Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Челябинский государственный университет»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА И
ЭФФЕКТИВНОГО ДИАМЕТРА МОЛЕКУЛ ВОЗДУХА
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
(МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА)
Челябинск 2014
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: вычисление длины свободного пробега и эффективного
диаметра молекулы азота (который составляет 78.1 % воздуха) по
коэффициенту внутреннего трения (вязкости).
ОБОРУДОВАНИЕ: цилиндрический сосуд с капилляром, весы с разновесами,
стеклянный стаканчик, секундомер.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Заметное отклонение молекул от прямолинейных траекторий при
тепловом движении происходит только при их достаточном сближении.
Такое взаимодействие между молекулами называется столкновением.
Процесс
столкновения
молекул
удобно
характеризовать
величиной
эффективного диаметра молекулы. Под ним понимается минимальное
расстояние, на которое могут сблизиться центры двух молекул при их
столкновении.
Расстояние,
которое
проходит
молекула
между
двумя
последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега
молекулы. В данной работе определяется средняя длина свободного пробега,
так как длины пробегов отдельных молекул из-за статистического характера
процессов в газах, естественно, должны отличаться.
Молекулярно-кинетическая теория позволила получить формулы, в
которых макроскопические параметры газа (давление, объём, температура)
связаны с его микропараметрами (размеры молекулы, её масса, скорость).
Пользуясь этими формулами, можно при помощи легко измеримых
макропараметров — давления, температуры, коэффициента внутреннего
трения — получить интересующие нас микропараметры — размеры
молекулы, длину её свободного пробега и т.д.
Из молекулярно-кинетической теории вытекает формула, связывающая
вязкость со средней длиной свободного пробега молекулы:
1
3
   c ,
(1)
где  — коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость),  —


плотность газа,  — средняя длина свободного пробега, c — средняя
арифметическая скорость молекул, т.е. среднее значение абсолютной
величины скорости молекул.
Из формулы (1) получаем


3

c
(2)
.
Вязкость можно определить, воспользовавшись известной формулой
Пуазейля, выражающей вязкость через объём V газа, протекающего через
сечение трубки за определённое время t при определённой разности давлений
p на концах трубки:

 r4
8Vl
pt ,
(3)
где r — радиус, l — длина трубки.
При выводе формулы (3) пренебрегли кривизной капли вытекающей
жидкости (эта поправка в данной задаче составляет менее 3 %).
Среднюю скорость молекул газа можно найти из закона распределения
Максвелла:

c
8 RT

,
(4)
где R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура, 
— молярная масса газа.
Плотность газа можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона:

m p

,
V RT
где p — давление газа.
Подставляя (3), (4), (5) в формулу (2), получим
(5)
3 r 4 pt  RT

.
16Vlp 2 

Эффективный
диаметр
молекулы
(6)
можно
вычислить
из
формулы,
выражающей его связь с длиной свободного пробега:


1
,
2 nd 2
(7)
где n — число молекул в единице объёма при данных условиях d —
эффективный диаметр молекулы.
Число молекул в единице объёма при данных условиях выражается
формулой
n  n0
pT0
,
p0T
(8)
где n0 — число Лошмидта — число молекул в единице объёма при
нормальных условиях (p0 и T0).
Рис.6. Схема установки
Используя формулы (7) и (8), получаем выражение для эффективного
диаметра молекулы газа:
d
Tp0

2 n0 pT0 
.
(9)
Для вычисления длины свободного пробега по формуле (6) и эффективного
диаметра d по формуле (9) необходимо знать радиус и длину трубки, через
которую протекает газ, разность давлений на её концах, температуру и
давление окружающей среды и объём газа, протекшего через трубку за
определённое время.
Описание установки
Установка для выполнения работы (рис. 6) состоит из стеклянного
сосуда 2, имеющего внизу кран 1, а сверху закрытого пробкой, через которую
пропущен капилляр 4. Сосуд на ¾ заполняется водой. Если открыть кран,
вода выливается из сосуда отдельными каплями, а над поверхностью воды
создаётся пониженное давление. Таким образом, концы капилляра будут
находиться под разным давлением (верхний конец — под атмосферным,
нижний — под давлением меньше атмосферного), что обусловливает
протекание воздуха через капилляр.
Так как капилляр очень узок и воздух просачивается через него очень
медленно, выравнивания давления на концах капилляра не произойдёт. Для
отсчёта уровней воды в сосуде служит шкала 3.
Измерения
Заполните сосуд водой. Откройте кран и, дождавшись, когда вода
начнёт вытекать из сосуда каплями, подставьте предварительно взвешенный
стаканчик, включив одновременно секундомер.
Измерьте по шкале, укреплённой на сосуде, начальную величину
разности уровней воды h1 (в момент начала появления капель). Когда в
стаканчике будет приблизительно 50 — 70 см3 воды, перекройте кран и
остановите секундомер. Запишите время истечения жидкости.
Измерьте новую величину разности уровней воды h2. Взвесьте
стаканчик с водой и по массе вытекшей воды определите её объём, который
будет равен объёму воздуха, вошедшего в сосуд через капилляр.
Разность давлений на концах капилляра рассчитайте по формуле
p  1 g
h1  h2
,
2
где 1 — плотность воды.
Температуру измерьте комнатным термометром, а атмосферное
давление определите по барометру.
Значения радиуса и длины капилляра прилагаются к работе. Вычислите
длину свободного пробега молекулы по формуле (6).
Опыт повторите три раза.
По
среднему
значению
длины
свободного
пробега
найдите
эффективный диаметр молекулы азота по формуле (9).
Оцените возможные источники погрешности метода.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется длиной свободного пробега молекулы?
2. Почему в работе рассчитывается средняя длина свободного пробега
молекулы?
3. Какое взаимодействие молекул называется столкновением?
4. Что имеется в виду под эффективным диаметром молекулы?
5. Почему в работе рассчитывается средняя длина свободного пробега
и эффективный диаметр молекулы азота?
6. Каков смысл числа Лошмидта?
7. Поясните формулу расчёта разности давлений воздуха на концах
капилляра.
Список рекомендуемой литературы
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. М.: Наука, 1977. §§ 80, 86,
129.
2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.2. М.: Наука, 1975. §§.7, 9, 60,
86, 87.
2. Кикоин А.К., Кикоин Н.К. Молекулярная физика. М.: Наука, 1976. §§
32, 35, 36, 37.