå÷åò âîäà ïî
ñîåäèíèòåëüíîé òðóáêå, åñëè íàãðåòü âîäó
â ïðàâîì ñîñóäå? À
åñëè â ëåâîì?
7. Êàê îòðàçèëîñü
áû íà ïîêàçàíèÿõ òåðìîìåòðà ðàâåíñòâî êîýôôèöèåíòîâ îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ ðàáî÷åé æèäêîñòè è ñòåêëà?
8. Ìîæíî ëè ïðèìåíÿòü ðòóòíûå òåðìîìåòðû äëÿ
èçìåðåíèÿ òåìïåðàòóð äî +600 °C , åñëè ðòóòü êèïèò
ïðè +357 °C ?
9. Äâà îäèíàêîâûõ ñîñóäà ñîåäèíåíû ñ ìàíîìåòðîì,
ñäåëàííûì èç óçêîé ñòåêëÿííîé òðóáêè. Óðîâíè ðòóòè
â êîëåíàõ ìàíîìåòðà îäèíàêîâû. Ñîñóäû îïóñêàþò â
òåïëóþ âîäó, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. ×òî ïðîèçîéäåò
ñ ïîëîæåíèåì ðòóòè
â ìàíîìåòðå? Êàê èçìåíèòñÿ îòâåò, åñëè
ñîñóäû áóäóò ðàçíûõ
ðàçìåðîâ? À åñëè
îäèí èç ñîñóäîâ áóäåò íàïîëíåí àçîòîì,
à äðóãîé – âîäîðîäîì?
10. ×åì îòëè÷àåòñÿ òåïëîâîå ðàñøèðåíèå ãàçîâ îò
òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ æèäêîñòåé?
11. Ïî÷åìó ãàçîâûé òåðìîìåòð äàåò ïðàâèëüíûå ïîêàçàíèÿ òîëüêî ïðè ñîâåðøåííî ñóõîì ãàçå?
12. Âîëüôðàì èìååò ïîëîæèòåëüíûé, à óãîëü – îòðèöàòåëüíûé òåðìè÷åñêèé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ.
Äëÿ êàæäîé èç ëàìï, èìåþùèõ âîëüôðàìîâûé è óãîëüíûé âîëîñêè, ñðàâíèòå ñèëû òîêà ïðè âêëþ÷åíèè è â
óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå.
13. Öåïü, ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñóíêå, ñîñòîèò èç
ëàìïû 1 ìîùíîñòüþ 40 Âò, êëþ÷à è ëàìïî÷êè 2 îò
êàðìàííîãî ôîíàðèêà. Öåïü âêëþ÷èëè â ãîðîäñêóþ ñåòü
ïðè çàìêíóòîì êëþ÷å, à çàòåì êëþ÷ ðàçîìêíóëè.  ýòîì
ñëó÷àå ëàìïû ãîðåëè íîðìàëüíî. Êîãäà æå â äðóãîé ðàç
ýòó öåïü âêëþ÷èëè â
ñåòü ïðè ðàçîìêíóòîì êëþ÷å, ëàìïî÷êà 2 ñðàçó ïåðåãîðåëà. Ïî÷åìó?
14.  öåïü âêëþ÷åíû ýëåêòðîïëèòêà è àìïåðìåòð.
Èçìåíÿòñÿ ëè ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðà, åñëè ïîäóòü íà
ðàñêàëåííóþ ïëèòêó õîëîäíûì âîçäóõîì?
15. Ïî÷åìó ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû ïîëóïðîâîäíèêîâ èõ ñîïðîòèâëåíèå óìåíüøàåòñÿ?
16. Ïðè íàãðåâàíèè ñîïðîòèâëåíèå ïîëóïðîâîäíèêà
óìåíüøèëîñü íà 20%. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ïðè ýòîì
óâåëè÷èëñÿ òîê â íåì?
17. Êàêîâû ïðåèìóùåñòâà ïîëóïðîâîäíèêîâûõ òåðìîýëåìåíòîâ ïåðåä ìåòàëëè÷åñêèìè?
18. Ïî÷åìó õîëîäíûå çâåçäû èìåþò êðàñíîâàòûé
öâåò, à ãîðÿ÷èå çâåçäû êàæóòñÿ áåëûìè?
Ìèêðîîïûò
Îïóñòèòå íà ñåêóíäó ìåäèöèíñêèé òåðìîìåòð â ãîðÿ÷óþ ( 40 − 50 °C ) âîäó (íå ïåðåãðåéòå åãî, èíà÷å îí
ëîïíåò!). Ïî÷åìó ïðè ýòîì ïîêàçàíèå òåðìîìåòðà íà
ìãíîâåíèå óìåíüøèòñÿ?
Ëþáîïûòíî, ÷òî…
…ñëîâî «òåìïåðàòóðà», ïîÿâèâøååñÿ â ëèòåðàòóðå â
1624 ãîäó, îçíà÷àëî «ñìåñü» – ñìåñü âåùåñòâà òåëà è
îñîáîãî âåùåñòâà, òåïëîðîäà, îòâå÷àþùåãî çà íàãðåâàíèå è îõëàæäåíèå òåë.  òå÷åíèå ïî÷òè ïîëóòîðà âåêîâ
ñ÷èòàëîñü, ÷òî, èçìåðÿÿ òåìïåðàòóðó, ìû èçìåðÿåì
êîíöåíòðàöèþ òåïëîðîäà â òåëå.
…çàñëóãà èçîáðåòåíèÿ ñïèðòîâîãî òåðìîìåòðà, ðàáîòàþùåãî ïðè çíà÷èòåëüíî áîëåå íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ,
÷åì ïðèáîðû, çàïîëíåííûå ðòóòüþ, ïðèíàäëåæèò ó÷åíèêó Ãàëèëåî Ãàëèëåÿ ãåðöîãó Ôåðäèíàíäó II, ïðàâèâøåìó âî Ôëîðåíöèè â ñåðåäèíå XVII âåêà.
…åùå â 1702 ãîäó ôðàíöóçñêèé ôèçèê Ãèéîí (Ãèëüîì) Àìîíòîí, êîíñòðóèðîâàâøèé ãèãðîìåòðû, áàðîìåòðû è òåðìîìåòðû, ïðèøåë ê èäåå î ñóùåñòâîâàíèè ñàìîé
íèçêîé âîçìîæíîé òåìïåðàòóðû – òàêîé, ïðè êîòîðîé
äàâëåíèå ãàçà ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ. Ýòè âûâîäû
ïîëó÷èëè ðàçâèòèå ìíîãî ïîçæå – â 1848 ãîäó Óèëüÿì
Òîìñîí ââåë ïîíÿòèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé òåìïåðàòóðû
è àáñîëþòíîãî íóëÿ è ïîñòðîèë ñîîòâåòñòâóþùóþ èì
òåìïåðàòóðíóþ øêàëó.
…âî âðåìåíà Äàíèýëÿ Ôàðåíãåéòà, ïðåäëîæèâøåãî â
1709 ãîäó ñîáñòâåííóþ, èñïîëüçóåìóþ äî ñèõ ïîð òåìïåðàòóðíóþ øêàëó, áûëî ðàñïðîñòðàíåíî óáåæäåíèå,
áóäòî òåìïåðàòóðà âîçäóõà íèêîãäà íå ïîäíèìàåòñÿ
âûøå òåìïåðàòóðû êðîâè ÷åëîâåêà, è òàêîå íàãðåâàíèå
âîçäóõà ñ÷èòàëîñü óæå ñìåðòåëüíûì.
…ïðåäøåñòâåííèöåé ñòîãðàäóñíîé øêàëû Öåëüñèÿ
áûëà èçîáðåòåííàÿ â 1730 ãîäó óäîáíàÿ äëÿ øèðîêîãî
ïðèìåíåíèÿ âîñüìèäåñÿòèãðàäóñíàÿ øêàëà ñïèðòîâîãî
òåðìîìåòðà. Ñîçäàòåëåì åå áûë ôðàíöóç Ðåíå Ðåîìþð,
ñ÷èòàâøèé, îäíàêî, ãëàâíûì äåëîì ñâîåé æèçíè…
çîîëîãèþ è áîëåå âñåãî èíòåðåñîâàâøèéñÿ îáùåñòâåííûìè íàñåêîìûìè.
…îïûòû, ïîñòàâëåííûå â 1760 ãîäó øîòëàíäñêèì
ó÷åíûì, îñíîâîïîëîæíèêîì ôèçè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé
â îáëàñòè êàëîðèìåòðèè Äæîçåôîì Áëýêîì äëÿ ïðîâåðêè ëèíåéíîñòè øêàë òåðìîìåòðîâ, ïðèâåëè åãî ê ìûñëè
î ðàçëè÷èè äâóõ õàðàêòåðèñòèê òåïëîâûõ ÿâëåíèé –
òåïëîòû è òåìïåðàòóðû, êîòîðûå äîëãîå âðåìÿ ïóòàëè
äðóã ñ äðóãîì.
…äëÿ èçìåðåíèÿ î÷åíü íèçêèõ òåìïåðàòóð ãàçîâûå
òåðìîìåòðû äåëàþò èç ñòåêëà èëè êâàðöà è íàïîëíÿþò
âîäîðîäîì èëè ãåëèåì. Äëÿ î÷åíü æå âûñîêèõ òåìïåðàòóð – äî 1500 °C – ïðèáîðû èçãîòîâëÿþò èç òóãîïëàâêîãî ñïëàâà ïëàòèíû ñ ðîäèåì è íàïîëíÿþò èõ àçîòîì.
…«ñòàðåéøèé» ïîëóïðîâîäíèê, óâåëè÷åíèå ïðîâîäèìîñòè êîòîðîãî ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû âïåðâûå áûëî
îáíàðóæåíî Ìàéêëîì Ôàðàäååì â 1833 ãîäó, ýòî ñåðíèñòîå ñåðåáðî. Ïåðâûå òåðìèñòîðû – ïðîáîðû íà îñíîâå
ïîëóïðîâîäíèêîâ, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðûõ ìåíÿåòñÿ â
çàâèñèìîñòè îò òåìïåðàòóðû, – áûëè èçãîòîâëåíû â
1890 ãîäó íåìåöêèì ôèçèêîì, Íîáåëåâñêèì ëàóðåàòîì
Âàëüòåðîì Íåðíñòîì. Ñåãîäíÿ îíè ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ
èçìåðåíèÿ è ðåãóëèðîâàíèÿ òåìïåðàòóðû â äèàïàçîíå îò
1 Ê äî 1800 Ê.
…óìåíüøåíèå ñîïðîòèâëåíèÿ ìåòàëëîâ ïðè íèçêèõ
òåìïåðàòóðàõ, îêàçûâàåòñÿ, ìîæåò ñìåíèòüñÿ åãî ðîñòîì. Ïðîèñõîäèò ýòî, êàê íåäàâíî áûëî íàéäåíî, â î÷åíü
òîíêèõ ïðîâîëî÷êàõ íåêîòîðûõ ñïëàâîâ äèàìåòðîì ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ñîò àíãñòðåì.
…ïîëóïðîâîäíèêîâûå áîëîìåòðû, èëè òåðìîñîïðîòèâëåíèÿ, èçîáðåòåííûå åùå â 1880 ãîäó àìåðèêàíñêèì
àñòðîôèçèêîì Ñýìþýëåì Ëåíãëè, íûíå ñïîñîáíû ðåãèñòðèðîâàòü òåïëîâûå ïîòîêè ìîùíîñòüþ â äåñÿòèìèëëèîííûå äîëè âàòòà.
…íåîáû÷íàÿ ñïîñîáíîñòü æèäêèõ êðèñòàëëîâ ïðèîáðåòàòü èíîé öâåò ïðè èçìåíåíèè òåìïåðàòóðû âñåãî
ëèøü íà òûñÿ÷íûå äîëè ãðàäóñà ïîñëóæèëà èõ ïðèìåíåíèþ â êà÷åñòâå ÷óâñòâèòåëüíåéøèõ òåðìîèíäèêàòîðîâ.
…ñîâðåìåííûå òåðìîäàò÷èêè äîñòèãëè òàêèõ êðîõîòíûõ ðàçìåðîâ, ÷òî ïîçâîëÿþò áåçáîëåçíåííî äëÿ æèâîòíûõ ðàñïîëàãàòü ñåáÿ íà èõ òåëå, ÷òîáû çàòåì âåñòè
äèñòàíöèîííîå íàáëþäåíèå çà èõ ñîñòîÿíèåì, îñîáåííî
çà ñïîñîáàìè òåðìîðåãóëÿöèè.
×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå» î òåðìîìåòðèè
(ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò)
1. Êàëåéäîñêîï «Êâàíòà» – 2007, ¹1, ñ.32; 2008, ¹1,
ñ.32; 2011, ¹5/6, ñ.32;
2. «Òåìïåðàòóðà» – 2007, Ïðèëîæåíèå ¹5;
3. «Ìåòåîðîëîãè÷åñêèå íàáëþäåíèÿ…» – 2010, ¹3, ñ.2;
4. «Ôèçè÷åñêèé êàëåéäîñêîï» – 2012, Ïðèëîæåíèå ¹3,
ñ.31, 50, 107.
Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷
ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»
Ìíîæåñòâà è
õàðàêòåðèñòè÷åñêèå
ôóíêöèè
Ë.ÀËÜÒØÓËÅÐ
Â
ØÊÎËÜÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ ÌÛ ÂÑÒÐÅ×ÀÅÌÑß Ñ ÌÍÎ-
æåñòâàìè íà êàæäîì øàãó: ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë,
ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ, ìíîæåñòâî ïàðàëëåëîãðàììîâ, ìíîæåñòâî öåíòðîâ âñåõ îêðóæíîñòåé íà ïëîñêîñòè, ìíîæåñòâî
òî÷åê îòðåçêà è ò.ï. Îáúåêòû (èëè ïðåäìåòû), ñîñòàâëÿþùèå
ìíîæåñòâî, íàçûâàþòñÿ åãî ýëåìåíòàìè.
 ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêå ñëîâà «ìíîæåñòâî» è «ýëåìåíò» èñïîëüçóþòñÿ ÷àñòî, è òåîðèÿ ìíîæåñò⠖ ýòî ÿçûê, íà
êîòîðîì ðàçãîâàðèâàþò ìàòåìàòèêè.
Îáû÷íî ìíîæåñòâà îáîçíà÷àþò ïðîïèñíûìè (áîëüøèìè)
áóêâàìè, à ýëåìåíòû ìíîæåñòâà – ñòðî÷íûìè (ìàëûìè)
áóêâàìè. Çàïèñü x ∈ A îáîçíà÷àåò, ÷òî x ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A, à çàïèñü x ∉ A îáîçíà÷àåò, ÷òî x ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A íå ÿâëÿåòñÿ. Ìíîæåñòâà A è B íàçûâàþòñÿ
ðàâíûìè (ïèøóò A = B), åñëè îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå
ýëåìåíòîâ. Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà B ïðèíàäëåæèò
ìíîæåñòâó A, òî ãîâîðÿò, ÷òî B åñòü ïîäìíîæåñòâî A (èëè A
ñîäåðæèò ìíîæåñòâî B). Îáîçíà÷àþò ýòî òàê: B à A (èëè
A … B ). Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå ìíîæåñòâà B â ìíîæåñòâî A. ßñíî, ÷òî A = B òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà A Ã B è B Ã A .
 ìàòåìàòèêå ðàññìàòðèâàþò è ìíîæåñòâî ñîâñåì áåç
ýëåìåíòîâ. Îíî íàçûâàåòñÿ ïóñòûì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ∆ . Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ðåøåíèé
óðàâíåíèÿ x2 + 1 = 0 , ìíîæåñòâî ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ, âñå
ñòîðîíû êîòîðûõ ðàâíû, à äèàãîíàëè íå ïåðïåíäèêóëÿðíû,
íå ñîäåðæàò ýëåìåíòîâ.
Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ìíîæåñòâà, ÿâëÿþùèåñÿ
ïîäìíîæåñòâàìè íåêîòîðîãî çàäàííîãî (óíèâåðñàëüíîãî)
ìíîæåñòâà U. Ïîäìíîæåñòâî A ⊂ U îáû÷íî çàäàåòñÿ êàêèì-ëèáî õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñâîéñòâîì P, òàê, ÷òî ýëåìåíòû ïîäìíîæåñòâà ýòèì ñâîéñòâîì îáëàäàþò, à âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà U ñâîéñòâîì P íå îáëàäàþò.
Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè, ïðåäñòàâëÿþùåå
ñîáîé ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó, ìîæíî îïèñàòü òàê: ýòî ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, ðàâíîóäàëåííûõ îò êîíöîâ äàííîãî îòðåçêà. Ìíîæåñòâî, îïðåäåëÿåìîå ñâîéñòâîì P, îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ òàê: {x ∈ U P ( x )} .
Êîíå÷íûå ìíîæåñòâà èíîãäà çàäàþò ïðîñòî ñïèñêîì èõ
ýëåìåíòîâ, çàêëþ÷åííûì â ôèãóðíûå ñêîáêè. Íàïðèìåð,
{a, 2, b, 123} – ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç áóêâ a, b è ÷èñåë 2
è 123.
Îñíîâíûå îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íà ìíîæåñòâå âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìîæíî
ïîñòðîèòü àëãåáðó, íàïîìèíàþùóþ àëãåáðó öåëûõ ÷èñåë èëè
ìíîãî÷ëåíîâ: ïîäìíîæåñòâà ìîæíî ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü è
óìíîæàòü. Äàäèì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ.
Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ A è B (åãî èíîãäà íàçûâàþò
ñëîæåíèåì) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòàâëåííîå èç ýëåìåíòîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò õîòÿ áû îäíîìó èç
ìíîæåñòâ A è B. Îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ A è B îáîçíà÷àåòñÿ
A ∪ B . Òàêèì îáðàçîì,
A ∪ B = {x x ∈ A èëè x ∈ B} .
Çàìåòèì, ÷òî â ìàòåìàòèêå ñîþç «èëè» âñåãäà ïîíèìàåòñÿ
â íåèñêëþ÷àþùåì ñìûñëå: « x ∈ A èëè x ∈ B » îçíà÷àåò, ÷òî
x ïðèíàäëåæèò õîòÿ áû
îäíîìó èç ìíîæåñòâ A è
B, à áûòü ìîæåò, è îáîèì
(ðèñ.1).
Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ
A è B (åãî èíîãäà íàçûâàþò óìíîæåíèåì) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòàâëåííîå èç èõ îáùèõ ýëåìåíòîâ, ò.å. ýëåìåíòîâ,
Ðèñ. 1
ïðèíàäëåæàùèõ è A, è B.
Îíî îáîçíà÷àåòñÿ A ∩ B
(ðèñ. 2). Òåì ñàìûì,
A ∩ B = {x x ∈ A è x ∈ B}.
Ðàçíîñòüþ A\B ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ
ñîâîêóïíîñòü òåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, êîòîðûå
íå ïðèíàäëåæàò ìíîæå- Ðèñ. 2
ñòâó B. Ïðè ýòîì, âîîáùå
ãîâîðÿ, íå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî A ⊃ B (ðèñ.3).
Äîïîëíåíèåì ïîäìíîæåñòâà A âî ìíîæåñòâå U
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
A = U\ A , ò.å. ñîâîêóïíîñòü òåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà U, êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó A.
Ðèñ. 3
Àëãåáðà ìíîæåñòâ
Âñÿ àëãåáðà öåëûõ ÷èñåë (è àëãåáðà ìíîãî÷ëåíîâ òîæå)
ñòðîèòñÿ íà ñëåäóþùèõ çàêîíàõ.
1∞ . a + b = b + a (êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ).
2° . ( a + b ) + c = a + (b + c) (àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ).
3° . a + 0 = a (ñâîéñòâî íóëÿ).
4° . a + ( −a ) = 0 (ñâîéñòâî ïðîòèâîïîëîæíîãî ýëåìåíòà).
5° . ab = ba (êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ).
6° . ( ab ) c = a (bc) (àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ).
7° . a (b + ñ ) = ab + bc (äèñòðèáóòèâíîñòü óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ).
8° . a ⋅ 1 = a (ñâîéñòâî åäèíèöû).
Ïî÷òè âñå ýòè çàêîíû ñîõðàíÿþòñÿ è äëÿ äåéñòâèé íàä
ìíîæåñòâàìè. Ïðè ýòîì íàäî çàìåíèòü «+», « ◊ », «–» ñîîòâåòñòâåííî íà « ∪ », « ∩ », «\». Ïðîòèâîïîëîæíûì ýëåìåíòîì äëÿ ìíîæåñòâà A ⊂ B â àëãåáðå ìíîæåñòâ íàäî ñ÷èòàòü
äîïîëíåíèå ê ìíîæåñòâó A, ò.å. ìíîæåñòâî U\ A = A . Ðîëü
íóëÿ èãðàåò ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ , à ðîëü åäèíèöû – óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî U.
Ñôîðìóëèðóåì àíàëîãè÷íûå ñâîéñòâà òåîðèè ìíîæåñòâ.
I° . A ∪ B = B ∪ A (êîììóòàòèâíîñòü îáúåäèíåíèÿ).
II° . ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (àññîöèàòèâíîñòü îáúåäèíåíèÿ).
III° . A ∪ ∅ = A (ñâîéñòâî ïóñòîãî ìíîæåñòâà).
IV° . A ∪ A = U (ñâîéñòâî äîïîëíåíèÿ).
V° . A ∩ B = B ∩ A (êîììóòàòèâíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ).
VI° . A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C (àññîöèàòèâíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ).
ØÊÎËÀ
VII°. A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) (äèñòðèáóòèâíîñòü
ïåðåñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ).
VIII°. A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) (äèñòðèáóòèâíîñòü
îáúåäèíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ).
IX°. A ∩ U = A (ñâîéñòâî óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà).
Çäåñü ïîÿâëÿåòñÿ íîâîå ñâîéñòâî VIII∞ , è ñâîéñòâî IV°
òîæå îòëè÷àåòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùåãî ñâîéñòâà 4° îáû÷íîé
àëãåáðû.
Âñå ýòè ñâîéñòâà íåòðóäíî äîêàçàòü. Íàïðèìåð, ÿñíî, ÷òî
A ∪ B = B ∪ A , òàê êàê A ∪ B è B ∪ A îçíà÷àþò îäíî è òî
æå ìíîæåñòâî, â êîòîðîå âõîäÿò âñå ýëåìåíòû èç A è èç B è
íå âõîäÿò íèêàêèå äðóãèå ýëåìåíòû. Òî÷íî òàê æå äîêàçûâàþòñÿ ñâîéñòâà II° , V° è VI° . Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ
ñâîéñòâ ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü íà ðèñóíêå. Íàïðèìåð,
ñâîéñòâî VII° äèñòðèáóòèâíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî
îáúåäèíåíèÿ A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ìîæíî èçîáðàçèòü òàê, êàê íà ðèñóíêå 4. Òàêèå êàðòèíêè íàçûâàþòñÿ
äèàãðàììàìè Âåííà èëè êðóãàìè Ýéëåðà.
Ðèñ. 4
Çàìåòèì, ÷òî êàðòèíêè òàêîãî ðîäà íå ÿâëÿþòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì, à òîëüêî èëëþñòðèðóþò ñîîòâåòñòâóþùåå ðàâåíñòâî. Ëîãè÷åñêè ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ìîæåò âûãëÿäåòü,
íàïðèìåð, òàê. Ïóñòü x Œ A ∩ ( B ∪ C ) . Ýòî çíà÷èò, ÷òî
x ∈ A è x Œ B ∪ C , ò.å. x Œ B èëè x Œ C . Èìååì äâà ñëó÷àÿ:
1) x ∈ A è x ∈ B è òîãäà x ∈ A ∩ B , è, ñëåäîâàòåëüíî,
x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ;
2) x ∈ A è x ∈ C , ò.å. x ∈ A ∩ C , è ñíîâà x ∈ ( A ∩ B ) ∪
∪ ( A ∩ C) .
Òî÷íî òàê æå äîêàçûâàåòñÿ è îáðàòíîå âêëþ÷åíèå (âñïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâà A è B ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
A ⊂ B è B ⊂ A ).
Îáðàòèòå âíèìàíèå íà âàæíîå îòëè÷èå çàêîíîâ ñëîæåíèÿ
è óìíîæåíèÿ îáû÷íîé àëãåáðû îò àíàëîãè÷íûõ çàêîíîâ äëÿ
ìíîæåñòâ: ðàâåíñòâî a + (b ⋅ c ) = (a + b ) ⋅ (a + c ) â îáû÷íîé
àëãåáðå íåâåðíî. Äëÿ ìíîæåñòâ äèñòðèáóòèâíûé çàêîí îáúåäèíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ ( VIII∞ ) ñïðàâåäëèâ. Êðóãè
Ýéëåðà äëÿ ðàâåíñòâà VIII° âûãëÿäÿò òàê, êàê íà ðèñóíêå 5.
Äëÿ ÷èñåë (èëè ìíîãî÷ëåíîâ) âåðíî ñëåäóþùåå òîæäåñòâî:
Ðèñ. 5
Â
!#
«ÊÂÀÍÒÅ»
(b − c ) − (b − a ) = a − c . Äëÿ ìíîæåñòâ âåðíî âñåãî ëèøü
âêëþ÷åíèå: ( B \ C ) \ ( B \ A ) ⊂ A \ C (íàðèñóéòå ñîîòâåòñòâóþùèå êðóãè Ýéëåðà).
Óïðàæíåíèÿ
1. Äîêàæèòå ðàâåíñòâî ( B \ C ) \ ( A \ C ) = ( B \ A ) \ C .
2. Äîêàæèòå âêëþ÷åíèå A \ C à ( A \ B) ∪ ( B \ C ) .
3. Äîêàæèòå ýêâèâàëåíòíîñòü B Ã A ¤ A ∩ B = B ¤
¤ A ∪ B = A.
4. Äîêàæèòå çàêîíû äå Ìîðãàíà
A∪ B = A∩ B è A∩ B = A∪ B.
 îáùåì ñëó÷àå: A1 ∪ … ∪ An = A1 ∩ … ∩ An è A1 ∩ … ∩ An =
= A1 ∪ … ∪ An .
Ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâî A∆B = ( A \ B) ∪ ( B \ A) . Êðóãè Ýéëåðà
äëÿ ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ïîêàçàíû íà ðèñóíêå 6. Èç
ýòîãî ðèñóíêà ìîæíî óâèäåòü ðàâåíñòâî A∆B =
= ( A ∪ B) \ ( A ∩ B) .
Ðèñ. 6
Òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå òîæäåñòâà è âêëþ÷åíèÿ îáû÷íî äîêàçûâàþòñÿ íåñëîæíî, õîòÿ äîêàçàòåëüñòâà íåêîòîðûõ èç
íèõ òåõíè÷åñêè äîâîëüíî
òðóäíû. Ïîïðîáóéòå, íàïðèìåð, ñòðîãî äîêàçàòü
çàêîí àññîöèàòèâíîñòè
äëÿ ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè:
( A∆B ) ∆C =
= A∆ ( B∆C ) (êðóãè Ýéëåðà èçîáðàæåíû íà ðèñóí- Ðèñ. 7
êå 7).
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìíîãèå òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå òîæäåñòâà è âêëþ÷åíèÿ ìîæíî äîêàçûâàòü êàê îáû÷íûå ÷èñëîâûå ðàâåíñòâà: ðàñêðûòèåì ñêîáîê, ïðèâåäåíèåì ïîäîáíûõ
÷ëåíîâ è ò.ï. Ìû ñåé÷àñ ïîêàæåì, êàê ýòî ìîæíî ñäåëàòü.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ïîäìíîæåñòâà
A ⊂ U íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ϕ A , îïðåäåëåííàÿ íà
ìíîæåñòâå U, êîòîðàÿ ðàâíà 1 íà ýëåìåíòàõ ïîäìíîæåñòâà A è ðàâíà 0 íà îñòàëüíûõ ýëåìåíòàõ ìíîæåñòâà U. ßñíî, ÷òî ïðè âñåõ x ∈ U âûïîëíåíî
ϕ∅ ( x ) = 0 , ϕU ( x ) = 1 .
Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ýòî ìíîæåñòâî: ìíîæåñòâà A è B
ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ñîâïàäàþò, ò.å. ïðè âñåõ x ∈ U
âûïîëíÿåòñÿ ϕ A ( x ) = ϕB ( x ) .
Ïðèìåð. Ïóñòü óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî U ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâûå äåñÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë:
{1, 2, …, 10}, A = {2, 3, 7}, B = {2, 3, 4, 8}.
!$
ÊÂÀÍT 2013/¹3
Õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ áóäåì ïðåäñòàâëÿòü óïîðÿäî÷åííûì íàáîðîì åå çíà÷åíèé íà ìíîæåñòâå U, ò.å. íàáîðîì
èç 10 öèôð: íóëåé è åäèíèö. Íàïðèìåð, ϕ A =
= (0,1,1,0,0,0,1,0,0,0 ) , ϕB = (0,1,1,1,0,0,0,1,0,0 ) . Âûÿñíèì,
êàêèå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóþò ìíîæåñòâàì A , A ∩ B , A ∪ B . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî
ϕ A = (1,0,0,1,1,1,0,1,1,1) , ϕ A ∪ B = (0,1,1,1,0,0,1,1,0,0 ) , ϕ A ∩ B =
= (0,1,1,0,0,0,0,0,0,0 ) . Ìû ïîëó÷èëè ëþáîïûòíûå ñîîòíîøåíèÿ: ϕ A = 1 − ϕ A , ϕ A ∩ B = ϕ A ⋅ ϕB , ϕ A ∪ B = ϕ A + ϕ B − ϕ A ⋅ ϕB .
Ñëîæåíèå, óìíîæåíèå è ðàçíîñòü ôóíêöèé ïîíèìàþòñÿ
«ïîòî÷å÷íî». Íàïðèìåð, çíà÷åíèå ñóììû ôóíêöèé íà êàêîìíèáóäü ýëåìåíòå åñòü ïðîñòî ñóììà ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé ôóíêöèé ñëàãàåìûõ íà ýòîì ýëåìåíòå.
Ôîðìóëû, êîòîðûå ìû ïîëó÷èëè, èìåþò îáùèé õàðàêòåð.
Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîäìíîæåñòâ A ⊂ U è B ⊂ U èìåþò
ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ:
1) ϕ2A = ϕ A ;
2) ϕ A = 1 − ϕ A ;
3) ϕ A ∩ B = ϕ A ⋅ ϕB ;
4) ϕ A1 ∩…∩ An = ϕ A1 ⋅ … ⋅ ϕ An ;
5) ϕ A ∪ B = ϕ A + ϕ B − ϕ A ⋅ ϕB ;
6) B ⊂ A ⇔ ϕ A ⋅ ϕB = ϕB (ñì. óïðàæíåíèå 3);
7) ϕ A\B = ϕ A − ϕB , åñëè B ⊂ A ;
8) ϕ A\B = ϕ A − ϕ A ⋅ ϕB .
Ñîîòíîøåíèÿ 1) è 2) î÷åâèäíû; 3) è 5) ìîæíî äîêàçàòü,
ðàçáèðàÿ ÷åòûðå ñëó÷àÿ: x ∈ A \ B , x ∈ B \ A , x ∈ A ∩ B ,
x ∉ A ∪ B ); 4) äîêàçûâàåòñÿ èíäóêöèåé. Ñîîòíîøåíèÿ 6) è 7)
ïðîâåðÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî; 8) ñëåäóåò èç 6) è 7).
Äëÿ ñâîéñòâà 5) ïîëåçíî äàòü äîêàçàòåëüñòâî, ïðèìåíÿÿ
ïðàâèëà äå Ìîðãàíà (ñì. óïðàæíåíèå 4) è ñîîòíîøåíèå 2).
 ñàìîì äåëå,
ϕ A∪ B = 1 − ϕ A∪ B = 1 − ϕ A∩ B = 1 − ϕ A ⋅ ϕB =
= 1 − (1 − ϕ A )(1 − ϕB ) = ϕ A + ϕB − ϕ A ⋅ ϕB .
Èç äîêàçàòåëüñòâà ñîîòíîøåíèÿ 5) ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäñòâèå
9) ϕ A ∪ B = (1 − ϕ A )(1 − ϕB ) .  îáùåì ñëó÷àå ϕ A1 ∪ A2…∪ An =
= 1 − ϕ A1 ⋅ … ⋅ 1 − ϕ An (äîêàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñ-
(
)
(
)
êîé èíäóêöèè).
Ïîêàæåì, êàê ìîæíî ïðèìåíèòü ïîëó÷åííûå ôîðìóëû äëÿ
äîêàçàòåëüñòâà íåêîòîðûõ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ ñîîòíîøåíèé. Äîêàæåì, íàïðèìåð, ñâîéñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè
îáúåäèíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪
∪ B) ∩ ( A ∪ C ) .
Çàìåòèì, ÷òî
ϕ A ∪( B∩C ) = ϕ A + ϕB∩C − ϕ A ⋅ ϕB ∩C = ϕ A + ϕB ⋅ ϕC − ϕ A ⋅ ϕB ⋅ ϕC .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
ϕ( A ∪ B )∩( A ∪C ) = ϕ A ∪ B ⋅ ϕ A ∪C =
= (ϕ A + ϕB − ϕ A ⋅ ϕB )(ϕ A + ϕC − ϕ A ⋅ ϕC ) .
Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå è ïîëüçóÿñü òåì,
÷òî ϕ2A = ϕ A , ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.
Îáðàòèìñÿ âíîâü ê ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè A∆B . Ìû
óæå ãîâîðèëè, íî íå äîêàçûâàëè, ÷òî ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü îáëàäàåò ñâîéñòâîì àññîöèàòèâíîñòè. Òåïåðü ìû åãî
äîêàæåì.
Ñíà÷àëà ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé
ôóíêöèè ϕ A∆B . Íåñëîæíûå âû÷èñëåíèÿ (ïðîäåëàéòå èõ
ñàìîñòîÿòåëüíî) ïîêàçûâàþò, ÷òî
ϕ A∆B = ϕ A + ϕB - 2ϕ A ◊ ϕB .
(1)
Îòñþäà ïîëó÷àåì
ϕ( A∆B) ∆C = ϕ A + ϕB + ϕC -
– 2ϕ A ◊ ϕB - 2ϕ A ◊ ϕC - 2ϕB ◊ ϕC + 4ϕ A ◊ ϕ B ◊ ϕC .
Âûêëàäêè íåñëîæíûå, íî ïðîäåëûâàòü èõ õëîïîòíî. Ïîêàæåì, êàê ýòî ìîæíî ñäåëàòü èçÿùíî.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ: 0 è 1. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî {0; 1}, ñîñòîÿùåå òîëüêî
èç äâóõ ýëåìåíòîâ 0 è 1. Íà ýòîì ìíîæåñòâå ìîæíî îïðåäåëèòü ñóììó è ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ. Ñóììà äâóõ ýëåìåíòîâ ðàâíà íóëþ, åñëè îáà ñëàãàåìûõ ðàâíû 0 èëè îáà ðàâíû 1. Ñóììà ðàâíà 1, åñëè îäíî ñëàãàåìîå ðàâíî 1, à äðóãîå
ðàâíî 0. Ïîëîæèì òàêæå: –0 = 0, –1 = 1. Ïðîèçâåäåíèå ðàâíî
1 â åäèíñòâåííîì ñëó÷àå, êîãäà êàæäûé èç ñîìíîæèòåëåé
ðàâåí 1, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíî ðàâíî íóëþ (ýòî îáû÷íîå
ïðîèçâåäåíèå öåëûõ ÷èñåë). Ñëîæåíèå áóäåì îáîçíà÷àòü
òàê: a ⊕ b . Â òàêîì ìíîæåñòâå âûïîëíÿþòñÿ âñå ñâîéñòâà
÷èñåë 1° − 8° , ïåðå÷èñëåííûå â íà÷àëå ñòàòüè. Êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ î÷åâèäíà. Àññîöèàòèâíîñòü
óìíîæåíèÿ – ýòî îáû÷íûé àññîöèàòèâíûé çàêîí óìíîæåíèÿ
öåëûõ ÷èñåë. Àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ ïðîâåðÿåòñÿ ïåðåáîðîì íåñêîëüêèõ ñëó÷àåâ.
Ïîëó÷åííîå ìíîæåñòâî èçâåñòíî â òåîðèè ÷èñåë. Îíî
îáîçíà÷àåòñÿ Z2 è íàçûâàåòñÿ êîëüöîì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 2 (â òåîðèè ÷èñåë îñòàòêè íàçûâàþòñÿ âû÷åòàìè).
Åñëè ðàññìàòðèâàòü çíà÷åíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé êàê ýëåìåíòû ìíîæåñòâà Z2 , òî ôîðìóëà (1) ïðèíèìàåò
âèä ϕ A∆B = ϕ A ⊕ ϕ B . Òåïåðü ñîâåðøåííî ÿñíî, ÷òî
ϕ( A∆B)∆C = (ϕ A ⊕ ϕB ) ⊕ ϕC = ϕ A ⊕ (ϕB ⊕ ϕC ) = ϕ A∆ ( B∆C ) .
Ïîëüçóÿñü ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, ôîðìóëó
(1) ìîæíî îáîáùèòü íà n ìíîæåñòâ:
ϕ A1∆…∆An = ϕ A1 ⊕ … ⊕ ϕ An .
(2)
Ôîðìóëà (2) ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä: ñèììåòðè÷åñêàÿ
ðàçíîñòü A1∆ … ∆An ñîñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ,
êîòîðûå ïðèíàäëåæàò íå÷åòíîìó êîëè÷åñòâó ìíîæåñòâ èç
íàáîðà A1, … , An .
Ôîðìóëà âêëþ÷åíèé è èñêëþ÷åíèé
 ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî êîíå÷íûå
ìíîæåñòâà. Êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ âî ìíîæåñòâå A ìû áóäåì
îáîçíà÷àòü n ( A ) . Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â îáúåäèíåíèè A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An èç n ìíîæåñòâ.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ äâóõ ìíîæåñòâ èìååò ìåñòî ôîðìóëà
n ( A ∪ B) = n ( A) + n (B) − n ( A ∩ B) .
À ÷òî ïîëó÷èòñÿ â ñëó÷àå òðåõ ìíîæåñòâ A, B è C? Äàâàéòå
è çäåñü ïîïðîáóåì ïðèìåíèòü õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè.
Ïóñòü U = {x1, x2, … , xN } , A Ã U . Òîãäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî
n ( A) = ϕ A ( x1 ) + … + ϕ A ( xN ) .
(3)
Òàêèå ñóììû îáû÷íî îáîçíà÷àþò òàê:
n ( A) =
N
 ϕ A ( xi ) , èëè ïðîñòî n ( A) =  ϕ A ( x ) .
x ŒU
i =1
Ñíà÷àëà íàéäåì êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â äîïîëíåíèè, âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî A ∪ B ∪ C = A ∩ B ∩ C (çàêîí äå
Ìîðãàíà):
(
) Âϕ
n A∪ B∪C =
=
x ŒU
A ∪ B ∪C
( x) =
∑ ϕ A∩ B∩C ( x ) = ∑ (1 − ϕ A ( x )) (1 − ϕB ( x )) (1 − ϕC ( x )) .
x∈U
x∈U
ØÊÎËÀ
Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè, ïîëó÷àåì
(
) Â 1 - Â (ϕ A ( x) + ϕB ( x) + ϕC ( x)) +
n A∪ B∪C =
x ŒU
+
x ŒU
 (ϕ A∩ B ( x ) + ϕ A∩C ( x ) + ϕB∩C ( x )) -  ϕ A∩ B∩C ( x ) .
x ŒU
x ŒU
Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (3), ïîëó÷èì
(
)
n A ∪ B ∪ C = n (U ) − n ( A ) − n ( B ) − n (C ) +
+ n ( A ∩ B ) + n ( A ∩ C ) + n ( B ∩ C ) − n ( A ∩ B ∩ C ) . (4)
È, íàêîíåö,
n ( A ∪ B ∪ C ) = n ( A ) + n ( B ) + n (C ) − n ( A ∩ B ) −
– n ( A ∩ C ) − n ( B ∩ C ) + n ( A ∩ B ∩ C ) . (5)
Íå áóäåì âûïèñûâàòü ýòó ôîðìóëó â îáùåì âèäå äëÿ
n ( A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An ) , à ïðîñòî îáúÿñíèì, êàê îíà ñîñòàâëÿåòñÿ. Ñíà÷àëà âêëþ÷àþòñÿ âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâ
