Введение

Введение
В начальной школе все мы знакомимся с множеством натуральных, а затем и целых
чисел. Там же мы изучаем две базовые операции — сложение и умножение, а также
обратную операцию к сложению — вычитание, и немного знакомимся с обратной операцией
к умножению — делением. И все помнят простейшие законы сложения и умножения —
переместительный, сочетательный, распределительный. Эти же законы, только с другим
названием, а также различные системы в которых выполняются или не выполняются эти
законы, изучает общая (или абстрактная) алгебра, которая не изучается в школе. Ниже в
таблице приведены все законы относительно сложения и умножения, которые выполняются
в целых числах, на языке общей алгебры.
Название закона
Сложение
Умножение
Ассоциативность
∀ a , b , c ∈ℤ abc = abc
∀ a , b , c ∈ℤ a∗b∗c =a∗b∗c
Коммутативность
∀ a , b ∈ℤ ab=ba
∀ a , b ∈ℤ a∗b=b∗a
Нейтральный
элемент
∃! 0∈ ℤ: ∀ x ∈ℤ x0=x
∃! 1≠0 ∈ℤ : ∀ x∈ ℤ x∗1= x
Обратный элемент
∀ x ∈ ℤ ∃−x ∈ℤ: x−x=0
Дистрибутивность
∀ a , b , c ∈ℤ a∗bc =a∗ba∗c
Нет делителей нуля
--
-∀ a , b ∈ℤ : a≠0 , b≠0 a∗b≠0
Мы знаем, что для обычного сложения и умножения все эти аксиомы верны. А что
произойдёт, если мы заменим одну из этих операций, к примеру, умножение, на
альтернативное умножение, которое будет отличаться от обычного (альтернативные
нейтральный и обратные элементы также могут отличаться от обычных), а сложение
оставим, как есть. Можно ли доказать, что при этом какая-нибудь аксиома обязательно
нарушится? Или же существует такая замена, что все аксиомы продолжают выполняться? А
если существует, то есть ли какие-нибудь ограничения на возможную замену, т.е. должна ли
она подчиняться некоторому закону?
Отвечая на эти вопросы, мною были получены (и доказаны) следующие результаты:
•
Если для сложения и умножения выполняются все вышеперечисленные законы,
сложение остаётся обычным, а умножение заменяется альтернативным, то это
альтернативное умножение равносильно − a×b .
•
Если для сложения и умножения выполняются все вышеперечисленные законы,
умножение остаётся обычным, а сложение заменяется альтернативным, то:
1)
Нейтральный и противоположные элементы сохраняются, то есть альтернативный
нуль равен обычному нулю, а альтернативный противоположный элемент к числу a есть
число -a.
2)
Возможны два случая: либо сумма любого числа равных между собой ненулевых
элементов не равна нулю (как для обычного сложения целых чисел), либо сумма любых трех
равных между собой чисел равна нулю.
3)
Для первого случая из предыдущего пункта, если существует такой элемент e, что
любое число выражается в виде альтернативной суммы вида ee...e , то все такие
варианты альтернативного сложения получаются из обычного с помощью специальных
перестановок целых чисел (они описаны в заключительной части моего доклада).
А для того, чтобы рассказать об этих результатах более подробно и доказательно я
предлагаю ознакомиться с базовыми понятиями общей алгебры, которыми я буду
пользоваться в дальнейшей части доклада.
Немного теории
Основополагающим для всех понятий общей алгебры является понятие
алгебраической операции, заданной на некотором множестве, в частном случае, понятие
бинарной операции. Если мы назовём эту операцию умножением, то запись a∗b=c будет
означать, что для пары элементов a, b из данного множества M произведение определено и
одним из значений является элемент c.
Простейшее множество, в котором задана алгебраическая операция (группоид),
должен удовлетворять трем условиям:
•
Произведение должно быть определено для любой упорядоченной пары
элементов из М.
•
Для любой такой пары результат должен быть однозначно определён.
•
Каждый такой результат должен являться элементом из М.
Это понятие всё ещё слишком широко. Более узким является понятие полугруппы,
т.е. группоида, в котором для любых элементов a, b и c выполняется закон ассоциативности:
