Математическое моделирование первичного энергетического

С.В. Филипова, А.Б. Чебоксаров
Математическое моделирование первичного
энергетического спектра облучаемых диэлектриков
Воздействие пучков ионизирующих излучений на диэлектрические
и полупроводниковые материалы часто используют в современных тех­
нических устройствах и технологических процессах, например, при на­
качке мощных лазеров или в технологии производства больших интег­
ральных схем. Все виды ионизирующих излучений: быстрые электроны
и ионы, рентгеновские и гамма-фотоны, – в первых же актах взаимо­
действия с веществом создают пары вторичный свободный электрон +
дырка, которые продолжают дальнейшее возбуждение электронной подсистемы вещества. Вторичные электроны производят ударную, а дырки
– оже-ионизацию и возбуждение вещества, создавая пары элек­трон +
дырка, экситоны и плазмоны меньших энергий. Этот многокас­кадный
процесс называют размножением электронных возбуждений. Он прекращается, когда энергия электронных квазичастиц становится меньше
некоторого порога EΔ и они теряют способность создавать новые электронные возбуждения. Такие квазичастицы: электроны, дырки, экситоны и т.п., называют ионизационно-пассивными. Дальнейшая релаксация
их энергии происходит путем взаимодействия с тяжелой подсистемой
вещества, например, решеткой твердого тела. Один из главных каналов
релаксации – испускание фононов. Так как каскадный процесс размножения электронных возбуждений состоит из большого числа однотипных актов: электронный удар, оже-ионизация и возбуж­дение, – то быстрый электрон создает в веществе фрактал – древовидную структуру, в
которой небольшое число длинных ветвей обрамлено большим числом
мелких веточек – треков медленных электронов. Самые тонкие веточки
треки ионизационно-пассивных электронов с кинетической энергией в
интервале 0,1-15 эВ. Они не имеют электронных ответвлений. От них
разбегаются только фононы.
Ионизационно-активные электроны и дырки теряют энергию в
электрон-электронных столкновениях со скоростью 1015-1018 эВ/с, а ионизационно-пассивные – в электрон-фононных столкновениях со ско­
ростью 1012-1013 эВ/с. Соответственно, число ионизационно-пассивных
в 102-105 раз больше чем активных, и они вносят основной вклад во
многие неравновесные кинетические процессы: люминесценцию, проводимость, электрический пробой, нагрев образца, генерацию неравновесных фононов и акустических волн, – протекающие в диэлектриках
под действием пучков быстрых ионизирующих частиц.
Для расчета кинетических процессов необходима достаточно пол­
ная информация об распределении ионизационно-пассивных электронов и дырок в фазовом пространстве и об эволюции этого распределения во времени, то есть необходимо знать функцию n ( r, р , t ) , где
п – фазовая плотность квазичастиц, r, р , t – их координаты, импульс и
время, соответственно. Основной метод вычисления плотности функции рас­пределения ионизационно-пассивных квазичастиц решение
кинетиче­ских уравнений. Очень сложно решить задачу в общем виде.
Исполь­зуют различные приближения, которые позволяют получить
удовлетво­рительное решение в каждом конкретном случае. Однако,
чтобы полу­чить конкретное решение, надо знать начальную функ­цию
распределения ионизационно-пассивных квазичастиц, то есть их распределение по состояниям до начала электрон-фононной релаксации –
так называемый первичный энергетический спектр.
Вероятность или число заполнения состояний ионизационнопассив­ной области зон проводимости электронами в результате всевозможных актов ионизации и возбуждения среды до электрон-фононной
релакса­ции называется первичной функцией распределения.
В целом первичное распределение ионизационно-пассивных элек­
тронов по координатам, импульсам, энергии и времени можно предста­
вить в следующем виде:
Где
(1)
– градиент закона дисперсии электрона
,
– элемент изоэнергетической поверхности в импульсном
– элемент объема координатного пространства в
пространстве,
окрестности точ­ки с координатами ,
— первичное число заполнения одноэлектронного состояния на уровне ε (изоэнергетической
поверхности с энер­гией ε ), G ( t ) – скорость генерации ионизационнопассивных электро­нов. Интегрируя (1) по изоэнергетической поверхности в зоне Бриллюэна импульсного пространства, получаем первичное
распределение ионизационно-пассивных электронов по энергии, координатам и време­ни:
, где g(ε) – спектральная
плотность одноэлектронных состояний.
Имеются программы, которые позволяют вычислять
с
погреш­ностью не больше 1%. Самая трудная часть – вычисление первичного распределения ионизационно-пассивных электронов – определение их первичного энергетического спектра:
, где
ni(ε)– спек­тральная плотность электронов в ионизационно-пассивной
области зоны проводимости. В настоящей работе эта задача решается на
конкретном примере: пластинка кристалла NaCl облучается электронным пучком сильноточного электронного ускорителя. Разработанная
методика при­менима к любым диэлектрическим материалам и электронным пучкам. Выбрана конкретная ситуация, для которой имелся
достаточный объем исходных данных.