A1, A2, … , An , çàòåì èñêëþ÷àþòñÿ âñå ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå ïî êðàéíåé ìåðå äâóì ìíîæåñòâàì, ïîòîì âêëþ÷àþòñÿ ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå ïî êðàéíåé ìåðå òðåì ìíîæåñòâàì, è òàê äàëåå. Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé âêëþ÷åíèé è èñêëþ÷åíèé. Ñëåäóþùèå äâå çàäà÷è ìû
âçÿëè èç êíèãè Í.ß.Âèëåíêèíà «Êîìáèíàòîðèêà».
1) Ðåøåòî Ýðàòîñôåíà. Ýðàòîñôåí – äðåâíåãðå÷åñêèé
ó÷åíûé, êîòîðûé æèë â III âåêå äî íîâîé ýðû â Àëåêñàíäðèè.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë îò 1 äî N îí ïðèäóìàë
ñëåäóþùèé ñïîñîá. Èç ðÿäà ÷èñåë 1, 2, …, N âû÷åðêèâàþò
âñå ÷èñëà, äåëÿùèåñÿ íà äâà, êðîìå ñàìîé äâîéêè, ïîòîì –
âñå ÷èñëà, êðàòíûå òðåì, êðîìå ñàìîé òðîéêè, çàòåì –
êðàòíûå ïÿòè, êðîìå ñàìîé ïÿòåðêè, è ò.ä. Â êîíöå êîíöîâ
îñòàíóòñÿ âñå ïðîñòûå ÷èñëà îò 1 äî N. Òàê êàê âî âðåìåíà
Ýðàòîñôåíà ïèñàëè íà âîñêîâûõ òàáëè÷êàõ è íå âû÷åðêèâàëè, à âûêàëûâàëè öèôðû, òî òàáëè÷êà ïîñëå òàêîãî ïðîöåññà
íàïîìèíàëà ðåøåòî. Ïîýòîìó òàêîé ìåòîä ïîëó÷èë íàçâàíèå
«ðåøåòî Ýðàòîñôåíà».
Ïîäñ÷èòàåì, ñêîëüêî îñòàíåòñÿ ÷èñåë â ïåðâîé òûñÿ÷å,
åñëè ìû ïî ìåòîäó Ýðàòîñôåíà âû÷åðêíåì ÷èñëà, äåëÿùèåñÿ
íà 2, íà 3 è íà 5. Ïóñòü A – ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ
÷èñåë îò 1 äî 1000, äåëÿùèõñÿ íà 2, B – ìíîæåñòâî ÷èñåë,
äåëÿùèõñÿ íà 3, C – ìíîæåñòâî ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà 5. Íàäî
íàéòè êîëè÷åñòâî ÷èñåë âî ìíîæåñòâå A ∪ B ∪ C . Èìååì
ïîñëåäîâàòåëüíî: n ( A ) = 500 , n ( B ) = 333 , n (C ) = 200 ,
n ( A ∩ B ) = 166 , n ( A ∩ C ) = 100 , n ( B ∩ C ) = 66, n ( A ∩ B ∩
∩ C ) = 33 . Ïî ôîðìóëå (4) íàõîäèì 1000 – 500 – 333 – 200 +
+ 166 + 100 + 66 – 33 = 266. Èòàê, îñòàíåòñÿ 266 ÷èñåë.
Â
2) Äåâî÷êà Ìàíÿ îòïðàâëÿëà ïèñüìà ïÿòåðûì çíàêîìûì
ìàëü÷èêàì. Íàïèñàâ ïèñüìà è ïîäïèñàâ êîíâåðòû, îíà òàê
óòîìèëàñü, ÷òî âëîæèëà ïèñüìà â êîíâåðòû íàóäà÷ó. Ïîäñ÷èòàéòå, âî ñêîëüêèõ ñëó÷àÿõ îíà ñäåëàëà ïîëíóþ ïóòàíèöó, ò.å. òàê, ÷òî íèêòî íå ïîëó÷èë áû ïèñüìà, àäðåñîâàííîãî
èìåííî åìó.
Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Áåðóòñÿ âñå ïåðåñòàíîâêè èç 5 ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5. Âî ñêîëüêèõ
èç íèõ íè îäíî ÷èñëî íå ñòîèò íà ñâîåì ìåñòå? Îáîçíà÷èì
÷åðåç Ai ìíîæåñòâî ïåðåñòàíîâîê, â êîòîðûõ ÷èñëî i ñòîèò
íà ñâîåì ìåñòå. Òîãäà Ai ∩ Aj – ìíîæåñòâî ïåðåñòàíîâîê, â
êîòîðûõ i è j ñòîÿò íà ñâîèõ ìåñòàõ, à Ai ∩ Aj ∩ Ak –
ìíîæåñòâî ïåðåñòàíîâîê, â êîòîðûõ i, j è k ñòîÿò íà ñâîèõ
ìåñòàõ, è òàê äàëåå.  äàííîì ñëó÷àå çàäà÷à îáëåã÷àåòñÿ òåì,
÷òî ìíîæåñòâà A1 , A2 , A3 , A4 , A5 ñîâåðøåííî ðàâíîïðàâíû. Ïîýòîìó
(
)
n ( Ai ) = 4! = 24 , n Ai ∩ Aj = 3! = 6 ,
(
)
( Ai ∪ Aj ∩ Ak ∩ Al ) = 1! = 1 = n ( Ai ∪ Aj ∩ Ak ∩ Al ∩ Am ) ,
n Ai ∪ Aj ∩ Ak = 2! = 2 ,
ãäå i, j, k, l, m – ïîïàðíî ðàçëè÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà
îò 1 äî 5. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (4) ïîëó÷àåì îòâåò:
n A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 = 44 , ò.å. â 44 ñëó÷àÿõ èç 120 íè
îäèí èç àäðåñàòîâ íå ïîëó÷èë áû ïèñüìà, àäðåñîâàííîãî åìó.
(
)
Îòâåò: 5!− C51 ⋅ 4! + C52 ⋅ 3! − C53 ⋅ 2! + C54 ⋅ 1! − C55 = 44 .
(Çíà÷îê C5n îáîçíà÷àåò êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ âûáðàòü n öèôð
èç 1, 2, 3, 4, 5. Íàïðèìåð, C51 = 5, C52 = 10.)
Óïðàæíåíèÿ
5. Äîêàæèòå: A\( B \ C ) = ( A \ B) ∪ ( A ∩ C ) .
6. Äîêàæèòå: ( A \ B) \ C )= ( A \ C )\( B \ C ) .
7. Äîêàæèòå: ( A \ B) ∩ C = ( A ∩ C )\( B ∩ C ) = ( A ∩ C )\B .
8. Âåðíî ëè ðàâåíñòâî: A ∪ ( B \ C ) = ( A ∪ B) \ C? (Îòâåò: íåò.)
9. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå äâà âêëþ÷åíèÿ ðàâíîñèëüíû:
A\B Ã C ¤ A Ã B ∪ C .
10. Äîêàæèòå: A ∩ ( B∆C ) = ( A ∩ B) ∆ ( A ∩ C ) .
11. Äîêàæèòå: A∆B Ã ( A∆C ) ∪ ( B∆C ) .
12 (Í.ß.Âèëåíêèí). Ïî ïóñòûíå èäåò êàðàâàí èç 9 âåðáëþäîâ.
Ïóòåøåñòâèå äëèòñÿ ìíîãî äíåé, è íàêîíåö âñåì íàäîåäàåò
âèäåòü âïåðåäè ñåáÿ îäíîãî è òîãî æå âåðáëþäà. Ñêîëüêèìè
ñïîñîáàìè ìîæíî ïåðåñòàâèòü âåðáëþäîâ òàê, ÷òîáû âïåðåäè
êàæäîãî âåðáëþäà øåë äðóãîé, ÷åì ðàíüøå? (Îòâåò: 148329.)
Êàê ðàñòÿíóòü ìãíîâåíèå
(Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè)
äîñòàòî÷íî èìåòü ñíèìîê ïàäàþùåãî ñíåãà íà òåìíîì ôîíå
áåç âñïûøêè. Íà ðèñóíêå 3 ïðèâåäåíà ôîòîãðàôèÿ, ñäåëàííàÿ ñ âûäåðæêîé 1/80 ñ. Íà ôîíå òåìíîé êóðòêè ìîåãî
âíóêà âèäíû ìíîãî÷èñëåííûå ñëåäû ïàäàþùèõ ñíåæèíîê,
íàêëîíåííûå ïîä óãëîì 20 − 25° . Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî â
ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñíåæèíêè äâèæóòñÿ ñî ñêîðîñòüþ âåòðà, à øèðèíà îðàíæåâîé ëÿìêè ðþêçàêà íà ïëå÷å
ðàâíà 6 ñì, òî ñðåäíÿÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ñëåäîâ
ñíåæèíîê îêàæåòñÿ áëèçêîé ê 8 ñì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü âåòðà â äàííîì íàïðàâëåíèè ñîñòàâëÿåò
0,08 ì ⋅ 80 1 ñ = 6,4 ì ñ .
Ê.Áîãäàíîâ
!%
«ÊÂÀÍÒÅ»
Ðèñ. 3
!&
ÊÂÀÍT 2013/¹3
Îðàëî è êðûëî
Â.ÂÛØÈÍÑÊÈÉ, À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ
Äîëãî, â òå÷åíèå ìíîãèõ êðóãîâ îáðàùåíèÿ ñîëíöà,
Æèçíü ïðîâîäèë ÷åëîâåê, ñêèòàÿñü, êàê äèêèå çâåðè,
Òâåðäîé ðóêîé íèêòî íå ðàáîòàë èçîãíóòûì ïëóãîì …
Òèò Ëóêðåöèé Êàð. Î ïðèðîäå âåùåé
ãäå à è b – íåêîòîðûå êîýôôèöèåíòû. Îòñþäà âèäíî, ÷òî íà
ïåðâûõ ïîðàõ íóæíà ñèëà, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ñäâèíóòü ïëóã
èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ (êîãäà v = 0); çàòåì, ïðè íåáîëüøèõ
ñêîðîñòÿõ (êîãäà êâàäðàò ñêîðîñòè åùå ïðåíåáðåæèìî ìàë),
«âêëþ÷àåòñÿ» âÿçêîå ñîïðîòèâëåíèå; íàêîíåö, êîãäà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñòàíîâèòñÿ çíà÷èòåëüíîé, ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå (àýðîäèíàìè÷åñêàÿ ñèëà) îêàçûâàåòñÿ îïðåäåëÿþùèì.
Íà ðèñóíêå 1 èçîáðàæåíà êà÷åñòâåííàÿ çàâèñèìîñòü êàæäîé
èç ýòèõ ñèë îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ, ïðè æåëàíèè âû ìîæåòå
íàðèñîâàòü è èõ ñóììó.
Î
ÄÍÀÊÎ, ÍÀÑÒÓÏÈËÎ-ÒÀÊÈ ÂÐÅÌß, ÊÎÃÄÀ «ÈÇÎÃÍÓ-
òûé ïëóã» ïðèøåë íà ïîëÿ. Åãî äàâíåéøèå ôîðìû
èçâåñòíû ïî åãèïåòñêèì è âàâèëîíñêèì èçîáðàæåíèÿì, ïî
ðèñóíêàì íà ñêàëàõ â ñåâåðíîé Èòàëèè è þæíîé Øâåöèè,
îòíîñÿùèìñÿ êî âòîðîìó òûñÿ÷åëåòèþ äî í.ý., ïî èçîáðàæåíèÿì íà ãðå÷åñêèõ âàçàõ ñåðåäèíû ïåðâîãî òûñÿ÷åëåòèÿ äî
í.ý. …  ðóññêèõ áûëèíàõ îí íàçûâàåòñÿ ðà´ëî, èëè îðà́ ëî,
òàê ÷òî ïîíÿòåí ñìûñë ñëîâ «î́ ðåò â ïîëå ïàõàðü» (íå ïóòàòü
îðàòàÿ ñ îðàòîðîì, à ïàøíþ ñ îðàòîðèåé!).
À êðûëî ïîëó÷èëî øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ñîâñåì íåäàâíî – êàê ñêàçàë áû ôèçèê, ïîðÿäêà ñîòíè ëåò íàçàä.
Ïëóãè è êðûëüÿ áûâàþò ðàçíûå. Èçâåñòíû, íàïðèìåð,
ñîâðåìåííûå ïëóãè – îáùåãî íàçíà÷åíèÿ è ñïåöèàëüíîãî
(êóñòàðíèêîâî-áîëîòíûå, ñàäîâûå, âèíîãðàäíèêîâûå); ëóùèëüíèêè è ïëàíòàæíûå: ëåìåøíûå è äèñêîâûå, ñ ïðàâîîáîðà÷èâàþùèìè è ëåâîîáîðà÷èâàþùèìè êîðïóñàìè. À êðûëüÿ
âñòðå÷àþòñÿ ïðÿìûå, ýëëèïòè÷åñêèå, ñòðåëîâèäíûå, òðåóãîëüíûå è äàæå ñ ïðîäîëüíîé êðóòêîé (âñïîìíèì «èçîãíóòûé ïëóã» ó Ëóêðåöèÿ).
Íî ÷òî îáùåãî ó ïëóãà è êðûëà? Ïðåæäå âñåãî – âçàèìîäåéñòâèå ñî ñðåäîé. À ïðè ýòîì, ðàçóìååòñÿ, âîçíèêàåò ñèëà
âçàèìîäåéñòâèÿ. Ýòó ñèëó ðàçóìíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äâóõ
âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ âåêòîðîâ: ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ,
íàïðàâëåííîé ïðîòèâ âåêòîðà ñêîðîñòè, è ïîäúåìíîé ñèëû
(ðàäè êîòîðîé è èçîáðåëè êðûëî), íàïðàâëåííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî ñêîðîñòè.
Âî ìíîãèõ êëàññè÷åñêèõ çàäà÷àõ ïðåäëàãàåòñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî
ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû äâèæóùåìóñÿ â íåé òåëó ïðîïîðöèîíàëüíà ïåðâîé ñòåïåíè ñêîðîñòè äâèæåíèÿ, Ýòî òàê
íàçûâàåìîå âÿçêîå ñîïðîòèâëåíèå. Äëÿ ìèêðîáîâ, äâèæóùèõñÿ â âîäå, ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ âåñüìà ñóùåñòâåííà: åñëè
ìèêðîá ïåðåñòàíåò äâèãàòüñÿ, îí çàòîðìîçèòñÿ íà õàðàêòåðíîì ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà ðàçìåðîâ ñàìîãî ìèêðîáà, ò.å. ïî÷òè
ìãíîâåííî. Âÿçêîå òðåíèå îïðåäåëÿåò è ïîâåðõíîñòíîå òðåíèå êîðïóñà ñàìîëåòà, ñâÿçàííîå ñ ïîãðàíè÷íûì âîçäóøíûì
ñëîåì, òîëùèíà êîòîðîãî ìíîãî ìåíüøå ðàçìåðîâ ñàìîëåòà.
Íî äëÿ ñàìîëåòà åùå áîëüøóþ ðîëü èãðàåò àýðîäèíàìè÷åñêàÿ ñèëà ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Fa , ïðîïîðöèîíàëüíàÿ
ïëîòíîñòè âîçäóõà ρ , êâàäðàòó ñêîðîñòè äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî âîçäóõà v è ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S:
Fa ∼ ρv2 S .
Ðèñ.1. Çàâèñèìîñòü ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ îò ñêîðîñòè ïëóãà
(À íå âñïîìíèòü ëè åùå è òîêàðíûé ðåçåö, âñïàðûâàþùåé
ìåòàëë â âèäå ñïèðàëüíîé ñòðóæêè? Íî, íå âñå ñðàçó.)
Çàìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííûå çäåñü çàâèñèìîñòè íå ÿâëÿþòñÿ
òî÷íûìè çàêîíàìè ôèçèêè, à ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ôåíîìåíîëîãè÷åñêèå âûðàæåíèÿ, îñíîâàííûå íà îïûòå è ïðèáëèæåííî îïèñûâàþùèå ñîïðîòèâëåíèå â íåêîòîðûõ äèàïàçîíàõ
ñêîðîñòåé.
Íî, ðàçóìååòñÿ, è ïëóã è êðûëî ñëóæàò âîâñå íå äëÿ òîãî,
÷òîáû èñïûòûâàòü ñîïðîòèâëåíèå.
Êëàññè÷åñêèé ïëóã äîëæåí ïåðåâåðíóòü ïëàñò çåìëè, íî
äëÿ ýòîãî åãî íóæíî ïðèïîäíÿòü íà íåêîòîðóþ âûñîòó – êàê
òóò íå âñïîìíèòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ mgh. Êîãäà ïåðåâåðíóòûé ïëàñò ÷åðíîçåìà øëåïàåòñÿ çà ïëóãîì, âñÿ åãî
ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ è ýíåðãèÿ òðåíèÿ âðàùåíèÿ ïåðåõîäÿò â òåïëî (ðàññåèâàþòñÿ).
À êðûëî èìååò çàäà÷ó ñîçäàòü ïîäúåìíóþ ñèëó, ò.å. ïîòîê
èìïóëüñà âîçäóõà, íàïðàâëåííûé âíèç è ðàâíûé âåñó ñàìîëåòà. Îäíàêî íà ìåñòî îòáðîøåííîãî âíèç âîçäóõà ïîñòóïàåò
ñâåðõó íîâàÿ ïîðöèÿ – âîò è âîçíèêàþò äâà èíäóöèðóåìûõ,
«ïðèñîåäèíåííûõ», âèõðÿ, êîòîðûå òÿíóòñÿ çà ñàìîëåòîì îò
ñàìîãî ìîìåíòà âçëåòà. Â ðåçóëüòàòå ïðè ïîëåòå â àòìîñôåðå
«ïëàòîé» çà ñîçäàíèå ïîäúåìíîé ñèëû ÿâëÿåòñÿ âîçíèêíîâåíèå åùå òàê íàçûâàåìîãî èíäóêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Fè .
Äëÿ ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëåòà (êîãäà ïîäúåìíàÿ ñèëà ðàâíà
âåñó) ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàâíî
d
Fïîëí = Fa + Fè = cv2 + 2 ,
v
ãäå c è d – íåêîòîðûå êîýôôèöèåíòû (ðèñ.2). ×åì ìåäëåííåå
Ïðîâåðèì, ïî êðàéíåé ìåðå, åå ðàçìåðíîñòü:
2
êã  ì 
êã ⋅ ì
2
⋅
= Í.
  ⋅ì =
ì3  ñ 
ñ2
À âîò äëÿ áðóñêà, ëåæàùåãî íà øåðîõîâàòîé ïîâåðõíîñòè,
âàæíà ñèëà ñóõîãî òðåíèÿ. Â ïðèíöèïå, îíà òîæå çàâèñèò îò
ñêîðîñòè: â íà÷àëå äâèæåíèÿ èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ îíà ìàêñèìàëüíà, îáîçíà÷èì åå F0 , à â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå
íåìíîãî óìåíüøàåòñÿ, íî ÷àùå âñåãî åå ñ÷èòàþò ïîñòîÿííîé.
Îêàçûâàåòñÿ, â òåîðèè ïëóãà âàæíû âñå ïåðå÷èñëåííûå
ñèëû:
F = F0 + av + bv2 ,
Ðèñ.2. Çàâèñèìîñòü ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ îò ñêîðîñòè ñàìîëåòà
ØÊÎËÀ
Ðèñ.3. Âèõðåâûå ñëåäû çà ñàìîëåòîì
ëåòèò ñàìîëåò, òåì ìåíüøå åãî ëîáîâîå ñîïðîòèâëåíèå è
âÿçêîå òðåíèå (âåäü îíè ïðîïîðöèîíàëüíû v2 è v ñîîòâåòñòâåííî), íî òåì ìîùíåå äîëæåí áûòü ïðèñîåäèíåííûé
âèõðü. Âîò è ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ïëàòà çà ñîçäàíèå ïîäúåìíîé
ñèëû íåïîäâèæíûì êðûëîì ( v → 0 ) ñòàíîâèòñÿ íåïîìåðíîé: Fïîëí → ∞ .
Êóäà æå óõîäèò çàòðà÷åííàÿ ýíåðãèÿ? Îíà ôîðìèðóåò
âèõðåâîé ñëåä è ðàíî èëè ïîçäíî âîçâðàùàåòñÿ â àòìîñôåðó.
«Ïàõàðè íåáà» – òàê èíîãäà íàçûâàþò ñàìîëåòû. Îíè
«ïàøóò íåáî», ÷òîáû âçðîñëè âñõîäû ðàäîñòè îò âñòðå÷
ìåæäó ëþäüìè íà çåìëå. Íà ðèñóíêå 3 ïîêàçàíà âèçóàëèçàöèÿ âèõðåâîãî ñëåäà ñàìîëåòà ëèáî çà ñ÷åò êîíäåíñàöèè
Ýòà ìàíÿùàÿ
ãëóáèíà
À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ
Ê
ÀÊ ÒÎËÜÊÎ ÎÒËÈ×ÍÈÊ ÓÇÍÀË, ×ÒÎ ÃÀÇÛ ÑÆÈÌÀÅÌÛ,
à äàâëåíèå âîäû ðàñòåò ñ ãëóáèíîé, îí ïîäóìàë: âåäü
ýòàê ìîæíî íå áåññìûñëåííî íûðÿòü, à èçìåðÿòü ãëóáèíó
ïîãðóæåíèÿ!
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè âçÿòü ìåíçóðêó (äëèííûé öèëèíäðè÷åñêèé ñòàêàí ñ äåëåíèÿìè) è ïåðåâåðíóòü åå ââåðõ äíîì, òî
âåäü âîçäóõ èç íåå íå «âûëüåòñÿ». Êîñíóâøèñü îòêðûòûì
êðàåì ïîâåðõíîñòè âîäû (ðèñ.1, âåðõíÿÿ ÷àñòü), ìû «çàïðåì» ýòîò âîçäóõ â îáúåìå ìåíçóðêè V0 = Sx0 . Çäåñü S –
ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, S = πr 2 , ãäå r – âíóòðåííèé
ðàäèóñ ìåíçóðêè, à x0 – äëèíà ìåíçóðêè. Ïðè ýòîì äàâëåíèå
âîçäóõà âíóòðè ìåíçóðêè îñòàíåòñÿ ðàâíûì àòìîñôåðíîìó
äàâëåíèþ p0 = 105 Ïà . Òåïåðü, åñëè ìåäëåííî ïîãðóæàòü
ìåíçóðêó â âîäó (ðèñ.1, íèæíÿÿ ÷àñòü), ïîâåðõíîñòü âîäû
áóäåò èãðàòü ðîëü ïîðøíÿ, ñæèìàþùåãî ãàç. Íî ïî÷åìó
ìåäëåííî? À ÷òîáû òåìïåðàòóðà âîçäóõà âíóòðè óñïåâàëà
äîñòèãàòü çíà÷åíèÿ ñíàðóæè – òîãäà ïðîöåññ ñæàòèÿ îêàæåòñÿ èçîòåðìè÷åñêèì è áóäåò ïðîñòî îïèñûâàòüñÿ çàêîíîì
Â
!'
«ÊÂÀÍÒÅ»
ïàðîâ âîäû, ëèáî ïðè ïîìîùè ñïåöèàëüíûõ «äûìàðåé». Êàê
ýòî ïîõîæå íà áîðîçäó çà ïëóãîì â ÷èñòîì ïîëå! Âåäü åñëè
ïëóã ïåðåâîðà÷èâàåò (ò.å. âðàùàåò) ïëàñò çåìëè, òî ïðè ýòîì
òîæå âîçíèêàåò öèðêóëÿöèÿ ñêîðîñòè ïëàñòà. Òîëüêî â
ñëó÷àå ïëóãà ýòà öèðêóëÿöèÿ ïîñëå ïåðåâîðîòà èñ÷åçàåò, à çà
ñàìîëåòîì çàêðó÷åííûå ìàññû âîçäóõà âðàùàþòñÿ íåñêîëüêî ìèíóò, ïîñòîÿííî çàòóõàÿ è «ðàñòâîðÿÿñü» â òóðáóëåíòíûõ ïóëüñàöèÿõ àòìîñôåðû.
À åùå ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ êðûëà è ñðåäû çàâèñèò îò óãëà
àòàêè α – óãëà ìåæäó íàïðàâëåíèåì ñêîðîñòè íàáåãàþùåãî
ïîòîêà è ïëîñêîñòüþ êðûëà (ðèñ.4). Ýòîò óãîë êàê ðàç è
âõîäèò â êîýôôèöèåíòû,
íàïèñàííûå âûøå. Äëÿ
ñàìîëåòà ýòîò óãîë èìååò
ïîëîæèòåëüíûé çíàê, äëÿ
ïëóãà – î÷åâèäíî, îòðèöàòåëüíûé, ÷òîáû ïëóã íå
âñïëûâàë, à çàðûâàëñÿ â
çåìëþ. Âïðî÷åì – ëèøü
äî íóæíîé ãëóáèíû, à èíà÷å îðàòàþ ïðèäåòñÿ íàëåãàòü íà ïëóã âñåì ñâîèì
Ðèñ.4. Ïîëîæèòåëüíûé óãîë àòàêè,
âåñîì.
ïðè êîòîðîì ñîçäàåòñÿ ïîäúåìíàÿ
Íàêîíåö, âñïîìíèì
ñèëà êðûëà Fïîä
äðåâíþþ ìóäðîñòü, èäóùóþ èç Åâàíãåëèÿ: «âîçëîæèâøè äëàíü (ðóêó) íà ðàëî, íå
îãëÿäûâàþòñÿ âñïÿòü (íàçàä)». Ýòî ðàâíîñèëüíî ïðèçûâó
íå èçìåíÿòü ïðèíÿòîãî ðåøåíèÿ. Ïîýòîìó, íå êîëåáëÿñü,
ïîñòóïàéòå íà ôàêóëüòåò àýðîäèíàìèêè è ëåòàòåëüíîé òåõíèêè Ìîñêîâñêîãî ôèçèêî-òåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà
(ÌÔÒÈ), ãäå âû óçíàåòå, ïî êðàéíåé ìåðå, âñå î êðûëå.
Ïðàâäà, íå ñêðîåì: ó÷èòüñÿ çäåñü íåëåãêî. Êàê ãîâîðÿò
ñòóäåíòû, «ïàõàòü íàäî!»
Áîéëÿ–Ìàðèîòòà
p0V0 = pV , èëè
p0 Sx0 = ( p0 + ρgh ) Sx .
Çäåñü x – äëèíà âíóòðåííåãî öèëèíäðè÷åñêîãî îáúåìà V = Sx ñæàòîãî
âîçäóõà, äàâëåíèå êîòîðîãî óâåëè÷èëîñü íà ρgh ïðè ïîãðóæåíèè íà
ãëóáèíó h. Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ íàéäåì
1
x
=
.
x0 1 + (ρgh p0 )
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ ïëîòíîñòè âîäû
ρ = 103 êã ì 3 , óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 , ïîëó÷èì, ÷òî
íà ãëóáèíå h = 10 ì äàâëåíèå óâåëè÷èëîñü íà ρgh = 105 Ïà , ò.å. âîçðîñëî âäâîå. Çíà÷èò, îáúåì âîçäóõà â
ïðîáèðêå óìåíüøèòñÿ â äâà ðàçà. À
íà ãëóáèíå h = 20 ì äàâëåíèå óæå
óòðîèòñÿ è òàê äàëåå. Â ðåçóëüòàòå
ìåíçóðêó ìîæíî «ïðîãðàäóèðîâàòü»
ïî ãëóáèíå ñîãëàñíî ðèñóíêó 2. È – Ðèñ. 1
ïîëüçóéòåñü íà çäîðîâüå íîâûì ãëóáèíîìåðîì!
Ïðàâäà, åñëè òåìïåðàòóðà áóäåò èçìåíÿòüñÿ ñ ãëóáèíîé, òî
ïðîèçâåäåíèå pV óæå íå áóäåò ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé è
íóæíî áóäåò èñïîëüçîâàòü çàêîí Ìåíäåëååâà–Êëàïåéðîíà
"
ÊÂÀÍT 2013/¹3
Ðèñ. 3
Ðèñ. 2
pV = νRT (h ) . «Íó ÷òî æå, – âçäîõíóë Îòëè÷íèê, – ïðèêðåïèì ê ìåíçóðêå òåðìîìåòð è ââåäåì ïîïðàâêó íà òåìïåðàòóðó…»
Íî òóò ñòàðøèé áðàò Îòëè÷íèêà ñòàë ñåÿòü íîâûå çåðíà
ñîìíåíèÿ: à âåäü âîçäóõ ñîäåðæèò ïàðû âîäû, îñîáåííî íàä
ìîðåì. È åñëè äàæå èõ äàâëåíèå pï (0 ) ó ïîâåðõíîñòè
( h0 = 0) íå äîñòèãàëî íàñûùåíèÿ, òî ïðè ñæàòèè â ïðîáèðêå îíî âîçðàñòåò, è íà ãëóáèíå ïàð ìîæåò-òàêè ñòàòü íàñûùåííûì, ò.å. pï (h ) = píï (T0 ) (ðèñ.3). À ïðè äàëüíåéøåì
ïîãðóæåíèè ïàð íà÷íåò «âûïàäàòü» â îñàäîê, ò.å. êîíäåíñèðîâàòüñÿ, ïðåâðàùàÿñü â âîäó. Çíà÷èò, ñóììàðíàÿ ìàññà
ãàçîâîé ñìåñè â ïðîáèðêå áóäåò óáûâàòü, è íàø ïðèáîð áóäåò
ïîêàçûâàòü áîëüøóþ ãëóáèíó, ÷åì åñòü íà ñàìîì äåëå (ñì.
ñèíþþ êðèâóþ íà ðèñóíêå 2).
«È ýòî åùå íå âñå, – ïðîäîëæàë ñåÿòü ñîìíåíèÿ Áðàò. –
Âåäü è ñàì âîçäóõ ðàñòâîðèì â âîäå». Ïðè÷åì, êàê èçâåñòíî, ðàñòâîðèìîñòü ãàçîâ â æèäêîñòè ðàñòåò ñ äàâëåíèåì.
Äîêàçàòåëüñò⠖ ñêîëüêî óãîäíî. Îòêðîéòå áóòûëêó ãàçèðîâàííîé âîäû – è óâèäèòå ïóçûðüêè, âíåçàïíî âîçíèêøèå
ïðè ðåçêîì ñáðîñå äàâëåíèÿ. Ñïðîñèòå ó âîäîëàçî⠖ ïî÷åìó îíè äîëæíû âñïëûâàòü î÷åíü ìåäëåííî? À ïîòîìó,
÷òîáû àçîò – ÷àñòü âîçäóõà, êîòîðûì îíè äûøàò, – ðàñòâîðèâøèñü â êðîâè, íå âñêèïàë ïóçûðüêàìè (â ñëó÷àå ðåçêîãî
ïîäúåìà). Çíà÷èò, íå òîëüêî âîäÿíîé ïàð, íî è âîçäóõ â
ìåíçóðêå ïðè ïîãðóæåíèè ìîæåò âñå áîëåå ðàñòâîðÿòüñÿ â
âîäå, è íàø ïðèáîð ñòàíåò «âðàòü» åùå áåññîâåñòíåå (ñì.
çåëåíóþ êðèâóþ íà ðèñóíêå 2).
Äà, íî âåäü ñ óâåëè÷åíèåì ãëóáèíû è ñ ñîîòâåòñòâóþùèì
ðîñòîì äàâëåíèÿ ñàìà ìåíçóðêà äîëæíà äåôîðìèðîâàòüñÿ,
êàê âñÿêîå óïðóãîå òåëî. Êðîìå òîãî, â íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ
ïðèíèìàëîñü, ÷òî ïëîòíîñòü è äàâëåíèå âîçäóõà âíóòðè
ìåíçóðêè îäèíàêîâû ïî âûñîòå. À ìåæäó òåì èçâåñòíî, ÷òî
ýòè âåëè÷èíû óìåíüøàþòñÿ ñ âûñîòîé, â ïðèíöèïå – íà
ëþáîì êîíå÷íîì ðàññòîÿíèè. Âåäü ïðåäëàãàë æå çíàìåíèòûé
Ôàðåíãåéò áðàòü â ãîðû ÷àéíèê è ïî òåìïåðàòóðå åãî
âñêèïàíèÿ îïðåäåëÿòü äàâëåíèå àòìîñôåðû è, ñëåäîâàòåëüíî, âûñîòó ïîäúåìà.
«À ó÷ëè ëè âû åùå è ñîëåíîñòü âîäû, êîòîðàÿ òîæå ìîæåò
èçìåíÿòüñÿ ñ ãëóáèíîé, âïðî÷åì, êàê è åå ïëîòíîñòü?» –
ñïðîñèë ñèäåâøèé íåäàëåêî ðûáàê.
Íî Îòëè÷íèê óæå íàäåë ëàñòû. Îí ïîíÿë, ÷òî ëþáûå
èçìåðåíèÿ – ýòî ñëîæíûé ïðîöåññ, âêëþ÷àþùèé ìíîãî
ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. È ÷òî íàäî ìíîãî ó÷èòüñÿ.
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
Âòîðîé çàêîí
Íüþòîíà
äëÿ òðåõìåðíîãî
ïðîñòðàíñòâà
Á.ÌÀÊÓØÅÂ
Î
ÑÍÎÂÍÎÉ ÇÀÄÀ×ÅÉ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ßÂËßÅÒÑß ÍÀÕÎÆ-
äåíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, åñëè
èçâåñòíû åå ìàññà è äåéñòâóþùèå íà íåå ñèëû. Åñëè ðàâíî
äåéñòâóþùàÿ âñåõ ïðèëîæåííûõ ê òåëó ñèë ∑ Fi îòëè÷íà îò
íóëÿ, òî òåëî ìàññîé m ïðèîáðåòàåò óñêîðåíèå a . Ïðè ýòîì
âåêòîðíàÿ ñóììà âñåõ ïðèëîæåííûõ ê òåëó ñèë ðàâíà ïðîèç-
âåäåíèþ ìàññû íà óñêîðåíèå òåëà:
∑ Fi = ma .
Ýòî è åñòü âòîðîé çàêîí Íüþòîíà. Õàðàêòåðíûì ñâîéñòâîì
ýòîãî çàêîíà ÿâëÿåòñÿ åãî âåêòîðíûé õàðàêòåð. Ïîñêîëüêó
ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèëà ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà óñêîðåíèþ, èõ íàïðàâëåíèÿ âñåãäà ñîâïàäàþò.
 áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïðè èçó÷åíèè âòîðîãî çàêîíà
Íüþòîíà ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðèìåðû, êîãäà ñèëû äåéñòâóþò
íà òî÷êó (èëè òåëî) âäîëü ïðÿìîé – îäíîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî èëè â ïëîñêîñòè – äâóõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. Îäíàêî
î÷åâèäíî, ÷òî ýòîò çàêîí âûïîëíèì è äëÿ òðåõìåðíîãî
ïðîñòðàíñòâà.
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî êîíêðåòíûõ ïðèìåðîâ íà ïðèìåíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà, êîãäà íà òåëî äåéñòâóþò
ñèëû, îðèåíòèðîâàííûå â ïðîñòðàíñòâå.
Ïðèìåð 1. Íåáîëüøîé
êóáèê ìàññîé m = 100 ã
ïîêîèòñÿ íà ïëîñêîñòè,
íàêëîíåííîé ê ãîðèçîíòó ïîä óãëîì α = 30°
(ðèñ.1). Êîýôôèöèåíò
òðåíèÿ êóáèêà î ïëîñ- Ðèñ. 1
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ
êîñòü µ = 0,8. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíóþ ãîðèçîíòàëüíóþ
ñèëó F, ñ êîòîðîé íóæíî òîëêàòü êóáèê, ÷òîáû îí íà÷àë
äâèãàòüñÿ. Ñèëà äåéñòâóåò â ïëîñêîñòè ñêëîíà.
Íà êóáèê áóäóò
äåéñòâîâàòü ÷åòûðå ñèëû (ðèñ.2). Ïåðâàÿ
ñèëà – ýòî ñèëà F , íàïðàâëåííàÿ ïàðàëëåëüíî îáðàçóþùåé
íàêëîííîé ïëîñêîñòè (ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè ñ ãîðèçîíòàëüíîé
ïîâåðõíîñòüþ). Âòîðàÿ ñèëà – ýòî ñèëà òÿæåñòè
mg , îíà íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç ê öåíòðó Çåìëè.
Òðåòüÿ ñèëà – ýòî ñèëà ðåàêöèè íàêëîííîé ïëîñêîñòè N ,
êîòîðàÿ íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè. À ÷åòâåð
òàÿ ñèëà – ýòî ñèëà òðåíèÿ Fòð , îíà ëåæèò â ïëîñêîñòè
ñêëîíà, íî ïîêà íåèçâåñòíî åå òî÷íîå íàïðàâëåíèå. ßñíî, ÷òî
âñå ýòè ÷åòûðå ñèëû îðèåíòèðîâàíû â ïðîñòðàíñòâå.
Çàïèøåì óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà â âèäå
F + mg + N + Fòð = 0 ,
òàê êàê ïî óñëîâèþ çàäà÷è a = 0 . Òåïåðü íóæíî âûáðàòü
òàêóþ ïëîñêîñòü, íà êîòîðóþ ìîæíî áûëî áû ïðîåêòèðîâàòü
âñå ýòè ñèëû. Íàì íå óäîáíû ïëîñêîñòè, â êîòîðûõ ëåæàò
ñèëû òÿæåñòè èëè ðåàêöèè ïëîñêîñòè, ïîòîìó ÷òî íàì íå
èçâåñòíî èñòèííîå íàïðàâëåíèå ñèëû òðåíèÿ è ìû íå ìîæåì
ïðîåêòèðîâàòü åå íà ýòè ïëîñêîñòè. Î÷åâèäíî, ÷òî ñàìîé
óäîáíîé äëÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ ñèë ÿâëÿåòñÿ íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü,ãäåðàñïîëîæåí êóáèê. Â ýòîé ïëîñêîñòè ìîãóò ëåæàòü
ñèëû F , Fòð è ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû òÿæåñòè, ðàâíàÿ mg sin α
(ñì. ðèñ.2). Äëÿ óäîáñòâà áóäåì ñ÷èòàòü ýòó ïðîåêöèþ
íåêîåé ñàìîñòîÿòåëüíîé ñèëîé,
äåéñòâóþùåé íà áðóñîê â
íàïðàâëåíèè îñè y. Ñèëû F , Fòð è âûáðàííóþ ñîñòàâëÿþùóþ ñèëû òÿæåñòè íàçîâåì àêòèâíûìè ñèëàìè, òàê êàê
èìåííî îíè ïðèâîäÿò êóáèê â äâèæåíèå. Ïîñêîëüêó ìû èùåì
ïðåäåëüíîå óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ, ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ:
Fòð = µN = µmg cos α .
Ýòà ñèëà óðàâíîâåøèâàåò ðàâíîäåéñòâóþùóþ äâóõ âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ñèë – ñèëû, ñ êîòîðîé íóæíî òîëêàòü
êóáèê, è ñîñòàâëÿþùåé ñèëû òÿæåñòè êóáèêà. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì çàïèñàòü
2
= F 2 + (mg sin α ) ,
Fòð
2
âåðòèêàëüíî âíèç ê öåíòðó Çåìëè; N1 – ñèëà ðåàêöèè
íàêëîííîé
ïëîñêîñòè, íàïðàâëåííàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè; Fòð – ñèëà òðåíèÿ, êîòîðàÿ íàïðàâëåíà âäîëü ëèíåéêè ïðîòèâ äâèæåíèÿ
êèðïè÷à è ëåæèò â ïëîñêîñòè; ñèëà
ðåàêöèè ëèíåéêè N2 , ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ëèíåéêå è ëåæàùàÿ â ïëîñêîñòè.
Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ äâèæåíèÿ êèðïè÷à:
mg + N1 + Fòð + N 2 = ma .
Êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, âûáåðåì îñè êîîðäèíàò òàê,
÷òîáû ïëîñêîñòü xy ñîâïàëà ñ íàøåé íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ.
Íà ýòîé ïëîñêîñòè íàðèñóåì «àêòèâíûå ñèëû», äåéñòâóþùèå
íà êèðïè÷ (ðèñ.4). Ê
íèì îòíîñÿòñÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû òÿæåñòè,
mg sin α , ñèëà
ðàâíàÿ òðåíèÿ Fòð è ñèëà ðå
àêöèè ëèíåéêè N2 .
à) Åñëè êèðïè÷
ñêîëüçèò âíèç ïî ãëàäêîé ëèíåéêå ÀÂ, òî
ñèëà òðåíèÿ ñî ñòîðîíû ïëîñêîñòè íàïðàâëåíà ââåðõ ïî ëèíåéêå
(ñì. ðèñ.4) è ðàâíà
Fòð = µ1mg cos α ,
Ðèñ. 4
à ïðîåêöèÿ íàøåé ñîñòàâëÿþùåé ñèëû òÿæåñòè êèðïè÷à íà ëèíåéêó À ðàâíà
mg sin α sin ϕ .
Ïðè ýòîì ñèëà ðåàêöèè ëèíåéêè óðàâíîâåøåíà ïðîåêöèåé
íàøåé ñîñòàâëÿþùåé ñèëû òÿæåñòè êèðïè÷à íà íàïðàâëåíèå,
ïåðïåíäèêóëÿðíîå ëèíåéêå:
N2 = mg sin α cos ϕ .
îòêóäà íàõîäèì
F=
íàÿ ïëîñêîñòü ãëàäêàÿ, à ëèíåéêà øåðîõîâàòàÿ è êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó êèðïè÷îì è ëèíåéêîé ðàâåí µ2 .
Ñíà÷àëà íàðèñóåì âñå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà êèðïè÷, â
òðåõìåðíîé êîîðäèíàòíîé ñèñòåìå (ðèñ.3). Íà êèðïè÷ äåé
ñòâóþò ñëåäóþùèå ñèëû: mg – ñèëà òÿæåñòè, íàïðàâëåííàÿ
Ðèñ. 3
Ðèñ. 2
2
Fòð
"
ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
2
− (mg sin α ) = mg
(µ cos α )
2
2
− sin α = 0,48 H .
Ïðèìåð 2. Êèðïè÷ ìàññîé m ñêîëüçèò ïî íàêëîííîé
ïëîñêîñòè âäîëü ëèíåéêè, êîòîðàÿ ðàñïîëîæåíà ïîä óãëîì
ϕ ê ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèè ïëîñêîñòè. Ïëîñêîñòü îáðàçóåò
ñ ãîðèçîíòîì óãîë α . Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü êèðïè÷à ðàâíà
íóëþ. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì áóäåò äâèãàòüñÿ êèðïè÷ âíèç
âäîëü ëèíåéêè, åñëè: à) ëèíåéêà ãëàäêàÿ, à êîýôôèöèåíò
òðåíèÿ ìåæäó ïëîñêîñòüþ è êèðïè÷îì ðàâåí µ1 ; á) íàêëîí-
Òàêèì îáðàçîì, óñêîðåíèå êèðïè÷à, íàïðàâëåííîå âíèç
âäîëü ëèíåéêè, ðàâíî
a = g (sin α sin ϕ − µ1 cos α ) ,
ïðè÷åì äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå µ1 < tg α sin ϕ .
á) Åñëè ïëîñêîñòü ãëàäêàÿ, à ëèíåéêà øåðîõîâàòàÿ, òî
ñèëà òðåíèÿ äåéñòâóåò ñî ñòîðîíû ëèíåéêè è ðàâíà
Fòð = µ2mg sin α cos ϕ .
"
ÊÂÀÍT 2013/¹3
Òîãäà óñêîðåíèå êèðïè÷à áóäåò ðàâíî
Íî
a = g sin α (sin ϕ − µ2 cos ϕ ) .
 ýòîì ñëó÷àå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå µ2 < tg ϕ .
Ïðèìåð 3. Ïî òîíêîé è òâåðäîé ïðîâîëî÷íîé ñïèðàëè,
îáðàçóþùåé âèíòîâóþ ëèíèþ è ñòîÿùåé âåðòèêàëüíî,
ñêîëüçèò íàíèçàííàÿ íà ïðîâîëîêó áóñèíêà. Ðàäèóñ ïåòëè
ñïèðàëè R, øàã ñïèðàëè (ðàññòîÿíèå ïî âåðòèêàëè ìåæäó
ñîñåäíèìè âèòêàìè) h. Íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü áóñèíêè v, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ åå î ïðîâîëîêó
ðàâåí µ .
Íàðèñóåì âñå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà áóñèíêó (ðèñ.5).
Ïîñêîëüêó ýòè ñèëû îðèåíòèðîâàíû â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ïîñòðîèì êîîðäèíàòíóþ ñèñòåìó õóz, îñè
êîòîðîé âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.  íà÷àëå êîîðäèíàò ïîìåñòèì
áóñèíêó. Ñ÷èòàåì, ÷òî
ñå÷åíèå ïðîâîëîêè êðóã-
2
 mv2 cos2 α 
2
 .
N 2 = N12 + N22 = (mg cos α ) + 
R