∀ a , b , c ∈M a∗b∗c=a∗b∗c Отсюда следует, что произведение любых n элементов
будет однозначным элементом полугруппы.
Следующее условие, которое можно наложить на группоид — это существование
нейтрального элемента, т.е. ∃! o ∈M : ∀ x ∈M x∗o= x Например, в целых числах
нейтральным элементом по сложению является ноль, а по умножению — единица.
Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом.
Ещё более узким является понятие группы, одно из важнейших алгебраических
понятий. В группе помимо ассоциативности и нейтрального элемента для каждого элемента
существует обратный (или противоположный – для сложения) такой, что
−1
−1
∀ x ∈ M ∃ x ∈ M : x ∗x=o . Несложно доказать, что если обратный элемент имеется,
то он будет единственным.
Замечу, что мы еще нигде не использовали (и даже не ввели) закон коммутативности,
∀ a , b ∈M a∗b=b∗a Группа, в которой этот закон выполняется, называется
т.е.
абелевой. Подмножество A группы G называется подгруппой, если произведение любых
двух элементов из А само принадлежит к А и для каждого элемента а в подгруппе
содержится и элемент a−1 .
Вторым важнейшим понятием, наряду с группой, является кольцо. Кольцом
называется множество R, в котором заданы две бинарные операции — сложение и
умножение, причём по сложению это должна быть абелева группа, называемая аддитивной
группой кольца, а по умножению — полугруппа, называемая его мультипликативной
полугруппой, при этом сложение и умножение должны быть связаны законом
дистрибутивности: ∀ a , b , c ∈M a∗bc=a∗ba∗c . Также кольца могут обладать
следующими дополнительными свойствами:
•
наличие единицы (нейтрального элемента)
•
коммутативность умножения
•
отсутствие делителей нуля: ∀ a , b ∈M : a≠o , b≠o a∗b≠o
Если кольцо обладает всеми вышеперечисленными свойствами, то оно называется
областью целостности. Простейший пример области целостности, который я уже
упоминал в докладе — множество целых чисел с операциями обычного сложения и
умножения. А все законы целых чисел, которые я перечислял — это и есть свойства области
целостности, только с небольшими поправками.
Пусть даны два множества X и Y, на каждом из которых задана бинарная операция
°. Говорят,
: X  Y сохраняет
° , если
что
отображение
операцию
∀ a , b ∈ X   a °b = a° b. Если множества X и Y обладают одинаковой
алгебраической структурой (т. е. являются двумя группами, полугруппами, кольцами и т. п.),
то гомоморфизмом из X в Y называется любое отображение : X  Y , сохраняющее все
операции, заданные на X и Y. При этом если  является биекцией, т. е. устанавливает
взаимно-однозначное соответствие между X и Y, то гомоморфизм 
называется
изоморфизмом
из X в Y, а сами структуры X и Y называются изоморфными.
Содержательно изоморфизм между X и Y означает, что структуры X и Y устроены одинаково
с точностью до заданных на них алгебраических операций. Автоморфизмом
алгебраической структуры X называется ее изоморфизм на себя, т. е. изоморфизм
: X  X.
Альтернативное умножение
a∗b будет подразумеваться альтернативное
Здесь и далее под записью
a×b — обычное умножение, а
e
умножение, под записью
будет обозначать
“альтернативную единицу” (нейтральный элемент по альтернативному умножению).
Сложение ab остаётся обычным. Мы считаем, что для альтернативного умножения и
обычного сложения выполняются все аксиомы области целостности ℤ . Учитывая это
предположение, докажем, что альтернативное умножение обладает следующими
свойствами:
∀ a∈Z a∗0=0
I.
По дистрибутивности a∗b0 = a∗b  a∗0 = a∗b . Пусть a∗b=t => ta∗0=t .
Но по аксиоме о нейтральном элементе единственное решение уравнения xt =t это x =
0. Что и требовалось доказать.
II.
Альтернативная единица принимает лишь значения 1 или -1 .
Мы знаем, что e не равна 0, но может быть равна 1. Тогда рассмотрим случай, когда она
больше 1: Пусть e  1 . Рассмотрим выражение 1∗ 11...1
=1∗e . По закону
e
дистрибутивности его левая часть равна
1∗1  1∗1 ... 1∗1 , а правая — 1. Тогда при