Алгоритм расчета учитывает следующие данные: во-первых, конкретный (измерен­ный) спектр электронного пучка ( F ( E ) ) [1]; вовторых, полный электронный спектр диэлектрика, включая спектр
плотности заполненных состояний, непрерывный внутри валентных
зон и дискретный в обла­сти нижележащих квазиатомных уровней g(I), и
спектр плотности неза­полненных состояний, который начинается зоной
проводимости и плав­но переходит в спектр квазисвободных электронов
в кристалле [2,3]; в-третьих, дифференциальные сечения ионизации
атомов электронным ударом. За основу выбрана формула для сечения
ионизации атомов Не электронным ударом [4]. Во-первых, при больших
переданных энергиях эта формула воспроизводит результаты Бете-Борновского приближения: во-вторых, дифференциальное и полное (проинтегрированное по всем пе­реданным энергиям) сечения ионизации хорошо согласуются с экспери­ментальными, в-третьих, эта формула особенно удачно описывает иони­зацию полностью заполненных оболочек
инертных газов. А валентная зона и нижележащие квазиатомные уровни
NaCl и многих других ди­электриков сформированы атомными орбиталями полностью заполнен­ных оболочек. Однако, для расчета ионизационного каскада в диэлек­триках (в частности, NaCl) необходимо учитывать плотность состояний зонного электрона, которая существенно отличается от плотности состо­яний свободного, поэтому в формулу из [4]
внесены функциональные поправки Λ(ε), Λ(E – I – ε), корректирующие
сечение с учетом спектра плотности состояний конкретного кристалла.
В расчетах использовалась следующая формула для дифференциального сечения ионизации электронным ударом:
,
(2)
где Е – энергия налетающей частицы, I – потенциал ионизации,
ε=E'– I , E'–энергия, переданная ионизованной частице в результате взаимодействия, E 0 , M , d , C 1 – параметры расчета.
При расчете первичного спектра полагалось, что электроны 1) не­
упруго рассеиваются на всех внутренних оболочках с I < Е и на ва­
лентных электронах (Сl–3p), если Е > Е g , где Е – энергия электрона
(отсчет от дна зоны проводимости); 2) теряют энергию только путем
ударной ионизации среды.
Первичный спектр вычислялся в рекуррентном про­цессе: по энергетическому спектру электронов первичного пучка п 0 ( Е ) рассчитывалась спектральная плотность вторичных:
Рис. 1.
Первичный спектр
ионизационно-пассивных
электронов в NaCl.
(6)
где Es – верхняя энергия электронов первичного пучка. Выражение в квадратных скобках следует рассматривать как оператор, действие ко­торого предполагает интегрирование по непрерывному спектру
потенци­алов ионизации внутри валентной зоны и суммирование по
дискретно­му спектру. Затем из n1i(ε) вычитался спектр ионизационнопассивных электронов с ε∈[0, E∆], а оставшаяся часть n1i(ε) играла роль
n0(E) для второго шага расчета и т.д. Процесс сходится за несколько
циклов. Полученный первичный спектр ионизационно-пассивных электронов показан на рис.1. Вы­численный первичный спектр ионизационно-пассивных электронов в зоне проводимости определяется зависимостью дифференциального сечения генерации свободных электронов
путем ударной ионизации связан­ных состояний от переданной энергии:
быстрый рост от нуля, максимум и медленный спад. Причем структура
спектра, состоящая из резких макси­мумов и минимумов, определяется
спектром плотности состояний элек­тронов в зоне проводимости. Следует отметить, что спектр первичного пучка электронов не оказывает
качественного влияния на первичный спектр ионизационно-пассивных
электронов, а только количественное. Точность расчета определяется
только исходными данны­ми.
Библиографический список
1.
2.
3.
4.
Барденштейн А.Л. и др. Расчетно-экспериментальный метод определения
пространственного распределе­ния дозы плотного пучка электронов
в твердом теле // «Известия ВУЗов. Физика». Томск, 1991. 11с. Деп. в
ВИНИТИ 07.06.91. № 2402.
Lipari N.О., Kunz А.В. Energy bands and optical properties of NaCl // Phys.
Rev. B. 1991. V. 3. № 2. P. 491-497.
Эланго M.А. Рентгеновские возбуждения ионных кристаллов и их роль в
создании радиационных дефектов // Труды Института физики и астрономии
АН Эстонии. 1990. Т. 38. С. 28-49.
Алхазов Г.Д. Эффективные сечения ионизации и возбуждения гелия
электронным ударом // ЖТФ. 1990. Т. 40. № 1. С. 97-106.