Îòñþäà íàõîäèì
14
2

Rg   sin α 

− cos2 α  ïðè tg α > µ .
v=


cos α   µ 


Ïðèìåð 4. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê, ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ìàññèâíûé ìàëåíüêèé êóáèê ìàññîé m, ïðèêðåïëåííûé ê íèòè äëèíîé l. Ìàÿòíèê íàõîäèòñÿ íà àáñîëþòíî
ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè, íàêëîíåííûé ïîä óãëîì θ ê âåðòèêàëè (ðèñ.8). Íóæíî íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà íà ýòîé ïîâåðõíîñòè.
 ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ
íà êóáèê äåéñòâóåò òðè ñèëû:
ñèëà òÿæåñòè mg, íàïðàâëåííàÿ âåðòèêàëüíî
âíèç; ñèëà
íàòÿæåíèÿ íèòè T ; ñèëà ðåàêöèè ïëîñêîñòè N , ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ýòîé ïëîñêîñòè (ñì. ðèñ.8). Î÷åâèäíî, ÷òî ñàìîé
óäîáíîé äëÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ ñèë ÿâëÿåòñÿ íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü, ãäå ðàñïîëîæåí êóáèê (ðèñ.9). Â ýòîé ïëîñêîñòè
Ðèñ. 6
Ðèñ. 5
ëîå. Òîãäà áóñèíêà ïðè äâèæåíèè êàñàåòñÿ ïðîâîëîêè òîëüêî
â îäíîé òî÷êå,
êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïðèëîæåíèÿ ñèëû
ðåàêöèè N (ðèñ.6). Ýòó ñèëó óäîáíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó
äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ñèë, ò.å.
N 2 = N12 + N22 .
Çäåñü N1 – ýòî ñèëà ðåàêöèè, âîçíèêøàÿ âñëåäñòâèå äåéñòâèÿ âåñà áóñèíêè íà ïðîâîëîêó, ïîýòîìó
N1 = mg cos α .
Ñèëà N2 íàïðàâëåíà â öåíòð ïåòëè ñïèðàëè – îêðóæíîñòè
ðàäèóñîì R, îíà ñîîáùàåò áóñèíêå öåíòðîñòðåìèòåëüíîå
Ðèñ. 7
óñêîðåíèå (ðèñ.7):
N2 =
2
m (v cos α )
.
R
h
(2πR )
2
+h
2
è cos α =
íàõîäèì ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè:
2πR
(2πR )2 + h2
.
Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü áóñèíêè óñòàíîâèëàñü, ñèëà òðåíèÿ è
ïðîåêöèÿ ñèëû òÿæåñòè áóñèíêè íà îñü õ ðàâíû:
µN = mg sin α .
ëåæàò ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè T è ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû òÿæåñòè êóáèêà, ðàâíàÿ mg cos θ . Ýòè ñèëû ÿâëÿþòñÿ «àêòèâíûìè ñèëàìè», áëàãîäàðÿ èì ãðóçèê ìîæåò ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ íà ãëàäêîé ïëîñêîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè îòêëîíåíèè íèòè îò ðàâíîâåñèÿ íà íåáîëüøîé óãîë ϕ íà êóáèê
äåéñòâóåò ïðîåêöèÿ ñîñòàâëÿþùåé ñèëû òÿæåñòè, ðàâíàÿ
F = mg cos θ sin ϕ è ïðèçâàííàÿ âîçâðàùàòü êóáèê â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Ñ÷èòàÿ êîëåáàíèÿ ìàëûìè, ìîæåì íàïèñàòü
x
sin ϕ = ,
l
ãäå õ – äëèíà äóãè îêðóæíîñòè, âäîëü êîòîðîé äâèæåòñÿ
êóáèê. Òîãäà
mg cos θ
F=−
x
l
– âîçâðàùàþùàÿ ñèëà ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ñìåùåíèþ x
êóáèêà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è íàïðàâëåíà â ñòîðîíó,
ïðîòèâîïîëîæíóþ ýòîìó ñìåùåíèþ. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå
ñâîéñòâà êâàçèóïðóãîé ñèëû, à èìåííî
F = −kx ,
Èç ðèñóíêà 7 íàéäåì
sin α =
Ðèñ. 9
Ðèñ. 8
ω0 =
k
=
m
mg cos θ
l
=
m
g
cos θ .
l
Ïîäóìàéòå, ÷òî èçìåíèòñÿ, åñëè ïëîñêîñòü áóäåò øåðîõîâàòîé.
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Ñêîëüêî ìîæíî
æäàòü?
(Êàê ïðàêòè÷åñêè îöåíèòü âðåìÿ
âûíóæäåííîãî áåçäåéñòâèÿ)
È.ÀÊÓËÈ×
Â
1863 ÃÎÄÓ ÁÛËÀ ÇÀÏÓÙÅÍÀ Â ÝÊÑÏËÓÀÒÀÖÈÞ ÏÅÐÂÀß
ëèíèÿ Ëîíäîíñêîãî ìåòðî, è ïîòîìó ñîâñåì íåäàâíî âñå
ïðîãðåññèâíîå ïîäçåìíîå ÷åëîâå÷åñòâî (ò.å. òå, êòî ïîëüçóåòñÿ óêàçàííûì âèäîì òðàíñïîðòà) îòìå÷àëî åãî 150-ëåòíèé
þáèëåé. Ïî ýòîìó ïîâîäó èìåëî ìåñòî íåìàëî ñòàòåé â
ðàçëè÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ èçäàíèÿõ.  ÷àñòíîñòè, ïðîâîäèëîñü ñðàâíåíèå Ëîíäîíñêîãî ìåòðî ñ Ìîñêîâñêèì. ×òî-òî
áûëî îäèíàêîâî, ÷òî-òî çàìåòíî ðàçëè÷àëîñü. Îêàçàëîñü, è
òóò, è òàì íà ñòàíöèÿõ èìååòñÿ òàáëî, îòñ÷èòûâàþùåå ìèíóòû
è ñåêóíäû, íî ñ ñóùåñòâåííîé ðàçíèöåé: åñëè â Ìîñêâå ýòî
òàáëî ïîêàçûâàåò âðåìÿ, ïðîøåäøåå ïîñëå óõîäà î÷åðåäíîãî
ïîåçäà, òî â Ëîíäîíå îíî, íàîáîðîò, ïîêàçûâàåò, ñêîëüêî
îñòàëîñü äî ïðèõîäà ñëåäóþùåãî ïîåçäà. Ïîíÿòíî, ÷òî
ïîñëåäíåå íàìíîãî óäîáíåé – êàêîå íàì äåëî äî ïîåçäà, íà
êîòîðûé ìû âñå ðàâíî íå ïîïàëè? Ýòî ÷òî-òî âðîäå ïðîøëîãîäíåãî ñíåãà. À âîò ñêîëüêî íàì åùå æäàòü è âûíóæäåííî
ñëîíÿòüñÿ ïî ïåððîíó – çíàòü áû íå ìåøàëî. 1
Òåì íå ìåíåå, ìîæíî ïîïðîáîâàòü îöåíèòü ýòó âåëè÷èíó,
èñïîëüçóÿ ëèøü òó èíôîðìàöèþ, êîòîðàÿ èìååòñÿ. Êîíå÷íî,
åñëè ëèíèÿ, êîòîðîé ìû ïîëüçóåìñÿ, íàì õîðîøî çíàêîìà, òî
ìû çíàåì è ñðåäíèé èíòåðâàë äâèæåíèÿ, òàê ÷òî, âû÷èòàÿ èç
íåãî ïîêàçàíèÿ òàáëî, ëåãêî îïðåäåëèì ïðèìåðíîå âðåìÿ
îæèäàíèÿ. Èíäèêàòîðîì åãî ìîæåò ñëóæèòü è êîëè÷åñòâî
ñêîïèâøèõñÿ ïàññàæèðîâ íà ïëàòôîðìå: ÷åì îíî áîëåå
óãðîæàþùåå, òåì ìåíüøå âðåìåíè, ñêîðåå âñåãî, îñòàëîñü äî
ïðèáûòèÿ ïîåçäà.
Íó, à åñëè âñåãî ýòîãî íåò? Ñïóñòèëèñü ìû, äîïóñòèì,
ïåðâûé ðàç ïîä çåìëþ â íåçíàêîìîì ãîðîäå, äà åùå ïîçäíî
âå÷åðîì, êîãäà ïàññàæèðîâ-òî ðàç, äâà è îá÷åëñÿ. Íà òàáëî
âèäèì, äîïóñòèì, âðåìÿ: 03:15, ò.å. 3 ìèíóòû 15 ñåêóíä.
Ñêîëüêî åùå æäàòü? È çäåñü íà ïîìîùü ïðèõîäÿò âåðîÿòíî1 Âïðî÷åì, íåñêîëüêî îïðàâäàòåëüíûõ ïàòðèîòè÷åñêèõ ñëîâ ñêàçàòü ìîæíî.  Ìîñêâå íà ìíîãèõ ëèíèÿõ (îñîáåííî â ÷àñû ïèê) åùå
âèäåí õâîñò óõîäÿùåãî ïîåçäà, à ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû
òîííåëÿ óæå ñâåòÿòñÿ ôàðû íîâîãî. Òàê ÷òî ëþáîâàòüñÿ òàáëî ïîðîé
ïðîñòî íåêîãäà – íàäî áåæàòü íà ïîñàäêó! À â Ëîíäîíå, ñîãëàñíî òåì
æå ïóáëèêàöèÿì, íà íåêîòîðûõ ëèíèÿõ èíòåðâàë äâèæåíèÿ äîñòèãàåò ïîëó÷àñà.
ñòíî-ñòàòèñòè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ. Ïóñòü ñðåäíèé èíòåðâàë
äâèæåíèÿ ïîåçäîâ ðàâåí Ò. Ìû ïîïàäàåì íà ñòàíöèþ,
íåñîìíåííî, â ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè, è ïîñëå óõîäà
ïðåäûäóùåãî ïîåçäà ìîãëî ïðîéòè âðåìÿ îò 0 äî Ò. Ñðåäíåå
çíà÷åíèå ýòîãî âðåìåíè, î÷åâèäíî, ðàâíî Ò/2. Ïîýòîìó
èìååò ñìûñë ïðåäïîëîæèòü, ÷òî Ò/2 = 3 ìèíóòû 15 ñåêóíä.
À æäàòü îñòàëîñü (îïÿòü æå â ñðåäíåì) ñòîëüêî æå, ò.å. òå æå
Ò/2. Èòàê, îöåíî÷íîå çíà÷åíèå âðåìåíè îæèäàíèÿ ñîñòàâëÿåò òó æå âåëè÷èíó, êîòîðóþ ìû âèäèì íà òàáëî! Êîíå÷íî,
îöåíêà äîâîëüíî ãðóáàÿ, íî âñå æå ëó÷øå, ÷åì íè÷åãî.
Êàê íè ñòðàííî, åå ìîæíî óëó÷øèòü (êîíå÷íî, òîëüêî â
ñòàòèñòè÷åñêîì ñìûñëå). 2 Ïîåçäà ìåòðî õîäÿò â äâóõ
íàïðàâëåíèÿõ, è ñðåäíèé èíòåðâàë äâèæåíèÿ â îáå ñòîðîíû,
åñòåñòâåííî, îäèíàêîâ (èíà÷å ïðîèçîéäåò ñêîïëåíèå òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ â îäíîì êîíöå òîííåëÿ). 3 Èòàê, ìû âûøëè
íà ïëàòôîðìó è óâèäåëè, ÷òî ñ ìîìåíòà óõîäà íóæíîãî íàì
ïîåçäà ïðîøëî t1 ìèíóò. Òîãäà, ñîãëàñíî îöåíêå (ñì. âûøå),
èíòåðâàë äâèæåíèÿ ðàâåí T = 2t1 . Íå ïîëåíèìñÿ, ïåðåéäåì
íà äðóãóþ ñòîðîíó ïëàòôîðìû è ïîñìîòðèì, ñêîëüêî ïðîøëî
âðåìåíè òàì. Åñòåñòâåííî, ìû óâèäèì êàêîå-òî äðóãîå âðåìÿ
t2 . Òàê êàê èíòåðâàë â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ îäèíàêîâ, òî
îöåíî÷íî T = 2t2 . ßñíî, ÷òî íàèáîëåå ðàçóìíîé «èòîãîâîé»
îöåíêîé äëÿ äåéñòâèòåëüíîé âåëè÷èíû Ò ÿâëÿåòñÿ ñðåäíåå
àðèôìåòè÷åñêîå óêàçàííûõ âåëè÷èí, ò.å. T = t1 + t2 . Ñêîëüêî æå íàì â òàêîì ñëó÷àå îñòàëîñü ñêó÷àòü íà ïëàòôîðìå?
Î÷åâèäíî, ýòî âðåìÿ ðàâíî ðàçíîñòè ìåæäó èíòåðâàëîì
äâèæåíèÿ è òåì âðåìåíåì, êîòîðîå óæå ïðîøëî, ò.å.
T − t1 = (t1 + t2 ) − t1 = t2 . Âîò òåáå è ðàç! Îêàçûâàåòñÿ, ÷òîáû
îöåíèòü âðåìÿ âûíóæäåííîãî áåçäåéñòâèÿ, ñëåäóåò ïîñìîòðåòü íà òàáëî ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ, à «ñâîå»
òàáëî íàì âîîáùå íå íóæíî!
Íåñêîëüêî èíîé ïîäõîä ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü, åñëè
ìû âûáðàëèñü èç-ïîä ãðåøíîé çåìëè íà åå ïîâåðõíîñòü è
ñòîèì íà îñòàíîâêå îáùåñòâåííîãî òðàíñïîðòà, íàïðèìåð
àâòîáóñà. Êàê ïðàâèëî, íà òàáëè÷êå óêàçàí òîëüêî ñðåäíèé
èíòåðâàë äâèæåíèÿ äëÿ êàæäîãî ìàðøðóòà (â ìèíóòàõ). 4
Åñëè íàì ïîäõîäèò òîëüêî îäèí ìàðøðóò èç èìåþùèõñÿ,
òî âñå î÷åíü ïðîñòî. Ïóñòü, ê ïðèìåðó, óêàçàíî, ÷òî èíòåðâàë äâèæåíèÿ íóæíîãî àâòîáóñà – 10 ìèíóò. Êàê è â
2
Ïðè ýòîì íå áóäåì çàáûâàòü êðûëàòûå ñëîâà, ÷àùå âñåãî
ïðèïèñûâàåìûå 40-ìó ïðåìüåð-ìèíèñòðó Âåëèêîáðèòàíèè Á.Äèçðàýëè: «Ñóùåñòâóåò òðè âèäà ëæè: ëîæü, íàãëàÿ ëîæü è ñòàòèñòèêà».
Ïîýòîìó äàâàéòå çäåñü è äàëåå îòíåñåìñÿ ê íàøèì îöåíêàì ïî
âîçìîæíîñòè ìÿãêî è ñíèñõîäèòåëüíî.
3 Î÷åâèäíûì èñêëþ÷åíèåì èç ýòîãî ïðàâèëà ÿâëÿåòñÿ, êîíå÷íî,
êîëüöåâàÿ ëèíèÿ, ãäå ïîåçäà â êàæäîì èç íàïðàâëåíèé âïîëíå ìîãóò
õîäèòü ñ ðàçíûìè èíòåðâàëàìè.
4 Õîòÿ â ïîñëåäíåå âðåìÿ è íà íàçåìíûõ îñòàíîâêàõ ïîÿâèëèñü
ñâåòîâûå òàáëî ñ óêàçàíèåì, ñêîëüêî âðåìåíè îñòàëîñü äî ïðèõîäà
ñëåäóþùåãî àâòîáóñà, à êîå-ãäå âñòðå÷àåòñÿ è ïðîñòî ðàñïèñàíèå
äâèæåíèÿ. Íî íàì òàêèå âàðèàíòû íåèíòåðåñíû – ãàäàòü çäåñü íå î
÷åì!
""
ÊÂÀÍT 2013/¹3
ìåòðî, ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ ðàâíî åãî ïîëîâèíå, ò.å. 5
ìèíóòàì. Ïðîùå íåêóäà!
Íó, à åñëè íàñ óñòðàèâàþò äâà íîìåðà àâòîáóñà, ñ èíòåðâàëàìè, äîïóñòèì, 10 è 15 ìèíóò? Êàêîâ áóäåò «ñóììàðíûé»
èíòåðâàë? Áîëüøèíñòâî ëþäåé èìïóëüñèâíî îòâå÷àþò: ñðåäíèé àðèôìåòè÷åñêèé, ò.å. â äàííîì ñëó÷àå – 12,5 ìèíóò, òàê
÷òî ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ – ÷óòü áîëüøå 6 ìèíóò. Ðàçóìååòñÿ, òàêîé îòâåò íåâåðåí. Ïîñóäèòå ñàìè: åñëè õîäèò òîëüêî
îäèí àâòîáóñ, òî âðåìÿ îæèäàíèÿ – 5 ìèíóò, à åñëè ê íåìó
äîáàâèòü âòîðîé – òî íà ìèíóòó ñ ëèøêîì áîëüøå. ßâíàÿ
áåññìûñëèöà!
Äëÿ ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ çäåñü óäîáíåé âñåãî îïðåäåëèòü
ñðåäíåå êîëè÷åñòâî àâòîáóñîâ êàæäîãî ìàðøðóòà çà êàêîéíèáóäü îäèíàêîâûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, íàïðèìåð – ÷àñ.
Ïîñêîëüêó â êàæäîì ÷àñå 60 ìèíóò, òî «10-ìèíóòíûõ»
àâòîáóñîâ çà ÷àñ ïðîéäåò 60 : 10 = 6 øòóê, à «15-ìèíóòíûõ»
60 : 15 = 4. Èòîãî ïîëó÷àåì 6 + 4 = 10 àâòîáóñîâ â ÷àñ.
Ïîýòîìó ñðåäíèé èíòåðâàë ñîñòàâèò âñåãî 60 : 10 = 6 ìèíóò,
è ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ ñîêðàùàåòñÿ äî 6/2 = 3 ìèíóò.
Ðàññóæäàÿ òàê æå, íåòðóäíî íàéòè è îáùóþ ôîðìóëó, åñëè
èíòåðâàëû äâèæåíèÿ àâòîáóñîâ ðàâíû Ò1 è Ò2 . «Ñóììàðíûé» èíòåðâàë ðàâåí
ÒÒ
1
= 1 2
T=
1
1
Ò
1 + Ò2
+
Ò1 Ò2
(ïðè âû÷èñëåíèÿõ äëèíà âûáðàííîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè –
íàïðèìåð, 60 ìèíóò – ñîêðàùàåòñÿ).
Åñëè æå ïîäõîäÿùèõ ìàðøðóòîâ áîëüøå è èíòåðâàëû èõ
äâèæåíèÿ ðàâíû Ò1 , Ò2 , …, Òn , òî ôîðìóëà åñòåñòâåííûì
îáðàçîì óñëîæíÿåòñÿ (íî, â ïðèíöèïå, îñòàåòñÿ íåñëîæíîé):
1
T=
.
1
1
1
+
+ ... +
Ò1 Ò2
Òn
Ñêàæèòå, ýòè ôîðìóëû âàì íè÷åãî íå íàïîìèíàþò? Êîíå÷íî, íàïîìèíàþò! Èìåííî òàêèì ñïîñîáîì ïîäñ÷èòûâàþòñÿ
ñîïðîòèâëåíèå ó÷àñòêà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, â êîòîðîé ïàðàëëåëüíî ïîäêëþ÷åíû ïðîâîäíèêè ñîïðîòèâëåíèÿìè Ò1 ,
Ò2 , …, Òn . Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé ìàðøðóò – àíàëîã
ïàðàëëåëüíî ïîäêëþ÷åííîãî ïðîâîäíèêà, èíòåðâàë – àíàëîã
ñîïðîòèâëåíèÿ, à êîëè÷åñòâî àâòîáóñîâ çà âûáðàííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè – àíàëîã ïðîòåêàþùåãî òîêà. Òàêîé ïîäõîä
äåëàåò êàðòèíó àáñîëþòíî íàãëÿäíîé.
Íàãëÿäíîé-òî íàãëÿäíîé, íî… íåâåðíîé! Èëè, ìÿã÷å ãîâîðÿ, íåòî÷íîé. È ÷òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, ðàññìîòðèì òàêîé
ïðèìåð. Ïóñòü íàñ óñòðàèâàþò àâòîáóñû ëèøü äâóõ ìàðøðóòîâ ñ îäèíàêîâûì èíòåðâàëîì äâèæåíèÿ – 10 ìèíóò. Òîãäà,
ñîãëàñíî «ýëåêòðè÷åñêîé» ôîðìóëå, âåëè÷èíà ñðåäíåãî èí10 ⋅ 10
= 5 ìèíóò, à ñðåäíåå âðåìÿ
òåðâàëà ñîñòàâëÿåò
10 + 10
îæèäàíèÿ – âäâîå ìåíüøå, ò.å. 2 ìèíóòû 30 ñåêóíä. Çàìåòèì,
÷òî ýòîò îòâåò âåðåí, åñëè àâòîáóñû îäíîãî ìàðøðóòà ïîäõîäÿò ê îñòàíîâêå ðîâíî â ñåðåäèíàõ ïðîìåæóòêîâ ìåæäó
àâòîáóñàìè âòîðîãî ìàðøðóòà (ò.å. ñêàæåì, àâòîáóñû ïåðâîãî ìàðøðóòà ïðèõîäÿò â 10:00, 10:10, 10:20, …, à âòîðîãî –
â 10:05, 10:15, 10:25, …). Åñëè æå àâòîáóñû îáîèõ ìàðøðóòîâ
êóðñèðóþò àáñîëþòíî ñèíõðîííî (ò.å. ïîäúåçæàþò ê îñòàíîâêå «ïàðàìè» â îäíè è òå æå ìîìåíòû âðåìåíè), òî äëÿ íàñ
òàêîé ãðàôèê äâèæåíèÿ ðàâíîñèëåí ïðîñòî íàëè÷èþ åäèíñòâåííîãî ìàðøðóòà ñ èíòåðâàëîì 10 ìèíóò, òàê ÷òî âðåìÿ
îæèäàíèÿ «ïîäñêàêèâàåò» àæ äî 5 ìèíóò! Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè
ïðîìåæóòî÷íûõ ñäâèãàõ ìåæäó ìîìåíòàìè ïðèáûòèÿ àâòîáóñîâ ðàçíûõ ìàðøðóòîâ ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ òîæå
áóäåò ïðîìåæóòî÷íûì, íî îíî â ëþáîì ñëó÷àå çàâåäîìî
áîëüøå, ÷åì äàåò ïðèâåäåííàÿ âûøå ôîðìóëà. Òàêîé êàçóñ
çàñòàâëÿåò íàñ âíèêíóòü â çàäà÷ó íåñêîëüêî ãëóáæå.
Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì âàðèàíò, êîãäà íóæíûõ íàì ìàðøðóòîâ òîëüêî äâà è èíòåðâàë äâèæåíèÿ ó ïåðâîãî ìàðøðóòà
áîëüøå, ÷åì ó âòîðîãî, â öåëîå ÷èñëî ðàç: Ò1 = kÒ2 , ãäå k –
íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ïðè ýòîì ïóñòü ïîñëå ïðèáûòèÿ íà
îñòàíîâêó àâòîáóñà ïåðâîãî ìàðøðóòà ïðîõîäèò õ ìèíóò äî
ïîÿâëåíèÿ íà íåé î÷åðåäíîãî àâòîáóñà âòîðîãî ìàðøðóòà (à
äàëåå îíè ïîÿâëÿþòñÿ êàæäûå Ò2 ìèíóò). ßñíî, ÷òî 0 ≤ x < Ò2
(èáî åñëè x ≥ Ò2 , òî ïîÿâèòñÿ áîëåå ðàííèé àâòîáóñ âòîðîãî
ìàðøðóòà, ïîäîøåäøèé ê îñòàíîâêå ïîñëå àâòîáóñà ïåðâîãî
ìàðøðóòà). Âçÿâ çà «áàçó» áîëüøèé èíòåðâàë Ò1 , ìû ìîæåì
èçîáðàçèòü íà ãðàôèêå âðåìÿ îæèäàíèÿ tîæ áëèæàéøåãî
ïîäõîäÿùåãî àâòîáóñà â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè t, ïðîøåäøåãî ïîñëå î÷åðåäíîãî ïðèáûòèÿ àâòîáóñà ïåðâîãî ìàðøðóòà. Ãðàôèê èìååò õàðàêòåðíûé «ïèëîîáðàçíûé» âèä ñ óêëîíîì «çóáüåâ» ïîä óãëîì 45° . Íà ðèñóíêå 1 èçîáðàæåí ïðèìåð
äëÿ k = 4.
Ñïðàøèâàåòñÿ: ÷åìó ðàâíî â òàêîì ñëó÷àå ñðåäíåå âðåìÿ
îæèäàíèÿ? Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ äàâíî äàëà ñïîñîá îòâåòà
Ðèñ. 1
íà ýòîò âîïðîñ. Íàäî âñåãî ëèøü íàéòè ñóììàðíóþ ïëîùàäü
ïîä ãðàôèêîì íà âûáðàííîì èíòåðâàëå Ò1 , à çàòåì ïîäåëèòü
åå íà øèðèíó èíòåðâàëà (ò.å. íà òî æå Ò1 ).
Ïëîùàäü S ïîä ãðàôèêîì îïðåäåëÿåòñÿ áåç òðóäà, ïîòîìó
÷òî ãðàôèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ðàâíîáåäðåííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ, äëèíû êàòåòîâ êîòîðûõ
ïîäïèñàíû ïîä ãðàôèêîì. Ýòè òðåóãîëüíèêè – ñëåäóþùèå:
– îäèí òðåóãîëüíèê ñ êàòåòîì õ;
– (k – 1) òðåóãîëüíèêîâ ñ êàòåòîì Ò2 ;
– îäèí òðåóãîëüíèê ñ êàòåòîì (Ò2 − x ) .
Èòîãî:
S=
2
x2
T 2 (T − x )
kT 2
+ (k − 1) 2 + 2
= 2 − T2 x + x 2 .
2
2
2
2
Ïîýòîìó ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ ðàâíî
tîæ =
S
S
Ò
x
x2
=
= 2 − +
.
Ò1 kÒ2
2
k kÒ2
Êàê âèäíî, âåëè÷èíà tîæ çàâèñèò îò õ (â ÷åì ìû è íå
ñîìíåâàëèñü). Çíà÷åíèå õ íàì íåèçâåñòíî; ìû çíàåì òîëüêî,
÷òî îíî ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó [0; Ò2 ] . Ñëåäîâàòåëüíî,
íè÷åãî íå îñòàåòñÿ, êðîìå êàê óñðåäíèòü tîæ åùå è ïî õ. Äëÿ
ýòîãî íàäî ïîñòðîèòü ãðàôèê çàâèñèìîñòè tîæ îò õ, âû÷èñëèòü ïëîùàäü ïîä íèì è ïîäåëèòü íà ýòîò ðàç íà Ò2 . Îäíàêî
âîçíèêàåò ñóùåñòâåííîå çàòðóäíåíèå: çàâèñèìîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé, ïîýòîìó îïðåäåëèòü ïëîùàäü áóäåò íåïðîñòî.
Êîíå÷íî, èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå ïîçâîëÿåò ðåøèòü òàêóþ
çàäà÷ó î÷åíü ëåãêî. 5 Ìû, îäíàêî, íå ñòàíåì çäåñü óãëóáëÿòüñÿ â âûñøóþ ìàòåìàòèêó, à íàïðÿìóþ èñïîëüçóåì ðåçóëüòà5
Õîòÿ åùå Àðõèìåä ñóìåë êâàäðèðîâàòü ïàðàáîëó (ò.å. íàéòè
ïëîùàäü ïîä íåé), íå èñïîëüçóÿ âûñøóþ ìàòåìàòèêó (íà ýòó òåìó
ñì. ñòàòüþ À.Áåíäóêèäçå «Àðõèìåä è êâàäðàòóðà ïàðàáîëû» â
«Êâàíòå» ¹ 7 çà 1971 ã.). Íî âåäü íå êàæäûé èç íàñ Àðõèìåä!
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
òû, ïîëó÷åííûå â ýòîé îáëàñòè íàøèìè ñëàâíûìè ïðåäøåñòâåííèêàìè (íà÷èíàÿ ñ È.Íüþòîíà è Ã.Ëåéáíèöà). À ýòè
ðåçóëüòàòû ãîâîðÿò, ÷òî, âî-ïåðâûõ, ñðåäíåå ñóììû íåñêîëüêèõ âåëè÷èí åñòü ñóììà èõ ñðåäíèõ, à âî-âòîðûõ, äëÿ ëþáîãî
à > 0 ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = x a íà îòðåçêå [0; x0 ]
x0a
ðàâíî
.  äàííîì ñëó÷àå ìû, âû÷èñëÿÿ tîæ , èìååì
a +1
ìåñòî ñ äâóìÿ ôóíêöèÿìè îò õ: ýòî ïðîñòî õ, ñðåäíåå
Ò
çíà÷åíèå êîòîðîãî íà îòðåçêå [0; Ò2 ] ðàâíî 2 (÷òî è òàê
2
âïîëíå î÷åâèäíî), à òàêæå x2 , ñðåäíåå çíà÷åíèå êîòîðîãî
Ò2
ñîñòàâëÿåò 2 (à ýòî äàëåêî íå î÷åâèäíî!). Èòàê, ñðåäíåå
3
âðåìÿ îæèäàíèÿ, óñðåäíåííîå åùå è ïî õ (äëÿ óáåäèòåëüíîñòè äîáàâèì ñâåðõó âòîðóþ ÷åðòó), ñîñòàâëÿåò
tîæ =
Ò
T 2 T (3T1 − T2 )
Ò2 T2
T2
Ò
T
−
+ 2 = 2 − 2 = 2 − 2 = 2
.
2 6T1
6T1
2 2k 3kÒ2
2
6k
Ôîðìóëà âûøëà äîâîëüíî êîìïàêòíàÿ è íåñëîæíàÿ äëÿ
çàïîìèíàíèÿ. Ïðèìåíèâ åå äëÿ ðàññìîòðåííîãî âûøå ñëó÷àÿ
ñ äâóìÿ ìàðøðóòàìè, èíòåðâàëû äëÿ êîòîðûõ ñîñòàâëÿþò ïî
10 ìèíóò, ïîëó÷àåì, ÷òî ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ ðàâíî
10 ⋅ (3 ⋅ 10 − 10 )
1
= 3 ìèíóòû = 3 ìèíóòû 20 ñåêóíä, ÷òî ñó6 ⋅ 10
3
ùåñòâåííî ïðåâûøàåò íàéäåííûå íàìè ðàíåå 2 ìèíóòû 30
ñåêóíä.
 ïðèíöèïå, íåíàìíîãî ñëîæíåå çàäà÷à ñ îïðåäåëåíèåì
ñðåäíåãî âðåìåíè îæèäàíèÿ äëÿ äâóõ ìàðøðóòîâ, åñëè
èíòåðâàë äâèæåíèÿ îäíîãî èç íèõ íå äåëèòñÿ íàöåëî íà
èíòåðâàë äâèæåíèÿ âòîðîãî (ðàçâå ÷òî ãðîìîçäêîñòü ïðîìåæóòî÷íûõ ôîðìóë èçðÿäíî âîçðàñòàåò). À ðåçóëüòàò… îêàçûâàåòñÿ òåì æå! Ïîýòîìó ìû ìîæåì ïðèìåíèòü íàéäåííóþ
íàìè ôîðìóëó äëÿ äðóãîãî ðàíåå ðàññìîòðåííîãî ñëó÷àÿ ñ
äâóìÿ ìàðøðóòàìè, èíòåðâàëû äâèæåíèÿ êîòîðûõ ñîñòàâëÿþò 10 è 15 ìèíóò, è çäåñü ïîëó÷àåòñÿ
tîæ =
10 ⋅ (3 ⋅ 15 − 10 )
8
= 3 ìèíóòû ≈ 3 ìèíóòû 53 ñåêóíäû.
6 ⋅ 15
9
Ðàñõîæäåíèå ñ ïåðâîíà÷àëüíûì îòâåòîì (3 ìèíóòû) âåñüìà
âåëèêî!
Íó, à åñëè ïîäõîäÿùèõ ìàðøðóòîâ áîëüøå äâóõ, òî âû÷èñëèòåëüíûå òðóäíîñòè êàòàñòðîôè÷åñêè âîçðàñòàþò. Âèäèìî,
íóæåí êàêîé-òî ïðèíöèïèàëüíî èíîé ïîäõîä. Ëèáî ìîæíîòàêè èñïîëüçîâàòü òå ñàìûå «ýëåêòðè÷åñêèå» ôîðìóëû, íî
èìåòü â âèäó, ÷òî îíè äàþò îöåíêó ñíèçó. Îöåíêîé æå ñâåðõó
ìîæíî ñ÷èòàòü ïîëîâèíó íàèìåíüøåãî èç èíòåðâàëîâ. À
ïîòîì âçÿòü, äîïóñòèì, èõ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå. Êàêàÿíèêàêàÿ, à îöåíêà!
Ëþáîïûòåí òàêæå âàðèàíò, êîòîðûé ïóñòü íå ñëèøêîì
÷àñòî, íî âñå-òàêè âñòðå÷àåòñÿ: åñëè äëÿ íåêîòîðûõ ìàðøðóòîâ óêàçàí, êàê è ïðåæäå, èíòåðâàë äâèæåíèÿ, à äëÿ äðóãèõ
– «ïðÿìîå» ðàñïèñàíèå (ò.å. ïåðå÷èñëåíî âðåìÿ ïðèáûòèÿ
âñåõ àâòîáóñîâ äàííîãî ìàðøðóòà). Îêàçûâàåòñÿ, íàëè÷èå
ðàñïèñàíèÿ äàëåêî íå âñåãäà óïðîùàåò çàäà÷ó.
Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà èíòåðâàë äâèæåíèÿ óêàçàí òîëüêî äëÿ îäíîãî ïîäõîäÿùåãî íàì ìàðøðóòà,
äëÿ îïðåäåëåííîñòè – ïåðâîãî, è ïóñòü îí ðàâåí Ò1 , äëÿ
îñòàëüíûõ æå óäîâëåòâîðÿþùèõ íàñ ìàðøðóòîâ èìååòñÿ
«æåñòêîå» ðàñïèñàíèå. Ïîñìîòðèì íà íåãî è îïðåäåëèì,
ñêîëüêî âðåìåíè íàì ïðåäñòîèò îæèäàòü áëèæàéøåãî èç ýòèõ
«ðàñïèñàííûõ» ìàðøðóòîâ, ïóñòü åãî íîìåð – âòîðîé, è ýòî
âðåìÿ ðàâíî Ò2 . Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî åñëè Ò1 < T2 , òî â
ëþáîì ñëó÷àå ìû óåäåì íà àâòîáóñå ïåðâîãî ìàðøðóòà, íå
äîæäàâøèñü âòîðîãî! Ïîýòîìó çäåñü ñèòóàöèÿ àíàëîãè÷íà
åäèíñòâåííîìó èìåþùåìóñÿ ìàðøðóòó ñ èíòåðâàëîì Ò1 , è
ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ, êàê ìû îïðåäåëèëè âûøå, ðàâíî