e
замене суммы e слагаемых на обычное произведение мы получим, что 1∗1×e=1 . Но
∣e∣ 1, 1∗1≠0  ∣1∣ 1 . Противоречие. Отсюда получаем e≤1 . Заменив в нашем
рассуждении e на -e мы получим, что e≥−1 .
III.
Если e = 1 , то ∀ a ,b∈Z  a∗b = a×b .
1)
Рассмотрим выражение −1∗1−1 = −1  −1∗−1 = 0 . Так как
сложение обычное, то −1∗−1=1 .
∀ a∈ Z −1∗a=−a . Пусть a > 0.
2)
Докажем, что
Рассмотрим
−1∗ 
11...1
a
По дистрибутивности это равно −1∗a = −a , a0 . Пусть a < 0. Рассмотрим
−1∗ 
−1−1...−1 = −1∗a = −a , a0 . При a = 0 равенство
также
−a
выполняется (доказано выше). Значит, ∀ a∈ Z −1∗a=−a , что и требовалось доказать.
3)
Докажем, что ∀ a0, ∀ b a∗b = a×b . Для этого представим a∗b , как
11...1
∗b=1∗b1∗b...1∗b
 = a×b , что и требовалось.
a
a
4)
Докажем, что ∀ a0, ∀ b a∗b  =  a×b . Представим a∗b , как
−1−1...−1∗b=−1∗b−1∗b...
−1∗b = a×b , что и требовалось. Для


−a
a = 0 выше было доказано, что
−a
∀ b ∈Z b∗0=0 . Значит,
∀ a , b ∈Z a∗b = a×b , что и
требовалось доказать. Следовательно мы получили, что когда альтернативная единица
совпадает с единицей, альтернативное умножение обязано совпадать с обычным.
IV.
Если e = −1 , то ∀ a , b∈Z  a∗b = −a×b .
Несложно провести аналогию с пунктом 3 и доказать, что 1∗1 = −1 ,
∀ a∈Z 1∗a=−a (произведением любых 2 чисел будет обычное произведение,
умноженное на -1). Значит, мы получили альтернативное умножение, для которого все
аксиомы выполняются! Действительно, коммутативность и ассоциативность, очевидно,
выполняются; при построении этого умножения мы использовали аксиому о нейтральном
элементе и об отсутствии делителей 0. Значит осталось проверить выполнение
дистрибутивности.
Используя a∗b = −a×b  ,
получаем
−a×bc  = − a×b−a×c  , что равносильно дистрибутивности для обычного
умножения. Что и требовалось проверить. Также мы доказали, что это единственное
преобразование, для которого все законы остаются верны.
Альтернативное сложение
Здесь и далее под записью a ° b будет подразумеваться альтернативное сложение,
под записью ab - обычное сложение, знак o будет обозначать “альтернативный ноль”
(нейтральный элемент по альтернативному сложению). Противоположный элемент к a по
альтернативному сложению будем обозначать, как a , а к обычному сложению — как
−a . Умножение a×b остаётся обычным, а запись
a
° a °...° a будем кратко обозначать как a∗n (это никак не связано с рассмотренным