ÊÐÓÆÎÊ
"#
Ò1
. Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè Ò1 = T2 ðåçóëüòàò àíàëîãè÷åí
2
(õîòÿ è ïîÿâëÿåòñÿ èñ÷åçàþùå ìàëûé øàíñ óåõàòü íà àâòîáóñå âòîðîãî ìàðøðóòà, åñëè îí ïîäúåäåò ê îñòàíîâêå âìåñòå
ñ ïåðâûì).
Èíîå äåëî – åñëè Ò1 > T2 . Çäåñü âñå çàâèñèò îò òîãî, êîãäà
íà îñòàíîâêó ïðèáóäåò àâòîáóñ ïåðâîãî ìàðøðóòà. Ïóñòü ýòî
ïðîèçîéäåò ÷åðåç ïðîìåæóòîê âðåìåíè t, ãäå t – âðåìÿ,
êîòîðîå ìîæåò ðàâíîâåðîÿòíî ïðèíèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå îò
0 äî Ò1 . Çàìåòèì, ÷òî åñëè t < Ò2 , òî íàì ïðèäåòñÿ æäàòü
ðîâíî t ìèíóò, è ìû óåäåì íà àâòîáóñå ïåðâîãî ìàðøðóòà,
åñëè æå t > Ò2 , òî ìû îòïðàâèìñÿ â ïóòü ÷åðåç Ò2 ìèíóò íà
àâòîáóñå âòîðîãî ìàðøðóòà (ïðè t = Ò2 â ýòîò ìîìåíò
âðåìåíè ïðèêàòÿò ñðàçó äâà àâòîáóñà). Ãðàôè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü âðåìåíè îæèäàíèÿ tîæ îò t ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå 2. 6
tîæ =
Ðèñ. 2
È çäåñü íå ñîñòàâëÿåò òðóäà íàéòè ïëîùàäü ïîä ãðàôèêîì,
T (2T1 − T2 )
, è ïîòîìó ñðåäíåå âðåìÿ
êîòîðàÿ ðàâíà S = 2
2
S T2 (2T1 − T2 )
. Íàïðèìåð, åñëè
îæèäàíèÿ ñîñòàâèò tîæ =
=
T1
2T1
èíòåðâàë äâèæåíèÿ îäíîãî àâòîáóñà ðàâåí 20 ìèíóòàì, à
âòîðîé, ñîãëàñíî ðàñïèñàíèþ, ïðèáóäåò ðîâíî ÷åðåç 10
ìèíóò, òî Ò1 = 20, Ò2 = 10, è ïîòîìó
tîæ =
10 ⋅ (2 ⋅ 20 − 10 )
1
= 7 ìèíóòû = 7 ìèíóò 30 ñåêóíä.
2 ⋅ 20
2
Åñëè æå àâòîáóñîâ ñ óêàçàííûì èíòåðâàëîì äâèæåíèÿ íå
ìåíüøå äâóõ, òî ðàñ÷åòíûå òðóäíîñòè ñòðåìèòåëüíî âîçðàñòàþò, è êàê èõ îäîëåòü – àâòîðó íåèçâåñòíî. Âïðî÷åì, íèêòî
íå çàïðåùàåò ÷èòàòåëþ ïîïðîáîâàòü â ýòîì ðàçîáðàòüñÿ
ñàìîñòîÿòåëüíî.
×òî æ, òåïåðü ìû çíàåì, ÷åì ñëåäóåò çàíÿòüñÿ âî âðåìÿ
âûíóæäåííîãî áåçäåëüÿ íà îñòàíîâêå îáùåñòâåííîãî òðàíñïîðòà – îöåíêîé âðåìåíè îæèäàíèÿ. È âåñüìà âåðîÿòíî, ÷òî
ïîêà ìû áóäåì ýòî äåëàòü, èç-çà ïîâîðîòà ïîÿâèòñÿ íóæíîå
íàì òðàíñïîðòíîå ñðåäñòâî. Òàê ÷òî â ëþáîì ñëó÷àå âðåìÿ íå
áóäåò ïîòåðÿíî çðÿ. À çàîäíî è ïîïðàêòèêóåìñÿ â óñòíîì
ñ÷åòå, ÷òî, ñîãëàñèòåñü, óæ òî÷íî íå ïîâðåäèò.
6 Êîå-êòî ìîæåò áûòü óäèâëåí: ïî÷åìó ýòî íà ðèñóíêå 2 êîñîé
îòðåçîê íàêëîíåí íå òàê, êàê îòðåçêè íà ðèñóíêå 1, à â äðóãóþ
ñòîðîíó? Äåëî â òîì, ÷òî ñàìà ïåðåìåííàÿ t, çíà÷åíèå êîòîðîé
îòêëàäûâàåòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé îñè, èìååò â îáîèõ ñëó÷àÿõ
íåñêîëüêî ðàçëè÷íûé ñìûñë. Äëÿ ðèñóíêà 1 ýòî âðåìÿ, ïðîøåäøåå
ñ ìîìåíòà îòúåçäà îò îñòàíîâêè î÷åðåäíîãî àâòîáóñà ïåðâîãî
ìàðøðóòà äî íàøåãî ïðèáûòèÿ íà îñòàíîâêó. À äëÿ ðèñóíêà 2 ýòî
âðåìÿ, ïðîøåäøåå îò íàøåãî ïðèáûòèÿ íà îñòàíîâêó äî ïîÿâëåíèÿ
íà íåé î÷åðåäíîãî àâòîáóñà ïåðâîãî ìàðøðóòà – ò.å. ïîíÿòèå êàê áû
«ñ îáðàòíûì çíàêîì»; îòñþäà è «îáðàòíûé» óêëîí.
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Âîò ÷òî-òî ñ ãîðî÷êè
ñïóñòèëîñü…
À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ
Â
ÝÒÎÉ ÑÒÀÒÜÅ ÑÎÁÐÀÍÛ ÇÀÄÀ×È, ÎÁÚÅÄÈÍÅÍÍÛÅ ÏÐÈ-
ñóòñòâèåì â èõ óñëîâèè íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Çàäà÷è ñ
íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ âñòðå÷àþòñÿ íå òîëüêî âî âñåõ ðàçäåëàõ ìåõàíèêè, íî è âî ìíîãèõ äðóãèõ îáëàñòÿõ ôèçèêè.
Ñïóñêàÿñü âíèç ïî ñêëîíó è çàáèðàÿñü îáðàòíî, ìû âñòðåòèì
ìíîãî ðàçíîîáðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ñþæåòî⠖ êàê ïðîñòûõ,
áàçîâûõ, òàê è äîñòàòî÷íî íåòðèâèàëüíûõ.
Èòàê – âïåðåä è ââåðõ!
Êèíåìàòèêà
Åñëè ñâîáîäíî ëåòÿùåå òåëî «ïðèçåìëÿåòñÿ» íå íà ãîðèçîíòàëüíóþ, à íà íàêëîííóþ ïëîñêîñòü, òî íåîáõîäèìî óìåòü
ïðàâèëüíî çàïèñûâàòü «óñëîâèå ïàäåíèÿ».
Çàäà÷à 1. Íà ãîðå ñ óãëîì íàêëîíà ê ãîðèçîíòó α = 30°
ãîðèçîíòàëüíî áðîñàþò ìÿ÷ ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 =
= 15 ì/ñ. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò òî÷êè áðîñàíèÿ âäîëü
íàêëîííîé ïëîñêîñòè óïàäåò ìÿ÷?
Ðåøåíèå. Âûáåðåì îñè x è y ñòàíäàðòíûì äëÿ ãîðèçîíòàëüíîãî áðîñêà îáðàçîì – ãîðèçîíòàëüíî è âåðòèêàëüíî
âíèç (ðèñ.1). Òîãäà çàâèñèìîñòü êîîðäèíàò ìÿ÷à îò âðåìåíè
èìååò âèä
gt2
x = v0 t,
y=
.
2
Îäíàêî óñëîâèå ïàäåíèÿ, ò.å. óñëîâèå ïåðåñå÷åíèÿ òðàåêòîðèè ìÿ÷à ñ
íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ,
âûãëÿäèò òàê:
y
Ðèñ. 1
= tg α .
x
Îòñþäà íàõîäèì âðåìÿ ïîëåòà è èñêîìîå ðàññòîÿíèå:
t=
2v0 tg α
,
g
s=
x
vt
2v2 tg α
= 0 = 0
= 30 ì .
cos α cos α
g cos α
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì èñïîëüçîâàòü
íåñòàíäàðòíûå äëÿ êèíåìàòèêè íàêëîííûå îñè – âäîëü
íàêëîííîé ïëîñêîñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåé.
Çàäà÷à 2 (ÅÃÝ). Ìàëåíüêèé øàðèê ïàäàåò ñâåðõó íà
íàêëîííóþ ïëîñêîñòü è óïðóãî îòðàæàåòñÿ îò íåå. Óãîë
íàêëîíà ïëîñêîñòè ê ãîðèçîíòó α = 30° . Íà êàêîå ðàññòîÿíèå ïî ãîðèçîíòàëè ïåðåìåùàåòñÿ øàðèê ìåæäó ïåðâûì è
âòîðûì óäàðàìè î
ïëîñêîñòü? Ñêîðîñòü
øàðèêà â ìîìåíò ïåðâîãî óäàðà íàïðàâëåíà
âåðòèêàëüíî âíèç è
ðàâíà v0 = 1 ì/ñ.
Ðåøåíèå. Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøàòü, êàê
ïðåäûäóùóþ. Ïîñëå
óäàðà øàðèê îòñêàêèâàåò
ïîä
óãëîì
β = π 2 − 2α (ðèñ.2),
Ðèñ. 2
åãî êîîðäèíàòû ìåíÿ-
þòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó
gt 2
.
2
Ïðè çàïèñè óñëîâèÿ ïàäåíèÿ íàäî ó÷åñòü, ÷òî îíî ïðîèñõîäèò íèæå íà÷àëüíîé òî÷êè, à îñü y íàïðàâëåíà ââåðõ:
y
= − tg α .
x
Ïîñëå òùàòåëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé (ñ ó÷åòîì ñâÿçè ìåæäó
óãëàìè β è α è âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé äëÿ ñèíóñà
ñóììû óãëîâ) ïîëó÷èì
2v
t= 0.
g
Ñîãëàñèòåñü, íåîæèäàííî ïðîñòî âûãëÿäèò âûðàæåíèå äëÿ
âðåìåíè ìåæäó ïåðâûì è âòîðûì óäàðàìè! Îòâåò, ñîîòâåòñòâåííî, òîæå ïðîñòîé:
2v2 cos β
x= 0
= 17,3 ñì.
g
Ïîíÿòü îòâåò äëÿ âðåìåíè, à òàêæå óâèäåòü äðóãèå îñîáåííîñòè äâèæåíèÿ øàðèêà ïîçâîëÿåò âûáîð íàêëîííûõ îñåé
êîîðäèíàò, íåïðèâû÷íûé äëÿ êèíåìàòèêè, íî ñîâåðøåííî ñòàíäàðòíûé äëÿ
äèíàìèêè (ðèñ.3).
Íà ïåðâûé âçãëÿä,
îïèñàíèå äâèæåíèÿ
óñëîæíÿåòñÿ: òåïåðü
äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ñ óñêîðåíèåì
ay = − g cos α ïî îñè
Ðèñ. 3
y è ñ óñêîðåíèåì
ax = g sin α ïî îñè x. Çàòî, âî-ïåðâûõ, ðåçêî óïðîùàåòñÿ
óñëîâèå ïàäåíèÿ: y = 0 è, âî-âòîðûõ, ñêîðîñòü vx ïðè ëþáîì
îòñêîêå íå ìåíÿåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îñè y ïðîèñõîäÿò
îäèíàêîâûå öèêëû ïîäúåìà è ïàäåíèÿ, ïðè êîòîðûõ øàðèê
óäàëÿåòñÿ îò ïëîñêîñòè íà îäèíàêîâûå ðàññòîÿíèÿ è êîòîðûå
çàíèìàþò îäèíàêîâîå âðåìÿ
2v0 y 2v0 cos α 2v0
,
=
=
t=
g cos α
g
ay
x = (v0 cos β ) t, y = (v0 sin β ) t −
à êîîðäèíàòà x ìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî ïî çàêîíó
( g sin α ) t2 ,
x = (v0 sin α ) t +
2
íå ÷óâñòâóÿ óäàðîâ. Èñêîìîå ðàññòîÿíèå ïî ãîðèçîíòàëè
òåïåðü ðàâíî x cos α .
Äèíàìèêà
Íà÷íåì ñ ïåðåõîäíîé ñèòóàöèè, êîòîðóþ ìîæíî íàçâàòü
«ïî÷òè êèíåìàòèêà».
Çàäà÷à 3 (ÅÃÝ). Íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåòñÿ ñ
ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ ïî ïðÿìîé AB. Óãîë
ìåæäó ïëîñêîñòÿìè
α = 30 ° . Ìàëåíüêàÿ
øàéáà íà÷èíàåò äâèæåíèå ââåðõ ïî íàêëîííîé
ïëîñêîñòè èç òî÷êè A ñ
íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ
v0 = 2 ì/ñ ïîä óãëîì
β = 60 ° ê ïðÿìîé AB Ðèñ. 4
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
(ðèñ.4). Â õîäå äâèæåíèÿ øàéáà ñúåçæàåò íà ïðÿìóþ AB â
òî÷êå B. Ïðåíåáðåãàÿ òðåíèåì ìåæäó øàéáîé è íàêëîííîé
ïëîñêîñòüþ, íàéäèòå ðàññòîÿíèå AB.
Ðåøåíèå. Íà øàéáó â ïðîöåññå äâèæåíèÿ äåéñòâóþò äâå
ñèëû – òÿæåñòè è íîðìàëüíîé ðåàêöèè. Ïðîåöèðóÿ âòîðîé
çàêîí Íüþòîíà íà îñè x è y, âûáðàííûå â ïëîñêîñòè
äâèæåíèÿ (ïî ëèíèè ÀÂ ââåðõ è ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåé),
ïîëó÷èì
ax = 0 , ay = − g sin α .
Âèäíî, ÷òî äâèæåíèå øàéáû â ýòîé ïëîñêîñòè ýêâèâàëåíòíî
äâèæåíèþ òåëà, áðîøåííîãî ïîä óãëîì β ê ãîðèçîíòó â ïîëå
òÿæåñòè ñ óñêîðåíèåì ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g′ = g sin α . Âîñïîëüçóåìñÿ áåç âûâîäà èçâåñòíîé ôîðìóëîé äëÿ äàëüíîñòè
ïîëåòà âäîëü îñè x è íàéäåì
ÀÂ = l =
v02 sin 2β v02 sin 2β
=
= 69 ñì.
g′
g sin α
Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ ïðîñòîé áàçîâîé çàäà÷è:
òåëî ïîëîæèëè íà øåðîõîâàòóþ íàêëîííóþ ïëîñêîñòü. ×òî
ñ íèì áóäåò?
Çàäà÷à 4. Ñ âåðøèíû íàêëîííîé ïëîñêîñòè âûñîòîé h =
= 5 ì è óãëîì íàêëîíà
ê ãîðèçîíòó α = 45 °
íà÷èíàåò ñîñêàëüçûâàòü òåëî. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ òåëà î
ïëîñêîñòü µ = = 0,19.
Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü
òåëà â êîíöå ñïóñêà.
Ðåøåíèå. ÏðåäïîëîÐèñ. 5
æèì, ÷òî òåëî äåéñòâèòåëüíî ñîñêàëüçûâàåò âíèç (ðèñ.5).  ýòîì ñëó÷àå íà òåëî
äåéñòâóåò åùå ñèëà òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà
N + mg + Fòð = ma
â ïðîåêöèÿõ íà îñè x è y âìåñòå ñ ôîðìóëîé äëÿ ñèëû òðåíèÿ
ñêîëüæåíèÿ îáðàçóþò ñèñòåìó óðàâíåíèé
mg sin α − Fòð = max ,
N − mg cos α = 0,
Fòð = µN,
ðåøåíèå êîòîðîé èìååò âèä
"%
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
êîíå÷íóþ ñêîðîñòü. Òàê êàê â ñèñòåìå åñòü òðåíèå, òî ÷àñòü
ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ïåðåéäåò âî âíóòðåííþþ, ïðè÷åì
óâåëè÷åíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ðàâíî ðàáîòå ñèëû òðåíèÿ:
mv2
h
mgh =
+ Fòð
,
2
sin α
ãäå Fòð = µN = µmg cos α . Åñëè µ > tg α , òî îòâåò äëÿ v2
ïîëó÷èòñÿ îòðèöàòåëüíûì. Çàäà÷è íà çàêîíû ñîõðàíåíèÿ
áóäóò ðàññìîòðåíû íèæå.
Çàìå÷àíèå 2. Îòðèöàòåëüíûé îòâåò äëÿ óñêîðåíèÿ ÿâëÿåòñÿ áåññìûñëåííûì òîëüêî ïðè íà÷àëüíîé ñêîðîñòè, ðàâíîé
íóëþ. Åñëè òåëó, ëåæàùåìó íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè
( µ > tg α ), ðåçêèì óäàðîì ñîîáùèòü íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü,
íàïðàâëåííóþ âíèç, òî îíî áóäåò òîðìîçèòüñÿ, î ÷åì è
ñâèäåòåëüñòâóåò îòðèöàòåëüíûé çíàê óñêîðåíèÿ.
Çàìå÷àíèå 3. Åñëè òåëó ñîîáùèòü íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü,
íàïðàâëåííóþ ââåðõ âäîëü ïëîñêîñòè, òî ñèëà òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ è ïðîåêöèÿ ñèëû òÿæåñòè áóäóò íàïðàâëåíû ïðîòèâ
ñêîðîñòè, è îòâåò äëÿ óñêîðåíèÿ ïðè ëþáîì µ ïðèìåò âèä
ax = g (sin α + µ cos α ) .
Õîòÿ óñêîðåíèÿ ïðè äâèæåíèè òåëà ââåðõ è âíèç âäîëü
íàêëîííîé ïëîñêîñòè ðàçëè÷íû, íî ñèëà òðåíèÿ â îáîèõ
ñëó÷àÿõ îäíà è òà æå: Fòð = µmg cos α . Òàêîé æå îíà îñòàåòñÿ, åñëè íà òåëî äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ñèëà, íàïðàâëåííàÿ
âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Êàê ìû óâèäèì, ýòî óäîáíî ïðè
èñïîëüçîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Îäíàêî ñëèøêîì ïðèâûêàòü ê ýòîìó íå ñëåäóåò, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ñèëà
òðåíèÿ èìååò èíîå çíà÷åíèå.
Çàäà÷à 5. Òåëî ïîäíèìàþò ââåðõ âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ïðèêëàäûâàÿ ê íåìó
ãîðèçîíòàëüíóþ ñèëó,
âåëè÷èíà êîòîðîé âäâîå
áîëüøå äåéñòâóþùåé íà
òåëî ñèëû òÿæåñòè.
Âûñîòà íàêëîííîé ïëîñê
î
ñ
ò
è
h = 3 ì, åå äëèíà l = 5 ì.
Íàéäèòå óñêîðåíèå òåëà,
åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ µ = 0,2.
Ðèñ. 6
Ðåøåíèå.  ýòîì ñëó÷àå âíåøíÿÿ ñèëà, ðàâíàÿ F = 2mg, òîæå èìååò ïðîåêöèè íà
îáå îñè (ðèñ.6):
F cos α − mg sin α − Fòð = max ,
N = mg cos α, Fòð = µmg cos α, ax = g (sin α − µ cos α ) .
N − mg cos α − F sin α = 0,
Ïðè íà÷àëüíîì óñëîâèè v0 = 0 (òåëî îòïóñêàþò áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè) îòâåò äëÿ óñêîðåíèÿ èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë
òîëüêî â ñëó÷àå ax ≥ 0 . Åñëè æå îòâåò äëÿ óñêîðåíèÿ
ïîëó÷èòñÿ îòðèöàòåëüíûì (ò.å. áåññìûñëåííûì), òî ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî òåëî äâèæåòñÿ, îêàçûâàåòñÿ íåâåðíûì.
Ïðè µ > tg α òåëî îñòàíåòñÿ â ïîêîå è íà íåãî áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ, êîòîðóþ íàõîäèì èç âòîðîãî çàêîíà
Íüþòîíà: Fòð = mg sin α , ïðè ýòîì Fòð < µN .
Ïðè ÷èñëåííûõ äàííûõ èç óñëîâèÿ óñêîðåíèå ïîëó÷àåòñÿ
ïîëîæèòåëüíûì, è íàì îñòàåòñÿ íàéòè êîíå÷íóþ ñêîðîñòü
òåëà èç êèíåìàòè÷åñêîãî ñîîòíîøåíèÿ
h
v2 = 2ax
.
sin α
Ïîëó÷àåì
Fòð = µN.
v = 2gh (1 − µ ctg α ) = 9 ì/ñ.
Çàìå÷àíèå 1. Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøàòü ñ ïîìîùüþ çàêîíà
ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, íå íàõîäÿ óñêîðåíèÿ, à ñðàçó îïðåäåëèâ
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, íàõîäèì
ax = g (2 cos α − sin α − µ cos α − 2µ sin α ) = 6 ì ñ2 .
Åñëè áû âåëè÷èíà ax ïîëó÷èëàñü îòðèöàòåëüíîé, òî ýòî íå
îáÿçàòåëüíî îçíà÷àëî áû, ÷òî òåëî ïîêîèòñÿ. Åùå îäíà
âîçìîæíîñòü – òåëî ñúåçæàåò âíèç, íåñìîòðÿ íà äåéñòâèå
âíåøíåé ñèëû. Ëó÷øå âñåãî ðåøèòü çàäà÷ó åùå ðàç, íàïðàâèâ
îñü x âíèç, à ñèëó òðåíèÿ ââåðõ, è åñëè îòâåò îïÿòü ïîëó÷èòñÿ
îòðèöàòåëüíûì, òî ìîæíî áóäåò îäíîçíà÷íî óòâåðæäàòü, ÷òî
òåëî ïîêîèòñÿ!
Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè çàäà÷è, ãäå äâèæåíèå òåëà
ïî øåðîõîâàòîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè ïðîèñõîäèò ïî ëèíèè
åå ñêàòà. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñèòóàöèþ, êîãäà ñèëû è ñêîðîñòè íå ëåæàò â ïëîñêîñòè ñêàòà.
Çàäà÷à 6. Òåëó òîë÷êîì ñîîáùèëè ñêîðîñòü, íàïðàâëåííóþ ãîðèçîíòàëüíî âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè (ðèñ.7).
"&
ÊÂÀÍT 2013/¹3
Íàéäèòå âåëè÷èíó
óñêîðåíèÿ òåëà â
íà÷àëüíûé ìîìåíò,
åñëè sin α = 0,2, à
µ= 3 3.
Ðåøåíèå. Äâèæåíèå òåëà ïðîèñõîäèò
âäîëü ïëîñêîñòè, ãäå
íà íåãî äåéñòâóþò
ñèëà òðåíèÿ, íàïðàâÐèñ. 7
ëåííàÿ âäîëü îñè
x, è ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû òÿæåñòè, íàïðàâëåííàÿ âäîëü îñè y.
Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèÿõ íà òðè îñè è
ôîðìóëó äëÿ ñèëû òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ:
Fòð = max ,
mg sin α = may ,
N − mg cos α = 0, F
Fòð = µN.
Âûðàçèâ îòñþäà ax è ay , íàéäåì âåëè÷èíó óñêîðåíèÿ:
a = ax2 + ay2 = g µ2 cos2 α + sin2 α = 6 ì c2 .
Ñëåäóþùóþ çàäà÷ó, âíåøíå ñâÿçàííóþ ñ ïðåäûäóùåé,
ìîæíî îòíåñòè ê îëèìïèàäíûì.
Çàäà÷à 7. Íà áåñêîíå÷íîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè, îáðàçóþùåé ñ ãîðèçîíòîì óãîë α , ïîêîèòñÿ øàéáà. Êîýôôèöèåíò
òðåíèÿ øàéáû î ïëîñêîñòü µ = tg α . Øàéáå ñîîáùàþò
íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0 , íàïðàâëåííóþ ãîðèçîíòàëüíî âäîëü
ïëîñêîñòè. Íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü ñîñêàëüçûâàíèÿ øàéáû.
Ðåøåíèå.  ñëó÷àå µ = tg α ñèëà òðåíèÿ Fòð = µN =
= µmg cos α = tg α ⋅ mg cos α = mg sin α ðàâíà ïðîåêöèè ñèëû
òÿæåñòè íà îñü õ, íàïðàâëåííóþ âíèç âäîëü ëèíèè ñêàòà. Èç
ýòîãî, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ÷åðåç äîñòàòî÷íî áîëüøîå
âðåìÿ øàéáà áóäåò äâèãàòüñÿ âíèç âäîëü ëèíèè ñêàòà ñ
ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ vóñò , î êîòîðîé êàê ðàç è ãîâîðèòñÿ â óñëîâèè
çàäà÷è. Ñèëà òðåíèÿ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè íàïðàâëåíà ïðîòèâ
ñêîðîñòè øàéáû, à
Ðèñ. 8
ïðîåêöèÿ ñèëû òÿæåñòè – âíèç âäîëü
ëèíèè ñêàòà. Åñëè â êàêîé-òî ìîìåíò ñêîðîñòü íàïðàâëåíà
ïîä óãëîì β ê ëèíèè ñêàòà, òî ïðîåêöèÿ âòîðîãî çàêîíà
Íüþòîíà íà íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè èìååò âèä (ðèñ.8)
∆v
m
= − F + F cos β ,
∆t
ãäå îáîçíà÷åíî F = mg sin α = Fòð è ó÷òåíî, ÷òî ïðîåêöèÿ
óñêîðåíèÿ íà íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè ðàâíà áûñòðîòå èçìåíåíèÿ ìîäóëÿ ñêîðîñòè. Àíàëîãè÷íî, ïðîåêöèÿ âòîðîãî çàêîíà
Íüþòîíà íà îñü õ âûãëÿäèò òàê:
∆v
m x = F − F cos β .
∆t
Ñêëàäûâàÿ óðàâíåíèÿ ïî÷ëåííî, íàõîäèì
∆v ∆vx
+
= 0 , ò.å. v + vx = const .
∆t
∆t
 íà÷àëüíûé ìîìåíò v = v0 , vx = 0, ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ
äâèæåíèè v = vx = vóñò . Ïîëó÷àåì
v0
.
2
 ñëåäóþùåé çàäà÷å ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè äâèæåòñÿ íå
îäíî, à äâà âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåëà.
Çàäà÷à 8. Äâà
áðóñêà ìàññàìè m1
= 4 êã è m2 = 6 êã,
ñâÿçàííûå íèòüþ,
ñîñêàëüçûâàþò ñ
íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñîñòàâëÿþùåé
ñ ãîðèçîíòîì óãîë
α = 60 ° (ðèñ.9). Ðèñ. 9
Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó íèæíèì áðóñêîì è ïëîñêîñòüþ µ1 = = 0,15, à
ìåæäó âåðõíèì áðóñêîì è ïëîñêîñòüþ µ2 = = 0,4. Íàéäèòå
ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè.
Ðåøåíèå. Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ êàæäîãî
òåëà â ïðîåêöèè íà îñü õ (ïðîåêòèðîâàíèå íà îñü ó äëÿ
êðàòêîñòè îïóñêàåì):
v0 + 0 = 2vóñò , îòêóäà vóñò =
m1g sin α − T − Fòð1 = m1a,
m2 g sin α + T − Fòð2 = m2a.
Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèÿ Fòð1 = µ1N1 = µ1m1g cos α , Fòð2 =
= µ2 N2 = µ2m2 g cos α è èñêëþ÷àÿ èç ýòîé ñèñòåìû óñêîðåíèå
à, ïîëó÷èì
T=
m1m2
g (µ2 − µ1 )cos α = 3 H.
m1 + m2
Îáðàòèòå âíèìàíèå – èñêëþ÷èâ óñêîðåíèå, ìû ìîæåì íå
óâèäåòü, ÷òî ñèñòåìà òåë îñòàåòñÿ èç-çà òðåíèÿ íåïîäâèæíîé!
×òîáû âûÿñíèòü, ïðè êàêîì óñëîâèè òåëà äâèæóòñÿ, íàäî
íàéòè óñêîðåíèå è çàïèñàòü óñëîâèå åãî ïîëîæèòåëüíîñòè.
Ïîëó÷èì
µ m + µ2m2
tg α > 1 1
.
m1 + m2
Ïðè÷åì íå îáÿçàòåëüíî òðåáîâàòü, ÷òîáû îáà êîýôôèöèåíòà
òðåíèÿ áûëè ìåíüøå tg α . Íàïðèìåð, åñëè m2 m1 , òî
µ2 ìîæåò áûòü áîëüøå tg α (ïåðâîå òåëî ïîòÿíåò çà ñîáîé
âòîðîå).
Åñëè òåëî íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè, òî óñêîðåíèå íàïðàâëåíî íå âäîëü ïëîñêîñòè, à ê öåíòðó
îêðóæíîñòè.
Çàäà÷à 9. Ïîëûé êîíóñ ñ óãëîì ïðè âåðøèíå 2α âðàùàåòñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè, ñîâïàäàþùåé ñ åãî îñüþ ñèììåòðèè. Âåðøèíà êîíóñà îáðàùåíà âíèç. Íà âíóòðåííåé
ïîâåðõíîñòè êîíóñà íà ðàññòîÿíèè L îò âåðøèíû íàõîäèòñÿ íåáîëüøàÿ øàéáà, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ êîòîðîé î
ïîâåðõíîñòü êîíóñà ðàâåí µ . Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ óãëîâîé
ñêîðîñòè âðàùåíèÿ êîíóñà øàéáà áóäåò íåïîäâèæíà îòíîñèòåëüíî êîíóñà?
Ðèñ. 10
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
Ðåøåíèå. Íà óãëîâóþ ñêîðîñòü åñòü äâà îãðàíè÷åíèÿ. Ïðè
ìàêñèìàëüíîì çíà÷åíèè ñêîðîñòè ω1 øàéáà íà÷èíàåò ïðîñêàëüçûâàòü è äâèãàòüñÿ íàðóæó, ìàêñèìàëüíàÿ ñèëà òðåíèÿ
ïîêîÿ ïðè ýòîì íàïðàâëåíà âíèç âäîëü ïëîñêîñòè (ðèñ.10).
Ïðè ìèíèìàëüíîì çíà÷åíèè ñêîðîñòè ω2 øàéáà íà÷èíàåò
ñîñêàëüçûâàòü âíèç, à ñèëà òðåíèÿ íàïðàâëåíà ââåðõ âäîëü
ïëîñêîñòè. Ïîñêîëüêó óñêîðåíèå øàéáû ïåðïåíäèêóëÿðíî ê
îñè âðàùåíèÿ, íàïðàâèì îñü õ ïî óñêîðåíèþ, à îñü ó –
âåðòèêàëüíî ââåðõ.  ïåðâîì ñëó÷àå (ñì. ðèñ.10) âòîðîé
çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà ýòè îñè èìååò âèä
"'
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
øàéáà âåðíóëàñü â èñõîäíóþ òî÷êó?
Ðåøåíèå. Ïðè çàïèñè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè íàäî
ó÷åñòü, ÷òî ïðè óäàðå ýíåðãèÿ íå òåðÿåòñÿ, à ÷àñòü ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè, ïåðåøåäøàÿ ïðè äâèæåíèè ñ òðåíèåì âî âíóòðåííþþ, ðàâíà ìîäóëþ ðàáîòû ñèëû òðåíèÿ:
mv02
h 

= mgh + µmg cos α  2
mgh +
.
2
 sin α 
Mû ó÷ëè, ÷òî ñèëà òðåíèÿ íà âñåì ïóòè – âíèç è ââåðõ – ðàâíà
µmg cos α . Ïîëó÷àåì
N cos α + Fòð sin α = mω12 L sin α,
N sin α − Fòð cos α − mg = 0.
Ïîäñòàâëÿÿ óñëîâèå íà÷àëà ïðîñêàëüçûâàíèÿ Fòð = µN è
èñêëþ÷àÿ N, ïîëó÷àåì
ω1 =
g cos α + µ sin α
.
L sin α sin α − µ cos α
Òàêàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü äîñòèæèìà òîëüêî ïðè óñëîâèè
µ < tg α . Àíàëîãè÷íûå ðàñ÷åòû äëÿ ω2 äàþò
ω2 =
g cos α − µ sin α
.
L sin α sin α + µ cos α
Ìèíèìàëüíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü ñóùåñòâóåò ïðè óñëîâèè
µ < ctg α . Èìåííî ïðè ýòîì óñëîâèè øàéáà ñîñêàëüçûâàåò
âíèç ñ ïîêîÿùåéñÿ íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Ïðèâåäåì òàêæå
çíà÷åíèå ïðîìåæóòî÷íîé óãëîâîé ñêîðîñòè, ïðè êîòîðîé
ñèëà òðåíèÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü:
g cos α
ω0 =
.
L sin α sin α
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
Íà÷íåì îïÿòü ñ ïåðåõîäíîé «ïî÷òè äèíàìè÷åñêîé» çàäà÷è.
Çàäà÷à 10. Óêëîí ó÷àñòêà øîññå ðàâåí h = 1 ì íà êàæäûå
s = 20 ì ïóòè. Ñïóñêàÿñü ïîä óêëîí ïðè âûêëþ÷åííîì
äâèãàòåëå, àâòîìîáèëü äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî ñî ñêîðîñòüþ
v = 60 êì/÷. Êàêóþ ïîëåçíóþ ìîùíîñòü äîëæåí ðàçâèâàòü
äâèãàòåëü ýòîãî àâòîìîáèëÿ, ÷òîáû îí ïîäíèìàëñÿ ïî
òîìó æå óêëîíó ñ òîé æå ñêîðîñòüþ? Ìàññà àâòîìîáèëÿ
m = 1500 êã.
Ðåøåíèå. Ïåðâàÿ ôðàçà â óñëîâèè ïîçâîëÿåò íàì îïðåäåëèòü óãîë íàêëîíà: sin α = h/s = 1/20. Ïðè ñïóñêå ïðîåêöèÿ
ñèëû òÿæåñòè êîìïåíñèðóåòñÿ ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ ñî ñòîðîíû äîðîãè è âîçäóõà:
mg sin α − Fc = 0 .
Ïîñêîëüêó ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà äàííûé
àâòîìîáèëü, çàâèñèò îò åãî ñêîðîñòè è ïîêðûòèÿ äîðîãè, òî
ïðè ïîäúåìå îíà áóäåò òàêîé æå. Èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà
â ïðîåêöèè âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè:
Fò − Fc − mg sin α = 0
íàéäåì ñèëó òÿãè Fò è ïîëåçíóþ ìîùíîñòü P:
P = Fòv = (2mg sin α ) v = 25 êÂò.
Ñëåäóþùèå äâå çàäà÷è ìîæíî ðåøàòü ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé êèíåìàòèêè è äèíàìèêè, íî ýíåðãåòè÷åñêèé ïîäõîä
ñóùåñòâåííî ñîêðàùàåò ðåøåíèå.
Çàäà÷à 11. Íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñèíóñ óãëà íàêëîíà
êîòîðîé ê ãîðèçîíòó ðàâåí 0,28, íà âûñîòå h = 2,1 ì ëåæèò
íåáîëüøàÿ øàéáà. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ øàéáû î ïëîñêîñòü µ = 0,5. Êàêóþ ñêîðîñòü íàäî ñîîáùèòü øàéáå âíèç
âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ÷òîáû ïîñëå àáñîëþòíî óïðóãîãî óäàðà îá óïîð, íàõîäÿùèéñÿ ó îñíîâàíèÿ ïëîñêîñòè,
Ðèñ. 11
v0 = 4µgh ctg α = 12 ì/ñ.
Çàäà÷à 12 (ÅÃÝ). Íåáîëüøàÿ øàéáà ïîñëå óäàðà ñêîëüçèò
ââåðõ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè èç òî÷êè À (ðèñ.11).  òî÷êå
 íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü áåç èçëîìà ïåðåõîäèò â íàðóæíóþ
ïîâåðõíîñòü ãîðèçîíòàëüíîé òðóáû ðàäèóñîì r. Åñëè â
òî÷êå À ñêîðîñòü øàéáû ïðåâîñõîäèò v0 = 4 ì/ñ, òî â
òî÷êå  øàéáà îòðûâàåòñÿ îò îïîðû. Äëèíà íàêëîííîé
ïëîñêîñòè ÀÂ = L = 1 ì, óãîë α = 30 ° . Êîýôôèöèåíò
òðåíèÿ ìåæäó íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ è øàéáîé µ = 0,2.
Íàéäèòå âíåøíèé ðàäèóñ òðóáû.
Ðåøåíèå.
Ïðè ïåðåõîäå íà ïîâåðõíîñòü òðóáû ñèëà ðåàê
öèè N äîëæíà îáðàòèòüñÿ â íîëü, íî ïðè ýòîì ðàäèóñ
êðèâèçíû òðàåêòîðèè äîëæåí áûòü ðàâåí ðàäèóñó òðóáû r
(ïðè ìåíüøåé ñêîðîñòè øàéáà ñêîëüçèò ïî òðóáå). Çàïèøåì
âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà îñü õ, íàïðàâëåííóþ ê
öåíòðó îêðóæíîñòè:
mv2
mg cos α =
.
r
Ñêîðîñòü v ñâÿæåì ñ v0 ñ ïîìîùüþ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè:
mv02 mv2
=
+ mgL sin α + (µmg cos α ) L ,
2
2
ãäå ïîñëåäíèé ÷ëåí ðàâåí ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè, ïåðåøåäøåé âî âíóòðåííþþ (â òåïëî) çà ñ÷åò ðàáîòû ñèëû òðåíèÿ.
Ïîëó÷àåì
v02
r =
− 2L tg α − 2µL = 0,3 ì.
g cos α
Ìàãíåòèçì
Óìåíèå ïðàâèëüíî ðàáîòàòü ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ ïîìîãàåò ñïðàâëÿòüñÿ ñ ðàçíîîáðàçíûìè çàäà÷àìè íà ñîñêàëüçûâàíèå ïåðåìû÷åê ïî íàêëîííûì ðåëüñàì.
Çàäà÷à 13. Ïî Ï-îáðàçíîé ðàìêå, íàêëîíåííîé ê ãîðèçîíòó ïîä óãëîì, ñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí 0,8, è ïîìåùåííîé â
îäíîðîäíîå âåðòèêàëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå, ñîñêàëüçûâàåò
ïåðåìû÷êà ìàññîé m = 20 ã. Äëèíà ïåðåìû÷êè l = 10 ñì, åå
ñîïðîòèâëåíèå R = 1,2 ìÎì, èíäóêöèÿ ïîëÿ  = 0,1 Òë,
êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó ïåðåìû÷êîé è ðàìêîé µ = 0,5.
Íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïåðåìû÷êè.
Ñîïðîòèâëåíèåì ðàìêè ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå. Ïðè äâèæåíèè ïåðåìû÷êè ñî ñêîðîñòüþ v (ðèñ.12)
â íåé âîçíèêàåò ÝÄÑ èíäóêöèè, ðàâíàÿ
#
ÊÂÀÍT 2013/¹3
- = Bvl sin (90° + α ) = Bvl
. cos ÷àÿ.
Åñëè A < l, ò.å. v0 < ωl , òî äâèæåíèå öåïî÷êè äî
α
îñòàíîâêè
ïðîèñõîäèò ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó è ñîâïàäàÂñëåäñòâèå ýòîãî â êîíåò
ñ
äâèæåíèåì
ìàÿòíèêà îò öåíòðà êîëåáàíèé äî êðàéíåé
òóðå ïðîòåêàåò òîê
òî÷êè. Èìåííî òàêîé ñëó÷àé ðåàëèçóåòñÿ â äàííîé çàäà÷å.
Bvl cos α
Âðåìÿ äî îñòàíîâêè ðàâíî ÷åòâåðòè ïåðèîäà êîëåáàíèé:
I=
,
R
T 2π ω π
l
t= =
=
= 0,47 c .
è íà ïåðåìû÷êó äåéñòâó4
4
2 g sin α
åò ñèëà Àìïåðà ñî ñòîÅñëè æå A > l, ò.å. v0 > ωl , òî öåïî÷êà öåëèêîì çàåäåò íà
ðîíû âåðòèêàëüíîãî
íàêëîííóþ
ïëîñêîñòü ðàíüøå, ÷åì îñòàíîâèòñÿ. Âðåìÿ t1
ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ðàâäâèæåíèÿ
äî
ýòîãî ìîìåíòà íàäî îïðåäåëèòü èç óðàâíåíèÿ
íàÿ
Ðèñ. 12
l = A sin ωt1 , íàéòè ñêîðîñòü öåïî÷êè â ýòîò ìîìåíò è çàòåì
2 2
B l v cos α
âû÷èñëèòü âðåìÿ t2 äâèæåíèÿ äî îñòàíîâêè.
FÀ = IBl =
R
Óïðàæíåíèÿ
è íàïðàâëåííàÿ ãîðèçîíòàëüíî ïðîòèâ äâèæåíèÿ (â ñîîòâåò1. Èç íåêîòîðîé òî÷êè íà ñêëîíå ãîðû áðîñàþò ââåðõ ïî
ñòâèè ñ ïðàâèëîì Ëåíöà). Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ óñòàñêëîíó òåëî ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 = 21 ì/ñ ïîä óãëîì
íîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿ ïåðåìû÷êè â ïðîåêöèÿõ íà îñè õ è ó
α = 60° ê ãîðèçîíòó. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò òî÷êè áðîñêà
èìååò âèä
mg sin α − FÀ cos α − Fòð = 0,
N − mg cos α − FÀ sin α = 0,
Fòð = µN.
Ðåøèâ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó, íàéäåì
v=
mgR sin α − µ cos α
=2ì ñ.
B2l2 cos α cos α + µ sin α
Êîëåáàíèÿ
Ñëåäóþùàÿ çàäà÷à, õîòÿ â íåé íåò ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèõñÿ ïðîöåññîâ, ðåøàåòñÿ ìåòîäàìè òåîðèè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé.
Çàäà÷à 14. Öåïî÷êà äëèíîé l = 45 ñì, ñêîëüçèâøàÿ ïî
ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ñî ñêîðîñòüþ v0 = 1 ì/ñ, íà÷èíàåò âúåçæàòü íà íàêëîííóþ ïëîñêîñòü ïåðïåíäèêóëÿðíî
åå íèæíåé ãðàíèöå. ×åðåç êàêîå âðåìÿ öåïî÷êà îñòàíîâèòñÿ? Óãîë íàêëîíà ïëîñêîñòè α = 30 ° . Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ìîìåíò, êîãäà
÷àñòü öåïî÷êè äëèíîé
x
è
ìàññîé
Ðèñ. 13
m ( x ) = mx l çàåõàëà
íà íàêëîííóþ ïëîñêîñòü (ðèñ.13). Åñëè çàïèñàòü äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà öåïî÷êè
âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà íàïðàâëåíèå åãî
äâèæåíèÿ, à çàòåì ïðîñóììèðîâàòü ýòè óðàâíåíèÿ, òî ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåïî÷êè (âíóòðåííèå ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ýëåìåíòàìè öåïî÷êè ñîêðàùàþòñÿ)
mx′′ = −m(x)g sin α ,
êîòîðîå ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé
g sin α
x =0.
l
Äâèæåíèå öåïî÷êè ïðîèñõîäèò ïî çàêîíó ãàðìîíè÷åñêèõ
êîëåáàíèé, ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x = 0,
x′′ +
x = A sin ωt ,
ãäå ω = ( g sin α ) l . Ñêîðîñòü öåïî÷êè ïðè ýòîì èçìåíÿåòñÿ
ïî çàêîíó
v
v = ωA cos ωt = v0 cos ωt , îòêóäà A = 0 .
ω
 çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé âîçìîæíû äâà ñëó-
óïàäåò òåëî, åñëè óãîë íàêëîíà ãîðû β = 30° ?
2. Ìàëåíüêèé áðóñîê íàõîäèòñÿ íà âåðøèíå íàêëîííîé ïëîñêîñòè äëèíîé l = 26 ì è âûñîòîé h = 10 ì. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ
ìåæäó áðóñêîì è ïëîñêîñòüþ µ = 0,45 . Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ
ñêîðîñòü íàäî ñîîáùèòü áðóñêó, ÷òîáû îí äîñòèã îñíîâàíèÿ
ïëîñêîñòè?
3. Êëèí ìàññîé m1 ñ óãëîì íàêëîíà α íàõîäèòñÿ íà ãëàäêîé
ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Ñ âåðøèíû êëèíà ñ âûñîòû h
íà÷èíàåò ñîñêàëüçûâàòü ìàëåíüêèé áðóñîê ìàññîé m2 . Ïðåíåáðåãàÿ òðåíèåì, íàéäèòå óñêîðåíèå êëèíà è âðåìÿ äâèæåíèÿ
áðóñêà äî íèæíåé òî÷êè êëèíà.
4. Íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè âûñîòîé h = 3 ì è äëèíîé l = 9 ì
ëåæèò òåëî ìàññîé m = 6 êã. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ñèëó, íàïðàâëåííóþ âäîëü ïëîñêîñòè, íàäî ïðèëîæèòü ê
òåëó, ÷òîáû ñäâèíóòü åãî ñ ìåñòà? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ µ = 0,5 .
5. Äâà áðóñêà, ñâÿçàííûå íèòüþ, ïîäíèìàþò ââåðõ âäîëü
íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ïðèêëàäûâàÿ ê âåðõíåìó áðóñêó ìàññîé
m1 = 2 êã ñèëó F = 30 Í, ïàðàëëåëüíóþ ïëîñêîñòè. Êîýôôèöèåíòû òðåíèÿ ìåæäó áðóñêàìè è ïëîñêîñòüþ îäèíàêîâû. Íàéäèòå
ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè, åñëè ìàññà íèæíåãî áðóñêà m2 = 4 êã.
6. Ìîòîöèêëèñò ïðîèçâîäèò ïîâîðîò íà íàêëîííîì òðåêå. Âî
ñêîëüêî ðàç ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ áîëüøå ìèíèìàëüíîé, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ µ = 0,75, à óãîë
íàêëîíà òðåêà ê ãîðèçîíòó α = 45° ? Ïîâîðîò íàäî ïðîéòè áåç
ïðîñêàëüçûâàíèÿ êîëåñ ïî òðåêó.
7. Ñòåðæåíü ìàññîé m = 20 ã è äëèíîé l = 5 ñì ïîëîæèëè
ãîðèçîíòàëüíî íà ãëàäêóþ íàêëîííóþ ïëîñêîñòü, ñîñòàâëÿþùóþ ñ ãîðèçîíòîì óãîë, òàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí 0,3. Âñÿ ñèñòåìà
íàõîäèòñÿ â âåðòèêàëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé B =
= 150 ìÒë. Ïðè êàêîé ñèëå òîêà â ñòåðæíå îí áóäåò íàõîäèòüñÿ
â ðàâíîâåñèè?
8. Ãîðèçîíòàëüíûé ïðîâîäÿùèé ñòåðæåíü ïðÿìîóãîëüíîãî
ñå÷åíèÿ ïîñòóïàòåëüíî äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì ââåðõ ïî ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè â âåðòèêàëüíîì îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ïî ñòåðæíþ ïðîòåêàåò òîê I. Óãîë íàêëîíà ïëîñêîñòè α = 30° . Îòíîøåíèå ìàññû ñòåðæíÿ ê åãî äëèíå m L =
= 0,1 êã/ì. Ìîäóëü èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B = 0,2 Òë.
Óñêîðåíèå ñòåðæíÿ a = 1,9 ì ñ2 . ×åìó ðàâíà ñèëà òîêà â ñòåðæíå?
9. Ïî Ï-îáðàçíîé ðàìêå, íàêëîíåííîé ïîä óãëîì α = 30° ê
ãîðèçîíòó è ïîìåùåííîé â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ïëîñêîñòè ðàìêè, íà÷èíàåò ñîñêàëüçûâàòü áåç òðåíèÿ ïåðåìû÷êà ìàññîé m = 30 ã. Äëèíà ïåðåìû÷êè l = 10 ñì, åå
ñîïðîòèâëåíèå R = 2 ìÎì, èíäóêöèÿ ïîëÿ  = 0,1 Òë. Íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïåðåìû÷êè. Ñîïðîòèâëåíèåì ðàìêè ïðåíåáðå÷ü.
10. Òîíêóþ öåïî÷êó äëèíîé l = 45 ñì óäåðæèâàþò çà âåðõíèé
êîíåö íà ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñîñòàâëÿþùåé óãîë
α = 30 ° ñ ãîðèçîíòîì. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå îñâîáîæäåíèÿ
öåïî÷êè îíà íàïîëîâèíó ïîêèíåò íàêëîííóþ ïëîñêîñòü, åñëè
âíà÷àëå åå íèæíèé êîíåö íàõîäèëñÿ ó êðàÿ íàêëîííîé ïëîñêîñòè?
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
XXI Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà
«Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí»
Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá (ÌÈÊ) «Ãëþîí» â ðàìêàõ ìåæäóíàðîäíîé ïðîãðàììû «Äåòè. Èíòåëëåêò. Òâîð÷åñòâî» ïðè ó÷àñòèè ÌÃÓ èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, Èíñòèòóòà
ïåäàãîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé îäàðåííîñòè ÐÀÎ (ã. Íîâîñèáèðñê) è ïðè ïîääåðæêå Ôîíäà íåêîììåð÷åñêèõ ïðîãðàìì
«Äèíàñòèÿ», êîìïàíèé «Êèðèëë è Ìåôîäèé», «Ê̖Îáðàçîâàíèå», «Ôèçèêîí», «1Ñ», Èçäàòåëüñêîãî Äîìà «Ïåðâîå
ñåíòÿáðÿ» è æóðíàëîâ «Êâàíò», «Ïîòåíöèàë», «Ôèçèêà â
øêîëå» è «Ôèçèêà äëÿ øêîëüíèêîâ» ïðîâåë XXI Ìåæäóíàðîäíóþ òåñò-ðåéòèíãîâóþ îëèìïèàäó «Èíòåëëåêòóàëüíûé
ìàðàôîí».
Îëèìïèàäà ïðîõîäèëà ñ 7 ïî 14 îêòÿáðÿ 2012 ãîäà íà
ïîëóîñòðîâå Õàëêèäèêè (Ãðåöèÿ). Íà îëèìïèàäó ïðèåõàëè
ó÷àñòíèêè èç ðàçíûõ ðåãèîíîâ Ðîññèè è Êàçàõñòàíà, à òàêæå
äâå êîìàíäû èç Íîðâåãèè. Îäàðåííûå øêîëüíèêè, ïðîÿâèâøèå èíòåðåñ ê ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì, ñîðåâíîâàëèñü â
êîìàíäíûõ è èíäèâèäóàëüíûõ òóðàõ ïî ìàòåìàòèêå, ôèçèêå,
èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé.  äåñÿòûé ðàç ó÷àñòâîâàëè
â îëèìïèàäå øêîëüíèêè, èíòåðåñóþùèåñÿ ýêîëîãèåé è áèîëîãèåé, ñîðåâíóÿñü â êîìàíäíîì òóðå ïî èñòîðèè íàó÷íûõ
èäåé è îòêðûòèé è â èíäèâèäóàëüíûõ òóðàõ ïî áèîëîãèè è
ýêîëîãèè. Ïåäàãîãè è ïñèõîëîãè ñîáðàëèñü íà ñâîþ íàó÷íóþ
ñåññèþ â ÷åòâåðòûé ðàç.  ðàìêàõ îëèìïèàäû ñîñòîÿëñÿ
I Ìåæäóíàðîäíûé ìàòåìàòè÷åñêèé òóðíèð èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà äëÿ ó÷àùèõñÿ 5–8 êëàññîâ (îëèìïèéñêèé ðåçåðâ).
Àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí-2012» ïî ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì â êîìàíäíîì çà÷åòå ñòàëà êîìàíäà ëèöåÿ 2 èç ãîðîäà Àëüìåòüåâñêà
(Ðîññèÿ). Åé áûë âðó÷åí ãëàâíûé ïðèç ñîðåâíîâàíèé –
Ñóïåðêóáîê. Êîìàíäà âûñòóïèëà î÷åíü ðîâíî, îíà áûëà
ïðèçåðîì â òóðàõ ïî ìàòåìàòèêå, èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è
îòêðûòèé è ôèçèêå. Âòîðîå ìåñòî â îáùåì çà÷åòå çàíÿëà
êîìàíäà ëèöåÿ 4 èç ãîðîäà Òàãàíðîãà (Ðîññèÿ). Îíà òàêæå
çàíÿëà ïåðâûå ìåñòî ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå. Êîìàíäå áûë
âðó÷åí áîëüøîé êóáîê çà âòîðîå ìåñòî â îáùåì çà÷åòå è
ñîîòâåòñòâóþùèå äèïëîìû çà óñïåõè â êîìàíäíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ. Íà òðåòüå ìåñòî âûøëà êîìàíäà ëèöåÿ «Êëàññè÷åñêèé» èç ãîðîäà Ðîñòîâ-íà-Äîíó (Ðîññèÿ). Îíà òàêæå çàíÿëà
ïåðâîå ìåñòî ïî èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé. Åé áûë
âðó÷åí êóáîê è äèïëîì.
 èíäèâèäóàëüíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû ñòàëà Àííà Øàëîâà, ó÷åíèöà ëèöåÿ 4 èç
Òàãàíðîãà. Åé áûëè âðó÷åíû áîëüøàÿ çîëîòàÿ ìåäàëü, ìàëàÿ
çîëîòàÿ ìåäàëü çà ïåðâîå ìåñòî ïî ôèçèêå è ìàëàÿ áðîíçîâàÿ
ìåäàëü çà òðåòüå ìåñòî ïî ìàòåìàòèêå. Âòîðûì ïðèçåðîì â
îáùåì çà÷åòå ñòàëà Àíàñòàñèÿ Êîðíèåâñêàÿ (ëèöåé «Êëàññè÷åñêèé», Ðîñòîâ-íà-Äîíó), çàâîåâàâøàÿ òàêæå ìàëóþ ñåðåáðÿíóþ ìåäàëü çà âòîðîå ìåñòî ïî ìàòåìàòèêå. Áîëüøóþ
áðîíçîâóþ ìåäàëü â îáùåì çà÷åòå çàâîåâàë Äìèòðèé Êèçåëü
(ëèöåé 4, Òàãàíðîã). Àëåêñàíäð Ñòàôååâñêèé (ëèöåé 4, Òàãàíðîã) ïîëó÷èë ìàëóþ ñåðåáðÿíóþ ìåäàëü çà âòîðîå ìåñòî
ïî ôèçèêå, Áóëàò Èáðàãèìîâ (ëèöåé 2, Àëüìåòüåâñê) áûë
íàãðàæäåí çà òðåòüå ìåñòî ïî ôèçèêå ìàëîé áðîíçîâîé
ìåäàëüþ.
Âñå ïîáåäèòåëè è ïðèçåðû ïîëó÷èëè ðàçíûå ïîäàðêè è
ïðèçû îò îðãàíèçàòîðîâ è ñïîíñîðîâ îëèìïèàäû.
Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá «Ãëþîí» ïðèãëàøàåò ðåãèîíàëüíûå öåíòðû, øêîëû, ëèöåè è ãèìíàçèè, ðàáîòàþùèå
ñ îäàðåííûìè äåòüìè, ïðèíÿòü ó÷àñòèå â XXII Ìåæäóíàðîä-
íîé îëèìïèàäå «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí», êîòîðàÿ ïðîéäåò â îêòÿáðå 2013 ãîäà â Èñïàíèè.
Çàÿâêè íà ó÷àñòèå ïðèñûëàéòå ïî àäðåñó: 115522 Ðîññèÿ,
Ìîñêâà, Ïðîëåòàðñêèé ïðîñïåêò, ä.15/6, êîðï.2, ÌÈÊ «Ãëþîí»
Òåëåôîí: (495)517-8014, ôàêñ: (495)396-8227
Å-mail: gluon@yandex.ru
Ñàéò: www.gluon.ru
ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
ÏÎ ÔÓÍÄÀÌÅÍÒÀËÜÍÛÌ ÍÀÓÊÀÌ
Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð
Ìàòåìàòèêà
1. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà
29, èìåþùåå ñóììó öèôð, ðàâíóþ 29, è îêàí÷èâàþùååñÿ íà 29.
2. Íà ñòîðîíå ÀÑ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ âçÿòà òî÷êà D òàêàÿ,
÷òî BD = BC, ïðè÷åì DC = 2AD. Ïóñòü Å – òî÷êà êàñàíèÿ
îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê BDC, ñ îòðåçêîì BD.
Íàéäèòå âåëè÷èíó óãëà AED, åñëè ∠C = 40° .
3. Â ëåâûé íèæíèé óãîë øàõìàòíîé äîñêè 8 × 8 ïîñòàâëåíû â ôîðìå êâàäðàòà 9 ôèøåê. Ëþáàÿ ôèøêà ìîæåò ïðûãàòü
íà ñâîáîäíîå ïîëå ÷åðåç ðÿäîì ñòîÿùóþ ôèøêó (ïî äèàãîíàëè, ïî âåðòèêàëè è/èëè ïî ãîðèçîíòàëè). Ìîæíî ëè çà
íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî òàêèõ õîäîâ (ïðûæêîâ) ïîñòàâèòü âñå
ôèøêè âíîâü â ôîðìå êâàäðàòà, íî â äðóãîì óãëó?
4. Íàéäèòå ïîëîæèòåëüíûå ðåøåíèÿ (x > 0; y > 0)
óðàâíåíèÿ
1
3
y
x
+
+
= .
x + y x +1 y +1 2
5. Â òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ óãîë Ñ ðàâåí γ . Íà áèññåêòðèñû
óãëîâ À è Â ýòîãî òðåóãîëüíèêà îïóùåíû ïåðïåíäèêóëÿðû
BK è AL (òî÷êè K è L ëåæàò íà ñîîòâåòñòâóþùèõ áèññåêòðèñàõ). Íàéäèòå KL, åñëè À = ñ.
6. Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå
(x
2
− y2
)
2
= 16 y + 1 .
7. Ñóùåñòâóåò ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
a1, a2, … , an òàêàÿ, ÷òî ñóììà a12 + a22 + … + ak2 ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì êâàäðàòîì ïðè âñåõ: à) k ≤ 2 ; á) k ≤ 3 ; â) k ≤ 4 ;
ã) k ≤ n , ãäå n – ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
Ôèçèêà
1. Êîðäîâàÿ ìîäåëü ñàìîëåòà ìàññîé m ïðèêðåïëåíà ê
øíóðó äëèíîé L è ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ìàññû (ðèñ.1).
Ñàìîëåò äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v è îïèñûâàåò
ãîðèçîíòàëüíóþ îêðóæíîñòü
íà òàêîé âûñîòå, ÷òî øíóð
îáðàçóåò óãîë θ ñ ïîâåðõíîñòüþ çåìëè âî âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ. Íàéäèòå íàòÿæåíèå
øíóðà ïðè çàäàííîì óãëå θ .
Íàéäèòå òàêæå ïðåäåëüíûé
óãîë θïðåä , ïðè êîòîðîì ñàìî- Ðèñ. 1
#
ÊÂÀÍT 2013/¹3
ëåò åùå ñïîñîáåí ëåòàòü.
2. Îñü êîëåñà ìàññîé
m è ðàäèóñîì r ïðèêðåïëåíà ñ ïîìîùüþ ïðóæèíû
ê âåðòèêàëüíîé îïîðå
(ðèñ.2). Êîëåñî ñìåùàþò
Ðèñ. 2
âëåâî íà ðàññòîÿíèå L è
îòïóñêàþò. Îïðåäåëèòå, ÷åðåç êàêîå âðåìÿ êîëåñî âåðíåòñÿ
â ïåðâîíà÷àëüíîå ïîëîæåíèå, ñ÷èòàÿ, ÷òî ïðè äâèæåíèè
êîëåñî íå ïðîñêàëüçûâàåò. Æåñòêîñòü ïðóæèíû ðàâíà k,
ìàññà êîëåñà ñîñðåäîòî÷åíà â åãî îáîäå, ò.å. ìàññîé îñè è
ñïèö ïðåíåáðåãàåì.
3 Äâà îäèíàêîâûõ öèëèíäðà ñîäåðæàò îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà ïðè îäíîé è òîé æå
òåìïåðàòóðå. Â ïåðâîì öèëèíäðå ãàç íàõîäèòñÿ ïîä òÿæåëûì
ïîðøíåì ìàññîé m = 20 êã, âî âòîðîì öèëèíäðå ïîðøåíü
íåâåñîìûé, íî îí ïîääåðæèâàåòñÿ ïðóæèíîé
òàê, ÷òî âûñîòà ïîðøíåé íàä äíîì îáîèõ
öèëèíäðîâ îäèíàêîâà è
ðàâíà Í = 40 ñì
(ðèñ.3). Ïðè ïîäâåäåíèè ê öèëèíäðàì îäíîãî è òîãî æå êîëè÷åñòâà
òåïëîòû Q = 200 Äæ
âûñîòà ïîëîæåíèÿ ïîðÐèñ. 3
øíåé èçìåíèëàñü. Îïðåäåëèòå, íà êàêèõ âûñîòàõ îñòàíîâÿòñÿ ïîðøíè. Äàâëåíèå
ñðåäû íàä ïîðøíÿìè ðàâíî íóëþ. Íåäåôîðìèðîâàííàÿ ïðóæèíà êàñàåòñÿ äíà öèëèíäðà.
4.  ãîðèçîíòàëüíîì öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå äëèíîé l =
= 2 ì íàõîäÿòñÿ n = 9 ïîäâèæíûõ òåïëîíåïðîíèöàåìûõ
ïîðøíåé, äåëÿùèõ ñîñóä íà n + 1 îòñåê. Ïåðâîíà÷àëüíî
òåìïåðàòóðà ãàçà âî âñåõ îòñåêàõ ðàâíà T0 = 300 Ê , îáúåìû
âñåõ îòñåêîâ îäèíàêîâû. Çàòåì ãàç â ñàìîì ëåâîì îòñåêå
íàãðåâàþò äî òåìïåðàòóðû T1 = 500 Ê, à òåìïåðàòóðó ãàçà â
äðóãèõ îòñåêàõ ïîääåðæèâàþò ðàâíîé T0 . Íà ñêîëüêî ñìåñòÿòñÿ ïðè ýòîì ñàìûå êðàéíèå ïðàâûé è ëåâûé ïîðøíè?
5. Ãðóçèê, ïðèâÿçàííûé ê íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòè,
âðàùàåòñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè âîêðóã òî÷êè Î ïî
îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 5 ñì. Åñëè íèòü ïåðåðåçàòü â
ìîìåíò, êîãäà ãðóçèê íàõîäèòñÿ â âåðõíåé òî÷êå, îí óïàäåò
íà çåìëþ â òî÷êå À; åñëè íèòü ïåðåðåçàòü â ìîìåíò, êîãäà
ãðóçèê íàõîäèòñÿ â íèæíåé òî÷êå îêðóæíîñòè, îí óïàäåò íà
çåìëþ â òî÷êå Â. Èçâåñòíî, ÷òî òî÷êè À è  ðàâíîóäàëåíû îò
òî÷êè O, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ íà âûñîòå h íàä ïîâåðõíîñòüþ
çåìëè. Íàéäèòå âûñîòó h, íà êîòîðîé íàõîäèòñÿ öåíòð
îêðóæíîñòè (òî÷êà Î), åñëè À = L = 48 ñì.
6. Íà ïëîñêóþ ïîâåðõíîñòü òîíêîé ëèíçû, íàõîäÿùåéñÿ â
âîçäóõå, ïàäàåò óçêèé ïó÷îê ñâåòà, ïàðàëëåëüíûé åå ãëàâíîé
îïòè÷åñêîé îñè. Íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì çà ëèíçîé,
íàáëþäàåòñÿ ñâåòëîå ïÿòíî, äèàìåòð êîòîðîãî â k ðàç ìåíüøå
äèàìåòðà ïàäàþùåãî ïó÷êà, ïðè÷åì k = 3. Íàéäèòå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n ñòåêëà ëèíçû, åñëè ïîñëå ïîãðóæåíèÿ
ëèíçû ñ ýêðàíîì (ïðè íåèçìåííîì ðàññòîÿíèè ìåæäó íèìè)
â âîäó äèàìåòð ñâåòëîãî ïÿòíà íà ýêðàíå íå èçìåíÿåòñÿ.
Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû nâ = 4 3 .
7. Äâå ÷àñòèöû ðàâíîé ìàññû ñ îäèíàêîâûìè ýëåêòðè÷åñêèìè çàðÿäàìè â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè
L = 45 ñì äðóã îò äðóãà
è èìåþò ñêîðîñòè, ðàâíûå ïî âåëè÷èíå è îðèÐèñ. 4
åíòèðîâàííûå â îäíîé
ïëîñêîñòè ïîä óãëàìè α = 45° ê ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàðÿäû
ïðÿìîé (ðèñ.4). Ñóììàðíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèö â
ýòîò ìîìåíò ðàâíà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè èõ ýëåêòðè÷åñêîãî
âçàèìîäåéñòâèÿ. Äî êàêîãî ìèíèìàëüíîãî ðàññòîÿíèÿ ñáëèçÿòñÿ ÷àñòèöû?
Óñòíûé êîìàíäíûé òóð
Ìàòåìàòèêà
1. Íà ïðÿìîé ïîñëåäîâàòåëüíî îòëîæåíû îòðåçêè ÀÂ = 2,
ÂÑ = ÑD = 1, DE = 2. Òî÷êà Ì ëåæèò âíå ýòîé ïðÿìîé,
ïðè÷åì èç íåå âñå óêàçàííûå îòðåçêè âèäíû ïîä ðàâíûìè
óãëàìè. ×òî ýòî çà óãëû?
2. Ïóñòü f ( x ) = ax 2 + bx + c . Èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèå
f ( x ) = x íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé. Ìîæåò ëè èìåòü
êîðíè óðàâíåíèå f ( f ( x )) = x ?
3. ×èñëà 1, 2, 3, …, 200 ðàçáèëè íà 50 íåïåðåñåêàþùèõñÿ
ãðóïï. Âñåãäà ëè ñðåäè ýòèõ ãðóïï íàéäåòñÿ òàêàÿ, ÷òî â íåé
ñîäåðæàòñÿ òðè ÷èñëà, ÿâëÿþùèåñÿ ñòîðîíàìè íåêîòîðîãî
òðåóãîëüíèêà?
4. Íà ãèïîòåíóçå ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âçÿëè
òî÷êó Ì è îïóñòèëè èç íåå ïåðïåíäèêóëÿðû íà êàòåòû. Êàê
âûáðàòü òî÷êó Ì, ÷òîáû ðàññòîÿíèå ìåæäó îñíîâàíèÿìè
ïðîâåäåííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ áûëî êàê ìîæíî ìåíüøå?
5. Áàáà ßãà ïîëó÷èëà îò Çìåÿ Ãîðûíû÷à äâîå ïåñî÷íûõ
÷àñîâ, îäíè – íà 3 ìèíóòû, äðóãèå – íà 5 ìèíóò. Ïîìîãèòå
Áàáå ßãå ñâàðèòü çåëüå, åñëè îíî âàðèòñÿ ðîâíî 4 ìèíóòû.
6. Ìîæåò ëè äåñÿòè÷íàÿ çàïèñü êâàäðàòà öåëîãî ÷èñëà
îêàí÷èâàòüñÿ öèôðàìè: à) 75; á) 421?
7. Íà óãëó äîìà, ðàçìåðû êîòîðîãî 6 ìåòðîâ íà 4 ìåòðà,
ïðèâÿçàíà ñîáàêà. Äëèíà ïðèâÿçè 10 ìåòðîâ. Íàéäèòå ïëîùàäü ó÷àñòêà, äîñòóïíîãî ñîáàêå. Âíóòðåííîñòü äîìà ñîáàêå
íåäîñòóïíà (÷èñëî π îêðóãëèòå äî 3).
8. Äåëèòñÿ ëè ÷èñëî 262 + 1 íà 231 + 216 + 1 ?
9. Òî÷êè A1 , B1 è C1 ñèììåòðè÷íû öåíòðó I âïèñàííîé â
òðåóãîëüíèê ABC îêðóæíîñòè îòíîñèòåëüíî åãî ñòîðîí ÂÑ,
ÀÑ è ÀÂ ñîîòâåòñòâåííî. Îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî
òðåóãîëüíèêà A1B1C1, ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó À. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, åñëè
ÂÑ = à.
10. Ïî êðóãó ëåæàò 10 ìîíåò îðëàìè ââåðõ. Ðàçðåøàåòñÿ
îäíîâðåìåííî ïåðåâåðíóòü ëèáî 4 ïîäðÿä ëåæàùèå ìîíåòû,
ëèáî ïî äâå ìîíåòû ñïðàâà è ñëåâà îò êàêîé-òî ìîíåòû.
Ìîæíî ëè â ðåçóëüòàòå òàêèõ îïåðàöèé ïîëó÷èòü âñå ìîíåòû
îðëàìè âíèç?
Ôèçèêà
1. Ìîñò. (5 ìèí) Ïàðàáîëè÷åñêèé ìîñò ñâÿçûâàåò äâà
áåðåãà ðåêè øèðèíîé d. Êàêîâ ðàäèóñ êðèâèçíû ìîñòà â åãî
âåðõíåé òî÷êå, åñëè ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ â ýòîé òî÷êå ñîñòàâëÿåò 60 êì/÷?
2. Ðûáàê. (5 ìèí) Ðûáàê ïëûë íà ìîòîðíîé ëîäêå ïî ðåêå,
çàöåïèë øëÿïîé çà ìîñò, è îíà ñâàëèëàñü â âîäó. Ðûáàê
ïîïëûë äàëüøå, íî ÷åðåç ïîë÷àñà, îáíàðóæèâ ïðîïàæó,
ðåøèë âåðíóòüñÿ çà øëÿïîé. Ëîäêà äîãíàëà øëÿïó íà 4 êì
íèæå ìîñòà. ×åìó ðàâíà ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè?
3. ×åðåïàõè (5 ìèí) ×åòûðå ÷åðåïàõè íàõîäÿòñÿ â óãëàõ
êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé a è íà÷èíàþò äâèãàòüñÿ îäíîâðåìåííî
ñ îäèíàêîâîé è ïîñòîÿííîé ïî ìîäóëþ ñêîðîñòüþ v. Ïðè ýòîì
ïåðâàÿ ÷åðåïàõà âñå âðåìÿ äåðæèò êóðñ íà âòîðóþ, âòîðàÿ –
íà òðåòüþ, òðåòüÿ – íà ÷åòâåðòóþ, ÷åòâåðòàÿ – íà ïåðâóþ.
×åðåç êàêîå âðåìÿ è ãäå ÷åðåïàõè âñòðåòÿòñÿ?
4. Ñïóòíèê. (7 ìèí) Èçâåñòíî, ÷òî èç-çà òîðìîæåíèÿ
ñïóòíèêà â àòìîñôåðå âûñîòà åãî îðáèòû óìåíüøàåòñÿ. Êàê
èçìåíÿåòñÿ ïðè ýòîì ñêîðîñòü ñïóòíèêà? Êàê ñîãëàñóåòñÿ ýòî
èçìåíåíèå ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè?
#!
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
5. Ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå. (7 ìèí) Èçâåñòíî, ÷òî
ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ âûñîòîé ñòîëáà
æèäêîñòè. Êàê èçìåíèòñÿ äàâëåíèå íà äíî êàæäîãî èç ïðåäñòàâëåííûõ
íà ðèñóíêå 5 ñîñóäîâ ïðè
íàãðåâàíèè âîäû?
6. Äðîáü. (5 ìèí) Íà
âåñàõ óðàâíîâåøåí
ÿùèê, íàïîëíåííûé äðîÐèñ. 5
áüþ. Îñòàíóòñÿ ëè âåñû
â ðàâíîâåñèè, åñëè çàìåíèòü ýòó äðîáü áîëåå êðóïíîé, íî
ñäåëàííîé èç òîãî æå ìàòåðèàëà?
7. Ïàññàæèð. (7 ìèí) Ïàññàæèð ïåðâîãî âàãîíà ïðîãóëèâàëñÿ ïî ïåððîíó. Êîãäà îí áûë ó ïîñëåäíåãî âàãîíà, ïîåçä
òðîíóëñÿ è íà÷àë äâèãàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì a. Ïàññàæèð ñðàçó
æå ïîáåæàë ê ñâîåìó âàãîíó. Ñ êàêîé íàèìåíüøåé ñêîðîñòüþ
îí äîëæåí áåæàòü, ÷òîáû óñïåòü ñåñòü â ïåðâûé âàãîí? Äëèíà
ïîåçäà L.
8. Ðåøåòî. (7 ìèí) Â ñêàçêàõ ãåðîè óìåëè íîñèòü âîäó â
ðåøåòå. Ñêîëüêî âîäû ìîæíî óíåñòè â êðóãëîì ðåøåòå
ðàäèóñîì 10 ñì, åñëè ðàçìåð åãî ÿ÷åéêè 1 × 1 ìì?
9. Ðåéñ ñàìîëåòà. (10 ìèí) Îöåíèòå ðàçíîñòü ïîêàçàíèé