n
ранее альтернативным умножением).
Лемма 1. Для любого альтернативного сложения альтернативный нуль равен
обычному нулю и ∀ a ∈ Z  a = −a .
Доказательство:
Докажем, что o=0 от противного. Пусть o≠0 . Рассмотрим выражение
0×0 ° o . По дистрибутивности оно равно 0×0° o × 0 = 0 °0 (обе скобки равны
нулю). Но исходное выражение равно нулю, так как ∀ a 0×a=0 . Получаем, что
0 °0=0 . Но мы знаем, что ∃! o : o °0=0 Противоречие. Значит o = 0 .
2)
Докажем, что 1°−1=0  =  1 =−1 (так как противоположный элемент
∀ x x×−1°1 = −x ° x = x×t ;
единственен).
Пусть 1°−1 = t Тогда
−x×−1°1 = x °−x = − x×t Но по коммутативности −x ° x = x °−x  , значит
x×t = −x×t Так как x – любое, получаем, что t = −t => t =0 Что и требовалось
доказать.
3)
Теперь нетрудно понять, что ∀ a a =−a Действительно, рассмотрим выражение
a×−1 °1 = −a ° a = 0 . Из единственности противоположного получаем a = −a .
Лемма доказана.
1)
Чтобы двигаться дальше, необходимо рассмотреть такое понятие, как порядок элемента
группы (напомню, что альтернативное сложение на множестве ℤ задаёт структуру
абелевой группы). Для этого потребуется еще немного теории:
1)
Возьмём некоторую группу G. Тогда если для a∈G выполняется условие:
∀ i∈ℕ 
a °a °... °a ≠0 , то a называется элементом бесконечного порядка, в противном
i
случае — элементом конечного порядка. В последнем случае существует такое
натуральное число k, что a∗k = 0 . Наименьшее такое k и называется порядком
элемента a. Группа, все элементы которой имеют конечные порядки, называется
периодической. Группа, все элементы которой (кроме 0) бесконечного порядка, называется
группой без кручения.
2)
В любой полугруппе можно ввести понятие множества порождающих элементов минимального множества элементов (для группы — пар элементов и противоположных к
ним, то есть пар вида x, -x) такое, что любой из оставшихся элементов выражается через
сумму порождающих. Таким образом, множество порождающих элементов может быть как
конечным (например, для обычного сложения в целых числах - только пара (1, -1)), так и
бесконечным (например, все простые числа и единица - для полугруппы положительных
целых чисел по обычному умножению).
Лемма 2. Если бинарная операция альтернативного сложения на ℤ вместе с
операцией обычного умножения задает структуру кольца, то в аддитивной группе по
этому сложению либо порядок каждого элемента равен 3, либо она без кручения.
Доказательство от противного:
1) Пусть ∃a∈ℤ , k 3 : a∗k=0 (k – порядок a).
a °...° a = 
a×1 °...°1
Тогда a∗k = 
k
k
(по дистрибутивности). Так как a≠0 , получаем, что 1∗k =0 => порядок 1 — также k.
°...°1 . Пусть это значения
2) Рассмотрим значения выражений 1, 1°1, 1°1 °1,... ,1

k
r 1, r 2, ... , r k . По нашему предположению таких значений больше 3, и все они различны.
Значит найдётся такое r i , что ∣r i∣1 . Если их несколько, то возьмём наибольшее по
модулю.
3) Тогда
r i×r i = 1∗i×1∗i = 1°...
°1 × 1°...
°1 = 1∗i°...°1∗i



i
(по дистрибутивности). Что в свою очередь равно
i
i
1°1°...
°1 . Значение этого

 i×i
выражения, с одной стороны, по модулю больше, чем r i , так как r i×r i  r i при
°...°1 ≤ r i , так как значение этого выражения

∣r ∣1 . А с другой стороны 1°1
i
 i×i
r  i×i ∈ {r 1, r 2, ... , r k } , потому что порядок группы конечен. Противоречие. Значит наше
исходное предположение неверно. Лемма доказана.
На основании этой леммы я привожу схему, которая отражает возможное устройство
аддитивной группы по альтернативному сложению:
Аддитивная группа по альтернативному сложению
Без кручения
1 порождающий
элемент
(циклическая
группа)
Конечное
число
порождающих
элементов
Периодическая
Бесконечно
много
порождающих
элементов
Порядок каждого элемента
равен 3.
Циклическая группа по альтернативному сложению
Рассмотрим подробнее группу без кручения с одним порождающим элементом, она
же по-другому называется циклической группой. (Известно, что любая циклическая группа
изоморфна группе Z с обычной операцией сложения и порождающими 1 и -1.)
Теперь предположим, что наше альтернативное сложение задает на Z структуру
циклической группы с порождающим элементом a. Докажем, что:
а) a =±1 .
Действительно, пусть a ≠±1 . Тогда единица представляется в виде суммы некоторого
количества a или -а. Без ограничения общности, предположим, что это есть сумма элементов
a ° a °... ° a =a×1
°...° 1=a×1∗n=1 .