ïðóæèííûõ âåñîâ, íàõîäÿùèõñÿ â ñàìîëåòå, ëåòÿùåì èç
Ìîñêâû âî Âëàäèâîñòîê è èç Âëàäèâîñòîêà â Ìîñêâó.
10. Ìîêðîå ìåñòî. (7 ìèí) Îöåíèòå ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé
äîëæíà ëåòåòü ìóõà, ÷òîáû ïîñëå óäàðà î ñòåíó îò íåå íå
îñòàëîñü «è ìîêðîãî ìåñòà».
Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé
Ìàòåìàòèêà
1. Êòî èç âåëèêèõ ìàòåìàòèêîâ ââåë â óïîòðåáëåíèå
çíàêè äåëåíèÿ (:) â 1684 ãîäó è óìíîæåíèÿ ( ⋅ ) â 1698 ãîäó?
2. Àïîëëîíèé Ïåðãñêèé (îê. 250–170 ãã. äî í.ý.) – îäèí èç
âåëè÷àéøèõ ãåîìåòðîâ Äðåâíåé Ãðåöèè – â îäíîì èç ñâîèõ
òðóäîâ ñôîðìóëèðîâàë è ðåøèë òàêóþ çàäà÷ó:
Äàí îòðåçîê ÀÂ. Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê Ì
òàêèõ, ÷òî äëÿ èõ ïðîåêöèé M′ íà îòðåçîê ÀÂ âûïîëíÿåòñÿ
ðàâåíñòâî AM′ ⋅ M′B = MM′2 .
Ðåøèòå ýòó çàäà÷ó.
3. Â 1844 ãîäó áåëüãèéñêèé ìàòåìàòèê Ý.Êàòàëàí âûñêàçàë
ãèïîòåçó, ÷òî ïàðà ÷èñåë 23 = 8 è 32 = 9 – åäèíñòâåííàÿ
ïàðà ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ öåëîé áîëüøåé ñòåïåíüþ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà. Ãèïîòåçà Êàòàëàíà ïðîäåðæàëàñü ïî÷òè 160 ëåò,
íåñìîòðÿ íà óñèëèÿ ìíîãèõ ìàòåìàòèêîâ. Ëèøü â 2003 ãîäó
ðóìûíñêèé ìàòåìàòèê Ï.Ìèõàéëåñêó äîêàçàë åå èñòèííîñòü.
Ïðåäëàãàåì âàì çàäà÷ó ñâÿçàííóþ ñ ãèïîòåçîé Êàòàëàíà:
Ðåøèòå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå
x
y
3 – 2 = 1.
4. Âûäàþùèéñÿ íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ã.Ìèíêîâñêèé (1864–
1909) â ñâîèõ èññëåäîâàíèÿõ ïî «ãåîìåòðèè ÷èñåë» èñïîëüçîâàë íåêîòîðûå íîâûå ìåòðèêè (ðàññòîÿíèÿ) íà ïëîñêîñòè.
Îí çàìåíÿë îáû÷íûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè íà ïëîñêîñòè íà íîâûå â ñîîòâåòñòâèè ñ òàêèì îïðåäåëåíèåì:
Ïóñòü F – ïðîèçâîëüíàÿ âûïóêëàÿ öåíòðàëüíî ñèììåòðè
÷åñêàÿ ôèãóðà íà ïëîñêîñòè. Íîðìîé OA âåêòîðà OA
OA
íàçîâåì îòíîøåíèå ðàññòîÿíèé
, ãäå A′ – òî÷êà ïåðåñåOA′
÷åíèÿ ëó÷à ÎÀ ñ ãðàíèöåé ôèãóðû F.
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî íîðìà âåêòîðà îáëàäàåò âñåìè
ñâîéñòâàìè ìîäóëÿ â îáû÷íîé ãåîìåòðèè, ò.å. λa = λ a ,
a + b ≤ a + b . Ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè À è  íàçîâåì
OA − OB .  ðîëè îêðóæíîñòè åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ïðè
òàêîì îïðåäåëåíèè âûñòóïàåò ãðàíèöà ôèãóðû F.
Çàïèøèòå ôîðìóëó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè A ( x, y )
è B ( x1, y1 ) , åñëè ôèãóðà F – ýòî êâàäðàò íà êîîðäèíàòíîé
ïëîñêîñòè, çàäàâàåìûé íåðàâåíñòâîì x + y ≤ 1 .
5. Â 2006 ãîäó ìîëîäîé àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòèê Òåðåíñ
Òàî áûë óäîñòîåí âûñøåé íàãðàäû Ìåæäóíàðîäíîãî ñîþçà
ìàòåìàòèêî⠖ Ôèëäñîâñêîé ïðåìèè – çà äîêàçàòåëüñòâî
ñëåäóþùåé óäèâèòåëüíîé òåîðåìû: äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî N ñóùåñòâóåò àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ äëèíû N,
ñîñòîÿùàÿ èç ïðîñòûõ ÷èñåë.
Äîêàæèòå, ÷òî ðàçíîñòü àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè,
ñîñòîÿùåé èç 15 ïðîñòûõ ÷èñåë, áîëüøå 30000.
Ôèçèêà
1. Â 1922 ãîäó Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ôèçèêå áûëà
âðó÷åíà «Çà çàñëóãè â èññëåäîâàíèè ñòðîåíèÿ àòîìîâ è
èñïóñêàåìîãî èìè èçëó÷åíèÿ». Ó÷åíûé, êîòîðîìó îíà áûëà
ïðèñóæäåíà, ïðîæèë äîëãóþ æèçíü, áûë ïðèçíàí âî âñåì
ìèðå, èìåë âûäàþùèåñÿ íàó÷íûå äîñòèæåíèÿ â îáëàñòè
êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Åùå áóäó÷è ìàãèñòðîì, îí ïîíÿë, ÷òî
êëàññè÷åñêèå ôèçè÷åñêèå òåîðèè íå ìîãóò ïîëíîñòüþ îáúÿñíèòü ýëåêòðîìàãíèòíûå ÿâëåíèÿ. Îí ðàáîòàë ñ Ý.Ðåçåðôîðäîì è äèñêóòèðîâàë ñ À.Ýíøòåéíîì. Åãî èìåíåì íàçâàíà
òåîðèÿ ñòðîåíèÿ àòîìà. Îí áûë îäíèì èç ñîçäàòåëåé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Îí ñôîðìóëèðîâàë ïðèíöèï, ñâÿçûâàþùèé
êëàññè÷åñêóþ è êâàíòîâóþ ôèçèêó, òàêæå íîñÿùèé åãî èìÿ.
Îí áûë ãëàâîé íàó÷íîé øêîëû è ñîçäàë èíñòèòóò, êîòîðûé
ñåé÷àñ íîñèò åãî èìÿ. ×åëîâåê ñ øèðîêèìè èíòåðåñàìè è
áîãàòûì ÷óâñòâîì þìîðà, îí ëþáèë ìóçûêó, çàíèìàëñÿ
ñïîðòîì (îòëè÷íî èãðàë â ôóòáîë), à â ãîäû âòîðîé ìèðîâîé
âîéíû åìó ïðèøëîñü áåæàòü èç ðîäíîé ñòðàíû â áîìáîâîì
ëþêå ñàìîëåòà. Â 1975 ãîäó Íîáåëåâñêóþ ïðåìèþ ïî ôèçèêå
«Çà îòêðûòèå âçàèìîñâÿçè ìåæäó êîëëåêòèâíûì äâèæåíèåì
è äâèæåíèåì îòäåëüíîé ÷àñòèöû â àòîìíîì ÿäðå è ðàçâèòèå
òåîðèè ñòðîåíèÿ àòîìíîãî ÿäðà, áàçèðóþùåéñÿ íà ýòîé
âçàèìîñâÿçè» ïîëó÷èë åãî ñûí.
à) Êòî ýòîò ó÷åíûé?
á) Â êàêîé ñòðàíå îí æèë?
â) Íàçîâèòå ôèçè÷åñêèé è ôèëîñîôñêèé ïðèíöèï, î êîòîðîì èäåò ðå÷ü â òåêñòå.
2. Â 1932 ãîäó Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ôèçèêå áûëà
âðó÷åíà «Çà ñîçäàíèå êâàíòîâîé ìåõàíèêè, ïðèìåíåíèå
êîòîðîé ïðèâåëî, ïîìèìî ïðî÷åãî, ê îòêðûòèþ àëëîòðîïè÷åñêèõ ôîðì âîäîðîäà». Íî ýòà ôîðìóëèðîâêà áûëà ñëèøêîì øèðîêîé, ðå÷ü øëà î ñîçäàíèè îäíîé èç òðàêòîâîê
êâàíòîâîé ìåõàíèêè – åå óðàâíåíèé â ìàòðè÷íîé ôîðìå.
Ñðåäè íàó÷íûõ äîñòèæåíèé ýòîãî ó÷åíîãî – ïðèíöèï, êîòîðûé îïðåäåëèë ñòåïåíü íåîïðåäåëåííîñòè â Ïðèðîäå. Îí
ðàáîòàë â îáëàñòè ãèäðîäèíàìèêè, ÿäåðíîé ôèçèêè, êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Ó íåãî áûëà áîëüøàÿ ñåìüÿ, âñå åãî äåòè
ñòàëè êðóïíûìè ó÷åíûìè â ñàìûõ ðàçíûõ îáëàñòÿõ íàóêè.
Îí âñþ æèçíü ïðîæèë â ðîäíîé ñòðàíå, õîòÿ äëÿ ýòîãî åìó
ïðèøëîñü ñäåëàòü íåïðîñòîé âûáîð.
à) Êòî ýòîò ó÷åíûé?
á) Â êàêîé ñòðàíå îí æèë?
â) Íàçîâèòå è ïîïûòàéòåñü êðàòêî ñôîðìóëèðîâàòü
ôèçè÷åñêèé è ôèëîñîôñêèé ïðèíöèï, î êîòîðîì èäåò ðå÷ü
â òåêñòå.
3. Äðåâíåãðå÷åñêèé ó÷åíûé: ìàòåìàòèê, ôèçèê, èíæåíåð
(íàâåðíîå, ïåðâûé â èñòîðèè ó÷åíûé-èíæåíåð). Îí æèë â
îäíîé èç ñðåäèçåìíîìîðñêèõ ãðå÷åñêèõ êîëîíèé.  ìîëîäîñòè îí ìíîãî ïóòåøåñòâîâàë, ó÷èëñÿ â Àëåêñàíäðèè Åãèïåòñêîé, ðàáîòàë â Àëåêñàíäðèéñêîé áèáëèîòåêå. Áûë çíàêîì è
âåë ïåðåïèñêó ñ ó÷åíûì, âïåðâûå â èñòîðèè èçìåðèâøèì
#"
ÊÂÀÍT 2013/¹3
äèàìåòð Çåìëè è ïðèäóìàâøèì «ðåøåòî» äëÿ ïðîñòûõ
÷èñåë. Âû÷èñëåíèå îáúåìà òåë è ïëîùàäåé ôèãóð, îöåíêà
çíà÷åíèÿ ÷èñëà π , ðàñ÷åò öåíòðîâ òÿæåñòè ïëîñêèõ ôèãóð è
ïðàâèëî ðû÷àãà, ãèäðîñòàòè÷åñêèå çàêîíû è ãèäðàâëè÷åñêèå
êîíñòðóêöèè, îïòè÷åñêèå òåîðåìû è óñòðîéñòâà, âîåííàÿ
òåõíèêà è ñòðîèòåëüñòâî – âîò äàëåêî íå ïîëíûé ïåðå÷åíü åãî
ðàáîò. Î íåì ñëîæåíû ëåãåíäû, î âîçìîæíîñòè ðåàëèçàöèè
íåêîòîðûõ åãî ëåãåíäàðíûõ êîíñòðóêöèé äî ñèõ ïîð èäóò
ñïîðû. Îí ïðîæèë 75 ëåò è ïîãèá â 212 ãîäó äî í.ý. ïðè
âçÿòèè åãî ðîäíîãî ãîðîäà ÷óæåñòðàííîé àðìèåé. Åãî èìåíåì
íàçâàíû ìàòåìàòè÷åñêèå àêñèîìû, ôèçè÷åñêèå çàêîíû è
òåõíè÷åñêèå óñòðîéñòâà, àñòåðîèä, ãîðíàÿ öåïü è êðàòåð íà
Ëóíå, ïëîùàäü â åãî ðîäíîì ãîðîäå, óëèöû â äâóõ ãîðîäàõ
Óêðàèíû, îäíîì ãîðîäå Ðîññèè è îäíîì ãîðîäå Íèäåðëàíäîâ.
à) Êòî ýòîò ó÷åíûé?
á) Ãäå íàõîäèòñÿ åãî ðîäíîé ãîðîä è êàê îí íàçûâàåòñÿ?
â) Íàçîâèòå èìÿ ãðå÷åñêîãî ó÷åíîãî èç Àëåêñàíäðèè, î
êîòîðîì óïîìèíàåòñÿ â òåêñòå.
4.  2012 ãîäó ìåæäóíàðîäíûì êîëëåêòèâîì ó÷åíûõ,
ðàáîòàþùåì â êðóïíåéøåì íàó÷íîì öåíòðå ìèðà, áûëî
îáúÿâëåíî, ÷òî îáíàðóæåíà ÷àñòèöà, êîòîðàÿ ñ áîëüøîé
âåðîÿòíîñòüþ ìîæåò áûòü ðàñïîçíàíà êàê ïîñëåäíÿÿ òåîðåòè÷åñêè ïðåäñêàçàííàÿ Ñòàíäàðòíîé òåîðèåé ÷àñòèöà. Âàæíîñòü ýòîãî îòêðûòèÿ â òîì, ÷òî, ïî ìíåíèþ ôèçèêîâòåîðåòèêîâ, ýòà ÷àñòèöà ó÷àñòâóåò â ôîðìèðîâàíèè òàêîãî
âàæíîãî ñâîéñòâà ìàòåðèè, êàê ìàññà.
à) Î êàêîé ÷àñòèöå èäåò ðå÷ü?
á) Ãäå áûëè ïðîâåäåíû ýêñïåðèìåíòû ïî ïîèñêó ýòîé
÷àñòèöû?
5. 14 îêòÿáðÿ 1967 ãîäà áûë çàïóùåí ñàìûé êðóïíûé â
ÑÑÑÐ (à íà òîò ìîìåíò è â ìèðå) óñêîðèòåëü ïðîòîíîâ. Â
èññëåäîâàíèÿõ íà ýòîì óñêîðèòåëå îòêðûòû óíèêàëüíûå
ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ âûõîäîì íà íîâûé óðîâåíü
ñòðîåíèÿ ìàòåðèè. Ýòîò óñêîðèòåëü, êðóïíåéøèé â Ðîññèè,
ðàáîòàåò è â íàñòîÿùåå âðåìÿ.
Ãäå íàõîäèòñÿ ýòîò óñêðèòåëü?
I ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÛÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
ÒÓÐÍÈÐ ÈÌÅÍÈ Ì.Â.ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ
ÄËß Ó×ÀÙÈÕÑß 5–8 ÊËÀÑÑÎÂ
Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð
5–6 êëàññû
1.  ñîðåâíîâàíèè ó÷àñòâîâàëè 40 ñòðåëêîâ. Ïåðâûé
âûáèë 50 î÷êîâ, âòîðîé – 70, òðåòèé – ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå î÷êîâ ïåðâûõ äâóõ, ÷åòâåðòûé – ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå
î÷êîâ ïåðâûõ òðåõ. Êàæäûé ñëåäóþùèé âûáèë ñðåäíåå
àðèôìåòè÷åñêîå î÷êîâ âñåõ ïðåäûäóùèõ. Ñêîëüêî î÷êîâ
âûáèë 32-é ñòðåëîê?
2. Â äåíü ðîæäåíèÿ Øðåêà åãî äåòè õîòÿò âûÿñíèòü,
ñêîëüêî ëåò îòöó. Ôèîíà ãîâîðèò, ÷òî Øðåêó áîëüøå 31 ãîäà,
à ìàã-íåóäà÷íèê Ðóìïåëüøòèëüöõåí óòâåðæäàåò, ÷òî áîëüøå
30 ëåò. Ñêîëüêî ëåò Øðåêó, åñëè èçâåñòíî, ÷òî îäèí èç íèõ
îøèáñÿ (ëèáî Ôèîíà, ëèáî ìàã-íåóäà÷íèê Ðóìïåëüøòèëüöõåí)?
3. Èç ñâîèõ íîðîê îäíîâðåìåííî íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó
âûñêî÷èëè 2 çàé÷îíêà. ×åðåç 3 ìèí îíè ñòîëêíóëèñü íîñ ê
íîñó è, ïåðåïóãàâøèñü, áðîñèëèñü â îáðàòíûå ñòîðîíû ñ
òàêèìè æå ñêîðîñòÿìè. ×åðåç 30 ñ ïîñëå âñòðå÷è çàé÷àòà
îñòàíîâèëèñü, è ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè áûëî 21 ì. Ñêîðîñòü
îäíîãî çàé÷îíêà íà 6 ì/ìèí áîëüøå ñêîðîñòè äðóãîãî. Íà
êàêîì ðàññòîÿíèè îò ñâîåé íîðêè îêàçàëñÿ áîëåå áûñòðûé
çàé÷îíîê?
4. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, ñóììà öèôð
êîòîðûõ ðàâíà 9?
5.  êîìíàòå ñòîÿò òðåõíîãèå òàáóðåòêè è ÷åòûðåõíîãèå
ñòóëüÿ. Êîãäà íà âñå ýòè ñèäÿ÷èå ìåñòà óñåëèñü ëþäè, â
êîìíàòå îêàçàëîñü 39 íîã. Ñêîëüêî â êîìíàòå òàáóðåòîê?
6. Íàéäèòå òàêèå äâà ÷èñëà, ÷òîáû èõ ñóììà, ïðîèçâåäåíèå
è ÷àñòíîå îò äåëåíèÿ îäíîãî íà äðóãîå áûëè ðàâíû ìåæäó
ñîáîé.
7–8 êëàññû
1. Ïóñòü a + b = –8, a ⋅ b = 15 . Íàéäèòå, ÷åìó ðàâíà
âåëè÷èíà a2 + a 3 + b2 + b3 .
2. Âîäèòåëü àâòîìàøèíû ãðóáî íàðóøèë ïðàâèëà äîðîæíîãî äâèæåíèÿ, ÷åìó ñâèäåòåëÿìè ñòàëè òðè ñòóäåíòà-ìàòåìàòèêà. Íîìåð ìàøèíû îíè íå çàïîìíèëè, íî ñîîáùèëè
ñëåäóþùåå: 1) íîìåð áûë ÷åòûðåõçíà÷íûé; 2) äâå ïåðâûå
öèôðû áûëè îäèíàêîâû; 3) äâå ïîñëåäíèå öèôðû òàêæå
áûëè îäèíàêîâû; 4) ýòî ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî ÿâëÿëîñü
òî÷íûì êâàäðàòîì. Ïîìîãèòå ñîòðóäíèêàì àâòîèíñïåêöèè
ïîíÿòü ìàòåìàòèêîâ è îïðåäåëèòü íîìåð ìàøèíû.
3. Ñîáðàííûé ìåä çàïîëíÿåò íåñêîëüêî 50-ëèòðîâûõ áèäîíîâ. Åñëè åãî ðàçëèòü â 40-ëèòðîâûå áèäîíû, òî ïîíàäîáèòñÿ íà 5 áèäîíîâ áîëüøå è îäèí èç íèõ îñòàíåòñÿ íåïîëíûì. Åñëè ñîáðàííûé ìåä ðàçëèòü â 70-ëèòðîâûå áèäîíû,
òî ïîíàäîáèòñÿ íà 4 áèäîíà ìåíüøå è îäèí èç íèõ òîæå
îñòàíåòñÿ íåïîëíûì. Ñêîëüêî 50-ëèòðîâûõ áèäîíîâ çàïîëíÿåò ñîáðàííûé ìåä?
4. Íà äîñêå â ñòðî÷êó âûïèñàíû ïÿòü íåîòðèöàòåëüíûõ
öåëûõ ÷èñåë a, b, c, d è e, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà 2010.
Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ñóììû a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ d + d ⋅ e
ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé ñîñåäíèõ ÷èñåë.
5. Äâà âåëîñèïåäèñòà îäíîâðåìåííî ñòàðòîâàëè íà äâóõ
ðàçíûõ, íî ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìîëèíåéíûõ äîðîãàõ. Îáà
åäóò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ 10 êì/÷ â ñòîðîíó ïåðåêðåñòêà,
ãäå èõ äîðîãè ïåðåñåêàþòñÿ. Â ìîìåíò ñòàðòà îäèí èç
âåëîñèïåäèñòîâ íàõîäèëñÿ íà ðàññòîÿíèè 50 êì îò ïåðåêðåñòêà, à äðóãîé – íà ðàññòîÿíèè 30 êì îò ïåðåêðåñòêà. ×åðåç
ñêîëüêî ÷àñîâ ïîñëå ñòàðòà îáà âåëîñèïåäèñòà îêàæóòñÿ íà
îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè îò ïåðåêðåñòêà?
6. Èç ðàçáèâøåéñÿ àâòîðó÷êè íà êâàäðàòíûé êîâåð ðàçìåðîì 4 × 4 ì ïîïàëè 15 ÷åðíèëüíûõ áðûçã. Äîêàæèòå, ÷òî èç
ýòîãî êîâðà ìîæíî âûðåçàòü ÷èñòûé êâàäðàò ñî ñòîðîíîé
0,999 ì. (Áðûçãè ìîæíî ñ÷èòàòü òî÷êàìè.)
7. Ãåíåðàë ïîñòðîèë ñîëäàò â êîëîííó ïî 4, íî ïðè ýòîì
òîëüêî ñîëäàò Èâàíîâ îñòàëñÿ ëèøíèì. Òîãäà ãåíåðàë ïîñòðîèë ñîëäàò â êîëîííó ïî 5. È ñíîâà îäèí Èâàíîâ îñòàëñÿ
ëèøíèì. Êîãäà æå è â êîëîííå ïî 6 îïÿòü òîëüêî îäèí
Èâàíîâ îñòàëñÿ ëèøíèì, ãåíåðàë ïîñóëèë åìó íàðÿä âíå
î÷åðåäè, ïîñëå ÷åãî â êîëîííå ïî 7 Èâàíîâ íàøåë ñåáå ìåñòî
è íèêîãî ëèøíåãî íå îñòàëîñü. Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî
ñîëäàò ìîãëî áûòü ó ãåíåðàëà?
Óñòíûé êîìàíäíûé òóð
5–6 êëàññû
1. Êàêîå ÷èñëî â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 2, 6, 12, 20, 30, …
ñòîèò íà 12-ì ìåñòå?
2. Äàí ïðÿìîóãîëüíèê ñ ïëîùàäüþ, ðàâíîé 2400 ñì2 . Îäíà
èç åãî ñòîðîí ðàâíà ñòîðîíå ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ñ
ïåðèìåòðîì 9 äì. Íà ñòîðîíå ïðÿìîóãîëüíèêà ïîñòðîåí
äðóãîé ïðÿìîóãîëüíèê, ïåðèìåòð êîòîðîãî ðàâåí ïåðèìåòðó
êâàäðàòà ñ ïëîùàäüþ 36 äì2 . Íàéäèòå ïëîùàäü ïîëó÷èâøåãîñÿ ïðÿìîóãîëüíèêà. Ðàññìîòðèòå ðàçíûå ñëó÷àè.
3. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò äâóçíà÷íûõ ÷èñåë, ñóììà öèôð
êàæäîãî èç êîòîðûõ ðàâíà 5?
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
4. Èç Àñòðàõàíè âåçëè â Ìîñêâó 1000 òîíí àðáóçîâ,
ïåðâîíà÷àëüíàÿ âëàæíîñòü êîòîðûõ ñîñòàâëÿëà 99%. Êîãäà
èõ ïðèâåçëè â Ìîñêâó, îêàçàëîñü, ÷òî âëàæíîñòü óìåíüøèëàñü íà 1%, ò.å. ñòàëà 98%. Êàêîâ âåñ àðáóçîâ, ïðèáûâøèõ â
Ìîñêâó?
5. Èìåþòñÿ ÷àøêà êîôå è áèäîí ìîëîêà. Ïåðåëèâàåì èç
áèäîíà ÷àéíóþ ëîæêó ìîëîêà â ÷àøêó ñ êîôå, ïåðåìåøèâàåì
è ïåðåëèâàåì èç ÷àøêè ÷àéíóþ ëîæêó ñîäåðæèìîãî îáðàòíî
â áèäîí. ×åãî îêàçàëîñü áîëüøå: ìîëîêà â ÷àøêå èëè êîôå â
áèäîíå?
6. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî n3 + 2n äåëèòñÿ íà 3 äëÿ ëþáîãî
íàòóðàëüíîãî n.
7. Äàíî øåñòèçíà÷íîå ÷èñëî abcdef , ïðè÷åì abc − def
äåëèòñÿ íà 7. Âåðíî ëè, ÷òî è ñàìî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 7?
7–8 êëàññû
1. Îáîçíà÷èì äâå êàêèå-íèáóäü öèôðû áóêâàìè x è a.
Äåëèòñÿ ëè øåñòèçíà÷íîå ÷èñëî xaxaxa íà 7 áåç îñòàòêà?
2. Ìàëûø èç Öâåòî÷íîãî ãîðîäà óìååò îòêëàäûâàòü óãîë
âåëè÷èíîé 19° . Ñìîæåò ëè îí îòëîæèòü óãîë â 1° ?
3. Ñóììà äâóõ ÷èñåë ðàâíà 480. Åñëè ó ïåðâîãî ÷èñëà
çà÷åðêíóòü ïîñëåäíþþ öèôðó, òî ïîëó÷èòñÿ âòîðîå ÷èñëî,
äåëåííîå íà 7. Íàéäèòå ýòè ÷èñëà.
4. Ïàññàæèð ìåòðî áåæèò âíèç ïî ýñêàëàòîðó, èäóùåìó
âíèç, è ñ÷èòàåò ñòóïåíüêè. Ïðîáåæàâ âåñü ýñêàëàòîð, îí
íàñ÷èòàë 30 ñòóïåíåê. Ïðîäåëàâ òî æå ñàìîå íà ýñêàëàòîðå,
èäóùåì ââåðõ, îí íàñ÷èòàë 90 ñòóïåíåê. Ñêîëüêî ñòóïåíåê íà
íåïîäâèæíîì ýñêàëàòîðå?
##
5. Íà øêîëüíîì âå÷åðå äåâî÷êè è ìàëü÷èêè íåñêîëüêî ðàç
òàíöåâàëè ïàðàìè. Êàæäàÿ äåâî÷êà òàíöåâàëà 4 ðàçà, à
êàæäûé ìàëü÷èê — 3 ðàçà. Âñåãî íà âå÷åðå áûëî 112
øêîëüíèêîâ. ( êàæäîì òàíöå ó÷àñòâîâàëè âñå.) Ñêîëüêî
áûëî äåâî÷åê?
6. Äâà ëûæíèêà øëè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ 6 êì/÷ íà
ðàññòîÿíèè 200 ìåòðîâ äðóã îò äðóãà. Ïîòîì îíè ñòàëè
ïîäíèìàòüñÿ â ãîðêó, ãäå èõ ñêîðîñòü óïàëà äî 4 êì/÷. Çàòåì
îáà ëûæíèêà ñúåõàëè ñ ãîðêè ñî ñêîðîñòüþ 7 êì/÷ è ïîïàëè
â ãëóáîêèé ñíåã, ãäå èõ ñêîðîñòü áûëà âñåãî 3 êì/÷. Êàêèì
ñòàëî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè?
7. Äàí ïðÿìîóãîëüíèê ABCD. Êàê ðàçðåçàòü åãî íà íàèìåíüøåå ÷èñëî ÷àñòåé òàê, ÷òîáû èç íèõ ìîæíî áûëî ñëîæèòü
íåêîòîðûé òðåóãîëüíèê?
8. Â âåðøèíàõ íåñêîëüêèõ îäèíàêîâûõ ïî ðàçìåðó ïðàâèëüíûõ êàðòîííûõ òðåóãîëüíèêîâ â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå
íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 3 (â êàæäîì òðåóãîëüíèêå âñòðå÷àþòñÿ
âñå òðè ÷èñëà). Òðåóãîëüíèêè ñëîæèëè â ñòîïêó òàê, ÷òî èõ
âåðøèíû ñîâïàëè. Ìîãóò ëè ñóììû ÷èñåë, íàïèñàííûõ â
êàæäîé âåðøèíå ñòîïêè, áûòü ðàâíû: à) 2013; á) 2012?
9. Ñêàçàë Êàùåé Áåññìåðòíûé Èâàíó Öàðåâè÷ó: «Óòðîì
ÿâèøüñÿ ïðåäî ìíîé. ß çàäóìàþ òðè öèôðû, a, b è ñ, à òû
íàçîâåøü ìíå òðè ÷èñëà, õ, ó è z. ß âûñëóøàþ òåáÿ è ñêàæó
òåáå, ÷åìó ðàâíî âûðàæåíèå ax + by + cz. Ïîñëå ýòîãî òû
äîëæåí óãàäàòü, êàêèå öèôðû à, b è ñ ÿ çàäóìàë. Íå óãàäàåøü
– ãîëîâà ñ ïëå÷. Ñòóïàé». Ìîæíî ëè ïîìî÷ü Èâàíó Öàðåâè÷ó
ñîõðàíèòü ãîëîâó?
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Â.Àëüìèíäåðîâ, À.Åãîðîâ,
À.Êðàâöîâ, Â.Êðûøòîï, Æ.Ðàááîò, Ë.Øëÿïî÷íèê
Ðåãèîíàëüíàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà
ïî ôèçèêå
 àïðåëå 2013 ãîäà Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé
Èðêóòñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò ïðîâåë î÷åðåäíóþ Ðåãèîíàëüíóþ îëèìïèàäó äëÿ ñòóäåíòîâ
òåõíè÷åñêèõ âóçîâ Ñèáèðè è Äàëüíåãî âîñòîêà.  îëèìïèàäå
ó÷àñòâîâàëè êîìàíäû ñåìè ðåãèîíàëüíûõ âóçîâ è (âíå
êîíêóðñà) ìîñêîâñêàÿ êîìàíäà Ðîññèéñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà íåôòè è ãàçà èìåíè È.Ì.Ãóáêèíà.
Çàäà÷è ïðîøåäøåé îëèìïèàäû îòëè÷àþòñÿ íåñòàíäàðòíûìè ôîðìóëèðîâêàìè. Âíèìàíèþ ÷èòàòåëåé ïðåäëàãàþòñÿ
íåêîòîðûå èç ýòèõ çàäà÷.
Çàäà÷è îëèìïèàäû
1. Ñòîëêíîâåíèÿ ãàëàêòèê âî Âñåëåííîé ïðîèñõîäÿò î÷åíü
÷àñòî. Àñòðîíîìû ñõîäÿòñÿ íà òîì, ÷òî ðàíî èëè ïîçäíî
Ìëå÷íûé Ïóòü ( m1 = 6 ⋅ 1042 êã) ñòîëêíåòñÿ ñî ñâîåé ñîñåäêîé – Òóìàííîñòüþ Àíäðîìåäû ( m2 = 9 ⋅ 1042 êã). Ñêîðîñòü
ñáëèæåíèÿ ãàëàêòèê è ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ðàâíû
v0 = 100 êì ñ è l = 2,5 ìëí ñâ.ëåò ≈ 2,4 ⋅ 1019 êì ñîîòâåòñòâåííî. Îöåíèòå âðåìÿ äî èõ ñòîëêíîâåíèÿ, íå ó÷èòûâàÿ
íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü ãàëàêòèê è ñ÷èòàÿ, ïðèáëèæåííî, ÷òî
ìàññû ãàëàêòèê îäèíàêîâû è ðàâíû M = 7 ⋅ 1042 êã . Ïîñòîÿííàÿ âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ G = 6,67 ⋅ 10−11 Í ⋅ ì2 êã2 . (7
áàëëîâ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñïðàâêà:
∫
l − 2x
dx =
x
x (l − 2x ) −
l
l − 2x
arctg
+ const .
2x
2
2. Âåñíîé ïåíñèîíåð Èâàíî⠖ êàê îáû÷íî, ñ âûñîòû
ïòè÷üåãî ïîëåòà h = 12 ì – íàáëþäàë çà æèçíüþ ñòðàíû.
Âäðóã ñ êðûøè äîìà îòîðâàëàñü ñîñóëüêà è ïðîëåòåëà ìèìî
íåãî çà âðåìÿ ∆t = 0,2 ñ. Âûñîòà îêíà L = 1,5 ì. Ñ êàêîé
âûñîòû ñîñóëüêè óãðîæàþùå íàâèñàþò íàä ïðîõîæèìè?
(4 áàëëà)
3. Íèíäçþöó – ÿïîíñêîå áîåâîå èñêóññòâî. Øèðîêî èñïîëüçîâàëîñü â ñèñòåìå ñòðàòåãè÷åñêîãî øïèîíàæà è âîéñêîâîé ðàçâåäêè ÕV âåêà.  àòàêå íèíäçÿ (ëàçóò÷èêè) èíîãäà ïðèìåíÿëè
òÿæåëûå ïëîñêèå ìåòàëëè÷åñêèå
çâåçäî÷êè ìàññîé M, èìåþùèå ôîðìó êâàäðàòíîé ïëàñòèíû ñî ñòîðîíîé d ñ ðàâíîñòîðîííèì òðåóãîëüíûì øèïîì íà êàæäîé ñòîðîíå
(ðèñ.1). Ïîëó÷èòå, íå èñïîëüçóÿ èíòåãðèðîâàíèå, âûðàæåíèå äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè Iz çâåçäî÷êè íèíäçÿ
îòíîñèòåëüíî îñè z, ïðîõîäÿùåé ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëàñòèíå ÷åðåç åå
Ðèñ. 1
öåíòð.
Óêàçàíèå: ïðè ïîìîùè òåîðåìû Øòåéíåðà ïîëó÷èòå âûðàæåíèÿ äëÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè êâàäðàòíîé è ïðàâèëüíîé
òðåóãîëüíîé ïëàñòèí îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé ïîïåðå÷íîé
îñè. (7 áàëëîâ)
4. Ïî÷åìó ïðè âàðêå ñîñèñêè ëîïàþòñÿ âäîëü, à íå ïîïåðåê? (4 áàëëà)
#$
ÊÂÀÍT 2013/¹3
5. ßôôî – îäèí èç ãëàâíûõ äðåâíèõ ïîðòîâ Èçðàèëÿ (÷åðåç íåãî ïðîõîäèë çíàìåíèòûé Ìîðñêîé
ïóòü – Åãèïåò, Ñèðèÿ,
Àíàòîëèÿ è Ìåñîïîòàìèÿ). Äîñòîïðèìå÷àòåëüíîñòü ßôôî – âèñÿùåå
àïåëüñèíîâîå äåðåâî
(ðèñ.2). Äåðåâî ðàñòåò ñ
1993 ãîäà â ãîðøêå-ÿéöå,
êîòîðîå (èç-çà íåõâàòêè
çåìëè) ïîäâåøåíî òðîñàìè ê äîìàì. Äåðåâî æèÐèñ. 2
âåò è ïëîäîíîñèò. Äëèíà
êàæäîãî òðîñà l = 7 ì, ïëîùàäü ñå÷åíèÿ S = 0,6 ñì2 . Ïîä
âåñîì äåðåâà òðîñû ðàñòÿíóòû íà ∆l = 3 ìì , à óãëû èõ
íàêëîíà ïî÷òè îäèíàêîâû è ðàâíû α = 45° . Êîýôôèöèåíò
óïðóãîñòè ñòàëè (ìîäóëü Þíãà) E = 216 Ãïà. Îïðåäåëèòå,
ñêîëüêî àïåëüñèíîâ ñîçðåëî íà äåðåâå, åñëè ÷àñòîòà åãî
ïîêà÷èâàíèé ïî âåðòèêàëè óìåíüøèëàñü íà 0,1%. Ìàññà
àïåëüñèíà m ≈ 150 ã . (4 áàëëà)
6. Âèííè-Ïóõ ïîäóìàë: «Ýòî æ-æ-æ íåñïðîñòà!» – è
ðåøèë, êàê îí ñàì ãîâîðèò, «ìîäåðíåçèðîâàòü» äóïëî ñ
ï÷åëàìè, ïîäêëþ÷èâ ê íåìó ëàìïî÷êó. Äëÿ òîãî ÷òîáû
ïîëó÷èòü ïèòàíèå äëÿ ëàìïî÷êè, îí ñíîâà ïîäóìàë: «Ðàç
ï÷åëà æóææèò, çíà÷èò, îíà çàðÿæ-æåíà èç-çà òðåíèÿ î
âîçäóõ». Ïîñëå òàêîé óìíîé ìûñëè îí ñìåëî ïîìåñòèë äâà
êîíòàêòà îò èäóùèõ îò ëàìïû ïðîâîäêîâ â ðîé ï÷åë, æóææàùèõ âîêðóã ìåäà. Îäèí êîíòàêò îí ïîìåñòèë â öåíòð, à
âòîðîé – íà êðàé ðîÿ ðàäèóñîì R. Ñîâå ïîðó÷èëè íàðèñîâàòü
ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïîòåíöèàëà ϕ (r ) âíóòðè ðîÿ ï÷åë îò
ðàññòîÿíèÿ r ìåæäó ïðîèçâîëüíîé òî÷êîé âíóòðè ðîÿ è åãî
öåíòðîì. Óìíûé Êðîëèê, ïî ïðîñüáå Ïóõà, ðàññ÷èòàë ∆ϕ –
íàïðÿæåíèå íà ëàìïî÷êå. Èçâåñòíî, ÷òî Ïóõ óáåäèë Êðîëèêà â òîì, ÷òî ï÷åë î÷åíü ìíîãî, èõ êîíöåíòðàöèÿ n = a/r, ãäå
à – ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò, à çàðÿä îäíîé ï÷åëû q.
Ïðîâåðüòå ïðîâåäåííûå ðàñ÷åòû. È åùå – Ïóõ ïðîñèë
ïîäñ÷èòàòü, ñêîëüêî òàì âñåãî ï÷åë. (7 áàëëîâ)
7. Â òðèäåâÿòîì öàðñòâå, òðèäåñÿòîì ãîñóäàðñòâå æèë-áûë
öàðü. Ðåøèë öàðü æåíèòüñÿ – ïîçâàë öàðü Áàáó-ßãó ïîìî÷ü
åìó ñòàòü ìîëîæå è ÷òîáû ëûñèíà èñ÷åçëà. Îäíàêî òðàâêè äà
ïîãàíêè íå ïîìîãàëè. Ïðèêàçàë òîãäà öàðü Èâàíó-äóðàêó ïðèäóìàòü,
êàê áûòü. À Èâàí áûë íå ñîâñåì-òî
óæ äóðàê – ïðåäëîæèë ïðîâåñòè ïî
âåðõíåìó êðàþ ñåðåáðÿíîé êîðîíû
öàðÿ (ðèñ.3) ìåäíûé ïðîâîä ñ èçîëÿöèåé, à ïî íåìó ïóñòèòü òîê, äëÿ
«ðîñòà âîëîñ ïîä äåéñòâèåì ìàãíèò- Ðèñ. 3
íîãî ïîëÿ». À åùå, äëÿ óáåäèòåëüíîñòè, Èâàí ðàññ÷èòàë çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ðàéîíå
ìàêóøêè öàðÿ (ò.å. â òî÷êå, ëåæàùåé â îäíîé ïëîñêîñòè ñ
øåñòüþ âåðøèíàìè «çóáîâ» êîðîíû
è ðàâíîóäàëåííîé îò íèõ). Ïîâòîðèòå ðàñ÷åò è ñêàæèòå, âî ñêîëüêî ðàç
èçìåíèëîñü áû ìàãíèòíîå ïîëå, åñëè
áû êîíòóð ñ òàêèì æå òîêîì èìåë âèä
êðóãîâîãî âèòêà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç
òå æå âåðøèíû. (7 áàëëîâ)
8. Àòîì ìþîíèÿ (ðèñ.4) ñîñòîèò èç
íåïîäâèæíîãî ïðîòîíà è îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííîãî ìþîíà ìàññîé
Ðèñ. 4
mµ = 206me , ãäå me — ìàññà ýëåêòðîíà, è çàðÿäîì, ðàâíûì çàðÿäó ýëåêòðîíà e. Îïðåäåëèòå, âî
ñêîëüêî ðàç àòîì ìþîíèÿ ìåíüøå àòîìà âîäîðîäà. (6 áàëëîâ)
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë Å.Ëèïîâ÷åíêî
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ
 íîâîñèáèðñêîì Àêàäåìãîðîäêå â ñîñòàâå Ñïåöèàëèçèðîâàííîãî ó÷åáíî-íàó÷íîãî öåíòðà Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÓÍÖ ÍÃÓ) ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî è õèìèêî-áèîëîãè÷åñêîãî ïðîôèëÿ óæå áîëåå
45 ëåò ðàáîòàåò Çàî÷íàÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ øêîëà
(ÇØ) äëÿ ó÷àùèõñÿ 5–11 êëàññîâ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ
øêîë.
Ó÷àùèåñÿ ÇØ, óñïåøíî âûïîëíèâøèå âñå çàäàíèÿ, ïî
îêîí÷àíèè îäèííàäöàòîãî êëàññà ïîëó÷àþò óäîñòîâåðåíèå
âûïóñêíèêîâ Çàî÷íîé øêîëû ÑÓÍÖ ÍÃÓ.
Ïðåïîäàâàòåëè îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ ó÷ðåæäåíèé ìîãóò
ðàáîòàòü ïî ïðîãðàììàì Çàî÷íîé øêîëû ÑÓÍÖ ÍÃÓ â ôîðìå
ôàêóëüòàòèâíûõ çàíÿòèé ñ ãðóïïîé ó÷àùèõñÿ.
Åæåãîäíî ëó÷øèå ó÷åíèêè 9 è 10 êëàññîâ ÇØ ïðèãëàøàþòñÿ â Ëåòíþþ øêîëó, êîòîðàÿ ïðîâîäèòñÿ â íîâîñèáèðñêîì
Àêàäåìãîðîäêå ñ 1 ïî 23 àâãóñòà, äëÿ ó÷àñòèÿ â êîíêóðñå â
ÑÓÍÖ ÍÃÓ.
 ÇØ ÑÓÍÖ ÍÃÓ ïðèíèìàþòñÿ âñå æåëàþùèå, íåçàâèñèìî
îò âîçðàñòà. Ïðèåì â øêîëó âåäåòñÿ êðóãëîãîäè÷íî. ×òîáû
ñòàòü ó÷åíèêîì ÇØ, íåîáõîäèìî ïðèñëàòü çàÿâëåíèå, óêàçàâ
êëàññ è îòäåëåíèÿ, íà êîòîðûõ âû õîòèòå ó÷èòüñÿ, ñâîè
ôàìèëèþ, èìÿ è îò÷åñòâî (ïå÷àòíûìè áóêâàìè), ñâîé ïîä-
ðîáíûé àäðåñ ñ èíäåêñîì è âûïîëíåííîå ïåðâîå çàäàíèå.
Çàäàíèå âûïîëíÿåòñÿ â îáû÷íîé ó÷åíè÷åñêîé òåòðàäè è
âûñûëàåòñÿ ïðîñòîé èëè çàêàçíîé áàíäåðîëüþ.
Ìîæíî ïðèñûëàòü ðàáîòû è ïî ýëåêòðîííîé ïî÷òå. Òðåáîâàíèÿ ê îôîðìëåíèþ ðàáîò â ýëåêòðîííîì âèäå è ïîäðîáíóþ èíôîðìàöèþ ìîæíî íàéòè íà ñàéòå Çàî÷íîé øêîëû:
http://zfmsh.nsu.ru
Íàø àäðåñ: 630090 Íîâîñèáèðñê, óë. Ïèðîãîâà, 11, Çàî÷íàÿ
øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ
Òåëåôîí/ôàêñ: (383) 363-4066
E-mail: distant@sesc.nsu.ru èëè zfmsh@yandex.ru
ÏÅÐÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß ÍÀ 2013/14 Ó×ÅÁÍÛÉ ÃÎÄ
Ìàòåìàòè÷åñêîå îòäåëåíèå
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
5 êëàññ
1. Â ïðÿìîóãîëüíèêå ñóììà äâóõ êàêèõ-òî ñòîðîí ðàâíà
9,5 ñì, à ñóììà òðåõ êàêèõ-òî ñòîðîí ðàâíà 7,5 ñì. Íàéäèòå
ïåðèìåòð ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà.
2. Àâòîìîáèëü îò ïóíêòà À äî ïóíêòà Á, äâèãàÿñü ñ
íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, åäåò 25 ìèíóò. Åñëè áû
#%
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
îí åõàë ñî ñêîðîñòüþ íà 3 êì/÷ áîëüøå, òî âåñü ïóòü
ïðîåõàë áû çà 24 ìèíóòû. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò ïóíêòà À
äî ïóíêòà Á.
3. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî òðåõçíà÷íûõ íîìåðîâ, çàïèñûâàåìûõ öèôðàìè îò 0 äî 9 âêëþ÷èòåëüíî, ó êîòîðûõ ïåðâàÿ è
ïîñëåäíÿÿ öèôðû íå ñîâïàäàþò.
4. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 60 â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ (áîëüøå
îäíîãî) ïîäðÿä èäóùèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
5. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 − 2 − (3 − ... − (100 − x )... ) = 100 x .
6. Âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 2013 âêëþ÷èòåëüíî
âûïèñàëè ïîäðÿä è íàøëè ñóììó âñåõ öèôð. Íàéäèòå,
êàêîé îñòàòîê ïîëó÷èòñÿ ïðè äåëåíèè ýòîé ñóììû íà 9.
(
)
6 êëàññ
(
)
1. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 − 2 − (3 − ... − (1000 − x )... ) =
= 1000x.
2. Ñì. çàäà÷ó 2 äëÿ 5 êëàññà.
3. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî òðåõçíà÷íûõ íîìåðîâ, çàïèñûâàåìûõ öèôðàìè îò 0 äî 9 âêëþ÷èòåëüíî, ó êîòîðûõ ñðåäíÿÿ
öèôðà íå ñîâïàäàåò íè ñ îäíîé èç êðàéíèõ.
4. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 90 â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ (áîëüøå
îäíîãî) ïîäðÿä èäóùèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
5. Íàéäèòå, êàê íóæíî ðàçðåçàòü ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 8 ñì è 4,5 ñì íà äâå ðàâíûå ÷àñòè, èç êîòîðûõ ìîæíî
ñîñòàâèòü êâàäðàò.
6. Äîêàæèòå, ÷òî íà êëåò÷àòîé áóìàãå òðåóãîëüíèê ñ
âåðøèíàìè â óçëàõ ñåòêè íå ìîæåò èìåòü ïëîùàäü, êîòîðàÿ
â åäèíèöàõ èçìåðåíèÿ ïëîùàäè, ðàâíûõ ïëîùàäè îäíîé
êëåòêè, çàïèñûâàåòñÿ â âèäå íåñîêðàòèìîé äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 4.
7 êëàññ
(
)
1. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 + 1 : 1 + 1 : (1 + 1 : ( x + 2013 )) =
2
= (1,2 ) .
2.  ñòîÿ÷åé âîäå ñêîðîñòü òåïëîõîäà 35 êì/÷, à ñêîðîñòü
êàòåðà 55 êì/÷. Ïî ðåêå èç ïóíêòà À â ïóíêò Á âíèç ïî
òå÷åíèþ òåïëîõîä èäåò 40 ìèíóò, à êàòåð – 30 ìèíóò. Íàéäèòå
ðàññòîÿíèå îò ïóíêòà À äî ïóíêòà Á.
3. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 3, íî íå äåëÿòñÿ íà 7.
4.  êâàäðàòå ABCD òî÷êà M íà ñòîðîíå AB è òî÷êà N íà
äèàãîíàëè AC ðàñïîëîæåíû òàê, ÷òî AM : MB = 3 : 4,
AN : NC = 5 : 2. Äîêàæèòå, ÷òî óãîë DNM ïðÿìîé.
5. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 100 â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ (áîëüøå îäíîãî) ïîäðÿä èäóùèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
6. Ñì. çàäà÷ó 6 äëÿ 6 êëàññà.
8 êëàññ
1. Ñì. çàäà÷ó 2 äëÿ 7 êëàññà.
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå x − 1 + x − 3 + x − 7 = 6 .
3.  ïðÿìîóãîëüíèêå ABCD òî÷êè M è N – ñåðåäèíû
ñòîðîí AB è CD ñîîòâåòñòâåííî. ×åðåç òî÷êó M ïðîâîäèòñÿ
ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ äèàãîíàëü ÀÑ â òî÷êå Ð è ïðîäîëæåíèå ñòîðîíû ÂÑ â òî÷êå Q, ïðè÷åì òî÷êà  ëåæèò ìåæäó
òî÷êàìè Ñ è Q. Äîêàæèòå, ÷òî ∠MNP = ∠MNQ .
4. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî
(
)
2 −1
100
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå m + 1 − m , ãäå m – íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
5. Äîêàæèòå, ÷òî èç ëþáûõ 23 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìîæíî
âûáðàòü ðîâíî 12, ñóììà êîòîðûõ äåëèòñÿ íà 12.
6. Íàéäèòå, êàê íóæíî ðàçðåçàòü êâàäðàò íà 20 ðàâíûõ
òðåóãîëüíèêîâ, ÷òîáû èç ïîëó÷åííûõ ÷àñòåé ìîæíî áûëî
ñîñòàâèòü 5 ðàâíûõ êâàäðàòîâ.
9 êëàññ
1. Íàéäèòå, ïðè êàêîì íàèìåíüøåì çíà÷åíèè a óðàâíåíèå
x − 1 + x − 2 + x − 3 + ... + x − 9 = a èìååò ðåøåíèÿ.
2. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî
(
)
3 +1
10
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå m + 1024 + m , ãäå m – íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
3. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 20154 + 4 íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì.
4. Äâå îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ A è B. ×åðåç
òî÷êó B ïðîâîäèòñÿ ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ îêðóæíîñòè â
òî÷êàõ M è N òàê, ÷òî AB ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé â òðåóãîëüíèêå AMN. Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå îòðåçêîâ BM è BN
ðàâíî îòíîøåíèþ ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé.
5. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî òðåõçíà÷íûõ íîìåðîâ, çàïèñûâàåìûõ öèôðàìè îò 0 äî 9 âêëþ÷èòåëüíî, ó êîòîðûõ ñóììà öèôð
äåëèòñÿ íà 3.
6. Ñì. çàäà÷ó 6 äëÿ 8 êëàññà.
10 êëàññ
1. Ïî äîðîæêå ñòàäèîíà äëèíîé 400 ì èç îäíîé òî÷êè
îäíîâðåìåííî â îäíîì íàïðàâëåíèè âûáåãàþò òðè ñïîðòñìåíà ñî ñêîðîñòÿìè 12 êì/÷, 15 êì/÷ è 17 êì/÷. Íàéäèòå, ÷åðåç êàêîå íàèìåíüøåå âðåìÿ ñïîðòñìåíû ïîðàâíÿþòñÿ.
2. Ñì. çàäà÷ó 3 äëÿ 9 êëàññà.
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 4 x + 4 386 − x = 6 .
4. Áèññåêòðèñû äâóõ óãëîâ ïåðïåíäèêóëÿðíû, à èõ ñòîðîíû ïåðåñåêàþòñÿ â ÷åòûðåõ òî÷êàõ. Äîêàæèòå, ÷òî ýòè òî÷êè
ðàñïîëîæåíû íà îäíîé îêðóæíîñòè.
5. Íàéäèòå, íà êàêóþ íàèáîëüøóþ ñòåïåíü ÷èñëà 3 äåëèòñÿ
ïðîèçâåäåíèå âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî 2013 âêëþ÷èòåëüíî.
6. Íàéäèòå, êàê íóæíî ðàçðåçàòü êâàäðàò íà 60 ðàâíûõ
òðåóãîëüíèêîâ, ÷òîáû èç ïîëó÷åííûõ ÷àñòåé ìîæíî áûëî
ñîñòàâèòü 10 ðàâíûõ êâàäðàòîâ.
11 êëàññ
1.  êâàäðàòå ABCD ñî ñòîðîíîé 1 òî÷êè M, N, K è L –
ñåðåäèíû ñòîðîí AB, BC, CD è DA ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå
ïëîùàäü êâàäðàòà ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêîâ AN, BK, CL è DM.
2. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 10000 â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ
(áîëüøå îäíîãî) ïîäðÿä èäóùèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
3. Ñôåðà êàñàåòñÿ ðåáåð AB, BC, CD è DA ïèðàìèäû â
òî÷êàõ M, N, K è L. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè M, N, K è L
ðàñïîëîæåíû â îäíîé ïëîñêîñòè.
2
2
2
4. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 + x + 5 log 2 x = (2x + 1) log 2 x .
5. Ñì. çàäà÷ó 6 äëÿ 10 êëàññà.
6. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ êàæäîé ïðÿìîé íà êîîðäèíàòíîé
ïëîñêîñòè ìîæíî íàéòè ïàðàëëåëüíóþ åé ïðÿìóþ, êîòîðàÿ
íå ñîäåðæèò íè îäíîé òî÷êè ñ öåëî÷èñëåííûìè êîîðäèíàòàìè.
Ôèçè÷åñêîå îòäåëåíèå
ÔÈÇÈÊÀ
7 êëàññ
1. Ïàññàæèð ïîåçäà ñìîòðèò íà âàãîíû âñòðå÷íîãî ïîåçäà.
 ìîìåíò, êîãäà ïîñëåäíèé âàãîí âñòðå÷íîãî ïîåçäà ïðîøåë
ìèìî åãî âàãîíà, ïàññàæèð îùóòèë (ïî âèäó èç åãî îêíà), ÷òî
äâèæåíèå åãî âàãîíà ðåçêî çàìåäëèëîñü. Ïî÷åìó? Îáúÿñíèòå
ïîäðîáíåé.
2. Îïðåäåëèòå âûñîòó äîìà, åñëè äëèíà åãî òåíè ðàâíà L,
à äëèíà òåíè îò âåðòèêàëüíîãî ñòîëáà âûñîòîé h ðàâíà l.
#&
ÊÂÀÍT 2013/¹3
3. Ïî÷åìó ïàäàþùèå âåðòèêàëüíî äîæäåâûå êàïëè â áåçâåòðåííóþ ïîãîäó îñòàâëÿþò íàêëîííûå ïðÿìûå ïîëîñû íà
ñòåêëàõ ðàâíîìåðíî äâèæóùåãîñÿ âàãîíà?
4. Ìóõà ëåòàåò ñî ñêîðîñòüþ u ìåæäó äâóìÿ áàðàíàìè,
êîòîðûå õîòÿò ñòîëêíóòüñÿ ëáàìè. Îïðåäåëèòå ïóòü ìóõè äî
ñòîëêíîâåíèÿ áàðàíîâ, åñëè ñêîðîñòè áàðàíîâ v, à íà÷àëüíîå
ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè L.
5. Èçìåðüòå ëèíåéêîé äëèíó, øèðèíó è âûñîòó òâåðäîé
êîðîáêè, íàïðèìåð èç-ïîä îáóâè. Îïðåäåëèòå ïëîùàäü êàæäîé ïîâåðõíîñòè è îáúåì êîðîáêè. Îöåíèòå îøèáêó êàæäîãî
èç ïðîâåäåííûõ âûøå èçìåðåíèé.
6. Èçìåðüòå äèàìåòð öâåòíîãî êàðàíäàøà èç íàáîðà êàðàíäàøåé ñ ïîìîùüþ îáû÷íîé ëèíåéêè ñ ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé îøèáêîé.
4. Èìååòñÿ áóõòà ïðîâîëîêè è äèýëåêòðè÷åñêèé ùèò, íà êîòîðîì
ñìîíòèðîâàíû òðè êëåììû, ðàñïîëîæåííûå â
âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî
òðåóãîëüíèêà (ðèñ.3).
Ñîïðîòèâëåíèå ïðÿìîãî
îòðåçêà ïðîâîëîêè ìåæ- Ðèñ. 3
äó äâóìÿ êëåììàìè ðàâíî R. Ìîæíî ëè, ïîäêëþ÷àÿ ê êëåììàì ðàçíîå êîëè÷åñòâî
ïðÿìûõ îòðåçêîâ ïðîâîëîêè, ïîëó÷èòü ñîïðîòèâëåíèå ìåæäó êëåììàìè ñ òî÷íûì çíà÷åíèåì (1 5 ) R, (2 5 ) R, (3 5 ) R è
(4 5 ) R ? Êàê ýòî ñäåëàòü?
8 êëàññ
10 êëàññ
1. Îöåíèòå ñèëó äàâëåíèÿ âîäû íà ïëîòèíó ÃÝÑ, åñëè åå
äëèíà L = 1 êì, à âûñîòà Í = 100 ì.
2. Òåëî â âîäå âåñèò â òðè ðàçà ìåíüøå, ÷åì â âîçäóõå. ×åìó
ðàâíà ïëîòíîñòü òåëà?
3. Êàòåð, äâèãàÿñü ïî òå÷åíèþ ðåêè èç ïóíêòà À â ïóíêò Á,
ïðîøåë âåñü ïóòü çà âðåìÿ t1 , à äâèãàÿñü ïðîòèâ òå÷åíèÿ, –
çà âðåìÿ t2 . Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïóíêòàìè s. Íàéäèòå ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè.
4. Äâà ïîåçäà äëèíîé L1 = 150 ì è L2 = 100 ì äâèæóòñÿ
íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñî ñêîðîñòÿìè v1 = 10 ì/ñ è v2 =
= 15 ì/ñ.  òå÷åíèå êàêîãî âðåìåíè ïðîõîäèò ïåðâûé ïîåçä
ïåðåä îêíîì âòîðîãî?
5. Òåëî ìàññîé m, óïàâøåå ñ íåêîòîðîé âûñîòû, ïðèîáðåëî
ñêîðîñòü v. Ñ êàêîé âûñîòû óïàëî òåëî? Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ðàáîòó íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ïîäíÿòü òåëî íà
ýòó âûñîòó?
6. Øòàíãèñò ïîäíèìàåò øòàíãó ìàññîé m = 140 êã íà âûñîòó
Í = 0,8 ì çà âðåìÿ t = 0,4 ñ. Êàêóþ ìîùíîñòü îí ðàçâèâàåò?
1. Íà ðèñóíêå 4 èçîáðàæåíà êàðòà. Êðàñíàÿ ëèíèÿ íà êàðòå
– äîðîãà. Ïî äîðîãå äâèæåòñÿ àâòîáóñ.  ìîìåíò âðåìåíè
t1 = 12 ÷ 30 ìèí îí
íàõîäèëñÿ â òî÷êå A, à
÷åðåç äâàäöàòü ìèíóò –
â òî÷êå B. Òóðèñò øåë
ïî ïðÿìîé òðîïèíêå,
èçîáðàæåííîé ñèíåé ëèíèåé. Îí íàõîäèëñÿ â
òî÷êå A1 , êîãäà ÷àñû
ïîêàçûâàëè âðåìÿ t3 =
= 8 ÷, è â òî÷êå B1 – â
10 ÷. Ñêîëüêî âðåìåíè
òóðèñò áóäåò íà îáî÷èíå äîðîãè äîæèäàòüñÿ Ðèñ. 4
àâòîáóñà?
2. Äâà âñòðå÷íûõ ïîåçäà îäèíàêîâîé äëèíû L äâèãàëèñü,
ðàçãîíÿÿñü ñ îäíèì è òåì æå ïî ìîäóëþ óñêîðåíèåì. Â
ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà âñòðåòèëèñü ãîëîâû ïîåçäîâ, èõ
ñêîðîñòè áûëè v1 è v2 . Îïðåäåëèòå ñêîðîñòè ïîåçäîâ, êîãäà
ðàçîøëèñü èõ ïîñëåäíèå âàãîíû, åñëè ýòî ïðîèçîøëî íà
ðàññòîÿíèè L1 îò ìåñòà âñòðå÷è â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ
ïåðâîãî ïîåçäà.
3. Íà âåñàõ ñòîèò ÷àøêà (ðèñ.5).  ÷àøêå ïëàâàåò, ïîãðóçèâøèñü íà 3/4 â âîäó, äåðåâÿííûé áðóñîê êóáè÷åñêîé
ôîðìû. Âåñû ïîêàçûâàþò P1 . Ïîñëå òîãî
êàê áðóñîê, ïðèëîæèâ íåêîòîðóþ ñèëó,
óòîïèëè, ïîêàçàíèÿ âåñîâ ñòàëè P2 . Êîãäà
áðóñîê àêêóðàòíî âûíóëè, âåñû ñòàëè ïîêàçûâàòü P3 . Êàêàÿ ìàññà âîäû âûëèëàñü èç
÷àøêè?
4. Ðåøèòå çàäà÷ó 3 äëÿ 9 êëàññà.
9 êëàññ
1. Èç äåðåâíè Ïðîñòîêâàøèíî ïî îäíîé äîðîãå îäíîâðåìåííî â îäíîì íàïðàâëåíèè îòïðàâëÿþòñÿ Êîò Ìàòðîñêèí è
Äÿäÿ Ôåäîð. Äÿäÿ Ôåäîð èäåò ïåøêîì, à Ìàòðîñêèí êàòèò
íà âåëîñèïåäå. ×åðåç âðåìÿ t Ìàòðîñêèí äîãîíÿåò Ôåäîðà.
Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ äâèãàëñÿ Ìàòðîñêèí, åñëè îí åõàë â
÷åòûðå ðàçà áûñòðåå Ôåäîðà, à äîðîãà áûëà êðóãîâîé è èìåëà
ðàäèóñ R?
2. Øàðèê ïðèêðåïëåí ê íèòêå. Åñëè çà íèòêó òÿíóòü ââåðõ
ñ ñèëîé F1 , îí ïëàâàåò, íàïîëîâèíó ïîãðóçèâøèñü â âîäó
(ðèñ.1). Äëÿ òîãî ÷òîáû øàðèê óòîíóë, íèòêó íóæíî òÿíóòü âíèç ñ ñèëîé F2 . Îïðåäåëèòå ìàññó øàðèêà.
3. Îñòàíîâèâøèñü íà íî÷ëåã, òóðèñò ðàçâåë êîñòåð è
ïîäâåñèë íàä êîñòðîì êîòåëîê ñî ñíåãîì. Ïîñëå òîãî
êàê ñíåã ðàñòàÿë, êîòåëîê
Ðèñ. 1
îêàçàëñÿ íåïîëíûì, è òóðèñò
áðîñèë â íåãî íîâóþ ïîðöèþ ñíåãà. Íà ðèñóíêå 2 ïîêàçàí
ãðàôèê èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû â êîòåëêå. Âî ñêîëüêî ðàç
íîâàÿ ïîðöèÿ ñíåãà óâåëè÷èëà êîëè÷åñòâî âîäû â êîòåëêå, åñëè îíà
áûëà äîáàâëåíà â ìîìåíò âðåìåíè t2 ? Îöåíèòå òåìïåðàòóðó ñíåãà, ñ÷èòàÿ òåïëîåìêîñòè ñíåãà è âîäû îäèíàÐèñ. 2
êîâûìè.
Ðèñ. 5
Ðèñ. 6
5. Êîâðèê ìàññîé m1 è íåâåñîìûé áëîê íàõîäÿòñÿ íà
ãëàäêîì ñòîëå (ðèñ.6). Íà êîâðèêå ëåæàò äâà áðóñêà ìàññàìè
m2 è m3 , ñâÿçàííûå ïåðåáðîøåííîé ÷åðåç áëîê íåâåñîìîé
íèòüþ. Ïðè êàêîé ìèíèìàëüíîé ïðèëîæåííîé ê áëîêó ñèëå
F îáà áðóñêà áóäóò ñêîëüçèòü ïî êîâðèêó? Êîýôôèöèåíò
òðåíèÿ ìåæäó áðóñêàìè è êîâðèêîì µ . Òðåíèå ìåæäó
îñòàëüíûìè ïðåäìåòàìè îòñóòñòâóåò.
ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÊÀÇÀÍÈß,
11 êëàññ
1. Ðåøèòå çàäà÷ó 1 äëÿ 10 êëàññà.
2. Äâå îäèíàêîâûå çàðÿæåííûå
áóñèíêè ìàññîé m êàæäàÿ íàíèçàíû íà êîëüöî èç ëåãêîé íèòè.
Íèòü ïîäâåøåíà, è áóñèíêè â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ îáðàçóþò ñ
òî÷êîé ïîäâåñà ïðàâèëüíûé òðåÐèñ. 7
óãîëüíèê ñî ñòîðîíîé a (ðèñ.7).
Îïðåäåëèòå çàðÿä áóñèíîê.
3.  ïðîâîëî÷íîì êâàäðàòå äâå ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû
ñîåäèíèëè îòðåçêîì òîé æå ñàìîé ïðîâîëîêè, èç êîòîðîé
ñäåëàí êâàäðàò. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå
ñîïðîòèâëåíèé ìåæäó
òî÷êàìè A è B ïðè
äâóõ ðàçíûõ ñïîñîáàõ
ñîåäèíåíèÿ (ðèñ.8).
4. Ãåðìåòè÷íûé áàê
ðàçäåëåí ãîðèçîíòàëüÐèñ. 8
íîé ïåðåãîðîäêîé íà
#'
ÐÅØÅÍÈß
äâå ÷àñòè: íèæíÿÿ
èìååò âûñîòó h, à
âåðõíÿÿ
–
2h
(ðèñ.9). Âåðõíÿÿ
ñåêöèÿ áàêà íàïîëîâèíó çàïîëíåíà æèäêîñòüþ. Ñâîáîäíûå
îáúåìû áàêà çàïîëíåíû âîçäóõîì ñ äàâëåíèåì p. Â ïåðåãî- Ðèñ. 9
ðîäêå îòêðûëàñü òå÷ü – ïîëîâèíà æèäêîñòè ïðîñî÷èëàñü â
íèæíèé îòñåê, ïîñëå ÷åãî ïðîöåññ óòå÷êè îñòàíîâèëñÿ.
Îïðåäåëèòå ïëîòíîñòü æèäêîñòè.
5. Äâà îäèíàêîâûõ áðóñêà ëåæàò äðóã çà äðóãîì íà
ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå (ðèñ.10). Ñ ëåâîãî êðàÿ ëåâîãî áðóñêà
ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v
ïóñêàþò øàéáó. Îíà ñêîëüçèò ïî ïîâåðõíîñòè ïåðâîãî
áðóñêà, ïåðåõîäèò íà âòî- Ðèñ. 10
ðîé è ïðåêðàùàåò ñêîëüæåíèå ïîñðåäèíå âòîðîãî áðóñêà. Òðåíèå áðóñêîâ î ñòîë îòñóòñòâóåò. Îïðåäåëèòå êîíå÷íûå ñêîðîñòè òåë. Øàéáà è áðóñêè
èìåþò îäèíàêîâûå ìàññû.
ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß
«ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ
ÇÀÄÀ×È
(ñì. «Êâàíò» ¹2)
1. Ïî 50 ðóáëåé.
Ïóñòü ìàãàçèí ïîêóïàë ôëîìàñòåðû ó ïðîèçâîäèòåëÿ ïî öåíå x
ðóáëåé çà îäèí íàáîð. Òîãäà âûãîäà ìàãàçèíà îò ïðîäàæè
îäíîãî íàáîðà ðàâíà 100 – x ðóáëåé. Ïðè ïîêóïêå äâóõ íàáîðîâ ïîêóïàòåëü ïîëó÷àåò òðåòèé â ïîäàðîê, ïîýòîìó âûãîäà
ìàãàçèíà â ýòîì ñëó÷àå ñîñòàâëÿåò 2(100 - x) - x = 200 - 3x
ðóáëåé. Ïðèðàâíèâàÿ ýòè äâå âåëè÷èíû, íàõîäèì, ÷òî x = 50.
2. Íà ðèñóíêå 1 ïîêàçàíî, êàê êîìåíäàíò âûïîëíÿë ïðèêàçû
ñâîèõ íà÷àëüíèêîâ.
Ïîëêîâíèê:
Ãåíåðàë:
Ìàðøàë:
ìîæíî, òðåõ, îáÿçàòåëüíî äâóõðóáëåâûå. Ïîýòîìó èç ïÿòè
âûòàùåííûõ ìîíåò òðè áóäóò ðóáëåâûìè, à äâå – äâóõðóáëåâûìè.
4. 7 ñì èëè 11 ñì.
Äîêàæåì, ÷òî ñóììû äëèí êóñî÷êîâ, îòïèëåííûõ îò ïðîòèâîïîëîæíûõ íîæåê òàáóðåòêè, ðàâíû. Òàê êàê íîæêè ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó, òî ïëîñêîñòü, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç ëþáûå äâå
ñîñåäíèå íîæêè, áóäåò ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè, ïðîâåäåííîé
÷åðåç äâå äðóãèå íîæêè. Çíà÷èò, ýòè äâå ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþò
ëþáóþ òðåòüþ ïëîñêîñòü (êîòîðàÿ èì íå ïàðàëëåëüíà) ïî äâóì
ïàðàëëåëüíûì ïðÿìûì.
Ïîñêîëüêó ïîñëå Âàñèíîé äèâåðñèè òàáóðåòêà ñòîèò íà ïîëó,
êàñàÿñü åãî âñåìè ÷åòûðüìÿ íîæêàìè, òî ÷åòûðåõóãîëüíèê,
îáðàçîâàííûé êîíöàìè íîæåê, ëåæèò â ïëîñêîñòè ïîëà. Èç
ñêàçàííîãî â ïðåäûäóùåì àáçàöå ñëåäóåò, ÷òî ýòîò ÷åòûðåõóãîëüíèê – ïàðàëëåëîãðàìì. Çíà÷èò, åãî äèàãîíàëè äåëÿòñÿ
òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ Î ïîïîëàì. Ïóñòü Q – öåíòð êâàäðàòíîãî
ñèäåíèÿ òàáóðåòêè. Ðàññìîòðèì òðàïåöèþ, îñíîâàíèÿìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ îñòàòêè ïðîòèâîïîëîæíûõ íîæåê òàáóðåòêè.
Îòðåçîê OQ – åå ñðåäíÿÿ ëèíèÿ, ïîýòîìó ñóììà îñíîâàíèé
ðàâíà 2OQ. Àíàëîãè÷íî, òî÷íî òàêîé æå áóäåò ñóììà îñíîâàíèé òðàïåöèè, ïîñòðîåííîé íà äðóãîé ïàðå ïðîòèâîïîëîæíûõ
íîæåê. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ñóììû äëèí îñòàâøèõñÿ «ïðîòèâîïîëîæíûõ» íîæåê ðàâíû. Òàê êàê èçíà÷àëüíî íîæêè ó òàáóðåòêè
áûëè îäèíàêîâûìè, òî è ñóììû äëèí «ïðîòèâîïîëîæíûõ»
îòïèëåííûõ êóñî÷êîâ ðàâíû.
Ïóñòü òåïåðü x – äëèíà ïîòåðÿííîãî êóñî÷êà. Åñòü òðè âàðèàíòà, êàêîé èç îñòàâøèõñÿ êóñî÷êîâ áûë ïî äèàãîíàëè îò ïîòåðÿííîãî. Ðàññìîòðåâ êàæäûé èç âàðèàíòîâ, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ
8 + x = 9 + 10 ,
9 + x = 8 + 10 ,
Ðèñ. 1
3. Ìîæíî.
Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî â êàðìàíå ó Ïåòè âñå ìîíåòû,
êðîìå, áûòü ìîæåò, äâóõ, òî÷íî ðóáëåâûå, à âñå, êðîìå, âîç-
10 + x = 8 + 9 .
Ðåøàÿ èõ, íàõîäèì, ÷òî ïîòåðÿííûé êóñî÷åê ìîã èìåòü äëèíó
7, 9 èëè 11 ñì. Íî òàê êàê äëèíû âñåõ êóñî÷êîâ ðàçëè÷íû, òî
9 ñì íå ïîäõîäèò.
$
ÊÂÀÍT 2013/¹3
Ïðîâåðüòå, ÷òî îáà îñòàâøèõñÿ âàðèàíòà âîçìîæíû.
5. Íå ìîãóò.
Îáîçíà÷èì ýòè øàéáû áóêâàìè À, Á, Â, îáõîäÿ îáðàçîâàííûé
èìè òðåóãîëüíèê ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.  ýòîò ìîìåíò íàì íå
âàæíî, ñ êàêîé èìåííî øàéáû íà÷èíàòü, íî äàëåå áóäåì îáõîäèòü èõ, íà÷èíàÿ ñ À (è òàêæå ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå). Çàìåòèì,
÷òî ïîñëå êàæäîãî áðîñêà õîêêåèñòà ìåíÿåòñÿ öèêëè÷åñêèé
ïîðÿäîê øàéá: åñëè îíè ðàñïîëàãàëèñü â ïîðÿäêå ÀÁÂ äî
áðîñêà, òî ïîòîì èõ ïîðÿäîê ñòàíåò ÀÂÁ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
ïîñëå ëþáîãî íå÷åòíîãî ÷èñëà áðîñêîâ öèêëè÷åñêèé ïîðÿäîê
øàéá áóäåò íå òàêèì, êàê ñíà÷àëà. Ïîýòîìó ÷åðåç 13 áðîñêîâ
øàéáû òî÷íî íå ñìîãóò çàíÿòü ñâîè íà÷àëüíûå ìåñòà.
ÊÎÍÊÓÐÑ «ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 6-8»
(ñì. «Êâàíò» ¹1)
11. Çàìåòèì, ÷òî 12-å ïðîñòîå ÷èñëî – ýòî 37, è îíî áîëüøå
36 – ñâîåãî óòðîåííîãî íîìåðà. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî åñëè
ïðîñòîå ÷èñëî p áîëüøå ñâîåãî óòðîåííîãî íîìåðà, òî è ñëåäóþùåå çà íèì ïðîñòîå ÷èñëî îáëàäàåò ýòèì ñâîéñòâîì. Ïóñòü
ó p íîìåð n, òîãäà p > 3n, ò.å. p ≥ 3n + 1 . Ñëåäóþùåå çà íèì
ïðîñòîå íå ìîæåò ðàâíÿòüñÿ 3n + 2, òàê êàê äâà ïðîñòûõ ÷èñëà íèêîãäà íå èäóò ïîäðÿä (êðîìå ÷èñåë 2 è 3). Òàêæå îíî íå
ìîæåò ðàâíÿòüñÿ ñîñòàâíîìó ÷èñëó 3n + 3 = 3 (n + 1) . Ïîýòîìó
îíî çàâåäîìî áîëüøå ÷åì 3 (n + 1) – ò.å. áîëüøå ñâîåãî óòðîåííîãî íîìåðà.
12. Ìàëûø.
×òîáû îáåñïå÷èòü ñåáå âûèãðûø, Ìàëûøó äîñòàòî÷íî ïðèäåðæèâàòüñÿ òàêîé ñòðàòåãèè. Åñëè åìó ïåðåä î÷åðåäíûì õîäîì äîñòàíåòñÿ «êó÷êà» èç îäíîé êîíôåòû, òî îí åå ïðîñòî
ñúåñò è âûèãðàåò. Åñëè â êó÷å áóäåò N > 1 êîíôåò, òî åìó
íàäî ðàçäåëèòü åå íà äâå: èç îäíîé êîíôåòû è èç N - 1 êîíôåò. (Ïåðåä ïåðâûì õîäîì ó íåãî êàê ðàç òàêàÿ ñèòóàöèÿ.)
Äåéñòâóÿ òàêèì îáðàçîì, Ìàëûø áóäåò âûíóæäàòü Êàðëñîíà
êàæäûé ðàç áðàòü òîëüêî îäíó êîíôåòó: åñëè Êàðëñîí ïîæàäíè÷àåò è ñúåñò áîëüøóþ êó÷ó, òî Ìàëûø ñïîêîéíî ñúåñò îñòàâøóþñÿ êîíôåòó è âûèãðàåò. Íî è ïðè òàêîì (ìó÷èòåëüíîì
äëÿ Êàðëñîíà) ðàçâèòèè ñîáûòèé â êîíöå êîíöîâ Ìàëûø âûèãðàåò: êîãäà åìó äîñòàíåòñÿ êó÷êà èç äâóõ êîíôåò, îí ïîäåëèò åå ïîïîëàì, Êàðëñîí ñúåñò îäíó èç äâóõ êîíôåò, à Ìàëûø âîçüìåò ïîñëåäíþþ.
13. Íàéäóòñÿ.
Ïðèìåðîâ òóò ìîæíî ïðèäóìàòü ñêîëüêî óãîäíî. Âîò êàê
ìîæíî ïîëó÷èòü íåêîòîðûå èç íèõ. Ïóñòü ε – ìàëåíüêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî è A = B = 1000000 + ε , C = 2000000. Òîãäà A + B – C = 2ε è B + C – A = C + A – B = 2000000. Çíà÷èò,
( A + B - C ) ( B + C - A) (C + A - B) =
12
= 2ε ◊ 2000000 ◊ 2000000 = 8ε ◊ 10 .
×òîáû ýòî ÷èñëî áûëî ìåíüøå îäíîé ìèëëèîííîé, ò.å. 10 -6 ,
1
äîñòàòî÷íî âçÿòü ε ìåíüøå ÷åì ◊ 10 -18 . Íàïðèìåð, ïîäîé8
äåò ε = 10 -19 .
14. 90 .
Ïî îñíîâíîìó ñâîéñòâó ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè
íà äàííóþ ïðÿìóþ, îí êîðî÷å ëþáîé íàêëîííîé, ïðîâåäåííîé
÷åðåç ýòó òî÷êó ê ýòîé æå ïðÿìîé. Ïîýòîìó äëèíà ëþáîé äèàãîíàëè íå ìîæåò áûòü ìåíüøå, ÷åì ñóììà äëèí ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ èç åå êîíöîâ íà âòîðóþ äèàãîíàëü. Çíà÷èò,
ñóììà äèàãîíàëåé íå ìåíüøå ñóììû äëèí âñåõ ÷åòûðåõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ. Èç óñëîâèÿ æå ñëåäóåò, ÷òî ñóììà äèàãîíàëåé
íå áîëüøå ñóììû äëèí ïåðïåíäèêóëÿðîâ. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî
îïèñàííûå âûøå íåðàâåíñòâà äîëæíû îáðàùàòüñÿ â ðàâåíñòâà. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äèàãîíàëè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ïåð-
ïåíäèêóëÿðíû. Áîëåå òîãî, èç ýòîãî âûòåêàåò, ÷òî äèàãîíàëè
ðàâíû: äëèíà êàæäîé èç íèõ ðàâíà ñóììå äëèí îïóùåííûõ íà
âòîðóþ äèàãîíàëü ïåðïåíäèêóëÿðîâ, ò.å. äëèíà êàæäîé äèàãîíàëè íå áîëüøå äëèíû äðóãîé äèàãîíàëè.  èòîãå ïîëó÷àåì,
÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê, îáðàçîâàííûé ñåðåäèíàìè ñòîðîí èñõîäíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, – ýòî êâàäðàò, è èñêîìûé óãîë
ðàâåí 90 .
15. à) Íå ìîæåò.
Ïóñòü íà äîñêå êàê-òî ðàññòàâëåíû ôèøêè. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôèãóðó Ô, êîòîðóþ îáðàçóþò âñå ïîëÿ, çàíÿòûå ôèøêàìè (îíà âïîëíå ìîæåò ñîñòîÿòü èç íåñêîëüêèõ ÷àñòåé). Ïåðâîíà÷àëüíî Ô ñîñòîèò èç 10 ïîëåé, ïîýòîìó åå ïåðèìåòð íå
áîëüøå 6 ¥ 10 = 60 (ìû ïðèíÿëè ñòîðîíó îäíîãî ïîëÿ äîñêè
çà åäèíèöó). Áîðÿ ìîæåò ñòàâèòü íîâûå ôèøêè òîëüêî íà òå
ïîëÿ, ó êîòîðûõ çàíÿòû íå ìåíüøå òðåõ ñîñåäåé, ò.å. íå ìåíåå
òðåõ èç øåñòè ñòîðîí ýòîãî ïîëÿ óæå âõîäÿò â ãðàíèöó Ô.
Çíà÷èò, êàæäîå íîâîå ïîëå «äîáàâèò» ê ïåðèìåòðó Ô íå
áîëüøå, ÷åì «îòíèìåò» îò íåãî. Òåì ñàìûì, ïîñëå êàæäîãî
Áîðèíîãî õîäà ïåðèìåòð Ô íå óâåëè÷èâàåòñÿ. Íî ïåðèìåòð
âñåé äîñêè ðàâåí 66, ïîýòîìó Áîðÿ íå ñìîæåò çàñòàâèòü âñå
ñâîáîäíûå ïîëÿ ñâîèìè ôèøêàìè.
Ðèñ. 2
á) Ìîæåò.
Íà ðèñóíêå 2 ïîêàçàí îäèí èç ñïîñîáîâ ðàññòàâèòü íà äîñêå
11 ôèøåê, ÷òîáû Áîðÿ ñìîã çàïîëíèòü îñòàâøèåñÿ ïîëÿ ñâîèìè ôèøêàìè.
ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ»
Âîïðîñû è çàäà÷è
1. Ñòàëü ðàñøèðÿåòñÿ ïðè íàãðåâàíèè è ñæèìàåòñÿ ïðè îõëàæäåíèè â áîëüøåé ñòåïåíè, ÷åì äåðåâî.
2. Ýòîò ìàòåðèàë äîëæåí èìåòü òàêîé æå êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ, êàê è ñòåêëî.
3. Äà, íàðóøèòñÿ. Íàãðåòîå ïëå÷î êîðîìûñëà ïåðåòÿíåò.
4. Ìåäíàÿ ÷àñòü – âíèçó.
5. Êîíâåêöèîííûå òå÷åíèÿ â æèäêîñòè îòñóòñòâîâàëè áû, è
íèæíèå ñëîè æèäêîñòè èìåëè áû çíà÷èòåëüíî áîëåå âûñîêóþ
òåìïåðàòóðó, ÷åì âåðõíèå.
6. Ïðè íàãðåâå âîäû â ïðàâîì ñîñóäå îíà ðàñøèðÿåòñÿ è çàíèìàåò áîëüøèé îáúåì (â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà âûøå òî÷êè ìàêñèìàëüíîé ïëîòíîñòè). Îäíàêî èç-çà
ôîðìû ñîñóäà óìåíüøåíèå ïëîòíîñòè íå êîìïåíñèðóåòñÿ óâåëè÷åíèåì âûñîòû åå ñòîëáà. Ïîýòîìó äàâëåíèå íà äíî ïðàâîãî
ñîñóäà óìåíüøèòñÿ, è âîäà ïî òðóáêå áóäåò ïåðåòåêàòü èç ëåâîãî ñîñóäà â ïðàâûé. Ïðè íàãðåâå âîäû â ëåâîì ñîñóäå ðåçóëüòàò áóäåò òåì æå – âîäà ïîòå÷åò ïî òðóáêå âïðàâî.
7. Âûñîòà ñòîëáèêà æèäêîñòè íå çàâèñåëà áû îò òåìïåðàòóðû.
8. Ìîæíî. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû ðòóòü â êàïèëëÿðå
òåðìîìåòðà íàõîäèëàñü ïîä âûñîêèì äàâëåíèåì (äî 70 àòì),
ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÊÀÇÀÍÈß,
÷òî ïðèâåäåò ê ïîâûøåíèþ òî÷êè åå êèïåíèÿ äî íóæíîãî çíà÷åíèÿ. Äëÿ äîñòèæåíèÿ âûñîêîãî äàâëåíèÿ êàïèëëÿð çàïîëíÿþò ãàçîì, à åãî òîëñòûå ñòåíêè èçãîòàâëèâàþò èç òóãîïëàâêîãî êâàðöà.
9. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ óðîâíè ðòóòè îñòàíóòñÿ ïðåæíèìè.
10. Êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ æèäêîñòåé çàìåòíî
çàâèñèò îò ðîäà âåùåñòâà, òîãäà êàê âñå ãàçû èìåþò îäèí è
òîò æå êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ.
11. Äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà âîäû ïðè íàãðåâàíèè ìåíÿåòñÿ èíà÷å, ÷åì äàâëåíèå ãàçà.
12.  âîëüôðàìîâîì âîëîñêå òîê ïðè âêëþ÷åíèè çíà÷èòåëüíî
áîëüøå, ÷åì â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå, à â óãîëüíîì – íàîáîðîò.
13.  ïåðâîì ñëó÷àå òîê ÷åðåç ëàìïî÷êó 2 íà÷èíàåò èäòè ïîñëå òîãî, êàê íèòü ëàìïû 1 íàêàëèëàñü è åå ñîïðîòèâëåíèå ñòàëî çíà÷èòåëüíûì. Âî âòîðîì æå ñëó÷àå òîê ÷åðåç ëàìïî÷êó 2
íà÷èíàåò èäòè ñðàçó ïîñëå âêëþ÷åíèÿ â ñåòü, ò.å. êîãäà íèòü
ëàìïû 1 åùå íå íàãðåëàñü è åå ñîïðîòèâëåíèå ìàëî, ïîýòîìó
ëàìïî÷êà 2 ïåðåãîðàåò.
14. Àìïåðìåòð ïîêàæåò óâåëè÷åíèå òîêà.
15. Óâåëè÷èâàåòñÿ êîíöåíòðàöèÿ ñâîáîäíûõ íîñèòåëåé çàðÿäà
â ïîëóïðîâîäíèêå.
16. Íà 25%.
17. Ïîëóïðîâîäíèêîâûå òåðìîýëåìåíòû èìåþò áóëüøóþ ÷óâñòâèòåëüíîñòü, áîëüøèé ÊÏÄ è ìåíüøèå ðàçìåðû.
18. Õîëîäíûå çâåçäû â îñíîâíîì èçëó÷àþò â êðàñíîé è èíôðàêðàñíîé ÷àñòÿõ ñïåêòðà, ÷òî è îïðåäåëÿåò èõ öâåò. Ãîðÿ÷èå
çâåçäû äàþò çàìåòíîå èçëó÷åíèå âî âñåì îïòè÷åñêîì äèàïàçîíå, êîòîðîå ñîçäàåò îùóùåíèå áåëîãî öâåòà.
Ìèêðîîïûò
Ïðè êðàòêîâðåìåííîì îïóñêàíèè òåðìîìåòðà â ãîðÿ÷óþ âîäó
åãî ñòåêëÿííûé êîí÷èê ðàñøèðèòñÿ áûñòðåå, ÷åì çàêëþ÷åííàÿ â íåì ðòóòü.
ÂÎÒ ×ÒÎ-ÒÎ Ñ ÃÎÐÎ×ÊÈ ÑÏÓÑÒÈËÎÑ܅
1. s =
2v02 sin ( α - β) cos α
g cos2 β
(m + m ) sin α , âðåìÿ ñïóñm2 sin α cos α
, aáð îòí = g 1 2 2
m2 sin2 α + m1
m2 sin α + m1
êà áðóñêà íàéäåì èç óðàâíåíèÿ
aáð îòít 2
h
=
.
sin α
2
4. F = mg µ2 cos2 α - sin2 α = 20 Í.
5. Fí =
m2 F
= 20 Í.
m1 + m2
6. k =
(tgα + µ) (1 + µtgα )
(tgα - µ) (1 - µtgα )
= 7.
mg tg α
7. I =
= 8 À.
Bl
m a + g sin α
= 4 À.
8. I =
L B cos α
9. v =
10. t =
mgR sin α
= 3 ì ñ.
B2l2
π
3
l
= 314 ìñ.
g sin α
$
XXI ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ
«ÈÍÒÅËËÅÊÒÓÀËÜÍÛÉ ÌÀÐÀÔÎÍ»
ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ ÏÎ ÔÓÍÄÀÌÅÍÒÀËÜÍÛÌ ÍÀÓÊÀÌ
Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
1. 78329.
Ïóñòü èñêîìîå ÷èñëî ðàâíî 100õ + 29 (õ – öåëîå), S ( x ) –
ñóììà öèôð ÷èñëà õ. Èç óñëîâèÿ èìååì, ÷òî S ( x ) + 2 + 9 =
= 29, îòêóäà ïîëó÷èì, ÷òî S ( x ) = 18, çíà÷èò, õ äåëèòñÿ íà 9.
Ïî óñëîâèþ, 100õ + 29 = 29k, ò.å. 100õ = 29(k – 1). Ýòî çíà÷èò, ÷òî õ äåëèòñÿ íà 29.
Èòàê, õ äåëèòñÿ íà 9 ⋅ 29 = 261 . Ïåðåáèðàÿ ÷èñëà, êðàòíûå
261, íàéäåì, ÷òî íàèìåíüøåå óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ÷èñëî õ ðàâíî 261 ⋅ 3 = 783 .
2. 20° .
Öåíòð âïèñàííîé â ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê BCD îêðóæíîñòè ëåæèò íà åãî âûñîòå ÂÌ, îïóùåííîé èç âåðøèíû Â.
Òðåóãîëüíèê AED ðàâíîáåäðåííûé, òàê êàê åãî ñòîðîíà ED
ðàâíà îòðåçêó DM (ýòî êàñàòåëüíûå ê îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûå èç òî÷êè D), êîòîðûé, ïî óñëîâèþ, ðàâåí îòðåçêó AD.
Ïðè ýòîì ∠BDC = 40° – âíåøíèé óãîë ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ADE, îí ðàâåí ñóììå äâóõ åãî ðàâíûõ âíóòðåííèõ
óãëîâ, ñðåäè êîòîðûõ è èñêîìûé óãîë.
3. Íåëüçÿ.
Ðàñêðàñèì äîñêó â äâà öâåòà ïîëîñàìè ïî ãîðèçîíòàëè, íà÷èíàÿ ñ ÷åðíîé âåðõíåé, ÷åðåäóÿ öâåòà. Òîãäà ñòàíåò ÿñíî, ÷òî
«ïåðåãíàòü» êâàäðàò â äâà âåðõíèõ óãëà íå óäàñòñÿ: â èñõîäíîì êâàäðàòå îäíà ÷åðíàÿ ïîëîñà è äâå áåëûõ, à â îáîèõ íèæíèõ êâàäðàòàõ – íàîáîðîò, â òî âðåìÿ êàê ïðè ëþáîì ïðûæêå
öâåò ïîëîñû, íà êîòîðîé íàõîäèòñÿ ôèøêà, íå ìåíÿåòñÿ.
×òîáû ïîíÿòü, ÷òî è â ïðàâûé íèæíèé êâàäðàò «ïåðåãíàòü»
òîæå íå óäàñòñÿ, äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ìîæíî ïåðåêðàñèòü
äîñêó, ÷åðåäóÿ öâåòà ïî âåðòèêàëè.
4. (1; 1).
Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ: ïóñòü
x + y = u, x + 1 = v, y + 1 = w.
= 30 ì .
2. v = 2gl (µ cos α - sin α ) = 4 ì/ñ.
3. aêë = g
ÐÅØÅÍÈß
Ñëîæèâ ïî÷ëåííî ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì x + y + 1 =
u+v+w
=
, îòêóäà íàõîäèì, ÷òî
2
−u + v + w