a, то есть, 
. Значит, либо a = 1, 1∗n = 1, либо a
n
n
= -1, 1∗n = -1. Но a≠±1 . Противоречие.
б) Обозначим через P множество всех простых чисел и противоположных к ним (т.е.
множество порождающих для умножения в целых числах). Определим на множестве P
семейство функций, : P  P , которые мы будем называть пи-функциями, каждая из
которых устанавливает биекцию, т.е. взаимо-однозначное соответствие между элементами P
со свойством ∀ p∈ P − p = − p . Теперь доопределим каждую из них на
множестве целых чисел, полагая
0=0 ; 1=1 ; −1=−1 ;  p1× p 2 ×...× pn  =  p 1  ×  p 2  ×...×  p n 
∀ a∈Z −a = −a  и
(где ∀ i pi ∈ P ). Из этого определения следует, что
∀ a ,b∈Z   a×b = a × b , то есть отображение  является автоморфизмом
мультипликативной полугруппы кольца Z. Так как  устанавливает взаимно-однозначное
соответствие на Z, то можно корректно определить обратную функцию (такую, что
∀ a ∈ℤ −1 a  = a ). Более того, обратная функция описывается также, то есть,
принадлежит к семейству пи-функций. Следующая теорема показывает, что любое
альтернативное сложение, порождающее циклическую аддитивную группу, описывается с
помощью некоторой пи-функции.
° на множестве целых чисел задает
Теорема. Альтернативное сложение
структуру циклической группы, а вместе с обычным умножением —
 определяется формулой
структуру кольца, тогда и только тогда, когда
−1
∀ a , b∈Z  a° b =  a  b ,
1
где  - одна из перестановок, описанных выше.
Доказательство:
1) Сначала докажем, что любое альтернативное сложение, задаваемое формулой (1),
обладает нужными свойствами. Действительно, из равенств 0=0, 1=1,
∀ a , b ∈Z   a ×b = a × b
и ∀ a ,b ∈Z   a °b = a  b (последнее
вытекает из (1)) следует, что отображение  устанавливает изоморфизм между кольцами
Z °;×; 0 ; 1 и Z ;×; 0 ; 1. Отсюда получаем требуемое утверждение.
2) Пусть альтернативное сложение ° задает на Z структуру циклической группы, а вместе
с обычным умножением — структуру кольца. Докажем, что оно задается формулой (1) для
подходящей пи-функции . Прежде всего заметим, что по доказанному выше пара
порождающих элементов для ° есть 1, -1.
Докажем, что если p=1∗n  p = −1∗n , то число n является простым тогда и только
n∈{0,1}, то
тогда, когда p∈P.
Действительно, пусть n — не простое. Если
p ∈{0,1 ,−1 } , откуда
p ∉P.
Пусть
n
является
составным,
n=k ×l : k , l ≠±1 ; 0. Тогда p=1°...°1
°1 °...°1°...°1
 =  1°...

.
то
есть
k
k

 k×l 
l
Пусть
1 °... °1 = a ; 1°...
°1 = b : a , b∈ℤ.


k
Тогда p=a
°...° a  = a× 1
°... °1 = a×b ,


l
l
l
где a , b≠±1 ; 0, так как порядок числа 1 бесконечен. Получаем, что p является составным
числом, то есть p∉P. (Если p = −1∗n , то p=−1×1∗n=−1∗n и рассуждение
повторяется. Это также означает, что если p записывается в виде суммы n единиц, то -p
записывается в виде суммы n минус единиц.)
Обратно, пусть p ∉P. Если p ∈{0,1 ,−1 } , то n∈{0,1}, т.е. n - не простое. Пусть
p=q×r : q , r≠±1 ; 0. Согласно определению циклической группы существуют такие
натуральные числа s > 1 и t > 1, что q=1∗s (или q=−1∗s ) и r =1∗t r=−1∗t .
q=1∗s , r =1∗t , остальные случаи
Для определенности будем считать, что
рассматриваются
аналогично.
По
обобщенной
дистрибутивности
получаем
p=1∗n
,
p=1°...
°1 ×1
°...°1 = 1
°..°1 = 1∗s×t . Но по условию имеем
и в силу


s
t
s×t
однозначности представления элемента циклической группы получаем n= s×t , то есть n
является составным числом.
3) Докажем, что если x= p 1× p2 ×...× p m , где ∀ i pi ∈ P и ∀ i pi = ±1∗t i  , то
x = ±1×1∗t 1 ×t 2×...×t m. Так как
x = ±1×1∗t 1 ×...×±1×1∗t m  , то можно
вынести за скобки все ±1 и получить x = ±1×1∗t 1 ×1∗t 2 ×...×1∗t m . Теперь,
°...°1 = 1°..°1
многократно
применяя
тождество 1°...°1
 (обобщение
 ×1

k
l
k×l
дистрибутивности), получаем требуемое равенство.
 p=n , если p=1∗n , и
: P  P , полагая
4)
Определим
отображение
 p =−n , если p=−1∗n. Из доказанного в 2) следует, что отображение

определено корректно и является биекцией на P. Следовательно, оно продолжается до пифункции : ℤ ℤ. При этом, как следует из 3), ∀ a ∈Z выполняется свойство
a =n , если a=1∗n , и a =−n , если a=−1∗n. Из доказанного в 2) и 3)
следует, что сложение a °b задается формулой (1) при данном  для любых целых a, b.
Теорема доказана.
Рассмотрим пример пи-функции и ассоциированное с ней согласно теореме
альтернативное
сложение.
Пусть ±2 =±3 ; ±3=±2 и  p= p для
всех
остальных p ∈P. Ниже приведена таблица первых 20 натуральных чисел и количество
единиц, через сумму которых они альтернативно выражаются при таком выборе пифункции:
Число
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Количество 1
единиц
3
2
9
5
6
7
27 4
15 11 18 13 21 10 81 17 12 19 45
Чтобы альтернативно сложить два числа, к примеру, 4 и 11, нужно сделать следующее:
1) Разложить на простые множители: 4=2×2 ; 11=11 .
2) Сделать пи-преобразование: 4=2× 2=3×3=9 ; 11=11
3) Сложить обычным образом полученные числа: 9 + 11 = 20
4) Разложить результат на простые множители: 20=2×2×5
5) Сделать −1 - преобразование: −1  20=−1  2×−1  2×−1 5=3×3×5=45
Варианты альтернативного сложения, для которых не выполняются
один или несколько законов кольца
Помимо решения основной задачи о поиске всех возможных альтернативных сложений,
задающих вместе с умножением структуру кольца, я также искал альтернативные сложения,
которые просто определяются, но, возможно, не удовлетворяют одному или нескольким
a =−a.
законам. Ниже приведены несколько таких сложений. Для всех них o=0 ; ∀ a 
1) ∀ x : x ° 0= x . Если x и y одного знака, то x ° y=− x y  , иначе x ° y =x y . Легко
проверить что все законы, кроме ассоциативности выполняются. Пример выражения, для
которого
ассоциативность
неверна: −2°1 °1 = t. С
одной
стороны,
t = −2°1°1 = −1 °1=0, а с другой — t = −2 °1 °1 =−2°−2 = 4, противоречие.
2) Рассмотрим систему счисления с основанием a, a < 10. Построим альтернативное
сложение таким образом, что ∀ x , y  x ° y= x y a , где запись n a означает, что
десятичная запись числа n рассматривается как запись в системе счисления с основанием a,
т. е. все степени десятки в десятичном разложении n заменяются на степени числа a. Тогда
ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность остаются верны (они верны в любой
системе счисления), а свойства нейтрального элемента нарушаются, так как
∀ x x ° 0 = x a , что не всегда равно x.
3) ∀ x , y x ° y = max x , y  Довольно необычное «сложение», однако все законы, кроме
свойств нейтрального и противоположных элементов выполняются. Если же изменить это
«сложение» таким образом, что результатом x ° y будет являться то число из (x,y), которое
больше по модулю, то свойства нейтрального элемента станут выполняться, однако
утратится однозначность ( x ° − x может равняться как x так и -x ).
Литература
1. А.Г. Курош «Общая алгебра», 1974г.
2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Абстрактная_алгебра