,
1 =
2

u+v−w

,
x =
2

u−v+w

.
y =
2

Ïîäñòàâèâ ýòè âûðàæåíèÿ â äàííîå óðàâíåíèå, ïðèõîäèì ê
ðàâåíñòâó
-u + v + w u - v + w u + v - w 3
+
+
= ,
2u
2v
2w
2
êîòîðîå ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
u v  u w  v w
 + + + + +  = 6.
v u w u  w v 
 êàæäîé ñêîáêå ëåâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ñòîèò ñóììà
äâóõ ïîëîæèòåëüíûõ âçàèìíî îáðàòíûõ âåëè÷èí. Íî ïðè
1
a > 0, êàê èçâåñòíî, a + ≥ 2 , ïðè÷åì ðàâåíñòâî íàñòóïàåò,
a
ëèøü êîãäà à = 1. Ïîýòîìó ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà íå ìåíüøå
ïðàâîé, îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî â êàæäîé ñêîáêå ïåðâîå ñëàãàåìîå ðàâíî âòîðîìó.  èòîãå èìååì, ÷òî u = v = w, îòêóäà x =
= y = 1.
$
ÊÂÀÍT 2013/¹3
γ
.
2
Ïîñêîëüêó ∠BKA = ∠ALB = 90° , òî÷êè À, Â, K è L ëåæàò íà
îäíîé îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì À = ñ è öåíòðîì Î – â ñåðå∠A
äèíå ñòîðîíû ÀÂ. Çàìåòèì, ÷òî ∠ABK = 90° −
(èç ïðÿìî2
óãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABK, ó÷èòûâàÿ ÷òî AK – áèññåêòðèñà
óãëà À èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà). Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì, ÷òî
∠B
∠BAL = 90° −
. Ïîýòîìó (òðåóãîëüíèêè BOK è AOK –
2
ðàâíîáåäðåííûå, òàê êàê îòðåçêè ÎÀ, ÎÂ, OK è OL – ðàäèóñû îêðóæíîñòè) ∠BOK = 180° − 2∠ABK = ∠A , ∠AOL = ∠B ,
çíà÷èò, ∠KOL = 180° − ∠A − ∠B = γ . Òåïåðü èç ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà KOL ïîëó÷àåì
γ
KL = c sin .
2
5. c sin
6. ( −1; 0 ) ; (1; 0 ) ; ( −4; 3 ) ; (4; 3 ) ; ( −4; 5 ) ; (4; 5 ) .
2
Çàìåòèì, ÷òî ìåæäó òî÷êàìè ÷èñëîâîé îñè ( y − 1) , y2 è
2
( y + 1) íåò êâàäðàòîâ äðóãèõ öåëûõ ÷èñåë – ýòî êâàäðàòû
òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë. Ïîýòîìó ÷èñëî x2 íå ìîæåò
2
íàõîäèòüñÿ âíóòðè îòðåçêà ÷èñëîâîé îñè îò ( y − 1) äî
( y + 1)2 , ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
ã) Ñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a1 , a2 , …, an , èñõîäÿ èç
ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a1 , a2 , …, an −1 óæå
ïîñòðîåíà, ò.å. ÷òî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé k îò 1 äî (n − 1) âêëþ÷èòåëüíî ñóììà a12 + a22 + … + ak2 ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì êâàäðàòîì.1
2
2
2
2
Àíàëîãè÷íî ïï. á) è â), èìååì, ÷òî a1 + … + an −1 + an = y ,
2
2
2
2
ò.å. z + an = y , ãäå ÷åðåç z îáîçíà÷åíà ñóììà êâàäðàòîâ
ïåðâûõ (n − 1) ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ïî óñëîâèþ, îíà
åñòü ïîëíûé êâàäðàò). Ïîëó÷àåì, êàê è â ïðåäûäóùèõ ïóíêòàõ ðåøåíèÿ,
z2 = ( y − an )( y + an ) .
Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùèì ïóíêòàì, ðåøàåì ñèñòåìó óðàâíåíèé

z2 − 1
an =
,

y
a
−
=
1,

n

2
⇔


2
2
 y + an = z
y = z + 1 .

2
Çàìåòèì, ÷òî ïî íàøåìó ïîñòðîåíèþ ïåðâûé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè – íå÷åòíîå ÷èñëî, à âñå îñòàëüíûå – ÷åòíûå: êàæäûé ðàç ìû ïîëó÷àåì íå÷åòíóþ ñóììó êâàäðàòîâ, çíà÷èò, äîáàâëÿåì ÷åòíîå ÷èñëî; ïîýòîìó ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé ïîñëåäíåé ñèñòåìû – öåëûå ÷èñëà.
2
x 2 − y2 ≥ y2 − ( y − 1) = 2y − 1 .
Çíà÷èò, âìåñòî äàííîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî íàïèñàòü ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî ó:
(2y − 1)2
≤ 16 y + 1 ⇔ y ( y − 5 ) ≤ 0 .
Öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà – ÷èñëà 0, 1,
2, 3, 4 è 5. Ïîäñòàâëÿåì èõ ïî î÷åðåäè â èñõîäíîå óðàâíåíèå
è èùåì ñîîòâåòñòâóþùèå öåëûå çíà÷åíèÿ õ.
Åñëè ó = 0, èç óðàâíåíèÿ íàõîäèì, ÷òî x = ±1 . Ïðè ó = 1 ïîëó÷àåì, ÷òî êâàäðàò öåëîãî ÷èñëà ðàâåí 17, ÷òî íåâîçìîæíî.
Àíàëîãè÷íî íå äàþò ðåøåíèé ó = 2 è ó = 4. Ïðè ó = 3 èìååì
(x
2
−9
)
2
= 49 , îòêóäà
2
 x = 16,
x 2 − 9 = ±7 ⇔ 
2
 x = 2.
Öåëûå ðåøåíèÿ ïîëó÷èì òîëüêî èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ïîñëåäíåé ñèñòåìû.
Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé ó = 5.
7. à) 3, 4; á) 3, 4, 12; â) 3, 4, 12, 84; ã) 3, 4, 12, 84, …
..., an =
a12 + a22 + … + an2−1 − 1
.
2
à) Ïðèìåð: 3, 4. á) Ïîëó÷èì ïðèìåð ñ ïîìîùüþ ï. à). Ïîïûòàåìñÿ ïðîäîëæèòü âûïèñàííûé òàì ðÿä èç äâóõ ÷èñåë: 3, 4,
õ, ïðè÷åì íàäî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî 32 + 42 + x 2 =
= y2 , ò.å. 25 = y2 − x2 . Ïîäáåðåì ÷èñëà õ è ó. Äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî 25 = ( y − x )( y + x ) . Ïîëîæèì ïåðâûé
ìíîæèòåëü ðàâíûì 1, òîãäà âòîðîé äîëæåí ðàâíÿòüñÿ 25.
Èòàê,
Ï y - x = 1,
Ï x = 12,
¤Ì
Ì
Ó y + x = 25
Ó y = 13.
Èñêîìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: 3, 4, 12.
â) Íàéäåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ ïîìîùüþ ïðèìåðà ê ï. á),
ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 3, 4, 12, õ òàêóþ, ÷òî 32 + 42 + 122 +
+ x 2 = y2 , ò.å. 169 = ( y − x )( y + x ) . Èìååì (àíàëîãè÷íî ï. á))
1 = y − x,
 x = 84,
⇔

169 = y + x
 y = 85.
Èñêîìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: 3, 4, 12, 84.
1. F =
(
2
m v - gL sin θ
m
.
2. t = π
2k
L
);
ÔÈÇÈÊÀ
θïðåä = arcsin
v2
.
gL
Ê
ˆ
Q
2Q
- 1˜ = 0,2 ì .
= 0,4 ì , h2 = H Á 1 +
2mgH
Ë
¯
5mg
n (T1 - T0 )
xë
= 0,112 ì , xï =
= 0,012 ì .
4. xë = l
n
(n + 1) (T1 + nT0 )
3. h1 =
5. h =
6. n =
7. lmin
R2 +
L2
= 13 ñì .
16
2nâ
= 2.
k + 1 - (k - 1) nâ
2
= L = 30 ñì .
3
Óñòíûé êîìàíäíûé òóð
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
1. 30° .
Òðåóãîëüíèê AMD – ðàâíîáåäðåííûé, òàê êàê ÌÑ – åãî áèññåêòðèñà è ìåäèàíà; Ì – áèññåêòðèñà óãëà ÀÌÑ, ïîýòîìó
MC 1
MC AC
= ; íî ýòî çíà÷èò, ÷òî
=
, ò.å.
AC 2
BC
AB
∠AMB = ∠BMC = ∠CMD = ∠DME = 30°.
2. Íåò.
Ïóñòü (äëÿ îïðåäåëåííîñòè) a > 0. Ïî óñëîâèþ, êâàäðàòíîå
óðàâíåíèå f ( x ) = x íå èìååò êîðíåé. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
f ( x ) > x ïðè ëþáîì õ. Íî òîãäà f ( f ( x )) > f ( x ) > x . Åñëè
a < 0, ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû.
3. Âñåãäà.
Óêàçàíèå. Êàê áû ìû íè ðàçáèâàëè ìíîæåñòâî ÷èñåë 1, 2, …
..., 200 íà 50 ãðóïï, íàéäåòñÿ ãðóïïà, â êîòîðóþ ïîïàäóò ïî
êðàéíåé ìåðå òðè ÷èñëà èç {100, 101, …, 201}, ñîñòîÿùåãî èç
101 ÷èñëà. Íî ëþáûå òðè ÷èñëà èç ýòîãî ìíîæåñòâà – äëèíû
ñòîðîí íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà.
1 Ôàêòè÷åñêè ìû äîêàçûâàåì ñóùåñòâîâàíèå èñêîìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî èíäóêöèè, èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå áàçû èíäóêöèè
ïï. à)–â).
ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÊÀÇÀÍÈß,
4. Òî÷êà Ì – îñíîâàíèå âûñîòû òðåóãîëüíèêà, îïóùåííîé íà
ãèïîòåíóçó.
5. Îäíîâðåìåííî çàïóñêàåì òðåõ- è ïÿòèìèíóòíûå ÷àñû. ×åðåç òðè ìèíóòû ïåðåâîðà÷èâàåì òðåõìèíóòíûå ÷àñû, à â ìîìåíò îêîí÷àíèÿ ðàáîòû ïÿòèìèíóòíûõ ÷àñîâ íà÷èíàåì âàðèòü
çåëüå, çàòåì ÷åðåç 1 ìèíóòó ïåðåâîðà÷èâàåì òðåõìèíóòíûå
÷àñû. ×åðåç 3 ìèíóòû çåëüå ãîòîâî.
6. à) Íåò; á) íåò.
Åñëè ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ öèôðàìè 75, òî îíî äàåò îñòàòîê 3
ïðè äåëåíèè íà 4, à åñëè öèôðàìè 421, òî îñòàòîê ÷èñëà ïðè
äåëåíèè íà 8 ðàâåí 5.  îáîèõ ñëó÷àÿõ òàêîå ÷èñëî íå ìîæåò
áûòü ïîëíûì êâàäðàòîì.
7. 88π ≈ 264 .
Óêàçàíèå. Ñäåëàéòå ÷åðòåæ.
8. Äåëèòñÿ.
Ïóñòü x = 215 . Òîãäà
62
2
4
4
2
2
+ 1 = 4x + 1 = 4x + 4x + 1 − 4x =
(
)
2
(
)(
)
= 2 x 2 + 1 − 4 x 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 2x 2 − 2x + 1 ,
2
31
16
íî 2x + 2x + 1 = 2 + 2 + 1 .
a
.
9.
3
Óêàçàíèå. Ïóñòü r – ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê ÀÂÑ. Òî÷êè A′ , B′ , C′ è À ëåæàò íà îêðóæíîñòè ñ
öåíòðîì I è ðàäèóñîì 2r. Ïîñêîëüêó AI = 2r, à ðàññòîÿíèå îò
∠A 1
òî÷êè I äî ñòîðîíû À ðàâíî r, òî sin
= , ò.å. ∠A = 60° .
2
2
10. Íåëüçÿ.
Óêàçàíèå. Çàíóìåðóåì ìîíåòû ïîñëåäîâàòåëüíî ÷èñëàìè 1, 2,
3, …, 10 è ðàññìîòðèì ìîíåòû ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè – èõ
ðîâíî 5. Ïðè êàæäîé îïèñàííîé â óñëîâèè îïåðàöèè ïåðåâîðà÷èâàþòñÿ ðîâíî 2 «íå÷åòíûå» ìîíåòû, è ïîýòîìó ñðåäè íèõ
÷åòíîñòü ÷èñëà ìîíåò ñ îðëàìè ââåðõ íå ìåíÿåòñÿ, ò.å. êîëè÷åñòâî îðëîâ ñðåäè òàêèõ ìîíåò íå÷åòíî è ïîòîìó íå ðàâíî 0.
ÔÈÇÈÊÀ
Òàêèì îáðàçîì, âñå óêàçàííûå òî÷êè ïîñòðîåííîé îêðóæíîñòè
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ çàäà÷è.
Ïóñòü òåïåðü òî÷êà Ì íå ëåæèò íà ïîñòðîåííîé îêðóæíîñòè.
×òîáû ïðîåêöèÿ ýòîé òî÷êè íà ïðÿìóþ À ïîïàëà íà îòðåçîê
ÀÂ, òðåáóåòñÿ, ÷òîáû òî÷êà ëåæàëà âíóòðè ïîëîñû, îáðàçîâàííîé ïðÿìûìè, ïåðïåíäèêóëÿðíûìè îòðåçêó ÀÂ, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç òî÷êè À è Â. Ïóñòü òàê è åñòü è ïóñòü, êðîìå
òîãî, ïðÿìàÿ MM′ ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü â òî÷êå Ð. Òîãäà
äëÿ îòðåçêà PM′ âûïîëíåíî ïðèâåäåííîå ðàâåíñòâî, ïîýòîìó
îíî íå ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ íè â ñëó÷àå, êîãäà òî÷êà Ì âíå
îêðóæíîñòè (òîãäà PM′ < MM′ ), íè êîãäà îíà âíóòðè îêðóæíîñòè (òîãäà PM′ > MM′ ). Çíà÷èò, âíå ïîñòðîåííîé îêðóæíîñòè òî÷åê ñ óêàçàííûì â óñëîâèè ñâîéñòâîì íåò.
3. (1; 1) , (2; 3 ) .
Ïåðåïèøåì äàííîå óðàâíåíèå â âèäå
3x − 1 = 2y .
(∗ )
Åñëè õ íå÷åòíî, òî ïðè x ≥ 1 ÷èñëî 3x ïðè äåëåíèè íà 4 èìååò îñòàòîê 3. Ïîýòîìó 3x − 1 äåëèòñÿ íà 2 è íå äåëèòñÿ íà 4.
Ðàâåíñòâî ( ∗ ) ïðè x > 1 íåâîçìîæíî, òàê êàê òîãäà åãî ëåâàÿ
÷àñòü áîëüøå 8, ò.å. y > 3, 2y äåëèòñÿ íà 4, íî ëåâàÿ ÷àñòü
íà 4 íå äåëèòñÿ. Åñëè æå õ = 1, òî è ó = 1.
Ïðè ÷åòíîì õ = 2k èç ðàâåíñòâà ( ∗ ) ñëåäóåò, ÷òî
(3
k
Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
1. Ãîòôðèä Âèëüãåëüì Ëåéáíèö (1646–1716), îäèí èç ñîçäàòåëåé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, âåëèêèé ìûñëèòåëü è ôèëîñîô.
2. Îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì ÀÂ.
Ïîñòðîèì îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì ÀÂ. Ïóñòü Ì – ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ýòîé îêðóæíîñòè, êðîìå òî÷åê À è Â. Òîãäà
óãîë ÀÌ – ïðÿìîé, MM′ – âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÌ, îïóùåííàÿ íà ãèïîòåíóçó, AM′ è M′B –
ïðîåêöèè êàòåòîâ íà ãèïîòåíóçó. Ïî èçâåñòíîé òåîðåìå,
AM ¢ ◊ M ¢B = MM ¢2 .
)(
)
− 1 3k + 1 = 2y ,
à ñîìíîæèòåëè â ëåâîé ÷àñòè – ñòåïåíè äâîéêè. Íî ðàçíîñòü
äâóõ ñòåïåíåé äâîéêè ðàâíà äâóì ëèøü äëÿ ÷èñåë 2 è 4. Ïîýòîìó 3k + 1 = 4 , ò.å. k = 1. Îòñþäà õ = 2, à ó = 3.
4. Ýòî ðàññòîÿíèå ðàâíî xa - xb + ya - yb . Ïî îïðåäåëåíèþ,
íîâîå ðàññòîÿíèå ðàâíî OA - OB . Îòëîæèì âåêòîð
OM = m = OA - OB = ( xb - xa ; yb - ya ) îò íà÷àëà êîîðäèíàò è
íàéäåì íîðìó âåêòîðà OM . Ïóñòü ( xm ; ym ) – êîîðäèíàòû
òî÷êè Ì, à ïðÿìàÿ ÎÌ ïåðåñåêàåò ãðàíèöó êâàäðàòà â òî÷êå
M ¢ ( x; y ) . Èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû è ïîäîáèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ
òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò, ÷òî
x
y
OM
OM =
= m = m ,
OM ¢
x
y
2
v
ª 27,8 ì .
g
l
= 4 êì ÷ .
2. v =
2∆t
a
3.  öåíòðå êâàäðàòà ÷åðåç âðåìÿ t = .
v
4. Ñêîðîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ; ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òÿãîòåíèÿ
óìåíüøàåòñÿ.
5. Â ïåðâîì ñîñóäå äàâëåíèå íå èçìåíèòñÿ, âî âòîðîì ñîñóäå
óìåíüøèòñÿ, â òðåòüåì óâåëè÷èòñÿ.
6. Âåñû îñòàíóòñÿ â ðàâíîâåñèè.
7. vmin = 2aL .
8. Îêîëî îäíîãî ëèòðà.
9. Ïðèìåðíî 2%.
10. v ª 1200 ì ñ .
1. R =
$!
ÐÅØÅÍÈß
ò.å.
xm = OM ◊ x , ym = OM ◊ y .
Ñëîæèâ ïîñëåäíèå ðàâåíñòâà, èìååì
xm + ym = OM ( x + y ) = OM .
Ïîýòîìó ðàññòîÿíèå ÀÂ â íîâîé ìåòðèêå ðàâíî
xa - xb + ya - yb .
5. Ïóñòü äàíà àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñ ïåðâûì ÷ëåíîì ð
è ðàçíîñòüþ d, ñîñòîÿùàÿ èç 15 ïðîñòûõ ÷èñåë:
p, p + d, p + 2d, p + 3d, p + 4d, …, p + 13d, p + 14d. ( ∗ )
Ïåðâûé ÷ëåí ïðîãðåññèè, ïðîñòîå ÷èñëî ð, íå äîëæåí äåëèòüñÿ íè íà îäíî èç ïðîñòûõ ÷èñåë
2, 3, 5, 7, 11, 13,
(∗∗)
èíà÷å èëè òðåòèé, èëè ÷åòâåðòûé, èëè øåñòîé, èëè âîñüìîé,
èëè äâåíàäöàòûé, èëè ÷åòûðíàäöàòûé ÷ëåí ïðîãðåññèè áóäåò
äåëèòüñÿ íà îäíî èç ýòèõ ÷èñåë ñîîòâåòñòâåííî è íå áóäåò
ïðîñòûì ÷èñëîì. Èòàê, ð – ïðîñòîå ÷èñëî, íå ìåíüøåå 17.
Ïîêàæåì, ÷òî ÷èñëî d, íàîáîðîò, äîëæíî äåëèòüñÿ íà êàæäîå
èç âûïèñàííûõ â ( ∗ ∗ ) ïðîñòûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ 17.
Ïóñòü q – ëþáîå èç ÷èñåë ( ∗ ∗ ). Òîãäà ñðåäè ÷èñåë ( ∗ ) ð,
ð + d, …, p + (q − 1) d ëèáî åñòü ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà q, ÷òî
íåâîçìîæíî (ýòî ïðîñòûå ÷èñëà, áîëüøèå q), ëèáî ñðåäè íèõ
$"
ÊÂÀÍT 2013/¹3
åñòü 2 ÷èñëà ñ îäèíàêîâûìè îñòàòêàìè ïðè äåëåíèè íà q, íî
òîãäà ðàçíîñòü ýòèõ ÷èñåë – ÷èñëî, êðàòíîå d è ìåíüøåå ÷åì
qd ïðè ïðîñòîì q, – äåëèòñÿ íà q.
Èòàê, ðàçíîñòü ïðîãðåññèè d äåëèòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå âñåõ
÷èñåë èç ( ∗ ∗ ). Ëåãêî îöåíèòü ýòî ïðîèçâåäåíèå: «âñå çíàþò»,
÷òî 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 1001 , à ïðîèçâåäåíèå òðåõ ïåðâûõ ñîìíîæèòåëåé ðàâíî 30. Ïîýòîìó d ≥ 30030 > 30000 .
ÔÈÇÈÊÀ
1. à) Íèëüñ Áîð. á) Â Äàíèè. â) Ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ.
2. à) Âåðíåð Ãåéçåíáåðã. á)  Ãåðìàíèè. â) Ïðèíöèï íåîïðåäåëåííîñòè. Îí çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñóùåñòâóþò ïàðû ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, îäíîâðåìåííîå òî÷íîå çàäàíèå çíà÷åíèé
êîòîðûõ ïðèíöèïèàëüíî íåâîçìîæíî.
3. à) Àðõèìåä. á) Ñèðàêóçû â Ñèöèëèè. â) Ýðàòîñôåí.
4. à) Áîçîí Õèããñà. á) ÖÅÐÍ, Øâåéöàðèÿ, Áîëüøîé àäðîííûé êîëëàéäåð.
5. Ïðîòâèíî (Ìîñêîâñêîé îáë.), Èíñòèòóò ôèçèêè âûñîêèõ
ýíåðãèé.
I ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÛÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐÍÈÐ ÈÌÅÍÈ
Ì.Â.ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ ÄËß Ó×ÀÙÈÕÑß 5–8 ÊËÀÑÑÎÂ
Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð
5–6 êëàññû
1. 60. 2. 31 ãîä.
1
5. 3. 6.
è –1.
2
3. 60 ì.
4. 45.
ÐÅÃÈÎÍÀËÜÍÀß ÑÒÓÄÅÍ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ
ÏÎ ÔÈÇÈÊÅ
πl l
ª 1,35 ◊ 1017 c ª 4,3 ìëðä ëåò (ó÷åò íà÷àëüíîé
4 GM
ñêîðîñòè óìåíüøàåò èñêîìîå âðåìÿ äî 3 ìëðä ëåò).
1. τ =
2
Ê L g∆t ˆ
ÁË
˜
2 ¯
∆t
ª 15,7 ì .
2. H = h + L +
2g
7+3 3
Md2
.
Md2 ª
24
2
4. Ñèëû óïðóãîñòè, ðàñòÿãèâàþùèå îáîëî÷êó ñîñèñêè âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ – âäîëü è ïîïåðåê, îòëè÷àþòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî â 2 ðàçà.
5. 16.
aqR
, ãäå ε0 – ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ, à ε – äèý6. ∆ϕ =
2ε0 ε
ëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ï÷åëèíîãî ðîÿ; N = 2πR2a .
3. I =
6 µ0 I
, ãäå µ0 – ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ, I – ñèëà
5 π a
òîêà, à – ñòîðîíà «çóáà» êîðîíû; ìàãíèòíîå ïîëå âîçðîñëî
7. B =
π 5
ª 1,17 ðàçà.
6
8. Ïðèáëèçèòåëüíî â 200 ðàç.
áû â
7–8 êëàññû
1. –118.
2. 7744.
3. 17.
5. 4 ÷.
4. 10052 = 1010025 .
6. Ðàçîáüåì êîâåð íà 16 îäèíàêîâûõ êâàäðàòîâ ñî ñòîðîíîé
1 ì. Ïîñêîëüêó áðûçã âñåãî 15, âíóòðè õîòÿ áû îäíîãî èç
ýòèõ êâàäðàòîâ áðûçã íå áóäåò. Èç íåãî è ìîæíî âûðåçàòü
íóæíûé ÷èñòûé êâàäðàò.
7. 301.
1. 156.
3. 5.
Óñòíûé êîìàíäíûé òóð
ÊÂÀÍÒ
5–6 êëàññû
ÍÎÌÅÐ ÏÎÄÃÎÒÎÂÈËÈ
èëè 56 äì2 .
C.À.Äîðè÷åíêî, À.À.Åãîðîâ, Å.Ì.Åïèôàíîâ,
À.Þ.Êîòîâà, Â.À.Òèõîìèðîâà, À.È.×åðíîóöàí
2. 51 äì
4. 500 òîíí.
2
5. Îäèíàêîâî.
6. Óêàçàíèå: n3 + 2n = n3 - n + 3n = n (n - 1) (n + 1) + 3n .
7. Âåðíî.
7–8 êëàññû
1. Äåëèòñÿ. 2. Ñìîæåò.
4. 45. 5. 48. 6. 100 ì.
3. 284 è 196.
ÍÎÌÅÐ ÎÔÎÐÌÈËÈ
Ä.Í.Ãðèøóêîâà, À.Å.Ïàöõâåðèÿ, Ì.Â.Ñóìíèíà,
Â.Ì.Õëåáíèêîâà
ÕÓÄÎÆÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
Å.Â.Ìîðîçîâà
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÀß ÃÐÓÏÏÀ
Ë.Â.Êàëèíè÷åâà, Å.À.Ìèò÷åíêî
Ðèñ. 3
7. Íàèìåíüøåå ÷èñëî ÷àñòåé – ýòî äâà; äîñòàòî÷åí âñåãî îäèí
ðàçðåç (ðèñ.3).
8. à) Íå ìîãóò; á) ìîãóò.
9. Ìîæíî.
Æóðíàë «Êâàíò» çàðåãèñòðèðîâàí â Êîìèòåòå ÐÔ
ïî ïå÷àòè. Ðåã. ñâ-âî ¹0110473
Òèðàæ: 1-é çàâîä 900 ýêç. Çàêàç ¹
Àäðåñ ðåäàêöèè:
119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò»
Òåë.: (495) 930-56-48
Å-mail: math@kvant.ras.ru, phys@kvant.ras.ru
Îòïå÷àòàíî
â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäîñòàâëåííûìè ìàòåðèàëàìè
â ÎÎÎ «ÈÏÊ Ïàðåòî-Ïðèíò», ã.Òâåðü
www.Pareto-print.ru